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CH I

Statique des Fluides

Situations dans lesquelles il n’y a pas de mouvement relatif entre les particules fluides : • fluides au repos, • fluides uniformément accélérés.

Il n’y a pas de contraintes dues aux frottements entre particules. Les forces en jeu sont uniquement des forces de surface dues à la pression.

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CH I - Statique des Fluides

1 - Pression en un point d’un fluide Dans un fluide au repos (uniformément accéléré), la pression désigne la force par unité de surface qui s’exerce perpendiculairement à un élément de surface dS.

r n

r dF = − p n dS

M

dF

dS

dF est la force exercée sur l’élément de surface dS. p est la pression régnant au point M.

La force de pression agit toujours vers l’intérieur du volume délimité par l’élément de surface.

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CH I - Statique des Fluides

La pression est toujours indépendante de la surface et de l’orientation de cette surface :

r n2

r n1 M

dF 1

M dS1

dF 2

r dF1 = − p1 n1 dS1

dF 1 ≠ dF 2

dS2

r dF2 = − p2 n2 dS2 mais

p1 = p2 = p(M)

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Fluide réel en mouvement 1

CH I - Statique des Fluides

Fluide parfait en mouvement

Fluide réel ou parfait au repos

1

dF 2→1 dF 1→2

1

dF 2→1

dF 2→1

dF 1→2 2

dF 1→2 2

2

Fluide réel ou parfait uniformément accéléré 1

Les forces de surface sont normales

dF 2→1 dF 1→2 2

Il n’existe de contraintes tangentielles que si le fluide est réel et en mouvement non uniformément accéléré

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CH I - Statique des Fluides

La pression s’exprime en pascal :

Pa = N.m-2 = kg.m.s-2.m-2 = kg.m-1.s-2 On trouve aussi : L’atmosphère : 1 atm = 1,013.105 Pa Le bar : 1 bar = 105 Pa

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2 - Equation fondamentale de la Statique On considère un élément de volume fluide de forme parallélépipédique, de volume dV = dx.dy.dz, dans un repère cartésien :

z dz y

(x,y,z)

dx

x dy

Faire le bilan des forces qui s’appliquent sur cet élément de volume impose de distinguer : • les forces de volume : le poids • les forces de surface : les forces de pression

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r − p(z + dz) dx dy ez

r r n = ez

CH I - Statique des Fluides

z dz (x,y,z)

y x

r r n = −ez

dy

dx r p(z) dx dy ez

Force de volume :

r r L’expression du poids du fluide est donnée par dP = dm g = ρ dV g Force de surface : On peut décomposer cette force en ses trois composantes

r r r dF = dFx e x + dFy e y + dFz e z Puisqu’ici les forces de surface sont nécessairement normales, la composante suivant z correspond aux forces de pression s’exerçant sur les surfaces perpendiculaires à l’axe z.

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r − p(z + dz) dx dy ez

r r n = ez

CH I - Statique des Fluides

z dz y x

(x,y,z)

r r n = −ez

dy Donc :

dx r p(z) dx dy ez

dFz = [p(z) − p(z + dz)] dx dy

Par un développement au premier ordre, on a :

p(z + dz ) = p(z ) + D’où : dFz = −

∂p dz ∂z

∂p ∂p dx dy dz = − dV ∂z ∂z

Et par analogie, sur les deux autres axes :

∂p dV ∂x ∂p dFy = − dV ∂y

dFx = −

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La force de surface se résume alors à :

 ∂p r ∂p r ∂p r  dF = − ex + ey + ez  dV ∂y ∂z   ∂x

r Soit : dF = −∇p dV Au total, on a :

r dP = ρ dV g

r ∇p ≡ grad p

et

r dF = −∇p dV

En vertu du Principe Fondamental de la Dynamique, l’ensemble des forces agissant sur la particule fluide équivaut au produit de sa masse par son accélération : r

dP + dF = ρ dV a r r r Par conséquent, on a : ρ dV g − ∇p dV = ρ dV a r r r D’où : ρ g − ∇p = ρ a

