Analisis Estructural

CAPÍTULO 1. ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS. 1.1 Introducción. La mayoría de las estructuras actuales están diseñadas para soportar sólo deformaciones pequeñas linealmente. Este es el caso de las estructuras metálicas, en las que el material se comporta conforme a la ley de Hooke; usualmente también se supone que las estructuras de concreto se deforman linealmente. Sin embargo, es posible que un miembro estructural recto fabricado con un material que satisfaga la ley de Hooke se deforme no linealmente cuando es sometido a una carga lateral y a una fuerza axial grande. Es importante reconocer la diferencia fundamental entre las estructuras estáticamente indeterminadas (hiperestáticas), en las que las fuerzas en estas últimas no se pueden obtener únicamente a partir de las ecuaciones de equilibrio estático: también se requiere conocer algunas de las condiciones geométricas bajo carga. El análisis de estructuras estáticamente indeterminadas, generalmente requiere la solución de ecuaciones lineales simultáneas, cuyo número depende del método de análisis.

(a)

(b)

(c) (d)

ANALISIS ESTRUCTURAL

1

(e)

(f)

(h)

(g)

Figura 1-1. Ejem plos de estruc turas retic uladas. (a) Viga c ontinua. (b) y (c ) Am aduras planas. (d) y (e) Marc os planos. (f) Marc o tridimensional (g) Armadura tridimensional. (h) Retíc ula horizontal sometida a c argas vertic ales.

1.2 Equilibrio de un cuerpo. En la figura 1-2a se representa un cuerpo sometido a fuerzas F1, F2,…, Fn en el espacio. En este contexto, el término fuerza significa, ya sea la acción de una carga concentrada, o un par de fuerzas, (un momento); en este último caso, el momento es representado por una flecha de doble cabeza. Una fuerza típica Fi actuando en un punto con coordenadas (xi, yi, zi) se muestra en la figura 1-2b empleando el sistema de mano derecha de ejes ortogonales x, y, y z. Las componentes de Fi en la dirección de los ejes de la fuerza son: Fix = Fi λix

Fiy = Fi λiy

Fiz = Fi λiz

(1-1)

Donde Fi es la magnitud de la fuerza (valor absoluto); λix , λiy y λiz se conocen como cosenos directores de la fuerza Fi, y son iguales al coseno de los ángulos α, β y γ entre la fuerza y las direcciones positivas de x, y, y z, respectivamente.

ANALISIS ESTRUCTURAL

2

y

z

y

x

z

My

F2

x Mx

(xi, yi , zi )

i

Mz

Fiy

F1

β

α γ

F3

Fix

Fiz

F0

Fi (a)

(b)

Figura 1-2. Sistem a de fuerzas y c om ponentes de las fuerzas. (a) Cuerpo som etido a fuerzas en el espac io. (b) Com ponentes de una fuerza típic a y c onvenc ión de signos positivos para Mx, My y Mz.

El momento de una carga concentrada Fi con respecto a los ejes x, y, y z (figura 1-2b) es igual a la suma de momentos de las componentes Fix, Fiy y Fiz; por lo tanto,

M ix = Fiz y i − Fiy z i

M iy = Fix z i − Fiz xi

M iz = Fiy xi − Fix y i

(1-2)

Para un cuerpo en equilibrio, las componentes de la resultante en las direcciones x, y, y z deben anularse de tal forma que se aplican las siguientes ecuaciones:

⎧⎪ ∑ Fx = 0 ⎨ ⎪⎩∑ M x = 0

∑F ∑M

y y

=0 =0

∑F ∑M

= 0 ⎫⎪ ⎬ z = 0⎪ ⎭

z

(1-3)

Cuando todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre se aplican en un plano, únicamente tres de las seis ecuaciones de equilibrio resultan significativas. Por ejemplo, cuando las fuerzas actúan en el plano x – y, estas ecuaciones son:

∑F

x

=0

∑F

y

=0

∑M

z

=0

(1-4)

Cuando una estructura en equilibrio está constituida por varios miembros, se deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio al aplicarse a la estructura como un todo. Cada miembro, nudo o parte de la estructura se encuentra también equilibrio y las ecuaciones de la estática también se deberían satisfacer. ANALISIS ESTRUCTURAL

3

Las ecuaciones de equilibrio 1-3 y 1-4 se pueden emplear para determinar las componentes de las reacciones o las fuerzas internas siempre y cuando el número de incógnitas no exceda el número de ecuaciones. En el caso de armaduras con miembros articulados y fuerzas aplicadas únicamente en los nudos, los miembros están sometidos a fuerzas axiales exclusivamente; por lo tanto, para un nudo de la armadura, las ecuaciones que expresan equilibrio de momentos incluidas en las ecuaciones 1-3 y 1-4 se anulan pero se pueden aplicar a una parte de la armadura para determinar las fuerzas en los miembros. Ejemplo 1-1. El elemento prismático en voladizo mostrado en la figura está sometido, en el plano de la sección transversal de su extremo libre, a las fuerzas F1 = P, F2 = 2Pb, como se muestra en la misma. Determine las componentes en O de la reacción resultante en el extremo empotrado; el punto O es el centro de la sección transversal. b 3b F2= 2Pb y z

x 1

1.5b 30°

F1 = P

Supóngase que las direcciones positivas de las componentes de la reacción son las mismas que las correspondientes a los ejes x, y, y z. Las coordenadas del punto de aplicación de F1 son (3b, 0.5b, -0.75b). Los cosenos λ1x , λ1 y , λ1z = {0, 0.5, 0.866} directores de F1 son Al aplicar las ecuaciones 1-1 y 1-2, se obtiene

{F

1x

, F1 y , F1z } = P{0, 0.5, 0.866}

⎧ M 1x ⎫ ⎧0.866 × 0.5 − 0.5 × (−0.75)⎫ ⎧ 0.808 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ − 0.866 × 3 ⎨M 1 y ⎬ = Pb ⎨ ⎬ = Pb ⎨− 2.598⎬ ⎪M ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1.500 ⎪ 0 .5 × 3 ⎩ 1z ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

ANALISIS ESTRUCTURAL

4

El momento aplicado F2 sólo tiene una componente: M2y = -2Pb. Las ecuaciones de equilibrio 1-3 proporcionan las componentes de reacción en el punto O: {FOx , FOy , FOz } = P{0, − 0.5, − 0.866}

{M

Ox

, M Oy , M Oz } = Pb{− 0.808, 4.598, − 1.5}

Observe que las reacciones no varían si la flecha de doble cabeza, que representa el momento F2 en la figura 1-3a, se desplaza a otra posición sin ningún cambio de dirección. Ejemplo 1-2. Determine las componentes de la reacción para el marco plano que se muestra en la figura. 2b

b

2b

P

4P

E

C B

D

b

2b

F A

2P

z x

R = -2P 1

R = -3.2P 3

y

Seleccione los ejes x, y, y z como se muestra y aplique la ecuación 1-4:

∑F ∑M ∑F

=0

x

y

z

=0 =0

R1 + 2 P = 0 − R1b + R2 (5b) − P (5b) − 4 P ( 2b) + 2 P (b) = 0

− R2 − R3 + P + 4 P = 0

La primera de las tres ecuaciones anteriores proporciona el valor de R1, el cual, al sustituirse en la segunda ecuación, permite la determinación de R2. Al sustituir R2 en la tercera ecuación, se obtiene R3. Las respuestas son: R1 = −2 P; R 2 = 1 .8 P ; R3 = 3.2 P. En este problema, podemos verificar que

∑M

z

= 0 con el eje z en un punto

diferente, por ejemplo en el punto A. Nótese que con esto no se obtiene una cuarta ecuación que se podría usar para determinar una cuarta incógnita; ello se debe a que la cuarta ecuación se puede derivar a partir de las otras tres. ANALISIS ESTRUCTURAL

5

1.3 Fuerzas internas: convención de signos y diagramas. La finalidad de un análisis estructural es poder determinar las reacciones en los apoyos así como las fuerzas internas (las resultantes de los esfuerzos) en cualquier sección. En vigas y marcos planos en los cuales todas las fuerzas en la estructura están en un solo plano, la resultante de los esfuerzos en cualquier sección tiene generalmente tres componentes: una fuerza axial N, una fuerza cortante V y un momento flexionante M. Las direcciones positivas de N, V y M se muestran en la figura 1-3a. Las variaciones de N, V y M a lo largo del miembro se presentan gráficamente en lo diagramas de fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante, respectivamente, que se presentan en la figura 1-3b. Las fuerzas N y V positivas se dibujan hacia arriba, mientras que el momento M positivo se traza hacia abajo. V M

N

N

M

V

(a) P

A

N

G

C

P

B

G

A

V

C

7P/3 Pb 2Pb G H

A

B

C

M

4Pb/3

(b)

Figura 1.3. (a) Valores positivos de N, V y M. (b) Diagram as de fuerzas axial, fuerza c ortante y m om ento flexionante.

ANALISIS ESTRUCTURAL

6

Tarea. Obtenga los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para las vigas y marcos estáticamente determinados que se muestran en la figura del problema 1-4. Carga total en BCD = qL

C 3L/8

qL B

0.4L

0.2qL

q por unidad de longitud

A

0.6L

D

B

A

C D 0.2L

E

L/2 qL/4

(a)

qL/4

F

G

0.2L L/5

L/5

L/2

P

C

B

P

L/2

(e)

90°

L D

A

B

Carga total sobre AB = qL

L

L/2

A L

(b)

(f)

P P

0.3qL 0.2L

0.6L

0.2L

B

A 0.5L

L

P

E

C

F

Carga total sobre FG = 2P

C

L

P

3L/2

E

0.5L

P

D

B

D

F

G

Carga uniforme q/ unidad de longitud

L

G

A

L 4@ L = 4L

(c )

(g)

D B

L

L

3 A 1

1

3

C

A

B

x

L/2 0.15L

L

(d)

ANALISIS ESTRUCTURAL

y

C

Vista en planta de una viga en voladizo horizontal sometida a su peso propio q por unidad de longitud

(h)

7

CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS. 2.1 Indeterminación estática. La indeterminación de una estructura puede ser externa, interna o de ambos tipos. Se dice que una estructura es indeterminada externamente si el número de componentes de reacción excede el número de ecuaciones de equilibrio. Por lo tanto, una estructura tridimensional es, en general, externa y estáticamente indeterminada cuando el número de componentes de reacción es mayor de seis. En una estructura plana, el número correspondiente es de tres. Cada una de las vigas de las figuras 2-1 a y b tiene cuatro componentes de reacción. Como sólo hay tres ecuaciones de equilibrio estático, se tiene una fuerza desconocida en exceso a aquellas que se pueden encontrar por estática, por lo que las vigas son externas y estáticamente indeterminadas. Se define el grado de indeterminación como el número de fuerzas desconocidas que excede el de las ecuaciones de la estática. Por lo tanto, las vigas de las figuras 2-1 a y b son indeterminadas en primer grado. Algunas estructuras se construyen de tal modo que el esfuerzo resultante en una sección determinada sea cero. Esto proporciona una ecuación adicional de equilibrio estático permite la determinación de una componente adicional de reacción. Por ejemplo, el marco de tres articulaciones de la figura 2-1c tiene cuatro componentes de reacción, pero el momento flexionante en la articulación central debe ser nulo. Esta condición, junto con las tres ecuaciones de equilibrio aplicadas a la estructura como cuerpo libre, es suficiente para determinar las cuatro componentes de reacción. R1 R2

R1

R2

R3

R3

R4

R4 (b)

(a)

R1

R2

R3 (c )

Figura 2-1. (a), (b) Estruc turas externa y estátic am ente indeterm inadas. (c ) Marc o de tres artic ulac iones estátic am ente determ inado. ANALISIS ESTRUCTURAL

8

Considérense ahora las estructuras que son externa y estáticamente determinadas, pero internamente indeterminadas. Por ejemplo, en la armadura de la figura 2-2a, las fuerzas en los miembros no se pueden determinar solamente con las ecuaciones de la estática. Si se retira (o se corta) uno de los dos miembros diagonales, las fuerzas en los miembros se pueden calcular con las ecuaciones de la estática. De ahí que la armadura sea internamente indeterminada en primer grado, aunque sea externamente determinada. El marco de la figura 2-2b es internamente indeterminado en tercer grado: se convierte en determinado si se hace un corte en uno de los miembros (figura 22c). El corte representa la eliminación o liberación de tres resultantes esfuerzo: fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante. El número de liberaciones necesarias para hacer una estructura estáticamente determinada representa el grado de indeterminación. El mismo marco se convierte en determinado si las liberaciones se efectúan introduciendo tres articulaciones como se muestra en la figura 2-2d, eliminando así el momento flexionante en tres secciones.

R1

R1

R2

R3

R2

(a)

R3 (b)

R1

R1

R2

R3 (c )

R2

R3 (d)

Figura 2-2. Estruc turas interna y estátic am ente indeterm inadas.

Las estructuras pueden ser estáticamente indeterminadas tanto interna como externamente. El marco de la figura 2-3 es externamente indeterminado en primer grado, pero las resultantes de esfuerzos no se pueden determinar por estática aun suponiendo que se hayan encontrado previamente las reacciones.

ANALISIS ESTRUCTURAL

9

R1

R2

R3

R4

Figura 2-3. Marc o que es estátic amente indeterminado tanto externa c omo internamente.

El marco tridimensional de la figura 2-4 tiene seis componentes de reacción en cada apoyo: tres componentes X, Y, y Z y tres momentos Mx, My y Mz. Para evitar congestionar la figura, las seis componentes se muestran sólo en uno de los cuatro apoyos. Los vectores de momentos se indican con flechas de doble cabeza. Por lo tanto, el número de componentes de reacción de la estructura es 24, mientras que el número de ecuaciones de equilibrio que se pueden escribir es seis. Entonces, el marco es externamente indeterminado en 18°.

x

y z

M

X

Y y

M Z M

x

z

Figura 2-4. Marc o tridimensional c on nudos rígidos.

ANALISIS ESTRUCTURAL

10

2.2 Expresiones para el grado de indeterminación. Una armadura plana con tres componentes de reacción, m miembros y j nudos articulados (incluyendo los apoyos, que también están articulados). Las fuerzas desconocidas son las tres componentes de reacción y la fuerza en cada miembro, en total, 3 + m. Por otra parte, se pueden escribir dos ecuaciones de equilibrio en cada nudo:

∑F

x

=0

∑F

y

=0

(2-1)

Siendo la sumatoria para las componentes de todas las fuerzas externas e internas que coinciden en el nudo. De ahí que el número total de ecuaciones es 2j. Para la determinación estática, el número de ecuaciones de la estática es igual al número de incógnitas, es decir:

2j = m+3

(2-2)

Siempre que la estructura sea estable, se puede hacer cierto intercambio entre el número de miembros y el número de componentes de reacción r, de modo que para la determinación total se satisfaga la condición:

2j = m+r

(2-3)

Entonces, el grado de indeterminación es:

i = (m + r ) − 2 j

(2-4)

Para la armadura que se ilustra en la figura 2-5, r = 4, m = 18 y j = 10 . Por lo tanto i = 2 .

R3

R1

R2

R4

Figura 2-5. Arm adura plana estátic am ente indeterm inada.

ANALISIS ESTRUCTURAL

11

En el caso de un marco tridimensional con nudos articulados se pueden escribir tres ecuaciones de equilibrio, a saber:

∑F

x

=0

∑F

y

=0

∑F

z

=0

(2-5)

Siendo otra vez la sumatoria de todas las fuerzas internas y externas que coinciden en el nudo. El número total de ecuaciones es 3j, y la condición de determinación es:

3j = m+r

(2-6)

El grado de indeterminación es:

i = (m + r ) − 3 j

(2-7)

Un marco plano con nudos rígidos des estáticamente determinado sí:

3 j = 3m + r y el grado de indeterminación es: i = (3m + r ) − 3 j

(2-8)

(2-9)

En estas ecuaciones, j es el número total de nudos rígidos, incluyendo los apoyos, y m es el número de miembros. Un marco tridimensional es estáticamente determinado sí:

6 j = 6m + r

(2-10)

y el grado de indeterminación es: i = (6m + r ) − 6 j

(2-11)

Aplicado la ecuación 2-11 al marco de la figura 2-4, se tiene que m = 8, r = 24 y j = 8 . Según la ecuación 2-11, i = 24 .

ANALISIS ESTRUCTURAL

12

2.3 Métodos generales de análisis de estructuras estáticamente indeterminadas. La finalidad del análisis de las estructuras es determinar las fuerzas externas (componentes de reacción) y las fuerzas internas (resultantes de esfuerzos). Las fuerzas deben satisfacer las condiciones de equilibrio y producir deformaciones compatibles con la continuidad de la estructura y las condiciones de apoyo. Como ya se ha visto, las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar las fuerzas desconocidas en una estructura estáticamente indeterminada y es necesario complementarlas con relaciones geométricas simples entre las deformaciones de la estructura. Con estas relaciones se asegura la compatibilidad de las deformaciones con la geometría de la estructura y se conocen como condiciones geométricas o condiciones de compatibilidad. Un ejemplo de dichas condiciones es que en un apoyo intermedio de una viga continua no puede haber deflexión la rotación es igual en ambos lados del apoyo. Se pueden usar dos métodos generales de estudio. El primero es el método de las fuerzas de flexibilidad, en que se proporcionan suficientes liberaciones para convertir la estructura en estáticamente determinada. La estructura liberada sufre deformaciones inconsistentes, y la inconsistencia geométrica se corrige posteriormente mediante la aplicación de fuerzas adicionales. El segundo enfoque es el método de los desplazamientos o de rigidez. En este método se agregan restricciones para impedir el movimiento de los nudos y se determinan las fuerzas necesarias para producir la restricción. Después se permite que tengan lugar desplazamientos de los nudos hasta que hayan desaparecido las fuerzas ficticias de restricción. Conociendo los desplazamientos en el nodo, se determinan las fuerzas en la estructura por superposición de los efectos de los desplazamientos separados. Se puede usar indistintamente el método de las fuerzas o el de los desplazamientos para analizar cualquier tipo de estructura. En el método de las fuerzas, se obtienen las fuerzas necesarias para restablecer la consistencia geométrica, el análisis generalmente comprende la solución de un número de ecuaciones simultáneas igual al número de fuerzas desconocidas, es decir, el número de liberaciones que se necesiten para convertir a la estructura en estáticamente determinada. Las incógnitas en el método de los desplazamientos son las posibles traslaciones y rotaciones de los nudos. La cantidad de fuerzas de restricción que se que se deben agregar a la estructura es igual al número de posibles desplazamientos de los nudos. Esto representa otro tipo de indeterminación, que se puede designar como indeterminación cinemática y se describe en la siguiente sección.

ANALISIS ESTRUCTURAL

13

2.4 Indeterminación cinemática. Cuando una estructura constituida por varios miembros se somete a cargas, los nudos sufren desplazamientos en forma de rotación y traslación. En el método de análisis por desplazamiento, las magnitudes desconocidas son la rotación y la traslación de los nudos. En un apoyo se conocen una o más de las componentes del desplazamiento. Por ejemplo, la viga continua de la figura 2-6 está empotrada en C y tiene apoyos con rodillos en A y B. La fijación en C impide cualquier desplazamiento en ese extremo, mientras que los apoyos con rodillos en A y B evitan la traslación en dirección vertical pero permiten la rotación. Se debe mencionar que se supone que los apoyos con rodillos pueden resistir tanto fuerzas descendentes como ascendentes.

B

A

C

D1 D2

Figura 2-6. Indeterminac ión c inemátic a de una viga c ontinua.

Si se supone que la rigidez axial de la viga es tan alta que se puede despreciar el cambio de longitud debido a fuerzas axiales, no habrá desplazamientos horizontales en A o en B. Por lo tanto, los únicos desplazamientos desconocidos en los nodos serán las rotaciones D1 y D2 en A y B, respectivamente (figura 2-6). Los desplazamientos D1 y D2 son independientes uno del otro, ya que a cualquiera de ellos se le puede asignar un valor arbitrario mediante la introducción de fuerzas apropiadas. A un sistema de desplazamiento de nudos se le denomina independiente si cada desplazamiento se puede variar arbitraria e independiente de todos los demás. Al número de desplazamientos independientes de nudos de una estructura se le conoce como grado de indeterminación cinemática o número de grados de libertad. Este número es una suma de los grados de libertad en rotación y en traslación. Algunas veces, a esta última se le conoce como libertad de desplazamiento lateral. El marco plano de la figura 2-7 es otro ejemplo de una estructura cinemática indeterminada. Si se desprecia la deformación axial, el grado de indeterminación cinemática es de dos, siendo los desplazamientos desconocidos de los nudos las rotaciones en A y en B.

ANALISIS ESTRUCTURAL

14

P A

B D2

C D1

D

Figura 2-7. Indeterm inac ión c inem átic a de un m arc o plano c on nudos rigidos.

Hay que destacar que la indeterminación cinemática y la indeterminación estática no se deben confundir una con la otra. Por ejemplo, el marco de la figura 2-7 tiene siete componentes de reacción y es estáticamente indeterminado en cuarto grado. Si se sustituye el apoyo fijo en D por una articulación, se reducirá en uno el grado de indeterminación estática, pero al mismo tiempo se hace posible que ocurra rotación en D, aumentándose de este modo el grado de indeterminación cinemática en uno. En general, la introducción de una liberación disminuye el grado de indeterminación estática y aumenta el grado de indeterminación cinemática. Por esta razón, cuanto más alto sea el grado de indeterminación estática, más adecuado será el método de desplazamiento para el análisis de la estructura. En el caso de una armadura con nudos articulados en el que todas la fuerzas están aplicadas en los nudos, los miembros están sometidos sólo a una carga axial (sin momentos flexionantes ni esfuerzos cortantes) y, por lo tanto, permanecen rectos. La configuración deformada de una armadura plana se define completamente si se determinan las componentes de la traslación en dos direcciones ortogonales para cada nudo, y cada nudo, que no sea un apoyo, tiene dos grados de libertad. Considérese el marco de la figura 2-8. Tiene ocho nudos, de los cuales cuatro están empotrados en el espacio. Cada uno de los nudos A, B, C y D puede tener seis desplazamientos como los que se muestran en A. Por lo tanto, el grado de indeterminación cinemática del marco es 4 × 6 = 24 .

ANALISIS ESTRUCTURAL

15

x

y

P

B

C

D6

z

D3 A D2

D D1

D4

D5

Figura 2-8. Indeterm inac ión c inem átic a de un marc o tridim ensional c on nudos rigidos. Si se toman en cuenta las deformaciones axiales, las longitudes de las cuatro columnas permanecen inalteradas, por lo que se anula la componente D3 de traslación en la dirección vertical, reduciendo así en cuatro los desplazamientos desconocidos. Además, como no cambian las longitudes de los miembros horizontales, las traslaciones horizontales en la dirección x de los nudos A y D son iguales; lo mismo ocurre en los nudos B y C. En la misma forma, las traslaciones en la dirección y de los nudos A y B son iguales; de nueva cuenta ocurre lo mismo para los nodos C y D. con todo esto se reducen en cuatro los desplazamientos desconocidos. Por lo tanto, el grado de indeterminación cinemática del marco de la figura 2-8, sin deformación axial, es 16. 2.5 Principio de superposición. Se mencionó que cuando las deformaciones de una estructura son proporcionales a las cargas aplicadas, es válido el principio de superposición. Este principio establece que el desplazamiento debido a varias fuerzas que actúen simultáneamente es igual a la suma de los desplazamientos ocasionados por cada fuerza actuando separadamente. En el análisis de estructuras, es conveniente usar una notación en que una fuerza Fj produce en un punto i un desplazamiento Dij. Por lo tanto, el primer subíndice de un desplazamiento describe la posición y dirección del desplazamiento, y el segundo subíndice, la posición y dirección de la fuerza que causa el desplazamiento. Cada subíndice se refiere a una coordenada que representa la ubicación y dirección de una fuerza o de un desplazamiento.

