Algebra Funciones Geometria A

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica

ALGEBRA ( p − 2q )(2 p + 9 pq + 4q ) 2 2 ( p + 4q )( p − 5 pq + 6q ) 2

2

1

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 1. Factorice completamente cada uno de los siguientes polinomios. Indique el o los métodos que utiliza en cada factorización. 4 x (x − 1) + 1 − y 2

(a + 1)3 − (a + 1)

(

3( x − y ) − 2 x 2 − y 2 2

(x

2

)

6 y − 3x 2 − 6 x + 3 y 2

)

− 16 y 2 − ( x + 4 y )

a 2 − b 2 − 4 + 4b

mn − 1 − mn 2 + n

4 y 2 + 6x − 1 − 9x 2

x 3 + 2 x 2 − 3x − 6

2x + y 2 − x 2 − 1

a3 − a + a2 −1 49 − (2 − 3 x )

x2 −

x 1 − 2 2

2

8 x 3 + 4 x 2 y − 8 x 2 − 4 xy

4( x − 2 ) − 9 2

x 6 − 8x 3

x 3 − 9x 5

(

mn + 9m n 4

3

2

16 x 3 − 4 x

4 x 2 − 20 xy + 25 y 2

8 x 2 + 10 x − 12

x 2 + ax − 6a 2 , a constante

y3 + 3y 2 − 2 y − 6

− 2x 2 + 7x − 6

− 4 x 2 − a 2 + 4ax , a constante

2 x 3 − 20 x − 6 x 2

5 x(3x − 2) − 3x + 2

9m − n − 16 − 8n 2

(6 x

2

)

6( x + 1) − 3 x 2 − 1

2

9 x 2 − 9 − 4b 2 − 12b

)

−2 −x

4 x 4 − 12 x 2 y 2 + 9 y 4

3 + x(2 x − 7 )

x 3 − 5 x − 4 x 2 + 20

2 ( 3 − x) 16 −

x 2 (2 + 3 x ) + 4(− 3 x − 2 )

4

(x − 2 )3 + 9(2 − x )

(k − p )2 − (k 2 − p 2 )

2 x 3 − 18 x − x 2 y + 9 y

x 4 + b 2 x 2 − 5 x 2 − 5b 2

x 2 − 1 + y (2 − y )

4 x + 8 y − 16t

2

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 2. Simplifique al máximo cada una de las siguientes expresiones algebraicas. 3 fb − 6 fc − hb + 2hc 6 fb − 2hb + 3 fc − hc

2x 2 + 5x − 3 2x 2 − 7 x + 3

(3u

x2 − 7x + 6 x 2 − 4 x − 12

)

− 5ue − 2e 2 ÷ (u − 2e )

15 z 2 − 11z + 2 5z − 2

4 a 2 − 8a a 3 + 5a 2 − 14a

( p − 2q )(2 p 2 + 9 pq + 4q 2 ) ( p + 4q )( p 2 − 5 pq + 6q 2 )

4a 2 − 1 8a 3 + 1

2b 2 − 7b + 6 2b − 3

2 h + 5h − 3 3h 2 + 4h − 15 2

(z − u )(2 z 2 + 3zu + u 2 ) (2 z + u )(z 2 + zu − 2u 2 )

(a − b )(2a + ab − 6b ) (a + 2b )(3a 2 − ab − 2b 2 ) 2

2

2

(6 x

x − 3 x − 10 x+2 2

2

)

+ xy − 2 y 2 ÷ (2 x − y )

b−3 (5b − 14)b − 3

3 xh + 4 yi − 2 xi − 6 yh 2 xh − 4 yh + xi − 2 yi

n−3 (3n − 8)n − 3

xa − xb − 2 yb + 2 ya xa + 2 ya + 2 yb + xb

a+2 (a + 1)(a + 2) + 3a + 6

b+4 (2b + 9)b + 4

a 2 − ay − 12 y 2 a 2 − 3ay − 4 y 2

x−3 (2 x − 5)x − 3

30a 2 + 77 a − 8 30a 2 − 13a + 1

t−2 (3t − 5)t − 2

2r 2 − rs − 3s 2 3r 2 + 5rs + 2 s 2

y−2 y (2 y − 4 ) + ( y − 4 ) + 2

x2 + x − 6 x 2 + 5x + 6

nq − 2nt − 2mt + mq 2nq − nt − mt + 2mq

3

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 3. Resuelva cada una de las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas, reduzca al máximo su resultado. y2 x+ y + 2 2 2x + y 4x − y

4 2 + 2 x −1 1− x 2

 x  y   − x− y x− y −

4b 2 2 g − 4b + 2 2 g −b g −b

3a 6a 2 − 2 1− a a −1

1 2a 2a 3 − a 2 + 1 + − a2 a +1 a 2 (a + 1)

a2 a − 2 2 a+b a −b

1 1 4b 2 − 4b − 1 − + 2 2 b2 −1 b2 b b −1

(

1 4x − 2 x − 1 4x − 4

)

4 a 2 + 5a + 2 1 2 − − 2 2 a +1 a a (a + 1)

2 1 − 1+ x 1− x2

2x 4 xy x− y − − 2 2 x −y ( x + y ) ( x − y ) ( x + y )2 2

2 2x − x +1 x

a2 1 4a 2 a2 − a + − − a 2 + 1 a − 1 a 4 − 1 (a + 1) a 2 + 1

(

5 4 − x−2 x+2

)

3b 2 − 11ab 10ab 4a − b + 2 + 2 (2a − b )(a + 2b ) a − 4b 2a − b

4 x + 2x − 1 x − 4x

a 2 − 3ab 4ab 3ab − 2 + 2 (a − b )(a − 2b ) a − b (a + b )(a − 2b )

x x−2 − x −1 x +1

2 9 − 3a + 1 (3a + 1)2

24dv 10dv 2d − 3v − + 2 2 (d + v )(2d − 3v ) 2d + 3v 4 d − 9v

5 8 3 + − 2 t − 1 (t − 1) (t − 1)3

10dv 2dv 4d 2 − 18dv + + (2d + 3v )(d − v ) (2d − 3v )(d − v ) 4d 2 − 9v 2

2 1 2b − + 2 b+3 b−3 b −9

5a 2 − 2ay 6ay 2a − y + 2 − 2 (a − y )(2a + y ) 4a − y a − y

6 a + y 2a + 3a − 9 y 3 y

4

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 4. Resuelva cada una de las siguientes multiplicaciones y divisiones de fracciones algebraicas, reduzca al máximo su resultado. a 2 − 2ab + b 2 ÷ (a − b ) a−b

2x + 1 12 x − 3 ⋅ (x − 1)4 x + 1 2 x − 1 2

2 x 4 1− 2 x 1−

3x + 2 27 x − 12 ⋅ (9 x − 12)x + 4 3x − 2 2

x2 − 9 − 6 x + 3x 2 + 3 ⋅ (x − 2)x + 1 − 2 x 2 − 2 x + 12

1  x  − 1  − x  x  x + 1 

 1  1  − 1 + 1   x − 1  x + 1 

x+ y x− y ⋅ y−x x+ y

1  2 x    x −   4 x  2 x − 1  

1−

x −2

a   b − a     a − a + b   b  2

− 2m m2 ÷ m − 1 2m 2 − m − 1

(2 − x ) ÷ (4 − x ) −1

1 x

−2

1 2x + 1 ÷ 2 x + 1 3x − 3

3 4 − a −1 a +1 a −1 a +1 − 3 4

2( x − 1) x −1 ÷ x + 2x + 1 x + 1 2

a2 + x2 a2 − x2 a−x a+x − a+x a−x 1−

2x 4 ÷ x − x ( x − 1)2 2

1 x − 2 2x − 4 − ÷ x x x

2y x− y x+ y 2− x− y

1−

 1   x  − 1 ÷     x +1   x −1

2  a −1 h −1 1 − ⋅   2  h − 1  (h − a ) h ah − 1 − 2 a + h a − h2

3 m m m−3

1+

5

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 5. Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas, utilice la fórmula general en caso de que las soluciones sean decimales.

3x(2 x + 3) = 2 x + 3

25( x + 2 ) = (x − 7 ) − 81

(x + 5)(2 x − 1) = x(x + 9)

3x(x − 2) − (x − 6) = 23(x − 3)

(x − 1)2

7( x − 3) − 5 x 2 − 1 = x 2 − 5( x + 2 )

2

2

(

= 2x − 3

)

6 x 2 + a 2 = 5ax

(x − 5)2 − (x − 6 )2 = (2 x − 3)2 − 118

(2 x − 1)2

(5 x − 2 )2 − (3 x − 1)2 − x 2 − 60 = 0

=

9 4

(5 x − 4 )2 − (3 x + 5)(2 x − 1) = 20 x(x − 2 ) + 27

2 x( x − 2) + 2 = 5 − 3x

(

(2 x − 3)2

= 2 7 − x2

x 2 = 19 x − 88

)

(x − 1)2 + 11x + 199 = 3 x 2 − (x − 2 )2

125 − 5 x = 0 2

(x − 1)(x + 2) − (2 x − 3)(x + 4) − x + 14 = 0

(1 − x )(2 x + 3) − 1 = 2

(x − 2)(x + 2) − 7(x − 1) = 21

( x − 4 )2 + 2 ( x − 4 ) + 1 = 0

(

)

5 x( x − 1) − 2 2 x 2 − 7 x = −8

t 2 − 5t + 6 = 0 x2 − 9 = 0

(x − 2 )2 − (2 x + 3)2

g 2 − 11g + 30 = 0

x( x − 1) − 5( x − 2 ) = 2

49 a 2 − 1 = 0

( x + 2 )2 − 2 x − 5 = 3 3

a = 5( 2a − 5)

= −80

3

2

3 x 2 = 48

t (t + 3) = 10

5 x 2 − 9 = 46

x(x + 3) = 5 x + 3

7 x 2 + 14 = 0

3(3x − 2) = ( x + 4)( x − 4)

(

(2 x − 3)(2 x + 3) − 135 = 0

)

9 x + 1 = 3 x 2 − 5 − ( x − 3)( x + 2 )

3( x + 2 )( x − 2 ) = ( x − 4 ) + 8 x 2

(2 x − 3)2 −(x + 5)2 = −23

(2 x − 1)(x + 2) − (x + 4)(x − 1) + 5 = 0 6

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 6. Halle el conjunto solución y el conjunto de restricciones de las siguientes ecuaciones fraccionarias. Recordar excluir del conjunto solución el conjunto de restricciones. 5 1 − =1 x x+2

x − 1 x + 1 2x + 9 + = x +1 x −1 x + 3

15 11x − 5 − = −1 x x2

3 1 1 − = x + 2 x − 2 x −1

8x 5x − 1 + =3 3x + 5 x + 1

x+2 74 +x= x x

1 1 1 − = x − 2 x −1 6

x 3 x + 15 +x= x−2 4

1−

x −1 x+3 −2= x +1 3

2x − 3 x − 2 = x+5 10

x − 13 10(5 x + 3) = 5− x x2

4x − 1 2x −1 = 2x + 3 6x + 5

x x−2 5 − = x−2 x 2

3x + 2 9 x + 14 = 5− 4 12 x

4 x 2 1 − 3 x 20 x − = x −1 4 3

4 3 10 − = a − 3 a − 1 (a − 3)(a − 1)

3x − 1 2x 7 − − =0 x 2x − 1 6

11 2 = 6t + 1 t + 1

5x − 8 7 x − 4 = x −1 x+2

3 2 6 − = 2 a − 4 a − 3 a − 7 a + 12

x + 3 5x − 1 − =0 2x − 1 4x + 7

4 6 −6 + = 2 x + 4 2 x + 3 2 x + 11x + 12

1 1 1 − = 4 − x 6 x +1

2 3 6 − = 2 h − 2 2h − 3 2 h − 7 h + 6

x+4 x+2 1 − = x + 5 x + 3 24

3 2 6 − = a + 3 2a − 5 3a − 13

5 6 29 − = 2 x −1 x +1 8

5 4 12t + 6 + = 2 2t + 1 t − 1 2t − t − 1

7

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 7. Resuelva los siguiente sistemas de ecuaciones, puede utilizar cualquier método de resolución. − 10 x − 2 y = 30  18 x + 6 y = −18

x + y y + =4  2  3 3 x − y = 2

16h − 11b + 17 = 11h + 6b + 17  9h − 9b + 21 = −14h + 8b − 23

 h + b 2h − 3b 5 + =  4 4  8 2h − b = 7

− 11x − 14b = −37  − 13 x − 5b = 14

 g g − 3b 3 =  + 6 4 4  g + b = 4

− 3h + 2b = −11  − 5h + 2b = −12

1  a + 3b a + =−  6 12  4 a + 4b = 2

5h − 6b − 20 = 3h − 8b − 26  2h + 20b + 6 = −16h − 7b + 24 13 g − 6b = 5  6 g + 4b = 6

 a − 2b + 1 =2   2a − 5b + 2 a − 2b = 1

− 2t + 2b + 16 = 8t − 5b + 22  21t + 11b + 18 = 6t + 20b + 36

4  2a − 2b a − b + =−  2 3 3   a + 2b + 3a + 2b = 6  4 3

− 13t + 2b = −21  2t − 3b = −16 8h − 5b = −13  − 10h + 9b = −15

2g + b g + b 3  4 + 6 = 4   2 g + 2b − 3 g + 2b = 0  3 2

14h − 7b − 12 = −7 h − 16b + 30  − 17 h − 18b − 6 = −17 h − 14b + 50

 t + b 3t + 2b 1  2 + 3 = 6   2t + b − 4t + 3b = − 2  3 2 3

11h − 8b = 4  − 7 h + 11b = −4 10a + 2b = 21  18a + 8b = 5

 2h + 3b − 1 =2   2h − b + 2 h + 2b = 11

6 g − 19b − 15 = −6 g + 14b − 24  − 15 g − 12b − 4 = −17 g − 5b − 13

8

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 8. Resuelva cada uno de los siguientes problemas que involucran en su solución la ecuación de segundo grado con una incógnita. 1. En un rectángulo, el perímetro mide 40 cm y el área es de 64 cm 2 . ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?