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r r r ρ g − ∇p = ρ a r r Si le fluide est au repos : a = 0 Dans ce cas :

r r ∇p = ρ g

(Équation locale)

r

r

Dans le cas d’un fluide au repos, en supposant que g = −gez , on a :

∂p ∂p =0 ∂x

∂p ∂p =0 ∂y

∂p ∂p = −ρ g ∂z

p( x, y , z ) = p( z ) D’où :

C’est l'équation différentielle à résoudre pour connaître la pression en tout point du fluide au repos.

dp = −ρ g dz

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3 - Application aux fluides incompressibles Un fluide est dit incompressible si l’on peut considérer que sa masse volumique est en tout point la même : te

ρ=C

Par ailleurs, on peut considérer que l’accélération de la pesanteur est une constante :

g = Cte

Par conséquent :

dp dp = − ρ g = Cte dz

Et par intégration :

p( z ) =

∫

dp dz = − ρ g dz = − ρ g dz = − ρ gz + Cte dz

Soit :

∫

p(z ) + ρ gz = Cte

∫

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Puisque

p(z ) + ρ gz = Cte

On a :

p(z ) + ρ gz = Cte = p0 + ρ gz0 où p0 est la pression à l’altitude z0

z p

Donc :

z0

p(z ) = p0 + ρ g(z0 − z ) h

0

r g

h p

z

hauteur de fluide sous le niveau de référence

p( z ) = p0 + ρ gh

La plupart du temps, on prendra z0 = 0 le niveau de référence correspondant à la surface libre du fluide où p0 = pa Pour les applications numériques, on prendra la pression atmosphérique standard : pa = 1,013.105 Pa

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z

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surface libre à la pression atmosphérique

atmosphère pa

0

p(z) h

r g

z<0

liquide

p = pa − ρ g z p = pa + ρ g h

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4 - Application aux fluides compressibles De façon générale, il s’agit des gaz puisque leur densité dépend de la pression. Pour simplifier l’étude, on prendra le cas d’un gaz parfait :

pV = nRT Soit :

nR T p= V

D’où : p =

ρRT M

Or :

⇒ρ =

ρ=

m nM = V V

M p RT

M : masse molaire du gaz

⇒

n ρ = V M

la masse volumique est fonction de la pression ⇒ compressibilité

En partant de l’équation fondamentale de la statique des fluides :

dp = − ρ (p) g dz

⇒

dp M =− pg dz RT

dp M ⇒ =− g dz p RT

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Il faut donc intégrer :

CH I - Statique des Fluides

∫

dp M =− g dz + Cte p RT

∫

Constante si la température est homogène

M Soit : ln p = − g z + Cte RT  M  Donc : p( z ) = C exp − gz  RT  te

Ainsi, si p=p0 en z=z0, alors :

où la constante se définit par rapport à la pression pour un niveau de référence

 M  p0 = Cte exp − g z0   RT   M  ⇒ Cte = p0 exp g z0   RT 

 M  g(z − z0 )  RT 

Donc : p( z ) = p0 exp − 

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z

r g

CH I - Statique des Fluides

 M  p( z ) = p0 exp − g(z − z0 )  RT 

 M  p = pa exp − gz  RT 

z

pa 0

p

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5 - Forces hydrostatiques On peut désormais s’intéresser à la détermination des forces s’exerçant sur les surfaces solides immergées.

r dF = − p n dS

On sait que est la force de pression élémentaire s’exerçant sur la surface élémentaire dS.

r n M

dF

dS

Pour connaître la force totale s’exerçant sur une surface S, il suffit d’intégrer dF sur cette surface S :

F =

∫

S

r − p n dS

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Cas particulier d’une plaque plane :

r g 0 h1

r dF = − p n dS p = p0 + ρ g h

où

donc

r n

∫

S

⇓ r F = −n

dF surface S

p0

F =

r − p n dS

h2

ρ gh

h

∫ (p S

0

+ ρ gh ) dS

r F = −n p0S + ρ g h dS  S  

∫

avec

∫ h dS = h S S

profondeur du barycentre de la surface

G

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Cas particulier d’une plaque plane :

r g

Par conséquent : 0

r F = −nS (p0 + ρ ghG )

h1

hG =

r n

Remarque :

dF surface S

p0

h2

ρ gh

h1 + h2 2

h

Si on néglige l’épaisseur de la plaque, une force de direction opposée mais de même intensité s’applique sur la face opposée ⇒ la résultante des forces de pression s’exerçant sur la plaque est donc nulle.

