Analisis De Circuitos Con Fourier
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Tema III: Análisis de circuitos mediante la transformada de Fourier
Planteamiento del problema .................................................................................................. Determinación de los coeficientes de Fourier.................................................................... Procedimiento general .......................................................................................................... Ejemplo ................................................................................................................................ Casos particulares ................................................................................................................ Forma trigonométrica de la serie de Fourier..................................................................... Formulación ......................................................................................................................... Ejemplo 1 de formulación trigonométrica ............................................................................. Ejemplo 2 de formulación trigonométrica ............................................................................. Ejemplo 3 de formulación trigonométrica ............................................................................. Ejemplo 1 de aplicación a un circuito ................................................................................... Ejemplo 2 de aplicación a un circuito ................................................................................... Cálculos de potencia media .................................................................................................. Formulación exponencial ....................................................................................................... Ejemplo 1 de formulación exponencial ................................................................................. Ejemplo 2 de formulación exponencial ................................................................................. Error cuadrático medio ......................................................................................................... Espectros de amplitud y fase ................................................................................................ La transformada de Fourier .................................................................................................. Consideraciones generales ................................................................................................... Definición ............................................................................................................................ Condiciones de existencia .................................................................................................... Ejemplo de cálculo ...............................................................................................................
83 86 86 87 88 90 90 91 92 93 94 96 98 99 99 100 101 102 104 104 105 106 107
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Transformadas de Fourier...................................................................................................... Transformadas de Fourier de funciones elementales ............................................................ Transformadas de Fourier operacionales.............................................................................. Cálculo alternativo de la transformada de Fourier................................................................. Utilización de transformadas de Laplace para hallar transformadas de Fourier .................... Aplicación en circuitos ............................................................................................................ Comparación con la transformada de Laplace ...................................................................... Ejemplo 1 ............................................................................................................................. Ejemplo 2 ............................................................................................................................. Teorema de Parseval ............................................................................................................... Ejemplo 1............................................................................................................................. Ejemplo 2 ............................................................................................................................. Ejemplo 3 .............................................................................................................................
Teorema de Plancherel ...........................................................................................................
108 108 109 111 113 119 119 120 121 122 123 125 127 128
Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones. Escuela Técnica Superior de Ing. Telecomunicación. UNIVERSIDAD DE VIGO
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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Planteamiento del problema x(t) periódica ⇔ x(t) = x(t + nT 0) ∀t; n: número entero, T 0: periodo fundamental Ejemplos de funciones periódicas
v(t) Vm T0
2T0 3T0 4T0
t
Rectificación de onda completa Obtenidas por saturación de transistores
v(t) Vm 2T0
T0
t
Rectificación de media onda
v(t) Vm 2T 0 t
T0
-Vm
Onda cuadrada
v(t) Vm T0
2T0
3T 0
t
Onda triangular
Proporcionadas por generadores de ondas
v(t) Vm T0
2T 0 t
Pulso rectangular
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
En ingeniería de circuitos tienen interés práctico muchas excitaciones periódicas que no son sinusoidales. Los generadores de potencia ideales tienen que proporcionar sinusoides puras. En la práctica proporcionan sinusoides distorsionadas, pero periódicas. Las no linealidades en circuitos provocan la aparición de funciones periódicas lineales.
El análisis de Fourier permite tratar cualquier función periódica como una suma infinita de funciones sinusoidales relacionadas armónicamente. Una función periódica puede expresarse como serie de Fourier en la forma ∞
f(t) = a v + ∑ [a kcos(kω 0t) + b ksen(kω 0t)] k=1
siendo k: número natural. av, ak, bk: coeficientes de Fourier. ω0 = 2π/T0: frecuencia angular fundamental. kω0: frecuencia de la componente armónica de orden k. f(t) se expresa como la suma de una componente continua y diversas componentes sinusoidales. Si representa la excitación de un circuito, la salida de éste puede ser calculada aplicando el principio de superposición.
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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Para que una función pueda ser expresada como serie de Fourier, ha de cumplir las condiciones de Dirichlet: f(t) tiene un valor único para cualquier valor de t. f(t) tiene un número finito de discontinuidades en el intervalo de un periodo. f(t) tiene un número finito de máximos y mínimo en el intervalo de un periodo. t0+T 0
La integral
f(t)dt existe. t0
Las condiciones de Dirichlet son suficientes, pero no necesarias. No se sabe cuáles son las condiciones necesarias. Una función puede no cumplir las condiciones de Dirichlet y ser expresable como serie de Fourier.
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Determinación de los coeficientes de Fourier Procedimiento general
t0+T 0
av = 1 T0
t0+T 0
f(t)dt t0
ak = 2 T0
t0+T 0
f(t)cos(kω 0t)dt t0
bk = 2 T0
f(t)sen(kω 0t)dt t0
t0 es cualquier valor del tiempo elegido arbitrariamente.
Obsérvese que av es el valor medio de f(t) en un periodo, lo cual proporciona un medio alternativo de calcular este coeficiente.
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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Ejemplo v(t)
Se desea obtener los coeficientes de Fourier de la expansión en serie de Fourier de la tensión mostrada en la figura adjunta.
Vm
Vm/3
Vm = 9π V 4T 0/3 2T0 t
2T0/3 T0
0
Suponiendo que T0 = 125.66 ms, se desea obtener los cinco primeros términos de la citada expansión.
La tensión representada en la figura puede ser expresada matemáticamente como v(t) = V m ∀t ⊥ t 0 ≤ t ≤ t 0 + 2T 0/3
v(t) = V m/3 ∀t ⊥ t 0 + 2T 0/3 ≤ t ≤ t 0 + T 0
Haciendo t0 = 0 s, y utilizando las expresiones generales y el valor de Vm, se tiene T0
av = 1 T0
0
2T0/3
v(t)dt = 1 T0
v(t)cos 2πkt dt = 2 T0 T0
Vm cos 2πkt dt = 6 sen 4πk V T0 3 3 k 2T0/3
T0
2T0/3
v(t)sen 2πkt dt = 2 T0 T0
Vm sen 2πkt dt = 6 1 - cos 4πk V T0 3 3 k
Vm sen 2πkt dt + 2 T0 T0 0
Vm dt = 7π V 3
T0
0
T0
0
2T0/3
Vm cos 2πkt dt + 2 T0 T0
0
bk = 2 T0
Vmdt + 1 T0
2T0/3
T0
ak = 2 T0
0
T0
2T0/3
Utilizando estas expresiones y el valor de T0, la serie queda v(t) = 7π - 5.2cos(50t) + 9sen(50t) + 2.6cos(100t) + 4.5sen(100t) + ... V
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Casos particulares
T0/2
f(t)
av = 2 T0
A
Simetría par f(t) = f(-t)
-T0/2
T0/2 0
-T0
T0
t
-A
f(t)dt 0
T0/2
ak = 4 T0
f(t)cos(kω 0t)dt 0
bk = 0 f(t)
av = 0
A
ak = 0 -T0/2
Simetría impar f(t) = - f(-t)
T0/2 0
-T0
T0/2
t -A
T0
bk = 4 T0
f(t)sen(kω 0t)dt 0
A una función periódica dada se la puede dotar de simetría par o impar con sólo elegir adecuadamente el origen de tiempos.
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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av = 0 Simetría de media onda f(t) = - f(t - T0/2)
k par ⇒ a k = 0 = b k k impar ⇒ T0/2
⇒ ak = 4 T0
f(t)cos(kω 0t)dt 0 T0/2
⇒ bk = 4 T0
Simetría de cuarto de onda y función par (simetría en torno al punto medio de cada semiciclo)
f(t)sen(kω 0t)dt 0
av = 0 k par ⇒ a k = 0 T0/4
k impar ⇒ a k = 8 T0
f(t)cos(kω 0t)dt 0
bk = 0
Simetría de cuarto de onda y función impar (simetría en torno al punto medio de cada semiciclo)
av = 0 ak = 0 k par ⇒ b k = 0 T0/4
k impar ⇒ b k = 8 T0
f(t)sen(kω 0t)dt 0
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Forma trigonométrica de la serie de Fourier Formulación Definiendo Ak = zk =
z k = a k - jb k
b ϕ k = arctg a k k
a 2k + b 2k
puede establecerse que ∞
∞
f(t) = a v + ∑ [a kcos(kω 0t) + b ksen(kω 0t)] = a v + ∑ A kcos(kω 0t - ϕ k) k=1
k=1
Es decir, los términos en seno y coseno de cada armónico de la serie se combinan en un único término de tipo sinusoidal, lo cual permite tratar la función como una superposición de una componente continua y una suma de señales sinusoidales de distintas frecuencias. Obsérvese que f(t) par ⇒ A k = a k, ϕ k = 0 ° f(t) impar ⇒ A k = b k, ϕ k = 90 °
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Ejemplo 1 de formulación trigonométrica v(t)
Se desea expresar en forma trigonométrica (sólo tres términos significativos) el desarrollo en serie de Fourier de la tensión representada en la figura adjunta.
Vm
Vm/3 0
Vm = 9π V 2T0/3 T0
4T 0/3 2T0 t
Supóngase que T0 = 125.66 ms.
Como se indicó en un ejemplo anterior, v(t) = V m ∀t ⊥ t 0 ≤ t ≤ t 0 + 2T 0/3
v(t) = V m/3 ∀t ⊥ t 0 + 2T 0/3 ≤ t ≤ t 0 + T 0 con lo que
a k = 6 sen 4πk V 3 k
a v = 7π V
b k = 6 1 - cos 4πk V 3 k
En consecuencia, es posible elaborar la siguiente tabla: k
ak (V)
bk (V)
Ak (V)
ϕk (º)
1
- 5.22
9
10.4
120
2
2.61
4.5
5.2
60
con lo que la formulación pedida queda en la forma v(t) = 7π + 10.4cos(50t - 120 º) + 5.2cos(100t - 60 º) V, t en s
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Ejemplo 2 de formulación trigonométrica
v(t) Vm
T
2T
3T
0 ≤ t ≤ T ⇒ v(t) =
Vm t T
La tensión periódica mostrada en la figura puede expresarse como la suma de una componente continua y una serie de Fourier infinita de términos cosenoidales; cada uno de éstos queda definido t por un módulo, una frecuencia angular y una fase. Se desea obtener la componente continua y los parámetros que definen los términos cosenoidales.
