Analisis De Circuitos Con Fourier

  • Uploaded by: gabriel rojas zanabria
  • 0
  • 0
  • June 2020
  • PDF

This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA


Overview

Download & View Analisis De Circuitos Con Fourier as PDF for free.

More details

  • Words: 7,721
  • Pages: 48
Tema III: Análisis de circuitos mediante la transformada de Fourier

Planteamiento del problema .................................................................................................. Determinación de los coeficientes de Fourier.................................................................... Procedimiento general .......................................................................................................... Ejemplo ................................................................................................................................ Casos particulares ................................................................................................................ Forma trigonométrica de la serie de Fourier..................................................................... Formulación ......................................................................................................................... Ejemplo 1 de formulación trigonométrica ............................................................................. Ejemplo 2 de formulación trigonométrica ............................................................................. Ejemplo 3 de formulación trigonométrica ............................................................................. Ejemplo 1 de aplicación a un circuito ................................................................................... Ejemplo 2 de aplicación a un circuito ................................................................................... Cálculos de potencia media .................................................................................................. Formulación exponencial ....................................................................................................... Ejemplo 1 de formulación exponencial ................................................................................. Ejemplo 2 de formulación exponencial ................................................................................. Error cuadrático medio ......................................................................................................... Espectros de amplitud y fase ................................................................................................ La transformada de Fourier .................................................................................................. Consideraciones generales ................................................................................................... Definición ............................................................................................................................ Condiciones de existencia .................................................................................................... Ejemplo de cálculo ...............................................................................................................

83 86 86 87 88 90 90 91 92 93 94 96 98 99 99 100 101 102 104 104 105 106 107

82

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Transformadas de Fourier...................................................................................................... Transformadas de Fourier de funciones elementales ............................................................ Transformadas de Fourier operacionales.............................................................................. Cálculo alternativo de la transformada de Fourier................................................................. Utilización de transformadas de Laplace para hallar transformadas de Fourier .................... Aplicación en circuitos ............................................................................................................ Comparación con la transformada de Laplace ...................................................................... Ejemplo 1 ............................................................................................................................. Ejemplo 2 ............................................................................................................................. Teorema de Parseval ............................................................................................................... Ejemplo 1............................................................................................................................. Ejemplo 2 ............................................................................................................................. Ejemplo 3 .............................................................................................................................

Teorema de Plancherel ...........................................................................................................

108 108 109 111 113 119 119 120 121 122 123 125 127 128

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

83

Planteamiento del problema x(t) periódica ⇔ x(t) = x(t + nT 0) ∀t; n: número entero, T 0: periodo fundamental Ejemplos de funciones periódicas

v(t) Vm T0

2T0 3T0 4T0

t

Rectificación de onda completa Obtenidas por saturación de transistores

v(t) Vm 2T0

T0

t

Rectificación de media onda

v(t) Vm 2T 0 t

T0

-Vm

Onda cuadrada

v(t) Vm T0

2T0

3T 0

t

Onda triangular

Proporcionadas por generadores de ondas

v(t) Vm T0

2T 0 t

Pulso rectangular

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

84

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

En ingeniería de circuitos tienen interés práctico muchas excitaciones periódicas que no son sinusoidales. Los generadores de potencia ideales tienen que proporcionar sinusoides puras. En la práctica proporcionan sinusoides distorsionadas, pero periódicas. Las no linealidades en circuitos provocan la aparición de funciones periódicas lineales.

El análisis de Fourier permite tratar cualquier función periódica como una suma infinita de funciones sinusoidales relacionadas armónicamente. Una función periódica puede expresarse como serie de Fourier en la forma ∞

f(t) = a v + ∑ [a kcos(kω 0t) + b ksen(kω 0t)] k=1

siendo k: número natural. av, ak, bk: coeficientes de Fourier. ω0 = 2π/T0: frecuencia angular fundamental. kω0: frecuencia de la componente armónica de orden k. f(t) se expresa como la suma de una componente continua y diversas componentes sinusoidales. Si representa la excitación de un circuito, la salida de éste puede ser calculada aplicando el principio de superposición.

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

85

Para que una función pueda ser expresada como serie de Fourier, ha de cumplir las condiciones de Dirichlet: f(t) tiene un valor único para cualquier valor de t. f(t) tiene un número finito de discontinuidades en el intervalo de un periodo. f(t) tiene un número finito de máximos y mínimo en el intervalo de un periodo. t0+T 0

La integral

f(t)dt existe. t0

Las condiciones de Dirichlet son suficientes, pero no necesarias. No se sabe cuáles son las condiciones necesarias. Una función puede no cumplir las condiciones de Dirichlet y ser expresable como serie de Fourier.

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

86

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Determinación de los coeficientes de Fourier Procedimiento general

t0+T 0

av = 1 T0

t0+T 0

f(t)dt t0

ak = 2 T0

t0+T 0

f(t)cos(kω 0t)dt t0

bk = 2 T0

f(t)sen(kω 0t)dt t0

t0 es cualquier valor del tiempo elegido arbitrariamente.

Obsérvese que av es el valor medio de f(t) en un periodo, lo cual proporciona un medio alternativo de calcular este coeficiente.

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

87

Ejemplo v(t)

Se desea obtener los coeficientes de Fourier de la expansión en serie de Fourier de la tensión mostrada en la figura adjunta.

Vm

Vm/3

Vm = 9π V 4T 0/3 2T0 t

2T0/3 T0

0

Suponiendo que T0 = 125.66 ms, se desea obtener los cinco primeros términos de la citada expansión.

