Apostila Matematica Financeira

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

Matemática Financeira e Comercial Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

Matemática Financeira e Comercial

Conteúdo Programático Capítulo 1 - Razão 1 - Introdução 2 - Razão 2.1 - Razões inversas. x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 2 - Proporção

Carlos Eduardo Epprecht; Roberto Minello

1 - Introdução 2 - Proporção 2.1 - Definição 2.2 - Propriedade fundamental das proporções 2.3 - Outras propriedades das proporções 2.4 - Quarta proporcional. 2.5 - Proporção contínua 2.6 - Terceira Proporcional. x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 3 - Grandezas proporcionais e Divisão proporcional. 1 - Introdução 2 - Grandezas diretamente proporcionais. 3 - Grandezas inversamente proporcionais. x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 4 - Regra de Sociedade 1 - Introdução 2 - Casos de Regra de Sociedade. x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

i

5 - Taxas equivalentes 6 - Prazo médio. 7 -Taxa Média x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 5 - Regra de três simples 1 - Introdução 2 - Tipos de grandezas 2.1 - Grandezas diretamente proporcionais 2.2 - Grandezas inversamente proporcionais. x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 11 - Descontos Simples 1 - Introdução 2 - Tipos de descontos 2.1 - Descontos comercial, bancário ou por fora 2.2 - Valor atual comercial 2.3 - Desconto racional ou desconto por dentro 2.4 - Valor atual racional 2.5 - Relação entre desconto comercial e o desconto racional. 3 - Taxa de juros simples e taxa de descontos simples. 3.1 - Taxa de juro simples 3.2 - Taxa de desconto simples 4 - Fluxo de caixa e Equivalência de capitais. 4.1 - Fluxo de caixa. 4.2 - Equivalência de capitais. x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 6 - Regra de três composta 1 - Introdução x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 7 - Médias 1 - Introdução 2 - Tipos de Médias. 2.1 - Média Aritmética 2.2 - Média Geométrica 2.3 - Média ponderada 2.4 - Média harmônica x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 12 - Logaritmos. 1 - Introdução 2 - Definição 3 - Propriedades dos logaritmos 4 - Mudança de base 5 - Função logarítmica 6 - Logaritmos decimais 6.1 - Característica 6.2 - Mantissa x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 8 - Porcentagem. 1 - Introdução 2 - Elementos de cálculo percentual. x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 9 - Operações sobre mercadorias 1 - Introdução 2 - Vendas com lucro 2.1 - Sobre o preço de custo 2.2 - Sobre o preço de venda 3 - Vendas com prejuízo 3.1 - Sobre o preço de custo 3.2 - Sobre o preço de venda. x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 13 - Juros compostos. 1 - Introdução 2 - Taxas equivalentes 3 - taxa efetiva e nominal 3.1 - Taxa nominal 3.2 - Cálculo de taxa efetiva x Exercício de fixação x Exercício propostos.

Capítulo 10 - Juros Simples. 1 - Introdução 2 - Regime de capitalização 2.1 - Regime de capitalização simples. 3 - Cálculo de juros simples e montante. 4 - Taxas proporcionais CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

ii

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

iii

Capítulo 14 - Desconto Composto

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

1 - Introdução 2 - Desconto racional composto x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

1. Razão

Capítulo 15 - Capitalização e Amortização 1 - Introdução 2 - Capitalização Composta 2.1 - Rendas imediatas 2.1.1 - Fórmula do montante de uma renda imediata 2.2 - Rendas antecipadas 2.2.1 - Fórmula de um montante de uma renda antecipada. 3 - Amortização Composta 3.1 - Renda imediata 3.1.1 - Fórmula do valor atual de uma renda imediata 3.2 - Renda Antecipada 3.2.1 - Fórmula do valor atual de uma renda antecipada 3.3 - Rendas diferidas x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução Uma escola tem 600 alunos, e realizou uma pesquisa mostrando o esporte preferido pelos alunos. Esporte Judô Futebol Natação Handebol Basquete Nenhum esporte

Capítulo 16 - Empréstimos.

No de alunos 50 150 200 50 60 90

Vamos analisar os dados da tabela acima através de alguns quocientes:

1 - Introdução 2 - Sistema Francês 2.1 - Montagem de uma planilha de amortização 2.1.1 - Tabela Price 2.2 - Sistema de amortização constante 2.2.1- Cálculo do saldo devedor 2.3 - Sistema de amortização misto x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

200 a) número de alunos que praticam natação número de alunos da escola 600 Significado: em cada 3 alunos da escola, apenas 1 pratica natação.

1 3

50 1 b) número de alunos que praticam judô número de alunos que jogam futebol 150 3 Significado: O número de alunos que jogam futebol é triplo do número de alunos que praticam judô. c) número de alunos que praticam esporte 510 número de alunos da escola 600 Significado: em cada 20 alunos da escola, 17 praticam esportes.

17 20

2. Razão Dados dois números racionais a e b, com b  0, chamamos de razão ao quociente de a para b. a Indicamos razão por ou a : b, onde a é o antecedente e b é o conseqüente. b 2.1. Razões inversas Duas razões são denominadas de inversas, quando o produto entre elas é igual a um.

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

iv

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1

Exemplo:

comprimento real

2 1 2 1 e Ÿ x 1 1 2 1 2 1 400

Exercícios resolvidos

1 600

25 x

600y = 75

1) Estabeleça as razões entre os números abaixo: 2 e 10;

x = 25 x 400 x = 10.000cm ou x = 100m

1 3 e 2 4

0,1 e 0,01;

y 75

y

75 Ÿy 600

0,125m ou

y 12,5cm

Solução: A razão entre 2 e 10 é

2 10

A razão entre 0,1 e 0,01 é

1 5

5) O estado de Goiás tem uma área aproximada de 341.289km2. De acordo com o censo de 1991 esse estado tinha uma população, aproximada, de 4.012.562 habitantes. Qual é a densidade demográfica desse estado?

0,1 10 0,01

1 1 3 A razão entre e é 2 3 2 4 4

1 4 x 2 3

Solução: 4 6

densidade demográfica = número de habitantes área

2 3

densidade demográfica

4.012.562 hab 11,76 341.289 km 2

2) Calcule a velocidade média de um trem que percorre 120km em 3h. Solução:

Exercícios de fixação

Chamamos de velocidade média ao quociente entre a variação de espaço e a variação de tempo.

1) Calcule a razão entre os números: Vm

'S Ÿ Vm 't

120 3

a) 3 e 21

40Km / h

Significado: em cada 1 hora o trem percorre 40Km.

b) 0,333 ... e 2,1

c)

1 1 e 2 3

2) Determine a razão entre a terça parte de 0,12 e o dobro de 0,1.

4) (L.A.O.-SP) Analise a tabela abaixo sobre algumas escalas. Escala 1:250 1:400 1:600

Medida do desenho 10cm 25cm y

3) Determinar a razão entre 4cm2 e 2dm2.

Medida real 25m x 75m

4) (Unifor-CE) Se a razão entre dois números é parte do segundo é igual a: 1 1 b) a) 9 3

As medidas x e y são respectivamente:

c) 1

3 , a razão entre o quíntuplo do primeiro e a terça 5 d) 9

e) n.r.a.

Solução: 5) Calcule a razão entre os volumes de dois cubos de aresta de medida 1cm e 2cm, respectivamente.

Escala = comprimento no desenho

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

2

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

3

6) (UDF) Um estado brasileiro tem a população de 10 milhões de habitantes e uma média de 40 hab/km2. Qual é a sua superfície? a) 100.000km2 b) 250.000km2 c) 500.000km2 d) 1.000.000km2 e) n.r.a.

3) Num concurso público, havia 6.000 candidatos. Tendo sido aprovados 1.200, a razão entre o número de reprovados e o número de candidatos é de: 4) Multipliquei o antecedente de uma razão por 5 e dividi seu conseqüente por 2. A razão ficou:

7) (TRF) Uma estrada está representada por 15 cm num mapa de escala dessa estrada é: a) 3km

b) 30km

c) 300m

d) 3.000cm

1 . O comprimento real 20.000

e) 30.000dam

8) (ESPCEX) Um trem com a velocidade de 45 km/h, percorre certa distância em 3,5h. Nas mesmas condições com a velocidade de 60km/h, quanto gastará para percorrer a mesma distância?

a) dividida por 2 b) multiplicada por 5 c) dividida por 10

d) multiplicada por 10 e) n.r.a.

5) (EPCAR) Chama-se densidade demográfica a razão entre o número de habitantes de uma região e a área da mesma. Assim sendo, se a área do Distrito Federal for de 5.800km2 aproximadamente e sua densidade demográfica for de 203 hab/km2, então o número de habitantes deverá ser: a) superior a 1,5 x 106 b) inferior a 1,1 x 106 c) superior a 1,3 x 106

d) exatamente a 1,3 x 106 e) aproximadamente 1,2 x 106

9) (Fatec-96) Um terreno retangular tem 170m de perímetro. Se a razão entre as medidas é 0,7, então a área desse terreno, em metros quadrados, é igual a: 6) (TTN) Num mapa, cuja escala é 10) (IBGE) Observe o mapa de um sítio na escala 1:10.000

1 , a estrada Belém-Brasília tem 67cm. Calcular, em km, a 3.000.000

distância real. 7) (TTN) Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo Horizonte, de 729km, em 7h e 30min. Qual a sua velocidade média? 8) (UFMG) Dois caminhões-tanque carregam o mesmo volume de misturas de álcool e gasolina. A mistura de um contém 3% de álcool, e a do outro, 5% de álcool. Os dois caminhões descarregam suas cargas em um reservatório que estava vazio. A razão do volume de álcool para o de gasolina na mistura formada no reservatório, após os caminhões terem descarregado:

O proprietário do sítio pretende cercá-lo com três voltas de arame. A quantidade de arame que ele vai gastar é igual a: a) 1.800m

b) 2.000m

c) 3.600m

d) 4.200m

e) 5.400m

a)

a) 1

c) 0,333 ... e 0,666 ...

d)

1 5 e 3 3

CopyMarket.com

b) 1

c) 2

d) 3

c)

1 16

d)

1 12

e) n.r.a.

c) 1

d) 1

50

40

500

e) n.r.a.

10) Dois números inteiros são tais que um deles é igual à quarta parte do outro. A razão entre o menor desses números e a soma dos dois números pode ser expressa pela fração: a)

2) (E.E.Aer) O produto de duas razões inversas é igual a: a) 0

1 24

b) 1

400

1) Determine a razão entre os números. b) 1,2 e 0,02

b)

9) O proprietário de um terreno de 1.000m2 deseja construir uma horta com 4 canteiros de 50dm2 cada qual. A que fração do terreno corresponde a área total ocupada pela horta?

Exercícios propostos

a) 2 e 6

1 25

1 5

b)

1 3

c)

3 4

d)

2 3

e) n.r.a.

e) n.r.a.

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

4

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

5

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1)

a)

b)

c)

2 6

comprimento no desenho 1 ­ Ÿ °escala compriment o real 3 . 000 .000 6) ® ° ou  x 2.010km ¯Ÿ x 201.000.000cm o

1

Ÿ

12 126 10010 . Ÿ 10 Ÿ Ÿ 2 10 2 0,02 100 1,2

3 1 1 3 Ÿ 9Ÿ3Ÿ x Ÿ 6 2 3 2 0,666... 9 3 0,333...

1 3 d) 3 Ÿ x Ÿ 5 3 5 3

7) Vm

60

8)

1 2

's Ÿ Vm 't

5

3% de álcool

e

97% de gasolina

5% de álcool

e

95% de gasolina

8% de álcool

e

192% de gasolina

a Ÿk b

4) k

a Ÿk b

4800 Ÿk 6000

5xa Ÿk b 2

k

a alternativa correta é a

b

4 x 50 Ÿk 100.000

200 Ÿk 100.000

1 500

b

4 5

5xax2 Ÿk b

a .10 b

a alternativa correta é a

1 ­ °a 4 b Ÿ b 4a ° a a ° 10) ®k Ÿk Ÿk ab a  4a ° °a alternativa correta é a a ° ¯

d

número de habitantes número de habitantes ­ Ÿ 203 Ÿ °densidade demográfica 5800 área °° o o 5) ®Ÿ n de habitantes 5800 x 203 Ÿ n de habitantes 1.177.400 °a alternativa correta é a e ° ¯°

CopyMarket.com

1 24

8% Ÿk 192%

b

k

km h

caminhão A:

a alternativa correta é a

Como no concurso haviam 6000 candidatos, sendo 1200 aprovados. O número de reprovados será: 6000 – 1200 = 4800, logo a razão será:

97,20

caminhão B:

k

1

729 x 2 Ÿ Vm 15

729 Ÿ Vm 15 2

9) 1000 m2 = 100.000 dm2 3)

67 x 3.000.000 Ÿ

3

1

2)

67 Ÿx x

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

6

CopyMarket.com

1a Ÿk 5a

1 5

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

7

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

Exercícios resolvidos

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

x 5

1) Calcular o valor de x na proporção: Solução: 10 x x

2. Proporção

Resposta: x

60 Ÿx 10

5 x 12 Ÿ x

12 10 6

6

Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 2) Determinar o valor de y na igualdade:

y 5 6

3 2

Solução : 2(y - 5) 3 x 6 Ÿ 2y - 10 18 Ÿ 2y 18  10 Ÿ 2y 28 Ÿ y

1. Introdução

28 Ÿ y 14 2

Resposta: y 14

A proporção é assunto de muita importância na matemática, como também, na vida. Todo o estudo de aritmética que fazemos tem por base a razão e a proporção, mostrando ao aluno suas aplicações práticas.

3) Obter o valor de x na proporção:

2. Proporção

Solução:

2.1. Definição

3 3 2 6

Chama-se de proporção a toda sentença que indica uma igualdade entre duas razões.

2 Ÿ 3x x x

2 3 Ÿ 5 x 6

2x

3 1 1  2 3

2 x

5 Ÿ 3x x 6

10 Ÿx 6

10 6 Ÿx 3 1

10 1 x Ÿx 6 3

10 Ÿx 18

5 9

Podemos representar as proporções das seguintes maneiras:

a b

c d

Exercícios de fixação

ou a : b = c : d ou a : b :: c : d

1) (ETAM-81) A proporção

com (a, b, c, d racionais, não nulos). Lê-se: “a está para b assim como c está para d ”

a)

a c

b d

b)

a b

a b

d c

c pode também ser escrita: d b a

c)

c d

d c

a b

1 c) 2 1 3

4 x

d)

e) n.r.a.

2.2. Propriedade fundamental das proporções 2) Calcule o valor de x na proporção:

Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos e vice-versa.

a b

c Ÿ bxc d

a x d (a; b; c; d z 0)

x 2

1 3

0,5 2

1 x

3) O valor de x na proporção

x

a)

b)

Numa proporção os termos são a, b, c, d e de acordo com essa propriedade b e c são os meios e a e d são os extremos. Exemplo:

2 3

4 6

3x 4

=

2x 6

2

produto produto dos meios dos extremos

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

8

CopyMarket.com

3 1 3

5 2

1 1  d) 2 3 2

x 1 4

1 4 é?

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

9

Exercícios propostos

2.3. Outras propriedades das proporções:

1) (PUC) Qual das seguintes equivalências é verdadeira:

P1 - Em toda proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes está para a soma ou a diferença dos conseqüentes, assim como um antecedente qualquer está para o respectivo conseqüente.

a b

c ab œ d a

b)

a b

c œ ac d

c)

a b

c œ ac d

a)

d)

cd c

a b

cd d c

x

M

a; b; c; d z 0

c d

4 x

a b

cd c

a b

­a  b ° a ° c Ÿ ®ou d °a  b ° ¯ b

cd c

a; b; c; d z 0

cd d

3

1 2 2

=

c d

­a  b ° a ° c Ÿ ®ou d °a  b ° ¯ b

2

1 3

3) Determinar valor de M na proporção:

12

a; b; c; d z 0

P2 - Em toda proporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o 1o ou para o 2o, assim como a soma dos dois últimos termos está para o 3o ou 4o termo.

x 2,25

1 5

§ 1· 1 b) ¨1  ¸ y © 2¹ 2 c)

a b

­ac °b  d ° c Ÿ ®ou d °ac ° ¯b  d

bd

2) Calcule o termo desconhecido nas proporções abaixo: a)

a b

bd

c ac œ d bd

a b

a b

­ac °b  d ° c Ÿ ®ou d °ac ° ¯b  d

(0,25)1/2

P3 - Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o quadrado de um antecedente qualquer está para o quadrado do respectivo conseqüente.

0,666...

a b

CopyMarket.com

a; b; c; d z 0

cd d

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

10

­ ac ° bd c °° Ÿ ®ou d ° ac ° °¯ bd

CopyMarket.com

a2 b2

a; b; c; d z 0

c2 d2

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

11

Proporções múltiplas: Quando temos uma igualdade de três ou mais razões, dizemos que se trata de uma proporção múltipla. Consideremos a série de razões iguais:

a b

c d

e f

g h

a b

/ , então temos que:

c d

e f

g h

a  c  e  g / b  d  f  h /

/

1) Calcule x e y na proporção

4 6

6 é uma proporção múltipla pois: 9

246 369

246 3 69

­2 °3 ° °ou °° 4 ® °6 °ou ° °6 °¯ 9

­12 °18 ° °ou 12 °°12 e ® 18 °18 °ou ° °12 °¯18

x 2

e f

x Ÿ 5 x 30 Ÿ x 6 2 y Ÿ 5 y 45 Ÿ y 9 3

2 3

x 7

y , onde x - y = 40. 2

Solução: Pela propriedade P1, temos que:

4 6

x 7

6 9

­x  y °° 7  2 y Ÿ® 2 °x  y ¯° 7  2

x 40 Ÿ 7 5 y 40 Ÿ 2 5

x Ÿ 5 x 280 Ÿ x 56 7 y Ÿ 5 y 80 Ÿ y 16 2

Resposta: x = 56 e y = 16. 3) Determine os valores de p e q na proporção

p q

8 , onde p + q = 132. 3

Solução: Observe que as incógnitas agora são antecedente e conseqüente (e não antecedentes, como nos exercícios anteriores), por isso, aplicaremos a propriedade P2.

1)

ace bd  f

a b

c d

e f

2)

ace bd  f

a b

c d

e f

3)

ace bd  f

a b

c d

e f

4)

ace bd  f

a b

CopyMarket.com

x 15 Ÿ 2 5 y 15 Ÿ 3 5

2) Calcule o valor de x e de y na proporção

e observando as propriedades P1 e P2, podemos escrever:

c d

­x  y y °° 2  3 Ÿ® 3 °x  y °¯ 2  3

Resposta: x = 6 e y = 9

Generalizando, dada a série de razões iguais:

c d

y , sabendo que x + y = 15. 3

Aplicando a propriedade P1, temos:

De fato

a b

x 2

Solução:

Exemplo:

2 3

Exercícios resolvidos

­ p  q 8  3 132 Ÿ p 8 8 °° p Ÿ® 3 ° p  q 8  3 132 Ÿ q 3 ¯° q Resposta: p = 96 e q = 36. p q

e f

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

11 Ÿ 11 p 1056 Ÿ p 96 8 11 Ÿ 11q 396 Ÿ q 36 3

4) Obter os valores de a e b na proporção

12

CopyMarket.com

a b

5 , sabendo que a - b = 12. 4

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

13

8 ­a  b  c a ° 5  2 1 5 Ÿ 4 ° 8 °a  b  c b Ÿ Ÿ® 5  2 1 2 4 ° abc 8 8 °a  b  c c Ÿ ° 5  2 1 1 4 ¯ Resposta: a = 10, b = 4 e c = 2. a 5

Solução: Aplicando a propriedade P2, temos:

a b

­a  b 5 °° a Ÿ® 4 °a  b °¯ b

5  4 12 Ÿ 5 a 5  4 12 Ÿ 4 b

1 Ÿ a 60 5 1 Ÿ b 48 4

x 2

5) Uma substância química é composta de ouro e ferro na proporção 2 partes de ouro para cada 3 de ferro. Para fabricar 30g dessa substância, quantos gramas de ouro e de ferro serão necessários? Solução: Aplicando a propriedade P1, temos:

y 3

e x y

­x  y °° 2  3 Ÿ® x y 30 °° ¯23

30 x Ÿ 2 5 y 30 Ÿ 3 5

c 1

a Ÿ 4a 40 Ÿ a 10 5 b Ÿ 4b 16 Ÿ b 4 2 c Ÿ 4c 8 Ÿ c 2 1

7) Calcule os valores de x e y na proporção abaixo:

Resposta: a = 60 e b = 48.

x 2

b 2 e

x Ÿ 5 x 60 Ÿ x 12 2 y Ÿ 5 y 90 Ÿ y 18 3

y e xy = 96 4

Solução: Aplicando a propriedade P3, teremos: ­ x x y x2 96 x 2 4 x 96 Ÿ Ÿ 8 x 2 4 x 96 Ÿ x 2 Ÿ x 2 48 Ÿ x 48 ° 2 x 2 4 2 8 4 8 ° °°Ÿ x 4 3 e Ÿ® 2 2 96 x 16 ° x x y y Ÿ 96 y xy 96 Ÿ y 2 12 x 16 Ÿ 8 y 2 96 x 16 Ÿ y 2 ° 2 x 4 42 8 16 8 ° °¯ y 12 x 16 Ÿ y 8 3

x 2

y 4

Resposta: x

Resposta: A substância química é formada por 12g de ouro e 18g de ferro.

4 3 e y

8 3

Exercícios de fixação

4) Encontre o valor de a e b, onde 6) Calcule os valores desconhecidos.

5) Calcular x e y na proporção

x 3

a 6

b e a b 2 2

y , sabendo-se que x + y = 30. 2

­a b c ° ®5 2 1 °¯a  b  c 8

6) Calcule o valor de x e y na proporção

Solução: Aplicando a propriedade das proporções múltiplas, teremos:

7) Calcule dois números positivos cujo produto é 24 e a razão entre eles é 2 : 3.

x y

2 , sabendo-se que x + y = 15. 3

8) A razão entre a idade do filho e a do pai é de 1 : 3. Sabendo-se que a soma das idades é 72 anos, calcule a idade do filho. 9) Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, deve ser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente será: CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

14

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

15

x 10) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que 2 x 11) Calcule o valor de x, y e z onde: 5

y 2

y 3

11) O complemento de um ângulo está para o seu suplemento assim como 1 : 3. Calcular a medida do ângulo.

z , o valor de x é: 4

12) A razão entre os dois números é 3 : 8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, o maior deles é:

z e x - y - z = 6. 1

12) (E.E.Aer) O denominador de uma fração supera de 3 unidades o numerador; aumentando-se os 2 . Calcule o numerador da fração. termos da fração de 1, a fração obtida resulta igual a 3 13) As dimensões de um terreno retangular estão na razão

5 . Se a área do terreno é de 1000m2, então 8

13) Determinar os valores de a, b e c, onde

a 7

b 5

c 2

e a + b - c = 60.

14) (Banco do Brasil) Uma herança de R$ 101.500,00 deve ser dividida entre três pessoas, de modo que 3 2 da parte da terceira. Quanto da parte da segunda e aos a parte da primeira corresponda aos 4 5 tocará a cada uma das três pessoas?

sua maior dimensão, em metros, mede: 14) (L.A.O. - SP) Misturando suco concentrado e água na proporção de uma parte de suco para três de água, fizemos 24 litros de refresco. Se tivéssemos misturado a mesma quantidade de suco concentrado na proporção de 2 partes de suco para 5 de água, quantos litros de refresco teríamos conseguido?

Sendo a, b e c três números racionais diferentes de zero, denomina-se de quarta proporcional desses a c números um número x, tal que: b x

Exercícios propostos 4) (TCF) Sendo a 2 n.r.a a)

a 2

Exemplo: Calcular a quarta proporcional dos números 2; 5 e 8.

b , então : 5

ab 7

b)

b 5

ab 2

c)

a 2

ab 5

5) Calcular x e y na proporção

x 3

y , sabendo que x - y = 5. 2

6) Calcular x e y na proporção

x y

2 , sabendo que x + y = 10. 3

7) Se

x 7

d)

b 5

ab 10

Solução: e) Temos:

8 Ÿ 2x x

40 Ÿ x

20

É toda proporção cujos meios são iguais. Exemplo:

1 3

3 9

3 cuja diferença entre seus termos é 10? 2

9) (ETF-SP) Se 760 litros de uma mistura contém álcool e água na razão 14 : 5, então o número de litros de álcool na mistura é:

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

2.6. Terceira proporcional

É uma proporção contínua.

10) O número que diminuído de 3 unidades está para o seu consecutivo assim como 5 está para 6 é:

CopyMarket.com

2 5

2.5. Proporção contínua

y e xy 189 , então x - y vale: 3

8) Qual a fração equivalente a

2.4. Quarta proporcional

Sendo a e b dois números racionais, não nulos, denomina-se de terceira proporcional desses números um número x tal que: 16

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

17

Exercícios propostos a Exemplo: b

b x

15) Calcule a quarta proporcional entre os números:

Obter a terceira proporcional dos números 2 e 4.

a) 1; 2 e 5

b)

Solução: 2 4

1 1 1 ; e 2 3 4

c) 0,1 ; 2 e

1 2

16) Calcule a terceira proporcional entre os números:

4 16 Ÿ 2 x 16 Ÿ x Ÿx 8 2 x

a) 2 e 3

b) 2 e

1 2

c)

1 1 e 2 5

Exercícios resolvidos 1) Calcular a quarta proporcional dos números 6; 5 e 9.

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Resolução: 6 5

CAPÍTULO 2 – Proporções

9 Ÿ 6x = 5 ˜ 9 Ÿ 6x = 45 Ÿ x = 7,5 x

1) a

2) Determinar a terceira proporcional dos números 2 e 12: 2) a)

Solução: 2 12

12 Ÿ 2x = 12 x 12 Ÿ 2x = 144 Ÿ x = 72 x

1 5

§ b) ¨1  ©

x Ÿ 5x 2,25

1· 1 ¸: 2¹ 2

Exercícios de fixação 15) (EPCAR) A quarta proporcional entre 12; 8 e a) 20

b)

5 2

c)

5 3 2

­ x ° 1 °2  2 °° c) ® ° x °Ÿ ° 3 °¯ 2

75

d) 20 3

e) 40 3

16) A terceira proporcional entre 2 e 7 é: a)

49 3

b)

49 2

c) 25,5

d) 26

b) 1,6

c) 5,0

d) 7,2

3 4 Ÿ 2 1 x 2

3 2

1 3

2,25 Ÿx 5

4 3 Ÿ xx x 2

4x

0,45

1 3 Ÿ xx 2 2

2Ÿ x

9 Ÿx 2

9 2 Ÿx 5 3

2 Ÿx 3 2

2x

2 Ÿx 3

4 3

Ÿ

5 3 Ÿ xx 5 3 3

3x

3 5 Ÿ xx 2 3

9 3 x Ÿx 2 5

27 Ÿx 10

2,7

e) n.r.a. ­12 0,25 1 / 2 0,25 12 ° Ÿ Ÿ 6 0,666 / M °M ° 9 3) ® °Ÿ M x 0,25 12 x 6 Ÿ M x 0,25 ° 9 ° ¯

17) (E.E.Aer) A terceira proporcional entre os números 5 e 6 é: a) 0,5

2,25 Ÿ x

e) n.r.a.

72 1 Ÿ xM 8Ÿ M 9 2

8 Ÿ M 8 x 2 Ÿ M 16 1 2

4) a

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

18

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

19

­x  y °° 3  2 5) ® °x  y °¯ 3  2

x 5 Ÿ 3 1 y 5 Ÿ 2 1

­x  y °° x 6) ® °x  y ¯° y

2  3 10 Ÿ 2 x 2  3 10 Ÿ 3 y

­ ° ° °um ângulo o D ° q °complement o o 90  D °° 11) ®sup lemento o 180q  D ° q 1 ° 90  D Ÿ 1 x §¨180q  D ·¸ 3 x §¨ 90q  D ·¸ Ÿ 180q  D 270q  3D Ÿ ° q D 3 © © ¹ ¹ 180 ° ° q °Ÿ D  3D 270q  180q Ÿ 2D 90q Ÿ D 90 Ÿ D 45q 2 ¯°

x Ÿ x 15 3 y Ÿ y 10 2 20 5 Ÿ 5 x x 10 x 2 Ÿ 5 x x 20 Ÿ x Ÿx 4 5 2 30 5 Ÿ 5 x y 10 x 3 Ÿ 5 x y 30 Ÿ y Ÿy 6 5 3

­x y ° 7 3 e x x y 189 ° °x x y x2 189 x 2 49 x 189 Ÿ Ÿ 21 x x 2 49 x 189 Ÿ x 2 Ÿ ° 2 x 21 49 7 3 21 ° 7 ° 2 441 Ÿ x 2 ° 441 Ÿ x 21 7) ®Ÿ x ° 2 2 x x y y y 9 x 189 189 ° Ÿ Ÿ 21 x y 2 9 x 189 Ÿ y 2 Ÿ °7x3 2 21 9 21 3 ° ° 2 81 Ÿ y 2 81 Ÿ y 9 °Ÿ y °¯O valor de x - y 21 - 9 12

3 ­a 3 °b 8 Ÿ a 8 x b ° °b  2a 42 Ÿ b  2 x 3 x b 42 Ÿ b 42 Ÿ b  6 x b 42 Ÿ ° 8 8 ° 168 42 4b  3b 168 ° b 3 12) ®Ÿ  x b Ÿ Ÿ 7b 168 Ÿ b Ÿb 7 1 4 4 ° 1 4 72 3 3 ° °a 8 x b Ÿ a 8 x 24 Ÿ a 8 Ÿ a 9 ° °R : O maior número é 24 ¯°

­a 3 ° b 2 e a - b 10 ° ° a  b 3  2 Ÿ 10 1 Ÿ a 30 ° a 3 a 3 8) ® ° a  b 3  2 Ÿ 10 1 Ÿ b 20 ° b 2 b 2 ° 30 °R : A fração equivalente é 20 ¯

­ água o y x  y 760 °álcool o x ° 760 19 ° x  y 14  5 Ÿ Ÿ 19 x x 760 x 14 Ÿ 19 x x ° 9) ® x 14 x 14 ° x  y 14  5 760 19 Ÿ Ÿ 19 x y 760 x 5 Ÿ 19 x y ° y 5 y 5 ° °¯R : O número de litros de álcool é de 560 litros. 10)

x 3 x 1

5 Ÿ 6x  3 5x  1 Ÿ 6 x  18 5x  5 Ÿ 6x  5x 6

CopyMarket.com

­a  b  c °7  5  2 ° °a  b  c 13) ® °7  5  2 °a  b  c °7  5  2 ¯

x y

3.800 Ÿ y

5  18 Ÿ x

10.640 Ÿ x 560 19 3.800 Ÿ y 200 19

23

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

420 a Ÿ 10 x a 60 x 7 Ÿ 10a 420 Ÿ a Ÿ a 42 10 7 300 b Ÿ 10 x b 60 x 5 Ÿ 10b 300 Ÿ b Ÿ b 30 10 5 120 c Ÿ 10 x c 60 x 2 Ÿ 10c 120 Ÿ c Ÿ c 12 10 2

­ ° x  y  z 101.500 ° °x 2 x y Ÿ y 5 x x ° 5 2 ° 3 4 °x xzŸz xx 4 3 ° °° 6 x  15 x  8 x 6 x 101.500 5 4 14) ® x  x  x 101.500 Ÿ Ÿ 6 6 2 3 ° 609.000 ° Ÿ x 21.000 °29 x 609.000 Ÿ x 29 ° ° y 5 x x Ÿ y 5 x 21.000 Ÿ y 52.500 ° 2 2 ° ° z 4 x x Ÿ z 4 x 21.000 Ÿ z 28.000 °¯ 3 3

14 5 10.640 Ÿ x

a 60 Ÿ 7 10 60 b Ÿ 5 10 60 c Ÿ 2 10

24

20

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

21

15) a)

1 2

1 b) 2 1 3 0,1 c) 2

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

5 Ÿ x 10 x 1 4 Ÿ 1xx x 2

1 1 1 x Ÿ xx 3 4 2

1 2 Ÿ 0,1 x x x

2x

1 Ÿx 12

1 1 Ÿ xx 2 10

1 12 Ÿ x 1 2

1 2 x Ÿx 12 1

1 Ÿx 1 10

1Ÿ x

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

1 6

3. Grandezas Proporcionais e Divisão Proporcional Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

10

1. Introdução 16) a)

2 3

2 b) 1 2

1 c) 2 1 5

3 Ÿ 2x x

9Ÿx

1 2 Ÿ 2x x

9 2

1 1 x Ÿ 2x 2 2

1 5 Ÿ 1 xx x 2

Ocorrem no dia-a-dia situações que envolvem números tais como: tempo; espaço; velocidade; pressão; massa; volume; salário; horas de trabalho; número de empregados etc. A cada uma dessas situações mencionadas acima chamamos de grandeza. 1 Ÿx 4

1 1 1 x Ÿ xx 5 5 2

1 4 Ÿx 2

1 Ÿx 25

1 1 x Ÿx 4 2

1 25 Ÿ x 1 2

Assim, o número de horas de viagem realizado por um automóvel depende da sua velocidade e do espaço a ser percorrido.

1 8

1 2 x Ÿx 25 1

As grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.

2. Grandezas diretamente proporcionais

2 25

2.1. Definição Uma grandeza A é proporcional a uma grandeza B, quando as razões entre os elementos de A e os seus correspondentes valores em B for uma constante, isto é, sendo A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2; b3;...; bn), então:

K

a1 b1

a2 b2

a3 b3

....

an bn

K é denominado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade; Exemplo: Sejam as sucessões de números (3; 4; 5; 6) e (6; 8; 10; 12)

K

3 6

1 2

K

4 8

1 2

K

Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

22

CopyMarket.com

5 10

1 2

K

6 12

1 2

1 . 2

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

23

2) Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.

3. Grandezas inversamente proporcionais Solução: 3.1. Definição Uma grandeza A é inversamente proporcional a uma grandeza B, quando o produto de todos os elementos de A com os seus correspondentes em B for uma constante, isto é, se A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2; b3;...; bn), então:

x y x  y 60 ­° °23 Ÿ x y ® °x  y 2 3 °¯ 2  3

x 60 Ÿ 2 5 60 y Ÿ 3 5

x Ÿ 5 x 120 Ÿ x 24 2 y Ÿ 5 y 180 Ÿ y 36 3

K = a1 ˜ b1 = a2 ˜ b2 = ... = an ˜ bn Exemplo:

3) Divida o número 20 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.

1) Sejam as sucessões de números (1; 2; 4; 5) e (20; 10; 5; 4):

Solução:

K = 1 ˜ 20 = 20 K = 2 ˜ 10 = 20 K = 4 ˜ 5 = 20 K = 5 ˜ 4 = 20

x y x 1 2

Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é 20.

20 y 1 3

­x y °1 1 °  °2 3 Ÿ® °x y °1 1 °¯ 2  3

20 x Ÿ 1 3 2 2 6 20 y Ÿ 1 3 2 3 6

20 ˜ 6 20 x x 2 x Ÿ 24 2 x Ÿ x 12 Ÿ Ÿ 1 5 1 5 2 6 2 20 ˜ 6 24 y 3 y Ÿ 24 3 y Ÿ y Ÿ Ÿy 8 1 5 3 3

Exercícios resolvidos 4) Divida o número 56 em partes proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo proporcional a 1 e 4. 1) Verifique se as seqüências de números abaixo são diretamente ou inversamente proporcionais. Solução: a) (2; 4; 5) e (6; 12; 15)

x Ÿ 2 x1 2 x Ÿ 3 x 4 12

Solução: Sendo K o fator de proporcionalidade mostraremos que a razão é uma constante.