Se trata de expresar la función como desarrollo en serie de Fourier de la forma ∞
v(t) = a v +
∑
ω 0 = 2π T
A kcos(kω 0t - ϕ k)
k=1 T
av = 1 T T
ak = 2 T
0
0
v(t)dt = 1 T
0
Vm V tdt = m T 2 T
T
v(t)cos(kω 0t)dt = 2 T
T
bk = 2 T
0
T
0
Vm 2V m cos(kω 0t) tsen(kω 0t) tcos(kω 0t)dt = + 2 2 kω 0 T T (kω 0)
Ak =
a 2k + b 2k =
0
Vm kπ
0 T
T
v(t)sen(kω 0t)dt = 2 T
=0V
Vm 2V m sen(kω 0t) tcos(kω 0t) tsen(kω 0t)dt = kω 0 T T 2 (kω 0) 2
=0
Vm kπ
b ϕ k = arctg a k = - 90 ° k
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Ejemplo 3 de formulación trigonométrica v(t) Vm
2T
T
3T
Vm t T
0 ≤ t ≤ T ⇒ v(t) = V m -
La tensión periódica mostrada en la figura puede expresarse como la suma de una componente continua y una serie de Fourier infinita de términos cosenoidales; cada uno de éstos queda definido t por un módulo, una frecuencia angular y una fase. Se desea obtener la componente continua y los parámetros que definen los términos cosenoidales.
Se trata de expresar la función como desarrollo en serie de Fourier de la forma ∞
v(t) = a v +
∑
ω 0 = 2π/T
A kcos(kω 0t - ϕ k)
k=1 T
av = 1 T
0
T
ak = 2 T
v(t)dt = 1 T
0
T
Vmdt - 1 T
T
v(t)cos(kω 0t)dt = 2 T
0
T
T
Vmcos(kω 0t)dt - 2 T
0
0
Vm V tdt = m T 2
Vm tcos(kω 0t)dt = T
0
T
V 2V cos(kω 0t) tsen(kω 0t) = m [sen(kω 0t)] T0 - m + kω 0 kπ T 2 (kω 0) 2 T
bk = 2 T
0
T
v(t)sen(kω 0t)dt = 2 T
0
=0V 0
T
Vmsen(kω 0t)dt - 2 T
0
Vm tsen(kω 0t)dt = T T
V 2V sen(kω 0t) tcos(kω 0t) = - m [cos(kω 0t)] T0 - m kω 0 kπ T 2 (kω 0) 2 Ak =
a 2k + b 2k =
Vm kπ
= 0
Vm kπ
b ϕ k = arctg a k = 90 ° k
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Ejemplo 1 de aplicación a un circuito Vm
vG(t)
R vG(t) C
+ vC(t) -
t
-Vm
T0
Dado el circuito de la figura, sometido a la excitación indicada, se desea obtener la expresión temporal de vC(t).
La excitación tiene simetría impar en media onda y en cuarto de onda, con lo que
av = 0 ak = 0 bk = 0, k par T0/4
bk = 8 T0
Vmsen(kω 0t)dt = 0
4V m , k impar πk
La excitación puede ser expresada como serie de Fourier con formulación trigonométrica. ∞
cos[(2i - 1)ω 0t - 90°] 4V v G(t) = πm ∑ 2i - 1 i=1
La excitación es equivalente a un número infinito de fuentes sinusoidales conectadas en serie.
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Se aplica el principio de superposición teniendo en cuenta que para cada excitación individual y utilizando notación fasorial se cumple VC =
VG 1 + jωRC
Aplicando este resultado a cada componente de la excitación los fasores de las distintas respuestas individuales están dados por
Primer armónico (i = 1)
⇒
Tercer armónico (i = 2)
⇒
V C1 =
V C3 =
4V m π 1+
(ω 0RC) 2 ∠- 90° - θ1
4V m π 1 + (3ω 0RC) 2
, θ 1 = arctg(ω 0RC)
, θ 3 = arctg(3ω 0RC) ∠- 90° - θ3
Generalizando, puede deducirse que la respuesta pedida es ∞
4V v C(t) = πm ∑ i=1
cos[(2i - 1)ω 0t - θ 2i-1] (2i - 1) 1 + [(2i -
1)ω 0RC] 2
, θ 2i-1 = 90º - arctg[(2i - 1)ω 0RC]
Obsérvese que ∞ cos[(2i - 1)ω 0t] 4V m C muy grande (cortocircuito) ⇒ θ 2i-1 ≈ 90 ° ⇒ v C(t) ≈ ∑ πω 0RC i=1 (2i - 1) 2
Los armónicos de salida decrecen en amplitud en la proporción 1/i2, mientras que los de la entrada lo hacen en la proporción 1/i (hay gran distorsión -distorsión de fase-). C muy pequeño (circuito abierto) ⇒ θ 2i-1 ≈ 0 ° ⇒ v C(t) ≈ v G(t) poca distorsión.
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Ejemplo 2 de aplicación a un circuito
vG(t) Vm R
+ v0(t) -
L
vG(t) C
T 0/2
T0
t
-Vm
Dado el circuito de la figura, sometido a la excitación indicada, se desea obtener la expresión temporal de v0(t).
La expresión matemática de la excitación es vG(t) = Vm, 0 < t < T0/4
vG(t) = -Vm, T0/4 < t < 3T0/4
vG(t) = Vm, 3T0/4 < t < T0
La excitación tiene simetría de cuarto de onda y función par, con lo que av = 0 V
bk = 0 V
ak = 0 V, k par
v G(t)cos(kω 0t)dt =
4V m 4V m sen πk = cos πk - 90 º πk 2 πk 2
T0/4
k impar ⇒ a k = 8 T0
0
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En términos fasoriales, la excitación se expresa como V Gk =
4V m 4V =-j m πk ∠ -90 º πk
En términos fasoriales y de impedancias, la salida del circuito es V 0k =
jωLV Gk = R(1 - ω 2LC) + jωL
8LV m 2
= V 0k ∠ ϕk
RT 0 1 - 2πk LC + j2πkL T0 T0
con lo que la expresión temporal pedida es ∞
v 0(t) =
∑ k = 1, impar
V 0k cos 2πkt + ϕ k T0
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Cálculos de potencia media Sea un elemento de un circuito lineal, en el que la tensión y la corriente son funciones periódicas expresadas mediante series de Fourier. ∞
v(t) = V DC + ∑ VKcos(kω 0t - ϕ vk) k=1 ∞
i(t) = I DC + ∑ IKcos(kω 0t - ϕ ik) k=1
Se supone que la corriente entra en el elemento por el terminal marcado como positivo para la tensión.
La potencia media en el elemento está dada por t0+T0
P= 1 T0
∞
v(t)i(t)dt = V DCIDC + ∑ t0
k=1
V KI Kcos(ϕ vk - ϕ ik) 2
Es decir, en el caso de una interacción entre una tensión periódica y la correspondiente corriente periódica, la potencia media total es la suma de las potencias medias originadas por corrientes y tensiones de la misma frecuencia. Las corrientes y tensiones de distintas frecuencias no interaccionan para dar lugar a potencia media.
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Formulación exponencial Una función periódica también puede desarrollarse en serie de Fourier mediante la expresión ∞
f(t) = ∑ C ke jkω 0t -∞
siendo t0+T 0
Ck = 1 T0
f(t)e -jkω0tdt = t0
a k - jb k A k = ,A = 2 2 ∠-ϕk k
b a 2k + b 2k , ϕ k = arctg a k k
Ejemplo 1 de formulación exponencial
-τ/2
Se desea expresar la tensión indicada en la figura adjunta como serie de Fourier con formulación exponencial.
v(t)
Vm
0
τ/2
T0-τ/2 T0
τ/2
τ/2
Ck = 1 T0
t
Vme -jkω0tdt = -τ/2
v(t) =
Vm T -jkω 0
e -jkω 0t
= -τ/2
V mτ sen(kω 0τ/2) T kω 0τ/2
∞ sen(kω 0τ/2) jkω 0t V mτ e ∑ T o k = -∞ kω 0τ/2
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Ejemplo 2 de formulación exponencial vi(t) Vh
t0
Vl -t0/2
Se desea expresar la tensión indicada en la figura adjunta como serie de Fourier con formulación exponencial.
T0
t0/2
0
t
Vh = 2π V, Vl = π V, T0 = 1 s, t0 = 0.25 s ∞
v i(t) = ∑ C ke jkω 0t, ω 0 = 2π = 2π rad/s T0 -∞ t 0 + T0
Ck = t0
t0/2
v i(t)e -jkω0tdt = 1 T0
-t0/2
T 0 - t0/2
Vhe -jkω0tdt + 1 T0
Vle -jkω0tdt = t0/2
(V h - V l)t 0 sen(kπt 0/T 0) kπt 0/T 0 T0 Dada la simetría par de la función sen(x)/x, únicamente es necesario calcular los términos correspondientes a valores positivos de k; los correspondientes a valores negativos de k coinciden con sus equivalentes en el intervalo positivo. Obsérvese, además, que todos los coeficientes son reales, con lo que el espectro de fases es nulo (fase nula para cualquier componente). Así, los primeros coeficientes de la serie son =
k
π t0 /T0 kπ
Ck
0 +1 +2 +3 +4
0 0.25π 0.5π 0.75π π
0.79 V 0.71 V 0.5 V 0.24 V 0V
El coeficiente correspondiente a k = 0 se ha obtenido aplicando la regla de l’Hôpital.
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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Error cuadrático medio En aplicaciones prácticas, al utilizar una serie de Fourier para representar una función periódica es preciso truncar la serie, ya que no es posible trabajar con un número infinito de términos. Así, se supone que la función ideal f(t) es aproximada por la función práctica fN(t). N
f(t) ≈ f N(t) =
∑
C ke jω 0 t
k= -N
con lo que se comete un error dado por ε(t) = f(t) - f N(t) de modo que el error cuadrático medio de la aproximación es t0+T 0
ε2 = 1 T0
ε 2(t)dt t0
f(t) también puede ser expresada mediante otras series trigonométricas en las que los coeficientes son distintos de los correspondientes a la serie de Fourier. Puede demostrarse que el error cuadrático medio es mínimo precisamente cuando los coeficientes son los de la serie de Fourier.
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102
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Espectros de amplitud y fase Conocidos los coeficientes de Fourier y el periodo de una función, en teoría es posible reconstruir dicha función. Ocurre lo mismo si se conocen las amplitudes y las fases de la formulación exponencial. Sin embargo, ello requiere una gran potencia de cálculo (series infinitas).
Una alternativa (simplemente indicativa) consiste en representar las amplitudes y las fases de la formulación exponencial, como se muestra en las figuras adjuntas.