La tensión representada en la figura puede ser expresada matemáticamente como v(t) = V m ∀t ⊥ t 0 ≤ t ≤ t 0 + 2T 0/3

v(t) = V m/3 ∀t ⊥ t 0 + 2T 0/3 ≤ t ≤ t 0 + T 0

Haciendo t0 = 0 s, y utilizando las expresiones generales y el valor de Vm, se tiene T0

av = 1 T0

0

2T0/3

v(t)dt = 1 T0

v(t)cos 2πkt dt = 2 T0 T0

Vm cos 2πkt dt = 6 sen 4πk V T0 3 3 k 2T0/3

T0

2T0/3

v(t)sen 2πkt dt = 2 T0 T0

Vm sen 2πkt dt = 6 1 - cos 4πk V T0 3 3 k

Vm sen 2πkt dt + 2 T0 T0 0

Vm dt = 7π V 3

T0

0

T0

0

2T0/3

Vm cos 2πkt dt + 2 T0 T0

0

bk = 2 T0

Vmdt + 1 T0

2T0/3

T0

ak = 2 T0

0

T0

2T0/3

Utilizando estas expresiones y el valor de T0, la serie queda v(t) = 7π - 5.2cos(50t) + 9sen(50t) + 2.6cos(100t) + 4.5sen(100t) + ... V

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

88

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Casos particulares

T0/2

f(t)

av = 2 T0

A

Simetría par f(t) = f(-t)

-T0/2

T0/2 0

-T0

T0

t

-A

f(t)dt 0

T0/2

ak = 4 T0

f(t)cos(kω 0t)dt 0

bk = 0 f(t)

av = 0

A

ak = 0 -T0/2

Simetría impar f(t) = - f(-t)

T0/2 0

-T0

T0/2

t -A

T0

bk = 4 T0

f(t)sen(kω 0t)dt 0

A una función periódica dada se la puede dotar de simetría par o impar con sólo elegir adecuadamente el origen de tiempos.

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

89

av = 0 Simetría de media onda f(t) = - f(t - T0/2)

k par ⇒ a k = 0 = b k k impar ⇒ T0/2

⇒ ak = 4 T0

f(t)cos(kω 0t)dt 0 T0/2

⇒ bk = 4 T0

Simetría de cuarto de onda y función par (simetría en torno al punto medio de cada semiciclo)

f(t)sen(kω 0t)dt 0

av = 0 k par ⇒ a k = 0 T0/4

k impar ⇒ a k = 8 T0

f(t)cos(kω 0t)dt 0

bk = 0

Simetría de cuarto de onda y función impar (simetría en torno al punto medio de cada semiciclo)

av = 0 ak = 0 k par ⇒ b k = 0 T0/4

k impar ⇒ b k = 8 T0

f(t)sen(kω 0t)dt 0

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

90

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Forma trigonométrica de la serie de Fourier Formulación Definiendo Ak = zk =

z k = a k - jb k

b ϕ k = arctg a k k

a 2k + b 2k

puede establecerse que ∞



f(t) = a v + ∑ [a kcos(kω 0t) + b ksen(kω 0t)] = a v + ∑ A kcos(kω 0t - ϕ k) k=1

k=1

Es decir, los términos en seno y coseno de cada armónico de la serie se combinan en un único término de tipo sinusoidal, lo cual permite tratar la función como una superposición de una componente continua y una suma de señales sinusoidales de distintas frecuencias. Obsérvese que f(t) par ⇒ A k = a k, ϕ k = 0 ° f(t) impar ⇒ A k = b k, ϕ k = 90 °

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

91

Ejemplo 1 de formulación trigonométrica v(t)

Se desea expresar en forma trigonométrica (sólo tres términos significativos) el desarrollo en serie de Fourier de la tensión representada en la figura adjunta.

Vm

Vm/3 0

Vm = 9π V 2T0/3 T0

4T 0/3 2T0 t

Supóngase que T0 = 125.66 ms.

Como se indicó en un ejemplo anterior, v(t) = V m ∀t ⊥ t 0 ≤ t ≤ t 0 + 2T 0/3

v(t) = V m/3 ∀t ⊥ t 0 + 2T 0/3 ≤ t ≤ t 0 + T 0 con lo que

a k = 6 sen 4πk V 3 k

a v = 7π V

b k = 6 1 - cos 4πk V 3 k

En consecuencia, es posible elaborar la siguiente tabla: k

ak (V)

bk (V)

Ak (V)

ϕk (º)

1

- 5.22

9

10.4

120

2

2.61

4.5

5.2

60

con lo que la formulación pedida queda en la forma v(t) = 7π + 10.4cos(50t - 120 º) + 5.2cos(100t - 60 º) V, t en s

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

92

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Ejemplo 2 de formulación trigonométrica

v(t) Vm

T

2T

3T

0 ≤ t ≤ T ⇒ v(t) =

Vm t T

La tensión periódica mostrada en la figura puede expresarse como la suma de una componente continua y una serie de Fourier infinita de términos cosenoidales; cada uno de éstos queda definido t por un módulo, una frecuencia angular y una fase. Se desea obtener la componente continua y los parámetros que definen los términos cosenoidales.

