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Estabilidad de la  Respuesta Transitoria Ing. Edwin Mejía, MSc Departamento de Ingeniería Eléctrica Facultad Ingeniería Universidad Nacional Autónoma de Honduras [email protected] IE‐415 Teoría de la Estabilidad

Objetivos

•

Determinar la estabilidad de un sistema representado por su función de transferencia de lazo cerrado (FTLC).

2

Introducción •

Anteriormente aprendimos sobre los tres (3) requerimientos necesarios cuando se diseña un sistema de control.  Respuesta Transitoria  Estabilidad  Error en estado estable

3

Introducción • Al

diseñar un sistema de control, debemos ser capaces de predecir su comportamiento dinámico a partir del conocimiento de los componentes.

• La

característica más importante del comportamiento dinámico de un sistema de control es la estabilidad absoluta, esta nos dice, si el sistema es estable o inestable.

• Un

sistema de control está en equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado.

4

Introducción • Entre

los comportamientos importantes del sistema (aparte de la estabilidad absoluta) que deben recibir una cuidadosa consideración están la estabilidad relativa y el error en estado estable.

• Dado

que en la práctica un sistema de control físico implica un intercambio de energía, la salida del sistema, cuando éste está sujeto a una entrada, no sigue a la entrada de inmediato, sino que exhibe una respuesta transitoria antes de alcanzar un estado estable.

5

Introducción • La

respuesta transitoria de un sistema de control práctico con frecuencia exhibe oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar un estado estable.

• Si

la salida de un sistema en estado estable no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error en estado estable. Este error indica la precisión del sistema.

• Al

analizar un sistema de control, debemos examinar el comportamiento de la respuesta transitoria y el comportamiento en estado estable. 6

Introducción ¿Qué significa estabilidad?  La estabilidad es la especificación más importante

de un sistema.  No podemos usar un sistema de control si el

sistema es inestable. Se puede controlar la salida de un sistema si la respuesta de estado estable consiste solamente de la respuesta forzada. Pero la respuesta se compone de:



(1) 7

Introducción • Usando

este concepto podemos resumir las definiciones para sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLIT).

• Usando la respuesta natural: Un

sistema es estable si la respuesta natural se aproxima a cero a medida que el tiempo tiende a infinito.

Un sistema es inestable si la respuesta natural se aproxima al

infinito si el tiempo tiende a infinito. Un

sistema es marginalmente estable si la respuesta natural no decae ni crece, sino que se mantiene constante u oscila.

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Introducción • También

podemos determinar la estabilidad de un sistema basándonos en los polos del sistema. • Los

sistemas estables tienen FTLC cuyos polos se encuentran en el lado izquierdo del plano complejo.

• Los

sistemas inestables tienen FTLC con al menos un polo en el lado derecho del plano complejo.

• Los

sistemas marginalmente estables tienen FTLC polos sobre el eje imaginario y tiene polos sobre el lado izquierdo del plano.

9

Introducción • Por

ejemplo, la figura muestra los polos de la función de transferencia de lazo cerrado de un sistema estable y su respectiva respuesta.

Sistema estable

Plano s

Polos de un sistema  estable (no están a  escala)

Tiempo (s)

10

Introducción • La figura indica los polos de la función de transferencia 

de lazo cerrado de un sistema inestable.

Sistema inestable

Polos de un sistema  inestable (no están a  escala)

Tiempo (s)

11

Introducción • Resumen de estabilidad utilizando los polos del sistema. Plano s Región estable

Región inestable

Región estable

Región inestable

12

Introducción • Que

un sistema lineal sea estable o inestable es una propiedad del sistema mismo y no depende de la entrada ni de la función de excitación del sistema.

• Los

polos de la entrada, o de la función de excitación, no afectan la propiedad de estabilidad del sistema, sino que SOLAMENTE contribuyen a los términos de respuesta en estado estable en la solución.

• Por

tanto, el problema de estabilidad absoluta se soluciona facilidad al no elegir polos en lazo cerrado en el semiplano derecho del plano s, incluyendo el eje j. 13

Introducción • Matemáticamente,

los polos en lazo cerrado en el eje j producirán oscilaciones cuya amplitud no se reduce con el tiempo.