Espectro de amplitud
Ck
∞
k, ω
0
Si se desplaza la función un intervalo temporal, C ke jkω 0(t - t0) =
k = -∞
0
Espectro de fase
fase = 0º
fase = 0º
fase = 0º
ϕk fase = 0º
∑
f(t - t 0) =
k, ω
∞
=
∑
(C ke -jkω0t0)e jkω 0t
k = -∞
el espectro de amplitud no cambia, el espectro de fase sí cambia.
fases no definidas por ser nulas las amplitudes
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
103
Los espectros de amplitud y fase también pueden ser representados con ayuda del desarrollo en serie expresado con la formulación trigonométrica. Obsérvese la relación entre ambas formulaciones: Formulación exponencial
Formulación trigonométrica
∞
∞
f(t) = ∑
f(t) = a v + ∑ A kcos(kω 0t - ϕ k)
C ke jkω 0t
-∞
Ck =
k=1
Ak 2 ∠-ϕk
Ak =
b a 2k + b 2k , ϕ k = arctg a k k t0+T 0
av = 1 T0
f(t)dt t0
t0+T 0
ak = 2 T0
f(t)cos(kω 0t)dt t0 t0+T 0
bk = 2 T0
f(t)sen(kω 0t)dt t0
El espectro trigonométrico tiene una amplitud doble que el exponencial. El espectro de amplitudes trigonométrico sólo tiene componentes correspondientes a valores positivos de k.
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
La transformada de Fourier Consideraciones generales
La serie de Fourier permite describir una función periódica del tiempo en el dominio de la frecuencia por medio de los atributos de amplitud y fase.
La transformada de Fourier permite extender esta idea a funciones no periódicas.
Esto ya está cubierto por la transformada de Laplace. La transformada de Fourier es un caso particular (parte real de la frecuencia compleja, s, nula) de la transformada de Laplace bilateral.
Sin embargo, la transformada de Fourier tiene una interpretación física más sencilla.
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
105
Definición
Dada una función periódica f(t), de periodo T0, a medida que éste se hace más grande se verifica (como puede comprobarse a partir de las expresiones de la serie de Fourier) f(t) va convirtiéndose en no periódica. La frecuencia pasa de ser una variable discreta (kω0) a ser una variable continua (ω). Los espectros de amplitud y fase dejan de ser representaciones discretas de líneas para convertirse en las envolventes de las líneas que los constituyen.
Para contemplar estas circunstancias se define la transformada de Fourier de la función f(t), no necesariamente periódica, mediante la expresión
∞
F(ω) =
F{f(t)} =
∞
f(t)e -jωtdt ⇒ -∞
dominio de la frecuencia
f(t) = 1 2π
F(ω)e jωtdω -∞
dominio del tiempo
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Condiciones de existencia f(t) tiene transformada de Fourier si converge la integral que la define. f(t) converge si es una función bien condicionada que difiere de 0 en un intervalo finito. f(t) está bien condicionada si hay un solo valor de f para cada valor de t, y define un área finita en el intervalo de integración. Si f(t) es distinta de 0 en un intervalo infinito, hay convergencia si Hay un solo valor de f para cada valor de t. Tiene un número finito de discontinuidades. ∞
La integral
f(t)dt existe. -∞
Hay funciones de interés práctico que carecen de transformada de Fourier. En un caso de ese tipo se crea una función en el dominio del tiempo que sí tenga transformada y que esté tan arbitrariamente próxima a la original como se desee, y se asume que la transformada de Fourier de la función original coincide con la de la función creada.
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107
Ejemplo de cálculo Se desea obtener la transformada de Fourier del pulso de tensión mostrado en la figura.
v(t) Vm τ
t
V 0 ≤ t ≤ τ ⇒ v(t) = V m - τm t
∞
τ
v(t)e -jωtdt =
F(ω) = -∞
τ
=-
τ
0
0 τ
V m -jωt Vm e (- jωt - 1) 0- τ jω (- jω) 2 =
Vmτt e -jωtdt =
Vme -jωtdt -
e -jωt
= 0
Vm Vm Vm -jωτ -j e = τω 2 ω τω 2
Vm V [1 - cos(ωτ)] + j ωm sen(ωτ) ωτ - 1 τω 2
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Transformadas de Fourier Transformadas de Fourier de funciones elementales
Función matemática
Transformada de Fourier
Delta de Dirac (impulso unitario)
δ(t)
1
Escalón unitario
u(t)
πδ(ω) + 1 jω
Constante
A
2πAδ(ω)
Signo (-1 para todo t < 0, 1 para todo t > 0)
sgn(t)
2 jω
Seno
sen(ω0t)
jπ[δ(ω + ω0) - δ(ω - ω0)]
Coseno
cos(ω0t)
π[δ(ω + ω0) + δ(ω - ω0)]
Exponencial positiva
e-atu(t), a > 0
1 a + jω
Exponencial negativa
eatu(-t), a > 0
1 a - jω
Exponencial positiva-negativa
e-amod(t), a > 0 mod: módulo
Exponencial compleja
e jω 0 t
a2
2a + ω2
2πδ(ω - ω0)
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Transformadas de Fourier operacionales
Operación matemática
Transformada de Fourier
Multiplicación por una constante
Kf(t)
KF(ω)
Suma
f1(t) + f2(t) + f3(t) + ...
F1(ω) + F2(ω) + F3(ω) + ...
Derivada
d nf(t) dt n
(jω)nF(ω)
t
f(τ)dτ
F(ω) jω
Escalado
f(at), a > 0
1F ω a a
Desplazamiento
f(t - t0)
e -jωt0F(ω)
e jω0tf(t)
F(ω - ω0)
f(t)cos(ω0t)
F(ω 0 - ω) + F(ω + ω 0) 2
Integral -∞
∞
x(τ)h(t - τ)dτ
Convolución
X(ω)H(ω)
-∞
∞
f1(t)f2(t) tnf(t)
1 2π
F 1(u)F 2(ω - u)du -∞ n jnd F(ω) dω n
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Ejemplo Se desea obtener la función f(t) sabiendo que su transformada de Fourier es -jωt0 F(ω) = e a + jω
La multiplicación por el término exp(-jωt0) es indicativa de un desplazamiento temporal en un intervalo t0. Por otro lado, el término 1/(a + jω) es la transformada de Fourier de la función exp(-at). Combinando ambos razonamientos se llega a -1
f(t) = F {F(ω)} = e -a(t - t0)
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Cálculo alternativo de la transformada de Fourier La transformada de Fourier de una función también puede calcularse mediante el siguiente procedimiento. ∞
f(t)e -jωtdt = A(ω) - jB(ω) = F(ω)e -jϕ(ω), F(-ω) = F *(ω)
F(ω) = -∞
∞
f(t)cos(ωt)dt, función par de ω
A(ω) = -∞ ∞
f(t)sen(ωt)dt, función impar de ω
B(ω) = -∞
F(ω) = A 2(ω) + B 2(ω), función par de ω ϕ(ω) = arctg B(ω) , función impar de ω A(ω) F(-ω) = F*(ω) Si f(t) es una función par, F(ω) es una función par real. ∞
A(ω) = 2 0
∞
f(t)cos(ωt)dt, B(ω) = 0, f(t) = 2 2π
A(ω)cos(ωt)dω 0
Las funciones f(t) y A(ω) son intercambiables, salvo por un factor de escala. Si f(t) es una función impar, F(ω) es una función impar imaginaria. ∞
A(ω) = 0, B(ω) = 2
f(t)sen(ωt)dt 0
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Ejemplo Se desea obtener la transformada de Fourier del pulso de tensión mostrado en la figura.
vi(t)
Vh
- t0/2
t0/2
t
Vh = 2π V, t0 = 0.25 s
∞
v i(t)e -jωtdt = A(ω) - jB(ω)
Vi(ω) = -∞
vi(t) es una función con simetría par, con lo que B(ω) = 0 ∞
A(ω) = 2
t0/2
Vhcos(ωt)dt = 4π ω sen 0.125ω V
v i(t)cos(ωt)dt = 2 0
0
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Utilización de transformadas de Laplace para hallar transformadas de Fourier Pueden utilizarse transformadas de Laplace unilaterales para hallar las correspondientes transformadas de Fourier que converjan. La integral que define la transformada de Fourier converge si todos los polos de F(s) están en el semiplano izquierdo. Si hay polos en el semiplano derecho o a lo largo del eje imaginario no se cumple la condición relativa a la integral que figura en las condiciones de existencia. Esta técnica resulta particularmente útil para obtener la variación con la frecuencia de la función de transferencia de un circuito.
f(t) es una función positiva en el tiempo
F{f(t)} = L{f(t)}s=jω
Ejemplo f(t) = 0 ∀t ≤ 0 f(t) = e -atcos(ω 0t) ∀t ≥ 0 -
⇒
F{f(t)} =
s+a (s + a) 2 + ω 20
= s=jω
jω + a (jω + a) 2 + ω 20
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F{f(t)} = L{f(-t)}s= -jω
f(t) es una función negativa en el tiempo Ejemplo f(t) = 0 ∀t ≥ 0 +
F{f(t)} = L {f(-t)} s = -jω =
⇒ f(t) = e atcos(ω 0t) ∀t ≤ 0 -
=
f(t) es una función distinta de cero f+(t) = f(t) ∀t > 0 f-(t)
= f(t) ∀t < 0
s+a (s + a) 2 + ω 20
= s= -jω
- jω + a (- jω + a) 2 + ω 20
F{f(t)} = L{f+(t)}s=jω + L{f-(-t)}s=-jω f(t) par ⇒ F{f(t)} = L{f(t)} s=jω + L{f(t)} s= -jω f(t) impar ⇒ F{f(t)} = L{f(t)} s=jω - L{f(t)} s= -jω Ejemplo 1 , L{f -(-t)} = 1 L{f +(t)} = s + a s+a
f+(t) = e -at ⇒ f-(t) = e at
1 F{e -amod(t)} = s + a
s=jω
1 + s+ a
= s= -jω
2a + a2
ω2
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Ejemplo 1
H(s) =
La transformada de Laplace de la función de transferencia 0.5(s 2 + 10 12) s 2 + 0.5×10 6s + 10 12 de un circuito es la indicada en el recuadro adjunto. Se desea representar cualitativamente la variación del módulo de la función de transferencia con la frecuencia angular cuando el circuito funciona en régimen sinusoidal permanente. Se desea obtener los valores a los que tiende la fase de la función de transferencia cuando la frecuencia angular tiende a 0 y a ∞ rad/s.
La función de transferencia en régimen sinusoidal permanente es la indicada en el enunciado haciendo la transformación s = jω, con lo que queda H(ω) = H(s)
s = jω
=
0.5(10 12 - ω 2) = N(ω) (10 12 - ω 2) + j0.5×10 6ω D(ω) 0.5 10 12 - ω 2
H(ω) =
2
(10 12 - ω 2) + 0.25×10 12ω 2 0.5
0.45
0.4
0.35
0.3 módulo
Una representación de esta función es la mostrada en la figura adjunta.