Se trata de expresar la función como desarrollo en serie de Fourier de la forma ∞

v(t) = a v +



ω 0 = 2π T

A kcos(kω 0t - ϕ k)

k=1 T

av = 1 T T

ak = 2 T

0

0

v(t)dt = 1 T

0

Vm V tdt = m T 2 T

T

v(t)cos(kω 0t)dt = 2 T

T

bk = 2 T

0

T

0

Vm 2V m cos(kω 0t) tsen(kω 0t) tcos(kω 0t)dt = + 2 2 kω 0 T T (kω 0)

Ak =

a 2k + b 2k =

0

Vm kπ

0 T

T

v(t)sen(kω 0t)dt = 2 T

=0V

Vm 2V m sen(kω 0t) tcos(kω 0t) tsen(kω 0t)dt = kω 0 T T 2 (kω 0) 2

=0

Vm kπ

b ϕ k = arctg a k = - 90 ° k

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

93

Ejemplo 3 de formulación trigonométrica v(t) Vm

2T

T

3T

Vm t T

0 ≤ t ≤ T ⇒ v(t) = V m -

La tensión periódica mostrada en la figura puede expresarse como la suma de una componente continua y una serie de Fourier infinita de términos cosenoidales; cada uno de éstos queda definido t por un módulo, una frecuencia angular y una fase. Se desea obtener la componente continua y los parámetros que definen los términos cosenoidales.

Se trata de expresar la función como desarrollo en serie de Fourier de la forma ∞

v(t) = a v +



ω 0 = 2π/T

A kcos(kω 0t - ϕ k)

k=1 T

av = 1 T

0

T

ak = 2 T

v(t)dt = 1 T

0

T

Vmdt - 1 T

T

v(t)cos(kω 0t)dt = 2 T

0

T

T

Vmcos(kω 0t)dt - 2 T

0

0

Vm V tdt = m T 2

Vm tcos(kω 0t)dt = T

0

T

V 2V cos(kω 0t) tsen(kω 0t) = m [sen(kω 0t)] T0 - m + kω 0 kπ T 2 (kω 0) 2 T

bk = 2 T

0

T

v(t)sen(kω 0t)dt = 2 T

0

=0V 0

T

Vmsen(kω 0t)dt - 2 T

0

Vm tsen(kω 0t)dt = T T

V 2V sen(kω 0t) tcos(kω 0t) = - m [cos(kω 0t)] T0 - m kω 0 kπ T 2 (kω 0) 2 Ak =

a 2k + b 2k =

Vm kπ

= 0

Vm kπ

b ϕ k = arctg a k = 90 ° k

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

94

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Ejemplo 1 de aplicación a un circuito Vm

vG(t)

R vG(t) C

+ vC(t) -

t

-Vm

T0

Dado el circuito de la figura, sometido a la excitación indicada, se desea obtener la expresión temporal de vC(t).

La excitación tiene simetría impar en media onda y en cuarto de onda, con lo que

av = 0 ak = 0 bk = 0, k par T0/4

bk = 8 T0

Vmsen(kω 0t)dt = 0

4V m , k impar πk

La excitación puede ser expresada como serie de Fourier con formulación trigonométrica. ∞

cos[(2i - 1)ω 0t - 90°] 4V v G(t) = πm ∑ 2i - 1 i=1

La excitación es equivalente a un número infinito de fuentes sinusoidales conectadas en serie.

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

95

Se aplica el principio de superposición teniendo en cuenta que para cada excitación individual y utilizando notación fasorial se cumple VC =

VG 1 + jωRC

Aplicando este resultado a cada componente de la excitación los fasores de las distintas respuestas individuales están dados por

Primer armónico (i = 1)



Tercer armónico (i = 2)



V C1 =

V C3 =

4V m π 1+

(ω 0RC) 2 ∠- 90° - θ1

4V m π 1 + (3ω 0RC) 2

, θ 1 = arctg(ω 0RC)

, θ 3 = arctg(3ω 0RC) ∠- 90° - θ3

Generalizando, puede deducirse que la respuesta pedida es ∞

4V v C(t) = πm ∑ i=1

cos[(2i - 1)ω 0t - θ 2i-1] (2i - 1) 1 + [(2i -

1)ω 0RC] 2

, θ 2i-1 = 90º - arctg[(2i - 1)ω 0RC]

Obsérvese que ∞ cos[(2i - 1)ω 0t] 4V m C muy grande (cortocircuito) ⇒ θ 2i-1 ≈ 90 ° ⇒ v C(t) ≈ ∑ πω 0RC i=1 (2i - 1) 2

Los armónicos de salida decrecen en amplitud en la proporción 1/i2, mientras que los de la entrada lo hacen en la proporción 1/i (hay gran distorsión -distorsión de fase-). C muy pequeño (circuito abierto) ⇒ θ 2i-1 ≈ 0 ° ⇒ v C(t) ≈ v G(t) poca distorsión.

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

96

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Ejemplo 2 de aplicación a un circuito

vG(t) Vm R

+ v0(t) -

L

vG(t) C

T 0/2

T0

t

-Vm

Dado el circuito de la figura, sometido a la excitación indicada, se desea obtener la expresión temporal de v0(t).

