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MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF. DANIEL DE SOUZA INTRODUÇÃO: O PRINCIPAL CONCEITO QUE ORIENTARÁ TODO O NOSSO RACIOCÍNIO AO LONGO DESTE CURSO É O CONCEITO DO VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO. EMPRÉSTIMOS OU INVESTIMENTOS REALIZADOS NO PRESENTE TERÃO SEU VALOR AUMENTADO NO FUTURO. INVERSAMENTE, VALORES DISPONÍVEIS NO FUTURO, SE CONSIDERARMOS OU AVALIARMOS NO PRESENTE, TERÃO SEUS VALORES REDUZIDOS. GRAFICAMENTE:
DINHEIRO
i
TEMPO
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JUROS SIMPLES: JURO: O CONCEITO DE JURO É DADO PELA DIFERENÇA ENTRE O RESGATE DE UM INVESTIMENTO E O CAPITAL INVESTIDO. NOTAÇÃO: J TAXA DE JURO: É O COEFICIENTE DE PROPORCIONALIDADE ENTRE O JURO E O CAPITAL CEDIDO. A TAXA DE JURO EXPRESSA A RELAÇÃO DE GRANDEZA EXISTENTE ENTRE O JURO E O RECURSO FINANCEIRO QUE O MESMO REMUNERA. NOTAÇÃO: i A TAXA DE JURO PODE APRESENTAR-SE DE DUAS FORMAS: CENTESIMAL: EX: i = 0,10 OU PERCENTUAL EX: i = 10% VALOR PRESENTE : VALOR DISPONÍVEL PARA SER EMPRESTADO. DINHEIRO. CONHECIDO SOB DIVERSAS FORMAS, TAIS COMO: PRINCIPAL, CAPITAL, VALOR ATUAL, VALOR PRESENTE, VALOR DISPONÍVEL, VALOR REAL, ETC. NOTAÇÃO: PV
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VALOR FUTURO: TAMBÉM CHAMADO DE VALOR FUTURO, O MONTANTE É EMPREGADO PARA CARACTERIZAR O ACRÉSCIMO DE JURO SOBRE O VALOR PRESENTE OU CAPITAL. NOTAÇÃO: FV NÚMERO DE PERÍODOS: É O PRAZO EM QUE O CAPITAL FICA DISPONÍVEL PARA O TOMADOR DO RECURSO. DETERMINARÁ, EM CONJUNTO COM A TAXA DE JUROS E O VALOR TOMADO COMO EMPRÉSTIMO (CAPITAL) O VALOR DO JURO E DO MONTANTE. NOTAÇÃO: n QUADRO RESUMO DAS NOTAÇÕES: JURO = J TAXA DE JURO = i VALOR PRESENTE = PV VALOR FUTURO = FV NÚMERO DE PERÍODOS = n FÓRMULAS FV = PV . (1 + i.n)
J = FV - PV
FV (1 + i.n)
J = PV . i . n
PV =
EXEMPLOS: 1. SUPONHAMOS QUE SE TOME EMPRESTADA A QUANTIA DE $ 1.000,00 PELO PRAZO DE 2 ANOS E À TAXA DE 10% A.A. QUAL SERÁ O VALOR A SER PAGO COMO JURO? 2. QUANTO RENDE UM PRINCIPAL DE $ 100,00 APLICADO À TAXA DE 5% AO SEMESTRE E POR UM PRAZO DE 2 ANOS? 3. QUAL É O MONTANTE DE UM CAPITAL DE $ 1.000,00 APLICADO À TAXA DE 10% A.A. PELO PRAZO DE 2 ANOS?
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TAXA PROPORCIONAL: CONSIDEREMOS DUAS TAXAS DE JUROS ARBITRÁRIAS i1 E i2, RELACIONADAS RESPECTIVAMENTE AOS PERÍODOS n1 e n2, REFERIDOS À UNIDADE COMUM DE TEMPO DAS TAXAS. ESTAS TAXAS SE DIZEM PROPORCIONAIS SE HOUVER A IGUALDADE DE QUOCIENTE DAS TAXAS COM O QUOCIENTE DOS RESPECTIVOS PERÍODOS, OU SEJA, SE:
i1 n1 = i 2 n2 COMO EM UMA PROPORÇÃO O PRODUTO DOS MEIOS É IGUAL AO PRODUTO DOS EXTREMOS, TEMOS: i1 . n2 = i2 . n1 OU SEJA, PODEMOS ESCREVER A FÓRMULA DO SEGUINTE MODO:
i1 i 2 = n1 n 2 VEJAMOS DE MODO GRÁFICO: TAXA
i2 i1
n1
n2
PERÍODOS
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TAMBÉM PODE-SE ANALISAR DA SEGUINTE FORMA: SENDO i A TAXA DE JUROS CORRESPONDENTE A UM PERÍODO E ADMITINDO-SE QUE QUEREMOS DETERMINAR A TAXA PROPORCIONAL im, CORRESPONDENTE À FRAÇÃO 1/m DE UM PERÍODO, TEM-SE: 1
1/m
1/m
1/m
OU SEJA, O INTERVALO DE TEMPO UNITÁRIO CORRESPONDENTE À TAXA DE JUROS i FOI DIVIDIDO EM m PARTES IGUAIS. PORTANTO:
i im = m EXEMPLOS: 1. VERIFICAR SE AS TAXAS DE 5% AO TRIMESTRE E DE 20% AO ANO SÃO PROPORCIONAIS. 2. SENDO DADA A TAXA DE JUROS DE 24% AO ANO, DETERMINAR A TAXA PROPORCIONAL MENSAL. 3. SENDO DADA A TAXA DE 10% AO SEMESTRE, ACHAR A TAXA TRIMESTRAL QUE LHE É PROPORCIONAL. TAXAS EQUIVALENTES: DUAS TAXAS SE DIZEM EQUIVALENTES SE, APLICANDO UM MESMO CAPITAL ÀS DUAS TAXAS E PELO MESMO INTERVALO DE TEMPO, AMBAS PRODUZEM O MESMO JURO.