9. La suma de los cuadrados de tres números es 549. Si el segundo es dos tercios del primero y el tercero es la mitad del primero, entonces ¿Cuáles son los números?

2. La diferencia de los cuadrados de dos números consecutivos es -17. Hallar dichos números.

10. Si el área de un terreno rectangular mide 896 m 2 y el largo excede al ancho en 4m, entonces ¿Cuál es la longitud en metros del largo del rectángulo?

3. Halle dos números cuyo producto sea -6 y su suma sea 4. 4. El producto de dos números es 408 y el mayor de ellos es 3 unidades mayor que seis veces el menor. ¿Cuáles son los números?

11. El área de un rectángulo es 15 m 2 . Si el largo es igual a 4 aumentado en el triple del ancho, entonces ¿Cuál es la longitud del largo del rectángulo?

5. Halle una ecuación cuadrática que tenga por soluciones el opuesto aditivo y el inverso multiplicativo de 2.

12. La suma de dos números es 23 y su producto es 102 ¿Cuáles son esos números?

6. Una sala de sesiones tiene 13m de ancho y 16m de largo, y quieren alfombrarla, excepto un borde de ancho uniforme. ¿Qué dimensiones deberá tener la alfombra si su área es de 108 m 2 ?

13. Si el área de un rombo es 6,4 m 2 y la longitud de una diagonal es un quinto del cuádruplo de la longitud de la otra diagonal, entonces ¿Cuál es la medida de la diagonal de mayor longitud?

7. El largo de un rectángulo es el doble que el ancho x . Si el ancho y el largo del rectángulo se duplicaran, el área sería de 400 m 2 . Calcular las dimensiones originales del rectángulo.

14. El área de un rectángulo es 225 m 2 y su perímetro es 95m. ¿Cuánto mide el ancho del rectángulo? 15. Un terreno rectangular de 5m por 21m es rodeado por un camino de ancho uniforme. Determinar el ancho del camino si el área del camino es 120 m 2 .

8. El producto de dos números enteros consecutivos es 156. ¿Cuáles son esos números?

9

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 16. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 2cm más que un cateto y 16cm más que el otro cateto. ¿Cuál es el área de ese triángulo?

26. La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 184. Hallar los números.

17. La suma de un número y su cuadrado es 42. ¿Cuál es ese número?

27. La longitud de una sala excede a su ancho en 4m. Si cada dimensión se aumenta en 4m el área será doble. Hallar las dimensiones de la sala.

18. Las áreas de dos cuadrados difieren en 57 cm 2 . Si el lado de uno mide 3cm más que el lado del otro. ¿Cuáles son las dimensiones de esos cuadrados?

28. La suma de las edades de A y B es 23 años y su productos es 102. Hallar ambas edades. 29. Hallar tres números consecutivos tales que el cociente del mayor entre el 3 del menor equivalga a los 10 número intermedio.

19. La diagonal de un rectángulo mide 3m más que su longitud y 6m más que su anchura ¿Cuáles son las dimensiones de ese rectángulo? 20. Si la suma de dos números es 42 y su producto es 432. Determine los dos números.

30. El producto de dos números es 5 180 y su cociente es . Hallar 4 los números.

21. El área de un rectángulo es 24. Si el largo es igual a 2 aumentado en el doble del ancho, determine la longitud del largo del rectángulo.

31. La edad de A hace 6 años era la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años. Hallar la edad actual.

22. La suma de dos números es 16 y la diferencia de sus cuadrados es 32. Hallar los números.

32. El cociente de dividir 84 entre cierto número excede en 5 a éste número. Hallar el número.

23. En un triángulo la base es 3 veces más grande que la altura y el área del triángulo es 37.5 cm 2 . Determine la longitud de la base y la altura del triángulo.

33. Miguel es 6 años mayor que su hermana, y la suma de sus edades es 68. Hallar la edad de la hermana de Miguel. 34. Dos lados de un triángulo son iguales, y el tercero es 5 unidades menor que la suma de los dos lados iguales. Hallar la longitud de los lados si se sabe que el perímetro del triángulo es 47.

24. La diferencia de dos números es 14 y la cuarta parte de su suma es 13. Hallar los números. 25. La suma de dos números es 1429 y su diferencia es 101. Hallar los números. 10

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FUNCIONES y

l1

2

–2

–1

1

• 3

x

l2 •–4

10

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 1. Indique si cada una de las relaciones propuestas definen una función o no. En caso afirmativo, determine el domino y el rango. •

{(2,4), (6,8), (10,12), (6,14), (2,16)}

•

{(m, n) : m = 1, n = 1}

•

{(− 5,4), (0,6), (5,2), (10,6)}

•

{(a,1), (a,2), (a,1), (a,2), (a,1)}

•

{(a,1), (a,2), ( y,1), ( y,2), (z,1)}

•

{(3,1), (4,2), (5,3), (0,0), (7,8)}

•

{(2,0), (2,1), (2,2), (2,7), (2,10)}

•

{(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}

•

{(1,1), (1,2), (2,2), (3,1)}

•

{(g , b ) : 0 ≤ g ≤ 8, b = 7}

•

{(− 1,1), (− 2,2), (− 3,3), (− 4,4), (− 5,5)}

•

{(0,0), (0,0), (0,0), (0,0), (0,1)}

•

{(3,2), (2,−1), (1,2)}

•

{(− 2,−1), (− 1,−1), (0,0), (1,1), (2,1)}

•

{(0,0), (0,0), (0,0), (0,0), (0,0)}

•

{(− 3,0), (0,3), (3,0)}

•

{(3,1), (4,2), (5,3)}

•

{(− 4,5), (− 2,0), (0,4), (− 2,3), (− 4,0)}

•

{( p, q ) : p = 1, q = 2}

•

{(1,1), (1,4), (1,−3), (0,0), (2,0)}

•

{(1,−1), (2,−1), (3,−1), (4,−1)}

•

{(1,1), (2,2), (3,3), (− 1,−1)}

•

{(g , b ) : 0 ≤ g ≤ 1, b = g}

•

{(0,0), (1,−1), (− 1,1), (2,−2), (3,−3)}

•

{(− 1,14), (− 8,2), (− 3,32), (− 9,4), (− 1,5)}

•

{(2,1), (0,3), (3,0), (− 1,4), (9,−6)}

•

{(2,54), (6,8), (11,2), (67,14), (2,16)}

•

{(0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16)}

2. Escribir una fórmula que defina cada una de las funciones siguientes 1. El perímetro, P , de un cuadrado es cuatro veces el lado, l . 2. El volumen, V , de un cubo es la tercera potencia de su arista, a . 3. El área de un cuadrado en función de: su diagonal, su lado, su perímetro. 4. El área de un círculo en función de su radio. 5. La altura de un triángulo cuya área es 2 m 2 , como función de la base.

11

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 3. Para cada una de las siguientes funciones calcule las imágenes y preimágenes indicadas. 1− x 1. Si g es una función definida por g ( x ) = entonces calcule la preimágen de -3 2 2. Para la función dada por f ( x ) =

4 − 3x calcule la preimágen de -6 2

3. Para la función dada por f ( x ) =

7 − 3x calcule la preimágen de -2 5

4. Si f ( x ) =

2−x , entonces calcule f (− 1) 3

5. Para la función dada por f ( x ) = 1 −

1 1 calcule la imagen de − x 2

6. Para la función dada por f ( x ) = 2 x − x 2 calcule la imagen de -3 7. Para la función dada por f ( x ) = − x 2 − 2 x calcule la imagen de -3 8. Para la función dada por f ( x ) = − x 2 − x calcule la imagen de -2 9. Para la función dada por f ( x ) = 1 −

10. Calcule la imagen de

2−x calcule la imagen de -1 2

1 en la función f ( x ) = 21− x 4

11. Si g es una función definida por g ( x ) = 3 2 x 3 + 1 calcule la imagen de -2 12. Para la función dada por f ( x ) =

3x 1 calcule la imagen de − 1 − 3x 3

13. Para la función dada por f ( x ) = 2 x − x 2 calcule la imagen de -3 14. Para la función dada por f ( x ) =

2x − 1 1 calcule la preimágen de 3 2

15. Sea f una función dada por f ( x ) = 5 x − 3 calcule la preimágen de 16. Para la función dada por f ( x ) =

4t − 1 1 calcule la imagen de 4 t + 2t − 1 2

17. Para la función dada por f ( x ) = 2 x − x 2 calcule la imagen de -16

12

2

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 4. Para cada una de las siguientes funciones determine el máximo dominio real para el cual se encuentran definidas. f (x ) =

6+ x 3− x

g (x ) =

g (x ) =

4x 2x − 1

3 x 2 −1 k (x ) = 4 − x2

h(x ) =

3x + 1 x2 − 4

s(x ) =

3x 2 − 4 x + 1 7 x − 2 − 3x 2

f (x ) =

x2 −1 x2 + x

h( x ) =

27

h(x ) =

x 2 + 2x + 1 x2 − x

f (x ) =

g (x ) =

x−2 x + 2x − 3

f (x ) = 2 + x + 2 x − 6

2

x−3 (3 − x )(2 + x )

r (x ) = f (x ) =

2−x 1 x +1 − 2 x − 3 x −1 3 x − 2 2x + 1

g (x ) =

x 2 + 2x + 1 x2 − x

h(x ) =

x2 −1 , a constante x+a

1

13

x −1

11

x+2 + 4− x

3x − 1 + x −1 2− x

t (x ) =

4+ x 2 x − 11x + 12 2

f (x ) =

x

w( x ) =

1 4 1 + + x x −1 x + 2

x

g (a ) =

(a − 1)2

y(x ) =

x x −1

g (x ) =

x+2 1− x

f (x ) = 3

x+3 1− x

f (x ) = 3 3 − x m(x ) = 3 − x

67x 2

h( x ) =

1

j (x ) =

2 x

g (x ) =

3x − 1 m(x ) = 2 x ( x − 3) l (x ) =

x −1

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 5. Hallar la ecuación y = mx + b y la intersección con los ejes coordenados de la recta que pasa por los puntos dados. Además determine si la recta resultante es creciente o decreciente.

(2,−3) y (− 1,1)

(− 9,83) y (− 8,75)

(2,−4) y (1,1)

(9,91) y (7,73)

(2,0) y (− 4,3)

(− 5,−12) y (− 10,−22)

(2,0) y (0,−4)

(3,14) y (5,26)

(− 2,3) y (0,−5)

(6,−18) y (5,−14)

(0,−2) y (3,0)

(9,−31) y (2,−3)

(− 3,−5) y (5,−5)

(− 2,−13) y (9,20)

(5,−34) y (11,−88)

(− 3,38) y (− 6,68)

(− 3,−7 ) y (2,13)

(− 10,108) y (− 2,28)

(− 4,15) y (− 3,9)

(− 3,−33) y (3,27)

(− 3,5) y (− 9,35)

(− 6,51) y (2,−29)

(− 11,72) y (5,−40)

(7,42) y (− 3,−28)

(− 3,32) y (− 9,80)

(11,92) y (− 4,−43)

6. Escriba las ecuaciones de las rectas dadas en la forma canónica ( y = mx + b ) 3x + 7 y = 9

8 x − 10 y = −6

− 4x + 5 y = 3

− 6x + 5 y = 2

7 x − 11 y = −7

− 2x + 2 y = 9

4 y − 9 x = −7

6 x − 4 y = −2

− 5 x + 7 y = −2

10 x − 4 y = −2

− 5x + 4 y = 9

5x + 4 y = 6

− 3 x + 11 y = −2

2 x + 3 y = −8

11x + 5 y = 8

3 x + y = −12

14

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 7. Determine la ecuación de la recta que satisface las condiciones descritas a continuación. 1. Pasa a través de (− 6,−7 ) , con pendiente -5 2. Pasa a través de (− 3,−1) , con pendiente 9 3. Pasa a través de (− 8,10) , con pendiente 2 4. Pasa a través de (5,−6 ) , con pendiente 2 5. Pasa a través de (3,−11) , con pendiente -3 6. Pasa a través de (5,6) , con pendiente 10 7. Pasa a través de (− 7,8) , con pendiente 5 8. Pasa a través de (− 2,5) , con pendiente 6 9. Pasa a través de (− 2,11) , con pendiente -3 10. Pasa a través de (− 5,3) , con pendiente -3 11. Pasa a través de (− 5,6) , con pendiente -6 12. Pasa a través de (− 7,−7 ) , con pendiente 2 13. Pasa a través de (1,2) y tiene la misma pendiente que la recta que pasa por (4,−1) y (3,6) 14. Pasa a través de (3,0) y tiene la misma pendiente que la recta 3 x + 2 y = 5 1  15. Pasa a través de  ,3  y tiene la misma pendiente que la recta − 4 x − 3 − y = 0 2  16. Pasa por (8,−2 ) y corta al eje y en 8. 17. La intersección con el eje y es 3, y tiene la misma pendiente que la recta 2 x + 3 y = −8 18. La intersección con el eje y es -4, y tiene la misma pendiente que la recta y =

1 x−4 5

19. Corta al eje x en 4 y al eje y en -3 20. El grado de inclinación de la recta es

1 y corta al eje x en 3 2

21. Determinar a de tal manera que 3 x + ay = 9 tenga la misma pendiente que la recta que pasa por (7,−2) y (5,−1) 22. Hallar k tal que la recta que pasa por (4, k ) y (− 1,3) tenga la misma intersección con el eje y , que la recta x + 3 y = 6 23. Si (− 1,3), (4,2), (− 7,5) son los tres vértices consecutivos de un paralelogramo, halle el cuarto vértice.

