Aplicacion_de_una_clase_de_gagne__en_temperatura.docx

1

APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE GAGNE EN UNA CLASE DE FÍSICA UTILIZANDO UN MODELO MATEMÁTICO DEL COMPORTAMIENTO DE LA CONDUCCIÓN DE TEMPERATURA EN UNA PLACA TRIANGULAR EN FORMA BIDIMENSIONAL Y RÉGIMEN ESTACIONARIO. Por : Lcda. Coello Pisco Silvia, Ing. Díaz José Orlando Díaz.

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL Campus Gustavo Galindo Km 30.5 Vía Perimetral, Apartado 09-01-5863, Guayaquil, Ecuador Instituto de Ciencias Físicas Teléfono:042853684

3 de Mayo del 2011

Con la finalidad de ampliar y profundizar los conocimientos en el aula de clases de Física, se procede a utilizar un modelo matemático para la conducción de temperatura aplicando la teoría de Gagne, con el objetivo de fortalecer e incrementar habilidades intelectuales y cognoscitivas para tener una mejor actitud para resolver problemas. El desarrollo de la ecuación diferencial de la temperatura en función de las posiciones y condiciones de frontera son necesarias, para que los estudiantes puedan aplicar en las diferentes situaciones o contextos, problemas de aplicación en Ingeniería. Por otra parte, la utilización de matemáticas superiores como el cálculo integral y las series de Fourier dan soluciones a ecuaciones diferenciales parciales utilizadas en la conducción de temperatura las cuales se pueden dar solución con una descripción matemática y simulación computacional la cual beneficiaria enormemente no sólo al estudiante sino también a la sociedad.

2

APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE GAGNE EN UNA CLASE DE FÍSICA UTILIZANDO UN MODELO MATEMÁTICO DEL COMPORTAMIENTO DE LA CONDUCCIÓN DE TEMPERATURA EN UNA PLACA TRIANGULAR EN FORMA BIDIMENSIONAL Y RÉGIMEN ESTACIONARIO.

Lcda. Coello Pisco Silvia, Ing. Díaz Santamaría José Orlando Instituto de Ciencias Físicas, Escuela Superior Politécnica del Litoral, Campus Gustavo Galindo Km 30.5 Vía Perimetral, Apartado 09-01-5863, Guayaquil, Ecuador E-mail: [email protected]. [email protected].

Abstract In order to enhance the intellectual skills, cognitive student in the classroom whose goal is to help the learner's academic performance for it to make a proper attitude and receipt of the information submitted by the teacher at the time of resolution problems of heat conduction in a two-dimensional and steady, and any other problematic situation that comes your way. The classic demonstration of a mathematical model to find where he is the temperature of the plate is intended to broaden and deepen the mathematical calculation of heat conduction in a two-dimensional and steady. In this model we propose class educational level, applying the theory of information processing proposed by Gagne, by the teacher at the time of solving problems in which the student can perform various calculations using definite integration and series Fourier and some additional simulation is aimed at strengthening intellectual and cognitive skills that foster performance in solving problems Words fix: Learning Theory of information processing, cognitive and intellectual abilities, differential and integral equation, Fourier series

PACS: 01.40.Fk, 01.30.la,01.30.Os.0.1.50Pa

Resumen

Con la finalidad de potenciar las habilidades intelectuales, cognoscitivas del estudiante dentro del aula de clases cuya meta es el de contribuir el desempeño académico del discente para que éste presente una adecuada actitud y recepción de la información presentada por el docente en el instante de la resolución de problemas de conducción de calor en forma bidimensional y régimen estacionario y cualquier otra situación problemática que se le presente. La clásica demostración de encontrar un modelo matemático en donde se halle la temperatura de la placa tiene como finalidad ampliar y profundizar la parte del cálculo matemático en la conducción de calor en forma bidimensional y régimen estacionario. En este modelo de clase que proponemos a nivel didáctico, aplicando la teoría de procesamiento de la información propuesta por Gagne, por parte del docente en el instante de resolver problemas, en el cual el estudiante puede realizar diferentes cálculos utilizando la integración definida y series de Fourier y algo adicional que es la simulación cuyo objetivo es fortalecer las habilidades intelectuales y cognoscitivas lo que fomentaran el desempeño en la solución de problemas. Palabras claves: Aprendizaje, Teoría del procesamiento de la información, habilidades cognoscitivas e intelectuales, ecuación diferencial e integral, serie de Fourier

3 1.- INTRODUCCIÓN. El presente trabajo de la elaboración de una clase utilizando el método de Gagne utiliza una teoría basada en [1]: 1. 2. 3.