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 0 10
2
10
4
10
6
8
10 10 frecuencia angular (rads/s)
10
10
12
10
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Con relación a la variación de la fase, es posible hacer los siguientes razonamientos. ∠H(ω) = ∠N(ω) - ∠D(ω) ω ≤ 10 6 rad/s
ω → 0 rad/s
⇒
⇒
ω ≥ 10 6 rad/s ω → ∞ rad/s
∠N(ω) = 0 °, ∠D(ω) → 0 ° ⇒
⇒
∠N(ω) = 0 °, ∠D(ω) = arctg
⇒
∠N(ω) = 180 °, ∠D(ω) = arctg
∠N(ω) = 180 °, ∠D(ω) → 180 °
⇒
0.5×10 6ω 10 12 - ω 2 ∠H(ω) → 0 ° 0.5×10 6ω 10 12 - ω 2 ∠H(ω) → 0 °
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117
Ejemplo 2
H(s) =
10 6s s 2 + 2×10 6s + 10 12
La transformada de Laplace de la función de transferencia de un circuito es la indicada en el recuadro adjunto. Se desea representar cualitativamente la variación del módulo de la función de transferencia con la frecuencia angular cuando el circuito funciona en régimen sinusoidal permanente. Se desea obtener los valores a los que tiende la fase de la función de transferencia cuando la frecuencia angular tiende a 0 y a ∞ rad/s.
La función de transferencia en régimen sinusoidal permanente es la indicada en el enunciado haciendo la transformación s = jω, con lo que queda H(ω) = {H(s)} s = jω =
j10 6ω = N(ω) (10 12 - ω 2) + j2×10 6ω D(ω)
10 6ω
H(ω) =
=
2
(10 12 - ω 2) + 4×10 12ω 2
10 6ω ω 2 + 10 12
0.25
0.2
0.15
módulo
Una representación de esta función es la mostrada en la figura adjunta.
0.1
0.05
0 0 10
2
10
4
10
6
8
10 10 frecuencia angular (rads/s)
10
10
12
10
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Con relación a la variación de la fase, es posible hacer los siguientes razonamientos. ∠H(ω) = ∠N(ω) - ∠D(ω) ∠N(ω) = 90 °
∠D(ω) = arctg
2×10 6ω 10 12 - ω 2
ω → 0 rad/s
⇒
∠D(ω) → 0 °
⇒
∠H(ω) → 90 °
ω → ∞ rad/s
⇒
∠D(ω) → 180 °
⇒
∠H(ω) → - 90 °
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119
Aplicación en circuitos Comparación con la transformada de Laplace
Transformada de Laplace (TL)
Transformada de Fourier (TF)
Converge para más funciones de excitación Proporciona directamente la respuesta que la TF. en régimen permanente a una excitación sinusoidal. Permite la inclusión directa de condiciones iniciales. La TL unilateral es adecuada para tratar problemas con condiciones iniciales que se desarrollan en t > 0.
Permite considerar funciones negativas en el tiempo, con lo que es adecuada para tratar eventos que comiencen en t = - ∞.
En análisis de circuitos utilizando la transformada de Fourier, los elementos pasivos tienen el mismo tratamiento que cuando se emplean fasores e impedancias.
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120
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Ejemplo 1 i0(t) R1
R2 L
iG(t)
Se desea obtener i0(t) utilizando transformadas de Fourier.
+ v0(t) -
iG(t) = Igcos(ω0t), Ig = 50 A, ω0 = 3 rad/s R1 = 1 Ω, R2 = 3 Ω, L = 1 H
Utilizando las tablas de transformadas de Fourier, IG(ω 0) = F{i G(t)} = I gπ[δ(ω - ω 0) + δ(ω + ω 0)] Observando que el circuito es un divisor de corriente y utilizando notación fasorial e impedancias, la función de transferencia es H(ω) =
I0 R1 = = 1 I G R 1 + (R 2 + jωL) 4 + jω
I0(ω 0) = I G(ω 0)H(ω 0) = 50π
∞ -1
i0(t) = F {I 0(ω 0)} = 50π 2π
-∞
δ(ω - ω 0) + δ(ω + ω 0) A 4 + jω 0
δ(ω - ω 0) + δ(ω + ω 0) jωt e dt = 4 + jω 0
jω 0 t -jω 0 t jω 0t -jϕ0t -jω 0te jϕ 0t = 10cos(ω 0t - ϕ 0) A, ϕ 0 = 36.87 º = 25 e + e = 25 e e +e 4 + jω 0 4 - jω 0 5 5
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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Ejemplo 2 i0(t) R1
R2 L
iG(t)
+ v0(t) -
Se desea obtener v0(t) utilizando transformadas de Fourier. iG(t) = Igsgn(t), Ig = 10 A R1 = 4 Ω, R2 = 1 Ω, L = 1 H
Utilizando las tablas de transformadas de Fourier, IG(ω) = F{i G(t)} =
2I g 20 A = jω jω
Observando que el circuito es un divisor de corriente y utilizando notación fasorial e impedancias, la función de transferencia es H(ω) =
V 0 I 0jωL R 1jωL = = = j4ω Ω IG R 1 + (R 2 + jωL) 5 + jω IG V0(ω 0) = I G(ω 0)H(ω 0) =
80 V 5 + jω 0
-1
v 0(t) = F {V 0(ω 0)} = 80e -5t V, t en s
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Teorema de Parseval Justificación La potencia media de señales de energía finita en el dominio del tiempo es nula. Por tanto, para comparar señales de este tipo, se recurre a la energía de las señales. Teorema de Parseval (se cumple si ambas integrales existen)
La energía asociada con una función f(t) relacionada con una resistencia de 1 Ω es ∞
∞
f2(t)dt = 1 2π
Las dimensiones de F(ω) son [J/Hz] = [Js] -∞
F(ω) 2dω -∞
Si se trata de una resistencia de valor R, se multiplican ambos miembros de la última ecuación por tal valor.
La energía de la señal, referida a 1 Ω, en un intervalo de frecuencias es ω2
1 π
F(ω) 2dω ω1
Interpretación gráfica ω2
F(ω) 2
W1Ω = π1
F(ω) 2dω = ω1
−ω 2
= 1 2π
0 - ω2 - ω1 0
ω1
ω2
ω
ω2
F(ω) 2dω −ω 1
+ 1 2π
F(ω) 2dω ω1
El teorema de Parseval permite calcular la energía disponible a la salida de un filtro sin necesidad de determinar la expresión temporal de la tensión en dicha salida.
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Ejemplo 1 Un circuito (un filtro paso banda ideal) es tal que la salida reproduce exactamente la entrada para todas las frecuencias comprendidas entre ω1 y ω2 y no deja pasar ninguna frecuencia fuera de ese intervalo (banda de paso). Se desea obtener una representación gráfica cualitativa de mod2[V(ω)] y mod2[V0(ω)], siendo v(t) y v0(t) las señales de entrada y salida, respectivamente, y calcular el porcentaje del contenido de energía total referido a una resistencia de 1 Ω de la señal de entrada que está disponible a la salida. v(t) = Ae-atu(t), A = 120 V, a = 24 s-1, ω1 = 24 rad/s, ω2 = 48 rad/s
V(ω) 2 v(t) = Ae -atu(t) ⇒ ⇒ V(ω) =
2 A ⇒ V( ω) 2 = A a + jω a 2 + ω2
0 - ω2 - ω1 0
ω1
ω2
ω
- ω2 - ω1 0 ω1
ω2
ω
V 0(ω) 2
La salida es igual a la entrada en la banda de paso y nula para cualquier otra frecuencia
0
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Energía total disponible a la entrada: ∞
Wi = π1 0
∞
A 2 dω = A 2 1 arctg ω π a a a2 + ω 2
= 300 J 0
Energía disponible a la salida: ω2
W0 = π1 ω1
A 2 dω = A 2 1 arctg ω π a a a2 + ω 2
ω2
= 61.45 J
ω1
Porcentaje de energía disponible a la salida: W0 = 20.48 % Wi
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Ejemplo 2
+ vi(t) -
R C
+ v0(t) -
Dado el circuito de la figura, se desea determinar el porcentaje de la energía asociada a una resistencia de 1 Ω disponible en la señal de entrada que está disponible a la salida, y el porcentaje de energía de la señal de salida que está comprendida en el rango 0 < ω < ω0. vi(t) = Ae-atu(t), A = 15 V, a = 5 s-1, ω0 = 10 rad/s R = 10 kΩ, C = 10 µF
v i(t) = Ae -atu(t) ⇒ V i(ω) =
2 A ⇒ V (ω) 2 = A i a + jω a2 + ω 2 ∞
Energía total disponible a la entrada: Wi = π1 0
Función de transferencia (divisor de tensión): Transformada de Fourier de la señal de salida:
A 2 dω = A 2 1 arctg ω π a a a2 + ω 2
H(ω) =
V0(ω) = V i(ω)H(ω) =
∞
= 22.5 J 0
1/(jωC) R + 1/(jωC)
1/(RC) A2 [1/(RC) + jω] (a 2 + ω 2) ∞
Energía disponible a la salida:
W0 = π1
V0(ω) 2dω = 15 J 0
Porcentaje de energía disponible a la salida:
W0 = 66.67 % Wi
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ω0
Energía disponible a la salida en el intervalo 0 - ω0: Porcentaje de energía disponible a la salida en el intervalo 0 - ω0:
W0-ω 0 = π1
V0(ω) 2dω = 13.64 J 0
W0-ω 0 = 90.97 % W0
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127
Ejemplo 3 Sea un pulso rectangular de tensión como el indicado en la figura Vm
Para transmitirlo, el ancho de banda del sistema debe ser suficiente para incluir al menos la parte dominante del espectro; es decir, la dada por la relación
vi(t)
- t0/2
t0/2
0 ≤ ω ≤ 2π t0
t
Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier del pulso está dada por
Su transformada de Fourier es de la forma indicada en la figura siguiente Vmt 0
sen(ωt 0/2) ωt 0/2
V(ω) = V mt 0 Vmt 0sinc(ωt 0/2)
la energía contenida en la parte dominante es
0
2π/t0
- 4π/t0 - 2π/t 0
0 2π/t 0
W = π1
ω
4π/t0
V(ω) 2dω = 0
(utilizando una tabla de integrales)
Cuanto más estrecho es el pulso, mayor es el intervalo dominante de frecuencias.
=
2V 2mt 0(1.41815) π
La energía total del pulso es ∞
Wt = π1
V(ω) 2dω = V 2mt 0 0
En consecuencia, la fracción de energía total del pulso contenida en la parte dominante es W = 90.28 % Wt
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Teorema de Plancherel Relaciona la convolución y las transformadas de Fourier de dos funciones. F{x(t)*h(t)} = F{x(t)} F{h(t)} F{x(t) h(t)} = F{x(t)}*F{h(t)} Con ayuda del teorema de Plancherel es posible mostrar que, si el espectro de la señal x(t) tiene un ancho de banda W, el espectro de la señal xn(t) tiene un ancho de banda nW. Es decir, elevar una señal a una potencia crea componentes espectrales nuevas, lo cual es de aplicación práctica en la implementación de generadores de armónicos.
