7047439 Maths Financiers

Mathématiques financières

RAPPELS DE MATHÉMATIQUE 1. Identité remarquable : •

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

•

(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2

•

(a + b) * (a –b) = a2 - b2

1. Équation du second degré Pour résoudre l’équation ax2 + bx + c = 0 (avec a, b et c des réels et a ≠ 0), on doit d’abord calculer le discriminant ∆ = b2 – 4ac •

∆ > 0 : l’équation admet deux solutions distinctes réelles x’ = (-b - √∆)/2a

et

x’’ = (-b + √∆)/2a

•

∆ = 0 : l’équation admet une solution réelle double x’ = x’’ = - b / 2a

•

∆ < 0 : l’équation n’admet pas de solution dans R

3. Puissances •

x-m = 1/xm

•

xm *xn = xm+n

•

(xm)n = xmn

•

xm/xn = xm-n = 1/xn-m

4. Logarithme •

Log (ab) = Log a + Log b

•

Log (a/b) = Log a – Log b

•

Log √a = (1/2) Log a

•

Log ab = b Log a

•

Log e = 1

•

Log 1 = 0

•

Log (1/a) = - Log a

1

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CHAPITRE I

Les opérations financières à court terme I. L’INTÉRÊT SIMPLE 1. Notion d’intérêt Nous pouvons définir l’intérêt comme étant le loyer d’argent, et le taux d’intérêt comme la rémunération d’un capital généralement à base 100 DA, pendant une unité de temps habituellement une année. La personne qui prête de l’argent à autrui est désignée sous le nom de « créancier » et celle qui en emprunte est appelée « débiteur ».

2. Formule fondamentale de l’intérêt simple Le montant de l’intérêt est proportionnel à la somme du capital prêté, à la durée du prêt et au taux du placement. La formule de calcul des intérêts simples diffère selon que la période est donnée en années, jours ou mois. a- Lorsque la durée du placement est exprimée en années Si la durée du placement est exprimée en années, la formule de calcul de l’intérêt est comme suit :

I = C.t.n / 100 Où :    

I : le montant de l’intérêt. C : le montant du capital prêté. n : la durée du placement (ici en année). t : le taux de placement pour une unité de 100 DA et une période d’une année.

Exemple : L’intérêt dégagé par un capital de 10 000 DA, prêté pour 2 années, au taux de 7 %, est de 1 400 DA, qui correspond à : (10 000 * 7 * 2) / 100 b- Lorsque la durée du placement est exprimée en mois : Si la durée du placement est exprimée en mois (n/12 de l’année), la formule de calcul de l’intérêt est alors comme suit :

I = C.(t/100).(n / 12) = (C.t.n) /1 200 Exemple : L’intérêt fourni par un capital de 20 000 DA, prêté pour 9 mois, au taux de 6 %, est de 900 DA. Ce montant (I = 900 DA) correspond à : (20 000 * 6 * 9) / 1 200 c- Lorsque la durée du placement est exprimée en jours : Lorsque la durée du placement est exprimée en jours (n/360), la formule de calcul de l’intérêt s’écrit comme suit :

I = C.(t/100).(n / 360) = (C.t.n) /36 000

2

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Exemple : Un capital de 50 000 DA, placé à 8% pendant 55 jours, Nous fournit un montant égal à 611,1111 DA. Ce montant (I = 611,1111 DA) correspond à : (50 000 * 8 * 55) / 36 000

3. Calculs sur la formule fondamentale Par fois, nous sommes appelés à chercher l’une des trois quantités de la formule fondamentale (C, t, n) autre que l’intérêt I. Alors, la formule fondamentale permet, et sans difficultés, de retrouver ces inconnues. Si la durée du placement (n) est exprimée en jours, par exemple, nous pouvons écrire :

I = (C.t.n) /36 000 C = (36 000.I) / (t.n) t = (36 000.I) / (C.n) n = (36 000.I) / (C.t) 4. La valeur acquise (v) La valeur acquise d’un capital placé est la somme du capital initial et des intérêts produits par ce même capital à la fin de l’échéance. V = C + I <=> V = C + (C.n.t /36 000) <=> V = C + [(C.n) / (36 000/t)] <=> V = C + (C.n / D) sachant que D = 36 000 / t N.B. Le revenu annuel est la somme des intérêts produits par un capital pendant une année. Exemple : La valeur acquise par un capital de 20 000 DA, placé à 7% durant 54 jours, est donnée comme suit : V = C + (C.t.n / 36 000) = 20 000 + (20 000 * 7 * 54 / 36 000) = 20 000 + 210 = 20 210 DA

5. Taux moyen d’une série de placements effectués simultanément Nous appelons taux moyen d’une série de placements effectués en même temps le taux unique « T » qui, appliqué aux capitaux placés et pour leurs durées respectives, conduirait au même intérêt total. Soit, par exemple, k placements effectués simultanément aux conditions suivantes : Capitaux

Taux

Durée

C1

t1

n1

C2

t2

n2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ck

tk

nk

3

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Le taux moyen « T » est alors donné par la résolution de l’équation suivante : (C1 T n1 / 36 000) + (C2 T n2 / 36 000) + … + (Ck T nk /36 000) = (C1 t1 n1 / 36 000) + (C2 t2 n2 / 36000) + … + (Ck tk nk /36 000) <=> T * (C1 n1 + C2 n2 + … + Ck nk = (C1 t1 n1 + C2 t2 n2 + … + Ck tk nk) <=> T = Σ Ci ti ni / ΣCi ni N.B. Nous remarquons que cette formule de calcul du taux moyen est carrément indépendante de l’unité dans laquelle est exprimé la durée du placement.

