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Revue Construction Métallique

CALCUL D'UNE PANNE Z SOUS BAC ACIER CONTINUE SUR TROIS APPUIS par M. Luki´c

1. – INTRODUCTION Cette note technique est un exemple d'application de l'Article 10.1 – Poutres maintenues par des plaques – de la norme expérimentale française XP P 22-313 [1] à la vérification de la résistance d'une panne continue (cf. fig. 1 et fig. 2) : ●

sur trois appuis,

●

à travées égales,

●

sans emboîtement ni éclissage,

●

à profil en Z à bords tombés,

●

fixée sous un bac acier,

●

soumise à des charges uniformes identiques, soit descendantes, soit ascendantes,

●

en présence d'un effort normal de compression modérée.

Cet exercice est une suite de la note technique [4], dont il reprend la présentation, mais aussi – en cas de nécessité – certaines remarques principales.

qFd NSd

NSd

L

L

Fig. 1 – Disposition générale

´ – Ingénieur au CTICM M. LUKIC CENTRE TECHNIQUE DE LA CONSTRUCTION

INDUSTRIEL MÉTALLIQUE

Domaine de Saint-Paul, 78471 Saint-Rémy-lès-Chevreuse Cedex Tél.: 01-30-85-25-00 - Télécopieur 01-30-52-75-38

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Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

Le bac est supposé avoir la rigidité et la résistance nécessaires pour admettre un maintien latéral de la semelle connectée (pour un tel calcul, cf. [2] et [3]). Vu les limites des méthodes de dimensionnement par calcul selon XP P 22-313 (cf. [1]), un rappel des principales hypothèses à considérer dans le calcul présenté ci-après est fait en début de note. Après une présentation des données, les calculs sont développés pas-à-pas, en faisant référence aux articles concernés de la norme expérimentale.

2. – TABLE DES MATIÈRES

2

1 Introduction 2 Table des matières 3 Notations 4 Limites d'application de la méthode – Hypothèses 4,1

Hypothèses générales

4,2

Hypothèses spécifiques à l'exemple

4,3

Méthode générale de calcul appliquée

5 Données de l'exemple 5,1

Panne

5,2

Liernes

5,3

Dimensions de la section

5,4

Acier

5,5

Coefficients de sécurité

5,6

Propriétés mécaniques de section brute du profil Z

5,7

Propriétés mécaniques de la « semelle libre + 1/6 de l'âme" »

5,8

Calcul de la rigidité élastique CD en rotation – Application du § 10.1.5.2

5,9

Charges sous la combinaison d'état limite ultime

5,10 Charges sous la combinaison d'état limite de service 5,11 Propriétés mécaniques de section efficace à l’état limite ultime 5,12 Propriétés mécaniques de section efficace à l’état limite de service 5,13 Limite d'élasticité pour les vérifications de résistance en section 6 Cas sans lierne : Vérifications sous charges descendantes 6,1

Vérifications à faire

6,2

Vérification de flèche – Application du § 7

6,3

Résistance des sections transversales – Application du § 10.1.4.1

6,4

Résistance de la semelle libre au flambement – Application du § 10.1.4.2

6,5

Résistance de la section à l’interaction entre le moment fléchissant et l’effort tranchant – Application du § 5.10

6,6

Résistance de la section à l’interaction entre le moment fléchissant et la réaction d’appui – Application du § 5.11

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Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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7 Cas sans lierne. Vérifications sous charges ascendantes 7,1

Vérifications à faire

7,2

Vérification de flèche – Application du § 7

7,3

Résistance des sections transversales – Application du § 10.1.4.1

7,4

Résistance de la semelle libre au flambement – Application du § 10.1.4.2

8 Cas sans lierne. Rappel des résultats et conclusion 9 Cas avec une lierne à mi-portée. Vérifications sous charges descendantes 9,1

Vérifications à faire

9,2

Vérification de flèche – Application du § 7

9,3

Résistance des sections transversales – Application du § 10.1.4.1

9,4

Résistance de la semelle libre au flambement – Application du § 10.1.4.2

9,5

Résistance de la section à l’interaction entre le moment fléchissant et l’effort tranchant – Application du § 5.10

9,6

Résistance de la section à l’interaction entre le moment fléchissant et la réaction d’appui – Application du § 5.11

3

10 Cas avec une lierne à mi-portée. Vérifications sous charges ascendantes 10,1 Vérifications à faire 10,2 Vérification de flèche – Application du § 7 10,3 Résistance des sections transversales – Application du § 10.1.4.1 10,4 Résistance de la semelle libre au flambement – Application du § 10.1.4.2 11 Cas avec une lierne à mi-portée. Rappel des résultats et conclusion 12 Conclusion générale 13 Références

3. – NOTATIONS Les notations utilisées sont autant que possible celles de la XP P 22-313 [1]. qFd,↓

qFd,↑

θ c

a b-a

t

h

c

b h c t a θ qFd

: : : : : : :

largeur (hors-tout) de semelle hauteur (hors-tout) de la section hauteur (hors-tout) du bord tombé épaisseur de la tôle distance de la fixation au plan de l'âme angle du bord tombé charge de calcul appliquée perpendiculairement au bac : qFd,↓ : charge descendante qFd,↑ : charge ascendante

b Fig. 2 – Dimensions de section

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TECHNIQUE ET APPLICATIONS

Remarque importante sur les axes (cf. [4]) Les sections en Z ont la particularité d'avoir des axes principaux y-y et z-z décalés angulairement par rapport aux axes de référence u-u et v-v (cf. fig. 3). À cause de la flexion « forcée » perpendiculairement au bac, on admet dans cet article les axes de la figure 3b, en confondant les 2 systèmes d'axes et en les prenant parallèles aux parois principales. Mais on garde les notations adoptées dans les formules de [1]. Ainsi, My,Sd et Weff,y sont en fait calculés par rapport à l'axe u-u. v

v z

z

4 y u

y u

u

y u

y

z

v

v z

a) XP P 22-313

b) Dans cet article

Fig. 3 – Conventions d'axes

Conventions de signes (cf. [4]) D'une manière générale les charges et sollicitations sont prises avec des valeurs positives, quel que soit le sens de l’action. Les signes sont adaptés dans les formules pour tenir compte du contexte, notamment dans les combinaisons de contraintes où ces dernières sont comptées positives en compression et négatives en traction.

4. – LIMITES D'APPLICATION DE LA MÉTHODE – HYPOTHÈSES

4,1. – Hypothèses générales On rappelle ci-après les limites d'application de la méthode (cf. [4]) telles qu'on peut les trouver dans la norme expérimentale XP P 22-313 [1], les paragraphes et les clauses concernés de la norme étant indiqués en extrémité de ligne : ●

Profilé à section en Z, C, Σ ou similaire

●

Maintien latéral continu sur une semelle (ici supérieure)

● ●

Bac/plaque nervurée en acier fixé en creux d'onde (1/1 ou

(§ 10,11) (§ 10,11) 1/2)1

Appuis bloqués en rotation longitudinale et translations (appuis « à fourche »)

1. Dans la mesure où l’on a choisi ici de déterminer la rigidité de maintien par le calcul.

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(§ 10,11) (§ 10,11)

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

41

●

0,95 mm  tcor  8 mm (tcor : épaisseur du métal nu)

(§ 3,13(1)P I)

●

b/t  60

(Tableau 3.2)

●

h/t  500

(Tableau 3.2)

●

0,2  c/b  0,6

(§ 3,4(4))

●

Angle du bord tombé 45°  θ  135°

(§ 4,321(2)P)

●

Pour le calcul de la rigidité élastique en rotation CD

(§ 10,152(7))

– Largeur de la plage du bac à laquelle est fixée la panne  120 mm – Épaisseur nominale de métal nu du bac  0,66 mm – Distance a ou (b – a) entre fixation et bord de semelle de contact  25 mm.

4,2. – Hypothèses spécifiques à l'exemple

●

●

●

Panne physiquement continue sur trois appuis : – Sans emboîtement ni éclissage, – Sans lierne, puis avec une lierne à mi-portée de chaque travée. Charges transmises uniquement par la couverture (pas d'éléments directement accrochés sous la panne). Rigidité et résistance du bac suffisantes pour un maintien latéral de la semelle connectée.

●

Effort normal de compression modéré (cf. [4]).

●

Bord tombé pleinement efficace (cf. [4]).

●

Arrondis négligés dans le calcul des propriétés de section (cf. [4]).

Remarque importante sur la continuité La norme expérimentale [1] n’envisage pas le traitement par le calcul seul des pannes dont la continuité est assurée par emboîtement ou éclissage : il convient de réaliser d’abord des essais afin de déterminer les caractéristiques de la partie emboîtée ou éclissée (§ 10.1.3.4). Ce cas n’est pas considéré ici. Remarque importante sur les liernes Dans la norme expérimentale [1], le calcul d’une panne sans lierne est bien explicité. Par contre, en présence de liernes, le cas de charges ascendantes pose problème, ce qui est remarqué aussi dans le document [5]. Ce dernier en donne une solution (en appliquant § 10.1.4.2(7)I) très défavorable, c’est-à-dire trop du côté de la sécurité. En revanche, dans le dernier projet de la norme européenne [6], cet aspect semble mieux traité, mais ce projet n’est pas encore « stabilisé » et n’est donc pas utilisé dans cette étude.