K

2 6

4 12

5 15

x y 2 12 x  y 56

1 3

Logo, são diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é

x y x 2  12 2 112 56 x Ÿ 14 x 56 x 2 Ÿ x Ÿx 8 14 14 2 x y y 2  12 12 56 x 12 56 y Ÿ 14 y 56 x 12 Ÿ y Ÿy 14 14 12

1 . 3

b) (1; 4; 10) e (20; 5; 2) Solução: K = 1 ˜ 20 = 4 ˜ 5 = 10 ˜ 2 = 20 Logo, são inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade é 20.

48

5) Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 4. Solução :

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

24

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

25

1 1 3 3 1 1 y Ÿ 2x 4 2

x Ÿ 1x

x y x 1 3

60

y 1 2

4) (E.E.Aer) Dividir 150m de seda em duas porções proporcionais aos números 2 e 3: a) 40m e 110m c) 50m e 100m e) n.r.a. b) 45m e 105m d) 60m e 90m

­x y °1 1 °  °° 3 2 Ÿ® °x y ° °1  1 ¯° 3 2

60 x 6 x Ÿ 1 5 3

60 x Ÿ 1 5 3 6 y 60 Ÿ 1 23 2 6

72 Ÿx 3

3 x Ÿ 72 3 x Ÿ x

y 60 x 6 Ÿ 1 5 2

2y Ÿ

360 5

5) (CPFO) Dividindo-se 306 em partes diretamente proporcionais a 2; 5 e 11 resulta, respectivamente: a) 34; 119; 153 c) 153; 61,2; 27,8 e) n.r.a. b) 34; 85; 187 d) 80; 100; 126 6) Dividir o número 60 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.

24

2 y Ÿ 72 2 y Ÿ y

72 Ÿy 2

7) (FAAP) Dividir 64 em partes inversamente proporcionais aos números

5 3 e . 4 4

8) (Banco do Brasil) O lucro de determinada empresa foi dividido entre seus três sócios, na proporção de 3; 5 e 9. Sabendo que o segundo sócio recebeu R$ 40.000,00 a mais do que o primeiro, perguntase qual foi o lucro total da empresa e quanto coube a cada um dos sócios.

Exercícios de fixação 1) A tabela abaixo relaciona o valor de uma máquina em dólares com o tempo decorrido, em anos, após sua fabricação:

Valor (US$)

36

0 18.500

Tempo após a fabricação (anos) 1 2 3 18.000 17.500 17.000

4 16.500

9) (Banco do Brasil) A quantia de R$ 20.650,00 foi dividida entre duas pessoas, sendo que a primeira recebeu na razão direta de 8 e na razão inversa de 3 e a segunda pessoa recebeu na razão direta de 9 e na razão inversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa? 10) (Banco do Brasil) A importância de R$ 684.000,00 foi dividida entre duas pessoas. Sabendo que a primeira recebeu na razão direta 7 e de 3 e que a segunda recebeu na razão direta de 9 e 4, calcular a parte de cada uma.

De acordo com a tabela, é verdade que: a) O tempo decorrido de fabricação é diretamente proporcional ao valor; b) O valor é inversamente proporcional ao tempo decorrido após a sua fabricação. c) O tempo de fabricação e o valor são duas grandezas diretamente proporcionais; d) O decréscimo anual do valor da máquina é inversamente proporcional ao tempo decorrido após a sua fabricação. e) n.r.a.;

11) (TTN) Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo 2 4 4 2 tempo diretamente proporcionais a e e inversamente a e . Quantas balinhas cada 3 7 9 21 criança receberá? 12) Dados os gráficos cartesianos:

2) (PUC) Se (2; 3; x) e (8; y; 4) são duas sucessões de números diretamente proporcionais, então: a) x = 1 e y = 6 c) x = 1 e y = 12 e) n.r.a. b) x = 2 e y = 12 d) x = 4 e y = 2

I)

II)

y

III)

y

y

3) Duas grandezas, velocidade e tempo, estão relacionadas conforme a tabela: Vm (m/s) t (s)

10 20

20 10

25 8

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

x

Aqueles que indicam, respectivamente, que y é diretamente proporcional a x; que y é inversamente proporcional a x; e que só a variação de y é proporcional a variação de x são:

a) Essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? b) Qual é a constante de proporcionalidade? c) Construir o gráfico da velocidade em função do tempo. CopyMarket.com

x

x

40 5

a) III; I; II b) II; III; I 26

CopyMarket.com

c) I; III; II d) III; II; I

e) n.r.a.

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

27

9) Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltas foram 1; 2; 2; 3 e 5? 10) Divida o número 44 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 5, respectivamente.

Exercícios propostos 1) (PUC) Para que as sucessões (9; x; 5) e (y; 8; 20) sejam diretamente proporcionais, isto é, para que se 9 x 5 , os valores de x e y devem ser respectivamente: verifiquem a igualdade y 8 20 1 1 c) 2 e 5 d) 5 e 35 e) n.r.a. a) 2 e 36 b) e 4 5

2) (F. Carlos Chagas) Se as seqüências (a; 2; 5) e (3; 6; b) são de números inversamente proporcionais e a + m ˜ b = 10, então m é igual a: a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0 d) 2,5 e) 5,0 3) Duas grandezas, espaço e tempo, estão relacionados conforme a tabela abaixo: s (m) t (s)

40 2

60 3

80 4

Responda as perguntas abaixo:

a) Essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? b) Qual a constante de proporcionalidade? c) Esboçar o gráfico do espaço em função do tempo.

respectivamente: a) 130; 220; 110 b) 120; 180; 360

c) 360; 180; 120 d) 330; 220; 110

5 ­9 x ° y 8 20 ° °9 5 9 1 Ÿ Ÿ y 9 x 4 Ÿ y 36 ° 1) ® y 20 y 4 °x 5 ° Ÿ 20 x x 8 x 5 Ÿ 20 x x 40 Ÿ x ° 8 20 °A alternativ a correta é a ¯

40 ŸX 20

2

­3a 2 x 6 5b ° °3a 12 Ÿ a 12 Ÿ a 4 3 ° ° 12 2) ° ®12 5b Ÿ b 5 ° 12 ° a mb 10 4mx  Ÿ 10 Ÿ 20  12m 50 Ÿ 12m 30 Ÿ m ° 5 ° °¯A alternativa correta é a d

100 5

4) (Mack) Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos números

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1 1 1 , e , obtém-se 2 3 6

e) n.r.a.

30 Ÿm 12

5 2

3) a) essas grandezas são diretamente proporcionais b) k

vm

c)

's 't

40 2

60 3

80 4

100 5

20

km h

s(m) 60

5) (Osec) A importância de R$ 780.000,00 deve ser dividida entre os três primeiros colocados de um concurso, em partes diretamente proporcionais aos pontos conseguidos por eles, que são 50; 43 e 37, respectivamente. Determinar a importância que caberá a cada um.

40

6) Dividir o número 40 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3. 2 3

7) (FEI) Dividir 46 em partes inversamente proporcionais a 1 e 1,3.

t(s)

8) (Banco do Brasil) Distribua 192 bolas entre quatro crianças, de tal modo que a segunda receba 15 bolas a mais do que a primeira, a terceira 6 bolas a mais que a segunda, e a quarta, 11 a mais que a terceira. CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

28

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

29

­x  y  z 660 ° °x y z °1 1 1 °2 3 6 ° 660 660 x 6 660 x °xyz 2x Ÿ 2x Ÿ x Ÿ Ÿ x 330 °1 1 1 1 3  2 1 6 2 °   6 4) °® 2 3 6 2 y 660 660 °xyz 3y Ÿ y Ÿ Ÿ y 220 °1 1 1 1 6 3   ° 6 °2 3 6 3 660 660 x 6 660 z z °xyz 6z Ÿ z Ÿ Ÿ Ÿ z 110 °1 1 1 1 3  2 1 1 6 6 °   6 6 °2 3 6 6 °¯A alternativ a correta é a d

­x  y  z 780.000 ° y z °x ° 50 43 37 ° xyz x 780.000 ° Ÿ 130 ° 50  43  37 50 °°Ÿ x 300.000 5) ® y 780.000 ° xyz Ÿ ° 50  43  37 43 130 °Ÿ x 258.000 ° ° xyz z 780.000 Ÿ ° 130 ° 50  43  37 37 °¯Ÿ z 222.000 ­x  y 40 ° °x y °1 1 °2 3 ° ° x 40 6) ® x  y Ÿ 3 2 °1  1 1 °2 3 2 6 ° ° x  y y Ÿ 40 3 2 °1 1 1 °¯ 2  3 3 6

CopyMarket.com

­a  b 46 ° b a b °a Ÿ 1 1 10 °1 ° 1 1,3 1 13 ° ° ab 46 x 13 46 a a 7) ® Ÿ Ÿ a Ÿ a 26 13  10 1 23 ° 1  10 1 ° 1 13 13 ° 13b 46 x 13 13b 13 46 b ° ab Ÿ Ÿ Ÿ xb ° 1 10 10 13  10 10 23 10 10 ° 1  13 13 13 ¯

x Ÿ 130 x 50

50 x 780.000 Ÿ x

50 x 780.000 Ÿ 130

y Ÿ 130 y 43

43 x 780.000 Ÿ y

43 x 780.000 Ÿ 130

37 Ÿ 130 z

37 x 780.000 Ÿ z

2x Ÿ

40 x 6 5

2x Ÿ 8 x 6

2x Ÿ 2x

3y Ÿ

40 x 6 5

3y Ÿ 8 x 6

3y Ÿ 3y

48 Ÿ x

48 Ÿ y

48 Ÿy 3

­ a  b  c  d  e 152 . 000 °a b c d e ° 1 1 1 1 °1 °1 2 2 3 5 ° a 152 . 000 ° a b  c  d e Ÿ °1 1 30  15  15  10  6 1 1 1 1    °  30 2 2 3 5 1 °1 152 . 000 x 30 ° a a . 60 000 Ÿ Ÿ ° 76 ° °° b a 2 b 60 . 000 Ÿ b 30 . 000 Ÿ 9) ® 1 °2 ° °c a Ÿ 2 c 60 . 000 Ÿ c 30 . 000 °1 ° 2 ° °d a Ÿ 3 d 60 . 000 Ÿ d 20 . 000 °1 ° °3 °e a Ÿ 5 e 60 . 000 Ÿ e 12 . 000 ° °1 ¯° 5

24

16

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

26 x 10 Ÿb 13

20

­a  b  c  d 192 ° °b a  15 °c b  6 Ÿ c a  15  6 Ÿ c a  21 ° °d c  11 Ÿ d a  21  11 Ÿ d a  32 °a  a  15  a  21  a  32 192 Ÿ 4a  68 192 Ÿ ° 8) ® 124 31 °Ÿ 4a 192  68 Ÿ 4a 124 Ÿ a 4 ° °b a  15 Ÿ b 31  15 Ÿ b 46 °c b  6 Ÿ c 46  6 Ÿ c 52 ° °d c  11 Ÿ d 52  11 Ÿ d 63 ° ¯R : As crianças vem receber respectivamente : 31 bolas; 46 bolas; 52 bolas; 63 bolas

37 x 780.000 Ÿ 130

48 Ÿx 2

26 Ÿ b

30

CopyMarket.com

aŸ

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

31

­a  b 44 ° °a o 1 x 1 ° 3 ° °b o 2 x 1 °° 5 10) ® a  b a ° °1  2 1 °3 5 3 °ab b ° 2 °1  2 °¯ 3 5 5

1½ 3 °° a ¾ 2° 1 5 °¿ 3 44 56 15 44 Ÿ 56 15

Ÿ

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

b 2 5 3a Ÿ

44 x 15 11

5 44 x 15 xb Ÿ 2 11

3a Ÿ 60

3a Ÿ a

5 x b Ÿ 60 2

60 Ÿa 3

5 xb Ÿ b 2

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

20

60 x 2 Ÿb 5

4. Regra da Sociedade Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 24

1. Introdução Entendemos por regra de sociedade um grupo de pessoas que se reúnem, cada qual tendo um capital para ser aplicado por um período de tempo, numa atividade comercial podendo ocorrer lucros ou prejuízos. Os problemas de regra de sociedade serão resolvidos através das aplicações dos casos de divisões em partes diretamente proporcionais.

2. Casos de Regra de Sociedade 1o ) Capitais iguais e tempos diferentes Neste caso, o lucro ou prejuízo da sociedade será dividido em partes diretamente proporcionais aos tempos de permanência dos sócios. Exemplo: 1) Três pessoas formam uma sociedade permanecendo o primeiro durante 12 meses, o segundo 8 meses e o terceiro 6 meses. Quanto ganhou cada um, se a sociedade apresentou um lucro de R$ 260.000,00? Solução: a + b + c = 260.000 a b c 12 8 6

Aplicando a propriedade das proporções teremos: abc a b c 260.000 a b c 12  8  6 12 8 6 26 12 8 6

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

32

260.000 26

a Ÿ 26a 12 ˜ 260.000 Ÿ a 12

12 ˜ 260.000 Ÿ a 120.000 26

260.000 26

b Ÿ 26b 12 ˜ 260.000 Ÿ b 8

8 ˜ 260.000 Ÿ b 80.000 26

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

33

260.000 26

c Ÿ 26c 6 ˜ 260.000 Ÿ c 6

6 ˜ 260.000 Ÿ c 60.000 26

Solução: a + b + c = 22.200 a b 1.200 ˜ 15 800 ˜ 18

R.: O primeiro sócio recebeu R$ 120.000,00; o segundo R$ 80.000,00 e o terceiro R$ 60.000,00.

c 1.000 ˜ 12

2o) Tempos iguais e capitais diferentes

Aplicando a propriedade das proporções teremos:

O lucro ou prejuízo será dividido em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios: Exemplo: 1) Quatro pessoas formam uma sociedade de R$ 50,00; R$ 60,00; R$ 75,00 e R$ 25,00 respectivamente. No fim de certo tempo, a sociedade apresentou um lucro de R$ 840,00. Quanto coube a cada sócio? Solução: a + b + c + d = 840 a b c d 50 60 75 25

abc a b c 18.000  14.400  12.000 18.000 14.400 12.000 22.200 a b c 44.400 18.000 14.400 12.000 22.200 a 1 a 18.000 Ÿ Ÿ 2a 18.000 Ÿ a Ÿ a 9.000 44.400 18.000 2 18.000 2 22.200 b 1 b 14.400 Ÿ Ÿ 2b 14.400 Ÿ b Ÿ b 7.200 44.400 14.400 2 14.400 2 22.200 c 1 c 12.000 Ÿ Ÿ 2c 12.000 Ÿ c Ÿ c 6.000 44.400 12.000 2 12.000 2

Aplicando a propriedade das proporções teremos: abcd a b c d 50  60  75  25 50 60 75 25 840 a b c d 210 50 60 75 25 840 a 42.000 Ÿ 210a 50 x 840 Ÿ 210a 42.000 Ÿ a Ÿ a 200 210 50 210 840 b 50.400 Ÿ 210b 60 x 840 Ÿ 210b 50.400 Ÿ b Ÿ b 240 210 60 210 840 c 63.000 Ÿ 210c 75 x 840 Ÿ c Ÿ c 300 210 75 210 840 d 21.000 Ÿ 210d 25 x 840 Ÿ 210d 21.000 Ÿ d Ÿ d 100 210 25 210

Exercícios de fixação

3o) Tempos diferentes e capitais diferentes

4) “A”, ”B” e ”C” formaram uma sociedade, o sócio “A” entrou com o capital de R$ 2.000,00, sócio “B” com R$ 1.500,00 e o sócio “C” R$ 1.200,00 e tiveram um prejuízo de R$ 12.000,00. Sabendo que “A” ficou na sociedade 4 meses, “B” 8 meses, “C” 6 meses, qual foi o prejuízo de cada um?

1) Três pessoas desejam formar uma sociedade, entrando o primeiro com o capital de R$ 1.200,00, o segundo com R$ 800,00 e o terceiro com R$ 1.000,00. Calcule o lucro de cada sócio, sabendo que o lucro total da empresa foi de R$ 6.000,00. 2) Dois sócios ao constituírem uma sociedade entraram, respectivamente, com os capitais de R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00. Na divisão do lucro, o segundo recebeu R$ 600,00 a mais que o primeiro. Quanto recebeu cada sócio? 3) Três pessoas formaram uma sociedade, o primeiro sócio permanece 2 meses, o segundo 3 meses, o terceiro 5 meses. Sabendo que o lucro total foi de R$ 6.000,00, calcule o lucro de cada sócio.

Os lucros ou prejuízos serão divididos em partes diretamente proporcionais aos produtos do tempo pelo capital respectivo de cada sócio. Exemplo: 1) Uma empresa teve lucro de R$ 22.200,00. O primeiro sócio empregou R$ 1.200,0 durante 1 ano e 3 meses, o segundo sócio R$ 800,00 por 1 ano e meio; o terceiro sócio R$ 1.000,00 durante 1 ano. Qual foi o lucro de cada sócio?

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

34

5) (Banco do Brasil) Na constituição de uma sociedade, o sócio A entrou com R$ 51.000,00; B com R$ 85.000,00; C com R$ 153.000,00 e o D com R$ 221.000,00. Ao ser distribuído o lucro final do exercício, proporcionalmente às cotas do capital de cada sócio, D recebeu de lucro R$ 1.200,00. Calcule o lucro total e a parcela que coube a A; B e C.

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

35

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

6) Três sócios A; B; C investiram R$ 9.000,00 num negócio que deu de lucro R$ 12.000,00. O sócio A 1 1 entrou do capital, B entrou com do capital e C com o restante. 2 3 Determinar a parte do lucro que cabe ao sócio B.

Exercícios propostos 1) Uma sociedade constituída por duas pessoas obteve R$ 1.800,00 de lucro total. O primeiro sócio entrou com um capital de R$ 300,00, o segundo sócio com R$ 600,00. Qual o lucro que coube a cada sócio? 2) Três pessoas formaram uma sociedade, o primeiro entrou com o capital de R$ 1.200,00, o segundo com R$ 1.500,00, o terceiro com R$ 2.000,00. Ao fim de 1 ano resolveram desfazer a sociedade, pois havia acumulado um prejuízo de R$ 6.000,00. Calcular o prejuízo de cada sócio. 3) Repartir o lucro de R$ 6000,00 entre dois sócios de uma empresa, sabendo que o primeiro aplicou R$ 1.000,00 na sociedade durante 2 meses e que o segundo aplicou R$ 1.500,00 durante 4 meses. 4) (TTN) Dois sócios lucraram com a dissolução da sociedade e devem dividir entre si o lucro de R$ 28.000,00. O sócio A empregou R$ 9.000,00 durante 1 ano e 3 meses e o sócio B empregou R$ 15.000,00 durante 1 ano. Calcule o lucro do sócio A. 5) Um prêmio de R$ 900,00 deve ser distribuído entre três pessoas de modo que a segunda receba o dobro da primeira e a terceira o triplo da segunda. Quanto a segunda recebeu? 6) (Banco do Brasil) Em uma certa sociedade, os capitais de A e B estão entre si como 3 está para 5. Sabendo-se que esses capitais estiveram aplicados durante 15 e 18 meses, respectivamente, e que a sociedade teve prejuízo de R$ 311.100,00, calcular o prejuízo de cada sócio.

­a  b 1.800 ° a b ° ° 300 600 ° ab a b ° ° 300  600 300 600 1) ® a °1.800 Ÿ 900a 300 x 1.800 Ÿ 900a ° 900 300 °1.800 b ° Ÿ 900b 600 x 1.800 Ÿ 900b ° 900 600 °Ÿ b 1.200 ¯

540.000 Ÿa 900 1.080.000 1.080.000 Ÿ b 900 540.000 Ÿ a

­a  b  c 6.000 ° b c ° a °1.200 1.500 2.000 ° abc a b c ° °°1200  1500  2000 1.200 1.500 2.000 2) ® 6000 1200 x 6000 a Ÿ a 1.531,91 ° 4700 1200 Ÿ 4700a 1200 x 6000 Ÿ a 4700 ° b 1500 x 6000 ° 6000 Ÿ a 1.914,89 ° 4700 1200 Ÿ 4700b 1500 x 6000 Ÿ b 4700 ° c 2000 x 6000 ° 6000 Ÿ 4700c 2000 x 6000 Ÿ c Ÿ a 2.553,19 °¯ 4700 2000 4700

­a  b 6000 ° b a b ° a Ÿ °1000 x 2 1500 x 4 2000 6000 ° 3) ® 6000 ab a a ° 2000  6000 2000 Ÿ 8000 2000 Ÿ 8a 6 x 2000 Ÿ a ° b 36000 ° 6000 Ÿ a 4.500 °¯ 8000 6000 Ÿ 8b 6 x 6000 Ÿ a 8

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

36

600

CopyMarket.com

12000 Ÿa 8

1.500

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

37

­a  b 28.000 ° a b a b ° Ÿ ° 9.000 x 15 15.000 x 12 135.000 180.000 ° ab a a 28.000 28 ° Ÿ Ÿ 315.000 135.000 315 °°135.000  180.000 135.000 4) ® 28 x 135.000 Ÿ a 12.000 °Ÿ 315a 28 x 135.000 Ÿ a 315 ° b b 28 ° 28.000 ° 315.000 180.000 Ÿ 315 180.000 Ÿ ° °Ÿ 315b 28 x 180.000 Ÿ a 28 x 180.000 Ÿ a 16.000 °¯ 315

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

a Ÿ 135.000

5. Regra de Três Simples Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução São problemas onde relacionamos duas grandezas podendo ser diretamente ou inversamente proporcionais. Para solução dos mesmos consiste em formar com três valores conhecidos e a incógnita procurada, uma proporção e dela tiramos o valor desejado.

­a  b  c 900 °b 2a ° °c 6a ° 5) ® 900 Ÿa °a  2a  6a 900 Ÿ 9a 900 Ÿ a 9 ° 2 Ÿ 2 x 100 Ÿ 200 b a b b ° °R : A segunda pessoa recebeu R$ 200,00 ¯

2. Tipos de grandezas. 2.1. Grandezas diretamente proporcionais 100

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas, a outra grandeza aumenta ou diminui na mesma razão. Exemplo: 1) Um automóvel fez 120Km com 10 litros de gasolina. Quantos litros de gasolina esse automóvel gastaria para percorrer 200Km?

3 c c2 ­ c1 3 Ÿ 1 Ÿ c1 x c2 °c 5 3 5 5 ° 2 °p1  p2 311.100 ° p2 311.100 ° p1 p2 Ÿ p1  p 2 p2 Ÿ 311.100 Ÿ ° c1 c 2 3 8 c c c c  1 2 2 2 6) ® x c2  c2 x c2 5 5 ° ° 311.100 x 5 Ÿ p 2 194.437,50 °Ÿ p2 8 ° °p1  p2 311.100 Ÿ p1  194.437,50 311.100 Ÿ ° ¯Ÿ p1 311.100  194.437,50 Ÿ p1 116.662,50

Distância 120 200 p2 Ÿ c2

120 200

10 Ÿ 120 x x

litros de gasolina 10 x

200 x 10 Ÿ 120 x

2000 Ÿ x

2000 Ÿx 120

16,66 litros de gasolina

2.2. Grandezas inversamente proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando - se uma delas, a outra diminui na mesma razão que a primeira aumentou e vice-versa. Exemplo: 1) Um ônibus com a velocidade 60Km/h percorre a distância entre duas cidades em 3h. Que tempo levará, se aumentar a velocidade média para 90Km/h? velocidade média 60 90

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

38

CopyMarket.com

tempo 3 X

velocidade média 60 90

tempo x 3

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

39

60 90

x Ÿ 90 x 3

60 x 3 Ÿ 90 x

180 Ÿx 90

180 Ÿ x

Exercícios de fixação

2h

1) (ETF-SP) Uma pessoa ingere em um dia 1,5 L de água. Em 15 dias, ingerirá: a) 30 L b) 22,5 L c) 20 L d) 27,5 L e) n.r.a.

Exercícios resolvidos

2) Um operário constrói um muro em 10 dias trabalhando 8h por dia. Quanto tempo leva o mesmo operário para construir o mesmo muro trabalhando 10h por dia?

1) Se 4 operários tecem 200m de tecido por dia, quantos metros tecerão 6 operários? Solução: Indicando por x a quantidade de metros que tecerão os 6 operários, temos a seguinte disposição prática: no de operários 4 6

metros de tecido 200 x

Se 4 operários tecem 200m, mais a operários tecerão mais metros. Nesse exemplo as grandezas são: número de operários e metros de tecido, assinalamos essa variação na disposição prática, através de flechas do mesmo sentido. A proporção resultante será: 4 6

200 Ÿ 4x x

200 x 6 Ÿ 4 x

1200 Ÿ x

1200 Ÿx 4

3) Duas rodas dentadas, engrenadas uma na outra, têm respectivamente 16 e 32 dentes. Quantas voltas dará a menor, enquanto a maior dá 10? 4) (ETF-SP) Para ladrilhar o piso de uma cozinha de 8,5m2 de área, foram empregadas 250 lajotas de cerâmica. O número de lajotas iguais necessário para ladrilhar uma garagem retangular com 5m de comprimento e 2,72, de largura é? a) 40 b) 340 c)390 d)400 e)460 5) (ETF-SP) Num livro de 192 páginas, há 32 linhas em cada página. Se houvesse 24 linhas por página, o número de páginas do livro seria: a) 256 b) 144 c) 320 d) 240 e) 128

300m

Resposta: 6 operários tecerão 300 metros de tecido. 2) Seis operários levam 12 dias para executar uma obra, 4 operários, em quanto tempo farão o mesmo trabalho? no de operários 6 4

6) (ETF-SP) Um piloto dá uma volta completa no circuito em 1min 35seg. Para completar 54 voltas, ele levará em média: a) 1h 25min 30seg. b) 1h 31,5min. c) 1h 31min. d) 31,5min. e) 315min. 7) (ESA) Um automóvel gasta 10 litros de combustível para percorrer 65Km. Num percurso de 910Km a quantidade consumida em litros de combustível será de: a)1,4 b) 14 c) 140 d) 240 e) 1400

dias 12 x

É óbvio que 6 operários levam 12 dias, menos operários demorarão mais dias para a execução da obra. Como o tempo necessário para realizar o trabalho é inversamente proporcional ao número de operários empregados, indicamos essa variação com flechas de sentidos opostos. Invertendo a primeira razão § 4 · , para que as flechas fiquem com o mesmo sentido, e teremos a seguinte proporção: ¨ ¸

8) Uma torneira jorra 1.035,5 litros de água por hora e enche certo reservatório em 12h. Determine em quanto tempo outra torneira, que jorra 20 litros por minuto, encheria o mesmo reservatório.

©6¹

no de operários 4 6 4 6

12 Ÿ 4x x

9) Um relógio atrasa 1min.10seg. em 10h de funcionamento. Quanto atrasará em 2 dias?

dias 12 x 12 x 6 Ÿ 4 x

72 Ÿ x

72 Ÿx 4

10) Uma fábrica tem y de homens para execução de um trabalho em d dias, tendo contratado mais r homens para executar o mesmo trabalho. Em quantos dias o trabalho estará executado? d r d r yd d yd a) dias b) dias c) dias. dias d) dias e) y yr yr ry dy

18dias

Resposta: 4 operários executaram a obra em 18 dias

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

40

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

41

Exercícios propostos

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Uma pessoa datilografa um trabalho, com 42 toques por minutos, em 2h. Quantos toques por minuto seriam necessários para essa pessoa realizar o mesmo trabalho em 6h? 2) Qual o tempo gasto por 2 homens para executar um trabalho que 4 homens, nas mesmas condições, executam em 10 dias? 3) Um ônibus com a velocidade de 80Km/h vai da cidade A até a cidade B em 2h. Nas mesmas condições e com a velocidade de 100Km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma distância?

1) n º de toques

h

42

2

x

6

42 x

2)

4) (E.E.Aer-) A roda maior de uma engrenagem tem 75cm de raio e dá 900 voltas, enquanto a roda menor dá 1500 voltas. Qual é o raio da roda menor? 5) (UDF) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m2 em 3h de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900m2? a) 7 h. b) 5 h. c) 9 h. d) 4 h. e) n.r.a 6) Uma turma de operários executa um trabalho, cujo coeficiente de dificuldade é 0,1, em 10 dias. Em quantos dias essa mesma turma faria um outro trabalho cujo coeficiente de dificuldades fosse 0,15?

asfaltarem

3 5

2 3

de uma determinada estrada . Para se

dessa mesma estrada, são necessários:

a) 7 dias e 12 h.

b) 15 dias

c) 20 dias

d) 22 dias e 12h.

10

2

x

4

x

2

10

Vm

h

80

2

100

x

40 Ÿx 2

40 Ÿ x

80

x

100

2

80 100

x Ÿ 10 x 2

4)

Raio

252 Ÿ x

252 Ÿx 2

126

dias

4

3)

16 Ÿ x

1,6h Ÿ x

20

1h 36min

e) 45 dias

2 da anterior, faria o mesmo percurso em? 5

10) Um acampamento com 10 soldados dispõem de víveres para 3 meses. Tendo chegado mais 20 soldados ao acampamento, por quanto tempo estará abastecido o acampamento? x 75 CopyMarket.com

horas

x Ÿ 2x 10

9) (CPFO-) Um motociclista fez o percurso de 40Km entre duas cidades em 35 minutos. Se sua velocidade fosse igual a

42 x 6 Ÿ 2x

4 2

7) (ETF-SP) A cantina da escola possuía um estoque de “hamburguer” a ser vendido a 1800 alunos durante 15 dias. Tendo havido uma greve no metrô, alguns alunos faltaram e o estoque de “hamburguer” se tornou suficiente para mais 5 dias. O número de alunos faltosos foi de: a) 1350 b) 900 c) 750 d) 450 e) 350 8) (UFB)São necessários 25 dias para que sejam asfaltados

2 Ÿ 2x 6

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

42

voltas

75

900

x

1500

x

900

75

1500

900 Ÿ 15x 1500

CopyMarket.com

9 x 75 Ÿ x

9 x 75 Ÿx 15

45

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

43

5)

área

hora

5100

3

11900

x

9) Vm

's Ÿ Vm 't Vm

5.100 11.900

6)

3 Ÿ 51x x

3 x 119 Ÿ 51x

coeficiente

357 Ÿ x

357 Ÿx 51

7h

dias

de dificuldade

0,1 0,15

7)

0,1

10

0,15

x

10 Ÿ 0,1x x

10 x 0,15 Ÿ x

alunos

68,57 27,42

10 x 0,15 Ÿx 0,1

1800

15

x

20

x

15 20

x 15 Ÿ 20 x 15 x 1800 Ÿ x 1800 20 1800 - 1350 450 d

25 x

dias

asfalto

25

2 3

x

3 5

2 3 Ÿ 2x 3 3 5

CopyMarket.com

25 x

3 2 Ÿ x 5 3

15 x 1800 Ÿx 20

15 Ÿ 2x

10 30

1350

45 Ÿ x

22,5dias ou x

22dias e 12h

2400 Ÿ Vm 35

68,57km / h

tempo

68,57

7 12

27,42

x

68,57

x

27,42

7 12

7 x Ÿ 2742x 6857 x Ÿ 12 x 2742x 6857 x 7 Ÿ 32.904 x 7 12 12 47.777 Ÿ x 1,46h Ÿ x 1h 27min 36seg 32.904

10) n º de soldados

dias

1800

8)

Ÿx

15dias

40 Ÿ Vm 35 60

tempo

10

3

30

x

10

x

30

3

x Ÿ 30 x 3

30 Ÿ x

47.999 Ÿ

1 mês

d

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

44

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

45

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

(1o Grupo) 2h x 2 x

2 50 4 x Ÿ x 100 3

(2o Grupo) 50 objetos 100 objetos

2 1 42 x Ÿ x 2 3

2 Ÿ 2x 3

6Ÿx

(3o Grupo) 4 dias 3 dias 6 Ÿx 2

3

6. Regra de Três Composta Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

metros de profundidade 160 200

Consideremos o problema abaixo 1) Um operário, trabalhando 2h por dia fabrica 50 objetos em 3 dias. Quantas horas deveria trabalhar para fabricar 100 objetos em 4 dias? Solução: Temos a seguinte disposição prática (1o Grupo) 2h x

2) Na perfuração de um poço de 160m de profundidade, 40 operários levaram 21 dias. Quantos dias 30 operários levariam na perfuração de 200m de um poço igual ?

(2o Grupo) 50 objetos 100 objetos

(3o Grupo) 3 dias 4 dias

no de operários 40 30

dias 21 x

Observando as grandezas acima (profundidade e dias necessários), então essas grandezas são diretamente proporcionais, portanto as flechas devem ter o mesmo sentido . Com relação a número de operários e dias necessários, podemos dizer que essas grandezas são inversamente proporcionais, portanto as flechas devem ter sentidos contrários. Para resolução do problema é necessário que todas as grandezas tenham flechas com o mesmo sentido.

Para resolvermos o problema proposto, comparamos cada grupo de valores com o grupo em que está o x (no exemplo, o 1o grupo), colocando uma flecha de formato diferente das demais para servir como termo de comparação. Nessa comparação devemos observar o grupo a ser analisado com o grupo que tem a variável x, sem a preocupação com os demais grupos.

160 30 x 200 40

160

30

21

200

40

x

21 4 3 Ÿ x x 5 4

21 3 Ÿ x 5

21 Ÿ 3 x x

5 x 21 Ÿ 3 x

105 Ÿ x

105 Ÿx 3

35dias

a) Comparando o 1o grupo com o 2o grupo Se

2h um operário faz x

50 objetos 100 objetos

Exercícios de fixação

Portanto, se em 2h um operário faz 50 objetos, mais objetos para fabricar serão necessários mais horas. Regra de três direta flechas com o mesmo sentido b) Comparando o 1o grupo com o 3o grupo Se

2h um operário faz em x

1) Com 16 máquinas de costura, aprontaram-se 80 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 240 uniformes em 24 dias? 2) Com uma bomba elétrica, eleva-se 2100 litros de água à altura de 6m em 60 min. Quanto tempo empregará essa bomba para elevar 6300 litros à altura de 4m? 3) Se 15 operários fazem uma casa em 12 dias, trabalhando 4h por dia, quantos operários serão necessários para fazer a mesma obra em 8 dias, trabalhando 5h por dia?

3 dias 4 dias

4) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6h por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8h por dia, a estrada será concluída em?

Ora, se em 2h um operário leva 3 dias, mais dias menos horas o operário vai precisar. Regra de três inversa flechas com sentido contrários.

5) Oito pedreiros levantam um muro em 10 dias, trabalhando 6h por dia. Quantas horas por dia devem trabalhar 4 pedreiros para executarem o mesmo serviço em 6 dias?

Para a resolução final do problema, devemos deixar todas as grandezas com o mesmo sentido, e neste exemplo, devemos inverter o sentido da flecha do 3o grupo; antes de formar a proporção: CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

46

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

47

9) Vinte operários, trabalhando 8h por dia, gastaram 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários trabalhando 9h por dia para construir um muro de 225m?