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Cas particulier d’une paroi :

r p g 0

0 h1

r r n1 F2

r F 2 = −n2Sp0 La pression atmosphérique s’applique de part et d’autre de la paroi

r n2

F = F1 + F2 r F1

h2

p 0

r F 1 = −n1S (p0 + ρ ghG )

h

r F = − ρ ghG Sn1 ou bien

r F = ρ ghG Sn2

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Détermination du point d’application d’une force hydrostatique : Si F est la force hydrostatique s’exerçant sur une surface S, alors on peut avoir besoin de connaître le point d’application A de cette force. Il faut alors calculer le moment de la force par rapport à un point O quelconque, puis identifier ce moment à la résultante des moments élémentaires par rapport à ce même point O :

O Point d’application

M

r n

dF

A

r OA ∧ F = ∫ OM ∧ dF S

surface S

F

Remarque : Il est en général commode de choisir un point O appartenant à la surface

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Exemple : cas d’une paroi

r OA ∧ F = ∫ OM ∧ dF S

r g O r e3




r e1

r e2

r n

M

r r ⇒ OA.F e1 ∧ e2 = r e3 0

dF

H

⇓

OA.F = ∫ OM.dF S

h

F = Fhydro − Fatmo F = (p0 + ρ ghG ) S − p0S

F

A

r r ∫S OM.dF e1 ∧ e2 r e3

= ρ ghG S = ρ g H2 S

OM = h dF = ρ ghdhL H

h

OA =

∫0

h.ρ ghdhL

ρ g H2 S

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H

OA =

∫0

h.ρ ghdhL

ρ g H2 S r g

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ρ gL

2 H3 = h dh = 2 ∫ H 0 ρg2 S H 3 L.H H

2

O r e3




r e1

r e2

rM n

⇒ OA =

0 h

dF

2 H 3

F

A

H

h

2 H 3

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CH I - Statique des Fluides

Effort exercé sur un objet totalement immergé : (Poussée d’Archimède)

r g

On sait que la force exercée par le fluide sur le solide immergé s’exprime comme :

F =

∫

S

r − p n dS

La formule du gradient permet de passer d’une intégrale de surface à une intégrale de volume : r r

∫∫ f n dS = ∫∫∫ ∇f dV S

V

Dans le cas présent, si l’on identifie le scalaire f à la pression, on obtient :

r F =−

∫∫∫

V

r ∇p dV

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CH I - Statique des Fluides

Or, l’équation fondamentale de la statique des fluides permet d’écrire :

r r ∇p = ρ g

d’où

r F =−

∫∫∫

V

r ∇p dV = −

∫∫∫

V

r ρ g dV

En supposant g constante sur tout le volume :

r r F = −g

∫∫∫

r g

V

r ρ dV = − ρ V g

masse de fluide déplacé par le volume solide

r F

⇒ force opposée au poids du fluide déplacé

⇓ Poussée d’Archimède

Remarque : On admettra que le point d’application de la poussée d’Archimède est le centre de masse de la partie immergée du solide

r P

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CH II

Cinématique

Il s’agit de l’étude des fluides en mouvement : on s’attachera à faire une description des écoulements sans avoir recours au calcul des forces mises en jeu.

1 - Définitions a) La particule fluide La particule fluide est choisie comme entité élémentaire permettant une description complète des écoulements : Il s’agit d’un « paquet » de molécules entourant un point M donné ; celles-ci sont alors supposées avoir toutes la même vitesse au même instant.

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b) Descriptions d’Euler et de Lagrange


Description d’Euler : Cette description de l’écoulement consiste à établir à un instant t donné l’ensemble des vitesses associées à chaque point de l’espace occupé par le fluide.

r v1((tt2 ) r v1(t1 )

z

M1 M2 y x

r v2 (t2 )

r v2 (t1 )

r

La vitesse vM(t ) associée au point M évolue au cours du temps. A chaque instant t, l’écoulement du fluide est décrit au moyen d’un champ de vecteurs vitesse.