6. Intérêt précompté / taux effectif du placement Le paiement des intérêts est généralement effectué le jour du remboursement du capital placé, et c’est le cas de toutes les formules précédemment dégagées. Cependant, il est possible que les intérêts soient versés le jour même du placement : c’est les intérêts précomptés. Dans le cas des intérêts précomptés, les fonds engagés nous procurent un taux de placement (taux effectif T) supérieur au taux d’intérêt stipulé dans le contrat de prêt. Exemple : Soit un capital de 20 000 DA, placé à intérêt précompté, à un taux de 7% et pour une période d’un an. L’intérêt reçu immédiatement par le prêteur s’élève à : 20 000 * 7 * 1 / 100 = 1 400 DA. Ainsi, le capital réellement engagé n’est que 20 000 – 1 400 = 18 600 DA. A la fin de ‘échéance, le prêteur recevra un capital de 20 000 DA, et gagnera de la sorte 14 00 DA en n’ayant engagé que 18 600 DA. Le taux effectif sera donc tel que : I = (18 600 * T * 1) /100 = 1 400 <=> T = 7,52.

II. ESCOMPTE ET ÉQUIVALENCE DE CAPITAUX (court terme) 1. Notion d’effet de commerce Le 20/11/05, une personne « A » vend un lot de marchandises à une autre personne dite « B » pour un montant de 60 000 DA, le règlement interviendra le 25/02/06. L’existence de cette créance est concrétisée par l’établissement d’un document commercial appelé effet de commerce (billet à ordre ou lettre de change). En effet, « A » peut demander à «B»: - soit de souscrire un billet à ordre, i.e. une promesse écrite quant au règlement de 60 000 DA à la date du 25/02/06 ; - soit d’apposer sa signature sur une lettre de change après avoir indiqué la banque qui effectuera le paiement (domiciliation). Maintenant, « A » est en mesure de demander à son banquier une avance (15/12/05), en la garantissant par un effet de commerce prouvant la créance qu’elle a sur « B ». Illustrations : 17/11/05

2011/05

15/12/05

25/02/06

Date de création de l’effet

Date de négociation

Date d’échéance

4

Mathématiques financières Billet à ordre : Banque de l’agriculture et du développement rural Société par actions au capital de (2. 200. 000. 000) deux milliards deux cent millions de dinars ayant son siège à Alger 17, Bd Colonel Amirouche- Alger – R.C. N° 89 B 66 Alger R. C. Alger 89 B 66

……………………….…, le …………………… B.P.

DA ….………………………………...

À ……………………………………………… Payer : ………………………… contre ce billet, à l’ordre de la BANQUE D’AGRICULTURE ET DE DÉVELOPPEMENT RURAL la somme de …………………………………………………………………………………………………... Somme en toutes lettres et en Dinars Algériens

Valeur reçue : .………………………………………………………………………………........... … ……………………………………………………………………………................................... Souscripteur ………………………………………….. ………………………………………….. Domiciliation ………………………………………….. CA 19 -

Lettre de change (traite) Maison « A » Cité Tobal Béjaïa

Béjaïa, le 20/11/05

BP DA 60 000

Au 25 février 2006

Contre cette lettre de change, veuillez payer à l’ordre de : Maison « A » La somme de : SOIXANTE MILLE DINARS ACCEPTATION OU AVAL Tiré Accepté «B»

TIMBRE

Ets « B » Tazmalt-Béjaia Domiciliation C.P.A. Béjaïa Agence 307

N° 08 5

Signature du tireur «A»

Mathématiques financières Le tireur : c’est le créancier « A » (et c’est lui qui rédige la traite). Le tiré : qui doit payer l’effet à l’échéance. Ici c’est le débiteur « B ». Domiciliation : banque, où le tiré a un compte, et laquelle payerait la traite à échéance. Valeur nominale : c’est le montant porté sur l’effet de commerce.

2. L’opération commerciale d’escompte (crédit d’exploitation) C’est une opération par laquelle le tireur sollicite son banquier à lui avancer le montant de l’effet avant la date d’échéance, en contre-partie d’une rémunération appelée escompte commercial. L’escompte est donc le prix du service rendu par le banquier. En effet, l’escompte est l’intérêt calculé à un taux t, de la valeur nominal de l’effet, pour n jours qui sépare la date de négociation de l’effet de celle de son échéance. Ce nombre de jours est considéré comme la durée du prêt consenti par le banquier. L’escompte commerciale sera alors donné par la formule :

ec = V.t.n / 36 000

ou

ec = Vn / D

Où :  ec : escompte commercial.  n : la durée qui sépare la date de négociation de l’effet de celle de son échéance.  t : le taux d’escompte. Exemple : Le 22 août une personne se présente à son banquier pour qu’il lui escompte un effet de commerce à échéance du 30 novembre et de nominal égal à 12 000 DA. Taux d’escompte : 9 %. Puisque le nombre de jours qui séparent la date de négociation (22/08) de la date d’échéance (30/11) est de 100 jours, l’escompte commercial est de : (12 000 * 9 * 100) / 36 000 = 300 DA.

