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Arquitetura e Organização de computadores Aula 8: Sistemas de Numeração Prof. MSc. Bruno Seabra Liam [email protected]

Introdução   

Operações em computadores digitais são baseadas no armazenamento e processamento de dados binários Diversas convenções são usadas para representar números inteiros e positivos A representação de números inteiros positivos é direta e imediata: 

n

Com n dígitos pode-se representar B números, disposto n intervalo fechado entre zero (o menor) e B – 1 (o maior). 





Faixa de representação: [0, Bn – 1] 8

Por exemplo: para oito dígitos binários tem-se 2 = 256 números, de zero (000000002)até 255 (111111112)

Entretanto, é necessário expandir (ou modificar) essa representação para incluir também números negativos 2

Números Binários Negativos



Diversas representações de números binários negativos foram desenvolvidas, sendo as mais conhecidas:  Sinal-magnitude  Complemento

de um

 Complemento

de dois

3

Números Binários Negativos 

Representação em sinal-magnitude 

Esta representação utiliza o dígito mais significativo (bit da extrema esquerda ) para indicar o sinal: 0 é + e 1 é –



Com isso, números inteiros positivos pode ser representado Porém, a faixa de representação é reduzida:





 

Somente (n-1)dígitos para representar a magnitude

Cada número possui um bit adicional que representa o sinal Exemplo para quatro dígitos: 



0111 = 7 e 1111 = -7 0000 = 0 e 1000 = -0 representações para o zero)

(Problema

1:

duas 4

Números Binários Negativos 

Exemplos de representações em sinal-magnitude  

 



1011 0011 1101 0101

= = = =

-3 3 -5 5

Problema 2: operação de adição    

(-310) 10112 + (+310) 00112 = (-610) 11102

(ERRADO!!!!)

Para realizar adições em sinal-magnitude, é necessário duas operações distintas (adição e subtração). Por isso, é muito complexo a manipulações de números pelo computador 5

Números Binários Negativos 

Representação em complemento de um 

Também tem 1 um bit de sinal 



Para tornar um número negativo 



0 para + e 1 para -

substitua cada 1 por 0 e cada zero por 1. Vale também para o bit de sinal

A conversão de 23 para complemento de um tem apenas uma etapa  

00010111 (+23) 11101000 (-23 complemento de um)

Bem como sinal-magnitude, tem duas representações para zero: 

mais zero (0000) e menos zero (1111)

Esse sistema não é utilizado mais; é obsoleto 6

Números Binários Negativos 

Representação em complemento de dois 

Também tem 1 um bit de sinal 



A conversão de um número em negativo tem duas etapas  



0 para + e 1 para -

Cada 1 é substituído por 0 e cada 0 por 1, como o complemento de um Já na segunda etapa, 1 é adicionado ao resultado

Exemplo: número 6 00000110 (+6)  11111001 (-6) – complemento de um +00000001 complemento de dois  11111010 (-6) 



Se ocorrer um vai-um no bit da extrema esquerda, ele é descartado 7

Números Binários Negativos 

Em uma palavra com n bits, existem 2n combinações, divididas em:   



2n-1 negativas 2n-1-1 positivas Somente uma representação para o 0 (zero)

Por exemplo: 

8 bits tem 256 combinações  -128 a 127

8

Números Binários Negativos (Ilustração) N Decimal

N Binário

-N Sinal-magnitude

-N Complemento de 1

-N Complemento de 2

1

00000001

10000001

11111110

11111111

5

00000101

10000101

11111010

11111011

9

00001001

10001001

11110110

11110111

15

00001111

10001111

11110000

11110001

20

00010100

10010100

11101011

11101100

28

00011100

10011100

11100011

11100100

32

00100000

??

??

??

40

00101000

10101000

11010111

11011000

50

00110010

??

??

??

60

00111100

??

??

??

80

01010000

??

??

??

100

01100100

??

??

??

Números de 8 bits

9

Números Binários Negativos (Ilustração) 

Adição em complemento de dois Decimal

Complemento de 2 10

00001010

+ (-3)

11111101

+7

1

00000111 vai-um

descartado

10

1.

Converter os seguintes números decimais em números binários no padrão Complemento de 2: a)-30 b)-35 c)-72 d)-108

2.

Quantos bits, no mínimo, seriam necessários para representar o número 480 na base binária no padrão de Complemento 2?

3. Quantos bits, no mínimo, seriam necessários para representar o número -2048 na base binária no padrão de Complemento a 2?

11

1)

3)

710

2) -2110

-510

-4310

-4510

+(

+(

+(

)2

)2

1310

)2

4)

-3510

10210 +(

)2

5)

12310

-12210 +(

)2

12

Representação de números Racionais 

Dada uma palavra binária com n bits, reserva-se k desses bits à representação da parte fracionária e o restante à representação da parte inteira



Exemplo: n=8, k=4 0011,1000 (3,5) 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4  0x2 +0x2 +1x2 +1x2 +1x2 +0x2 +0x2 +0x2 = 3,5  0100,0100 (4,25) 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4  0x2 +1x2 +0x2 +0x2 +0x2 +1x2 +0x2 +0x2 = 4,25  1100,0110 (12,375) 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4  1x2 +1x2 +0x2 +0x2 +0x2 +1x2 +1x2 +0x2 = 12,375 

13

Fim!