Antena De Media Onda

Republica Bolivariana de Venezuela Universidad del Zulia Facultad Experimental de Ciencias Sector Básico Sectorial Departamento de Física Cátedra: Electromagnetismo II

Radiación desde una superficie reflectora paraboidal: Método de  Corriente inducido. Antena de Media onda y Teorema de Reciprocidad Amortiguada

Bachiller                                                                                 Alvarado R. Junior G.                                                                                        16.988.267

Maracaibo, marzo del 2008 INTRODUCCION Las antenas de transmisión son sistemas que se utilizan para terminar una  línea de transmisión o una guía de ondas con el propósito de enviar ondas  electromagnéticas de manera eficiente al espacio, y pueden considerarse  con fuentes de esas ondas.

Se utilizaran las ecuaciones de campo ya deducidas para un elemento de  corriente para encontrar el la antena de media onda el flujo de potencia de  radiación de dicha antena. Ademas   otra   antena   que   desarrollaremos   es   la   antena   de   superficie  paraboloidal por el método de corriente inducida y finalmente el teorema  de reciprocidad para un movimiento amortiguado.

Antena de Media Onda Durante años se ha usado comúnmente la antena de alambre delgada de media onda,  alimentada por una fuente de voltaje aplicada en un espacio localizado en algún punto a  lo   largo   del   alambre.   El   propósito   de   este   estudio   es   la   predicción   de   los   campos  radiados a distancias lejanas utilizando los campos conocidos d un elemento oscilante  de corriente. El resultado del análisis de un elemento de corriente junto con la teoría de superposición  pueden ser herramientas indispensables en los campos radiantes por la estructura de la  antena conociendo la distribución de la corriente.  Continuación se muestra la antena de media onda: Fig.: “Antena de Media Onda”

La antena de media onda consiste en dos conductores lineales estrechos cada una con  longitud  λ 0

4

 y conectados a dos líneas de transmisión del centro. La resistencia de la 

antena se define equivalentemente a la potencia total radiada expresada en términos de  potencia absorbida y expresa como:

1 R0 I 02 = Pr (1) 2 Para esta antena la resistencia del radiador es de 73.13 ohms. Con este valor es posible  una buena eficiencia. Comparada con la potencia perdida en los conductores. Experimentalmente se ha observado que la corriente a lo largo de la antena tiene que  tener una forma de variación senoidal de la forma:

Ie jωt = I 0 cos k o ze jωt (2) Donde  I 0  es la amplitud de la corriente del punto de alimentación. El  hecho de que la  corriente tiene que tener la forma de arriba se debe a:  La corriente a través de la fuente de excitación debe de tener continuidad, que es  consecuencia   del   requerimiento   de   que   debe   de   salir   tanta   corriente   de   una  Terminal del generador como la que entra por la otra.  Si los extremos de la antena están abiertos, debe desvanecerse la corriente en los  extremos. Esto sigue de la conservación de la carga.  Las distribuciones de la corriente a ambos lados del girador deben de ser ondas  estacionarias sinusoidales con una constante de fase   βo   en el espacio vació,  satisfaciendo las condiciones de frontera de las reglas anteriores. El campo radiado por un elemento de corriente como el de arriba en dirección a z es:

jk 0 Z 0 I 0 sin θ cos k 0 ze − jk0 R dz (3)  Y  4πR

dEθ =

dH φ = Y0 dEθ ( 4)

Por las leyes de los cósenos encontramos que: R = ( r + z − 2rz cos θ ) 2

2

1

1

2

  2z  z2  2 ≈ r 1 −   cos θ + 2  (5) r    r 

Donde lo hemos expresado en términos de potencia  z  utilizando el teorema binomial, 

r

ya que  r >> λ0 es asumido, entonces podemos dar  R = r − z cos θ , este resultado puede  ser   explicado   geométricamente   como   equivalente   a   la   que   las   partes   desde   cada  elemento diferencial al punto de campo distante son paralelas. En el denominador de  dEθ  podemos remplazar R por r, pero in la exponencial deberíamos usar la expresión 

de   R = r − z cos θ . El campo eléctrico total radiado es:

Eθ =

jk 0 I 0 Z 0 sin θ 4π r

λ0

−

λ0

4

− jk ( r − z cos θ ) dz = ∫ cos k 0 ze 0

λ0

4

jk 0 Z 0 I 0 sin θ − jk 0 r 4 e 2 ∫ cos k 0 z cos(k 0 z cos θ )dz (6) 4π r 0

Donde la integral restante que contiene el término   sin( k 0 z cos θ )  se aproxima a cero  ya que la integral de la función es impar. Para resolver la integral de arriba utilizaremos  la identidad geométrica: cos k 0 z cos(k 0 z cos θ ) =

1 { cos[ k 0 z (1 + cos θ )] + cos[ k 0 z (1 − cosθ )]}(7) 2

Sustituyendo en la ecuación 6 nos queda:

jk Z I sin θ − jk0 r Eθ = 0 0 0 e 2 4πr

λ0

4

1 ∫ 2 { cos[ k

0

z (1 + cos θ )] + cos[ k 0 z (1 − cos θ )]}dz →

0

λ0 λ0  4 jk 0 Z 0 I 0 sin θ − jk0 r  4 Eθ = e cos[ k 0 z (1 + cos θ )]dz + ∫ cos[ k 0 z (1 − cos θ )]dz + =  ∫0  8πr 0  

