Analisis Matematico I

Índice Temas Conjuntos Numéricos Valor absoluto de un número real Cotas de un conjunto. Supremo e ínfimo. Máximo y mínimo. Conjunto acotado Intervalos Distancia Entorno . Entorno reducido Clasificación de puntos de un conjunto Concepto de función Clasificación de funciones Composición de funciones Función inversa Estudio de algunas funciones particulares

Límite

Función lineal Función cuadrática Función homográfica Función exponencial Función logarítmica Funciones trigonométricas Funciones circulares inversas Funciones hiperbólicas y sus inversas Noción intuitiva Definición de límite funcional Límites laterales Propiedades de los límites finitos Límite para x → 0 de sen x

Continuidad

Derivadas

Diferencial

x

Infinitésimos Álgebra de infinitésimos Álgebra de límites finitos Generalización del concepto de límite Continuidad de una función en un punto Álgebra de las funciones continuas Continuidad lateral Continuidad en un intervalo cerrado Propiedades de las funciones continuas Derivada de una función en un punto: Introducción Derivada de una función en un punto: Definición Interpretación geométrica Recta tangente y normal al gráfico de una función en un punto Relación entre continuidad y derivabilidad Función derivada Derivadas sucesivas Reglas y fórmulas de derivación Definición e interpretación geométrica Derivación de funciones definidas en forma paramétrica Derivación de funciones definidas en forma implícita

Página 1 3 4 5 6 7 8 9 10 13 14 16 16 17 18 23 25 26 28 30 32 34 34 36 38 40 41 46 48 50 50 51 51 52 54 56 57 57 60 61 62 63 72 72 74 75

Propiedades de las funciones derivables

Crecimiento y decrecimiento

76 76

Relación entre el crecimiento y el signo de y ‘

76

Extremos absolutos y locales Condición necesaria para la existencia de extremos relativos

77 78

Teorema de Rolle

79

Teorema del Lagrange ( o del Valor medio) Teorema de Cauchy Concavidad y convexidad. Punto de inflexión. Relación entre la concavidad y el signo de y” Estudio de Funciones Problemas de máximos y mínimos Regla de L‘Hospital Integral definida

Aplicaciones de la integral definida

Integrales impropias

Polinomio de Taylor Sucesiones

Series

Sucesión de funciones Serie de funciones Serie de potencias

81 82 83 84 85 89 90 92 Definición. 94 Interpretación geométrica. Propiedades 94 Teorema del valor medio del cálculo integral 94 Función área. Teorema fundamental del cálculo 95 integral Concepto de primitiva. 96 Regla de Barrow 96 Funciones con derivadas iguales 97 97 Cálculo de áreas planas 97 Cálculo de área entre dos curvas 98 Cálculo de la longitud de un arco de curva 99 101 De primera especie 101 De segunda especie 102 Introducción 104 Deducción 107 Generalidades 110 Sucesiones acotadas, convergentes, 112 divergentes y oscilantes Generalidades 113 Series geométricas 113 Criterios de convergencia para series de 114 términos positivos Series alternadas .Criterio de Leibnitz 116 Series de términos cualesquiera. convergencia 116 absoluta y condicional Generalidades 117 Convergencia puntual y uniforme 118 Definición y propiedades 119 Prueba M de Weierstrass 120 Definición. Lema de Abel 121 Radio e intervalo de convergencia 121 Series de Taylor y Mac Laurin 122

1

Análisis Matemático I- Números reales

NÚMEROS REALES • Introducción: Conjuntos numéricos Notación: Conjunto de números naturales: Conjunto de números enteros:

N= {1,2,3,....},

N 0 ={0,1,2,3,...}

Z= {......,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

Conjunto de números racionales: Un número es racional si y sólo si se puede escribir como cociente de dos números enteros tales que el divisor sea distinto de cero. Q=

p   / p ∈ Z ∧ q ∈ Z − {0} ∧ mcd ( p, q ) = 1 = {fracciones} U Z q 

La expresión decimal de un número racional puede ser finita o infinita periódica. Ejemplos: • • •

235 47 = (expresión decimal finita) 100 20 ∩ 35 198 + 35 233 2,353535.... = 2, 35 = 2 + = = (expresión decimal periódica pura) 99 99 99 ) 35 − 3 32 16 90 + 16 106 2,35555... = 2,35 = 2 + = 2+ = 2+ = = (expresión decimal 90 90 45 45 45 2,35 =

periódica mixta)

Se verifican las siguientes propiedades: 1)Entre dos números racionales siempre hay otro racional . (Se dice que Q es un conjunto denso) 2) A cada número racional le corresponde un punto de la recta, pero existen puntos en la recta que no se corresponden con ningún número racional. Por ejemplo, si se dibuja un triángulo rectángulo isósceles con cateto 1, su hipotenusa, por el Teorema de Pitagóras, es

12 + 12 = 2 .

Se puede probar que 2 no puede escribirse como cociente de dos números enteros, luego no es un número racional. Sin embargo existe un punto en la recta que se corresponde con

2 . También podemos representar en la recta puntos que se correspondan con 3 , 5 , etc.

3 Si intentamos obtener las cifras decimales de 0 1 2 te.

2 , veremos que no se repiten periódicamen-

2

Análisis Matemático I- Números reales

Aquí les presentamos 100 decimales de

2 , obtenidos con el programa Mathematica.

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247 84621070388503875343276415727 Existen otros números cuya expresión decimal consta de infinitas cifras que no se repiten periódicamente. Por ejemplo: Obtenemos

3 con 100 decimales

1.7320508075688772935274463415058723669428052538103806280558069794519330 169088000370811461867572485757

5 con 100 decimales 2.23606797749978969640917366873127623544061835961152572427089724541052092 5637804899414414408378782275 π con 200 decimales 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640 628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535 940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 Conjunto de números irracionales: Los números que llevados a la forma decimal tienen infinitas cifras decimales que NO se repiten periódicamente no son racionales. Constituyen el conjunto de los números irracionales que indicaremos con I. Podemos demostrar, por ejemplo, que 2 no puede escribirse como cociente de dos números enteros. Lo haremos por reducción al absurdo. Supongamos que existen dos números enteros p y q ( q ≠ 0) tales que MCD(p,q)=1,( es decir: p y q son primos entre sí ) y

2=

p q

( fracción irreducible).

Elevemos al cuadrado ambos miembros. Se obtiene : 2 =

p q

2 2

⇒p

2

2

= 2. q ⇒p2 es par

Pero si el cuadrado de un número es par, entonces el número en cuestión también lo es, es decir : p es par1 ⇒ existe un número entero m / p = 2m. Resulta p2 = 4 m2 Comparando las dos expresiones recuadradas se tiene: 2.q2 = 4 m2 ⇒ q2 = 2 m2.⇒ q2 es par ⇒ q es par.

1

En efecto, si p fuese impar, existiría un número entero k / p = 2 k + 1, entonces sería: p 2 = ( 2 k + 1 ) 2 = 4 k 2 + 4 k + 1. Por lo tanto p 2 sería impar. Absurdo

3

Análisis Matemático I- Números reales

Sin embargo es absurdo que p y q sean pares porque en ese caso la fracción sería simplificable, en contra de lo supuesto.El absurdo provino de suponer que 2 es racional. En consecuencia: 2 no es racional.

Conjunto de números reales: R = Q U I Al representar los números reales sobre la recta , ésta queda totalmente “cubierta”. A cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada número real le corresponde un punto de la recta. R también es un conjunto denso. •

Valor absoluto o módulo de un número real:

a Sea a ∈ R: | a | =  − a

si a

≥0

si a

<0

El valor absoluto de un número real representa su distancia al cero. Propiedades: 1) ∀a∈R :|a|≥ 0 |

MUY IMPORTANTE

| a| = 0 ⇔ a=0 2) ∀ a ∈ R : − | a | ≤ a ≤ | a | 3) ∀a ∈ R , ∀ ∈ R : | a + b | ≤ | a | + | b | 4) ∀a ∈ R , ∀ ∈ R : | a − b | ≥ | a | − | b | 5) ∀a ∈ R , ∀ ∈ R : | a . b | = | a |. | b | 6) Si k ∈ R + : | a | ≤ k ⇔ − k ≤ a ≤ k 7) Si k ∈ R + : | a | ≥ k ⇔ a ≥ k ∨ a ≤ − k

Para tener en cuenta:

x 2 =x

a) ∀x ∈ R0+ b) ∀x ∈ R-: c) ∀x ∈ R :

3

x 2 son = −pares x

Conclusión: ∀x ∈ R :

n n

x

= | x | si n es natural par.

x3 =x ∀x ∈ R :

n

x

n

= x si n es natural impar.

Como sólo se puede simplificar exponente e índice de una raíz de índice par si se sabe que el radicando es no negativo, debemos recordar que:

4

Análisis Matemático I- Números reales

Ejemplo:

x2 =

x2 =

x. x =

Como x2 ≥0, resulta |x2 |= x2

•

x. x =

Definición de cuadrado

x2 = x

El módulo de un producto es = al producto de los módulos

Definición de cuadrado

Puedo simplificar exponente e índice porque el radicando es no negativo

Cota superior e inferior de un conjunto.

Dado un subconjunto A de números reales, diremos que k∈ R es una cota superior de A si y sólo si todos los elementos de A son menores o iguales que k. En símbolos: k∈ R es cota superior de A⇔ ∀x ∈ A : x ≤ k

La menor de las cotas superiores se llama supremo. Si pertenece al conjunto se dice que es un máximo Dado un subconjunto A de números reales, diremos que k∈ R es una cota inferior de A si y sólo si todos los elementos de A son mayores o iguales que k. k∈ R es cota inferior de A⇔ ∀x ∈ A : x ≥ k

En símbolos:

La mayor de las cotas inferiores se llama ínfimo. Si pertenece al conjunto se dice que es un mínimo. ♦ Un conjunto es acotado si y sólo si está acotado superior e inferiormente. • Intervalos Como los números reales pueden ponerse en correspondencia con los puntos de una recta y recíprocamente, podemos interpretar que un segmento representa un conjunto de números reales. Si a ∈ R, b ∈ R y a < b, llamaremos intervalo cerrado a,b y lo indicaremos [a,b]al conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. Gráficamente un intervalo cerrado corresponde a un segmento. [a,b]={x ∈ R / a ≤ x ≤ b} a

b

También se han establecido nombres y notaciones para otros conjuntos de números reales: Nombre Intervalo abierto a,b

Notación (a,b)

Definición { x ∈ R / a < x
Representación

(

)

a

b

5

Análisis Matemático I- Números reales

Intervalo semiabierto a derecha [a,b) o semicerrado a izquierda

{ x ∈ R / a ≤ x
Intervalo semiabierto a izquier- (a,b] da o semicerrado a derecha

{ x ∈ R / a < x ≤b}

) a

( a

El concepto de intervalo se generaliza para representar semirrectas con o sin su origen Notación [ a , +∞ )

Definición

( a , +∞ )

{x ∈R / a<x}

Representación

{x ∈R / a≤x} a

( a

(- ∞ , b]

{x ∈R / x≤b} b

(- ∞ , b)

{x ∈R /x
) b

Observaciones: •

♦ ♦

El símbolo “∞ ” se lee “infinito” y no representa un número, sino que está indicando que el conjunto no está acotado. Cuando se escribe “+∞ ” se está expresando que dado un número cualquiera, en el conjunto hay otro mayor. Si se escribe “-∞ ”, se quiere indicar que dado un número cualquiera, en el intervalo hay uno menor. En “∞ ”, el intervalo siempre es abierto El conjunto de números reales, que se identifica con la recta, también puede escribirse como un intervalo:

R = ( - ∞, + •

∞)

Distancia en R:

Dados en la recta dos puntos A y B de abscisas a y b respectivamente la distancia entre A y B es el valor absoluto de la diferencia entre a y b

•

A | a Propiedades

B

b

d(A;B)= |b - a| | b

La distancia es una “función” que le asigna a cada para de puntos un número real que cumple con las siguientes condiciones: i) La distancia entre dos puntos cualesquiera del espacio es no negativa . ∀A,∀B:( A∈R∧ B∈R⇒d(A,B) ≥0 ) ii) La distancia entre dos puntos es cero si y sólo si los puntos son coincidentes.

b

6

Análisis Matemático I- Números reales

∀A,∀B:( A∈R∧ B∈R ⇒ [d(A,B)=0 ⇔ A = B] ) iii) Verifica la propiedad simétrica. ∀A,∀B: (A∈R∧ B∈R ⇒ d(A,B)= d(B,A) ) iv) Verifica la propiedad triangular. (∀A,∀B, ∀ C : A∈R∧ B∈R ∧C∈R ⇒ d(A,B) + d(B,C) ≥ d(A,C)

7

Análisis Matemático I- Números reales

•

Entorno de un punto:

Si a es un punto de un se llama entorno simétrico de a de radio o amplitud δ al conjunto de puntos de la recta que se encuentran a una distancia de a menor que δ

(////|////) a-δ δ a a+δ δ E(a; δ) ={x ε R /d(x;a) < δ }={ x ε R /| x - a | < δ}={x ε R/ -δ δ < x-a <δ δ }

por definición de distancia

aplicando prop. de módulo

Resulta: E(a; δ)= { x ε R/ a -δ δ < x < a+δ δ }= (a -δ δ ;a+δ δ) Un entorno es siempre un intervalo abierto. Además cualquier intervalo abierto puede escribirse como un entorno cuyo centro es el punto medio del intervalo y cuyo radio es la distancia entre un extremo y el centro. El centro se obtiene como semisuma de los extremos y el radio como semidiferencia. b +a b −a  (a, b ) = E  ;   2 2  •

Entorno reducido:

Es el entorno sin su centro E’(a; δ)=E(a; δ)- {a}= { x ε R / d(x;a) < δ ∧ x≠ a} E’(a; δ)= { x ε R / d(x;a) < δ ∧ d(x;a)≠ ≠ 0}={ x ε R / 0
(\\\

\\\ )

a- δ a+ δ

•

Clasificación de puntos de un conjunto

Sea C ⊆ R I.- a es punto interior de C si y sólo si existe al menos un entorno de a totalmente incluido en C En símbolos: a es punto interior de C ⇔ ∃ δ >0 / E(a ; δ)⊆ C Al conjunto de puntos interiores de C lo indicamos Co . Un conjunto es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores. C es abierto ⇔ C = Co

8

Análisis Matemático I- Números reales

II.- a es punto exterior a C si y sólo si existe un entorno de a al que no pertenece ningún elemento de C. a es punto exterior a C⇔ ⇔ ∃δ > 0

/ E ( a ; δ)

∩C = φ

III.- a es punto frontera de C si y sólo si no es interior ni exterior. Frontera de un conjunto es el conjunto al que pertenecen todos los puntos frontera del mismo. IV.- a es punto aislado de C si y sólo si a ∈ C pero existe un entorno reducido de a al que no pertenecen puntos de C. a es punto aislado de C ⇔ a ∈ C ∧ ∃δ > 0 / E ' (a ; δ) ∩ A = φ

V.- a es punto de acumulación de C si y sólo si cualquier entorno reducido de a tiene intersección no vacía con C. En símbolos: a es punto de acumulación de C ⇔∀ δ >0 ,E’( a; δ) ∩ C ≠ φ Al conjunto de puntos de acumulación de C , lo llamamos conjunto derivado de C y lo indicamos C’. Un conjunto es cerrado si y sólo si le pertenecen todos sus puntos de acumulación. En símbolos: C es cerrado ⇔ C’ ⊆ C . Ejemplo: Consideremos C = { x ε R/ | x - 2 | < 3 v x=7} Veamos cómo podemos representar al conjunto: | x - 2 | < 3⇒ -3 < x-2 < 3⇒ -3 + 2 < x < 3 + 2 ⇒ -1 < x < 5 Es decir: C = { x ε R/-1<x<5 v x = 7}

( -1

• C

5

7 Co = {x ε R/ -1 < x < 5} 7 es punto aislado El conjunto no es abierto ni cerrado. •

Concepto de función:

FC = {-1,5,7} C ’= [ -1, 5]

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Análisis Matemático I- Números reales

Ejemplo: Como todos sabemos muchos satélites artificiales giran en torno a la Tierra. Para colocarlo en órbitas distintas es necesario poder predecir dónde se encontrarán en un cierto momento. Una de las fórmulas que se utilizan para conocer la posición de un satélite en un instante dado, vincula la distancia en kilómetros que existe entre su órbita y la corteza terrestre con el tiempo en horas que tarda en dar una vuelta completa Dicha fórmula es: h = 10000. 0,13. t Este es el gráfico: 3

2

− 6500

40.00

35.00

30.00

h (en miles de km)

25.00

20.00

15.00

10.00

5.00

0.00 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-5.00

-10.00

t (en horas)

El enunciado vincula mediante una fórmula y un gráfico dos magnitudes:altura - tiempo. También se podría haber mostrado la misma vinculación en una tabla o en un diagrama. Cualquiera de estos recursos nos permite relacionar dos variables: altura y tiempo. El tiempo es la variable independiente mientras que la altura es la dependiente. La variable independiente en este caso puede tomar cualquier valor, por ejemplo, entre las 0 horas de un día y las 24 horas del mismo día. (Se podrían considerar intervalos de tiempo mayores o menores que ese). En cada instante, durante el día en cuestión, puede saberse a qué altura se encuentra el satélite. por otra parte esa altura, en cada caso, es única. Decimos que la altura es función del tiempo Para generalizar esta idea definimos el concepto de función. Consideremos dos conjuntos cualesquiera A y B, no vacíos, y un conjunto “f” de pares ordenados (x;y) tales que x es elemento de A e y es elemento de B .

10 Análisis Matemático I- Números reales Decimos que f es una función de A en B si y sólo si a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.(Se escribe: f:A→B) En símbolos: f:A→ B es función ⇔  f⊆ AxB  ∀ x ε A,∃ y ε B / (x;y)ε f (Existencia de la imagen)  (x;y1 )ε f ∧ (x;y2)ε f⇒ y1 = y2 (Unicidad de la imagen) Trabajaremos con funciones en las que A y B son subconjuntos de R. Se llaman funciones escalares A es el dominio de la función y B su codominio. Los elementos de A son los posibles valores de la variable independiente que en general suele designarse con “x” y representarse sobre el eje de abscisas ( horizontal). Para indicar que en la función “f” , al elemento “x” le corresponde el elemento “y” de B, se escribe “y = f(x)” que significa que y es la imagen de x según la función f. El conjunto de todas las imágenes se llama conjunto imagen. (Im(f)). • Clasificación de funciones Consideremos una función f : A→ B a) f es inyectiva o 1-1 si y sólo si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas. O bien, si y sólo si las imágenes de dos elementos son iguales entonces, esos elementos también lo son. En símbolos: f: A→ B es inyectiva ⇔ ∀x 1 , ∀x 2 :[ f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 ] Ejemplos: 1) f: R→R+0/ f(x) = x2 no es inyectiva pues f(1) = f(-1) pero 1 ≠ -1 y

x

Una restricción adecuada del dominio permite convertir una función que NO es inyectiva en una inyectiva:

2) f * : R0 +→R/ f(x) = x2

11

Análisis Matemático I- Números reales

f * es inyectiva. En efecto: + + Sean x1 ∈ R0 Λ x2 ∈ R0 f *(x1)= f *(x2)

y

⇒ x 12 = x 22 ⇒

2

x1

=

/

2

x2

, como las bases en los radicandos de ambos miembros son NO negativas, es válida la simplificación de exponente e índice, entonces resulta: x1 = x2 y por lo tanto f* es inyectiva. También resultaría inyectiva si se tomase como dominio R 0 .

x b) f es sobreyectiva o suprayectiva si y sólo si todos los elementos de B son imagen de algún elemento de A. Es decir , el conjunto imagen coincide con B. En símbolos : f: A→ B es sobreyectiva ⇔ ∀y ∈ B , ∃x ∈ A / y = f (x ) Si nos referimos a los ejemplos anteriores, podemos decir que la primera función es sobreyectiva pues cualquier número real positivo es cuadrado de dos números reales y el cero es el cuadrado de cero. Es decir, en el ejemplo 1 se definió f: R→R+0 y resulta Im(f) = R+0 Si se define f **: R→R , si bien el gráfico no se modifica, la función no sería sobreyectiva ya que no existe ningún número real tal que su cuadrado sea por ejemplo, igual a -1. c) f: A→ B es biyectiva ⇔ f es inyectiva y f es sobreyectiva. Ninguna de las funciones de los ejemplos anteriores es biyectiva. Para que lo sea deberemos restringir al mismo tiempo dominio y codominio. Por ejemplo: −

f 1: R 0

→R

+ 0 / f 1 (x )

2

= x es sobreyectiva.

En efecto: i) f1 es inyectiva

2

2

Sean x1 ∈ R0- Λ x2 ∈ R0- /f 1 (x1 )= f 1 (x2) ⇒ x 1 = x 2 ⇒

2

x1

=

2

x2

⇒

x1

=

x2

Como x1 ∈ R0- Λ x2 ∈ R0- , sus módulos son iguales a sus opuestos es decir: - x1 = - x2 Luego

ii) f1 es sobreyectiva.

x1 = x2 , de donde f1 es inyectiva.

12 Análisis Matemático I- Números reales Sea

y

+

∈R 0/

Si tomamos

x

y

=x

2

−

⇒

y

∈R 0 /x =−

= |x| ⇒ x = y

y

∨x =−

, resulta f1 (x) = f1 ( − +

Hemos probado que: ∀ y ∈ R 0 , ∃x = − De i) y ii) se tiene f1 biyectiva

y

−

∈R 0 /

y

+

(Existe pues y ∈ R 0 )

y

y

(

)= −

y

)2 =

y

= f 1 ( x ) , por lo tanto f1 es sobreyectiva y

x

13

Análisis Matemático I: Funciones

• Composición de funciones Ejemplo: Consideremos dos funciones f:A→B y g:B→C definidas a través de estos diagramas

•a

g

B

f

A

•m

•1

•b

•2

•c •d

C

•n

•3

Podemos pensar en una función h:A→C / h(x)=g[f(x)] Es decir , la función h podría representarse así: h

A •a

C •m

•b •c

•n

•d

La función h es la “composición” de f con g. Se escribe: g 0 f Definición: Dadas dos funciones f:A→B y g:B→C, se llama función compuesta a la función g 0 f definida de A en C tal que g 0 f(x) = g[f(x)]

Observación: Para que la composición sea posible es suficiente que Im(f)⊆ D(g). Con restricciones adecuadas, también puede aplicarse la misma idea si Im(f)∩D(g)≠φ Veamos algunos ejemplos: 1) Sea f:R→R/ f(x) = 2x + 1 y g: R→R/ g(x) = x2 Como Im(f) = D(g), puede definirse la función g0f:R→R/ (g0 f)(x)=g[f(x)]=g(2x+1)=(2x+1)2 Como Im(g) =

+

R 0

⊂ D ( f ) , también puede definirse: f0 g: R →R/

(f 0 g )(x)=f[g(x)]=f(x2 )=2x2 +1. Con este ejemplo podemos concluir, además ,que la composición de funciones no es conmutativa. 2) Sea f : R

+

→

R

/ f ( x ) = ln x y g:

R

+ 0 → R / g (x ) = − x

Observamos que Im(f)= R , mientras que Im(g)= (-∞ ,0] Resulta que como Im(f)∩D(g)≠φ, el dominio de g0 f será aquel subconjunto del D(f) tal que su imagen por f sea (-∞, 1]; es decir aquellos números reales cuyo logaritmo natural sea mayor o igual que 1. Si lnx ≥ 1⇒ x≥ e.