4,3. – Méthode générale de calcul appliquée Les vérifications sont faites (cf. [4]) en appliquant la méthode exposée en § 10.1.3 et § 10.1.4 pour tenir compte de la tendance de la semelle libre à se déplacer latéralement en la traitant comme une poutre soumise à une charge latérale équivalente qh,Fd (voir figure 10.1 de [1]) issue de l'effet de la flexion latérale et de la torsion du profil.

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TECHNIQUE ET APPLICATIONS

5. – DONNÉES DE L'EXEMPLE

On a choisi ici de prendre en compte une panne dont les caractéristiques géométriques ainsi que les charges sont identiques à celles présentées dans la référence [4], afin de comparer son comportement pour les conditions d’appui différentes.

5,1. – Panne

6

Panne physiquement continue en deux travées égales, sans emboîtement ni éclissage Portée de la panne (dans chaque travée)

L=5m

Nombre de fixations de la couverture par mètre linéaire de panne p = 5 Longueur réelle d'appui rigide

ss = 100 mm

5,2. – Liernes Nombre de liernes, deux cas sont analysés : 1. Sans lierne (voir chapitres 6, 7 et 8 de cet article) :

nL = 0

2. Avec une lierne à mi-portée dans chaque travée (voir chapitres 9, 10 et 11 de cet article) :

nL = 1

5,3. – Dimensions de la section Remarque : On considère ici que les semelles ont la même largeur (cf. figure 2 et [4]). Épaisseur nominale

tnom = 2 mm

Hauteur hors tout

h = 200 mm

Largeur semelle supérieure

b = 60 mm

Hauteur du bord tombé

c = 18 mm

Angle du bord tombé

θ = 90°

Distance fixation/âme

a = 30 mm

Rayon intérieur des arrondis

r = 5 mm

(Arrondis négligés dans cet exemple, pour le calcul des caractéristiques)

5,4. – Acier Profilé réalisé par profilage à froid de tôles d'acier NF EN 10147 S350GD+Z275 galvanisé à chaud en continu, avec certificat de réception « 3.1.B » conformément à la norme NF EN 10204 sur la tôle et le profilé (conditions du § 2.2(3)PI sur les tolérances supposées également satisfaites).

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TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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Limite d'élasticité de base

fyb = 350 MPa

(Tableau 3.1)

Résistance à la traction

fu = 420 MPa

(Tableau 3.1)

Module de Young

E = 210 000 MPa

Coefficient de Poisson

ν = 0,3

Module de cisaillement :

G=

E 2(1 + ν)

G = 80 770 MPa

Épaisseur du revêtement zinc (cumulée sur les 2 faces) trev = 0,04 mm

(§ 3.1.3(5)I)

Épaisseur de métal nu

tcor = tnom – trev

tcor = 1,96 mm

(§ 3.1.3(5)I)

Épaisseur de calcul

t = tcor

t = 1,96 mm

(§ 3.1.3(4)I)

5,5. – Coefficients de sécurité Compte tenu de la tôle utilisée pour former le profil (conditions du § 2.2(3)PI satisfaites), les coefficients de sécurité sont les suivants : Relatif à la résistance en section

γM0 = 1,0

(§ 2.2(3)PI)

Relatif aux instabilités

γM1 = 1,0

(§ 2.2(3)PI)

Relatif aux vérifications d'état limite de service

γM,ser = 1,0

(§ 2.3(3)P)

5,6. – Propriétés mécaniques de section brute du profil Z Aire de section brute

Ag = 6,82 cm2

Module élastique de section brute /yy

Wel,y = 40,84 cm3

Inertie de flexion de section brute /uu

Iu = 404,4 cm4

5,7. – Propriétés mécaniques de la « semelle libre + 1/6 de l'âme » Inertie de flexion /zz

Ifz = 11,04 cm4

Rayon de giration /zz

ifz = 2,284 cm

Module élastique /zz relatif au bord côté âme

Wfz,a = 4,47 cm3

Module élastique /zz relatif au bord côté bord tombé

Wfz,b = 3,32 cm3

Selon le sens de la charge (qh,Fd) et l’endroit de la section que l’on vérifie, c'est l'une ou l'autre valeur de Wfz qui est utilisée dans les critères de vérification de résistance (cf. fig. 6 et fig. 9).

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Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

5,8. – Calcul de la rigidité élastique CD en rotation – Application du § 10.1.5.2

CD

8 Fig. 4 – Ressort de maintien de la panne en rotation

L'encastrement en rotation conféré par le bac à la panne est modélisé par un ressort en rotation de rigidité totale CD qui peut être calculée par (cf. [4]) : CD = CD,A La rigidité CD,A peut être calculée selon le § 10.1.5.2(7), dans la mesure où les conditions imposées (cf. [4]) sont respectées : CD,A = 130 . p Nm/m/rad

(§ 10.1.5.2(7))

où p est le nombre de fixations bac-panne par mètre linéaire de panne. Ici p = 5. Donc :

CD,A = 650 Nm/m/rad

Il en découle :

CD = 650 Nm/m/rad

5,9. – Charges sous la combinaison d'état limite ultime Les charges exercées sous la combinaison d'état limite ultime la plus défavorable sont (toutes valeurs positives) : Charge descendante (normale à la toiture)

qFd,↓ = 300 daN/m

Charge ascendante (normale à la toiture)

qFd,↑ = 200 daN/m

Effort normal de compression

NSd = 300 daN

5,10. – Charges sous la combinaison d'état limite de service Les charges exercées sous la combinaison d'état limite de service la plus défavorable sont (toutes valeurs positives) : Charge descendante (normale à la toiture)

q′Fd,↓ = 210 daN/m

Charge ascendante (normale à la toiture)

q′Fd,↑ = 140 daN/m

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Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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5,11. – Propriétés mécaniques de section efficace à l’état limite ultime Le calcul des propriétés mécaniques de section efficace à l’état limite ultime étant tout à fait identique à celui de la référence [4], on renvoie le lecteur à cette dernière. On rappelle néanmoins que pour simplifier, tout en se plaçant en sécurité, on admet ici que la paroi travaille à une contrainte de compression maximale égale fyb /γM1. Le calcul (non détaillé ici) des propriétés de section efficace donne : Inertie de flexion de section efficace /uu

Iu,eff = 393,9 cm4

Module élastique efficace en flexion /yy – Fibre comprimée

Weff,y,c = 38,75 cm3

Module élastique efficace en flexion /yy – Fibre tendue

Weff,y,t = 40,88 cm3

Selon le sens de la charge et la semelle étudiée, c'est l'une ou l'autre valeur de Weff,y qui est utilisée dans les critères de vérification de résistance.

5,12. – Propriétés mécaniques de section efficace à l’état limite de service Pour le calcul des flèches, on se place en sécurité en considérant les propriétés mécaniques de section efficace à l’état limite ultime. Sinon, il y aurait lieu de se référer au § 4.2(5) qui préconise la prise en compte de la vraie contrainte de compression dans la paroi.

5,13. – Limite d'élasticité pour les vérifications de résistance en section Les vérifications de résistance en section font intervenir fy et non fyb. Le § 3.1.1(6)P stipule que fy peut être pris égal à fyb ou fya, où fya est la limite d'élasticité moyenne augmentée définie en § 3.1.2(2)P pour tenir compte de l'écrouissage dû au profilage. Pour prendre fy = fya, les conditions du § 3.1.2(3)P doivent être remplies, ce qui n'est pas le cas ici puisque Aeff  Ag. Donc,

fy = fyb = 350 MPa

6. – CAS SANS LIERNE. VÉRIFICATIONS SOUS CHARGES DESCENDANTES

6,1. – Vérifications à faire D’après les paragraphes 10.1.3.2(2), 10.1.3.2(2)A et 10.1.3.5, les vérifications suivantes sont à faire : ●

Flèche sous charge d'état limite de service selon § 7 ;

●

En travée : – Résistance de section transversale selon § 10.1.4.1 ;

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Rubrique

●

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Sur appui : – Résistance de section transversale selon § 10.1.4.1, – Critères de stabilité de la semelle libre selon § 10.1.4.2, – Interaction entre le moment fléchissant et l’effort tranchant selon § 5.10, – Interaction entre le moment fléchissant et la réaction d’appui selon § 5.11.

6,2. – Vérification de flèche – Application du § 7

10

La flèche de la panne continue en deux travées égales, dans le plan perpendiculaire à la toiture, est donnée par δ↓ =

q Fd,↓ ′ L4 185EIu,eff

(On se place en sécurité ici en considérant la section efficace à l’état limite ultime, sachant que la norme permet de la considérer à l’état limite de service.) Selon § 7.3(3)I, on doit vérifier δ↓ 

L 200

ou, ce qui revient au même, le critère Γδ,↓ = Ainsi, on obtient successivement :

δ↓  1,0 L/200 δ↓ = 8,58 mm Γδ,↓ = 0,343  1,0

OK

6,3. – Résistance des sections transversales – Application du § 10.1.4.1 6,31. – Moment maxi en travée Dans le plan perpendiculaire au bac, donc par rapport à l'axe y-y (cf. figure 3), le moment maximal est : My,t,Sd,↓ =

9qFd,↓L2 128

My,t,Sd,↓ = 527,3 daN.m

6,32. – Moment maxi sur appui Dans le plan perpendiculaire au bac, donc par rapport à l'axe y-y (cf. figure 3), le moment maximal est : My,a,Sd,↓ =

qFd,↓L2 8

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My,a,Sd,↓ = 937,5 daN.m

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

47

6,33. – Coefficient de sécurité sur la résistance γM = γM0 γM1

si (Aeff = Ag) ou si (Weff,y = Wel,y et NSd = 0)

(§ 10.1.4.1(2))

dans les autres cas γM = γM1 = 1,0

Donc ici :

11

6,34. – Moment latéral Mfz,Sd,↓ dans la semelle libre Sous charge descendante, la semelle libre de la panne est comprimée sur appui.