Por un cambio de variables y evaluando la integral nos da finalmente: π  π π   cos cos θ  sin 2 (1 + cos θ) sin 2 (1 − cos θ)  jI 0 Z 0 jI 0 Z 0 − jk 0 r 2   (8) − jk 0 r Eθ = sin θe + e  = 4πr 1 + cos θ 1 − cos θ 2 π r sin θ      

La potencia total radiada es obtenida integrando un medio de la parte real del vector de  2

poynting complejo  Eθ H φ∗ = Y0 Eθ sobre una esfera de radio r. nos da: 2

π  cos θ  2π π cos 2 2 I Z 2  dθdφ = I 0 Z 0 Pr = 0 20 ∫ ∫ sin θ 4π 8π 0 0

2

π  cos θ  π cos 2  dθ (9) ∫0 sin θ

Por un apropiado cambio de variables la integral es transformada a: Pr =

I 02 Z 0 8π 2

2π

I 02 Z 0 1 − cos u [ ln 1.781 − Ci(2π ) + ln 2π ](10) du = ∫0 u 8π 2

Donde: ∞

Ci ( x ) = −∫ 0

cos u du →Ci (2π ) = −0.0226  Esta integral esta tabulada. u

Sustituyendo la ecuación de arriba en 10 finalmente nos da:

Pr = 36.57 I 02 (11) Si   para   un   caso   general   la   frecuencia   es   de   10   gigaciclos   y   la   admitancia  característica es de 200 ohms cuya corriente  es de la forma de la ecuación 2 podemos  encontrar la potencia radiada. Calcularemos la resistencia del radiador por: 

1 R I 2 = 36.57 I 2 → 0 2 0 0

R0 = 2.26.57 = 73.13ohms

El campo de la zona cercana para el dipolo de media onda no contribuye a la potencia  radiada. Esto se debe a que el campo de zona cercana representa la energía almacenada  reactiva  en el espacio inmediato  que rodea a la antena. Esta energía reactiva  da un  término reactivo en la impedancia de entrada de la antena del alimentador de la línea de  transmisión. Las energías almacenada en el campo eléctrico y magnético de la zona  cercana puede ser igual y el termino reactivo de entrada desaparecería. La directividad del dipolo de media onda es dada por: 2

 π  cos cos θ  60  2   (12)  D (θ) = 36.57  sin θ     

Fig.: “Patrón de Radiación en el plano E de la Antena de Media Onda”

Radiación desde una superficie reflectora paraboidal: Método de  Corriente inducido.

Un alimentador con amplitud del plano igual a E y H y patrones de fase en el cual  satisface las condiciones: Con polarizacion transversa cero. Guía de onda circular un  alimentador coaxial excitado por los modos mixtos  TE1m  y  TM 1 m produce un patrón  primario de la forma:

' ' Donde  eθ ' (θ ) ∧ eφ ' (θ )  dependen del alimentador particular y la excitación usada. En 

la discusión de abajo asumimos que el patrón de alimentador es de esta   forma. El  sistema de coordenada utilizado es el que  se muestra a continuación: Figura:   “sistema   de   coordenada   que   describe   el   campo   asociado   en   una   antena  paraboloidal”

El eje polar para describir el patrón del alimentador es dirigido hacia el reflector,  el   cual   es   usado   para   describir   el   campo   radiado.   En   coordenadas   rectangulares   le  campo del alimentador es dado por:

Note   que   φ = −φ' y   θ = π − θ '   como   se   muestra   en   la   figura   de   arriba,  asumimos que en  theta es igual a cero el campo esta polarizado a lo largo de y, y en  eφ = eθ en theta igual a cero. En el plano  φ = 0  o el plano H el patrón de alimentador 

es proporcional a:

Y en  φ

=π

2

 o el plano E el patrón del alimentador es proporcional a:

Los patrones de los planos E y H son igual si   eθ (θ) = eφ (θ)   para todos los  valores de theta. El patrón de polarizacion transversa entonces es igual a cero para todos  los valores de  θ y  φ.

El   campo   magnético   incidente   en   el   paraboloide   es   H superficie del paraboloide se cumple que:

ϕ=

f

= Y0 a ϕ × E f .   En   la 

( )

' 2f = f sec 2 θ 2 1 + cos θ

Si cada porción de la superficie del paraboloide es tratada como una superficie  reflectora, entonces la corriente producida por el paraboloide es:

En términos de la corriente que es llamado la corriente óptica física, el campo  eléctrico radiado es:  

Donde  r ' es el vector posición al punto el paraboloide. Utilizando las dos  últimas ecuaciones he integrando sobre  φ obtenemos:

Donde  v1 = 2k 0 f sin θ tan

1 + cos θ cos θ ' θ'  y  v 2 = 2k 0 f  y  2θ0 = ψ es la  2 1 + cos θ '

apertura angular del paraboloide con longitud focal  f En el método de campo de apertura el campo reflejado en la superficie apertura es  primero encontrado desde la relación: E r = −E f + 2n.E f n