14 Análisis Matemático I: Funciones Entonces podemos definir: g0 f: [e,+∞)→R/ (g0 f) (x) = g[f(x)]= -

ln x

En cambio, como Im(g)∩D(f) = φ , la composición f 0 g no puede realizarse. •

Función identidad

Dado un conjunto A no vacío, se llama “identidad en A” a la función IdA:A→A / IdA(x)=x, es decir que a cada elemento de un conjunto le asigna como imagen el mismo elemento. Si f es una función de A en B, se cumple que f 0 IdA = f , y IdB 0 f = f . Definida de R en R , la identidad es y = f(x) = x y

x • Función inversa Dada una función f:A→B , se dice que tiene función inversa ( se escribe f -1) si y sólo si existe una función de B en A / f0 f -1= IdB y f -1 0 f = Id A Observación importante: La condición necesaria y suficiente para que f f sea biyectiva.

-1

sea función es que

Obtención de la función inversa Consideremos f: R→R/ f(x) = x3 + 1. Es sencillo deducir del gráfico que esta función es biyectiva: Si f: R→R es biyectiva, entonces −1

−1

existe f : R → R / x = f ( y ) , donde ahora x representa la imagen e y un elemento del dominio. Si ( 2;9) pertenece a f , entonces −1

(9;2) pertenece a f Si y = x3 + 1⇒ x = 3 y − 1 . Para evitar problemas en la representación gráfica hacemos un cambio de nombre a las variables: como en la función inversa x representa imágenes, la anotaremos como y; como y indica un elemento del dominio, lo reemplazaremos por x. Entonces: f

−1

:R → R / y = f

Representamos a continuación, en un mismo gráfico la función y su inversa:

−1

(x ) = 3 x − 1

15

Análisis Matemático I: Funciones y

f

f

-1

x

Observamos que, si se utiliza la misma escala sobre los dos ejes, los gráficos son simétricos respecto de la recta y = x. Además las curvas , si se cortan, lo hacen sobre dicha recta. Resulta sencillo comprobar que la función inversa también es biyectiva. Si una función NO es biyectiva , para obtener su función inversa deben restringirse dominio y/o codominio hasta transformarla en biyectiva. Por ejemplo , si se desea obtener la función inversa de f:R→R/ f(x) = x2 , deberemos restringir dominio y codominio (tal como se vio en pág.12) para transformarla en biyectiva. Es de−

+

2

cir, definimos f1 : R 0 → R 0 / f 1 (x ) = x . Ya probamos que así definida, resulta biyectiva. En−1 + − −1 tonces existe f 1 : R 0 → R 0 / x = f 1 ( y ) Si y = x2 , entonces | x |=

−

. Como x∈ R 0 ⇒ x = − y Para facilitar la representación , cambio de nombre las variables y resulta que: −1

f1

+

:R 0 →R

− 0

−1

/ f 1 (x ) = −

y

⇒x =

y

∨

x

=−

y

x f(x)

Veamos la representación de ambas funciones: Se observa, como en el caso anterior, simetría respecto de la recta y = x

10 8

f

6 4 2 x

-10 -8 -6 -4 -2

2

4

6

8

-2 -4 -6 -8 -10

f-1

10

16 .

Análisis Matemático I: Funciones

• Estudio de algunas funciones particulares 1. - Función lineal f:R→ R es una función lineal sí y sólo sí f(x) = m x + b. m= pendiente b= ordenada al origen. Excepto las rectas paralelas al eje y que tienen ecuación x = cte., las demás responden a una función lineal. Si m=0, la recta es paralela al eje x. f(x) 10

4

y= - 2 x + 4

2 4

x -10

10

Si m > 0, la recta forma un ángulo agudo con el semieje positivo de las x. Si m < 0, la recta forma un ángulo obtuso con el semieje positivo de las x

f(x)

y= 2x + 5

10 4 5

2 x

-10

10

-10

-10

Las rectas paralelas al eje y no representan funciones, ya que a un mismo elemento del dominio le corresponderían infinitas imágenes. La ecuación de tales rectas responde a la forma x= k. Excepto las funciones lineales de pendiente 0, las restantes son biyectivas y por lo tanto tienen inversas, que también son funciones lineales. En efecto: Consideremos f: R→R/f(x)=y = mx + b con m≠0 Es fácil ver que f es biyectiva, entonces existe f –1: R→R, también biyectiva. Para obtenerla cambiamos el nombre a las variables ya que lo que en la directa se representa en el eje de abscisas, en la inversa se representa sobre el eje y

1 b ⋅ x− m m 1 b Es decir: f –1: R→R/ f-1 (x)= ⋅x− m m x=my+b⇒ x-b = my ⇒

y=

Busquemos la función inversa de : R→R/f(x)=-2x +5. Como m = -2 y b=5, resulta que f

–1

: R→R está definida por: f-1 (x)=

−1 5 x− 2 m

Representamos ambas funciones en un mismo sistema de ejes cartesianos: f(x)

y=f – 1 (x)

2. - Función cuadrática

y=x

y=f(x )

f:R→ R es una función cuadrática sí y sólo sí f(x) = a x2 + b x + c (a≠0)

.

17

Análisis Matemático I: Funciones

Casos particulares: i)Representaremos funciones del tipo f: R→R de la forma f(x) = a x2 (a≠0), con el objeto de determinar el “efecto” que produce el coeficiente “a”.

20

y

y=2x2

15

Vértice V=(0;0)

y=x2 Eje de simetría:

10 5

x

Conjunto imagen: a>0⇒Im(f)= R 0+

0 -5

y

-10

y

-15

= −x 2

ii) Analizaremos funciones del tipo

-4

14 y 12 10 8 6 4 2 0 -2 0 -4

-2

=

−1 2

f : R

x=0

x

a<0⇒Im(f)= R 0−

2

Si f1(x)= a1x2 y f2(x)=a2x2, siendo |a1|<|a2|, entonces el gráfico de f1 es más “abierto” que el →

= ax

R/f(x)

2

+β

Vértice : Para f1 : V=(0;3)

Conjunto imagen: Im(f1)=[3,+∞)

2

f1(x)=x +3

f2 :V=(0;0)

Im(f1)= [0,+∞)

f2(x)=x2

f3 :V=(0;-2)

Im(f1)=[-2,+∞)

f3(x)=x2-2 Eje de simetría:

x

2

4

Al introducir un término independiente, la curva experimenta traslaciones sobre el eje “y”. iii) Las funciones de la forma f : R → R / f(x) = a(x − α )2 están desplazadas sobre el eje “x”. y

y

x

80

60

40

f2(x)=x2 20

f3(x)=-(x2+2)

Vértice : Para f1 : V=(1;0) f2 :V=(0;0) x f3 :V=(-2;0) Conjunto imagen: Im(f1)=Im(f2)= [0,+∞)

x=0

18 .

Análisis Matemático I: Funciones

f1(x)=(x+1)2 f3(x)=-(x+2)

2

iv)El caso general, expresado en su forma más simple, canónica, responde a la expresión: f

: R

→

R / f ( x)

= a ( x − α) 2 + β . Esta parábola tendrá su vértice en (α;β), su eje

de simetría en x=α y su conjunto imagen será [β,+∞), si a>0, o bien (-∞,β]. Por ejemplo: f: R → R

/ f( x)

= −2 ( x + 1 ) 2 + 3 y 10

-10

10

x

-10

Si efectuamos las cuentas indicadas obtenemos: En el ejemplo: En general: y= -2(x+1)2 + 3, y= a(x-α)2 + β desarrollando el cuadrado del binomio se tiene 2 y= -2(x +2x +1)+3 y=a(x2 -2αx + α2)+ β 2 y= -2 x - 4x –2 +3 y= a x2 -2aαx +a α2+ β 2 y= -2 x - 4x +1 y= a x2 -2aαx +(a α2+ β) Si la función viene dada por su forma general NO canónica, ¿ cómo la llevamos a la forma más simple? Deberemos “deshacer” las cuentas que acabamos de realizar:

.

En el ejemplo: y= -2 x2 - 4x +1

Análisis Matemático I: Funciones

19

En general: y= a x2 -2aαx +(a α2+ β)

Extraemos como factor común entre el término cuadrático y el lineal, el coeficiente de x2: y=-2(x2 +2x) +1 y=a(x2 -2αx) +(a α2+ β) Dentro del paréntesis, sumamos y restamos el cuadrado de la mitad del coeficiente de x: y=-2(x2 +2x + 1 – 1) +1 y=a(x2 -2αx + α 2 - α 2 ) +(a α2+ β) Los tres primeros términos del paréntesis corresponden a un trinomio cuadrado perfecto: y=-2[(x+1)2 –1] +1 y=a[(x-α)2 -α α 2 ] +(a α2+ β) Aplicamos propiedad distributiva: y=-2(x+1)2 +2+1 y=a(x-α)2 – a α 2 +(a α2+ β) y = - 2 (x+1)2 +3

y= a(x-α)2 + β

20 Análisis Matemático I: Funciones Definidas de R en R , las funciones cuadráticas NO son biyectivas. Sin embargo puede trabajarse con restricciones del dominio y codominio de tal forma que se transformen en biyectivas y sea posible calcular las inversas de las funciones que se obtienen mediante la restricción. Ejemplo: Trabajaremos con la función del ejemplo anterior Ya hemos obtenido su expresión canónica: f: R → R / f ( x ) = −2 ( x + 1 ) 2 + 3 Podemos obtener dos funciones biyectivas: f1

:(

f2 : [

−∞ , −1 ] → ( −∞ , 3 ] / −1 , +∞ ) → ( −∞ , 3 ] /

Existen, por lo tanto,

f

1

= −2 ( x + 1

f1 ( x )

= −2 ( x + 1

f2 ( x )

−1

: (

)

2

+3

2

+3

)

−∞ , 3 ] → ( −∞ , −1

Para encontrar sus fórmulas partimos de :

]

,y

y

f

−1

2

:

= −2 ( x + 1

y

−∞ , 3 ] → [ − 1 , +∞ ) .

(

)

2

+3

Cambiamos el nombre de las variables: x

= −2 (

−3 =( −2

x

Despejamos y: | y

+1

y 3

=

|

y

+1

+1

)

−x 2

)

2

+3

2

⇒

y

+1 =

3

−x

v

2

y

+1 = −

3

−x 2

Si trabajamos con f1 , dbemos obtener imágenes menores o iguales que –1, por lo tanto: y

= −1 −

3

−x 2

.

Es decir, la función inversa de f1 es: f1 − 1 y la función inversa de f2 es :

−1

f2

: (

: (

−∞ ,3 ] → ( −∞ , − 1

−∞ ,3 ] → [ −1 , +∞ ) /

f2

−1

] / f1

( x)

−1

( x)

= −1 +

f(x)

= −1 − 3

3

−x 2

,

−x 2

f(x)

10

10

y=x

y=x f2

f1

−1

x

-10

10 f1

-10

10

−1 f2

-10

3.- Función homográfica

-10

x

21

Análisis Matemático I: Funciones

+b , con c ≠ 0 ∧ ax + b ≠ k ( cx + d ) +d (Las condiciones que se imponen obedecen a que en caso de no cumplirse, la función se reduce a una función lineal)  d  Para que el cociente pueda realizarse, debe ser : cx + d ≠ 0 , ⇒ A = R −  −   c  Como en el caso de la función cuadrática, analizaremos distintos casos particulares hasta llegar al más general. f: A→R, con A⊂R es homográfica si y sólo si f(x)=

a)

− {0 } →

f : R

R / f(x)

=

a

;

x

ax

cx

Im(f)= R-{0}

Independientemente del valor de a, la curva tiene asíntota vertical: x=0 y asíntota horizontal: y = 0. Para reconocer en qué influye “a”, representaremos : f1 ( x )

=

1 x

;

f2 ( x )

=

4

;

x

f3 ( x )

=−

0 ,5 x

;

f4 ( x )

=−

1 x

y

y 10

10

f2

f1 x -10

x -10

10

10

-10

-10

y

y 10

f3

10

x -10

10

-10

f4

x -10

10

-10

22 Análisis Matemático I:Funciones Observamos que el signo de a determina en qué cuadrantes están las dos ramas de la curva : a >0⇒ el gráfico en cuadrantes 1 y 3 a<0⇒ el gráfico en cuadrantes 2 y 4 Además, a mayor valor absoluto de “a”, la curva crece o decrece menos “abruptamente” b) f

: R

− { α} →

R / f(x)

Representaremos :

f1 ( x )

= =

1 x

−α 1

x

y

−4

f2 ( x )

=

1 x

+4

fy

Para f2, la asíntota vertical es x=-4 El dominio es A=R{-4}

Para f1, la asíntota vertical es x=4 El dominio es A=R -{4}

f2

-10

-4

10

4

x

f1

Observamos que la curva experimenta una traslación sobre el eje x, por lo que cambia sus asíntotas verticales. c) f: R → R

/ f( x)

=

1 x

+β

En este caso,la traslación es sobre el eje y. La asíntota horizontal es y =β. El conjunto imagen es Im(f)= R-{β }. 1 1 Veamos algunos ejemplos: f1 ( x ) = 3 + ; f2 ( x ) =− 2 + x

f1

x

y

y

f2

10

10

3 -10

10

x

-10

-2

10

x

-10

-10

d)El caso general , en su forma canónica, responde a la expresión: f

: R

− { α} →

R

por asíntota vertical: x=α.

− { β} /

f ( x)

= β+

a x

−α

, que tiene por asíntota horizontal: y=β, y

23

Análisis Matemático I:Funciones

Ejemplo: f ( x ) =

4

−

3 x

−2

(1)

y

f

10

3 x

2

-10

10

-10

Si operamos resulta que f(x)=

4 ( x −2 )

x

−3

−2

=

4 x x

− 11 −2

(2)

Cabe preguntarse entonces, cómo se obtiene la forma canónica si la función viene dada en su forma más general. En el ejemplo, equivale a preguntarse cómo se pasa de (2) a (1). Haremos la división de los polinomios y expresaremos la fracción como la suma entre el cociente y el resto sobre el divisor. 4 x – 11 -4x + 8 0x -3

x-2

⇒

4 x x

− 11 =4 − −2

3 x

−2

4

4.- Función exponencial f : R

→ R es una función exponencial si y sólo si responde a la forma :f(x)= ax con a>0 y

a≠ 1 (Con la condición a>0 se evitan situaciones tales como (-4)1/2 , y con a ≠ 1, tratar una función constante como si fuese una exponencial)

Características generales: Cualquiera sea a ( siempre que cumpla con las condiciones pedidas), f(0)=1 Si a > 1: ∀x1 , ∀x2 : [ x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 )] , es decir, f resulta estrictamente creciente. (Pensar que, por ejemplo:

2

2

<23)

24 Análisis Matemático I:Funciones Si 0
<

: [ x1

x2

⇒ f ( x1

)

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es decir, f resulta estrictamente

f ( x 2 )]

decreciente -

Dadas dos funciones exponenciales

f ( x)

=a

x

y

g( x)

= b x , si a< b, para un mismo

valor de x, resulta : Bases mayores que 1

x>0 f(x)
x<0 f(x)>g(x)

entre 0 y 1

f(x)>g(x)

f(x)
1  f ( x ) =   2 

f(x)=2x

x

9

9

y y

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3 2

2 1

1 x

0 -3

-2

-1

0

1

2

3

x

0

4

-3

-2

-1

0

1

2

3

25

Análisis Matemático I :Funciones

5.- Función logarítmica Definida de R en R+, la exponencial f(x) = ax con a > 1 y a≠ 0, por lo tanto existe f –1 , definida de R + en R . Para obtenerla cambiamos el nombre de las variables en y = a x , es decir , escribimos: x = a y . Luego despejamos “y”. “y” es el exponente al que hay que elevar a para obtener “x”

y

=

loga

x

Resulta que llamamos función logarítmica a la función f: R + →

R / f( x )

= log

a x,

con a > 0 y a≠ 1 ( porque es la misma “a” que es base de la función exponencial) Las características del gráfico de la función logarítmica dependen de que la base sea mayor que 1 o que esté comprendida entre 0 y 1, y surgen pensando en la simetría que existe entre una función y su inversa.

y y=log y= 2

2

x

x

x

y

y=(0,5)

x

x

y=log

6.- Funciones circulares o trigonométricas

o ,5

x

Análisis Matemático I :Funciones 26

Presentaremos las tres más usadas. a) f: R → R / f ( x ) = sen x y

1

x

-1

b) f: R → R

/ f( x)

= cos

x

y

1

x

-1

c)f:A→R/f(x)= tg x ; A={x ∈ R

/ x

≠ ( 2 k +1

).

π

2

}

27

Análisis Matemático I :Funciones

y

x

Características de las funciones:

•

Las funciónes y = sen x e y = cos x son acotadas . (Imf =[-1,1] ); periódicas con período 2π. La primera es impar (senx=- sen(-x),∀x), y la segunda par (cosx=cos(-x),∀x). La función tangente No es acotada ( su conjunto imagen es R), es impar y periódica con periódo π. Fórmulas usuales de trigonometría:

sen

2

+ cos

a

2

=1

a

sen

a . cos ec a

= 1 , ∀ a ≠ k π , con

cos

a . sec

= 1 , ∀ a ≠ ( 2 k +1

a

= 1 , ∀ a ≠ ( 2 k +1

tg a . cot g a

sen cos 1 1

a

=

a

2

+ tg + cot sen(

=

a g

2

(a ± b )

sen

2a

p

=

a

cos

sen

sec

2

a,

cos ec

± b ) = sen

a

cos 2 a

∀ a ≠ ( 2 k +1

tg a ,

=2

= cos ± sen

2

q

≠

a

2

a . cos

π

).

π

2

).

≠ k π,

± cos

b

).

2 2

, con

+1

(2k

a ,∀ a

a . cos

= cos sen

∀

π

).

∈Z

k

π

2

a . cos a a

− sen

=2

sen

2

a p

±q 2

. cos

p

µq 2

k

k b b

∈Z ∈Z

cos p

cos p

cos

∈Z

, con

con

a . sen

k

, con

k

µ sen a . sen

b

, con

k

∈Z

∈Z

sen

2

2

+ cos − a

a

cos

= =

=2

q

q 1

=−2

+ cos − cos 2

2a

+q

. cos

2 sen

2a

2 1

p

cos

p

+q 2

p

. sen

−q 2 p

−q 2

28 Análisis Matemático I: Funciones 7.- Funciones circulares inversas a) Función Arco seno Definida de R en R , la función y = sen x no es inyectiva ni sobreyectiva, pero puede transformarse en biyectiva con sólo restringirla de [- π/2, π/2] en [-1,1]. Por lo tanto podemos definir su función inversa de [-1,1] en [- π/2, π/2]. Si y = senx, cambiamos el nombre de las variables: x = sen y . Para despejar “y”debemos definir una nueva función: “y” es el arco cuyo seno es “ x”

“y” =

arc sen

“x”

A continuación mostramos los gráfico de ambas funciones y el de la recta y=x respecto de la cual son simétricos

y

y=senx

x

y=arcsen x

Con el mismo criterio se define como inversa de f:[0, - -1

a : f :[-1,1]→[0,

π ]/ f (x)=arc cos x. - -1

π ] →[-1,1]/f(x) = cos x,

29

Análisis Matemático I: Funciones

y y = arc cos x

x

y = cos x

Para que la tangente admita función inversa hay que considerarla definida de en R. Su inversa, y= arc tg x se define de R en (-π/ 2,π/ 2)

y y=tg x

y=arc tgx x

30

Análisis Matemático I: Funciones

8.- Funciones hiperbólicas Veremos sólo tres: a) Sh: R → R

=

/ f ( x)

Shx

Relaciones usuales =

e

− e −x

x

Ch

2

b) Ch:

R

→R

/ f ( x)

=

Chx

=

e

c) Th:

R

→R

/ f( x)

= Thx

=

e

x

Ch

+ e −x

2 2

x x

− Sh

2

+ Sh

2

=1

x

= Ch

2x

Shx

=

Thx

x

Chx

2

e

x x

− e −x

+ e −x

Shx es biyectiva de R en R, por lo tanto admite inversa. Si Shx se expresa a partir de exponenciales, es lógico pensar que su inversa , que se llama “Argumento Sh x”, puede expresarse a partir de logaritmos. y= Shx ⇒

1

x

=

Shy

+ x2 =

4

Resulta:

⇒

=

x

y

e

− e −y 2

+ e 2 y −2 e

y

.e

⇒

−y

x

1

+ x2

e

=

+ e −2 y

x=

e

y

− e −y 2

=

e

y

2y

−2 e

y

.e

−y

+ e −2

y

−y

y

4

|

4

=

e

2 y

+2e

.e

+ e −2

y

4

=

Ch

2

2 y

Sumando miembro a miembro x

y

2

+

1

+ x2 = e

y

⇒

y

= ln[

x

+

1

+ x 2 = ArgSh

+ e −y 2

y

y=Shx

x y=ArgShx

[ x]

31

Análisis Matemático I: Funciones

y y=Chx

y=ArgCoshx

x

32 Análisis Matemático I: Límite Una noción intuitiva del concepto de límite:

•

Se utilizan funciones para describir procesos o fenómenos de índole muy diversa. Es muy común volcar en gráficos resultados experimentales y unir los puntos obtenidos mediante curvas de aproximación que, en general, resultan asociadas a fórmulas conocidas. De ahí la importancia de saber analizar el comportamiento de un gráfico. El cálculo de límites, que históricamente es posterior al concepto de derivada o integral en los que está incluido, es una de las herramientas que proporciona el Análisis Matemático para el conocimiento de algunas características de los gráficos. En tanto hablamos de un “comportamiento” de un gráfico, al calcular un límite puede darse una de estas situaciones: a) que sea un número ( límite finito), quesea, en valor absoluto, mayor que cualquier número positivo que se nos ocurra (límite infinito), o que no podamos definir el comportamiento ( no existe límite) Un ejemplo: Consideremos la función f: A →

R , con

⊂

A

R / f( x )

=

x

3

x

−1 −1

Es obvio que A = R –{1} y que 1 es punto de acumulación de A. Nos interesa preguntarnos si, a pesar de no existir f(1) podemos saber a qué valor se “acercan” las ordenadas de f(x), si es que se acercan a alguno, cuando x se “aproxima” a 1. A continuación mostramos una tabla de valores y el gráfico de la función.

Tabla x

1.25

1.1

1.01

1.001

f(x)

3.813

3.310

3.030

3.003

1 ?

0.999

0.99

0.9

0.5

2.997

2.970

2.710

2.313

y 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 -0.5

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

x

Tanto el gráfico como los cálculos parecen mostrar que a medida que nos acercamos a “1” con las “x”, las ordenadas de la función se acercan a “3”.

33

Análisis Matemático I: Límite

Para mostrar esta situación, escribiremos:

lím

x →1

f( x)

=

x

lím

x →1

3

x

−1 =3 . −1

Pero...¿cada vez que calculemos un límite deberemos hacer una tabla como la que mostramos o representar la función? . No parece muy cómodo. Veamos un procedimiento posible de cálculo: Si factorizamos el numerador de f(x) , podemos escribir: f(x)=

x

3

x

−1 = −1

( x

−1

)( x x

2

+ x +1

Para factorizar x3-1, buscamos una raíz: x3-1=0 ⇒x=1 Aplicamos Ruffini para dividir x3-1 por x-1 1 0 0 -1 1 1 1 1 1 1 1 0

)

−1

La función que se obtiene al simplificar (x-1) en el numerador y el denominador NO es igual a f(x), por que tiene distinto dominio. En efecto , esa función es: g: R → R

=

/ g ( x)

x

2

Entonces: x3-1=(x-1).(x2+x+1)

+ x +1

Sin embargo, el único punto en el que difieren es para x = 1. Como al calcular un límite no nos interesa los que ocurre en el punto sino en sus proximidades, es lícito escribir:

lím

x →1

f( x)

=

lím

x →1

Observación:

x x

g( x)

−1 =1 −1

⇒

lím

( x

x →1

, sólo

−1

).( x x

si x

2

+ x +1

−1

)

=

lím

x →1

( x

2

+ x +1

)

=3

≠ 1 , por eso la palabra límite nos autoriza a simplificar..