3. Valeur actuelle commerciale En effet, l’escompte commercial est une opération d’intérêt précompté ; le banquier retient immédiatement l’escompte. Autrement dit, il remet à son client un montant égal à (V – e), au moment de l’escompte. Ce montant, qui est la différence entre la valeur nominale de l’effet de commerce et son escompte commercial, est dit valeur actuelle commerciale. En contre-partie, le banquier encaissera le total de la valeur nominale, inscrite sur l’effet, à la date d’échéance. En désignant par Va la valeur actuelle commercial, nous écrirons : Va = V - ec <=> Va = V – (V.n / D) <=>

Va = V. [(D – n) / D]

4. Notion d’escompte commercial et d’escompte rationnel ec = Vn / D Va = V - ec  er = Vr.n/D = [VD/(D+n)].(n/D)  er = Vn/(D+n) V = Vr + er = Vr + [Vr.n/D] => V = Vr.[(D+n)/D] => Vr = VD/(D+n) Exemple Soit effet de commerce de valeur nominale 80 000 DA, de nombre de jours à couvrir 60 est escompté au taux de 3%. Avant de passer aux calculs nous allons énumérer les données que nous disposons : V = 80 000DA 6

Mathématiques financières n = 60 jours t = 3% D = 36 000 / 3 = 12 000 a) Escompte commercial : * ec = Vn / D = 80 000 * 60 / 12 000 = 400 DA * Va = 80 000 – 400 = 79 600 DA a) Escompte commercial : * er = (Vn) / (D + n) = (80 000 * 60) / (12 000 + 60) = 398,0099 DA * Vr = V - er = 80 000 – 398,0099 = 79 601,99 DA

5. Équivalence d’effets de commerce ou de capitaux Deux effets de commerce (V1, V2) d’échéance (n1, n2) sont dits équivalents si et seulement si à une date quelconque (date d’équivalence) les deux effets auront la même valeur actuelle commerciale. En effet, V1<=> V2 => Vc1 = Vc2 1 De 1 nous avons : V1 - ec1 = V2 – ec2 <=>V1 – (V1 * n1 / D) = V1 – (V1 * n2 / D) <=>V1 (D - n1 / D) = V2 (D – n2 / D) <=>

V2 = V1 [(D-n1) / (D-n2)]

Mais, il est nécessaire de souligner quelques remarques qui concernent tout particulièrement le problème de la date d’équivalence : • la date d’équivalence, si elle existe bien sûr, est toujours antérieure à la date d’échéance de l’effet d’échéance la plus proche (la première dans l’ordre chronologique), car il n’est possible de négocier un effet que s’il n’est pas échu ; • la date d’équivalence doit être postérieure aux dates de création des effets donné, et ce, pour qu’elle ait une signification ; • il peut y avoir une infinité de solution (le cas où les effets ont une même valeur nominale et une même date d’échéance) comme il ne peut y avoir aucune ; Exemple Soit deux effet de commerce, de valeurs nominales respectives 98 400 DA et 99 000, et d’échéances respectives 31 octobre et 30 novembre, négociés au taux d’escompte de 7,2%. Avant de procéder à tout calcul nous permettant de chercher la date d’équivalence, nous devons remarquer que cette date ne peut être que antérieure au 31 octobre. Désignons par x le nombre de jours qui séparent la date d’équivalence cherché du 31 octobre, et donc par (x + 30) le nombre de jours séparant cette date d’équivalence du 30 novembre. Vc1 = Vc2 <=>V1 – [(V1 * x) / D] = V1 – (V1 * [(x+30)] / D] avec D = 36 000 / 7,2 = 5 000 <=> 98 400 - [(98 400 * x) / 5 000] = 99 000 – (99 000 * [(x+30)] / 5 000] <=> (99 000 x - 98 400 * x) / 5 000 = 99 000 – 98 400 - ( 99 000 * 30 / 5 000] <=> 60 x = (60 * 5 000) – (99 000 * 30) <=> 60 x = 3 000 <=> x = 50 Ainsi, la date d’équivalence cherchée se situe à 50 jours avant le 31 octobre, soit au 11 septembre (où les deux effets ont une même valeur égale à 97 416 DA). 7

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6. L’échéance commune Soit V1, V2, …,Vn plusieurs effets de commerce d’échéances respectives n1, n2, …, nn. On appelle l’échéance commune celle d’un effet de remplacement dit effet unique (V) qui remplace l’ensemble des effets précédents tel que sa valeur actuelle n’est que la somme des valeurs actuelles commerciales des effets remplacés. En effet : Vc = Vc1 + Vc2 + … + Vcn => V – (VN/D) = (V1 - V1n1/D + V2 - V2n2/D+ … + Vn - Vn nn/D) => V*[1 - (N/D)] = (V1 + V2 + … + Vn ) * [(V1n + V2n + … + Vn n)/D] => V*[1 - (N/D)] = Σ Vi – (Σ Vi ni / D) Exemple 1 Nous voulons remplacer les 03 effets suivants par un effet unique à échéance du 30 novembre : • 8 600 DA à échéance du 20 octobre • 12 000 DA à échéance du 31 octobre • 24 000 DA à échéance du 15 novembre Taux d’escompte 5% Calculons la valeur nominale d’un effet unique si la date d’équivalence (de renouvellement) est le 10 octobre. Nous avons comme données : V1 = 8 600 DA ; V2 = 12 000DA ; Vn = 24 000 DA ; n1= 19 jours ; n2 = 30 jours ; nn = 45 jours ; N = 60 jours ; t = 5% ; D = 7 200 1/10 Date d’équivalence

20/10 V1

31/10 V2

15/11 V3

30/15 V=?