2 de um trabalho foram feitos por 24 operários em 10 dias, trabalhando 7 h. por dia. Em 5 quantos dias poderá terminar esse trabalho, sabendo-se que foram dispensados 4 operários, e os restantes trabalham 6h por dia? 7) Seis operários, trabalhando 3h por dia, durante 2 dias, fazem 10m de muro. Quantos operários serão necessários para fazer 20m de muro, se trabalharem 2h por dia, durante 4 dias?

10) Doze pedreiros constróem 27m2 de um muro em 30 dias, de 8h Quantas horas devem trabalhar por dia 16 operários, durante 24 dias, para construírem 36m2 do mesmo muro?

8) (ESPCEX) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8h por dia. Quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4h por dia?

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

6) Os

9) Doze máquinas, trabalhando 8h por dia, fazem 9000m de tecido, em 15 dias. Considerando quinze máquinas, quantas horas serão necessárias de trabalho por dia para se fazer 6000m de tecido em 10 dias? 10) Dez operários fazem 150m de uma construção em 18 dias de 8h de serviço. operários farão dessa mesma obra em 15 dias, trabalhando 6h por dia?

1)

homens

dias

toneladas

15

30

3,6

20

x

5,6

Quantos metros 20

10

x

3,6

30

3

5,6

Exercícios propostos 1) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se essa equipe for aumentada para 20 homens em quantos dias conseguirá extrair 5,6 toneladas de carvão? 2) Uma equipe de 20 operários escava 640m3 de terra em 8h de trabalho. Para escavar 500m3 em 5h de trabalho, de quantos operários deverá ser acrescida a equipe?

30 x

20 3,6 30 x Ÿ 15 5,6 x

2)

operários

3) Três máquinas operando 8h por dia produzem 4.800 parafusos. Quantos parafusos seriam produzidos por 7 máquinas que operassem 11h por dia? 4) (EPCAR) Certo motor consome 20 litros de óleo girando a 1500 rpm em 5h. Se esse motor funcionar a 1800 rpm durante 3h, qual será o consumo do óleo? 5) (C.N.) Vinte operários constróem um muro em 45 dias, trabalhando 6h por dia. Quantos operários serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8h por dia? 6) Um funcionário, trabalhando 8h por dia, produz 75 relatórios em 9 dias. Para que o mesmo funcionário produza 65 relatórios em 6 dias, é necessário que ele aumente o seu trabalho diário de um tempo correspondente a: a) 3h 56min b) 3h 42min c) 3h 10min d) 2h 50min e) 2h 24min. 7) (CEF-) Numa gráfica, 8 máquinas executaram um certo serviço em 5 dias, trabalhando 5h por dia. Se somente 5 dessas máquinas trabalharem 8h por dia, executarão o mesmo serviço em? a) 3 dias b) 4 dias c) 5 dias d) 6 dias e) 7 dias 8) (Banespa) Um carro percorre 4320km em 5 dias, rodando em média 8h/dia. Quantos dias serão necessários para percorrer 2916km, sabendo-se que a média a ser rodada é de 9h por dia? a) 2 dias b) 3 dias c) 4 dias d) 4,5 dias e) 6 dias

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

48

20 x

72 Ÿ 72 x 84

30 x 84 Ÿ x

m3

35dias

hora

20

640

8

x

500

5

20

640

5

x

500

8

640 5 20 x Ÿ x 500 8

30 x 84 Ÿx 72

3200 Ÿ 3200 x 4000

20 x 4000 Ÿ 3200 x

80.000 Ÿ x

80.000 Ÿx 3.200

25

R: A equipe deverá ser acrescida de 5 operários. 3) máquinas

3 8 x 7 11

horas

parafusos

3

8

4800

7

11

x

4800 24 Ÿ 77 x

CopyMarket.com

4800 Ÿ 24 x x

77 x 4800 Ÿ x

77 x 4800 Ÿx 24

15.400

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

49

4) litros de óleo

20 x

rpm

horas

20

1500

5

x

1800

3

1500 5 20 x Ÿ 1800 3 x

5) n º de

7500 Ÿ 7500 x 5400

20 x 5400 Ÿ 7500 x

108.000 Ÿ x

108.000 Ÿx 7.500

x 5

8

x

5

5

5

8

8 5 x Ÿx 5 8

5

a alternativ a correta é a

c

14,4 litros

8) distância

dias

horas

dias

hora

20

45

6

4320

5

8

x

15

8

2916

x

9

x

45

6

4320

5

9

20

15

8

2916

x

8

operários

x 20

x 45 6 x Ÿ 15 8 20

270 Ÿ 120x 120

20 x 270 Ÿ 120x

5400 Ÿ x

5400 Ÿx 120

5 4320 9 5 38.880 x Ÿ Ÿ 38.880 x x 2916 8 x 23.328 a alternativa correta é a b

45

R: Para construir a terça parte do muro serão necessários 15 operários.

6) hora

relatório

116.640 Ÿ x

116.640 Ÿx 38.880

3dias

dias

9) operários 8

75

9

x

65

6

8

75

6

x

65

9

8 75 6 8 450 x Ÿ Ÿ 450 x x 65 9 x 585 ou x 10h 24min

5 x 23.328 Ÿ 38.880x

8 x 585 Ÿ 450 x

4.680 Ÿ x

4680 Ÿx 450

10,4h

18 x

horas

dias

metros

20

8

18

300

16

9

x

225

16

9

18

300

20

8

x

225

43.200 Ÿ 43.200x 36.000

16 9 300 18 x x Ÿ 20 8 225 x

18 x 36000 Ÿ x

18 x 36.000 Ÿx 36.000

15dias

O funcionário deverá trabalhar 2h 24min a mais por dia. A alternativa correta é a

e 10) pedreiros

7) máquina

dias

dias

hora

hora

8

5

5

5

x

8

CopyMarket.com

m2

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

50

12

27

30

8

16

36

24

x

16

27

24

8

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

51

12

8 x

36

16 27 24 8 x x Ÿ 12 36 30 x

30

10.368 Ÿ 10.368x 12.960

x

8 x 12.960 Ÿ x

8 x 12.960 Ÿx 10.368

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

10h

7. Médias Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução Muitas vezes os professores utilizam a média para calcular as notas bimestrais dos seus alunos. Em estatística a média é utilizada como medida de posição central destacando a média aritmética como uma das medidas de tendência central.

2. Tipos de Médias 2.1. Média Aritmética A média aritmética de vários números é igual ao quociente da soma desses números pelo número de parcelas. Exemplo: Calcular a média aritmética dos números de 2; 4 e 6 é:

ma

246 3

4

2.1. Média Geométrica A média geométrica de vários números é a raiz, de índice igual ao número de fatores, do produto desses números. Exemplo: Calcular a média geométrica dos números 4 e 25. mg

4 x 25

100

10

2.3. Média Ponderada A média ponderada é igual ao quociente da soma dos produtos de cada número pelo respectivo peso, pela soma dos pesos.

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

52

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

53

Exemplo:

Solução: a) m p

Calcule a média ponderada dos números 3; 4 e 5 cujo pesos são respectivamente 1; 2 e 2. mp

3 x 1  4 x 2  5 x2 1 2 2

3 8 10 5

b) m p

21 4,2 5

A média harmônica de vários números é igual ao inverso da média aritmética dos inversos desses números.

a)

0,01 e 4

b)

1 e 25 4

c)

1; 2 e 4

Exemplo: Calcular a média harmônica dos números 2 e 4. mh

1 2 1 4 2 1

1 1  2 4 2

1 3 4 2 1

1 3 1 x 4 2

1 3 8

8 3

Solução:

Exercícios resolvidos 1) Calcular a média aritmética dos números abaixo: a) 1; 2 e 3

b)

0,01 x 4

b) m g

1 x 25 4

1 1 ; 2 3

3

4 100

0,04 25 4

1x 2 x 4

3

8

5 2 3

23

2 10

0,2

2,5 2

c) 0,1 e 2 4) Calcular a média harmônica dos números: a) 2 e 3

1 2  3 3

6 3

2

1 1  2 3 2

3 2 6 2 1

0,1  2 2

1 2  10 1 2

b) m a

c) ma

a) m g

c) m g

Solução: a) ma

13 4

3) Calculando a média geométrica dos números abaixo:

2.4. Média Harmônica

1

2 x1  3 x 2 2  6 8 1 2 3 3 2 x1  3 x1  4 x 2 2  3  8 11 2 4

b) 4; 5 e 6 5 6 2 1

Solução: 5x1 6 2 1 2 10 2 1

a) mh

5 12

21 10 2 1

21 1 x 10 2

21 20

b) m h

2) Calcular a média ponderada dos números abaixo:

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1 3 2 6 2 1

1 1 1 1   4 5 6 3

1 1 1 12 2,4 5 5 1 5 5 x 6 6 2 12 2 1 1 1 1 1 15  12  10 37 37 1 37 x 60 60 60 3 180 3 3 1 1

180 37

4,86

5) A média aritmética dos 8 números de um conjunto é 20. Se o número 4 for retirado do conjunto, qual será a nova média aritmética?

2 e 3 cujos respectivos pesos são 1 e 2 2; 3; 4 cujos respectivos pesos são 1; 1 e 2 CopyMarket.com

1 1 1  2 3 2

54

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

55

Solução a  a  ...  a 1 2 8 8

7) (Banco do Brasil) A média aritmética dos 40 números de um conjunto é 70. Os números 10 e 16 são retirados desse conjunto. A média aritmética dos números restantes é? 20

a)73

b) 82

c) 108

d) 219

e) nra.

a1  a2  ...  a8 160 160  4 7

156 7

8) Sabe-se que a média aritmética entre 2 números a e b é igual a média geométrica, então, podemos afirmar que: 22,28

a) a e b são primos entre si. b) os dois números a e b são iguais.

Exercícios de fixação

c) a e b são números compostos.

1) Calcular a média aritmética dos números:

d) a e b são números diferentes.

a) 4; 6 e 8 b)

1 ; 0,1; 2 2

c)

3 2 4 ; ; 8 5 9

e) n.r.a.. 9) (FAAP) Numa pequena empresa, com 20 funcionários, a disposição dos salários é a seguinte: número de empregados

salário

12

R$ 600,00

5

R$ 700,00

3

R$ 1.000,00

2) Calcule a média ponderada dos seguintes números: a) 7; 8; 9 cujos pesos respectivos são 1; 2 e 2. b) 11; 8 e 3 cujos pesos respectivos são 2; 3 e 4.

Qual o salário médio dos empregados dessa empresa?

c) 15; 18 e 32 cujos pesos respectivos são 2; 3 e 3

Exercícios propostos

3) Calcule a média geométrica dos números: a) 4 e 100

1) (C.N.) Associando-se os conceitos da coluna da esquerda com as fórmulas da coluna da direita, sendo a e b números inteiros positivos quaisquer, tem-se:

b) 0,45 e 0,05 c) 4 e 9 7 28

I - média harmônica dos números a e b;

a)

ab

4) Calcular a média harmônica dos números 4 e 6.

II - Média ponderada dos números a e b;

b)

a b

5) (EPCAR) A média aritmética dos números que aparecem no quadro; é:

III - Média geométrica entre os números a e b;

c)

ab 2

lV - O produto do mdc pelo mmc de a e b;

d)

2ab ab

V - Média aritmética simples entre a e b;

e)

a.b

103,4 a) 54,86

b) 55,806

121,63 c)6,8

41,2

8,75 d)56,853

9,285 e) 56,853

6) Achar as médias aritméticas e ponderadas entre os números 0,63; 0,45; 0,12, sabendo-se que os respectivos pesos são 1; 2 e 7. CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

56

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

57

a) b) c) d) e)

( I; b ); ( II; c ); ( IV; e) ( I; d ); ( II; c ); ( V; b ) ( I; d ); ( III; a ); ( IV; e) ( II; c ); ( III; a ); ( IV; e ) n.r.a.

a) 1

b) 6

c) 6,4

d) 8

1)

c

2)

­a  b ° 2 ° °m ° h ® ° ab ° ° 10 °mg ¯

e) n.r.a.

3) Colocar em ordem de grandeza crescente a média aritmética; a média geométrica e a média harmônica dos números 6 e 12. 4) A média aritmética de 11 números é 40. Se dois números, 4 e 6 forem retirados qual será a nova média?

b)

abc ab

c)

ab 2c

d)

e) n.r.a.

b) 7; 8; 8; 10; 12

c) 3,2; 4; 0,75; 2,13; 4,75

d) 70; 75; 76; 80; 82; 83; 90

8

5)

mp

6)

1 1 ­ °mh 1 1 1 bc  ac  ab   ° ° a b c abc ® 3 3 ° 1 ° °¯a alternativ a correta é a d

7)

a) ma

8) Calcule a média geométrica. a) 8; 15; 10; 12 b) 3; 4; 5; 6; 7; 8

64

4)

7) Calcule a média aritmética; a) 3; 4; 1; 6; 5; 6

20

­ a1  a2  /  a11 ° 11 ° ®a1  a 2  /  a11 ° 430 °440  10 9 ¯

e)n.r.a

3abc bc  ac  ab

10 Ÿ a  b

3)

6) A média harmônica entre os números a; b e c; 2abc ab

d) 8

2ab 2ab 32 ab 20 5 32 Ÿ ab 64 5

6  12 ­ 9 °ma 2 ° °°mg 6 x 12 72 6 2 8,46 ® 2 2 6 ab x x 12 144 °m 8 ° h ab 18 18 ° ¯°mh  mg  ma

5) Em um concurso público, três provas foram realizadas. Um candidato obteve nota 4 na primeira prova, que tinha peso 3. Obteve nota 9 na segunda, que tinha peso 2 e nota 8 na terceira prova, que tinha peso 5. Qual é a média desse candidato?

a)

c) 0,6

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

2) Sabendo-se que a média aritmética e a média harmônica entre dois números naturais valem, respectivamente 10 e 32 pode-se dizer que a média geométrica entre esses números será igual a: 5 a)3,6

b) 2

9) Encontre a média harmônica.

40 440

4x39x28x5 3 25

12  18  40 10

70 10

7,0

1 bc  ac  ab 3abc

3abc bc  ac  ab

a) 5; 7; 12; 15 10) Em certo mês, um aluno obteve em português as três notas 2,4 e 6. A nota mensal desse aluno, calculada pela média ponderada, de pesos respectivamente iguais a 1, 2 e 2, excede sua nota mensal, calculada pela média aritmética simples, de um valor igual a: CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

58

CopyMarket.com

3  4 1 6  5  6 6

4,16

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

59

b) ma

7  8  8  10  12 5

c) ma

3,2  4  0,75  2,13  4,75 5

d) ma

70  75  76  80  82  83  90 7

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

9

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

2,96

79,42

8. Porcentagem Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

8)

9)

a) mg

4 8 x 15 x 10 x 12

b) mg

6 3x 4x6x5x7 x8

mh

1 1 1 1 1    5 7 12 15 4

10) a alternativa correta é a

4 14.400

1. Introdução 10,95

6 12 x 30 x 56

1 84  60  35  28 420 4

É muito comum os veículos de comunicação apresentarem as seguintes expressões:

6 20.160

1 207 420 4 1

x a cesta básica teve um reajuste de 2,1%; x os rendimentos da caderneta de poupança para este mês foi de 1,21%. x 10% da população brasileira são fumantes.

5,39

1 207 1 x 420 4

1 207 1.680

1.680 207

Todos os enunciados acima podem ser expressos através de uma razão a qual denominamos de porcentagem.

8,11

2. Elementos do cálculo percentual Nos problemas de porcentagem, três elementos são importantes: O principal, que é o número sobre o qual se deve calcular a porcentagem; a taxa de porcentagem, que é o número de partes que devem ser tomadas em cada cem partes do principal e a porcentagem, que é total das taxas.

e

Exemplo: 1) Em uma sala de aula tem 35 alunos, sendo 20% de meninas. Quantas são as meninas dessa sala? c xi P Principal (c) = 35 100

taxa (i) = 20%

porcentagem (P)

P

35 x 20 100

P

700 100

7

Exercícios resolvidos: 1) Calcular a) 2% de 120

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

60

CopyMarket.com

b) 1,5% de 150

1 c) % de 30 3

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

61

Solução:

3) O preço de um aparelho de som é de R$ 1.500,00. Se eu conseguir um desconto de 8%, quanto pagarei por ele?

a) 2 % de 120 Principal = 120 taxa = 2% Porcentagem = taxa x principal 240 2 x 120 Porcentagem = 100 100

Solução: taxa = 100% - 8% = 92% Principal = 1.500 Porcentagem = taxa x principal 92 Porcentagem = x 1.500,00 100

2,4

Resposta: 2% de 120 é 2,4.

1380

Resposta: Pagarei pelo aparelho de som R$ 1.380,00. b) 1,5 % de 150 Principal = 150 Taxa = 1,5 % Porcentagem = taxa x principal 1,5 Porcentagem = 2,25 x 150 100

4) Uma fatura no valor nominal de R$ 400,00, foi quitada com dois descontos sucessivos sendo um de 2% e outro de 3%. Que taxa única de desconto daria o mesmo líquido? Solução: No caso de abatimentos sucessivos usamos a seguinte fórmula:

Resposta: 1,5% de 150 é 2,25.

i = 1 - (1 - i1) ˜ (1 - i2) ˜ (1 - i3) ... (1 - i n ) i = 1 - (1 - 0,02) ˜ (1 - 0,03) i = 1 - (0,98) ˜ (0,97) i = 1 - 0,9506 i = 0,0494 i = 4,94%

1 c) % de 30 3 Principal = 30 1 taxa % 3 Porcentagem = taxa x principal Porcentagem = Resposta:

1 3

100

x 30

10 100

5) Uma televisão sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual a porcentagem equivalente a esses dois acréscimos?

0,1

1 % de 30 é 0,1. 3

Solução: No caso de aumentos sucessivos usamos a seguinte fórmula:

2) Num concurso público compareceram 1.500 pessoas, sendo que 20% dos inscritos faltaram. Qual o número total de candidatos inscritos? Solução: Consideramos x, o número de candidatos participantes do concurso e 80% é a porcentagem de comparecimento. X 1.500

x 1.500

100 80 100 Ÿ 80 x 150.00 Ÿ x 80

6) A população de um município, com 60.000 habitantes cresce anualmente em 1%. Quantos habitantes terá no final de dois anos? 150.00 80

1.875

Solução: 1º. ano: 60.000 .

Resposta: O número de candidatos é 1.875.

CopyMarket.com

i = (1 + i1) ˜ (1 + i2) ˜ (1 + i3) ..., (1 + i n ) - 1 i = (1 + 0,1) ˜ (1 + 0,1) - 1 i = (1,1) ˜ (1,1) - 1 i = 1,21 - 1 i = 0,21 i = 21%

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

62

CopyMarket.com

1 100

600 Ÿ 60.000  600  60.600 hab.

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

63

2º. ano: 60.600

1 100

606 Ÿ 60.600  606

8) O preço de uma geladeira é de R$ 1.200,00. Como vou comprá-la a prazo, o preço sofre um acréscimo de 10% sobre o preço à vista. Dando 20% de entrada e pagando o restante em duas prestações iguais, o valor de cada prestação será de:

61.206 hab

Resp. O número de habitantes no final de dois anos é de 61.206 hab. 9) (FEI) Num lote de 1.000 peças, 65% são do tipo A e 35% são do tipo B. Sabendo-se que 8% do tipo A e 4% do tipo B são defeituosas, quantas peças devem ser rejeitadas neste lote?

Exercícios de fixação 1) Quanto vale a) b) c) d)

10) (F. Objetivo) Aumentando-se, de 40%, os lados de um quadrado, sua área ficará aumentada de:

1% de 200 ? 2,3% de 25? 0,1% de 1,04? 2% de 400?

a) 45% b) 20%

b) 9

c) 12

d) 15

e) 18

a) 1,04 A b) 0,98 A

3) (10%) 2 a)100%

b) 20%

c) 5%

d) 1%

c) R$ 250,00 d) R$ 150,00

e) n.r.a

c) R$ 7.200,00 d) R$ 7.500,00

c) 47% d) 47,8%

e) R$ 9.000,00

b) 75

c) 90

d) 87,5

e) 105

13) Uma sala de aula tem 40 alunos, sendo que15% dos alunos ficaram em recuperação. Calcule o número de alunos aprovados sem recuperação.

e) 54,6%

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1) O número 5,94 representa 18% de: a) 36

b) 35

c) 34

d) 33

e) 32

2) Indique a opção que completa a igualdade (5%) 2 = a) 25%

64

b)

1 % 4

c) 10%

d) 0,1%

e) 0,001%

3) (Fuvest) Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50 teve um aumento passando a custar R$ 13,50. A majoração sobre o preço antigo é de: a) 1%

7) João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofás pagando R$ 322.000,00, incluindo o imposto sobre produtos industrializados (IPI). Sabendo-se que a alíquota do imposto é de 15% a.d., o valor do imposto foi de: CopyMarket.com

a) 61

Exercícios propostos

6) Certo ano, as taxas de inflação nos meses de maio, junho; e julho foram de 15%, 12% e 20%, respectivamente. No período de maio a julho desse mesmo ano, a taxa de inflação acumulada foi de, aproximadamente, a) 15,7% b) 45,2%

e) A

e) R$ 50,00

5) O abatimento que se faz sobre R$ 30.000,00 quando se concede um desconto de 20% e, a seguir, mais um de 5% é: a) R$ 5.700,00 b) R$ 6.900,00

c) 1,02 A d) 0,96 A

12) (Banespa) Um pequeno silo de milho, perde 15% da carga pela ação de roedores. Vendeu-se 1/3 da carga restante e ainda ficou com 42,5 toneladas. Portanto, a carga inicial em toneladas, antes da ação dos roedores era:

4) Um trabalhador, após ter recebido um aumento de 25% no seu salário mensal, ficou recebendo a quantia de R$ 1.000,00 mensais. Podemos assim afirmar que este trabalhador teve um aumento mensal no seu salário de: a) R$ 100,00 b) R$ 200,00

e) n.r.a.

11) A base de um retângulo de área A é aumentada de 20% e sua altura é diminuída de 20%. A área do novo retângulo formado é:

2) O número 1,35 corresponde a 15% de: a) 6

c) 96% d) 82%

b) 10%

c) 12,5%

d) 8%

e) n.r.a.

4) (ETF-SP) Um levantamento sócio-econômico entre os alunos da Federal, revelou que 22% das famílias têm casa própria, 30% têm automóvel e 12% têm casa própria e automóvel. O percentual dos que não têm casa própria nem automóvel é de: CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

65

a) 46%

b) 54%

c) 30%

d) 40%

e) 60% RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

5) A expressão (10%)2 - (5%)2 é equivalente a: a)7,5% b)15%

c) 0,75% d) 25%

e) nra

6) Supondo que nos três primeiros meses do ano a inflação foi de 5%; 4%; 10% respectivamente, determinar, em porcentagens, a inflação acumulada no trimestre:

1) x

100

5,94

18

x 5,94 x

7) (UFV-MG) Numa loja, o preço de um par de sapatos era de R$ 140,00. Para iludir os consumidores, o dono aumentou o preço de todos os artigos em 50% e, em seguida, anunciou um desconto de 20%. Esse par de sapatos ficou aumentado de: a) R$ 26,00 b) R$ 28,00

c) R$ 31,00 d) R$ 34,00

100 Ÿ 18 x 100.5,94 Ÿ 18 x 18

33

a alternativa correta é a d

2) 5% 2

e) n.r.a.

594 18

594 Ÿ x

§ 5 · ¨ ¸ © 100 ¹

2

§ 1 · ¨ ¸ © 20 ¹

2

1 400

0,0025

a alternativa correta é a b

8) Certa partida de mercadorias foi vendida por R$ 21.516,30 com lucro de R$ 3.126,30 sobre o preço de custo. Calcular de quantos por cento foi esse lucro.

3) 12,50

100

1,00

9) Após um aumento de 20%, um livro passa a custar R$ 180,00. O preço antes do aumento era: a) R$ 170,00 b) R$ 144,00

c) R$ 160,00 d) R$ 150,00

12,50 1,00

e) n.r.a.

b) 45% dos eleitores e) 66,6% dos eleitores

x

100 Ÿx 12,50

8%

a alternativa correta é a d

10) (ETF-SP) Um plebiscito foi realizado na cidade A, para decidir sobre sua autonomia administrativa. Dos 22.500 eleitores, 10% faltaram, 15% votaram em branco ou anularam o voto e, 4.500 votaram não. Diante disso, conclui-se que votaram sim: a) 11.250 eleitores d) 55% dos eleitores

x

100 Ÿ 12,50 x x

4) n (AUB) = n (A) + n (B) - n(A ˆ B) n (AUB) = 22 + 30 - 12 n (AUB) = 40%

c) 51% dos eleitores

R.: O percentual dos que não têm casa própria e nem automóvel é de 60%. a alternativa correta é a e

11) (Mack) Supondo que o preço K de um produto sofra 2 aumentos sucessivos de 10%, então esse preço passará a ser R$ 363,00, mas, caso ele tenha dois abatimentos sucessivos de 10%, então passará a ser M reais. Desta forma, K + M vale:

5)

1 1  100 400

2

§ 10 · § 5 · ¸ ¨ ¸ ¨ © 100 ¹ © 100 ¹ 4 1 3 % 0,75% 400 4

10% 2  5% 2

2

2

§1· § 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ © 10 ¹ © 20 ¹

2

a alternativa correta é a c 6) i = (1 + i1) ˜ (1 + i2) ˜ (1 + i3) - 1 i = (1 + 0,05) ˜ (1 + 0,04) ˜ (1 + 0,1) - 1 i = (1,05) ˜ (1,04) ˜ (1,1) - 1 CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

66

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

67

i = 0,2012

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

i = 20,12% 7) 1,5 x 140 = 210

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

210 x 0,8 = 168 R.: O par de sapato teve aumento de R$ 28,00 em relação ao preço inicial. a alternativa correta é a b

9. Operações sobre Mercadorias Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

8) V = C + L 21.516,30 = C + 3.126,30

1. Introdução

C = 21.516,30 - 3.126,30 C = 18.390,00

L C

3.124,30 18.390

Neste capítulo apresentaremos outros problemas de porcentagens, que ocorrem na vida comercial, envolvendo as operações comerciais que podem gerar lucro ou prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.

0,17 ou 17%

2. Vendas com lucro 9) x

100

180

1,2

x 180

2.1. Sobre o preço de custo 2.2. Sobre o preço de venda

1 180 Ÿ 1,2 x 180 Ÿ x 1,2 1,2

150

Exemplos:

a alternativa correta é a d

1) Por quanto devo vender um aparelho de som que comprei por R$ 1.200,00 e desejo lucrar 30% sobre a compra?

10) eleitores faltosos

Ÿ 22.500 x 0,1 = 2.250

votos brancos ou nulos

Ÿ 22.500 x 0,15 = 3.375

votaram não

Ÿ

Solução: V = C+L V: preço de venda C: preço de custo L: lucro

4.500 10.125

R: Deverei vender o aparelho por R$ 1.560,00

22.500 - 10.125 = 12.375

12.375 22.500

V = 1200+1200 ˜ 0,3 V = 1200+360 V = 1.560

0,55 ou 55%

2) Comprei um quadro por R$ 4.500,00 e quero obter um lucro de 10% sobre o preço de venda. Por quanto deverei vender esse quadro?

a alternativa correta é a d

Solução: 11) K ˜ (1,1) ˜ (1,1) = 363

1,21K

363 Ÿ K

363 ŸK 1,21

C= R$ 4.500,00 L= 0,1 V V?

300

M = 300 (1 - 0,1) ˜ (1 - 0,1) Ÿ M = 300 ˜ 0,9 ˜ 0,9 Ÿ M = 243

K + M = 300 + 243 = 543 CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

V = C+L V = 4500+0,1V 1V-0,1V= 4500 0,9V=4500 4500 V 0,9 V = 5000

R: O quadro deverá ser vendido por R$ 5.000,00 68

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

69

7) (Mauá) Um produto cujo custo foi de R$ 272,00 deve ser vendido com lucro de 15% sobre o preço de venda. O preço de venda é: a) R$ 280,00 c) R$ 300,00 e) R$ 400,00 b) R$ 320,00 d) R$ 350,00

3. Vendas com prejuízo 3.1. Sobre o preço de custo 3.2. Sobre o preço de venda

8) (EPC do Ar) Na venda de um certo objeto houve lucro de R$ 12,00 que correspondente a 16% do preço de custo. Qual o preço de custo do objeto?

Exemplo: 1) Uma saca de batata foi vendida com um prejuízo de 15% sobre o preço de custo. Sabendo-se que essa saca custou R$ 200,00. Qual foi o preço de venda? Solução: V: preço de venda V=C-P C: preço de custo V= 200-0,15 ˜ 200 P: prejuízo V= 200-30 V= 170

10) Um comerciante vendeu uma geladeira de R$ 1.300,00 por R$ 850,00. Calcule a porcentagem do seu prejuízo.

R: Logo, a saca de batata foi vendida por R$ 170,00.

Exercícios propostos

2) Um automóvel custando R$ 5.500,00 foi vendido com um prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda. V CP V 5.500  0,1V 1V  0,1V 5.500 1,1V 5.500 V V

1) Certa mercadoria foi vendida por R$ 1.560,00, com prejuízo de 12% sobre seu preço de custo. O preço de custo dessa mercadoria é de : 2) Uma fatura no valor de R$ 800,00 sofreu abatimentos sucessivos de 5%; 6% e 10%. Calcule o valor líquido da fatura. 3) Maria vendeu um relógio por R$ 650,00 com um prejuízo de 3,5% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 6% sobre o custo, ela deveria ter vendido por:

5.500 1,1 5.000

4) Joana vendeu um fogão com prejuízo de 6% sobre o preço de venda. Admitindo-se que ela tenha comprado o produto por R$ 650,00, o preço de venda foi de:

R: O preço de venda do automóvel foi de R$ 5.000,00

5) (TTN) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com lucro de 10%, em seguida, foi revendido por R$ 20.700,00. O lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de:

Exercícios de fixação 1) Determinar por quanto se deve vender um objeto, comprado por R$ 350,00, para se obter um lucro equivalente a 2,5% do custo. 2) Uma pessoa vendeu um carro por R$ 9.000,00 perdendo o equivalente a 10% do preço de compra . Qual foi o preço de compra? 3) Aumentar o preço de um produto em 30% e, em seguida, conceder um desconto de 20% equivale aumentar o preço original em: 4) Um comerciante comprou uma partida de 10 sacas de batatas por R$ 2.100,00. Por quanto deve vender cada saca para obter um lucro total de 15% sobre o preço de custo? 5) (Banco do Brasil) Calcule o prejuízo de certo comerciante que vendeu suas mercadorias por R$ 36.394,40, perdendo nessa transação uma quantia equivalente a 3% do preço de custo. 6) Uma televisão foi vendida por R$ 1.050,00, com um prejuízo de 6,5% do preço de custo. Por quanto deveria ser vendida, para se obter um lucro equivalente a 3% do custo? CopyMarket.com

9) (Banco do Brasil) Uma pessoa vendeu um objeto por R$ 14.400,00, perdendo o equivalente a 10% do preço de compra. Qual foi o preço de compra? a) R$ 14.000,00 c) R$ 16.000,00 e) n.r.a b) R$ 15.000,00 d) R$ 17.000,00

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

70

6) Um comerciante comprou várias peças de tecido por R$ 47.200,00 e uma partida de arroz por R$ 35.100,00.Vendeu o tecido com 7% de prejuízo e o arroz, com 11,5% de lucro. Ao todo, ganhou ou perdeu? Quanto? 7) Calcule o valor líquido de uma guia de recolhimento de imposto sindical, no valor de R$ 2.000,00, que sofreu a redução de 12% sobre esse valor total, e, em seguida, outro abatimento de 6% sobre o líquido da primeira redução. 8) Uma partida de arroz foi vendida por R$ 2.150,00, com um lucro de R$ 650,00 . Calcule a porcentagem desse lucro em relação ao preço de custo. 9) Uma bicicleta no valor de R$ 650,00, foi vendida por R$ 350,00. De quantos por cento foi o prejuízo? 10) João vendeu uma máquina de escrever por R$650,00 com prejuízo de 12% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 10% sobre o preço de custo, ele deveria ter vendido por:

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

71

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1)

1560 1560

0,12C ?

P C

3)

L

800 (1  0,05) x (1  0,06) x (1  0,1)

L L

800 x 0,95 x 0,94 x 0,9 642,96

V P

650,00 3,5%C

C  0,035C

650,00

0,965C

650,00 ŸC 0,965

673,57

10)

CP

P

0,06 V

V

C V

650,00 ?

V 650,00  0,06 x V 1,06V 650,00 650,00 1,06

16.500,00  0,1 x 16.500,00

1.650,00  5.850,00

2000,00 1  0,12 x 1  0,06 2000,00 x 0,88 x 0,94 R$1.654,40

V CL 2.150,00 C  650,00 C 2.150,00  650,00 C 1.500,00

L C

650,00 1.500,00

30.000 Ÿ X

V P C L

R$650,00 0,12C ? 0,1C

30.000 ŸX 650

V

613,20

7.500,00 14.850,00

46,15%

CP

650,00

C  0,12C

650,00

0,88C Ÿ C

V

L C

0,433 ou 43,3%

650,00 o 100 300,00 o X 650,00 100 X 300,00 650 X

CL 673,57  0,06 x 673,57 673,57  40,41 713,98

16.500,00  1.650,00 14.850 20.700,00  14.850,00 5.850,00

6)

9)

650,00

C

5)

8)

CP

V

C

4)

1772,72

P (1  i1) x (1  i2 ) x (1  i3 )

L

V V V V

L

C  0,12C 0,88C

1560 ŸC 0,88

C

2)

7) L

CP

V

1560

V

650,00 ŸC 0,88

738,64

CL

V

738,64  0,1 x 738,64

V

812,50

0,5050 Ÿ 50,50%

7.500,00

Tecido 47.200,00 x 0,93

43.896,00

Arroz 35.100,00 x 1,115

39.136,50

R : Ganhou R$4.759,50 CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

72

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

73

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

0

1

n-1

n

O juro total dos n períodos será: J = J 1 + J 2 + J 3 + ... + J n

Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução Quando emprestamos um capital a uma pessoa (física ou jurídica), recebemos de volta a quantia emprestada mais uma quantia que denominamos de juros. Chamamos de juros simples a remuneração de um capital (C) aplicado a uma taxa (i), por um período de tempo determinado (n). A taxa de juro indica o valor do juro a ser pago numa unidade de tempo, e será expresso em porcentagem do capital. Exemplos: a) A taxa de juro de 5% a.d. - significa que o valor do juro é igual 5% do capital, por dia. b) A taxa de juro de 20% a.m. - significa que o valor do juro é igual a 20% do capital, por mês.

J = Ci + Ci + C i = ... + C i J = Cin Para o caso do Montante teremos: M =C+ J M = C + Cin M = C (1 + in )

Exercícios Resolvidos 1) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 2.000,00 colocado a taxa 1% a.m. durante 1 ano e 2 meses. Dados: J=? J=C. i. n C=R$ 2.000,00 J=2000 ⋅ 0,01 ⋅ 14 i=1% a.m. J=280 n=1 ano 2 meses = 14 meses R: Os juros obtidos serão de R$ 280,00.

Capital (principal ou valor presente) É a quantia aplicada ou emprestada por um período de tempo. Prazo (ou tempo) É o período de aplicação do capital.

