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Lugar Geométrico de las Raíces Ing. Edwin Mejía, MSc Departamento de Ingeniería Eléctrica Facultad Ingeniería Universidad Nacional Autónoma de Honduras [email protected] IE-415 Teoría de la Estabilidad

Objetivos • Aprender

la definición de lugar geométrico de las raíces (root locus).

• Dibujar (bosquejar) el lugar geométrico de las raíces (LGR). • Ajustar el lugar geométrico de las raíces (LGR).

• Utilizar

el lugar geométrico de las raíces para encontrar los polos de la FTLC del sistema.

• Utilizar

el LGR para describir cualitativamente los cambios en la respuesta transitoria y en la estabilidad de un sistema a medida que los parámetros del sistema varían.

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Introducción • ¿Qué es el lugar geométrico de las raíces?

El LGR (Root locus) es una representación gráfica de los polos de la FTLC a medida se varían los parámetros que la describen. • ¿Por qué necesitamos esta herramienta gráfica?

Usamos el lugar geométrico de las raíces para analizar los transitorios cualitativamente. Por ejemplo, podemos usar el LGR para analizar cualitativamente el efecto de variar la ganancia, un porcentaje de la sobreoscilación, el tiempo de estabilización y el tiempo pico. También podemos usar el LGR para evaluar cualitativamente la estabilidad de un sistema. 3

Introducción ¿Qué tipos de sistemas se analizan con el LGR? Usualmente utilizamos el LGR para analizar cualitativamente sistemas con retroalimentación. •

• La constante K en el sistema con retroalimentación recibe el nombre de ganancia. La ganancia se usa para cambiar el sistema y obtener de esta forma una respuesta diferente.

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Introducción

• ¿Cómo se mira un LGR?

La línea con la flecha es la trayectoria del movimiento para los polos de lazo cerrado a medida la ganancia varía en el plano s. Figura 1 – Ejemplo de un LGR

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Dibujando el Lugar Geométrico de las Raíces • El

primer paso para dibujar el LGR es dibujar los polos y ceros de lazo abierto en el plano s.

• Lo

más importante que se debe tener en cuenta en los movimientos de los polos es que los que se mueven son los polos de lazo cerrado, no los polos de lazo abierto.

• A continuación se presenta un ejemplo del movimiento de los

polos cuando la ganancia se varía.

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Dibujando el Lugar Geométrico de las Raíces • Se

presenta un sistema con retroalimentación para una cámara de video que puede automáticamente seguir al sujeto. Posición del sujeto

Sensores

Amplificador

Motor y cámara

Posición de la cámara

Donde:

a) Sistema con retroalimentación b) Función de transferencia de lazo cerrado del sistema, T(s) 7

Dibujando el Lugar Geométrico de las Raíces • Basado en el sistema de la cámara de video, la FTLA es: Posición del sujeto Sensores Amplificador

Motor y cámara

Posición de la cámara

• El sistema con retroalimentación unitaria para una función de transferencia de lazo abierto se puede escribir así: Posición del sujeto

Posición de la cámara

K2 G ( s )  K1  1 s  s  10  K  s  s  10 

K  K1  K 2

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Dibujando el Lugar Geométrico de las Raíces • Empezaremos

dibujando el LGR del sistema de la

cámara. • El

primer paso es dibujar los polos y ceros de la respuesta transitoria de lazo abierto del sistema. Plano s

•

Llenar una tabla con el valor de K correspondiente y los valores de los polos.

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Dibujando el Lugar Geométrico de las Raíces • El

siguiente paso es graficar los valores de los polos en el plano s al variar el valor de la ganancia K.

Plano s

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Dibujando el Lugar Geométrico de las Raíces • Ahora se unen los polos con líneas sólidas, y de esta forma se

estará trazando la forma del lugar geométrico (trayectoria).

Plano s

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Dibujando el Lugar Geométrico de las Raíces • El proceso de dibujar un LGR consume mucho tiempo. • Si

el sistema es complejo, los cálculos serán aún más complicados especialmente si se hacen los cálculos a mano.

•

Un enfoque alternativo que se puede usar es bosquejar el LGR es en lugar de dibujarlo.

