Aplicaciones De Las Integrales.docx

ADMINISTRACION DE EMORESAS

CALCULO INTEGRAL Unidad 3: Tarea 3 - Aplicaciones de las integrales

GRUPO: 100411_10 APORTE INDIVIDUAL NOMBRE: NIDIA YANETH CHILAMA CORAL – Cód. 1.084.847.203 YARIED MARCELA ASCENCIO C.C. 1.093.913.866 MONICA ANDREA SERNA CALDERON C.C 1.090.390.185

TUTOR: ALPIDIO GARCIA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD” ECACEN – CEAD – POPAYAN NOVIEMBRE - 2018

INTRODUCCION

El siguiente trabajo colaborativo de CALCULO INTEGRAL aplicaremos los conocimientos adquiridos de la unidad 3, para la aplicación de las integrales también aprenderemos a hacer análisis de gráficas y el estudio de aplicación de integrales en la ciencia. El cálculo integral es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD Nombre del estudiante

Rol a desarrollar

Grupo de ejercicios a desarrollar

Yaried Marcela Ascencio

Revisor

El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 4 Tipo de ejercicios.

Nidia Yaneth Chilama

Entregas

El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 4 Tipo de ejercicios

Mónica Andrea Serna Calderón

Evaluador

El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 4 Tipo de ejercicios

Juan Carlos Buriticá Ramos

El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 4 Tipo de ejercicios

Fredy Andrés Suarez

El estudiante desarrolla el ejercicio e en todos los 4 Tipo de ejercicios

YARIED MARCELA ASCENCIO ORELLANOS – SOLUCION EJERCICOS - A Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas. Ejercicio A Encontrar el área de la región comprendida entre la curva 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥 + 5 y el eje x en el intervalo [-1, 3]. Grafique en Geogebra la función en el intervalo dado, tome un pantallazo y usando Paint señale la región integrada. 𝑥4

3

∫−1(𝑥 3 − 3𝑥 2 + 𝑥 + 5)dx = ( 4 − 𝑥 3 +

𝑥2 2

3

+ 5𝑥) ∫−1.

(−1)2 34 32 (−1)4 ( − 33 + + 5 ∗ 3) − ( − (−1)3 + + 5 ∗ (−1)) 4 2 4 2

81

9

1

1

( 4 − 27 + 2 + 15) − (4 + 1 + 2 − 5) =

81 4

9

− 27 + 2 + 15 −

1 4

1

−1−2+5

80 4

+

8 2

−8 =

80 4

+

16 32 − 4 4

=

64 4

= 16

Tipo de ejercicios 2 – Solidos de revolución. Ejercicio A Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por las curvas 𝑦 = 𝑥 3 , y, 𝑦 = 𝑥 2 . Representar en Geogebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo. Para hallar los intervalos de integración igualamos: 𝑥 3 = 𝑥 2 Entonces: 𝑥 3 − 𝑥 2 = 0

(𝑥 − 1)𝑥 2 = 0 como a*b = 0 a=0 y b=0 entonces

X = 0 y (𝑥 − 1) = 0 así que x = 1 1

1

Vs = 𝜋 ∫0 ((𝑥 3 )2 − (𝑥 2 )2 ) dx = 𝜋 ∫0 (𝑥 6 − 𝑥 4 ) dx = π ( 17

15

1

𝑥7 7

−

𝑥5 5

1

) ∫0 . En 0 da 0 así que.

1

π*( 7 − 5 ) = π*( 7 − 5 ) = − 0,18 como no hay volúmenes negativos será = 0,18

Tipo de ejercicios 3 – Aplicaciones de las integrales en la Ciencia. Ejercicio c. Un gas ideal es aquel que presenta interacciones moleculares despreciables a presiones y bajas y temperaturas altas. Si se tiene un gas ideal contenido en un recipiente cerrado y se somete a un

proceso de presión constante atmosférica definida, encontramos que, transcurrido un tiempo, el gas sufre un cambio en su volumen mediante la expresión: PV3=2 El trabajo en un proceso de expansión y compresión se calcula mediante la siguiente integral: 𝑉2