2) Um capital de R$4.000,00 rendeu em 1 mês a importância de R$1.000,00 de juros. Calcular a taxa. Dados: C=R$ 4.000,00 n= 1 mês i=? J=R$1.000,00

2. Regime de capitalização O regime de capitalização pode ser simples ou composto.

J = C.i.n 1.000 = 4000.i.1 1.000 = 4000i i=

2.1. Regime de capitalização simples No regime de capitalização simples, a taxa de juro incide sobre o capital inicial, e no final de cada período os juros obtidos serão iguais ao produto do capital pela taxa do período.

3. Cálculo do juros simples e montante. Seja um capital (C) aplicado a uma taxa (i) por período, durante n períodos consecutivos, sob o regime de capitalização simples.

74

1.000 Ÿ i = 0,25 ou i = 25% a.m. 4.000

3) Durante quanto tempo é necessário empregar o capital de R$ 200,00 para que renda R$ 80,00 de juros, sendo a taxa 1% a.m.? Solução: C= R$ 200,00 J= R$ 80,00 i= 1% a.m. n=?

Os juros formados no final de cada período serão iguais, e portanto teremos: Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

3

J 1 = J 2 = J 3 = .... = J n = C i

10. Juros Simples

CopyMarket.com

2

CopyMarket.com

J = C.i.n 80 = 200.0,01.n 80 = 2n 80 Ÿ n = 40 meses ou 3 anos e 4 meses n= 2 Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

75

4) Calcular o capital que, aplicado a taxa de 1% a.m., produz em 1 ano e 1 mês, juros de R$ 650,00. Solução: i=1% a.m. n=13 meses J= R$ 650,00

i1 i = 2 n1 n2 i2 1,5 = Ÿ i1 = 18% a.a. 12 1

J = C.i.n 650 = C.0,01.13 650 = C.0,13 650 C= Ÿ C = 5.000 0,13

5. Taxas equivalentes Duas taxas são denominadas de equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital, num mesmo período de tempo, produzem juros iguais.

5) Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado durante 2 anos e 6 meses a taxa de 0,5% a.m.. Solução: M=? C=R$ 1.200,00 n= 2 anos e 6 meses = 30 meses i= 0,5% a.m.

Calcular os juros produzidos pelo capital de R$ 1.000,00: a) a taxa de 2% a.m., durante 3 meses. b) a taxa de 1,5% a.a., durante 4 anos.

M=C(1+in) M=1200(1+0,005 ⋅ 30) M=1200(1+0,15) M=1200 ⋅ 1,15 M= 1.380

Solução: a) J=? C= R$ 1.000,00 i= 2% a.m n= 3 meses

4. Taxas proporcionais Duas taxas são denominadas de proporcionais, quando seus valores formam uma proporção com os seus respectivos períodos de tempo, reduzidos numa mesma unidade. Assim, sendo teremos:

b) J=? C=R$ 1.000,00 i=1,5% a.a. n=4 anos

J= C. i. n J= 1000 ⋅ 0,02 ⋅ 3 J= 60,00

J=C. i. n J=1000 ⋅ 0,15 ⋅ 4 J=60,00

Como os juros obtidos são iguais, podemos afirmar que 2% a.m. é uma taxa equivalente a 1,5% a.a.

i1 i = 2 n1 n2

6. Prazo médio

Exemplos:

Para o cálculo do prazo médio, mencionaremos quatro casos a saber:

1) Qual a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a.

a) Capitais e taxas iguais.

Solução: i1 i = 2 n1 n2 i1 24 = Ÿ 12i1 = 24 Ÿ i1 = 2% a.m. 1 12

Neste caso o prazo médio é calculado pela média aritmética simples dos prazos dados. Exemplo: 1) Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00, a taxa de 2% a.a., durante 2 meses e R$ 1.000,00, a mesma taxa, durante 4 meses. Qual o prazo médio dessa aplicação?

2) Calcule a taxa anual proporcional a 1,5% a.m.

CopyMarket.com

Exemplo:

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

Solução: 2+4 6 = = 3 meses ( prazo médio ) 2 2 76

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

77

b) Capitais diferentes e taxas iguais Quando os capitais são diferentes e as taxas iguais, o prazo médio é calculado pela média aritmética ponderada dos prazos pelos capitais. Exemplo: Determine o prazo médio de aplicação de dois capitais, de R$ 1.200,00, e R$ 1.800,00, aplicadas durante 1 ano e 3 anos, respectivamente, a taxa iguais? Solução: Multiplicando os prazos pelos respectivos capitais. 1.1.200 = 1.200 3.

7. Taxa média Sejam os capitais C1; C2; C3...Cn , aplicamos as taxa i1; i2; i3... respectivamente, durante o mesmo período de tempo. A taxa média im é obtida pela soma dos capitais acima, aplicados a esta taxa e no mesmo prazo, obtendo um total de rendimentos idênticos as aplicações originais. im =

1.800 5.400 = 3.000 6.600

C1 • i1 + C2 • i2 + Λ Λ Cn • in C1 + C2 + Λ Λ + Cn

Exemplo: 1) João aplicou seu capital de R$ 7.000,00 da seguinte maneira:

Dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais teremos: 6.600 = 2,2 ano 3.000

R$ 1.500,00 a 2% a.m. R$ 2.000,00 a 1,5% a.m. R$ 3.500,00 a 2,5% a.m.

R: O prazo médio é de 2,2 anos.

Qual seria a taxa única, que poderia aplicar seu capital, para se obter o mesmo rendimento? Solução:

c) Capitais iguais e taxas diferentes.

1500. 0,02 + 2000 . 0,015 + 3500. 0,025 1500 + 2000 + 3500 30 + 3 − +87,5 i= = 0,0210 7000 i = 2,1% i=

Quando os capitais são iguais e as taxas diferentes, a solução é idêntica ao caso anterior. d) Capitais e taxas diferentes. Quando os capitais e as taxas são distintos, o prazo médio é calculado pela soma dos produtos dos capitais pelo tempo de aplicação e pela sua respectiva taxa dividida pela soma dos produtos do capital por essa referida taxa de aplicação.

1) Determine os juros produzidos por um capital de R$ 10.000,00 empregado a taxa de 3% a.a. em 4 anos.

Exemplo: Qual o prazo médio de aplicação de dois capitais: R$ 800,00 em 20 dias a 1,5% a.a., R$ 1.000,00 a 2% a.a. em 30 dias? Tempo 20 30

Capital 800 1.000

Taxas = 0,015 0,02 =

Exercício de fixação

2) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu em 5 meses a importância de R$ 1.800,00. Calcule a taxa anual.

Valor ponderado 240 600 840

3) Um capital de R$ 14.4000,00 aplicado a 22 % a.a. rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado? 2 de seu capital em letras durante 90 dias, a taxa de 2,5% a.m.(juros 5 simples) e recebe R$ 9.600,00 de juros. Calcule o capital de aplicação desta pessoa.

4) Se uma pessoa aplica somente Prazo médio =

Soma dos valores ponderados Soma dos produtos dos capitais pela taxa

1 de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o 4 restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo de regime de capitalização. Sabendose que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros, mais do que a outra, o capital inicial era de:

5) Carlos aplicou

840 840 840 Prazo Médio = = = = 26,25 dias (800.0,015) + (1000.0,02) 12 + 20 32

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

78

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

79

6) Um capital de R$ 8.000,00 foi dividido em 2 partes. A primeira parte foi investida a uma taxa de 1% a.a., durante 2 anos e rendeu os mesmos juros que a segunda parte que fora investida a taxa de 1,5% a.a. por 3 anos. Calcule o valor da parte menor.

6) Um capital foi aplicado da seguinte maneira: seus dois terços rendendo 4%a.a e a parte restante rendendo 3% a.a. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas partes foi de R$ 500,00. Qual era o capital inicial?

7) A soma de um capital com os seus juros, aplicado durante 110 dias, à taxa de 7% a.a. é igual a R$ 2.553,47. Determinar o valor dos juros, considerando-se o ano com 360 dias.

7) (EPCAR-81) Um capital foi colocado a render juros simples a uma taxa tal que após 10 meses o capital e os juros reunidos se elevaram a R$ 13.440,00 e após 18 meses se elevaram a R$ 16.512,00. Qual é o capital?

8) (Receita Federal) O prazo que duplica um capital aplicado a taxa de juros simples de 4% a.m. é: a)1 ano c) 20 meses e) n.r.a. b) 15 meses d) 25 meses

8) (Sec. Mun.Fin-SP) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples e, ao final de 2 bimestres, produziu o montante de R$ 16.320,00. A taxa mensal dessa aplicação foi de: a) 2,2% b) 3,6% c) 4,2% d) 4,8% e) 6,6%

9) (TTN) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de 8 meses é:

9) O capital de R$ 3.000,00, aplicado à taxa anual de 1% no fim de 200 dias, produzirá o montante de:

10) Se aplicarmos determinada quantia durante 8 meses, seu montante será de R$ 63.000,00. Caso a aplicação durasse 13 meses, o montante seria de R$ 74.250,00. Qual a taxa mensal empregada?

10) Colocaram-se a mesma taxa: R$ 800,00 durante 3 meses e R$ 200,00 durante 5 meses. A diferença entre os juros é de R$ 700,00. Qual é a taxa?

11) Calcule a taxa anual proporcional a: a) 2,5% a.m. c) 1,2% a.m. b) 3% a.t. d) 3% a.s.

11) Ache a taxa mensal proporcional a: a) 3,6% a.t. b) 12% a.s.c

d) 12% a.a.

12) (Receita Federal) Aplicar um capital a taxa de juros simples de 5% a.m., durante 10 meses, é equivalente a investir o mesmo capital por 15 meses a taxa de: a) 7,5% a.m. b) 3,33% a.m. c) 3% a.m. d) 12% a.a.

12) Calcule a taxa bimestral de juros simples, equivalente a 126% a.a. 13) Qual a taxa trimestral de juros simples equivalente a 10% a.a.? 14) Aplicou-se a juros simples os capitais de R$ 1.000,00 a 2% a.m., R$ 1.500,00 a 3% a.m. e R$ 2.000,00 a 3,5% a.m. durante um mês. Qual foi a taxa média do investimento? 15) Qual o prazo médio para juros de R$ 2.000,00 em 30 dias a 1% a.d., R$ 2.500,00 a 2% a.d. em 40 dias.

Exercícios propostos 1) Um capital de R$ 6.000,00 aplicando durante 2 meses, a juros simples, rende R$ 2.000,00. Determinar a taxa de juros cobrada.

13) Sobre a taxa proporcional é correto afirmar: a) Sempre se refere a juros exatos. b) Normalmente refere-se a juros compostos. c) Utilizado em equivalência de capitais a juros comerciais e compostos. d) Dá nome aos contratos. e) Refere-se a juros simples. 14) (FTE-93) Um banco efetuou os seguintes empréstimos com juros simples conforme tabela abaixo. Calcule a taxa média mensal destas operações: Principal(R$) 10.000,00 20.000,00

2) Calcular o juro e o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 durante 1 ano, a taxa de juros simples de 0,5%a.m. 3) Em quanto tempo um capital colocado a 0,4% a.m., rende

) 2,4% a.d.

a) 10% a.m.

2 do seu valor? 5

4) (FAAP) Um investimento de R$ 24.000,00, foi aplicado parte a juros de 1,8% a.m., e parte a 3% a.m. Se os juros mensais forem de R$ 480,00, quais as partes correspondentes do investimento?

b) 11% a.m.

Taxa mensal 20% 10% c) 12% a.m.

Prazo (meses) 2 4 d) 13,33% a.m.

e) 15% a.m.

15) Três capitais iguais a R$ 2.000,00 foram aplicados a mesma taxa durante 2, 3 e 4 meses respectivamente. Qual o prazo médio?

5) (Mack) A taxa de 4% ao mês (juros simples), R$ 200,00 dobrou de valor ao fim de: a) 18 meses c) 25 meses e) 50 meses b) 24 meses d) 48 meses

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

80

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

81

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1)

C = R $6.000,00 n = 2 me J = R$2.000,00 i =?

2)

C = R $10.000,00 n = 1 ano = 12meses i = 0,5% a.m.

6)

J = C• i• n 2.000 = 6.000 • i • 2 2.000 = 12.000i 2.000 1 i= Ÿ i = Ÿ i = 0,166 12.000 6 i = 16,6% a.m. J = C• i• n J = 10.000 • 12 • 0,005 J = 600

i = 0,4% a.m J = 0,4C

4)

7)

J = C• i• n 0,4C = C • 0,004 • n n=

C=

0,4 Ÿ n = 100 meses 0,004

C= 13.440 16.512 = 1 + 10i 1 + 18i

240 Ÿ C1 = 20.000 0,012 C2 = 24.000 − C1 C2 = 24.000 − 20.000 Ÿ C2 = 4.000 C1 =

CopyMarket.com

5,7i = 0,23 0,23 = 0,04 i= 5,7 i = 4% a.m.

J = C• i• n 400 = 200 • 0,04 • n 400 Ÿ n = 50 meses n= 8

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

16.512 1 + 18i

1 + 18i 16.512 = 1 + 10i 13.440 1 + 18i 1,23 = 1 + 10i 1 1(1 + 18i ) = 1,23(1 + 10i ) 1 + 18i = 1,23 + 12,3i 18i − 12,3i = 1,23 − 1

0,012C1 = 240

C = 200 n=?

13.440 1 + 10i

M = C (1 + i • n ) 16.512 = C(1 + 18i)

n = 18 meses M = 16.512

C1 + C2 = 24.000 Ÿ C2 = 24.000 − C1 J 1 + J 2 = 480 C1 • i1 • n + C2 • i2 • n = 480

i = 4% a.m. J = 400

J 1 − J 2 = 500

M = C (1 + i • n ) 13.440 = C(1 + 10i)

n = 10meses M = 13.440

C1 • 0,018 • 1 + (24.000 − C1 ) • 0,03 • 1 = 480 0,018C1 + 720 − 0,03C1 = 480 0,018C1 − 0,03C1 = 480 − 720 − 0,012C1 = − 240(− 1)

5)

n = 1 ano

0,08C 0,03C − = 500 Ÿ 0,08C − 0,03C = 1500 Ÿ 0,05C = 1500 3 3 1500 C= Ÿ C = 30.000 0,05

M = 10.600,00 C=?

1 C2 = C 3 i2 = 3% a.a.

2C 0,08C • 0,04 • 1 = J1 = 3 3 1C 0,03C J2 = • 0,03 • 1 = 3 3

M = J +C M = 600 + 10.000

3)

2 C1 = C 3 i1 = 4% a.m. n = 1 ano

C=

82

13.440 13.440 13.440 13.440 = ŸC= ŸC= Ÿ C = 9.600,00 1 + 10i 1 + 10 • 0,04 1 + 0,4 1,4

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

83

8)

M = C (1 + i • n ) 16.320,00 = 15.000,00 (1 + 1• 4)

C = 15.000,00 n = 4 meses M = 16.320,00

16.320,00 = 1 + 4i 15.000,00 1,088 − 1 = 4i

i=?

i1 0,024 = Ÿ i1 = 0,024 • 30 Ÿ i1 = 0,72 Ÿ i1 = 72% a.m. 30 1

0,088 = i Ÿ i = 0,022 Ÿ i = 2,2% a.m. 4 R: A alternativa correta é a 9)

a M = C (1 + i • n)

C = 3.000,00 M =? 0,01 i= 360 n = 200 dias

12)

§ 0,01 · M = 3.000¨1 + • 200 ¸ © 360 ¹ 2 · § M = 3000¨1 + ¸ © 360 ¹ 1 · § M = 3.000¨1 + ¸ © 180 ¹

J 1 = C • 0,05 • 10 = 0,5C J 2 = C • i • 15 J = J2 0,5C = 15 • C • i 0,5 i= Ÿ i = 0,033 ou i = 3,3% a.m.. 15

J 1 = 800 • i • 3 = 2.400i J 2 = 200 • i • 5 = 1000i

a alternativa correta é a

b

13) a alternativa correta é a

e

14) im =

J 1 − J 2 = 700 2.400i - 1000i = 700

C1 • i1 + C2 • I2 C1 + C2

10.000 • 0,2 + 20.000 • 0,1 4.000 4 2 Ÿ im = Ÿ im = Ÿ im = Ÿ 30.000 30.000 30 15 Ÿ im = 0,133 ou im = 13,3% a.m..

im =

1.400i = 700 700 1 i= Ÿ i = Ÿ i = 0,5 Ÿ i = 50% a.m. 1.400 2 11)

i1 i = 2 n1 n2 0,12 i1 0,12 = Ÿ 12i1 = 0,12 Ÿ i1 = Ÿ i1 = 0,01 Ÿ i1 = 1% a.m. 1 12 12

d)

181 · M = 3.000§¨ ¸ © 180 ¹ M = 3.016,66 10)

i1 i = 2 n1 n2

c)

a alternativa correta é a d

i1 i2 a) n = n 1 2 3,6 i1 3,6 = Ÿ 3i1 = 3,6 Ÿ i1 = Ÿ i1 = 1,2% a.m. 1 3 3

15) Prazo médio =

2+3+4 = 3 meses. 3

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

i1 i2 b) n = n 1 2 12 i1 12 = Ÿ 6i1 = 12 Ÿ i1 = Ÿ i1 = 2% a.m. 1 6 6

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

84

85

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

2. Tipos de desconto

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

2.1. Desconto comercial, bancário ou por fora O desconto comercial incide sobre o valor nominal do título, e eqüivale ao juros simples onde o capital inicial corresponde ao valor nominal do título de crédito. dc = N ˜ i ˜ n

11. Desconto Simples Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

dc: Valor do desconto comercial; N: Valor nominal do título; i: taxa de desconto; n: tempo.

Na vida comercial e industrial as relações de compra e venda entre os negociantes ou negociantes e consumidores podem ser a vista ou a prazo.

2.2. Valor Atual Comercial

Quando uma compra é feita a vista, a pessoa que adquire o bem, paga ao vendedor, em dinheiro ou cheque no ato da mesma.

A=N-d A = N - N in

No caso de uma compra a prazo, o comprador assume um compromisso em quitá-lo em uma data futura.

A = N (1- in)

É normal que o credor receba um título de crédito que é o comprovante da sua dívida, caso o mesmo deseje quitar antes da data de vencimento obterá um abatimento que é denominado de desconto.

Exercícios resolvidos

Os títulos de crédito mais conhecidos são: duplicatas; letras de câmbio; nota promissória. Desconto (d): é o abatimento que se faz sobre um título de crédito, quando o mesmo é quitado antes do seu vencimento; Valor Nominal (N): é o valor do título quando quitado no dia do vencimento; Valor Atual (A): é o valor líquido recebido (ou pago) antes do vencimento. Exemplo: Uma pessoa portadora de um título de crédito no valor de R$ 10.000,00 deseja resgatar o mesmo antes de seu vencimento por R$ 8.000,00.

1) Calcular o desconto comercial de um título de crédito no valor R$ 2.000,00 à taxa 6% a.m., sendo resgatado 2 meses e 10 dias antes do vencimento. Solução: dc = ? N = R$ 2.000,00 0,06 i 0,06a.m 0,002a.d 30 n = 2 meses e 10 dias = 70 dias

2) Uma duplicata de R$ 6.000,00, foi resgatada 120 dias antes do seu vencimento, sofreu R$ 300,00 de desconto por fora (comercial). Qual a taxa anual usada na operação?

Valor nominal (N): R$ 10.000,00 Valor atual (A): R$ 8.000,00

N = R$ 6.000,00 1 n= 120 dias = ano. 3 dc = R$ 300,00 i=?

Desconto: (d) = 10.000,00 - 8.000,00 = 2.000,00 Ÿ d = R$ 2.000,00 O exemplo acima mostra as relações envolvidas em uma operação de desconto:

dc = N ˜ i ˜ n 300 = 6000 ˜ i ˜

ou N = A + d

1 3

300 = 2.000 i Ÿ i = i=

d = N – A ou A = N - d

dc = N ˜ in dc = 2.000 . 0,002 ˜ 70 dc = 280

300 2000

3 Ÿ i = 0,15 ou i = 15% a.a. 20

3) Calcular o valor atual de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.000,00 que, sofreu um desconto comercial, a uma taxa de 3% a.m., 108 dias antes do vencimento. CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

86

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

87

A = N (1 - in)

3) (CEF) Uma nota promissória foi resgatada 5 meses antes do vencimento, sofrendo um abatimento de R$ 30.000,00. Se o desconto foi comercial simples, a taxa de 48% a.a., o valor pago foi: a)R$ 180.000,00 d) R$ 135.000,00 b)R$ 175.000,00 e) R$ 120.000,00 c)R$ 150.000,00

0,03 A = 1.000 (1 ˜ 108) 30 A = 1.000 (1 - 0,108) A = 1.000 (0,892) A = 892 4) Os descontos comerciais de 2 títulos de créditos vencíveis em 90 dias, colocados a taxa de 3% a.a., somam R$ 200,00 e o desconto do primeiro excede o da segunda em R$ 50,00. Calcular os valores nominais desses títulos. dc1 = N1 ˜ i ˜ n dc1 = N1 ˜ 0,03 ˜ Ÿ dc1 = N1 ˜ dc2 = N2 ˜ i ˜ n 0,03 1 dc2 = N2 ˜ 0,03 ˜ Ÿ dc2 = N2 ˜ 4 4 dc1 + dc2 = 200 Ÿ dc1 = 200 - dc2 dc1 = dc2 + 50 200 - dc2 = dc2 + 50 200 - 50 = 2 dc2 150 Ÿ dc2 = 75 150 = 2 dc2 Ÿ dc2 = 2 dc1 = 200 - dc2 dc1 = 200 - 75 Ÿ dc1 = 125 0,03 dc1 = N1 ˜ 4 0,03 4.125 125 = N1 ˜ Ÿ 4 ˜ 125 = 0,03 N1 Ÿ N1 = 4 0,03

4) Um título de crédito de R$ 1.200,00 tem valor líquido de R$ 1.000,00 quando descontada por fora 2 meses antes de seu vencimento. Qual é a taxa de vencimento? 5) (Banco do Brasil) Uma pessoa deseja obter um empréstimo de R$ 30.000,00 no prazo de 120 dias, a 6% a.m., de desconto comercial simples. Qual o valor do título para produzir aquela importância líquida? a)R$ 39.473,68 c) R$ 35.432,20 b)R$ 38.528,12 d) R$ 34.318,20 6) (Receita Federal) simples. Sabendo em dias, é: a)120 c)100

O valor atual de uma duplicata é 5 vezes o valor de seu desconto comercial que a taxa de desconto adotada é de 60% a.a., o vencimento do título, expresso c) 130 d) 150

e) 140

2.3. Desconto Racional ou Desconto por dentro É o desconto que incide sobre o valor atual de um título de crédito. Indicaremos desconto racional por dr. dr

Ar x i x n

1

Valor do Desconto Racional em função do Valor Nominal Ar = N - dr

N1 = 16.666,67

2

Substituindo 2 em 1, teremos: dr = (N - dr) ˜ i ˜ n dr = N ˜ i ˜ n - dr ˜ i ˜ n dr + dr ˜ i ˜ n = N ˜ i ˜ n dr (1 + in) = N ˜ i ˜ n N .i.n dr = 1  i.n

0,03 4 0,03 300 Ÿ 75 ˜ 4 = N2 ˜ 0,03 Ÿ 300 = N2 ˜ 0,03 Ÿ N2 = 75 = N2 ˜ 4 0,03 dc2 = N2 ˜

N2 = 10.000,00

2.4. Valor Atual Racional

Exercícios de fixação

Ar = N - dr

1) Calcule o valor nominal de certa nota promissória que, descontada 2 meses antes do vencimento, à taxa de 1,5% a.m., de desconto comercial simples, deu um valor atual de R$ 2.100,00. 2) Uma nota promissória, com o valor nominal de R$ 10.000,00, foi resgatada 2 meses e 5 dias antes de seu vencimento, utilizando a taxa de 36% a.a. Qual foi o desconto comercial? CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

88

N .i.n 1  i.n N (1  i.n)  N .i.n Ÿ Ar Ar = 1  i.n Ar = N 

CopyMarket.com

N 1  i.n

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

89

2.5. Relação entre Desconto Comercial e o Desconto Racional dc = N ˜ i ˜ n dc 1  i.n

dr =

dr = Ÿ

3) quociente entre os descontos comercial e racional é de 1,2. Qual será a taxa de juros se o prazo de antecipação é de 4 meses.

N .i.n 1  i.n

d r (1  i.n)

dc

Nin Nin

dc dr

1  i.n

Exercícios resolvidos

dc dr

1  i.n

1) Um título de crédito de valor nominal de R$ 1.600,00 sofre um desconto racional simples a taxa de 1,5% a.m., 75 dias antes do seu vencimento. Calcule o desconto racional e o valor atual.

1,2 1  4i 1,2  1 4i

Solução: N = R$ 1.600,00 i = 1,5% a.m. n = 75 dias = 2,5 meses

0,2

N .i.n dr = 1  i.n 1.600.0,015.2,5 dr 1  0,015.2,5 60 60 dr Ÿ Ÿ dr 1  0,0375 1,0375

N 1 i x n 1600 Ÿ Ar 1  0,015 x 2,5

Ar Ar

57,83

0,5 ou i

5% a.m.

É a taxa que incide sobre o capital inicial. 1600 Ÿ Ar 1  0,015 x 2,5

1600 Ÿ Ar 1,0375

3.2. Taxa de desconto simples (id)

1.542,17

É a taxa que incide sobre o valor nominal de um título de crédito. A taxa de juros simples e a taxa de desconto comercial são equivalentes, quando o valor atual for igual ao capital e o montante como valor nominal. Ou seja M = N e A = C

?

2 mês 3 i 1% a.m. 0,01 a.m. d c  d r 60 20 dias

N.i.n 60 N.i.n  1  i.n 2 N.0,01. 23 N.0,01.  3 1  0,01. 23 0,02N  3

0,2 Ÿi 4

3.1. Taxa de juro simples (ij)

Solução:

n

1  in N .i.n

3. Taxa de juros simples e taxa de desconto simples

2) A diferença entre os descontos comercial e racional de um título de crédito, é de R$ 60,00. O prazo é de 20 dias e a taxa de 1% a.m. Calcular o valor nominal do título.

N

4i Ÿ i

N .i.n

0,02N 3 1 0,02 3

60

60

0 , 02 N  3

0 , 02 N 3 1  0 , 02 3

60

0 , 02 N  3

0 , 02 N 3 0 , 02 3

60

0 , 02 N 0 , 02 N 3  . 3 3 3 , 02 0 , 02 N 0 , 02 N  60 3 3 , 02 0 , 02 . 3 , 02 N  0 , 02 . 3 N 3 . 3 , 02

0,0604 N - 0,06 N = 543,60 Ÿ 0,0004 N = 543,60 Ÿ N =

543,60

A = N ˜ (1 - i ˜ n) Ÿ C = N (1 - id ˜ n) =

M = C (1 + i ˜ n) Ÿ N = C (1 + ij ˜ n) Ÿ

1

N C = 1 + ij ˜ n Ÿ C N

1 1  i j .n

2

60 Comparando 1 e 2 teremos:

60 . 3 . 3 , 02 3 . 3 , 02

1  id x n

1 Ÿ id 1 ij x n

ij (taxa de desconto) 1 ij x n

1  id x n

1 Ÿ ij 1 ij x n

id (taxa de juro) 1  id x n

Ÿ N = 1.359.000,00

0,0004

CopyMarket.com

C = 1 - 1d ˜ n N

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

Exercícios resolvidos 90

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

91

1) Calcule a taxa de juro simples (mensal) equivalente a uma taxa de desconto comercial simples de 1% a.d., num prazo de 2 meses? Solução:

12) Um título de crédito foi resgatado 60 dias antes de seu vencimento, sendo o valor nominal de R$ 1.800,00. Sabendo-se que o desconto foi de R$ 200,00, calcule a taxa de desconto e a taxa de juro efetivo.

ij = ? id = 1% = 0,01 ˜ a.d. n = 2 meses = 60 dias

13) Uma duplicata foi descontada 3 meses antes do seu vencimento, a taxa de desconto comercial de 6% a.a. Qual a taxa de juro efetiva anual dessa operação?

ij

14) Complete o quadro abaixo:

id 1  id .n

0,01 Ÿ ij 1  0,01.60 ij = 0,025 ou ij = 2,5% a.d. ij

0,01 Ÿ ij 1  0,6

0,01 0,4

Taxa de desc. Com. 3% a.m.

a) b) c)

Taxa de juro efetiva 10% a.m. 10% a.d.

2% a.d.

2) Uma instituição financeira cobra uma taxa de juros simples de 6% a.m. para empréstimo de 30 dias. Calcule a taxa de desconto comercial simples equivalente?

4. Fluxo de caixa e Equivalência de capitais

ij = 6% = 0,06 a.m.

4.1. Fluxo de caixa

n = 30 dias = 1 mês id = ? ij ij = 1  i j .n 0,06 Ÿ id id 1  0,06.1

Prazo 10 dias 5 dias

Chamamos de fluxo de caixa a sucessão de pagamentos ou recebimentos ao longo do tempo. Para uma melhor compreensão representaremos um diagrama de fluxo de caixa.

0,0566 Ÿ id

5,66%a.m 0

1

2

3

4

5

períodos

Por Convenção:

Exercícios de fixação 7) Determine o valor atual racional e comercial de um título de R$ 6.500,00 resgatado 2 meses antes do vencimento a taxa de 2% a.m.

x o eixo horizontal, orientado para a direita indica o período de tempo; x as setas orientadas para cima indicam as saídas de caixa; x as setas orientadas para baixo indicam as entradas de caixa;

8) O desconto comercial aplicado a uma letra de câmbio resgatada 5 meses antes do vencimento à taxa de 1% a.m. foi de R$ 10,00. Qual será o valor do desconto se fosse racional?

Veja o exemplo de um diagrama de fluxo de caixa:

9) O valor atual racional simples de um título é igual a metade do seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 2 meses.

1) Uma pessoa fez uma aplicação de R$ 5.000,00 e recebeu R$ 6.000,00 após 5 meses. 5.000

10) Uma duplicata foi submetida a dois tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 1% a.m., vencível em 90 dias com desconto comercial. No segundo caso, com desconto racional, mantendo as demais condições. Sabe-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de R$ 450,00. O valor nominal do título era de:

1

11) A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial de uma dívida é de R$ 120,00. O valor nominal desse título, a 1% a.m., com antecipação de 1 mês é:

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

92

2

3

4

5

meses

6.000

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

93

4.2. Equivalência de Capitais Dois ou mais capitais com datas de vencimentos distintas, são chamados de equivalentes quando “transportados” para uma mesma data focal, a uma mesma taxa, produzem valores iguais. Exemplo 1) Verificar se os capitais R$ 384,00, com vencimento para 1 mês e R$ 600,00 com vencimento para 5 meses, são ou não equivalentes pelo critério do desconto comercial simples a 10% a.m., na data focal 3.

N1 = R$ 1.000,00 n = 1 mês N2 = R$ 1.200,00 n = 3 meses N=? n = 5 meses i = 6% a.m.

A1 + A2 = A N1 ˜ (1 - in) + N2 ˜ (1 - in) = N (1 - in) 1.000 (1 - 0,06 ˜ 1) + 1.200 (1 - 0,06 ˜ 3) = N (1 - 0,06 ˜ 5) 1.000 ˜ 0,94 + 1.200 ˜ 0,82 = N ˜ (1 - 0,30) 940 + 984 = 0,7 N 1.924 = 0,7 N 1.924 Ÿ N = 2.748,57 N= 0,7

600 3) Um comerciante possui dois títulos de créditos, sendo um no valor R$ 1.000,00 com vencimento para 40 dias e o outro no valor de R$ 1.500,00 com vencimento para 60 dias. Necessitando de dinheiro, decide descontá-las hoje, em um banco que efetua a operação a taxa de desconto comercial de 6% a.m. Qual o valor recebido pelo comerciante pelos dois títulos?

meses 0

1

2

3

4

5 V = A1 + A2

data focal

40 )+ 1.500 (1 - 0,06 ˜ 2) 30 V = 1.000 (1 - 0,08) + 1.500 (1 - 0,12) V = 1.000 ˜ 0,92 + 1.500 ˜ 0,88 V = 920 + 1.320 V = 2.240 V = 1.000 (1 - 0,06 ˜

384 A= N(1-in) A = 600(1-0,1.2) =480 384 384 A N= 1  in 1  0,1.2 0,8

480

Exercícios Resolvidos 1) Um título de crédito de valor nominal de R$ 800,00, com vencimento para 45 dias é substituído por outro para 60 dias. Calcule o valor nominal do novo título sabendo que a taxa de desconto comercial simples é de 3% a.m.

A=A1+a2 x x  800= 1  0,06 1  0,12

Solução: N1 = R$ 800,00 n = 45 dias = 1,5 mês N=? n = 60 dias = 2 meses i = 3% a.m.

4) Uma loja vende um eletrodoméstico por R$ 800,00. A prazo, pode-se pagar a mercadoria em 2 pagamentos mensais iguais; o primeiro vence em 30 dias. De quanto será cada um desses pagamentos, se foram adotados, na operação o desconto racional a taxa de 6% a.m. e a data focal a do ato da compra?

A1 = A N1 (1 - i ˜ n) = N (1 - i ˜ n) 800 (1 - 0,03 ˜ 1,5) = N (1 - 0,03 ˜ 2) 800 (1 - 0,045) = N (1 - 0,06) 800 ˜ 0,955 = N ˜ 0,94 764 = N ˜ 0,94 764 N= Ÿ N = 812,77 0,94

x x  1,06 1,12 800.1,06.1,12 = 1,12x + 1,06x 949,76 = 2,18x 949,76 Ÿ x= 2,18

800 =

x = 435,67 2) Uma pessoa deve dois títulos de créditos: um no valor de R$ 1.000,00 com vencimento para 1 mês e outro de R$1.200,00 para 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-lo no vencimento, propõe ao credor substituí-los por um título único para 5 meses. Sabendo que a taxa de desconto comercial simples é de 6% a.m., calcule o valor nominal do título único.

Exercícios de fixação 15) Um título de crédito no valor de R$ 800,00, com vencimento para 60 dias é substituído por outro com vencimento para 90 dias. Calcule o valor nominal do novo título sabendo que a taxa de desconto comercial simples é de 1% a.m.

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

94

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

95

16) Uma empresa vende mercadorias por R$ 5.730,00 à vista ou em dois pagamentos iguais, sendo o primeiro para 30 dias e o segundo para 60 dias. Qual o valor das parcelas que a empresa aplica, sendo a taxa de desconto comercial de 3% a.m. 17) Um lojista possui 2 duplicatas: uma de R$ 1.200,00 para 30 dias e a outra de R$ 600,00 para 60 dias. Não podendo resgatá-los no vencimento, propõe ao credor substituí-los por um único título para 5 meses. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 1% a.m. Calcular o valor nominal do título único. 18) Uma loja vende uma bicicleta por R$ 800,00 à vista ou 10% de entrada e o restante para 30 dias. Qual será o valor desse pagamento, se a loja opera, nas vendas à prazo, com taxa racional de 0,5% a.m. 19) Uma papelaria vende R$ 350,00 em mercadorias. O pagamento pode ser a prazo em dois pagamentos mensais e iguais; o primeiro vence em 30 dias. De quanto será cada um desses pagamentos, se forem adotados, na operação, o critério de desconto racional de 0,5% a.m. e a data focal do ato da compra?

