Bodeclases

Tema 5 (2): Diagrama de Bode. Técnica de construcción. ¿Dominio frecuencial?

Im 0

φ

Re

AR

A 0

Regulación Automática

M.G. Ortega

Introducción y (t)

rp f(t)

u(t)

t

t

Sistema Linealizado

A m

1 G(s)

Doble objetivo

ω ω

Respuesta frecuencial

2 Regulación Atutomática

M.G. Ortega

Respuesta en frecuencia u(s)

u (t ) = Usenωt

G(s)

y(s)

y ss ( t ) = U G ( j ω ) sen (ω t + φ )

Amplitud de la salida:

Y = U G ( jω )

Ángulo de fase: φ = arg(G( jω)) = ∠G( jω) La respuesta del sistema oscila con la misma frecuencia ω que la sinusoide de entrada pero atenuada por un factor |G(jω)| y desfasada un ángulo φ = arg(G(jω)) que dependen de ω

Regulación Automática

M.G. Ortega

Respuesta en frecuencia Dada G(s), a cada frecuencia se le asocia un número complejo ω (rad/s)

|G (jω)|

0

8

0

8

0

0.1

4.7

-0.31

4.48

-1.44

0.5

3.2

-0.65

2.55

-1.94

1

1.4

-1.1

0.63

-1.25

5

0.15

-1.8

-0.34

-1.46

…

…

…

…

…

Regulación Automática

Re(G (jω)) Im(G (jω))

M.G. Ortega

Representaciones de la respuesta frecuencial •Diagrama polar (diagrama de Nyquist) Nyquist (1932) diagrama de la amplitud de G(jω) en función del ángulo de fase de G(jω) en coordenadas polares al variar ω desde cero a infinito •Diagrama logarítmico (diagrama de Bode) Bode (1945) 2 curvas en función de la frecuencia en escala logarítmica: 1. relación de amplitudes |G(jω)| [dB] 2. ángulo de fase φ(ω) [º] • Diagrama magnitud–fase (diagrama Nichols) Nichols diagrama del logaritmo del módulo en función de la fase para un rango de frecuencias de interés

Regulación Automática

M.G. Ortega

Diagrama de Bode Consta de 2 trazados representados en función de la frecuencia en escala logarítmica 1. Diagrama del logaritmo del módulo de una función sinusoidal 2. Diagrama del ángulo de fase

Matlab: bode(sys)

Bode Diagrams From: U(1) 10

arg(G(jω)) [º] en grados

0

-10

50

0

-50

-100 10-1

Regulación Automática

ω en escala logarítmica

-20

To: Y(1)

dB = 20log (| . |)

Phase (deg); Magnitude (dB)

20log|G(jω)| [dB] (en decibelios)

100

Frequency (rad/sec)

101

M.G. Ortega

¿Por qué diagramas logarítmicos? Considerando la siguiente función de transferencia: Ke− ds ( s + z1 )(s + z2 )...(s + zk ) G( s) = N s ( s + p1 )(s + p2 )...(s + pn )

La magnitud de la respuesta en frecuencia es el producto de la magnitud de las respuestas en frecuencia de cada término: G( jω) =

Regulación Automática

K e−ds (s + z1 ) (s + z2 ) ... (s + zk ) s N (s + p1 ) (s + p2 ) ... (s + pn )

s = jω

M.G. Ortega

¿Por qué diagramas logarítmicos? G ( jω ) =

K e − ds ( s + z1 ) ( s + z 2 ) ... ( s + z k ) s N ( s + p1 ) ( s + p2 ) ... ( s + pn )

s = jω

20 log G ( j ω ) = 20 log K + 20 log e − dj ω + 20 log ( j ω + z1 ) + ...

G ( j ω ) dB

+ ... − 20 log ( j ω ) − 20 log ( j ω + p1 ) − ... N

En decibelios, el diagrama de |G(jω)| puede obtenerse por superposición de los diagramas de términos elementales correspondientes a cada polo, cero, ganancia y retardo.

arg(G ( jω )) = arg( K ) + arg(e − jωN ) + arg( jω + z1 ) + ... + arg(1 / jω ) + arg(1 /( jω + p1 )) + ... Regulación Automática

M.G. Ortega

Factores básicos Los factores básicos en una función arbitraria G(jω) son:

1. Ganancia K 2. Factores integrales y derivativos

( jω )m1

3. Factores de primer orden

(1 + jωT )±1

4. Factores cuadráticos 5. Retardo

2 ⎡ 2δ ⎛ jω ⎞ ⎤ ⎟ ⎥ ⎢1 + jω + ⎜⎜ ⎟ ⎢⎣ ω n ⎝ ω n ⎠ ⎥⎦

±1

e − djω

La respuesta en frecuencia del sistema puede obtenerse por superposición de los diagramas de los términos elementales queAutomática componen la función de transferencia. Regulación M.G. Ortega

Bode real y asintótico z El

diagrama de Bode asintótico es una aproximación en base a líneas rectas tanto de la magnitud como de la fase.

z El

diagrama de Bode real es el dibujo exacto.

z

A mano es más sencillo y rápido dibujar el Bode asintótico.