ANALISIS ESTRUCTURAL

16

Este enfoque se ilustra en la figura 2-9a. Si la relación entre la fuerza aplicada y el desplazamiento resultante es lineal, se puede escribir: Di1 = f i1 F1

(2-12)

Donde fi1 es el desplazamiento en la coordenada i debido a una fuerza unitaria en la ubicación y dirección de F1 (coordenada 1). Di1

Di1 i

F2

i

F1

A i1

A i2

(a)

(b)

Fn Di1 i

F1

A i1

(c )

Figura 2-9. Superposic ión de desplazamientos y de fuerzas.

Si se aplica una segunda fuerza F2 que cause un desplazamiento Di2 en i (figura 2-9b): Di 2 = f i 2 F2

(2-13)

en que fi2 es el desplazamiento en i debido a una fuerza unitaria en la coordenada 2. Si varias fuerzas F1, F2,…, Fn actúan simultáneamente (figura 2-9c), el desplazamiento total en i es: Di = f i1 F1 + f i 2 F2 + L + f in Fn

ANALISIS ESTRUCTURAL

(2-14)

17

Es claro que el desplazamiento total no depende del orden de aplicación de las cargas. Esto por supuesto no es válido cuado la relación esfuerzodeformación unitaria del material no es lineal. Una estructura puede comportarse no linealmente aunque está hecha de un material que satisface la ley de Hooke si se producen cambios en su geometría inducidos por las cargas aplicadas. Considérese el puntal esbelto de la figura 2-10a, sometido a una fuerza axial F1 que no es lo suficientemente grande como para pandearlo. Por lo tanto, el puntal permanecerá recto y el desplazamiento en cualquier punto A es DA = 0. Ahora bien, si el puntal se somete a una carga lateral F2 actuando sola, habrá una deflexión lateral DA en el punto A (figura 2-10b). Si actúan ambas fuerzas F1 y F2 (figura 2-10c), el puntal quedará sometido a un momento flexionante adicional igual al producto de F1 multiplicado por la deflexión en la sección dada. Esta deflexión adicional causa nuevas deflexiones y la deflexión D’A en A, en este caso será mayor que DA. F1

F1

F2

F2 A

A

DA

D'A> DA

A

DA= 0

(a)

(b)

(c )

Figura 2-10. Estruc tura c on deformac ión no lineal.

Es obvio que no existe tal momento flexionante cuando las cargas F1 y F2 actúan separadamente, de manera que el efecto combinado de F1 y F2 no es igual a la suma de sus efectos separados, y no se satisface e principio de superposición. Cuando una estructura se comporta linealmente, se cumple el principio de superposición para las fuerzas así como para los desplazamientos. Se pueden determinar las resultantes de los esfuerzos internos en cualquier sección o las componentes de reacción de la estructura de la figura 2-9c mediante la suma de los efectos de las fuerzas F1, F2,…, Fn cuando cada una actúa por separado.

ANALISIS ESTRUCTURAL

18

Supóngase que el símbolo Ai indica una acción general, la cual puede ser una reacción, un momento flexionante, un esfuerzo cortante o compresión en cualquier sección debido al efecto combinado de todas las fuerzas. Se puede escribir entonces una ecuación general de superposición de fuerzas: Ai = Aui1 F1 + Aui 2 F2 + L + Auin Fn

(2-15)

Donde Aui1 es la magnitud de la acción Ai cuando se aplica una fuerza unitaria sola en la ordenada 1. De igual manera, Aui2,…, Auin, son los valores de la acción A. La ecuación 2-15 puede escribirse en forma matricial: Ai = [ Aui ]1×n {F }n×1

(2-16)

En las estructuras estáticamente indeterminadas, la superposición de fuerzas sólo es válida si se cumple la ley de Hooke, porque las fuerzas internas dependen de la deformación de los miembros. 2.6 Resumen. La mayoría de las estructuras modernas son estáticamente indeterminadas, y con el método de flexibilidad es necesario establecer para una estructura dada el grado de indeterminación, que puede se externa, interna o de ambas. En casos simples, el grado de indeterminación se puede encontrar por simple inspección, aunque en estructuras más complejas o de claros múltiples con varias crujías, resulta preferible establecer el grado de indeterminación con la ayuda de expresiones que incluyan el número de nudos, miembros y componentes de reacción. Se cuenta con este tipo de expresiones para armaduras planas y tridimensionales (de nudos articulados) y para marcos (con nudos rígidos). Existen dos métodos generales para el análisis de estructuras. Uno es el método de las fuerzas (o de flexibilidad), en el que se introducen liberaciones para convertir la estructura en estáticamente determinada; se calculan los desplazamientos resultantes y se corrigen las inconsistencias en los desplazamientos con la aplicación de fuerzas adicionales en la dirección de las liberaciones. De este modo se obtiene una serie de ecuaciones de compatibilidad; al resolverlas, se determinan las fuerzas desconocidas. En el otro método –de los desplazamientos (o de las rigideces)-, se introducen restricciones en los nudos. Se calculan las fuerzas restrictivas que se necesitan para impedir los desplazamientos de los nudos. Después se permite que se presenten los desplazamientos en la dirección de las restricciones hasta ANALISIS ESTRUCTURAL

19

que éstas hayan desaparecido; de aquí se obtiene un conjunto de ecuaciones de equilibrio: su solución proporciona los desplazamientos desconocidos. Luego se determinan las fuerzas internas de la estructura mediante superposición de los efectos de estos desplazamientos y de los de la carga aplicada con los desplazamientos restringidos. El análisis de estructuras con el método de las fuerzas o el de los desplazamientos implica el uso del principio de superposición, que permite una simple suma de desplazamientos (o acciones) debidos a las cargas individuales (o desplazamientos). Tarea. 1. ¿Cuál es grado de indeterminación estática de las estructuras que se muestran a continuación? Introduzca suficientes liberaciones para hacer cada estructura estáticamente determinada. D

E

F

A

B

(b)

(a)

(c ) E

D A

E

B

C

E

F

B

D

(d) D

C

A

C

B

A

C

G

H

C

F

A

B

(e) A I

B

C J

(f)

2. (a) Introduzca suficientes liberaciones para convertir el marco mostrado en estáticamente determinado. Indique las liberaciones mediante un sistema de coordenadas. (b) Introduzca una articulación en la parte media de cada miembro y dibuje el diagrama de momento flexionante para el marco debido a dos fuerzas horizontales, cada una igual a P, aplicadas en E y en C. Muestre esquemáticamente la magnitud y dirección de las componentes de reacción en A.

ANALISIS ESTRUCTURAL

20

L P

E

F

L P

C

D

L

A

B

CAPÍTULO 3. MÉTODO DE LAS FUERZAS PARA ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS. 3.1 Descripción del método. 1. Primeramente, se determina el grado de indeterminación estática. Luego se introduce un número de liberaciones igual al grado de indeterminación, efectuándose cada liberación mediante la eliminación de una fuerza externa o interna. Las liberaciones se deben seleccionar de manera que la estructura restante sea estable y estáticamente determinada. Sin embargo, en algunos casos el número de liberaciones puede ser menor que el grado de indeterminación, siempre que la estructura estáticamente indeterminada restante sea tan sencilla que se pueda analizar fácilmente. En todos los casos, las fuerzas liberadas, que también se denominan fuerzas redundantes, se deben escoger cuidadosamente para que la estructura liberada se pueda analizar con facilidad. 2. Las liberaciones introducen incongruencias en desplazamientos y como segundo paso se determinan estas incongruencias o “errores” en la estructura liberada. En otras palabras, se calcula la magnitud de los “errores” en los desplazamientos que corresponden a las fuerzas redundantes. Estos desplazamientos se pueden deber a cargas externas aplicadas, asentamiento de los apoyos o variación de temperatura. 3. El tercer paso consiste en la determinación de los desplazamientos en la estructura liberada debidos a valores unitarios de las redundantes (véanse las figuras 3-1 d y e). Estos desplazamientos se necesitan en el mismo lugar en la dirección que el error en desplazamientos determinado en el paso dos. 4. A continuación se determinan los valores de las fuerzas redundantes necesarias para eliminar los errores en los desplazamientos. Esto implica el establecimiento de ecuaciones de superposición en las que los efectos ANALISIS ESTRUCTURAL

21

de las fuerzas redundantes separadas se suman a los desplazamientos de la estructura liberada. 5. En consecuencia, se encuentran las fuerzas que actúan sobre la estructura indeterminada original: son la suma de las fuerzas de corrección (redundantes) y las fuerzas aplicadas a la estructura liberada. Ejemplo 3-1. En la figura 3-1a se muestra una viga ABC empotrada en C, que descansa sobre apoyos de rodillos en A y en B y que soporta una carga uniforme igual a q por unidad de longitud. La viga tiene una rigidez constante a la flexión EI. Encuentre las reacciones de la viga.

F2, D2 q por unidad de longitud

C A

A

C

B L

L

F1, D1

(b)

(a) f11

q por unidad de longitud

f21

C D1

qL

1

D2

(c ) 1 f12

(d)

qL

q por unidad de longitud

2

qL /14

f22 8qL/7

(e)

(f)

Figura 3-1. (a) Viga estátic amente indeterminada. (b) Sistema de c oordenadas. (c ) Carga externa sobre la estruc tura liberada. (d) F1= 1. (e) F2= 1. (f) Redundantes.

La estructura es estáticamente indeterminada en segundo grado, por lo que se deben eliminar dos fuerzas redundantes. Son posibles varias opciones, por ejemplo, el momento y la reacción vertical en C, o las reacciones verticales en A y B. para los fines de este ejemplo, se eliminarán la reacción vertical en B y el momento en C. Por lo tanto, la estructura liberada es una viga simple AC con las fuerzas redundantes y los desplazamientos que se muestran en la figura 3-1b. La ubicación y dirección de las diversas fuerzas redundantes y de los desplazamientos están referidos a un sistema de coordenadas. ANALISIS ESTRUCTURAL

22

Las direcciones positivas de las fuerzas redundantes F1 y F2 se escogen arbitrariamente pero las direcciones positivas de los desplazamientos en el mismo lugar siempre tienen que concordar con los de las fuerzas redundantes. Las flechas en la figura 3-1b indican las direcciones positivas seleccionadas en el presente caso y, como las flechas representan tanto fuerzas como desplazamientos, es conveniente en un caso general identificar las coordenadas por medio de los números 1, 2,…, n. Siguiendo este sistema, en la figura 3-1c se muestran los desplazamientos en B y en C como D1 y D2, respectivamente. De hecho, como se ilustra en la figura 3-1a, los desplazamientos reales en estos puntos tienen valor cero, de modo que D1 y D2 representan las inconsistencias en deformación. La magnitud de D1 y D2 se pueden calcular a partir del comportamiento de la viga simplemente apoyada mostrada en la figura 3-1c. Para fines de este ejemplo se pueden usar las siguientes expresiones. Por lo tanto: D1 = −

5ql 4 24 EI

y

D2 = −

ql 3 3EI

Los signos negativos indican que los desplazamientos son en direcciones opuestas a las direcciones positivas escogidas en la figura 3-1b. Cuando la liberación se aplica a una fuerza interna, deberá ser representada en el sistema de coordenadas con un par de flechas en direcciones opuestas. Los desplazamientos debidos a valores unitarios de las redundantes se muestran en las figuras 3-1 d y e. Estos desplazamientos adquieren los siguientes valores: l3 l2 f11 = f12 = 6 EI 4 EI f 21

l2 = 4 EI

f 22 =

2l 3EI

El coeficiente general fij representa el desplazamiento en la coordenada i debido a una redundante unitaria en la coordenada j. Las relaciones geométricas expresan el hecho de que la traslación vertical final en B y la rotación en C se anulan. Los desplazamientos finales son el resultado de la superposición del efecto de la carga externa y de las fueras redundantes sobre la estructura liberada. Por lo tanto, las relaciones geométricas se pueden expresar como: ANALISIS ESTRUCTURAL

23

D1 + f11 F1 + f12 F2 = 0

(3-1)

D2 + f 21 F1 + f 22 F2 = 0 Una forma más general de la ecuación 3-1 es:

D1 + f11 F1 + f 12F2 = ∆ 1

(3-2)

D2 + f 21 F1 + f 22 F2 = ∆ 2

Donde ∆1 y ∆2 son los desplazamientos prescritos en las coordenadas 1 y 2 de la estructura real. Si, en el ejemplo considerado, se necesita el análisis para los efectos combinados de la carga q dada y de un asentamiento descendente δB en el apoyo B (figura 3-1a), se deberá sustituir ∆ 1 = −δ B , ∆ 1 = 0 . 3.3 Matriz de flexibilidad. Las relaciones de la ecuación 3-2 se pueden escribir en forma matricial como:

[ f ]{F } = {∆ − D}

(3-3)

Donde: ⎧ D1 ⎫ ⎬ ⎩ D2 ⎭

{D} = ⎨

[ f ] = ⎡⎢

f 11 ⎣ f 21

f 12 ⎤ f 22 ⎥⎦

y

⎧ F1 ⎫ ⎬ ⎩ F2 ⎭

{F } = ⎨

Los elementos de la matriz [ f ] son desplazamientos debidos a los valores unitarios de las redundantes. Por lo tanto, [ f ] depende de las propiedades de la estructura y representa la flexibilidad de la estructura liberada. Por esta, a [ f ] se le denomina matriz de flexibilidad, y sus elementos se conocen como coeficientes de flexibilidad. Los elementos del vector {F } son las redundantes que se pueden obtener resolviendo la ecuación 3-3; por la tanto:

{F } = [ f ]−1 {∆ − D}

(3-4)

En el ejemplo estudiado, la matriz de flexibilidad y su inversa son:

⎡ l3 ⎢ [ f ] = ⎢ 6 EI 2 ⎢ l ⎢⎣ 4 EI

l2 ⎤ ⎥ 4 EI ⎥ 2l ⎥ 3EI ⎥⎦

(3-5)

y ANALISIS ESTRUCTURAL

24

8 − 3l ⎤ 2 ⎥ ⎣− 3l 2l ⎦

[ f ]−1 = 12EI3 ⎡⎢ 7l

(3-6)

El vector de desplazamiento es:

{∆ − D} =

ql 3 24 EI

⎧5l ⎫ ⎨ ⎬ ⎩8 ⎭

Sustituyendo en la ecuación 3-4, o resolviendo la ecuación 3-3 se obtiene:

{F } = ql ⎧⎨

16⎫ ⎬ 14 ⎩ l ⎭

Por lo tanto, las redundantes son:

8 F1 = ql 7

y

ql 2 F2 = 14

El signo positivo indica que las redundantes actúan en las direcciones positivas seleccionadas en la figura 3-1b. Las fuerzas finales que actúan en las estructura se ilustra en la figura 3-1f. Es importante observar que la matriz de flexibilidad es dependiente de la selección de las fuerzas redundantes: con diferentes redundantes para la misma estructura se obtendría una matriz de flexibilidad diferente. Las reacciones y las fuerzas internas también se pueden determinar por la superposición del efecto de las cargas externas en la estructura liberada y el efecto de las fuerzas redundantes. Esto se puede expresar con la siguiente ecuación de superposición: Ai = Asi + ( Aui1 F1 + Aui 2 F2 + L + Auin Fn )

(3-7)

Donde: Ai = cualquier reacción i, que es una reacción en uno de los apoyos, fuerza cortante, fuerza axial, momento de torsión o momento flexionante en una sección de estructura real. Asi = la misma acción que Ai, pero en la estructura liberada sometida a las cargas externas. Aui1, Aui2,…,Auin = la acción correspondiente debida a una fuerza unitaria que actúa sola sobre la estructura liberada en la coordenada 1, 2,…, n, respectivamente. ANALISIS ESTRUCTURAL

25

F1, F2,…, Fn =fuerzas redundantes que actúan sobre la estructura liberadaEl término entre paréntesis de la ecuación 3-7 representa la acción de todas las fuerzas redundantes aplicadas simultáneamente a la estructura liberada. En general, se necesitan varias reacciones y fuerzas internas. Estas se pueden obtener con ecuaciones similares a la ecuación 3-7. Si el número de acciones es m, el sistema de ecuaciones que se necesita se puede expresar en forma matricial:

{A}m×1 = {As }m×1 + [Au ]m×n {F }n×1

(3-8)

El orden de cada matriz se indica en la ecuación 3-8, pero, en esta ocasión, puede ser conveniente escribir las matrices completas. Por lo tanto,

⎧ A1 ⎫ ⎪A ⎪ {A} = ⎪⎨ 2 ⎪⎬ ⎪L ⎪ ⎪⎩ Am ⎪⎭ ⎡ Au11 ⎢A [Au ] = ⎢ u 21 ⎢L ⎢ ⎣ Aum1 3.4 Análisis para cargas diferentes.

⎧ As1 ⎫ ⎪A ⎪ {As } = ⎪⎨ s 2 ⎪⎬ ⎪L⎪ ⎪⎩ Asm ⎪⎭ Au12 Au 22 L Aum 2

Au1n ⎤ L Au 2 n ⎥⎥ L L ⎥ ⎥ L Aumn ⎦ L

Cuando se usa la ecuación 3-3 para encontrar las fuerzas redundantes en una estructura dada bajo varias condiciones de carga diferentes, no es necesario repetir el cálculo de la matriz de flexibilidad (y su inversa). Cuando el número de cargas es p, la solución se puede combinar en una ecuación matricial:

[F ]n× p = [ f ]n−×1n [∆ − D]n× p

(3-9)

En que cada columna de [F ] y [D ] corresponde a una condición de carga. Las reacciones o las resultantes de los esfuerzos en la estructura original se pueden determinar con ecuaciones similares a la ecuación 3-8, es decir,

[A]m× p = [As ]m× p + [Au ]m×n [F ]n× p ANALISIS ESTRUCTURAL

(3-10)

26

3.5 Las cinco etapas del método de las fuerzas. En el análisis con el método de las fuerzas intervienen cinco etapas que se resumen a continuación: Etapa 1. Introduzca liberaciones y defina un sistema de coordenadas. Además, defina [A]m× p , que son las acciones requeridas, y defina la convención de signos (en caso necesario). Etapa 2. Como resultado de las cargas aplicadas a la estructura liberada, determine [D ]n× p y [As ]m× p . Introduzca también los desplazamientos preestablecidos [∆ ]n× p .

Etapa 3. Aplique valores unitarios de las redundantes de uno en uno en la estructura liberada y genere los valores de [ f ]n×n y de [Au ]m×n . Etapa 4. Resuelva las ecuaciones geométricas:

[ f ]n×n [F ]n× p = [∆ − D]n× p

(3-11)

Con esto se obtienen las redundantes [F ]n× p . Etapa 5. Calcule las acciones necesarias por superposición:

[A]m× p = [As ]m× p + [Au ]m×n [F ]n× p

(3-12)

Al terminar la etapa 3, ya se habrán generado todas las matrices necesarias para el análisis. En las dos últimas etapas sólo interviene álgebra matricial. Se podrá eliminar la etapa 5 cuando no se requiera otra acción aparte de las cargas redundantes, o cuando la superposición se pueda hacer mediante inspección una vez determinadas las redundantes. Cuando éste sea el caso, las matrices [A] , [As ] y [Au ] no harán falta. Para una referencia rápida, los símbolos usados se definen como sigue: n, p, m = Número de redundantes, número de condiciones de carga, y número de acciones requeridas.

[ A] =

Acciones requeridas.

[As ] = Valores

de las acciones debidas a las cargas aplicadas a la estructura

liberada. ANALISIS ESTRUCTURAL

27

[Au ] = Valores

de las acciones en la estructura liberada debidos a fuerzas

unitarias aplicadas separadamente en cada coordenada.

[D ] = Desplazamientos de la estructura liberada en las coordenadas debidos a las cargas; estos desplazamientos representan incompatibilidades que deberán ser eliminadas por las redundantes.

[∆ ] = Desplazamientos preestablecidos en las coordenadas en la estructura real; éstos representan desplazamientos impuestos que se deben mantener.

[ f ] = Matriz de flexibilidad. Ejemplo 3-2. Encuentre los momentos flexionantes MB y MC y la reacción RA para la viga que se muestra en la figura 3-1 debidos al efecto separado de: (1) un asentamiento descendente (δ A ) del apoyo A; (2) un asentamiento descendente (δ B ) del apoyo B; (3) una aumento de temperatura que varía linealmente con la profundidad h, desde Tt hasta Tb en las fibras superior e inferior, respectivamente. F2, D2 q por unidad de longitud

C A

A

C

B L

L

F1, D1

(b)

(a) f11

q por unidad de longitud

f21

C D1

qL

1

D2

(c ) 1 f12

(d)

qL

q por unidad de longitud

2

qL /14

f22 8qL/7

(e)

(f)

Figura 3-1. (a) Viga estátic am ente indeterm inada. (b) Sistem a de c oordenadas. (c ) Carga externa sobre la estruc tura liberada. (d) F1= 1. (e) F2= 1. (f) Redundantes.