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IMPORTANTE: EM JUROS SIMPLES, TAXAS EQUIVALENTES SÃO TAMBÉM TAXAS PROPORCIONAIS. ENTÃO PODE-SE APLICAR A MESMA FÓRMULA.
im =
i m
PARA PERÍODOS NÃO INTEIROS: A SOLUÇÃO PODE SER OBTIDA EM DUAS ETAPAS: 1. CALCULA-SE O JURO CORRESPONDENTE À PARTE INTEIRA DE PERÍODOS. 2. CALCULA-SE A TAXA PROPORCIONAL À FRAÇÃO DE PERÍODO QUE RESTA E O JURO CORRESPONDENTE EXEMPLOS: 1. SEJA UM CAPITAL DE $ 10.000,00, QUE PODE SER APLICADO ALTERNATIVAMENTE À TAXA DE 2% A.M. OU DE 24% A.A. SUPONDO UM PRAZO DE APLICAÇÃO DE 2 ANOS, VERIFICAR SE AS TAXAS SÃO EQUIVALENTES. 2. QUAL O JURO E QUAL O MONTANTE DE UM CAPITAL DE $ 1.000,00 QUE É APLICADO À TAXA DE JUROS SIMPLES DE 12% AO SEMESTRE, PELO PRAZO DE 5 ANOS E 9 MESES? JURO EXATO E JURO COMERCIAL: NAS APLICAÇÕES CORRENTES, MUITO EMBORA AS TAXAS SEJAM EXPRESSAS EM TERMOS ANUAIS, OS PRAZOS SÃO FIXADOS EM DIAS. COMO EM CURTO PRAZO O REGIME GERALMENTE ADOTADO É O DE JUROS SIMPLES, TORNA-SE NECESSÁRIO CALCULAR A TAXA PROPORCIONAL REFERENTE A 1 DIA. JURO EXATO: CHAMA-SE JURO EXATO AQUELE QUE É OBTIDO QUANDO O PERÍODO (n) ESTÁ EXPRESSO EM DIAS E QUANDO É ADOTADA A CONVENÇÃO DO ANO CIVIL (365 DIAS):
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Je =
PV .i.n 365
JURO COMERCIAL: DENOMINA-SE JURO COMERCIAL (OU ORDINÁRIO) O JURO QUE É CALCULADO QUANDO SE ADOTA COMO BASE O ANO COMERCIAL (360 DIAS):
PV.i.n Jc = 360 EXEMPLO: QUAL É O JURO EXATO E COMERCIAL DE UM CAPITAL DE $ 10.000,00 QUE É APLICADO POR 40 DIAS E À TAXA DE 36% A.A.?
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FLUXO DE CAIXA: É COMUM REPRESENTAR AS ENTRADAS E SAÍDAS DE DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO ATRAVÉS DE UM DIAGRAMA, O QUAL, CHAMAREMOS DE FLUXO DE CAIXA. EXEMPLO: 500
400
0
200
5 1
2
3
4
300
6
7
8
ENTRADAS (+) SAÍDAS (-)
1.000
VALOR NOMINAL: É QUANTO VALE UM TÍTULO NA DATA DE SEU VENCIMENTO. EXEMPLO: UMA PESSOA QUE APLICOU UMA QUANTIA HOJE E QUE VAI RESGATÁ-LA POR $ 20.000,00 DAQUI A 12 MESES. PORTANTO O VALOR NOMINAL DESTA APLICAÇÃO É $ 20.000,00 NO MÊS 12. NOTAÇÃO: FV VALOR ATUAL: TAMBÉM CONHECIDO COMO CAPITAL, É O VALOR QUE UM COMPROMISSO TEM EM UMA DATA QUE ANTECEDE AO SEU VENCIMENTO. NOTAÇÃO: PV
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EXEMPLO: FV
0 1
2
3
4
5
6
PV
FÓRMULA: FV = PV (1 + i.n) EXEMPLO: SUPONHA QUE O VALOR APLICADO HOJE TENHA SIDO DE $ 15.000,00. CALCULE A TAXA DE JUROS SIMPLES. VALOR FUTURO: É O VALOR DE UM TÍTULO EM QUALQUER DATA POSTERIOR À QUE ESTAMOS CONSIDERANDO NO MOMENTO. É O MESMO QUE MONTANTE, QUANDO A DATA CONSIDERADA FOR A DO VENCIMENTO DA APLICAÇÃO. CONCLUSÃO: O VALOR FUTURO CORRESPONDE AO PRÓPRIO MONTANTE OU VALOR NOMINAL.