Entonces, al decir que el límite de f(x) es 3, cuando x tiende a 1, estamos afirmando que la función se “aproxima” a 3, cuando x está “cerca” de 1. Como las palabras entre comillas resultan ambiguas, deberemos ser más precisos con la expresión. Aproximarse o acercarse significa acortar distancias, es decir hacerlas menor que cualquier número positivo ya que las distancias no pueden ser negativas. (Recordemos que distancia entre dos puntos a y b de una recta es | b-a|) Podemos encarar ahora la definición formal de límite funcional finito para variable finita. y Límite funcional: (límite finito-variable finita)

λ+ε f(x)

λ

λ −ε . Consideremos una función f: A →R / y = f(x) con A ⊆R y también el punto xo , punto de acumulación de A Decimos que

lím f ( x) = l lx → xo

si y sólo si para cualquier nú-

mero positivo ε, es posible determinar otro número positivo δ que dependa de ε, tal que todos los valores de "x" pertenecientes al dominio de f y a un entorno reducido de xo de amplitud δ tengan su imagen a una distancia de "l" menor que En ε. símbolos x0-δ

x x0 xx

x0+δ

x

34 Análisis Matemático I: Límite

lím f ( x ) = l ⇔ ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 / ∀x : [ x ∈ A ∧ x ∈ E' ( x 0 , δ) ⇒| f ( x ) − l |< ε]

x→x 0

Veamos además, que existen sólo dos "formas" de acercarse a xo, por derecha o por izquierda. Estos dos "caminos" permiten definir el concepto de "límite lateral". Si los límites laterales existen y son distintos, no existe límite. Si en cambio, son iguales , el límite existe y es igual a ambos. Límites laterales Definición Considero una función f:A→R, con A⊆ R, y x0 punto de acumulación de A. Decimos que el límite para x→x0 por la derecha es

λ d si y sólo si para cualquier ε >0 es posi-

ble determinar un semientorno reducido de x0, con x > x0, tal que las imágenes de todos los elementos del dominio de la función que pertenecen a dicho semientorno se encuentran a una distancia de

λ d menor que ε.

y

λd + ε

f(x) λd d

x En símbolos: lím f ( x ) x

→ x0

+

= ld ⇔ ∀ε > 0 , ∃δ( ε) > 0 / ∀x

:[ x

∈ A ∧ xo <

x0 x0 +δ

x

<

xo

x

+ δ ⇒| f ( x ) − l d |< ε ]

Con el mismo criterio podemos definir límite por la izquierda:

Decimos que el límite para x→x0 por la izquierda es λ i si y sólo si para cualquier ε >0 es posible determinar un semientorno reducido de x0, con x < x0, tal que las imágenes de todos los elementos del dominio de la función que pertenecen a dicho semientorno se encuentran a una distancia de

λi menor que ε.

y

λ i

λ i

ε En símbolos:

-f(x x0-δ x x0 x

35

Análisis Matemático I: Límite

lím f(x) = li ⇔ ∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 / ∀x : [x ∈ A ∧ xo − δ < x < xo ⇒| f(x) − li |< ε] x → x 0− Por ejemplo: Consideremos la función “parte entera de x”que se simboliza [x]. La parte entera de un número real es el menor de los números enteros entre los que está comprendido. Es decir: [1,3]=1 ; [0,6]=0; [-2,3]=-3; [-π ]=-4 Al representar gráficamente, obtenemos: lím

y

x →1

lím

x →1

1 0

x

+ −

[x]

=1

[ x]

=0

⇒ ∃ lím

x →1

[x]

36

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I:Límite

Propiedades de los límites finitos: Consideremos f A : → R , con A ⊆ R y x0 punto de acumulación de A 1) Si

lím

x → x0

f ( x)

= λ entonces existe un entorno reducido de xo en el que la función permanece

acotada. y

λ +ε λ

λ +ε x 0-δ x 0+δ

2) Si

lím

x → x0

f ( x)

x0 x

= λ y k es un número real tal que λ< k, entonces existe un entorno reducido de

xo en el que la función también es menor que k. Con el mismo criterio si λ> k ‘, entonces existe un entorno reducido de xo en el que la función también es mayor que k ’.

y

x0

x

-9

3)Consecuencia: Si aplicamos la propiedad anterior pensando que k ó k ’ son cero, podemos asegurar que: Si una función tiene límite finito distinto de cero, para x→x0, existe un entorno reducido de x0 en el que la función conserva el signo del límite.

4)Si dos funciones f y g son tales que

lím

x → xo

f(x)

= λ1 ,

lím

x → xo

g ( x)

= λ 2 , siendo λ1 < λ2

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

37

Análisis Matemático I:Límite

entonces, existe un entorno reducido de xo en el que f(x) < g(x).

f(x)

λ1 1

x0

λ2 g(x)

5)Consecuencia Si una función admite límite finito para x→x0, éste es único. En efecto, supongamos que. Si l1 < l2, existiría, por la propiedad 4), un entorno reducido de x0 en el que: f(x)
Si l2 < l1, existiría, por la propiedad 4), un entorno reducido de x0 en el que: f(x)
x → x0

Observación: es importante tener en cuenta que a la desigualdad estricta entre las funciones corresponde una desigualdad en sentido amplio para los límites. y g ( x )

λ 1

f(x)

x

0

x

7) Sean tres funciones f, g y h tales que en un entorno reducido de xo, se verifica que f(x)< g(x)< h(x).

38

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I:Límite

Sí, lím f (x) = lím h(x) = l entonces, lím g(x) = l x → x0

x → x0

x → x0

f(x)

g(x)

h(x)

Teorema El límite para x→0 de senx/x es igual a 1 Tesis:

lím

x →0

sen x

x

=1 Demostración. Q

∩

Considero el arco x= AP / 0< x < =1

OP

A

OM

= cos

x

AM

= sen

x

PQ

=

Resulta: O

M

π 2

tg x

Quedaron formados dos triángulos rectángulos y entre ellos, un sector circular. Se cumple que: ∆

área OMA 1 2

OM

⋅ | MA

)

≤ área ≤

1

V

OPA

⋅x ≤

OP

2

≤ área 1 2

∆ OPQ OP

⋅

PQ

Multiplico por 2 los tres miembros de la desigualdad y reemplazo: cos x ⋅ sen x ≤ 1 . x ≤ 1 . tg x cos x

⋅ sen

x

≤

x

≤

sen

x

cos x

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π

Como para 0 < x <

2

Análisis Matemático I: Límite

, se cumple senx >o, divido los tres miembros de la desigualdad por senx: cos x

-

π 2

x sen

1

<

x

cos x

−x −x = sen( −x ) − sen

Observación: Como cos (-x)= cos x y válida para

<

x

(1)

=

x sen

x

, la relación (1) también es

<x<0.

Invertimos los tres miembros de la desigualdad: 1 cos

Como

lím

x →0

cos x

=

1

lím

x →0 x

>

x

sen

x

cos

>

x

x

⇒

cos x

<

sen x

x

<

1 cos

x

= 1 , por propiedad de los límites finitos1, al tomar límite para x→x0,

resulta: 1

≤

sen

lím

x → x0

x

x

≤1

De donde: lím

sen

x →x 0

x

x

=1

Nota: Se podría haber tomado límite directamente en la relación (1) en cuyo caso se hubiese probado que: x

lím

x →x 0 sen

x

=1

Algunas aplicaciones: sen

a)

lím

x →0

tg x x

=

x

cos x

lím

x →0

x

=

lím

sen

x →0

x

x

⋅

1 cos

x

=1 1

b)

lím

x →0

sen 3 x x

=

lím

x →0

3 . sen

3x

3x

= 3 .1 = 3 1

multiplico numerador y denominador por 3

Infinitésimos

1

Si en un entorno reducido de x o, las funciones f y g, que tienen límite finito para x→x 0, verifican que f(x)
39

40

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Análisis Matemático I: Límite

Una función ϕ(x)es un infinitésimo para x→x0 si y sólo sí

lím

x →x 0

ϕ( x ) = 0

Por ejemplo: f(x) = sen x es infinitésimo para x tendiendo a 0, π, 2π,...,kπ. y

x

g(x)= x3 – x es infinitésimo para x tendiendo a 0 ,a 1y a –1. y

x 0

-1

1

La función h(x)= 0,000001 no es un infinitésimo para ningún valor de x ya que su límite es siempre 0,000001≠0. Importante Toda función con límite finito para x→ →x0 se puede escribir como su límite más otra función que es un infinitésimo para x→ → x 0.

En efecto: Consideremos f:A→R/

lím

x →x 0

f( x)

= λ .Definimos: ϕ

y

f(x)

: A

→

R /

ϕ( x ) =

f(x)

− λ .(*)

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

Resulta

41

Análisis Matemático I: Límite

ϕ( x ) = 0 , entonces de (*) se tiene:

lím

x →x 0

f(x) =

+ ϕ(x), siendo

lím

x →x 0

ϕ( x ) = 0 .

Álgebra de infinitésimos 1)La suma de dos funciones que sean infinitésimos para x→x0 es un infinitésimo para x→x0 Hipótesis: lím ϕ1 ( x ) = 0 ; lím ϕ2 ( x ) = 0 x →x 0

Tesis:

lím

x →x 0

(ϕ

x → x0

1 ( x)

+ ϕ2

( x)

)=0

Demostración: Por definición de límite, si: lím

x →x 0

ϕ1

( x)

=

0

⇒ ∀ ε > 0 , ∃ δ 1 ( ε) >

0 /

∀x

: x

[

∈Dϕ ∧

x

∈ E '( x 0 ; δ1

0 /

∀x

: x

[

∈Dϕ ∧

x

∈ E '( x 0 ; δ2

)

⇒ ϕ1

( x)

]

− 0 < ε (1)

Del mismo modo, si: lím

x →x 0

ϕ2

( x)

Si llamamos ∀x

:[x

=

0

⇒ ∀ ε > 0 , ∃ δ 2 ( ε) >

3 −x −1 : ( ,3] [ 1 , ) / f2−1 ( x) −∞ → − +∞ =−1 +

f2

∈ D ϕ1 ∩ D ϕ 2 ∧

⇒ ϕ2

( x)

]

− 0 < ε (2)

, podemos asegurar al sumar miembro a miembro (1) y (2)que:

2

x

)

∈ E ' ( x 0 ; δ ) ⇒ ϕ1

( x)

+ ϕ2

(x)

<2ε

ε

'

Como el módulo de una suma es siempre menor o igual que la suma de los módulos, resulta: ϕ1

( x)

+ ϕ2

( x)

≤| ϕ1

( x) |

+ | ϕ2

( x) |

Por propiedad transitiva podemos asegurar que: ϕ1

( x)

+ ϕ2

( x)

< ε'

42

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I: Límite

Es decir, se ha probado que: ∀ε > 0 , ∃ δ = mín{ ∀x

: [x

∈ D ϕ1 ∩

D

ϕ2 ∧

∈ E ' ( x0 ; δ) ⇒

x

[ ϕ1 ( x )

Entonces: lím

δ1 ; δ 2 ) > 0 /

x →x 0

(ϕ

1 ( x)

+ ϕ2 ( x )] − 0 < ε' + ϕ2

]

)=0

( x)

2)El producto de dos funciones que sean infinitésimos para x→x0 es un infinitésimo para x→x0. Hipótesis: lím ϕ1 ( x ) = 0 ; lím ϕ2 ( x ) = 0 x →x 0

Tesis:

(ϕ

lím

x →x 0

x → x0

1 ( x)

)

⋅ ϕ2 ( x ) =

0

Demostración: Por definición de límite, si: lím

x →x 0

ϕ1

( x)

=

0

⇒ ∀ ε > 0 , ∃ δ 1 ( ε) >

0 /

∀x

: x

[

∈Dϕ ∧

x

∈ E '( x 0 ; δ1

0 /

∀x

: x

[

∈Dϕ ∧

x

∈ E '( x 0 ; δ2

)

⇒ ϕ1

( x)

]

− 0 < ε (1)

Del mismo modo, si: lím

x →x 0

ϕ2

( x)

=

0

⇒ ∀ ε > 0 , ∃ δ 2 ( ε) >

Si llamamos δ = mín que: ∀x

: [x

{ δ1 ;

)

⇒ ϕ2

( x)

∈ D ϕ1 ∩ D ϕ 2 ∧ x ∈ E ' ( x 0 ; δ ) ⇒ ϕ1

⋅ ϕ2 ( x )

=| ϕ1

(x)

( x) |

⋅ | ϕ2

⋅ ϕ2 ( x ) < ε 2

ε

( x) |

Por propiedad transitiva podemos asegurar que: ϕ1

( x)

⋅ ϕ2 ( x )

< ε'

Es decir, se ha probado que: ∀ε > 0 , ∃ δ = mín{

δ1 ; δ 2 ) > 0 /

∀x

⋅ ϕ 2 ( x )] − 0 < ε' ]

:[x

∈ D ϕ1 ∩ D ϕ 2 ∧

x

]

− 0 < ε (2)

δ2 } , podemos asegurar , si multiplicamos miembro a miembro (1)y(2), '

Como el módulo de un producto es igual al producto de los módulos,se tiene: ϕ1

( x)

∈ E '( x 0 ; δ) ⇒

[ ϕ1 ( x )

Entonces: lím

x → x0

(ϕ

1 ( x ).

)

ϕ2 ( x ) = 0

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I: Límite

43

3) Producto de un infinitésimo por una función acotada Ejemplo: Consideremos la función

f : R

-

{0 }

®

R / f ( x)

=

p

sen

x

Veamos su gráfico:

Observamos que en un entorno reducido de 0 la función no está definida y oscila , es decir π ∃ lím sen , aunque la función permanece en [-1,1]. x →0

x

Veamos ahora el gráfico de

Vemos que ∃

lím

x →0

x sen

π x

g : R

−{0} →

R / g ( x)

=

x

⋅ sen

π x

=0, ya que si bien la función oscila en un entorno reducido de cero, esa

“oscilación” es cada vez menor.

44 U.T.N.

Análisis Matemático I: Límite

Facultad Regional Avellaneda

El producto de un infinitésimo para x→x0 por una función acotada en un entorno reducido de xo es un infinitésimo para x→x0 H) lím ϕ( x ) = 0 x →x 0

f(x)/ ∀x ∈ E ' ( x o ; h ) T)

lím

f ( x ).

x → x0

:


f ( x)

, con

k

∈R +

ϕ( x ) = 0

Demostración: Por definición de límite, si: lím

x →x 0

ϕ

( x)

= 0 ⇒ ∀ ε > 0 , ∃ δ 1 ( ε) > 0

/

Además , por hipótesis: ∀x ∈ E ' ( x o ; h ) Si llamamos δ = mín que: ∀x

:[x

{

δ1

; h

∈ D ϕ ∩ Df ∧

x

}

∀x

:

[∈

: x

f ( x)

Dϕ


∧ x ∈ E ' ( x0 ; δ1

, con

)

⇒ ϕ

( x)

]

− 0 < ε (1)

∈ R + (2)

k

, podemos asegurar , si multiplicamos miembro a miembro (1)y(2),

∈ E ' ( x 0 ; δ) ⇒ ϕ

( x)

⋅

f ( x)


ε‘

Como el módulo de un producto es igual al producto de los módulos,se tiene: ϕ( x ) ⋅ f ( x )

=| ϕ

( x) | ⋅ | f( x) |

Por propiedad transitiva podemos asegurar que: ϕ Es decir, se ha probado que: ∀ε > 0 , ∃ δ = mín{ ∀x

:[x

∈ D ϕ ∩ Df ∧

x

∈ E '( x 0 ; δ) ⇒

[

δ1

( x)

;h )

⋅ f ( x ) < ε'

>0

/

ϕ( x ) ⋅ f ( x )] − 0 < ε' ]

Entonces: lím

x → x0

(ϕ( x ). f ( x ) ) = 0

Cociente de dos infinitésimos El cociente de dos infinitésimos puede dar: a) 0 Ejemplo:

lím

x →0

x

2

x

=

lím

x →0

x

=

0

. Se dice que el infitésimo que está en el numerador es de orden

superior. Significa que el infinitésimo del numerador tiende a cero con “mayor velocidad”

y=x 2

y=x

b) ∞

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

Ejemplo:

lím

x

x →0 x

2

=

lím

1

x →0 x

Análisis Matemático I: Límite

45

= ∞ . Obviamente significa que el infinitésimo del numerador es de

menor grado que el del que está en el denominador. c) k/ k≠0, k≠1 Ejemplo:

lím

x →2

x

2

−4 = lím −2 x →2

x

( x

− 2 ).( x + 2 ) = lím ( x + 2 ) = x −2 x →2

4

d) 1 Ejemplo: lím

x →0

sen x

x

= 1 . En este caso se dice que los infinitésimos son equivalentes.Significa que en un

entorno del punto en el que se da esta situación las dos funciones son prácticamente iguales.

y= x

y= sen x

Observación: Estos ejemplos muestran que no puede formularse conclusión alguna acerca del cociente de infinitésimos. es por eso que

0 0

es una indeterminación.

Los casos de indeterminación son:

0 0

,

∞ , ∞

0.

∞ , ∞ − ∞, 1 ∞ ,0 0 , ∞0

46

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I: Límite

Álgebra de límites finitos 1) Si dos funciones tienen límite finito para x→x0, entonces el límite de su suma es igual a la suma de sus límites. Hipótesis: lím f (x) = λ 1 ; lím g(x) = λ 2 x → x0

x →x 0

Tesis: lím (f(x) + g(x) = λ 1 + λ 2 x → x0

Demostración: Por definición de límite, si: lím

x →x 0

f( x)

= λ 1 ⇒ ∀ ε > 0 , ∃ δ 1 ( ε) >

0 /

[

∀x

: x

∈Df ∧

∈ E '( x 0 ; δ1

x

)

⇒

f( x)

]

− λ 1 < ε (1)

Del mismo modo, si: lím

x →x 0

g ( x)

=

0

⇒ ∀ ε > 0 , ∃ δ 2 ( ε) >

Si llamamos δ = mín

{ δ1 ;

∀x

x

: [x

∈D f ∩Dg ∧

0 /

∀x

[

: x

∈Dg ∧

x

∈ E ' ( x 0 ; δ2

)

⇒

g ( x)

]

− λ 2 < ε (2)

δ2 } , podemos asegurar al sumar miembro a miembro (1) y (2)que:

∈ E ' ( x 0 ; δ) ⇒

− λ1 +

f( x )

g ( x)

− λ2 < 2 ε

ε

'

Como el módulo de una suma es siempre menor o igual que la suma de los módulos, resulta:

[f( x)

− λ1

]

+[ g ( x ) − λ2

]

≤|

f ( x)

− λ1

|

Por propiedad transitiva podemos asegurar que: Es decir, se ha probado que: ∀ε > 0 , ∃ δ = mín{

∀x

: [x

∈ D f ∩ D g ∧ x ∈ E ' ( x0 ; δ) ⇒

[f( x)

Entonces: lím

x → x0

+|

g ( x)

[f( x)

− λ2

|

+ g(x)

]

− ( λ1 + λ2

)

< ε'

δ1 ; δ 2 ) > 0 /

+ g ( x )] − ( λ 1 + λ 2

(f ( x ) + g ( x ) ) = λ

1

)

< ε' ]

+ λ2

2) Si dos funciones tienen límite finito para x→x0, entonces el límite de su producto es igual al producto de sus límites. Hipótesis: Tesis:

lím

lím

x →x 0

x → x0

f( x)

= λ1

;

(f ( x ). g ( x ) = λ

1

lím

x → x0

.λ2

g( x)

= λ2

.

Demostración: Vimos que si una función tiene límite finito para x→x0 , la función se puede escribir como la suma entre su límite y otra función que es infinitésimo para x→x0.

Entonces:

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda lím

f( x)

= λ 1 ⇒ ∃ ϕ1

lím

g( x)

= λ 2 ⇒ ∃ϕ 2 ( x ) /

x → x0

x →x o

47

Análisis Matemático I: Límite

= ϕ1

( x) / f ( x )

+ λ1

( x)

= λ 2 + ϕ2

g( x)

,siendo

lím

x →x 0

( x ) siendo

lím

x →x o

ϕ1

=

( x)

0

ϕ2 ( x ) = 0

Entonces podemos escribir:

= ⋅[λ 1 + ϕ1

f ( x ). g ( x )

( x)

]⋅ [λ

2

+ ϕ 2 ( x ) ] = λ 1 ⋅ λ 2 + λ 1 ⋅ ϕ 2 ( x ) + λ 2 . ϕ1

( x)

+ ϕ1

( x)

⋅ ϕ2 ( x )

Tomamos, en ambos miembros, límite para x→x0 lím

x → x0

=

[ f ( x ). g ( x )]

lím

x → x0

(

λ 1 . λ 2 ) + lím ( λ 1 . ϕ 2 ( x )) + lím ( λ 2 . ϕ1 ( x )) + lím ( ϕ1 ( x ). ϕ2 ( x )) x → x0 x → x0 x → x0

es constante

son 0 por ser producto de infinitésimo por función acotada

Resulta: lím

x → x0

(f ( x ). g ( x ) = λ

es 0 por ser producto de infinitésimos

.λ2

1

3) El límite de un cociente de dos funciones que tienen límite finito para x→x0 , es igual al cociente de los límites, siempre que el límite de la función que está en el denominador sea distinto de cero. 4) Si

5) Si

6)Si 7)Si

lím

x →x 0

lím

x →x 0

lím

x →x 0

lím

x →x 0

f( x)

f( x)

f( x)

f( x)

entonces

=λ

=λ

[f ( x ) ]

n

y k ∈ R + , entonces

=λ

= λ1

lím

x → x0

;

lím

x → x0

g( x)

lím

n

= λ .(Si n es fraccionario, debe ser λ >

x → x0

k

f(x)

=k

lím

x →x 0

ln[

f ( x )]

= ln λ

)

λ

= λ 2 , y λ 1 > 0 ∧ λ 1 ≠ 1 , entonces

> 0, entonces

0

lím

x →x 0

[f ( x ) ]

g ( x)

= λ1

λ2

48

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I: Límite

Generalización del concepto de límite 1.- Límite finito variable infinita: Sea f:A→R, con A⊆ R, A no acotado lím

x →∞

f(x)

= l ⇔ ∀ε > 0 , ∃ δ( ε ) > 0

/

∀x

:[x

∈A∧|

x |

> δ ⇒|

f ( x)

− l |< ε]

f (x’)

λ λ

x’

-

+

λ

f(x)

ε

ε

-δ

-δ

x

Esta definición puede dividirse en dos , si se considera x→+ ∞ ó x→- ∞. 2.- Límite infinito variable finita Sea f:A→R, con A⊆ R, xo punto de acumulación de A. lím

x →x 0

f( x)

= +∞ ⇔ ∀ε >

0,

∃ δ( ε) > 0

/

∀x

:[ x

∈A ∧

x

∈ E '( x 0 ; δ) ⇒

f( x)

> ε]

g( x)

< − ε]

f(x )

ε x0-δ

x0 x0+δ x

Sea g:A→R, con A⊆ R, xo punto de acumulación de A. lím g ( x ) = −∞ ⇔ ∀ ε > 0 , ∃ δ( ε ) > 0 / ∀x : [ x ∈ A ∧ x ∈ E ' ( x 0 ; δ ) ⇒ x →x 0 x x0-δ x +δ

x0

-ε g(x) (sin signo).1 También puede definirse límite infinito

1

Hay autores que consideran que, en este caso, el límite no existe.