15

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 8. Obtenga la ecuación de la recta que satisfaga las condiciones dadas. 1. Pasa por (7,−3) y es perpendicular a la recta 2 x − 5 y = 8 2. Pasa por (1,3) y es perpendicular a la recta y = −3 x + 2 3. Pasa por (2,−3) y es perpendicular a la recta x − 3 y + 1 = 0 4. Pasa por (− 6,3) y es perpendicular a la recta 5 x − 10 y = 3 5. Pasa por (1,3) y es paralela a la recta y = −3 x + 2 6. Pasa por (− 2,4 ) y es paralela a la recta 3 x + y − 2 = 0 7. Pasa por (4,5) y es paralela a la recta 7 x + 6 y = −3 8. Pasa por (− 3,2) y es paralela a la recta 3 x + 5 y = 2 9. Pasa por (− 5,4) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (1,1) y (3,7 ) 10. Pasa por (1,4) y es paralela a la recta − 4 x + 6 y = 2 11. Pasa por (− 3,2) y es perpendicular a la recta 5 x − 3 y + 21 = 0 12. Hallar la ecuación de una recta paralela a 2 x + 3 y = 5 13. Hallar el grado de inclinación de una recta paralela a 2 x − 3 y = 1 14. Hallar la ecuación de una recta perpendicular a y = −2 x − 2 15. Hallar la ecuación de una recta perpendicular a 4 x − 5 y − 6 = 0 16. Hallar una recta perpendicular a la recta que pasa por los puntos (− 3,2) y (− 4,0) 17. Pasa por (− 3,0) y es perpendicular a la recta x − 2 y = 6 18. Hallar el punto de intersección de las rectas 2 y = 3x − 4 ; 3 y + 1 = 2 x 19. Hallar el punto de intersección de las rectas − x − y = −3 ; x + y = 4 20. Determine la intersección de las rectas 10 x − 2 y − 2 = 0 y y = 5 + 4 x 21. Dos rectas perpendiculares se intersecan en el punto (− 1,2) . Si la ecuación de una de las rectas es 2 y − x = 5 , entonces hallar la ecuación de la otra recta. 22. Hallar el valor de k para que la recta kx − 3 y = 10 sea paralela a la recta 2 x + 3 y = 6 23. Si 5 x + 2ky − 3 = 0 y 4k 2 x + 3 y + 1 = 0 son las ecuaciones que definen dos rectas perpendiculares. Hallar el valor de k 24. Si la recta definida por (5 − a )x + (3 + 2a ) y = 2a − 1 es perpendicular a la recta definida por y = − x + 12 . Hallar el valor de a 25. Hallar el valor de k para que la recta 5 x + 3 y = 4 sea paralela a la recta 7 x + ky = 1 16

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 9. Determine la inversa de cada una de las funciones (bien definidas) dadas. Suponga que tales funciones son biyectivas. f (x ) = x 3

f (x ) =

2−x 3

f ( x ) = 2 − 3x

f (x ) =

x −3 2

f (x ) =

x +3 4

f (x ) = 2 x − 6 f (x ) =

5 x −1

f ( x ) = −23

f (x ) = 3x −

2 x + 11

f (x ) = 8 x 2 + 7 x + 3 f (x ) = f (x ) =

1 2

f (x) = 3 − 2 x

1 x−2

f (x ) =

1 x

3+ x 4

f (x ) = 2 x −

f (x ) = x + 1 f ( x ) = −33 6 x − 6 f ( x ) = 7( x − 7 ) − 3

1 3

f (x ) =

2−x 5

f (x ) =

x −1 5

f (x ) =

1− x 2

3

f (x ) = 3

f (x ) =

x+2 − 11 2

− 10 x + 7 x −1

x  f ( x ) = 2 + 1 3 

f ( x ) = −9( x + 8 )

3

f (x ) = f ( x ) = 3( x − 8) + 4 3

17

1 − 2x 3

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 10. Realice el estudio completo de cada una de las siguientes funciones f : IR → IR . Debe calcular discriminante, concavidad, intersección con los ejes, vértice, eje de simetría, intervalos de crecimiento, decrecimiento y ámbito. Además debe trazar un bosquejo de la grafica correspondiente. f (x ) = x − x 2 + 6

f (x ) = 2 x 2 + x − 1

f (x ) = x 2 − 4 x + 3

f (x ) = x 2 − 3

f (x ) = − x 2 + 6 x − 8

f (x ) = − x 2 − 2

f (x ) = − x 2 + x − 6

f (x ) = x 2 − 2 x − 3

f ( x ) = −5 x 2 + 3 x

f ( x ) = −5 x 2 + 3 x + 1

f (x ) = 2 x 2 − 3x + 4

f (x ) = x 2 − x − 2

f ( x ) = −3 x 2 − 2 x − 1

f ( x ) = 3 x − x 2 + 10

f (x ) = x 2 − 4 x + 4

f (x ) = 3 − 5 x + 2 x 2

f (x ) = 3x 2 − 5 x − 2

f ( x ) = −5 x 2 + 3 x − 2

f (x ) = 3x 2 − 5 x + 1

f (x ) = (x − 4)

f (x ) = x 2 + 1

f (x ) = 4 − x 2

f ( x ) = x − x 2 − 12

f (x ) = 1 − 2 x 2 + x

f (x ) = 3 − 5 x + 2 x 2

f ( x ) = x( x − 2)

x 2 − 2x f (x ) = 2

f (x ) = 6 − x − 2 x 2

2

11. Encuentre el valor numérico de cada uno de los siguientes parámetros de manera que cumplan las condiciones dadas a continuación. • • • •

Hallar el valor de m para que f ( x ) = (2 − m )x 2 + 3 x + 3 sea una cóncava hacia arriba Hallar el valor de a para que f ( x ) = (a − 2 )x 2 + 3 x + 6 sea una cóncava hacia abajo. Sea f ( x ) = 2 x 2 + 4mx − 2 . Hallar el valor de m sabiendo que la coordenada en x del vértice es 16. Sea f ( x ) = 2 x 2 + 4mx − 2 . Hallar el valor de f (2) en función de m 18

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 12. Resuelva cada uno de los siguientes problemas haciendo uso de la función cuadrática. •

Sea f una función dada por f ( x ) = 20t − 4,9t 2 + 50 que describe la trayectoria a los “ t ” segundos de una piedra lanzada hacia arriba desde el techo de un edificio. ¿Cuál es aproximadamente el tiempo en segundo necesario para que la piedra alcance su máxima altura con respecto al suelo? ¿Cuál es aproximadamente la máxima altura en metros, con respecto al suelo, que alcanza la piedra?

•

Un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba, alcanza una altura h en metros dada por h( x ) = −4,9t 2 + 10t , donde t es el tiempo en segundos que tarda en alcanzar esa altura. ¿Cuál es aproximadamente la máxima altura que puede alcanzar ese objeto?

•

Un fabricante de ropa ha encontrado que cuando el precio por unidad es p colones, el ingreso R en colones está dado por R( p ) = −4 p 2 + 4000 p . ¿Cuál es el precio unitario en colones que se debe establecer para maximizar el ingreso?

•

Determine las dimensiones del corral rectangular de mayor área que puede construirse con 1.5 km de malla.

•

Dividir el número 120 en dos partes de modo que el producto de ellas sea lo mayor posible.

•

Hallar el valor máximo que se pude obtener al multiplicar dos números cuya suma sea 1.

•

Hallar dos números cuya suma sea 24 y cuyo producto sea tan grande como sea posible.

•

Las ventas en un teatro con capacidad de 40 asientos están dadas por 2 R ( x ) = 6000 + 60(40 − x ) − (40 − x ) , donde x es el número de asientos ocupados. Determine las ventas máximas y el número de asistentes que las producen.

•

Suponga que con una manguera se lanza un chorro de agua hacia arriba, describiendo una parábola con ecuación f (t ) = 160t − 5t 2 . Calcular la altura máxima del chorro.

•

Un precarista desea cercar un terreno en forma rectangular, utilizando como uno de los lados un muro ya existente. Si dispone de 100m de malla ¿Cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo para que éste tenga área máxima?

•

Un granjero dispone de 600m de malla con la cual desea encerrar un corral rectangular a lo largo de un río (el cual tiene forma rectilínea). Si no se va a utilizar malla en el lado que corresponde al río, ¿Qué dimensiones generarán el corral de mayor área?

19

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 13. Convierta las siguientes ecuaciones a su forma logarítmica 6 −5 =

1 77

4 −5 =

1 3

3 5

8 =2

3 −6 =

27

−

1 3

32 = 8

1 729

=

1 1024

6 −2 =

1 36

2 6 = 64

1 3

ab = c

2

83 = 4

a 2x = c

5 3 = 125

8 −2 =

1 64

1 6

8 −2 =

1 64

5 −3 =

1 125

64 = 2

14. Convierta las ecuaciones dadas a la forma exponencial log 5 3125 = 5

 1  log 3   = −5  243 

log 2 16 = 4

1 log 2   = −4  16 

log 3 9 = 2

log a a 2 = 2

log 8 512 = 3

log 6 46656 = 6

 1  log 6   = −2  36 

 1  log 5   = −6  15625 

log 6 1296 = 4

log a3 a 6 = 2

1 log 3   = −4  81 

20

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 15. Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales. 3 ⋅ 9 2 x = 27 x −1

1 5 7 x −5 =   5

x

 16     81 

2 x −1 = 16 125 − 5 2 x = 0

3   2

x −1

 8  =   27 

3− 2 x

3 x +5 ⋅

3

2 ⋅ 2x =

2x =

4

1 32

x

2   3

x −1

2 x +6

25 1 =  5 5

1 1 = x −3 9 81

4 8 x +1

 10  0,027 =    3

x+2

23x

5 t = 125

4 x −1 8

2x =

1 2 ⋅ = 8 x −1 4 2 x −3

=8

4 ⋅ 16 a = 64 a −1

64 = 5x 8

x

1    16 

3

x +1

1    16 

2 a −2 a +3 = 4 2

2 x −3

=8

x +1

e −2 a e 3 a = e 4

9 2 x = 3 ⋅ 27 x 3− 2 x

= 2 ⋅ 4x

27 = 3 x −1 x 9

64 = 4 ⋅ 2 x

2 2 x −5 = 128 x 3

27 x −1 = 9 x + 3

x

1 x +1   = 2 ⋅8 4  

1   3

4 9

8

x

1    16 

9 =  4

2x

=4

2 −x =

3 + 3 ⋅ 3 = 36 x

2 x −1

 9     25 

x −3

5 =  3

x+2

511− x = 58− x

x +1

= 9 2 x +1

7 x + 2 = 343

8

x −1

1 =  2

2x

21

− x +1

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 16. Resuelva cada uno de los siguientes problemas haciendo uso de la función exponencial. •

El crecimiento de una colonia de bacterias C , si se empiezan con 5000 bacterias, al cabo de t horas está dada por C (t ) = 5000 ⋅ 2 2t . ¿Cuál es el crecimiento de esa colonia de bacterias al cabo de 1,5 horas?

•

La función f dada por f ( x ) = 2e −0,35 x se utiliza para aproximar el área en centímetros cuadrados de una herida en la piel después de x días de producida. ¿Cuál es aproximadamente el área en centímetros cuadrados de la herida después del cuarto día en que se produjo?

•

Se dispone de una cartulina de 1mm de espesor que se puede doblar sucesivamente de modo que cada doblez se hace sobre el anterior. Si la relación entre la altura h de la cartulina doblada y el número de dobleces x está dada por h( x ) = 2 x , entonces ¿Cuántos dobleces se han realizado si en el ultimo doblez se alcanza una altura de 8mm?

•

La función f dada por f ( x ) = Pe 0, 05 x sirve para aproximar el interés ganado al final de un periodo de pago y que se agrega al capital inicial P a los x años. ¿Cuántos años se requieren aproximadamente para duplicar el capital? −2 x 5

•

La función f dada por f ( x ) = 5e se utiliza para determinar la cantidad de miligramos de cierto medicamento en el flujo sanguíneo de un paciente, x horas después de su administración. Si a un paciente se le inyecta dicho medicamento a las 3 p.m., entonces ¿Qué cantidad en miligramos de ese medicamento tendrá aproximadamente el paciente a las 5 p.m. de ese mismo día?

•

Una población P = 100 000 personas aumenta a Pe 0.05 n , después de n años. Determine la población existente al cabo de 5 años.

•

Una sustancia radioactiva se descompone a una taza tal que si B es el número inicial de átomos de la sustancia, y N es el número remanente al cabo de t horas, entonces N = Be − kt , donde k es una constante. Si se empieza con 17000 átomos y 14500 es lo que queda al cabo de media hora. Determine el valor de la constante k.

•

El número n de bicicletas que un mecánico aprendiz puede ensamblar diariamente después de t días de entrenamiento está dado por n = 60 1 − e −0, 04t . Determine después de cuántos días de entrenamiento el mecánico armará 40 bicicletas diarias.

•

En una maquiladora, Steven puede coser P pantalones por día después de t días de entrenamiento, en donde P = 400 − 400e − t . ¿Cuántos pantalones coserá Steven al cabo de 1386 días?