ANALISIS ESTRUCTURAL

28

Etapa 1. Se seleccionan las liberaciones y el sistema de coordenadas (figura 31b). Las acciones necesarias son las siguientes:

⎡ M B ⎫ ⎧M B ⎫ ⎧M B ⎫ ⎤ ⎬ ⎥ ⎬ ⎨ ⎬⎨ ⎢⎣⎩ R A ⎭1 ⎩ R A ⎭ 2 ⎩ R A ⎭ 3 ⎥⎦

[A] = ⎢⎧⎨

El momento flexionante se considera positivo cuando produce esfuerzos de tensión en la fibra inferior. Una acción RA hacia arriba es positiva. Las acciones requeridas MC no necesariamente deben incluirse en [A] , debido a que M C = F2 y los valores de las redundantes {F } se calcularán en la etapa 4. Los subíndices 1, 2 y 3 de la ecuación anterior se refieren a las tres condiciones de carga. Etapa 2. La estructura liberada se muestra en la figura 3-4 a y b para los casos (1) y (3) respectivamente. Los vectores de desplazamiento {∆} y {D} en los tres casos son:

0 −δB 0 ⎣0

[∆] = ⎡⎢

0⎤ 0⎥⎦

⎡ − δ A / 2 0 − ψ (2l )2 / 8⎤ ⎥ ⎣− δ A /(2l ) 0 − ψ (2l ) / 8 ⎦

[D] = ⎢

En este caso, ψ es la curva térmica en la estructura liberada (pendiente del diagrama de deformaciones unitarias (figura 3-4c):

ψ = α (Tb − Tt )lh

(3-13)

Donde α es el coeficiente de expansión térmica (grados -1). Observe que en el caso (1), {∆} = {0} debido a que la estructura real tiene desplazamientos nulos en las coordenadas 1 y 2; sin embargo, la estructura liberada tiene desplazamientos que se van a eliminar en las coordenadas {D} = {− δ A / 2,−δ A / 2l} . Los valores de las acciones en la estructura liberada son cero para los tres casos:

[As ] = [0]2×3 Etapa 3. Las fuerzas unitarias aplicadas en las coordenadas se representan en las figuras 3-1 d y e. La matriz de flexibilidad [ f ] y su inversa, determinadas en el ejemplo 3-1 (ecuaciones 3-5 y 3-6), siguen siendo válidas. Los valores de las acciones debidas a F1 = 0 o a F2 = 1 son los siguientes: ANALISIS ESTRUCTURAL

29

− 0.5l − 0.5 ⎤ ⎥ ⎣ − 0.5 − 1 / (2l )⎦

[Au ] = ⎡⎢

Etapa 4. Sustituyendo en la ecuación 3-11 de geometría se obtiene: 1 EI

⎡ δ A / 2 − δ B ψl 2 / 2⎤ ⎡ l 3 / 6 l 2 / 4⎤ ⎥ ⎢ 2 ⎥[F ] = ⎢ 0 ψl ⎦ ⎣l / 4 2l / 3⎦ ⎣δ A / (2l )

La solución es: ⎡ 2.5δ A

− 8δ B

⎣− 0.5lδ A

3lδ B

[F ] = 12 EI3 ⎢ 7l

ψl 2 ⎤ ⎥ 0.5ψl 3 ⎦

Etapa 5. Sustituyendo en la ecuación 3-12 de superposición se obtiene:

[A] = 12 EI 7

⎡− δ A / l 2 ⎢ 3 ⎣− δ A / l

2.5δ B / l 2 2.5δ B / l 3

− 0.75ψ ⎤ ⎥ − 0.75ψ / l ⎦

Los elementos de [A] son los valores requeridos de MB y de RA en los tres casos; la inversión del signo de F2 proporciona los valores correspondientes de MC :

[M C ] = 12EI3 [0.5lδ A 7l

− 3lδ B

− 0.5ψl 3

]

Se debe observar que RA, MB y MC son proporcionales al valor del producto EI. En general, las reacciones y las fuerzas internas debidas a los asentamientos de los apoyos o a variaciones de temperatura en estructuras estáticamente indeterminadas son proporcionales al valor de EI empleado en el análisis lineal. Falta figura 3-4, que debe ser la 3-2 para la etapa 2 del ejemplo anterior.

ANALISIS ESTRUCTURAL

30

Ejemplo que se planteo en clase.

F2

qL

q

B A L

L/2

L/2

F1

∑M

A

=0

⎛3 ⎞ ⎛L⎞ RB (2 L ) − qL⎜ L ⎟ − qL⎜ ⎟ = 0 ⎝2 ⎠ ⎝2⎠

∑F

y

=0

R B (2 L ) − 2qL2 = 0

R A + R B − qL − qL = 0

R A = 2qL − R B = qL

qL

q

qL

M (x)

qx 2 q x − L = qLx − + 2 2

qL

q

qL

∴

R B = qL

q

=

2

− qL x −

qL

3 L 2

qL

Con funciones de singularidad.

Diagrama de cuerpo libre.

qL

q q

M(x)

qL X L/2

L

(X-3L/2)

Aplicando doble integración:

d2 qx 2 q EI 2 = qLx − + x−L 2 2 dx

ANALISIS ESTRUCTURAL

2

− qL x −

3 L 2

31

2

dy qLx 2 qx 3 q qL 3 3 EI = − + x−L − x− L dx 2 6 6 2 2 qLx 3 qx 4 q EIy = − + x−L 6 24 24

0=

4

qL 3 − x− L 6 2

Si

x=0

y=0

Si

x = 2L

y=0

4 4 2 4 qL4 qL4 qL − qL + − + 2 LC1 3 3 24 48

+ C1 3

+ C1 x + C 2

∴

0=

C2 = 0

11 4 qL + 2 LC1 16

C1 = −

11 3 qL 32

Conociendo C1 ; para x = L EIy =

qL4 qL4 11 4 7 − − qL = − qL4 6 24 32 32

Aplicando Apéndice “B”. P

x

y=−

7 qL4 ↓ 32 EI

l = 2L

x = 0.5l =

l 2

b

b=

l

3 l 4

Como x < b

⎛ 3 ⎞⎛ l ⎞ P⎜ l − l ⎟⎜ ⎟ 2 2 4 ⎠⎝ 2 ⎠ ⎡ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ l ⎞ ⎤ ⎝ f1 = ⎢2l ⎜ l ⎟ − ⎜ l ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ 6lEI ⎢⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ Pl f1 = 48 EI

Si

⎛ 3 2 9 2 l 2 ⎞ 11 Pl 3 ⎜⎜ l − l − ⎟⎟ = 16 4 ⎠ 768 EI ⎝2

P = qL

ANALISIS ESTRUCTURAL

l = 2L

f1 =

11 qL4 ↓ 96 EI

32

⎛3 ⎞ P⎜ l ⎟ 2 7 qL3 7P l 2 7 qL P ⎛ 7 2⎞ 4 ⎠⎡ 2 ⎛3 ⎞ ⎤ 2 ⎝ (2 L ) = − =− f3 = − ⎜ l ⎟=− ⎢l − ⎜ l ⎟ ⎥ = − 32 EI 6lEI ⎣⎢ 8EI ⎝ 16 ⎠ 128 EI 128 EI ⎝ 4 ⎠ ⎦⎥

ψl

Bl q

l = 2L B = 0. 5

F3

F1

ψ = 0.5

l

[

f1 =

ql 4 (0.5)2 (0.5) 2 − 0.5 2 − 2(0.5)2 24 EI

f1 =

5 ql 4 5 q(2 L ) 5 qL4 = = 768 EI 768 EI 48 EI

] 4 7 qL4 ⎛ 11 5 ⎞ qL f1TOTAL = ⎜ + ⎟ = ⎝ 96 48 ⎠ EI 32 EI

4

Ahora para θ B (extremo) x = 2L EI

dy 4 qL3 qL3 11 3 = 2qL3 − qL3 + − − qL dx 3 6 8 32

f3 = −

(

)

3 ql 3 (0.5)2 2 − 0.5 2 = − 7 ql 24 EI 384 EI

θB =

f3 = −

35 qL3 96 EI

7 qL3 48 EI

Finalmente el signo (-) sólo indica de acuerdo al apéndice que el giro es Con doble integración δ ↓ (− ) y θ

f 3TOTAL =

.

(+ ).

7 qL3 7 qL3 35 qL3 + = 32 EI 48 EI 96 EI

Para la viga: q

qL

3

(35/96)(qL /EI)

4

(7/32)(qL /EI)

ANALISIS ESTRUCTURAL

33

Desplazamientos incongruentes y se deberán corregir ya que deben valer cero. Usando flexibilidades:

{F } = [ f ]−1 {∆ − D} ∆ = 0 Tomado de acuerdo a apuntes.

⎧ 7 qL4 ⎫ ⎪⎪− ⎪⎪ D = ⎨ 32 EI3 ⎬ ⎪− 35 qL ⎪ ⎪⎩ 96 EI ⎪⎭

− 3L ⎤ ⎥ 7 L ⎣− 3L 2 L2 ⎦

[ f ]−1 = 12EI3 ⎡⎢

8

⎡ 7 qL4 ⎤ − 3L ⎤ ⎢ 32 EI ⎥ ⎡ F1 ⎤ 12 EI ⎡ 8 3 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ 7 L3 ⎣− 3L 2 L3 ⎦ ⎢ 35 qL ⎥ ⎣ F2 ⎦ ⎣⎢ 96 EI ⎦⎥ ⎡ 56 qL4 105 qL4 ⎤ 12 EI ⎢ 32 EI − 96 EI ⎥ ⎡ F1 ⎤ ⎢ 5 5⎥ = ⎢ ⎥ 7 L3 ⎢ 21 qL 70 qL ⎥ ⎣ F2 ⎦ − + ⎢⎣ 32 EI 96 EI ⎥⎦ 9 F1 = qL 8

∴

qL2 F2 = 8

q

qL

2

qL /8

9qL/8 Las reacciones se resuelven por estática.

ANALISIS ESTRUCTURAL

34

CAPÍTULO 4. MÉTODOS ENERGÉTICOS. 4.1 Introducción. El sistema experimenta una deformación cuando configuración o cuando se desplazan sus puntos materiales.

cambia

su

Un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo, lo deforma hasta que el sistema de fuerzas internas equilibra al sistema de fuerzas externo. Las fuerzas externas realizan un trabajo que se deforma y acumula en el cuerpo. Este trabajo o energía de deformación es el utilizado por el cuerpo para recuperar su forma original al cesar la acción. 4.2 Ley de termodinámica. El trabajo efectuado por las fuerzas externas más el calor que absorbe el sistema del exterior es igual al incremento de energía cinética más el incremento de energía interna. En un sistema elástico se desprecian las pérdidas por calor y la energía interna del sistema es la energía o trabajo de deformación de dicho sistema. Dada una barra elástica de sección transversal A y longitud L sujeta a una carga axial P (aplicada gradualmente) cumple con la ley experimental de elasticidad lineal de Hooke.

δ=

L P EA

(4-1)

Donde δ es la deformación de la barra y E el módulo de elasticidad de Young. El trabajo desarrollado en contra de las fuerzas internas del sistema es: W = ∫ Pdδ

(4-2)

De la ecuación 4-1 se despeja P:

P=

ANALISIS ESTRUCTURAL

EA δ L

35

Sustituyendo en la ecuación 4-2 se obtiene: W =∫

EA EA δ 2 1 δdδ = = Pδ , L L 2 2

ley de Clapeyron

(4-3)

p

W= C

1 Pδ 2

C = ∫ δdP

W

δ

Energía complementaria de deformación: C = ∫ δdP = ∫

L L P2 1 PdP = = δP 2 EA EA 2

(4-4)

Cuando la aplicación de la carga es instantánea, el trabajo de deformación es: Pδ = C + W

4.3 Energía específica de deformación. El esfuerzo normal de la barra sometida a carga axial es:

σ=

P A

(4-5)

Y la deformación unitaria es:

ε=

δ

(4-6)

L

Despejando P y δ respectivamente de las ecuaciones 4-5 y 4-6 en la ecuación 4.3 se tiene: P = σA

W=

ANALISIS ESTRUCTURAL

y

1 1 1 Pδ = σAεL = σεAL 2 2 2

δ = εL (4-7)

36

Si AL es un volumen unitario se tiene el trabajo específico de deformación Wu , es decir la energía de deformación almacenada en la unidad de volumen:

1 Wu = σε 2

(4-8)

Sea una unidad de volumen y un corte paralelo al plano xy: δ

y

P

δ

P

∆y

∆y

x

P

γ

P

∆x

∆z ∆x

El esfuerzo cortante y el giro son respectivamente:

τ=

P ∆x∆z

γ =

y

δ ∆y

(4-9)

Despejando P y δ de las ecuaciones anteriores y remplazándolos en la ecuación 4-3 se tiene: P = τ∆x∆z

W=

y

δ = γ∆y

1 1 1 Pδ = τ∆x∆zγ∆y = τγ∆x∆z∆y 2 2 2

Es decir:

1 Wu = τγ 2

(4-10)

Dado que ∆x∆y∆z=1. Basándose en el principio de superposición de causas y efectos, aplicable a materiales linealmente elásticos, el trabajo específico de deformación por ANALISIS ESTRUCTURAL

37

aplicación gradual de la carga es para el caso general de esfuerzos normales y tangenciales. σy τyz

y

τyx τxy

x

τzy σz

Wu =

τzx

τxz

σx

1 (σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ xz γ xz + τ yz γyz ) 2

(4-11)

Por la condición de equilibrio se tiene:

τ xy = τ yx ,

τ xz = τ zx ,

τ yz = τ zy

La energía de deformación total se obtiene integrando en todo el volumen del cuerpo:

W = ∫ ∫ ∫ Wu dV

(4-12)

v

4.4 Energía de deformación de barras. Sea una barra prismática en el espacio tridimensional, que cumple la ley de Hooke y que se encuentra sujeta a los elementos mecánicos: fuerza axial, fuerza cortante, momento flexionante y momento torsionante, donde se cumple el estado de esfuerzos de Saint Venant:

y σz = σy = τyz = 0

z ANALISIS ESTRUCTURAL

x 38

Aplicando el principio de superposición de causas y efectos, se considera por separado cada uno de los elementos mecánicos. 4.5 Efecto de fuerza normal. Si actúa la fuerza normal Nx se produce el esfuerzo normal siguiente: Nx A

σx =

(4-13)

Donde la deformación axial es:

δ

ε=

(4-6)

L

Remplazando la deformación determinada por la Ley de Hooke en la ecuación anterior se tiene:

δ= εx =

δ

=

L

L Nx EA

Nx σ x = AE E

(4-14)

El trabajo específico producto de la fuerza normal queda como: N x2 1 1 2 Wu = σ x ε x = σx = 2 2E 2 EA 2

(4-15)

La energía de deformación producto de la fuerza normal se obtiene integrando sobre el volumen: W = ∫ ∫ ∫ Wu dV = ∫ ∫ ∫ v

v

L L N x2 N x2 N x2 dV dx dA dx = = ∫0 ∫∫A 2 EA 2 ∫0 2 EA 2 2 EA 2

∫∫ dA

(4-16)

A

Dado que Nx, E y A son constantes en una sección transversal y

∫∫ dA = A , A

se tiene finalmente que el trabajo de deformación por fuerza normal es: WN = ∫

L

0

ANALISIS ESTRUCTURAL

N x2 dx 2 EA

(4-17)

39

4.6 Efecto de momento flexionante. De acuerdo con la teoría de elasticidad y de resistencia de materiales, si actúa un momento flexionante Mz, se produce el esfuerzo siguiente:

σx =

Mz y Iz

(4-18)

Donde y es la distancia del eje neutro al punto donde se calcula el esfuerzo e I el momento de inercia de la sección transversal respecto al eje z. Remplazando el valor de σx en la ecuación 4-8 se tiene:

1 1 2 1 M z2 2 Wu = σ x ε x = y σx = (4-19) 2 2E 2 E I z2 La energía de deformación producto del momento flexionante se obtiene integrando el trabajo específico sobre todo el volumen: L L M z2 M z2 2 M z2 2 y dA = ∫ dx y dV = ∫ dx ∫∫ W = ∫ ∫ ∫ Wu dV = ∫ ∫ ∫ 2 0 0 2 EI z2 2 EI z2 v v A 2 EI z

Dado que

∫∫ y

2

(4-20)

dA

A

M z , E e I z son constantes en una sección dada y

∫∫ y

2

dA = I , se

A

tiene finalmente que la energía de deformación por momento flexionante es:

WM z = ∫

L

0

M z2 dx 2 EI z

(4-21)

4.5 Efecto de fuerza cortante. Si se considera la acción de la fuerza cortante V y sobre una barra, se producen respectivamente el esfuerzo y la deformación γ xz siguientes:

τ xz =

τ xz = Gγ xz

V y Qz

⇒

(4-22)

I z by

γ xz =

τ xz G

(4-23)

Donde Q z es el momento estático respecto a z , b y el ancho de la sección en estudio y G el módulo de elasticidad transversal, que varía entre 0.4 E y 0.5E . ANALISIS ESTRUCTURAL

40

Remplazando los valores de la deformación γ xz y del esfuerzo τ xz en la ecuación 4-8 se obtiene el trabajo específico siguiente: 2

2

1 1 2 1 V y Qz τ xz = Wu = τ xz γ xz = 2 2G 2G I z2 b y2

(4-24)

La energía de deformación producto de la fuerza cortante se obtiene integrando el trabajo específico sobre todo el volumen: 2 2 2 2 L 1 V y Qz 1 V y Qz dA dV = ∫ dx ∫ WV y = ∫ ∫ ∫ Wu dV = ∫ ∫ ∫ 0 2G I z2 b y2 2G I z2 b y2 v A v

(4-25)

Por otro lado, se puede obtener el momento de inercia de la sección a través del radio de giro, de la manera siguiente:

Iz A

ρ=

⇒

I z = Aρ 2

Remplazando este valor de I z en la ecuación anterior se tiene:

WV y = ∫

L

0

2 2 V y2 L Q z2 1 V y Qz dA = ∫ dx ∫∫ dx ∫∫ dA 0 2G I z2 b y2 2GA ρ 2 I z b y2 A A

(4-26)

Q z2 Donde V y , G y A son constantes en una sección dada y k = ∫∫ 2 2 dA sólo A ρ I z by

depende de la forma de la sección y se denomina coeficiente de forma “k”. Por lo tanto, en elementos de sección constante el trabajo de deformación por fuerza cortante se expresa como: L

WV y = ∫ k 0

V y2

dx 2GA

(4-27)

El coeficiente de forma k vale 1.2 para secciones rectangulares y triangulares, 10/9 para secciones circulares y Asec ción / Aalma para perfiles laminados.

ANALISIS ESTRUCTURAL

41

4.6 Efecto de momento torsionante. Se puede demostrar que una barra de sección circular o anular sujeta a momento torsionante M x se producen los esfuerzos tangenciales siguientes: Mx r J

τ xz=

(4-28)

Donde J es el momento polar de inercia y r la distancia al centro de la sección al punto en estudio. De acuerdo a la ecuación 4-24, el trabajo específico es: 1 1 2 1 M x2 2 τ xz = r Wu = τ xz γ xz = 2 2G 2G J 2

(4-29)

La energía de deformación producto del momento torsionante se obtiene integrando el trabajo específico sobre todo el volumen: WVy = ∫ ∫ ∫ Wu dV = ∫ ∫ ∫ v

v

L M x2 1 M x2 2 r dV dx = ∫0 ∫∫A 2GJ 2 dA 2G J 2

Donde M x , G y J son constantes para una sección dada y

(4-30)

∫∫ r

2

dA = J es el

A

momento polar de inercia. Por lo tanto, en elementos de sección constante el trabajo de deformación por momento de torsión se expresa como: WM x = ∫

L

o

M x2 dx 2GJ

(4-31)

Para secciones circulares o anulares J tiene el valor de:

J=

π 32

(D

4 e

− Di4

)

(4-32)

Para secciones no circulares o anulares se utiliza el momento polar de inercia modificado J m .

ANALISIS ESTRUCTURAL

42

M x2 WM x = ∫ ds (4-33) 0 2GJ m Para secciones rectangulares J m tiene el valor de: L

1 J m = bt 3 3

(4-34)

Donde b es lado mayor y t el de dimensión menor. Finalmente, para el caso general de una barra tridimensional, sujeta a los 6 esfuerzos o elementos mecánicos, se tiene el trabajo de deformación siguiente:

W =∫

L

o

2 2 2 L L L M L My L M V y2 N x2 Vz2 z x dx + ∫ k1 dx + ∫ k 2 dx + ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx 0 0 0 2 EI 0 2 EI 0 2GJ 2 EA 2GA 2GA z y m

ANALISIS ESTRUCTURAL

(4-35)

43

CAPÍTULO 5. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDADES Y DE RIGIDECES. Sea:

F2 F1

B

A

F3

∑ Fx = 0

F2 F3

F1

2

N ( x ) = F1

∑ Fy = 0

F2 − V ( x) = 0 ∴

V(x)

x

∑M

F1 − N ( x ) = 0 ∴

M(x) N(x)

V ( x) = F2

=0 ∴

− M ( x) + F3 − F2 x = 0

M ( x ) = F3 − F2 x

(5-1) las tres anteriores.

La energía de deformación para este elemento se puede expresar como: W =∫

L

0

2

2 L k1V y L M N x2 z dx dx + ∫ dx + ∫ 0 2GA 0 2 EI 2 EA z

(5-2)

Sustituyendo los valores de N x , V y y M z , se tiene: W =∫

L

0

=∫

L

0

2 L k F L (F − F x ) F12 3 2 1 2 dx + ∫ dx dx + ∫ 0 0 2 EA 2GA 2 EI z 2

2 2 2 2 L k F L F − 2F F x + F x F12 2 3 2 dx + ∫ 1 2 dx + ∫ 3 dx 0 2GA 0 2 EA 2 EI z

L

k F2 F2 ⎤ = 1 x⎥ + 1 2 2 EA ⎦ 0 2GA

L

L

⎤ F 2 x F F x2 F 2 x3 ⎤ x⎥ + 3 − 2 3 + 2 ⎥ 2 EI z 6 EI z ⎦ 0 ⎦ 0 2 EI z

ANALISIS ESTRUCTURAL

44

F12 L k1 F22 L F32 L F2 F3 L2 F22 L3 + + − + W= 2 EA 2GA 2 EI z 2 EI z 6 EI z

(5-3)

De acuerdo a los teoremas de Castigliano:

∂W = δi ∂Fi

(5-4)

2F L ∂W L = δ1 = 1 = F1 ∂F1 2 EA EA

(5-5)

2k F L 2 F L3 F L2 ⎛ k L ∂W L3 = δ 2 = 1 2 + 2 − 3 = ⎜⎜ 1 + ∂F2 2GA 6 EI z 2 EI z ⎝ GA 3EI z

⎞ L2 ⎟⎟ F2 − F3 EI 2 z ⎠

(5-6)

2 F L L2 ∂W L L2 L2 L = δ3 = 3 − F3 F2 + F2 = − F3 − F2 = 2 EI z 2 EI 2 EI 2 EI z EI z ∂F3 EI z

(5-7)

Expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial, se tiene:

⎡ L ⎢ ⎧δ 1 ⎫ ⎢ EA ⎪ ⎪ ⎢ ⎨δ 2 ⎬ = ⎢ 0 ⎪δ ⎪ ⎢ ⎩ 3⎭ ⎢ ⎢ 0 ⎣

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎧ F1 ⎫ L2 ⎥ ⎪ ⎪ − ⎨ F2 ⎬ 2 EI z ⎥ ⎪ ⎪ ⎥ F L ⎥⎩ 3 ⎭ EI z ⎥⎦ 0

⎛ kL L3 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎝ GA 3EI ⎠ L2 − 2 EI z

(5-8)

Esta ecuación se puede escribir en forma abreviada, de la manera:

{δ }A = [ f ]AA {F }A

(5-9)

Donde [ f ]AA es una matriz de flexibilidades, que relaciona las fuerzas en el extremo A , {F }A , con los desplazamientos del mismo extremo A , {δ }A , de un elemento que une los puntos A y B . Despejando F1 de la ecuación 5-5, se tiene:

ANALISIS ESTRUCTURAL

45

δ1 =

∴

L F1 EA

F1 =

EA δ1 L

(5-10)

Donde F1 es una fuerza axial en el extremo A y δ 1 el desplazamiento longitudinal (axial del mismo extremo A del elemento A − B ). Resolviendo el sistema de ecuaciones 5-6 y 5-7 para las fuerzas F2 y F3 y despreciando el término de cortante

k1 L , se tiene: GA

L3 ⎞

⎛k L

L2

⎟⎟ F2 − F3 δ 2 = ⎜⎜ 1 + 2 EI z ⎝ GA 3EI z ⎠

δ3 = −

L L2 F3 F2 + 2 EI z EI z

(5-6)