9) Resgatei um título em um banco que me pagou líquido de R$ 6.200,00. O resgate deu-se a 20 dias antes do vencimento, a taxa de 3% a.m. pelo desconto racional. Qual é o valor nominal desse título? 10) Uma loja vende um guarda roupa à vista por R$ 3.000,00. A prazo, pode-se pagar em três pagamentos mensais e iguais, o primeiro vence em 30 dias. De quanto será cada um dos pagamentos, se forem adotados, na operação, o desconto racional de 8% a.m. e como data focal a do ato da compra? RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1.

dc

N xi x n

dc

4.000 x 0,04 x 1 Ÿ d c

dc

4.000 x 0,04 x 2 Ÿ d c

320

dc

4.000 x 0,04 x 3 Ÿ d c

480

soma Ÿ 960

Exercícios propostos 1) Uma empresa descontou três duplicatas no valor de R$ 4.000,00 cada, com vencimento para 30; 60 e 90 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 4% a.m., o valor total do desconto, pelo regime de juros simples, em reais, foi de: 2) Um título de crédito no valor nominal de R$ 1.500,00, em 3 meses, tem como desconto comercial R$ 300,00. Determine a sua taxa anual.

R.: O valor total do desconto foi de R$ 960,00

2.

4) (TTN) Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$ 29.500,00 e desejo ganhar 36% a.a., é de: a)R$ 24.000,00 d) R$ 18.800,00 b)R$ 25.000,00 e) R$ 24.190,00 c)R$ 27.500,00

N xixn

dc

300 1.500 x i x 0,25 300

3) Uma nota promissória foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento sendo à taxa de 6% a.a. Sabendo-se que o valor atual comercial foi de R$ 800,00, qual seria seu valor nominal?

i

3.

Ac 800

6) A diferença entre os descontos comercial e racional de um título pagável em 120 dias, a 1% a.m. é igual à R$ 120,00. Determine o valor nominal, desconto comercial e o desconto racional.

800

800

N

7) Complete o quadro abaixo:

4% a.m.

Taxa de juros 60% a.m. 20% a.m.

4.

Prazo 10 dias 30 dias

8) Um negociante tem duas dívidas a pagar, uma de R$ 3.000,00 com 45 dias de prazo e outra de R$ 8.400,00, pagável em 60 dias. O negociante quer substituir essas duas dívidas por uma única, com 30 dias de prazo. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 12% a.a., o valor nominal dessa dívida será de: CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

96

375i

300 Ÿ i 0,8 375 i 80% a.a.

5) quociente entre o desconto comercial e o desconto racional é de 1,2. Qual será o prazo de antecipação se a taxa de juros for de 5% a.a.?

Taxa de desc. com. 6% a.m.

160

N 1  i x n 1· § N ¨1  0,06 x ¸ 6¹ © N 1  0,01 N  0,99 800 ŸN 0,99

808,08

N xixn 1 i x n 29.500 x 0,03 x 6 dr Ÿ dr 1  0,03 x 6 29.500  4.500 R$25.000 dr

A alternativa correta é a

CopyMarket.com

5.310 Ÿ dr 1,18

4.500

b

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

97

N xi xn N xi xn 1 i x n 1,2 1  i x n

5.

dc dr

c)

1 i x n

0,2 Ÿ 1  0,2 x n 0,041  0,2n 0,2 0,04  0,008n 0,2 0,008n 0,2  0,04 0,008n 0,16 0,16 n Ÿ n 20 meses 0,008 . 0,04

1,2 1  0,05n 1,2  1 0,05n 0,2 n

6.

0,05n 0,2 Ÿn 0,05

dc  d r

4 anos

120

N xixn 120 1 i x n N x 0,01 x 4 120 N x 0,01 x 4  1  0,01 x 4 0,04 N 120 0,04 N  1,04 1,04 x 0,04 N  0,04 N 120 x 1,04

8.

N xixn 

A1  A2

124,80 ŸN 0,0016

7. a)

dc

N xi xn

dc

78.000 x 0,01 x 4

dr

N xixn 1 i x n

78.000 x 0,01 x 4 3.120 Ÿ dr Ÿ dr 1  0,01 x 4 1,04

3.0001  0,015  8.400(1  0,02)

3.000

3.000 x 0,985  8.400 x 0,98 2.955  8.232

ij b)

9.

id id

CopyMarket.com

0,06 0,98

N

10.

0,375 Ÿ id

N

N 1  0,02 1,02 x 6.200

N

6.324

2 3

6.200

ij 0,6 Ÿ id 1,6

N x 0,99

N x 0,99

N 1 i x n 1  0,03 x

1  ij x n 0,6 Ÿ id 1  0,6 x 1

Ar

6.200

0,06 Ÿ ij Ÿ ij 1 1 0,02  1  0,06 3 0,0612 ou i j 6,12% a.m.

N 1  0,01 x 1

N (1  0,01)

11.187 N 0,99 N 11.300

78.000,00

0,06

ij

N 1  i x n

3.0001  0,01 x 1,5  8.4001  0,01 x 2

3.120

id 1  id x n

ij

A

N11  i x n  N 2 x 1  in

0,0416 N  0,04 N 124,80 0,0016 N 124,80 N

ij 1  ij x n

id

37,5% a.m.

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

98

x x x   3.000 1  0,08 x 1 1  0,08 x 2 1  0,08 x 3 x x x   3.000 1,08 1,16 1,24 x x 1,16 x 1,24  x x 1,08 x 1,24  x x 1,08 x 1,16 3.000 x 1,08 x 1,16 x 1,24 1,08 x (1,16) x 1,24 1,08 x 1,16 x 1,24 1,4384 x  1,3392 x  1,2528x 4.660,42 4,0304x 4.660,42 4.660,42 x Ÿ x 1.156,32 4,0304

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

99

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

0 ,1 b) log 10 = x œ 10x= 0,1 1 10x = 10 10x = 10-1 x = -1

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

c) log

12. Logaritmos

5 1

Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução Os povos antigos indicavam quantidade através de pedrinhas ou faziam marcas em madeira ou osso.

5

1 = x œ ( )x = 5 5 (5-1)x = 51/2 5-x = 51/2 1 -x= 2 1 x=2

Os cálculos aritméticos nessa época eram complicados de se efetuar. Com o desenvolvimento do comércio, das navegações e da astronomia, no fim do século XVI, foi necessário criar novos métodos que tornassem os cálculos mais simples. Os logaritmos surgiram para facilitar os cálculos e graças aos matemáticos Henry Briggs e John Napier que elaboraram as primeiras tábuas de logaritmos. O logaritmo é utilizado em química para verificar se uma solução é ácida, básica ou neutra e em matemática financeira para estudar juros compostos.

2. Definição

1) Calcular pela definição os logaritmos abaixo: 1

a)log 12 =

b) log 4 2 =

c) log 5 5 =

d) log 50, 2 =

e) log 1 /216

1 / 100 f) log 10 =

3. Propriedades

Sendo a e b números reais e positivos, com a z 1, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente que se deve dar a base a de modo que a potência obtida seja igual a b.

Log a

(a; b  R, b > 0; 0 < a z 1) b - logaritmando a - base do logaritmo x - logaritmo

= log ba + log ca

Sendo (a; b; c  R; 0 < a z 1; b > 0 e c > 0) log a

1) Calcular pela definição os logaritmos abaixo: b) log0,1 =

( a c )

b) Logaritmo do quociente

Exercícios resolvidos a) log 42 =

a) Logaritmo do produto Sendo (a; b; c  R; 0 < a z 1; b > 0 e c > 0)

Log ba = x œ ax = b

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

b = log ba - log ca c

c) Logaritmo da potência

c) log 1 /55 =

Sendo (0 < a z 1; b > 0 e D  R)

Solução: a) log 42 = x œ 2x = 4 2x = 22 x=2 CopyMarket.com

Exercícios de fixação

D

log = ba = D .log ba

100

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

101

d) Logaritmo da raiz n - ésima

Exercícios resolvidos

Sendo (0 < a z 1; b > 0 e n  N*)

1) Sendo log2 z 0,3010 e log3 z 0,4771. Calcule o valor de log 62

1/ n

n

log a b = log ba =

1 . log ba n

Solução: log(2.3) log 62 log 2

Exercícios resolvidos

3 b) log ( ) 2

0,3010  0,4771 # 2,59 0,3010

2) Dados log 3 = y . Calcular log 30 3 Solução:

1) Dados log2 # 0,3010 e log3 # 0,4771. Calcule: a) log6 =

log 2  log 3 log 2

log 30 3

d) log 2 =

c) log4 =

log 30 log 3

log(3.10) log 3

log 3  log10 log 3

y 1 y

Solução: 3) Simplificar:

a) log6 = log (2 ˜ 3) = log2 + log3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781

(log32 ).(log32 )

3 b) log ( ) = log3 - log2 = 0,4771 - 0,3010 = 0,1761 2

Solução:

c) log4 = log2 = 2 ˜ log2 = 2 ˜ 0,3010 = 0,6020 2

d)log 2 = log 2

1/ 2

log 3 log 2 . log 2 log 3

1 = ˜ log2 = 0,5 ˜ 0,3010 = 0,1505 2

1 1

b) (log54 ).(log25 )

log 4 log 5 1 . log 5 log 2

Exercícios de fixação 2) Dados log2 # 0,3010; log3 # 0,4771 e log7 # 0,8451

log 2 2  1. log 5 . log 5 log 2 2 log 2  1log 5 . 2 log 2 log 5

Calcule: a) log9 =

b) log5 =

c) log6 =

e) log 6 =

f) log

g) log21 =

2 2

d) log12 =

Exercícios de fixação 3) Sendo log2 = m e log3 = n, calcule:

4. Mudança de base As propriedades operatórias dos logaritmos são válidas somente para logaritmos que estão na mesma base. No caso de logaritmos de bases diferentes precisamos reduzir esses logaritmos para uma mesma base. log ba = CopyMarket.com

log log

a c a c

onde: b > 0 ; 0< a z 1

;

0
Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

a) log 12 2 =

b) log

=

c) log 34 =

d) log 18 4 =

e) log 3 6 =

27 f) log 12 =

4) Simplifique as expressões: a) (log 32 ) ˜(log

102

20 5

CopyMarket.com

3 2

)=

b) (log 53 ) ˜ (log

4 25

) ˜ (log 92 ) =

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

103

b) sistema neperiano É o sistema cuja base vale e. O número e é irracional e vale 2,71828... Os logaritmos na base e são denominados de neperianos ou naturais.

5. Função logarítmica Denominamos de função logarítmica a toda função do tipo: f(x) = log ax ou y = log ax (0 < a z 1 e x > 0)

Exemplo: log 7e = ln7

A função logarítmica pode ser classificada em crescente (a > 1) ou decrescente (0 < a z 1). Gráficos

6.1. Característica e Mantissa

y = log 2x x

log 2x

y

2

1 4 1 2

log 24

-2

1

log 22

-1

-1

1

log 12

0

-2

2

log 22

1

4

log 42

2

1

1

Característica de log y 1º. Caso: y t 1 ¼ ½

Quando o y for um número maior ou igual a 1, a característica de log y é obtida pela quantidade de algarismos que y apresenta na parte inteira e subtraindo uma unidade.

Exercícios resolvidos 1) Determine a característica de: a) log 300

b) log12,85

Solução: y = log x 1 4 1 2

x 12

log

a) log 300 Ⱥ c = 3 - 1 = 2 x 2

y

log12,85 Ⱥ c = 2 - 1 = 1

1

-2

2

1

-1

1

log 24 log 22

1

2

4

2º. Caso: 0 < y < 1

¼ ½

1

log 12

0

-1

2

log

1

4

-2

log

2 2 4 2

2

Quando y é um número compreendido entre 0 e 1, a característica de log y é obtida pela quantidade de zeros que y apresenta antes do primeiro algarismo significativo.

Exercícios resolvidos 1) Determine a característica de:

6. Logaritmos decimais

a)log 0,001

b) log 0,12

Os sistemas de logaritmos são: Solução:

a) sistema decimal É aquele cuja base vale 10.

a) 0,001 têm três zeros antes do primeiro algarismo significativo; então a característica é -3;

Por volta de 1614, o matemático Henry Briggs elaborou a primeira tabela de logaritmos na base 10.

b) 0,12 tem um zero antes do primeiro algarismo significativo, então a característica é -1.

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

104

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

105

3) Assinale a alternativa falsa: a) log1 = 0

6.2. Mantissa

x )= logx – logy y

b) log (

c) log

d) log (x ˜ y) = log x + log y

A mantissa é encontrada nas tábuas de logaritmos decimais. Encontramos mantissas dos logaritmos decimais dos números inteiros compreendidos entre 1 e 1.000.

Exercícios resolvidos

a bD

D . log ba

e) n.r.a.

4) (PUC-RS) Se log2 = x e log3 = y, então log375 é: a) y + 3x

c) y - x + 3

b) y + 5x

d) y - 3x + 3

e) 3 (x + y)

1) Obtenha a mantissa dos logaritmos abaixo: a) log 500

5) O produto: (log 92 ) ˜ (log 52 ) ˜ (log 35 ) é igual a:

b) log 930

Solução:

a)0

a) log500 mantissa: 0,698970

b) 1

c) 10

d) 30

e)

6) São dados: log = a e log = b. O valor de log é: a b b a) b) c) 1 a  b 1 a  b 1 a  b

b) log930 mantissa: 0,968483

1 2

d)

a 1 a  b

e)

b 2a

7) Determine a característica de:

Exercícios de fixação 5) Determine a característica de cada logaritmo a seguir:

1 10

a) log 100

c) log 231,6

e) log

b) log 0,001

d) log 5

f) log 32

1 2

a) log 2,61

c) log

b) log 0,012

d) log 20

e) log

12 5

f) log 2,168

8) Obtenha a mantissa dos logaritmos abaixo, consultando a tábua de logaritmos:

Exercícios propostos

a) log13

c) log 0,2

b) log201

d) log 2,16

e) log25

1) Calcular pela definição os logaritmos abaixo: o ,1 = a) log 10

1

c) log 10, 225 =

b) log 3 3

d)log 8 2 =

e) log 182 =

2) (Fuvest) O valor da expressão:

 (2) 2  3  27 é: (3  5)0  log 42

CopyMarket.com

a) –7

b) –1

c) 1

d)2

e) 7

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

106

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

107

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1 2

-3x

1) a) log 0,1 = x œ 10x = 0,1 10

10x

2)

1

=

-4 + 3

=

10 10x = 10-1

3) C

b) log —3 = x œ 3x = — 3 3x = 31/2

4) log2 = x; log3 = y

1

x=

2

log375 = log (3 ˜ 53) = log3 + log53 = log3 + 3 log5 =

1/25

c) log 0,2

= log 1/25 = log

1/25

x œ

x

x

5

log3 + 3˜

25

5

log5

˜

log9

—2

= x œ (—2 )x = 8

1/8

( )

x

=

15

x

=

2

2

1/2

log 9

˜3

2

2

= 2

=

log 15

2

log

9 15

=

log 15

= 1 2

log

32

2

=

15

log 15 2 ˜ log

3 15

= b 2a

1/2

a alternativa correta é a CopyMarket.com

log2 ˜ log5 ˜ log3 log2 log5

2.log3

15 2

( ) -3x

=

6) log 3 = a e log 2 = b

—2

8

1

=

log5

a alternativa correta é a e

x = 6

1

log2

log3

log32

1 x = 3

œ

˜

log2 ˜ log5 ˜ log3 log2 log5

(21/2)x = 23

2

e) log —2 = x

3

5) (log 9 ) ˜ (log 2 ) ˜ (log 5 ) = log2

8

5

2

(1)

x=2

d) log

= log3 + 3 ˜ (log10 - log2) =

2

a alternativa correta é a d

2

=

( 10 )]

[

log3 + 3 (1 - log2) = log3 + 3 - 3 log2 = y - 3x + 3

1

(1) 5

( 1)

1/25 1/5

2/10

log 1/5

1

=

-1

1 6

a alternativa é a C

x = -1

3

-1

=

1 -2

x= 

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

108

CopyMarket.com

e

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

109

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

7)

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

a) log2,61 o c = 0

13. Juros Compostos Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

b) log0,012 o c = -2

1. Introdução

c) log0,5 o c = -1

No regime de capitalização composta os juros de cada período são calculados da seguinte maneira:

d) log20 o c = 1

C = M0 e) log 12

=

log2,4 o c = 0

M1 = M 0 + J 1 1 J1 = M0.i

5 f) log2,168 o c = 0

M2 = M1 + J 2 2 J2 = M1.i

M3 = M2 + J3 ... 3 J3 = M2.i...

Calculando os montantes a partir da época zero e substituindo o resultado obtido, numa época, tem-se no montante seguinte: 8)

M0 = C M1 = M0 + M0 ˜ i = M0 (1 + i) = C (1 + i) M2 = M1 + M1 ˜ i = M1 (1 + i) = C (1 + i) ˜ (1 + i) = C (1 + i)2 M3 = M2 + M2 ˜ i = M2 (1 + i) = C (1 + i)2 ˜ (1 + i) = C (1 + i)3

a) log13 mantissa: 0,1139

Podemos escrever para a época n: b) log201

Montante no final de n períodos:

M = C (1 + i)n

mantissa: 0,3032

Os juros obtidos no final de n períodos serão dados por:

c) log 0,2

J=M-C J = C (1 + i)n - C J = C [(1 + i)n - 1]

mantissa: 0,30103

d) log 2,16 mantissa: 0,33445

Exercícios resolvidos 1) Um capital de R$ 2.000,00, foi aplicado a uma taxa de 2% a.m. durante 8 meses. Calcular o montante.

e) log25 mantissa: 0,3979

1º. Processo (com o uso da tabela) M = C (1 + i)n C = R$ 2.000,00 i = 2% a.m. = 0,02 a.m. M = 2.000 (1 + 0,02)8 n = 8 meses CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

110

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

111

M = 2.000 (1,02)8 M = 2.000 ˜ 1,17 M = 2.343,32 2º. Processo: com uso de logaritmos. M=?

2º processo : ( com o uso de logarítimos) M= C.(1+i)n 4500 = 2000 (1+i)3 log 4500 = log [ 2000. (1+i)3]

n

M = C (1 + i) M = 2.000 ˜ (1 + 0,02)8 M = 2.000 ˜ (1,02)8 log M = log [2.000 ˜ (1,02)8] log M = log 2.000 + log (1,02)8 log M = log 2.000 + 8 ˜ log 1,02 log M = 3,3010 + 8 ˜ 0,0086 log M = 3,3010 + 0,0688 log M = 3,3698 Ÿ M = 10 3,3698= 2.343,15

log 4500 = log 2000 + log (1+i)3 log 4500 – log 2000 = log (1+i)3 log

2,25 = (1 + i)3 — 2,25 =

i=?

3

1 + i = 2,25 0,333... 1 + i = 1,31 i = 1,31 - 1 i = 0,31 a.m.

ou

i = 31% a.m.

4) Calcular os juros compostos de um capital de R$6.000,00 aplicado por 5 meses, a uma taxa 6% a.a.

3) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos durante 3 meses, obtendo-se o montante de R$ 4.500,00. Calcule a taxa mensal de aplicação. M = R$ 4.500,00

— (1 + i)3

3

Solução: com uso de logaritmos: n=? M = C (1 + i)n C = R$ 3.000,00 i = 3% a.m. = 0,03 a.m. 6.000 = 3.000 (1 + 0,03)n log6= log [3 ˜ (1,03)n] M = R$ 6.000,00 log6 = log3 + log (1,03)n log6 - log3 = n ˜ log (1,03) log 6  log 3 n log 1,03 0,77815  0,47712 n 23,5meses 0,0128

n = 3 meses

= log (1+i)3

log 2,25 = log (1 + i)3

2) Durante quanto tempo se deve aplicar um capital de R$ 3.000,00 a uma taxa de 3% a.m., para produzir um montante de R$ 6.000,00.

Solução: C = R$ 2.000,00

4500 2000

1,31 = 1+i i = 1,31-1 i = 0,31 a. m. i = 31% a. m.

Solução: J=? C = R$ 6.000,00 n = 5 meses 0,06 0,005a.m. i = 6%a.a.= 12 n J = C [(1 + i) - 1] J = 6.000 [(1 + 0,005)5 - 1] J = 6.000 [(1,005)5 - 1] J = 6.000 [1,025 - 1] J = 6.000 ˜ 0,025 J = 151,50

n

M = C (1+ i)

4.500 = 2.000 ˜ (1 + i)3 4500 = (1 + i)3 2000

Exercícios de fixação 1) João colocou R$ 10.000,00 em um banco, a juros compostos de 8% a.a., capitalizados anualmente. Ao final de 2 anos obteve juros no valor de:

2,25 = (1 + i)3 —2,25 = 3— (1+i)3

3

2,25

1 3

2) Para um capital de R$ 200,00. Calcule o montante em cada caso: a) n = 15 meses e i = 24% a.a. b) n = 18 meses e i = 72% a.a.

=1+i

3) Para um capital de R$ 1.000,00. Calcule a taxa i em cada caso: a) J = R$ 200,00 e n = 2 anos. b) J = R$ 105,00 e n = 3 meses. CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

112

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

113

4) Maria aplicou seu capital durante 3 anos, a taxa nominal de 12% a.a., no regime de juros simples. Caso houvesse aplicado a juros compostos, à mesma taxa, com capitalização semestral, teria recebido R$ 2.633,36 a mais. Quanto recebeu de juros?

iM: taxa mensal de juros compostos; it: taxa trimestral de juros compostos; is: taxa semestral de juros compostos; iA: taxa anual de juros compostos.

5) Qual o capital que, aplicado a juros compostos durante 3 meses, com capitalização anual, a taxa de 5% a.a. produziu um montante de R$ 322.102,00?

Exercícios resolvidos

6) Para um capital de R$ 3.000,00. Calcule n em cada caso: a) J = R$ 918,00 e i = 8,5% a.m. b) J = R$ 1.106,60 e i = 6,8% a.m.

1) Qual a taxa semestral equivalente a 6% a.a.?

7) Uma geladeira custa R$ 720,00 à vista e pode ser paga em duas prestações mensais iguais, sendo paga a primeira prestação no ato da compra. Se os juros (compostos) são de 25% a.m., o valor de cada prestação é de:

1,06

8) Um capital de R$ 3.000,00 esteve aplicado a taxa mensal de 2% a.m. num regime de capitalização composta. Após um período de 5 meses, os juros dessa aplicação serão de:

(1  i s ) 2

1 + is = 1,0295 is = 1,0295 - 1 is = 0,0295 ou is = 2,95% a.s.

9) Um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% a.a. Seu montante final é: a) 30% superior ao capital inicial; b) 130% do valor do capital inicial; c) aproximadamente 150% do capital inicial; d) aproximadamente 133% do capital inicial.

2) Qual a taxa anual equivalente a 4% a.m.?

10) Uma televisão foi adquirida através de um plano sem entrada em três prestações mensais e iguais e consecutivas de R$ 120,00 cada uma, sendo a primeira a trinta dias da data da celebração do contrato. Admitindo-se uma taxa de 5% a.m., e capitalização composta, o valor desse bem na data do contrato é:

(1 + iA) = (1 + iM)12 1 + iA = (1 + 0,04)12 iA = (1,04)12 - 1

iA = 1,60103-1 iA = 0,60103 ou iA = 60,10% a.a.

3. Taxa Nominal e Efetiva

2. Taxas equivalentes Duas ou mais taxas de juros são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, em um mesmo período de tempo, produzem montantes iguais. Exemplo Calcular o montante produzido por um capital de R$ 1.000,00 durante 1 ano, nas seguintes condições: a) 1% a.m.

(1 + iA) = (1 + is)2 1 + 0,06 = (1 + is)2

3.1. Taxa Nominal

É a taxa em que o período de capitalização é diferente do período a que se refere a taxa. Exemplos x 10% a.a. capitalizados trimestralmente; x 15% a.a. capitalizados mensalmente;

b) 13% a.a.

a) M1 = C . (1+i)n => M1 = 1.000 (1+0,01)12 => M1 = 1.000 . (1,01)12 => M1 =1.000 . 1,13 => M1 = 1.130 b) M2 = C (1+i )n => M2 = 1.000 (1+0,13)1 => M2 = 1.000 . 1,13 => M2 = 1.130 As taxas são equivalentes pois produziram o mesmo montante ao final do período de aplicação.

3.2. Cálculo da taxa efetiva i: taxa efetiva no período inteiro; sendo iK: taxa nominal correspondente a i; K: número de capitalizações no período;

(1 + id)360 = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + iM)12 = (1 + iA)1

i

ik k

id: taxa diária de juros compostos; CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

114

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

115

3) O capital de R$ 10.000,00, colocado a juros compostos, capitalizados mensalmente, durante 3 meses, elevou-se no final desse prazo para R$ 15.000,00. Calcule a respectiva taxa de juros.

Exercícios resolvidos 1) Qual a taxa efetiva relativa à taxa nominal de 6% a.a. capitalizada mensalmente?

4) Certo capital foi colocado a juros compostos de 12% a.a., com capitalização semestral, durante 2 anos. Sabendo que rendeu R$ 2.600,00 de juros, qual o montante obtido?

ik 0,06 0,005 k 12 i = 0,5% a.m. i

5) Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 8% a.a., com capitalização trimestral, durante 1 ano e meio. Calcule os juros obtidos.

2) Qual a taxa efetiva anual, relativa à taxa de 12% a.a., com capitalização mensal? ik 0,12 0,01 k 12 i = 1% a.m. (1 + iM)12 = (1 + iA) (1 + 0,01)12 = 1 + iA i

6) Um capital C foi aplicado, a juros compostos, a uma taxa i dada para um certo período. O montante no fim de n períodos é M. O capital C pode ser determinado pela seguinte expressão: M M b) M ˜ (1 + i)n c) d) e) n.r.a. a) M ˜ (1 - i)n (1  i ) n 1  i) n 7) Uma pessoa precisa de R$ 6.000,00 por dois anos. Oferecem-lhe o dinheiro com as seguintes taxas de juros: x 2% compostos trimestralmente; x 2% compostos bimestralmente; x 2% ao mês a juros simples.

iA = (1,01)12 - 1 iA = 1,13 - 1 iA = 0,13 ou iA = 13% a.a.

Qual é a melhor opção?

Exercícios de fixação 11) Se uma caderneta de poupança, em regime de capitalização composta, apresentou um rendimento de 12% num mês e 15% no mês seguinte, o rendimento total desse bimestre foi de:

8) Calcular a taxa anual de juros compostos, equivalente, a:

12) Ache a taxa efetiva de juros anuais equivalente as seguintes taxas efetivas: a) 2% a.s. b) 3% a.m.

9) Calcular a taxa nominal e a efetiva anual correspondentes a 1,5% a.m.

a)10% a.s.

b) 5% a.t.

13) Qual a taxa bimestral equivalente aos juros compostos de 10% a.a.?

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

14) Qual a taxa anual equivalente aos juros compostos a 2% a.s.? 15) Um capital de R$ 1.000,00 vai ser aplicado a taxa de juros compostos de 2% a.t. ou 10% a.a. Qual aplicação renderá mais? 16) Uma instituição financeira realiza um empréstimo a um cliente, sendo a taxa de juros compostos de 12% a.a., com capitalização mensal. Pergunta-se: a) Qual a taxa efetiva mensal a ser paga pelo cliente? b) Qual a taxa efetiva anual a ser paga pelo cliente?

Exercícios propostos 1) A aplicação de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o montante de: a) R$ 10.358,00 c) R$ 10.378,00 e) n.r.a. b) R$ 10.368,00 d) R$ 10.388,00 2) Considerando um depósito de R$ 5.000,00 em um banco que lhe pague juros compostos de 6% a.a., calcule os juros e o montante após decorrido o prazo de 1 ano.

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

116

1) C = R$ 5.000,00 M = ? i = 20% a.m. = 0,2 a.m. n = 4 meses

M M M M M

= = = = =

C (1 + i)n 5000 (1 + 0,2)4 5000 ˜ (1,2)4 5000 ˜ 2,07 10.368,00

a alternativa correta é a b 2) C = R$ 5.000,00 i = 6% a.a. J = ? M = ? n = 1 ano

M = C (1 + i)n M = 5000 (1 + 0,06)1 M = 5000 ˜ 1,06 M = 5300 J = C ˜ [(1 + i)n - 1] J = 5000 [(1 + 0,06)1 - 1] J = 5000 [1,06 - 1] J = 5000 ˜ 0,06 J = 300,00

3) C = R$ 10.000,00 n = 3 meses

M = C (1 + i)n 15000 = 10.000 ˜ (1 + i)3

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

117

M = R$ 15.000,00 i = ?

log15 = log [10 ˜ (1 + i)3] log15 = log10 + log (1 + i)3 log15 - log10 = log (1 + i)3 log15 log (1 + i)3 = 10 log1,5 = log (1 + i)3 1,5 = (1 + i)3 3

1,5

3

1  i

R.: A melhor opção é 2% ao mês a juros simples. 8) a)

3

1 + i = (1,5)0,333...

1 + i = 1,14 i = 1,14 - 1 i = 0,14 i = 14% a.m. 4) i

12 2

= 6% a.s. = C [(1 + i)n - 1]

n = 4 sem. J = R$ 2.600,00 C=?

5) C = R$ 1.000, 00

i n

8 4

= 2% a.t.

18 3

6 trimestre

C

2600 = C [(1 + 0,06)4 - 1] 2600 = C [(1,06)4 - 1] 2600 = C [1,26 - 1] 2600 = C ˜ 0,26

(1 + is)2 = 1 + iA (1 + 0,1)2 = 1 + iA (1,1)2 = 1 + iA 1,21 = 1 + iA 1,21 - 1 = iA i = 0,21 i = 21% a.a.

b) (1 + it)4 = 1 + iA (1 + 0,05)4 = 1 + iA (1,05)4 = 1 + iA 1,22 = 1 + iA 1,22 -1 = iA iA = 0,22 iA = 22% a.a.

9) taxa nominal: 1,5 x 12 = 18% a.a. (1 + iA) = (1 + im)12 (1 + iA) = (1 + 0,015)12 (1 + iA) = (1,015)12 1 + iA = 1,20 iA = 1,20 - 1 iA = 0,20 iA = 20% a.a.

2600 0,26 M = J + C Ÿ C = 10.000 M = 2.600 + 10.000 M = 12.600

J = C [(1 + i)n - 1] J = 1000 [(1 + 0,02)6 - 1] J = 1000 [(1,02)6 - 1] J = 1000 [1,13 - 1] J = 1000 ˜ 0,13 J = 130

6) d 7) a)

i = 2% a.t. n = 8 trimestres C = R$ 6.000,00 J=?

b) i = 2% a.b. n = 12 bim C = R$ 6.000,00 J=?

J = C [(1 + i)n - 1] J = 6000 [(1 + 0,02)8 - 1] J = 6000 ˜ [(1,02)8 - 1] J = 6000 ˜ [1,17 - 1] J = 6000 ˜ 0,17 J = 1.020 J = C ˜ [(1 + i)n - 1] J = 6000 [(1 + 0,02)12 - 1] J = 6000 [1,27 - 1] J = 6000 ˜ 0,27 J = 1.620

c) J = C ˜ i ˜ n J = 6000 ˜ 0,02 ˜ 24 J = 2.880,00 CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

118

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

119

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

Solução: A ? N R$1,200,00 n 2meses i 1,5%a.m

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

A A

14. Desconto Composto Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução A idéia de desconto em juros compostos é igual ao regime de juros simples: corresponde ao abatimento que uma pessoa física ou jurídica ganha ao quitar um título de crédito antes de seu vencimento. Desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

2) Determinar o desconto racional composto de um título de R$ 6.000,00 vencível em 2 anos, a taxa de 2% a.a. Solução: N R$6.000,00 dr n 2 anos i 2%a.a. dr

dr

N (1  i ) n 6.000 6.000  (1  0,02) 2 6.000 6.000  1,0404 6.000  5.767,01

dr

232,99

Em desconto composto temos dois tipos: o racional e o comercial.

dr

Como o desconto comercial composto é pouco utilizado no sistema Financeiro Brasileiro, ficaremos limitados ao estudo do desconto racional composto.

2. Desconto Racional Composto É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual, quando uma dívida é quitada antes de seu vencimento.

Como se trata de desconto racional, a fórmula para o valor atual pode ser obtida pela relação do montante composto.

3) desconto racional composto de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.200,00 foi de R$ 200,00. Sabendo que a taxa de desconto foi de 1,5% a.m., qual foi o prazo de antecipação do pagamento?

N

R$1.200,00

dr

R$200,00

i 1,5%a.m

M = C (1 + i)n fazendo M = N e C = A, teremos: N N A(1  i ) n ou Ar (1  i ) n dr N  A

>

n

?

@

N N 1  (1  i )  n (1  i ) n Simbologia utilizada em desconto composto: N: Valor nominal; Ar: Valor atual racional; i; Taxa de desconto composto. N

dr n 

1200 (1  0,015) n 1200 200 1200  (1,015) n 1200  1000  (1,015) n 200 1200 

(1,015)

n

(1,015) n

12

12 10 1,2

log(1,015) n  log 1,2 n log(1,015) log 1,2 n

1) Calcule o valor atual de um título de crédito de R$ 1.200,00 quitado 2 meses antes de seu vencimento, a taxa de desconto composto de 1,5% a.m. Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

N (1  i ) n

10.(1,015) n

Exercícios resolvidos

CopyMarket.com

N

Solução:

dr = N - A

dr

N (1  i ) n 1.200 (1  0,015) 2 1.200 1.200 Ÿ Ÿ A 1.165,05 1,03 (1,015) 2

A

120

CopyMarket.com

log 1,2 log 1,015

0,0792 0,0065

12,18 meses

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

121

4) Um título de crédito no valor de R$ 800,00 com vencimento para 4 meses, é substituído por outro com vencimento para 2 meses. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.m., qual é o valor nominal do novo título?

6) Um título de crédito no valor de R$ 1.800,00 foi resgatado antes do seu vencimento por R$ 1.200,00. Calcular o tempo de antecipação do resgate, sabendo-se que a taxa do desconto foi de 2% a.a., capitalizados anualmente.

Solução:

7) Uma pessoa, jurídica que deve um título de crédito de R$ 6.000,00 com vencimento para 2 meses, deseja substituí-lo por outro com vencimento para 4 meses. Supondo uma taxa de desconto composto de 1,5% a.m., calcule o valor nominal do novo título.

N

R$800,00

N' ?

4 meses

n

2 meses

i 2% a.m.

i

2% a.m.

n

A

8) Uma loja tem 2 títulos de crédito de valores nominais iguais a um de R$ 1.000,00 e R$ 1.200,00 com vencimentos para 1 mês e 2 meses respectivamente. Sabendo que o dono da loja não possui dinheiro, propõe a substituição desses dois títulos por um só, dentro de 3 meses, e a taxa de desconto composto de 2% a.m.. Qual é o valor nominal desse novo título?

A'

800 N' (1  0,02) 4 (1  0,02) 2 800 N' (1,02) 4 (1  0,02) 2 800 N' (1,02) 4 (1,02) 2 800 N' 1,0824 1,0404 1,0824 N ' 1,0404 ˜ 800 832,32 N' Ÿ N ' 768,96 1,0824

Exercícios propostos 1) Desejo descontar um título de crédito de R$ 2.000,00 resgatado 2 meses antes de seu vencimento. Qual o valor atual do mesmo, descontado a uma taxa de 10% a.a.? 2) Qual será o desconto composto que um credor dá pelo débito de R$ 1.600,00 com a antecipação de 1 ano, a taxa de 1,5% a.m.? 3) valor atual de um título é de R$ 1.300,00 e a taxa de desconto composto é de 2,5% a.a., com a antecipação de 6 meses. Qual é o valor nominal do mesmo? 4) Uma loja resgata um título no valor de R$ 3.000,00 pelo valor atual de R$ 2.400,00. Como o tempo de antecipação foi de 7 meses, qual é a taxa de desconto?