Proceso de Aprendizaje Análisis de resultados Condiciones de Aprendizaje

Mas sin embargo esta enfoca nueve pasos de los cuales tenemos: a) Ganar la atención b) Informar a los alumnos cuáles son los objetivos c) Evocar los conocimientos previos d) Presentar el Contenido (nueva información) e) Proveer guía en el aprendizaje f) Provocar el desempeño (práctica) g) Proveer Feedback (retroalimentación) h) Evaluar el desempeño i) Mejorar la retención y la transferencia ¿Pero en que consiste este proceso? El proceso consiste capacitar a los estudiantes para modificar su conducta y potenciar la información verbal, habilidades intelectuales, estrategias cognoscitivas la cual le dan mayor cognición actitud y destreza motora que le servirá para la solución de problemas de la conducción de calor en forma bidimensional y régimen estacionario que se propone. Estos principios de aprendizaje servirán para: 1.

2.

Tener un conocimiento previo de las series de Fourier. Tener en cuenta “El principio de conducción de calor [2] como se cumple en esta experiencia

3.

Tener una motivación y confianza de la utilidad de la conducción de calor o temperatura en forma bidimensional.

4.

El aprendizaje debe estar coherente con los contenidos planteados.

¿Cuáles son las condiciones de este aprendizaje? Se utilizará modelos matemáticos para entender la forma de la conducción de calor. Los metales conductores semiconductores tienen características especiales y una de ellas es la

distribución de la temperatura de acuerdo a la posición x, y. 1.2 OBJETO DE ESTUDIO Nuestro objetivo como investigadores es el de contribuir en el rendimiento académico de los estudiantes aplicando modelos pedagógicos con la finalidad de desarrollar destrezas y habilidades de pensamiento cada vez que se realiza el acto didáctico dentro del aula de clases, aunque esto no parezca importante en la educación superior es vital para la formación continua de los discentes, debido a los diferentes distractores que se presenta en la actualidad, sean de carácter emocional o social, que afecta su estado de ánimo y en la cual los docentes de todos los niveles deberían de concientizar para mejorar sus clases con la finalidad de promover el espíritu de investigador en los futuros profesionales que requiere toda sociedad. 1.2.1 Objetivo general de la clase: Determinar la temperatura en forma bidimensional en régimen estacionario aplicando un modelo matemático en la cual al finalizar la clase instruccional el estudiante será capaz de comprender y resolver problemas de conducción de calor. 1.2.2 Objetivos específicos de la clase: Al finalizar la clase los estudiantes serán capaces de: a. Reconocer la ecuación diferencial que modele la temperatura en función de sus posiciones. b. Aplicar las condiciones de frontera en una placa triangular para encontrar las constantes desconocidas de la solución general. c. Encontrar la distribución total de la placa utilizando series de Fourier y proceso matemático utilizando técnicas sobre ecuaciones diferenciales y condiciones de frontera para resolver problemas de conducción de temperatura en forma bidimensional. d. Construir e interpretar los gráficos temperatura en función de las posiciones de acuerdo a un sistema referencial. f. Determinar los conocimientos adquiridos y la eficacia para resolver problemas mediante una evaluación.

4 1.3.1.4 Habilidades psicomotrices desarrollan suavidad en la acción precisión y el tiempo.