𝑊 = − ∫𝑉1 P 𝑑𝑣

Tenga en cuenta que el trabajo realizado por el gas al expandir su volumen es negativo, dado que el gas debe contrarrestar la presión externa y realiza trabajo cediendo energía mecánica al medio. Ahora, el trabajo realizado por el gas al comprimirse debe ser positivo debido a que el medio es quien aporta el trabajo para reducir su volumen.

i. Calcular el trabajo realizado por el gas si se expande de 4 Litros a 8 Litros ii. Calcular el trabajo realizado por el gas si se comprime de 5 Litros a 3,5 Litros 2

Despejamos P = 𝑣3 y la reemplazamos en la ecuacion de W 8 2

Para a 𝑊 = − ∫4 1 128

1

− 32 =

1−4 128

=

𝑣3

𝑑𝑣 = −

−3 128

3,5 2

Para a 𝑊 = − ∫5 1

𝑣 −2 −2

8

∫4 . =

8

1 2𝑣 2

1

1

1

1

∫4 . = 2∗82 − 2∗42 = 2∗64 − 2∗16 =

= − 0,0234

𝑑𝑣 = − 𝑣3

𝑣 −2 −2

3,5

∫5 . =

1 2𝑣 2

3,5

1

1

1

1

∫5 . = 2∗(3,5)2 − 2∗52 = 2∗12,25 − 2∗25 =

1

− 50 = 0,0208 24,5

Tipo de ejercicios 4 – Aplicaciones de las integrales en general.

Ejercicio A La potencia eléctrica es una medida de la energía consumida por segundo en cualquier equipo electrónico. La siguiente ecuación determina la potencia en función del tiempo, que consume un dispositivo electrónico durante su funcionamiento.

𝑝(𝑡) = 𝐶𝑜𝑠(2𝑡) + 0.2

¿Determinar la potencia promedio que dicho dispositivo ha consumido a lo largo de los primeros 40 segundos de funcionamiento? ¿Cuánto sería el valor promedio de la potencia del mismo dispositivo en el intervalo de tiempo comprendido entre 40 y 80 segundos? – Explique el resultado en comparación con el valor obtenido en el primer intervalo. ¿En qué circunstancia el valor promedio entre los dos intervalos sería igual?

40 1 ∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡 𝑡2−𝑡1 0

40 1 ∫ 𝐶𝑜𝑠(2𝑡)𝑑𝑡 𝑡2−𝑡1 0

Radianes: 80∗ 1

40

1

= 𝑢 = 2𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑡 𝑎𝑠𝑖

40 1 1 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) ∫0 . 𝑡2−𝑡1 2

Evalúa en t = 40

40

1

40

1

= 𝑡2−𝑡1 ∫0 (𝐶𝑜𝑠(2𝑡) + 0.2)𝑑𝑡 = 𝑡2−𝑡1 ∫0 𝐶𝑜𝑠(2𝑡)𝑑𝑡 + 𝑡2−𝑡1 ∫0 0.2𝑑𝑡

1 80

180° = 𝜋

40

1

𝑑𝑢 2

40 1

1

= 40−0 ∗ 2 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) como 𝑠𝑒𝑛(0) es 0 entonces solo se

∗ 𝑠𝑒𝑛(2(40)) =

1 ∗ 80

4583.66° entonces

Mas 𝑡2−𝑡1 ∫0 0.2𝑑𝑡 =

40 0.2𝑡 ∫ . 𝑡2−𝑡1 0

=

0.2∗40 40−0

𝑠𝑒𝑛(80) realizando la conversión a 1 80

−

∗ 𝑠𝑒𝑛(4583.66°) = − 0,0124 0.2∗0 8 = 40−0 40

8

− 0 = 40 =

− 0,0124 + 0,20 = 0,187 80 1 ∫ (𝐶𝑜𝑠(2𝑡) 𝑡2−𝑡1 40

1

= 𝑑𝑡 = 𝑡2−𝑡1 ∫0

1

1

80

+ 0.2)𝑑𝑡 = 𝑡2−𝑡1 ∗ 2 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) ∫40 . +