« photo instantanée de l’écoulement »

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Dans cette description d’Euler, on appelle « ligne de courant » la courbe qui, en chacun de ses points, est tangente aux vecteurs vitesse. r

v2 (t0 )

r v1(t0 )

M3

M2

ligne de courant à t=t0

M1

r v1(t1 )

M1

r v3 (t0 )

r v3 (t1 ) r v2 (t1 ) M2

M3

Remarque : Les lignes de courant évoluent dans le temps, au même titre que le champ de vecteurs vitesse

ligne de courant à t=t1

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CH II - Cinématique


Description de Lagrange : Cette description de l’écoulement consiste à suivre une particule donnée au cours de son mouvement au sein du fluide. Ici, c’est l’évolution de la position des particules qui permet la description de l’écoulement. Ainsi, le lieu géométrique des positions successives occupées par une particule constitue ce qu’on appelle la « trajectoire » de cette particule. trajectoire de la particule P

P(t2) P(t1)

P(t3)

P(t0) « photo avec temps de pause infini »

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Attention : il ne faut pas confondre ligne de courant et trajectoire. Ce sont deux notions bien différentes. trajectoire ligne de courant à t=t0

r v2 (t1) r v1(t1 ) P(t0) M1

r v1(t0 )

P(t1)

r v2 (t0 )

M2

Remarque : Si l’écoulement est stationnaire, le champ de vecteurs vitesse est constant dans le temps : il y a coïncidence entre lignes de courant et trajectoires.

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c) Ligne d’émission Toutes les particules qui sont passées par un même point E sont situées, à l’instant t, sur une courbe appelée « ligne d’émission » relative au point E. …en E à l’instant t3 …en E à l’instant t4 …en E à l’instant t2

trajectoire de la particule émise en E à l’instant t1 trajectoire de la particule émise en E à l’instant t0

E t0 t1

t2

t3

t4

t5 ligne d’émission de

ligne d’émission E àde l’instant t5 ligne d’émission ligne d’émission deE à de l’instant t4 E à l’instant t3 E à l’instant t2

Pratiquement, une ligne d’émission peut se visualiser en fixant une source colorante au point E : les courbes colorées correspondent alors aux lignes d’émission

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d) Ecoulement permanent Un écoulement est dit permanent (ou stationnaire) lorsque le champ de vecteurs vitesse est statique : il ne varie pas dans le temps. Dans ce cas : • les lignes de courant sont fixes dans l’espace ; • les trajectoires coïncident avec les lignes de courant ; • les lignes d’émission coïncident également avec les lignes de courant. lignes de courant

≡

trajectoires

≡

lignes d’émission

⇒ plus rien ne dépend explicitement du temps.

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2 - Equation de Continuité a) Cas général L’équation de continuité doit traduire le principe de conservation de la masse. La variation de masse pendant un temps dt d’un élément de volume fluide doit être égale à la somme des masses de fluide entrant diminuée de celle de fluide sortant. On considère alors un élément de volume fluide : dV = dx dy dz Sa masse peut s’exprimer comme : m = ρ dx dy dz Pendant le temps dt, la variation de cette masse s’écrit :

dm =

∂m ∂ρ dt = dx dy dz dt ∂t ∂t

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dm =

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∂ρ dx dy dz dt ∂t Cette variation doit alors être égale à : (i) la somme des masses de fluide qui entre et sort par les 6 faces de l’élément de volume dV. (ii) la somme des masses de fluide spontanément détruites (puits) ou créées (sources) à l’intérieur de dV.

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z

CH II - Cinématique

(i) la somme des masses de fluide qui entre et sort par les 6 faces de l’élément de volume dV.

r r r r v = u ex + v ey + w ez

w z + dz

vy

ux

ux + dx w z

vy + dy y

Suivant l’axe y, le fluide entre avec la vitesse vy et sort avec la vitesse vy+dy. Par conséquent, la masse entrant pendant le temps dt s’exprime :

[ρ v dx dz dt ] y On a, par ailleurs, pour la masse sortant : [ρ v dx dz dt ] y + dy Le bilan sur l’axe y donne alors : ( [ρ v ] y − [ρ v ] y + dy ) dx dz dt x

Un développement au 1er ordre permet d’écrire : Il reste alors :

−

[ρ v ] y + dy = [ρ v ] y

∂(ρ v ) d y dx dz dt ∂y

∂(ρ v ) + dy ∂y

suivant l’axe y.