1.3 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA Todo estudiante antes de resolver un problema de Física debe tener muy claro las ideas de cada concepto que intervienen en el mismo con la finalidad de que las conclusiones del trabajo se acerquen a un criterio científico que beneficie no sólo al estudiante sino también a la sociedad

1.3.1.5 Actitud para resolver problemas. Mejorar la retención y la transferencia Proporcionar orientación de la Información. Logar el desempeño

1.3.1 Principios de aprendizaje según Gagné: Realizar retroalimentación La teoría del procesamiento de información según Gagne se basa en el aprendizaje el cual la podemos subdividir en: 1.3.1.1 Proceso: el estímulo viene del medio ambiente el cual va los receptores y van a los registros sensoriales para luego ser almacenados en la memoria de corta duración y posteriormente va la memoria de larga duración para realizar búsqueda de información y luego ir al generador de respuestas para ejecutar problemas del medio ambiente.

Fomentar la retención y transferencia resolviendo problemas [3] Fomenta la evaluación 1.4 CONCEPTOS DE CALOR Y TEMPERATURA Y CONDUCCION DE CALOR Se presenta conceptos de placa bidimensional calor y temperatura utilizados [4]

1.3.1.2 Fases del aprendizaje: 1.4.1 PLACA BIDIMENSIONAL



Preparación del Aprendizaje



Adquisición del Aprendizaje



Desempeño, Retroalimentación transferencia

Placa de un material metálico o semiconductor con características específicas sobre el cual vamos a determinar la temperatura en régimen estacionario. 1.4.2 TEMPERATURA

1.3.1.3 Resultados: 

La información verbal donde obtenemos un conocimiento declarativo.



Las habilidades Intelectuales donde obtenemos un conocimiento procedimental donde aplicamos la:



Discriminación objetos



Concepto objetos

concreto

identificamos

los



Concepto conceptos

definido

clasificamos

los



Regla demostramos los conceptos



Solución de problemas con reglas de alto nivel resolvemos problemas.



donde

distinguimos

Estrategias cognoscitivas como retiene la memoria es un procedimiento mental.

La temperatura es una magnitud referida a las generalidades usuales de caliente, tibio, frío que puede ser medida, específicamente, con un termómetro. En física, se define como una magnitud escalar relacionada con la energía interna de un sistema termodinámico, definida por el principio cero de la termodinámica. Está relacionada directamente con la parte de la energía interna conocida como "energía cinética", que es la energía relacionada a los movimientos de las partículas del sistema, sea en un sentido de traslación, rotación, o en forma de vibraciones. A mesura de que sea mayor la energía cinética de un sistema, se prestar atención que éste se encuentra más "caliente"; es decir, que su temperatura es mayor. [5] 1.4.3 CALOR El calor es el proceso de transferencia de energía entre diferentes cuerpos o diferentes zonas de un mismo cuerpo que se encuentran a distintas

5 temperaturas. Este flujo siempre ocurre desde el cuerpo de mayor temperatura hacia el cuerpo de menor temperatura, ocurriendo la transferencia hasta que ambos cuerpos se encuentren en equilibrio térmico[6] 1.4.4 CONDUCCION DE TEMPERATURA La conducción de temperatura es un elemento de transferencia de energía térmica entre dos sistemas basado en el contacto directo de sus partículas sin flujo neto de materia y que tiende a igualar la temperatura dentro de un cuerpo o entre diferentes cuerpos en contacto por medio de transferencia de energía cinética de las partículas. [7]

debe ejecutar, en otras palabra los objetivos del aprendizaje, en el cual serán capaces de hacer una vez finalizada la sesión. Generalmente su presentación es de tipo: “Una vez finalizada esta sesión, usted será capaz de….” con el propósito de estimular y motivarlo para culminar el proceso y permite al docente establecer las pautas para la evaluación. La finalidad es conseguir una expectativa del resultado que se conseguirá. Determinar la temperatura en forma bidimensional en régimen estacionario aplicando un modelo matemático, técnicas del cálculo integral y condiciones de frontera mediante la construcción e interpretación de los gráficos temperatura en función de las posiciones de acuerdo a un sistema referencial c)