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Bosquejando el Lugar Geométrico de las Raíces • Para poder bosquejar el LGR se deben seguir las siguientes 5 reglas: 1.

Número de ramas. Sabemos que los polos de la FTLC se mueven cuando la ganancia K varía. Una rama es una trayectoria por donde un polo se mueve. La primera regla es: el número de ramas del LGR es igual al número de polos de lazo cerrado.

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Bosquejando el Lugar Geométrico de las Raíces 2.

Simetría. El LGR es simétrico respecto al eje real. Eje imaginario

Eje real

Simétrico 14

Bosquejando el Lugar Geométrico de las Raíces 3.

Segmento del eje real: En el eje real, para K > 0 el LGR existe a la izquierda de un número impar en el eje real, de polos finitos de lazo abierto, y/o ceros finitos de lazo abierto. A continuación se muestra un ejemplo de un segmento del eje real.

• Las líneas azules en el plano s son partes del eje real donde el LGR existe. 15

Bosquejando el Lugar Geométrico de las Raíces 4.

Punto inicial y final. ¿Dónde comienza el LGR (ganancia cero)? ¿Dónde termina (ganancia infinita)? El LGR comienza en los polos de lazo abierto y termina en los ceros de lazo abierto. 1 Polo

1 cero

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Bosquejando el Lugar Geométrico de las Raíces 5. Comportamiento en el infinito. Una función de transferencia puede tener polos y ceros finitos e infinitos. • Si

una función se aproxima al infinito cuando s se aproxima al infinito – polo en el infinito.

• Si una función de transferencia se aproxima a cero cuando s

se aproxima a infinito – cero en el infinito.

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Bosquejando el Lugar Geométrico de las Raíces Comportamiento en el infinito: •

El lugar geométrico de las raíces se aproxima a unas líneas rectas (asíntotas) a medida que el lugar geométrico se aproxima al infinito.

•

La ecuación de las asíntotas está dada por el cruce con el eje real σa (centroide) y el ángulo θa de la siguiente manera: σ 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜𝑠 − σ 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑎 = #𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜𝑠 (𝑛) − #𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜𝑠(𝑚) 2𝑘 + 1 ∗ 180 𝜃𝑎 = 𝑛 −𝑚 • Donde k = 0, ±1, ±2, ±3… y el ángulo está dado en radianes con respecto a la extension positiva del eje real. 18

Bosquejando el Lugar Geométrico de las Raíces •

A continuación se bosquejará un LGR. Problema: Bosqueje el lugar geométrico de las raíces para el siguiente sistema.

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Bosquejando el Lugar Geométrico de las Raíces • Conocer

las asíntotas de nuestro lugar geométrico ayudará de forma importante al diseño del mismo.

• Basado

en la respuesta transitoria de lazo abierto para este sistema, los polos finitos están en: 0, -1, -2, y -4 y el cero finito en -3.

• Entonces,

hay 4 polos, pero solo un cero. Por lo tanto, deben haber 3 ceros infinitos (3 asíntotas).

• #Asíntotas = #polos finitos – #ceros finitos • Usando

real:

la ecuación para calcular las asíntotas cruzando el eje  1   2    4    3  4 a   4 1 3 20

Bosquejando el Lugar Geométrico de las Raíces • Los ángulos de las líneas que se intersecan en -4/3 dada la

ecuación para θa: 2𝑘 + 1 ∗ 180 𝜃𝑎 = 𝑛 −𝑚 = 60° = 180° = 300° = 420°

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 3

Hay 3 asíntotas. Por lo tanto, k=0,1,2,3 cada uno representa el ángulo de las asíntotas.

• A medida k continua incrementándose, el ángulo comenzará a repetirse. El número de asíntotas es igual a la diferencia entre el número de polos finitos y el número de ceros finitos. 21

Bosquejando el Lugar Geométrico de las Raíces • Lugar geométrico de las raíces con 3 asíntotas:

Asíntota Asíntota

Asíntota

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Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • Una

vez que bosquejamos el LGR usando las cinco reglas discutidas anteriormente, requeriremos ubicar de forma precisa los puntos en el LGR, así como su ganancia asociada.