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EXEMPLO: 1. CONSIDERE QUE UMA PESSOA POSSUI HOJE A QUANTIA DE $ 10.000,00. QUAL SERÁ O VALOR FUTURO SE A PESSOA APLICAR ESTA IMPORTÂNCIA À TAXA DE 5% AO MÊS, DAQUI A 3 MESES? 2. QUAL SERÁ O VALOR FUTURO DOS MESMOS $ 10.000,00 SE A TAXA FOR DE 10% AO MÊS, DAQUI A 6 MESES? DESCONTOS: PODE-SE EXEMPLIFICAR DUAS FORMAS DE DESCONTOS: A PRIMEIRA DIZ RESPEITO À NECESSIDADE DE SE RETIRAR UM VALOR APLICADO ANTES DE SEU VENCIMENTO. NESTE CASO O APLICADOR DEVE IR JUNTO AO TOMADOR DO RECURSO E LEVANTAR O PRINCIPAL E OS JUROS JÁ GANHOS. A SEGUNDA É UMA SITUAÇÃO ONDE UMA EMPRESA QUE VENDE A PRAZO, E NECESSITA DE CAPITAL IMEDIATAMENTE. ESTA PODE IR A UM BANCO E TRANSFERIR A POSSE DA DUPLICATA, RECEBENDO DINHEIRO EM TROCA. DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO “POR DENTRO”: É O DESCONTO OBTIDO PELA DIFERENÇA ENTRE O VALOR NOMINAL E O VALOR ATUAL DE UM COMPROMISSO QUE SEJA SALDADO EM n PERÍODOS ANTES DO SEU VENCIMENTO. DESCONTO: É A QUANTIA A SER ABATIDA DO VALOR NOMINAL. VALOR DESCONTADO: É A DIFERENÇA ENTRE O VALOR NOMINAL E O DESCONTO. NOTAÇÃO: FV = VALOR NOMINAL (MONTANTE) PVr = VALOR ATUAL (VALOR DESCONTADO RACIONAL) n = NÚMERO DE PERÍODOS ANTES DO VENCIMENTO
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i = TAXA DE DESCONTO Dr = VALOR DO DESCONTO FORMULAS FV = PVr (1 + i.n)
Dr =
FV.i.n 1 + i.n
EXEMPLO: UMA PESSOA PRETENDE SALDAR UM TÍTULO DE $ 5.500,00, 3 MESES ANTES DE SEU VENCIMENTO. SABENDO-SE QUE A TAXA DE JUROS CORRENTE É DE 40% A.A., QUAL O DESCONTO E QUANTO VAI OBTER? CONCLUSÃO: NO REGIME DE JUROS SIMPLES, O DESCONTO RACIONAL APLICADO AO VALOR NOMINAL É IGUAL AO JURO DEVIDO SOBRE O CAPITAL (VALOR DESCONTADO) DESDE QUE AMBOS SEJAM CALCULADOS À MESMA TAXA. OU SEJA, A TAXA DE JUROS DA OPERAÇÃO É TAMBÉM A TAXA DE DESCONTO.
DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO “POR FORA”: É O VALOR QUE SE OBTÉM PELO CÁLCULO DO JURO SIMPLES SOBRE O VALOR NOMINAL DO COMPROMISSO QUE SEJA SALDADO n PERÍODOS ANTES DE SEU VENCIMENTO. NOTAÇÃO: FV = VALOR NOMINAL (MONTANTE) PVc = VALOR ATUAL (VALOR DESCONTADO COMERCIAL) n = NÚMERO DE PERÍODOS ANTES DO VENCIMENTO i = TAXA DE DESCONTO Dc = DESCONTO COMERCIAL
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FORMULAS PVc = FV (1 – i.n)
Dc = FV.i.n
EXEMPLO: CONSIDEREMOS O EXEMPLO ANTERIOR, EM QUE O TÍTULO DE $ 5.500,00 É DESCONTADO Á TAXA DE 40% A.A., 3 MESES ANTES DO VENCIMENTO. DESCONTO BANCÁRIO: CORRESPONDE AO DESCONTO COMERCIAL ACRESCIDO DE UMA TAXA PREFIXADA (GERALMENTE A TÍTULO DE DESPESAS ADMINISTRATIVAS), COBRADA SOBRE O VALOR NOMINAL. NOTAÇÃO: FV = VALOR NOMINAL (MONTANTE) PVb = VALOR ATUAL (VALOR DESCONTADO BANCÁRIO) n = NÚMERO DE PERÍODOS ANTES DO VENCIMENTO i = TAXA DE DESCONTO Dc = DESCONTO COMERCIAL Db = DESCONTO BANCÁRIO h = TAXA DE DESPESAS ADMINISTRATIVAS FÓRMULAS PVb = FV [1 – (i.n + h)]
Db = FV (i.n + h)
EXEMPLO: UM TÍTULO DE $ 5.500,00 FOI DESCONTADO NO BANCO BRASILEIRO, QUE COBRA 2% COMO DESPESA ADMINISTRATIVA. SABENDO-SE QUE O TÍTULO FOI DESCONTADO 3 MESES ANTES DE SEU VENCIMENTO E QUE A TAXA CORRENTE EM DESCONTO COMERCIAL É DE 40% A.A., QUAL O DESCONTO BANCÁRIO? QUANTO RECEBEU O PROPRIETÁRIO DO TÍTULO.
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TAXA DE JUROS EFETIVA: É A TAXA DE JUROS QUE APLICADA SOBRE O VALOR DESCONTADO, COMERCIAL OU BANCÁRIO GERA NO PERÍODO CONSIDERADO UM MONTANTE IGUAL AO VALOR NOMINAL. NOTAÇÃO: FV = VALOR NOMINAL (MONTANTE) PVb = VALOR ATUAL (VALOR DESCONTADO BANCÁRIO) PVc = VALOR ATUAL (VALOR DESCONTADO COMERCIAL) n = NÚMERO DE PERÍODOS ANTES DO VENCIMENTO if = TAXA EFETIVA FÓRMULAS FV -1 PVb if = n
FV -1 PVc if = n
EXEMPLO: Seja o mesmo exemplo anterior, no qual já calculamos: PVc = 4.950,00 PVb = 4.840,00 FV = 5.500,00 n=3 Pede-se: taxa efetiva para desconto comercial e bancário. RELAÇÃO ENTRE DESCONTO RACIONAL E COMERCIAL: COMO JÁ VERIFICAMOS ANTERIORMENTE, O DESCONTO COMERCIAL É MAIOR QUE O DESCONTO RACIONAL, SE AMBOS FOREM FEITOS NAS MESMAS CONDIÇÕES. Dc > D r
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DEDUZINDO SUAS FÓRMULAS TEM-SE: Dc = Dr (1 + i.n) EXEMPLO: O DESCONTO COMERCIAL DE UM TÍTULO DESCONTADO 3 MESES ANTES DE SEU VENCIMENTO E À TAXA DE 40% A.A. É DE $ 500,00. QUAL É O DESCONTO RACIONAL?