1.4.5 EQUILIBRIO TÉRMICO “El equilibrio térmico es el estado alcanzado por dos o más sistemas caracterizado por valores particulares de las coordenadas de los sistemas después de haber estado en comunicación entre si a través de una pared diatérmana “.[8] 2. METODOLOGÍA 2.1 PLANIFICACIÓN DE LA CLASE APLICANDO LOS NUEVES PASO SEGÚN GAGNÉ. Descripción de la clase: Para el dictado de la clase de conducción de calor se requiere una sesión de ciento veinte minutos que están dosificados de la siguiente manera: a) Ganar la atención (10 min): Planificación de la clase: Hay que lograr la atención con estímulos, videos y efectuar la discusión y socialización. Presentación de un vídeo http://www.youtube.com/watch?v=v5IC1wk4m10& feature=related

b) Informar al estudiante los objetivos (5 min) Este consiste en que el docente debe presentar al inicio de cada clase los objetivos que el estudiante

Evocar y estimular los conocimiento previos (10 min)

Para que la nueva información se asocie con conocimiento previo con la finalidad de facilitar aprendizaje y promover la codificación y almacenamiento en la memoria de largo plazo procederá a:

el el el se

Ejemplo: Los metales conductores semiconductores tienen características especiales y una de ellas es la distribución de la temperatura de acuerdo a la posición x, y. Hacer los recordatorios de lo que es el calor, temperatura diferencias entre ambas definiciones las técnicas que se utilizaran para resolver el problema propuesto. d) Presentar el Contenido información 15 min)

(nueva

El nuevo contenido es presentado al estudiante y esta información debe ser desglosada y organizada significativamente, explicada y luego demostrada. Usar texto guía para facilitar la variedad de medios de comunicación, incluyendo el texto, la narración, los gráficos, elementos de audio y vídeo, entre otros. Ejemplo: “Encontrar la conducción de temperatura en una placa triangular y cuyas condiciones de frontera están determinadas en la gráfica de forma dimensional y estacionaria.”

6 e)

Proveer guía en el aprendizaje (20 min)

La ayuda adicional junto con la nueva información favorecerá la codificación para almacenar la información en la memoria a largo plazo en el estudiante, mediante demostraciones de ejemplos, contraejemplos, casos de estudio, representaciones gráficas y analogías. Ejemplo: Descripción matemática de los problemas Modelo matemático a usar: 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥 2

+

𝜕2 𝑢 𝜕𝑥 2

=0

𝑢(0.1, 𝑦) = 0 𝑢(𝑥, 1.73𝑥) = 0

𝑢 = 𝑋𝑌

Transformación de la ecuación diferencial por separación de variables. f)

h) Evaluar el desempeño (20 min) Se solicitará al estudiante un desempeño adicional para confirmar la competencia mediante una evaluación de carácter formativa, con retroalimentación informativa, en efecto serán evaluados de acuerdo con el verbo de acción establecido en el objetivo. Se tomará una evaluación para determinar los conocimientos adquiridos y la eficacia para resolver problemas. i)

(1)

Condiciones iníciales y de frontera

𝑢(𝑥, 0) = 𝑈𝑜

como hacer las curvas de temperatura dentro de la placa (una hora en su casa)

Provocar el desempeño (práctica 20min)

Evaluar el desempeño (20 min)

Se provee al estudiante la oportunidad de utilizar el conocimiento y habilidades adquiridas en contextos más amplios. 2.2 METODOLOGÍA MATEMÁTICA A UTILIZAR EN ESTA CLASE PROBLEMA APLICADO A LA FÍSICA. Problema Encontrar la conducción de temperatura en una placa triangular y cuyas condiciones de frontera están determinadas en la gráfica de forma dimensional y estacionaria.

Se pondrá en práctica la nueva habilidad mediante la ejecución de la acción establecida en el objetivo, permitiendo al estudiante confirmar el aprendizaje ya que la práctica incrementa la probabilidad de retención

Y=1.73x U=0 0.2

Ejemplo:

u=0

Simulaciones: del modelo matemático y la gráfica de la temperatura función de las variables x e y. El alumno deberá practicar como hacer las curvas de temperatura dentro de la placa. g) Proveer Feedback (retroalimentación 20 min) Es de vital importancia que el docente proporcione una retroalimentación específica e inmediata con relación al desempeño del discente los problemas, ejercicios a proponer deben ser asistidos, es decir, usados para efectos de comprensión y codificación lo que implica que la retroalimentación será un feedback formativo. Adicionalmente el estudiante necesitara de doscientos cuarenta minutos fuera de clase para reforzar lo aprendido mediante lectura y resolución de problemas. El alumno deberá practicar

u=Uo

0.1

Gráfica 1. Placa con las condiciones de frontera Ecuación diferencial de la propagación de temperatura 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥 2