[

22

]

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 17. Hallar el valor numérico de la incógnita x en cada una de las siguientes expresiones logarítmicas. −1 2

1 log 1   = x 2 8 

log x 8 =

log 1 16 = x

log x 3 =

−1 2

1 2 log 3   = x  81 

log 2 x =

1 3

log x 3 = 4

log 1 x =

1 3

4

8

log x = −3

log x 8 =

3 4

log 1 4 = x 2

log a a a = x log 1 x = −3 2

log x 2 2 = −2

1 log 2   = 5  x

log 3 3 x = 3

1 log 4   = x 2

1 log 1   = −2 x 3 

1 log x   = 3 3

− 3 log x = 3

log x 3 =

1 log 3   = x 9

1 2

3 log 4 = x

23

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 18. Utilice las propiedades de los logaritmos para formular las siguientes expresiones en términos de un solo logaritmo. log 2 x 2 − log 2 x 4

1 + log x x

2 log x − log

2 log x + 2 log(2 x ) − 2 log x

(

)

(

log 1 x 2 + x − log 1 x 2 − x

2

2

)

2

1 log c a 2 + log c   a

15   log 4 − 2 log x  24 

log a − log b − log c

1 3 1 ln ( x + 1) − ln x − ln y 2 + ln x 2 2 4

(

)

( )

(

log b 3 − 5 + log b 3 + 5

) log x 3 4

log b

(

)

2 − 1 + log b

(

)

m x3n

2 +1

 x   x +1 2 ln  + ln  − ln x − 1  x −1  x 

(

5 (log c a − log c b ) 2

)

log a + log 2 + log(a + 1)

log( x + 1) + log( x − 1) − log x

log x + log( x − 1) + log( x − 1) log 75 − log 45

3 log(a + 1) − 2 log x

( ) ( )

log x 10 −3 log x 2

2 log

(

− [log( x + 1) − log( x + 2)]

)

x + 3 + log( x − 3)

log z + 3 log a − log(a + 1)

n log a − log b − log c

4 log 5 h +

 y3  1 2 log  − 3 log y + log x 4 2  x  24

2 log 5 (h + 1) − log 5 (h + 23) 3

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 19. Haciendo uso de las propiedades de los logaritmos compruebe las siguientes identidades. log a 2 + log

1 3 + log a = log a a 2

1 2− 3 log = log 2 − 3 2 2+ 3 log ab + log

a 5 1 + log ab = log a + log b b 2 2

1 x2 −1 1 x −1 log + log = log( x − 1) − log 2 2 2 2 2x + 2 1 1 x +1 log x 2 + 3 x + 2 + log = log x + 1 4 4 x+2

(

)

1  log x −  = 2(log( x + 1) + log( x − 1) − log x ) x 

1 1 3 log a h + log a b + log a c = log a  h bc 3  2 4 4    t 2 (2t + b )  2 log t − 3 log z + log(2t + b ) = log   z3    tb 6  1 2 log a t + 6 log a b − log a c = log a   3 2 2 3  c 

 1 2 log z − log( g − 2b ) = log  2 

  (g − 2b )  z2

 zt 2  log z + 2 log t − log(t − 1) = log    t − 1  2t 2 + 5t + 3   3t − 1   2t + 3  log 2  = log 2   + log 2  2   3t + 2t − 1  2t − 3   2t − 3   a 2b  2 log x a + log x b − 3 log x c = log x  3  c 

25

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica

(

 a5 f 3   af  4 2 7 log 7   − log 7  8  = log 7 a f b b c   bc 

( )

)

( )

t log a tb 2 + 2 log a   = log a t 3 b

[

( )

log a 3 + 2 log a x + 3 log a y 3 = log a 3 x 2 y 9

]

 (t − 4 )(2t + 7 )5  log a (t − 4 ) + 5 log a (2t + 7 ) − log a t − 3 log a (3t + 8) = log a   3  t (3t + 8) 

(

)

 a 2 + 25 (7a − 96)  1 log 2 a 2 + 25 + log 2 (7a − 96) − log 2 3 − log 2 a − log 2 (5a + 37 ) = log 2   2  3a 5a + 37 

(

)

(

)

t t 3 − 2  log 4 t + log 4 t − 2 − log 4 (5t + 3) = log 4    5t + 3 

(

3

)

 h 4 3 h 2 + 2h + 1  2 4 log 5 h + log 5 (h + 1) − log 5 (h + 23) = log 5   3 h + 23  

 za 3  log z + 3 log a − log(a + 1) = log    a + 1  8 gb 4  log y 8 + log y g + 4 log y b − log y 7 − log y c = log y    7c   z (a + b )3  1 log z + 3 log(a + b ) − log(a − b ) = log   2  a−b 

(

1 log z + 2 log a + log(a + 3) = log za 2 3 a + 3 3

)

a2 b  1 log y  = 2 log y a + log y b − log y 5 − 3 log y c 3  2  5c   9c  1 1 log y   = log y 9 + log y c − log y 5 − 2 log y a − 2 log y b  5 ab 

log z + log a = log( za ) 26

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 20. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas, recuerde probar las soluciones obtenidas con el objetivo de excluir aquellas que indefinen la función. log 5 (2 x + 1) + log 5 (3 x − 1) = 2

log 3 x − log 3 2 = 3 − log 3 9

log 2 (6 x + 5) + log 2 x = 2

log 3 1 − x =

log( x − 1) = 2

log 2 ( x − 1) = 4 − log 2 3

log( x + 2) − log(4 x + 3) + log x = 0

log x − log 5 = log 2 − log( x − 3)

log 3 (2 x + 1) + log 3 x = 1

log 2 (log 3 x ) = 2

2 log 9 ( x − 1) = 1

log 3 x 2 − log 3 (2 x ) = 1

log 3 (4 x + 2 ) = 2 log 1 + x =

log(2 x − 1) + log x = 0

1 2

− log 8 ( x − 5) =

1 2

log 2 ( x − 1) + log 2 ( x + 2) = 2

(

)

− log 5 (2 x ) + log 5 x 2 − 9 = log 5 ( x − 3)

2 3

log 4 x − log( x − 2) = 1

log(2 x − 1) + log x = 0

(

)

(

)

log 1 x 2 + x − log 1 x 2 − x = 1

log x − log(2 − 3x ) = 1

2

2

log 3 x + 2 = log 3 5

2 log 8 x + 3 log 8 2 = log 8    x

log 2 ( x + 4 ) − log 2 ( x + 1) = 1

log 2 [log(2 x − 1)] = 1

log x + log( x − 3) = 1

3 2 log 3 x = log 3 3

log 3 (2 x ) − log 3 (x + 1) = −1

log 2 log 3 x 2 − 2 x = 0

log 2 ( x + 2) + log 2 ( x − 1) = 2

log 3 (t + 1) + log 3 (t + 3) = 1

log 3 x 2 + log 3 x = 2

log 6 (a + 1) + log 6 (a + 2 ) = 1

[

log 3 x 2 − log 3 (2 x ) = 1

(

)]

log x − 2 log 4 = log 32

 a+6 log   = log 2  a −1 

2 log x − log 2 = log 8

log 5 h 2 + 21h − 10 − log 5 (5h − 1) = 1

(

27

)

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GEOMETRÍA C2

P

S

C1 O

Q C3

R

27

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 1. Utilice los teoremas fundamentales de la circunferencia para resolver cada uno de los siguientes problemas. A

E

O

B

C

A O

C

D B

Si en la circunferencia de centro O, OC = 20 y AB = 32 . Entonces ¿Cuál es, en centímetros, la medida de EC ?

En la figura adjunta CD es tangente a la circunferencia en D y además CD = 2 2 y BC = 2 . Hallar la medida de CA .

En una circunferencia de diámetro 20cm , si la distancia de una cuerda al centro es de 6cm ¿Cuál es la medida de la cuerda?

20 8

En una circunferencia, la longitud de una cuerda es 10. Si la distancia de esa cuerda al centro de la circunferencia es 4, entonces ¿Cuál es la longitud del radio?

X 30

B

A

De acuerdo con los datos de la figura encuentre la medida del segmento x.

C

O

B

C

En la figura AB es un diámetro, si AB = 25 y BD = 5 . Hallar la medida de CD .

D BC= 120º

O

D

A

De acuerdo con los datos de la figura si AB = 12 y AC = 6 5 , entonces ¿Cuál es la distancia de AB al centro de la circunferencia?

P

B

65º

C

θ

A

Si BC = 24 , AD = 9 y la distancia del centro O a BC = 4 3 , entonces ¿Cuál

A

Q

En la figura PA y QA son tangentes. Hallar la m∠θ .

es la medida de OC ? 28

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica En una circunferencia de radio 8cm, una cuerda dista 6cm del centro, entonces ¿Cuál es la longitud de dicha cuerda? A

H

es tangente en M, Si AM m∠AMB = 60º y MB = 18 . Hallar la medida del radio de la circunferencia.

C

C

O

30º

A

B

O I

D

B

D

En la figura adjunta AC y BD son cuerdas equidistantes del centro O. Además HI = 24cm . Si la longitud del radio de la circunferencia es de 14cm . Halla las medidas de AC y BD .

De acuerdo con los datos de la figura, si AD y CB son cuerdas equidistantes del centro y AB = 12cm . Hallar la distancia entre AD y el centro O.

C

M

R

A

B

E

S

O

O P

Q

N

De acuerdo con los datos de la figura, si RS y PQ son cuerdas equidistantes del

D

De acuerdo con la figura el radio de la circunferencia es de 15cm y CE = 4cm . Hallar la medida de AB .

P

M

A

centro, NS = 2 3 y ON = 2 , entonces ¿Cuál es la medida del radio?

B

M

P

N C

De acuerdo con los datos de la figura, si AB y AC son dos cuerdas congruentes de la circunferencia de centro P, AM = MP y AC = 8 . Hallar la medida del diámetro de la circunferencia.

De acuerdo con los datos de la figura, si NP es tangente en N a la circunferencia de centro O, m∠PNM = 60º y NO = 6 . Hallar la medida de MN .

A

Si AC y BD son diámetros de una circunferencia de centro O, AB = CD = OA y la medida del radio es 12cm, entonces ¿Cuál es la distancia entre las cuerdas AB y CD ?

M

O

O

B

29

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica

A

A

M

P

O

B

B

De acuerdo con los datos de la figura, si AM = MB , PM = 5 y el radio de la circunferencia mide 39 , entonces ¿Cuál es la longitud de la cuerda AB ?

De acuerdo con los datos de la figura, si los radios de las circunferencias concéntricas miden 17 y 8 respectivamente, entonces ¿Cuál es la medida de AB ? A

E

C2

D

B P

C S

De acuerdo con los datos de la figura, si AC , CE y BD son cuerdas equidistantes del centro de la circunferencia cuyo radio mide 6 2 y m∠ACE = 60º , entonces ¿Cuál es la medida de BD ?

C1 O

Q C3

R

Sean C1 , C2 y C 3 , circunferencias cuyos centros son O, P y Q, respectivamente. Si C1 y C2 son tangentes interiormente en R; C2 y C 3 son tangentes exteriormente en S, OR = 4 , PR = 10 , SQ = 5 , entonces ¿Cuál es la distancia entre los centros de las circunferencias C1 y C 3 ?

P Q O

R

De acuerdo con los datos de la figura, si las circunferencias de centro O y P son tangentes interiormente, PQ = 2 y OR = 7 , entonces ¿Cuál es la medida del radio de una circunferencia concéntrica a la circunferencia de centro O y que contiene al punto P?

M

60º

B

A

A

M

En la circunferencia dada, la medida del diámetro es 2 3 , AM y MB son cuerdas equidistantes del centro. ¿Cuál es la medida de AM ?

B

O N C

Si cuadrilátero BMON es un cuadrado y la medida del radio de la circunferencia es 5 2 ; entonces ¿Cuál es la longitud de BC ? 30

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica

C B

M A O

E B D A

El radio de la circunferencia de centro O mide 6cm, AB = 2 . Hallar la medida de EC .

En la circunferencia dada, AM y MB son cuerdas equidistantes del centro, m∠AMB = 60º y AB = 2 6 ¿Cuál es la medida del radio? C

B A α

Q

A

P C

D B

En la figura adjunta, AD y BC son tangentes comunes a los círculos de centros Q y P. Si PA = 12 , QB = 10 y m∠α = 60º , entonces ¿Cuál es la medida del segmento que une los centros de dichas circunferencias?

Si AC y AB son rectas tangentes a la circunferencia en C y B, respectivamente, AC ⊥ AB y la medida del diámetro es 12, entonces ¿Cuál es la medida de BC ?

Q D C

En una circunferencia cuyo diámetro mide 16cm, se traza una cuerda de longitud 12cm, ¿A qué distancia del centro de la circunferencia se encuentra dicha cuerda?

O B A

En la gráfica las circunferencias de centro O son concéntricas y AQ es tangente. Si AB = 5 y AQ = 30 , entonces ¿Cuál es la

M

medida de BC ? A

B C

A

P O

D

B

La circunferencia de la figura adjunta está trisecada y su diámetro mide 2cm ¿Cuál es el área del ∆ABM ?

Las circunferencias de centro P y de centro O son tangentes interiores en el punto D. OA y OB son segmentos tangentes. Si PD 1 y PD = k , entonces hallar la = CD 8 medida de OA en términos de k . 31

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 2. Utilice las relaciones de los ángulos con los arcos de la circunferencia para resolver cada uno de los siguientes problemas.

A P

A

20º

80º

52º

P

B

B C

40º

De acuerdo con los datos de la figura ¿Cuál es la medida del arco ABC?

De acuerdo con los datos de la figura, si AB es tangente a la circunferencia en B, entonces ¿Cuál es la media del arco que subtiende el ángulo seminscrito?

4º x β 5º x

α γ

3º x α 5º x

3º x

De acuerdo con los datos de la figura, ¿Cuál es la medida del ∠α , ∠β y ∠γ ?

7º x

B

De acuerdo con los datos de la figura, ¿Cuál es la medida del ∠α ?

C

D

A

O

C

O

A

B

De acuerdo con los datos de la figura, si AB es diámetro y medida del arco BC es 30º , entonces ¿Cuál es la medida del ∠DOB ?

De acuerdo con los datos de la figura, si la medida del arco AC es 40º, entonces ¿Cuál es la medida del ∠BAO ?

A

A

64º

C

B

O

D

O M B

C

De acuerdo con los datos de la figura, si AB y AC son congruentes y la medida del arco BMD es 70º, ¿Cuál es la medida del ángulo ABD ?

De acuerdo con los datos de la figura, si m∠AOC = 96º , entonces ¿Cuál es la medida del ∠ABC ? 32

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica

M

D

D

A 50º

α

60º

A

O

O

B

B C

C

De acuerdo con los datos de la figura, ¿Cuál es la medida del ∠α ?

De acuerdo con los datos de la figura, si medida del arco AMD es 160º, entonces ¿Cuál es la medida del arco AC ?

R

C

O X

S

80º

40º

A

B

O

70º B Y

D

De acuerdo con los datos de la figura, si CD es un diámetro y la medida del arco (menor) CB es la mitad de la medida del arco (mayor) AC , entonces ¿Cuál es la medida del ∠COB ?

En la figura XY es tangente en B a la circunferencia de centro O, entonces ¿Cuál es la m∠ROS ? K α

140º

A

50º

B

B

De acuerdo con los datos de la figura en la que BK es tangente a la circunferencia en k ¿Cuál es el valor de α ? A

C O

D

De acuerdo de los datos de la figura, si AB es tangente en B a la circunferencia de centro O y DC es un diámetro, entonces ¿Cuál es la medida del ∠BCD ?

α O

B

80º

116º

D A N

C

De acuerdo con los datos de la figura en la que BC es tangente a la circunferencia en B, ¿Cuál es el valor de α ?

C

M

O

B

De acuerdo con la figura, si MO = NO y m∠ABO = 42º , entonces ¿Cuál es la medida del arco (menor) DC ?