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JUROS COMPOSTOS: COMO JÁ FOI ANALISADO, O REGIME DE JUROS SIMPLES, CARACTERIZA-SE PELO FATO DE APENAS O CAPITAL INICIAL RENDER JUROS, E ESTE SER PROPORCIONAL AO TEMPO E À TAXA. NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS, QUE TEM GRANDE IMPORTÂNCIA FINANCEIRA POR TRATAR MELHOR A REALIDADE, O JURO GERADO PELA APLICAÇÃO SERÁ INCORPORADO À MESMA PASSANDO A PARTICIPAR DA GERAÇÃO DE JUROS NO PERÍODO SEGUINTE. DIZEMOS ENTÃO QUE OS JUROS SÃO CAPITALIZADOS, E COMO NÃO SÓ O CAPITAL INICIAL RENDE JUROS MAS ESTES SÃO DEVIDOS TAMBÉM SOBRE OS JUROS FORMADOS ANTERIORMENTE, TEMOS O NOME DE JUROS COMPOSTOS. DIFERENÇAS ENTRE O REGIME DE JUROS SIMPLES E O REGIME DE JUROS COMPOSTOS. SUPONHAMOS UM CAPITAL INICIAL DE $ 1.000,00 APLICADO À TAXA DE 20% AO ANO POR UM PERÍODO DE 4 ANOS: n
JUROS SIMPLES JURO POR PERÍODO
JUROS COMPOSTOS
VALOR FUTURO JURO POR PERÍODO VALOR FUTURO
1
1.000 x 0,2 = 200
1.200
1.000 x 0,2 = 200
1.200
2
1.000 x 0,2 = 200
1.400
1.200 x 0,2 = 240
1.440
3
1.000 x 0,2 = 200
1.600
1.440 x 0,2 = 288
1.728
4
1.000 x 0,2 = 200
1.800
1.728 x 0,2 = 346
2.074 (aprox.)
Função linear
Função exponencial
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VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO: NOTAÇÃO: FV = VALOR NOMINAL, MONTANTE, VALOR FUTURO PV = VALOR ATUAL, CAPITAL, VALOR PRESENTE n = NÚMERO DE PERÍODOS i = TAXA DE JUROS FV = PV(1 + i)n EXEMPLO: UMA PESSOA TOMA $ 1.000,00 EMPRESTADO À TAXA DE JUROS DE 2% a.m. PELO PRAZO DE 10 MESES COM CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA. QUAL O MONTANTE A SER DEVOLVIDO? JURO: NOTAÇÃO: J = JURO PV = VALOR ATUAL, CAPITAL, VALOR PRESENTE n = NÚMERO DE PERÍODOS i = TAXA DE JUROS FÓRMULA J = FV - PV OU J = PV [(1 + i)n – 1] EXEMPLO: QUAL O JURO PAGO NO CASO DO EMPRÉSTIMO DE $ 1.000,00 À TAXA DE JUROS COMPOSTOS DE 2% a.m. E PELO PRAZO DE 10 MESES?
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EXEMPLOS: A) POR QUANTO DEVO COMPRAR UM TÍTULO, VENCÍVEL DAQUI A 5 MESES, COM VALOR NOMINAL DE $ 1.131,40, SE A TAXA DE JUROS COMPOSTOS CORRENTE FOR DE 2,5% a.m.? B) UMA PESSOA POSSUI UMA LETRA DE CÂMBIO QUE VENCE DAQUI A UM ANO, COM VALOR NOMINAL DE $ 1.344,89. FOI-LHE PROPOSTA A TROCA DAQUELE TÍTULO POR OUTRO, VENCÍVEL DAQUI A 3 MESES E NO VALOR DE $ 1.080,00. SABENDO-SE QUE A TAXA CORRENTE DE MERCADO É DE 2,5% a.m., PERGUNTA-SE SE A TROCA PROPOSTA É VANTAJOSA. TAXAS EQUIVALENTES: DIZEMOS QUE DUAS TAXAS SÃO EQUIVALENTES SE, CONSIDERADOS O MESMO PRAZO DE APLICAÇÃO E O MESMO CAPITAL, FOR INDIFERENTE APLICAR EM UMA OU EM OUTRA. DE OUTRO MODO, CONSIDERANDO-SE UM MESMO CAPITAL APLICADO POR UM MESMO INTERVALO DE TEMPO A CADA UMA DAS TAXAS, AMBAS AS TAXAS PRODUZIRÃO UM MESMO MONTANTE SE FOREM EQUIVALENTES. 1
1/q
1/q
1/q
Sejam as taxas: i = REFERENTE A UM INTERVALO DE TEMPO q iq = CORRESPONDENTE A UM INTERVALO DE TEMPO IGUAL À FRAÇÃO PRÓPRIA
p
q
= 1
NOTAÇÃO: iq = TAXA EQUIVALENTE i = TAXA DE JURO REFERENTE AO PERÍODO MAIOR q = NÚMERO DE PERÍODOS QUE DIVIDEM UM PERÍODO MAIOR EM “q” PARTES IGUAIS
q
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FÓRMULA iq = (1 + if)1/q – 1
iq = q (1 + i) − 1
i = (1 + iq)q – 1
EXEMPLOS: 1. DADA A TAXA DE JUROS DE 9,2727% a.t., DETERMINAR A TAXA DE JUROS COMPOSTOS EQUIVALENTE MENSAL. 2. SUPONHAMOS QUE: PV = 1.000,00 ; iq = 2% a.m. ; i = 26,824% a.a. ; n = 1 ANO. VERIFICAR SE i E iq SÃO EQUIVALENTES. 3. SE UM CAPITAL DE $ 1.000,00 PUDER SER APLICADO ÀS TAXAS DE JUROS COMPOSTOS DE 10% a.a. OU DE 33,1% AO TRIÊNIO, DETERMINAR A MELHOR APLICAÇÃO. JUROS COMPOSTOS EM PERÍODOS NÃO INTEIROS NOTAÇÃO: FV n,p/q = VALOR NOMINAL, MONTANTE, VALOR FUTURO (COM n PERÍODOS + UMA FRAÇÃO DE n) PV = VALOR ATUAL, VALOR PRESENTE, CAPITAL n+p/q = n PERÍODOS + FRAÇÃO DE n FÓRMULA FVn,p/q = PV (1 + i)n+p/q
EXEMPLO: UM CAPITAL DE % 1.000,00 É EMPRESTADO À TAXA DE JUROS COMPOSTOS DE 10% a.a., PELO PRAZO DE 5 ANOS E 6 MESES. TENDO POR BASE A CAPITALIZAÇÃO ANUAL, QUAL SERÁ O MONTANTE?