La expresión matemática de la excitación es vG(t) = Vm, 0 < t < T0/4

vG(t) = -Vm, T0/4 < t < 3T0/4

vG(t) = Vm, 3T0/4 < t < T0

La excitación tiene simetría de cuarto de onda y función par, con lo que av = 0 V

bk = 0 V

ak = 0 V, k par

v G(t)cos(kω 0t)dt =

4V m 4V m sen πk = cos πk - 90 º πk 2 πk 2

T0/4

k impar ⇒ a k = 8 T0

0

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

97

En términos fasoriales, la excitación se expresa como V Gk =

4V m 4V =-j m πk ∠ -90 º πk

En términos fasoriales y de impedancias, la salida del circuito es V 0k =

jωLV Gk = R(1 - ω 2LC) + jωL

8LV m 2

= V 0k ∠ ϕk

RT 0 1 - 2πk LC + j2πkL T0 T0

con lo que la expresión temporal pedida es ∞

v 0(t) =

∑ k = 1, impar

V 0k cos 2πkt + ϕ k T0

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

98

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Cálculos de potencia media Sea un elemento de un circuito lineal, en el que la tensión y la corriente son funciones periódicas expresadas mediante series de Fourier. ∞

v(t) = V DC + ∑ VKcos(kω 0t - ϕ vk) k=1 ∞

i(t) = I DC + ∑ IKcos(kω 0t - ϕ ik) k=1

Se supone que la corriente entra en el elemento por el terminal marcado como positivo para la tensión.

La potencia media en el elemento está dada por t0+T0

P= 1 T0



v(t)i(t)dt = V DCIDC + ∑ t0

k=1

V KI Kcos(ϕ vk - ϕ ik) 2

Es decir, en el caso de una interacción entre una tensión periódica y la correspondiente corriente periódica, la potencia media total es la suma de las potencias medias originadas por corrientes y tensiones de la misma frecuencia. Las corrientes y tensiones de distintas frecuencias no interaccionan para dar lugar a potencia media.

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

99

Formulación exponencial Una función periódica también puede desarrollarse en serie de Fourier mediante la expresión ∞

f(t) = ∑ C ke jkω 0t -∞

siendo t0+T 0

Ck = 1 T0

f(t)e -jkω0tdt = t0

a k - jb k A k = ,A = 2 2 ∠-ϕk k

b a 2k + b 2k , ϕ k = arctg a k k

Ejemplo 1 de formulación exponencial

-τ/2

Se desea expresar la tensión indicada en la figura adjunta como serie de Fourier con formulación exponencial.

v(t)

Vm

0

τ/2

T0-τ/2 T0

τ/2

τ/2

Ck = 1 T0

t

Vme -jkω0tdt = -τ/2

v(t) =

Vm T -jkω 0

e -jkω 0t

= -τ/2

V mτ sen(kω 0τ/2) T kω 0τ/2

∞ sen(kω 0τ/2) jkω 0t V mτ e ∑ T o k = -∞ kω 0τ/2

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

100

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Ejemplo 2 de formulación exponencial vi(t) Vh

t0

Vl -t0/2

Se desea expresar la tensión indicada en la figura adjunta como serie de Fourier con formulación exponencial.

T0

t0/2

0

t

Vh = 2π V, Vl = π V, T0 = 1 s, t0 = 0.25 s ∞

v i(t) = ∑ C ke jkω 0t, ω 0 = 2π = 2π rad/s T0 -∞ t 0 + T0

Ck = t0

t0/2

v i(t)e -jkω0tdt = 1 T0

-t0/2

T 0 - t0/2

Vhe -jkω0tdt + 1 T0

Vle -jkω0tdt = t0/2

(V h - V l)t 0 sen(kπt 0/T 0) kπt 0/T 0 T0 Dada la simetría par de la función sen(x)/x, únicamente es necesario calcular los términos correspondientes a valores positivos de k; los correspondientes a valores negativos de k coinciden con sus equivalentes en el intervalo positivo. Obsérvese, además, que todos los coeficientes son reales, con lo que el espectro de fases es nulo (fase nula para cualquier componente). Así, los primeros coeficientes de la serie son =

k

π t0 /T0 kπ

Ck

0 +1 +2 +3 +4

0 0.25π 0.5π 0.75π π

0.79 V 0.71 V 0.5 V 0.24 V 0V

El coeficiente correspondiente a k = 0 se ha obtenido aplicando la regla de l’Hôpital.

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

101

Error cuadrático medio En aplicaciones prácticas, al utilizar una serie de Fourier para representar una función periódica es preciso truncar la serie, ya que no es posible trabajar con un número infinito de términos. Así, se supone que la función ideal f(t) es aproximada por la función práctica fN(t). N

f(t) ≈ f N(t) =



C ke jω 0 t

k= -N

con lo que se comete un error dado por ε(t) = f(t) - f N(t) de modo que el error cuadrático medio de la aproximación es t0+T 0

ε2 = 1 T0

ε 2(t)dt t0

f(t) también puede ser expresada mediante otras series trigonométricas en las que los coeficientes son distintos de los correspondientes a la serie de Fourier. Puede demostrarse que el error cuadrático medio es mínimo precisamente cuando los coeficientes son los de la serie de Fourier.

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

102

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Espectros de amplitud y fase Conocidos los coeficientes de Fourier y el periodo de una función, en teoría es posible reconstruir dicha función. Ocurre lo mismo si se conocen las amplitudes y las fases de la formulación exponencial. Sin embargo, ello requiere una gran potencia de cálculo (series infinitas).

Una alternativa (simplemente indicativa) consiste en representar las amplitudes y las fases de la formulación exponencial, como se muestra en las figuras adjuntas.