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda lím

x →x 0

h( x)

49

Análisis Matemático I: Límite

= ± ∞ ⇔ ∀ε > 0 , ∃ δ( ε ) > 0

/

∀x

:[x

∈ A ∧ x ∈ E ' ( x 0 ; δ ) ⇒| h ( x )

|

> ε]

y h(x’

) ε

x’ x

x

ε h(x ))

3.- Límite infinito, variable infinita Sea f:A→R/ A⊆ R y A no acotado. y

lím

x → +∞

ε δ

f(x)

= −∞ ⇔ ∀ε > 0 , ∃ δ( ε) > 0

/

∀x

:[ x

∈A ∧

x

>δ⇒

x

x

-ε f(x)

Con el mismo criterio puede definirse límite igual a menos infinita para x tendiendo a más infinito, ó límite igual a infinito (sin signo) para x tendidendo a menos infinito, etc.

f(x)

< − ε]

U.T.N. nuidad Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I: Conti-

50

Continuidad de una función en un punto Consideremos una función f:A→R, con A⊆ R, y x0 punto de acumulación de A. Decimos que f es continua en x0 si y sólo si se cumplen las siguientes tres condiciones: 1.- ∃ f ( x 0 ) 2.-∃ límf ( x) finito x→ x 0 3.- límf ( x) = f (x0) x→ x 0 Cuando alguna de las condiciones falla, se dice que f es discontinua en x0 . Si es discontinua pero existe límite finito, la discontinuidad es evitable, en caso contrario es esencial. y

Esta función presenta una discontinuidad esencial en x=2 pues

f

lím f ( x) = ∞ x→ 2

x 2

-30

y

Esta función presenta una discontinuidad evitable en x=1 pues aunque no está definida en ese punto tiene límite finito cuando x tiende a 1.

x 1

Esta función presenta una discontinuidad esencial en x=1 pues como los límites laterales son distintos, no tiene límite.

y

x 1

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Análisis Matemático I: Conti-

51

Esta función presenta una discontinuidad evitable en x = 1 porque aunque está definida en 1 y tiene límite para x tendiendo a 1, ambos valores son distintos. y

f(1

) λ

1

1

x

Álgebra de funciones continuas. La suma (o producto) de dos funciones continuas en x = x0 es una función continua en x = x0. El cociente de dos funciones continuas en x = x0 es una función continua en x = x0 sólo si la función que figura en el denominador no se anula en x0. Continuidad lateral f es continua a derecha en x = x0 si y sólo si se cumplen las siguientes tres condiciones: 1.- ∃ f ( x 0 ) 2.-∃ límf ( x) finito y f(x 0) x→ x + 0 3.- límf ( x) = f (x0) x→x + x 0 x y f es continua a izquierda en x = x0 si y sólo si se cumplen las siguientes tres condiciones: 1.- ∃ f ( x 0 ) y 2.-∃ límf ( x) finito x→ x − 0 f(x 0) 3.x x0

límf ( x) = f (x0) x→x − 0

Continuidad en un intervalo cerrado f es continua en el intervalo cerrado [a,b] si y sólo si : f es continua ∀x ∈ (a,b) , f es continua a derecha en a y f es continua a izquierda en b. Gráficamente decir que una función es continua en un intervalo cerrado significa decir que los extremos del arco de curva que la representa están “pegados” al arco.

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Análisis Matemático I: Conti-

y

y

f es continua en [a,b]

52

g es continua en (a,b) pero no en [a,b]

x a

x

Propiedades de las funciones continuas en un intervalo cerrado 1.- Primer teorema de Weierstrass Toda función continua en un intervalo cerrado permanece acotada en él f continua en [a,b] ⇒

∃ k ∈ R + / | f ( x )| < k , ∀x ∈ [ a, b ]

2.- Segundo teorema de Weierstrass Toda función continua en un intervalo cerrado alcanza en él un máximo y un mínimo absoluto. y

f continua

en [a, b]

⇒ ∃c∈ [ a , b ] / f ( c ) es

∃d ∈ [ a , b ] / f ( d ) es

mín

.absoluto

Máx . absoluto

y

M

.

m

a c b=d

x

3.- Teorema de los ceros de Bolzano Si una función es continua en un intervalo cerrado y tiene valores de distinto signo en los extremos del mismo, entonces existe por lo menos un punto interior al intervalo en el que la función se anula. y

H) f continua en [a,b] Sg[f(a)] ≠ Sg [f(b)] T)

∃ c ∈ ( a, b ) / f ( c) = 0

4.- Teorema del valor intermedio

a b

c x

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Análisis Matemático I: Conti-

53

Si f es continua en un intervalo cerrado y k es un número comprendido entre el mínimo y el máximo absoluto que la función alcanza en él, entonces existe por lo menos un punto interior al intervalo en el que la función es igual a k. H) f continua en [a,b] T) ∃ c ∈ (a , b) / f ( c) = k M máximo absoluto de f en [a,b] m mínimo absoluto de f en [a,b] k∈R/m
f(b

f(a x a

c

b

54

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Análisis Matemático I: Derivada

Derivación de funciones escalares 1.- Derivada de una función en un punto Introducción: El cálculo diferencial forma, junto con el cálculo integral, una de las ramas más importantes de la Matemática. Vivimos en un mundo caracterizado por cambios continuos. Es importante desarrollar métodos matemáticos para cuantificar, describir, y pronosticar estos cambios. Éste es el propósito del cálculo diferencial: es la Matemática de los cambios. Todo el cálculo diferencial se puede reducir a un concepto fundamental: la razón de cambio. Siempre que dos magnitudes (variables) estén conectadas por una función, se puede estudiar el cambio relativo de una con respecto a la otra. Algunas razones o tasas de cambio tienen nombres especiales: la razón de cambio de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad, la razón de cambio del tamaño de una persona en relación con su edad es la tasa de crecimiento, etc. Ejemplo: El combustible de un cohete se quema en 180 seg. En los primeros t segundos (0≤t≤180), el cohete alcanza una altura de t2 km sobre la Tierra. Calculamos las variaciones de altura correspondiente a los intervalos de tiempo [t0; t1 ] y determinamos la relación (tasa de cambio) entre ambas variaciones (velocidad media). to (seg) t1 (seg) h0 (km) h1 (km) ∆t (seg.) ∆h ( Km) ∆h  Km    Vel.media= ∆t  seg  1 1.5 1.9 2 2 2

2 2 2 3 2.5 2.1

1 2.25 3.61 4 4 4

4 4 4 9 6.25. 4.41

1 0.5 0.1 1 0.5 0.1

3 1.75 0.39 5 2.25 0.41

3 3.5 3.9 5 4.5 4.1

Observamos que a medida que los intervalos de tiempo alrededor de 2 seg, son menores, la velocidad media se va acercando al 4. Es decir, alrededor del instante t= 2 seg, las velocidades medias se van aproximando a 4 km/seg. Si consideramos que la relación entre la altura y el tiempo transcurrido es h(t) = t2, la velocidad media en el intervalo [2; t] ó [t;2] es v m =

h( t ) t

− h (2 ) = −2

t

2

t

−4 −2

Para calcular la velocidad en el instante t0 = 2 seg, deberemos considerar el límite para t→2 de la velocidad media: v (2 )

=

lím t →2

t

2

t

−4 = −2

lím t →2

(t

− 2 ).( t + 2 ) = t −2

lím ( t

t →2

+ 2 ) = 4 (Km/seg)

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55

Análisis Matemático I: Derivada

Interpretemos estas relaciones geométricamente. Grafiquemos la función h(t)= t2, con 0≤t≤180

h(en k m )

35000

30000

25000

20000

15000

10000

5000

t(en seg) 0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Como nos interesa trabajar cerca de 2 segundos ampliaremos la parte del gráfico que está remarcada. Hemos dibujado dos rectas secantes , las correspondientes a los intervalos [1,2]y [2,3].

h (en k m )

4 t (en seg.)

0

0

1

2

3

5

56

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Análisis Matemático I:Derivadas

Las pendientes de estas rectas secantes corresponden a los cocientes

∆h (velocidad media) ∆t

para cada uno de los intervalos mencionados. Cuando ∆t → 0 , las rectas secantes van “deslizándose” hasta coincidir ambas, teniendo un solo punto en común con la curva, el punto (2;4). En esa posición límite, que corresponde a la recta tangente, la pendiente está dada por el límite para ∆t → 0 , del cociente

∆h . Es decir, la pendiente de la recta tangente representa la vel o∆t

cidad instantánea para t = 2 seg.

h (en k m )

t

4 t ( en seg)

0

0

2

Definición Sea f: A → f(x)

R ,

con A⊆ R, y sea x 0 interior a A P

∆f

f(x 0)

Po

x0

Se llama derivada de f en xo al límite, si existe, del cocienf(x) − f(x 0 ) te , cuando x → x 0 . x − x0

∆x

Notación: f ’(x o)=Df(x o)=

x

dy dx x

0

Resulta: f(x) − f(x 0 ) x − x0 Como una derivada es un límite pueden darse una de estas tres situaciones: que sea un número, que sea infinito o que no exista. f' (x 0 ) = lím

x → xo

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57

Análisis Matemático I:Derivadas

Definición: f es derivable en x o si y sólo si existe y es finito el límite para x → x 0 de

f(x) − f(x 0 ) x − x0

Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto El cociente P

f(x)

∆f

s

mental), representa la pendiente de la recta secante a la curva C, representativa de la función. Cuando x → x 0 , el punto P “resbala” sobre

Po

f(x 0)

t t

la curva hasta coincidir con P0, la recta secante alcanza una posición límite que corresponde a la recta tangente.

∆x x0

f(x) − f(x 0 ) (cociente increx − x0

x

Entonces, si la recta secante tiende a la recta tangente, y el cociente incremental tiende a la derivada, resulta que: La derivada de una función en x0 representa , si existe y es finita, la pendiente de la recta ta ngente a C en P o.

Recta tangente y normal a una curva en un punto Teniendo en cuenta: a) la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto; b) la ecuación de la recta que pasa por un punto con pendiente conocida: y – y 0 =m.(x – x 0),

y

c) que si dos rectas perpendiculares tienen pendientes no nulas, el producto de las mismas es igual a –1, podemos sintetizar en este cuadro cómo se obtienen las ecuaciones de las rectas ta ngente y normal a C en P 0 . Si el límite del cociente in - entonces la ecuación de la y la ecuación de la recta norcremental dá: recta tangente es: mal es: x=x y=f(x0) 0 +∞ ó - ∞ 0

y=f(x0)

f ‘(xo)≠0

y- f(x 0)=f’(x 0).(x -x0 -)

x=x 0 y - f(x 0 )=

−1 f ' ( xo )

(x -x0 -)

Ejemplos: Calcular, si existen las derivadas de cada una de las siguientes funciones en los puntos que se indican. Hallar, si es posible, la ecuación de la recta tangente y normal a las respectivas curvas en esos puntos.

Comentario:

58

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1

I) f(x) =

f ' ( x0 )

en x 0= 1

x

=

Análisis Matemático I:Derivadas

f( x)

lím x

→ xo

x

− −

1 f ( x0 ) x0

⇒

=

f '(1 )

lím

→1 x

x

1

−1

x

=

−1

x

lím x

−x

−(1 − x)

→1

=

lím

→1

x

−

1 x

= −1

La ecuación de la recta tangente en P0(1;1) es: y – 1= -1.(x-1) ⇒y= -x +1 +1 ⇒ y = -x + 2 La pendiente de la perpendicular es m = 1, entonces la ecuación de la recta normal en P 0(1;1) es: y – 1= 1.(x-1) ⇒ y= x

y n

2 1 x -2

-1

1

2 t

-1 -2

II) g(x)=

g '( x 0 )

3

=

x

−1

lím

x → xo

en x0=1 g(x )

−

g ( x0 )

x

−

x0

⇒

g '( 1 )

=

3

lím x

x

→1

−1 − 0 = x −1

lím x

(x

→1

−1 ) x −1

1

3

=

1

lím x

→1

(x

−1

La ecuación de la recta tangente en P 0(1;0) es: y=0, y la ecuación de la recta normal es x=1. 2,5 y

2 1,5 1 0,5 x

n

0 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1 0 -0,5

1

2

-1 t

-1,5 -2 -2,5

3

4

5

6

7

8

9

10

)

2

= +∞ 3

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III) h(x)= -x

2

h' ( x0 ) = lím

x → xo

h' (2) = lím

x→2

Análisis Matemático I:Derivadas

+ 4x -1 en x 0=2 h( x) − h(x0 ) ⇒ x − x0

− x2 + 4 x − 1 − ( − 22 + 4 . 2 − 1) − x2 + 4x − 4 − ( x − 2)2 = lím = lím =0 x−2 x→2 x−2 x→2 x −2

La ecuación de la recta tangente es y=3, y la de la recta normal es x=2

n

4

y

t

3 2 1

x

0 -2

-1

0

1

2

3

4

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

IV) j(x)= |2x-4| + 3 en x0 =2 j' (x 0 ) = lím

x →x o

j' (2) = lím

x →2

j(x) − j(x 0 ) ⇒ x − x0

| 2x − 4 | +3 − (| 2.2 − 4 | +3) 2| x − 2| = lím ⇒ x−2 x→ 2 x−2

5

6

59

60

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Análisis Matemático I:Derivadas

 2|x − 2| 2(x − 2)  lím = lím =2 + x −2  x → 2+ x − 2 x → 2 j' (2) =   lím 2 | x − 2 | = lím − 2(x − 2) = −2  x → 2− x − 2 x−2 x →2 − 

    ⇒ ∃ j' (2)  

Observación: Los límites laterales del cociente incremental reciben el nombre de derivadas laterales. Para que la función sea derivable las derivadas laterales deben ser finitas e iguales

10

y

9

En xo =2 la función no es derivable, por lo tanto no admite recta tangente

8 7 6 5 4 3 2

x

1 0 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

2.-Relación entre continuidad y derivabilidad

Teorema: Condición necesaria para que una función sea derivable Si f es derivable en x0 entonces es continua en x0. Demostración: Alcanza con probar que

lím f(x ) = f(x o )

x → x0

En efecto: f derivable en x 0 ⇒ ∃ y es finito el lím

x → x0

f(x) − f(x 0 ) f(x) − f(x 0 ) ⇒ lím = f ' (x 0 ) x − x0 x → x0 x − x0

Pero si una función tiene límite finito se puede escribir como suma de su límite más un infinitésimo, es decir: f(x) − f(x 0 ) = f' (x 0 ) + ϕ(x ) , con lím ϕ(x ) = 0 ⇒ x − x0 x → x0

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f( x)

− f(

f( x)

=

x0 )

f ( x0 )

Análisis Matemático I:Derivadas

61

= f' (x 0 ).(x − x 0 ) + ϕ(x ).(x − x 0 ) ⇒ + f' (x 0 ).(x − x 0 ) + ϕ(x ).(x − x 0 ) ⇒

lím f(x) = lím f(x 0 ) + lím [f ' (x 0 ).(x − x 0)] + lím [ϕ(x).(x − x 0 )]

x → x0

x → x0

cte

x →x 0

.

x →x 0

cte

.

lím f(x) = f(x 0 ) + f' (x 0 ).0 + 0. 0 ⇒ lím f(x) = f(x 0 ) ⇒ f es continua en x0

x → x0

x → x0

IMPORTANTE:La propiedad recíproca no es cierta. Una función puede ser continua en un punto pero NO ser derivable en él. Ejemplo: y = |2x- 4 | + 3 en x0 =2 (ver que no es derivable en pág 60) Sin embargo, es continua , ya que y(2)=3 lím (| 2x − 4 | +3) = lím (| 2x − 4 | +3) = 3

x →2 +

x →2 −

3.- Función derivada La derivada de una función en un punto, si existe, es un número. Consideremos f:A→R y llamemos B al subconjunto de A / f(x) − f(a) lím }; podemos definir una nueva función de B en R que a x →a x−a cada elemento a de B le asigne como imagen el correspondiente valor del límite del cociente incremental, es decir, el valor de f ‘(a). Esta función recibe el nombre de función derivada de f. B={a ∈ A/ ∃ y es finito

62

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Por ejemplo: Consideremos f(x) = sen x, y calculemos el valor de su derivada para un punto a genérico. f (x) − f (a) sen x − sen a ⇒ f ' (a) = lím x→ a x−a x →a x−a

f ' (a) = lím

Como sen p – sen q = 2 sen

2 sen f ' (a) = lím

x →a

p−q p+q cos , resulta: 2 2

x−a x+a x−a . cos sen 2 2 2 . cos x + a = cos 2 a = cos a = lím 2 x −a x−a 2 2 x →a .2 2 multiplicando y dividiendo por 2 el denominador

1

Resulta que la función derivada de f(x) = sen x es f ‘(x)= cos x

Derivadas sucesivas En tanto definimos a f ’ como la función derivada de f, podemos definir, con el mismo criterio, la derivada de f ‘, que llamaremos derivada segunda de f e indicaremos f “, a la derivada de ésta (f “’), y así sucesivamente. podemos definir, si existe, la derivada n-sima de f. Reglas y fórmulas de derivación Demostraremos a continuación algunas reglas y fórmulas de derivación que nos permitirán en la mayoría de los casos, conocer la derivada de una función en distintos puntos sin necesidad de aplicar, en cada caso, la definición.

REGLAS Y FÓRMULAS DE DERIVACIÓN

63

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FUNCIÓN

DERIVADA y’= u’(x)+v’(x)

y = u(x)+v(x) y= u(x).v(x)

y=

u( x ) v (x )

y= k. u(x)

=

u' (x).v(x) − u(x).v' (x)

n

x

DERIVADA

y= arc sen x y= arc cos x

y '= −

y = arc tg x

y '=

v (x) y ’= k. u ‘(x)

y= arc cosec x

y' =

1

n-1

1

1− x 2 1 1− x 2 1 1+ x 2

x x2 − 1

−1

y '=

si |x|>1

si |x|>1

x x 2 −1 −1 y '= 1+ x 2

y = arc cotg x

y’=n. X y' =

y = arc sec x

1

y '=

2

y’=1

y =x

y

y' =

y’=0

y= k

y = x

y’= u’(x).v(x)+u(x).v’(x)

FUNCIÓN

y’= Ch x

y=Shx y=Chx

y’= Sh x

2 x

y = sen x

y’=cos x

y=Th x

y’= Sech2 x

y = cos x

y’=- sen x

y= Sech x

y’= - Sech x. Th x

y= tg x

y’= sec2 x

y = Cosech x

y’= Cosech x. Cotgh x

y = sec x

y’= sec x. tg x

y= Cotgh x

y’= - Cosech2 x

y= cosec x

y’= - cosec x. cotg x

y= Arg Shx

y = cotag x y = ex y= ax

y ‘= - cosec2 x y’= ex y’=ax lna

y= Arg Chx y=Arg Thx y=(f

o

g)(x)

y’=

y '= y '=

1 x2 +1 1

x2 −1 1

si |x| <1

1− x 2

y’= f ’u

si |x|<1

o

g ‘x

siendo u = g(x) y = ln x

y '=

1 x

Deducciones de reglas de derivación: a) Derivada de una suma de funciones

64

U.T.N. Análisis Matemático I: Derivadas Facultad Regional Avellaneda

Hipótesis: f(x)= u(x) + v(x) u(x) y v(x) derivables en x=a

Tesis: f ‘(a)= u’(a)+ v ’(a)

Demostración:

f'(a )

=

lím x →a

f'(a )

=

lím x →a

b)

f( x) x

[ u ( x)

−

f( a )

⇒

−a −

u ( a )] x

=

lím x →a

+ [ v ( x) −

v ( a )]

f '( a )

[ u( x)

+

v ( x )] x

=

−a

lím x →a

u ( x) x

−[u

+

(a)

v ( a )]

−a −u(a) −a

+

lím x →a

⇒

v ( x) x

−

v(a)

−a

=

u '(a )

+

v'(a )

Derivada de un producto de funciones

Hipótesis: f(x)= u(x) . v(x) u(x) y v(x) derivables en x=a

Tesis: f ‘(a)= u’(a).v(a)+ u(a).v ’(a)

Demostración: f'(a )

=

numerador

=

lím x →a

f'(a )

=

lím x →a

f'(a )

=

lím x →a

def. de derivada

=

x

−

f(a )

⇒

−a

=

f '( a )

lím x →a

u ( x ). v ( x ) x

−

u ( a ). v ( a )

−a

⇒

sumamos

y restamos

en

u ( a ). v ( x )

f'(a )

f'(a )

f( x)

lím x →a

u '(a )

u ( x)v( x)

−

u ( a ). v ( x ) x

u ( x) x

u ( x) x

−u(a)

v( x)

−a −u(a) −a

+

lím x

→

v (a)

+

−a

lím u(a) x →a

v( x) a

(*) .

+ u ( a ) v ( x ) − u ( a ) v ( a )]

u(a)

.