Exercícios de fixação 1) Um título de crédito de valor nominal igual a R$ 1.500,00 é quitado 2 meses antes do vencimento, a taxa de desconto racional composto de 1% a.m. Calcule o valor atual do título. 2) Calcule o desconto composto de um título de crédito de R$ 2.000,00 que foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, a taxa de 1,5% a.m.? 3) Complete o quadro abaixo. Valor nominal (R$) 500,00 400,00 800,00

Taxa (% a.m.) 1 10 3 0,5

Período (meses) 2 1

desconto composto (R$)

5) Um título de crédito de R$ 1.800,00 com vencimento para 1 ano será substituído por outro para 2 anos. Calcular o valor nominal do novo título, empregando a taxa de 2% a.a. com capitalizações semestrais. 6) Uma moto está sendo vendida com uma entrada de R$ 1.600,00 mais uma prestação de R$ 250,00

para 30 dias e outra de R$ 300,00 para 60 dias. Encontre o valor da moto, considerando a taxa de juros de 2,5% a.m. 6) (Receita Federal) Um equipamento que custa, a vista R$ 1.400.000,00 está sendo vendido com financiamento, nas seguintes condições: entrada igual a 30% do preço a vista e o saldo em duas parcelas iguais, a taxa de juro compostos de 7% a.m. Se a primeira parcela deverá ser paga 30 dias após o pagamento da entrada e a segunda parcela 60 dias após a primeira, o valor de cada parcela deverá ser de:

600,00 40,00 200,00

4) Uma loja de tecidos resolve quitar um título de R$ 2.000,00 com a antecipação de 2 anos. A firma credora do título propõe um pagamento de R$ 1.650,00 pela mesma. Qual a taxa de desconto composto? 5) Recebi R$ 300,00 de desconto composto pela antecipação de 1 ano, de um título de crédito no valor de R$ 1.800,00. Qual foi a taxa de desconto? CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

122

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

123

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) N = R$ 2.000,00

N (1  i ) n

A=

n = 2 meses = ano 1 A= ?

A

6

A 2) dr = ?

n = 1 ano = 12 meses i = 1,5% a.m.

dr

N

1%a.s.

N N' (1  i ) n (1  i ) n ' 1800 N (1  0,01) 2 (1  0,01) 4 1800 N' (1  0,1) 2 (1,01) 4 1,04.1800 1800 N ' Ÿ N' 1.835,29 1,02 1,02 1,04

i = 1% a.s. A = A’

dr dr

266,67

1.600 

6)

250 300  (1  0,025)1 (1  0,025) 2 250 300 x 1600   1,025 (1,025) 2 300 x 1600  243,90  1,05 x 1600  243,90  285,71 Ÿ x 2.129,61 x 1600 

A = R$ 2.400,00 n = 7 meses

n = 6 meses = 0,5 ano

i=?

N A (1  i) n N 1300 1  i) n N 1300 (1,025)0,5 N 1300 1,01 1300 1.01.1300

2 2

2000 Ÿ A 1969,78 1,02

i = 2,5% a.a.

N=?

i

N’ = n = 4 sem.

N (1  i ) n

1.600 (1  0,015)12 1.600 1600  1,20 1600  133,33

dr dr

3) A = R$ 1.300,00

n = 2 sem.

2000 1 (1  0,1) 6 2000 1,1 ,.17

i = 10% a.a.

N = R$ 1.600,00

5) N = R$ 1.800,00

N (1  i ) n 3000 240 (1  i ) 7 A

240  (1  i ) 7 3000 3000 (1  i ) 7 2400 7

(1  i ) 7

1  i 1,25

7 1

1,25

7

1  i 1,250,14 1  i 1,03 i 1,03  1 i 0,03 i 3% a.m.

7)

x x  (1  0,07)1 (1  0,07) 2 x x 1.400.000  420.000  1,07 (1,07) 2 1,07 x  1x 980.000 (1,07) 2 1.400.000

420.000 

980.000 . (1,07) 2 2,07 x 1,14.980.000 2,07 x 1.117.200.000 2,07 x 1.117.200.000 x Ÿ 2.07

N 1316,15

x = 539.710,14

4) N = R$ 3.000,00

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

124

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

125

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

0

1

2

3.........n-1

n

Considere o problema abaixo:

15. Capitalização e Amortização Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 200,00. Determine o montante da renda, sabendo que essa instituição financeira paga juros compostos de 1% a.m. capitalizados mensalmente. Calculando o montante teremos:

Quando queremos constituir um capital, para aquisição de um bem qualquer, devemos depositar periodicamente uma quantia fixa, em uma instituição financeira. Este exemplo é de capitalização.

M = 200 + 200 (1 + 0,01) + 200 (1 + 0,01)2 + 200 (1 + 0,01)3 + 200 (1 + 0,01)4 M = 200 + [1 + (1 + 0,01) + (1 + 0,01)2 + (1 + 0,01)3 + (1 + 0,01)4]

Por amortização entendemos a ação de pagar uma dívida, em épocas distintas. A sucessão de pagamentos para constituir um capital ou para amortizar uma divida é denominada de renda. As rendas podem ser classificadas da seguinte forma:

A soma dos termos entre colchetes é uma PG onde: a1 = 1 q = (1 + 0,01) e an = (1 +0,01)4 Calculando a soma teremos: Sn

a) quanto ao prazo: As rendas são denominadas temporárias quando o número de termos ou parcelas é finito e perpétuas quando o número de termos é infinito. b) quanto a periodicidade: As rendas são denominadas periódicas quando o intervalo de tempo entre dois pagamentos consecutivos são iguais e não periódicas quando esses intervalos são diferentes. c) quanto ao valor dos termos:

a1 .(q n  1) q 1

>

@

1. (1 0,01) 5  1 (1,01) 5  1 Ÿ Sn Ÿ Sn (1  0,01)  1 1,01 Calculando o montante: Sn

1,05  1 Ÿ Sn 0,01

0,05 Ÿ Sn 0,01

5

M = C ˜ Sn M = 200 ˜ 5 M = 1.000 2.1.1. Fórmula do montante de uma renda imediata

As rendas são consideradas constantes quando todos os pagamentos são iguais. Em caso contrário, ou seja, quando os pagamentos são diferentes entre si, são chamadas de rendas variáveis.

O montante M de uma renda certa é a soma dos montantes compostos de diversos pagamentos. Mn = C + C (1 + i)1 + C (1 + i)2 + ............+ C (1+ i)n

2. Capitalização composta

Mn = C [1 + (1+ i) 2 + (1+ i)3 + ...............+ (1 + i)n]

2.1. Rendas imediatas

A soma dos termos acima formam uma PG, onde:

As rendas imediatas estão classificadas em antecipadas e postecipadas. Uma renda é imediata postecipada quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem no final de cada período. Um fluxo de caixa seria: T1 CopyMarket.com

T2

T3

Tn-1

Tn

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

126

a1 = 1 e q = 1 + i e an = (1 + i)n

Sn

a1 (q n  1) q 1

Sn

1. (1  i ) n  1 Ÿ Sn 1 i 1

>

CopyMarket.com

@

(1  i ) n  1 i

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

127

O montante será calculado pela fórmula: ª (1  i ) n  1º M C.« » i ¼ ¬

3) Calcule a taxa em que uma pessoa efetuando depósitos mensais no valor de R$ 100,00 forma o montante de R$ 530,91, ao fazer o quinto depósito. Solução: C = R$ 100,00 Mn = R$ 530,91 n = 5 meses i=?

(1  i ) n  1 fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos. Indicamos i 1 por S n i

Mn = C.S n i 530,91 = 100 S 5 S

Portanto a fórmula do montante vai ficar: M=C˜S n

= 5

i

5

i

S

i

i

530,91 100

=5,3091

Exercícios resolvidos 1) Uma pessoa deposita R$ 600,00 mensalmente. Sabendo-se que esse capital foi aplicado a uma taxa de 1% a.m., quanto possuirá no final de um ano e meio?

Consultando a tabela financeira, para n = 5, S

Solução: C = R$ 600,00 i = 1% a.m. = 0,01 a.m. n = 18 meses

4) Quantas prestações mensais imediatas de R$ 150,00 devem ser colocadas a taxa de 1% a.m., a fim de se formar um montante de R$ 922,80?

Mn = C ˜ S n i Mn = 600 ˜ S 18

Solução: C = R$ 150,00 n=? i = 1% a.m. Mn = R$ 922,80

0,01

Mn = 600 ˜ 19,6147 Mn = 11.768,82

Mn = C ˜ S n i 922,80 = 150 ˜ S S

2) Qual a importância que uma pessoa deve depositar em um banco, no final de cada semestre, a taxa de 5% a.s., capitalizados semestralmente, de tal modo que ao fazer o sexto depósito forme o capital de R$ 2.000,00?

= 5,3091, teremos i = 3% a.m. 5 i

=

n i 922,80 150

n 0,01 S

= 6,1520 n 0,01

Solução: C=? i = 5% a.s. = 0,05 a.s. Mn = R$ 2.000,00

Mn = C ˜ S n i

Consultando a tabela financeira para S

= 6,1520 e i = 1% a.m. teremos: n i

2000 = C ˜ S 6

0,05 6,1520

2.000 = C ˜ 6,80191 2.000 C Ÿ C 294,04 6,80191

n=6

Logo serão necessárias 6 prestações mensais.

Exercícios de fixação

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

128

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

129

1) Determinar o valor da prestação que deverá ser capitalizada mensalmente, a 3% a.m. para que se tenha, no final de 12 meses, um montante de R$ 4.000,00.

Mn + 200 = 200 ˜ S n+1 i

2) Qual o montante de 5 aplicações mensais de R$ 800,00 cada uma, a taxa mensal de 1,5%?

__ Mn = 200 ˜ S - 200 5+1 i

3) Quantos pagamentos de R$ 1.224,31 serão necessários, considerando uma taxa de 3% a.m. para constituir um capital de R$ 6.500,00? 4) Uma pessoa que faz uma aplicação de R$ 1.000,00 em 10 meses, gera um montante de R$ 12.578,00. Calcular a respectiva taxa mensal. 2.2. Rendas antecipadas Denominamos de rendas antecipadas, quando os pagamentos ou recebimentos dos termos ocorrem no início de cada mês respectivo. No caso de capitalização antecipada começa a ocorrer, a partir do contrato, como mostra o fluxo de caixa abaixo; T1

T2

T3

0

1

2

T4 ................ Tn 3 .................. n-1

__ Mn = 200 ˜ (S - 1) 5+1 i __ Mn = 200 ˜ (S - 1) 5+1 0,01 __ Mn = 200 ˜ (S - 1) 6 0,01 __ Mn = 200 ˜ (6,15202 - 1) __ Mn = 200 ˜ 5,15202 __ Mn = 1.030,40

n

Considere o problema abaixo: Uma pessoa deposita em uma caderneta de poupança R$ 200,00, no início de cada mês, durante 5 meses. Calcule o montante da renda, sabendo que essa instituição paga juros compostos de 1% a.m., capitalizados mensalmente. Solução: C = R$ 200,00

2.2.1. Fórmula de um montante de uma renda antecipada. __ Mn = C (1 + i) + C (1 + i)2 + .......... + C (1 + i)n Somando C a ambos os membros: __ Mn + C = C + C (1 + i) + C (1 + i)2 + .......... C (1 + i) n __ Mn + C = C [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + ........... + (1 + i)n] Observando o segundo membro da igualdade temos o montante de uma renda imediata de n+1 termos. __ Mn + C = C ˜ S n+1 i

n = 5 meses i = 1% a.m. = 0,01 a.m. __ Mn = ? __ Mn é o montante de uma renda antecipada. __ Mn = 200 (1+ 0,01)+ 200 (1+ 0,01)2 +200(1+ 0,01)3+200(1+ 0,01)4+200(1+ 0,01)5

Mn = C ˜ S -C n+1 i __ Mn = C (S - 1) n+1 i

Somando 200 a ambos os membros: __ Mn+200=200+200(1+0,01)+200(1+0,01)2+200(1+0,01)3+200(1+0,01)4+200(1+0,01)5

Exercícios resolvidos Observando o segundo membro da igualdade, teremos o montante de uma renda imediata de n + 1 termos: __ CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

130

1) Determine o montante produzido por 8 parcelas de R$ 500,00 colocadas mensalmente a juros de 1,5% a.m. sendo a primeira parcela antecipada. CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

131

3.000 = 405,74 ˜ (S Solução: C = R$ 500,00 n=8 i = 1,5% a.m.

3000 405,74

__ Mn = C ˜ (S - 1) __ n+1 i Mn = 500 ˜ (S - 1) 8+1 0,015 __ Mn = 500 ˜ (S

-1 7 i

7,39 = S - 1 7 i 7,39 + 1 = S

- 1) 9 0,015

7 i 8,39 = S

__ Mn = 500 ˜ (9,5593 -1) __ Mn = 500 ˜ 8,5593 __ Mn = 4.279,65

7 i Consultando a tabela financeira para S

= 8,39 e n = 7, teremos i = 6% a.t. 7 i

4) Quantos depósitos mensais antecipados de R$ 350,00 são necessários para constituir um montante de R$ 3.802,13 a taxa de 1,5% a.m. capitalizados mensalmente?

2) Uma pessoa deseja fazer depósitos no início de cada bimestre, em um banco que paga 12% a.a. para constituir o montante de R$ 1.500,00 no fim de 1 ano sendo os juros capitalizados bimestralmente. Solução: C=? M n R$1.500 n = 1 ano = 12 meses = 6 bim. i = 2% ao bimestre

S

- 1) 7 i

Solução: n=? C = R$ 350,00 Mn = R$ 3.802,13 i = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.

__ Mn = C ˜

(S - 1) n+1 i

M n = C.(S -1) n+1 i

3.802,13 = 350 (S - 1) n+1 0,015

1.500= C.(S -1) 6+1 0,02

3.802,13 350

S n+1 0,015 -1

1.500 = C.(S -1) 7 0,02 1.500 = C.(7,43428 – 1) 1.500 = C. 6,43428 1.500 Ÿ C 233,13 C= 6,43428

10,86 = S n+1 0,015 10,86 + 1 = S n+1 0,015 11,86 = S n+1 0,015

3) Uma empresa realizou 6 depósitos trimestrais antecipados de R$ 405,74 e obteve o montante de R$ 3.000,00. Qual foi a taxa de juro? Solução: n = 6 trimestres C = R$ 405,74 Mn = R$ 3.000,00 i=?

CopyMarket.com

Consultando a tabela financeira para S = 11,86 e i = 1,5% a.m., teremos n = 10. Mn = C ˜ (S -1) n+1 i

n + 1 = 11 n = 11 - 1 n = 10

3.000 = 405,74 . (S - 1) 6+1 i Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

132

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

133

200 200 200 N Ÿ A4 Ÿ A4 Ÿ A4 Ÿ A4 192,31 1,04 (1  I ) 4 (1  0,01) 4 (1,01) 4 O valor atual de uma renda é calculado pela soma dos valores atuais dos seus termos, assim sendo teremos; A4=

Exercícios de fixação 5) Uma pessoa deseja capitalizar de uma forma antecipada 5 prestações mensais de R$ 250,00 a 2% a.m. Qual o montante ao final da aplicação? 6) Um montante de R$ 3.200,00 foi capitalizado em 6 parcelas mensais, a taxa de 2%a.m., sendo a primeira capitalizada antecipadamente. Calcule o valor da prestação.

An = A1 + A2 + A3 + A4 An = 198,02 + 196,08 + 194,17 + 192,31 An = 780,58 3.1.1. Fórmula do valor atual de uma renda imediata

7) Calcule o número de termos de uma renda anual antecipada de termo R$ 250,00, cujo montante, a taxa de 1% a.a. é de R$ 1.288,00.

Seja An o valor atual de uma renda e A1; A2 ...... An valores atuais dos seus termos. Calculando a soma teremos:

3. Amortização composta

An = A1 + A2 + ........... + An N N N An   .....  (1  i )1 (1  i ) 2 (1  i ) n

3.1. Renda imediata

ª 1 1 1 º N«   .....  » 1 (1  i ) 2 (1  i ) n ¼ ¬ (1  i )

Considere o problema:

AN

Uma pessoa tem uma dívida e deseja amortizar em 4 prestações mensais de R$ 200,00, sendo 1% a.m. a taxa de juros. Qual é o valor da dívida amortizada?

Os termos entre os colchetes formam uma PG onde: a1 =

Solução:

Calculando a soma dos termos teremos:

N = R$ 200,00

a1ªqn 1º »¼ «¬ Sn q1

i = 1% a.m. = 0,01 a.m. n = 4 meses

1

O problema pede para calcular o valor atual das prestações na época zero. (no ato da compra e assinatura de contrato). N A (1  i ) n

ŸSn

O valor atual da primeira prestação é de: A1=

N Ÿ A1 (1  I )1

200 Ÿ A1 (1  0,01)1

A2=

N Ÿ A2 (1  I ) 2

200 Ÿ A2 (1  0,01) 2

200 Ÿ A2 (1,01) 2

200 Ÿ A2 1,02

196,08

A3=

N Ÿ A3 (1  I ) 3

200 Ÿ A3 (1  0,01) 3

200 Ÿ A3 (1,01) 3

200 Ÿ A3 1.03

194,17

CopyMarket.com

Sn

200 Ÿ A1 1,01

ª x«

1

1i ¬« 1i n 1 1 1i

1º  » 1» ¼

1

ŸSn

1i

ª11i n º » x« «¬ 1i n »¼ ŸSn 11i 1i

1

1 1 1 ;q= e an = 1 i 1 i (1  i ) n

1i

ª11i n º » x« «¬ 1i n »¼ Ÿ i 1i

1 ª11i n º 1i 1i n 1 » x ŸSn x« 1i «¬ 1i n »¼ i ix1i n

(1  i ) n  1 é denominado de fator de amortização e indicamos por a (1  i ) n .i

198,02

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

An = N ˜ a

134

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

135

Exercícios resolvidos

Exercícios de fixação

1) Calcule o valor de uma dívida que pode ser amortizada em 6 prestações mensais de R$ 120,00 cada uma, sendo 1% a.m. a taxa de juros?

8) Calcule o valor atual de uma anuidade periódica de R$ 1.200,00, nos seguintes casos:

Solução: N = R$ 120,00 i = 1% a.m. = 0,01 a.m. n = 6 meses

taxa de juros a)2% a.m. b) 5% a.t.

An = N . a n i An = 120 . a 6 0,01 An = 120 ˜ 5,79548

prazo 18 meses 6 trimestres

9) Paguei 10 prestações de R$ 150,00 num financiamento feito a base de 1% a.m. Qual o valor da dívida amortizada? 10) Comprei uma geladeira que à vista sairia por R$ 1.200,00, pagando em 6 prestações mensais de R$ 221,52. Qual foi a taxa mensal de juros cobrada no financiamento?

An = 695,46

11) Calcule o número de prestações mensais de R$ 245,32 pagarei uma dívida de R$ 1.500,00, se o financiamento foi feito a base de 3,5% a.m.? 2) Qual o valor da prestação mensal para amortizar, com 6 prestações, um empréstimo de R$ 3.000,00 a juros de 2% a.m.?

12) Uma chácara é colocada a venda por R$ 80.000,00 a vista ou a prazo nas seguintes condições: 20% de entrada e o restante em 15 meses com juros de 2% a.m. Qual é o valor da prestação?

Solução: An = R$ 3.000,00 N=? i = 2% a.m. n = 6 meses a = 5,60143

An = N ˜ a

3.2. Renda Antecipada n i Considere o seguinte problema:

3.000 = N ˜ a

Uma pessoa deseja amortizar uma dívida com 4 prestações mensais antecipadas de R$ 150,00, sendo 1% ao mês a taxa de juros?

6 0,02 3.000 = N ˜ 5,60143

3.000 ŸN N= 5,60143

Solução:

535,58

N = R$ 150,00

3) Uma moto custa a vista, R$ 12.000,00. Para compra a prazo, é dado o seguinte plano de pagamento:

10% de entrada e o restante em 5 prestações mensais de R$ 2.494,53. Calcule a taxa de financiamento.

n = 4 meses A primeira prestação vai ser paga no ato da compra, portanto seu valor é igual a 150.

Solução: An = 12.000 ˜ 0,9 = 10.800 An = N ˜ a n i N = 2.494,53 n = 5 meses 10.800 = 2.494,53 ˜ a i=? 5 i 10.800 a = 2.494,53 5 i a = 4,33 5 i Consultando a tabela financeira para a

i = 1% a.m. = 0,01 a.m.

= 4,33 e n = 5, teremos i = 5% a.m. 5 i

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

136

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

137

A1 A1 A2 A3 A4

N (1  i ) n N (1  i ) n N (1  i )1 N (1  i ) 2 N (1  i ) 3

150 (1  0,01) 0 150 (1  0,01)1 150 (1  0,01) 2 150 (1  0,01) 3

150 150,51 1,01 150 148,51 1,01 150 150 (1,01) 2 1,02 150 (1,01) 3

150 1,03

Sn

147,06

1 ª 1 1º x«  » n 1i «¬ 1i 1»¼ Sn ŸSn 1 1 1i

145,63

ŸSn

An

é o valor atual de uma renda antecipada assim sendo:

An

A1  A2  A3  A4

An

150  148,51  147,06  145,63

An

591,20

N

1 ª11i n º » x« 1i «¬ 1i n »¼ ŸSn 11i 1i

1 ª11i n º » x« 1i «¬ 1i n »¼ Ÿ i 1i

ª11i n º 1i 1i n 1 » x ŸSn x« «¬ 1i n »¼ i ix1i n

a n i

Em renda antecipada ocorre um pagamento no ato da compra e teremos n-1 prestações, a pagar: __ An - N = N ˜ a n-1 i __ an = N + N ˜ a n-i i

N N N   ... (1  i )1 (1  i ) 2 (1  i ) n

Subtraindo (N) a ambos os membros: 1 N N An  N N  N    ...  (1  i ) n (1  i )1 (1  i ) 2 N N N An  N   ...  (1  i )1 (1  i ) 2 (1  i ) n An  N

1

1i

(1  i ) n  1 (1  i ) n .i

3.2.1. Fórmula do valor atual de uma renda antecipada

An

a1ªqn 1º »¼ «¬ q1

__ An = N (a + 1) n-1 i

ª 1 1 º 1 N«   ...  » 1 (1  i ) n ¼ (1  i ) 2 ¬ (1  i )

Exercícios resolvidos

1) Determine o valor atual de uma anuidade antecipada de 8 termos mensais de R$ 150,00, sendo a taxa de 2% ao mês.

Os termos entre colchetes formam uma PG onde: 1 1 1 ; an a1 eq 1 i (1  i )1 (1  i ) n

Solução: An ?

N R$150,00 n 8meses i 2%a.m.

An = N . (a + 1 ) n-1 i An = 150.(a +1) 8-1 0,02 An = 150.(a +1) 7 0,02 An = 150.(6,47199+1) An = 150.7,47199 An = 1.120,80

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

138

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

139

15) Quantos pagamentos mensais antecipados de R$ 1.000,00 são necessários para se amortizar uma dívida de R$ 6.795,50 sendo a taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente? 2) Calcule o valor da prestação mensal antecipada para amortizar, com 5 pagamentos, realizado numa compra de R$ 600,00 sendo a taxa de juros de 1,5% a.m.

16) Uma televisão é vendida em 4 prestações mensais e iguais a R$ 300,00, sendo a primeira paga como entrada. Se a taxa de juros do financiamento é de 8% ao mês, calcule o preço a vista?

Solução

An

R$600,00

n 5meses i 1,5%a.m. N ?

3.3. Rendas diferidas

An = N .(a +1) n-1 i 600= N.(a +1) 5-1 0,015 600 = N. (a +1) 4 0,015 600 = N . (3,85438+1) 600 Ÿ N 123,60 N= 4,854338

Em rendas diferidas o primeiro pagamento ocorre após um período de carência. O número de períodos que antecede o primeiro vencimento é denominado de diferimento de renda. Consideremos uma renda imediata de n termos e que apresenta um período de carência m, como mostra o esquema abaixo: T1

0

1

T2

2 .............m

T3...............Tn

m +1 m+2.......m+n-1

m+n

3) Quantas prestações semestrais antecipadas de R$ 120,00 serão necessárias para amortizar uma dívida no valor de R$ 857,35 com taxa de 10% ao semestre? Solução: n=? i = 10% ao semestre N = R$ 120,00 An R$857,35

O valor atual de uma renda diferida de n termos com m períodos de carência é igual ao valor atual de uma renda de m+n termos menos o valor atual da renda de m termos. A n = N(a +1) n-1 i 857,35=120.(a +1) n-1 0,1 857,35 a +1 120 n-1 0,1 7,14 = a +1 n-1 0,1 a = 7,14 - 1 n-1 0,1 a = 6,14 n-1 0,1

m/An = N ˜ (a -a ) m+n i m i Considere o problema abaixo: 1) Qual o valor de uma dívida amortizada em 4 prestações mensais de R$ 200,00, sendo a taxa de juros de 1% a.m., com uma carência de 2 meses? Solução: Indicamos renda diferida por m/An Solução: N = R$ 200,00 n = 4 meses m = 2 meses i = 1% a.m. = 0,01 a.m. m/An = ?

Consultando a tabela financeira a = 6,14 e i = 10% teremos n-1 = 10 n-1 0,1 N=11

m/An = N ˜ (a -a ) m+n i m i m/An = 200 ˜ (a -a ) 4+2 0,01 2 0,01 m/An = 200 ˜ (a -a ) 4+2 0,01 2 0,01 m/An = 200 ˜ (5,79548 - 1,97040)

Exercícios de fixação 13) Calcule o valor atual de uma renda antecipada de 6 parcelas iguais de R$ 200,00 sendo a taxa de juro de 1% a.m.

m/An = 200 ˜ 3,82508

m/An = 765,02

14) Uma pessoa realizou um financiamento de R$ 6.000,00 feito em 8 parcelas mensais iguais com taxa de 2% ao mês. Calcular a parcela antecipada do financiamento. CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

140

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

141

Exercícios resolvidos 1) Calcule o valor atual de uma renda de 6 termos mensais de R$ 180,00 com 2 meses de carência, sendo a taxa de juro de 2% a.m.

1) Uma empresa deposita em uma caderneta de poupança R$ 50.000,00, no início de cada bimestre. Sendo a taxa de 18% a.a., capitalizada bimestralmente, calcular o montante no fim de 1 ano.

Solução: m/An = ? m/An = N ˜ (a -a ) N = R$ 180,00 m+n i m i n = 6 meses m = 2 meses m/An = 180 ˜ (a -a ) i = 2% a.m. = 0,02 6+2 0,02 2 0,02 a.m. m/An = 180 ˜ (a -a ) 6+2 0,02 2 0,02

2) Uma pessoa deseja formar um fundo de provisões de forma que, depois do 8o depósito, possua o montante de R$ 1.500.000,00. Quanto deve depositar no fim de cada ano, em um banco que paga juros compostos de 9% a.a.? 3) Determine o montante de uma renda trimestral, antecipada, de R$ 120,00 a taxa de 12% ao ano, durante 2 anos? 4) Uma aplicação mensal de R$ 100,00 em 8 meses, gera um montante de R$ 958,00. Calcular a taxa mensal.

m/An = 180 ˜ (7,32548 - 1,94156)

5) preço de uma moto à vista é de R$ 8.000,00. Um comprador dá 20% de entrada e o restante é financiado a uma taxa de juros de 2% ao mês em 6 meses. Calcule o valor da prestação mensal.

m/An = 180 ˜ 5,38 m/An = 969,10 2) Uma pessoa deseja amortizar uma dívida de R$ 3.000,00 com 5 prestações mensais. Qual o valor dessas prestações, sendo a taxa de juros igual a 1% ao mês e a carência de 2 meses? Solução: m/An = R$ 3.000,00 N=? i = 1% a.m. = 0,01 a.m. n = 5 meses m = 2 meses

Exercícios propostos

6) Um terreno é vendido com R$ 3.500,00 de entrada e o restante em 14 prestações mensais de R$ 300,00 cada. Calcular o valor à vista desse terreno, sendo usado a taxa de 24% ao ano, capitalizada mensalmente. 7) Calcule o valor de 6 prestações mensais na compra de um eletrodoméstico cujo preço à vista é de R$ 900,00, sabendo-se que o juro cobrado é de 1% ao mês e as prestações são antecipadas?

m/An = N ˜ (a -a ) m+n i m i 3.000 = N . (a -a ) 5+2 0,01 2 0,01 3.000 = N ˜ (a -a ) 6+2 0,02 2 0,02

8) Quantos pagamentos mensais antecipados de R$ 150,00 são necessários para uma dívida de R$ 1.159,23, com taxa de juros de 12% ao ano, capitalizados mensalmente? 9) Uma televisão foi comprada com R$ 600,00 de entrada e 6 prestações mensais de R$ 100,00, diferidas de 3 meses. Sendo os juros de 2% a.m., qual o preço a vista da televisão?

3.000 = N (6,72819 - 1,97040)

10) Determinar o valor atual de uma renda mensal de 7 termos iguais a R$ 200,00 com carência de 3 meses, sendo de 3% a.m. a taxa de juros.

3.000 = N . 4,75779 3.000 N Ÿ N = 630,54 4.75779

11) Uma agência vende um automóvel por R$ 12.000,00 e oferece dois planos de pagamentos: Plano A: 10% de entrada e 10 prestações mensais iguais a R$ 1.140,29.

Exercícios de fixação

Plano B: 20% de entrada e 8 prestações mensais iguais de R$ 1.310,49.

17) Qual o valor de uma dívida assumida por uma empresa que pagou 8 prestações mensais de R$ 850,00, a taxa de juros de 2% ao mês, com um período de carência de 3 meses?

Qual dos dois planos tem a menor taxa de juros mensais?

18) Qual o valor atual de uma dívida que deve ser amortizada em 5 prestações mensais de R$ 300,00, sendo de 3% ao mês a taxa de juros e pagando a primeira prestação 3 meses depois de realizado o empréstimo? 19) Uma loja em promoção anuncia: “compre e pague em 8 vezes. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 2 meses”. Se a taxa de financiamento é de 1,5% ao mês, qual é o valor da prestação de uma secadora de roupa cujo preço a vista é de R$ 1.200,00? CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

142

12) Dois automóveis iguais são vendidos por agências diferentes, de acordo com os planos abaixo: Agência 1: R$ 5.000,00 de entrada e 20 prestações mensais de R$ 400,00; Agência 2: R$ 3.000,00 de entrada e 30 prestações mensais de R$ 500,00; Se a taxa de juros mensais de mercado for de 2%, qual das agências terá o menor preço à vista?

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

143

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

__ Mn = C ˜ (S - 1) n+1º i

4) C = R$ 100,00

C = R$ 50.000,00

i

18 6

__

Mn = C ˜ S nº i

1) Mn = ?

3% a.b.

n = 6 bim.

Mn = R$ 958,00

958 = 100 (S - 1 ) 9º i

Mn = 50.000 ˜ S 6º 0,03

i=?

958 = S -1 9º i 100

Mn = 50.000 ˜ 6,46841

n = 8 meses

9,58 + 1 = S 9º i S = 10,58 9º i

Mn = 323.420,50

Consultando a tabela financeira p/ n = 9 e S Mn = C ˜ S nº i

2) C = ?

M = R$ 1.500.000,00

1.500.000 = C ˜ S 8º 0,09

5) Solução:

1.500.000 = C ˜ 11,02847

n = 8 meses i = 9% a.a. = 0,09 a.a.

__ 3) Mn = ?

An = 8.000 ˜ 0,8 = 6.400

An = N ˜ a nº i

i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

6.400 = N ˜ a 6º 0,02

__

n = 6 meses

6.400 = N ˜ 5,60143

Mn = C ˜ (S - 1) n+1º i __

N=?

N

1.500.000 ŸC 11,02847

Mn = 120 ˜ (S

C = R$ 120,00

__

136,011,61

N = 6.400

Ÿ N = 1.142,56

5,60143

- 1) 9º 0,03 6) Solução:

12 i= = 3% a.a. 4

Mn = 120˜ (10,15911 -1)

n = 8 trimestres

Mn = 120 ˜ 9,15911

__

__

entrada: R$ 3.500,00

An = N ˜ a nº i

n = 14

An = 3.500 + 300 ˜ a 14º 0,02

N = R$ 300,00

An = 3.500 + 300 ˜ 12,10625

Mn = 1.099,09

i= CopyMarket.com

= 10,58, teremos i = 4%. 9º i

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

144

24 = 2% a.m. 12

CopyMarket.com

An = 7.131,87

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

145

7) Solução: __

__

An = R$ 900,00

An = N ˜ (a +1) n-1º i

N=?

900 = N ˜ (a

10) m/An = N ˜ (a m+nº i

N=

n=6

a ) = mº i

m/An = 200 ˜ (a 7+3º 0,03

+1) 5º 0,01

a ) = 3º 0,03

m/An = 200˜ (a - a ) = 3º 0,03 10º 0,03

900 = N ˜ (4,85343 +1)

i = 1% a.m.

-

m/An = 200 ˜ (8,53020 - 2,82861) =

900 Ÿ N = 153,76 5,85343

m/An = 200 ˜ 5,70159 = 8) n = ? __

__

An = R$ 1.159,23

An = N ˜ (a + 1) n-1º i

N = R$ 150,00

1.159,23 = 150 ˜ (a +1) n-1º 0,01

i=

12 = 1% a.m. 12

m/An = 1.140,32

Plano B:

11) Plano A:

1.159,23 = a +1 150 n-1º 0,01 150 7,73 = a +1 n-1º 0,01 a = 7,73 - 1 n-1º 0,01

12.000 ˜ 0,9 = 10.800

12.000 ˜ 0,8 = 9,600

An = N ˜ a nº i

An = N ˜ a nº i

10.800 = 1.140,29 ˜ a 10º i

9.600 = 1.310,49 ˜ a 8º i

10.800

a = 6,73 n-1º 0,01 Consultando a tabela financeira a = 6,73 e i = 1%. n-1º 0,01 n-1=7

9.600

a = 10º i 1.140,29

a = 8º i 1.310,49

a = 9,47 10º i

a = 7,325 8º i

i = 1%

i = 2%

n=8 R.: O plano A tem a menor taxa. 9) 600 + 100 (a 6+3º 0,02

a ) = 3º 0,02

600 + 100 (a 9º 0,02

a ) = 3º 0,02

12) Agência

Agência 1 5.000 + 400 a = 20º 0,02

2

3.000 + 500 a = 30º 0,02

600 + 100 (8,16224 - 2,8839) =

5.000 + 400 ˜ 16,351433 =

3.000 + 500 ˜ 22,396456 =

600 + 100 ˜ 5,2783 =

5.000 + 6.540,57 = 11.540,57

3.000 + 11.198,23 = 14.198,23

600 + 527,83 = 1.127,83

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

R.: Comprar o carro na agência 1 é a melhor opção. 146

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

147

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

0

T

T

T ......

T

T

1

2

3 ...... n-1

n

A dívida será dade pela seguinte relação;

16. Empréstimos Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

D=R˜a n i onde:

1. Introdução:

D - dívida inicial

Quando uma pessoa física ou jurídica realiza um empréstimo para aquisição de um bem qualquer é esperada a devolução do capital acrescido de juros.