Regulación Automática

M.G. Ortega

Bode: respuesta de una constante (ganancia) G( s) = K G( jω ) = K

20 log G ( jω ) = 20 log K φ = ∠ G ( jω ) = arctg

0 ⎧ 0º =⎨ K ⎩− 180 º

K>0 K<0

El Bode de una constante son líneas rectas

Regulación Automática

M.G. Ortega

Bode: respuesta de un polo en el origen (integrador) G(s) =

1 s

G( jω) =

20 log G ( jω ) = 20 log

1 jω

Pendiente = -20 dB/década

1 = jω

= 20 log1 − 20 logω = = −20 logω [dB]

⎧ ω = 0 . 1 ⇒ 20 dB ⎪ ⎨ ω = 1 ⇒ 0 dB ⎪ ω = 10 ⇒ − 20 dB ⎩

1 jω = ∠1 − ∠jω = −90º

φ = ∠G( jω ) = ∠

Regulación Automática

La curva de la magnitud logarítmica es una recta con una pendiente de –20 dB/década que pasa por cero dB en ω=1 rad/s. La gráfica de fase es igual a una constante de –90º. M.G. Ortega

Bode: respuesta de un polo múltiple en el origen (integrador) G( jω) =

20 log G ( jω ) = 20 log

1

Bode Diagram

( jω)

100

N

1

( jω )N

=

0 -50

= 20 log1 − 20 log ω N =

-100

= −20 N log ω

-150

⎧ ω = 0 . 1 ⇒ 20 ⋅ N dB ⎪ ⎨ ω = 1 ⇒ 0 dB ⎪ ω = 10 ⇒ − 20 ⋅ N dB ⎩

φ = ∠G( jω) = ∠

1

[dB]

-269 -269.5 -270 -270.5 -271

-1

10

0

1

10

10

2

10

( jω )N La curva de la magnitud logarítmica es una recta con

= ∠1 − ∠jω = −90º⋅N Regulación Automática

Pendiente = -20N dB/década

50 Magnitude (dB)

1 sN

Phase (deg)

G(s) =

Frequency (rad/sec)

una pendiente de –20N dB/década que pasa por cero dB en ω=1 rad/s. La gráfica de fase es igual a una constanteM.G. de Ortega –90º·N.

Bode: respuesta de un cero múltiple en el origen G( jω) = ( jω)

G(s) = s N

N

= 20 log ω N =

Pendiente = 20N dB/década

100 Magnitude (dB)

20 log G ( jω ) = 20 log ( jω ) = N

= 20n log ω

Bode Diagram 150

50 0 -50

[dB]

-100 -89

⎧ ω = 0 . 1 ⇒ − 20 ⋅ N dB ⎪ ⎨ ω = 1 ⇒ 0 dB ⎪ ω = 10 ⇒ 20 ⋅ N dB ⎩

φ = ∠G( jω) = ∠( jω ) = ∠1 − ∠jω = 90º⋅N

N

Regulación Automática

Phase (deg)

-89.5 -90 -90.5 -91

¡OJO!

-1

10

0

1

10

10

2

10

Frequency (rad/sec)

La curva de la magnitud logarítmica es una recta con una pendiente de 20N dB/década que pasa por cero dB en ω=1 rad/s. La gráfica de fase es igual a una constanteM.G. de Ortega 90º·N.

Bode: respuesta de un polo simple G (s) =

1 1 + Ts

G ( jω ) =

20 log G ( jω ) = 20 log

1 1 + Tjω

1 = 1 + jωT

⎧ω → 0 (bajas frecuencias) ⇒ −20 log 1 + ω 2T 2 → 0 ⎪ φ → 0º ⎪(ω << 1/T) ⎨ 2 2 ⎪ω → ∞ (altas frecuencias) ⇒ −20 log 1 + ω T → −20 log ωT ⎪(ω >> 1/T) φ → −90º ⎩

= −20 log 1 + ω 2T 2 [dB]