Espectro de amplitud

Ck



k, ω

0

Si se desplaza la función un intervalo temporal, C ke jkω 0(t - t0) =

k = -∞

0

Espectro de fase

fase = 0º

fase = 0º

fase = 0º

ϕk fase = 0º



f(t - t 0) =

k, ω



=



(C ke -jkω0t0)e jkω 0t

k = -∞

el espectro de amplitud no cambia, el espectro de fase sí cambia.

fases no definidas por ser nulas las amplitudes

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

103

Los espectros de amplitud y fase también pueden ser representados con ayuda del desarrollo en serie expresado con la formulación trigonométrica. Obsérvese la relación entre ambas formulaciones: Formulación exponencial

Formulación trigonométrica





f(t) = ∑

f(t) = a v + ∑ A kcos(kω 0t - ϕ k)

C ke jkω 0t

-∞

Ck =

k=1

Ak 2 ∠-ϕk

Ak =

b a 2k + b 2k , ϕ k = arctg a k k t0+T 0

av = 1 T0

f(t)dt t0

t0+T 0

ak = 2 T0

f(t)cos(kω 0t)dt t0 t0+T 0

bk = 2 T0

f(t)sen(kω 0t)dt t0

El espectro trigonométrico tiene una amplitud doble que el exponencial. El espectro de amplitudes trigonométrico sólo tiene componentes correspondientes a valores positivos de k.

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

104

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

La transformada de Fourier Consideraciones generales

La serie de Fourier permite describir una función periódica del tiempo en el dominio de la frecuencia por medio de los atributos de amplitud y fase.

La transformada de Fourier permite extender esta idea a funciones no periódicas.

Esto ya está cubierto por la transformada de Laplace. La transformada de Fourier es un caso particular (parte real de la frecuencia compleja, s, nula) de la transformada de Laplace bilateral.

Sin embargo, la transformada de Fourier tiene una interpretación física más sencilla.

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

105

Definición

Dada una función periódica f(t), de periodo T0, a medida que éste se hace más grande se verifica (como puede comprobarse a partir de las expresiones de la serie de Fourier) f(t) va convirtiéndose en no periódica. La frecuencia pasa de ser una variable discreta (kω0) a ser una variable continua (ω). Los espectros de amplitud y fase dejan de ser representaciones discretas de líneas para convertirse en las envolventes de las líneas que los constituyen.

Para contemplar estas circunstancias se define la transformada de Fourier de la función f(t), no necesariamente periódica, mediante la expresión



F(ω) =

F{f(t)} =



f(t)e -jωtdt ⇒ -∞

dominio de la frecuencia

f(t) = 1 2π

F(ω)e jωtdω -∞

dominio del tiempo

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

106

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Condiciones de existencia f(t) tiene transformada de Fourier si converge la integral que la define. f(t) converge si es una función bien condicionada que difiere de 0 en un intervalo finito. f(t) está bien condicionada si hay un solo valor de f para cada valor de t, y define un área finita en el intervalo de integración. Si f(t) es distinta de 0 en un intervalo infinito, hay convergencia si Hay un solo valor de f para cada valor de t. Tiene un número finito de discontinuidades. ∞

La integral

f(t)dt existe. -∞

Hay funciones de interés práctico que carecen de transformada de Fourier. En un caso de ese tipo se crea una función en el dominio del tiempo que sí tenga transformada y que esté tan arbitrariamente próxima a la original como se desee, y se asume que la transformada de Fourier de la función original coincide con la de la función creada.

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

107

Ejemplo de cálculo Se desea obtener la transformada de Fourier del pulso de tensión mostrado en la figura.

v(t) Vm τ

t

V 0 ≤ t ≤ τ ⇒ v(t) = V m - τm t



τ

v(t)e -jωtdt =

F(ω) = -∞

τ

=-

τ

0

0 τ

V m -jωt Vm e (- jωt - 1) 0- τ jω (- jω) 2 =

Vmτt e -jωtdt =

Vme -jωtdt -

e -jωt

= 0

Vm Vm Vm -jωτ -j e = τω 2 ω τω 2

Vm V [1 - cos(ωτ)] + j ωm sen(ωτ) ωτ - 1 τω 2

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

108

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Transformadas de Fourier Transformadas de Fourier de funciones elementales

Función matemática

Transformada de Fourier

Delta de Dirac (impulso unitario)

δ(t)

1

Escalón unitario

u(t)

πδ(ω) + 1 jω

Constante

A

2πAδ(ω)

Signo (-1 para todo t < 0, 1 para todo t > 0)

sgn(t)

2 jω

Seno

sen(ω0t)

jπ[δ(ω + ω0) - δ(ω - ω0)]

Coseno

cos(ω0t)

π[δ(ω + ω0) + δ(ω - ω0)]

Exponencial positiva

e-atu(t), a > 0

1 a + jω

Exponencial negativa

eatu(-t), a > 0

1 a - jω

Exponencial positiva-negativa

e-amod(t), a > 0 mod: módulo

Exponencial compleja

e jω 0 t

a2

2a + ω2

2πδ(ω - ω0)

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

109

Transformadas de Fourier operacionales

Operación matemática

Transformada de Fourier

Multiplicación por una constante

Kf(t)

KF(ω)

Suma

f1(t) + f2(t) + f3(t) + ...

F1(ω) + F2(ω) + F3(ω) + ...