+

v( x) x

−

v (a)

−a

lím u (a) lím x →a x → a

por ser cte.

v '(a )

⇒

⇒

v ( x) x

−

v(a)

−a

⇒

def. de derivada

(*) lím v ( x ) = v ( a ) pues v(x) es continua en a por ser derivable por hipótesis. x →a

Consecuencia Como la derivada de una constante es 0, si f(x)= k.u(x) , al aplicar la fórmula obtenida resulta: f ’(x)= 0.u(x)+ k. u’(x). Es decir: La derivada de una constante por una función , es igual a la constante por la derivada de la función. c)

Derivada de un cociente de funciones

el

65

U.T.N. Análisis Matemático I: Derivadas Facultad Regional Avellaneda

Hipótesis: f(x)=

u (x) v( x)

, v(a)≠ 0

Tesis: f ‘(a)=

u ' ( a ). v ( a ) v

2

−u

( a ). v ' ( a )

(a)

u(x) y v(x) derivables en x=a Demostración:

f'(a) = lím x →a

f( x) − f (a)

x −a ⇒ restamos y sumamos

f'(a) = lím x →a

⇒ f'( a) = lím x→ a

u(x) u( a) − v(x) v( a)

u( x).v( a) − u(a).v (x) v( x).v( a) = lím x→ a x −a

x−a en el numerador u(a).v ( a)

u(x) v( a) − u( a).v (a) + u( a)v( a) − u(a) v(x )] (x − a).v (x).v (a)

⇒

u(x) − u( a) v (x) − v( a) f'(a) = lím v (a) − lím u(a) ⇒ x→a ( x − a).v( x).v( a) x →a (x − a).v (x).v ( a)

f'(a) = lím x →a

u(x) − u( a) x −a

(*)

def. de derivada

f ’(a) =

v( a) u( a) v (x) − v( a) lím − lím lím ⇒ v ( x ). v ( a ) x → a v ( x ). v ( a ) x−a x→a x→a

u’(a)

v( a)

.

v ( a ). v ( a )

-

u (a) v ( a ). v ( a )

def. de derivada

.v ’(a)

(*) lím v ( x ) = v ( a ) pues v(x) es continua en a por ser derivable por hipótesis. x →a

Resulta: f ‘(a)=

u ' ( a ). v ( a ) v

2

−u

( a ). v ' ( a )

(a)

Deducción de algunas fórmulas de derivación a) Derivada de una constante f(x)= k ⇒

f '(a )

=

lím x →a

f( x) x

−

f(a )

−a

⇒

f '(a )

=

k lím x →a x

−k = −a

0

66

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Análisis Matemático I:Derivadas

b) Derivada de una función potencial Hipótesis: f(x) = xn

Tesis: f ’(x)=n.x n-1

Demostración: n − f(a ) x −an ⇒ f ' ( a ) = lím x − a x − a x →a Para salvar la indeterminación podemos aplicar Ruffini en el numerador

=

f '(a )

lím x →a

a

f( x)

1 0 0 0.....0 0 -an a a2 a3 an-2 an-1 an 1 a a2 a3 ...a n-2 an-1 0

xn - an =(x –a).(xn-1 +a.x n-2+a 2.x n-3+...+a n-2.x+a n-1 )

n términos

Entonces: n términos

f '( a) = lím

6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 7 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 8 ( x − a)( xn −1 + a.x n−2 + a2 .xn −3 + Λ + a n−3 .x2 + an −2 x + an −1

x−a

x →a

= n.an −1

Observación: La demostración vale para n natural, pero la fórmula es válida para exponente negativos y racionales Consecuencia: Si f(x) =

x

=

x

1

⇒

2

f '( x )

=

1 2

.x

−1

2

=

1 2

x

c) Derivación de funciones trigonométricas c1) Derivada de y = sen x ( ver pág.62) c2) Derivada de y = cos x ( Es similar a la anterior. Usar cosp - cosq= -2 sen c3) y = tg x=

sen

p

+q 2

)

cos x

cos

x . cos x

− sen cos

2

x .( x

− sen

x)

=

cos

2

x cos

+ sen 2

x

1 = sec 2 x 2 cos x

c4) y = cotg x= y’ =

2

sen

x

Derivando como cociente se tiene: y’ =

y‘=

−q

p

cos x sen

x

⇒

− sen x. sen x − cos x. cos x − sen 2 x − cos2 x 1 = =− = − cot g2 x 2 2 2 sen x sen x sen x

2

x

67

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

c5) y = sec x =

1 cos

c6) y = cosec x =

x

⇒

1 sen

y '=

⇒

x

Análisis Matemático I:Derivadas

0 . cos

y '=

x

− 1 ( − sen 2

cos 0 . sen

sen

=

x

−1

x

x)

2

. cos

x

x

=

1 cos x

−1 sen

x

⋅

⋅

sen

x

cos x

cos x sen

x

=

sec x . tg x

=−

cos ec

x . cot g x

d) Derivada de la función logarítmica Definición: e=

1   1 +  n  n → ∞

n

lím

Hipótesis) f(x)= ln x

Tesis) f ’(x)=

1 x

Demostración:

f(x) − f (a) ln x − ln a ln( a + ∆x) − ln a ⇒ f ' (a) = lím = lím x −a x→a x − a ∆x ∆x → 0 Pero por propiedad de los logaritmos, resulta: f ' (a) = lím x→a

f ‘(a)=

1

lím

∆x → 0

∆x

ln

1 + ∆x  = lím   ∆x → 0 a 

ln

1 + ∆ x     a 

1

∆x

Como el límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite, se tiene: f ‘(a)= ln

f ‘(a)= ln

 1 + ∆x    ∆ x →0  a 

1

lím

∆x   1 +  ∆x →0  a  lím

a

∆x

a

. Multiplicamos y dividimos en el exponente por “a”:

∆x

a  ∆x  ∆x .=ln  lím 1 +  a  ∆ x → 0  

1

a  = ln  

e

1

a

=

1 a

Derivación de funciones compuestas Si f: A →R / y = f(u)es derivable en u 0 y g: B→ A / u = g(x) es derivable en x0 , siendo g(xo)= u0, entonces fog es derivable en xo y se cumple que: (f o g )’ (xo) = f ‘u(uo). g’x (xo)

68

U.T.N. Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I:Derivadas

Demostración: f derivable en uo ⇒

u

lím

f(u )

→u 0

u

− f( u 0

)

=

−u0

f '( u 0 )

(por def. de derivada)

Pero si una función tiene límite finito para u →u0, la función puede escribirse como suma de su límite más un infinitésimo para u →u0 . Entonces, y teniendo en cuenta que u = g(x), resulta: f[g(x)] − f [g(x 0 )] g(x) − g(x 0 )

=f ' (u 0 )+ ϕ(u) con lím ϕ(u) = 0 u →u0

De donde: f [g(x)] − f [g(x 0 )] = f' u (u0 ).(g(x) − g(x 0 )) + ϕ(u).(g(x) − g(x0 )) Dividimos ambos miembros por x - xo y tomamos límite para x →xo lím

f [g(x)] − f [g(x 0 )] x − x0

x → x0

g(x) − g(x o ) g(x) − g(x o ) + lím ϕ(u). lím x → x0 x − x0 x →x 0 x →x 0 x − x0 g’x(x0) g’x(x0)

= lím f 'u (u0 ). lím x →x 0

cte.

Analicemos el factor que nos queda: es un límite para x→x0 . Como u = g(x) derivable en xo es continua en x0, luego, cuando x→x0, también u→ u0 y por lo tanto el límite es 0, ya que ϕ es un infinitésimo para u→u0 . Resulta que el límite planteado en el primer miembro , que es (fo g)’(xo) existe y es igual a ‘u(uo). g’x (xo) (f

o

g )’ (xo) = f ’u(uo). g’x (xo)

Ejemplo: Obtener la función derivada de: a)f(x)=

sen(ln

b)g(x)=sen

ln x

x)

⇒ f ‘(x)=

1 2 sen(ln x)

⇒ g’(x)= cos ln x ⋅

1 2 ln x

⋅ cos(ln x) ⋅

⋅

1 cos(ln x) = x 2 x sen(ln x)

1 cos ln x = x 2x. ln x

f

U.T.N. I:Derivadas Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático

Método de derivación logarítmica Derivación de funciones exponenciales Consideremos

f(x)= a

u(x)

(a>0, a≠1)

Aplicamos logaritmos a ambos miembros: lnf(x) = ln [a

u(x)

] ⇒

ln f ( x )

=

u ( x ). ln a

1

Derivamos ambos miembros: 1

Derivando como función compuesta

f( x)

⋅ f ' ( x ) = ln

a

⋅u

'( x )

Derivada de una cte.por una función

Resulta: f ' (x) = f (x). ln a. u ' (x) ⇒ f ' (x) = au(x ). ln a . u ' (x)

Si u(x) = x, se tiene: f(x) = ax ⇒ f ' (x) = ax . ln a Si a=e , resulta:

f (x) = e u(x ) ⇒ f ' (x) = eu(x).u' (x)

Si a = e y u(x) = x:

f (x ) = e x ⇒ f ' (x ) = e x

Aplicación a funciones potenciales exponenciales Ejemplo f ( x)

=

(sen

x)

x

Aplicamos ln a ambos miembros y tenemos en cuenta (1): ln f (x) = x. ln(sen x) Derivamos el primer miembro como función compuesta y el segundo como producto: 1 1 ⋅ f ' (x) = 1. ln(sen x) + x ⋅ ⋅ cos x. ⇒ f(x) sen x  cos x   cos x  f ' (x) = f (x).ln(sen x) + x ⋅ ⇒ f ' (x) = (sen x) x .ln(sen x) + x ⋅  sen x  sen x    Derivación de funciones hiperbólicas:

1

El log.de una potencia es igual al exponente por el log.de la base

69

70

U.T.N. I:Derivadas Facultad Regional Avellaneda

(

1

1) f(x) = Shx=

2

(

2) f(x) = Chx =

1

3) f(x) = Thx=

Shx

2

− e − x)

x

e

e

+ e − x)

x

Chx

)

Análisis Matemático

(

)

⇒ f ' (x ) =

⇒ f ' (x ) =

) (

)

) (

)

1 x 1 x e − (− 1)e− x = e + e− x = Chx 2 2

⇒ f ' (x ) =

(

1 x 1 x e + (− 1)e− x = e − e− x = Shx 2 2

Chx .Chx − Shx.Shx 2

Ch x

=

Ch2x − Sh2x 2

Ch x

=

1 Ch2x

DERIVACIÓN DE FUNCIONES INVERSAS Sea f:A→B biyectiva / y = f(x), y sea g:B→A, su inversa / x = g(y) Resulta x = g[f(x)] ⇒

x

= ( g o f )(

x)

Derivando ambos miembros y recordfando quje el segundo es función compuesta, se tiene: 1= g‘ y .f ‘

x

⇒

g 'y

=

1 f 'x

Aplicación a funciones circulares inversas 1)

f(x) = arc sen x ⇒

x

= sen

f(x)

Derivando ambos miembros: 1 = cos f(x) . f ‘(x) 1 1 1 ⇒ f ' (x) = = = cos f (x) 1 − sen2 f (x) 1 − x2

cos2 a + sen2 a = 1

2) De la misma forma se prueba que si: 1

f(x) = arc cos x, resulta f ‘(x) = − 1

3) f(x) = arc tg x ⇒ x = 1= sec2 f(x). f ’(x) ⇒

tg f ( x )

f '( x )

−x2

. Derivando ambos miembros: 1

= sec

2

. f( x)

(*)

U.T.N. I:Derivadas Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático

Como sen2 a + cos 2a= 1 , al dividir ambos miembros por cos2 a , se tiene: tg

2

a

+1 =

1 2

cos

a

=

2

sec

Reemplazando en (*):

a

f '( x)

⇒

sec

2

a

=

1 1

+ tg

1

=

+ tg

1

2

2

1

= f ( x)

a

1

+ x2

2)Aplicación a la derivación de funciones hiperbólicas inversas y = Arg Shx ⇒

1)

=

x

Sh y

Derivamos ambos miembros: 1 = Chy. y ’ ⇒

Pero: Ch2 a – Sh2 a = 1 ⇒ 1

Es decir: y ’= 1

+ Sh

Cha

=

y

+ Sh

2

a

1 Chy

(**)

1

=

2

1

y '=

1

+ x2

2) De la misma forma se prueba que : y

=

⇒

ArgChx

1

y '= x

3)y = Arg Thx ⇒

x

=

2

Thy

−1 1

. Derivamos ambos miembros: 1 =

Ch

Si en (**) dividimos ambos miembros por Cha, resulta: Th2 a – 1 =

1 Ch

Por lo tanto:

2

a

1 = ( Th2 y – 1) . y ‘ ⇒ y' =

1 2

Th y − 1

=

1 x

2

−1

2

.y ' y

71

72

U.T.N. I:DIFERENCIAL Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático

Diferencial de una función en un punto Consideremos una función f derivable en x0; esto significa que existe y es finito el límite del cociente incremental.

lím

f (x) − f(x 0 )

x → x0

x − x0

= f ' (x 0 ) ⇒

f (x) − f (x 0 ) x − x0

= f ' (x0 ) + ϕ(x), con lím ϕ(x) = 0 x → x0

Si una función tiene límite finito para x →x 0 , entonces puede escribirse como la suma de su límite más un infinitésimo para x→x 0

Resulta: f (x) − f(x 0 ) = f ' (x 0 ).(x − x 0 ) + ϕ(x).(x − x0 ), con

∆x

∆x

∆y

lím ϕ(x) = 0

x→ x0

Definición: Dada una función f derivable en xo, punto interior de su dominio, se llama diferencial de f en el punto x0 con respecto al incremento ∆ x al producto de la derivada de f en x0 por. En símbolos:

df(x0; ∆ x )= f ’(x0). ∆ x

Resulta entonces que: (Tener en cuenta que

∆ x =x

∆ y = df

( x0 ;

∆x ) + ϕ( ∆x ). ∆x

, con

lím

∆ x →0

- x 0 ⇒x=x 0 + ∆ x ; además si x→ x o, entonces

ϕ( ∆x ) = 0

∆ x →0)

Como el segundo término tiende a cero, cuando ∆ x →0, se tiene que: ∆ y ≅ df

( x0 ;

∆x )

Probaremos que la variación de la función y su diferencial son infinitésimos equivalentes para ∆ x →0. En efecto: lím

∆y

∆x →0 df (x 0; ∆ x)

= lím

∆y

∆x →0 f ' (x0 ).∆x)

=

f ' (x 0 ) 1 ∆y lím = = 1; si f ' (x 0 ) ≠ 0 f ' (x 0 ) ∆x →0 ∆ x f ' (x 0 )

Interpretación geométrica:

Q P

U.T.N. I:DIFERENCIAL Facultad Regional Avellaneda

73

Análisis Matemático

f(x0 + ∆x )

df (x 0 ; ∆x) = f ' (x0 ).∆x = tg α.∆x =

RQ ∆x

⋅ ∆ x = RQ

∆x) representa la variación de ordenada de la recta tangente a la curva en P0(x0; f(x0)), al pasar de x0 a x0 +∆x. Es una aproximación de la variación de la función. df(x0;

Ejemplo: Calcular usando diferenciales el valor aproximado de e0, 3 Consideremos f(x) = ex; x0 =0 y ∆x=0,3 Resulta:f(xo+∆x)= f(x0) +∆y ≅

f ( x0 )

+ df

f(y ( x0 ;

∆x )

e valor aprox.

Como f ‘(x)= e e0,5 ≅

e

0

+e0

x

2.0

0

y e =1, se tiene:

. 0 ,3

0 ,3

2.5

⇒

e

0 ,3

≅1

1.5 1.0

,3

Usando calculadora: e0,3=1,3498588...

0.5 -0.4-0.3-0.2-0.1

Cuanto mayor sea ∆x, mayor es el error que se comete

Reglas y fórmulas de diferenciación: Veamos algunos ejemplos:

0.10.20.30.40.50.60.7 0.7

x

74

U.T.N. I:DIFERENCIAL Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático

1)Diferencial de un producto Sea f(x) = u(x).v(x), con u y v derivables . df(x)=d[u(x).v(x)]=[u(x).v(x)]’ ∆ x = [u’(x).v(x)+u(x).v ’(x)]. ∆ x df(x)= u’(x).v(x) ∆ x + u(x).v ’(x) ∆ x du

⇒

d [ u ( x ). v ( x )]

=du. v(x) +u(x). dv

dv

2) Diferencial de f(x)= lnx df=d(lnx)=

1

∆x

x

En general, Las reglas y fórmulas de diferenciación son idénticas a las de derivación. y

= sen

y

=

y

=x

x

x

⇒

dy

= d (sen

= cos

x)

dy

=d(

⇒

dy

= dx = 1 . ∆x

x )

=

1

⇒

2

x

x . ∆x

∆x

(*) (*)

Se puede redefinir el concepto de diferencial utilizando dy=f ’(x). dx ⇒

f '( x0 )

=

dy dx

   x0

(Notación diferencial de la derivada)

Aplicaciones 1) Derivación de funciones definidas paramétricamente Ejemplo:  x =2t Sea y = f(x) definida mediante:  2 , Para obtener la relación entre las variables x e y y = 5 t debe eliminarse entre ellas el parámetro t. De la primera ecuación sale: t =

x 2

⇒

y

x  = 5 .  2 

Si nos interesa obtener y ‘(2), hacemos: y ‘=

5 4

2

. 2 .x

⇒ ⇒

y

=

5 4

y '( 2 )

x

2

=

. 5 4

.2 .2

=5

Se pretende encontrar esta derivada sin llevar la función a su expresión cartesiana: dy  x = 2 t ⇒ dx = 2 dt 10 t . dt Como y ‘ = y  ⇒ y'= = 5t 2 dx y =5t ⇒ dy = 10 tdt 2 dt  dy  Como para que x sea igual a 2, debe ser t=1, se tiene: y ' ( 2 ) = = 5 .1 = 5  dx  t =1

U.T.N. I:DIFERENCIAL Facultad Regional Avellaneda

75

Análisis Matemático

x = En general, dada y = f(x) mediante  y =

x( t ) y( t)

y ’=

, se puede obtener

dy dx

=

x 't dt y 't . dt

x 't

=

y 't

De la misma forma, para obtener y”, que es la derivada de la derivada, procederemos así:

=

y"

dy '

.

dx

5 dt

En el ejemplo: y”=

2 dt

= 2,5.

2) Derivación de funciones definidas en forma implícita. Dada una expresión del tipo F(x;y)=0 que defina una y = ϕ( x ) , interesa obtener y ‘ sin despejar. Ejemplo: Supongamos que: x.ey+ cos(x.y) – 2x2.y3 –1=0 define y = ϕ( x ) ,interesa obtener dy

ϕ' ( x ) =

dx

Primer procedimiento: Derivando y como función compuesta ey+x.ey.y ’-sen(x.y).[y +x.y ’]- 4.x.y3 –6.x 2 .y2.y ’=0 y ’[x.ey –x sen(xy)-6.x 2.y2 ]= -ey + y sen(xy) + 4.x.y3 Luego:

y '

=

−e xe

y

y

+

y sen(

−x

sen(

xy ) xy )

+4

xy

−6 x2

y

3 2

Segundo procedimiento: Usando diferenciales d(x.ey)+ d[cos(x.y)] – d[2x2.y3 ]=0 y

⇒

dx . e

⇒

e

⇒

dy . x . e

y

+ x .d ( e

. dx

+ x .e

[

y

−

y

y

)

. dy

y . sen(

− sen(

xy ). d ( xy )

−[ d ( 2 x 2

− sen(

x . y ).[ y . dx

+ x . dy

xy )

− 6 .x 2

y'=

.y

2

] = [− dx .

]

e

). y

3

+ 2 x 2 .d (

−[ 4 .x.y y

+

3

y . sen(

. dx

y

3

+ 6 .x 2

xy )

)

=0 .y

+ 4 . x. y

dy − e y + y sen( xy) + 4 xy 3 = dx xe y − x sen( xy) − 6 x 2y 2

2

3

. dy ]

=0

] ⇒ como y ’=

dy dx

, se tiene:

76

U.T.N. Análisis Matemático I:Propiedades de las funciones derivables Facultad Regional Avellaneda

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES 1.-Crecimiento y decrecimiento de una función Definiciones Considero f: A→ R y a y b interiores a A y f(a)

f(b) a

b x

•

•

•

•

f es estrictamente creciente en x=a ⇔ existe un entorno de “a” tal que :  x < a ⇒ f ( x ) < f (a ) ∀ x ∈ E ( a) :   x > a ⇒ f ( x ) > f (a ) x < a ⇒ f es creciente en x=a ⇔ existe un entorno de “a” tal que : ∀ x ∈E ( a ) :  x > a ⇒

f(x)

≤

f(a )

f ( x)

≥

f(a )

f es estrictamente decreciente en x=b ⇔ existe un entorno de “b” tal que :  x < b ⇒ f ( x ) > f ( b) ∀ x ∈ E (b ) :   x > b ⇒ f ( x ) < f ( b) x < b ⇒ f(x) ≥ f (b) f es decreciente en x=b ⇔ existe un entorno de “b” tal que : ∀x∈E(b):  x > b ⇒ f(x) ≤ f (b)

Si una función crece ( o decrece ) estrictamente en un punto, también lo hace en sentido amplio. La recíproca no es cierta. Una función puede crecer ( o decrecer) en sentido amplio y no hacerlo en sentido estricto . (Piense en y = cte) Relación entre el crecimiento de una función y el signo de la derivada primera TEOREMA: Si f es derivable en x = a y f ’ (a) >0, entonces f es estrictamente creciente en “a” H) f derivable en x = a T) f estrictamente creciente en “a” f ‘ (a) >0 Demostración: f derivable en x = a ⇒ existe y es finito el límite del cociente incremental. Como además, por hipótesis

U.T.N. Análisis Matemático I:Propiedades de las funciones derivables Facultad Regional Avellaneda

f ‘(a) > 0, entonces

lím

x →a

77

f (x ) − f (a ) > 0. Por una propiedad de los límites finitos, si un límite x−a

para x→a es distinto de cero, existe un entorno reducido de “a” en el que la función conserva el signo de su límite. Es decir:

f ( x ) − f ( a) > 0 ⇒ Sg[ f ( x) − f ( a)] = Sg[ x − a] ⇒ x−a < a ⇒ x − a < 0 ⇒ f (x ) − f (a ) < 0 ⇒ f ( x ) < f (a )   ⇒ f estrictamente creciente en x = a > a ⇒ x − a > 0 ⇒ f (x ) − f (a ) > 0 ⇒ f ( x ) > f (a ) 

∃δ > 0 / ∀ x ∈ E '( a; δ ): x ⇒ x

De manera similar se demuestra que si la derivada en “a" es negativa, la función es estrictamente decreciente.

2.- Extremos absolutos y locales Consideremos f: A→R, con A ⊆ R , y

x0 ∈ A, x1 ∈ A

Definiciones :

f (x0) es un máximo relativo o local de f⇔∃ δ > 0/ ∀ x∈ E[x0,δ] : f(x) ≤ f(x0) f(x0 )

y

f(x1 ) x x1 x0

f(x1 ) es un mínimo relativo o local de f⇔ ∃ δ > 0/ ∀x∈ E[x1 ,δ] :f(x) ≥ f(x1 ) f(a) es extremo relativo o local de f ⇔ f(a) es máximo o mínimo relativo Más Definiciones f(a ) es Máximo absoluto de f en A ⇔ f(a) ≥ f(x), ∀x∈ A f(b ) es mínimo absoluto de f en A ⇔ f(b) ≤ f(x), ∀x∈ A

78

U.T.N. Análisis Matemático I:Propiedades de las funciones derivables Facultad Regional Avellaneda

Los Máximos o mínimos absolutos de f en A se llaman extremos absolutos de f en A y

f(c) máximo absoluto y relativo. f(a)mínimo absoluto pero no relativo. f(d) mínimo relativo pero no absoluto.

f(c) f(d) f(a)

a

c

d

b

x

OBSERVACIONES: 1.- Los extremos absolutos no tienen porqué ser extremos relativos. 2.- Si un extremo absoluto se produce en un punto interior del dominio de la función, el extremo es también relativo. 3.- En los puntos de extremo relativo la función no es creciente ni decreciente.

Condición necesaria para la existencia de extremos relativos.Si f(x) es derivable en x = a y f(a) es un extremo relativo, entonces f ’ (a) = 0 En efecto:  f ' ( a ) > 0 ⇒ f estrict . crec. en x = a Supongamos que f ’ (a) ≠ 0, entonces sería:  absurdo pues  f ' ( a ) < 0 ⇒ f estrict . decrec. en x = a en x=a f presenta un extremo y por lo tanto no es estrictamente creciente ni decreciente. El absurdo surgió de suponer f ’ (a) ≠ 0, luego es f ’ (a) = 0 IMPORTANTE: La condición es necesaria pero NO suficiente. La derivada puede anularse en puntos en los que no hay extremos y puede haber extremos en puntos en los que f no es derivable Ejemplos: y = x3

U.T.N. Análisis Matemático I:Propiedades de las funciones derivables Facultad Regional Avellaneda

79

y ‘ = 3 x2 ⇒ 3 x2 =0⇒ x = 0 0.2

Pero en x= 0 la función es estrictamente creciente

0.1

-2

-1

1

2

-0.1

-0.2

-0.3

y = | x| presenta un extremo en x = 0 y sin embargo no es derivable en ese punto.

y

x

3.-Teorema de Rolle

Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) y se cumple que f(a) = f(b), entonces existe un punto c interior al intervalo (a,b) en el que se anula la derivada de f.