6,341. – Calcul de la charge fictive qh,Fd,↓ avec charges descendantes

qFd,↓

Fonctionnement sous charges descendantes : Ci-dessus extrait de la Figure 10.1 de l’ENV [1]

kh,↓.qFd,↓ = qh,Fd,↓

Fig. 5 – Charge latérale sous charge descendante

La charge latérale agissant sur la semelle libre et résultant de la torsion et de la flexion latérale est donnée par : qh,Fd,↓ = kh,↓ . qFd,↓

(Exp. 10.4)

avec : kh,↓ = D'où

b 2ht 4Iu

kh,↓ = 0,0872

(figure 10.3a)

qh,Fd,↓ = 26,17 daN/m

Selon la position de la section que l’on vérifie, c'est l'une ou l'autre valeur de Wfz (cf. 5.7) qui est utilisée dans les critères de vérification de résistance (cf. fig. 6). Conformément à la norme [1] – selon la figure 5 – le sens de qh,Fd est reproduit sur la figure 6 (kh est toujours positif en charge descendante).

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Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

qh,Fd

qh,Fd b

Sans liernes

+ -

+

+

+

+ -

Coté bord (b) M0,fz,Sd Coté âme ( a) a

-: +:

Traction Compression

Fig. 6 – Moments sous charge latérale, sans lierne

12

6,342. – Calcul de la rigidité élastique latérale K par unité de longueur

K Fig. 7 – Ressort latéral de semelle libre

La rigidité K peut être calculée selon § 10.1.5.1(4) (cf. [4] aussi) : K=

où

1 4(1 – ν2)h2(hd + e) –––––––––––––––––––––––––––––––– Et 3

hd est la hauteur développée de l'âme. Ici : hd = h – tnom e

=a

(Exp. 10.13)

h2 + CD

–––––

hd = 198 mm

si panne en contact avec le bac du côté de l'âme de la panne,

= 2a + b si panne en contact avec le bac du côté du bord extérieur de la semelle de la panne. Ici, sous charge descendante, le contact panne-bac se fait du côté du bord extérieur de la semelle (cf. figure 5). Donc :

e = 120 mm

et, on calcule :

K↓ = 0,0110 N/mm/mm

6,343. – Coefficient R↓ d'appui latéral élastique Ce coefficient R↓ est utilisé pour le calcul du coefficient de correction βR,↓ pour le maintien élastique effectif, lui-même nécessaire au calcul du moment fléchissant latéral Mfz,Sd,↓ selon § 10.1.4.1(5).

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R↓ =

49

K↓La4 π4EIfz

(Exp. 10.6)

où La est la distance entre liernes, ou, en cas d'absence de ces dernières, portée L de la panne. Ici, pas de lierne, donc : La = L

La = 5 m R↓ = 3,047

et, par conséquent :

13 6,344. – Moment latéral Mfz,Sd,↓ dans la semelle libre en travée (ici, elle est tendue) Selon § 10.1.4.1(5), le moment latéral Mfz,Sd,↓ dans la semelle libre (partiellement comprimée), compte tenu du maintien latéral élastique, peut être calculé par : Mfz,Sd,↓ = βR,↓ . M0,fz,Sd,↓ où

(Exp. 10.5)

M0,fz,Sd,↓ est le moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique, βR,↓

est le coefficient de correction pour le maintien élastique effectif.

Les expressions de M0,fz,Sd,↓ et βR,↓ sont fixées à l'aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant continue sur trois appuis, c’est le deuxième cas de ce tableau qui gouverne et l'on a : M0,fz,Sd,↓ =

βR,↓ =

9qh,Fd,↓La2 (cas sans lierne) 128

1 – 0,0141R↓ (cas sans lierne) 1 + 0,416R↓

et l'on peut calculer :

donc

M0,fz,Sd,↓ = 46,01 daN.m

donc

βR,↓ = 0,4220 Mfz,t,Sd,↓ = 19,42 daN.m

6,345. – Moment latéral Mfz,Sd,↓ dans la semelle libre sur appui (ici, elle est comprimée) Selon § 10.1.4.1(5), le moment latéral Mfz,Sd,↓ dans la semelle libre comprimée, compte tenu du maintien latéral élastique, peut être calculé par : Mfz,Sd,↓ = βR,↓ . M0,fz,Sd,↓ où

(Exp. 10.5)

M0,fz,Sd,↓ est le moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique, βR,↓

est le coefficient de correction pour le maintien élastique effectif.

Les expressions de M0,fz,Sd,↓ et βR,↓ sont fixées à l'aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon

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Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant continue sur trois appuis, c’est le deuxième cas de ce tableau qui gouverne et l'on a : qh,Fd,↓La2 (cas sans lierne) 8

donc

M0,fz,a,Sd,↓ = 81,79 daN.m

1 + 0,0314R↓ (cas sans lierne) 1 + 0,396R↓

donc

βR,↓ = 0,4965

M0,fz,Sd,↓ =

βR,↓ =

Mfz,t,Sd,↓ = 40,61 daN.m

et l'on peut calculer :

14

N.B. L’expression ci-dessus pour le calcul de βR,↓ diffère par rapport à l’expression de la norme expérimentale [1] qui comporte une erreur de signe ! L’expression donnée ici est celle utilisée dans le document [5] ainsi que dans le projet final de la norme [6].

6,35. – Vérification de résistance de la semelle supérieure (maintenue)

6,351 – En milieu de travée (semelle comprimée) Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est : σmax,t,Ed,s,↓ =

My,t,Sd,↓ NSd fy +  Weff,y,c Aeff γM

(Exp. 10.3a)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γt,R,s,↓ =

σmax,t,Ed,s,↓  1,0 fy /γM

On obtient ainsi successivement :

σmax,t,Ed,s,↓ = 142,7 MPa Γt,R,s,↓ = 0,408  1,0

OK

6,352. – Sur appui (semelle tendue) Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est :



σmax,a,Ed,s,↓ = –



My,a,Sd,↓ NSd fy +  Weff, y,t Aeff γM

(Exp. 10.3a)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γa,R,s,↓ =

σmax,a,Ed,s,↓  1,0 fy /γM

On obtient ainsi successivement :

σmax,a,Ed,s,↓ = 222,7 MPa Γa,R,s,↓ = 0,636  1,0

Construction Métallique, n° 4-2003

OK

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

51

6,36. – Vérification de résistance de la semelle inférieure (libre) 6,361. – En milieu de travée (semelle tendue) La contrainte de traction ramenée par Mfz,a,Sd,↓ se calcule donc en faisant intervenir Wfz,a (cf. 6.3.4.1 et figure 5). Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (traction prépondérante) :



σmax,t,Ed,i,↓ = –



My,t,Sd,↓ NSd Mfz,t,Sd,↓ fy + –  Weff, y,t Aeff Wfz,a γM

(Exp. 10.3a)

15

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γt,R,i,↓ =

σmax,t,Ed,i,↓  1,0 fyb /γM

On obtient ainsi successivement :

σmax,t,Ed,i,↓ = 165,8 MPa Γt,R,i,↓ = 0,474  1,0

OK

6,362. – Sur appui (semelle comprimée) La contrainte de compression ramenée par Mfz,a,Sd,↓ se calcule donc en faisant intervenir Wfz,a (cf. 6.3.4.1 et figure 5). Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (compression prépondérante) : σmax,a,Ed,i,↓ =

My,a,Sd,↓ NSd Mfz,a,Sd,↓ fy + +  Weff, y,c Aeff Wfz,a γM

(Exp. 10.3b)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γa,R,i,↓ =

σmax,a,Ed,i,↓  1,0 fyb /γM

On obtient ainsi successivement :

σmax,a,Ed,i,↓ = 339,4 MPa Γa,R,i,↓ = 0,970  1,0

OK

6,4. – Résistance de la semelle libre au flambement – Application du § 10.1.4.2 Sous charge descendante, la semelle libre de la panne est comprimée sur appui.

6,41. – Longueur de flambement de la semelle libre Selon § 10.1.4.2(3), sous charge descendante et en présence d'un effort normal de compression faible, la longueur de flambement de la semelle libre peut être calculée par : fz,↓ = η1La(1 + η2R↓η3)η4

(Exp. 10.9)

Construction Métallique, n° 4-2003

52

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

avec La distance entre liernes, ou, en cas d'absence de ces dernières, portée L de la panne. Ici, pas de lierne, donc : La = L R↓ =

La = 5 m

K↓La4 π 4EIfz

(Exp. 10.6)

D’après le tableau 10.2, dans le cas d’une panne sans lierne : fz,↓ = 0,526La(1 + 22,8R↓2,12)– 0,108

16

Rappel :

K↓ = 0,0110 N/mm/mm

Donc :

R↓ = 3,047

On peut alors calculer :

fz,↓ = 1,453 m

– 6,42. – Élancement réduit λfz,↓ de la semelle libre Selon § 10.1.4.2(2) λ1 = π .