Derivada

d nf(t) dt n

(jω)nF(ω)

t

f(τ)dτ

F(ω) jω

Escalado

f(at), a > 0

1F ω a a

Desplazamiento

f(t - t0)

e -jωt0F(ω)

e jω0tf(t)

F(ω - ω0)

f(t)cos(ω0t)

F(ω 0 - ω) + F(ω + ω 0) 2

Integral -∞



x(τ)h(t - τ)dτ

Convolución

X(ω)H(ω)

-∞



f1(t)f2(t) tnf(t)

1 2π

F 1(u)F 2(ω - u)du -∞ n jnd F(ω) dω n

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

110

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Ejemplo Se desea obtener la función f(t) sabiendo que su transformada de Fourier es -jωt0 F(ω) = e a + jω

La multiplicación por el término exp(-jωt0) es indicativa de un desplazamiento temporal en un intervalo t0. Por otro lado, el término 1/(a + jω) es la transformada de Fourier de la función exp(-at). Combinando ambos razonamientos se llega a -1

f(t) = F {F(ω)} = e -a(t - t0)

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

111

Cálculo alternativo de la transformada de Fourier La transformada de Fourier de una función también puede calcularse mediante el siguiente procedimiento. ∞

f(t)e -jωtdt = A(ω) - jB(ω) = F(ω)e -jϕ(ω), F(-ω) = F *(ω)

F(ω) = -∞



f(t)cos(ωt)dt, función par de ω

A(ω) = -∞ ∞

f(t)sen(ωt)dt, función impar de ω

B(ω) = -∞

F(ω) = A 2(ω) + B 2(ω), función par de ω ϕ(ω) = arctg B(ω) , función impar de ω A(ω) F(-ω) = F*(ω) Si f(t) es una función par, F(ω) es una función par real. ∞

A(ω) = 2 0



f(t)cos(ωt)dt, B(ω) = 0, f(t) = 2 2π

A(ω)cos(ωt)dω 0

Las funciones f(t) y A(ω) son intercambiables, salvo por un factor de escala. Si f(t) es una función impar, F(ω) es una función impar imaginaria. ∞

A(ω) = 0, B(ω) = 2

f(t)sen(ωt)dt 0

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

112

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Ejemplo Se desea obtener la transformada de Fourier del pulso de tensión mostrado en la figura.

vi(t)

Vh

- t0/2

t0/2

t

Vh = 2π V, t0 = 0.25 s



v i(t)e -jωtdt = A(ω) - jB(ω)

Vi(ω) = -∞

vi(t) es una función con simetría par, con lo que B(ω) = 0 ∞

A(ω) = 2

t0/2

Vhcos(ωt)dt = 4π ω sen 0.125ω V

v i(t)cos(ωt)dt = 2 0

0

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

113

Utilización de transformadas de Laplace para hallar transformadas de Fourier Pueden utilizarse transformadas de Laplace unilaterales para hallar las correspondientes transformadas de Fourier que converjan. La integral que define la transformada de Fourier converge si todos los polos de F(s) están en el semiplano izquierdo. Si hay polos en el semiplano derecho o a lo largo del eje imaginario no se cumple la condición relativa a la integral que figura en las condiciones de existencia. Esta técnica resulta particularmente útil para obtener la variación con la frecuencia de la función de transferencia de un circuito.

f(t) es una función positiva en el tiempo

F{f(t)} = L{f(t)}s=jω

Ejemplo f(t) = 0 ∀t ≤ 0 f(t) = e -atcos(ω 0t) ∀t ≥ 0 -



F{f(t)} =

s+a (s + a) 2 + ω 20

= s=jω

jω + a (jω + a) 2 + ω 20

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

114

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

F{f(t)} = L{f(-t)}s= -jω

f(t) es una función negativa en el tiempo Ejemplo f(t) = 0 ∀t ≥ 0 +

F{f(t)} = L {f(-t)} s = -jω =

⇒ f(t) = e atcos(ω 0t) ∀t ≤ 0 -

=

f(t) es una función distinta de cero f+(t) = f(t) ∀t > 0 f-(t)

= f(t) ∀t < 0

s+a (s + a) 2 + ω 20

= s= -jω

- jω + a (- jω + a) 2 + ω 20

F{f(t)} = L{f+(t)}s=jω + L{f-(-t)}s=-jω f(t) par ⇒ F{f(t)} = L{f(t)} s=jω + L{f(t)} s= -jω f(t) impar ⇒ F{f(t)} = L{f(t)} s=jω - L{f(t)} s= -jω Ejemplo 1 , L{f -(-t)} = 1 L{f +(t)} = s + a s+a

f+(t) = e -at ⇒ f-(t) = e at

1 F{e -amod(t)} = s + a

s=jω

1 + s+ a

= s= -jω

2a + a2

ω2

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

115

Ejemplo 1

H(s) =

La transformada de Laplace de la función de transferencia 0.5(s 2 + 10 12) s 2 + 0.5×10 6s + 10 12 de un circuito es la indicada en el recuadro adjunto. Se desea representar cualitativamente la variación del módulo de la función de transferencia con la frecuencia angular cuando el circuito funciona en régimen sinusoidal permanente. Se desea obtener los valores a los que tiende la fase de la función de transferencia cuando la frecuencia angular tiende a 0 y a ∞ rad/s.

La función de transferencia en régimen sinusoidal permanente es la indicada en el enunciado haciendo la transformación s = jω, con lo que queda H(ω) = H(s)

s = jω

=

0.5(10 12 - ω 2) = N(ω) (10 12 - ω 2) + j0.5×10 6ω D(ω) 0.5 10 12 - ω 2

H(ω) =

2

(10 12 - ω 2) + 0.25×10 12ω 2 0.5

0.45

0.4

0.35

0.3 módulo

Una representación de esta función es la mostrada en la figura adjunta.