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(i) la somme des masses de fluide qui entre et sort par les 6 faces de l’élément de volume dV.

z

r r r r v = u ex + v ey + w ez

w z + dz vy

ux

suivant l’axe y.

dV

ux + dx w z x

∂(ρ v ) − d y dx dz dt ∂y

vy + dy y

Et par analogie sur les 2 autres axes, on trouve :

∂(ρ u ) − dx dy dz dt ∂x dV

suivant l’axe x, et

−

∂(ρ w ) dz dx dy dt ∂z

suivant l’axe z.

dV

 ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ v ) ∂ ( ρ w ) − + + dV dt  ∂y ∂z   ∂x ∂ρ  ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ v ) ∂ ( ρ w ) Donc : dm = d x dy dz dt = −  + + dV dt + (ii)  ∂t ∂y ∂z   ∂x Au total, à travers les 6 faces on a :

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(ii) la somme des masses de fluide spontanément détruites (puits) ou créées (sources) à l’intérieur de dV. Si on appelle qv le débit volumique de fluide créé (qv>0 : source) ou détruit (qv<0 : puits) par unité de volume, alors :

ρ qv dV dt

correspond à la masse de fluide créée ou détruite pendant le temps dt dans le volume dV.

En généralisant, comme il peut y avoir plusieurs sources ou puits dans un même volume dV, on écrit plutôt : (ii) =

∑ ρ qvi dV dt i

Bilan global :

dm =

∂ρ  ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ v ) ∂ ( ρ w ) dx dy dz dt = −  dV dt + ∑ ρ qvi dV dt + +  ∂t ∂y ∂z   ∂x i dV r r ∇(ρ v )

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dm =

⇒

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∂ρ  ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ v ) ∂ ( ρ w ) dx dy dz dt = −  + + dV dt + ∑ ρ qvi dV dt  ∂t ∂y ∂z   ∂x i dV r r ∇(ρ v )

r r ∂ρ = −∇(ρ v ) + ∑ ρ qvi ∂t i

C’est l’équation de continuité (équation locale qui traduit le principe de conservation de la masse)

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r r ∂ρ = −∇( ρ v ) + ∑ ρ qvi ∂t i b) Cas particuliers  Ecoulement permanent (ou stationnaire) : Dans ce cas, il n’y a pas de variation explicite avec le temps :

∂ =0 ∂t ∂t

d’où

r r ∇(ρ v ) =

∑ ρ qvi i

 Ecoulement d’un fluide incompressible :

d’où

rr ∇v =

ρ = Cte

∑ qvi

r ∀r , ∀t

∂ρ   =0 ⇒  r ∂t rr r ∇(ρ v ) = ρ ∇v

i

 Ecoulement conservatif : Il n’y a ni puits ni source

⇒

∑ qvi i

Et s’il s’agit en outre d’un fluide incompressible :

rr ∇v = 0

=0

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c) Débits

r v

r n

A travers la surface S, le débit massique de fluide est donné par :

qm =

dS S

∫

rr ρ v.n dS

S

A travers la surface S, le débit volumique de fluide est donné par : rr

∫

qv = v.n dS

S1

S2

S

Toutes les lignes de courant s’appuyant sur une même courbe fermée constituent une surface (S’) appelée « tube de courant ». S’

Si l’écoulement est permanent (le tube n’évolue pas dans le temps), alors le débit massique est conservé : qm(S1) = qm(S2)

Si le fluide est incompressible, alors le débit volumique est conservé.