• Cabe

mencionar que el solo hecho de que todos los polos en lazo cerrado se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s no garantiza características satisfactorias de respuesta transitoria.

• Si

los polos complejos conjugados en lazo cerrado se encuentran cerca del eje j, la respuesta transitoria exhibirá oscilaciones excesivas o será muy lenta. 14

Introducción • Por

tal razón, a fin de garantizar características de respuesta transitoria rápidas y bien amortiguadas, es necesario que los polos en lazo cerrado del sistema se encuentren en una región determinada del plano complejo.

• Esta

región se presenta en la siguiente figura: 15

Introducción • La

estabilidad relativa y el desempeño transitorio de un sistema de control en lazo cerrado se relacionan directamente con el patrón de polos y ceros en lazo cerrado en el plano s.

• Es

por ello, que con frecuencia es necesario ajustar uno o más parámetros para obtener los patrones convenientes.

16

Introducción • Para

que podamos conocer la estabilidad de nuestro sistema necesitamos dibujar los polos del sistema.

• Para

encontrar los polos necesitamos calcular las raíces de los polinomios que describen al del sistema.

• Por

ejemplo: trate de encontrar los polos para los sistemas de las figuras que se muestran a continuación.

17

Introducción

• ¿Qué pasa con este sistema? ¿Es estable o inestable? • ¿Podemos encontrar la ubicación de las raíces para este polinomio? • Podemos

usar un método para encontrar la estabilidad de estos sistemas SIN resolver las raíces del sistema llamado Criterio de Routh‐Hurwitz.

18

Criterio de Routh‐Hurwitz • El

criterio de estabilidad de Routh‐Hurwitz nos dice si existen o no raíces inestables en una ecuación polinomial, sin tener que obtenerlas en realidad.

• Este

criterio de estabilidad sólo se aplica a los polinomios con una cantidad finita de términos.

• Cuando

se aplica el criterio a un sistema de control, la información acerca de la estabilidad absoluta se obtiene directamente de los coeficientes de la ecuación característica.

19

Criterio de Routh‐Hurwitz • El

procedimiento en el criterio de estabilidad de Routh‐ Hurwitz es el siguiente:

Primero: 1.

El polinomio en s (del denominador), debe estar escrito de la siguiente forma: (1) Donde los coeficientes son cantidades reales. Suponemos que  0, es decir, se elimina cualquier raíz cero. 20

Criterio de Routh‐Hurwitz Segundo: • Si

alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo, hay una raíz, o raíces imaginarias o que tiene partes reales positivas.

• En tal caso, el sistema no es estable. • Si

sólo nos interesa la estabilidad absoluta, no es necesario continuar con el procedimiento. 21

Criterio de Routh‐Hurwitz • Que

todos los coeficientes deben ser positivos es una condición necesaria, como se aprecia a partir del argumento siguiente: “un polinomio en s con coeficientes reales siempre puede factorizarse en factores lineales y cuadráticos tales como (s + a) y (as + bs + c), en donde a, b y c son números reales”

• Los

factores lineales producen las raíces reales y los factores cuadráticas producen las raíces complejas del polinomio.

22

Criterio de Routh‐Hurwitz • El

factor (as2 + bs + c), produce las raíces con partes reales negativas sólo si b y c son ambas positivas.

• Para

todas las raíces que tienen partes reales negativas, las constantes a, b, c,... deben ser positivas en todos los factores.

“El producto de cualquier cantidad de factores lineales y  cuadráticos que contengan solo coeficientes positivos siempre  produce un polinomio con coeficientes positivos”

23

Criterio de Routh‐Hurwitz • Es

importante señalar que la condición de que todos los coeficientes sean positivos no es suficiente para asegurar la estabilidad.

• La

condición necesaria, pero no suficiente, para la estabilidad es que todos los coeficientes de la expresión polinómica del denominador estén presentes y tengan un signo positivo.