80 0.2𝑡 ∫ . 𝑡2−𝑡1 40

1 5

2

𝐶𝑜𝑠(𝑢)𝑑𝑢

1

1

0.2∗80 ) 80−40

( 80−40 ∗ 2 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 80) + 1

( 80 𝑠𝑒𝑛(160) + (

16 40

1

) −( 80 𝑠𝑒𝑛(80) +

1 2 𝑠𝑒𝑛(9167,32°) + 80 5

) −(

1

1

−( 80−40 ∗ 2 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 40) + 8 40

0.2∗40 ) 80−40

)

1 1 𝑠𝑒𝑛(4583.66°) + 80 5

)

0,40274 − 0,187 = 0,215

Los resultados son diferentes porque la integral da como resultado una función que tiene una parte senoidal y otra lineal, en la lineal el área de 0 a 40 si es igual a la de 40 a 80 pero en la senoidal no porque esta tiene características exponenciales.

Las áreas de las partes seinodales serían iguales si los intervalos cubren la área positiva y negativa de la senoidal y esto solo se lograría integrando de 0 a 𝜋 y de 𝜋 a 2 𝜋, y la parte lineal se mantendrá igual mientras la diferencia de los intervalos sea la misma 0 a 𝜋 − 0 = 𝜋 = 2𝜋 − 𝜋

NIDIA YANETH CHILAMA CORAL - SOLUCION DE EJRCICOS - B. - Aplicaciones de las integrales. 

Análisis de gráficas.



Solidos de revolución.



Aplicaciones de las Integrales en la ciencia. Aplicaciones de las Integrales en general. Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas.

Ejercicio b. Encontrar el área de la región comprendida entre las curvas 𝑦 = 𝑒 𝑥 y 𝑦 = 𝑒 −𝑥 y la x=1. Grafique en Geogebra las funciones, tome un pantallazo y usando Paint señale la región integrada.

Tipo de ejercicios 2 – Solidos de revolución. Desarrollar el ejercicio seleccionado: Ejercicio b. Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por las curvas 𝑦2=𝑥, y, 4+2𝑦−𝑦2=𝑥. Representar en Geogebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo. Los puntos de corte están definidos como: Eliminar los lados iguales de cada ecuación y combinar.

𝑦2 = 𝑥 4 + 2𝑦 − 𝑦 2 = 𝑥 Se igualan para conseguir los puntos de corte 4 + 2𝑦 − 𝑦 2 = 𝑦 2 2𝑦 2 − 2𝑦 − 4 = 0 𝑦2 − 𝑦 − 2 = 0 Se aplica la resolvente de ecuaciones de segundo grado:

𝑦=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

1 ± √(−1)2 − 4(1)(−2) 1 ± √1 + 8 1 ± 3 𝑦= =𝑦= = 2(1) 2 2 𝑦1 = 2 𝑦 𝑦2 = −1 𝑥 = 𝑦2 𝑥1 = 𝑦12 = −12 = 1 𝑥2 = 𝑦22 = 22 = 4 𝑃1 (1, −1) 𝑦 𝑃2 (4,2) Se despeja y en cada una de las funciones: 𝑦2 = 𝑥 4 + 2𝑦 − 𝑦 2 = 𝑥

𝑦 2 − 2𝑦 = −𝑥 + 4 𝑦 2 − 2𝑦 + 1 = −𝑥 + 4 + 1 (𝑦 − 1)2 = −𝑥 + 5 𝑦 − 1 = ±√5 − 𝑥 𝑦 = 1 ± √5 − 𝑥 El volumen del solido que gira alrededor del eje x viene dado por: 𝑏

𝑉 = ∫ 𝜋𝑦 2 𝑑𝑥 𝑎 4

5

5

2

2

𝑉 = ∫ 𝜋𝑥𝑑𝑥 + ∫ 𝜋 (1 + √5 − 𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝜋 (1 − √5 − 𝑥) 𝑑𝑥 = 0