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Planteamiento del problema .................................................................................................. Determinación de los coeficientes de Fourier.................................................................... Procedimiento general .......................................................................................................... Ejemplo ................................................................................................................................ Casos particulares ................................................................................................................ Forma trigonométrica de la serie de Fourier..................................................................... Formulación ......................................................................................................................... Ejemplo 1 de formulación trigonométrica ............................................................................. Ejemplo 2 de formulación trigonométrica ............................................................................. Ejemplo 3 de formulación trigonométrica ............................................................................. Ejemplo 1 de aplicación a un circuito ................................................................................... Ejemplo 2 de aplicación a un circuito ................................................................................... Cálculos de potencia media .................................................................................................. Formulación exponencial ....................................................................................................... Ejemplo 1 de formulación exponencial ................................................................................. Ejemplo 2 de formulación exponencial ................................................................................. Error cuadrático medio ......................................................................................................... Espectros de amplitud y fase ................................................................................................ La transformada de Fourier .................................................................................................. Consideraciones generales ................................................................................................... Definición ............................................................................................................................ Condiciones de existencia .................................................................................................... Ejemplo de cálculo ...............................................................................................................
83 86 86 87 88 90 90 91 92 93 94 96 98 99 99 100 101 102 104 104 105 106 107
82
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Transformadas de Fourier...................................................................................................... Transformadas de Fourier de funciones elementales ............................................................ Transformadas de Fourier operacionales.............................................................................. Cálculo alternativo de la transformada de Fourier................................................................. Utilización de transformadas de Laplace para hallar transformadas de Fourier .................... Aplicación en circuitos ............................................................................................................ Comparación con la transformada de Laplace ...................................................................... Ejemplo 1 ............................................................................................................................. Ejemplo 2 ............................................................................................................................. Teorema de Parseval ............................................................................................................... Ejemplo 1............................................................................................................................. Ejemplo 2 ............................................................................................................................. Ejemplo 3 .............................................................................................................................
Teorema de Plancherel ...........................................................................................................
108 108 109 111 113 119 119 120 121 122 123 125 127 128
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Planteamiento del problema x(t) periódica ⇔ x(t) = x(t + nT 0) ∀t; n: número entero, T 0: periodo fundamental Ejemplos de funciones periódicas
v(t) Vm T0
2T0 3T0 4T0
t
Rectificación de onda completa Obtenidas por saturación de transistores
v(t) Vm 2T0
T0
t
Rectificación de media onda
v(t) Vm 2T 0 t
T0
-Vm
Onda cuadrada
v(t) Vm T0
2T0
3T 0
t
Onda triangular
Proporcionadas por generadores de ondas
v(t) Vm T0
2T 0 t
Pulso rectangular
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
En ingeniería de circuitos tienen interés práctico muchas excitaciones periódicas que no son sinusoidales. Los generadores de potencia ideales tienen que proporcionar sinusoides puras. En la práctica proporcionan sinusoides distorsionadas, pero periódicas. Las no linealidades en circuitos provocan la aparición de funciones periódicas lineales.
El análisis de Fourier permite tratar cualquier función periódica como una suma infinita de funciones sinusoidales relacionadas armónicamente. Una función periódica puede expresarse como serie de Fourier en la forma ∞
f(t) = a v + ∑ [a kcos(kω 0t) + b ksen(kω 0t)] k=1
siendo k: número natural. av, ak, bk: coeficientes de Fourier. ω0 = 2π/T0: frecuencia angular fundamental. kω0: frecuencia de la componente armónica de orden k. f(t) se expresa como la suma de una componente continua y diversas componentes sinusoidales. Si representa la excitación de un circuito, la salida de éste puede ser calculada aplicando el principio de superposición.
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
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Para que una función pueda ser expresada como serie de Fourier, ha de cumplir las condiciones de Dirichlet: f(t) tiene un valor único para cualquier valor de t. f(t) tiene un número finito de discontinuidades en el intervalo de un periodo. f(t) tiene un número finito de máximos y mínimo en el intervalo de un periodo. t0+T 0
La integral
f(t)dt existe. t0
Las condiciones de Dirichlet son suficientes, pero no necesarias. No se sabe cuáles son las condiciones necesarias. Una función puede no cumplir las condiciones de Dirichlet y ser expresable como serie de Fourier.
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Determinación de los coeficientes de Fourier Procedimiento general
t0+T 0
av = 1 T0
t0+T 0
f(t)dt t0
ak = 2 T0
t0+T 0
f(t)cos(kω 0t)dt t0
bk = 2 T0
f(t)sen(kω 0t)dt t0
t0 es cualquier valor del tiempo elegido arbitrariamente.
Obsérvese que av es el valor medio de f(t) en un periodo, lo cual proporciona un medio alternativo de calcular este coeficiente.
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Ejemplo v(t)
Se desea obtener los coeficientes de Fourier de la expansión en serie de Fourier de la tensión mostrada en la figura adjunta.
Vm
Vm/3
Vm = 9π V 4T 0/3 2T0 t
2T0/3 T0
0
Suponiendo que T0 = 125.66 ms, se desea obtener los cinco primeros términos de la citada expansión.
La tensión representada en la figura puede ser expresada matemáticamente como v(t) = V m ∀t ⊥ t 0 ≤ t ≤ t 0 + 2T 0/3
v(t) = V m/3 ∀t ⊥ t 0 + 2T 0/3 ≤ t ≤ t 0 + T 0
Haciendo t0 = 0 s, y utilizando las expresiones generales y el valor de Vm, se tiene T0
av = 1 T0
0
2T0/3
v(t)dt = 1 T0
v(t)cos 2πkt dt = 2 T0 T0
Vm cos 2πkt dt = 6 sen 4πk V T0 3 3 k 2T0/3
T0
2T0/3
v(t)sen 2πkt dt = 2 T0 T0
Vm sen 2πkt dt = 6 1 - cos 4πk V T0 3 3 k
Vm sen 2πkt dt + 2 T0 T0 0
Vm dt = 7π V 3
T0
0
T0
0
2T0/3
Vm cos 2πkt dt + 2 T0 T0
0
bk = 2 T0
Vmdt + 1 T0
2T0/3
T0
ak = 2 T0
0
T0
2T0/3
Utilizando estas expresiones y el valor de T0, la serie queda v(t) = 7π - 5.2cos(50t) + 9sen(50t) + 2.6cos(100t) + 4.5sen(100t) + ... V
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Casos particulares
T0/2
f(t)
av = 2 T0
A
Simetría par f(t) = f(-t)
-T0/2
T0/2 0
-T0
T0
t
-A
f(t)dt 0
T0/2
ak = 4 T0
f(t)cos(kω 0t)dt 0
bk = 0 f(t)
av = 0
A
ak = 0 -T0/2
Simetría impar f(t) = - f(-t)
T0/2 0
-T0
T0/2
t -A
T0
bk = 4 T0
f(t)sen(kω 0t)dt 0
A una función periódica dada se la puede dotar de simetría par o impar con sólo elegir adecuadamente el origen de tiempos.
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av = 0 Simetría de media onda f(t) = - f(t - T0/2)
k par ⇒ a k = 0 = b k k impar ⇒ T0/2
⇒ ak = 4 T0
f(t)cos(kω 0t)dt 0 T0/2
⇒ bk = 4 T0
Simetría de cuarto de onda y función par (simetría en torno al punto medio de cada semiciclo)
f(t)sen(kω 0t)dt 0
av = 0 k par ⇒ a k = 0 T0/4
k impar ⇒ a k = 8 T0
f(t)cos(kω 0t)dt 0
bk = 0
Simetría de cuarto de onda y función impar (simetría en torno al punto medio de cada semiciclo)
av = 0 ak = 0 k par ⇒ b k = 0 T0/4
k impar ⇒ b k = 8 T0
f(t)sen(kω 0t)dt 0
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90
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Forma trigonométrica de la serie de Fourier Formulación Definiendo Ak = zk =
z k = a k - jb k
b ϕ k = arctg a k k
a 2k + b 2k
puede establecerse que ∞
∞
f(t) = a v + ∑ [a kcos(kω 0t) + b ksen(kω 0t)] = a v + ∑ A kcos(kω 0t - ϕ k) k=1
k=1
Es decir, los términos en seno y coseno de cada armónico de la serie se combinan en un único término de tipo sinusoidal, lo cual permite tratar la función como una superposición de una componente continua y una suma de señales sinusoidales de distintas frecuencias. Obsérvese que f(t) par ⇒ A k = a k, ϕ k = 0 ° f(t) impar ⇒ A k = b k, ϕ k = 90 °
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Ejemplo 1 de formulación trigonométrica v(t)
Se desea expresar en forma trigonométrica (sólo tres términos significativos) el desarrollo en serie de Fourier de la tensión representada en la figura adjunta.
Vm
Vm/3 0
Vm = 9π V 2T0/3 T0
4T 0/3 2T0 t
Supóngase que T0 = 125.66 ms.
Como se indicó en un ejemplo anterior, v(t) = V m ∀t ⊥ t 0 ≤ t ≤ t 0 + 2T 0/3
v(t) = V m/3 ∀t ⊥ t 0 + 2T 0/3 ≤ t ≤ t 0 + T 0 con lo que
a k = 6 sen 4πk V 3 k
a v = 7π V
b k = 6 1 - cos 4πk V 3 k
En consecuencia, es posible elaborar la siguiente tabla: k
ak (V)
bk (V)
Ak (V)
ϕk (º)
1
- 5.22
9
10.4
120
2
2.61
4.5
5.2
60
con lo que la formulación pedida queda en la forma v(t) = 7π + 10.4cos(50t - 120 º) + 5.2cos(100t - 60 º) V, t en s
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Ejemplo 2 de formulación trigonométrica
v(t) Vm
T
2T
3T
0 ≤ t ≤ T ⇒ v(t) =
Vm t T
La tensión periódica mostrada en la figura puede expresarse como la suma de una componente continua y una serie de Fourier infinita de términos cosenoidales; cada uno de éstos queda definido t por un módulo, una frecuencia angular y una fase. Se desea obtener la componente continua y los parámetros que definen los términos cosenoidales.