 E fyb

λ1 = 76,95

 – λfz,↓ = fz,↓ ifz λ1

λfz,↓ = 0,827

(Exp. 10.8)

6,43. – Coefficient de flambement Selon 10.1.4.2(1), on applique ici le § 6.2.1(2)P en utilisant la courbe de flambement « a ». Selon le tableau 6.1, le facteur d'imperfection correspondant est : α = 0,21 et l'on peut calculer : – – φ↓ = 0,5 [1 + α(λfz,↓ – 0,2) + λfz,↓2] χ↓ =

φ↓ +

(φ↓2

1 – 2 0,5  1 – λfz,↓ )

φ↓ = 0,908

(Exp. 6.2b)

χ↓ = 0,780

(Exp. 6.2a)

6,44. – Vérification de la semelle inférieure (sur appui, comprimée, libre) au flambement La contrainte de compression ramenée par Mfz,a,Sd,↓ se calcule en faisant intervenir Wfz,a (cf. 6.3.4.1 et figure 5). Selon § 10.1.4.2(1), et en introduisant une notation de contrainte amplifiée par le flambement σF,a,Ed,i,↓ dans la semelle inférieure, la condition à vérifier est : σF,a,Ed,i,↓ =

Mfz,a,Sd,↓ fyb 1 My,a,Sd,↓ NSd + +  χ↓ Weff,y,c Aeff Wfz,a γm1



Construction Métallique, n° 4-2003



(Exp. 10.7)

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

53

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γa,F,i,↓ =

σF,a,Ed,i,↓  1,0 fyb /γM1 σF,a,Ed,i,↓ = 409,5 MPa

On obtient ainsi successivement :

Γa,F,i,↓ = 1,170  1,0

6,5. – Résistance de la section à l’interaction entre le moment fléchissant et l’effort tranchant – Application du § 5.10 6,51. – Effort tranchant maxi sur appui central Réaction sous charges descendantes : FSd =

5qFd,↓L 4

FSd = 1 875,0 daN

Et ainsi l’effort tranchant en est la moitié (travées égales, chargées identiquement) : Va,Sd,↓ = 937,5 daN

6,52. – Élancement d’âme relatif Pour l’âme non raidie, d’après § 5.8(6) : sw – λw = 0,346 t où

 fyb E

– λw = 1,427 (Exp. 5.15b)

sw = hw = hd dans cet exemple.

6,53. – Contrainte limite de résistance au voilement de cisaillement Cette contrainte peut être déterminée à partir du § 5.8(5) : fyb – Pour λw = 1,427  1,4, âme non raidie : fbv = 0,67 – 2 λw

fbv = 115,2 MPa (Tableau 5.2)

6,54. – Résistance au cisaillement D’après § 5.8(1), cette résistance est la plus petite des valeurs suivantes : – Résistance au voilement de cisaillement, selon 5.8(3)P : Vb,Rd =

fbv hw t sin φ γM1

(Exp. 5.13)

(où φ est l’angle d’inclinaison de l’âme par rapport aux semelles). Soit :

Vb,Rd = 4469,4 daN

Construction Métallique, n° 4-2003

17

54

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

– Résistance plastique au cisaillement, selon 5.8(4)P : Vpl,Rd =

hw fy / 3 t γ sin φ M0

(Exp. 5.14)

Soit :

Vpl,Rd = 7 842,0 daN

Donc, la résistance au cisaillement à retenir est :

Vw,Rd = 4 469,4 daN

6,55. – Moment résistant de la section transversale

18

D’après § 5.4.1(1), pour Weff  Wel : Mc,Rd = Weff,c

fy γM1

(Exp. 5.3a) Mc,Rd = 1 356,2 daN.m

Donc :

6,56. – Résistance de calcul à la compression D’après § 5.3(1), pour Aeff  Ag : Nc,Rd = Aeff

fyb γM1

(Exp. 5.2a) Nc,Rd = 15 925,0 daN

Donc :

6,57. – Vérification de la résistance à l’interaction La vérification a déjà le format adimensionnel, selon 5.10(1)A : Γa,MV,↓ =



My,Sd,↓ NSd + Mc,Rd Nc,Rd

  2

+

VSd,↓ Vw,Rd



2

(Exp. 5.25) Γa,MV,↓ = 0,522  1,0

On obtient ainsi :

OK

6,6. – Résistance de la section à l’interaction entre le moment fléchissant et la réaction d’appui – Application du § 5.11 6,61. – Réaction d’appui maxi sur appui central Réaction sous charges descendantes (cf. 6.5.1) :

FSd = 1 875,0 daN

6,62. – Résistance transversale locale de l’âme D’après § 5.9.2(2), cette résistance se détermine comme suit.

Construction Métallique, n° 4-2003

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

55

Les constantes nécessaires pour son calcul sont, selon 5.9.2(3) : k = fyb /228 (fyb en MPa) k3 = 0,7 + 0,3(φ/90)2 (φ en degrés) k4 = 1,22 – 0,22k k5 = 1,06 – 0,06r/t On considère que pour l’appui central on entre dans le cadre d’une seule réaction d’appui appliquée à une distance c  1,5 hw d’une extrémité libre :



hw 49,5t

1 + 0,007 t t



hw 49,5t

0,75 + 0,011 t t

Rw,Rd = k3k4k5 14,7 –

Rw,Rd = k3k4k5 14,7 –

ss

2

ss

fyb , si ss /t  60 ; γM1 2

19

fyb , si ss /t  60 ; γM1

Dans notre cas : ss /t = 60/1,95 = 30,8  60. Donc, la résistance au cisaillement à retenir est :

Rw,Rd = 1 848,4 daN

6,63. – Moment résistant de la section transversale Ce calcul est déjà fait ci-dessus (cf. 6.5.5) :

Mc,Rd = 1 356,2 daN.m

6,64. – Vérification de la résistance à l’interaction La vérification a déjà le format adimensionnel, selon 5.11(1) : Γ′a,MR,↓ =

My,Sd,↓ FSd,↓ +  1,25 Mc,Rd Rw,Rd

(Exp. 5.26c)

ou, ce qui revient au même : Γa,MR,↓ =

Γ′a,MR,↓  1,0 1,25

On obtient ainsi successivement :

Γ′a,MR,↓ = 1,706 Γa,MR,↓ = 1,365  1,0

7. – CAS SANS LIERNE. VÉRIFICATIONS SOUS CHARGES ASCENDANTES 7,1. – Vérifications à faire D’après les paragraphes 10.1.3.3(2), 10.1.3.3(3) et 10.1.3.5, les vérifications suivantes sont à faire : ●

Flèche sous charge d'état limite de service selon § 7 ;

Construction Métallique, n° 4-2003

56

Rubrique

●

En travée :

●

– Critères de stabilité de la semelle libre selon § 10.1.4.2 ; Sur appui :

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

– Résistance de section transversale selon § 10.1.4.1.

7,2. – Vérification de flèche – Application du § 7

20

La flèche de la panne continue en deux travées, dans le plan perpendiculaire à la toiture, est donnée par : δ↑ =

q′Fd,↑L4 185Elu,eff

(On se place en sécurité ici en considérant la section efficace à l’état limite ultime, sachant que la norme permet de la considérer à l’état limite de service.) Selon § 7.3(3)I, on doit vérifier δ↑ 

L 200

(hypothèse adoptée ici)

ou, ce qui revient au même, le critère Γδ↑ =

δ↑  1,0 L/200

Ainsi, on obtient successivement :

δ↑ = 5,72 mm Γδ,↑ = 0,229  1,0

OK

7,3. – Résistance des sections transversales – Application du § 10.1.4.1 7,31. – Moment maxi en travée Dans le plan perpendiculaire au bac, donc par rapport à l'axe y-y (cf. figure 3), le moment maximal est : My,t,Sd,↑ =

9qFd,↑L2 128

My,t,Sd,↑ = 351,6 daN.m

7,32. – Moment maxi sur appui Dans le plan perpendiculaire au bac, donc par rapport à l'axe y-y (cf. figure 3), le moment maximal est : My,a,Sd,↑ =

qFd,↑L2 8

Construction Métallique, n° 4-2003

My,a,Sd,↑ = 625,0 daN.m

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

57

7,33. – Coefficient de sécurité sur la résistance γM = γM0 si (Aeff = Ag) ou si (Weff,y = Wel,y et NSd = 0)

(§ 10.1.4.1(2))

γM1 dans les autres cas γM = γM1 = 1,0

Donc ici :

7,34. – Moment latéral Mfz,Sd,↑ dans la semelle libre Sous charge ascendante, la semelle libre de la panne est comprimée en travée.

7,341. – Calcul de la charge fictive qh,Fd,↑ pour charges ascendantes

qFd,↑

a

Fonctionnement sous charges ascendantes : Ci-dessus extrait de la Figure 10.1 de líENV [1]

kh,↑.qFd,↑ = qh,Fd,↑

Fig. 8 – Charge latérale sous charge ascendante

La charge latérale agissant sur la semelle libre et résultant de la torsion et de la flexion latérale est donnée par : qh,Fd,↑ = kh,↑ . qFd,↑

(Exp. 10.4)

avec : kh,↑ =

b2ht a – 4Iu h

si  0 : qh,Fd,↑ a le sens indiqué à la figure 8 et le contact panne-bac se fait du côté de l'âme de la panne, si  0 : qh,Fd,↑ a le sens inverse de celui indiqué à la Figure 8 et le contact panne-bac se fait du côté du bord extérieur de semelle de la panne.