Pour faciliter les calculs nous allons utiliser le tableau qui suit : Vi

Ni

eci = (Vi ni / D)

8 600

19

8 600 * 19 / 7 200 = 22,69 DA

12 000

30

12 000 * 30 / 72 000 = 50 DA

24 000

45

24 000 * 45 / 72 000 = 150 DA

44 600

Σ Vi ni / D = 222,69 DA

V*[1 - (N/D)] = Σ Vi – (Σ Vi n / D)  V*[1 - (60/72 000)] = 4 460 – 222,69  V* (0,99166) = 44 75023,31  V = 44 7523,31/0,99166 = 44 750,23 DA Exemple 2 Le 10 juin, nous remplaçons les 03 effets suivants par un effet unique de valeur 14 320 DA : • 6 600 DA à échéance du 25 juin • 3 600 DA à échéance du 10 juillet • 4 000 DA à échéance du 30 juillet 8

Mathématiques financières Calculons l’échéance de cet effet unique si le taux d’escompte 5% Nous avons comme données : V1 = 6 600 DA ; V2 = 3 600 DA ; V3 = 4 000 DA ; n1= 15 jours ; n2 = 30 jours ; n3 = 50 jours ; t = 5% ; D = 7 200 ; N = ? Vi

Ni

eci = (Vi ni / D)

6 600

15

6 600 * 15 / 7 200 = 13,75 DA

3 600

30

3 600 * 30 / 72 000 = 15 DA

4 000

50

4 000 * 50 / 72 000 = 27,77 DA

14 200

Σ Vi n / D = 56,52 DA

V*[1 - (N/D)] = Σ Vi – (Σ Vi n / D)  14 320*[1 - (N/7 200)] = 14 200 – 56,52  1 - (N/7 200) = 14 143,48 / 14 320 = 0,987673  N = (1 - 0,9876) * 7 200 = 88 jours L’échéance commune est celle du 10 juin + 88 jours, soit le 07 août.

7. L’échéance moyenne On appelle échéance moyenne de plusieurs effets de commerce, l’échéance commune de ces effets, dans le cas où la valeur nominale de l’effet unique est égale à la somme des valeurs nominales des effets remplacé. N=? V= Σ Vi V1

V2

……………………

V = V1 + V2 + … + Vn => Vc = Vc1 + Vc2 + … + Vcn De 1 => V – (VN/D) = V1 – (V1 n1 / D) + V2 – (V2 n2 / D) + ... +Vn – (Vn nn / D) => V – (VN/D) = (V1 + V2 + ... +Vn) – [(V1n1 + V2n2 + ... + Vnn)/D] => N = (Σ Vi ni )/ V Exemple 2 : Déterminons l’échéance moyenne des effets suivants : • 4 000 DA à échéance du 30 avril • 6 000 DA à échéance du 30 mai • 10 000 DA à échéance du 19 juin Calculons l’échéance de cet effet unique si le taux d’escompte 5% 30/04

30/05

19/06

V1 = 4 000 V2 = 6 000 DA Solution 1 : Soit le 30 avril la date d’équivalence Nous avons comme données : V1 = 4 000 DA ; V2 = 6 000 DA ; V3 = 10 000 DA ; n1= 0 jours ; n2 = 30 jours ; nn = 50 jours ; 9

V3 = 10 000 DA

Vn

Mathématiques financières N=? V = V1 + V2 + V3 => V = 20 000 => (V-VN) / D = (V1 + V2 + ... +Vn) – [(Σ Vi ni )/ D] =>VN = Σ Vi ni =>N = [(Σ Vi ni) / V = (4 000 * 0 + 6 000 * 30 + 10 000 * 50) / 20 000 = 34 jours Donc, l’échéance moyenne est le 03 juin (le 30 avril + 34 jours) Solution 2 : Soit le 31 mars la date d’équivalence Nous avons comme données : V1 = 4 000 DA ; V2 = 6 000 DA ; V3 = 10 000 DA ; n1= 30 jours ; n2 = 60 jours ; nn = 80 jours ; N=? V = V1 + V2 + V3 => V = 20 000 VN = Σ Vi ni => N = [(Σ Vi ni) / V = (4 000 * 30 + 6 000 * 60 + 10 000 * 80) / 20 000 = 64 jours Donc, l’échéance moyenne est le 03 juin (le 31 mars + 64 jours) Conclusion Le choix de la date d’équivalence n’a aucun effet sur le résultat