H) f cont. en [a,b] T) ∃ c ∈ (a,b)/ f ‘(c)=0 f deriv. en (a,b) f(a) = f(b) Demostración: Por el segundo teorema de Weiersstras, toda función continua en un intervalo cerrado presenta en él un máximo (M) y un mínimo (m) absolutos. Se pueden presentar los siguientes casos: I) M = m En este caso, la función sería constante en el intervalo [a,b] y por lo tanto la derivada es cero. Es decir:

80

U.T.N. Análisis Matemático I:Propiedades de las funciones derivables Facultad Regional Avellaneda

M=m ⇒ f(x) = k , ∀ x∈ [a,b] ⇒ f ‘(x)= 0, ∀ x ∈ (a,b) f(a)=f(b) a

II.- M ≠ m Se presentan tres posibilidades:

b

x

II.1.- M = f(a)=f(b) (El máximo se presenta en los extremos del intervalo) y M=f(a)=f(b)

f(c)

a

c

b

Como el máximo se presenta en los extremos, el mínimo debe presentarse en un punto interior del intervalo, es decir ∃ c ∈ (a,b) / m= f(c) . Pero si un extremo absoluto se presenta en un punto interior de un intervalo es a la vez relativo. Como la función es derivable en (a,b), por la condición necesaria para la existencia de extremos relativos: f ’ (c) = 0 Es decir, encontramos un punto c interior a (a,b) en el que se anula f ‘

II.2.- m = f(a) =f(b) (El mínimo se presenta en los extremos del intervalo)

f(c)

f(a)=f(b)=m

a

c

Como el mínimo se presenta en los extremos,el máximo debe presentarse en un punto interior del intervalo, es decir ∃ c’ ∈ (a,b) /M= f(c’) . Pero si un extremo absoluto se presenta en un punto interior de un intervalo es a la vez relativo. Como la función es derivable en (a,b), por la condición necesaria para la existencia de extremos relativos: f ’ (c’) = 0 Es decir, encontramos un punto c interior a (a,b) en el que se anula f ‘

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81

II.3.- El máximo y el mínimo absolutos se presentan en puntos interiores al intervalo. Con un razonamiento similar al seguido en los dos casos anteriores, podemos asegurar la existencia de, por lo menos, dos puntos c y c’ interiores a (a,b) en los que se anula f ‘

y f(c)

f(a)=f( f(c’ b) ) a c

c’

b

x

Como no hay más posibilidades para considerar, la tesis se cumple. Interpretación geométrica Geométricamente asegurar la existencia de un punto en el que la derivada es nula significa establecer que existe un punto en el que la recta tangente es horizontal. 4.-Teorema de Lagrange (o de los incrementos finitos , o del valor medio del Cálculo diferencial) Si f es continua en [a,b] , derivable en (a,b) , entonces existe un punto “ c” interior al intervalo (a,b) tal que la variación que experimenta la función al pasar de “a” a “b” es igual al producto de la derivada de f en dicho punto “c” por la amplitud del intervalo. H) f cont. en [a,b] f deriv. en (a,b)

T) ∃ c ∈ (a,b)/ f(b)-f(a)= f ‘(c).(b-a)

y

t

f f(b)

r

ϕ

A

a

c

Demostración: Consideramos los puntos A (a;f(a)) y B (b;f(b)). y − f (a) x−a La ecuación de la recta AB es: = f(b) − f (a) b − a Si despejamos y, obtenemos: f (b) − f(a) ⋅ (x − a) + f (a) ⇒ b −a f (b) − f(a) f (b) − f (a) y = ⋅x− ⋅ a + f(a) b −a b−a y =

x Llamamos r(x) a la función lineal cuya representación gráfica es la recta AB, entonces: b

r(x) =

f (b) − f (a) f (b) − f (a) ⋅ x + k con k = − ⋅ a + f (a) b− a b −a

Por ser una función lineal, podemos asegurar que r(x) es continua y derivable ∀ x∈R. Por representar la recta AB, podemos asegurar que: r(a) = f(a) y r(b) = f(b). Además r ’ (x) =

f (b) − f (a) , ∀ x∈R. (*) b− a

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Inventamos una función que verifique las hipótesis del Teorema de Rolle: Definimos ϕ (x) = f(x) - r(x) ϕ (x) es continua en [a,b] y derivable en (a,b) por ser resta de funciones continuas y derivables en esos intervalos ϕ (a) = f(a) -r(a)=f(a) -f(a) =0 ⇒ ϕ (a)= ϕ (b) ϕ (b) = f(b) -r(b)=f(b) -f(b) =0 Por el Teorema de Rolle , aplicado a ϕ , podemos asegurar que existe “c” ∈ (a,b) /ϕ‘(c)=0 f (b) − f (a) Como ϕ‘ (x)= f ’ (x) - r’ (x)= f ’ (x) por (*) b− a f (b) − f (a) f (b) − f (a) Entonces: ∃ “c” ∈ (a,b) / f ’ (c) =0 ⇒ f ’ (c)= b− a b− a Luego:

∃ “c” ∈ (a,b) / f(b) - f(a) = f ‘(c). (b-a)

Interpretación geométrica (Ver dibujo página anterior) El T. de Lagrange asegura que si f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el f (b) − f (a) correspondiente abierto, entonces ∃ “c” ∈ (a,b) / f ’ (c)= b− a El primer miembro representa la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto (c;f(c)), mientras que el segundo representa la pendiente de la cuerda que une los extremos del arco. Por lo tanto el teorema asegura que : Si f es continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el correspondiente abierto, entonces existe un punto en el arco representativo de f en (a,b) en el que la recta tangente es paralela a la cuerda que une los extremos del arco. 5.-Teorema de Cauchy (o del Valor Medio generalizado) Si f y g son dos funciones continuas en [a,b] y derivables en (a,b) , siendo g’ (x) no nula en cualquier punto de (a,b), entonces existe un punto “c” interior al intervalo tal que el cociente entre las variaciones de las funciones f y g al pasar de “a” a “b” es igual al cociente de sus respectivas derivadas en dicho pounto “c”. f (b) − f (a) f ' (c) H) f y g cont. en [a,b];f y g deriv. en (a,b) T) ∃ c ∈ (a,b)/ = g(b) − g (a) g'(c) g’(x) ≠0,∀ x∈(a,b) (La demostración es similar a la del Teorema de Lagrange. La función que permite aplicar el T. de Rolle es ϕ(x)=[f(b)-f(a)] .g(x) - [g(b)-g(a)]. f(x) 6.- Concavidad y convexidad de una función Definición:

y

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t

f x

b a t

Consideremos una función f derivable en x= a y x = b. f o su gráfico representativo es convexo, cóncavo hacia las “y”negativas o cóncavo hacia abajo en x = a ⇔ ∃ δ >0/ ∀x∈E’(a,δ) : f(x) - t(x) < 0 , siendo t(x) la función que representa la recta tangente a la curva en x = a. f o su gráfico representativo es cóncavo, cóncavo hacia las “y”positivas o cóncavo hacia arriba en x = b ⇔ ∃ δ >0/ ∀x∈E’(b,δ) : f(x) - t(x) > 0 , siendo t(x) la función que representa la recta tangente a la curva en x = b. Gráficamente significa que la función es convexa en A(a;f(a)) si y sólo si existe un entorno reducido de x=a tal que los puntos correspondientes del gráfico quedan por debajo de la recta tangente en A. Definición : (x0 ;f(x0 )) es un punto de inflexión de f ⇔ f es derivable en x0 y la recta tangente atraviesa la curva representativa de F. Es decir: y (x0 ;f(x0 ) es un punto de inflexión de f ⇔ es derivable en x0 ∀δ > 0 : [∃x∈E' (x 0; δ) /f (x) > t(x)∧ ∧ f(x) ∃x'∈E' (x 0 ; δ ) /f (x' )
x0

x

x

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Relación entre la concavidad de una función y el signo de la derivada segunda Teorema: Sea f:A→R, con A⊆R, derivable hasta el segundo orden en un entorno de xo, siendo entonces si función en

f " ( x0 ) Po

> 0 , la función en

Po

= ( x 0 ; f ( x 0 ) ,es cóncava hacia arriba, y si

f " ( x0 )

f " ( x0 )

≠ 0,

< 0 , la

= ( x 0 ; f ( x 0 ) , es cóncava hacia abajo.

Para probarlo tendremos que analizar el signo de h(x)=f(x)-t(x) en un entorno reducido de x0 , siendo t(x) la función que expresa la recta tangente en Po = ( x 0 ; f ( x 0 ) , a la curva representativa de f . Comenzaremos por buscar una expresión de h que facilite el análisis del signo. f(x)

La ecuación de la recta tangente en Po es: y − f ( x o ) = f ' ( x o ).( x − x 0 ) ⇒

y P0

f(x 0 )

y

t(x)

=

t( x)

=

f ( xo )

+ f '( xo

Resulta: h( x)

x0

=

f( x )

− t( x) =

f( x )

).( x

− x0 )

− [f ( x0 ) +

f ' ( x o ).( x

− x0 ) ]

Entonces: h(x)=f(x) - f (x 0 ) − f' (x 0 ).(x − x0 ) (1)

x

∆f Por el Teorema de Lagrange,

∃c

Reemplazando en (1):

h(x)= f ’(c).(x – x0 )

entre x y x 0 / f (x) − f (x o ) = f ' (c).(x − x 0 )

- f ’(x0 ) .(x – x0 )

Si extraemos factor común se obtiene: h( x)

=

(x

− x 0 ).[

f '( c )

−f

' ( x0 )]

con c entre x y x0

(2)

Supongamos: f ”(x0 ) >0, como la derivada segunda es la derivada de f ’, si la derivada segunda es positiva en un punto, f ’ es estrictamente creciente en el mismo, es decir: x < x 0 ⇒ f ' ( x ) < f ' ( x 0 ) ∃ δ > 0 / ∀ x ∈E ( x 0 ; δ ) :  x > x 0 ⇒ f ' ( x ) > f ' ( x 0 ) Veamos como incide esta situación en el signo de h(x): x − x0 < 0 ⇒ x < x0 ⇒ c < x0 ⇒ f' (c) < f ' (x0 ) ⇒ f ' (c) − f ' (x0) < 0 Porque c está entre x y x0 x c x0 x0

c

Porque la derivada es estrictamente creciente en x0.

x

x − x0 > 0 ⇒ x > x0 ⇒ c > x0 ⇒ f ' (c) > f ' (x0 ) ⇒ f ' (c) − f ' (x0) > 0

⇒

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85

Los dos factores en los que puede descomponerse h tienen el mismo signo. Es decir h(x)>0, ∀x ∈ E ' ( x 0 ; δ) ⇒ f es cóncava hacia arriba en P0. Con el mismo criterio se prueba que si f ” (x0 )<0, f es cóncava hacia abajo en P. Consecuencia: • En los puntos de inflexión la derivada segunda debe anularse. La condición es necesaria pero no suficiente. La anulación de la derivada segunda NO permite asegurar la existencia de un punto de inflexión. Por ejemplo: y = x4 , y‘ = 4x3 , y”=12 x2 , Es obvio que y “(0)=0 y sin embargo en (0;0) no hay punto de inflexión.

68

y

51

34

17

x -3

-2

-1

0 0

1

2

3

17

En (0;0) no cambia la concavidad de la curva.

Para verificar que un punto en el que se anula la derivada segunda es un punto de inflexión, debe analizarse el signo de la derivada en un entorno del punto en cuestión; para que lo sea la derivada segunda debe cambiar de signo. 7.- Estudio de funciones 7.1.- Condiciones suficientes para determinar si un punto crítico es o no extremo relativo. Sea f / en x=a f presenta un punto crítico, es decir: ∃

f '( a )

∨

f '( a )

=0

7.1.1: Ver si se cumple la definición. (Suele ser el más dificultoso) 7.1.2: Analizar el cambio de signo de y ‘ e un entorno del punto crítico: •

Si la derivada pasa de positiva a negativa, f(a) es un máximo relativo.

•

Si la derivada pasa de negativa a positiva, f(a) es un mínimo relativo.

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7.1.3.- Análisis del signo de la derivada segunda. (Sólo es aplicable cuando f “(a) existe y es distinta de cero. •

Si f “(a) >0, resulta que f ’ es estrictamente creciente en x = 0, pero como f ’(a)=0, f ’ debe pasar de valores negativos a positivos, lo que significa que la función pasa de ser decreciente a ser creciente y entonces, puedo asegurar que presenta en es punto un mínimo relativo.

•

Si f “(a) < 0, resulta que f ’ es estrictamente decreciente en x = 0, pero como f ’(a)=0, f ’ debe pasar de valores s positivos a negativos, lo que significa que la función pasa de ser creciente a ser decreciente y, entonces, se puede asegurar que presenta en es punto un máximo relativo.

7.2.- Paridad de una función Sea f:A→R, con A⊆R •

f es par si y sólo si ∀x ∈ A

: f( x)

=

f(

−x )

(Geométricamente significa que la curva es simétrica respecto del eje y) Ejemplo: f(x) = x2 ; g(x) = cos x ; h(x)= |x |; etc. •

f es impar si y sólo si ∀x ∈ A

: f( x)

= −f ( −x )

(Geométricamente significa que la curva es simétrica respecto del origen de coordenadas) Ejemplo: f(x) = x3 ; g(x) = sen x ; h(x)= x|; etc. 7.3 Asíntotas de una curva: Sea f:A→R, con A⊆R •

La recta x = c es asíntota vertical de f ⇔

•

La recta y = k es asíntota horizontal de f ⇔

lím x

→c

f ( x)

lím x

→∞

(Observación: f puede tener asíntota horizontal para x → −∞ ) •

x

=∞

f(x)

=c

→ +∞ y no tenerla o tener otra para

La recta y = m x + b ( con m ≠ 0 ) es asíntota oblicua de f ⇔ lím [f (x) − (mx + b)] = 0 x →∞

f (x) − mx − b f (x) b = 0 ⇒ lím − m − lím =0 x →∞ x x →∞ x x →∞ x

Cálculo de m: lím [f(x) − (mx + b)] = 0 ⇒ lím x →∞

Resulta

f (x) x →∞ x

m = lím

0

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87

Una vez calculada “m”, b se obtiene de la definición: b = lim [f (x) − mx ] x→ ∞

8.-Estudio de funciones Ejemplo: Estudio completo y gráfico de f(x)= 1.

x3 x2 + 1

Dominio. D= R

2. Paridad: f(a)=

a a

3

2 +1

(−a)3

; f(-a)=

(−a)2 + 1

=

− a3 a2 + 1

⇒ f (a) = − f(− a)

3. Ceros: f(x) = 0 ⇒ x = 0 4. Asíntotas: •

Asíntota vertical: no tiene

•

Asíntota horizontal:

x

lím

3

1

= lím

2 + 1 x →∞ 1 1 x →∞ x −

x3

x

•

x3

Asíntota oblicua: m= lím

x → ∞ x.(x2 + 1)

= ∞ ⇒ no tiene asíntota horizontal

= lím

x3

x →∞ x3 + x

=

lím

x →∞

1 1−

1

=1

x2  −1   x3   x3 − x3 − x  b= lím  − x = lím   = lím  x 2 2 x → ∞ x + 1  x → ∞  x + 1  x → ∞ 1 + 1   x2 La asíntota oblicua es : y=x 5. Puntos críticos f ’(x)=

3 x 2 ( x 2 + 1) − x 3 . 2x

( 2 + 1)2

=

3x4 + 3x2 − 2 x4

(x2 + 1)2

x

=

x4 + 3x2

6. Posibles puntos de inflexión (4x3 + 6x)(x2 + 1)2 − (x 4 + 3 x2 ).2(x2 + 1).2x (x2 + 1)4

x2 (x 2 + 3)

(x2 + 1)2 (x 2 + 1)2

f ’(x)=0⇒ x=0

f " (x ) =

=

  =0  

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88

f " (x) = (x2 + 1)

f" (x)

2x(2x2 + 3)(x2 + 1) − (x2 + 3).4x3

3 − x2

= 2x .

( x

2 + 1) 3

(x2 + 1)4 3

.

f"( x)

=0⇒

x

=2x.

2x 4 + 5x2 + 3 − 2x4 − 6x2 (x2 + 1)2

=0 ∨x = 3 ∨x=− 3

7. Cuadro de signos de y, y ’e y”. x y=

3 x

2 +1 2 2 + 3) x ( x y ’= 2 + 1) 2 ( x

y”=

0

- 3

x

2x .( 3 − x 2 ) ( x

2 + 1) 3

+++++++++++

+++

+++++++++++

0

+++

3

0

+++

+++

+++++++++++

0

+++

+++

+++++++++++

0

+++

0

La función es estrictamente creciente en R. No tiene extremos relativos. Intervalos de concavidad ( −∞ , − 3 ) ∪ ( 0, 3 ) Intervalos de convexidad ( − 3 , 0) ∪ ( 3 , +∞ ) .

y 4 2 -2

2 -2 -4

x

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Análisis Matemático I: Propiedades

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9.- Problemas con máximos y mínimos. Ejemplo: Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 6 cm, gira alrededor de uno de sus catetos, generando un cono circular recto. Determine las medidas de los catetos del triángulo para que el volumen del cono sea máximo.

6 cm

h

R Se quiere el máximo de la función volumen del cono: V

=

1 π. R 2 .h , sabiendo que, por el Teorema de Pitágoras : R 2 + h 2 = 36 3

Entonces: R 2 = 36 − h 2 ⇒

V

=

1 π( 36 − h 2 ). h ⇒ 3

V

=

1 π( 36 h − h 3 ) 3

Esta es la función con la que vamos a trabajar: V’=

1 π.( 36 − 3h 2 ) ⇒ 3

V '=

0 ⇒ 36 − 3 h 2 = 0 ⇒ 36 = 3h 2 ⇒

h

2 = 12 ⇒

h

= 12

Se descarta el valor negativo porque se trata de una altura , de manera que el punto crítico corresponde a : h= 12 = 2 3 y R= 36 − 12 =

24 = 2. 6 .

No hace falta verificar que es un máximo porque el volumen mínimo se produciría para h=0 y no tiene sentido.

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Análisis Matemático I: Propiedades

10.-Regla de L’Hôpital 10.1.- Teorema Sean f y g dos funciones derivables en un intervalo abierto (a,b)que incluye a un entorno reducido f ' (x) de “c”. Si lím f ( x ) = lím g ( x ) = 0 ( o lím f (x) = lím g(x) = ∞ ) y existe el lím , finito o x →c x→ c x →c g' (x) x →c x →c f (x ) f ' (x ) infinito, entonces lím = lím . x →c g(x) x → c g' (x) OBSERVACIONES • LA REGLA TAMBIÉN VALE SI •

x

→ ∞.

Sóló es aplicable a indeterminaciones 0/0 ó ∞ / ∞ . Las demás indeterminaciones deben transformarse en alguna de las mencionadas, antes de aplicar la regla

10.2.- Transformación de indeterminaciones del tipo 0. ∞ . Si

lím

x →c

f(x)

=0

f(x).g(x)= f(x).

y

lím

→c

x

1

1 g(x )

=

g( x)

x

2 1

= ∞ y se desea calcular lím

→c

f ( x ). g ( x )

, debemos pensar que :

y queda transformada en una indeterminación 0/0 ó ∞ / ∞ .

f (x )

Ejemplo: 1 2 x = lím x = 0 lím x.ln x = lím = lím −1 x → 0+ x → 0+ x x → 0+ − 2 x → 0+ − 2 x 2 x 10.3.- Transformación de indeterminaciones del tipo ∞ - ∞ ln x

En general se transforman haciendo algunas de las cuentas indicadas. Si no se llega a 0/0 ó ∞ / ∞ , se puede utilizar la siguiente igualdad 1 1 − g(x) f (x) f (x) − g(x) = , si lím f (x) = lím g(x) = ∞ , el segundo miembro de la igualdad tiende 1 x →c x→ c f (x).g(x) a 0/0. Ejemplo:

 lim 

1

x →0 sen x

−

1   como sen 0=0 y ln 1=0, se trata de una indeterminación ∞ - ∞ . ln(1 + x) 

 1  − cos x    1 1   ln(1 + x) − sen x  1 + x  = lím   = lím  lim  − = x →0 sen x ln(1 + x)  x → 0 ln(1 + x). sen x  x → 0 1 sen x + ln(1 + x).cos x   1 + x 

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Análisis Matemático I: Propiedades

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 −1  + sen x   2 (1 + x) − 1+ 0 1   = = lim =−   − 1 1 1 x →0 − 1 .0 + 1.1 + 1 .1 − 0.0 2 sen x + cos x + cos x − ln(1 + x) sen x   2 1 + x 1 + x  (1 + x) 

10.4- Transformación de indeterminaciones del tipo 0 0 , ∞ 0 , 1∞ (Se procede con los tres casos de la misma forma) Consideremos f y g derivables en un entorno reducido de c/ lím f (x) = lím g(x) = 0 , y x →c

supongamos que queremos calcular lím [f (x)]

x →c

g(x)

x →c

Consideremos h(x)=

[f ( x ) ]

g( x)

, y apliquemos logaritmos a ambos miembros:

lnh(x)=g(x).ln[f(x)] . Si ahora tomamos límite para x→c en ambos miembros, se tiene: lím ln[h(x)] = lím g(x). ln[ f (x)] .

x →c

x →c

El límite del segundo miembro es ahora una indeterminación del tipo 0. ∞ que ya sabemos llevar a 0/0 ó ∞ / ∞ para poder aplicar la Regla de L’Hôpital. En el primer miembro podemos utilizar que el límite de un logaritmo es igual al logaritmo del límite. ln lím h(x) = l ⇒ lím h(x) = e l

Resulta:

x →c

x →c

x

Ejemplo:

 1  lím   . Se trata de una indeterminación ∞ 0 x →0 sen x 

 1  Sea h(x) =    sen x 

x

 1  ⇒ ln[h(x)] = x. ln   sen x  1

ln[sen x] ⇒ ln  lím h(x) = lím 1 x → 0  x →0 x

−1

  ⇒ ln  lím h(x) = lím x → 0  x →0

Entonces

:

sen x.

= lím

−1 sen2 x −1 x2

[sen x ]

−1

x →0

.

−1 sen2 x −1

. cos x

x2 . cos x

x2 cos x 2 x.cos x − x2. sen x 0 = lím = = 0. x →0 sen x x →0 cos x 1

= lím x

 1  lím   = e0 =1 x →0 sen x 

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Análisis Matemático I:

INTEGRAL DEFINIDA Sea f:[a,b]→R con [a,b]⊆R/ f continua y no negativa ∀x ∈ [a,b]. Interesa calcular el área ( A ) del recinto plano limitado por la curva representativa de f y las rectas de ecuación: x = a, x = b , y = 0. (Es decir, el área del recinto limitado por la curva, las paralelas al eje "y" trazadas por a y por b y el eje x )

y y

M

m x

x

b

a

b

a

m(b-a) SP SP’

M(b-a) SP SP’

Como f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b], por el segundo teorema de Weierstrass, f alcanza en ese intervalo un máximo y un mínimo absoluto que indicaremos M y m respectivamente. Una primera aproximación al área buscada está dada por los rectángulos que tiene por base (b-a) y por altura M y m respectivamente. Es obvio que: m. (b - a) ≤ A ≤ M.( b - a) (El "=" corresponde al caso de función constante) Para mejorar la aproximación, provocamos una" partición regular" en [a,b], intercalando puntos entre los extremos del intervalo. a = xo < x1 < x2 <...< xi-1 < xi <.... < xn =b De esta forma , el intervalo [a,b] queda subdividido en "n" subintervalos [xo , x1 ],...[xi-1 , xi],...[xn-1 , xn ], cuyas amplitudes son:

∆xi = xi − xi −1 =

b −a n

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Análisis Matemático I:

93

Como la función es continua en [a,b], también lo es en cada uno de los subintervalos y por lo tanto alcanza en cada uno de ellos , un máximo y un mínimo absolutos. Designamos con Mi y mi al máximo y al mínimo absoluto de f en [ xi-1 , xi] Si indicamos con "P" a la partición realizada, llamamos suma inferior de f(x) con respecto a la partición P ( S P ), a la suma de las áreas de los rectángulos que tienen por base la amplitud de cada subintervalo ( ∆xi) y por altura el mínimo absoluto que la función alcanza en él ( mi). n

S P = ∑ mi ∆x i

En símbolos:

i =1

Con el mismo criterio, llamamos suma superior de f(x) con respecto a la partición P ( S P ), a la suma de las áreas de los rectángulos que tienen por base la amplitud de cada subintervalo (∆xi) y por altura el máximo absoluto que la función alcanza en él ( Mi). n

S P = ∑ M i ∆xi

En símbolos :

i =1

Se cumple : m. (b - a) ≤

SP ≤ A ≤ SP

≤ M.( b - a)

Si “refinamos” la partición, es decir, definimos una nueva partición P’ con más puntos que la anterior, obtendremos una nueva suma inferior y una nueva suma superior que llamaremos S P ' y

S P ' respectivamente. Puede verse que: m. (b - a) ≤

S P ≤ S P ' ≤ A ≤ S P ' ≤ S P ≤ M.( b - a)

Si se repite el proceso , considerando sucesivas particiones regulares , cada vez con más puntos, se obtienen dos sucesiones acotadas: una, de sumas inferiores, creciente , que no supera nunca al área buscada , y otra de sumas superiores, decreciente, que se mantiene siempre mayor o igual que A. Además se cumple que la diferencia entre dos términos correspondientes de ambas sucesiones es, en valor absoluto, cada vez menor. En efecto: M.( b - a) - m. (b - a) ≥

S P - S P ≥ S P ' - S P ' ≥ ....