Ici, on obtient :

kh,↑ = – 0,0628  0

Donc : le contact panne-bac se fait du côté du bord extérieur de semelle de la panne et qh,Fd,↑ a le sens inverse de celui indiqué à la figure 8. Charge latérale :

qh,Fd,↑ = 12,55 daN/m

Selon la position de la section que l’on vérifie, c'est l'une ou l'autre valeur de Wfz (cf. 5.7) qui est utilisée dans les critères de vérification de résistance (cf. figure 6). Dans ce cas (kh,↑  0), la charge a le sens indiqué à la figure 6.

Construction Métallique, n° 4-2003

21

58

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

7,342. – Calcul de la rigidité élastique latérale K par unité de longueur La rigidité K (cf. figure 7) peut être calculée selon § 10.1.5.1(4) (cf. [4]) : K=

1 4(1 – ν2)h2(hd + e) –––––––––––––––––––––––––––––––– Et 3

où

hd est la hauteur développée de l'âme. Ici : hd = h – tnom

22

(Exp. 10.13)

h2 + ––––– CD

e

=a

hd = 198 mm

si panne en contact avec le bac du côté de l'âme de la panne,

= 2a + b si panne en contact avec le bac du côté du bord extérieur de la semelle de la panne. Ici, sous charge ascendante, le contact panne-bac se fait du côté du bord extérieur de semelle de la panne (cf. 7.3.4.1). Donc :

e = 120 mm

et, on calcule :

K↑ = 0,0110 N/mm/mm

7,343. – Coefficient R↑ d'appui latéral élastique Ce coefficient R↑ est utilisé pour le calcul du coefficient de correction βR,↑ pour le maintien élastique effectif, lui-même nécessaire au calcul du moment fléchissant latéral Mfz,Sd,↑ selon § 10.1.4.1(5). R↑ = où

K↑La4 π4EIfz

(Exp. 10.6)

La est la distance entre liernes, ou, en cas d'absence de ces dernières, c’est la portée L de la panne. Ici, pas de lierne, donc : La = L

et, il vient :

La = 5 m R↑ = 3,047

7,344. – Moment latéral Mfz,Sd,↑ dans la semelle libre en travée (ici, elle est comprimée) Selon § 10.1.4.1(5), le moment latéral Mfz,Sd,↑ dans la semelle libre comprimée compte tenu du maintien latéral élastique peut être calculé par : Mfz,Sd,↑ = βR,↑ . M0,fz,Sd,↑ où

(Exp. 10.5)

M0,fz,Sd,↑

est le moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique,

βR,↑

est le coefficient de correction pour le maintien élastique effectif.

Les expressions de M0,fz,Sd,↑ et βR,↑ sont fixées à l'aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon

Construction Métallique, n° 4-2003

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

59

isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant continue sur trois appuis, c’est le deuxième cas de ce tableau qui gouverne et l'on a : M0,fz,Sd,↑ = βR,↑ =

9qh,Fd,↑La4 (cas sans lierne) 128

1 – 0,0141R↑ (cas sans lierne) 1 + 0,416R↑

donc

donc

M0,fz,t,Sd,↑ = 22,06 daN.m βR,↑ = 0,4220 Mfz,t,Sd,↑ = 9,312 daN.m

et l'on peut calculer :

23

7,345. – Moment latéral Mfz,Sd,↑ dans la semelle libre sur appui Selon § 10.1.4.1(5), le moment latéral Mfz,Sd,↑ dans la semelle libre, (partiellement comprimée) compte tenu du maintien latéral élastique, peut être calculé par : Mfz,Sd,↑ = βR,↑ . M0,fz,Sd,↑ où

(Exp. 10.5)

M0,fz,Sd,↑

est le moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique,

βR,↑

est le coefficient de correction pour le maintien élastique effectif.

Les expressions de M0,fz,Sd,↑ et βR,↑ sont fixées à l'aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant continue sur trois appuis, c’est le deuxième cas de ce tableau qui gouverne et l'on a : qh,Fd,↑La2 (cas sans lierne) 8

donc

M0,fz,a,Sd,↑ = 39,22 daN.m

1 + 0,0314R↑ (cas sans lierne) 1 + 0,396R↑

donc

βR,↑ = 0,4965

M0,fz,Sd,↑ = βR,↑ =

Mfz,a,Sd,↑ = 19,48 daN.m

et l'on peut calculer :

7,35. – Vérification de résistance de la semelle supérieure (maintenue) 7,351. – En milieu de travée (semelle tendue) Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est :



σmax,t,Ed,s,↑ = –



My,t,Sd,↑ NSd fy +  Weff,y,t Aeff γM

(Exp. 10.3a)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γt,R,s,↓ =

σmax,t,Ed,s,↑  1,0 fy /γM

On obtient ainsi successivement :

σmax,t,Ed,s,↑ = 79,40 MPa Γt,R,s,↑ = 0,227  1,0

OK

Construction Métallique, n° 4-2003

60

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

7,352. – Sur appui (semelle comprimée) Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est : σmax,a,Ed,s,↑ =

My,a,Sd,↑ NSd fy +  Weff,y,e Aeff γM

(Exp. 10.3a)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant :

24

Γa,R,s,↑ =

σmax,a,Ed,s,↑  1,0 fy /γM

On obtient ainsi successivement :

σmax,a,Ed,s,↑ = 167,9 MPa Γa,R,s,↑ = 0,480  1,0

OK

7,36. – Vérification de résistance de la semelle inférieure (libre)

7,361. – En milieu de travée (semelle comprimée) La contrainte de compression ramenée par Mfz,t,Sd,↑ se calcule en faisant intervenir (cf. 7,341 et figure 6) : – Wfz,a, si kh,↑  0 (sans lierne) ; – Wfz,b, si kh,↑  0 (sans lierne). Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (compression prépondérante) : σmax,t,Ed,i,↑ =

My,t,Sd,↑ NSd Mfz,t,Sd,↑ fy + +  Weff,y,c Aeff Wfz,b γM

(Exp. 10.3b)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γt,R,i,↑ =

σmax,t,Ed,i,↑  1,0 fy /γM

On obtient ainsi successivement :

σmax,t,Ed,i,↑ = 125,4 MPa Γt,R,i,↑ = 0,358  1,0

OK

7,362. – Sur appui (semelle tendue) La contrainte de traction ramenée par Mfz,a,Sd,↑ se calcule en faisant intervenir (cf. 7.3.4.1 et figure 6) : – Wfz,a, si kh,↑  0 (sans lierne) ; – Wfz,b, si kh,↑  0 (sans lierne).

Construction Métallique, n° 4-2003

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

61

Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (traction prépondérante) :



σmax,a,Ed,i,↑ = –



My,a,Sd,↑ NSd Mfz,a,Sd,↓ fy + +–  Weff,y,t Aeff Wfz,b γM

(Exp. 10.3a)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γa,R,i,↑ =

σmax,a,Ed,i,↑  1,0 fy /γM

On obtient ainsi successivement :

σmax,a,Ed,i,↑ = 312,4 MPa Γa,R,i,↑ = 0,610  1,0

25 OK

7,4. – Résistance de la semelle libre au flambement – Application du § 10.1.4.2 Sous charge ascendante, la semelle libre de la panne est comprimée en travée.

7,41. – Longueur de flambement de la semelle libre Selon § 10.1.4.2(6), sous charge ascendante et en présence d'un effort normal de compression faible, la longueur de flambement de la semelle libre peut être calculée par : – 0,125 fz,↑ = 0,7L0(1 + 13,1R 1,6 0 )

avec L0 =

longueur de la zone comprimée. Donc ici

et

R0 =

(Exp. 10.10a)

K↑L04 π 4EIfz

L0 = 3,75 m

(Figure 10.5)

(à condition que 0  R0  200)

(Exp. 10.10b)

Rappel :

K↑ = 0,0110 N/mm/mm

Donc :

R0 = 0,964

On peut alors calculer :

fz,↑ = 1,899 m

7,42. – Élancement réduit de la semelle libre Selon § 10.1.4.2(2) λ1 = π .

 E fyb

 – λfz,↑ = fz,↑ ifz λ1

λ1 = 76,95

λfz,↑ = 1,080

(Exp. 10.8)

Construction Métallique, n° 4-2003

62

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

7,43. – Coefficient de flambement Selon 10.1.4.2(1), on applique ici le § 6.2.1(2)P en utilisant la courbe de flambement « a ». Selon le tableau 6.1, le facteur d'imperfection correspondant est : α = 0,21 et l'on peut calculer : – – φ↑ = 0,5[1 + α(λfz,↑ – 0,2) + λ2fz,↑] χ↑ =

26

φ↑ +

(φ↑2

1 – 2 0,5  1 – λfz,↑ )

φ↑ = 1,176

(Exp. 6.2b)

χ↑ = 0,610

(Exp. 6.2a)

7,44. – Vérification de la semelle inférieure (comprimée, libre) au flambement La contrainte de compression ramenée par Mfz,t,Sd,↑ se calcule en faisant intervenir (cf. 7.3.4.1 et figure 6) : – Wfz,a , si kh,↑  0 (sans lierne) ; – Wfz,b , si kh,↑  0 (sans lierne). Selon § 10.1.4.2(1), et en introduisant une notation de contrainte amplifiée par le flambement σF,t,Ed,i,↑ dans la semelle inférieure, la condition à vérifier est : σF,t,Ed,i,↑ =



NSd 1 My,t,Sd,↑ + Aeff χ↑ Weff,y,c

+

Mfz,t,Sd,↑ fyb  Wfz,b γM1

(Exp. 10.7)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γt,F,i,↑ =

σF,t,Ed,i,↑  1,0 fyb /γM1 σF,t,Ed,i,↑ = 187,7 MPa

On obtient ainsi successivement :

Γt,F,i,↑ = 0,536  1,0

OK

8. – CAS SANS LIERNE. RAPPEL DES RÉSULTATS ET CONCLUSION La vérification des différents critères a conduit aux résultats suivants : ●

sous charge descendante Γδ,↓ = 0,343  1,0

OK

Γt,R,s,↓ = 0,408  1,0

OK

Γa,R,s,↓ = 0,636  1,0

OK

Γt,R,i,↓ = 0,474  1,0

OK

Γa,R,i,↓ = 0,970  1,0

OK

Γa,F,i,↓ = 1,170  1,0

non satisfaisant

Γa,MV,↓ = 0,522  1,0

OK

Γa,MR,↓ = 1,365  1,0

non satisfaisant

Construction Métallique, n° 4-2003

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

●

63

sous charge ascendante Γδ,↑ = 0,229  1,0

OK

Γt,R,s,↑ = 0,227  1,0

OK

Γa,R,s,↑ = 0,480  1,0

OK

Γt,R,i,↑ = 0,358  1,0

OK

Γa,R,i,↑ = 0,610  1,0

OK

Γt,F,i,↑ = 0,536  1,0

OK

En l’absence de lierne, la panne n’est donc pas satisfaisante.