33

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica

M

C 70º

70º P

A

O

A

B

M

B

De acuerdo con los datos de la circunferencia de centro P ¿Cuál es la m∠AMB ?

De acuerdo con los datos de la circunferencia de centro O ¿Cuál es la medida del arco menor AM ? R

C M

A

D

40º

O

O

P

48º

M S B

De acuerdo con los datos de la figura, si AM = MD , ¿Cuál es la medida del ∠ADB ?

De acuerdo con los datos de la figura, si R y S son puntos de tangencia, entonces ¿Cuál es la medida del arco RMS ?

E

C 42º

A

B

O

O

B

C

D

D

De acuerdo con los datos de la figura, si DC es tangente al círculo en C, AB es un diámetro y m∠DCB = 116º , entonces ¿Cuál es la medida del arco EAC ?

De acuerdo con los datos de la figura, si la medida del arco CD = 118º y m∠BOC = 106º , entonces ¿Cuál es la medida del ∠OBD ? C

B A

86º AB ≅ AC

O

C

A

B

D

De acuerdo con los datos de la figura, si CD es tangente en C, entonces ¿Cuál es la medida del arco (menor) AB ?

34

De acuerdo con los datos de la figura, si m∠COA = 132º . Hallar la medida del ∠ABC .

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica

D

A

E

B

E B

A O

C

C

En la figura, el diámetro AB es perpendicular a la cuerda CD , si la medida del arco menor CD = 80º . Halle la medida del ∠BOE .

De acuerdo con los datos de la figura, los arcos AB y BC son congruentes y además la m∠ACB = 38º . Hallar la medida del ∠EAC .

B

S

O

M A

A

C

O

D

En la figura, OD ⊥ AC , O es el centro y m∠AOD = 50º . Hallar la medida del ∠ABC . B

3X O

A

120º

R

De acuerdo con los datos de la figura, si A es el punto de tangencia de AS y la circunferencia de centro O y m∠MAS = 58º , entonces halle la medida del arco MR . A

C

De acuerdo con los datos de la figura, halle el valor de la incógnita x . D

B O

A

C

40º

5X C

B

De acuerdo con los datos de la figura, halle el valor de la incógnita x .

En la circunferencia de centro O, la razón entre el arco AB y el arco BC es 2 : 5. Si el arco mayor excede al menor en 24 º . Hallar la medida del ∠AOB . α

C

O β

A O

52º

B

De acuerdo con los datos de la figura, halle el valor de la incógnita α .

En la figura AO = OB = BC Hallar el valor del ∠β . 35

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 3. Determine cada una de las siguientes áreas sombreadas. E

C

D

F

A

C

O

B

A

B

La figura adjunta corresponde a un hexágono regular de lado 4cm. Hallar el área de la región destacada con negro. D

N

C

AC y AB tangentes a la circunferencia de radio 4cm y centro O, el ∠CAB = 60º . Hallar el área de la región destacada con negro. B

C O

M

E A

D

B

P

El cuadrilátero ABCD corresponde a un cuadrado, donde M, N, O y P son los puntos medios de cada uno de sus lados. Si BM = 3 . Hallar el área de la región destacada con negro.

El cuadrilátero de la figura adjunta es un cuadrado de lado 6cm. Si ∆ABE es equilátero. Hallar el área de la región destacada con negro. C

B

A

A

F

D

A

C

D

El cuadrilátero ABCD corresponde a un cuadrado de lado 12cm, las ocho circunferencias implícitas son congruentes. Hallar el área de la región destacada con negro.

E

B

El ∆ABC es equilátero, D, E y F son los puntos medios de cada uno de sus lados. Si AB = 4 . Hallar el área de la región destacada con negro.

C D M

A

E

B

El ∆ABC es isósceles, el ∠CAB es recto, además BC = 10 . Hallar el área de la región destacada con negro.

36

La figura adjunta representa un cuadrado de 24cm de lado. Hallar el área de la región destacada con negro.

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica A

B B

A

O

C

D C

La figura adjunta representa un cuadrado de lado 6cm, cada lado está dividido en tres partes iguales. Hallar el área de la región destacada con negro. D

A

D

De acuerdo con los datos de la figura, si cuadrilátero ABCD es un cuadrado inscrito en una circunferencia de centro O, AB = 6 , entonces hallar las sumas de las áreas de las regiones destacadas con negro.

C

B

El cuadrilátero anterior representa un cuadrado en el que A, B, C y D son los puntos medios de sus lados respectivos. Si BC = 4 2 . Hallar el área de la región destacada con negro. C

Hallar el área de la región destacada con gris, si se sabe que OB = 6 , la medida del arco AB = 90º .

B

A

La figura anterior representa un triángulo equilátero circunscrito a una circunferencia de radio 10cm. Hallar el área de la región destacada con negro. O

P

Q

De acuerdo con los datos de la figura, si AB = 4 y BO = 4 , entonces ¿Cuál es el área de la región destacada con negro? A

B P

Las circunferencias de centros O, P y Q son congruentes y cada uno de sus radios miden 6cm. Hallar el área de la región destacada con negro.

Hallar el área sombreada de la figura anterior, la cual está compuesta por dos semicircunferencias perpendiculares entre si y de radio 6cm. 37

O

De acuerdo con los datos de la figura, si las circunferencias de centros O y P, de radios OP y PB son tangentes interiormente, medida del arco AB = 120º y OP = 3 , entonces ¿Cuál es el área de la región destacada con negro?

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica

En un cuadrado de lado m desde los vértices opuestos, con radio m , se trazan arcos de semicircunferencias como se muestra en la figura anterior. Hallar el área de la región destacada. ¿Cuál es el área del segmento circular que corresponde a un ángulo central de 60º en una circunferencia en que la medida del radio es 12cm? B

C

A

D

De acuerdo con los datos de la figura, si cuadrilátero ABCD es un cuadrado y OA = 6 2 , entonces ¿Cuál es el área de la región destacada con negro?

Sea R la longitud del radio de una de las circunferencias. Si la longitud del radio de 3 la otra circunferencia es R, entonces 4 ¿Cuál es el área de la región destacada con negro?

De acuerdo con los datos de la figura, si M y P son los centros de las circunferencias, AQ = 4 y medida del arco EQD = 205º , entonces ¿Cuál es el área de las regiones destacadas con gris?

En la figura se tienen dos circunferencias con el mismo centro y de radios 6cm y 4cm. Las dos circunferencias están divididas por dos segmentos perpendiculares. Calcular el área sombreada.

S

R

A

De acuerdo con los datos de la figura, si AC es un diámetro y los arcos AB y BC son semicircunferencias cuyos diámetros miden respectivamente 4 y 8, entonces ¿Cuál es el área de la región destacada con negro?

P

B

De acuerdo con los datos de la figura, si RS = 10 2 y m∠RPS = 90º , entonces ¿Cuál es el área de la región destacada con negro?

38

En la figura hay 2 circunferencias de radio 18cm de centros O y P. Calcular el área sombreada.

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 3. Resuelva cada uno de los siguientes problemas relacionados con polígonos regulares. La medida de la apotema de un pentágono regular es 4 ¿Cuál es aproximadamente la longitud de cada lado del pentágono?

¿Cuál es la longitud del lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 4?

El área de un hexágono regular es 24 3 , ¿Cuál es el perímetro de ese hexágono?

Si la medida de la apotema de un triángulo equilátero es 12, entonces ¿Cuánto es el perímetro de dicho triángulo?

¿Cuál es aproximadamente la longitud de la circunferencia en la que se puede inscribir un pentágono regular cuyo perímetro es 3? El perímetro de un rectángulo es 36cm y el área es 32 cm 2 , entonces ¿Cuánto mide el largo del rectángulo? ¿En cuál polígono regular se pueden trazar un máximo de 20 diagonales en total?

En una misma circunferencia se inscribe y se circunscribe un triángulo equilátero. Si el radio de la circunferencia mide 2cm, ¿Cuánto mayor es el área del triángulo circunscrito con respecto al área del triángulo inscrito? Si la apotema de un hexágono regular mide 3cm, entonces ¿Cuánto medirá el perímetro de dicho hexágono?

El área de un hexágono regular es 72 3 cm 2 , entonces ¿Cuánto mide su apotema?

La longitud de una circunferencia es 8π . ¿Cuál es la medida de la apotema de un cuadrado inscrito en dicha circunferencia?

La medida del lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 5cm, es 8cm. Hallar el área de dicho pentágono.

Si la medida de la diagonal de un cuadrado es 8, entonces ¿Cuál es la longitud de la circunferencia inscrita es ese cuadrado?

Si la medida de cada uno de los lados de un pentágono regular es 12, entonces ¿Cuál es la medida de la apotema de dicho pentágono? Si el área de un cuadrado es 24, entonces ¿Cuál es la longitud de la circunferencia en la que se puede inscribir ese cuadrado? Si en un polígono regular la medida de cada uno de los ángulos internos es 162º , entonces ¿Cuál es la medida de un ángulo central de dicho polígono? La medida del radio de una circunferencia es 4 2 . Si el cuadrado ABCD está circunscrito a dicha circunferencia, entonces ¿Cuál es la medida de AD ?

39

Si la medida del radio de un dodecágono regular es 10, entonces ¿Cuál es aproximadamente la medida de cada lado del polígono? En un polígono regular, la medida de cada ángulo interno es 135º . Si el perímetro es 48, entonces ¿Cuál es la medida de cada lado del polígono? En un polígono regular, si desde uno de sus vértices se pueden trazar únicamente dos diagonales, entonces ¿Cuál es la medida del ángulo interno determinado por esas diagonales? Un hexágono regular y un triángulo equilátero tienen la misma área. Si el perímetro del triángulo es 36, entonces ¿Cuál es el perímetro del hexágono?

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica ¿Cuál es la longitud aproximada de la circunferencia circunscrita a un dodecágono regular si la medida de su apotema es 12? La figura anterior hace referencia a un hexágono regular, si AB = 4 3 , entonces ¿Cuál es la medida de BC ?

Si el perímetro del pentágono regular anterior es 50, entonces ¿Cuál es la medida aproximada de la diagonal AB ?

Calcular el área de un hexágono regular que tiene 12cm de lado. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya área es equivalente al de un hexágono de 16cm de lado y 12cm de apotema?

La figura anterior hace referencia a un hexágono regular, si AB = 2 , entonces ¿Cuál es la medida de CD ? F

El diámetro de una circunferencia mide 10cm. Si necesitamos disminuir el área hasta 16π , entonces ¿En cuánto debemos disminuir el radio de dicha circunferencia?

E G

D

Calcular el área del hexágono regular circunscrito a un círculo de un metro de radio.

H C

De acuerdo con los datos de la figura, si cuadrilátero ABCD es un cuadrado y la medida de la apotema del hexágono regular CDEFGH es 3 , entonces ¿Cuál es el área de la región destacada con negro? A

B

¿Como se clasifica, según el número de lados, un polígono regular cuyo ángulo central mide 45º ? ¿Como se clasifica, según el número de lados, un polígono regular cuyo ángulo interno mide 144 º ?

M

E

Si un ángulo interno de un polígono regular mide 135º ¿Cuál es el número total de diagonales de ese polígono?

C D

La figura anterior hace referencia a un pentágono regular ¿Cuál es la medida de ∠BCM ?

¿Cuál es la suma de los ángulos internos de un heptágono regular? Si un ángulo interno de un polígono regular mide 54º , entonces ¿Cuánto mide uno de sus ángulos externos?

De acuerdo con la figura, si la longitud de la π circunferencia es y AB es congruente con 4 el radio, entonces ¿Cuál es el área del rombo? 40

¿Cuánto mide el lado de un triángulo equilátero, inscrito en una circunferencia de 12cm de radio?

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero de 9cm de altura?

Si la apotema de un hexágono regular mide 3 3 , entonces ¿Cuál es la medida de cada 2 lado?

Si la longitud de la circunferencia inscrita en un triángulo equilátero es 12πcm , entonces ¿Cuál es la medida en centímetros de la altura de dicho triángulo?

Si la longitud de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero es 12π , entonces ¿Cuál es la altura de dicho triángulo?

¿Cuánto mide la apotema de un cuadrado de 18cm de lado?

¿Cuál es la razón entre el diámetro y el radio de un círculo?

¿Cuál es la longitud de un lado de un cuadrado circunscrito a una circunferencia de radio 3 2 ?

Si los lados de un rombo miden 13cm cada uno y una diagonal mide 10cm, entonces ¿Cuál es la medida de la otra diagonal?

¿Cuál es el área de una circunferencia inscrita a un cuadrado de 12cm de radio?

En un polígono regular la medida de cada ángulo interno es 135º , si el perímetro es 4

¿Cuál es el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 2cm de radio?

¿Cuál es el perímetro de un hexágono regular si la apotema mide 27 ?

¿Cuál es la longitud de una circunferencia circunscrita a un hexágono de 3 3cm de apotema?

Si el número de diagonales de un polígono regular es nueve, entonces ¿Cuál es la suma de las medidas de los ángulos internos?

¿Cuál es el valor de la apotema de un hexágono regular circunscrito a una circunferencia de radio 4cm?

El área de un hexágono regular mide 72 3 , entonces ¿Cuánto mide su apotema?

Si un hexágono regular tiene perímetro 12cm, entonces ¿Cuál es la medida del diámetro de la circunferencia inscrita en dicho hexágono? ¿Cuál es el área del hexágono regular inscrito en un círculo de radio 4 3cm ? ¿Cuál es la longitud de la circunferencia inscrita en un hexágono, si un lado del hexágono mide 6? Un hexágono regular está circunscrito en una circunferencia de 2 3 de radio. ¿Cuál es el área del hexágono regular?

41

¿Cuánto suman los ángulos internos de un polígono regular cuyo ángulo central mide 36º ? Si un polígono regular inscrito en una circunferencia tiene 18 radios que llegan a sus vértices, entonces ¿Cuánto mide el ángulo central que determinan dos radios consecutivos? ¿Cuál es la medida del radio del círculo en que está inscrito un hexágono regular que mide 5cm de lado? ¿Cuál es el área de un anillo circular determinado por dos circunferencias 5 1 concéntricas cuyos diámetros son cm y cm 4 2 respectivamente?