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TAXA EFETIVA E TAXA NOMINAL – QUANDO O PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO NÃO COINCIDE COM O PERÍODO DA TAXA: TEMOS UMA TAXA DE JUROS NOMINAL QUANDO O PRAZO DE FORMAÇÃO E INCORPORAÇÃO DE JUROS AO CAPITAL INICIAL NÃO COINCIDE COM AQUELE A QUE A TAXA SE REFERE. NESTE CASO, É COMUM ADOTAR-SE A CONVENÇÃO DE QUE A TAXA POR PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO SEJA PROPORCIONAL À TAXA NOMINAL. NOTAÇÃO: if = TAXA EFETIVA i = TAXA NOMINAL k = NÚMERO DE CAPITALIZAÇÕES PARA 1 PERÍODO DA TAXA NOMINAL FVnk = MONTANTE, VALOR FUTURO, VALOR NOMINAL PV = PRINCIPAL, CAPITAL, VALOR PRESENTE, VALOR ATUAL FÓRMULA if = (1 + i/k)k - 1
i = [(1 + if)1/k – 1] k
PODE-SE, TAMBÉM, CALCULAR DIRETAMENTO O FV FÓRMULA FVn,k = V (1 + i/k)k.n EXEMPLOS: 1. UM BANCO FAZ EMPRÉSTIMOS À TAXA DE 5% a.a., MAS ADOTANDO A CAPITALIZAÇÃO SEMESTRAL DOS JUROS. QUAL SERIA O JURO PAGO POR UM EMPRÉSTIMO DE $ 10.000,00, FEITO POR 1 ANO? 2. UM CAPITAL DE $1.000,00 FOI APLICADO POR 3 ANOS, À TAXA DE 10% a.a., COM CAPITALIZAÇÃO SEMESTRAL. CALCULAR O MONTANTE E A TAXA EFETIVA DA OPERAÇÃO. 3. SABENDO-SE QUE A TAXA NOMINAL DE 12% a.a. É CAPITALIZADA TRIMESTRALMENTE, CALCULAR A TAXA EFETIVA.
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EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS: COMO JÁ FOI VISTO NO CASO DAS OPERAÇÕES DE DESCONTO, É FREQÜENTE A NECESSIDADE DE ANTECIPAR OU DE PRORROGAR TÍTULOS NAS OPERAÇÕES FINANCEIRAS. ÀS VEZES QUEREMOS SUBSTITUIR UM TÍTULO POR OUTRO OU POR VÁRIOS. PODEMOS TAMBÉM TER VÁRIOS TÍTULOS QUE QUEREMOS SUBSTITUIR POR UM ÚNICO OU POR VÁRIOS. TAIS QUESTÕES DIZEM RESPEITO, DE MODO GERAL, À COMPARAÇÃO DE VALORES DIFERENTES, CONSIDERANDO-SE UMA DADA TAXA DE JUROS. NA PRÁTICA, ESTAS COMPARAÇÕES SÃO FEITAS UTILIZANDO-SE O CRITÉRIO DE JUROS COMPOSTOS. DATA FOCAL: DATA FOCAL É A DATA QUE SE CONSIDERA COMO BASE DE COMPARAÇÃO DOS VALORES REFERIDOS A DATAS DIFERENTES. A DATA FOCAL TAMBÉM É CHAMADA DE DATA DE AVALIAÇÃO OU DATA DE REFERÊNCIA. EXEMPLO: CERTA PESSOA TEM UMA NOTA PROMISSÓRIA A RECEBER COM VALOR NOMINAL DE $ 15.000,00, QUE VENCERÁ EM DOIS ANOS. ALÉM DISTO, POSSUI $ 20.000,00 HOJE, QUE IRÁ APLICAR À TAXA DE 2% a.m., DURANTE DOIS ANOS. CONSIDERANDO QUE O CUSTO DE OPORTUNIDADE DO CAPITAL HOJE, OU SEJA, A TAXA DE JUROS VIGENTE NO MERCADO, É DE 2% a.m., PERGUNTA-SE: A)
QUANTO POSSUI HOJE?
B) QUANTO POSSUIRÁ DAQUI A UM ANO?