(5-7)

Multiplicando la ecuación 5-7 por L / 2 :

L2 L L3 δ3 = − F3 F2 + 2 4 EI z 2 EI z

(5-11)

Sumando la ecuación 5-11 a la ecuación 5-6:

δ2 +

⎡ L3 L3 L3 ⎛ 4 − 3 ⎞ L L3 ⎤ δ3 = ⎢ − = = F F ⎜ ⎟ 2 ⎥ 2 EI z ⎝ 12 ⎠ 2 12 EI z ⎣ 3EI z 4 EI z ⎦

∴

F2 =

12 EI z 6 EI δ 2+ 2 z δ 3 3 L L

(5-12)

Sustituyendo el valor de F2 en la ecuación 5-6 se tiene:

δ2 =

L3 3EI z

6 EI z ⎤ L2 ⎡12 EI z δ + δ − F3 3⎥ z ⎢ L3 L2 ⎣ ⎦ 2 EI z

δ 2 = 4δ 2 + 2 Lδ 3 −

ANALISIS ESTRUCTURAL

L2 F3 2 EI z

46

L2 − 3δ 2 − 2 Lδ 3 = − F3 2 EI z

∴

F3 =

6 EI z 4 EI δ2 + δ3 2 L L

(5-13)

Expresando las ecuaciones 5-10, 5-12 y 5-13 en forma matricial: ⎡ EA 0 ⎢ ⎧ F1 ⎫ ⎢ L 12 EI ⎪ ⎪ ⎨ F2 ⎬ = ⎢ 0 L3 ⎪F ⎪ ⎢ 6 EI ⎩ 3⎭ ⎢ 0 ⎢⎣ L2

⎤ 0 ⎥ ⎧δ 1 ⎫ 6 EI ⎥ ⎪ ⎪ ⎥ ⎨δ 2 ⎬ L2 ⎥ ⎪ ⎪ 4 EI ⎥ ⎩δ 3 ⎭ L ⎥⎦

(5-14)

Esta ecuación se puede abreviar de la forma siguiente:

{F }A = [k ]AA {δ }A Donde [k ]AA es una matriz de rigideces que relaciona los desplazamientos en el extremo A , {δ }A , con las fuerzas del mismo extremo, {F }A , de un elemento que une los nodos A y B . Sea:

F2 F1

B

A

F5 F6

F3

F4

Dada la ecuación de equilibrio del nodo A , {F }A = [k ]AA {δ }A : a) Se puede aplicar un desplazamiento unitario en A en la dirección de F1 y obtener las fuerzas correspondientes del mismo nodo A : ⎧ F11 ⎫ ⎡k11 ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ F21 ⎬ = ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ 0 ⎩ 31 ⎭ ⎣

∴

ANALISIS ESTRUCTURAL

0 k 22 k 32

⎧ EA ⎫ 0 ⎤ ⎧1⎫ ⎧k11 ⎫ ⎪ L ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ k 23 ⎥ ⎨0⎬ = ⎨ 0 ⎬ = ⎨ 0 ⎬ k 33 ⎥⎦ AA ⎪⎩0⎪⎭ A ⎪⎩ 0 ⎪⎭ A ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭A

F11 =

EA , L

F21 = F31 = 0

47

1

F= 11

F51

EA L

F61

F41

Y por el equilibrio:

∑ Fx = 0

∴

F11 + F41 = 0

F41 = − F11 = −

EA L

F51 = F61 = 0

F41 Será la fuerza o rigidez necesaria en el nodo B , para equilibrar los efectos de nodo A , o sea, F41 es la rigidez necesaria y única en B para equilibrar A .

b) De la misma manera, aplicando un desplazamiento unitario en A , en la dirección de F2 , se tiene que las fuerzas en nodo A son:

⎧ F12 ⎫ ⎡k11 ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ F22 ⎬ = ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ 0 ⎩ 32 ⎭ ⎣

0 k 22 k 32

⎧ ⎫ ⎪ ⎪ 0 0 ⎤ ⎧0⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪12 EI ⎪⎪ k 23 ⎥⎥ ⎨1⎬ = ⎨k 22 ⎬ = ⎨ 3 ⎬ L k 33 ⎥⎦ ⎪⎩0⎪⎭ ⎪⎩k 32 ⎪⎭ ⎪ 6 EI ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ L2 ⎪⎭

1

F32 =

F52

6EI L2

F62 F22 =

6EI L3

∑ Fx = 0

∑ Fy = 0

F42 = 0

F22 + F52 = 0

ANALISIS ESTRUCTURAL

F42

∴

F52 = − F22 = −

12 EI L3

48

∑ Mz = 0 F62 + F32 − F22 L = 0 F62 = F22 L − F32 =

12 EIL 6 EI 6 EI − 2 = 2 L3 L L

c) Si se aplica un giro unitario en A en la dirección de F3 , se tiene que las fuerzas en el nodo A son: ⎡ EA 0 ⎢ ⎧ F13 ⎫ ⎢ L 12 EI ⎪ ⎪ ⎨ F23 ⎬ = ⎢ 0 L3 ⎪F ⎪ ⎢ 6 EI ⎩ 33 ⎭ ⎢ 0 ⎢⎣ L2

⎤ ⎧ ⎫ 0 ⎥ ⎪ ⎪ 0 ⎧0⎫ 6 EI ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ 6 EI ⎪⎪ ⎥ ⎨0⎬ = ⎨ ⎬ L2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ L2 ⎪ 4 EI ⎥ ⎩1⎭ ⎪ 4 EI ⎪ ⎪⎩ L ⎪⎭ L ⎥⎦

F53

4EI F33= L

F63 F22 =

6EI L2

∑ Fx = 0

∑ Fy = 0

F43 = 0

F53 + F23 = 0

∑M

z

F43

∴

F53 = − F23 = −

6 EI L2

=0

F63 + F33 − F23 L = 0 F63 = F23 L − F33 =

6 EI 4 EI 2 EI L− = 2 L L L

Finalmente, aplicando estos desplazamientos unitarios en A se deducen los efectos en B , por tanto:

[k ]BA

ANALISIS ESTRUCTURAL

⎡ EA ⎢− L ⎢ =⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣

0 −

12 EI L3 6 EI L2

⎤ ⎥ 6 EI ⎥ − 2 ⎥ L ⎥ 2 EI ⎥ L ⎥⎦ 0

49

Dada la propiedad de simetría de la matriz de rigidez del elemento estructural, se tiene:

[k ]AB = [k BA ]T Ensamblando la matriz de rigidez del elemento A − B , se tiene:

⎡ EA 0 ⎢ L ⎢ 12 EI ⎧ F1 ⎫ ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ L3 2 6 EI ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎪ F3 ⎪⎪ ⎢ 0 L2 ⎨ ⎬ = ⎢ EA ⎪ F4 ⎪ ⎢− 0 ⎪ F5 ⎪ ⎢ L 12 EI ⎪ ⎪ ⎢ − 3 ⎪⎩ F6 ⎪⎭ ⎢ 0 L ⎢ 6 EI ⎢ 0 L2 ⎣

0

−

6 EI L2 4 EI L

EA L 0 0

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

0

[k ]BB

6 EI L2 2 EI L

−

⎤ 0 ⎥ 6 EI ⎥ ⎧δ ⎫ ⎥ 1 L2 ⎥ ⎪δ ⎪ 2 EI ⎥ ⎪ 2 ⎪ L ⎥ ⎪⎪δ 3 ⎪⎪ ⎥ ⎨δ ⎬ ⎥⎪ 4 ⎪ ⎥ ⎪δ 5 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎥ ⎪⎩δ 6 ⎪⎭ ⎥ ⎥ ⎦

La ecuación de equilibrio del elemento se puede expresar también en forma simplificada: ⎧ Fi ⎫ ⎧ FA ⎫ ⎡k AA ⎨ ⎬=⎨ ⎬=⎢ ⎩ F j ⎭ ⎩ FB ⎭ ⎣ k BA

k AB ⎤ ⎧δ A ⎫ ⎨ ⎬ k BB ⎥⎦ ⎩δ B ⎭

Para la obtención de la submatriz k BB , se procede como sigue: a) Si se aplica un desplazamiento unitario en B en la dirección de F4 se conoce el efecto sobre A y aplicando equilibrio se obtiene la rigidez en B: ⎡ EA ⎢− ⎧ F14 ⎫ ⎢ L ⎪ ⎪ ⎨ F24 ⎬ = ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ ⎩ 34 ⎭ ⎢ 0 ⎢⎣

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

⎤ 0 ⎥ ⎧ EA ⎫ 1 ⎫ ⎪− ⎧ ⎪ 6 EI ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ L ⎪ ⎥ ⎨0⎬ = ⎨ 0 ⎬ L2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 EI ⎥ ⎩0⎭ ⎪ 0 ⎪ ⎭ ⎩ L ⎥⎦

Por equilibrio:

ANALISIS ESTRUCTURAL

50

F14 =

EA L

δx= 1 A

B

F6 4

F44

F54

∑ Fx = 0

∴

EA − + F44 = 0 L

F44 =

EA L

b) Si se aplica un desplazamiento unitario en B , en la dirección de F5 , se conoce el efecto sobre A y aplicando equilibrio se obtiene la rigidez en B: ⎡ EA ⎢− ⎧ F15 ⎫ ⎢ L ⎪ ⎪ ⎨ F25 ⎬ = ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ ⎩ 35 ⎭ ⎢ 0 ⎢⎣

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

⎤ ⎧ ⎫ 0 ⎥ ⎪ ⎪ 0 ⎧0⎫ ⎥ ⎪ 6 EI ⎪ ⎪ ⎪ 12 EI ⎪⎪ ⎥ ⎨1⎬ = ⎨− ⎬ L2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ L3 ⎪ 0 2 EI ⎥ ⎩ ⎭ ⎪ 6 EI ⎪ − L ⎥⎦ ⎩⎪ L2 ⎭⎪

1

F35 =

6EI L2 F25 =

∑ Fx = 0

F5 5

12EI L3

∑ Fy = 0

F45 = 0

∴

12 EI F55 − 3 = 0 L

∑ Mz = 0 6 EI 12 EI F65 − 2 + 3 L = 0 L L

F6 5

∴

F65 =

F55 =

F4 5

12 EI L3

6 EI 12 EI 6 EI − 2 =− 2 L2 L L

c) Si se aplica un giro unitario en B en la dirección F6 , se conoce el efecto en A y aplicando equilibrio, se obtiene la rigidez en A :

ANALISIS ESTRUCTURAL

51

⎡ EA ⎢− ⎧ F16 ⎫ ⎢ L ⎪ ⎪ ⎨ F26 ⎬ = ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ ⎩ 36 ⎭ ⎢ 0 ⎢⎣

⎤ ⎧ ⎫ 0 ⎥ ⎪ 0 ⎪ ⎧0⎫ 6 EI ⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪ 6 EI ⎪⎪ ⎥ ⎨0⎬ = ⎨ ⎬ L2 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ L2 ⎪ 2 EI ⎥ ⎩1⎭ ⎪ 2 EI ⎪ ⎪⎩ L ⎪⎭ L ⎥⎦

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

F56 F36 =

2EI L

F6 6 F26 =

∑ Fx = 0

F4 6

6EI L2

∑ Fy = 0

F46 = 0

∴

6 EI F56 + 2 = 0 L

∑ Mz = 0 2 EI 6 EI F66 + − 2 L=0 L L

∴

F56 = −

F66 =

6 EI L2

6 EI 2 EI 4 EI − = L L L

Finalmente la matriz de rigidez k BB es: ⎡ EA ⎢ L ⎢ [k BB ] = ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

⎤ ⎥ 6 EI ⎥ − 2 ⎥ L ⎥ 4 EI ⎥ L ⎥⎦ 0

La matriz de rigidez del elemento AB :

ANALISIS ESTRUCTURAL

52

⎡ EA 0 ⎢ L ⎢ 12 EI ⎢ 0 L3 ⎢ 6 EI ⎢ 0 2 [k ] = ⎢⎢ EA L 0 ⎢− L ⎢ 12 EI ⎢ 0 − 3 ⎢ L ⎢ 6 EI ⎢ 0 L2 ⎣

0

−

6 EI L2 4 EI L

EA L 0 0

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

EA L

0 6 EI L2 2 EI L

−

0 0

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

⎤ ⎥ 6 EI ⎥ ⎥ L2 ⎥ 2 EI ⎥ L ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 6 EI − 2 ⎥ L ⎥ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦ 0

Y la ecuación de equilibrio del elemento es: ⎧δ A ⎫ ⎧ FA ⎫ ⎨ ⎬ = [k ]⎨ ⎬ = [k ]{δ } ⎩δ B ⎭ ⎩ FB ⎭

Ahora se aplicará el mismo procedimiento pero sin despreciar el término kL de cortante 1 : GA Como primer paso, se obtendrá la inversa de la matriz 5-8: ⎡ L ⎢ ⎧δ 1 ⎫ ⎢ EA ⎪ ⎪ ⎢ ⎨δ 2 ⎬ = ⎢ 0 ⎪δ ⎪ ⎢ ⎩ 3⎭ ⎢ ⎢ 0 ⎣

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎧ F1 ⎫ L2 ⎥ ⎪ ⎪ − ⎨ F2 ⎬ 2 EI z ⎥ ⎪ ⎪ ⎥ F L ⎥⎩ 3 ⎭ EI z ⎥⎦ 0

⎛ kL L3 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ + ⎝ GA 3EI ⎠ L2 − 2 EI z

(5-8)

{I } = [ f ]AA [ f ]−AA1

[ f ]AA

Es al matriz de flexibilidades,

[ f ]−AA1

es la matriz inversa y {I } es la matriz

identidad.

ANALISIS ESTRUCTURAL

53

⎡ L ⎢ ⎢ EA ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

0

⎤ ⎥ ⎥ ⎡ B1 L2 ⎥ ⎢ B4 − 2 EI z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢B L ⎥⎣ 7 EI z ⎥⎦ 0

⎛ kL L3 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ + ⎝ GA 3EI ⎠ L2 − 2 EI z

B2 B5 B8

B3 ⎤ ⎡ 1 0 0 ⎤ B6 ⎥⎥ = ⎢⎢0 1 0⎥⎥ B9 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦

Se aplicarán los sistemas de ecuaciones siguientes: ⎡ L ⎢ ⎢ EA ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

L B1 = 1 EA

⇒I

0 ⎛ kL L3 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ + ⎝ GA 3EI ⎠ L2 − 2 EI z

−

L2 L B4 + B7 = 0 2 EI EI

B1 =

∴

⎛ kL L3 ⎞ L2 ⎟⎟ B4 − ⎜⎜ + B7 = 0 2 EI ⎝ GA 3EI ⎠

⎤ ⎥ ⎥ ⎡ B1 ⎤ ⎡1⎤ L2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − B4 = 0 2 EI z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ B ⎥ ⎢0 ⎥ L ⎥⎣ 7 ⎦ ⎣ ⎦ EI z ⎥⎦ 0

EA L

⇒ II

⇒ III

De la ecuación III se despeja B7 , obteniéndose:

B7 =

L B4 2

Este valor se sustituye en la ecuación 2.

⎛ kL L3 ⎞ L2 ⎛ L ⎞ ⎟⎟ B4 − ⎜⎜ + ⎜ B4 ⎟ = 0 2 EI ⎝ 2 ⎠ ⎝ GA 3EI ⎠ ⎛ kL L3 ⎞ L3 ⎟⎟ B4 − ⎜⎜ + B4 = 0 4 EI ⎝ GA 3EI ⎠

De las ecuaciones anteriores se deduce que B4 = 0

ANALISIS ESTRUCTURAL

∴

B7 = 0 .

54

⎡ L ⎢ ⎢ EA ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

L B2 = 0 EA

0 ⎛ kL L3 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ + ⎝ GA 3EI ⎠ L2 − 2 EI z

⎛ kL L3 ⎞ L2 ⎟⎟ B5 − ⎜⎜ + B8 = 1 2 EI ⎝ GA 3EI ⎠ −

B2 = 0

∴

⇒ IV

⎤ ⎥ ⎥ ⎡ B 2 ⎤ ⎡0 ⎤ L2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ B5 = 1 − 2 EI z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ B ⎥ ⎢0 ⎥ L ⎥⎣ 8 ⎦ ⎣ ⎦ EI z ⎥⎦ 0

⇒V

L2 L B5 + B8 = 0 2 EI EI

⇒ VI

De la ecuación VI se despeja B8 , obteniéndose:

B8 =

L B5 2

Este valor se sustituye en la ecuación V .

⎛ kL L3 ⎞ L2 ⎛ L ⎞ ⎟ ⎜⎜ + ⎟ B5 − 2 EI ⎜ 2 B5 ⎟ = 1 ⎠ ⎝ ⎝ GA 3EI ⎠ ⎛ kL L3 ⎞ ⎟⎟ = 1 B5 ⎜⎜ + ⎝ GA 12 EI ⎠

⇒

⇒

kL L3 L3 B5 + B5 − B5 = 1 GA 3EI 4 EI

B5 =

1 kL L3 + GA 12 EI

Simplificando el valor de B5 obtenemos: 1 12 EIGA (÷ GA) = 12 EI B5 = = 3 3 12 EIkL 12 EIkL + GAL 12 EIkL + GAL + L3 GA 12 EIGA Si consideramos que a r =

A 12 EI y que α = 2 ; donde a r es el área efectiva de k L Ga r

cortante. 12 EI 12 EI 12 EI = = 3 B5 = 12 EIL ( ) + L3 L3 ⎛⎜ 12 EI + 1⎞⎟ L α + 1 ⎜ L2 Ga ⎟ Ga r r ⎝ ⎠ ANALISIS ESTRUCTURAL

55

⎛ ⎜ L⎜ 1 B8 = 2 ⎜ kL L3 + ⎜ ⎝ GA 12 EI

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

B8 =

⇒

L 2kL L3 + GA 6 EI

Simplificamos el valor de B8 : B8 =

=

L 3

2kL L + GA 6 EI

=

L 6 EILGA 6 EIL (÷ GA) = 6 EIL = = 3 3 EIkL 12 12 EIk 12 EIkL + L GA 12 EIkL + L GA ⎞ + L3 L⎛⎜ + L2 ⎟ GA 6 EIGA ⎝ GA ⎠

6 EI 6 EI 6 EI 6 EI = = = 2 12 EIk 12 EIk ⎞ ⎛ ⎞ L (α + 1) + L2 L2 ⎛⎜ 2 + 1⎟ L2 ⎜ 12 EI + 1⎟ 2 ⎜ L Ga ⎟ GA ⎝ L GA ⎠ r ⎝ ⎠

⎡ L ⎢ ⎢ EA ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

L B3 = 0 EA

0 ⎛ kL L3 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ + ⎝ GA 3EI ⎠ L2 − 2 EI z

∴

⇒ VII

⎛ kL L3 ⎞ L2 ⎜⎜ ⎟ + ⎟ B6 − 2 EI B9 = 0 ⎝ GA 3EI ⎠ −

L2 L B6 + B9 = 1 2 EI EI

⎤ ⎥ ⎥ ⎡ B3 ⎤ ⎡0⎤ L2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − B6 = 0 2 EI z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ B ⎥ ⎢1 ⎥ L ⎥⎣ 9 ⎦ ⎣ ⎦ EI z ⎥⎦ 0

B3 = 0

⇒ VIII

⇒ IX

De la ecuación IX se despeja B9 obteniéndose:

B9 =

EI L + B6 L 2

Sustituimos este valor en la ecuación VIII .

ANALISIS ESTRUCTURAL

56

⎛ kL L3 ⎞ L2 ⎛ EI L ⎞ ⎟ ⎜⎜ + ⎟ B6 − 2 EI ⎜ L + 2 B6 ⎟ = 0 ⎝ ⎠ ⎝ GA 3EI ⎠ L L3 L3 kL B6 = 0 B6 − − B6 + GA 3EI 2 4 EI kL L3 L B6 + B6 = GA 12 EI 2 ⎛ kL L3 ⎞ L ⎟⎟ = + B6 ⎜⎜ ⎝ GA 12 EI ⎠ 2 B6 =

L 2kL L3 + GA 6 EI

El valor simplificado de B6 es igual al valor de B8 . Ahora obtendremos el valor de B9 . ⎛ ⎜ EI L ⎜ L + B9 = L 2 ⎜ 2kL L3 + ⎜ ⎝ GA 3EI

⎞ ⎟ L2 ⎟ = EI + ⎟ L 4kL L3 + ⎟ GA 3EI ⎠

Simplificamos el valor de B9 .