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 4. Resuelva cada uno de los siguientes problemas relacionados con los cuerpos sólidos, deben aparecer los dibujos respectivos que le llevaron a la solución. Se tienen dos esferas cuyos radios miden 6 y 3, respectivamente. Si dichas esferas se unen para formar otra esfera, entonces ¿Cuál es la medida del radio de la esfera formada? El área lateral de una pirámide de base cuadrada es 32 3 . Si cada una de las caras de la pirámide es un triángulo equilátero, entonces ¿Cuál es el área basal de dicha pirámide? El área total de un cilindro circular recto es 144π . Si el radio de la base es congruente con la altura del cilindro, entonces ¿Cuál es el volumen de dicho cilindro? Las caras laterales de una pirámide regular son cuatro triángulos isósceles congruentes entre sí. Si la altura de cada uno de ellos es 5 64 y el área de la base es , entonces 3 9 ¿Cuál es el volumen de la pirámide? El área lateral de un cubo es 2. ¿Cuál es el volumen de dicho cubo? El volumen de una pirámide recta de base cuadrada es 384. Si la medida de la altura es 8, entonces ¿Cuál es el área lateral de la pirámide? El volumen de un cono circular recto es igual al volumen de un cilindro circular recto. Si en el cono la altura es 9 y el radio de la base es 4 y en el cilindro la altura es 3, entonces ¿Cuál es el área de la base del cilindro? La altura de un prisma es 12 y la base es un rectángulo que mide 6 de largo y 3 de ancho. Se desea modificar de manera que el volumen sea el mismo pero la altura sea la mitad de la anterior. Si se mantiene el ancho de la base, ¿Cuál debe ser la medida del largo?

42

¿Cuál es el área lateral de una pirámide recta de base cuadrada si la medida de cada uno de los lados de la base es 10 y la medida de la altura de la pirámide es 12? Un prisma recto de base cuadrada y un cilindro regular recto tienen el mismo volumen. El diámetro de la base del cilindro tiene igual medida que el lado de la base del prisma. Si la medida de la altura del cilindro es 6 y la medida del diámetro de la base del cilindro es 8, entonces ¿Cuál es aproximadamente la altura del prisma? ¿Cuál es el área lateral de una pirámide recta, si la base es un cuadrado de 10 de lado y la medida de la altura de la pirámide es 12? La base de un prisma recto es un triángulo rectángulo isósceles. Si la longitud de uno de los catetos es 6 y la altura del prisma es 5, entonces ¿Cuál es el área lateral del prisma? La base de un prisma recto es un triángulo equilátero. Si el área lateral es 12 y la altura del prisma es 2, entonces ¿Cuál es el volumen del prisma? La altura y el radio de un cono circular recto son congruentes. Si el volumen de ese cono es 72π , entonces ¿Cuál es el área lateral del cono? ¿Cuál es el volumen de un pirámide regular recta cuya base es un cuadrado, si el área lateral es 320 y el área basal es 256? El radio de una esfera, el radio de la base de un cono circular recto y su altura tienen la misma medida. Si el número que expresa el volumen del cono es igual que el número que expresa el área total de la esfera, entonces ¿Cuál es el área basal de ese cono?

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica

El volumen de una pirámide recta de base cuadrada es 72. Si la medida de la altura de la pirámide es 6, entonces ¿Cuál es el área lateral de esa pirámide? El área de la base de un prisma recto de base cuadrada es “ x ”. Si la altura del x prisma es , entonces ¿Cuál es el área 4 lateral del prisma? El área lateral de un cono circular recto es 45π . Si la longitud de la generatriz es 15, entonces ¿Cuál es el área de la base?

En la figura anterior el área total del cilindro es 78πcm 2 y la altura del cilindro es 10cm. ¿Cuál es el área del rectángulo colocado dentro del cilindro? Una esfera tiene un área de 2916π ¿Cuánto vale su volumen?

Si un tercio del volumen de un cilindro circular recto es 30π y la medida de la altura es 10, entonces ¿Cuál es el área basal del cilindro? ¿Cuál es el área lateral de un cilindro circular recto, si la altura es 10, y el área de la base es 36π ?

En la figura anterior, el cilindro contiene agua hasta las tres cuartas partes de su volumen, si el radio de la base mide 4cm y la altura es de 10cm, entonces ¿Qué volumen de agua contiene el cilindro?

El volumen de un cubo es 216 ¿Cuál es la longitud de la diagonal de ese cubo? Acm

La diagonal de la base rectangular de un prisma recto mide 40 y el largo es el triple del ancho. Si la altura de ese prisma mide 60, entonces ¿Cuál es su área total? Se desea construir un embase cilíndrico con tapas de 10cm de radio y 10cm de altura ¿Cuánto material se necesita? Se desea construir una lata metálica con tapa, de tal manera que sea con forma de cilindro y que tenga 10cm de altura. Las bases deben tener un radio de 7cm cada una. ¿Cuánto metal se necesita? Para forrar una caja cúbica se ha utilizado 6 m 2 de papel. ¿Cuál es el volumen de la caja?

43

Bcm

Ccm

Al extraerse un objeto de un tanque lleno totalmente con agua, el nivel del agua bajó 1cm, como se muestra en la figura anterior. De acuerdo con la figura anterior, ¿Cuál es el volumen V del agua que hay en el tanque?

Si se sabe que el cono superior tiene una altura de h1 = 2r y el inferior una altura de h2 = 3r . Donde r es el radio de la base común para ambos conos, determine el volumen del sólido.

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica Hallar la altura de una pirámide de base cuadrada, si se sabe que su área lateral es de 2 5 y el lado de la base mide 2.

La generatriz de un cono es de 26m y su altura es de 10m. Halle el área de la base de dicho cono.

Hallar la diagonal de un cubo cuya área total es de 6cm 2 .

¿Cuál es el área total de una esfera de radio 4cm?

¿Cuál es el área total de dos esferas congruentes con radio igual a π cm?

Halle el volumen de una esfera de 23 3 de radio.

Hallar en función de la altura h , el área lateral de un cono circular recto en el que el radio de la base mide 1cm.

Si el área de una bola es el doble de su volumen ¿Cuál es la medida de su diámetro?

Halle el volumen de un prisma triangular regular cuya base tiene 6cm de lado y su altura es de 18cm.

Un juego para niños consta de tres cubos A, B y C, el cubo B tiene un centímetro menos de arista que el cubo C y un centímetro más que el cubo A. Si el cubo A tiene 8cm de arista, entonces ¿Cuál es el volumen total en centímetros cúbicos de los tres cubos?

Halle el área total de un prisma regular que tiene una altura de 10cm y su base es un triángulo equilátero de 6cm de lado. Un cubo tiene 54cm 2 de área total. Halle el volumen del cubo. Halle la diagonal de un cubo si se sabe que su área total es de 96m 2 . Halle el volumen de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 12cm de lado y cuyas caras laterales son triángulos equiláteros.

Se quiere forrar con papel un bote cilíndrico sin una de sus tapas. Si el radio de la base es de 20cm y el bote tiene 30cm de altura, ¿Cuántos centímetros cuadrados se necesitan para forrar el bote? Una compañía de alimentos fabrica 2000 latas cilíndricas de fríjol molido. Si cada una mide 10cm de altura y las bases tienen un radio de 6cm. ¿Cuánto metal se necesitará para cada lata?

Hallar el área lateral de una pirámide de base cuadrada de 10 m de lado y de 13cm de arista. Si el volumen de un cilindro mide 16π y el radio de la base 2. ¿Cuánto mide la altura de dicho cilindro? En un cilindro el radio de una de las bases es 6cm y la altura es de 8cm ¿Cuál es el área total de dicho cilindro? Un cono tiene un volumen de 180π . Sabiendo que el diámetro de la base mide 12cm, halle su altura.

44

Los globos de la lámpara ilustrada anteriormente tienen un diámetro de 24cm de longitud cada uno. Hallar el área de ambos globos.

2cm

Encuentre el diámetro de la circunferencia circunscrita al hexágono regular.

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica ¿Cuál es el volumen de un diamante en forma de (doble) pirámide de base hexagonal (superpuestas), si el radio de la base mide 2mm, la altura por un lado mide 7mm y por el otro 5mm? El embudo anterior tiene forma de cono circular recto. Si el diámetro mide 10cm y la altura mide 12cm. Hallar el área lateral del embudo. De acuerdo con la figura anterior, hallar el área lateral, en metros cuadrados de la pirámide cuadrangular. Un cono está inscrito en una esfera, como en la figura anterior. El radio de la base del cono mide 12cm y el radio de la esfera mide 15cm. Hallar el volumen del cono. De acuerdo con los datos de la figura en la que se muestra una pirámide cuadrangular de base cuadrada ¿Cuál es el área de la base? Un cono circular está inscrito en una esfera cuyo radio mide 4cm, como en la figura anterior. Si ∆ABC es equilátero, entonces ¿Cuál es el área lateral del cono?

En un cilindro circular recto el radio de una de las bases es 5cm y la altura del cilindro es de 6cm. ¿Cuál es aproximadamente, en centímetros cúbicos, el volumen del cilindro?

¿Cuál es el área lateral de un cono si el área del triángulo que lo engendró es de 24cm 2 y el cateto sobre el eje de rotación mide el triple de la medida del radio del cono?

En un cono circular recto el radio de la base es 3cm y la altura del cono es 8cm. ¿Cuál es aproximadamente el volumen del cono?

Un horno cilíndrico debe tener un diámetro de 5m de longitud y un volumen de 130 m 3 . ¿Cuántos metros de acero se necesitan para construirlo?

En la figura anterior se muestra un salero cuyo diámetro de la base es de 6cm y la generatriz es de 12cm, determine el área total del embase.

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¿Cuál es el área lateral de un cilindro circular recto, cuya altura es 15cm y el perímetro de la base es 16π ? El diámetro de la base de un cono circular recto mide 10cm y la altura mide 12cm. ¿Cuál es el área total del cono? La base de un pirámide es un cuadrado que mide de lado 16cm y la altura de la pirámide mide 15cm. ¿Cuál es el volumen de la pirámide?

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica Ejercicios Adicionales E

Si A y B son dos puntos de una circunferencia de 20cm de diámetro y centro P, tal que la cuerda AB mide 16cm, entonces ¿Cuál es la distancia de P a dicha cuerda? Considere dos circunferencias concéntricas que determinan una corona circular de 2cm de ancho y 20 cm 2 de área, entonces ¿Cuál es el radio de la circunferencia menor? Si los lados de dos polígonos regulares semejantes están en la relación 7: 9 y el área del polígono mayor es 324 m 2 , entonces ¿Cuál es el área del polígono menor? Si el área de un cuadrado es 100 cm 2 , entonces ¿Cuál es el área del círculo circunscrito a ese cuadrado? En un polígono regular el diámetro de la circunferencia circunscrita mide 20cm, entonces ¿Cuál es la medida del radio de la circunferencia inscrita a ese polígono? En un polígono regular cada ángulo interno mide el doble de cada ángulo externo. Hallar la cantidad de lados de dicho polígono.

C

D B A

De acuerdo con los datos de la figura anterior, si CB = 10 , BD = 5 , AE = 27 y AB > BE , entonces ¿Cuál es la medida de AB ? Si cada uno de los ángulos internos de un polígono regular mide 168º, entonces ¿Cuál es le número de vértices que tiene dicho polígono? ¿Cuál es el perímetro de un polígono regular de tres lados cuyo radio mide 10cm? La base mayor de un trapecio mide 12cm. Si la altura y la base menor son iguales y su área es de 22,5 cm 2 , entonces ¿Cuánto mide su altura? Si el volumen de una esfera es de 32π , entonces ¿Cuánto mide el radio de dicha esfera? Si el volumen de un cono es igual a 196π y la altura del cono es 12, entonces ¿Cuánto mide el radio de la base? En un polígono convexo en el que se pueden trazar dos diagonales por vértice, las medidas de los lados son números enteros consecutivos. Si el lado menor mide 5cm determine el perímetro del polígono.

Si la apotema de un cuadrado mide 6cm, entonces ¿Cuál es el área de la región determinada por el cuadrado y la circunferencia inscrita a él? ¿Cuál es el radio de una esfera inscrita en un cubo de arista a ?

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Si dos ángulos internos de un cuadrilátero miden 115º y 80º, y los otros dos están en relación 2:3, determine cuánto miden estos dos.

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica Calcule el área lateral de un cono circular recto en el cual la base es un círculo de 81 π de área y la medida de la altura es igual a la medida del radio de la base.

En la circunferencia de centro A de la figura anterior se cumple que FH ⊥ DE , y los arcos menores DG y GF son congruentes. Si m∠HFE = 20º , calcule la medida del arco menor GF.

En la figura anterior A, B y C son los centros de las semicircunferencias menores y DE es un diámetro de la circunferencia de centro B. Si el área de la región destacada es 6π . Calcule la medida de BC

Considere un hexágono ABCDEF de centro P, en el cual L, M y N son los puntos medios de los lados ED , BC y AF respectivamente. Si MP = 6 3 , calcule el área y el perímetro del triángulo ∆LMN .

En la figura anterior las rectas EH y HG son tangentes en C y G respectivamente, a la circunferencia de centro A y radio 10cm. Si α = 50º calcule el área de la región destacada con negro. Calcule el área total de una pirámide de base cuadrada que tiene 10cm de altura y 120 cm 3 de volumen.

En la figura anterior suponga que BA y CD son arcos menores de las circunferencias concéntricas de centro P tales que PA = 2 AC y m∠BPA = 60º . Si el perímetro del ∆PAB es 3cm. Calcule la medida del arco menor CD. Las bases de un prisma recto son hexágonos regulares de 10cm de lado. Calcule el volumen y el área lateral del prisma si la altura mide 8cm. Si el diámetro de la base y la altura de un cilindro circular recto miden 10cm. Calcule el volumen. 47

En la figura anterior C es el centro de la circunferencia, AB = 16cm , AE = 20cm y el arco EB mide 74º. Halle el área del ∆ABC . Halle la longitud del arco menor AB. Halle el área del sector circular limitado por CB , CE y el arco menor BE.