C)
QUANTO POSSUIRÁ DAQUI A DOIS ANOS? (RESOLUÇÃO NO QUADRO)
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EQUAÇÃO DE VALOR: A EQUAÇÃO DE VALOR PERMITE QUE SEJAM IGUALADOS CAPITAIS DIFERENTES, REFERIDOS A DATAS DIFERENTES, PARA UMA MESMA DATA FOCAL, DESDE QUE SEJA FIXADA UMA CERTA TAXA DE JUROS. EM OUTRAS PALAVRAS, A EQUAÇÃO DE VALOR PODE SER OBTIDA IGUALANDO-SE EM UMA DATA FOCAL AS SOMAS DOS VALORES ATUAIS E/OU MONTANTES DOS COMPROMISSOS QUE FORMAM A ALTERNATIVA EM ANÁLISE. EXEMPLO: CONSIDERE-SE O EXERCÍCIO RESOLVIDO NO ITEM ANTERIOR. AS EXPRESSÕES DE PRIMEIRO GRAU EM X, Y E Z SÃO EQUAÇÕES DE VALOR. (RESOLUÇÃO NO QUADRO) CAPITAIS EQUIVALENTES: DIZ-SE QUE DOIS OU MAIS CAPITAIS, COM DATAS DE VENCIMENTO DETERMINADAS, SÃO EQUIVALENTES QUANDO, LEVADOS PARA UMA MESMA DATA FOCAL À MESMA TAXA DE JUROS, TIVEREM VALORES IGUAIS. SEJA UM CONJUNTO DE VALORES NOMINAIS E SUAS RESPECTIVAS DATAS DE VENCIMENTO: CAPITAL
DATA DE VENCIMENTO
FV1
1
FV 2
2
FV 3
3
...
...
FV n
n
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A REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DESTES CAPITAIS NO TEMPO É A SEGUINTE: FV3
FV1
0
1
...
FVn
FV2
2
3
...
n
ADOTANDO-SE UMA TAXA DE JUROS i, ESTES CAPITAIS SERÃO EQUIVALENTES NA DATA FOCAL 0, SE:
FV3 FV1 FV2 FVn PV = = = = ... = 1 2 3 (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) n INDICAMOS OS VALORES POR PV, JÁ QUE ESTES SÃO ATUAIS À TAXA DE JUROS i, NA DATA FOCAL 0. EXEMPLO: CONSIDEREMOS OS VALORES NOMINAIS SEGUINTES: CAPITAL ($)
DATA DE VENCIMENTO (ANOS)
1.100,00
1
1.210,00
2
1.331,00
3
1.464,10
4
1.610,51
5
ADMITINDO-SE UMA TAXA DE JUROS COMPOSTOS DE 10% a.a., VERIFICAR SE OS CAPITAIS SÃO EQUIVALENTES NA DATA FOCAL ZERO. (RESOLUÇÃO NO QUADRO) COMPARE OS MESMOS VALORES NA DATA FOCAL 3. (RESOLUÇÃO NO QUADRO) VALOR ATUAL DE UM CONJUNTO DE CAPITAIS: SUPONHAMOS QUE UMA PESSOA TENHA UMA CARTEIRA DE APLICAÇÕES EM TÍTULOS DE RENDA FIXA COM DATAS DE VENCIMENTO DIFERENTES.
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ESTA CARTEIRA DE VALORES NOMINAIS É UM CONJUNTO DE CAPITAIS. O CONJUNTO PODE SER CARACTERIZADO PELO VALOR NOMINAL DO TÍTULO E POR SUA DATA DE VENCIMENTO: CAPITAL
DATA DE VENCIMENTO
FV1
1
FV 2
2
FV 3
3
...
...
FV n
n
UMA QUESTÃO NORMAL É A DE SABER QUAL O VALOR DA CARTEIRA, OU SEJA, DO CONJUNTO DE CAPITAIS NUMA DETERMINADA DATA. PARA ISTO, É NECESSÁRIO FIXARSE A TAXA DE JUROS i E A DATA FOCAL, QUE VAMOS ADMITIR, NESTE CASO, COMO SENDO A DATA ZERO. NESTAS CONDIÇÕES, O VALOR DA CARTEIRA PODE SER OBTIDO DESCONTANDO-SE OS TÍTULOS PARA A DATA ZERO E SOMANDO-SE OS VALORES OBTIDOS:
PV =
FV3 FVn FV1 FV2 ... + + + + (1 + i) n (1 + i)1 (1 + i) 2 (1 + i) 3
O TOTAL OBTIDO V É O VALOR ATUAL DO CONJUNTO DE CAPITAIS NA DATA ZERO. É O VALOR ATUAL DESTA CARTEIRA, QUE É QUANTO ELA VALE. OU SEJA, DADO UM CUSTO DE OPORTUNIDADE DE CAPITAL (A TAXA DE JUROS VIGENTE NO MERCADO) E UMA DATA DE COMPARAÇÃO, PODEMOS DIZER QUE O VALOR ATUAL NAQUELA DATA “MEDE” O VALOR DA CARTEIRA.
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EXEMPLO: ADMITAMOS O CONJUNTO DE CAPITAIS SEGUINTE: CAPITAL ($)
DATA DE VENCIMENTO (MÊS)
1.000,00
6
2.000,00
12
5.000,00
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ADMITINDO-SE A TAXA DE JUROS DE 3% a.m., PERGUNTA-SE QUAL O VALOR ATUAL DESTE CONJUNTO NA DATA FOCAL ZERO. (RESOLUÇÃO NO QUADRO) CONJUNTO EQUIVALENTE DE CAPITAIS SEJAM DADOS A TAXA DE JUROS i E DOIS CONJUNTOS DE VALORES NOMINAIS COM SEUS RESPECTIVOS PRAZOS, CONTADOS A PARTIR DA MESMA DATA DE ORIGEM: 1º CONJUNTO
2º CONJUNTO
CAPITAL
DATA VENCIMENTO
CAPITAL
DATA VENCIMENTO
FV 1
m1
FV’1
m'1
FV 2
m2
FV’2
m'2
FV 3
m3
FV’3
m'3
...