• Si

todos los coeficientes son negativos, se hacen positivas multiplicando ambos miembros de la ecuación por ‐1.

24

Criterio de Routh‐Hurwitz Tercero: • Si

todos los coeficientes son positivos se debe generar una tabla de datos llamada la tabla de Routh.

• Se

debe interpretar la tabla de Routh para determinar cuántos polos de la FTLC se encuentran en el lado izquierdo, lado derecho y sobre el eje imaginario (j) del plano complejo.

25

Criterio de Routh‐Hurwitz •

En resumen:

• Podemos

usar el Criterio de Estabilidad de Routh‐Hurwitz para encontrar cuántos polos del sistema de lazo cerrado se encuentran en el lado izquierdo, en el lado derecho y sobre el eje imaginario (j) del plano complejo.

• Desventaja:

No podemos encontrar las coordenadas de los polos.

26

Criterio de Routh‐Hurwitz • Ejemplo:

• La figura muestra una FTLC equivalente. Para utilizar la tabla

de Routh, nos enfocaremos únicamente en el denominador.

27

Criterio de Routh‐Hurwitz • Primer paso: • Basándonos en

el denominador de la figura anterior, vemos que la potencia mayor para s es 4, entonces podemos dibujar la tabla inicial basándonos en esta información.

• Etiquetamos

filas, empezando por la potencia mayor hasta

s0. s4 s3 s2 s1 s0

28

Criterio de Routh‐Hurwitz • Ingresamos

en la tabla los valores de los coeficientes para cada s, empezando horizontalmente con el coeficiente de la potencia más alta de s en la primera fila, alternando el resto de coeficientes con la fila siguiente. s4

a4

a2

a0

s3

a3

a1

0

s2 s1 s0

29

Criterio de Routh‐Hurwitz • Las entradas siguientes se llenan de la siguiente manera: • Cada

entrada es un determinante negativo de las entradas de las primeras dos filas por la entrada de la primera columna de la fila directamente arriba de la fila que está siendo calculada.

30

Criterio de Routh‐Hurwitz

31

Criterio de Routh‐Hurwitz

32

Criterio de Routh‐Hurwitz

33

Criterio de Routh‐Hurwitz

34

Criterio de Routh‐Hurwitz

35

Criterio de Routh‐Hurwitz

36

Criterio de Routh‐Hurwitz

37

Criterio de Routh‐Hurwitz

38

Criterio de Routh‐Hurwitz • Ejemplo: • Construya una Tabla de Routh para el siguiente sistema:

• Solución: • Primeramente encontramos la función de transferencia de lazo 

cerrado.

39

Criterio de Routh‐Hurwitz • Podemos

multiplicar cualquier fila en la tabla de Routh por una constante positiva sin cambiar las filas inferiores.

40

Criterio de Routh‐Hurwitz • Interpretando la tabla de Routh básica: • En

este caso, la tabla de Routh aplica a los sistemas con polos tanto en el semiplano izquierdo como en el semiplano derecho del plano s.

“El criterio de Routh‐Hurwitz establece que el número de raíces del polinomio que se encuentran en el semiplano derecho es igual al número de cambios de signo que se presentan en la primera columna”.

41

Criterio de Routh‐Hurwitz

El número de raíces en el  semiplano derecho es igual al  número de cambios de signo  que se presenten en la primera  columna de la matriz de Routh 42

Criterio de Routh‐Hurwitz • Si

la FTLC tiene todos los polos en el lado izquierdo del plano s, el sistema es estable.

• El

sistema es estable si no existen cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh.

• Por ejemplo:

43

Criterio de Routh‐Hurwitz

+ +

• Si

nos basamos en la tabla, existen dos cambios de signo en la primera columna.

• Por

lo tanto existen dos polos en el semiplano derecho. Lo que significa que este sistema es inestable. 44

Criterio de Routh‐Hurwitz • Ejercicio No.1:

Elabore una tabla de Routh y diga cuantas raíces del siguiente polinomio se encuentran en el lado derecho y cuantas en el lado izquierdo del plano complejo.