4

4

5 5 5 5 5 42 𝑉 = 𝜋 [ ] + 𝜋 ∫ 𝑑𝑥 + 2𝜋 ∫ √5 − 𝑥 𝑑𝑥 + 𝜋 ∫ (5 − 𝑥) 𝑑𝑥 − 𝜋 ∫ 𝑑𝑥 + 2𝜋 ∫ √5 − 𝑥 𝑑𝑥 2 4 4 4 4 4 5

− 𝜋 ∫ (5 − 𝑥) 𝑑𝑥 = 4 5

1

𝑉 = 8𝜋 + 4𝜋 ∫ (5 − 𝑥)2 𝑑𝑥 = 4

5

𝑉 = 8𝜋 − 4𝜋 ∫ 4

3

1 𝑢2 𝑑𝑢

3

2(5 − 5)2 2(5 − 4)2 8𝜋 = 8𝜋 − 4𝜋 [ − ] = 8𝜋 + = 3 3 3

𝑉=

32 2 𝜋𝜇 3

Tipo de ejercicios 3 – Aplicaciones de las integrales en la Ciencia. Desarrollar el ejercicio seleccionado usando el concepto de integral. Ejercicio b. Para medir el porcentaje de humedad presente en una muestra de roca caliza, se realizan ensayos de calentamiento, enfriamiento en desecador y medición de masa hasta que la variación entre mediciones sea inferior al 5%. Un laboratorio de análisis químico recibe una muestra de mineral para determinar su humedad y realiza una serie de repeticiones de los ensayos de determinación de humedad con las que obtiene diferentes resultados, los cuales se expresan: f(x)=2lnx.

i. Determine el valor medio de las mediciones para las muestras entre 1/4 y 1/7 gramos. 𝑏 1 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑏−𝑎 𝑎

1 4

1 1 1 4−7

∫ 2ln(𝑥) 1 7

1

= 9.33 ∗ |2𝑥𝑙𝑛(𝑥) − 2𝑥|41 7

1 1 1 1 1 1 = 9.33 ∗ [(2 𝑙𝑛 ( ) − 2 ) − (2 𝑙𝑛 ( ) − 2 )] 4 4 4 7 7 7 = −0.35 ii. Si el valor medio de las mediciones realizadas entre dos intervalos másicos [a,b] es de 5 y el valor de a es 1,8. Calcule el valor de b.

Tipo de ejercicios 4 – Aplicaciones de las integrales en general. Desarrollar el ejercicio seleccionado: Ejercicio b. El concepto de “Marginal” hace referencia al cambio que manifiesta una cantidad, cuando hay un cambio muy pequeño de una segunda cantidad. Si la función del costo marginal para producir un producto es 𝐶 ′ (𝑥) = 12 + 24𝑥 − 3𝑥 2 y si también sabemos

que el costo para producir una unidad es de 22. Hallar la función de costo total y costo promedio. 𝐶(𝑥) = ∫ 12 + 24𝑥 − 3𝑥 2 𝑑𝑥

Aplicando la regla de la suma tenemos que: 𝐶(𝑥) = 12𝑥 + 12𝑥 2 − 𝑥 3

MONICA ANDREA SERNA CALDERON – SOLUCION EJERCICIOS - C Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas. Ejercicio c. 2

Encontrar el valor medio de la función 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 en el intervalo [1,2]. Grafique en Geogebra la función, tome un pantallazo y usando Paint señale el valor medio de la función en el intervalo dado.

𝒃 𝟏 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝒃−𝒂 𝒂

𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 =

𝟏 𝟏 2 ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝟐−𝟏 𝟐

2

𝟐

𝟏 𝑒𝑥 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 = [ ] 𝟐−𝟏 𝟐 𝟏 2

2

𝟏 𝑒 (2) − 𝑒 (1) 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 = [ ] 𝟐−𝟏 𝟐

𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 =

𝟏 54.60 − 2.72 [ ] 𝟐−𝟏 𝟐

𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 =

𝟏 [𝟐𝟓. 𝟗𝟒] 𝟐−𝟏

𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 = 𝟐𝟓. 𝟗𝟒

Tipo de ejercicios 2 – Solidos de revolución. Ejercicio c.