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3 - Analyse du mouvement d’un élément de volume fluide - Déformations Au sein de l’écoulement, chaque particule fluide subit des changements de position, d’orientation et de forme. Afin d’analyser ces changements, considérons 2 points appartenant à la même particule fluide : M(x,y,z)

et

M’(x+dx,y+dy,z+dz)

r Soient vM(u, v , w ) la vitesse au point M, r et vM′ (u′, v ′, w ′) la vitesse au point M’. r r Exprimons vM′ en fonction de vM et de dr = MM′ :

r r r r r vM′ = v(r + dr ) = v(r ) + dv r vM

accroissement de vitesse

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r r r r r vM′ = v(r + dr ) = v(r ) + dv M’

r vM

dv

r vM′

dr

M Effectuons un développement au 1er ordre des 3 composantes de la vitesse :

∂u ∂u ∂u  ′  u = u + ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz  ∂v ∂v ∂v  ′ v = v + d x + d y + dz  ∂x ∂y ∂z  w′ = w + ∂w dx + ∂w dy + ∂w dz  ∂x ∂y ∂z

⇒

r r r r v(r + dr ) = v(r ) + G dr

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∂u ∂u ∂u  ′  u = u + ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz  ∂v ∂v ∂v  ′ v v x y d d dz = + + +  ∂x ∂y ∂z  w′ = w + ∂w dx + ∂w dy + ∂w dz  ∂x ∂y ∂z

⇒

Donc :

r r r r v(r + dr ) = v(r ) + G dr  ∂u   ∂x  ∂v G= ∂x   ∂w   ∂x

∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y

∂u   ∂z  ∂v  ∂z   ∂w  ∂z 

Tenseur des taux de déformation (rang 2)

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Intéressons-nous à la signification de ces éléments tensoriels :

a) Termes diagonaux En posant nuls tous les termes hors-diagonale, il reste :

 ∂u   ∂x G=0   0 

0 ∂v ∂y 0

 0   0   ∂w   ∂z 

∂u  ′ = + u u dx  ∂x  ∂v ⇒  v′ = v + dy ∂y  w′ = w + ∂w dz  ∂z

Pour comprendre physiquement à quoi correspondent ces termes diagonaux, r r analysons une particule dans un écoulement plan (ex , ey ).

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∂u dx dt ∂x

y C’

D’

D

C

∂v dy dt ∂y

Positions à l’instant t :

dy A’

v dt

A

B’ dx

B

x

u dt

Vitesses à l’instant t : r v A (u, v ) r vB (u + ∂u ∂x dx, v ) r vrC (u, v + ∂v ∂y dy ) vD (u + ∂u ∂x dx, v + ∂v ∂y dy )

A(0,0)  B(dx,0)  C(0, dy ) D(dx, dy )

Positions à l’instant t+dt : A′(udt , vdt ) B′(dx + udt + ∂u ∂x dxdt , vdt )   C′(udt , dy + vdt + ∂v ∂y dydt ) D′(dx + udt + ∂u ∂x dxdt , dy + vdt + ∂v ∂y dydt )

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∂u dx dt ∂x

y C’

D’

D

C

∂v dy dt ∂y

dy A’

v dt

A

B’ dx

u dt

Positions à l’instant t+dt :

B

x On a donc une translation globale de udt suivant x et de vdt suivant y. Mais la particule est également déformée puisqu’il y a élongation (ou contraction) de ∂u ∂x dxdt suivant x et de ∂v ∂y dydt suivant y

A′(udt , vdt )  ′ B (dx + udt + ∂u ∂x dxdt , vdt )  C′(udt , dy + vdt + ∂v ∂y dydt ) D′(dx + udt + ∂u ∂x dxdt , dy + vdt + ∂v ∂y dydt )

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∂u dx dt ∂x

y C’

D

C

∂v dy dt ∂y

D’

 ∂u   ∂x  ∂v G= ∂x   ∂w  ∂x 

dy A’

v dt

A

B’ dx

B

x

u dt

Calcul de l’accroissement relatif de longueur :

∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y

∂u   ∂z  ∂v  ∂z   ∂w  ∂z 

les termes diagonaux sont les taux d’élongation

d(AB) A′B′ - AB dx + ∂u ∂x dxdt − dx ∂u = dt = = ∂x dx AB AB Suivant y, le taux d’élongation sera alors de

∂v ⋅ ∂y

taux d’élongation suivant x

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∂u dx dt ∂x

y C’