P  s   3s  9s  6s  4s  7 s  8s  2s  6 7

6

5

4

3

2

45

Criterio de Routh‐Hurwitz Respuesta:

Puesto que hay cuatro cambios de signo y ninguna fila completa de ceros, existen cuatro polos en el semiplano derecho y tres en el semiplano izquierdo 46

Criterio de Routh‐Hurwitz • Ejercicio 2:

Si el sistema no es estable, ¿cuántos polos hay en el semiplano derecho del plano complejo?

47

Criterio de Routh‐Hurwitz • Solución:

s4 s3 s2 s1 s0

1 10 30 ‐38 264

35 50 264 0 0

264 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Puesto que hay dos cambios de signo, existen dos polos en el semiplano derecho y dos en el semiplano izquierdo

48

Criterio de Routh‐Hurwitz • Ejercicio 3:

• Solución:

s5 s4 s3 s2 s1 s0

1 3 3.666667 4 ‐2.75 3

5 4 0 3 0 0

1 3 0 0 0 0

Puesto que hay dos cambios de signo, existen dos polos en el semiplano derecho y tres en el semiplano izquierdo 49

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Pueden presentarse dos casos especiales: • Cuando aparece un término cero en la primera 

columna: s3

1

3

0

s2

3

4

0

s1

0

1

2

• Cuando aparece una fila de ceros: s3

1

3

0

s2

3

4

0

s1

0

0

0

50

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Caso Especial 1: Aparece un cero en la primera columna: • Existen

dos métodos que pueden usarse para resolver la tabla de Routh que tiene un cero en la primera columna: 1.

Estabilidad por medio del método epsilon

2.

Estabilidad por medio de coeficientes inversos

51

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Estabilidad por medio del método epsilon:

Ejemplo: Determine la estabilidad de la siguiente función de  transferencia de lazo cerrado.

10 T s  5 s  2 s 4  3s 3  6 s 2  5 s  3

52

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Solución: • Empezaremos

formando la tabla de Routh usando el denominador de la

FTLC. trabajamos en encontrar la entrada de s3 aparece un cero en la primera columna.

• Cuando

Cero en la  primera  columna

s5

1

3

5

s4

2

6

3

s3

0

7/2

0

s2 s1 s0

53

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Si

hay un cero en la primera columna no podremos verificar los cambios de signo en la primera columna porque el cero no tiene ‘+’ o ‘‐’.

• Una

solución para este problema es cambiar el cero por epsilon (ε). s5

1

3

5

s4

2

6

3

s3

0

7/2

0

ε

s2 s1 s0

54

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Calcularemos

el determinante para los siguientes valores de s usando el epsilon.

55

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Si desarrollamos todas las columnas y filas en la tabla de 

Routh obtenemos:

56

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Sabemos

que podemos encontrar el número de polos en el semiplano derecho basado en los signos de la primera columna.

• Podemos asumir ε como ‘+’ o ‘‐’ Etiqueta

Primera  Columna

57

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Existen

dos cambios de signo, por lo que hay dos polos en el semiplano derecho. Por lo tanto, el sistema es inestable. Etiqueta

Primera  Columna

58

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Estabilidad por medio coeficientes inversos:

Ejemplo: Determine la estabilidad de la siguiente función de  transferencia de lazo cerrado.

10 T s  5 s  2 s 4  3s 3  6 s 2  5 s  3 59

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Solución: • El

primer paso es escribir el denominador en orden inverso (356321 en lugar de 123653).

D  s   3 s  5 s  6 s  3s  2 s  1 5

• Podemos

de D(s).

4

3

2

formar la tabla de Routh usando los valores

60

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales

• La

tabla de Routh indica que hay dos cambios de signo. Por lo que el sistema es inestable, y tiene dos polos en el semiplano derecho. 61

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Caso Especial 2: Una fila completa compuesta de ceros. • El

método empleado para resolver una tabla de Routh con toda una fila de ceros es diferente al de el cero únicamente en la primera columna.

• Cuando

la tabla de Routh tiene toda una fila de ceros, los polos pueden estar en el semiplano derecho, en el izquierdo o sobre el eje jω.