Hallar el volumen del solido generado al rotar alrededor del eje y la región acotada por el eje y y las gráficas de 𝑦 = 𝑥 3 , 𝑦 = 2 y , 𝑦 = 6. Representar en Geogebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo.

𝒅𝒗 = 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝒅𝒆𝒍 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒐 𝒅𝒗 = 𝝅𝑹𝟐 𝒉 𝑹 = 𝒚𝟑 𝒉 = 𝒅𝒚 𝒅𝒗 = 𝝅(𝒚𝟑 )𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒗 = 𝝅(𝒚𝟑 )𝟐 𝒅𝒚 𝟔

∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝝅 𝒚𝟔 𝒅𝒚 𝟐

𝟔

𝒚𝟕 𝒗 = 𝝅[ ] 𝟕 𝟐 𝟔𝟕 𝟐𝟕 𝒗 = 𝝅 [(( ) − ( ))] 𝟕 𝟕 𝒗 = 𝝅[𝟑𝟗𝟗𝟗𝟎. 𝟖𝟔 − 𝟏𝟖. 𝟐𝟖] = 𝟏𝟐𝟓𝟓𝟕𝟕. 𝟓𝟔 𝒖𝟑

Tipo de ejercicios 3 – Aplicaciones de las integrales en la Ciencia.

Ejercicio c. La ley de Hooke dice: La fuerza necesaria para estirar un resorte helicoidal es directamente proporcional al alargamiento. Se requiere una fuerza de 38 N para detener un resorte que está estirado desde su longitud natural de 12 cm a una longitud de 17 cm.

i. ii.

¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 17 a 19 cm? ¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 18 a 20 cm?

𝒍𝒆𝒚 𝒅𝒆 𝒉𝒐𝒐𝒌𝒆 = 𝑭 = 𝒌𝒙 Donde:   

F = fuerza (N) K = constante de rigidez del resorte(N/m) X= desplazamiento (m)

SOLUCION Primero se calcula la rigidez del resorte en base a la fuerza de 38N necesaria para detener el resorte e un desplazamiento igual a x= (12-17) cm = -5 cm; que son equivalentes a -0.05 m.

𝒌=

𝑭 𝟑𝟖 𝑵 𝑵 = − = 𝟕𝟔𝟎 𝒙 𝟎. 𝟎𝟓 𝒎 𝒎

para hallar el trabajo que se realiza al estirar el resorte de 17 a 19 cm, se toma la misma constante de rigidez que se calculó anteriormente y en base al desplazamiento que sufre el resorte se haya la fuerza. 𝒅𝑭 = 𝒌𝒅𝒙 𝟎.𝟏𝟗

∫ 𝒅𝑭 = 𝒌 ∫

𝒅𝒙

𝟎.𝟏𝟕

𝑭 = 𝒌[𝒙].𝟎.𝟏𝟗 𝟎.𝟏𝟕

𝑭 ==

(𝟕𝟔𝟎)𝑵 𝟏𝟗 − 𝟏𝟕 ∗ 𝒎 = 𝟏𝟓. 𝟐 𝑵 𝒎 𝟏𝟎𝟎

El trabajo es igual a 𝒅𝑾 = 𝑭(𝒙)𝒅𝒙 𝒅𝑾 = 𝒌𝒙𝒅𝒙 .𝟏𝟗

∫ 𝒅𝑾 = 𝒌 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 .𝟏𝟕 .𝟏𝟗

𝒙𝟐 𝑾 = 𝒌[ ] 𝟐 .𝟏𝟕

𝑾 ===

(𝟕𝟔𝟎)𝑵 [(. 𝟏𝟗𝟐 ) − (. 𝟏𝟕𝟐 )]𝒎𝟐 = 𝟐. 𝟕𝟑𝟔 𝑵𝒎 𝟐𝒎

De igual forma para encontrar e trabajo realizado debido al estirar el resorte de 18 cm a 20 cm se debe encontrar primero la fuerza que se aplica al resorte debido a esta elongación.