R - Prestação

Neste capítulo estudaremos as maneiras mais comuns de pagamento de uma dívida. São os sistemas de amortização.

a

A distinção de um sistema de amortização do outro é a maneira de pagamento das prestações podendo ser constantes, variáveis ou até únicas, sendo composta de duas partes: juros e amortização.

2. Planos de amortização de empréstimos.

- fator de amortização n i Exemplo: 1) Uma pessoa adquire uma dívida no valor de R$ 4.000,00, que deverá ser amortizada, pelo método francês, com 5 prestações anuais, à taxa de 10% ao ano. Calcule o valor da prestação. D = R$ 4.000,00 n=5 i = 10% a.a.

Quando quitamos um empréstimo, podemos abater no imposto de renda, os juros cobrados.

D=R˜a n i 4.000 = R ˜ a 5 0,1 4.000 = R ˜ 3,79079

Denominaremos a amortização (A) e o juro (J) que estão compondo a prestação (R). R=A+J

R Antes de estudarmos os principais sistemas de amortização, vamos definir alguns termos importantes: a) b) c) d) e) f)

4.000 Ÿ R 1.055,19 3,79079

2.1.1. Montagem de uma planilha de amortização

credor é o indivíduo que concede o empréstimo; devedor ou mutuário é a pessoa que recebe o empréstimo; IOF é o imposto sobre operações financeiras; Amortização (A) é o pagamento em prestações de um capital emprestado; Juros é a remuneração do capital; Prestação (R) é a composição da amortização com juros.

Período 1 O valor da primeira prestação é de R$ 1.055,19 com uma taxa de juro de 10% ao ano sobre o valor da dívida.

Os principais sistemas de amortização são: sistema francês; sistema de amortização constante; sistema de amortização misto.

J1 = 10% de 4.000 Ÿ J1 = 0,1 ˜ 4.000 Ÿ J1 = 400 A primeira amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e os juros. A1 = 1.055,19 - 400 Ÿ A1 = 655,19

2.1. Sistema Francês No sistema francês de amortização o devedor paga, periodicamente as prestações que compreendem os juros e a amortização da dívida, de modo que efetuado o último pagamento, a dívida está quitada. CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

148

O saldo devedor do período 1 (D1) D1 = 4.000 - 655,19 Ÿ D1 = 3.344,81 CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

149

Período 2

Representação gráfica:

Após o pagamento da 1a. prestação o saldo devedor é de R$ 3.344,81. Os juros serão de: Prestação

J2 = 10% de 3.344,81 Ÿ J2 = 0,1 ˜ 3.344,81 Ÿ J2 334,48 A segunda cota de amortização será calculada pela diferença entre a prestação e os juros do período 2.

Amortização

Juros

A2 = 1.055,19 - 334,48 Ÿ A2 = 720,71 D2 = 3.344,81 - 720,71 Ÿ D2 = 2.624,10

1º

Período 3

2º

3º

4º

Período

J3 = 10% de 2.624,10 Ÿ J3 = 0,1 ˜ 2624,10 Ÿ J3 = 262,41 A3 = 1.055,19 - 262,41 Ÿ A3 = 792,78 D3 = 2.624,10 - 792,78 Ÿ D3 = 1.831,32

Exercícios de fixação

Período 4

1) Uma dívida de R$ 10.000,00 deve ser paga, pelo sistema francês, mediante 6 prestações, a taxa de juros de 3%. Calcular o valor da prestação.

J4 = 10% de 1.831,32 Ÿ J4 = 0,1 ˜ 1.831,32 Ÿ J4 = 183,13 A4 = 1,055,19 - 183,13 Ÿ A4 = 872,06 D4 = 1.831,32 - 872,06 Ÿ D4 = 959,26

2) Um financiamento de R$ 12.000,00 é feito à taxa de 18% ao ano (tabela Price) e a liquidação em 5 meses. Construa a planilha de amortização.

Período 5

Exercícios propostos

J5 = 10% de 959,26 Ÿ J5 = 0,1 ˜ 959,26 Ÿ J5 = 95,93 A5 = 1.055,19 - 95,93 Ÿ A5 = 956,26 D5 = 959,26 - 959,26 Ÿ D5 = 0 Período (n) 0 1 2 3 4 5

Prestação (R)

Juros (Jn)

Amortização (An)

1.055,19 1.055,19 1.055,19 1.055,19 1.055,19

400 334,48 262,41 183,13 95,93

655,19 720,71 792,78 872,06 959,26

Saldo devedor (Dn) 4.000 3.344,81 2.624,10 1.831,32 959,26 __

1) Uma pessoa realizou um empréstimo de R$ 4.000,00 sabendo que a taxa de juros cobrada pela instituição é de 12% ao ano e que a dívida deve ser quitada em 5 meses. Calcule o valor das prestações pelo sistema Price. 2) Um banco faz um empréstimo de R$ 6.000,00 a um cliente, com base na tabela Price e a juros de 12% ao ano, para ser devolvido em 6 meses. Construir a planilha de amortização.

2.2. Sistema de Amortização Constante (SAC) Neste sistema, como no anterior, o devedor paga o empréstimo em prestações periódicas, englobando juros e amortização.

2.1.2. Tabela Price O sistema Price de amortização é um caso particular do sistema de amortização francês e apresenta as seguintes características: a) os pagamentos das prestações são mensais; b) a taxa de juros compostos é anual; c) no cálculo é utilizada a taxa proporcional ao período considerado.

A diferença é que neste sistema, a amortização é constante em todos os períodos. A amortização vai ser obtida pelo quociente do valor da dívida pelo número de períodos, em que deve ser quitado o financiamento. Exemplo: 1) Um banco faz um empréstimo de R$ 6.000,00 para ser pago pelo SAC em 4 prestações anuais, a taxa de 3% ao ano. Construa o quadro de amortização.

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

150

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

151

Solução: D = R$ 6.000,00 n=4 i = 3% ao ano

Pelo gráfico observamos que a amortização é constante, que o valor das prestações são decrescente, e os juros decrescem em função do saldo devedor. 2.2.1. Cálculo do saldo devedor

Calculando o valor da amortização. 6.000 D A= 1.500 ŸA Ÿ A 4 n

O saldo devedor do período será calculado pelo saldo devedor do período anterior menos a amortização. Dn = Dn-1 - A

Período 1 J1 = D ˜ i Ÿ J1 = 6.000 ˜ 0,03 Ÿ J1 = 180 R1 = J1 + A Ÿ R1 = 180 + 1.500 Ÿ R1 = 1.680 D1 = D - A Ÿ D1 = 6.000 - 1.500 Ÿ D1 = 4.500

Logo para: n = 1 Ÿ D1 = D - A n = 2 Ÿ D2 = D1 - A Ÿ D2 = D - A - A Ÿ D2 = D - 2A n = 3 Ÿ D3 = D2 - A Ÿ D3 = D - 2A - A Ÿ D3 = D - 2A - A Ÿ D3 = D - 3A

Período 2 J2 = D1 ˜ i Ÿ J2 = 4.500 ˜ 0,03 Ÿ J2 = 135 R2 = J2 + A Ÿ R2 = 135 + 1.500 Ÿ R2 = 1.635 D2 = D1 - A Ÿ D2 = 4.500 - 1.500 Ÿ D2 = 3.000

SDK = D - K ˜ A Exemplo:

Período 3 J3 = D2 ˜ i Ÿ J3 = 3.000 ˜ 0,03 Ÿ J3 = 90 R3 = J3 + A Ÿ R3 = 90 + 1.500 Ÿ R3 = 1.590 D3 = D2 - A Ÿ D3 = 3.000 - 1.500 Ÿ D3 = 1.500

1) Uma pessoa faz um empréstimo de R$ 6.000,00 em um banco através do SAC em 10 prestações anuais, a taxa de 15% ao ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a sexta prestação. Solução:

Período 4 J4 = D3 ˜ i Ÿ J4 = 1.500 ˜ 0,03 Ÿ J4 = 45 R4 = J4 + A Ÿ R4 = 45 + 1.500 Ÿ R4 = 1.545 D4 = D3 - A Ÿ D4 = 1.500 - 1.500 Ÿ D4 = 0 Período (n) 0 1 2 3 4

D = R$ 6.000,00 n = 10 i = 15% ao ano Ÿ i = 0,15 a.a.

Prestação (R)

Juros (Jn)

Amortização (An)

1.680 1.635 1.590 1.545

180 135 90 45

1.500 1.500 1.500 1.500

Saldo devedor (Dn) 6.000 4.500 3.000 1.500 ---

Baseado no exemplo acima podemos fazer a representação gráfica.

D ŸA N

6.000 ŸA 10

600

SDk = D - K ˜ A SD6 = 6.000 - 6.600 SD6 = 6.000 - 3.600 SD6 = 2.400

Exercícios de fixação 3) Elabore uma planilha de pagamento, baseado no SAC, correspondente a um financiamento de R$ 10.000,00, a taxa de 1% a.m. a ser liquidado em 8 prestações mensais.

Prestação

Juro Amortização 1º

CopyMarket.com

A

2º

3º

4º

nº

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

152

4) Um financiamento de R$ 5.000,00 é amortizado pelo sistema de amortização constante em 8 prestações mensais, a taxa de 2% a.m. Calcule: a) a cota de amortização; b) a primeira parcela de juros; c) a primeira prestação; d) saldo devedor após o pagamento da 4a prestação.

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

153

Exercícios propostos

Período 0 1 2 3 4

3) Na compra de uma casa, uma pessoa faz um empréstimo de R$ 60.000,00, a financeira utiliza a taxa de juros compostos de 3% a.m. Essa importância será amortizada através do sistema de amortização constante (SAC), em 6 prestações mensais. Construa a planilha de amortização. 4) Um financiamento de R$ 4.000,00 deverá ser pago em 8 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira 30 dias após a liberação do dinheiro. Considerando que o financiamento seja feito pelo SAC a uma taxa mensal de 2% a.m. Pede-se: a) a cota de amortização; b) juro pago na primeira prestação; c) valor da primeira prestação; d) o saldo devedor após o pagamento da 6a prestação.

Prestação

Juros

Amortização

1.577,35 1.577,35 1.577,35 1.577,38

500 392,27 273,76 143,40

1.077,35 1.185,08 1.303,98 1.433,98

Saldo devedor 5.000 3.922,65 2.737,57 1.433,98 ---

b) Sistema de amortização constante

x neste sistema as amortizações serão calculadas pelo quociente da dívida inicial pelo número de períodos. D n x os juros serão calculados sobre o saldo devedor anterior. x a prestação (R) será dada pela expressão: R=A+J A

2.3. Sistema de Amortização Misto (SAM) O sistema de amortização misto é um sistema moderno, pois seus cálculos são feitos pela média aritmética do sistema francês e do sistema de amortização constante.

x o saldo devedor do período (SDn) é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior (SDn-1) e a amortização do período (A).

Exemplo: SDn = SDn-1 – A 1) João fez um empréstimo de R$ 5.000,00, em um banco pelo SAM em 4 prestações anuais, a taxa de 10% ao ano. Construa a planilha para as seguintes situações: a) sistema francês; b) sistema de amortização constante; c) sistema de amortização misto. Solução: a) Sistema francês

x as prestações são iguais e calculadas pela seguinte relação: R =

A=R-J

x o saldo devedor do período é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior e a amortização do período.

R

R

CopyMarket.com

Juros

Amortização

1.750 1.650 1.500 1.350

500 375 250 125

1.250 1.250 1.250 1.250

Saldo devedor 5.000 3.750 2.500 1.250 ---

x as amortizações serão obtidas pela média aritmética entre as amortizações do sistema francês e as do sistema de amortização constante; x os juros serão calculados sobre o saldo devedor anterior. x a prestação (R) será dada pela expressão: R = A + J x o saldo devedor do período (SDn) é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior (SDn-1) e a amortização (A). SDn = SDn-1 – A Período (n) 0 1 2 3 4

D 5.000 ŸR Ÿ a a n i 4 0,01 5.000 Ÿ R 1.577,35 3,16987

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

Prestação

c) Sistema de amortização mista

D a n i

x o juro é calculado sobre o saldo devedor anterior; x a amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e os juros do período correspondente.

Dados: D = R$ 5.000,00 n=4 i = 10% ao ano = 0,1 ao ano

Período 0 1 2 3 4

154

CopyMarket.com

Prestação (R)

Juros (Jn)

Amortização (An)

1.663,68 1.601,17 1.538,68 1.476,19

500 383,63 261,87 134,20

1.163,68 1.217,54 1.276,79 1.341,99

Saldo devedor (Dn) 5.000 3.836,32 2.618,78 1.341,99 ---

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

155

Exercícios de fixação 5) Um financiamento de R$ 15.000,000 deve ser pago em 4 amortizações constantes mensais sem carência. A taxa de juros é de 2% a.m. Construa a planilha de financiamento.

3) Solução D = R$ 60.000,00 i = 3% a.m. Ÿ i = 0,03 a.m.

Exercício proposto

A =

D n

60.000 = 10.000 6

n=6 5) Um equipamento foi adquirido por R$ 12.000,00 e será pago em 6 prestações mensais, a taxa de 2% a.m. Construa a planilha do SAM.

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) D = R˜a 5º 0,01 4.000 = R ˜ 4,85343

4.000 R= 4,85343

Período (n) 0 1 2 3 4 5 6

Juros (Jn)

Amortização (An)

11.800 11.500 11.200 10.900 10.600 10.300

1.800 1.500 1.200 900 600 300

10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000

4) D = R$ 4.000,00

Ÿ R = 824,16

a) A

n=8

D = R$ 6.000,00

12 = 1% a.m. 12

4.000 8

500

c) R1 = J1 + A Ÿ R1 = 80 + 500 Ÿ R1 = 580 d) SDK = D - K ˜ A

K=6

D=R˜a nº i

D n

Saldo devedor (Dn) 60.000 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 __

b) J1 = i ˜ D Ÿ J1 = 0,02 ˜ 4.000 Ÿ J1 = 80

i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

2)

i =

Prestação (R)

SD6 = 4.000 - 6. 500

A= ?

SD6 = 4.000 - 3.000

6.000 = R ˜ a 6º 0,01

SD6 = 1.000

n=6 5)

6.000 = R ˜ 5,79548 R=

Período (n) 0 1 2 3 4 5 6

CopyMarket.com

Período 0 1 2 3 4 5 6

6.000 Ÿ R = 1.035,29 5.79548

Prestação (R)

Juros (Jn)

Amortização (An)

1.035,29 1.035,29 1.035,29 1.035,29 1.035,29 1.035,30

60 50,25 40,40 30,45 20,40 10,25

975,29 985,04 994,89 1.004,84 1.014,89 1.025,05

Saldo devedor (Dn) 6.000 5.024,71 4.039,67 3.044,78 2.039,94 1.025,05 –

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

156

CopyMarket.com

Prestação

Juros

Amortização

2.191,16 2.171,16 2.151,15 2.131,16 2.111,16 2.091,13

240 200,98 161,57 121,78 81,59 41

1.951,16 1.970,18 1.989,58 2.009,38 2.029,57 2.050,13

Saldo devedor 12.000 10.048,84 8.078,66 6.089,08 4.079,70 2.050,13 -

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

157

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

TÁBUA DE LOGARITMOS n

log

0

Tábuas e Tabelas Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS Meses

Jan.

Fev.

Mar.

Abr.

Mai.

Jun.

Jul.

Ago.

Set.

Out.

Nov.

Dez.

01 02 03 04 05

1 2 3 4 5

32 33 34 35 36

60 61 62 63 64

91 92 93 94 95

121 122 123 124 125

152 153 154 155 156

182 183 184 185 186

213 214 215 216 217

244 245 246 247 248

274 275 276 277 278

305 306 307 308 309

335 336 337 338 339

06 07 08 09 10

6 7 8 9 10

37 38 39 40 41

65 66 67 68 69

96 97 98 99 100

126 127 128 129 130

157 158 159 160 161

187 188 189 190 191

218 219 220 221 222

249 250 251 252 253

279 280 281 282 283

310 311 312 313 314

340 341 342 343 344

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

162 163 164 165 166 167 168 169 170 171

192 193 194 195 196 197 198 199 200 201

223 224 225 226 227 228 229 230 231 232

254 255 256 257 258 259 260 261 262 263

284 285 286 287 288 289 290 291 292 293

315 316 317 318 319 320 321 322 323 324

345 346 347 348 349 350 351 352 353 354

21 22 23 24 25

21 22 23 24 25

52 53 54 55 56

80 81 82 83 84

111 112 113 114 115

141 142 143 144 145

172 173 174 175 176

202 203 204 205 206

233 234 235 236 237

264 265 266 267 268

294 295 296 297 298

325 326 327 328 329

355 356 357 358 359

26 27 28 29 30

26 27 28 29 30

57 58 59

85 86 87 88 89

116 117 118 119 120

146 147 148 149 150

177 178 179 180 181

207 208 209 210 211

238 239 240 241 242

269 270 271 272 273

299 300 301 302 303

330 331 332 333 334

360 361 362 363 364

31

31

212

243

Dias

90

151

304

365

NOTA: Se o ano for bissexto aumentar uma unidade ao resultado, caso o mês de fevereiro esteja incluído na contagem.

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

158

n

Log

50

698970

100

n

000000

log

150

n

176091

log

200

n

301030

log

1 2 3 4 5 6 7 8 9

000000 301030 477121 602060 698970 778151 845098 903090 954243

51 52 53 54 55 56 57 58 59

707570 716003 724276 732394 740363 748188 755875 763428 770852

101 102 103 104 105 106 107 108 109

004321 008600 012837 017033 021189 025306 029384 033424 037426

151 152 153 154 155 156 157 158 159

178977 181844 184691 187521 190332 193125 195900 198657 202397

201 202 203 204 205 206 207 208 209

303196 305351 307496 309630 311754 313867 315970 318063 320146

10

000000

60

778151

110

041393

160

204120

210

322219

11 12 13 14 15 16 17 18 19

041393 079181 113943 146128 176091 204120 230449 255273 278754

61 62 63 64 65 66 67 68 69

785330 792392 799341 806180 812913 819544 826075 822509 838849

111 112 113 114 115 116 117 118 119

044323 049218 053078 056905 060698 064458 068186 071882 075547

161 162 163 164 165 166 167 168 169

206826 209515 212188 214844 217474 220108 222716 225309 227887

211 212 213 214 215 216 217 218 219

324282 326336 328380 330414 332438 334454 336460 338456 340444

20

301030

70

845098

120

079181

170

230449

220

342423

21 22 23 24 25 26 27 28 29

322219 342423 361728 380211 397940 414973 431364 447158 462398

71 72 73 74 75 76 77 78 79

851258 857332 863323 869232 875061 880814 886491 892095 897627

121 122 123 124 125 126 127 128 129

082785 086360 089905 093422 096910 100371 103804 107210 110590

171 172 173 174 175 176 177 178 179

232996 235528 238046 240549 243038 245513 247973 250420 252853

221 222 223 224 225 226 227 228 229

344392 346353 348305 350248 352183 354108 356026 357935 359835

30

477121

80

903090

130

113943

180

255273

230

361728

31 32 33 34 35 36 37 38 39

491362 505150 518514 531479 544068 556303 568202 579784 591065

81 82 83 84 85 86 87 88 89

908485 913814 919078 924279 929419 934498 939519 944483 949390

131 132 133 134 135 136 137 138 139

117271 120574 123852 127105 130334 133539 135721 139879 143015

181 182 183 184 185 186 187 188 189

257579 260071 262451 254818 267172 269513 271842 274158 276462

231 232 233 234 235 236 237 238 239

363612 365488 367356 369216 371068 372912 374748 376577 378398

40

602060

90

954243

140

146128

190

278754

240

380211

41 42 43 44 45 46 47 48 49

612784 623249 633468 643453 653213 662758 672098 681241 690196

91 92 93 94 95 96 97 98 99

959041 963788 968483 973128 977724 982271 986772 991226 995635

141 142 143 144 145 146 147 148 149

149219 152288 155336 158362 161368 164353 167317 170262 173186

191 192 193 194 195 196 197 198 199

281033 283301 285557 287802 290035 292256 294466 296665 298853

241 242 243 244 245 246 247 248 249

382017 383815 385606 387390 389166 390935 392697 394452 396199

50

698970

100

000000

150

176091

200

301030

250

397940

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

159

n

log

n

Log

n

log

n

log

n

log

n

log

n

Log

n

log

n

log

n

log

250

397940

300

477121

350

544068

400

602060

450

653213

500

698970

550

740363

600

778151

650

812913

700

845098

251 252 253 254 255 256 257 258 259

399674 401401 403121 404834 406540 408240 409933 411620 413300

301 302 303 304 305 306 307 308 309

478566 480007 381443 482874 484300 485721 487138 488551 489958

351 352 353 354 355 356 357 358 359

545307 546543 547775 549003 550228 551450 552668 553883 555094

401 402 403 404 405 406 407 408 409

603144 604226 605305 606381 607455 608526 609594 610660 611723

451 452 453 454 455 456 457 458 459

645177 655138 656098 657056 658011 658965 659916 660865 661813

501 502 503 504 505 506 507 508 509

699838 700704 701568 702431 703291 704151 705008 705864 706718

551 552 553 554 555 556 557 558 559

741152 741939 742725 743510 744293 745075 745855 746634 747412

601 602 603 604 605 606 607 608 609

778874 779596 780317 781037 781755 782473 783189 783904 784617

651 652 653 654 655 656 657 658 659

813581 814248 814913 815578 816241 816904 817565 818226 818885

701 702 703 704 705 706 707 708 709

845718 846337 846955 847573 848189 848805 849419 850033 850646

260

414973

310

491362

360

556303

410

612784

460

662758

510

707570

560

748188

610

785330

660

819544

710

851258

261 262 263 264 265 266 267 268 269

416641 418301 419956 421604 423246 424882 426511 428135 429752

311 312 313 314 315 316 317 318 319

492760 494155 495544 496930 498311 499687 501059 502427 503791

361 362 363 364 365 366 367 368 369

557507 558709 559907 551101 562293 563481 564666 565848 567026

411 412 413 414 415 416 417 418 419

613842 614897 615950 617000 618048 619093 620136 621176 622214

461 462 463 464 465 466 467 468 469

663701 664642 665581 666518 667453 668386 669317 670246 671173

511 512 513 514 515 516 517 518 519

708421 709270 710117 710963 711807 712650 713491 714330 715167

561 562 563 564 565 566 567 568 569

748963 749736 750508 751279 752048 752816 753583 754348 755112

611 612 613 614 615 616 617 618 619

786041 786751 787460 788168 788875 789581 790285 790988 791691

661 662 663 664 665 666 667 668 669

820201 820858 821514 822168 822822 823474 824126 824776 825426

711 712 713 714 715 716 717 718 719

851870 852480 853090 853698 854306 854913 855519 856124 856729

270

431364

320

505150

370

568202

420

623249

470

672098

520

716003

570

755875

620

792392

670

826075

720

857332

271 272 273 274 275 276 277 278 279

432969 434569 436163 437751 439333 440909 442480 444045 445604

321 322 323 324 325 326 327 328 329

506505 507856 509203 510545 511883 513218 514548 515874 517196

371 372 373 374 375 376 377 378 379

569374 570543 571709 572872 574031 575188 576341 577492 578639

421 422 423 424 425 426 427 428 429

624282 625312 626340 627366 628389 629410 630428 631444 632457

471 472 473 474 475 476 477 478 479

673021 673942 674861 675778 676694 677607 678518 679428 680336

521 522 523 524 525 526 527 528 529

716838 717671 718502 719331 720159 720986 721811 722634 723456

571 572 573 574 575 576 577 578 579

756636 757396 758155 758912 759668 760422 761176 761928 762679

621 622 623 624 625 626 627 628 629

793092 793790 794488 795185 795880 796574 797268 797960 798651

671 672 673 674 675 676 677 678 679

826723 827369 828015 828660 829304 829947 830589 831230 831870

721 722 723 724 725 726 727 728 729

857935 858537 859138 859739 860338 860937 861534 862131 862728

280

447158

330

518514

380

579784

430

633468

480

681241

530

724276

580

763428

630

799341

680

832509

730

863323

281 282 283 284 285 286 287 288 289

448706 450249 421786 453318 454845 456366 457882 459392 460898

331 332 333 334 335 336 337 338 339

519828 521138 522444 523746 525045 526339 527630 528917 530200

381 382 383 384 385 386 387 388 389

580925 582063 583199 584331 585461 586587 587711 588832 589950

431 432 433 434 435 436 437 438 439

634477 635484 636488 637490 638489 639486 640481 641474 642465

481 482 483 484 485 486 487 488 489

682145 683047 683947 684845 685742 686636 687529 688420 689309

531 532 533 534 535 536 537 538 539

725095 725912 726727 727541 728354 729165 729974 730782 731589

581 582 583 584 585 586 587 588 589

764176 764923 765669 766413 767156 767898 768638 769377 770115

631 632 633 634 635 636 637 638 639

800029 800717 801404 802089 802774 803457 804139 804821 805501

681 682 683 684 685 686 687 688 689

833147 833784 834421 835056 835691 836324 836957 837588 838219

731 732 733 734 735 736 737 738 739

863917 864511 865104 865686 866287 866878 867467 868056 868644

290

462398

340

531479

390

591065

440

643453

490

690196

540

732394

590

770852

640

806180

690

838349

740

869232

291 292 293 294 295 296 297 298 299

463893 465383 466868 468347 469822 471292 472756 474216 475671

341 342 343 344 345 346 347 348 349

532754 534026 535294 536558 537819 539076 540329 541579 542825

391 392 393 394 395 396 397 398 399

592177 593286 594393 595496 596597 597695 598791 599883 600973

441 442 443 444 445 446 447 448 449

644439 645422 646404 647383 648360 649335 650308 651278 652246

491 492 493 494 495 496 497 498 499

691081 691965 692847 693727 694605 695482 696356 697229 698101

541 542 543 544 545 546 547 548 549

733197 733999 734800 735599 736397 737193 737987 738781 739572

591 592 593 594 595 596 597 598 599

771587 772322 773055 773786 774517 775246 775974 776701 777427

641 642 643 644 645 646 647 648 649

806858 807535 808211 808886 809560 810233 810904 811575 812245

691 692 693 694 695 696 697 698 699

839478 840106 840733 841359 841985 842609 843233 843855 844477

741 742 743 744 745 746 747 748 749

869818 870404 870989 871573 872156 872739 873321 873902 874482

300

477121

350

544068

400

602060

450

653213

500

698970

550

740363

600

778151

650

812913

700

845098

750

875061

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

160

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

161

n

log

n

Log

n

log

n

log

n

log

750

875061

800

903090

850

929419

900

954243

950

977724

751 752 753 754 755 756 757 758 759

875640 876218 876795 877371 877947 878522 879096 879669 880242

801 802 803 804 805 806 807 808 809

903633 904174 904716 905256 905796 906335 906874 907411 907949

851 852 853 854 855 856 857 858 859

929930 930440 930949 931458 931966 932474 932981 933487 933993

901 902 903 904 905 906 907 908 909

954725 955207 955688 956168 956649 957128 957607 958086 958564

951 952 953 954 955 956 957 958 959

978181 978637 979093 979548 980003 980458 980912 981366 981819

760

880814

810

908485

860

934498

910

959041

960

982271

761 762 763 764 765 766 767 768 769

881385 881955 882525 883093 883661 884229 884795 885361 885926

811 812 813 814 815 816 817 818 819

909021 909556 910091 910624 911158 911690 912222 912753 913284

861 862 863 864 865 866 867 868 869

935003 935507 936011 936514 937016 937518 938019 938520 939020

911 912 913 914 915 916 917 918 919

959518 959995 960471 960946 961421 961895 962369 962843 963316

961 962 963 964 965 966 967 968 969

982723 983175 983626 984077 984527 984977 985426 985875 986324

770

886491

820

913814

870

939519

920

963788

970

986772

771 772 773 774 775 776 777 778 779

887054 887617 888179 888741 889302 889862 890421 890980 891537

821 822 823 824 825 826 827 828 829

914343 914872 915400 915927 916454 916980 917506 918030 918555

871 872 873 874 875 876 877 878 879

940018 940516 941014 941511 942008 942504 943000 943495 943989

921 922 923 924 925 926 927 928 929

964260 964731 965202 965672 966142 966611 967080 967548 968016

971 972 973 974 975 976 977 978 979

987219 987666 988113 988559 989005 989450 989895 990339 990783

780

892095

830

919078

880

944483

930

968483

980

991226

781 782 783 784 785 786 787 788 789

892651 893207 893762 894316 894870 895423 895975 896526 897077

831 832 833 834 835 836 837 838 839

919601 920123 920645 921166 921686 922206 922725 923244 923762

881 882 883 884 885 886 887 888 889

844976 945469 945961 946452 946943 947434 947924 948413 948902

931 932 933 934 935 936 937 938 939

968950 969416 969882 970347 970812 971276 971740 972203 972666

981 982 983 984 985 986 987 988 989

991669 992111 992554 992995 993436 993877 994317 994757 995196

790

897627

840

924279

890

949390

940

973128

990

995635

791 792 793 794 795 796 797 798 799

898176 898725 899273 899821 900367 900913 901458 902003 902547

841 842 843 844 845 846 847 848 849

924796 925312 925828 926342 926857 927370 927883 928396 928908

891 892 893 894 895 896 897 898 899

949878 950365 950851 951338 951823 952308 952792 953276 953760

941 942 943 944 945 946 947 948 949

973590 974051 974512 974972 975432 975891 976350 976808 977266

991 992 993 994 995 996 997 998 999

996074 996512 996949 997386 997823 998259 998695 999131 999565

800

903090

850

929419

900

954243

950

977724

1000 000000

CopyMarket.com

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

CopyMarket.com Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida sem a autorização da Editora.

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

Tábuas e Tabelas Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

TÁBUA FINANCEIRA

r = 0,5%

162

n

n

(1 + i)

1 2 3 4 5

-n

r = 1% n

-n

(1 + i)

A nº i

S nº i

n

(1 + i)

(1 + i)

a nº i

1,00500 1,01002 1,01508 1,02015 1,02525

0,99502 0,99007 0,98515 0,98025 0,97537

0,99502 1,98510 2,97025 3,95050 4,92587

1,00000 2,00500 3,01502 4,03010 5,05025

1 2 3 4 5

1,01000 1,02010 1,03030 1,04060 1,05101

0,99010 0,98030 0,97059 0,96098 0,95147

0,99010 1,97040 2,94099 3,90197 4,85343

1,00000 2,01000 3,03010 4,06040 5,10101

6 7 8 9 10

1,03038 1,03553 1,04071 1,04591 1,05114

0,97052 0,96569 0,96089 0,95610 0,95135

5,89638 6,86207 7,82296 8,77906 9,73041

6,07550 7,10588 8,14141 9,18212 10,22803

6 7 8 9 10

1,06152 1,07214 1,08286 1,09369 1,10462

0,94205 0,93272 0,92348 0,91434 0,90529

5,79548 6,72819 7,65168 8,56602 9,47130

6,15202 7,21354 8,28567 9,36853 10,46221

11 12 13 14 15

1,05640 1,06168 1,06699 1,07232 1,07768

0,94661 0,94191 0,93722 0,93256 0,92792

10,67703 11,61893 12,55615 13,48871 14,41662

11,27917 12,33556 13,39724 14,46423 15,53655

11 12 13 14 15

1,11567 1,12683 1,13809 1,14947 1,16097

0,89632 0,88745 0,87866 0,86996 0,86135

10,36763 11,25508 12,13374 13,00370 13,86505

11,56683 12,68250 13,80933 14,94742 16,09690

16 17 18 19 20

1,08307 1,08849 1,09393 1,09940 1,10490

0,92330 0,91871 0,91414 0,90959 0,90506

15,33993 16,25863 17,17277 18,08236 18,98742

16,61423 17,69730 18,78579 19,87972 20,97912

16 17 18 19 20

1,17258 1,18430 1,19615 1,20811 1,22019

0,85282 0,84438 0,83602 0,82774 0,81954

14,71787 15,56225 16,39827 17,22601 18,04555

17,25786 18,43044 19,61475 20,81090 22,01900

21 22 23 24 25

1,11042 1,11597 1,12155 1,12716 1,13280

0,90056 0,89608 0,89162 0,88719 0,88277

19,88798 20,78406 21,67568 22,56287 23,44564

22,08401 23,19443 24,31040 25,43196 26,55912

21 22 23 24 25

1,23239 1,24472 1,25716 1,26973 1,28243

0,81143 0,80340 0,79544 0,78757 0,77977

18,85698 19,66038 20,45582 21,24339 22,02316

23,23919 24,47159 25,71630 26,97346 28,24320

26 27 28 29 30

1,13846 1,14415 1,14987 1,15562 1,16140

0,87838 0,87401 0,86966 0,86533 0,86103

24,32402 25,19803 26,06769 26,93302 27,79405

27,69191 28,83037 29,97452 31,12439 32,28002

26 27 28 29 30

1,29526 1,30821 1,32129 1,33450 1,34785

0,77205 0,76440 0,75684 0,74934 0,74192

22,79520 23,55961 24,31644 25,06579 25,80771

29,52563 30,82089 32,12910 33,45039 34,78489

CopyMarket.com

S

nº i

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

163

r = 1,5% n

n

-n

(1 + i)

S

1 2 3 4 5

1,01500 1,03022 1,04568 1,06136 1,07728

0,98522 0,97066 0,95632 0,94218 0,92826

0,98522 1,95588 2,91220 3,85438 4,78264

1,00000 2,01500 3,04522 4,09090 5,15227

6 7 8 9 10

1,09344 1,10984 1,12649 1,14339 1,16054

0,91454 0,90103 0,88771 0,87459 0,86167

5,69719 6,59821 7,48593 8,36052 9,22218

11 12 13 14 15

1,17795 1,19562 1,21355 1,23176 1,25023

0,84893 0,83639 0,82403 0,81185 0,79985

16 17 18 19 20

1,26899 1,28802 1,30734 1,32695 1,34686

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

n

(1 + i)

1 2 3 4 5

1,02000 1,04040 1,06121 1,08243 1,10408

0,98039 0,96117 0,94232 0,92385 0,90573

6,22955 7,32299 8,43284 9,55933 10,70272

6 7 8 9 10

1,12616 1,14869 1,17166 1,19509 1,21899

10,07112 10,90751 11,73153 12,54338 13,34323

11,86326 13,40121 14,23683 15,45038 16,68214

11 12 13 14 15

0,78803 0,77639 0,76491 0,75361 0,74247

14,13126 14,90765 15,67256 16,42617 17,16864

17,93237 19,20136 20,48938 21,79672 23,12367

1,36706 1,38756 1,40838 1,42950 1,45095

0,73150 0,72069 0,71004 0,69954 0,68921

17,90014 18,62082 19,33086 20,03041 20,71961

1,47271 1,49480 1,51722 1,53998 1,56308

0,67902 0,66899 0,65910 0,64936 0,63976

21,39863 22,06762 22,72672 23,37608 24,01584

a

r = 2,5% n

0,98039 1,94156 2,88388 3,80773 4,71346

S nº i 1,00000 2,02000 3,06040 4,12161 5,20404

0,88797 0,87056 0,85349 0,83676 0,82035

5,60143 6,47199 7,32548 8,16224 8,98259

1,24337 1,26824 1,29361 1,31948 1,34587

0,80426 0,78849 0,77303 0,75788 0,74301

16 17 18 19 20

1,37279 1,40024 1,42825 1,45681 1,48595

24,47052 25,83758 27,22514 28,63352 30,06302

21 22 23 24 25

31,51397 32,98668 34,48148 35,99870 37,53868

26 27 28 29 30

nº i

n

-n

(1 + i)