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DB y AC son cuerdas de una misma circunferencia que se cortan en un punto M. Si AM = 3cm , BM = 8cm y MD = 6cm , entonces ¿Cuál es la medida de MC ?

En la figura anterior E es el centro del triángulo equilátero ABC de lado 12cm. Halle el área del segmento circular limitado por la cuerda AB y el arco menor AB. Halle el área del anillo circular limitado por ambas circunferencias.

En un polígono regular cada ángulo central mide 18º, entonces ¿Cuánta cantidad de diagonales se pueden trazar desde cada vértice? ¿Qué nombre recibe el polígono regular en cual se pueden trazar un total de 54 diagonales? En un polígono regular cada lado mide 12cm y la longitud de la circunferencia circunscrita es 16π , entonces ¿Cuál es el diámetro de la circunferencia inscrita a dicho polígono?

En la figura anterior, O es el centro de la circunferencia, m∠CBA = 25º , m∠EPD = 60º y la medida del arco AE es 70º, entonces ¿Cuál es la medida del arco AC? Si C1 y C 2 son circunferencias tangentes exteriores en el punto M, de centros P1 y P2 MP1 = 2 y la longitud de respectivamente. Si MP2 C1 es 14π , entonces ¿Cuál es la longitud de C2 ?

¿Cuánto mide la apotema de un triángulo equilátero de 36 3cm 2 de área? ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia inscrita en un cuadrado de 60cm 2 de área? En dos nonágonos regulares los lados miden 3b cm y b cm respectivamente. Si el primero de ellos tiene un área de 45cm 2 entonces ¿Cuál es el área del segundo? En un cubo la diagonal de cada cara mide 6cm , entonces ¿Cuál es el área total del sólido? En una caja de base rectangular sin tapa las dimensiones de la base están en la razón 2:3 y la altura mide 5dm. Si el volumen del paralelepípedo es 270dm 3 , entonces ¿Cuál es el perímetro de la base?

En la figura anterior AB es un diámetro y DC es tangente en C a la circunferencia de centro 3 E. Si AB = 10cm y DC = DA , entonces 2 ¿Cuál es la medida de DC ? 48

En una pirámide recta de base octogonal regular las aristas laterales miden 10cm y la altura de cada cara lateral de la pirámide mide 8cm, entonces ¿Cuál es el semiperímetro de la base?

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Si en un cono circular recto de 15cm de altura la base tiene un área 64π , entonces ¿Cuánto mide el área lateral del cono?

La medida de la altura de un cilindro circular recto es 10. El área de la base es 36π , entonces ¿Cuál es el área lateral de dicho cilindro?

En una esfera de área A cm 2 y volumen V cm 3 se cumple que A = 27V , entonces ¿Cuánto mide el radio de la esfera? 2 partes de un 3 recipiente cilíndrico circular recto de 10cm de altura y 9cm de radio. Si se extraer la tercera parte del contenido del recipiente, entonces ¿Cuánto liquido queda aún en el recipiente?

Un líquido ocupa las

Un cubo de arista a y un cono de radio r tienen igual volumen. Si en el cono la altura mide igual que el radio, entonces ¿Cuánto mide el radio del cono en función de la arista del cubo?

En la figura anterior el ∆ABC es un triángulo equilátero y MNTPQR es un hexágono regular, E es el centro de ambos polígonos y F es el punto medio de CB . Si el segmento EC mide 2 3cm , entonces ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero MCBR? Las bases de un trapecio isósceles miden 16cm y 22cm , si los lados iguales miden 5cm , entonces ¿Cuál es el área del trapecio?

Si una cara lateral de una pirámide cuadrangular tiene un área de 24cm 2 y cada lado de la base mide 4cm, entonces ¿Cuál es el volumen de la pirámide?

Si el radio de un octágono regular mide 6cm , entonces ¿Cuál es el área del octágono?

Si la longitud de la circunferencia en la que

¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo central mide 30º?

π

, 4 entonces ¿Cuál es aproximadamente el perímetro del pentágono?

está inscrito un pentágono regular es

Si el diámetro de una esfera se reduce en 2, el área total de la esfera resultante es 16π , entonces ¿Cuál es el volumen de la esfera original?

Si la medida de la apotema de un hexágono 3 3 regular es , entonces ¿Cuál es la 2 medida de cada lado del hexágono?

Hallar el perímetro de un polígono regular de tres lados cuyo radio mide 10cm. Si el área de un triángulo equilátero es 9 3cm 2 , entonces ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo?

49

Considere la circunferencia anterior de centro O y radio 12,5cm. Si hay un rectángulo ABCD inscrito en la circunferencia, de modo que la medida de sus lados está en la razón 3:4, entonces ¿Cuál es el área de la región sombreada?

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica Si la altura de un cono es 8cm y la longitud de la circunferencia de la base es 12π , entonces ¿Cuál es el área lateral de dicho cono?

B

C

En un prisma recto la base es un decágono regular. Si el área lateral del prisma es 120 cm 2 y el perímetro de la base es 60 cm , entonces ¿Cuál es la altura del sólido? La diagonal de la cara de un cubo mide 10cm, entonces ¿Cuál es la diagonal de dicho cubo? x

E

C

A

O

P

Observe la figura anterior. Considere que la recta PB es tangente, en B, a la circunferencia de centro O y la recta OP es secante a la circunferencia. Si el radio de la 2 circunferencia mide 10cm y PA = PB , 3 entonces ¿Cuál es la medida de PB ?

y

G D

D

A

B F A H

Considere las circunferencias tangentes externas de la figura anterior. El triángulo AEB es rectángulo en E. El radio AC mide 10cm y el radio BD mide 7cm. Si EB mide igual al radio de la circunferencia de centro A, entonces ¿Cuál es el valor numérico de x ?

E

Considere la figura anterior. En la circunferencia de centro A, FH ⊥ AE , y los arcos menores DG y FE son congruentes. Si m∠HFE = 25º , entonces ¿Cuál es la medida del arco mayor GF? E

B E

P

D

O

W

P A

O C D

B

Observe la circunferencia de centro O de la figura anterior. Considere que la recta PB es tangente a la circunferencia y la recta PC es secante a ella; además el arco menor determinado por los puntos B y E mide 50º, ∠BPD mide 15º. ¿Cuál es la medida del arco menor determinado por los puntos B y D? El área de un sector circular es 18π . Si el arco que subtiende este sector mide 45º, entonces ¿Cuál es la medida del diámetro de la circunferencia? 50

C

Considere la circunferencia de centro O. La recta BC es tangente a la circunferencia por el punto B y la recta BE es secante a la circunferencia. Si m∠PBC = 75º , m∠APE = 155º y la medida del arco menor ED es 30º, entonces ¿Cuál es la medida del arco menor AE? En una circunferencia de radio 10cm, considere el segmento circular determinado por una cuerda congruente al radio. Halle el área del segmento circular.

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica D

Los segmentos CD y AB son cuerdas de una circunferencia de centro O. AB está a x cm del centro y CD a 2x cm del centro. Si el radio mide 10 cm y AB = 18cm , entonces ¿Cuál es la medida de CD ?

C x A

2x

B

Considere la circunferencia de la figura anterior. El triángulo ABC está inscrito en 1 ella y m∠CAB = m∠ACB . Si el arco 2 ADC mide 210º, entonces ¿Cuál es la m∠ACB ? Las cuerdas AC y CB son congruentes y la recta BD es tangente a la circunferencia en el punto B. Si el arco menor AB mide 90º, entonces ¿Cuál es la medida del ∠CBD ?

Considere las circunferencias concéntricas en O de la figura anterior. Si los radios de las circunferencias están a razón 5:3 y AF = 6cm , entonces ¿Cuál es la medida del radio de mayor longitud? Si m∠AOH = 60º y los radios de las circunferencias miden 24cm y 30cm , entonces ¿Cuál es el área de la región destacada con negro?

¿Cuál es el volumen de un cilindro circular recto circunscrito a un cono circular recto de volumen 150cm 3 ? En un plano, un punto se localiza a 12cm del centro de una circunferencia de 15cm de radio, entonces ¿Cuánto mide la menor cuerda que pasa por ese punto?

F B O E

En la figura anterior, AB es un diámetro y mide 24cm, BD mide 4cm y CD ⊥ AB , entonces ¿Cuál es la medida de CD ?

D C A P

Si el arco mayor AB mide 250º, y además se cumple que ∠BPF ≅ ∠CPA y los ángulos ∠DPE y ∠BPF están a razón 3:2, entonces ¿Cuál es la medida del ∠FPC ?

51

El área de un sector circular es 36π , si su radio mide 9cm, entonces ¿Cuál es la medida de su ángulo central? El área de un sector circular es 40π , si su ángulo central mide 30º, entonces ¿Cuál es la longitud de su arco?

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica

Considere la circunferencia anterior de centro O. Si la medida del ∠BAC = 84º y la medida ∠AFB = 40º , entonces ¿Cuál es la medida del ángulo ∠FCD ? Si la medida del ángulo ∠AED = 30º y la medida del ángulo ∠AFD = 130º , entonces ¿Cuál es la medida del arco mayor AD?

En la figura anterior, BC , CD , DE y EF son cuerdas congruentes de la circunferencia de centro O. Si el ∠BAF es recto y el arco menor AB mide 100º, entonces ¿Cuál es la medida del arco AFE?

Considere la figura anterior donde O es el centro de la circunferencia. Si OC mide 5cm 3π y la longitud del arco menor CE es cm, 2 entonces ¿Cuál es la medida del ∠CDE ?

En la figura anterior A, Y y W son, respectivamente, los centros de las circunferencias. Si B es el punto medio de AW y AB = 2cm , entonces ¿Cuál es el área de la región sombreada?

En la figura anterior, L es el centro de ambas circunferencias. La medida del ∠KLP = 120º . Si los radios de las circunferencias miden, respectivamente, 6cm y 9cm, entonces ¿Cuál es el área de la región sombreada Considere la circunferencia en la que AM es un radio y la recta tangente a la circunferencia en E es paralela a la recta BC. Si el ángulo ∠BEM = 25º y el arco menor ED mide 100º, entonces ¿Cuánto mide el ∠CBD ? Si en un polígono regular se pueden trazar un total de 20 diagonales, entonces ¿Cuánto mide cada ángulo externo de ese polígono?

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A

¿Cuánto mide el segmento UL ? ¿Cuál es el área del ∆UPL ?

B

D C

En la figura anterior, el cuadrilátero ABCD es un rectángulo, C y D son los centros de las circunferencias tangentes a BC = 4cm y AB = 15cm , AB . Si entonces ¿Cuál es el área destacada con negro?

En la figura anterior, ∆ABC es un triángulo equilátero de centro E, F es el punto medio de BC y AF mide 9cm. Calcule el perímetro del ∆ACE .

A

15cm B

C

En la figura anterior, C es el centro de la circunferencia y AC ⊥ BC , entonces ¿Cuál es el área de la región sombreada? Suponga que en la figura anterior la recta EC es tangente en C a la circunferencia de centro A, AF = 6cm y m∠AEC = 45º . Hallar la longitud del arco menor FC. Hallar el área del sector circular limitado por AF , AC y el arco FC. Hallar el área de la región sombreada. En la figura anterior, DHJIKF es un hexágono regular de centro A. Si la longitud de la circunferencia circunscrita es 12π , entonces ¿Cuál es el área del cuadrilátero AFKI?

En un circulo de 20cm de diámetro ¿A que distancia se encuentra del centro toda cuerda de 16cm?

En la figura anterior, AB = AC = 10 y CF ⊥ AB . Si AE = 6 , entonces ¿Cuál es la medida de EF ?

En la figura anterior, L es el centro del cuadrado ORPQ de 64cm de perímetro, T es el punto medio de PQ y U es el punto medio de QT . 53

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica

Suponga que A es el centro de la circunferencia y D-A-E, AB es la bisectriz del ∠CAE , el arco menor DC mide 120º y la longitud del arco menor BC es 2π cm. Hallar la medida de la cuerda CE . Hallar el área del sector circular determinado por el arco menor BE. Hallar el área del segmento circular determinado por el arco menor CD.

En la figura anterior, el cuadrilátero ECFD es un rombo de 16cm de lado y E es el centro de la circunferencia. ¿Cuál es el área de dicho cuadrilátero? Si la altura de un prisma mide 15 cm y la base es un triángulo equilátero de área 25 3cm 2 , entonces ¿Cuál es el área total del prisma?

Si A, B y C son puntos de la circunferencia de centro O tales que las medias de los arcos menores AB, AC y CB están dadas por x , 3x y 5 x , entonces ¿Cuál es la medida del ∠ABC ?

En un cubo está inscrito una esfera de 1200π de superficie. ¿Cuál es la medida de la arista de ese cubo? En un cilindro circular recto el volumen es π cm 3 y el área de la base es π cm 2 ¿Qué se puede asegurar con respecto a la medida de la altura de ese cilindro?

Si cada uno de los ángulos internos de un polígono regular mide 168º, entonces ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde cada vértice? ¿Cuál es el área de un cuadrado cuyo radio mide 10 2cm ? ¿Cuánto mide la apotema en un triángulo equiángulo de 90cm de perímetro? ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero cuya altura es igual a 6 ?

En la figura anterior, el área de la circunferencia menor es 64π y el diámetro de la circunferencia mayor mide 20cm. Si la recta MN es tangente a ambas circunferencias y AB = 38,25 ,

¿Cuál es el semiperímetro de un polígono regular en el cual se pueden trazar un total de 35 diagonales, si cada lado mide 6cm?

calcule la medida de MN ? ¿Cuál es la medida del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia cuya longitud es 100cm? ¿Cuánto mide cada lado de un nonágono regular de 10cm de apotema?

Considere una pirámide recta cuya base es un hexágono regular en el cual la circunferencia inscrita tiene 15cm de radio. Si el volumen de la pirámide es 1800 3 encuentre el área lateral. 54

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica paralela a AB y PB = 6 , entonces ¿Cuál es la medida de AB ?

De acuerdo con los datos de la figura anterior. Si O es el centro de la OA = 12 , OD ⊥ OA , circunferencia OD ⊥ BC y m∠AOB = 60º , entonces ¿Cuál es el área de la región destacada con negro?