ANALISIS ESTRUCTURAL

57

B9 =

EI L2 3EIL2 GA EI L2 EI + = + = + L 4kL L3 L 12 EIkL + L3GA L 12 EIkL + L3 GA + 3EIGA GA 3EI

(

12 E 2 I 2 kL + EIL3GA + 3EIL3GA L 12 E 2 I 2 k + EIL2 GA + 3EIL2 GA = = L 12 EIkL + L3 GA L 12 EIkL + L3 GA

(

)

(

)

)

12 E 2 I 2 k + EIL2 + 3EIL2 12 E 2 I 2 k + EIL2 GA + 3EIL2 GA (÷ GA) = GA = 12 EIkL 12 EIkL + L3 GA + L3 GA ⎞ ⎞ ⎛ 12 E 2 I 2 k 12 EIk 2 ⎛ 12 EI ⎞ + 4 ⎟⎟ L2 ⎜⎜ 2 + EI + 3EI ⎟⎟ EIL2 ⎛⎜ 2 + 4 ⎟ EIL ⎜⎜ 2 L GA ⎝ L Ga r ⎠ = EI (α + 4 ) ⎠= ⎝ L GA ⎠= = ⎝ L(α + 1) ⎞ ⎛ 12 EI ⎛ 12 EIk ⎞ ⎞ ⎛ 12 EIk L3 ⎜ 2 + 1⎟ L3 ⎜ 2 + 1⎟ + 1⎟⎟ L3 ⎜⎜ 2 ⎝ L GA ⎠ ⎝ L GA ⎠ ⎝ L Ga r ⎠ La matriz inversa que se obtiene es la siguiente:

⎡ EA ⎢ ⎧ F1 ⎫ ⎢ L ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ F2 ⎬ = ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ ⎩ 3⎭ ⎢ 0 ⎢⎣

0 12 EI L (α + 1) 6 EI 2 L (α + 1) 3

⎤ ⎥ ⎥ ⎧δ 1 ⎫ 6 EI ⎥ ⎪ ⎪ ⎨δ 2 ⎬ L2 (α + 1) ⎥ ⎪ ⎪ EI (α + 4) ⎥ ⎩δ 3 ⎭ ⎥ L(α + 1) ⎥⎦ 0

Esta ecuación se puede abreviar de la forma siguiente:

{F }A = [k ]AA {δ }A Donde [k ]AA es una matriz de rigideces que relaciona los desplazamientos en el extremo A , {δ }A , con las fuerzas del mismo extremo, {F }A , de un elemento que une los nodos A y B . Sea:

ANALISIS ESTRUCTURAL

58

F2 F1

B

A

F5 F4

F6

F3

Dada la ecuación de equilibrio del nodo A , {F }A = [k ]AA {δ }A : a) Se puede aplicar un desplazamiento unitario en A en la dirección de F1 y obtener las fuerzas correspondientes del mismo nodo A :

⎡ EA ⎢ ⎧ F11 ⎫ ⎢ L ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ F21 ⎬ = ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ ⎩ 31 ⎭ ⎢ 0 ⎣⎢

∴

0 12 EI L (α + 1) 6 EI 2 L (α + 1) 2

F11 =

⎤ ⎥ ⎧ EA ⎫ ⎥ ⎧1⎫ ⎪ L ⎪ 6 EI ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨0⎬ = ⎨ 0 ⎬ 2 L (α + 1) ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ EI (α + 4) ⎥ ⎩0⎭ ⎪ 0 ⎪ ⎥ ⎩ ⎭ L(α + 1) ⎦⎥ 0

EA , L

F21 = F31 = 0

1

F51

EA F= 11 L

F61

F41

Y por el equilibrio:

∑ Fx = 0 F11 + F41 = 0

∴

F41 = − F11 = −

EA L

F51 = F61 = 0

F41 Será la fuerza o rigidez necesaria en el nodo B , para equilibrar los efectos de nodo A , o sea, F41 es la rigidez necesaria y única en B para equilibrar A .

b) De la misma manera, aplicando un desplazamiento unitario en A , en la dirección de F2 , se tiene que las fuerzas en nodo A son: ANALISIS ESTRUCTURAL

59

⎡ EA ⎢ ⎧ F11 ⎫ ⎢ L ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ F22 ⎬ = ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ ⎩ 32 ⎭ ⎢ 0 ⎣⎢

0 12 EI L (α + 1) 6 EI 2 L (α + 1) 2

⎧ ⎤ ⎫ ⎪ ⎥ ⎪ 0 ⎥ ⎧0⎫ ⎪ ⎪ 6 EI ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 12 EI ⎪ ⎨1⎬ = ⎨ ⎬ L2 (α + 1) ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ L3 (α + 1) ⎪ EI (α + 4) ⎥ ⎩0⎭ ⎪ 6 EI ⎪ ⎥ ⎪ L2 (α + 1) ⎪ L(α + 1) ⎦⎥ ⎩ ⎭ 0

1

F52

6EI F32 = 2 L (α+ 1)

F62

F42

12EI F22 = 3 L (α+ 1)

∑ Fx = 0

∑ Fy = 0

F42 = 0

F22 + F52 = 0

F52 = − F22 = −

12 EI L3

∑ Mz = 0 F62 + F32 − F22 ( L) = 0 6 EI 12 EI ( L) − 2 =0 F62 + 2 L (a + 1) L (a + 1) 6 EI 12 EI F62 + 2 − 2 =0 L (a + 1) L (a + 1) 6 EI F62 = 2 L (a + 1)

c) Si se aplica un giro unitario en A en la dirección de F3 , se tiene que las fuerzas en el nodo A son: ANALISIS ESTRUCTURAL

60

⎡ EA ⎢ ⎧ F13 ⎫ ⎢ L ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ F23 ⎬ = ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ ⎩ 33 ⎭ ⎢ 0 ⎢⎣

⎤ ⎧ ⎫ ⎥ ⎪ ⎪ 0 ⎥ ⎧0⎫ ⎪ ⎪ 6 EI ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ 6 EI ⎪ ⎨0⎬ = ⎨ ⎬ L2 (α + 1) ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ L2 (α + 1) ⎪ EI (α + 4) ⎥ ⎩1⎭ ⎪ EI (α + 4) ⎪ ⎥ ⎪ L(α + 1) ⎪ L(α + 1) ⎥⎦ ⎩ ⎭

0

0

12 EI L (α + 1) 6 EI 2 L (α + 1) 2

F53

EI(α+ 4) F33= L(α+ 1)

F63 F23 =

6EI L2 (α+ 1)

∑ Fx = 0

∑ Fy = 0

F43 = 0

F53 + F23 = 0

∑M

z

F43

∴

F53 = − F23 = −

6 EI L (α + 1) 2

=0

F63 + F33 − F23 L = 0 F63 = F23 L − F33 = −

EI (α + 4) 6 EI EI (α + 4) 6 EI EI (2 − α ) + 2 L=− + = L(α + 1) L (α + 1) L(α + 1) L(α + 1) L(1 + α )

Finalmente, aplicando estos desplazamientos unitarios en A se deducen los efectos en B , por tanto:

[k ]BA

⎡ EA ⎢− ⎢ L =⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣

0 12 EI L (α + 1) 6 EI 2 L (α + 1)

−

3

⎤ ⎥ ⎥ 6 EI ⎥ − 2 L (α + 1) ⎥ EI (2 − α ) ⎥ ⎥ L(1 + α ) ⎥⎦ 0

Dada la propiedad de simetría de la matriz de rigidez del elemento estructural, se tiene: ANALISIS ESTRUCTURAL

61

[k ]AB = [k BA ]T

Ensamblando la matriz de rigidez del elemento A − B , se tiene:

⎡ EA ⎢ L ⎢ ⎧ F1 ⎫ ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ ⎪ 2⎪ ⎢ 0 ⎪⎪ F3 ⎪⎪ ⎢ ⎨ ⎬ = ⎢ EA ⎪ F4 ⎪ ⎢− ⎪ F5 ⎪ ⎢ L ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎩ F6 ⎪⎭ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣

0

0

12 EI L (α + 1) 6 EI 2 L (α + 1)

6 EI L (α + 1) EI (α + 4) L(α + 1)

0

0

3

−

EA L

12 EI L (α + 1) 6 EI − 2 L (α + 1) −

0

2

0

3

[k ]BB

12 EI 6 EI − 2 L (α + 1) L (α + 1) 6 EI EI (2 − α ) L(1 + α ) L2 (α + 1)

−

0

3

⎤ ⎥ 6 EI ⎥ ⎥ ⎧δ ⎫ L2 (α + 1) ⎥ ⎪ 1 ⎪ EI (2 − α ) ⎥ ⎪δ 2 ⎪ L(1 + α ) ⎥⎥ ⎪⎪δ 3 ⎪⎪ ⎨ ⎬ ⎥ ⎪δ 4 ⎪ ⎥ ⎪δ ⎪ ⎥⎪ 5 ⎪ ⎥ ⎪⎩δ 6 ⎪⎭ ⎥ ⎥ ⎥⎦ 0

La ecuación de equilibrio del elemento se puede expresar también en forma simplificada: ⎧ Fi ⎫ ⎧ FA ⎫ ⎡k AA ⎨ ⎬=⎨ ⎬=⎢ ⎩ F j ⎭ ⎩ FB ⎭ ⎣ k BA

k AB ⎤ ⎧δ A ⎫ ⎨ ⎬ k BB ⎥⎦ ⎩δ B ⎭

Para la obtención de la submatriz k BB , se procede como sigue: b) Si se aplica un desplazamiento unitario en B en la dirección de F4 se conoce el efecto sobre A y aplicando equilibrio se obtiene la rigidez en B: ⎡ EA ⎢− ⎧ F14 ⎫ ⎢ L ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ F24 ⎬ = ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ ⎩ 34 ⎭ ⎢ 0 ⎢⎣

0 12 EI L (α + 1) 6 EI − 2 L (α + 1) −

3

⎤ ⎥ ⎡ EA ⎤ ⎥ ⎡1⎤ ⎢− L ⎥ 6 EI ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0⎥ = 0 ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ L (α + 1) ⎥ ⎢ 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ EI (2 − α ) ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥ L(1 + α ) ⎥⎦ 0

Por equilibrio:

ANALISIS ESTRUCTURAL

62

F14 =

EA L

δx= 1 A

B

F6 4

F44

F54

∑ Fx = 0

∴

EA − + F44 = 0 L

F44 =

EA L

b) Si se aplica un desplazamiento unitario en B , en la dirección de F5 , se conoce el efecto sobre A y aplicando equilibrio se obtiene la rigidez en B: ⎡ EA ⎢− ⎧ F15 ⎫ ⎢ L ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ F25 ⎬ = ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ ⎩ 35 ⎭ ⎢ 0 ⎢⎣

0 12 EI L (α + 1) 6 EI − 2 L (α + 1) −

3

⎤ ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ 6 EI ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 12 EI ⎥ 1 = − L2 (α + 1) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ L3 (α + 1) ⎥ 6 EI ⎥ EI (2 − α ) ⎥ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢− 2 ⎥ L(1 + α ) ⎥⎦ ⎢⎣ L (α + 1) ⎥⎦ 0

1

F35 =

6EI L2 (α+ 1)

F5 5

F25 = 3 12EI L (α+ 1)

∑ Fx = 0

∑ Fy = 0

F45 = 0

12 EI F55 − 3 =0 L (α + 1)

∑ Mz = 0 6 EI 12 EI F65 − 2 + 3 L=0 L (α + 1) L (α + 1)

F65

∴

∴

F65 =

F55 =

F4 5

12 EI L (α + 1) 3

6 EI 12 EI 6 EI − 2 =− 2 L2 (α + 1) L (α + 1) L (α + 1)

b) Si se aplica un giro unitario en B en la dirección F6 , se conoce el efecto en A y aplicando equilibrio, se obtiene la rigidez en A : ANALISIS ESTRUCTURAL

63

⎡ EA ⎢− ⎧ F16 ⎫ ⎢ L ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ F26 ⎬ = ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ ⎩ 36 ⎭ ⎢ 0 ⎢⎣

F36 =

0 12 EI L (α + 1) 6 EI − 2 L (α + 1) −

3

⎤ ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ 6 EI ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 6 EI ⎥ 0 = − L2 (α + 1) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ L2 (α + 1) ⎥ EI (2 − α ) ⎥ ⎢⎣1⎥⎦ ⎢ EI (2 − α ) ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ L(1 + α ) ⎥⎦ ⎢⎣ L(1 + α ) ⎥⎦ 0

EI(2-α) L(α+ 1)

F56 F6 6 F26 =

6EI L (α+ 1) 2

∑ Fy = 0

∑ Fx = 0

6 EI F56 + 2 =0 L (α + 1)

F46 = 0

F4 6

∴

F56 = −

6 EI L (α + 1) 2

∑ Mz = 0 F66 +

∴

EI (2 − α ) 6 EI − 2 L=0 L(1 + α ) L (α + 1) F66 =

EI (α + 4 ) L(α + 1)

Finalmente la matriz de rigidez k BB es:

⎤ ⎡ EA 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ L 12 EI 6 EI ⎥ ⎢ [k BB ] = ⎢ 0 − 2 L3 (α + 1) L (α + 1) ⎥ ⎢ EI (α + 4) ⎥ 6 EI ⎥ ⎢ 0 − 2 L(α + 1) ⎦⎥ L (α + 1) ⎣⎢ La matriz de rigidez del elemento AB :

ANALISIS ESTRUCTURAL

64

EA ⎤ ⎡ EA 0 0 0 0 − ⎥ ⎢ L L ⎥ ⎢ 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI ⎥ ⎢ 0 0 − L3 (α + 1) L2 (α + 1) L3 (α + 1) L2 (α + 1) ⎥ ⎢ ⎢ EI (α + 4) EI (2 − α ) ⎥ 6 EI 6 EI − 2 0 ⎢ 0 2 L(α + 1) ⎥⎥ L (α + 1) [k ] = ⎢ EA L (α + 1) L(α + 1) EA ⎥ ⎢− 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L L ⎢ 12 EI 6 EI 12 EI 6 EI ⎥ − 3 − 2 − 2 0 ⎥ ⎢ 0 L (α + 1) L (α + 1) L3 (α + 1) L (α + 1) ⎥ ⎢ EI (2 − α ) EI (α + 4 ) ⎥ 6 EI 6 EI ⎢ 0 − 2 0 2 ⎢⎣ L(α + 1) L(α + 1) ⎥⎦ L (α + 1) L (α + 1)

Y la ecuación de equilibrio del elemento es:

⎧ FA ⎫ ⎧δ A ⎫ ⎨ ⎬ = [k ]⎨ ⎬ = [k ]{δ } ⎩ FB ⎭ ⎩δ B ⎭

Como ya se había mencionado, el coeficiente de forma k = 1.2 para secciones rectangulares, a continuación se efectúa la demostración: k = ∫∫ A

⎞ b ⎛ h2 − y 2 ⎟⎟ Q = ⎜⎜ 2⎝ 4 ⎠

I ρ = A 2

Q z2 dA ρ 2 I z b y2 bh 3 I= 12

A = bh

Desarrollando la integral:

ANALISIS ESTRUCTURAL

65

2

⎡b ⎛ h2 ⎤ b2 2⎞ ⎢ ⎜⎜ − y ⎟⎟⎥ 2⎝ 4 4 ⎠⎦ k = ∫∫ ⎣ dA = ∫∫ 3 3 A 1 ⎛ bh ⎞⎛ bh ⎞ 2 A ⎟⎟b ⎟⎟⎜⎜ ⎜⎜ bh ⎝ 12 ⎠⎝ 12 ⎠

2

2

⎞ ⎞ ⎛ h2 b2 ⎛ h2 h4 h2 y 2 ⎜⎜ − y 2 ⎟⎟ ⎜⎜ − y 2 ⎟⎟ − + y4 4 ⎝ 4 ⎠ dA = 16 ⎠ dA = ⎝ 4 2 dA ∫∫A b 2 ⎛ bh 5 ⎞ ∫∫A b3h5 bh 5 ⎟ ⎜ 144 36 4 ⎜⎝ 36 ⎟⎠

h 4 − 8h 2 y 2 + 16 y 4 36h 4 − 288h 2 y 2 + 576 y 4 18 18 y 2 36 y 4 16 = ∫∫ = = dA dA ∫∫A ∫∫A 8bh − bh3 + bh 5 dA 16bh 5 bh 5 A 36 h/2 9 6 36 b / 2 18 y b / 2 (2 ) − (2) + (2) dx 18 18 y 2 36 y 4 6 y 3 36 y 5 ⎤ =∫ ∫ − + − 3 + dx = ∫ dydx = ∫ 8b 8b 160b 3 5 5 ⎥ b b / 2 / 2 −b / 2 − h / 2 8bh − − 8bh bh 5bh ⎦ −h / 2 bh bh b/2

h/2

b/2

18 12 72 18x 12 x 72 x ⎤ 9 6 36 ( ) ( ) ( ) =∫ − + − + = 2 − 2 + 2 = 1.2 dx = −b / 2 8b 8b 160b 8b 8b 160b ⎥⎦ −b / 2 8 8 160 b/2

Ejemplo.

ANALISIS ESTRUCTURAL

66

Obtención de la matriz de flexibilidades y de rigideces de un elemento de sección constante en el espacio tridimensional. Sea: y

F2 F6

F4

F1 F5

F8

F3

F12

i A

j F11

F7

x

B F9 F10

z

L

Lo que se busca es establecer la ecuación de equilibrio del elemento en función de los desplazamientos y de las fuerzas aplicadas en los nodos extremos de la barra. Para la obtención de la matriz de flexibilidades del elemento se puede proceder como sigue: La energía de deformación del elemento con comportamiento lineal se puede expresar como:

W =∫

L

0

2 2 L k1V y L M L M L k V L My N x2 x z dx dx + ∫ dx + ∫ 2 z dx + ∫ dx + ∫ dx + ∫ 0 2GA 0 2 EI 0 2GJ 0 2GA 0 2 EJ 2 EA y z m

(1)

Haciendo un corte y verificando el equilibrio, se pueden obtener las variaciones de las fuerzas internas como sigue: y

F2

F1

F6

F4 F3 F5

∑ Fx = 0 ANALISIS ESTRUCTURAL

My

Vz

Mz

Vy Mx

Nx

x

z

67

F1 . − N x = 0

∑ Fy = 0 F2 − V y = 0

∑ Fz = 0 F5 − V z = 0

∑ Mx = 0 F4 − Mx = 0

∴

N x = F1

∴

V y = F2

∴

V z = F5

∴

Mx = F4

∑ My = 0 F6 − F5 x − My = 0

∑ Mz = 0 F3 − F2 x − Mz = 0

∴

My = F6 − F5 x

∴

Mz = F3 − F2 x

(2) todas las anteriores.

Sustituyendo las valores de N x , V y , V z , M x , M y y M z en la ecuación 1 se tiene:

W =∫

L

0

2 2 ⎡ F12 k 2 F52 (F6 − F5 x ) ⎤ k1 F22 (F3 − F2 x ) F42 + + + + + ⎢ ⎥ dx 2 EI z 2GJ m 2GA 2 EI y ⎦⎥ ⎣⎢ 2 EA 2GA

2 L⎡ F k F 2 F 2 − 2 F5 F6 x + F52 x 2 ⎤ k F 2 F 2 − 2 F2 F3 x + F22 x 2 F2 =∫ ⎢ 1 + 1 2 + 3 + 4 + 2 5 + 6 ⎥dx 0 2 EA 2GA 2 EI z 2GJ m 2GA 2 EI y ⎢⎣ ⎥⎦

F32 x − F2 F3 x 2 F22 x 3 F12 k1 F22 F42 x k 2 F52 x F62 x − F5 F6 x 2 F52 x 3 ⎤ = + + + + + x+ x+ ⎥ 2 EA 2GA 2 EI z 6 EI z 2GJ m 2GA 2 EI y 6 EI y ⎦⎥ F12 L k1 F22 L F32 L − F2 F3 L2 F22 L3 F42 L k 2 F52 L F62 L − F5 F6 L2 F52 L3 W = + + + + + + + 2 EA 2GA 2 EI z 6 EI z 2GJ m 2GA 2 EI y 6 EI y

L

0

(3)

De acuerdo al teorema de Castigliano:

∂W = δi ∂Fi LF ∂W = δ1 = 1 ∂F1 EA ANALISIS ESTRUCTURAL

68

L3 F2 ⎛ k1 L kL ∂W L3 L2 F3 + = δ 2 = 1 F2 − = ⎜⎜ + 2 EI z 3EI z ⎝ GA 3EI z GA ∂F2

⎞ L2 ⎟⎟ F2 − F3 2 EI z ⎠

∂W L2 L = δ3 = F2 F3 − 2 EI z ∂F3 EI z ∂W L = δ4 = F4 ∂F4 GJ m

⎛k L k L L3 L2 L3 ∂W F6 + F5 = ⎜ 2 + = δ 5 = 2 F5 − ⎜ GA 3EI 2 EI y 3EI y GA ∂F5 y ⎝ L L2 ∂W F6 − F5 = δ6 = EI y 2 EI y ∂F6

2 ⎞ ⎟ F5 − L F6 ⎟ 2 EI y ⎠

(4) todas las anteriores.

Expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial se tiene:

⎡ L ⎢ EA ⎢ ⎢ 0 ⎧δ 1 ⎫ ⎢ ⎪δ ⎪ ⎢ ⎪ 2⎪ ⎢ 0 ⎪⎪δ 3 ⎪⎪ ⎢ ⎨ ⎬=⎢ ⎪δ 4 ⎪ ⎢ 0 ⎪δ 5 ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎩δ 6 ⎪⎭ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣⎢

0 ⎛ k1 L L3 ⎜⎜ + ⎝ GA 3EI z L2 − 2 EI z

0 ⎞ L2 ⎟⎟ − 2 EI z ⎠ L EI z

0

0

0

0

0

0 0

0

0

L GJ m

0

0

0

0

0

0

En forma abreviada

⎛ k2 L L3 ⎜ + ⎜ GA 3EI y ⎝ 2 L − 2 EI y

{δ }i = [ f ]ii {F }i

⎤ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎧ F1 ⎫ ⎥⎪ ⎪ F 0 ⎥⎪ 2 ⎪ ⎥ ⎪⎪ F3 ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ 0 ⎥ ⎪ F4 ⎪ ⎥⎪F ⎪ 2 ⎥⎪ 5 ⎪ L − ⎥ ⎪⎩ F6 ⎪⎭ 2 EI y ⎥ L ⎥ ⎥ EI y ⎦⎥ 0

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(5)

(6)

Donde [ f ]ii es una matriz de flexibilidades, que relaciona las fuerzas en el

extremo A , i , {F }i , con los desplazamientos del mismo extremo i , {δ }i de un elemento en el espacio 3D , que une los nodos i y j . Por otro lado, las fuerzas {F }i se pueden despejar de la ecuación 6 de la siguiente manera: ANALISIS ESTRUCTURAL

69

{F }i = { f }ii−1 {δ }i = [k ]ii {δ }i

CAPÍTULO 6. OBTENCIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO DE SECCIÓN VARIABLE. ANALISIS ESTRUCTURAL

70

6.1 Introducción. Para el caso particular de sistemas estructurales construidos a base de elementos de sección variable, la metodología antes descrita sigue siendo aplicable y requiere únicamente la definición de la matriz de rigidez de este tipo de elementos en coordenadas locales. Partiendo de la energía de deformación de un elemento plano se obtiene la relación entre fuerzas y desplazamientos de un nodo extremo del elemento, a través de la matriz de flexibilidades. Por otro lado, se deduce la matriz de rigidez del nodo mencionado, invirtiendo simplemente la matriz de flexibilidades. Después, aplicando desplazamientos unitarios y por equilibrio de fuerzas se deduce la matriz de rigidez para ambos extremos del elemento de sección variable. Finalmente, como un ejemplo de este trabajo se obtiene la matriz de rigidez de un elemento de sección variable rectangular llena. 6.2 Matriz de rigidez de un elemento de sección variable. Para la obtención de la matriz de rigidez de un elemento de sección variable con fuerzas o desplazamientos aplicados en los nodos extremos (figura 6-1), se puede proceder como a continuación se describe. La energía de deformación para un comportamiento lineal se puede expresar como: W =∫

L

0

⎡ N 2 k1V y2 M z2 ⎤ + + ⎥dx ⎢ ⎣⎢ 2 EA 2GA 2 EI z ⎦⎥

elemento

plano

con

(6-1)

y

F1

F2

B

A

x

M

F3 z

N

V

x

Figura 6-1.Elem ento sujeto a fuerzas en los nodos extremos.