CopyMarket.com

A nº i

r = 2%

(1 + i)

n

-n

(1 + i)

(1 + i)

1 2 3 4 5

1,02500 1,05062 1,07689 1,10381 1,13141

6,30812 7,43428 8,58297 9,75463 10,94972

6 7 8 9 10

9,78685 10,57534 11,34837 12,10625 12,84926

12,16872 13,41209 14,68033 15,97394 17,29342

0,72845 0,71416 0,70016 0,68643 0,67297

13,57771 14,29187 14,99203 15,67846 16,35143

1,51567 1,54598 1,57690 1,60844 1,64061

0,65978 0,64684 0,63416 0,62172 0,60953

1,67342 1,70689 1,74102 1,77584 1,81136

0,59758 0,58586 0,57437 0,56311 0,55207

r = 3% n

0,97561 0,95181 0,92860 0,90595 0,88385

nº i 0,97561 1,92742 2,85602 3,76197 4,64583

S nº i 1,00000 2,02500 3,07562 4,15252 5,25633

1,15969 1,18869 1,21840 1,24886 1,28008

0,86230 0,84127 0,82075 0,80073 0,78120

5,50813 6,34939 7,17014 7,97087 8,75206

11 12 13 14 15

1,31209 1,34489 1,37851 1,41297 1,44830

0,76214 0,74356 0,72542 0,70773 0,69047

18,63929 20,01207 21,41231 22,84056 24,29737

16 17 18 19 20

1,48451 1,52162 1,55966 1,59865 1,63862

17,01121 17,65805 18,29220 18,91393 19,52346

25,78332 27,29898 28,84496 30,42186 32,03030

21 22 23 24 25

20,12104 20,70690 21,28127 21,84438 22,39646

33,67091 35,34432 37,05121 38,79223 40,56808

26 27 28 29 30

nº i

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

164

n

-n

(1 + i)

(1 + i)

1 2 3 4 5

1,03000 1,06090 1,09273 1,12551 1,15927

0,97087 0,94260 0,91514 0,88849 0,86261

0,97087 1,91347 2,82861 3,71710 4,57971

1,00000 2,03000 3,09090 4,18363 5,30914

6,38774 7,54743 8,73612 9,95452 11,20338

6 7 8 9 10

1,19405 1,22987 1,26677 1,30477 1,34392

0,83748 0,81309 0,78941 0,76642 0,74409

5,41719 6,23028 7,01969 7,78611 8,53020

6,46841 7,66246 8,89234 10,15911 11,46388

9,51421 10,25776 10,98318 11,69091 12,38138

12,48347 13,79555 15,14044 16,51895 17,93193

11 12 13 14 15

1,38423 1,42576 1,46853 1,51259 1,55797

0,72242 0,70138 0,68095 0,66112 0,64186

9,25262 9,95400 10,63496 11,29607 11,93794

12,80780 14,19203 15,61779 17,08632 18,59891

0,67362 0.65720 0,64117 0,62553 0,61027

13,05500 13,71220 14,35336 14,97889 15,58916

19,38022 20,86473 22,38635 23,94601 25,54466

16 17 18 19 20

1,60471 1,65285 1,70243 1,75351 1,80611

0,62317 0,60502 0,58739 0,57029 0,55368

12,56110 13,16612 13,75351 14,32380 14,87747

20,15688 21,76159 23,41444 25,11687 26,87037

1,67958 1,72157 1,76461 1,80873 1,85394

0,59539 0,58086 0,56670 0,55288 0,53939

16,18455 16,76541 17,33211 17,88499 18,42438

27,18327 28,86286 30,58443 32,34904 34,15776

21 22 23 24 25

1,86029 1,91610 1,97359 2,03279 2,09378

0,53755 0,52189 0,50669 0,49193 0,47761

15,41502 15,93692 16,44361 16,93554 17,41315

28,67649 30,53678 32,45288 34,42647 36,45926

1,90029 1,94780 1,99650 2,04641 2,09757

0,52623 0,51340 0,50088 0,48866 0,47674

18,95061 19,46401 19,96489 20,45355 20,93029

36,01171 37,91200 39,85980 41,85630 43,90270

26 27 28 29 30

2,15659 2,22129 2,28793 2,35657 2,42726

0,46369 0,45019 0,43708 0,42435 0,41199

17,87684 18,32703 18,76411 19,18845 19,60044

38,55304 40,70963 42,93092 45,21885 47,57542

CopyMarket.com

a

a nº i

S

nº i

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

165

r = 3,5% n

n

(1 + i)

-n

(1 + i)

a

r = 4,5%

r = 4% S

nº i

n

n

(1 + i)

-n

(1 + i)

a

S

nº i

0,96154 0,92456 0,88900 0,85480 0,82193

nº i 0,96154 1,88609 2,77509 3,62990 4,45182

1,00000 2,04000 3,12160 4,24646 5,41632

1 2 3 4 5

1,03500 1,07122 1,10872 1,14752 1,18769

0,96618 0,93351 0,90194 0,87144 0,84197

nº i 0,96618 1,89969 2,80164 3,67308 4,51505

6 7 8 9 10

1,22926 1,27228 1,31681 1,36290 1,41060

0,81350 0,78599 0,75941 0,73373 0,70892

5,32855 6,11454 6,87396 7,60769 8,31661

6,55015 7,77941 9,05169 10,36850 11,73139

6 7 8 9 10

1,26532 1,31593 1,36857 1,42331 1,48024

0,79031 0,75992 0,73069 0,70259 0,67556

5,24214 6,00205 6,73274 7,43533 8,11090

6,63298 7,89829 9,21423 10,58280 12,00611

11 12 13 14 15

1,45997 1,51107 1,56396 1,61869 1,67535

0,68495 0,66178 0,63940 0,61778 0,59689

9,00155 9,66333 10,30274 10,92052 11,51741

13,14199 14,60196 16,11303 17,67699 19,29568

11 12 13 14 15

1,53945 1,60103 1,66507 1,73168 1,80094

0,64958 0,62460 0,60057 0,57748 0,55526

8,76048 9,38507 9,98565 10,56312 11,11839

13,48635 15,02581 16,62684 18,29191 20,02359

16 17 18 19 20

1,73399 1,79468 1,85749 1,92250 1,98979

0,57671 0,55720 0,53836 0,52016 0,50257

12,09412 12,65132 13,18968 13,70984 14,21240

20,97103 22,70502 24,49969 26,35718 28,27968

16 17 18 19 20

1,87298 1,94790 2,02582 2,10685 2,19112

0,53391 0,51337 0,49363 0,47464 0,45639

11,65230 12,16567 12,65930 13,13394 13,59033

21,82453 23,69751 25,64541 27,67123 29,77808

21 22 23 24 25

2,05943 2,13151 2,20611 2,28333 2,36324

0,48557 0,46915 0,45329 0,43796 0,42315

14,69797 15,16712 15,62041 16,05837 16,48151

30,26947 32,32890 34,46041 36,66653 38,94986

21 22 23 24 25

2,27877 2,36992 2,46472 2,56330 2,66584

0,43883 0,42196 0,40573 0,39012 0,37512

14,02916 14,45112 14,85684 15,24696 15,62208

31,96920 34,24797 36,61789 39,08260 41,64591

26 27 28 29 30

2,44596 2,53157 2,62017 2,71188 2,80679

0,40884 0,39501 0,38165 0,36875 0,35628

16,89035 17,28536 17,66702 18,03577 18,39205

41,31310 43,75906 46,29063 48,91080 51,62268

26 27 28 29 30

2,77247 2,88337 2,99870 3,11865 3,24340

0,36069 0,34682 0,33348 0,32065 0,30832

15,98277 16,32959 16,66306 16,98371 17,29203

44,31174 47,08421 49,96758 52,96629 56,08494

CopyMarket.com

1,00000 2,03500 3,10622 4,21494 5,36247

1 2 3 4 5

1,04000 1,08160 1,12486 1,16986 1,21665

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

166

n

-n

n

(1 + i)

(1 + i)

1 2 3 4 5

1,04500 1,09202 1,14117 1,19252 1,24618

6 7 8 9 10

r = 5% n

-n

S nº i 1,00000 2,04500 3,13702 4,27819 5,47071

n

(1 + i)

(1 + i)

0,95694 0,91573 0,87630 0,83856 0,80245

a nº i 0,95694 1,87267 2,74896 3,58753 4,38998

1 2 3 4 5

1,05000 1,10250 1,15762 1,21551 1,27628

0,95238 0,90703 0,86384 0,82270 0,78353

0,95238 1,85941 2,72325 3,54595 4,32948

1,00000 2,05000 3,15250 4,31012 5,52563

1,30226 1,36086 1,42210 1,48610 1,55297

0,76790 0,73483 0,70319 0,67290 0,64393

5,15787 5,89270 6,59589 7,26879 7,91272

6,71689 8,01915 9,38001 10,80211 12,28821

6 7 8 9 10

1,34010 1,40710 1,47746 1,55133 1,62889

0,74622 0,71068 0,67684 0,64461 0,61391

5,07569 5,78637 6,46321 7,10782 7,72173

6,80191 8,14201 9,54911 11,02656 12,57789

11 12 13 14 15

1,62285 1,69588 1,77220 1,85194 1,93528

0,61620 0,58966 0,56427 0,53997 0,51672

8,52892 9,11858 9,68285 10,22283 10,73955

13,84118 15,46403 17,15991 18,93211 20,78405

11 12 13 14 15

1,71034 1,79586 1,88565 1,97993 2,07893

0,58468 0,55684 0,53032 0,50507 0,48102

8,30641 8,86325 9,39357 9,89864 10,37966

14,20679 15,91713 17,71298 19,59863 21,57856

16 17 18 19 20

2,02237 2,11338 2,20848 2,30786 2,41171

0,49447 0,47318 0,45280 0,43330 0,41464

11,23402 11,70719 12,15999 12,59329 13,00794

22,71934 24,74171 26,85508 29,06356 31,37142

16 17 18 19 20

2,18287 2,29202 2,40662 2,52695 2,65330

0,45811 0,43630 0,41552 0,39573 0,37689

10,83777 11,27407 11,68959 12,08532 12,46221

23,65749 25,84037 28,13238 30,53900 33,06595

21 22 23 24 25

2,52024 2,63365 2,75217 2,87601 3,00543

0,39679 0,37970 0,36335 0,34770 0,33273

13,40472 13,78442 14,14777 14,49548 14,82821

33,78314 36,30338 38,93703 41,68920 44,56521

21 22 23 24 25

2,78596 2,92526 3,07152 3,22510 3,38635

0,35894 0,34185 0,32557 0,31007 0,29530

12,82115 13,16300 13,48857 13,79864 14,09394

35,71925 38,50521 41,43048 44,50200 47,72710

26 27 28 29 30

3,14068 3,28201 3,42970 3,58404 3,74532

0,31840 0,30469 0,29157 0,27902 0,26700

15,14661 15,45130 15,74287 16,02189 16,28889

47,57064 50,71132 53,99333 57,42303 61,00707

26 27 28 29 30

3,55567 3,73346 3,92013 4,11614 4,32194

0,28124 0,26785 0,25509 0,24295 0,23138

14,37519 14,64303 14,89813 15,14107 15,37245

51,11345 54,66913 58,40258 62,32271 66,43885

CopyMarket.com

a

nº i

S

nº i

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

167

r = 5,5% n

n

-n

(1 + i)

(1 + i)

a

nº i

r = 6% S

nº i

n

n

(1 + i)

-n

(1 + i)

a nº i

S nº i

1 2 3 4 5

1,05500 1,11302 1,17424 1,23882 1,30696

0,94787 0,89845 0,85161 0,80722 0,76513

0,94787 1,84832 2,69793 3,50515 4,27028

1,00000 2,05500 3,16802 4,34227 5,58109

1 2 3 4 5

1,06000 1,12360 1,19102 1,26248 1,33823

0,94340 0,89000 0,83962 0,79209 0,74726

0,94340 1,83339 2,67301 3,46511 4,21236

1,00000 2,06000 3,18360 4,37462 5,63709

6 7 8 9 10

1,37884 1,45468 1,53469 1,61909 1,70814

0,72525 0,68744 0,65160 0,61763 0,58543

4,99553 5,68297 6,33457 6,95220 7,53763

6,88805 8,26689 9,72157 11,25626 12,87535

6 7 8 9 10

1,41852 1,50363 1,59385 1,68948 1,79085

0,70496 0,66506 0,62741 0,59190 0,55839

4,91732 5,58238 6,20979 6,80169 7,36009

6,97532 8,39384 9,89747 11,49132 13,18079

11 12 13 14 15

1,80209 1,90121 2,00577 2,11609 2,23248

0,55491 0,52598 0,49856 0,47257 0,44793

8,09254 8,61852 9,11708 9,58965 10,03758

14,58350 16,38559 18,28680 20,29257 22,40866

11 12 13 14 15

1,89830 2,01220 2,13293 2,26090 2,39656

0,52679 0,49697 0,46884 0,44230 0,41727

7,88687 8,38384 8,85268 9,29498 9,71225

14,97164 16,86994 18,88214 21,01507 23,27597

16 17 18 19 20

2,35526 2,48480 2,62147 2,76565 2,91776

0,42458 0,40245 0,38147 0,36158 0,34273

10,46216 10,86461 11,24607 11,60765 11,95038

24,64114 26,99640 29,48120 32,10267 34,86832

16 17 18 19 20

2,54035 2,69277 2,85434 3,02560 3,20714

0,39365 0,37136 0,35034 0,33051 0,31180

10,10590 10,47726 10,82760 11,15812 11,46992

25,67253 28,21288 30,90565 33,75999 36,78559

21 22 23 24 25

3,07823 3,24754 3,42615 3,61459 3,81339

0,32486 0,30793 0,29187 0,27666 0,26223

12,27524 12,58317 12,87504 13,15170 13,41393

37,78608 40,86431 44,11185 47,53800 51,15259

21 22 23 24 25

3,39956 3,60354 3,81975 4,04893 4,29187

0,29416 0,27751 0,26180 0,24698 0,23300

11,76408 12,04158 12,30338 12,55036 12,78336

39,99273 43,39229 46,99583 50,81558 54,86451

26 27 28 29 30

4,02313 4,24440 4,47784 4,72412 4,98395

0,24856 0,23560 0,22332 0,21168 0,20064

13,66250 13,89810 14,12142 14,33310 14,53375

54,96598 58,98911 63,23351 67,71135 72,43548

26 27 28 29 30

4,54938 4,82235 5,11169 5,41839 5,74349

0,21981 0,20737 0,19563 0,18456 0,17411

13,00317 13,21053 13,40616 13,59072 13,76483

59,15638 63,70577 68,52811 73,63980 79,05819

n

(1 + i)

(1 + i)

a nº i

S nº i

n

(1 + i)

(1 + i)

a nº i

S nº i

1 2 3 4 5

1,06500 1,13422 1,20795 1,28647 1,37009

0,93897 0,88166 0,82785 0,77732 0,72988

0,93897 1,82063 2,64848 3,42580 4,15568

1,00000 2,06500 3,19922 4,40717 5,69364

1 2 3 4 5

1,07000 1,14490 1,22504 1,31080 1,40255

0,93458 0,87344 0,81630 0,76290 0,71299

0,93458 1,80802 2,62432 3,38721 4,10020

1,00000 2,07000 3,21490 4,43994 5,75074

6 7 8 9 10

1,45914 1,55399 1,65500 1,76257 1,87714

0,68533 0,64351 0,60423 0,56735 0,53273

4,84101 5,48452 6,08875 6,65610 7,18883

7,06373 8,52287 10,07686 11,73185 13,49442

6 7 8 9 10

1,50073 1,60578 1,71819 1,83846 1,96715

0,66634 0,62275 0,58201 0,54393 0,50835

4,76654 5,38929 5,97130 6,51523 7,02358

7,15329 8,65402 10,25980 11,97799 13,81645

11 12 13 14 15

1,99915 2,12910 2,26749 2,41487 2,57184

0,50021 0,46968 0,44102 0,41410 0,38883

7,68904 8,15873 8,59974 9,01384 9,40267

15,37156 17,37071 19,49981 21,76730 24,18217

11 12 13 14 15

2,10485 2,25219 2,40985 2,57853 2,75903

0,47509 0,44401 0,41496 0,38782 0,36245

7,49867 7,94269 8,35765 8,74547 9,10791

15,78360 17,88845 20,14064 22,55049 25,12902

16 17 18 19 20

2,73901 2,91705 3,10665 3,30859 3,52365

0,36510 0,34281 0,32189 0,30224 0,28380

9,76776 10,11058 10,43247 10,73471 11,01851

26,75401 29,49302 32,41007 35,51672 38,82531

16 17 18 19 20

2,95216 3,15882 3,37993 3,61653 3,86968

0,33873 0,31657 0,29586 0,27651 0,25842

9,44665 9,76322 10,05909 10,33560 10,59401

27,88805 30,84022 33,99903 37,37896 40,99549

r = 6,5% n

CopyMarket.com

-n

r = 7,5%

-n

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

-n

r = 8% n

-n

(1 + i)

(1 + i)

a nº i

S nº i

n

(1 + i)

(1 + i)

a nº i

S nº i

1 2 3 4 5

1,07500 1,15562 1,24230 1,33547 1,43563

0,93023 0,86533 0,80496 0,74880 0,69656

0,93023 1,79557 2,60053 3,34933 4,04588

1,00000 2,07500 3,23062 4,47292 5,80839

1 2 3 4 5

1,08000 1,16640 1,25971 1,36049 1,46933

0,92593 0,85734 0,79383 0,73503 0,68058

0,92593 1,78326 2,57710 3,31213 3,99271

1,00000 2,08000 3,24640 4,50611 5,86660

6 7 8 9 10

1,54330 1,65905 1,78348 1,91724 2,06103

0,64796 0,60275 0,56070 0,52158 0,48519

4,69385 5,29660 5,85730 6,37889 6,86408

7,24402 8,78732 10,44637 12,22985 14,14709

6 7 8 9 10

1,58687 1,71382 1,85093 1,99900 2,15892

0,63017 0,58349 0,54027 0,50025 0,46319

4,62288 5,20637 5,74664 6,24689 6,71008

7,33593 8,92280 10,63663 12,48756 14,48656

11 12 13 14 15

2,21561 2,38178 2,56041 2,75244 2,95888

0,45134 0,41985 0,39056 0,36331 0,33797

7,31542 7,73528 8,12584 8,48915 8,82712

16,20812 18,42373 20,80551 23,36592 26,11836

11 12 13 14 15

2,33164 2,51817 2,71962 2,93719 3,17217

0,42888 0,39711 0,36770 0,34046 0,31524

7,13896 7,53608 7,90378 8,24424 8,55948

16,64549 18,97713 21,49530 24,21492 27,15211

16 17 18 19 20

3,18079 3,41935 3,67580 3,95149 4,24785

0,31439 0,29245 0,27205 0,25307 0,23541

9,14151 9,43396 9,70601 9,95908 10,19449

29,07724 32,25804 35,67739 39,35319 43,30468

16 17 18 19 20

3,42594 3,70002 3,99602 4,31570 4,66096

0,29189 0,27027 0,25025 0,23171 0,21455

8,85137 9,12164 9,37189 9,60360 9,81815

30,32428 33,75023 37,45024 41,44626 45,76196

n

(1 + i)

(1 + i)

S nº i

n

(1 + i)

(1 + i)

1 2 3 4 5

1,08500 1,17722 1,27729 1,38586 1,50366

6 7 8 9 10

r = 8,5%

r = 7% n

n

n

168

n

-n

r = 9% n

0,92166 0,84946 0,78291 0,72157 0,66505

a nº i 0,92166 1,77111 2,55402 3,27560 3,94064

1,00000 2,08500 3,26222 4,53951 5,92537

1 2 3 4 5

1,09000 1,18810 1,29503 1,41158 1,53862

1,63147 1,77014 1,92060 2,08386 2,26098

0,61295 0,56493 0,52067 0,47988 0,44229

4,55359 5,11851 5,63918 6,11906 6,56135

7,42903 9,06050 10,83064 12,75124 14,83510

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

2,45317 2,66169 2,88793 3,13340 3,39974

0,40764 0,37570 0,34627 0,31914 0,29414

6,96898 7,34469 7,69095 8,01010 8,30424

17,09608 19,54925 22,21094 25,09887 28,23227

16 17 18 19 20

3,68872 4,00226 4,34245 4,71156 5,11205

0,27110 0,24986 0,23028 0,21224 0,19562

8,57533 8,82519 9,05548 9,26772 9,46334

31,63201 35,32073 39,32300 43,66545 48,37701

CopyMarket.com

-n

a nº i

S nº i

0,91743 0,84168 0,77218 0,70843 0,64993

0,91743 1,75911 2,53129 3,23972 3,88965

1,00000 2,09000 3,27810 4,57313 5,98471

1,67710 1,82804 1,99256 2,17189 2,36736

0,59627 0,54703 0,50187 0,46043 0,42241

4,48592 5,03295 5,53482 5,99525 6,41766

7,52333 9,20043 11,02847 13,02104 15,19293

11 12 13 14 15

2,58043 2,81266 3,06580 3,34173 3,64248

0,38753 0,35553 0,32618 0,29925 0,27454

6,80519 7,16073 7,48690 7,78615 8,06069

17,56029 20,14072 22,95338 26,01919 29,36092

16 17 18 19 20

3,97031 4,32763 4,71712 5,14166 5,60441

0,25187 0,23107 0,21199 0,19449 0,17843

8,31256 8,54363 8,75563 8,95011 9,12855

33,00340 36,97370 41,30134 46,01846 51,16012

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

169

r = 10% n

-n

r = 11% n

-n

r = 18% n

n

(1 + i)

(1 + i)

a nº i

S nº i

n

(1 + i)

(1 + i)

a nº i

S nº i

n

(1 + i)

1 2 3 4 5

1,10000 1,21000 1,33100 1,46410 1,61051

0,90909 0,82645 0,75131 0,68301 0,62092

0,90909 1,73554 2,48685 3,16987 3,79079

1,00000 2,10000 3,31000 4,64100 6,10510

1 2 3 4 5

1,11000 1,23210 1,36763 1,51807 1,68506

0,90090 0,81162 0,73119 0,65873 0,59345

0,90090 1,71252 2,44371 3,10245 3,69590

1,00000 2,11000 3,34210 4,70973 6,22780

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

1,77156 1,94872 2,14359 2,35795 2,59374

0,56447 0,51316 0,46651 0,42410 0,38554

4,35526 4,86842 5,33493 5,75902 6,14457

7,71561 9,48717 11,43589 13,57948 15,93742

6 7 8 9 10

1,87041 2,07616 2,30454 2,55804 2,83942

0,53464 0,48166 0,43393 0,39092 0,35218

4,23054 4,71220 5,14612 5,53705 5,88923

7,91286 9,78327 11,85943 14,16397 16,72201

11 12 13 14 15

2,85312 3,13843 3,45227 3,79750 4,17725

0,35049 0,31863 0,28966 0,26333 0,23939

6,49506 6,81369 7,10336 7,36669 7,60608

18,53117 21,38428 24,52271 27,97498 31,77248

11 12 13 14 15

3,15176 3,49845 3,88328 4,31044 4,78459

0,31728 0,28584 0,25751 0,23199 0,20900

6,20652 6,49236 6,74987 6,98187 7,19087

16 17 18 19 20

4,59497 5,05447 5,55992 6,11591 6,72750

0,21763 0,19784 0,17986 0,16351 0,14864

7,82371 8,02155 8,20141 8,36492 8,51356

35,94973 40,54470 45,59917 51,15909 57,27500

16 17 18 19 20

5,31089 5,89509 6,54355 7,26334 8,06231

0,18829 0,16963 0,15282 0,13768 0,12403

7,37916 7,54879 7,70162 7,83929 7,96333

n

(1 + i)

(1 + i)

a nº i

S nº i

n

(1 + i)

1 2 3 4 5

1,12000 1,25440 1,40493 1,57352 1,76234

0,89286 0,79719 0,71178 0,63552 0,56743

0,89286 1,69005 2,40183 3,03735 3,60478

1,00000 2,12000 3,37440 4,77933 6,35285

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

1,97382 2,21068 2,47596 2,77308 3,10585

0,50663 0,45235 0,40388 0,36061 0,32197

4,11141 4,56376 4,96764 5,32825 5,65022

8,11519 10,08901 12,29969 14,77566 17,54874

11 12 13 14 15

3,47855 3,89598 4,36349 4,88711 5,47357

0,28748 0,25668 0,22917 0,20462 0,18270

5,93770 6,19437 6,42355 6,62817 6,81086

16 17 18 19 20

6,13039 6,86604 7,68997 8,61276 9,64629

0,16312 0,14564 0,13004 0,11611 0,10367

6,97399 7,11963 7,24967 7,36578 7,46944

r = 12% n

CopyMarket.com

-n

-n

a nº i

S nº i

n

(1 + i)

1,18000 1,39240 1,64303 1,93878 2,28776

0,84746 0,71818 0,60863 0,51579 0,43711

0,84746 1,56564 2,17427 2,69006 3,12717

1,00000 2,18000 3,57240 5,21543 7,15421

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

2,69955 3,18547 3,75886 4,43545 5,23384

0,37043 0,31393 0,26604 0,22546 0,19106

3,49760 3,81153 4,07757 4,30302 4,49409

9,44197 12,14152 15,32700 19,08585 23,52131

19,56143 22,71319 26,21164 30,09492 34,40536

11 12 13 14 15

6,17593 7,28759 8,59936 10,14724 11,97375

0,16192 0,13722 0,11629 0,09855 0,08352

4,65601 4,79322 4,90951 5,00806 5,09158

39,18995 44,50084 50,39594 56,93949 64,20283

16 17 18 19 20

14,12902 16,67225 19,67325 23,21444 27,39303

0,07078 0,05998 0,05083 0,04308 0,03651

5,16235 5,22233 5,27316 5,31624 5,35275

n

(1 + i)

r = 15% n

-n

r = 20% n

(1 + i)

-n

(1 + i)

a nº i

1,20000 1,44000 1,72800 2,07360 2,48832

0,83333 0,69444 0,57870 0,48225 0,40188

0,83333 1,52778 2,10648 2,58873 2,99061

1,00000 2,20000 3,64000 5,36800 7,44160

6 7 8 9 10

2,98598 3,58318 4,29982 5,15978 6,19174

0,33490 0,27908 0,23257 0,19381 0,16151

3,32551 3,60459 3,83716 4,03097 4,19247

9,92992 12,91590 16,49908 20,79890 25,95868

28,75514 34,93107 42,21866 50,81802 60,96527

11 12 13 14 15

7,43008 8,91610 10,69932 12,83918 15,40702

0,13459 0,11216 0,09346 0,07789 0,06491

4,32706 4,43922 4,53268 4,61057 4,67547

32,15042 39,58050 48,49660 59,19592 72,03511

72,93901 87,06804 103,74028 123,41353 146,62797

16 17 18 19 20

18,48843 22,18611 26,62333 31,94800 38,33760

0,05409 0,04507 0,03756 0,03130 0,02608

4,72956 4,77463 4,81219 4,84350 4,86958

87,44213 105,93056 128,11667 154,74000 186,68800

n

(1 + i)

r = 24%

(1 + i)

a nº i

S nº i

1,15000 1,32250 1,52087 1,74901 2,01136

0,86957 0,75614 0,65752 0,57175 0,49718

0,86957 1,62571 2,28323 2,85498 3,35216

1,00000 2,15000 3,47250 4,99337 6,74238

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

2,31306 2,66002 3,05902 3,51788 4,04556

0,43233 0,37594 0,32690 0,28426 0,24718

3,78448 4,16042 4,48732 4,77158 5,01877

8,75374 11,06680 13,72682 16,78584 20,30372

20,65458 24,13313 28,02911 32,39260 37,27971

11 12 13 14 15

4,65239 5,35025 6,15279 7,07571 8,13706

0,21494 0,18691 0,16253 0,14133 0,12289

5,23371 5,42062 5,58315 5,72448 5,84737

42,75328 48,88367 55,74971 63,43968 72,05244

16 17 18 19 20

9,35762 10,76126 12,37545 14,23177 16,36654

0,10686 0,09293 0,08081 0,07027 0,06110

5,95423 6,04716 6,12797 6,19823 6,25933

n

-n

S nº i

r = 25% n

-n

(1 + i)

a nº i

S nº i

1,24000 1,53760 1,90662 2,36421 2,93116

0,80645 0,65036 0,52449 0,42297 0,34111

0,80645 1,45682 1,98130 2,40428 2,74538

1,00000 2,24000 3,77760 5,68422 8,04838

1 2 3 4 5

1,25000 1,56250 1,95312 2,44141 3,05176

0,80000 0,64000 0,51200 0,40960 0,32768

0,80000 1,44000 1,95200 2,36160 2,68928

1,00000 2,25000 3,81250 5,76562 8,20703

6 7 8 9 10

3,63522 4,50767 5,58951 6,93099 8,59443

0,27509 0,22184 0,17891 0,14428 0,11635

3,02047 3,24232 3,42122 3,56550 3,68186

10,98006 14,61528 19,12294 24,71245 31,64344

6 7 8 9 10

3,81470 4,76837 5,96046 7,45058 9,31323

0,26214 0,20972 0,16777 0,13422 0,10737

2,95142 3,16114 3,32891 3,46313 3,57050

11,25879 15,07349 19,84186 25,80232 33,25290

24,34928 29,00167 34,35192 40,50471 47,58041

11 12 13 14 15

10,65709 13,21479 16,38634 20,31906 26,19563

0,09383 0,07567 0,06103 0,04921 0,03969

3,77569 3,85136 3,91239 3,96160 4,00129

40,23787 50,89495 64,10974 80,49608 100,81514

11 12 13 14 15

11,64153 14,55192 18,18989 22,73737 28,42171

0,08590 0,06872 0,05498 0,04398 0,03518

3,65640 3,72512 3,78010 3,82408 3,85926

42,56613 54,20766 68,75958 86,94947 109,68684

55,71747 65,07509 75,83636 88,21181 102,44358

16 17 18 19 20

31,24259 38,74081 48,03860 59,56786 73,86415

0,03201 0,02581 0,02082 0,01679 0,01354

4,03330 4,05911 4,07993 4,09672 4,11026

126,01077 157,25336 195,99416 244,03276 303,60062

16 17 18 19 20

35,52714 44,40892 55,51115 69,38894 86,73617

0,02815 0,02252 0,01801 0,01441 0,01153

3,88741 3,90993 3,92794 3,94235 3,95388

138,10855 173,63568 218,04460 273,55576 342,94470

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

170

CopyMarket.com

(1 + i)

a nº i

S nº i

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

171

r = 30% n

-n

n

(1 + i)

(1 + i)

1 2 3 4 5

1,30000 1,69000 2,19700 2,85610 3,71293

0,76923 0,59172 0,45517 0,35013 0,26933

6 7 8 9 10

4,82681 6,27485 8,15731 10,60450 13,78585

11 12 13 14 15

a nº i

r = 35% n

S nº i

n

(1 + i)

0,76923 1,36095 1,81611 2,16624 2,43557

1,00000 2,30000 3,99000 6,18700 9,04310

1 2 3 4 5

0,20718 0,15937 0,12259 0,09430 0,07254

2,64275 2,80211 2,92470 3,01900 3,09154

12,75603 17,58284 23,85769 32,01500 42,61950

17,92160 23,29809 30,28751 39,37376 51,18589

0,05580 0,04292 0,03302 0,02540 0,01954

3,14734 3,19026 3,22328 3,24867 3,26821

16 17 18 19 20

66,54166 86,50416 112,45541 146,19203 190,04964

0,01503 0,01156 0,00889 0,00684 0,00526

3,28324 3,29480 3,30369 3,31053 3,31579

n

(1 + i)

1 2 3 4 5

-n

(1 + i)

a nº i

1,35000 1,82250 2,46037 3,32151 4,48403

0,74074 0,54870 0,40644 0,30107 0,22301

0,74074 1,28944 1,69588 1,99695 2,21996

1,00000 2,35000 4,17250 6,63287 9,95438

6 7 8 9 10

6,05345 8,17215 11,03240 14,89375 20,10656

0,16520 0,12237 0,09064 0,06714 0,04974

2,38516 2,50752 2,59817 2,66531 2,71504

14,43841 20,49186 28,66401 39,69641 54,59016

56,40535 74,32695 97,62504 127,91255 167,28631

11 12 13 14 15

27,14385 36,64420 49,46967 66,78405 90,15847

0,03684 0,02729 0,02021 0,01497 0,01109

2,75188 2,77917 2,79939 2,81436 2,82545

74,69672 101,84057 138,48476 187,95443 254,73848

218,47220 285,01386 371,51802 483,97343 630,16546

16 17 18 19 20

121,71393 164,31381 221,82364 299,46192 404,27359

0,00822 0,00609 0,00451 0,00334 0,00247

2,83367 2,83975 2,84426 2,84760 2,85008

344,89695 466,61088 630,92469 852,74834 1152,21026

r = 36% n

-n

r = 40% n

(1 + i)

a nº i

S nº i

n

(1 + i)

1,36000 1,84960 2,51546 3,42102 4,65259

0,73529 0,54066 0,39754 0,29231 0,21493

0,73529 1,27595 1,67349 1,96580 2,18074

1,00000 2,36000 4,20960 6,72506 10,14608

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

6,32752 8,60543 11,70338 15,91660 21,64657

0,15804 0,11621 0,08545 0,06283 0,04620

2,33878 2,45498 2,54043 2,60326 2,64945

14,79866 21,12618 29,73161 41,43499 57,35158

11 12 13 14 15

29,43933 40,03750 54,45099 74,05335 100,71256

0,03397 0,02498 0,01837 0,01350 0,00993

2,68342 2,70840 2,72676 2,74027 2,75020

16 17 18 19 20

136,96908 186,27795 253,33801 344,53969 468,57398

0,00730 0,00537 0,00395 0,00290 0,00213

2,75750 2,76287 2,76681 2,76972 2,77185

CopyMarket.com

S nº i

-n

(1 + i)

a nº i

1,40000 1,96000 2,74400 3,84160 5,37824

0,71429 0,51020 0,36443 0,26031 0,18593

0,71429 1,22449 1,58892 1,84923 2,03516

1,00000 2,40000 4,36000 7,10400 10,94560

S nº i

6 7 8 9 10

7,52954 10,54135 14,75789 20,66105 28,92547

0,13281 0,09486 0,06776 0,04840 0,03457

2,16797 2,26284 2,33060 2,37900 2,41357

16,32384 23,85338 34,39473 49,15262 69,81366

78,99815 108,43749 148,47498 202,92598 276,97933

11 12 13 14 15

40,49565 56,69391 79,37148 111,12007 155,56810

0,02469 0,01764 0,01260 0,00900 0,00643

2,43826 2,45590 2,46850 2,47750 2,48393

98,73913 139,23478 195,92869 275,30017 386,42024

377,69188 514,66096 700,93891 954,27692 1298,81661

16 17 18 19 20

217,79533 304,91347 426,87885 597,63040 836,68255

0,00459 0,00328 0,00234 0,00167 0,00120

2,48852 2,49180 2,49414 2,49582 2,49701

541,98833 759,78367 1064,69713 1491,57600 2091,70638

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

172