27

9. – CAS AVEC UNE LIERNE À MI-PORTÉE. VÉRIFICATIONS SOUS CHARGES DESCENDANTES 9,1. – Vérifications à faire Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.1.

9,2. – Vérification de flèche – Application du § 7 Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.2 : Γδ,↓ = 0,343  1,0

OK

9,3. – Résistance des sections transversales – Application du § 10.1.4.1 9,31. – Moment maxi en travée Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.3.1 : My,t,Sd,↓ = 527,3 daN.m 9,32. – Moment maxi sur appui Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.3.2 : My,a,Sd,↓ = 937,5 daN.m 9,33. – Coefficient de sécurité sur la résistance Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.3.3 : γM = γM1 = 1,0

Construction Métallique, n° 4-2003

64

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

9,34. – Moment latéral Mfz,a,Sd,↓ dans la semelle libre sur appui Sous charge descendante, la semelle libre de la panne est comprimée sur appui.

9,341. – Calcul de la charge fictive qh,Fd,↓ pour charges descendantes Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.3.4.1 :

28

qh,Fd,↓ = 26,17 daN/m Selon la position de la section que l’on vérifie, c'est l'une ou l'autre valeur de Wfz (cf. 5.7) qui est utilisée dans les critères de vérification de résistance (cf. figure 9). qh,Fd

Avec 1 lierne

lierne

+ -

+

+ -: +:

lierne

+

+ -

+

+ -

Coté bord (b) M0,fz,Sd Coté âme ( a)

Traction Compression

Fig. 9 – Moments sous charge latérale, avec une lierne

N.B. : Le diagramme des moments latéraux (cf. figure 9) présente une discontinuité « factice » au niveau des liernes, en raison de l’application stricte du tableau 10.1, où la modélisation distingue les trois cas séparément : – poutre sur deux appuis libres, – poutre sur un appui libre et un appui encastré, et – poutre sur deux appuis encastrés. En réalité, bien sûr, le diagramme des moments latéraux est continu.

9,342. – Calcul de la rigidité élastique latérale K par unité de longueur Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.3.4.1 : K↓ = 0,0110 N/mm/mm

9,343. – Coefficient R↓ d'appui latéral élastique Ce coefficient R↓ est utilisé pour le calcul du coefficient de correction βR,↓ pour le maintien élastique effectif, lui-même nécessaire au calcul du moment fléchissant latéral Mfz,Sd,↓ selon § 10.1.4.1(5).

Construction Métallique, n° 4-2003

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

R↓ =

65

K↓La4 π4EIfz

où La

(Exp. 10.6)

distance entre liernes, ou, en cas d'absence de ces dernières, portée L de la panne. Ici, une lierne, donc : La = L/2

La = 2,5 m R↓ = 0,190

et, il vient :

9,344. – Moment latéral Mfz,Sd,↓ dans la semelle libre en travée (ici, elle est tendue) Selon § 10.1.4.1(5), le moment latéral Mfz,Sd,↓ dans la semelle libre (partiellement comprimée), compte tenu du maintien latéral élastique, peut être calculé par Mfz,Sd,↓ = βR,↓ . M0,fz,Sd,↓ où

(Exp. 10.5)

M0,fz,Sd,↓ est le moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique, βR,↓

est le coefficient de correction pour le maintien élastique effectif.

Les expressions de M0,fz,Sd,↓ et βR,↓ sont fixées à l'aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant continue sur cinq appuis, ce sont le deuxième cas (tronçon de rive : entre l’appui d’extrémité et la lierne adjacente) et le troisième cas (tronçon de milieu : entre l’appui central et la lierne adjacente) de ce tableau qui gouvernent et l'on a : M0,fz,Sd,↓ =

qh,Fd,↓La2 (cas avec liernes : tronçon de rive), ou 8

M0,fz,Sd,↓ =

qh,Fd,↓La2 (cas avec liernes : tronçon de milieu) 12

Le plus défavorable est le premier, donc

M0,t,fz,Sd,↓ = 20,45 daN.m

βR,↓ =

1 + 0,0314R↓ (cas avec liernes : tronçon de rive), ou 1 + 0,396R↓

βR,↓ =

1 + 0,0178R↓ (cas avec liernes : tronçon de milieu) 1 + 0,191R↓

Le plus défavorable est le premier, donc

βR,↓ = 0,9354

et l'on peut calculer :

Mfz,t,Sd,↓ = 19,13 daN.m

9,345. – Moment latéral Mfz,Sd,↓ dans la semelle libre sur appui (ici, elle est comprimée) Selon § 10.1.4.1(5), le moment latéral Mfz,Sd,↓ dans la semelle libre comprimée, compte tenu du maintien latéral élastique, peut être calculé par Mfz,Sd,↓ = βR,↓ . M0,fz,Sd,↓

(Exp. 10.5)

Construction Métallique, n° 4-2003

29

66

Rubrique

où M0,fz,Sd,↓ βR,↓

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

est le moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique, est le coefficient de correction pour le maintien élastique effectif.

Les expressions de M0,fz,Sd,↓ et βR,↓ sont fixées à l'aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant continue sur appuis, c’est le troisième cas de ce tableau qui gouverne et l'on a : M0,fz,Sd,↓ =

30

βR,↓ =

qh,Fd,↓La2 (cas avec liernes) 12

1 + 0,0178R↓ (cas avec liernes) 1 + 0,191R↓

donc

M0,fz,a,Sd,↓ = 13,63 daN.m

donc

βR,↓ = 0,9682 Mfz,a,Sd,↓ = 13,20 daN.m

et l'on peut calculer :

N.B. Les expressions ci-dessus pour le calcul de βR,↓ diffèrent par rapport aux expressions de la norme expérimentale [1] qui comportent une erreur de signe ! Les expressions données ici sont celles utilisées dans le document [5] ainsi que dans le projet final de la norme [6].

9,35. – Vérification de résistance de la semelle supérieure (maintenue) 9,351. – En travée (semelle comprimée) Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.3.5.1 : Γt,R,s,↓ = 0,408  1,0

OK

9,352. – Sur appui (semelle tendue) Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.3.5.2 : Γa,R,s,↓ = 0,636 < 1,0

OK

9,36. – Vérification de résistance de la semelle inférieure (libre) 9,361. – En travée (semelle tendue) La contrainte de traction ramenée par Mfz,t,Sd,↓ se calcule en faisant intervenir (cf. 10.3.4.1 et figure 9) : – Wfz,b, si kh,↑  0 (avec lierne) ; – Wfz,a, si kh,↑  0 (avec lierne). Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (traction prépondérante) :



σmax,t,Ed,i,↓ = –



My,t,Sd,↓ NSd Mfz,t,Sd,↓ fy + –  Weff, y,t Aeff Wfz,b γM

Construction Métallique, n° 4-2003

(Exp. 10.3b)

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

67

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γt,R,i,↓ =

σmax,t,Ed,i,↓  1,0 fy /γM

On obtient ainsi successivement :

σmax,t,Ed,i, ↓ = 180,0 MPa Γt,R,i,↓ = 0,514  1,0

OK

9,362. – Sur appui (semelle comprimée)

31

La contrainte de compression ramenée par Mfz,a,Sd,↓ se calcule en faisant intervenir Wfz,a (cf. 9.3.4.1 et figure 9). Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (compression prépondérante) : σmax,a,Ed,i,↓ =

My,a,Sd,↓ NSd Mfz,a,Sd,↓ fy + +  Weff, y,c Aeff Wfz,a γM

(Exp. 10.3b)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γa,R,i,↓ =

σmax,a,Ed,i,↓  1,0 fyb /γM

On obtient ainsi successivement :

σmax,a,Ed,i,↓ = 278,1 MPa Γa,R,i,↓ = 0,794  1,0

OK

9,4. – Résistance de la semelle libre au flambement – Application du § 10.1.4.2 Sous charge descendante, la semelle libre de la panne est comprimée sur appui.