8. Pratique de l’escompte / agio À l’occasion de l’opération d’escompte le banquier opère, en plus de l’escompte, d’autres retenues sur la valeur nominale d’un effet ; l’ensemble de ces retenues constitue l’agio. L’agio, comprend : l’escompte commercial, différentes commissions et la TVA. Mais, aux yeux du banquier escompteur, seul l’agio hors taxe qui compte ; car cette TVA est déductible du montant de la taxe qu’il aura ensuite à verser. Pour ce qui est des commissions nous pouvons distinguer deux sortes : • Les commissions proportionnelles au temps, qui se calculent comme l’escompte. Donc, elles sont proportionnelles à la valeur nominale de l’effet escompté, à la durée qui sépare la date de négociation de la date de l’échéance de l’effet ainsi qu’au taux attaché à ces commissions. • Les commissions indépendantes du temps, qui sont proportionnelles seulement à la valeur nominale de l’effet et au taux. Ajoutons que certaines commissions sont fixes, donc indépendantes du nominal de l’effet et du nombre de jours restant à courir à celui-ci. Exemple de calcul de l’agio hors taxe : Le 4 juillet on porte à l’escompte un effet de nominal 6 000 DA, à l’échéance du 31 juillet. Conditions : - taux d’escompte : 10,5% ; - commissions proportionnelles au temps : 0,6% ; - commissions indépendante du temps : 1/8 % ; Calculons l’escompte : n = 27 jours ec = (6 000 * 10,5 * 27) / 36 000 = 47,25 Commissions proportionnelles au temps = (6 000 * 0,6 * 27) / 36 000 = 2,70 Commissions indépendante du temps = 6 000 * (8/100) = 7,50 Donc : 10

Mathématiques financières Agio hors taxe = 47,25 + 2,70 + 7,50 = 57,45 Valeur nette de l’effet = 60 000 – 57,45 = 5 942,55 DA, et c’est la somme qui sera mise par le banquier à la disposition de son client

III. SÉRIE D’EXERCICES N° 1 Exercice 1 Monsieur Dadi veut partager une somme d’argent de 42 000 DA en deux parts inégales sur deux de ses enfants. Le premier place son capital qui représente un tiers (1/3) à un taux t 1 et le second place son capital au taux t2. Placés pendant 100 jours, ces deux capitaux ont produit ensemble 1 225 DA d’intérêts. Sachant que le taux t2 est double de t1, calculer les deux taux. Exercice 2 Deux capitaux s’élèvent ensemble à 45 940 DA. Ils sont placés à des taux différents et ont produit en deux ans un intérêt de 4 405 DA. Le premier surpasse le deuxième de 8 140 DA et rapporte 501,5 DA d’intérêt de plus par an. Calculer les deux capitaux et les deux taux. Exercice 3 La valeur actuelle au 25 août d’un effet escompté commercialement à 9 % s’élève à 7 868 DA. Si l’effet avait été escompté 30 jours avant son échéance l’escompte aurait été inférieur de 72 DA à l’escompte supporté dans la première hypothèse. Retrouver la valeur nominale de l’effet et son échéance. Exercice 4 La somme et le produit de l’escompte commercial et l’escompte rationnel d’un même effet négocié au taux de 4% sont respectivement de : 450,05 DA et 51 536,26 DA. Calculer : • l’escompte commercial et l’escompte rationnel ; • l’échéance de cet effet (n) ; • la valeur nominale de l’effet (V) Exercice 5 Trois effets de commerce : • 2 000 DA au 20/05/N ; • 3 500 DA au 19/06/N ; • 4 500 DA au 29/07/N ; sont remplacés par un effet unique de 10 000 DA. Déterminer sa date d’échéance.

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Mathématiques financières

CHAPITRE II

Les opérations financières à long terme I.

L’INTÉRÊT COMPOSÉ (capitalisation)

1. Notion de capitalisation des intérêts Quand l’opération de prêt porte sur le long terme (plusieurs années), le prêteur peut, à l’expiration d’une durée convenue avec l’emprunteur, considérer l’intérêt simple fourni par son capital pendant cette durée comme un nouveau capital qui, incorporé au capital initial, portera un intérêt à son tour pendant l’année suivante. Cette addition des intérêts au capital à la fin d’une durée convenue, dite capitalisation, est la caractéristique du prêt à intérêt composé.

2. Formule fondamentale des intérêts composés La formule fondamentale en matière des intérêts composés nous donne la valeur acquise par le capital placé. Soit un capital placé à intérêt composé, avec capitalisation annuelle des intérêts. Désignons par « C » le montant du capital placé, exprimé en dinars, par « n » la durée de placement exprimée en années et par « i » le taux d’intérêt annuel pour 1 dinars du capital. Alors, la valeur acquise, que nous désignons par Cn, après n capitalisation d’intérêt, sera donnée par la formule suivante : Cn = C * (1 + i )n Par contre, l’intérêt total produit est obtenu en faisant la différence entre la valeur acquise et le capital initial : I = Cn – C = C * (1 + i )n – C = C * [(1 + i )n –1] Exemple 1 Un capital de 20 000 DA est placé à intérêt composé au tau annuel de 8% (i = 0,08) pour un dinars. La capitalisation des intérêts est annuelle. Calculons sa valeur acquise au bout de cinq ans : C5 = 20 000 * (1,08)5 = 29 386,5615 DA Ici, la durée du placement ainsi que le taux de placement sont donnés par référence à la même durée que la période de capitalisation. Exemple 2 Soit un capital de 10 000 DA, placé à intérêt composé au tau annuel de 2,5% (i = 0,025) pour un dinars. La capitalisation des intérêts est trimestrielle. Calculons sa valeur acquise au bout de six ans : Pour exprimer la durée et le taux de placement par référence au trimestre, qui est la période de capitalisation, la durée de placement sera exprimée en trimestre ; soit 24 trimestre (4*6). Il y a, d’ailleurs, 24 capitalisations. Nous pouvons donc écrire : C24 = 10 000 * (1,025)24 = 18 087,2595 DA