Se trata de expresar la función como desarrollo en serie de Fourier de la forma ∞
v(t) = a v +
∑
ω 0 = 2π T
A kcos(kω 0t - ϕ k)
k=1 T
av = 1 T T
ak = 2 T
0
0
v(t)dt = 1 T
0
Vm V tdt = m T 2 T
T
v(t)cos(kω 0t)dt = 2 T
T
bk = 2 T
0
T
0
Vm 2V m cos(kω 0t) tsen(kω 0t) tcos(kω 0t)dt = + 2 2 kω 0 T T (kω 0)
Ak =
a 2k + b 2k =
0
Vm kπ
0 T
T
v(t)sen(kω 0t)dt = 2 T
=0V
Vm 2V m sen(kω 0t) tcos(kω 0t) tsen(kω 0t)dt = kω 0 T T 2 (kω 0) 2
=0
Vm kπ
b ϕ k = arctg a k = - 90 ° k
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Ejemplo 3 de formulación trigonométrica v(t) Vm
2T
T
3T
Vm t T
0 ≤ t ≤ T ⇒ v(t) = V m -
La tensión periódica mostrada en la figura puede expresarse como la suma de una componente continua y una serie de Fourier infinita de términos cosenoidales; cada uno de éstos queda definido t por un módulo, una frecuencia angular y una fase. Se desea obtener la componente continua y los parámetros que definen los términos cosenoidales.
Se trata de expresar la función como desarrollo en serie de Fourier de la forma ∞
v(t) = a v +
∑
ω 0 = 2π/T
A kcos(kω 0t - ϕ k)
k=1 T
av = 1 T
0
T
ak = 2 T
v(t)dt = 1 T
0
T
Vmdt - 1 T
T
v(t)cos(kω 0t)dt = 2 T
0
T
T
Vmcos(kω 0t)dt - 2 T
0
0
Vm V tdt = m T 2
Vm tcos(kω 0t)dt = T
0
T
V 2V cos(kω 0t) tsen(kω 0t) = m [sen(kω 0t)] T0 - m + kω 0 kπ T 2 (kω 0) 2 T
bk = 2 T
0
T
v(t)sen(kω 0t)dt = 2 T
0
=0V 0
T
Vmsen(kω 0t)dt - 2 T
0
Vm tsen(kω 0t)dt = T T
V 2V sen(kω 0t) tcos(kω 0t) = - m [cos(kω 0t)] T0 - m kω 0 kπ T 2 (kω 0) 2 Ak =
a 2k + b 2k =
Vm kπ
= 0
Vm kπ
b ϕ k = arctg a k = 90 ° k
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Ejemplo 1 de aplicación a un circuito Vm
vG(t)
R vG(t) C
+ vC(t) -
t
-Vm
T0
Dado el circuito de la figura, sometido a la excitación indicada, se desea obtener la expresión temporal de vC(t).
La excitación tiene simetría impar en media onda y en cuarto de onda, con lo que
av = 0 ak = 0 bk = 0, k par T0/4
bk = 8 T0
Vmsen(kω 0t)dt = 0
4V m , k impar πk
La excitación puede ser expresada como serie de Fourier con formulación trigonométrica. ∞
cos[(2i - 1)ω 0t - 90°] 4V v G(t) = πm ∑ 2i - 1 i=1
La excitación es equivalente a un número infinito de fuentes sinusoidales conectadas en serie.
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Se aplica el principio de superposición teniendo en cuenta que para cada excitación individual y utilizando notación fasorial se cumple VC =
VG 1 + jωRC
Aplicando este resultado a cada componente de la excitación los fasores de las distintas respuestas individuales están dados por
Primer armónico (i = 1)
⇒
Tercer armónico (i = 2)
⇒
V C1 =
V C3 =
4V m π 1+
(ω 0RC) 2 ∠- 90° - θ1
4V m π 1 + (3ω 0RC) 2
, θ 1 = arctg(ω 0RC)
, θ 3 = arctg(3ω 0RC) ∠- 90° - θ3
Generalizando, puede deducirse que la respuesta pedida es ∞
4V v C(t) = πm ∑ i=1
cos[(2i - 1)ω 0t - θ 2i-1] (2i - 1) 1 + [(2i -
1)ω 0RC] 2
, θ 2i-1 = 90º - arctg[(2i - 1)ω 0RC]
Obsérvese que ∞ cos[(2i - 1)ω 0t] 4V m C muy grande (cortocircuito) ⇒ θ 2i-1 ≈ 90 ° ⇒ v C(t) ≈ ∑ πω 0RC i=1 (2i - 1) 2
Los armónicos de salida decrecen en amplitud en la proporción 1/i2, mientras que los de la entrada lo hacen en la proporción 1/i (hay gran distorsión -distorsión de fase-). C muy pequeño (circuito abierto) ⇒ θ 2i-1 ≈ 0 ° ⇒ v C(t) ≈ v G(t) poca distorsión.
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Ejemplo 2 de aplicación a un circuito
vG(t) Vm R
+ v0(t) -
L
vG(t) C
T 0/2
T0
t
-Vm
Dado el circuito de la figura, sometido a la excitación indicada, se desea obtener la expresión temporal de v0(t).
La expresión matemática de la excitación es vG(t) = Vm, 0 < t < T0/4
vG(t) = -Vm, T0/4 < t < 3T0/4
vG(t) = Vm, 3T0/4 < t < T0
La excitación tiene simetría de cuarto de onda y función par, con lo que av = 0 V
bk = 0 V
ak = 0 V, k par
v G(t)cos(kω 0t)dt =
4V m 4V m sen πk = cos πk - 90 º πk 2 πk 2
T0/4
k impar ⇒ a k = 8 T0
0
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En términos fasoriales, la excitación se expresa como V Gk =
4V m 4V =-j m πk ∠ -90 º πk
En términos fasoriales y de impedancias, la salida del circuito es V 0k =
jωLV Gk = R(1 - ω 2LC) + jωL
8LV m 2
= V 0k ∠ ϕk
RT 0 1 - 2πk LC + j2πkL T0 T0
con lo que la expresión temporal pedida es ∞
v 0(t) =
∑ k = 1, impar
V 0k cos 2πkt + ϕ k T0
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Cálculos de potencia media Sea un elemento de un circuito lineal, en el que la tensión y la corriente son funciones periódicas expresadas mediante series de Fourier. ∞
v(t) = V DC + ∑ VKcos(kω 0t - ϕ vk) k=1 ∞
i(t) = I DC + ∑ IKcos(kω 0t - ϕ ik) k=1
Se supone que la corriente entra en el elemento por el terminal marcado como positivo para la tensión.
La potencia media en el elemento está dada por t0+T0
P= 1 T0
∞
v(t)i(t)dt = V DCIDC + ∑ t0
k=1
V KI Kcos(ϕ vk - ϕ ik) 2
Es decir, en el caso de una interacción entre una tensión periódica y la correspondiente corriente periódica, la potencia media total es la suma de las potencias medias originadas por corrientes y tensiones de la misma frecuencia. Las corrientes y tensiones de distintas frecuencias no interaccionan para dar lugar a potencia media.
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Formulación exponencial Una función periódica también puede desarrollarse en serie de Fourier mediante la expresión ∞
f(t) = ∑ C ke jkω 0t -∞
siendo t0+T 0
Ck = 1 T0
f(t)e -jkω0tdt = t0
a k - jb k A k = ,A = 2 2 ∠-ϕk k
b a 2k + b 2k , ϕ k = arctg a k k
Ejemplo 1 de formulación exponencial
-τ/2
Se desea expresar la tensión indicada en la figura adjunta como serie de Fourier con formulación exponencial.
v(t)
Vm
0
τ/2
T0-τ/2 T0
τ/2
τ/2
Ck = 1 T0
t
Vme -jkω0tdt = -τ/2
v(t) =
Vm T -jkω 0
e -jkω 0t
= -τ/2
V mτ sen(kω 0τ/2) T kω 0τ/2
∞ sen(kω 0τ/2) jkω 0t V mτ e ∑ T o k = -∞ kω 0τ/2
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100
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Ejemplo 2 de formulación exponencial vi(t) Vh
t0
Vl -t0/2
Se desea expresar la tensión indicada en la figura adjunta como serie de Fourier con formulación exponencial.
T0
t0/2
0
t
Vh = 2π V, Vl = π V, T0 = 1 s, t0 = 0.25 s ∞
v i(t) = ∑ C ke jkω 0t, ω 0 = 2π = 2π rad/s T0 -∞ t 0 + T0
Ck = t0
t0/2
v i(t)e -jkω0tdt = 1 T0
-t0/2
T 0 - t0/2
Vhe -jkω0tdt + 1 T0
Vle -jkω0tdt = t0/2
(V h - V l)t 0 sen(kπt 0/T 0) kπt 0/T 0 T0 Dada la simetría par de la función sen(x)/x, únicamente es necesario calcular los términos correspondientes a valores positivos de k; los correspondientes a valores negativos de k coinciden con sus equivalentes en el intervalo positivo. Obsérvese, además, que todos los coeficientes son reales, con lo que el espectro de fases es nulo (fase nula para cualquier componente). Así, los primeros coeficientes de la serie son =
k
π t0 /T0 kπ
Ck
0 +1 +2 +3 +4
0 0.25π 0.5π 0.75π π
0.79 V 0.71 V 0.5 V 0.24 V 0V
El coeficiente correspondiente a k = 0 se ha obtenido aplicando la regla de l’Hôpital.
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101
Error cuadrático medio En aplicaciones prácticas, al utilizar una serie de Fourier para representar una función periódica es preciso truncar la serie, ya que no es posible trabajar con un número infinito de términos. Así, se supone que la función ideal f(t) es aproximada por la función práctica fN(t). N
f(t) ≈ f N(t) =
∑
C ke jω 0 t
k= -N
con lo que se comete un error dado por ε(t) = f(t) - f N(t) de modo que el error cuadrático medio de la aproximación es t0+T 0
ε2 = 1 T0
ε 2(t)dt t0
f(t) también puede ser expresada mediante otras series trigonométricas en las que los coeficientes son distintos de los correspondientes a la serie de Fourier. Puede demostrarse que el error cuadrático medio es mínimo precisamente cuando los coeficientes son los de la serie de Fourier.
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102
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Espectros de amplitud y fase Conocidos los coeficientes de Fourier y el periodo de una función, en teoría es posible reconstruir dicha función. Ocurre lo mismo si se conocen las amplitudes y las fases de la formulación exponencial. Sin embargo, ello requiere una gran potencia de cálculo (series infinitas).
Una alternativa (simplemente indicativa) consiste en representar las amplitudes y las fases de la formulación exponencial, como se muestra en las figuras adjuntas.
Espectro de amplitud
Ck
∞
k, ω
0
Si se desplaza la función un intervalo temporal, C ke jkω 0(t - t0) =
k = -∞
0
Espectro de fase
fase = 0º
fase = 0º
fase = 0º
ϕk fase = 0º
∑
f(t - t 0) =
k, ω
∞
=
∑
(C ke -jkω0t0)e jkω 0t
k = -∞
el espectro de amplitud no cambia, el espectro de fase sí cambia.
fases no definidas por ser nulas las amplitudes
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103
Los espectros de amplitud y fase también pueden ser representados con ayuda del desarrollo en serie expresado con la formulación trigonométrica. Obsérvese la relación entre ambas formulaciones: Formulación exponencial
Formulación trigonométrica
∞
∞
f(t) = ∑
f(t) = a v + ∑ A kcos(kω 0t - ϕ k)
C ke jkω 0t
-∞
Ck =
k=1
Ak 2 ∠-ϕk
Ak =
b a 2k + b 2k , ϕ k = arctg a k k t0+T 0
av = 1 T0
f(t)dt t0
t0+T 0
ak = 2 T0
f(t)cos(kω 0t)dt t0 t0+T 0
bk = 2 T0
f(t)sen(kω 0t)dt t0
El espectro trigonométrico tiene una amplitud doble que el exponencial. El espectro de amplitudes trigonométrico sólo tiene componentes correspondientes a valores positivos de k.