Por lo tanto ambas sucesiones convergen a un mismo valor que es el área buscada. Es decir:

n

lím n

∑

→∞ i = 1

m

∆x i = i

n

lím n

∑

→ ∞ i =1

M

i

∆x i = A

Si en lugar de considerar como altura los máximos o mínimos absolutos de f(x) en cada subintervalo, se elige en cada uno de ellos un punto arbitrario y se toma como altura de los rectángulos f( ), obtenemos , para cada partición, la suma de Riemann o suma integral: n

Suma de Riemann:

SR =

∑ f (α i ). ∆xi . i =1

Resulta, para cada partición:

S P ≤ SR ≤ S P

94

U.T.N. Integral definida Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I:

Se genera de esta forma una nueva sucesión, la de las sumas de Riemann que permanenetemente se encuentra comprendida entre la de sumas inferiores y la de sumas superiores. Por lo tanto, cuando n →∞ , la sucesión de sumas de Riemann tiene el mismo límite que ellas. Definición Sea f(x) continua en [a,b], se llama integral definida de f(x) entre a y b

∫ a f ( x ). dx ,al límite, si existe, para n→ ∞, b

y se indica

de la sucesión de sumas de Riemann.

(Si f es continua, el límite siempre existe).

∫a

b

n

f ( x ). dx =

lím n

→∞

∑

i =1

f(

α i ). ∆x i

Interpretación geométrica Si la función es no negativa en [a,b], la integral definida representa el área limitada por f(x) , el eje x y las paralelas al eje y trazadas por a y por b . •

•

PROPIEDADES

∫ a f(x) dx = 0 b a II) ∫ f(x) dx = - ∫ f(x) dx. a b b c c III) ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx a b a b b b IV ) ∫ ( f(x) + g(x) ) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx. a a a b b V) ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx a a b b VI) |∫ f(x) dx| ≤ ∫ |f(x)| dx a a I)

•

a

Teorema del valor medio del cálculo integral

Si f es continua en [a,b], entonces existe un punto c interior a (a,b) tal que es igual al producto entre f(c) y la amplitud del intervalo de integración.

∫a

b

f(x) dx

Interpretación geométrica: Si f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ [a,b], el teorema expresa que el área limitada por la curva representativa de f, el eje x y las paralelas al eje y trazadas por a y b es equivalente al de un rectángulo con base (b-a) cuya altura es el valor de f en algún punto interior del intervalo. y f(c)

Demostración a b x

c

U.T.N. Integral definida Facultad Regional Avellaneda

95

Análisis Matemático I:

De acuerdo con lo expuesto en la introducción, al hacer una partición regular en [a,b] se obtiene: n

∑

m. (b - a) ≤

n

m

i =1

∆x i i

≤

∑

M

i =1

Tomando límite para n→∞ se tiene: b

∫

m. (b - a) ≤

a

i

∆x i

M.( b - a)

≤

f ( x ). dx

Si se dividen los tres miembros por (b - a) resulta: b 1 m≤ f ( x ). b −a a

∫

M.( b - a)

≤

dx

≤

M

es un número comprendido entre el mínimo y el máximo de una función continua en un intervalo cerrado

Por el teorema del valor intermedio, resulta que existe c ∈ (a,b)/ f(c) = •

b

1 −a

b

∫

a

⇒

f ( x ). dx

b

∫

a

f ( x ). dx

= f(c) (b-a).

Función área o función integral

Si en una integral definida se mantiene fijo el límite inferior de integración y se considera variable el límite superior, se obtiene una función que depende de dicho límite . Esta función recibe el nombre de función área o función integral.

A( x) •

=

∫

x

a

f ( t ). dt

Teorema fundamental del cálculo integral o derivada de la función área

Si f es continua en [a,b] , y x0 es un punto interior a (a,b), la función A(x) = derivable en x0 y resulta A’ (x0)= f(x0). En efecto: Por definición de derivada: A’ (x0)= lím

x

∫a f (t).dt

A(x) − A(x 0 )

x − x0 Reemplazando por la definición de A(x), se tiene: x → x0

A’ (x0)=

lím

∫

x

a

f ( t ) dt

−

∫

x0

a

f ( t ) dt

x

= lím

a

∫a f(t)dt + ∫x0 f(t)dt

x − x0 Por el T. Del valor medio del Cálculo integral resulta: x →xo

x

− x0

x → xo

x

= lím

x → x0

∫x0 f(t)dt x − x0

f (c).(x − x 0 ) con c entre x0 y x ⇒ A’ (x0)= lím f (c) = f (x 0 ) x → x0 x − x0 x → x0

A’ (x0)= lím

por ser f continua

es

96

U.T.N. tegral definida Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I: In-

Aplicación Supongamos que queremos calcular el área de la región del plano limitada por π y = senx, el eje x y la recta x= 2 El área se calcula mediante la integral:

y

1 x

0 0

1

π 2

2

A=

3

π/ 4

∫0

sen

x . dx

Defino la función área asociada: A(t)=

t

∫0

sen

x . dx

Si bien no conocemos esta función, por el Teorema fundamental de Cálculo integral, su derivada es la función que estamos integrando. A’(x)= sen x⇒A(x)= - cos x + C, ya que (-cos x)‘ = sen x 0

∫0

Como A(0)=

sen

x . dx

= 0 (por prop. de integral def.), resulta: - cos 0 + C = 0

Entonces: C = cos 0.Por lo tanto: A(x) = - cos x + cos 0 Nos interesa A( π 4 )=

π/ 4

∫0

sen

x . dx

2 = - cos π 4 + cos 0= − +1 2

Concepto de primitiva Si F es una función tal que F’(x) = f(x), diremos que F(x) es una primitiva de f(x). Por ejemplo: y= x2; y = x2+1; y = x2+ 100 son primitivas de f(x) = 2x es derivada de

f( x)

F(x )

es primitiva de El cálculo de primitivas se hace a través de la integración indefinida. Regla de Barrow: Se quiere calcular Defino A(t)=

t

b

∫a f ( x ).dx con f continua en [a,b].

∫a f(x).dx

⇒ A' (t) = f (t) ⇒ A(t) = F(t) + C / F' (t) = f(t)

(Por el T. Fundamental del Cálculo

Pero A(a)= Resulta:

b

a

∫a f(x).dx =0 (prop. de la integral def.) ⇒ F(a) + C = 0 ⇒ C = b

∫a f(x).dx = A(b) = F(b) + C ⇒ ∫a f(x)dx = F(b) − F(a), siendo

−F(a)

F' (x) = f (x)

Análisis Matemático I: In- 97

U.T.N. tegral definida Facultad Regional Avellaneda

• Teorema: Si dos funciones tienen la misma derivada entonces difieren a lo sumo en una constante. H) F(x) y G(x)/ F’(x)= G’(x) T) F(x) = G(x) + C Demostración: Por hipótesis F’(x)= G’(x)⇒ F’(x) - G’(x)=0 ⇒[F(x)-G(x)]’=0⇒F(x) – G(x) = C⇒F(x) = G(x) +C. Consecuencia:

•

La primitiva de una función no es única. Existe una familia de infinitas funciones que difieren entre sí en una constante, que admiten la misma derivada. Geométricamente esto significa que para un mismo valor de x, las curvas tienen rectas tangentes paralelas Aplicaciones de la Integral definida

•

1.- Cálculo de áreas planas 1.1.- Área de la región limitada por y = f(x), x = a, x = b y = 0 , siendo f continua en [a,b]. 1.1.1.- f(x) ≥ 0,∀ x ∈[a,b] f(x)

Por la interpretación geométrica de la integral definida, resulta:

y

A=

∫ a f ( x ) ⋅ dx b

x a b 1.1.2.- f(x) ≤0,∀ x ∈[a,b]

y xb

a x

En este caso la integral resulta negativa, entonces: A=-

∫ a f ( x ) ⋅ dx = ∫ b f ( x ) ⋅ dx b

f(x )0

a

1.1.3.- f(x) cambia de signo en [a,b] f(x )

y

x

a

a) Se buscan los valores de x para los que f(x)=0. En el ejemplo , x=c b) Se calcula el área como suma de áreas:

c

∫ a f ( x ) dx + ∫b f ( x ) dx c

A =

c

98

U.T.N. tegral definida Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I: In-

b

Ejemplo: Calcular el área limitada por : y = ln(x-1) , el eje x , entre x=1.5 y x= 2.5

y

1.5

x 2

2.5

5

La curva corta al eje x en x= 2. Luego: A=

∫2

A

=

15 .

ln( x − 1) dx + ∫

x . ln( x

2.5 2

− 1) − x − ln(

x

ln( x − 1). dx − 1) ]12. 5 + x . ln(

x

− 1) − x − ln(

x

− 1) ]22. 5 =

=1,5. ln0,5-1,5 – ln0,5-2.ln1+2+ ln1+2.5 ln1.5 - 2.5-ln1.5-2.ln1+2-ln1= =0,5.ln0,5+1,5.ln2,5 A=1,03

1.2.- Área comprendida entre dos curvas y

a) Se buscan los puntos de intersección entre las dos curvas, en el dibujo: a y b. b)

g(x)

∫ a f ( x ) ⋅ dx − ∫ a f ( x ) ⋅ dx = ∫a ( f ( x ) − g ( x )) dx b

A= f(x)

b

b

x a b b Ejemplo: Hallar el área de la región limitada por : x.y = 4 ; y=x ; x=8 y

 x.y = 4 ⇒ x2 = 4 ⇒| x |= 2  x = y  x.y=4

y=x

 8 4 x2 A =  x − .dx = − 4 ln | x | 2 x 2 

∫

A =

8

2

⇒

 22  82 − 4.ln 8 −  − ln 2  = 32 − 4.ln 23 − 2 + ln 2  2  2

Análisis Matemático I: In- 99

U.T.N. tegral definida Facultad Regional Avellaneda

1.3.- Longitud de un arco de curva Sea f:[a,b]→R continua con derivada continua. Interesa calcular la longitud del arco de la curva que f define entre A=(a;f(a)) y B=(b;f(b)). Provocamos una partición regular en [a,b], haciendo:a= x0 < x1 < ....<xi-1<xi <....x n = b, con ∆xi = xi -xi -1=

y Pi-

f(b)

Pi

b−a n

Esa partición induce en el arco de curva un conjunto de puntos: P0=A, P1 ,...Pi-1, Pi,...,Pn=B Estos puntos determinan una poligonal en el arco , cuyo perímetro es una aproximación de la longitud pedida.

P0 =A f(a)

x0=a x1..........xi-1 xi.................xn=b

Para calcular ese perímetro debemos calcular la medida de cada uno de los segmentos que la componen. Pi pi-1

|Pi-1Pi | =

(∆ x )2 + (∆ y )2 i

i

Por el Teorema del valor media del cálculo diferencial (teorema de Lagrange), ∆ yi = f ' ( ci )∆ xi , x i −1 < ci < xi

Resulta:

Pi −1Pi = ∩

Luego: long. AB =

( ∆ xi ) 2 + ( f n

∑ n →∞ lím

i =1

' ( ci ). ∆ x i ) = 1 + f '2 ( ci ) ⋅ ∆ x i 2

1 + f '2 ( ci ) ⋅ ∆ x i =

∫a

b

1 + f '2 ( x ) ⋅ dx

100

U.T.N. tegral definida Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I: In-

 x = x( t ) y' t , como según se vió: y ' x = x' t  y = y( t )

Si la función se define paramétricamente mediante:  Entonces resulta:

 y' t  2 y' 2 1 + f ' ( x) = 1 +   = 1 + t2 =  x' t  x' t 2

x' 2t + y' 2t x '2t

=

x'2t + y' 2t x' t

Si x = x(t) , entonces dx= x’(t) dt. Como la longitud es positiva, dx debe ser positivo, y si

t a ≤ t ≤ t b , resulta dt >0, es decir x’(t) >0. Reemplazando en la fórmula de la longitud de arco se obtiene:

long. AB=

t 2 2 ∫t b x't +y't dt a

U.T.N. Integrales impropias Facultad Regional Avellaneda

101

Análisis Matemático I:

Integrales Impropias

•

Las integrales se han definido para funciones continuas en conjuntos acotados. Si los conjuntos no son acotados o las funciones presentan alguna discontinuidad en el intervalo de definición, se generaliza el concepto de integral mediante las integrales impropias. Integrales impropias de primera especie (Intervalo no acotado) Ejemplo: Consideramos la función f:[0,+∞ ) → R/ f(x) = Sea b ∈ [ 0, +∞ ) , se puede calcular

e

−x

y b

F(b)=

∫

e

0

]

− x dx = e − x b −b + e 0 = 1 − 1 − 0 = −e b e

b

Se puede calcular

Resulta

lím b

→ +∞

lím b

F( b )

→ +∞

F( b )

=

lím b

→ +∞

 1 = lím 1 −  b b → +∞  e

∫

e

1

− x dx

0.

∫

e

0 0

0.

  =1  

0. 5

1

1. 5

2

2. 5

3

0.

Se dice que la integral de primera especie de f(x)= +∞

x

0

e

−x

en [0,+ ∞ ) (que se escribe

− x dx ) converge a 1

0 +∞

∫

e

− x dx =1

0

Definición: Dada f: [a,+∞ ) → R, continua , se llama integral impropia de primera especie de f en [a,+ ∞ ) +∞

(se indica:

∫

f ( x ) dx

b

) al límite, si existe, para

b

→ +∞ , de F(b)=

a

∫

a

+∞

∫

a

f ( x ) dx

b

=

lím b

→ +∞

∫

a

f ( x ) dx

.

f ( x ) dx

102U.T.N.

Análisis Matemático I:

Integrales impropias Facultad Regional Avellaneda

Si el límite es finito, se dice que la integral impropia converge al valor del límite; si es infinito, la integral impropia diverge y si el límite no existe, se dice que oscila Con el mismo criterio se define: b

∫

b

f ( x ) dx

−∞

=

lím a

→ −∞

∫

, siempre que el límite exista

f ( x ) dx

a

Integral impropia de segunda especie (la función es continua en un intervalo semicerrado) Ejemplo: Sea : f

: [ 0 ,1)

→

R / f ( x)

1

=

y sea ε >0

1− x 2

Calculamos:

y

1− ε

1

∫

1− x 2

0

dx

=

arc sen x]10− ε = arc sen(1 − ε) Resulta F(ε )= arc sen (1-ε ). Se puede calcular el límite para ε→0+: lím

ε →0

+

arc

sen

(

1 − ε) =

π 2

x

Se llama integral impropia de segunda especie de f en [0,1) a: 1−

∫

1

2 0 1− x

1− ε dx

=

lím

ε→ 0

+

∫

0

1 1− x 2

dx

=

lím

ε →0

+

arc

Definición: Sea f: [a,b)→R, continua en [a,b) y tal que segunda especie de f en [a,b) a:

sen

lím

x →b

(

−

b−

∫ f(x)dx = lím a

ε → 0+

1 − ε) =

f ( x)

b−ε

= ∞ . Se llama integral impropia de

∫ f(x)dx

a

π 2

U.T.N. Integrales impropias Facultad Regional Avellaneda

Análisis Matemático I:

b

Con el mismo criterio se define:

∫

a

+

103

b

f ( x ) dx

=

lím

ε → 0+

a

∫

f ( x ) dx

−ε

Puede ocurrir que la integral sea convergente, si el límite existe y es finito, divergente, si es infinito u oscilante, si no existe.

104

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Análisis Matemático I: Fórmula de Taylor

POLINOMIO DE TAYLOR 1.-Introducción: Guía para trabajar con el Mathematica. Dada una función cualquiera, derivable hasta el orden n+1, nos interesa encontrar funciones polinómicas de distinto grado, que permitan aproximar la función en el entorno de un punto. Esta guía, que precede a la explicación teórica, tiene por objeto permitirles verificar, con la ayuda del Mathematica, que tales polinomios existen, y reconocer, mediante cálculos y a través de la presentación de gráficos conjuntos, los factores que inciden para lograr una mejor aproximación. A continuación mostraremos algunos ejemplos indicando los comandos que se deben teclear y mostrando lo que devuelve la pantalla del soft. Series[Log[x],{x,1,1}] (-1 + x) + O [-1 + x]

2

Entre llaves se ha indicado cuál es la variable, en el entorno de qué punto se pretende trabajar y el grado del polinomio. Mathematica devuelve el polinomio pedido y agrega un término que expresa el orden del error que se comete. Repetiremos el proceso cambiando el grado del polinomio. Series[Log[x],{x,1,2}] (-1 + x)2 (-1 + x) - --------- + O[-1 + x]3 2 Series[Log[x],{x,1,3}] (-1+ x)2 (-1 + x)3 (-1 + x) - --------- + --------- + O[-1 + x]4 2 3 Llamaremos f a la función y f1,f2 y f3 a los polinomios de primero, segundo y tercer orden obtenidos. Calcularemos las imágenes de estas funciones en puntos próximos a a=1 para ver analizar cuáles son los factores que intervienen en mejorar la aproximación. Finalmente mostraremos en un mismo gráfico las representaciones de f y de sus polinomios aproximantes, dando indicaciones como para que en la pantalla puedan distinguirse los gráficos de las distintas funciones. f[x_]:=Log[x] f1[x_]:=-1+x f2[x_]:=-1+x-(-1+x)^2/2

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Análisis Matemático I: Fórmula de Taylor 105

f3[x_]:=-1+x-(-1+x)^2/2+(-1+x)^3/3 {f[1.2],f1[1.2],f2[1.2],f3[1.2]} {0.182322, 0.2, 0.18, 0.182667} {f[1.5],f1[1.5],f2[1.5],f3[1.5]} {0.405465, 0.5, 0.375, 0.416667} {f[0.2],f1[0.2],f2[0.2],f3[0.2]} {-1.60944, -0.8, -1.12, -1.29067} Vemos que la aproximación depende del grado del polinomio y de la distancia entre x y el punto en cuyo entorno estamos desarrollando la función. A continuación dibujaremos la función y los polinomios aproximantes. Presentamos algunas de las opciones que pueden utilizarse para facilitar el reconocimiento de las funciones: grosor, color y estilo de la línea de trazado. También indicamos distintas posibilidades para que el programa muestre gráficos superpuestos. Plot[f[x],{x,0.01,1.8}]

Plot[f1[x],{x,0.01,1.8}];

106

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Análisis Matemático I: Fórmula de Taylor

Show[%,%%]

Plot[{f[x],f3[x]},{x,0.01,1.8}, PlotStyle->{{Thickness[0.01],GrayLevel[0.5]}, {Thickness[0.005],RGBColor[1,0,0],Dashing[{0.04,0.02}]}}];

Plot[{f[x],f2[x],f3[x]},{x,0.01,1.8}, PlotStyle->{{Thickness[0.01],GrayLevel[0]}, {Thickness[0.005],RGBColor[0,0,1],Dashing[{0.03,0.04}]}, {Thickness[0.005],RGBColor[1,0,0],Dashing[{0.04,0.02}]}}];

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Análisis Matemático I: Fórmula de Taylor 107

La sentencia para limpiar las asignaciones es Clear[f,f1,f2,f3] Tecléela y repita el proceso para f(x) = ex (Se escribe :Exp[x]) en un entorno de a=0. 2.- Orden de contacto de dos funciones

Sean f y g dos funciones definidas en un entorno de x0 , derivables hasta el orden n+1. Se dice que f y g tienen un contacto de orden n en x0 si y sólo si en x0 , ambas funciones coinciden, como así también sus n primeras derivadas, siempre que existan pero sean distintas las derivadas de orden n+1. Por ejemplo: Las funciones f(x)= ln x , y g(x)= (− 1 + x) − f(1)=0

g(1)=0

1 f ’(x)= ⇒ f ' (1) = 1 x −1 f ” (x)= ⇒ f " (1) = −1 x2 f”’(x)= f iv (x)=

(−1 + x)2 (−1 + x)3 − 2 3

2 x3 −6

⇒ f " ' (1) = 2

g’(x)= 1 – (-1+x) - (− 1 + x)2 ⇒ g’(1)=1 g”(x)= -1 –2(-1+x)2 ⇒ g" (1) = −1 g”’(x)=2 ⇒ g" ' (1) = 2

⇒ f iv (1) = − 6 giv(x)=0 ⇒ giv (1) = 0 x4 Resulta que f y g tienen un contacto de tercer orden.

3.- Polinomio de Taylor Dada una función f :A → R, con A ⊆ R, derivable hasta el orden (n+1) en x0 , se busca un polinomio de grado n, escrito en potencias de (x-x0 ), que tenga con f un contacto de orden n en x0 . El polinomio que se busca tiene la forma: Pn(x)= a0 + a1 (x-x0 ) + a2 (x-x0 )2 +.....+ an-1 (x-x0 )n-1 + an (x-x0)n Obtenemos las n primeras derivadas de Pn(x): p’n(x)= a1 + 2.a 2 (x-x0 ) +.....+(n-1) an-1 (x-x0 )n-2 + ann (x-x0 )n-1 P”(x)= 2.a 2 +.....+(n-1)(n-2) an-1 (x-x0 )n-3 + ann(n-1) (x-x0)n-2 ............................................................................... P(n)n(x)= an n!

108

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Análisis Matemático I: Fórmula de Taylor

Como se pretende que en x0 coincidan las derivadas de la función con las del polinomio, se tiene: a0 = f(x 0 )

a1 = f ’(x0 )

a2 =

f " (x 0 ) 2!

................ an =

f (n) (x 0 ) n!

Reemplazando en la expresión original del polinomio buscado, resul ta:

Pn(x) = f(a) + f ′(a).(x - a) + n

Pn(x) =

(n) f" (a) f (a) (x - a )2 + ... + .(x - a )(n) 2! n!

1

∑ i! f

(i )

(x0 ).(x − x 0 )i

i= 0

El ejemplo presentado en la introducción muestra que la aproximación mejora cuando más grande es el grado del polinomio y cuanto más cerca está x de x0 . Para x∈ E(x 0 ), se puede escribir: f(x) ≅ Pn (x). El error que se comete se llama resto de Taylor o término complementario. La expresión del término complementario, según Lagrange es:

Tn + 1 =

f n + 1 (c)(x − x0 )n + 1 (n + 1)!

con c entre x0 y x

Si x0 =0 , la fórmula se llama de Mac Lauren y adopta esta forma:

n

f(x)=

1

∑ i! f

(i)

(0).x i +

Tn+1 donde Tn + 1 =

i= 0

f n + 1 (c).xn + 1 con c entre 0 y x (n + 1)!