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Mathématiques financières

3. Problèmes simples de la formule fondamentale des intérêts composés Dans le calcul de la formule fondamentale des intérêts composés, nous pourrons faire appel soit aux calculatrice soit aux tables financières. L’expression (1 + i)n fait l’objet de la table financières n° 1. a. Calcul de la valeur acquise C = 20 000 DA, capitalisation annuelle. i = 0,095, taux annuel pour un dinar. n = 7 ans. C7 = ? Dans la table financière n° 1, à l’intersection de la ligne n = 7 et de la colonne i = 9,5, nous lisons (1+ i )n = 1,0957 =1,887 552. La valeur acquise recherchée est donc égale à 20 000 * 1,887 552 = 37 751,04 DA. b. Calcul du taux C = 30 000 DA, capitalisation annuelle. C11 = 89 971,77 DA n = 11 ans. i=? Calcul : 89 971,77 = 30 000 * (1+ i)11 => (1+ i)11 = 2,999057 La durée 11 étant connue, il suffit de chercher dans la table financière n° 1, sur la ligne n = 11 le nombre 2,999 057 qui se retrouve dans la colonne correspondante au taux i = 10,5. c. Calcul de la durée de placement C = 40 000 DA, capitalisation semestrielle des intérêts. i = 0,0475 (taux trimestriel d’intérêt : 4,75%) Cn = 76 597,84 DA n (exprimé en semestres) = ? Calcul : 76 597,84 = 40 000* (1,0475)n (1,0475)n = 76 597,84/40 000 = 1,914 946 La taux i = 0,0475 étant connue, il suffit de chercher dans la table financière n° 1, sur la colonne 4,75% le nombre 1,914 946 que l’on trouve sur la ligne correspondante à n = 14 semestres. d. Calcul du capital placé i = 0,075 (taux annuel) C10 = 123 661,92 DA n = 10 ans C=? Calcul : 123 661,92 = C * (1,075)10 C = 123 661,92/2,061032 = 60 000 DA

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4. Calcul de la valeur acquise dans le cas d’un nombre de périodes non entier Soit un capital de C, placé à intérêt composé. Capitalisation annuelle des intérêts. Taux de placement i. Durée de placement k années et p mois. Calculons la valeur acquise par le capital à l’expiration de la durée prévue n = k+p. Calculs : * Méthode commerciale : Cn = C * (1+i)n <=> Cn = C * (1+i)k+(p/12) <=> Cn = C * (1+i)k * (12√1+i)p Cn = C * (1+i)k+(p/12) * Méthode rationnelle : On calcule tout d’abord la valeur acquise pendant k années (nombre entier de périodes), puis on ajoute à cette valeur acquise l’intérêt simple qu’elle produira pendant p mois (p/12 d’année). Ainsi : Ck = C* (1+i)k Cn = C* (1+i)k + (Ck* (p/12) * i)  Cn = Ck+ Ck (p/12) * i Exemple Soit un capital de 90 000 DA, placé pendant 8 ans et 5 mois au taux d’intérêt annuel de 8%. Calculons la valeur acquise par deux méthodes. * Méthode commerciale : Cn+k = C * (1+i)n+k <=> C8+(4/12) = C * (1+i)8+(5/12) <=> C8+(4/12) = 80 000 * (1,08)8,41666 <=> C8+(4/12) = 152 899,6868 DA * Méthode rationnelle : Cn = C8 + (C8 * n*t/1 200) = C8 + C8 * (5/12) * 0,08 = C8 * [1 + ( (5/12) * 0,08)] <=> Cn = 80 000 * (1,08)8 * (1,03333) = 153 010,2307 DA

5. Taux équivalents Deux taux, l’un annuel et l’autre attaché à une période k fois plus faible que l’année, seront dits équivalents si, appliqués à un même capital et après l’expiration d’une même durée, il conduisent à une même valeur acquise. => C * (1+i)n = C *(1+ik)kn => (1+i)n = (1+ik)kn=> (1+i) = (1+ik)k Le taux équivalent semestriel is = 2√(1+i) - 1 Le taux équivalent trimestriel it = 4√(1+i) - 1  Le taux équivalent mensuel im = 12√(1+i) - 1 Exemple 1 Calculons le taux semestriel équivalent au taux annuel i = 0,095 (k=2) : (1+i2)2 = 1,095 => (1+i2) = (1,095)1/2 = (1,095)6/12 => i2 = (1,095)6/12 – 1 = 0,04642 soit 4,64% Exemple 2 Calculons le taux mensuel équivalent au taux trimestriel i = 0,07. Les deux taux mensuel i12 et trimestriel i4 sont équivalent à un même taux annuel i. Donc : (1+i12)12 = (1+i) = (1+i4)4 => (1+i12)12 = (1+i4)4 = (1,07)4 => (1+i12) = (1,07)4/12 = 1,022881 – 1 = 0,02281 soit 2,28%