Donde, por equilibrio:

ANALISIS ESTRUCTURAL

71

N (x ) = F1

V ( x ) = F2

M z ( x ) = F3 − F2 x

(6-2)

Sustituyendo los valores de N , V y M en la ecuación 6-1 se obtiene:

W =∫

L

W =∫

L

0

0

⎡ F12 (F3 − F2 x )2 k1 F22 ⎤ + + ⎢ ⎥ dx 2 EI z (x ) 2GA( x ) ⎦⎥ ⎣⎢ 2 EA( x )

(6-3)

⎡ F12 F32 − 2 F2 F3 x + F22 x 2 k1 F22 ⎤ + + ⎢ ⎥ dx 2 EI z ( x ) 2GA( x ) ⎦ ⎣ 2 EA( x )

De acuerdo al teorema de Castigliano: ∂W = δi ∂Fi ∴

(6-4)

L ⎡ L dx ⎤ F1 ∂W = δ1 = ∫ dx = ⎢ ∫ ⎥ F1 0 EA( x ) ∂F1 ⎣ 0 EA( x) ⎦

2 ⎧ L ⎡ x2 L ⎡ 2F x − 2F x ⎡ L xdx ⎤ ∂W 2k1 F2 ⎤ k1 ⎤ ⎫ 3 = δ2 = ∫ ⎢ 2 + = + − dx dx F ⎨ ⎬ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∫0 EI ( x ) ⎥ F3 ∫ 0 0 ( ) ( ) ∂F2 2 2 ( ) ( ) EI x GA x EI x GA x z z ⎣ ⎦ ⎦ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎣ z

L ⎡ − 2F x + 2F ⎤ ⎡ L dx ⎤ ⎡ L xdx ⎤ ∂W 2 3 dx = − ⎢ ∫ F2 + ⎢ ∫ = δ3 = ∫ ⎢ ⎥ F3 ⎥ ⎥ 0 ∂F3 ⎣ 0 EI z ( x )⎦ ⎣ 0 EI z ( x )⎦ ⎣ 2 EI z ( x ) ⎦

(6-5)

Expresando estas relaciones en forma matricial se tiene:

⎡ L dx ⎢ ∫0 EA( x ) ⎧δ 1 ⎫ ⎢ ⎪ ⎪ ⎢ 0 ⎨δ 2 ⎬ = ⎢ ⎪δ ⎪ ⎢ ⎩ 3⎭ ⎢ 0 ⎢⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎧ F1 ⎫ L⎛ L xdx ⎥ ⎪ k1 ⎞ x2 ⎪ ∫0 ⎜⎜⎝ EI z (x ) + GA(x ) ⎟⎟⎠dx − ∫0 EI z (x )⎥ ⎨F2 ⎬ ⎥⎪F ⎪ L xdx L dx ⎥ ⎩ 3 ⎭ −∫ ∫0 EI z (x ) ⎥⎦ 0 EI ( x ) z 0

0

0 0 ⎤ ⎧ F1 ⎫ ⎧ F1 ⎫ ⎡ f 11 ⎧δ 1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎪ ⎪ f 22 − f 23 ⎥⎥ ⎨ F2 ⎬ (6-6) ⎨δ 2 ⎬ = [ f ]AA ⎨ F2 ⎬ = ⎢ 0 ⎪ ⎪ ⎪F ⎪ ⎢ 0 − f ⎪δ ⎪ f 33 ⎥⎦ ⎩ F3 ⎭ 32 ⎩ 3⎭ ⎣ ⎩ 3⎭ De acuerdo a lo anteriormente expuesto (ecuación 6-6), la matriz de flexibilidades del nodo A es: ANALISIS ESTRUCTURAL

72

[ f ]AA

⎡ f11 = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0

0 f 22 − f 32

⎡ L dx ⎢ ∫0 0 ⎤ ⎢ EA( x ) − f 23 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 f 33 ⎥⎦ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣

⎤ ⎥ ⎥ L⎛ L xdx ⎥ k1 ⎞ x2 ∫0 ⎜⎜⎝ EI z (x ) + GA(x ) ⎟⎟⎠dx − ∫0 EI z (x )⎥ ⎥ L xdx L dx ⎥ −∫ ∫0 EI z (x ) ⎥⎦ 0 EI ( x ) z 0

0

(6-7)

Dada esta matriz de flexibilidades del nodo A , (ecuación 6-7), y la relación que existe entre las fuerzas y desplazamientos de un mismo nodo extremo de un elemento (figura 6-2), se puede proceder como sigue, para la obtención de la matriz de rigidez completa de un elemento de sección variable.

F2 , δ2 F3 , δ3

F1 , δ1

F6 , δ6

A

F5 , δ5

B

F4 , δ4

x

L Figura 6-2.Fuerzas y desplazamientos en los nodos extremos del elemento.

A partir de la ecuación 6-7, se obtiene para el nodo A la relación siguiente:

[FA ] = [k A ]{δ A } = [ f ]−A1 {δ }A

Donde

⎡ 1 ⎢f ⎢ 11 =⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

0 f 33 D f 23 D

⎤ 0 ⎥ ⎥ f 23 ⎥ {δ }A D⎥ f 22 ⎥ ⎥ D⎦

(6-8)

[k AA ]

es la matriz de rigidez del nodo A y el determinante es: D = Det = f 22 f 33 − f 232 . a) Dado un desplazamiento unitario en A en la dirección de F1 (figura 6-3), se pueden obtener las fuerzas en el nodo A y por equilibrio deducir las fuerzas en el nodo B:

ANALISIS ESTRUCTURAL

73

⎧ F11 ⎫ ⎡k11 ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ F21 ⎬ = ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ 0 ⎩ 31 ⎭ ⎣

⎧ 1 ⎫ 0 ⎤ ⎧1⎫ ⎧k11 ⎫ ⎪ f ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 11 ⎪ k 23 ⎥⎥ ⎨0⎬ = ⎨ 0 ⎬ = ⎨ 0 ⎬ k 33 ⎥⎦ ⎪⎩0⎪⎭ ⎪⎩ 0 ⎪⎭ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

0 k 22 k 32

F51 = F61 = 0,

F21 F31

F41 = − F11 = −

F11

F61

A

(6-9)

1 f 11

(6-10)

F51

B

x

F41

L δ1= 1 Figura 6-3.Fuerzas provoc adas por un desplazamiento unitario en la direc c ión F1.

b) De la misma manera, se aplica un desplazamiento unitario en A en la dirección de F2 (figura 6-4), para obtener las fuerzas en el nodo A y por equilibrio deducir las fuerzas en el nodo B.

⎧ F12 ⎫ ⎡k11 ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ F22 ⎬ = ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ 0 ⎩ 32 ⎭ ⎣

0 k 22 k 32

⎧ ⎫ 0 ⎤ ⎧0⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ f ⎪⎪ k 23 ⎥⎥ ⎨1⎬ = ⎨k 22 ⎬ = ⎨ 33 ⎬ D k 33 ⎥⎦ ⎪⎩0⎪⎭ ⎪⎩k 32 ⎪⎭ ⎪ f 23 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪ D ⎭⎪

F12 = 0,

F22 =

f 33 , D

F32 =

(6-11)

f 23 D (6-12)

F42 = 0,

ANALISIS ESTRUCTURAL

− f 33 , F52 = − F22 = D

f L − f 23 F62 = F22 x − F32 = 33 D

74

F12

F62

δ2= 1 F32

A

F52

B

F22

x

F42

L Figura 6-4.Fuerzas provoc adas por un desplazamiento unitario en la direc c ión F2.

c) Finalmente, se aplica un desplazamiento unitario en A (figura 6-5), en la dirección F3 , para obtener las fuerzas en el nodo A y por equilibrio deducir las fuerzas en el nodo B.

⎧ F16 ⎫ ⎡k11 ⎪ ⎪ ⎢ ⎨ F22 ⎬ = ⎢ 0 ⎪F ⎪ ⎢ 0 ⎩ 32 ⎭ ⎣

0 k 22 k 32

⎧ ⎫ 0 ⎤ ⎧0⎫ ⎧ 0 ⎫ ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ f ⎪⎪ k 23 ⎥⎥ ⎨0⎬ = ⎨k 23 ⎬ = ⎨ 23 ⎬ D k 33 ⎥⎦ ⎪⎩1⎪⎭ ⎪⎩k 33 ⎪⎭ ⎪ f 22 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ D ⎪⎭

δ3= 1 F13 F33

F63

(6-13)

F53 x

B F43

A F23

L Figura 6-5.Fuerzas provoc adas por un desplazam iento unitario en la direc c ión F3.

F13 = 0,

F33 =

f 22 , D

F23 =

f 23 D (6-14)

F43 = 0,

F53 = −

f 23 , D

F63 =

f 23 L − f 22 D

Por lo tanto la submatriz de rigidez AB es: ANALISIS ESTRUCTURAL

75

k AB

⎡ 1 ⎢− f ⎢ 11 =⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

0

0 f 33 L − D f 23 L − D

f 33 D f 23 − D −

⎤ ⎥ ⎥ f 23 ⎥ ⎥ f 22 ⎥ ⎥ ⎦

(6-15)

Y por simetría de la matriz de rigidez del elemento se tiene que:

k BA = k BA

T

⎡ 1 ⎢− f ⎢ 11 =⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣

0 f 33 D f 33 L − f 23 D −

⎤ ⎥ ⎥ f 23 ⎥ − D ⎥ f 23 L − f 22 ⎥ ⎥ D ⎦ 0

(6-16)

Dado que se conoce la submatriz de rigidez [k BA ] , se conocen también las fuerzas producidas en el nodo A por los efectos de los desplazamientos unitarios en B, por tanto se puede por equilibrio deducir las fuerzas y rigideces en el nodo B, (figura 6-6, 6-7 y 6-8).

δ1= 1 F24 F34

F14

F54

F64

A

B

F44

x

L

Figura 6-6.Fuerzas provoc adas por un desplazam iento unitario en la direc c ión F4.

F44 = F14 =

1 , f 11

ANALISIS ESTRUCTURAL

F24 = F34 = 0,

F54 = F64 = 0

(6-17)

76

F65 δ5= 1

F15 F35

A

F45

B

F25

x

F55

L Figura 6-7.Fuerzas provoc adas por un desplazamiento unitario en la direc c ión F5.

F25 =

F15 = 0,

f 33 , D

F55 = F25 =

F45 = F15 = 0,

F35 = f 33 , D

f 23 D F65 = F35 − F25 L =

F66

F16 F36

f 23 − f 33 L D

F56

B F46

A

(6-18)

x

δ6= 1

F26

L Figura 6-8.Fuerzas provoc adas por un desplazam iento unitario en la direc c ión F6.

f 33 L − f 23 , D

F16 = 0,

F26 =

F16 = 0,

F56 = − F56 =

F33 =

( f 33 L − f 23 )L D

F36 =

f 23 − f 33 L , D

f 23 L − f 22 D F33 = F26 L − F36

(6-19)

f 23 L − f 22 f 33 L2 + f 22 − 2 f 23 L − = D D

ANALISIS ESTRUCTURAL

77

La matriz resultante en B es: ⎡ 1 ⎢f ⎢ 11 [k BB ] = ⎢⎢ 0 ⎢ f 23 ⎢ 0 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ f 23 − f 33 L ⎥ ⎥ D − 2 f 23 L + f 33 L2 ⎥ ⎥ D ⎦

0

0

f 33 D − f 33 L D

f 22

(6-20)

Ensamblando las submatrices obtenidas, de las ecuaciones 6-8, 6-15, 6-16 y 6-20, se obtiene la matriz de rigideces de un elemento A-B de sección variable:

[k ] [k ] = ⎡⎢ AA ⎣[k ]BA

⎡ 1 ⎢ f ⎢ 11 ⎢ 0 ⎢ ⎢ [k ]AB ⎤ ⎢ 0 =⎢ [k ]BB ⎥⎦ ⎢− 1 ⎢ f11 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢⎣ 0

−

0

0

f 33 D f 23 D

f 23 D f 22 D

0

0

f 33 D f 33 L − f 23 D

f 23 D f 23 L − f 22 D

−

1 f11 0 0 1 f11

−

0 0

0

⎤ ⎥ ⎥ f 33 L − f 23 ⎥ ⎥ D ⎥ f 23 L − f 22 ⎥ D ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ f 23 − f 33 L ⎥ D ⎥ − 2 f 23 L + f 33 L2 ⎥ ⎥⎦ D 0

f 33 D f 23 − D −

0 f 33 D f 23 − f 33 L D

f 22

(6-21)

Renombrando los términos iguales, esta matriz se puede representar como: ⎡ k11 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 [k ] = ⎢ ⎢− k11 ⎢ 0 ⎢ ⎣⎢ 0

0

0

− k11

0

k 22

k 23

0

− k 22

k 23

k 33

0

− k 23

0 − k 22

0 − k 23

k11 0

0 k 22

k 26

k 36

0

− k 26

k 22 =

f 33 , D

k 23 =

k 36 =

f 23 L − f 22 , D

0 ⎤ k 26 ⎥⎥ k 36 ⎥ ⎥ 0 ⎥ − k 26 ⎥ ⎥ k 66 ⎦⎥

(6-22)

Donde: k11 =

1 f 11 ,

f 23 , D

k 33 =

f 22 D (6-23)

k 26 =

f 33 L − f 23 , D

ANALISIS ESTRUCTURAL

k 66 =

f 33 L − 2 f 23 L + f 22 D 2

78

6.3 Ejemplo de una viga de sección variable rectangular. Sea un elemento de sección variable rectangular llena, como el mostrado en la figura 6-9. En este caso en particular, el peralte varía linealmente a lo largo de la longitud, y tanto el área como el momento de inercia se pueden expresar en función de x.

h(x ) = h1 +

h2 − h1 x L (6-24)

h −h ⎞ ⎛ A( x) = bh( x) = b⎜ h1 + 2 1 x ⎟ L ⎠ ⎝

bh( x)3 b ⎛ h −h ⎞ I ( x) = = ⎜ h1 + 2 1 x ⎟ L 12 12 ⎝ ⎠

e

3

L h2 h1 b

b x

Figura 6-9.Elem ento de sec c ión variable rec tangular llena.

De acuerdo con el capítulo anterior se puede obtener la matriz de rigideces a partir de la matriz de flexibilidades, o de los términos de la matriz de flexibilidades, f11 , f 22 , f 23 y f 33 : L

L

dx f11 = ∫ = EA( x ) ∫0 0

L

dx 1 dx = ∫ h − h1 h − h1 ⎞ Eb 0 ⎛ x h1 + 2 x⎟ Eb⎜ h1 + 2 L L ⎝ ⎠

(6-25)

Haciendo un cambio de variable:

ANALISIS ESTRUCTURAL

79

u = h1 +

h2 − h1 x, L dx =

du =

h2 − h1 dx L

L du , h2 − h1

(6-26)

límites : x = 0 → u = h1 ;

x = L → u = h2

La integral se convierte en:

⎛ L ⎞ ⎜ ⎟du h2 h2 ⎤ L du L L 1 ⎜⎝ h2 − h1 ⎟⎠ [In(h2 ) − In(h1 )] In(u )⎥ = = = ∫ ∫ ( ) Eb h1 u Eb(h2 − h1 ) h1 u Eb(h2 − h1 ) Eb h − h 2 1 ⎦h h2

1

(6-27)

Por consiguiente se tiene que el primer término de la matriz de flexibilidades es: f11 =

⎡ ⎛ h2 L ⎢ In⎜ Eb(h2 − h1 ) ⎣ ⎜⎝ h1

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎦

(6-28)

El siguiente término es: L

f 22 = ∫ 0

L k dx x 2 dx +∫ 1 EI ( x ) 0 GA( x )

(6-29)

Tomando el primer término de la integral: L

L

x 2 dx 12 x 2 dx = ∫0 EI (x ) Eb ∫0 ⎛ h − h ⎞ 3 1 x⎟ ⎜ h1 + 2 L ⎝ ⎠ Y haciendo un cambio de variables:

u = h1 +

du =

h2 − h1 x, L

x=

h2 − h1 dx, L

Con límites:

u − h1 L, h2 − h1

dx =

sí

(6-30)

x2 =

u 2 − 2uh1 + h12

(h2 − h1 )

2

L2 ,

L du h2 − h1

x = 0 → u = h1

(6-31)

y

si

x = L → u = h2

La integral se convierte en:

ANALISIS ESTRUCTURAL

80

⎛ u 2 − 2uh1 + h12 ⎞⎛ L ⎞ ⎟⎜ ⎜ ⎟ 2 h ⎟⎜ h − h ⎟du 12 L2 2 ⎜⎝ (h2 − h1 ) 12 L3 1 ⎠ ⎠⎝ 2 = 3 Eb h∫1 u3 Eb(h2 − h1 )

=

=

12 L3

Eb(h2 − h1 )

3

12 L3

Eb(h2 − h1 )

3

h2

∫

(u

)

− 2uh1 + h12 du u3

2

h1

h2 h2 h2 ⎡ h2 u 2 du 12 L3 1 udu du ⎤ ⎛ 2 2 1 ⎞⎤ In(u ) + 2h1 − h1 ⎢ ∫ 3 − 2h1 ∫ 3 + h1 ∫ 3 ⎥ = 3 ⎜ 2 ⎟⎥ u 2 u ( ) − Eb h h ⎠⎦ h1 ⎝ ⎢⎣ h1 u h1 u h1 u ⎥ 2 1 ⎦

⎡ ⎛ h2 ⎢ In⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ h1

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1⎞ 1 ⎟⎟ + 2h1 ⎜⎜ − ⎟⎟ − h12 ⎜⎜ 2 − 2 ⎠ ⎝ h2 h1 ⎠ ⎝ 2h2 2h1

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎥⎦ (6-32)

El segundo término es una integral similar a f11 : L

k1 dx k1 ∫0 GA(x ) = G

L

dx

∫ A(x )

(6-33)

0

Por lo tanto, simplificando términos se tiene: f 22

⎡ ⎛ h2 ⎞ ⎡ ⎛ h2 h1 h12 k1 L 12 L3 3⎤ ⎜ ⎟ + − − + = 2 In ⎢ ⎥ ⎢ In⎜ 3 h2 2h22 2 ⎦ Gb(h2 − h1 ) ⎣ ⎜⎝ h1 Eb(h2 − h1 ) ⎣ ⎜⎝ h1 ⎟⎠

⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎠⎦

(6-34)

El siguiente término de la matriz de flexibilidades f 23 es: L

f 23 = ∫ 0

L

12 xdx xdx = 3 ∫ EI ( x ) Eb 0 ⎛ h2 − h1 ⎞ x⎟ ⎜ h1 + L ⎝ ⎠

(6-35)

Haciendo un cambio de variables:

h2 − h1 x L h −h du = 2 1 dx L

u = h1 +

límites :

ANALISIS ESTRUCTURAL

x = 0 → u = h1 ;

x=

u − h1 L h2 − h1

dx =

L du h2 − h1

(6-36)

x = L → u = h2

81

La integral se convierte en:

h2

12 Eb h∫1

⎛ u − h1 ⎜⎜ ⎝ h2 − h1

⎞⎛ L ⎞ ⎟⎟du L ⎟⎟⎜⎜ 12 L2 ⎠⎝ h2 − h1 ⎠ = 2 u3 Eb(h2 − h1 )

h2

∫

(u − h1 )du = u3

h1

12 L2 2 Eb(h2 − h1 )

h2 ⎡ h2 udu du ⎤ h − ⎢∫ 3 1∫ 3 ⎥ ⎢⎣ h1 u h1 u ⎥ ⎦

(6-37)

=

h2

12 L2

Eb(h2 − h1 )

2

1 ⎞⎤ 12 L3 ⎛ 1 ⎜ − + h1 2 ⎟⎥ = 2u ⎠⎦ h1 Eb(h2 − h1 )3 ⎝ u

⎡ 1 1 h1 ⎛ 1 1 ⎞⎤ ⎢ − + ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟⎥ ⎢⎣ h1 h2 2 ⎝ h2 h1 ⎠⎦⎥

Simplificando términos:

f 23 =

12 L2

Eb(h2 − h1 )

2

⎡ 1 h ⎤ 1 − + 12 ⎥ ⎢ ⎣ 2h1 h2 2h2 ⎦

(6-38)

Por último, el término f 33 se obtiene como sigue:

L

L

12 dx dx = f 33 = ∫ 3 ∫ EI ( x ) Eb 0 ⎛ h2 − h1 ⎞ 0 x⎟ ⎜ h1 + L ⎝ ⎠ Haciendo el cambio de variable: u = h1 +

h2 − h1 x, L

h2 − h1 dx, L La integral se convierte en: du =

límites :

x = 0 → u = h1 ;

dx =

L du h2 − h1

(6-39)

x = L → u = h2

(6-40)

⎛ L ⎞ ⎜ ⎟du h2 h2 ⎛ 1 du 12 ⎜⎝ h2 − h1 ⎟⎠ 12 L 12 L ⎛ 1 ⎞⎤ 6L 1 ⎞ ⎟ ⎜ = − = = − ⎜ ⎟ ⎥ Eb h∫1 Eb(h2 − h1 ) h∫1 u 3 Eb(h2 .h1 ) ⎝ 2u 2 ⎠⎦ h1 Eb(h2 − h1 ) ⎜⎝ h12 h22 ⎟⎠ u3 h2

ANALISIS ESTRUCTURAL

(6-41)

82

Simplificando términos se tiene: f 33 =

⎛ 1 6L 1 ⎞ ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ Eb(h2 − h1 ) ⎝ h1 h2 ⎠

(6-42)

En resumen, los valores de los términos de la matriz de flexión son:

f11 =

f 22 =

f 23 =

f 33 =

⎛ ⎛ h2 L ⎜ In⎜ Eb(h2 − h1 ) ⎜⎝ ⎜⎝ h1 12 L3

Eb(h2 − h1 )

3

12 L2

Eb(h2 − h1 )

2

⎞⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎠

⎡ ⎛ h2 ⎢ In⎜⎜ ⎣ ⎝ h1

⎛ ⎛ h2 ⎞ h h2 3⎤ k1 L ⎜ In⎜ ⎟⎟ + 2 1 − 1 2 − ⎥ + h2 2h2 2 ⎦ Gb(h2 − h1 ) ⎜⎝ ⎜⎝ h1 ⎠

⎞⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎠⎠

(6-43)

⎡ 1 h ⎤ 1 − + 12 ⎥ ⎢ ⎣ 2h1 h2 2h2 ⎦

⎛ 1 6L 1 ⎞ ⎜⎜ 2 − 2 ⎟⎟ Eb(h2 − h1 ) ⎝ h1 h2 ⎠

Está claro que teniendo los valores de las flexibilidades se puede obtener la matriz de rigidez del elemento mediante las ecuaciones 6-23. Se hace la observación que para otro tipo de secciones, como la sección hueca o la sección tipo I, las integrales para obtener los términos de la matriz de flexibilidades se complican, ya que tanto las funciones de área como de los momentos de inercia son polinomios, que están en el denominador de la integral; por lo tanto se puede obtener la matriz de rigideces de este tipo de secciones mediante la composición de secciones macizas y la adición de las matrices de rigideces de este tipo de secciones macizas, como se muestra en las figuras siguientes:

ANALISIS ESTRUCTURAL

83

SECCIÓN HUECA S

h(x)

SECCIÓN LLENA A

SECCIÓN LLENA B

=

t1

h(x)

-

h(x) - 2t2

t2 b

b

b - 2t1

[KS] = [KA] - [KB]

Figura 6-10.Elemento de sec c ión variable huec a o tubular c uadrada.

SECCIÓN HUECA S

h(x)

SECCIÓN LLENA A

=

t1

SECCIÓN LLENA B

h(x)

-

h(x) - 2t2

t2 b

b

b - t1

[KS] = [KA] - [KB]

Figura 6-11.Elem ento de sec c ión variable tipo I.

Es necesario aclarar que en esta composición de secciones debe hacerse la adición o diferencia con las matrices de rigidez y no con las matrices de flexibilidad, ya que la flexibilidad es inversamente proporcional al área y al momento de inercia, por lo cual no pueden sumarse o restarse áreas para determinar la flexibilidad de un elemento, pero sí es válido sumarlas o restarlas cuando se trata de rigideces, ya que la rigidez es directamente proporcional al área y al momento de inercia. Como comprobación de esta composición de áreas, se hicieron integrales numéricas para casos específicos y se verificaron los resultados obtenidos mediante la resta de matrices de rigideces de secciones macizas. Los resultados obtenidos por ambos métodos son similares. ANALISIS ESTRUCTURAL

84

6.4 Conclusiones. La matriz de rigidez de un elemento de sección variable ha sido deducida a través de la matriz de flexibilidades. En particular se ejemplifica la deducción para un elemento de sección rectangular maciza o llena. Esta solución puede fácilmente ser extendida a otro tipo de secciones como las secciones huecas o las tipo I, de uso muy frecuente sobre todo en elementos de acero, sin necesidad de deducir matrices específicas de cada sección, ya que utilizando la matriz de rigidez de una sección maciza, se pueden obtener otro tipo de sección con combinaciones de la misma. Finalmente, cabe señalar que el método se puede fácilmente sistematizar e implementar en programas de análisis de uso común.