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104
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La transformada de Fourier Consideraciones generales
La serie de Fourier permite describir una función periódica del tiempo en el dominio de la frecuencia por medio de los atributos de amplitud y fase.
La transformada de Fourier permite extender esta idea a funciones no periódicas.
Esto ya está cubierto por la transformada de Laplace. La transformada de Fourier es un caso particular (parte real de la frecuencia compleja, s, nula) de la transformada de Laplace bilateral.
Sin embargo, la transformada de Fourier tiene una interpretación física más sencilla.
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Definición
Dada una función periódica f(t), de periodo T0, a medida que éste se hace más grande se verifica (como puede comprobarse a partir de las expresiones de la serie de Fourier) f(t) va convirtiéndose en no periódica. La frecuencia pasa de ser una variable discreta (kω0) a ser una variable continua (ω). Los espectros de amplitud y fase dejan de ser representaciones discretas de líneas para convertirse en las envolventes de las líneas que los constituyen.
Para contemplar estas circunstancias se define la transformada de Fourier de la función f(t), no necesariamente periódica, mediante la expresión
∞
F(ω) =
F{f(t)} =
∞
f(t)e -jωtdt ⇒ -∞
dominio de la frecuencia
f(t) = 1 2π
F(ω)e jωtdω -∞
dominio del tiempo
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Condiciones de existencia f(t) tiene transformada de Fourier si converge la integral que la define. f(t) converge si es una función bien condicionada que difiere de 0 en un intervalo finito. f(t) está bien condicionada si hay un solo valor de f para cada valor de t, y define un área finita en el intervalo de integración. Si f(t) es distinta de 0 en un intervalo infinito, hay convergencia si Hay un solo valor de f para cada valor de t. Tiene un número finito de discontinuidades. ∞
La integral
f(t)dt existe. -∞
Hay funciones de interés práctico que carecen de transformada de Fourier. En un caso de ese tipo se crea una función en el dominio del tiempo que sí tenga transformada y que esté tan arbitrariamente próxima a la original como se desee, y se asume que la transformada de Fourier de la función original coincide con la de la función creada.
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Ejemplo de cálculo Se desea obtener la transformada de Fourier del pulso de tensión mostrado en la figura.
v(t) Vm τ
t
V 0 ≤ t ≤ τ ⇒ v(t) = V m - τm t
∞
τ
v(t)e -jωtdt =
F(ω) = -∞
τ
=-
τ
0
0 τ
V m -jωt Vm e (- jωt - 1) 0- τ jω (- jω) 2 =
Vmτt e -jωtdt =
Vme -jωtdt -
e -jωt
= 0
Vm Vm Vm -jωτ -j e = τω 2 ω τω 2
Vm V [1 - cos(ωτ)] + j ωm sen(ωτ) ωτ - 1 τω 2
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Transformadas de Fourier Transformadas de Fourier de funciones elementales
Función matemática
Transformada de Fourier
Delta de Dirac (impulso unitario)
δ(t)
1
Escalón unitario
u(t)
πδ(ω) + 1 jω
Constante
A
2πAδ(ω)
Signo (-1 para todo t < 0, 1 para todo t > 0)
sgn(t)
2 jω
Seno
sen(ω0t)
jπ[δ(ω + ω0) - δ(ω - ω0)]
Coseno
cos(ω0t)
π[δ(ω + ω0) + δ(ω - ω0)]
Exponencial positiva
e-atu(t), a > 0
1 a + jω
Exponencial negativa
eatu(-t), a > 0
1 a - jω
Exponencial positiva-negativa
e-amod(t), a > 0 mod: módulo
Exponencial compleja
e jω 0 t
a2
2a + ω2
2πδ(ω - ω0)
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Transformadas de Fourier operacionales
Operación matemática
Transformada de Fourier
Multiplicación por una constante
Kf(t)
KF(ω)
Suma
f1(t) + f2(t) + f3(t) + ...
F1(ω) + F2(ω) + F3(ω) + ...
Derivada
d nf(t) dt n
(jω)nF(ω)
t
f(τ)dτ
F(ω) jω
Escalado
f(at), a > 0
1F ω a a
Desplazamiento
f(t - t0)
e -jωt0F(ω)
e jω0tf(t)
F(ω - ω0)
f(t)cos(ω0t)
F(ω 0 - ω) + F(ω + ω 0) 2
Integral -∞
∞
x(τ)h(t - τ)dτ
Convolución
X(ω)H(ω)
-∞
∞
f1(t)f2(t) tnf(t)
1 2π
F 1(u)F 2(ω - u)du -∞ n jnd F(ω) dω n
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Ejemplo Se desea obtener la función f(t) sabiendo que su transformada de Fourier es -jωt0 F(ω) = e a + jω
La multiplicación por el término exp(-jωt0) es indicativa de un desplazamiento temporal en un intervalo t0. Por otro lado, el término 1/(a + jω) es la transformada de Fourier de la función exp(-at). Combinando ambos razonamientos se llega a -1
f(t) = F {F(ω)} = e -a(t - t0)
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Cálculo alternativo de la transformada de Fourier La transformada de Fourier de una función también puede calcularse mediante el siguiente procedimiento. ∞
f(t)e -jωtdt = A(ω) - jB(ω) = F(ω)e -jϕ(ω), F(-ω) = F *(ω)
F(ω) = -∞
∞
f(t)cos(ωt)dt, función par de ω
A(ω) = -∞ ∞
f(t)sen(ωt)dt, función impar de ω
B(ω) = -∞
F(ω) = A 2(ω) + B 2(ω), función par de ω ϕ(ω) = arctg B(ω) , función impar de ω A(ω) F(-ω) = F*(ω) Si f(t) es una función par, F(ω) es una función par real. ∞
A(ω) = 2 0
∞
f(t)cos(ωt)dt, B(ω) = 0, f(t) = 2 2π
A(ω)cos(ωt)dω 0
Las funciones f(t) y A(ω) son intercambiables, salvo por un factor de escala. Si f(t) es una función impar, F(ω) es una función impar imaginaria. ∞
A(ω) = 0, B(ω) = 2
f(t)sen(ωt)dt 0
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Ejemplo Se desea obtener la transformada de Fourier del pulso de tensión mostrado en la figura.
vi(t)
Vh
- t0/2
t0/2
t
Vh = 2π V, t0 = 0.25 s
∞
v i(t)e -jωtdt = A(ω) - jB(ω)
Vi(ω) = -∞
vi(t) es una función con simetría par, con lo que B(ω) = 0 ∞
A(ω) = 2
t0/2
Vhcos(ωt)dt = 4π ω sen 0.125ω V
v i(t)cos(ωt)dt = 2 0
0
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Utilización de transformadas de Laplace para hallar transformadas de Fourier Pueden utilizarse transformadas de Laplace unilaterales para hallar las correspondientes transformadas de Fourier que converjan. La integral que define la transformada de Fourier converge si todos los polos de F(s) están en el semiplano izquierdo. Si hay polos en el semiplano derecho o a lo largo del eje imaginario no se cumple la condición relativa a la integral que figura en las condiciones de existencia. Esta técnica resulta particularmente útil para obtener la variación con la frecuencia de la función de transferencia de un circuito.
f(t) es una función positiva en el tiempo
F{f(t)} = L{f(t)}s=jω
Ejemplo f(t) = 0 ∀t ≤ 0 f(t) = e -atcos(ω 0t) ∀t ≥ 0 -
⇒
F{f(t)} =
s+a (s + a) 2 + ω 20
= s=jω
jω + a (jω + a) 2 + ω 20
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
F{f(t)} = L{f(-t)}s= -jω
f(t) es una función negativa en el tiempo Ejemplo f(t) = 0 ∀t ≥ 0 +
F{f(t)} = L {f(-t)} s = -jω =
⇒ f(t) = e atcos(ω 0t) ∀t ≤ 0 -
=
f(t) es una función distinta de cero f+(t) = f(t) ∀t > 0 f-(t)
= f(t) ∀t < 0
s+a (s + a) 2 + ω 20
= s= -jω
- jω + a (- jω + a) 2 + ω 20
F{f(t)} = L{f+(t)}s=jω + L{f-(-t)}s=-jω f(t) par ⇒ F{f(t)} = L{f(t)} s=jω + L{f(t)} s= -jω f(t) impar ⇒ F{f(t)} = L{f(t)} s=jω - L{f(t)} s= -jω Ejemplo 1 , L{f -(-t)} = 1 L{f +(t)} = s + a s+a
f+(t) = e -at ⇒ f-(t) = e at
1 F{e -amod(t)} = s + a
s=jω
1 + s+ a
= s= -jω
2a + a2
ω2
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Ejemplo 1
H(s) =
La transformada de Laplace de la función de transferencia 0.5(s 2 + 10 12) s 2 + 0.5×10 6s + 10 12 de un circuito es la indicada en el recuadro adjunto. Se desea representar cualitativamente la variación del módulo de la función de transferencia con la frecuencia angular cuando el circuito funciona en régimen sinusoidal permanente. Se desea obtener los valores a los que tiende la fase de la función de transferencia cuando la frecuencia angular tiende a 0 y a ∞ rad/s.
La función de transferencia en régimen sinusoidal permanente es la indicada en el enunciado haciendo la transformación s = jω, con lo que queda H(ω) = H(s)
s = jω
=
0.5(10 12 - ω 2) = N(ω) (10 12 - ω 2) + j0.5×10 6ω D(ω) 0.5 10 12 - ω 2
H(ω) =
2
(10 12 - ω 2) + 0.25×10 12ω 2 0.5
0.45
0.4
0.35
0.3 módulo
Una representación de esta función es la mostrada en la figura adjunta.