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6. Taux proportionnel On écrira i/k le taux proportionnel au taux annuel i, et relatif à une durée k fois plus petite que l’année, ainsi : Le taux proportionnel semestriel i/2 Le taux proportionnel trimestriel i/4 Le taux proportionnel mensuel im = i/12

II. ESCOMPTE A INTÉRÊT COMPOSÉ (actualisation) 1. Notion d’actualisation C’est l’opération qui consiste à chercher la valeur actuelle d’un capital disponible plus tard. Le taux d’intérêt i est appelé taux d’actualisation. En effet, l’actualisation est l’inverse de la capitalisation : capitaliser c’est déterminer à un taux i la valeur acquise (future) d’une somme, les intérêts s’ajoutant au capital initial ; actualiser c’est déterminer la valeur actuelle d’une somme payable à une époque future, les intérêt se retranchant de cette somme.

2. Formule fondamentale de l’escompte à intérêt composé La formule fondamentale en matière d’escompte à intérêts composés nous permet de calculer la valeur actuelle, puis seulement ensuite l’escompte. Désignons par « C » la valeur nominale du capital négocié, par « n » la durée qui sépare la date de négociation de la date d’échéance du capital, par « i » le taux annuel d’escompte et « Cn » la valeur actuelle au moment de négociation de l’effet. Alors, la formule fondamental de calcul de la valeur actuelle est donnée comme suit : Cn = C * (1 + i )n => C= Cn/(1 + i )n=> C= Cn * (1 + i )-n

Table financière N° 2

Exemple1 Soit une créance de nominal 100 000 DA, à échéance 5 ans et négociée au taux annuel i = 0,07. Calculons sa valeur actuelle et son escompte à intérêt composé. C = 100 000 * (1,07)-5 = 100 000 * 0,712986 = 71 248,6 DA, le nombre 0,712986 étant lu dans la table financière n°2, colonne 7%, ligne 5. ec = 100 000 – 71 248,6 = 28 701,4 DA Exemple2 Un débiteur, pour éteindre la dette contractée il y a 10 ans, doit actuellement verser 45 000 DA. Dans le contrat initial, deux possibilités lui étaient offertes : - s’acquitter par anticipation au bout de 7 ans ; - demander un prolongement de 3 ans. Calculons aux taux annuel de 6%, le montant à payer dans les deux situations. 03 ans

Contrat initial

C7

3 ans

Actuellement

10 ans 1) Paiement par anticipation : C7 = 45 000* (1,06)-3 = 37 782,8677 DA 2) Paiement prolongé de 03 ans : 45 000 * (1,06)3 = 53 595,72 DA ou 37 782,8677 *(1,06)6 = 53 595,72 DA

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C13

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3. Problème d’équivalence à intérêt composé Deux capitaux C1 et C2 d’échéance respectivement n1 et n2 sont dits équivalents si et seulement si, à une date quelconque (date d’équivalence), les deux capitaux auront la même valeur actuelle. C1  C2 => C1 * (1+i)-n1 = C2 * (1+i)-n2  C2 = C1* (1+i)n2-n Problème 1 : calcul d’une valeur nominale On désire substituer à un règlement C1 = 10 000 DA, qui était prévu dans 03 ans, un autre règlement C2 à échéance de 05 ans. Calculer le montant C2, compte tenu d’un taux annuel d’escompte ou d’intérêt de 8%. 0

3

5

C1 = 10 000 C2 = ? Le remplacement d’un règlement par un autre n’est légitime que si ces deux règlements sont équivalents. Écrivons cette équivalence à la date 0. Égalité de valeurs actuelles : 10 000 *(1,08)-3 = C2 * (1,08)-5  C2 = 10 000 *(1,08)5-3 = 11 664 DA Problème 2 : détermination d’une échéance On décide aujourd’hui de remplacer un règlement C1 = 10 000 DA, qui était prévu dans 03 ans, par un autre règlement C2 qui s’élèvera à 11 500 DA. Taux annuel 6%. À quelle date doit avoir lieu le règlement de remplacement ? 0

3

5

C1 = 10 000

C2 = 11 500 /

n=?

Désignons par n l’échéance du règlement des 11 500 DA, n étant comptée à partir de la date 3, et écrivons à cette date l’équivalence entre règlement initial et règlement de remplacement : 10 000 * 1,06n = 11 500 1,06n = 11 500 / 10 000  n Log 1,06 = Log (11 500/ 10 000)  n = [Log 11 500 – Log 10 000] / Log 1,06 = 2,39 ans (Là encore, nous pouvons faire appel à la table financière n°2) L’échéance se situera donc environ 2 ans et un peu plus de 4 mois et demi après l’époque 3, donc dans un peu plus de 5 ans et 4 mois et demi.