• Podríamos

querer saber las coordenadas exactas del LGR a medida cruza la línea radial que representa el valor de la sobreoscilación.

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Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • El

valor de la sobreoscilación puede representarse por una línea radial en el plano s.

La línea radial representa un valor de sobreoscilación en el plano s.

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Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • El valor de  en el plano s:

 = 𝑐𝑜𝑠 • Dado

el % de sobreoscilación, es posible obtener el valor  de la siguiente forma:

 

 ln %OS / 100 

 2  ln 2 %OS / 100  25

Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces Ejemplo: Dibujar una línea radial en un plano s que represente una sobreoscilación del 20%. Solución: • La sobreoscilación se representa por  (factor de amortiguamiento) en el plano s. Por lo tanto, el primer paso es encontrar el valor de .   

 ln  %OS /100 

 2  ln 2  %OS /100   ln(20 /100)

 2  ln 2  20 /100 

 0.456

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Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • El

siguiente paso es encontrar el ángulo de la línea radial.

 j

  cos  0.456  cos    cos 1 0.456



 62.87



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Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • El

punto donde nuestro LGR se interseca con la línea radial del “%n” de la sobreoscilación es el punto donde el valor de la ganancia produce una respuesta transitoria con un “%n” de sobreoscilación.

Nuestro LGR se interseca con la línea. Esto significa que la ganancia en la intersección produce una respuesta transitoria con = 0.45

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Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • Sabemos

que cuando el LGR se interseca con la línea radial del %SO, la ganancia durante la intersección producirá una respuesta transitoria con el mismo %SO.

• Puesto

que solamente bosquejamos el LGR, no sabemos las coordenadas exactas de la intersección entre la línea radial y el LGR.

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Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • Un

punto en la línea radial se encuentra sobre el LGR si la suma de ángulos (ángulos de cero – ángulos de polos) en relación al punto sobre la línea radial suman un múltiplo impar de 180. múltiplo impar de 180  (2k+1) 180 ̊, k = 1,2,3,4, …………………………………………….. 180 , 540, 900, 1260

• Un

• Debemos

calcular el valor de la ganancia. El cálculo de la ganancia se obtiene al multiplicar la longitud de los polos dibujados hasta dicho punto y dividiendo por el producto de la longitud de los ceros dibujados hasta dicho punto. 30

Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • Ahora,

si nos referimos al LGR previamente calculado, encontraremos las coordenadas exactas donde se produce el cruce por la línea radial que representa la sobreoscilación del 20%.

  0.45

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Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • Podemos

encontrar el punto en la línea radial que cruza el LGR al seleccionar un punto con un radio y después sumar los ángulos de los ceros y restar el de los polos.  = ceros - polos = 2 – [1 + 3 + 4 + 5] radi o

ángulo (grados)

Teoría: Múltiplos impares de 180  180, 540, 900, 1260 … punto sobre la línea radial se encuentra en el lugar geométrico de las raíces.

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Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • Calcularemos

el ángulo usando las reglas (identidades) del seno, coseno, y tangente.

b  a  c  2ac cos    2

2

2

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Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • Tomemos

r = 0.747 y verificamos si este punto sobre la línea radial se interseca con el LGR.

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Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • Calcularemos el valor de A, B, C, D, E y también de θ1, θ2, θ3, θ4, y

θ5.

• La

longitud de E es igual al radio r debido a que el polo está en el origen. E  0.747

E D  sin  4 sin( )

5  180  63.256  116.744

D 2  E 2  12  2 E (1) cos(63.256)  0.747 2  1  2(0.747) cos(63.25)  0.886 D  0.886  0.941

0.941sin(63.256) 0.941  45.141

4 

E

D θ4

 1

θ5

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Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • Calcularemos la longitud de C y θ3. • Podemos tomar el triángulo E-C o el triángulo D-C, pero la

forma más sencilla es con el triángulo E-C. C 2  E 2  22  2 E (2) cos   C 2  0.747 2  22  2(0.747)(2) cos(63.256) C  1.793 E C  sin 3 sin( ) 0.747 sin(63.256) 1.793  21.842

3 

C θ3

E 

θ5

2 36

Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • Calculamos la longitud de B y θ2.