ANALISIS ESTRUCTURAL

85

CAPÍTULO 7. MATRIZ DE RIGIDECES PARA ARMADURAS Y MARCOS. 7.1 Matriz de rigideces para armaduras. y

y'

x

x'

Coordenadas Globales.

Coordenadas Loc ales.

y' 2

1

x'1

x'2

y'1

x'

y'2

EA ⎡ x1' ⎤ ⎡⎢ ⎢ '⎥ ⎢ L ⎢ y1 ⎥ = ⎢ 0 ⎢ x 2' ⎥ ⎢− EA ⎢ '⎥ ⎢ L ⎣⎢ y 2 ⎦⎥ ⎢⎣ 0

EA L 0 EA L 0

0 − 0 0 0

⎤ 0⎥ ⎡ u1' ⎤ ⎢ '⎥ 0⎥ ⎢ v1 ⎥ ⎥ ' 0⎥ ⎢⎢u 2 ⎥⎥ ⎥ ' 0⎥⎦ ⎣⎢ v 2 ⎦⎥

y' x'

x1 x'1

θ θ θ

y1

y'1

x1 = x1' cos θ − y1' senθ y1 = x1' senθ + y1' cos θ x1' = x1 cos θ + y1 senθ y1' = − x1 senθ + y1 senθ

⎡ x1 ⎤ ⎡cos θ ⎢ y ⎥ = ⎢ senθ ⎣ 1⎦ ⎣ ⎡ x1' ⎤ ⎡ cos θ ⎢ '⎥ = ⎢ ⎣ y1 ⎦ ⎣− senθ

− senθ ⎤ ⎡ x1' ⎤ ⎢ ⎥ cos θ ⎥⎦ ⎣ y1' ⎦ senθ ⎤ ⎡ x1 ⎤ cos θ ⎥⎦ ⎢⎣ y1 ⎥⎦

Matriz de rotación (R)

ANALISIS ESTRUCTURAL

86

⎡ x1' ⎤ ⎡ cos θ ⎢ '⎥ = ⎢ ⎣ y1 ⎦ ⎣− senθ

senθ ⎤ ⎡cos θ cos θ ⎥⎦ ⎢⎣ senθ ⎡1 0⎤ ⎢0 1 ⎥ ⎣ ⎦

− senθ ⎤ ⎡ x1' ⎤ ⎢ ⎥ cos θ ⎥⎦ ⎣ y1' ⎦

x1' = R x1

⎡ x1' ⎤ ⎡ k 11 ⎢ '⎥=⎢ ⎣ x 2 ⎦ ⎣k 21

x1 = R x1' T

k 12 ⎤ ⎡ u 1' ⎤ ⎢ ⎥ k 22 ⎥⎦ ⎣u '2 ⎦

R T = R −1 ⎤ 0⎥ = k 22 0⎥⎦

k 11

⎡ EA =⎢ L ⎢ 0 ⎣

⎡ x 2' ⎤ x =⎢ '⎥ ⎣ y2 ⎦

k 21

⎤ ⎡ EA 0⎥ − = k 12 =⎢ L ⎥ ⎢ 0 0 ⎦ ⎣

u 1 = Ru 1

u1 = R u1

⎡ x1' ⎤ x = ⎢ '⎥ ⎣ y1 ⎦ ' 1

' 2

'

⎡ R x1 ⎤ ⎡ k 11 ⎢ R x ⎥ = ⎢k ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21

T

⎡RT ⎢ ⎣0

⎡0 0 ⎤ 0=⎢ ⎥ ⎣0 0 ⎦

k 12 ⎤ ⎡ R 0 ⎤ ⎡ u 1 ⎤ − k 22 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 R ⎥⎦ ⎢⎣u 2 ⎥⎦

0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ R T =⎢ R ⎥⎦ ⎢⎣ x 2 ⎥⎦ ⎣ 0

0 ⎤ ⎡R ⎥⎢ RT ⎦⎣ 0

⎡u 2' ⎤ u =⎢ '⎥ ⎣v2 ⎦ ' 2

'

k 12 ⎤ ⎡ Ru 1 ⎤ = k 22 ⎥⎦ ⎢⎣ Ru 2 ⎥⎦

⎡ R 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ k 11 ⎢ 0 R ⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢k ⎣ ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21

⎡u1' ⎤ u =⎢ '⎥ ⎣ v1 ⎦ ' 1

0 ⎤ ⎡ k11 ⎥⎢ R T ⎦ ⎣k 21

k12 ⎤ ⎡ R k 22 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

0 ⎤ ⎡ u1 ⎤ R ⎥⎦ ⎢⎣u 2 ⎥⎦

⎡1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ R T k11 R ⎤ ⎡ R T k12 R ⎤ ⎡ u1 ⎤ ⎥⎢ T ⎥⎢ ⎥ ⎢0 1 ⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢ T ⎣ ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ R k 21 R ⎦ ⎣ R k 22 R ⎦ ⎣u 2 ⎦ ⎡cos θ R k11 R = ⎢ ⎣ senθ T

− senθ ⎤ ⎡ EA ⎢ L cos θ ⎥⎦ ⎢ 0 ⎣

⎡ EA 2 ⎢ L cos θ ⎢ EA ⎢ senθ ⎣ L ANALISIS ESTRUCTURAL

⎤ 0⎥ ⎡cos θ ⎢ 0⎥⎦ ⎣ senθ

⎤ 0⎥ ⎡ cos θ ⎥⎢ 0⎥ ⎣− senθ ⎦

senθ ⎤ cos θ ⎥⎦

senθ ⎤ cos θ ⎥⎦

87

EA ⎤ cos θsenθ ⎥ L = R T k 22 R ⎥ EA sen 2θ ⎥ L ⎦

⎡ EA 2 ⎢ L cos θ R k11 R = ⎢ EA ⎢ senθ cos θ ⎣ L T

R T k 12 R = R T k 21 R

⎡ cos 2 θ ⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎢y ⎥ ⎢ 1 ⎥ = EA ⎢ senθ cos θ ⎢ x2 ⎥ L ⎢ − cos 2 θ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢⎣− senθ cos θ ⎣ y2 ⎦

senθ cos θ sen 2θ − senθ cos θ − sen 2θ

− senθ cos θ ⎤ ⎡ u1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ − sen 2θ ⎥ ⎢ v1 ⎥ senθ cos θ ⎥ ⎢u 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ sen 2θ ⎦⎥ ⎣ v 2 ⎦

− cos 2 θ − senθ cos θ cos 2 θ senθ cos θ

7.2 Matriz de rigideces para marcos.

2

1

x1 M1

x2 y1

⎡ EA 0 ⎢ L ⎢ 12 EI ⎡ x1' ⎤ ⎢ 0 ⎢ ' ⎥ ⎢ L3 y ⎢ 1⎥ ⎢ 6 EI ⎢ M 1' ⎥ ⎢ 0 L2 ⎢ ' ⎥ = ⎢ EA ⎢ x 2 ⎥ ⎢− 0 ⎢ y' ⎥ ⎢ L 12 EI ⎢ 2' ⎥ ⎢ − 3 ⎢⎣ M 2 ⎥⎦ ⎢ 0 L ⎢ 6 EI ⎢ 0 L2 ⎣

ANALISIS ESTRUCTURAL

y2

0 6 EI L2 4 EI L 0 6 EI L2 2 EI L

−

−

M2

EA L 0 0

EA L 0 0

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

⎤ ⎥ 6 EI ⎥ ⎡ u ' ⎤ ⎥ 1 L2 ⎥ ⎢ ' ⎥ 2 EI ⎥ ⎢ v1 ⎥ ⎢ '⎥ L ⎥ = ⎢θ1 ⎥ ⎥ ' 0 ⎥ ⎢u 2 ⎥ ⎥ ⎢v ' ⎥ 6 EI ⎥ ⎢ 2' ⎥ − θ L ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 4 EI ⎥ ⎥ L ⎦ 0

88

θ

x1

θ y'1

x'1 M1

k12 ⎤ ⎡ u1' ⎤ ⎢ ⎥ k 22 ⎥⎦ ⎣u 2' ⎦

⎡ x1 ⎤ ⎡ k11 ⎢x ⎥ = ⎢ ⎣ 2 ⎦ ⎣k 21

⎡ x1' ⎤ ⎡ cos θ ⎢ '⎥ ⎢ ⎢ y1 ⎥ = ⎢− senθ ⎢ M 1' ⎥ ⎢⎣ 0 ⎣ ⎦

y1

senθ cos θ 0

x ' = R x1

⎡R ⎢R ⎣

x1 ⎤ ⎡ k11 = x 2 ⎥⎦ ⎢⎣k 21

⎡R ⎢0 ⎣

0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ k11 ⎢ ⎥=⎢ R ⎥⎦ ⎣ x 2 ⎦ ⎣k 21

⎡ x1 ⎤ ⎡ R T ⎢x ⎥ = ⎢ ⎣ 2⎦ ⎣ 0

⎡ R T k11 ⎢ T ⎢⎣ R k 21

u1' = Ru1

k12 ⎤ ⎡ Ru1 ⎤ k 22 ⎥⎦ ⎢⎣ Ru1 ⎥⎦

k12 ⎤ ⎡ R k 22 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

0 ⎤ ⎡ k11 T ⎥⎢ R ⎦ ⎣k 21

0 ⎤ ⎡ u1 ⎤ ⎢ ⎥ R ⎥⎦ ⎣u 2 ⎦

k12 ⎤ ⎡ R k 22 ⎥⎦ ⎢⎣ 0

R k12 ⎤ ⎥ T R k 22 ⎥⎦

0 ⎤ ⎡ u1 ⎤ ⎢ ⎥ R ⎥⎦ ⎣u 2 ⎦

− senθ cos θ 0

⎡ EA ⎢ L cos θ ⎢ EA R T k11 R = ⎢ senθ ⎢ L ⎢ 0 ⎢⎣ ANALISIS ESTRUCTURAL

−

⎡ EA 0 0⎤ ⎢ L ⎢ 12 EI 0⎥⎥ ⎢ 0 L3 ⎢ 1⎥⎦ ⎢ 6 EI 0 ⎢⎣ L2

12 EI senθ L3 12 EI L3 6 EI − 2 L

R −1 = R T

R T k12 R ⎤ ⎥ R T k 22 R ⎦

⎡ R T k11 R ⎢ T ⎣ R k 21 R

T

⎡cos θ R k11 R = ⎢⎢ senθ ⎢⎣ 0 T

0⎤ ⎡ x1 ⎤ 0⎥⎥ ⎢⎢ y1 ⎥⎥ 1⎥⎦ ⎢⎣ M 1 ⎥⎦

⎤ 0 ⎥ ⎡ cos θ 6 EI ⎥ ⎢ ⎥ − senθ L2 ⎥ ⎢ 4 EI ⎥ ⎢⎣ 0 L ⎥⎦

6 EI ⎤ senθ ⎥ 2 L cos θ ⎥⎡ 6 EI ⎢ cos θ ⎥ ⎢− senθ L2 ⎥ 2 EI ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ L

−

senθ cos θ 0

senθ cos θ 0

0⎤ 0⎥⎥ 1⎥⎦

0⎤ 0⎥⎥ 1⎥⎦

89

⎡ EA 12 EI 2 2 ⎢ L cos θ + L3 sen θ ⎢ ⎛ EA 12 EI ⎞ T R k11 R = ⎢ senθ cos θ ⎜ − 3 ⎟ ⎢ L ⎠ ⎝ L ⎢ 6 EI ⎢ − 2 senθ L ⎣⎢ C D −A ⎡ x1 ⎤ ⎡ A ⎢y ⎥ ⎢C B E −C ⎢ 1⎥ ⎢ ⎢M1 ⎥ ⎢ D E F −D ⎢ ⎥=⎢ ⎢ x2 ⎥ ⎢− A − C − D A ⎢ y 2 ⎥ ⎢− C − B − E C ⎢ ⎥ ⎢ E G −D ⎣⎢ M 2 ⎦⎥ ⎣⎢ D

A=

EA 12 EI cos 2 θ + 3 sen 2θ L L

⎛ EA 12 EI ⎞ C = senθ cos θ ⎜ − 3 ⎟ L ⎠ ⎝ L

E=

6 EI cos θ L2

G=

2 EI L

ANALISIS ESTRUCTURAL

⎤ 6 EI ⎛ EA 12 EI ⎞ senθ cos θ ⎜ − 3 ⎟ − 2 senθ ⎥ L ⎠ L ⎝ L ⎥ EA 12 EI 6 EI 2 2 sen θ + 3 cos θ cos θ ⎥ 2 ⎥ L L L ⎥ 6 EI 4 EI ⎥ cos θ L L2 ⎦⎥

−C

D ⎤ ⎡ u1 ⎤ − B E ⎥⎥ ⎢⎢ v1 ⎥⎥ − E G ⎥ ⎢θ 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ + FEP C − D ⎥ ⎢u 2 ⎥ B − E ⎥ ⎢v2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ − E F ⎦⎥ ⎣⎢θ 2 ⎦⎥

B=

EA 12 EI sen 2θ + 3 cos 2 θ L L

D=−

F=

6 EI senθ L2

4 EI L

90

Ejemplo. Obtener las reacciones y diagramas de la viga mostrada, a) sin el término de cortante y b) con el término de cortante (µ=0.18). P= 25000 kg/c m q= 90 kg/c m k= 25000 kg/c m 125 c m

125 c m

350 c m

Reacciones y diagramas sin el término de cortante. P= 25000 kg 251888.62 kg-c m

q= 90 kg/c m

39859.41 kg

6147.66 kg

10492.93 kg

21007.07 kg

6147.66 kg

10492.93 kg 18852.34 kg

516568.88 kg-c m

611551.49 kg-c m

251888.62 kg-c m

1839973.62 kg-c m

ANALISIS ESTRUCTURAL

91

Reacciones y diagramas con el término de cortante.

P= 25000 kg 681305.66 kg-c m

q= 90 kg/c m

37927.48 kg

7990.31 kg

10582.21 kg

20917.79 kg

7990.31 kg

17009.69 kg

621919.04 kg-c m 317483.09 kg-c m

681305.66 kg-c m

1839973.62 kg-c m

ANALISIS ESTRUCTURAL

92

CAPÍTULO 8. CONCRETO.

ANÁLISIS

DE

ESTRUCTURAS

ESQUELETALES

CON

MUROS

DE

Ejes Centroidales Muro

Colum nas

Muro h5 h4 h3 h2

h1

W2

W1

Vigas

a)

W2/2 h5

W1/2

h4 h3 h2

h1

L1

L2

L3

L4

b)

Figura 8-1. a) Esquem a de la estruc tura. b) Marc os c on c olum nas anc has.

ANALISIS ESTRUCTURAL

93

8.1 Obtención de la matriz de rigidez de un elemento con extremos infinitamente rígidos.

3

2

1

4

Zonas Rígidas 2

5 6

1 4 3

a

b

L

Figura 8-2. Viga c on zonas infinitam ente rígidas a flexión en sus extrem os.

F'1

F2

F'3

F1 F3

F'2

F3

F'5

F6

F2

F'4

F4 L

F5

F6

F'6

F5 b

a

Haciendo cortes en las secciones 2 y 3 y aplicando equilibrio de fuerzas en los diagramas de cuerpo libre de los tramos 1-2 y 3-4, se tiene lo siguiente:

∑F

x

∑F

y

∑M

z

= 0,

F1' = F1 ,

F4' = F4

= 0,

F2' = F2 ,

F5' = F5

= 0,

(8-1)

F3' = F3 + aF2 F6' = F6 − bF5

Expresando las ecuaciones anteriores en forma matricial se tiene:

ANALISIS ESTRUCTURAL

94

⎧ F1' ⎫ ⎡1 ⎪ '⎪ ⎢ ⎪ F2 ⎪ ⎢0 ⎪⎪ F3' ⎪⎪ ⎢0 ⎨ '⎬ = ⎢ ⎪ F4 ⎪ ⎢0 ⎪ F5' ⎪ ⎢0 ⎪ '⎪ ⎢ ⎪⎩ F6 ⎪⎭ ⎢⎣0

0 0 0 1 0 0 a 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0⎤ ⎧ F1 ⎫ 0 0⎥⎥ ⎪⎪ F2 ⎪⎪ 0 0⎥ ⎪⎪ F3 ⎪⎪ T ⎥ ⎨ ⎬ = [H ] {R} 0 0⎥ ⎪ F4 ⎪ 1 0⎥ ⎪ F5 ⎪ ⎥⎪ ⎪ − b 1⎥⎦ ⎪⎩ F6 ⎪⎭ 0

(8-2)

Las relaciones entre los desplazamientos son: d1 = d1'

d 2 = d 2' + d 3' a

d 3 = d 3'

d4 = d

d5 = d − d b

d6 = d

(8-3) ' 4

' 5

⎧ d 1 ⎫ ⎡1 ⎪d ⎪ ⎢0 ⎪ 2⎪ ⎢ ⎪⎪d 3 ⎪⎪ ⎢0 ⎨ ⎬=⎢ ⎪d 4 ⎪ ⎢0 ⎪ d 5 ⎪ ⎢0 ⎪ ⎪ ⎢ ⎪⎩d 6 ⎪⎭ ⎢⎣0

' 6

' 6

⎤ ⎧ d1' ⎫ ⎥⎪ ' ⎪ ⎥ ⎪d 2 ⎪ 0 ⎥ ⎪⎪d 3' ⎪⎪ ' ⎥ ⎨ ' ⎬ = [H ] d 0 ⎥ ⎪d 4 ⎪ − b ⎥ ⎪d 5' ⎪ ⎥⎪ ⎪ 1 ⎥⎦ ⎪⎩d 6' ⎪⎭

0 0 0 0 1 a 0 0

0 0

{ }

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

(8-4)

De acuerdo a la teoría elástica se tiene:

{F } = [k ]{d }

(8-5)

Por equilibrio de fuerzas entre los extremos de las secciones infinitamente rígidas se tiene: T F ' = [H ] {F } (8-6)

{ }

Remplazando el vector de fuerzas de la relación elástica, (ecuación 8-5), en la ecuación anterior se tiene:

{F } = [H ] {F } = [H ] [k ][H ]{d } '

T

T

(8-7)

'

Finalmente, remplazando la relación entre desplazamientos, (ecuación 84), en la ecuación anterior se obtiene la matriz de rigidez de un elemento con extremos infinitamente rígidos:

{F } = [H ] [k ]{d } = [H ] [k ][H ]{d } '

T

T

{F } = [k ]{d } '

ANALISIS ESTRUCTURAL

'

'

(8-8)

'

95

CAPÍTULO 9. MARCOS PLANOS SOMETIDOS A CARGAS LATERALES. 9.1 Introducción. Aplicando las matrices de rigidez de los elementos “barra”, podemos analizar estructuras sujetas a fuerzas aplicadas en los nudos de la estructura y por simplicidad es posible considerar que no existen desplazamientos verticales de la estructura, es decir eliminar las deformaciones axiales de columnas en el análisis de marcos sujetos a fuerzas laterales, de esta manera se reducen los grados de libertad de la estructura, lo que facilita la solución del sistema de ecuaciones.

x'

De esta manera tendríamos que para una columna o una viga que va de un punto inicial 1 a un punto final 2 su matriz de rigidez es la siguiente:

M2

Fx2 2

⎡ Fx1⎤ ⎡ 12 EI ⎥ ⎢ L3 ⎢ ⎥ ⎢ 6 EI ⎢ M 1 ⎥ ⎢ ⎢ 2 ⎥=⎢ L ⎢ ⎢ Fx2⎥ ⎢− 12 EI ⎥ ⎢ L3 ⎢ ⎥ ⎢ 6 EI ⎢ ⎢⎣ M 2 ⎥⎦ ⎢ ⎣ L2

y'

Fx1 1

6 EI L2 4 EI L 6 EI − 2 L 2 EI L

12 EI L3 6 EI − 2 L 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

6 EI ⎤ ⎡ ux1⎤ L2 ⎥ ⎢ ⎥ 2 EI ⎥ ⎢ θ 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ L ⎥⋅⎢ ⎥ 6 EI − 2 ⎥ ⎢ux2⎥ L ⎥ ⎢ ⎥ 4 EI ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ L ⎦ ⎣θ2 ⎦

M1 ELEMENTO COLUMNA

M1

M2

y

2

1

x

ELEMENTO VIGA

ANALISIS ESTRUCTURAL

⎤ ⎡ ⎡ ⎢ M 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ M 2⎥ ⎢ ⎦ ⎢⎣ ⎣

4 EI L 2 EI L

⎤ ⎡ ⎤ 2 EI ⎥ ⎢θ1⎥ ⎥ L ⎥⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 4 EI ⎥ ⎢ ⎥ L ⎥⎦ ⎣θ 2⎦

96

9.2 Método de rigideces. Para explicar más facilmente el procedimiento de calculo realizaremos el siguiente ejemplo: 2000 KG GEOMETRIA:

20 CM

TRABES:

4.00 MTS

40 CM

4000 KG COLUMNAS:

30 CM

4.00 MTS

30 CM

MATERIAL: f'c = 250 Kg/c m2

5.00 MTS

E = 14000 f'c

FIGURA 9-1. TIPOLOGIA DE LA ESTRUCTURA: Y

u3

6

3

u6

u3= u6= ∆2

u5

u2= u5= ∆1

6

θ6

θ3 4

2

u2

5

2 5

θ2 1

3

1

ANALISIS ESTRUCTURAL

θ5

4

X

97

Matrices de rigidez de los elementos: Columna 1:

NO. DE BARRA:

1

NUDO INICIAL:

1

E MOD. DE ESLASTICIDAD: LONGITUD: MOM. DE INERCIA I :

NUDO FINAL:

2

221359.4 KG/CM2 400.0 CM 67500.0 CM4

Fx 1

2801.58

560316.07

M1

560316.07

149417619.44

Fx 2

-2801.58

-560316.07

M2

560316.07

74708809.72

-2801.58 -560316.07

560316.07

u 1

74708809.72

θ 1

=

= 2801.58 -560316.07

-560316.07

u 2

149417619.44

θ 2

560316.07

u 2

Columna 2:

NO. DE BARRA:

2

NUDO INICIAL:

2

E MOD. DE ESLASTICIDAD: LONGITUD: MOM. DE INERCIA I :

Fx 2 M2

NUDO FINAL:

3

221359.4 KG/CM2 400.0 CM 67500.0 CM4

2801.58

560316.07

560316.07

149417619.44

-2801.58 -560316.07

74708809.72

= Fx 3

-2801.58

-560316.07

M3

560316.07

74708809.72

ANALISIS ESTRUCTURAL

θ 2 =

2801.58 -560316.07

-560316.07

u 3

149417619.44

θ 3

98

Columna 3:

NO. DE BARRA:

3

NUDO INICIAL:

4

E MOD. DE ESLASTICIDAD: LONGITUD: MOM. DE INERCIA I :

Fx 4 M4

NUDO FINAL:

5

221359.4 KG/CM2 400.0 CM 67500.0 CM4

2801.58

560316.07

560316.07

149417619.44

-2801.58

560316.07

-560316.07

u 4

74708809.72

=

θ 4 =

Fx 5

-2801.58

-560316.07

M5

560316.07

74708809.72

2801.58 -560316.07

-560316.07

u 5

149417619.44

θ 5

560316.07

u 5

74708809.72

θ 5

Columna 4:

NO. DE BARRA:

4

NUDO INICIAL:

5

E MOD. DE ESLASTICIDAD: LONGITUD: MOM. DE INERCIA I :

NUDO FINAL:

6

221359.4 KG/CM2 400.0 CM 67500.0 CM4

Fx 5

2801.58

560316.07

M5

560316.07

149417619.44

Fx 6

-2801.58

-560316.07

M6

560316.07

74708809.72

-2801.58 -560316.07

=

ANALISIS ESTRUCTURAL

= 2801.58 -560316.07

-560316.07

u 6

149417619.44

θ 6

99

Viga 5:

NO. DE BARRA:

5

NUDO INICIAL:

2

E MOD. DE ESLASTICIDAD: LONGITUD: MOM. DE INERCIA I :

M2

NUDO FINAL:

5

221359.4 KG/CM2 500.0 CM 106666.7 CM4

188893385.57

94446692.78

= M5

θ 2 =

94446692.78

188893385.57

θ 5

Viga 6:

NO. DE BARRA:

6

NUDO INICIAL:

3

E MOD. DE ESLASTICIDAD: LONGITUD: MOM. DE INERCIA I :

M3

NUDO FINAL:

6

221359.4 KG/CM2 500.0 CM 106666.7 CM4

188893385.57

94446692.78

= M6

ANALISIS ESTRUCTURAL

θ 3 =

94446692.78

188893385.57

θ 6

100

Matriz ensamblada: 149417619.44

-560316.07 -560316.07

149417619.44 74708809.72

94446692.78

0.00 560316.07

θ2

0.00

θ3

0.00

θ5

0.00

188893385.57 74708809.72 149417619.44

0.00

94446692.78 560316.07 -560316.07

149417619.44

-560316.07 -560316.07

188893385.57

94446692.78

0.00 149417619.44

74708809.72 560316.07

188893385.57

= 0.00 94446692.78

74708809.72 149417619.44 560316.07 -560316.07

θ6

0.00

188893385.57 2801.58 -560316.07

560316.07

560316.07

-560316.07

560316.07

560316.07

2801.58

-2801.58 υ2=υ5=∆1

2801.58

-2801.58

4000.00

2801.58 -560316.07

-560316.07

-560316.07

-560316.07

-2801.58

2801.58 υ3=υ6=∆2

-2801.58

2801.58

2000.00

Realizando las sumas en las celdas tenemos: 487728624.45

74708809.72

94446692.78

74708809.72 338311005.01

0.00

94446692.78

0.00 487728624.45

0.00 -560316.07

θ2

0.00

94446692.78 560316.07 -560316.07

θ3

0.00

74708809.72

θ5

0.00

0.00 -560316.07

0.00 =

0.00 94446692.78

74708809.72 338311005.01 560316.07 -560316.07

θ6

0.00

0.00

560316.07

0.00

560316.07

11206.32

-5603.16

∆1

4000.00

-560316.07

-560316.07

-560316.07

-560316.07

-5603.16

5603.16

∆2

2000.00

ANALISIS ESTRUCTURAL

101

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales tenemos los siguientes desplazamientos:

⎡θ 2 ⎤ ⎡0.00233⎤ ⎢θ 3 ⎥ ⎢ 0.0009 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢θ 5 ⎥ ⎢0.00233⎥ ⎥ cm ⎢ ⎥=⎢ ⎢θ 6 ⎥ ⎢ 0.0009 ⎥ ⎢ ∆1⎥ ⎢ 1.5364 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣∆ 2⎥⎦ ⎢⎣ 2.5378 ⎥⎦

Una vez conocido los desplazamientos obtenemos las fuerzas en cada barra, multiplicando la matriz de rigidez de la barra por los desplazamientos conocidos.

Columna 1:

⎡ Fx1 ⎤ ⎡ − 3000.00 ⎤ ⎢ M 1 ⎥ ⎢− 686949.24⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ Fx 2⎥ ⎢ 3000.00 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ M 2 ⎦ ⎣ − 513050.72⎦ Columna 4:

⎡ Fx5⎤ ⎡ − 1000.00 ⎤ ⎢ M 5 ⎥ ⎢ − 146474.77 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ Fx6⎥ ⎢ 1000.00 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ M 6 ⎦ ⎣− 253525.55⎦

Columna 2:

⎡ Fx 2⎤ ⎡ − 1000.00 ⎤ ⎢ M 2 ⎥ ⎢ − 146474.48 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ Fx3⎥ ⎢ 1000.00 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ M 3 ⎦ ⎣− 253525.48⎦ Viga 5:

⎡ M 2⎤ ⎡659526.04⎤ ⎢ M 5⎥ = ⎢659525.82⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Columna 3:

⎡ Fx 4⎤ ⎡ − 3000.00 ⎤ ⎢ M 4 ⎥ ⎢− 686949.40⎥ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎢ Fx5⎥ ⎢ 3000.00 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ M 5 ⎦ ⎣ − 513051.06⎦ Viga 6:

⎡ M 3⎤ ⎡253525.48⎤ ⎢ M 6⎥ = ⎢253525.55⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Para comparar los resultados realizaremos el mismo ejemplo con el software SAP2000, se tomaran las mismas secciones y geometría. ANALISIS ESTRUCTURAL

102

Figura 9-2. Tipología de la estructura.

Figura 9-3. Estructura con fuerzas actuantes y descripción de barras. ANALISIS ESTRUCTURAL

103

Figura 9-4. Desplazamientos del nudo 2.

Figura 9-5. Diagramas de momento flexionante. ANALISIS ESTRUCTURAL

104

Corrida del SAP, donde se presentan los desplazamientos y fuerzas en barras debidas a las cargas aplicadas en los nudos. SAP2000 v7.12 File: MARCO-1 10/21/04 15:57:46 J O I N T JOINT

Kgf-m Units

PAGE 1

D I S P L A C E M E N T S LOAD

U1

U2

U3

R1

R2

R3

1

LOAD1

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

2

LOAD1

0.0156

0.0000

0.0000

0.0000

2.365E-03

0.0000

3

LOAD1

0.0156

0.0000

0.0000

0.0000

2.360E-03

0.0000

4

LOAD1

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

5

LOAD1

0.0258

0.0000

0.0000

0.0000

9.171E-04

0.0000

6

LOAD1

0.0258

0.0000

0.0000

0.0000

9.091E-04

0.0000

F R A M E FRAME 1

2

3

4

5

6

E L E M E N T LOAD

F O R C E S

LOC

P

V2

V3

T

M2

M3

0.00 2.00 4.00

0.00 0.00 0.00

3006.23 3006.23 3006.23

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

6896.14 883.67 -5128.79

0.00 1.25 2.50 3.75 5.00

-1990.62 -1990.62 -1990.62 -1990.62 -1990.62

2630.34 2630.34 2630.34 2630.34 2630.34

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

6578.45 3290.52 2.60 -3285.32 -6573.24

0.00 2.00 4.00

0.00 0.00 0.00

-2993.77 -2993.77 -2993.77

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

-5105.92 881.62 6869.15

0.00 2.00 4.00

0.00 0.00 0.00

1003.15 1003.15 1003.15

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

1467.32 -538.99 -2545.29

0.00 1.25 2.50 3.75 5.00

-1003.15 -1003.15 -1003.15 -1003.15 -1003.15

-1016.60 -1016.60 -1016.60 -1016.60 -1016.60

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

-2545.29 -1274.54 -3.78 1266.97 2537.73

0.00 2.00 4.00

0.00 0.00 0.00

-996.85 -996.85 -996.85

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00

-2537.73 -544.03 1449.66

LOAD1

LOAD1

LOAD1

LOAD1

LOAD1

LOAD1

Como podemos apreciar los valores obtenidos son similares a los ya calculados anteriormente, por ejemplo el desplazamiento ∆1 es de 1.54cm y en el SAP es de 1.56 cm, en este caso el programa toma en cuenta el efecto de

ANALISIS ESTRUCTURAL

105

deformación por cortante, lo que origina que los desplazamientos aumenten, aunque para este caso no contribuye en mucho. CAPÍTULO 10. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS ELASTO-PLÁSTICOS. 10.1 Breve descripción del método. En un análisis elasto-plástico de un sistema estructural, la idea básica consiste en seguir un trayecto de carga paso a paso a partir de un estado inicial conocido y en calcular la solución en el instante t + dt a partir de la solución conocida en el instante t . La determinación de los aumentos de esfuerzos, deformaciones y desplazamientos, se hacen: -

A partir de los incrementos de carga.

-

A través de las ecuaciones de equilibrio casi estático.

-

De las condiciones limites.

-

De las condiciones de compatibilidad geométrica de deformaciones.

-

De la ley de comportamiento.

Sin embargo es claro que esta determinación necesita conocer con precisión a cada instante t : -

La localización de los elementos plastificados (criterio alcanzado) y los no plastificados. Decidir para cada uno de los elementos plastificados, si durante el paso t a t + dt hay carga o descarga.

En esto reside toda la dificultad de solución, en el caso general, de los problemas de elasto-plasticidad casi estático. 10.2 Sistema estructural simple. Sea una estructura articulada simple como la mostrada en la figura 11-1, constituida de tres barras verticales de igual longitud “h”, articuladas a una superficie indeformable y a una barra horizontal ( AC ) supuesta igualmente indeformable, las distancias entre las barras son iguales a L . Las características de las tres barras son idénticas: misma sección A y módulo de Young E.

ANALISIS ESTRUCTURAL

106

Las barras se supone tienen el mismo estado límite de elasticidad N o , tanto para tensión como para compresión. También se suponen tienen un comportamiento elasto-plástico perfecto. La carga es una fuerza vertical de intensidad Q aplicada en medio del claro BC. y

N1

N2

N3

h

D A

B

Q

L

x

C L/2

L/2

Figura 11-1. Estructura articulada.

Ni Ny = No

NoI/ES

di

-Ny = -No

Figura 11-2. Ley de comportamiento elasto-plástico perfecto de

las barras de la estructura representada en la figura 11-1.

10.3 Etapa elástica (solución elástica). a) A partir de las ecuaciones de equilibrio se tiene:

∑F

=0

y

∑M

z

=0

ANALISIS ESTRUCTURAL

N1 + N 2 + N 3 = Q

N 2 L + 2 LN 3 −

3 LQ = 0 2

(11-1)

(11-2)

107

Sustituyendo el valor de Q de la ecuación 11-1 en la ecuación 11-2, y eliminando L, se obtiene:

N 2 + 2N3 −

3 (N1 + N 2 + N 3 ) = 0 2

⇒

3N1 + N 2 − N 3 = 0

−

3 1 1 N1 − N 2 + N 3 = 0 2 2 2 (11-3)

b) De la relación de comportamiento elástico lineal se obtienen las deformaciones o alargamientos siguientes:

δ1 =

N1h EA

δ2 =

N2h EA

δ3 =

N 3h EA

(11-4)

Cabe recordar que a partir de la ley de Hooke el alargamiento total δ de una barra se puede obtener como:

δ=

Donde:

P Ph P = = EA k EA h

ó

P = kδ

P = fuerza total de tensión h = longitud de la barra A = área de la sección transversal de la barra E = constante elástica del material o módulo de elasticidad.

c) A partir de la condición de compatibilidad geométrica de deformaciones (figura 11-3), se tiene que:

2L L = (− δ 1 + δ 3 ) (− δ 1 + δ 2 )

∴

ANALISIS ESTRUCTURAL

ó

δ 1 − 2δ 2 + δ 3 = 0

− 2δ 1 + 2δ 2 = −δ 1 + δ 3

(11-5)

108

-d1+d3

-d1 d2 d

L

L/2

d3

L/2

Figura 11-3. Compatibilidad geométrica de los desplazamientos.

Por otro lado, se puede también deducir los desplazamientos del punto D, donde esta aplicada la carga Q, en función de:

(3 / 2)L = 2 L (d − δ 1 ) (− δ 1 + δ 3 )

3 (− δ 1 + δ 3 ) = 2(d + δ 1 ) 2

ó

− 3δ 1 + 3δ 3 = 4d − 4δ 1

∴

d=

(δ 1 + 3δ 3 ) 4

O sustituyendo δ 1 de la ecuación 11-5: δ 1 = 2δ 2 − δ 3 d=

2δ 2 + 2δ 3 δ 2 + δ 3 = 4 2

(11-6)

Sustituyendo las deformaciones de la ecuación 11-4 en la ecuación 11-5 se tiene: N1 − 2 N 2 + N 3 = 0

(11-7)

Resolviendo el sistema de las ecuaciones 11-1, 11-3 y 11-7: N1 + N 2 + N 3 = Q

(11-1)

3N1 + N 2 − N 3 = 0

(11-3)

N1 − 2 N 2 + N 3 = 0

(11-7)

Despejando N3 de la ecuación 11-3 se tiene que: ANALISIS ESTRUCTURAL

109

N 3 = 3N1 + N 2

(11-8)

Sustituyendo N3 de la ecuación 11-3 en la ecuación 11-1: N1 + N 2 + 3N1 + N 2 = Q 4 N1 + 2 N 2 = Q

(11-9)

Sustituyendo N3 de la ecuación 11-3 en la ecuación 11-7: N1 − 2 N 2 + 3N1 + N 2 = 0

ó

N 2 = 4 N1

(11-10)

4 N1 − N 2 = 0

Sustituyendo N2 de la ecuación 11-10 en la ecuación 11-9:

N1 =

ó

4 N1 + 8N1 = Q

Q 12

(11-11a)

Sustituyendo N1 de la ecuación 11-11a en la ecuación 11-10:

N2 =

4Q 12

(11-11b)

De la ecuación 11-8:

N3 =

3 4 7 Q+ Q = Q 12 12 12

(11-11c)

Por otro lado, sustituyendo las ecuaciones 11-11 en las ecuaciones 11-4 se obtienen las deformaciones o alargamientos en función de Q:

δ1 =

Qh 12 EA

δ2 =

4Qh 12 EA

δ3 =

7Qh 12 EA

(11-12)

Se deduce de las ecuaciones 11-11 y 11-12 que la fase elástica de comportamiento de la estructura sobre el trayecto de carga monótona creciente, corresponde a la barra 3, que es la más esforzada:

N3 =

7 Q 12

∴

Q=

ANALISIS ESTRUCTURAL

12 12 N3 = No 7 7

(11-13)

110

Sí Q =

12 N0 7

entonces

N1 =

Q N0 = 12 7

N2 =

4Q 4 = N0 12 7

N3 =

7Q = N0 12

Por otro lado el desplazamiento del punto “D” es:

1 1 7 ⎞ Qh 11 h ⎛ 4 d = δ2 + δ3 = ⎜ + ⎟ = Q 2 2 ⎝ 24 24 ⎠ EA 24 EA (11-14)

d=

11 h 12 11 h N0 = N0 24 EA 7 14 EA

Q/No

12/7

11/14

dEA/Noh

Figura 11-4. Historia de carga de la etapa elástica.

10.4 Etapa elasto-plástica. Si la carga Q rebasa el valor de (12 / 7 )N 0 , la barra 3 deja absorber carga y permanece como un elemento que trabaja bajo carga constante, que para fines prácticos de modelado de la siguiente etapa de comportamiento elastoplástico del sistema estructural, la barra 3 (N3) se puede representar como una fuerza aplicada en el punto C, de magnitud N0, como se muestra en la figura 11-5.

ANALISIS ESTRUCTURAL

111

y

N1

N2

h

No

D

A

B L

Q L/2

x

C L/2

Figura 11-5. Estructura articulada con la barra 3 plastificada.

a) Aplicando equilibrio:

∑F

=0

y

∑M

N1 + N 2 + N 0 = Q (11-15)

z

=0

3N1 + N 2 − N 0 = 0

Despejando N2 de la segunda ecuación de equilibrio se tiene: N 2 = N 0 − 3N 1

Sustituyendo este valor en la primera ecuación de equilibrio se tiene: N1 + N 0 − 3N1 + N 0 = Q

N1 = N 0 −

ó

− 2 N1 + 2 N 0 = Q

Q 2

Sustituyendo el valor de N1 en la ecuación anterior, se tiene:

3 Q⎞ ⎛ N 2 = N 0 − 3⎜ N 0 − ⎟ = −2 N 0 + Q 2⎠ 2 ⎝ Resumiendo:

N1 = −

Q + N0 2

ANALISIS ESTRUCTURAL

(11-16a)

112

3 Q − 2N 0 2

N2 =

(11-16b)

N3 = N0

(11-16c)

Las deformaciones en las barras 1 y 2 siguen siendo elásticas.

δ1 =

N1h ⎛ Q ⎞ h = ⎜ − + N0 ⎟ EA ⎝ 2 ⎠ EA

(11-17a)

⎛3 ⎝2

(11-17b)

⎞ h ⎠ EA

δ 2 = ⎜ Q − 2N 0 ⎟

Y por compatibilidad geométrica se tiene de acuerdo a la ecuación 11-5:

δ 1 − 2δ 2 + δ 3 = 0

(11-5)

δ 3 = −δ 1 + 2δ 2 ⎛ Q ⎞ h ⎛3 ⎞ h = −⎜ − + N 0 ⎟ + 2⎜ Q − 2 N 0 ⎟ ⎝ 2 ⎠ EA ⎝2 ⎠ EA ⎛Q ⎞ h = ⎜ + 3Q − N 0 − 4 N 0 ⎟ ⎝2 ⎠ EA ⎛ 7Q ⎞ h − 5N 0 ⎟ ⎝ 2 ⎠ EA

δ3 = ⎜

(11-17c)

Por otro lado tenemos:

d=

δ2 + δ3 2

=

1⎛3 7 1 h ⎞ h = (5Q − 7 N 0 ) ⎜ Q − 2 N 0 + Q − 5N 0 ⎟ 2⎝2 2 EA ⎠ EA 2

7 ⎛5 ⎞ h d = ⎜ Q − N0 ⎟ 2 ⎝2 ⎠ EA

(11-18)

Para cuando N2 = N0 se obtiene la segunda plastificación, por tanto a partir de la ecuación 11-16b se tiene que:

N2 = N0 =

ANALISIS ESTRUCTURAL

3 Q − 2N 0 2

3N 0 =

3 Q 2

Q = 2N 0

113

Carga necesaria para obtener la segunda fluencia y el colapso de la estructura, es decir, “la carga crítica” que produce el mecanismo plástico de colapso; por otro lado, se puede obtener el desplazamiento en d , correspondiente:

7 7 3 h ⎛5 ⎞ h ⎛ ⎞ h d = ⎜ Q − N0 ⎟ = ⎜ 5N 0 − N 0 ⎟ = N0 2 2 EA ⎝2 ⎠ EA ⎝ ⎠ EA 2

Q/No

2 12/7

(1.714)

11/14

(0.786)

3/2

(1.5)

qEA/Noh

Figura 11-6. Historia de carga.

10-5 Conclusiones de las etapas elásticas y elasto-plástica. Resumiendo los resultados obtenidos en las diferentes etapas, se tiene lo siguiente: -

Para la etapa elástica:

N1 = Para Q =

N2 =

4Q 12

N3 =

7Q 12

N2 =

4N 0 7

N3 = N0

12 N0 7 N1 =

-

Q 12

N0 7

Para la etapa elasto-plástica (dado que se plastifica el elemento 3):

N1 = −

Q + N0 2

ANALISIS ESTRUCTURAL

N2 =

3 Q − 2N 0 2

N3 = N0

114

Para Q = N 0 N2 = N0

N1 = 0

N3 = N0

Como conclusión del análisis antes descrito se puede decir lo siguiente: a) Para el problema estudiado se puede mencionar que:

•

La solución obtenida para las etapas I) elástica y II) elasto-plástica, es la solución exacta del problema para cuando Q varía en el rango: 0 ≤ Q ≤ 2N 0

•

Por otro lado, la carga Q = 2N0 no puede ser excedida.

b) ¿Qué pasa cuando Q alcanza el valor de 2N0?

•

Cuando Q alcanza el valor de 2N0 el estado de esfuerzos N i , de alargamiento δ i y el desplazamiento d de la estructura están dados por las expresiones:

Fuerzas internas:

N1 = − Para Q=2N0

3 Q − 2N 0 2

Q + N0 2

N2 =

N1 = 0

N2 = N0

N3 = N0

N3 = N0

Alargamientos:

δ 1 = (− Q + N 0 )

h EA

⎛3 ⎝2

⎞ h ⎠ EA

δ 2 = ⎜ Q − 2N 0 ⎟

⎛7 ⎝2

⎞ h ⎠ EA

δ 3 = ⎜ Q − 5N 0 ⎟

Para Q=2N0

δ1 = 0

δ 2 = N0

h EA

δ 3 = 2N 0

h EA

Desplazamiento:

7 ⎛5 ⎞ h d = ⎜ Q − N0 ⎟ 2 ⎝2 ⎠ EA Para Q=2N0

d=

ANALISIS ESTRUCTURAL

3 h N0 2 EA 115

•

Cuando Q = 2N0, las barras 2 y 3 se encuentran simultáneamente plastificadas, esto implica que, sin aumentar Q una evolución o un alargamiento en el desplazamiento puede ser posible.

Por lo tanto, cuando Q alcanza el valor de 2N0 el estado de esfuerzos en las barras es: y

N2 = N0

N1 = 0

Si este estado se mantiene (es decir; N i = de comportamiento se puede escribir:

δ&2 = δ&2 p ≥ 0

δ&1 = 0 •

y

dN i =0 dt

δ&3 = δ&3 p ≥ 0

N3 = N0 ∀ i = 1.2 ), la relación

(11-19)

La única condición sobre los alargamientos es la relación de compatibilidad geométrica que tiene que ser verificada a cada instante:

δ 1 − 2δ 2 + δ 3 = 0

(11-5)

Si esta relación se verifica para los alargamientos producidos por Q = 2N0, las tasas también se rigen por esta ecuación. Se observa entonces que para Q = 2N0, los alargamientos y los desplazamientos en la estructura pueden evolucionar bajo carga constante de manera monótona.

•

Los esfuerzos se mantienen constantes y las velocidades de los alargamientos y los desplazamientos son:

δ&1 = 0 d= •

δ&2 ≥ 0

δ&3 = δ&2 ≥ 0

(11-20)

1 & (δ 2 + δ&3 ) = 3 δ& ≥ 0 2 2

Finalmente se observa que esta evolución del desplazamiento bajo carga constante es puramente plástica.

Se dice también que las ecuaciones 11-19 y 11-20 definen un mecanismo de flexión plástica (libre) de la estructura.

ANALISIS ESTRUCTURAL

116