4. Échéance commune et échéance moyenne Deux capitaux C1 et C2 d’échéance respectivement n1 et n2 sont dits équivalents si et seulement si, à une date quelconque (date d’équivalence), les deux capitaux auront la même valeur actuelle. a. Échéance commune : Problème 1 On remplace aujourd’hui quatre règlements : C1 = 2 000 DA à échéance de 1 an ; C2 = 3 000 DA à échéance de 3 ans ; C3 = 1 000 DA à échéance de 4 ans ; C4 = 4 000 DA à échéance de 7 ans ; par un règlement unique à échéance de 5 ans. 16

Mathématiques financières Calculons le montant C du règlement unique, taux annuel 7%. Écrivons à la date d’aujourd’hui, l’égalité entre la valeur actuelle du capital unique et la somme des valeurs actuelles des capitaux remplacés. C (1,07)-5 = 20 000 * 1,07-1 + 3 000 * 1,07-3 + 1 000 *1,07-4 + 4 000 * 1,07-7 Multiplions les deux égalités par (1,7)5 => C = 20 000 * 1,074 + 3 000 * 1,072 + 1 000 *1,071 + 4 000 * 1,07-2 Problème 2 On remplace les quatre éléments évoqués dans le problème précédent par un payement unique de montant 10 000 DA. Compte tenu d’un taux annuel de 7% déterminer la date de ce règlement unique. Écrivons à la date zéro l’équivalence entre les quatre règlements remplacé et le règlement de remplacement, l’échéance de ce dernier se situe à n années. 10 000 * (1,07)-n = 2 000 * 1,07-1 + 3 000 * 1,07-3 + 1 000 *1,07-4 + 4 000 * 1,07-7  10 000 *(1,07)-n = 7 571,95  (1,07)n = 10 000/7 571,95  n Log (1,07) = Log (10 000/7 571,95)  n = [Log 10 000 - Log7 571,95)]/ Log 1,07  n = 4,11 ans soit à peu près 4 ans et 39 jours N.B. Dans ces problèmes, l’échéance du capital unique, équivalent à plusieurs capitaux, est dite l’échéance commune des capitaux. a. Échéance moyenne On appelle échéance moyenne de plusieurs effets de commerce, l’échéance commune de ces effets, dans le cas où la valeur nominale de l’effet unique est égale à la somme des valeurs nominales des effets remplacés. n1 n2 …………………… nn C= Σ Ci C1

C2

……………………

Cn

C = C1 + C2 + … + Cn C * (1+i)-n = C1 * (1+i)-n1 + C2 (1+i)-n2 + … + Cn *(1+i)nn Application Une entreprise décide de régler les trois dettes suivantes : 50 000 DA au 31/12/2010 ; 100 000 DA 31/06/2012 ; 400 000 DA au 31/03/2015 ; par un seul règlement au 31/12/2020 - Déterminer le montant de ce règlement unique au taux de 8,5%. - Déterminer l’échéance moyenne. Calcul du règlement unique : C1 = 50 000 DA ; C2 = 100 000 DA ; C3 = 400 000 DA ; n1 = 0; n2 = 1 an et 6 mois ; n 3 = 4 ans et 3 mois; n = 10 ans; (on a pris comme date d’équivalence celle du 31/12/2010). C * (1,085)-10 = 50 000 * 1,0850 + 100 000 * 1,085-1,5 + 400 000 *1,085-4,25  C = 50 000 * 1,08510 + 100 000 * 1,0858,5 + 400 000 *1,0855,75  C = 952 518,02 DA 17

Mathématiques financières Calcul de l’échéance moyenne : C = 50 000 + 100 000 + 400 000 = 550 000 DA. On va garder la même date d’équivalence, i.e. n1. 550 000 * (1,085)-n = 50 000 * 1,0850 + 100 000 * 1,085-1,5 + 400 000 *1,085-4,25  550 000 *(1,085)-n = 421 284,8284  (1,085)n = 550 000/421 284,8284  n Log (1,085) = Log (550 000/421 284,8284)  n = [Log 550 000 - Log421 284,8284)]/ Log 1,085  n = 3,27 ans soit à peu près 3 ans et 96 jours, i.e. le 07/04/2014 III.

SÉRIE D’EXERCICES N° 2

Exercice 1 Le 01/01/90, une somme d’argent a été placée à intérêts composés, au taux 4 %. Puis, au cours même du placement, le taux est passé à 5%. Au bout de 10 ans, le capital s’est accru de 50% de sa valeur nominale. Déterminer à quelle date le taux a été modifié. Exercice 2 Une personne place 100 000 DA le 01/01/N. Deux ans après la date du placement, elle retire 25000 DA. Quatre ans après le placement, elle retire le solde ; à celui-ci, elle ajoute 11,875 DA. Elle dispose alors de 9 400 DA. Calculer le taux annuel du placement à intérêt composé. Exercice 3 Un capital de 1 000 DA, placé à intérêts composés à un certain taux, a produit pendant la cinquième année de placement un intérêt égal à celui qu’il aurait produit en 427 jours à intérêt simple et au même taux. (poser n= 365 jours) - Trouver le taux de placement. - Calculer les intérêts produits au bout de 10 ans de placement. - Quel capital faudrait-il placer à intérêt simple, mais au taux (t+1), pour qu’au bout de 10 ans l’intérêt produit soit le même. Exercice 4 Un capital est placé au taux i pendant 8 ans. Le rapport entre le total des intérêts produits au cours des trois premières années de placement et le total des intérêts produits au cours des trois dernières années est de 0,635288 DA Déterminer le taux d’intérêt i.

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