9,41. – Longueur de flambement de la semelle libre Selon § 10.1.4.2(3), sous charge descendante et en présence d'un effort normal de compression faible, la longueur de flambement de la semelle libre peut être calculée par : η3 η4 fz,↓ = η1La(1 + η2R ↓ )

où

La

distance entre liernes, ou, en cas d'absence de ces dernières, portée L de la panne. Ici, une lierne, donc : La = L/2

R↓ =

(Exp. 10.9)

La = 2,5 m

K↓La4 π 4EIfz

(Exp. 10.6)

D’après le tableau 10.2, dans le cas d’une panne avec une lierne : fz,↓ = 0,622La(1 + 66,7R ↓2,68)– 0,084

Construction Métallique, n° 4-2003

68

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

Rappel :

K↓ = 0,0110 N/mm/mm

Donc :

R↓ = 0,190

On peut alors calculer :

fz,↓ = 1,481 m

9,42. – Élancement réduit de la semelle libre

32

Selon § 10.1.4.2(2) λ1 = π .

 E fyb

λ1 = 76,95

 – λfz,↓ = fz,↓ ifz λ1

λfz,↓ = 0,843

(Exp. 10.8)

9,43. – Coefficient de flambement Selon 10.1.4.2(1), on applique ici le § 6.2.1(2)P en utilisant la courbe de flambement « a ». Selon le tableau 6.1, le facteur d'imperfection correspondant est : α = 0,21 et l'on peut calculer : – – φ↓ = 0,5[1 + α(λfz,↓ – 0,2) + λ2fz,↓] χ↓ =

φ↓ +

(φ↓2

1 – 2 0,5  1 – λfz,↓ )

φ↓ = 0,923

(Exp. 6.2b)

χ↓ = 0,770

(Exp. 6.2a)

9,44. – Vérification de la semelle inférieure (sur appui, comprimée, libre) au flambement La contrainte de compression ramenée par Mfz,a,Sd,↓ se calcule en faisant intervenir Wfz,a (cf. 9.3.4.1 et figure 9). Selon § 10.1.4.2(1), et en introduisant une notation de contrainte amplifiée par le flambement σF,a,Ed,i,↓ dans la semelle inférieure, la condition à vérifier est : σF,a,Ed,i,↓ =



NSd 1 My,a,Sd,↓ + Aeff χ↓ Weff,y,c

+

Mfz,a,Sd,↓ fyb  Wfz,a γM1

(Exp. 10.7)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γa,F,i,↓ =

σF,a,Ed,i,↓  1,0 fyb /γM1

On obtient ainsi successivement :

σF,a,Ed,i,↓ = 352,1 MPa Γa,F,i,↓ = 1,006 ≅ 1,0

Construction Métallique, n° 4-2003

OK

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

69

9,5. – Résistance de la section à l’interaction entre le moment fléchissant et l’effort tranchant – Application du § 5.10 Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.5 : Γa,MV,↓ = 0,522  1,0

OK

9,6. – Résistance de la section à l’interaction entre le moment fléchissant et la réaction d’appui – Application du § 5.11

33

Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 6.6 : Γa,MR,↓ = 1,365  1,0

10. – CAS AVEC UNE LIERNE À MI-PORTÉE. VÉRIFICATIONS SOUS CHARGES ASCENDANTES

10,1. – Vérifications à faire Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.1.

10,2. – Vérification de flèche – Application du § 7 Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.2 : Γδ,↑ = 0,229  1,0

OK

10,3. – Résistance des sections transversales – Application du § 10.1.4.1 10,31. – Moment maxi en travée Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.3.1 : My,t,Sd,↑ = 351,6 daN.m

10,32. – Moment maxi sur appui Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.3.2 : My,a,Sd,↑ = 625,0 daN.m

Construction Métallique, n° 4-2003

70

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

10,33. – Coefficient de sécurité sur la résistance Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.3.3 : γM = γM1 = 1,0

10,34. – Moment latéral Mfz,Sd,↑ dans la semelle libre

34

Sous charge ascendante, la semelle libre de la panne est comprimée en travée.

10,341. – Calcul de la charge fictive qh,Fd,↑ pour charges ascendantes

Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.3.4.1 : qh,Fd,↑ = 12,55 daN/m Selon la position de la section que l’on vérifie, c'est l'une ou l'autre valeur de Wfz (cf. 5.7) qui est utilisée dans les critères de vérification de résistance (cf. figure 9). Dans ce cas (kh,↑  0), la charge a le sens indiqué à la figure 9.

10,342. – Calcul de la rigidité élastique latérale K par unité de longueur

Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.3.4.2 : K↑ = 0,0110 N/mm/mm

10,343. – Coefficient R↑ d'appui latéral élastique Ce coefficient R↑ est utilisé pour le calcul du coefficient de correction βR,↑ pour le maintien élastique effectif, lui-même nécessaire au calcul du moment fléchissant latéral Mfz,Sd,↑ selon § 10.1.4.1(5). R↑ =

K↑La4

(Exp. 10.6)

π 4EIfz

où La

distance entre liernes, ou, en cas d'absence de ces dernières, portée L de la panne. Ici, une lierne, donc : La = L/2

et, il vient :

Construction Métallique, n° 4-2003

La = 2,5 m R↑ = 0,190

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

71

10,344. – Moment latéral Mfz,Sd,↑ dans la semelle libre en travée (ici, elle est comprimée) Selon § 10.1.4.1(5), le moment latéral Mfz,Sd,↑ dans la semelle libre comprimée compte tenu du maintien latéral élastique peut être calculé par : Mfz,Sd,↑ = βR,↑ . M0,fz,Sd,↑

(Exp. 10.5)

où M0,fz,Sd,↑ est le moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique, βR,↑

est le coefficient de correction pour le maintien élastique effectif

Les expressions de M0,fz,Sd,↑ et βR,↑ sont fixées à l'aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant continue sur cinq appuis, ce sont le deuxième cas (tronçon de rive : entre l’appui d’extrémité et la lierne adjacente) et le troisième cas (tronçon de milieu : entre l’appui central et la lierne adjacente) de ce tableau qui gouvernent et l'on a : M0,fz,Sd,↑ =

qh,Fd,↑La2 (cas avec liernes : tronçon de rive), ou 8

M0,fz,Sd,↑ =

qh,Fd,↑La2 (cas avec liernes : tronçon de milieu). 12

Le plus défavorable est le premier, donc :

M0,fz,t,Sd,↑ = 9,806 daN.m

βR,↑ =

1 + 0,0314R↑ (cas avec liernes : tronçon de rive), ou 1 + 0,396R↑

βR,↑ =

1 + 0,0178R↑ (cas avec liernes : tronçon de milieu). 1 + 0,191R↑

Le plus défavorable est le premier, donc :

βR,↑ = 0,9354

et l'on peut calculer :

Mfz,t,Sd,↑ = 9,173 daN.m

10,345. – Moment latéral Mfz,Sd,↓ dans la semelle libre sur appui (ici, elle est tendue)

Selon § 10.1.4.1(5), le moment latéral Mfz,Sd,↑ dans la semelle libre (partiellement comprimée), compte tenu du maintien latéral élastique, peut être calculé par : Mfz,Sd,↑ = βR,↑ . M0,fz,Sd,↑

(Exp. 10.5)

où M0,fz,Sd,↑ est le moment fléchissant latéral initial dans la semelle libre sans maintien élastique, βR,↑

est le coefficient de correction pour le maintien élastique effectif.

Les expressions de M0,fz,Sd,↑ et βR,↑ sont fixées à l'aide du tableau 10.1, en fonction des conditions de rotation en plan aux extrémités du tronçon de panne considéré (tronçon

Construction Métallique, n° 4-2003

35

72

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

isostatique, tronçon de rive, tronçon courant). Ici, la panne étant continue en deux travées, c’est le troisième cas de ce tableau qui gouverne et l'on a : M0,fz,Sd,↑ =

βR,↑ =

qh,Fd,↑La2 (cas avec liernes) 12

1 + 0,0178R↑ 1 + 0,191R↑

(cas avec liernes)

donc

M0,fz,a,Sd,↑ = 6,537 daN.m

donc

βR,↑ = 0,9682

et l'on peut calculer :

36

Mfz,a,Sd,↑ = 6,329 daN.m

N.B. Les expressions ci-dessus pour le calcul de βR,↓ diffèrent par rapport aux expressions de la norme expérimentale [1] qui comportent une erreur de signe ! Les expressions données ici sont celles utilisées dans le document [5] ainsi que dans le projet final de la norme [6].