φ = ∠G( jω ) = −arctg(Tω ) Cuando ω=1/T la aproximación de alta frecuencia es igual a la aproximación de baja frecuencia y también φ=45º ω=1/T = frecuencia de corte (de transición) Cuando ω=10/T, el log de la amplitud es de –20 dB Regulación Automática

(Ejemplo para T=1)

M.G. Ortega

Bode: respuesta de un polo simple ωc = 1/T = frecuencia del polo: la frecuencia a la que se encuentran las dos asíntotas Error max. 3dB

Pendiente = -20 dB/década Curva exacta

ω=0.1/T

real

ωc asintótico

Pendiente = -45º/dec ω=10/T

Regulación Automática

La frecuencia del polo divide la curva de la respuesta de frecuencia en dos regiones: una curva (línea de 0 dB) para la región de baja frecuencia (0< ω<1/T ) y una curva (línea recta con pendiente –20 dB/década) para la región de alta frecuencia (1/T< ω<∞). El error máximo se produce en la frecuencia de transición. M.G. Ortega

Bode: respuesta de un polo simple T<0 (polo inestable)

T>0 (polo estable) 0 dB asintótico ω=1/T 0º

-20 dB/dec

ω=0.1/T ω=1/T

ω=10/T

0 dB asintótico ω=1/T -90º asintótico

asintótico -45º

-45º

-90º

0º

Regulación Automática

-20 dB/dec

ω=0.1/T

ω=1/T

ω=10/T

M.G. Ortega

Bode: cero simple G ( s ) = 1 + T s G ( jω ) = 1 + T j ω

|G(jω)| en dB

20 log jωT + 1 = 20 log 1 + T 2ω 2 = = 10 log(1 + T ω ) 2

2

monótonamente decreciente para ω → 0 para ω → ∞

10 log(1 + T ω ) → 0 2

10/T log ω

-20 dB argG(jω) en º

90º

2

recta de pendiente 20dB y que pasa por (ω = 1/T , 0 dB)

45º

⎧ω → 0 φ → 0 arg( jωT + 1) = arctg (ωT )⎨ ⎩ω → ∞ φ → 90º monótonamente creciente, φ = 45º para ω = 1 / T Regulación Automática

1/T

0 dB

2

10 log(1 + T ω ) → 20 log T + 20 log ω 2

Frecuencia de corte

0º

log ω 1/T

Las frecuencias altas se amplifican M.G. Ortega

Bode: respuesta de un cero simple T>0 (cero fase mínima)

T<0 (cero fase no mínima)

20 dB/dec

20 dB/dec

asintótico 0 dB

asintótico 0 dB

ω=1/T

-90º

0º asintótico

ω=1/T

ω=10/T

asintótico

-45º 0º

ω=0.1/T

-45º ω=0.1/T

Regulación Automática

ω=1/T

ω=10/T

-90º

M.G. Ortega

Bode: polos complejos conjugados ω n2 G ( jω ) = 2 s + 2δω n s + ω n2 ω n2 G ( jω ) = 2 s + 2δω n s + ω n2

= s = jω

1 ⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜ j 1 + 2δ ⎜⎜ j ⎝ ωn ⎠ ⎝ ωn ⎠

2

donde 0 < δ < 1

Modulo: ⎛ ω2 = − 20 log ⎜⎜ 1 − 2 20 log G ( jω ) = 20 log 2 ⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞ ⎝ ωn ⎟⎟ ⎟⎟ + ⎜⎜ j 1 + 2δ ⎜⎜ j ω ω n ⎠ n ⎠ ⎝ ⎝ 1

Cuando

0 < δ ≤ 1 / 2 = 0.7071

M r = G( jω ) max = G( jωr ) =

Regulación Automática

2

⎞ ⎛ ω ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ 2δ ⎟⎟ ⎠ ⎝ ωn ⎠

2

existirá un máximo en |G(jω)| conocido como pico de resonancia Mr cuando 1

2δ 1 − δ 2

ω r = ω n 1 − 2δ 2 ≤ ω n frecuencia de de resonancia frecuencia resonancia M.G. Ortega

Bode: polos complejos conjugados El ángulo de fase

G ( jω ) =

⎤ ⎡ ω ⎥ ⎢ 2δ ωn ⎥ ⎢ φ = ∠G ( jω ) = − arctg ⎢ 2 ⎥ ⎛ ⎞ ⎢1 − ⎜ ω ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ω ⎟ ⎥ ⎣ ⎝ n⎠ ⎦ ω → 0 ⇒ φ → 0º

ω = ω n ⇒ φ = −90 º ω → ∞ ⇒ φ → −180 º

⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ j ⎟⎟ 1 + 2δ ⎜⎜ j ⎝ ωn ⎠ ⎝ ωn ⎠