D’

D

C

∂v dy dt ∂y

dy A’

v dt

A

B’ dx

x

B

u dt

Calcul de la variation relative de surface :

S′ − S dS (dx + ∂u ∂x dxdt )(dy + ∂v ∂y dydt ) − dxdy = = S S dxdy

dxdy + ∂v ∂y dxdydt + ∂u ∂x dxdydt + ∂u ∂x ∂v ∂y dxdydt 2 − dxdy = dxdy dS  ∂u ∂v  = ∂v ∂y dt + ∂u ∂x dt + ∂u ∂x ∂v ∂y dt 2  dt ⇒ =  + S  ∂x ∂y  ≈0

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∂u dx dt ∂x

y C’

D’

D

C

∂v dy dt ∂y

dy A’

v dt

A

B’ dx

B

x

u dt

En généralisant à 3 dimensions, la variation relative de volume d’une particule fluide s’exprime : dV  ∂u La trace de G correspond au taux d’expansion du volume. Remarque :

∂v ∂w   dt =  + + V  ∂x ∂y ∂z 

rr ∇v = Tr (G)

Si le fluide r r est incompressible et que l’écoulement est conservatif, alors ∇v = 0 = dV V : dans ce cas, il n’y a pas de variation de volume.

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b) Termes hors-diagonale En posant nuls tous les termes diagonaux, il reste :

  0   ∂v G= ∂x  ∂w   ∂x

∂u ∂y 0 ∂w ∂y

∂u   ∂z  ∂v  ∂z   0  

∂u ∂u  ′ u = u + d y + dz  ∂y ∂z  ∂v ∂v  ⇒  v′ = v + dx + dz ∂x ∂z  w ′ = w + ∂w dx + ∂w dy  ∂x ∂y

Pour interpréter ces termes, un r reconsidérons r écoulement dans le plan (ex , ey ). On remarque que dans ce cas, la composante u suivant x de la vitesse varie avec y, et que la composante v suivant y de la vitesse varie avec x.

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∂u dy dt ∂y

y

C’ dβ

C

D’

dy

dα

A’

v dt

A

Positions à l’instant t :

D

dx

B

∂v dx dt ∂x

B’

x

A(0,0)  B(dx,0)  C(0, dy ) D(dx, dy )

u dt

Vitesses à l’instant t : r v A (u, v ) vr (u, v + ∂v ∂x dx )  B r vrC (u + ∂u ∂y dy , v ) vD(u + ∂u ∂y dy , v + ∂v ∂x dx )

Positions à l’instant t+dt :

A′(udt , vdt ) B′(dx + udt , vdt + ∂v ∂x dxdt )   C′(udt + ∂u ∂y dydt , dy + vdt ) D′(dx + udt + ∂u ∂y dydt , dy + vdt + ∂v ∂x dxdt )

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∂u dy dt ∂y

y

C’ dβ

C

D’

D

dy

dα

A’

v dt

A

dx u dt

Positions à l’instant t+dt :

B

∂v dx dt ∂x

B’

x On a donc toujours une translation globale de udt suivant x et de vdt suivant y.

Mais on a en plus une déformation A′(udt , vdt ) B′(dx + udt , vdt + ∂v ∂x dxdt ) angulaire de la particule.   C′(udt + ∂u ∂y dydt , dy + vdt ) D′(dx + udt + ∂u ∂y dydt , dy + vdt + ∂v ∂x dxdt )

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∂u dy dt ∂y

y

C’ dβ

C

D’

D

dy A’

v dt

A

dx

∂v dx dt ∂x

B’

dα

x

B

u dt

Déformation angulaire :

tan dα =

∂v ∂x dxdt ∂v = dt ≈ d α dx ∂x Donc :

dα ∂v ≈ dt ∂x

Et de même : dβ ≈ et

dβ ∂u ≈ dt ∂y

∂u dt ∂y

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∂u ∂y

  0   ∂v G= ∂x  ∂w   ∂x

0 ∂w ∂y

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∂u   ∂z  ∂v  ∂z   0  

On peut alors distinguer 2 cas : (i) le tenseur est symétrique, (ii) le tenseur est antisymétrique.