...
...
...
FV n
mn
FV’n
m'n
FV3 FV'3 FV1 FV2 FVn FV'1 FV'2 FV'n + + + ... + = + + + ... + (1+ i)m1 (1+ i)m2 (1+ i)m3 (1+ i)mn (1+ i)m'1 (1+ i)m'2 (1+ i)m'3 (1+ i)m'n
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EXEMPLO: VERIFICAR SE OS CONJUNTOS DE VALORES NOMINAIS, REFERIDOS À DATA ZERO, SÃO EQUIVALENTES À TAXA DE JUROS DE 10% a.a. 1º CONJUNTO
2º CONJUNTO
CAPITAL ($)
DATA VENCIMENTO
CAPITAL ($)
DATA VENCIMENTO
1.100,00
1º ANO
2.200,00
1º ANO
2.420,00
2º ANO
1.210,00
2º ANO
1.996,50
3º ANO
665,50
3º ANO
732,05
4º ANO
2.196,15
4º ANO
SÉRIE DE PAGAMENTOS - ANUIDADES É COMUM EM APLICAÇÕES FINANCEIRAS PAGAR OU RECEBER O CAPITAL DE UMA SÓ VEZ OU POR INTERMÉDIO DE UMA SEQÜÊNCIA DE PAGAMENTOS OU RECEBIMENTOS. QUANDO SE OBJETIVA CONSTITUIR CAPITAL EM UMA DATA FUTURA, TEM-SE UM PROCESSO DE CAPITALIZAÇÃO. CASO CONTRÁRIO, QUANDO SE QUER PAGAR UMA DÍVIDA, TEM-SE UM PROCESSO DE AMORTIZAÇÃO. PODE OCORRER TAMBÉM O CASO EM QUE SE TEM O PAGAMENTO PELO USO, SEM QUE HAJA AMORTIZAÇÃO, QUE É O CASO DOS ALUGUÉIS. AS RENDAS OU ANUIDADES PODEM SER BASICAMENTE DE DOIS TIPOS: RENDAS CERTAS: SÃO AQUELAS CUJA DURAÇÃO E PAGAMENTOS SÃO PREDETERMINADOS, NÃO DEPENDENDO DE CONDIÇÕES EXTERNAS. OS PARÂMETROS COMO: JUROS, VALOR DAS PARCELAS, PRAZO DE DURAÇÃO, ETC. SÃO FIXOS. RENDAS ALEATÓRIAS: OS VALORES E/OU AS DATAS DE PAGAMENTOS OU RECEBIMENTOS PODEM SER VARIÁVEIS ALEATÓRIAS. POR EXEMPLO: SEGUROS DE VIDA, ONDE OS VALORES DE PAGAMENTOS SÃO CERTOS, SENDO ALEATÓRIOS O VALOR DO SEGURO A RECEBER E A DATA DE RECEBIMENTO. NOSSO ESTUDO RESTRINGE-SE APENAS ÀS RENDAS CERTAS, SOB O REGIME DE JUROS COMPOSTOS.
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DEFINIÇÕES: O VALOR ATUAL DE UMA ANUIDADE É A SOMA DOS VALORES ATUAIS DOS SEUS TERMOS, SOMA ESTA FEITA PARA UMA MESMA DATA FOCAL E À MESMA TAXA DE JUROS. DE MODO ANÁLOGO, O MONTANTE DE UMA ANUIDADE É A SOMA DOS MONTANTES DE SEUS TERMOS, CONSIDERADA UM DADA TAXA DE JUROS E UMA DATA FOCAL. CLASSIFICAÇÃO DAS ANUIDADES: QUANTO AO PRAZO: TEMPORÁRIAS: DURAÇÃO LIMITADA PERPÉTUAS: DURAÇÃO ILIMITADA QUANTO AO VALOR DOS TERMOS: CONSTANTE: TODOS OS TERMOS IGUAIS VARIÁVEL: TERMOS NÃO SÃO IGUAIS ENTRE SI QUANTO À FORMA DE PAGAMENTO/RECEBIMENTO: IMEDIATAS: SE OS TERMOS SÃO EXIGÍVEIS A PARTIR DO PRIMEIRO PERÍODO. POSTECIPADAS OU VENCIDAS: SE OS TERMOS SÃO EXIGÍVEIS NO FIM DOS PERÍODOS. ANTECIPADAS: SE OS TERMOS SÃO EXIGÍVEIS NO INÍCIO DOS PERÍODOS. DIFERIDAS: SE OS TERMOS FOREM EXIGÍVEIS A PARTIR DE UMA DADA QUE NÃO SEJA O PRIMEIRO PERÍODO. POSTECIPADAS OU VENCIDAS: SE OS TERMOS SÃO EXIGÍVEIS NO FIM DOS PERÍODOS. ANTECIPADAS: SE OS TERMOS SÃO EXIGÍVEIS NO INÍCIO DOS PERÍODOS. QUANTO À PERIODICIDADE: PERIÓDICAS: SE TODOS OS PERÍODOS SÃO IGUAIS. NÃO-PERIÓDICAS: SE OS PERÍODOS NÃO SÃO IGUAIS ENTRE SI.