+

𝜕2 𝑢 𝜕𝑥 2

=0

(1)

Condiciones iníciales y de frontera 𝑢(0.1, 𝑦) = 0 𝑢(𝑥, 0) = 𝑈𝑜 𝑢 = 𝑋𝑌

𝑢(𝑥, 1.73𝑥) = 0

7 Transformación de la ecuación diferencial por separación de variables 𝑋 ´´ 𝑋

+

𝑌 ´´ 𝑌

´´

U(x, y) = ∑∞ n=1 C sen10nπx( cosh 10nπy − coth17.3nπx senh10nπy)

=0

𝑋 ´´ + λ2 𝑋 = 0

Propagación de temperatura en forma bidimensional y régimen estacionario

(2)

(7)

Condición inicial para hallar la serie de Fourier

2

𝑌 −λ 𝑌 =0

U(x,0)=Uo=f(x)

La propagación de temperatura en el eje x X=C1cos λx+C2senh λx

U(x, 0) = ∑∞ n=1 C sen10nπx (3)

Propagación de temperatura en el eje y Y=C3cosh λx+C4senh λx

Los coeficientes de la serie de Fourier se calcula de la siguiente forma:

(4)

∞

∞

𝑛=1

𝑛=1

𝑎𝑜 + ∑ 𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠𝑤𝑛𝑥 + ∑ 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝑤𝑥 2

𝑓(𝑥) =

Propagación de temperatura en forma bidimensional U(x,y)= (C1cos λx+C2sen λx) (C3senh λy+C4cosh λy) (5)

(8)

Como es una función impar 𝑝

Condición de frontera para hallar C1 y λ U(0.1,y)=0

𝑏𝑛 = 2/𝑝 ∫−𝑝 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑤𝑥𝑑𝑥 bn 2

0.1

C1cos λ0.1+C2sen λ0.1=0

𝑏𝑛 =

C1+C2tan λ0.1=0

∫0 𝑠𝑒𝑛10𝜋𝑛𝑥𝑑𝑥 = −

Igualando coeficientes C1 =0

[9].

0.1

[∫0 𝑈𝑜𝑠𝑒𝑛10𝜋𝑛𝑥𝑑𝑥]

0.1

𝑐𝑜𝑠10𝜋𝑛𝑥 0.1 10𝜋𝑛

|

0

=−

(𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋−1) 10𝜋𝑛

El coeficiente n impar 𝑏𝑛 = 20. 𝑈𝑜 [

2

10𝜋𝑛

]

tanλ0.1=0 λ0.1 =nπ λ =10nπ

𝑏𝑛 =

4𝑈𝑜 𝜋𝑛

𝑢(𝑥, 𝑦) =

4𝑈𝑜 𝜋

∑𝑛=∞ 𝑛=1

1 𝑛

. 𝑠𝑒𝑛10𝜋𝑛𝑥. ( cosh 10nπy −

coth17.3nπx senh10nπy) Propagación de temperatura en forma bidimensional y régimen estacionario con los datos obtenidos

Si Uo=50 oC

U= C 2sen10nπx (C3cosh 10nπy+C4 senh10nπy)

Ecuación de propagación de temperatura

Condición de frontera para hallar la relación de C3 y C4

𝑢(𝑥, 𝑦) =

U(x,1.73x)=0 U= C 2sen10nπx) (C3cosh 17.3nπx+C4 senh17.3nπx) C3cosh 17.3nπx+C4 senh17.3nπx =0 C4 =-C 3 coth17.3nπx U= C 2sen10nπx) C3 (cosh 10nπy - coth17.3nπx senh10nπy)

200 𝜋

∑𝑛=∞ 𝑛=1

1 𝑛

(9)

. 𝑠𝑒𝑛10𝜋𝑛𝑥. ( cosh 10nπy −

coth17.3nπx senh10nπy) El coeficiente n par 𝑏𝑛 = 0

La función no existiría. [10]

(10)