62

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Ejemplo:

Determine el número de polos en el semiplano derecho en la siguiente función de transferencia de lazo cerrado.

10 T s  5 s  7 s 4  6 s 3  42 s 2  8s  56

63

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Solución: • Empezamos formando la tabla de Routh.

64

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Una

forma de simplificar los cálculos es multiplicar por una constante positiva todos los elementos de una fila.

65

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales

• Paramos

en la tercera fila, ya que todos los elementos de esta fila son cero.

• Cuando

esto ocurre, necesitamos realizar el procedimiento que se muestra a continuación. 66

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Regresamos a la fila inmediatamente arriba de la fila de 

los ceros y formamos el siguiente polinomio.

• Se forma un polinomio compuesto por:

P  s   s  6s  8 4

2

67

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Luego,

diferenciamos el polinomio con respecto a s y obtenemos:

dP  s  ds

 4 s 3  12 s  0

• Usamos

los coeficientes de arriba para reemplazar la fila de ceros.

•A

partir de aquí el resto de la tabla se forma de una manera más simple. 68

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • La tabla de Routh queda de la siguiente forma al cambiar 

los ceros con los nuevos valores.

69

Criterio de Routh‐Hurwitz: Casos Especiales • Resolviendo para el resto de la tabla de Routh:

• No

hay cambios de signo en la primera columna, por lo tanto no existen polos en el semiplano derecho • El sistema es estable. 70

Criterio de Routh‐Hurwitz: Ejemplos • Ejemplo 1: Caso normal

Tabla de Routh:

Dos cambios de signo en la primera columna:

Dos raíces en el semiplano derecho:

71

Criterio de Routh‐Hurwitz: Ejemplos • Ejemplo 2: Caso especial cero en primera columna

Tabla de Routh: Si aparece un 0 en la primera columna, y los otros elementos en esa fila no son 0, es posible reemplazarlo por un número positivo pequeño (). En este caso, Q (s) tiene algunas raíces en el semiplano derecho.

Dos cambios de signo en la primera columna:

Dos raíces en el semiplano derecho

72

Criterio de Routh‐Hurwitz: Ejemplos • Ejemplo 3: Caso especial una fila de ceros

Tabla de Routh Si aparece una fila de ceros en la tabla de Routh, entonces Q tiene raíces sobre el eje imaginario o sobre el semiplano derecho.

No hay cambios de signo en la primera columna

Tomar la derivada de un polinomio auxiliar (el cual es un factor de Q)

No hay raíces en el semiplano derecho Pero algunas raíces están sobre el eje imaginario.

73

Criterio de Routh‐Hurwitz: Ejemplos • Ejemplo 4: Caso especial

Encuentre el rango de K para que Q(s) tenga todas las raíces en el semiplano izquierdo. (En este caso K es un parámetro de diseño). Tabla de Routh

No hay cambios de signo en la primera columna

74

Criterio de Routh‐Hurwitz: Ejercicios • Dado

que G(s) es una función de transferencia de lazo abierto y tiene una retroalimentación unitaria, encuentre el rango de K para tener un sistema estable.

75

Criterio de Routh‐Hurwitz: Ejercicios • Solución:

• De

la fila de s1, K<2. De la fila de s0, K>0. Por lo tanto, para que no se presenten cambios de signo, ni ceros, y el sistema sea

estable: 0
76

Criterio de Routh‐Hurwitz: Ejercicios • Ejemplo: • Encuentre

el rango de K que conduce a obtener un sistema estable dada la FTLC que se presenta a continuación:

77

Criterio de Routh‐Hurwitz: Ejercicios • Solución:

• Para que el sistema sea estable:

0
Referencias [1] F. Golnaraghi and B. Kuo, “Automatic  Control Systems”,  9th Ed., John Wiley & Sons, 2010. [2] B. Kuo, “Sistemas de Control Automático”,  7° Ed., Prentice Hall, 1996. [3] W. Bolton, “Ingeniería de Control”, 2da. Ed.,  Alfa Omega, 2006.

79