Ejemplo: Dada la función f(x) = ex, se pide: a) Polinomio de MacLaurin de segundo grado. b) Calcular con el polinomio hallado en a)

e y acotar el error cometido.

c) Hallar el grado del polinomio que permite encontrar

e con error menor que 0,0001

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Análisis Matemático I: Fórmula de Taylor 109

a) El polinomio de Mac Laurin de segundo grado es: 2(x)= f(0) + f' (0)x + f(x)=f ’(x)=f ”(x)= ex ⇒ f(0)=f ’(0)=f ”(0)=e0 =1

1 f " (0)x 2 . Pero 2!

P2 (x)= 1+ x + 0.5 x2

Luego:

b) Como quiero e =f(0.5), calculo P2 (0.5)=1+0.5+0.5 . (0.5) 2=1.625 Teniendo en cuenta que el término complementario es: T3 =

f

111

(c).x 3 e c 0.5 3 1 c = = e con 0
1 ⇒ e 0 < e c < e 0.5 ⇒ 1 < e c < e 0.5 . Pero 2 < e < 3 ⇒ e 0.5 < 30. 5 < 2 2 Luego, se tiene: 0
∩ 1 1 c 1 1 1 < e < 2. ⇒ < T3 < = 0 .041 6 ⇒ T3 < 0.1 48 48 48 48 24 Es decir, podemos asegurar que

1 < e c < 2 ⇒ 1.

e ≅ 1,6 con ε < 0,1 Efectivamente, con la calculadora se obtiene: e = 1.648721271

c) Quiero hallar n / Tn+1 (0.5)< 0.001 Como Tn+1(0.5)= 2 2

n+1

(n + 1)!

e c .(1 2)n + 1 ec = , y ec < 2, resulta que debe ser: n+1 (n + 1)! 2 (n + 1)!

< 0 .001 ⇒

1 n

2 (n + 1)!

<

1 ⇒ 2 n.(n + 1)! > 1000 1000

3

Para n=3 es: 2 .4!=192<1000, pero para n =4 es: 24 5!=1920>1000 Significa que si se toma el polinomio de cuarto grado de MacLaurin se logra la aproximación deseada. P4 (x)= 1+ x + 0.5 x2 +

1 3 1 x + .x 4 24 6

P4 (0.5)=1.6484375 ≅ 1.648 que efectivamente es

e con error menor que 0.001

110

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Análisis Matemático I: Sucesiones y Series

SUCESIONES Ejemplos Dividamos un cuadrado de lado 1 en 9 cuadrados de lado 1/3 y pintemos el del centro; repitamos el procedimiento con cada cuadrado de lado 1/3, luego con cada cuadrado de lado 1/9 y así sucesivamente. La figura muestra pintados: un cuadrado de lado 1/3; 8 de lado 1/9 y 64 de lado 1/27.

Calculemos el área y el perímetro de la zona sombreada en cada paso:

1

Núm. de cuadrados pintados en este paso

Medida del lado del cuadrado pintado

1

1 3

2

8

1 9

3

82 =64

1 27

---

---------

-----------1

n

8

n-1

3n

Perímetro de los cuadrados pintados en este4paso

3 8.

4 8  4 32 = = .  3 3  9 9

64 .

4 4 8 = .  27 3 3 ----------4  8 .  3  3

n −1

2

Área de los cuadrados pintados en este paso

1    3  1    9 

2

2

=

1 9

1 =  3

1    3 

4

6

-------------1    3 

2n

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111

Análisis Matemático I: Sucesiones y Series

Podemos observar que a cada paso le corresponde: a) un número de cuadrados pintados b) la medida del lado de cada cuadrado pintado c) el perímetro de la zona pintada en ese paso d) el área de la zona pintada en ese paso Entonces, podemos considerar que se han definido cuatro funciones cuyo dominio es la columna encabezada por “Pasos” y cuyas imágenes se dan en cada columna no sombreada de la tabla anterior. Como el dominio es en todos los casos el conjunto de números naturales, podríamos escribir sólo las columnas no sombreadas y todos entenderíamos de qué se trata. La fila que corresponde a “n” nos da la fórmula de la función. Si obviamos indicar el paso, podemos escribir directamente la forma de calcular el número de cuadrados, la medida del lado, el perímetro o el área de cada cuadrado Es decir: • el número de cuadrados pintados está dado por la función: c:N → R/ c(n)= 8

n-1

,

pero podríamos escribir sólo el conjunto imagen:{1 , 8, 64,...., 8n-1 ,...} ,o bien podríamos escribir que las imágenes son (cn)n∈N siendo cn=8n-1 • Las restantes sucesiones definidas por el cuadro son: 1 La de las medidas de los lados de los cuadrados pintados: {an } n∈N / an = 3n n

La de los perímetros de la zona pintada en el paso “n”: {p n } n∈N / p n =

4 8  .  , etc. 3 3 

Definición 1 Se llama sucesión de números reales a toda función a: N→R /a(n) = a

n

Notación: Como la sucesión queda caracterizada por el conjunto imagen, se las denota: {an}n ≥1

Definición 2: La sucesión {an}n ≥1 converge a l o tiene límite l si y sólo si

∀ε > 0 ,∃n0 ∈ N / ∀n:(n > n0 ⇒ an − l < ε ) Las sucesiones con límite finito son convergentes Por ejemplo: 3n lím = 3 ⇒ sucesión convergent e n→∞ n + 2

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Análisis Matemático I: Sucesiones y Series

Propiedades de las sucesiones convergentes: 1.- Toda sucesión convergente está acotada. 2.- Si una sucesión es convergente, su límite es único. 3.- Para las sucesiones convergentes valen las propiedades del álgebra de lími tes finitos .(límite de una suma, de un producto, etc) Definición 3: tiene límite infinito  lím an = ∞  si y sólo si n→∞  ∀ k >0, ∃ no ∈ N/∀ n :[ n ≥ n0 ⇒|a n | > k] La sucesión {an}n

≥1

Si una sucesión tiene límite infinito, es divergente Si no tiene límite , es oscilante. Ejemplos: lím (−2)n = ∃ → la sucesión es oscilante

n→ ∞

lím n

n→∞

2

= ∞ ⇒ la sucesión es divergente

Definición 4: ♦ La sucesión {an}n ≥1 está acotada inferiormente si y sólo si ∃ k ∈ R/ a n ≥ k, ∀ n (k es cota inferior) ♦ La sucesión {an}n ≥1 está acotada superiormente si y sólo si ∃ M∈ R/ a n ≤ M, ∀ n (M es cota superior) ♦ La sucesión {an}n ≥1 está acotada si y sólo está acotada superior e inferiormente Definición 5: La sucesión {an}n ≥1 es creciente si y sólo si ∀n: an ≤ an+1 Definición 6: La sucesión {an}n ≥1 es decreciente si y sólo si ∀n: an ≥ an+1 Definición 7: La sucesión {an}n ≥1 es monótona si y sólo si {an}n ≥1 es creciente o de creciente.

•

Propiedades de las sucesiones monótonas: i) Si la sucesión {an}n ≥1 es monótona y acotada, entonces es convergente.

ii) Si la sucesión {sn}n ≥1 se cumple que:

es monótona y no está acotada, entonces, si es

lím an = +∞ , y si es decreciente: lím an = − ∞ . n→ ∞ n→ ∞

creciente

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Análisis Matemático I: Sucesiones y Series

SERIES Definición 1: Sea la sucesión{ an }n ≥ 1 . Se llama serie de términos an a la sucesión de sumas parciales de n

{ an }n ≥ 1, es decir a la sucesión { Sn }n ≥ 1 donde Sn =

∑ ak

.

k =1

Como una serie es una sucesión, la serie es convergente si y sólo si la sucesión de sumas parciales es convergente. El límite de Sn es la “suma de la serie”. ∞

∑ ak

Para expresar la suma de una serie se utiliza la siguiente notación:

k =1

Pero, por abuso de notación, se suele representar con el mismo símbolo a la serie, aunque no se sepa si es o no convergente (Se lee “serie de los ak “ ) Propiedades: ∞

1.-

∑ ak

k =1

y

∞

∑ bk

k =1

∞

convergentes ⇒

∞

2.- ∀ α ≠ 0 :

∑ ak

k =1

+ bk )

y

∑ (a k

k =1

− bk )

convergentes.

∞

y

∑ α ⋅ ak

k +1

∞

3.-

∑ (a k

k =1

∞

∑ ak convergente

k =1

⇒

son ambas convergentes o ambas divergentes.

an = 0 lím n →∞

Definición 2:

∞

∑ ak

k =1

es una serie geométrica de razón r ⇔ a

Propiedades

n

= a .r n (con a y r ctes, a≠0)

∞

∑ a ⋅ r k converge ⇔ |r |<1.

•

La serie geométrica

•

La suma de una serie geométrica de razón r /|r |<1 es

k =1

S=

a 1−r

En efecto: Queremos encontrar la suma de n elementos de una sucesión aritmética; es decir: Sn = a + a.r + a.r2 +a.r3 +....+a.rn-1

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Análisis Matemático I: Sucesiones y Series

Multiplicamos ambos miembros por r:

Sn .r = a.r + a.r 2 + a.r 3 +a.r 4 +....+a.r n Si restamos miembro a miembro, resulta : Sn = a + a.r + a.r 2 +a.r 3 +....+a.r n-1 Sn .r = a.r + a.r 2 + a.r 3 +a.r 4 +....+a.r n Sn - Sn .r = a - a. rn

Sacando factor común, se tiene:

Sn (1-r) = a (1 – rn) ⇒

Sn

=a

1 − rn rn − 1 =a 1−r r −1

Además cuando

n→ ∞ : Sn

•

 converge a a 1  n = − r →  →∞ 1− r 1 − r  oscila  

a si | r | < 1 1− r si | r | > 1 v r = 1 si

r = −1

Criterios de convergencia para series de términos positivos I.- De comparación: Sean las sucesiones {

a n}

n ≥1

y { b n} n ≥1 .Si se cumple que

∃no ∈ N / ∀n ≥ n0 :0 ≤an ≤bn, entonces : ∞

* *

∞

∑ bk

converge ⇒

∑ ak

diverge ⇒

k =1 ∞ k =1

Consecuencia: Si { a n} n ≥1 y { b n} que lím

n→∞

n ≥1

∑ ak converge

k =1 ∞

∑ bk diverge

k =1

son dos sucesiones de términos positivos tales ∞

∞

∑

∑

an = l > 0 se cumple que: ak converge ⇔ bk converge bn k =1 k =1 ∞

Definición 3:

Se llama serie armónica a la serie

1

∑k.

k =1

La serie armónica diverge. En efecto: La serie armónica es: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + + + + ... 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 >

La comparamos con:

1+

≥

≥

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + ... 2 4 4 8 8 8 8 16 16 16

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Análisis Matemático I: Sucesiones y Series

La segunda serie puede agruparse de tal forma que desde el segundo término en adelante se obtiene una serie geométrica de razón 1, es decir, divergente. Entonces por si la serie armónica admite una serie minorante divergente, es divergente. ∞

Se llama serie armónica generalizada o serie “ p”armónica

∑

a la serie

k =1 k

. Esta serie sólo converge si p >1; en los demás casos diverge. Veamos el caso p=2 ∞

1

∑n

n =1

2

=1 +

1 2

2

+

1 3

2

+

1 4

1

+

2

5

2

+

1 6

2

+

1 7

2

+

1 8

2

+

1 9

2

+

1 10 2

Λ =

1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + Λ 4 9 16 25 36 49 64 81 = < = < < < 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + Λ 4 4 16 16 16 16 64 64

=1 +

La comparamos con

Entonces:

1+

2

1 + 4

Κ 4

1 Λ +Λ 16

1 Λ 64

La segunda serie puede agruparse de tal forma que se obtiene una serie geométrica de razón 1/2, es decir, convergente. Entonces por si la serie armónica admite una serie mayorante convergente, es convergente. II.- Criterio de D’Alembert Si { a n}

es una sucesión de términos positivos tal que

n ≥1

an + 1

lím n→ ∞ a n

∞

∑ ak

= l , entonces: l <1 ⇒

k =1 ∞

converge

∑ ak

l >1 ⇒

k =1

diverge

(Si l =1, el criterio no permite obtener conclusiones) III.- Criterio de Cauchy Si { a n} n ≥1 es una sucesión de términos positivos tal que

lím

∞

n an =

l , entonces:

l <1

n→ ∞

⇒

∑ ak

k =1

converge ∧

∞

l >1

∑

ak diverge. k =1 (Si l =1, el criterio no permite obtener conclusiones) ⇒

IV.- Criterio de Raabe (Se utiliza cuando al aplicar D’Alembert se obtiene límite 1)

Si {

a n} n ≥1 es una sucesión de términos positivos tal que

1 p

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Análisis Matemático I: Sucesiones y Series ∞

 an  − 1  = límn ⋅  a  n +1  n→ ∞

`

l

, entonces:

l >1

∑ ak

⇒

k =1

converge

∞

l <1 ⇒

∑ ak

k =1

diverge

(Si l =1, el criterio no permite obtener conclusiones) ∞

Definición 4:

Las series de la forma

alternadas. •

∑ (−1) k a k

k =1

con ak ≥ 0 se denominan series

Criterio de Leibniz para la convergencia de series alternadas Si { a n} que

n ≥1

es una sucesión decreciente de términos no negativos tal

lím an n→ ∞

= 0 , entonces la serie alternada

∞

∑ (−1)k ak

es convergente.

k =1

Series de términos cualesquiera

•

Definición 5: ∞

∞

n=1

n=1

∑ a n es absolutamente convergente si y sólo si ∑ an

es convergente.

Si la serie converge, pero la serie de los módulos diverge, se dice que la serie es condicionalmente convergente. •

Criterio de convergencia absoluta

Si { a n}

n ≥1

∞

∑ ak

l <1 ⇒ l >1 v

k =1

converge absolutamente ⇒ converge

| an +1 | =+ ∝ ⇒ n→ ∞ | an |

lím

| an +1 | = l , entonces: n→ ∞ | an |

lím

es una sucesión tal que

∞

∑ ak

k =1

diverge

Propiedades: • Toda serie absolutamente convergente es convergente. ∞

•

Si

∑ a n es condicionalmente convergente, ∀α∈R, es posible encontrar

n=1

reordenamiento { bn } de { an } tal que

∞

∑b

n

n= 1

converge a α.

(Para las series condici onalmente convergentes, no vale la propiedad conmutativa)

un

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Análisis Matemático I: Sucesiones y Series

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I.- SUCESIÓN DE FUNCIONES I.1Definición: Sea A[x] = { f / f:A→R es función con A⊆ R}, se llama sucesión de funciones a toda función s: N→ A [x].

Como las sucesiones numéricas , las de funciones quedan caracterizadas por su conjunto imagen. Ejemplo: s: N→ R [x] / s(n)= fn(x)= xn . El conjunto imagen es:{x , x2 ,...., xn,....} Notación: (fn )n≥1 = xn Para cada valor de x , la sucesión de funciones se transforma en una sucesión numérica que puede o no converger.

I.2.- Definición: Dada la sucesión de funciones (fn )n≥1 , de A en R ( con A⊆R), se dice que la sucesión converge puntualmente a una cierta función f:B→R (con B⊆ A) si y sólo si, para cada x∈ B se verifica que lím fn(x) = f(x ) . n→∞

Notación : fn→f, ∀x ∈B (si B=A, se indica sólo fn→f ) En el ejemplo: ♦ Si x ≤ -1 ∨ x > 1, las sucesiones numéricas que se obtienen divergen. ♦ Si -1<x < 1, las sucesiones numéricas que se obtienen convergen a 0. ♦ Si x = 1, fn(1)=1n = 1, ∀n ∈N. Entonces fn converge puntualmente a f:(-1,1]→R/

 0 si − 1 < x < 1 f ( x) =   1 si x = 1

Observación: Cuando se analiza convergencia puntual, se exige que: dado ε>0, para cada x ∈A, existe no(ε) ∈N tal que para todo n ≥ no se cumple que |f n(x)- f(x)|< ε . La expresión remarcada nos indica que, en realidad n0 depende de ε y del valor de x consi derado.

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Análisis Matemático I: Sucesiones y Series

I.3.-Definición : Dada la sucesión de funciones (fn )n≥1 , de A en R ( con A⊆R), se dice que la sucesión converge uniformemente a una cierta función f:B→R (con B⊆A) si y sólo si se verifica que para cualquier ε>0, existe no(ε) ∈N tal que si x∈B y n ≥ no , entonces |f n(x)- f(x)|< ε. Obsérvese que en este caso el valor de n para un ε dado es el mismo, independientemente del valor de x que se considere. En el gráfico que sigue puede verse que la sucesión del ejemplo no converge uniformemente en (-1,1] ya que para ε= 0,5 (rectángulo) no se verifica que, Independientemente del valor de x, exista n0 / n ≥ n0 ⇒|f n(x)- f(x)|< ε.

f1

y

•

f2

ε

f3

f4

x f

-ε

Otro ejemplo:

1 sen( nx ) . n

Consideremos A=R y (fn )n≥1 / fn(x)= 2 Como:

|f n(x)|=

1 1 1 2 sen( nx ) = 2 ⋅ sen( nx ) ≤ 2 , n n n

resulta que si se toma n0 <

∀ n ≥ n0:

1 , se cumple que: ε

1 1 1 1 2 ⋅ sen( nx ) = 2 ⋅ sen( nx ) ≤ n 2 ≤ n 2 < ε n n 0 0

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Resulta que: dado ε>0, ∃n0 <

119

Análisis Matemático I: Sucesiones y Series

1 / ∀ n : [n≥ n0 ⇒ f n ( x ) − 0 < ε ] ⇒ ε

f n converge uniformemente a f.

1

y

Puede verse que para n>1, f 1 |fn -0|<ε, independientemente del valor de x considerado.

0.75 0.5

ε

f2 f3 -6

-4

0.25

f4

x

-2

2 -0.25

4

6

ε

-0.5 -0.75 -1

I.4.-Propiedades de las sucesiones uniformemente convergentes I.4.1.- Si una sucesión converge uniformemente, entonces converge puntual mente. I.4..2.- Sea (fn)n≥1 una sucesión de funciones integrables en [a,b] que converge uniformemente a una función f , también integrable sobre [a,b]. Entonces:

lím

b

∫

n→∞ a

fn (x) ⋅ dx =

b

∫ f(x) ⋅ dx . a

I.4.3.- Sea (fn)n≥1 una sucesión de funciones continuas en (a,b) que converge uniformemente a una función f . Entonces f es continua en (a,b). I.4.4.- Sea (fn)n≥1 una sucesión de funciones con derivada continua en (a,b) que converge puntualmente a una función f . Si (f ’n)n≥1 converge uniformemente a una función continua g , entonces f es derivable en (a,b) y f ’ (x) = lím f 'n (x) = g(x). n→ ∞

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Análisis Matemático I: Sucesiones y Series

II.- SERIES DE FUNCIONES II.1.- Definición Dada la sucesión de funciones (fn)n≥1 , definidas de A en R (con A⊆R) , llamaremos serie de funciones y anotaremos

∞

∑ fn

, a la sucesión de sumas parciales

n= 1 k

(Sk ) k ≥1 , siendo Sk(x) =∑ f ( x ) . n n =1

Si la sucesión de sumas parciales converge puntual o uniformemente a una función f en A, diremos que la serie de funciones converge puntual o uniformemente , respectivamente, a f en A.

II.2.- Propiedades de las series uniformemente convergentes. ∞

Sea

∑ f n uniformemente convergente hacia f en [a,b] n= 1

∞

II.2.1.- Entonces

∑ f n converge puntual mente a f en [a,b]. n= 1

II.2.2.- Si cada fn ( con n≥1) es continua en [a,b], entonces f es continua en [a,b]. = II.2.3.- Si f y cada fn ( con n≥1) son integrables en [a,b], entonces: ∞

∞

n =1

n =1

∫ a f ( x ) ⋅ dx = ∫ a ∑ fn ( x ). dx = ∑ ∫ a fn ( x ) ⋅ dx . b

b

II.2.4.- Si

b

∞

∑ f n ( x ) converge puntualmente en (a,b) a una función f

y además la serie

n =1

∞

∑ f 'n ( x ) converge uniformemente a una función h continua en (a,b) , entonces f es deriva-

n =1

ble en (a,b) y f ’ (x) = h(x) , o sea f ‘(x)= II.3.- Prueba M de Weierstrass

∞

∑ f 'n ( x ) . n =1

Sean ( fn ) n ≥1 una sucesión de funciones definidas sobre A y (Mn ) n ≥1 una sucesión de números reales tales que :| fn (x) | ≤ M n ,∀ x ∈ A. ∞

Si

∑ Mn

n =1

converge , entonces ∀ x ∈ A

función f (x) definida en A.

∞

∑ f n ( x ) converge absoluta y uniformemente a una

n =1

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121

Análisis Matemático I: Sucesiones y Series

III.- SERIES DE POTENCIAS III.1.- Definición: Se llama serie de potencias a toda serie de funciones en la que cada fn es de la forma:

f n ( x ) = an ⋅ ( x − x o ) n con an∈ R, ∀n.

∞

Como mediante una sustitución adecuada todas pueden llevarse a la forma

∑ a n x n , nos n= 1

limitaremos a estudiar éstas. III.2.- Lema de Abel

∞

Sea x0 ∈ R - { 0} / la serie

n =1

∞

∀ r: 0 < r < |x 0 |, la serie

∑ an x 0 n resulte convergente. Entonces:

∑ anx n

converge absoluta y uniformemente en [-r, r]

n= 1

III.3.- Radio de convergencia III.3.1.Definición:

∞

Consideremos la serie de potencias misma al número real R definido como: +

R= supremo { r ∈ R0 /

∑ anx n

, se llama radio de convergencia de la

n= 1

∞

∑ anx n

converge en [-r,r] } ( R puede ser 0 o infinito).

n= 1

III.3.2.- Cálculo del radio de convergencia ∞

Sea

∑an x n , si existe n=1

l =

1 a n+1 ≠ 0 ó l = lím n a n ≠ 0 ⇒ R = . l n →∞ a n n →∞ lím

III.3.3.- Intervalo de convergencia ∞

Sea

∑an x n : n=1

a n+1 a) Si lím = ∞ ó lím n an = ∞ , R= 0 ⇒ n →∞ a n n →∞

∞

∑an x n sólo converge para x = 0. n=1

b) Si l = 0, la serie converge ∀ x y el radio de convergencia es infinito.

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Análisis Matemático I: Sucesiones y Series

∞

c) Si existe R finito / R ≠ 0,

∑an x n converge absolutamente en (-R,R) y debe analizarse la n=1

convergencia en x = R y en x = - R. Si converge absolutamente en uno de los extremos, ta mbién converge absolutamente en el otro. Si en uno de los extremos diverge y en el otro converge, en este último la convergencia será condicional. Por lo tanto, según lo que resulte en el análisis que se haga en los extremos, el intervalo de convergencia puede ser: (-R,R) , [-R,R], ( -R, R] ó [-R, R ) ∞

Además

∑an x n converge uniformemente en [-R+ ε , R - ε ], ∀ ε

> 0.

n=1

IV.- SERIES DE TAYLOR IV.1.- Definición Sea f una función indefinidamente derivable. Se llama serie de Taylor asociada a f a la ∞

serie

∑f i =1

(i )

( xo ) ⋅ ( x − x o ) i obtenida a partir del desarrollo de Taylor de f en un entori!

no del punto x0.

La condición necesaria y suficiente para que una función f sea igual a su serie de Taylor asociada en x0, es que el término complementario de Taylor tienda a cero cuando n

f ( n +1) ( c ) →∞. Es decir: lím ⋅ ( x −x 0 ) n +1 = 0 . n →∞ ( n + 1)!

En su intervalo de convergencia, las series de Taylor son derivables e integrables término a término.