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0 0 10

2

10

4

10

6

8

10 10 frecuencia angular (rads/s)

10

10

12

10

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

116

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Con relación a la variación de la fase, es posible hacer los siguientes razonamientos. ∠H(ω) = ∠N(ω) - ∠D(ω) ω ≤ 10 6 rad/s

ω → 0 rad/s





ω ≥ 10 6 rad/s ω → ∞ rad/s

∠N(ω) = 0 °, ∠D(ω) → 0 ° ⇒



∠N(ω) = 0 °, ∠D(ω) = arctg



∠N(ω) = 180 °, ∠D(ω) = arctg

∠N(ω) = 180 °, ∠D(ω) → 180 °



0.5×10 6ω 10 12 - ω 2 ∠H(ω) → 0 ° 0.5×10 6ω 10 12 - ω 2 ∠H(ω) → 0 °

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

117

Ejemplo 2

H(s) =

10 6s s 2 + 2×10 6s + 10 12

La transformada de Laplace de la función de transferencia de un circuito es la indicada en el recuadro adjunto. Se desea representar cualitativamente la variación del módulo de la función de transferencia con la frecuencia angular cuando el circuito funciona en régimen sinusoidal permanente. Se desea obtener los valores a los que tiende la fase de la función de transferencia cuando la frecuencia angular tiende a 0 y a ∞ rad/s.

La función de transferencia en régimen sinusoidal permanente es la indicada en el enunciado haciendo la transformación s = jω, con lo que queda H(ω) = {H(s)} s = jω =

j10 6ω = N(ω) (10 12 - ω 2) + j2×10 6ω D(ω)

10 6ω

H(ω) =

=

2

(10 12 - ω 2) + 4×10 12ω 2

10 6ω ω 2 + 10 12

0.25

0.2

0.15

módulo

Una representación de esta función es la mostrada en la figura adjunta.

0.1

0.05

0 0 10

2

10

4

10

6

8

10 10 frecuencia angular (rads/s)

10

10

12

10

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

118

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Con relación a la variación de la fase, es posible hacer los siguientes razonamientos. ∠H(ω) = ∠N(ω) - ∠D(ω) ∠N(ω) = 90 °

∠D(ω) = arctg

2×10 6ω 10 12 - ω 2

ω → 0 rad/s



∠D(ω) → 0 °



∠H(ω) → 90 °

ω → ∞ rad/s



∠D(ω) → 180 °



∠H(ω) → - 90 °

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

119

Aplicación en circuitos Comparación con la transformada de Laplace

Transformada de Laplace (TL)

Transformada de Fourier (TF)

Converge para más funciones de excitación Proporciona directamente la respuesta que la TF. en régimen permanente a una excitación sinusoidal. Permite la inclusión directa de condiciones iniciales. La TL unilateral es adecuada para tratar problemas con condiciones iniciales que se desarrollan en t > 0.

Permite considerar funciones negativas en el tiempo, con lo que es adecuada para tratar eventos que comiencen en t = - ∞.

En análisis de circuitos utilizando la transformada de Fourier, los elementos pasivos tienen el mismo tratamiento que cuando se emplean fasores e impedancias.

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

120

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Ejemplo 1 i0(t) R1

R2 L

iG(t)

Se desea obtener i0(t) utilizando transformadas de Fourier.

+ v0(t) -

iG(t) = Igcos(ω0t), Ig = 50 A, ω0 = 3 rad/s R1 = 1 Ω, R2 = 3 Ω, L = 1 H

Utilizando las tablas de transformadas de Fourier, IG(ω 0) = F{i G(t)} = I gπ[δ(ω - ω 0) + δ(ω + ω 0)] Observando que el circuito es un divisor de corriente y utilizando notación fasorial e impedancias, la función de transferencia es H(ω) =

I0 R1 = = 1 I G R 1 + (R 2 + jωL) 4 + jω

I0(ω 0) = I G(ω 0)H(ω 0) = 50π

∞ -1

i0(t) = F {I 0(ω 0)} = 50π 2π

-∞

δ(ω - ω 0) + δ(ω + ω 0) A 4 + jω 0

δ(ω - ω 0) + δ(ω + ω 0) jωt e dt = 4 + jω 0

jω 0 t -jω 0 t jω 0t -jϕ0t -jω 0te jϕ 0t = 10cos(ω 0t - ϕ 0) A, ϕ 0 = 36.87 º = 25 e + e = 25 e e +e 4 + jω 0 4 - jω 0 5 5

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

121

Ejemplo 2 i0(t) R1

R2 L

iG(t)

+ v0(t) -

Se desea obtener v0(t) utilizando transformadas de Fourier. iG(t) = Igsgn(t), Ig = 10 A R1 = 4 Ω, R2 = 1 Ω, L = 1 H

Utilizando las tablas de transformadas de Fourier, IG(ω) = F{i G(t)} =

2I g 20 A = jω jω

Observando que el circuito es un divisor de corriente y utilizando notación fasorial e impedancias, la función de transferencia es H(ω) =

V 0 I 0jωL R 1jωL = = = j4ω Ω IG R 1 + (R 2 + jωL) 5 + jω IG V0(ω 0) = I G(ω 0)H(ω 0) =

80 V 5 + jω 0

-1

v 0(t) = F {V 0(ω 0)} = 80e -5t V, t en s

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

122

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Teorema de Parseval Justificación La potencia media de señales de energía finita en el dominio del tiempo es nula. Por tanto, para comparar señales de este tipo, se recurre a la energía de las señales. Teorema de Parseval (se cumple si ambas integrales existen)

La energía asociada con una función f(t) relacionada con una resistencia de 1 Ω es ∞



f2(t)dt = 1 2π

Las dimensiones de F(ω) son [J/Hz] = [Js] -∞

F(ω) 2dω -∞

Si se trata de una resistencia de valor R, se multiplican ambos miembros de la última ecuación por tal valor.