B 2  E 2  32  2 E (3) cos   B 2  0.747 2  32  2(0.747)(3) cos(63.256) B  2.746

E B  sin  2 sin( ) 0.747 sin(63.256) 2.746  14.06

2 

B

E



θ2

θ5

3

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Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • Calcular la longitud de A y θ1.

A2  E 2  42  2 E (4) cos   A2  0.747 2  42  2(0.747)(4) cos(63.256) A  3.725

E A  sin 1 sin( ) 0.747 sin(63.256) 3.725  10.316

A

E

1 



θ1

θ5

4

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Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • Podemos

calcular el valor de la ganancia K, donde el LGR se intersecta con la línea radial. Longitud de polos Longitud de ceros

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Bosquejando y Calibrando el Lugar Geométrico de las Raíces • Para el lugar geométrico de las raíces que no tenga ceros, la

ecuación de la ganancia es:

Longitud de polos

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Diseño de la Respuesta Transitoria a través del Ajuste de la Ganancia • En

nuestro ejemplo previo, el lugar geométrico de las raíces cruza la línea del factor de amortiguamiento de 0.45 con una ganancia de 1.71.

• ¿Significa

esto que el sistema responderá con una sobreoscilación de 20%, el equivalente a un =0.45?

• Debe

enfatizarse que las ecuaciones que describen el %SO, tiempo de asentamiento, y tiempo pico son derivadas solo para un sistema con dos polos de lazo cerrado, sin considerar ceros de lazo cerrado.

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Diseño de la Respuesta Transitoria a través del Ajuste de la Ganancia • Si

nuestro sistema tiene polos y ceros adicionales, podemos asumir que el sistema tiene dos polos y no contiene ceros si se cumplen los siguientes requerimientos: • Los

polos de orden mayor están mucho más alejados en el semiplano izquierdo del plano s medido desde el eje jω (asumimos un factor de cinco veces alejado del par dominante de segundo orden del eje jω).

• Los

ceros de lazo cerrado cerca de los polos de segundo orden de lazo cerrado son casi cancelados por la proximidad de polos de lazo cerrado de orden mayor. 42

Diseño de la Respuesta Transitoria a través del Ajuste de la Ganancia • Los

ceros de lazo cerrado que no se cancelan por la proximidad de polos de lazo cerrado de orden mayor están muy alejados del par de polos de lazo cerrado de segundo orden. Mejor

Polos de lazo abierto Polos de lazo cerrado Ceros de lazo cerrado

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Diseño de la Respuesta Transitoria a través del Ajuste de la Ganancia • Ejercicio:

K G( s)  ( S  2)( S  4)( S  6) a) b)

c) d)

Bosqueje el LGR Usando la aproximación de segundo orden, diseñe el valor de K que producirá una sobreoscilación de 10% para una entrada de escalón unitario (Ayuda r = 3.431). Estimar el tiempo de asentamiento, tiempo pico, y el error de estado estacionario para el valor de K diseñado en (b) Determine la validez de la aproximación de segundo orden.

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Diseño de la Respuesta Transitoria a través del Ajuste de la Ganancia •

Si miramos la ecuación del tiempo pico, Tp y el tiempo de asentamiento Ts.

Ts 

4 Tp 

n

 n 1  

2

Imaginario Real

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Diseño de la Respuesta Transitoria a través del Ajuste de la Ganancia • Solución: • K=45.55 • Ts=1.97 • Tp=1.13 • Kp=0.949

estep ()  0.51

• Comparando

este valor con la parte real del polo dominante, -2.028, vemos que no es 5 veces mayor.

• Por

lo tanto, la aproximación de segundo orden no es válida. 46

Referencias [1] F. Golnaraghi and B. Kuo, “Automatic Control Systems”, 9th Ed., John Wiley & Sons, 2010. [2] B. Kuo, “Sistemas de Control Automático”, 7° Ed., Prentice Hall, 1996. [3] W. Bolton, “Ingeniería de Control”, 2da. Ed., Alfa Omega, 2006.

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