De acuerdo con la figura anterior, en la que se muestra una circunferencia de centro A, si la longitud del arco menor CB es 5π , entonces ¿Cuál es la medida de la cuerda CE ? Considere dos puntos P y Q de una circunferencia de centro O y radio r, tales que PQ = OP . Si M es el punto medio de QP , entonces ¿Cuál es la medida de

OM ?

De acuerdo con los datos de la figura anterior, en la cual C es el punto de tangencia de la recta CH y la circunferencia y m∠FCD = 50º , entonces ¿Cuál es la medida del ∠DCH ?

De acuerdo con los datos de la figura adjunta, en la cual el arco menor AE mide 130º y que AE = CE , entonces ¿Cuánto mide el ∠CAV ? Si los perímetros de dos polígonos regulares de igual cantidad de lados están en relación 5:7 y el área del menor es 35 2 , entonces ¿Cuál es el área del mayor?

De acuerdo con los datos de la figura anterior, si PQ es tangente a la circunferencia de centro O en P, PQ es

55

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica El volumen de un cilindro circular recto es 54π y la medida de la altura es 6. Si el radio de la base se triplica y se mantiene la misma altura, entonces ¿Cuál es el volumen resultante?

La diagonal de un cubo mide 12 2cm , entonces ¿Cuánto mide la diagonal de cada cara del cubo?

Considere dos circunferencias de centros P y Q que se intersecan en dos puntos A y B. Si PQ = 24cm y AQ = 13cm , entonces ¿Cuál es el área del cuadrilátero BPAQ? Considere dos circunferencias concéntricas que determinan una corona circular de 2 cm de ancho y 20 cm 2 de área. ¿Cuál es el diámetro de la circunferencia menor?

En la figura anterior, el cuadrilátero PQRS y ∆ABC (equilátero) son polígonos regulares inscritos en la circunferencia de centro O. Si el perímetro del triángulo es 18cm, entonces ¿Cuál es el área del cuadrado?

¿Cuántos vértices tiene un polígono regular de 170 diagonales? ¿Cuál es el número de lados de un polígono regular en el cual el radio mide el doble de la apotema?

Calcule el área de la región sombreada anteriormente, si se sabe que A y E son los centros de las circunferencias, m∠DHC = 30º y AE = 2cm

En la figura adjunta anteriormente, N es el centro de ambas circunferencias. U y V son los puntos medios de NT y NU , respectivamente, entonces ¿Cuál es el perímetro del pentágono regular VWXYZ, en función del segmento TP ?

En la figura adjunta M y K son puntos de la superficie esférica. J es el centro de la esfera y de la base del cono circular recto de vértice M. El volumen de la esfera es de 36π cm 3 . Calcule el volumen y el área lateral del cono.

En un hexágono regular el área es x cm 2 y el perímetro es x cm , entonces ¿Cuál es la medida del lado de dicho hexágono? 56

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TRIGONOMETRÍA sen x cot x + 1 + cos x

56

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 1. En cada uno de los siguientes ejercicios determine la medida en radianes que corresponde a la medida dada en grados.

382º

342º

150º

568º

-167º

-197º

497º

420º

-101º

395º

-653º

90º

141º

-469º

45º

-512º

-165º

30º

116º

395º

60º

350º

-294º

180º

2. En cada uno de los siguientes ejercicios determine la medida en grados correspondiente a la medida en radianes. 4π 11

−

10π 3

6π 7

7π 10

−

3π 2

7π 9

7π 8 −

π

3

π 2

9π 7

6

5π

2

− 3π

π

π

−

8π 9

9π 5

14π

3π 5 −

30π 7

π

4π 11

9π

57

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 3. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule la medida de un ángulo (en grados) positivo y otro negativo que sea coterminal con el ángulo dado. La respuesta no es única. 319º

204º

45º

-177º

152º

90º

388º

643º

135º

-700º

-14º

270º

339º

226º

180º

-197º

-112º

360º

-434º

125º

500º

-489º

3º

400º

4. En cada uno de los siguientes ejercicios, calcule la medida de un ángulo (en radianes) positivo y otro negativo que sea coterminal con el ángulo dado. La respuesta no es única. −

π 2

π 2 −

5π 3

6π 7 −

3π 2

5π 7 3π 4

5π 8

π

3π 2 4π 5

20π 7

−

5π 4

−

4π 5

3

19π 7 11π 13 21π 8

4π 7 −

7π 2

3π 4

−

58

10π 7

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 5. Para cada uno de los siguientes ejercicios, halle los ángulos de referencia para cada uno de los ángulos dados, además dibuje su lado terminal en el plano cartesiano. 98π 45

-952º

673º

-471º

992º

-328º

-124º

880º

-650º

718º

7º

283π 90

-610º

-399º

−

194º

280º

-201º

752º

-155º

956º

-803º

587π 180

472º -814º

−

−

139π 30

188π 45

61π 36 17π 36 481π 180

997π 180

337π 180

-679º

6. Compruebe cada una de las siguientes identidades trigonométricas. sin α cot 2 α 1 = cos α tan α

sin 2 x ⋅ cot 2 x + cos x ⋅ tan 2 x = 1

cot α ⋅ secα ⋅ sin α = 1

2 cot 2 β + cot 4 β = csc 4 β − 1

sec 2 x − tan 2 x = 1

sec 2 u − 1 = sin 2 u 2 sec u

1 + sec x = csc x sin x + tan x

sin ϖ = cot ϖ + cscϖ 1 − cosϖ

sec 2 α ⋅ cot α = sec α csc α

1 + cos t sin t + = 2 csc t sin t 1 + cos t

1 = sin 2 x ⋅ sec 2 x ⋅ csc 2 x 2 cos x

sin α cos α + =1 csc α sec α

tan δ ⋅ cos 2 δ − tan (90º −δ ) ⋅ sin 2 δ = 0

59

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica 1 + sin β = sec β + tan β cos β

tan 2 x cot 2 x + =1 sec 2 x csc 2 x

cot α ⋅ sec α = csc α

sin x(csc x − sin x ) = cos 2 x

cos 2 ϕ = 1 + sin ϕ 1 − sin ϕ

tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x ⋅ sin 2 x

sec x − cos x = sin x ⋅ tan x

(1 − sin ε )(1 + tan ε ) = 1 2

2

(1 + sin x )(1 − sin x ) =

1 + csc x = cos x + cot x sec x

1 sec 2 x

cos x(tan x + cot x ) = csc x

sin v = 1 − cos 2 v csc v

sin x ⋅ sec x = tan x tan 2 x + 1 = tan 2 x 2 cot x + 1

csc x − cos x ⋅ cot x = sin x 1 − cos 2 x = sin x ⋅ tan x cos x

sec 2 x − 1 = sin 2 x 2 sec x

sin x + cos x = 1 + tan x cos x

sin x + tan x = tan x 1 + cos x

sec x − cos x = tan x ⋅ sin x

sin x − cos x tan x − 1 = sin x + cos x tan x + 1

1 + tan x = cot x + sec 2 x − tan 2 x tan x

cos x + tan x ⋅ sin x = sec x

1 + sin x cos x + = 2 sec x cos x 1 + sin x

1 − tan 2 x = 1 − 2 sin 2 x 2 1 + tan x

sin x + cos x = 1 + tan x cos x

sec x = sin x cot x + tan x

sec f ⋅ sin f = sin 2 f tan f ⋅ cot f

csc 2 x = cot 2 x 2 1 + tan x

sin x 1 + cos x + = 2 csc x 1 + cos x sin x

sec x + tan x =

1 + sin x cos x

cos x = sec x − tan x ⋅ sin x

sec 4 x − tan 4 x 1 + 2 tan 2 x 7. Simplifique cada una de las siguientes expresiones trigonométricas.

60

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tan 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ sec 2 (90º − x )

sin x + sin x ⋅ cos x 1 + cos x

sin x ⋅ tan(90º − x )

1+

sec x ⋅ cot x ⋅ cos(90º − x ) 2

tan x + cot x csc x

tan x ⋅ sec x ⋅ cos 2 x

cot x ⋅

cot x tan x

1 ⋅ cos 2 (90º − x ) tan x

cos x + cos x ⋅ tan 2 x

(

sin x ⋅ tan x ⋅ csc 2 x − sin x ⋅ tan x

cot 2 x 1 + tan 2 x

)

sin x + cos x ⋅ cot x

tan 2 x ⋅ csc 2 x ⋅ cot 2 x ⋅ sin 2 x

sin x ⋅ tan x sin x + csc x sec x

sin x ⋅ sec x − cot x sin x ⋅ cot 2 x cos x

sin 2 x ⋅ cos x + cos 3 x − cos x + sin x cos x

sin x sec x + cos x csc x

cos x ⋅ tan x ⋅ sin x tan x

sin 2 x + cos 2 x + tan 2 x

sec x − tan x sin x

cos x csc x + tan x cot x

cot x csc x − tan x sin x

csc 2 − 1 cot x

tan x ⋅ csc x ⋅ cos x

sec x ⋅ csc x ⋅ cot x

cos 2 x +

1 1 + 1 − cos(90º − x ) 1 + sin x

1 csc 2 x

sec x + cot x tan x

tan x ⋅ cos x

1 + sec x 1 − sec x

sin x ⋅ cos x ⋅ tan x sec x ⋅ csc x ⋅ cot x

sin x 1 + cos x + 1 + cos x sin x

tan 2 x + 1 cot 2 x + 1

(csc x − 1)(csc x + 1) 61

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica sec 2 x ⋅

sin x ⋅ cos(90º − x ) + cos x ⋅ sin(90º − x )

cot x tan x

(1 − sin x )sec 2

2

cos x ⋅ tan x ⋅ tan(90º − x ) ⋅ csc(90º − x ) x

sin x ⋅ cot x ⋅ cot(90º − x ) ⋅ sec(90º − x ) + 2

csc x − csc x ⋅ cos 2 x

sec(90º − x ) − cot x ⋅ cos(90º − x ) ⋅ tan(90º − x ) − sin x

(sec x − tan x)(1 + sin x ) cos x(tan x + cot x )

sin x ⋅ cot 2 x cos x

1 cos x − cos x 1 + sin x

1 − cos 2 x + sin 2 x 1 − sin 2 x

sec x − tan x sin x

csc x sec x + sin x cos x

sec x − tan x sin x

csc 2 x −

cot x csc x − tan x sin x

(1 − cos x )(1 + tan x ) 2

sin x cos x + csc x sec x

sec x ⋅ cot x

cot x ⋅ sec x ⋅ sin x tan x ⋅ csc x ⋅ cos x

sin x 1 + cos x

(1 − cos x )sec

2

x

(1 + cot x )cos

2

x

2

sin x ⋅ cot x

2

sin x + sin x ⋅ tan x 2

2

2

1 − tan csc x

cot x − cos x cot 2 x 2

2

cot x ⋅ csc x

1 + tan 2 x tan 2 x cot x +

cot x tan x

2

1 − csc x cot x

2

sin x − cos x 1 − cos x

sin x ⋅ cot(90º − x ) ⋅ sec(90º − x )

cos x ⋅ tan x + sin x ⋅ cot x − cos x

1 − tan x sec x

sin(90º − x ) ⋅ cot(90º − x ) 62

Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica

cos(90º − x ) ⋅ cot x 1 1 + 1 − cos(90º − x ) 1 + sin x

csc x ⋅ cot(90º − x )

tan x ⋅ sin x + cos x

sec x − tan x sin x

csc x − cos x

cot x csc x − tan x sin x

csc x − cot x ⋅ cos x

sin x + cos x ⋅ cot x

1 1 − 1 + cos x 1 − cos x

sec x − sec x ⋅ sin 2 x

(1 + sin x )(sec x − tan x )

sin 2 x + cos x cos x

π  cos x ⋅ sin  − x  2 

tan x ⋅ csc x − cos x

cos x(tan x + cot x )

csc x ⋅ cot(90º − x )

tan x ⋅ csc x ⋅ cos x 8. Halle el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas. Debe trabajar en el intervalo [0,2π [

4 sin x = csc x

2 cot x ⋅ cos x − cot x = 0

2 sin 2 x = −3 cos x

2 3 sin x = 6

2 sin 2 x = − sin x

2 cos 2 x = − cos x

4 tan 2 x = 3 sec 2 x

tan 2 x + 1 = −2 tan x

2 3 sin x = 6

2 sin 2 x = − sin x

sec 2 x − 1 = − sec x + 1

4 tan 2 x = 3 sec 2 x

2 sin x = sin x

cos 2 x + sin 2 x = sin x +

6 + 3 ⋅ tan x = 5

(1 + cos x )(1 − cos x ) = 1 − cos x

2 sin x − cos x = 1 2

(

1 2

2 cos x = 3 cot x

)

3 − cot x csc x = 0

2 sin 2 x = sin x

3 sin 2 x = cos 2 x

sin x(tan x + 1) = 0 63

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4 − csc x = 2 3 − cos x = 0

2 tan x = 3 + tan x

3 tan x + 3 = 0

3 tan x + 1 = 0

2 3 sin x − 3 = 0

4 sin 2 x − 3 = 0

1 + 3 tan x = 0

cos x = 2 − cos x

2 cos x + 1 = 0

sin x ⋅ tan x = sin x

3 − cos x = cos x

2 sin x ⋅ cos x = sin x

(2 cos x − 3 )(sec x − 2) = 0

sin x = 1 − sin x

2 + 3 tan x = 3

2 sin x = −1

3 csc x + 2 = sin x

2 + 3 tan x = 3

(csc x + 2 )(sin 2 x − 1) = 0

(1 − 2 cos x )sin x = 0

cos x = 0.5

3 tan x + 1 = 0

sin x = 0.5

cos x = 2 − cos x

1 − 2 cos x = 0

sin 2 x + sin x = 0

2 sin x = −1

(2 cos x − 3 )(sec x − 2) = 0

3 tan x = 1

2 3 sin x = 6

2 + 3 tan x = 3

sec 2 x − 1 = − sec x + 1

− 1 + 3 cot x = 0

2 sin x ⋅ cot x − 2 2 = − 2

4 cos 2 x − 3 = 0

π  2 tan  − x  = −2 2 

sin x ⋅ tan x = sin x

64