2

El ángulo de fase depende tanto de ω como de δ

En la frecuencia de transición el ángulo es –90º independientemente de δ

En la frecuencia en que se produce el pico de resonancia ω=ωr: Regulación Automática

1

φ = − arctg

1 − 2δ

2

δ M.G. Ortega

Bode: polos complejos conjugados Caso δ < 0.707 (caso con resonancia) Asíntotas Real

ωr frecuencia de resonancia

20logMr

Pico de resonancia

La amplitud de la salida se ve amplificada a ciertas frecuencias y es máxima para ωr,, creciendo inversamente con δ

δ → 0 ⇒ M r→ ∞

-40dB/dec ωn : frecuencia de natural de oscilación Ejemplo para ωn=1 y δ=0.1

0.1 ωn

ω r = ω n 1 − 2δ 2 = = 1 − 2(0.1) 2 = 0.9899

-90º/dec Mr =

10 ωn Regulación Automática

=

1 2δ 1 − δ 1

2

=

2(0.1) 1 − (0.1)

2

= 5.0252 M.G. Ortega

Bode: polos complejos conjugados Respuesta del logaritmo de la magnitud normalizada y escalada

Regulación Automática

M.G. Ortega

Ejercicio: z

Dibujar el bode de:

G (s) =

1000( s − 1) (10 s + 1)( s + 10) s 2

1. Análisis a baja frecuencia :

⎧ Pendiente : − 40 dB / dec • tipo (G ( s ) ) = 2 ⇒ ⎨ ⎩ Fase : − 180 º • Ganancia a ω=1 rad/s : ⎧ − 100 = 40dB 1000( s − 1) lim G ( s ) s = lim = −100 = ⎨ s →0 s → 0 (10 s + 1)( s + 10) ⎩∠( −100) = −180 º 2

Regulación Automática

M.G. Ortega

Ejercicio: • dB

100 80 60 40 20 0 − 20

0º ∠ (º ) − 90º − 180 º − 270 º − 360 º Regulación Automática

− 40 dB / dec

ω ( rad / s )

0.01

0.1

1

10

100

ω ( rad / s )

0.01

0.1

1

10

100

M.G. Ortega

Ejercicio: z

Dibujar el bode de:

G (s) =

1000( s − 1) (10 s + 1)( s + 10) s 2

2. Polos y ceros:

polos :

⎧ p1 = −0.1 ⎨ ⎩ p 2 = −1 0

(estable ) (estable )

cero : c = 1 > 0 ( de fase no mínima )

Regulación Automática

M.G. Ortega

Ejercicio: • dB

100 80 60 40 20 0 − 20

− 360 º ∠ (º ) − 450 º − 540 º − 630 º Regulación Automática

− 40 dB / dec − 60 dB / dec − 40 dB / dec 0.01

0.1

1

10

ω ( rad / s )

100 − 60 dB / dec ω ( rad / s )

0.01

0.1

1

10

100

M.G. Ortega

Ejercicio: z Matlab:

100( s − 1) G (s) = (10 s + 1)( s + 10) s 2

Gs=tf(100*[1 -10],conv([10 1 0 0],[1 1])); z bode(Gs); z

z

bode(100*[1 -10],conv([10 1 0 0],[1 1]));

Regulación Automática

M.G. Ortega

Ejercicio: z

Matlab:

Bode Diagram

200

Magnitude (dB)

150

G (s) =

100 50 0 -50 -100

1000( s − 1) (10 s + 1)( s + 10) s 2

-150 0

¡Cuidado!

Phase (deg)

-45 -90 -135 -180 -225 -270 -3 10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

Frequency (rad/sec)

Regulación Automática

3

10

M.G. Ortega

Resumen 9

Empezar a dibujar por baja frecuencia con recta: 9 9

9

Si polo real: 9 9

9

Ganancia: pediente disminuye en -20 dB/dec. Fase: si polo es estable (inestable), disminuye (aumenta) 90º en dos décadas centradas en el polo.

Si cero real: 9 9

9

Pendiente: -20*N dB/dec (N: tipo del sistema) Punto: lims →0 G(s)sN en ω=1 rad/s

Ganancia: pediente aumenta en 20 dB/dec. Fase: si cero es de fase mínima (no mínima), aumenta (disminuye) 90º en dos décadas centradas en el polo.

Si polos complejos conjugados: 9 9

Ganancia: pediente disminuye en -40 dB/dec., pero con resonancia. Fase: si polos estables (inestables), disminuye (aumenta) 90º en menos de dos décadas centradas en la frec. natual de los polos.

Regulación Automática

M.G. Ortega