10,35. – Vérification de résistance de la semelle supérieure (maintenue) 10,351. – En travée (semelle tendue) Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.3.5.1 : Γt,R,s,↑ = 0,227  1,0

OK

10,352. – Sur appui (semelle comprimée) Aucun changement par rapport au cas sans lierne : cf. 7.3.5.2 : Γa,R,s,↑ = 0,480  1,0

OK

10,36. – Vérification de résistance de la semelle inférieure (libre) 10,361. – En travée (semelle comprimée) La contrainte de compression ramenée par Mfz,t,Sd,↑ se calcule en faisant intervenir (cf. 10.3.4.1 et figure 9) : – Wfz,a, si kh,↑  0 (avec lierne) ; – Wfz,b, si kh,↑  0 (avec lierne). Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (compression prépondérante) : σmax,t,Ed,i,↑ =

My,t,Sd,↑ NSd Mfz,t,Sd,↑ fy + +  Weff,y,c Aeff Wfz,a γM

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γt,R,i,↑ =

σmax,t,Ed,i,↑  1,0 fy /γM

Construction Métallique, n° 4-2003

(Exp. 10.3b)

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

73

σmax,t,Ed,i,↑ = 117,8 MPa

On obtient ainsi successivement :

Γt,R,i,↑ = 0,337  1,0

OK

10,362. – Sur appui (semelle tendue) La contrainte de traction ramenée par Mfz,a,Sd,↑ se calcule en faisant intervenir (cf. 10.3.4.1 et figure 9) : – Wfz,b, si kh,↑  0 (avec lierne) ;

37

– Wfz,a, si kh,↑  0 (avec lierne). Selon § 10.1.4.1(2), la vérification à effectuer est (compression prépondérante) :



σmax,a,Ed,i,↑ = –



My,a,Sd,↑ NSd Mfz,a,Sd,↑ fy + –  Weff,y,c Aeff Wfz,b γM

(Exp. 10.3b)

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γa,R,i,↑ =

σmax,a,Ed,i,↑  1,0 fy /γM

On obtient ainsi successivement :

σmax,a,Ed,i,↑ = 173,8 MPa Γa,R,i,↑ = 0,496  1,0

OK

10,4. – Résistance de la semelle libre au flambement – Application du § 10.1.4.2 Sous charge ascendante, la semelle libre de la panne est comprimée en travée.

10,41. – Longueur de flambement de la semelle libre Selon § 10.1.4.2(7), sous charge ascendante et en présence d'un effort normal de compression faible, la longueur de flambement de la semelle libre – « efficacement maintenue latéralement en position par des liernes » – peut être calculée par : fz,↑ = 1,0La(1 + 30,4R ↑2,28)– 0,108

(Tableau 10.2)

avec La distance entre liernes, ou, en cas d'absence de ces dernières, portée L de la panne. Ici, une lierne, donc : La = L/2 Et

R↑ =

Rappel :

K↑La4 π 4EIfz

La = 2,5 m (Exp. 10.6) K↑ = 0,0110 N/mm/mm

Construction Métallique, n° 4-2003

74

Rubrique

Donc :

R↑ = 0,190

On peut alors calculer :

fz,↑ = 2,362 m

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

10,42. – Élancement réduit de la semelle libre Selon § 10.1.4.2(2)

38

λ1 = π .

 E fyb

λ1 = 76,95

 – λfz,↑ = fz,↑ ifz λ1

λfz,↑ = 1,344

(Exp. 10.8)

10,43. – Coefficient de flambement Selon 10.1.4.2(1), on applique ici le § 6.2.1(2)P en utilisant la courbe de flambement « a ». Selon le tableau 6.1, le facteur d'imperfection correspondant est : α = 0,21 et l'on peut calculer : – – φ↑ = 0,5[1 + α(λfz,↑ – 0,2) + λ2fz,↑] χ↑ =

φ↑ +

(φ↑2

1 – 2 0,5  1 – λfz,↑ )

φ↑ = 1,523

(Exp. 6.2b)

χ↑ = 0,447

(Exp. 6.2a)

10,44. – Vérification de la semelle inférieure (en travée, comprimée, libre) au flambement La contrainte de compression ramenée par Mfz,t,Sd,↑ se calcule en faisant intervenir (cf. 10.3.4.1 et figure 9) : – Wfz,a, si kh,↑  0 (avec lierne) ; – Wfz,b, si kh,↑  0 (avec lierne). Selon § 10.1.4.2(1), et en introduisant une notation de contrainte amplifiée par le flambement σF,t,Ed,i,↑ dans la semelle inférieure, la condition à vérifier est : σF,t,Ed,i,↑ =

1 χ↑

W

My,t,Sd,↑

+

eff,y,c

NSd Aeff

+

Mfz,t,Sd,↑ fyb  Wfz,a γM1

ou, ce qui revient au même, le critère adimensionnel suivant : Γt,F,i,↑ =

σF,t,Ed,i,↑  1,0 fyb /γM1

Construction Métallique, n° 4-2003

(Exp. 10.7)

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

75

On obtient ainsi successivement :

σF,t,Ed,i,↑ = 238,5 MPa Γt,F,i,↑ = 0,681  1,0

OK

N.B. Si l’on compare ce résultat (avec une lierne) avec celui de 7.4.4 (sans lierne), il est clair que la longueur de flambement pour le cas avec une lierne est extrêmement défavorable (cf. Remarque importante sur les liernes, chapitre 4) : il n’y a pas de justification physique pour qu’elle soit plus grande par rapport au cas de la semelle libre non maintenue ! Il serait probablement plus judicieux de reprendre ici la longueur de flambement obtenue pour le cas sans lierne.

39 11. – CAS AVEC UNE LIERNE À MI-PORTÉE. RAPPEL DES RÉSULTATS ET CONCLUSION

La vérification des différents critères a conduit aux résultats suivants : ●

sous charge descendante

Γδ,↓ = 0,343  1,0

OK

Γt,R,s,↓ = 0,408  1,0

OK

Γa,R,s,↓ = 0,636  1,0

OK

Γt,R,i,↓ = 0,514  1,0

OK

Γa,R,i,↓ = 0,794  1,0

OK

Γa,F,i,↓ = 1,006 ≅ 1,0

OK

Γa,MV,↓ = 0,522  1,0

OK

Γa,MR,↓ = 1,365  1,0

non satisfaisant

●

sous charge ascendante

Γδ,↑ = 0,229  1,0

OK

Γt,R,s,↑ = 0,227  1,0

OK

Γa,R,s,↑ = 0,480  1,0

OK

Γt,R,i,↑ = 0,337  1,0

OK

Γa,R,i,↑ = 0,496  1,0

OK

Γt,F,i,↑ = 0,681  1,0

OK

En présence d’une lierne à mi-portée de chaque travée, la panne n’est pas satisfaisante, en seule raison de l’interaction entre le moment fléchissant et la réaction d’appui.

Construction Métallique, n° 4-2003

76

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

12. – CONCLUSION GÉNÉRALE Quand on compare les résultats des deux calculs concernant une panne sur 3 appuis, sans lierne (cf. 8) et avec une lierne à mi-portée de chaque travée (cf. 11), avec les résultats du calcul d’une panne sur 2 appuis, sans lierne (cf. [4]) et avec une lierne à mi-portée (calcul effectué par ailleurs, mais pas détaillé dans cet article), on arrive au tableau suivant : Critère adimensionnel

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Γδ,↓ Γt,R,s,↓ Γa,R,s,↓ Γt,R,i,↓ Γa,R,i,↓↓ Γa,F,i,↓ Γa,MV,↓ Γa,MR,↓ Γδ,↑ Γt,R,s,↑ Γa,R,s,↑ Γt,R,i,↑ Γa,R,i,↑ Γt,F,i,↑

Panne sur 2 appuis sans lierne avec 1 lierne à mi-travée 0,826 0,826 0,710 0,710 – – 0,636 0,636 – – – – – – – – 0,551 0,551 0,418 0,418 – – 0,557 0,538 – – 0,933 1,133

Panne sur 3 appuis sans lierne avec 1 lierne à chaque mi-travée 0,343 0,343 0,408 0,408 0,636 0,636 0,474 0,514 0,970 0,794 1,170 1,006 0,522 0,522 1,365 1,365 0,229 0,229 0,227 0,227 0,480 0,480 0,358 0,337 0,610 0,496 0,536 0,681

En comparant les résultats, on s’aperçoit que : ●

●

●

●

Le cas d’une panne sur deux appuis avec une lierne à mi-portée est plus défavorable que le cas d’une panne sur deux appuis sans lierne ! Ceci est dû à la longueur de flambement de la semelle libre extrêmement sécuritaire dans la norme expérimentale [1]. Le cas d’une panne sur trois appuis sans lierne n’est pas satisfaisant (il est même plus contraignant que le cas d’une panne sur deux appuis) à cause de l’influence du flambement de la semelle libre sur appui. Le cas d’une panne sur trois appuis (avec ou sans liernes) n’est pas satisfaisant au niveau de l’interaction entre le moment fléchissant et la réaction d’appui. Néanmoins, ce problème peut être résolu en suspendant la panne à l’échantignole. L’intérêt principal de la continuité d’une panne sur trois appuis – par rapport à une panne sur deux appuis – serait donc la réduction des flèches, intérêt d’autant plus marqué que les portées augmentent.

13. – RÉFÉRENCES

[1]

XP P 22-313 : Eurocode 3 – « Calcul des structures en acier » – Partie 1-3 : « Règles générales – Règles supplémentaires pour les profilés et plaques à parois minces formés à froid » – avec son Document d'Application Nationale – Mars 1998.

[2]

Bureau A. – « Stabilisation des pannes en profilé laminé par un bac acier – Vérification du bac par les recommandations de la CECM » – Revue Construction Métallique – N° 4 1991 – CTICM.

Construction Métallique, n° 4-2003

Rubrique

TECHNIQUE ET APPLICATIONS

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[3]

« European Recommendations for the Application of Metal Sheeting acting as a Diaphragm » – Rapport N° 88 – CECM – 1995.

[4]

Galéa Y – « Calcul d’une panne isostatique sous bac acier, sans liernes » – Revue Construction Métallique – N° 3 2003 – CTICM.

[5]

« Preliminary Worked Examples According to Eurocode 3 Part 1.3 » – Rapport N° 114 – CECM – Août 2000.

[6]

EN 1993-1-3 – 20xx : Eurocode 3 – « Design of steel structures » – Part 1-3 : « General rules – Supplementary rules for cold-formed thin gauge members and sheeting » – Projet final – Septembre 2002.

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