8 3. SIMULACIÓN EN MATHLAB Se elabora un programa para encontrar la temperatura en función de la posición y graficar ese punto. El alumno debe ser capaz de realizar este programa. [11] Su fuente será similar al siguiente pero lo pueden mejorar: clc disp(' Modelo Matemático Propagación de la Temperatura'); x=input('Ingrese x= '); y=input('Ingrese y= '); sum=0; for i=1:100 sum=sum+(sin(31.41*(2*i1)*x)*(cosh(31.41*(2*i-1)*y)-coth(54.34*(2*i1)*x)*sinh(31.41*(2*i-1)*y)))/(2*i-1); end sum=sum*63.66; fprintf('La temperatura en x=%6.2f e y =%6.2f es el u(x,y)= %10.2f\n',x,y,sum); m=0:0.001:0.1; n=1.73*m; x=0:0.001:0.1; plot(m,n,0.05,0.01,'o'); title('La temperatura en funcion de la posicion x e y'); text(0.04,0.1,'y=1.73*x') text(0.05,0.02,'u(x,y)=39.98 ') xlabel('x(m)'); ylabel('y(m)'); La ejecución del programa será: Modelo Matemático Propagación de la Temperatura Ingrese x= 0.05 Ingrese y= 0.01 La temperatura en x= 0.05 e y = 0.01 es el u(x,y)= 39.98

4. CONCLUSIONES En nuestro estudio podemos concluir que en la teoría de Robert Gagne sobre el proceso de la información, provee a los profesores y estudiantes una metodología que favorece a la cognición y la orientación de la información así como el mejoramiento de las habilidades intelectuales y psicomotrices las cuales nos dan una mejor actitud para resolver problemas, y no solamente resolverlos sino más bien aplicarla en cualquier contexto y asignatura estudiada por cada individuo. En esta teoría se fomenta la retroalimentación y mejoramiento del desempeño, por otra parte, no se descuida la evaluación la cual es muy detallada y oportuna en el cual no cabe dudas de su cuantificación sea esta de carácter formativa o sumativa. Más sin embargo, en este estudio se logró establecer como condiciones externas: el crear la expectativa mediante el uso de la tecnología como son las TICS y los graficadores de las series de Fourier que permite observar el modelo de conducción de calor o temperatura en forma bidimensional y re régimen estacionario, viene a ser un agregado en el proceso de aprendizaje, en el cual se observó que en los diferentes procesos internos que tienen lugar durante un proceso de aprendizaje se ven necesariamente afectados por condiciones externas al individuo, tales condiciones externas son definidas por Gagné como los eventos de instrucción, externos al individuo, que permite que se produzca un proceso de aprendizaje conocido en el campo educativo como “el acto didáctico”. Cabe acotar que la combinación de las condiciones internas con las condiciones externas puede dar lugar a diferentes resultados de aprendizaje: habilidades intelectuales, estrategias cognitivas, información verbal, destrezas motrices y actitudes. REFERENCIAS.

Fig. 2 La temperatura en función de la posición x e y

[1]. Gagné, R.(1976). Número especial de la Revista de Tecnología Educativa, dedicado exclusivamente a artículos de Gagné, Vol. 5, No 1. [2]. Karlekar, Desmond.Transferencia de Calor. Pags.149-159. Segunda Edición.Minesota. 2005 [3]. Máster Francisca Flores 2011 Teoría del Aprendizaje. Módulos 1-5. [3] [4]. Karlekar, Desmond.Transferencia de Calor. Pags.149-159. Segunda Edición.Minesota. 2005 [5]. Halliday, David; Robert Resnick (1960-2007). Fundamentos de Física México.

9 [6].Paul Tipler Física Tercera Edición .México. Págs. 485-563 [7]. Frank Blatt Física Tercera Edición.Pags.274-345 [8].Zemansky Mark; Dittman Richard. Calor y Temperatura págs.6-8. [9].Peter V. O Neil Matemáticas avanzadas para Ingeniería Ed. Thompson México .Págs. 49-97 Cap.2

[10]. Dennis J. Zill Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Capítulo 10. México 2010. [11].Herón Morales, Mathblab 7 para Ciencias de Ingeniería Cap. 3,4 ,5,13