𝒅𝑭 = 𝒌𝒅𝒙 𝟎.𝟐𝟎

∫ 𝒅𝑭 = 𝒌 ∫

𝒅𝒙

𝟎.𝟏𝟖

𝑭 = 𝒌[𝒙].𝟎.𝟐𝟎 𝟎.𝟏𝟖

𝑭 ==

(𝟕𝟔𝟎)𝑵 𝟐𝟎 − 𝟏𝟖 ∗ 𝒎 = 𝟏𝟓. 𝟐 𝑵 𝒎 𝟏𝟎𝟎

𝒅𝑾 = 𝑭(𝒙)𝒅𝒙 𝒅𝑾 = 𝒌𝒙𝒅𝒙 .𝟐𝟎

∫ 𝒅𝑾 = 𝒌 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 .𝟏𝟖 .𝟏𝟗

𝒙𝟐 𝑾 = 𝒌[ ] 𝟐 .𝟏𝟕

𝑾 ===

(𝟕𝟔𝟎)𝑵 [(. 𝟐𝟎𝟐 ) − (. 𝟏𝟖𝟐 )]𝒎𝟐 = 𝟐. 𝟖𝟖𝟖 𝑵𝒎 𝟐𝒎

Tipo de ejercicios 4 – Aplicaciones de las integrales en general.

Ejercicio c. Dentro de los tipos de software existentes están los compiladores. Los cuales dentro de su función principal es convertir las líneas de código de un lenguaje de programación de alto nivel a uno de más bajo nivel. Un software compilador X realiza dicha función a una velocidad dada por la expresión 𝑣(𝑡) = 𝑡 2 𝐿𝑛(𝑡), donde 𝑣(𝑡) es la velocidad de conversión en líneas por segundo y t es el tiempo.

i.

Calcule la ecuación general que describa las líneas transformadas por el compilador X, en cualquier intervalo de tiempo.

ii.

Calcule la cantidad de líneas transformadas al cabo de dos segundos del compilador X, si en t=1 se cuenta con 1 líneas convertidas.

Solución: 𝑣(𝑡) = 𝑡 2 𝐿𝑛(𝑡)

𝑣(𝑡) =

𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑑𝑥 = 𝑡 2 𝐿𝑛(𝑡)𝑑𝑡 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡 2 𝐿𝑛(𝑡)𝑑𝑡

𝑥(𝑡) =

1=

𝑡 3 [ln(𝑡) − (1⁄3)] 3

13 [ln(1) − (1⁄3)] 3

+𝐶

+𝐶

1 = −0.11 + 𝐶

𝐶 = 1 + 0.11 = 1.11

𝑥(𝑡) =

𝑡 3 [ln(𝑡) − (1⁄3)]

𝑥(2) =

23 [ln(2) − (1⁄3)]

3

3

+ 1.11

+ 1.11

𝑥(2) = 0.96 + 1.11 = 2.07

Rta= en dos segundo el copilador X transforma 2.07 líneas

CONCLUSION Las ciencias exactas o ciencias duras son una expresión derivada de una forma de clasificar las ciencias, es decir todas las acciones que llevamos a cabo, estas ciencias explican los conocimientos utilizados en lenguaje matemático. En este tipo de ciencias la precisión es una de las cosas más importantes, ya que un error de cálculo puede ocasionar problemas. Por ejemplo las construcciones de edificios que se observan en las grandes ciudades. El cálculo consiste en calcular en general superficies curvilíneas o sea, el área entre la gráfica de una función y el eje “x”. Todo esto nos va a llevar a la aplicación del cálculo integral para realizar las obras más grandiosas y más exactas que se puedan, esto está relacionado con las demás ramas como la sociología, economía, literatura, informática, que se les conoce como ciencias exactas, y es muy importante que las ciencias exactas y el cálculo integral se relacionen entre sí para sacarle más provecho a todas las cosas por hacer y mejorar las que ya existen.

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