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0 0 10
2
10
4
10
6
8
10 10 frecuencia angular (rads/s)
10
10
12
10
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Con relación a la variación de la fase, es posible hacer los siguientes razonamientos. ∠H(ω) = ∠N(ω) - ∠D(ω) ω ≤ 10 6 rad/s
ω → 0 rad/s
⇒
⇒
ω ≥ 10 6 rad/s ω → ∞ rad/s
∠N(ω) = 0 °, ∠D(ω) → 0 ° ⇒
⇒
∠N(ω) = 0 °, ∠D(ω) = arctg
⇒
∠N(ω) = 180 °, ∠D(ω) = arctg
∠N(ω) = 180 °, ∠D(ω) → 180 °
⇒
0.5×10 6ω 10 12 - ω 2 ∠H(ω) → 0 ° 0.5×10 6ω 10 12 - ω 2 ∠H(ω) → 0 °
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Ejemplo 2
H(s) =
10 6s s 2 + 2×10 6s + 10 12
La transformada de Laplace de la función de transferencia de un circuito es la indicada en el recuadro adjunto. Se desea representar cualitativamente la variación del módulo de la función de transferencia con la frecuencia angular cuando el circuito funciona en régimen sinusoidal permanente. Se desea obtener los valores a los que tiende la fase de la función de transferencia cuando la frecuencia angular tiende a 0 y a ∞ rad/s.
La función de transferencia en régimen sinusoidal permanente es la indicada en el enunciado haciendo la transformación s = jω, con lo que queda H(ω) = {H(s)} s = jω =
j10 6ω = N(ω) (10 12 - ω 2) + j2×10 6ω D(ω)
10 6ω
H(ω) =
=
2
(10 12 - ω 2) + 4×10 12ω 2
10 6ω ω 2 + 10 12
0.25
0.2
0.15
módulo
Una representación de esta función es la mostrada en la figura adjunta.
0.1
0.05
0 0 10
2
10
4
10
6
8
10 10 frecuencia angular (rads/s)
10
10
12
10
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Con relación a la variación de la fase, es posible hacer los siguientes razonamientos. ∠H(ω) = ∠N(ω) - ∠D(ω) ∠N(ω) = 90 °
∠D(ω) = arctg
2×10 6ω 10 12 - ω 2
ω → 0 rad/s
⇒
∠D(ω) → 0 °
⇒
∠H(ω) → 90 °
ω → ∞ rad/s
⇒
∠D(ω) → 180 °
⇒
∠H(ω) → - 90 °
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119
Aplicación en circuitos Comparación con la transformada de Laplace
Transformada de Laplace (TL)
Transformada de Fourier (TF)
Converge para más funciones de excitación Proporciona directamente la respuesta que la TF. en régimen permanente a una excitación sinusoidal. Permite la inclusión directa de condiciones iniciales. La TL unilateral es adecuada para tratar problemas con condiciones iniciales que se desarrollan en t > 0.
Permite considerar funciones negativas en el tiempo, con lo que es adecuada para tratar eventos que comiencen en t = - ∞.
En análisis de circuitos utilizando la transformada de Fourier, los elementos pasivos tienen el mismo tratamiento que cuando se emplean fasores e impedancias.
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120
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Ejemplo 1 i0(t) R1
R2 L
iG(t)
Se desea obtener i0(t) utilizando transformadas de Fourier.
+ v0(t) -
iG(t) = Igcos(ω0t), Ig = 50 A, ω0 = 3 rad/s R1 = 1 Ω, R2 = 3 Ω, L = 1 H
Utilizando las tablas de transformadas de Fourier, IG(ω 0) = F{i G(t)} = I gπ[δ(ω - ω 0) + δ(ω + ω 0)] Observando que el circuito es un divisor de corriente y utilizando notación fasorial e impedancias, la función de transferencia es H(ω) =
I0 R1 = = 1 I G R 1 + (R 2 + jωL) 4 + jω
I0(ω 0) = I G(ω 0)H(ω 0) = 50π
∞ -1
i0(t) = F {I 0(ω 0)} = 50π 2π
-∞
δ(ω - ω 0) + δ(ω + ω 0) A 4 + jω 0
δ(ω - ω 0) + δ(ω + ω 0) jωt e dt = 4 + jω 0
jω 0 t -jω 0 t jω 0t -jϕ0t -jω 0te jϕ 0t = 10cos(ω 0t - ϕ 0) A, ϕ 0 = 36.87 º = 25 e + e = 25 e e +e 4 + jω 0 4 - jω 0 5 5
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
121
Ejemplo 2 i0(t) R1
R2 L
iG(t)
+ v0(t) -
Se desea obtener v0(t) utilizando transformadas de Fourier. iG(t) = Igsgn(t), Ig = 10 A R1 = 4 Ω, R2 = 1 Ω, L = 1 H
Utilizando las tablas de transformadas de Fourier, IG(ω) = F{i G(t)} =
2I g 20 A = jω jω
Observando que el circuito es un divisor de corriente y utilizando notación fasorial e impedancias, la función de transferencia es H(ω) =
V 0 I 0jωL R 1jωL = = = j4ω Ω IG R 1 + (R 2 + jωL) 5 + jω IG V0(ω 0) = I G(ω 0)H(ω 0) =
80 V 5 + jω 0
-1
v 0(t) = F {V 0(ω 0)} = 80e -5t V, t en s
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Teorema de Parseval Justificación La potencia media de señales de energía finita en el dominio del tiempo es nula. Por tanto, para comparar señales de este tipo, se recurre a la energía de las señales. Teorema de Parseval (se cumple si ambas integrales existen)
La energía asociada con una función f(t) relacionada con una resistencia de 1 Ω es ∞
∞
f2(t)dt = 1 2π
Las dimensiones de F(ω) son [J/Hz] = [Js] -∞
F(ω) 2dω -∞
Si se trata de una resistencia de valor R, se multiplican ambos miembros de la última ecuación por tal valor.
La energía de la señal, referida a 1 Ω, en un intervalo de frecuencias es ω2
1 π
F(ω) 2dω ω1
Interpretación gráfica ω2
F(ω) 2
W1Ω = π1
F(ω) 2dω = ω1
−ω 2
= 1 2π
0 - ω2 - ω1 0
ω1
ω2
ω
ω2
F(ω) 2dω −ω 1
+ 1 2π
F(ω) 2dω ω1
El teorema de Parseval permite calcular la energía disponible a la salida de un filtro sin necesidad de determinar la expresión temporal de la tensión en dicha salida.
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Ejemplo 1 Un circuito (un filtro paso banda ideal) es tal que la salida reproduce exactamente la entrada para todas las frecuencias comprendidas entre ω1 y ω2 y no deja pasar ninguna frecuencia fuera de ese intervalo (banda de paso). Se desea obtener una representación gráfica cualitativa de mod2[V(ω)] y mod2[V0(ω)], siendo v(t) y v0(t) las señales de entrada y salida, respectivamente, y calcular el porcentaje del contenido de energía total referido a una resistencia de 1 Ω de la señal de entrada que está disponible a la salida. v(t) = Ae-atu(t), A = 120 V, a = 24 s-1, ω1 = 24 rad/s, ω2 = 48 rad/s
V(ω) 2 v(t) = Ae -atu(t) ⇒ ⇒ V(ω) =
2 A ⇒ V( ω) 2 = A a + jω a 2 + ω2
0 - ω2 - ω1 0
ω1
ω2
ω
- ω2 - ω1 0 ω1
ω2
ω
V 0(ω) 2
La salida es igual a la entrada en la banda de paso y nula para cualquier otra frecuencia
0
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Energía total disponible a la entrada: ∞
Wi = π1 0
∞
A 2 dω = A 2 1 arctg ω π a a a2 + ω 2
= 300 J 0
Energía disponible a la salida: ω2
W0 = π1 ω1
A 2 dω = A 2 1 arctg ω π a a a2 + ω 2
ω2
= 61.45 J
ω1
Porcentaje de energía disponible a la salida: W0 = 20.48 % Wi
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
125
Ejemplo 2
+ vi(t) -
R C
+ v0(t) -
Dado el circuito de la figura, se desea determinar el porcentaje de la energía asociada a una resistencia de 1 Ω disponible en la señal de entrada que está disponible a la salida, y el porcentaje de energía de la señal de salida que está comprendida en el rango 0 < ω < ω0. vi(t) = Ae-atu(t), A = 15 V, a = 5 s-1, ω0 = 10 rad/s R = 10 kΩ, C = 10 µF
v i(t) = Ae -atu(t) ⇒ V i(ω) =
2 A ⇒ V (ω) 2 = A i a + jω a2 + ω 2 ∞
Energía total disponible a la entrada: Wi = π1 0
Función de transferencia (divisor de tensión): Transformada de Fourier de la señal de salida:
A 2 dω = A 2 1 arctg ω π a a a2 + ω 2
H(ω) =
V0(ω) = V i(ω)H(ω) =
∞
= 22.5 J 0
1/(jωC) R + 1/(jωC)
1/(RC) A2 [1/(RC) + jω] (a 2 + ω 2) ∞
Energía disponible a la salida:
W0 = π1
V0(ω) 2dω = 15 J 0
Porcentaje de energía disponible a la salida:
W0 = 66.67 % Wi
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ω0
Energía disponible a la salida en el intervalo 0 - ω0: Porcentaje de energía disponible a la salida en el intervalo 0 - ω0:
W0-ω 0 = π1
V0(ω) 2dω = 13.64 J 0
W0-ω 0 = 90.97 % W0
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Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
127
Ejemplo 3 Sea un pulso rectangular de tensión como el indicado en la figura Vm
Para transmitirlo, el ancho de banda del sistema debe ser suficiente para incluir al menos la parte dominante del espectro; es decir, la dada por la relación
vi(t)
- t0/2
t0/2
0 ≤ ω ≤ 2π t0
t
Teniendo en cuenta que la transformada de Fourier del pulso está dada por
Su transformada de Fourier es de la forma indicada en la figura siguiente Vmt 0
sen(ωt 0/2) ωt 0/2
V(ω) = V mt 0 Vmt 0sinc(ωt 0/2)
la energía contenida en la parte dominante es
0
2π/t0
- 4π/t0 - 2π/t 0
0 2π/t 0
W = π1
ω
4π/t0
V(ω) 2dω = 0
(utilizando una tabla de integrales)
Cuanto más estrecho es el pulso, mayor es el intervalo dominante de frecuencias.
=
2V 2mt 0(1.41815) π
La energía total del pulso es ∞
Wt = π1
V(ω) 2dω = V 2mt 0 0
En consecuencia, la fracción de energía total del pulso contenida en la parte dominante es W = 90.28 % Wt
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128
Análisis de circuitos como sistemas lineales. Transparencias de clase
Teorema de Plancherel Relaciona la convolución y las transformadas de Fourier de dos funciones. F{x(t)*h(t)} = F{x(t)} F{h(t)} F{x(t) h(t)} = F{x(t)}*F{h(t)} Con ayuda del teorema de Plancherel es posible mostrar que, si el espectro de la señal x(t) tiene un ancho de banda W, el espectro de la señal xn(t) tiene un ancho de banda nW. Es decir, elevar una señal a una potencia crea componentes espectrales nuevas, lo cual es de aplicación práctica en la implementación de generadores de armónicos.
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