La energía de la señal, referida a 1 Ω, en un intervalo de frecuencias es ω2

1 π

F(ω) 2dω ω1

Interpretación gráfica ω2

F(ω) 2

W1Ω = π1

F(ω) 2dω = ω1

−ω 2

= 1 2π

0 - ω2 - ω1 0

ω1

ω2

ω

ω2

F(ω) 2dω −ω 1

+ 1 2π

F(ω) 2dω ω1

El teorema de Parseval permite calcular la energía disponible a la salida de un filtro sin necesidad de determinar la expresión temporal de la tensión en dicha salida.

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

123

Ejemplo 1 Un circuito (un filtro paso banda ideal) es tal que la salida reproduce exactamente la entrada para todas las frecuencias comprendidas entre ω1 y ω2 y no deja pasar ninguna frecuencia fuera de ese intervalo (banda de paso). Se desea obtener una representación gráfica cualitativa de mod2[V(ω)] y mod2[V0(ω)], siendo v(t) y v0(t) las señales de entrada y salida, respectivamente, y calcular el porcentaje del contenido de energía total referido a una resistencia de 1 Ω de la señal de entrada que está disponible a la salida. v(t) = Ae-atu(t), A = 120 V, a = 24 s-1, ω1 = 24 rad/s, ω2 = 48 rad/s

V(ω) 2 v(t) = Ae -atu(t) ⇒ ⇒ V(ω) =

2 A ⇒ V( ω) 2 = A a + jω a 2 + ω2

0 - ω2 - ω1 0

ω1

ω2

ω

- ω2 - ω1 0 ω1

ω2

ω

V 0(ω) 2

La salida es igual a la entrada en la banda de paso y nula para cualquier otra frecuencia

0

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

124

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Energía total disponible a la entrada: ∞

Wi = π1 0



A 2 dω = A 2 1 arctg ω π a a a2 + ω 2

= 300 J 0

Energía disponible a la salida: ω2

W0 = π1 ω1

A 2 dω = A 2 1 arctg ω π a a a2 + ω 2

ω2

= 61.45 J

ω1

Porcentaje de energía disponible a la salida: W0 = 20.48 % Wi

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

125

Ejemplo 2

+ vi(t) -

R C

+ v0(t) -

Dado el circuito de la figura, se desea determinar el porcentaje de la energía asociada a una resistencia de 1 Ω disponible en la señal de entrada que está disponible a la salida, y el porcentaje de energía de la señal de salida que está comprendida en el rango 0 < ω < ω0. vi(t) = Ae-atu(t), A = 15 V, a = 5 s-1, ω0 = 10 rad/s R = 10 kΩ, C = 10 µF

v i(t) = Ae -atu(t) ⇒ V i(ω) =

2 A ⇒ V (ω) 2 = A i a + jω a2 + ω 2 ∞

Energía total disponible a la entrada: Wi = π1 0

Función de transferencia (divisor de tensión): Transformada de Fourier de la señal de salida:

A 2 dω = A 2 1 arctg ω π a a a2 + ω 2

H(ω) =

V0(ω) = V i(ω)H(ω) =



= 22.5 J 0

1/(jωC) R + 1/(jωC)

1/(RC) A2 [1/(RC) + jω] (a 2 + ω 2) ∞

Energía disponible a la salida:

W0 = π1

V0(ω) 2dω = 15 J 0

Porcentaje de energía disponible a la salida:

W0 = 66.67 % Wi

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

126

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

ω0

Energía disponible a la salida en el intervalo 0 - ω0: Porcentaje de energía disponible a la salida en el intervalo 0 - ω0:

W0-ω 0 = π1

V0(ω) 2dω = 13.64 J 0

W0-ω 0 = 90.97 % W0

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

127

Ejemplo 3 Sea un pulso rectangular de tensión como el indicado en la figura Vm

Para transmitirlo, el ancho de banda del sistema debe ser suficiente para incluir al menos la parte dominante del espectro; es decir, la dada por la relación

vi(t)

- t0/2

t0/2

0 ≤ ω ≤ 2π t0

t

Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier del pulso está dada por

Su transformada de Fourier es de la forma indicada en la figura siguiente Vmt 0

sen(ωt 0/2) ωt 0/2

V(ω) = V mt 0 Vmt 0sinc(ωt 0/2)

la energía contenida en la parte dominante es

0

2π/t0

- 4π/t0 - 2π/t 0

0 2π/t 0

W = π1

ω

4π/t0

V(ω) 2dω = 0

(utilizando una tabla de integrales)

Cuanto más estrecho es el pulso, mayor es el intervalo dominante de frecuencias.

=

2V 2mt 0(1.41815) π

La energía total del pulso es ∞

Wt = π1

V(ω) 2dω = V 2mt 0 0

En consecuencia, la fracción de energía total del pulso contenida en la parte dominante es W = 90.28 % Wt

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

128

Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase

Teorema de Plancherel Relaciona la convolución y las transformadas de Fourier de dos funciones. F{x(t)*h(t)} = F{x(t)} F{h(t)} F{x(t) h(t)} = F{x(t)}*F{h(t)} Con ayuda del teorema de Plancherel es posible mostrar que, si el espectro de la señal x(t) tiene un ancho de banda W, el espectro de la señal xn(t) tiene un ancho de banda nW. Es decir, elevar una señal a una potencia crea componentes espectrales nuevas, lo cual es de aplicación práctica en la implementación de generadores de armónicos.

Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO

Related Documents


More Documents from ""