Este campo se asumió que se propaga como una onda plana a la superficie de  apertura, el cual será tomado como en el plano Z=0. la longitud de la parte total es 2f, y  primero encontramos las componentes x Y y del campo apertura que son:

El campo eléctrico radiado es:

Si la formulación en términos de los campos eléctricos y magnéticos en la apertura  es usada, este resultado es el promedio de la ecuación de arriba. En varias formulaciones  se da los mismos resultados para el campo de radiación copolarizada pero muestra una  diferencia mas pronunciada para el campo radiado polarizado transverso, que es lo que  se vera después. En la región cerrada de los ejes, que es theta pequeña, el uso de la aproximación 

cos θ = 1  en  v 2  es igual a  2 k 0 f .la diferencia en la función de fase en la formulación  de  la  corriente superficial  y que en el método del campo de apertura s debido a la  diferencia de partes de longitud, como se muestra a continuación:

En el método de campo de apertura la propagación desde la superficie paraboidal a  la superficie de apertura es alo largo de la parte paralela al eje z en concordancia con la  teoría de la óptica geométrica  que es el usado para determinar el campo de apertura. La  diferencia de fase entre estos dos métodos es:

2k 0 f − v 2 = 2k 0 f

(1 − cos θ ) cos θ '

El patrón del alimentador esta dado por: 

El campo copolarizado en el plano  φ

1 + cos θ '

=π

4

 esta dado por:

El campo polarizado transverso esta dado por:

Teorema de Reciprocidad Metodología:  Calcularemos   el   teorema   de   reciprocidad   para   un   movimiento  amortiguado que lo que haremos es seguir el mismo procedimiento que el hecho en  clase pero con permitividad y permeabilidad complejas de la forma: ε = ε ' − jε '' (1)  Y  µ = µ ' − jµ '' ( 2)

Las ecuaciones de Faraday y Amper­Maxwell para los dos campos electromagnéticos  E 1 , H 1  y  E 2 , H 2 están dada por: ∇× E 1 = − jω µH 1 (3) ∇× H 1 = jω εE 1 +σ E 1 ( 4)

∇ × E 2 = − jω µH 2 (5) ∇× H 2 = jω εE 2 +σ E 2 (6)

Por lo que: ∗ ∗ ∗ ∇. E 1 ×H 2   =H 2 .∇×E 1 −E 1 .∇×H 2 (7)   ∗ ∗ ∗  ∇.E 2 ×H 1   = H 1 .∇×E 2 −E 2 .∇×H 1 (8)  

Sustituyendo en las ecuaciones 7 y 8 las cantidades:

∇×H

* 2

= − jω ε* E * 2 + σ E * 2 (9)

*

∇ × H 1 = − jω ε* E + 1 + σ E + 1 (10) Además de sustituir las ecuaciones 3 y 5 en 7 y 8 nos da que:

(

)

(

)

∗ ∗ ∇. H 1 −E 1 . − jωε* E * 2 +σE * 2 = E 1 ×H 2   = H 2 . − jωµ  

∗

= − jω µH 2 .H 1 + jω ε* E 1 .E * 2 −σE 1 .E * 2 (11)  y 

(

)

(

)

∗ ∗ ∇. H 2 −E 2 . − jωε* E * 1 +σE * 1 = E 2 ×H 1   = H 1 . − jωµ  

∗

= − jω µH 1 .H 2 + jω ε* E 2 .E * 1 −σE 2 .E * 1 (12)

Así que en definitiva:  ∗ ∗  ∇. H 2 .H 1 + jωε* E 1 .E * 2 −σE 1 .E * 2 (13) E 1 ×H 2  = −jωµ   ∗ ∗  ∇. H 1 .H 2 + jωε* E 2 .E * 1 −σE 2 .E * 1 (14) E 2 ×H 1  = −jωµ  

Nótese   que   estas   ecuaciones   no   son   las   mismas,   si   y   solo   si   los   campos  electromagnéticos   fueran   cantidades   reales   entonces   el   teorema   de   reciprocidad   se  cumpliría de esta forma:

∫ E S

1

×H 2 − E 2 ×H 1  .dS = 0 

CONCLUSION 

Encontramos   que   el   campo   eléctrico   y   magnético   de   un   dipolo   de  media   onda   se   asemeja   al   de   un   dipolo   de   elemento   de   corriente,   este  trabajo se refirió al análisis de los campos de radiación que se obtiene de  las fuentes típicas de las antenas Se describen los campos E y H partir de las ecuación de Maxwell y del  uso de los potenciales vectoriales y escalares; se deducen las soluciones  de  los campos E y H para distinto tipo de antena, para la antena de media onda  y   la   antena   de   superficie   paraboloidal.   Al   extenderse   las   ecuaciones   de 

Maxwell a un conjunto simétrico que utiliza cargas y corrientes magnéticas  postuladas, junto con las condiciones de frontera, se forma la base para  predecir los campos de radiación de las antenas relacionadas del tipo de  apertura.