27 POSTECIPADAS IMEDIATAS ANTECIPADAS
CONSTANTES DIFERIDAS
TEMPORÁRIAS VARIÁVEIS
PERIÓDICAS PERPÉTUAS
CERTAS ANUIDADES
NÃO-PERIÓDICAS ALEATÓRIAS
MODELO BÁSICO DE ANUIDADE POR MODELO BÁSICO DE ANUIDADE ENTENDE-SE AS ANUIDADES QUE SÃO SIMULTANEAMENTE: TEMPORÁRIAS CONSTANTES IMEDIATAS E POSTECIPADAS PERIÓDICAS E QUE A TAXA DE JUROS “i” SEJA REFERIDA AO MESMO PERÍODO DOS TERMOS. NOMENCLATURA: PV = SOMA DOS VALORES ATUAIS FV = SOMA DOS MONTANTES PMT = VALOR DAS ANUIDADES i = TAXA DE JUROS n = NÚMERO DE PERÍODOS
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VALOR ATUAL DO MODELO BÁSICO
PMT
1
PMT PMT
2
3
PMT
4
PMT
5
PMT
n-1
PMT
n
A SOMA DO VALOR ATUAL DOS TERMOS É DADA POR: Desenvolvimento da fórmula no quadro FÓRMULA: ⎡ (1 + i) n − 1⎤ PV = PMT.⎢ n ⎥ ⎣ i(1 + i) ⎦
EXEMPLO 1 JOÃO COMPRA UM CARRO, QUE IRÁ PAGAR EM 4 PRESTAÇÕES MENSAIS DE $ 2.626,24. SEM ENTRADA. AS PRESTAÇÕES SERÃO PAGAS A PARTIR DO MÊS SEGUINTE AO DA COMPRA E O VENDEDOR AFIRMOU ESTAR COBRANDO UMA TAXA DE JUROS COMPOSTOS DE 2% a.m. PERGUNTA-SE O PREÇO DO CARRO À VISTA. EXEMPLO 2 UM TELEVISOR EM CORES CUSTA $ 5.000,00 À VISTA, MAS PODE SER FINANCIADO SEM ENTRADA EM 10 PRESTAÇÕES MENSAIS À TAXA DE 3% a.m. CALCULAR A PRESTAÇÃO A SER PAGA PELO COMPRADOR. EXEMPLO 3 UMA APARELHAGEM DE SOM ESTÁ ANUNCIADA NAS SEGUINTES CONDIÇÕES: $ 1.500,00 DE ENTRADA E 3 PRESTAÇÕES MENSAIS IGUAIS DE $ 1.225,48. SABENDO QUE O JURO COBRADO NAS LOJAS DE SOM É DE 2,5% a.m., CALCULAR O PREÇO À VISTA.
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EXEMPLO 4 UM CARRO É VENDIDO POR $ 20.000,00 À VISTA, OU EM 12 PRESTAÇÕES MENSAIS DE $ 1.949,74. QUAL É A TAXA DE JUROS MENSAL QUE ESTÁ SENDO COBRADA? EXEMPLO 5 UM TAPETE PERSA É VENDIDO POR $ 15.000,00 À VISTA. PODE SER ADQUIRIDO TAMBÉM EM PRESTAÇÕES MENSAIS DE $ 885,71, A JUROS DE 3% a.m. SABENDO QUE AS PRESTAÇÕES VENCEM A PARTIR DO MÊS SEGUINTE AO DA COMPRA, PEDE-SE PARA CALCULAR O NÚMERO DE PRESTAÇÕES. MONTANTE DO MODELO BÁSICO SEJA UM PROCESSO DE CAPITALIZAÇÃO EM QUE SÃO APLICADAS PARCELAS IGUAIS A R, PERIÓDICAS E POSTECIPADAS, A UMA TAXA DE JUROS i, REFERIDA AO MESMO PERÍODO DOS TERMOS. O PROBLEMA É DETERMINAR O MONTANTE S NA DATA FOCAL n, QUE RESULTA DESTE PROCESSO DE CAPITALIZAÇÃO.
S
PMT PMT
R 0 R 1
2
PMT
3
PMT PMT
n-1
n
O MONTANTE S É O RESULTADO DA SOMA DOS MONTANTES DE CADA UM DOS TERMOS, À TAXA DE JUROS i, NA DATA FOCAL n. VAMOS ADMITIR QUE ESTEJAMOS FAZENDO ESTA SOMA A PARTIR DO TERMO DE N-ÉSIMA ORDEM (OU SEJA, O ÚLTIMO TERMO) E ATÉ O TERMO DE 1a ORDEM (QUE É O PRIMEIRO TERMO): Desenvolvimento da fórmula no quadro
⎡ (1 + i) n − 1⎤ FV = PMT.⎢ ⎥ i ⎣ ⎦ EXEMPLO 1: UMA PESSOA DEPOSITA $ 1.000,00 MENSALMENTE. SABENDO-SE QUE ELA ESTÁ GANHANDO 2% a.m., QUANTO POSSUIRÁ EM 2 ANOS?
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EXEMPLO 2: UMA PESSOA DESEJA COMPRAR UM CARRO POR $ 40.000,00 À VISTA, DAQUI A 12 MESES. ADMITINDO-SE QUE ELA VÁ POUPAR UMA CERTA QUANTIA MENSAL QUE SERÁ APLICADA EM TÍTULOS RENDENDO 2,2 % a.m. DE JUROS COMPOSTOS, DETERMINAR QUANTO DEVE SER POUPADO MENSALMENTE. EXEMPLO: UMA PESSOA POSSUI $ 30.000,00, QUE PODE APLICAR DO SEGUINTE MODO: A. NO BANCO A, QUE PAGA UM JURO DE 3% a.m. AO FIM DE CADA MÊS, DEVOLVENDO O CAPITAL NO FIM DO 12º MÊS. B. NO BANCO B, QUE DEVOLVE $ 42.000,00 NO FIM DO 12º MÊS. PEDE-SE DETERMINAR A MELHOR APLICAÇÃO.