(i) le tenseur est symétrique : ∂u dy dt ∂y

y

D

C

v dt

soit

γ′

γ

A

dα

B’

A’ dx

u dt

∂v dx dt ∂x

B

x

⇒

dα = dβ

Il s’agit d’une déformation angulaire pure

D’

C’ dβ

dy

∂u ∂v = ∂y ∂x

ˆC) γ = (BA γ ′ − γ (γ − dα − dβ ) − γ

dγ = = dt dt dt dγ dα dγ ∂v ∂u = −2 ⇒ = −2 = −2 dt dt ∂y dt ∂x

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(ii) le tenseur est antisymétrique : D’ y

C’

dβ

v dt

A

dγ γ ′ − γ = =0 dt dt pas de déformation

dα

A’ dx

u dt

d α = −d β

B’

γ′ γ

⇒

Il s’agit d’une rotation pure

D

C

dy

∂u ∂v =− ∂x ∂y

B

x

On peut alors définir une vitesse angulaire de rotation :

dα ∂v ∂u 1  ∂v ∂u  1 r r = =− =  −  = ∇ ∧v dt ∂x ∂y 2  ∂x ∂y  2

[

]z

Il s’agit bien d’une rotation autour de l’axe z

r 1r r En généralisant, on définit : Ω = 2 ∇ ∧ v

∂w ∂y − ∂v ∂z r r  ∇ ∧ v = ∂u ∂z − ∂w ∂x  ∂v ∂x − ∂u ∂y 

c’est le vecteur vitesse angulaire de rotation ou vecteur tourbillon

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Bilan :  termes diagonaux ⇒ élongation (ou contraction) pure.  termes hors-diagonale ⇒ déformation angulaire pure ou rotation pure.

G symétrique G antisymétrique Or, quelque soit le tenseur, il est toujours possible de le décomposer en deux, pour en faire la somme d’un tenseur symétrique et d’un tenseur antisymétrique :

G = e+ω De telle sorte que :

r r r r r r r v(r + dr ) = v(r ) + dv = v(r ) + G dr r ⇒ dv = G dr = e dr + ω dr

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 ∂u   ∂x  ∂v G= ∂x   ∂w  ∂x 

∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y

∂u ∂u    ∂x ∂z   ∂v   1  ∂u ∂v  =  +  ∂z   2  ∂y ∂x   ∂w   1  ∂u ∂w  +   ∂z   2  ∂z ∂x    0    ∂u ∂v  +  12  − +    ∂y ∂x   1  ∂u ∂w   2  − ∂z + ∂x    

e

ω

CH II - Cinématique 1  ∂u 2

∂v   ∂x 

∂w     ∂z ∂x    ∂y ∂v ∂w   1  ∂v +   2 ∂y ∂ z ∂ y   ∂w  ∂w  1  ∂v +   2  ∂z  ∂z ∂y   1  ∂u  2

+

1  ∂u 2

+

∂w     ∂z ∂x    ∂y ∂w   1  ∂v 0 −   2  ∂z ∂y   ∂w   1  ∂v 0 − +   2   ∂z ∂y   −

∂v   ∂x 

1  ∂u 2

symétrique

−

: tenseur des taux de déformations pures (élongation + déformation angulaire) : tenseur des taux de rotations pures

e

ω antisymétrique

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On peut en effet remarquer que :

  0   1  ∂u ∂v  + ω =  2 −  ∂ ∂ y x     1  ∂u ∂w   2  − ∂z + ∂x    

∂w    ∂ ∂ ∂ y z x    0   ∂v ∂w    1 0 −   =  Ωz 2 ∂ ∂ z y     − Ωy ∂ v ∂ w    1 − + 0  2   ∂z ∂y   1  ∂u 2

−

∂v   ∂x 

1  ∂u 2

−

où Par conséquent :

 0 r  ω dr =  Ω z   − Ωy Finalement :

− Ωz 0 Ωx

− Ωz 0 Ωx

Ωy   − Ωx  0 

Ωx  r 1r r Ωy  Ω = 2 ∇ ∧ v Ω z 

Ωy  dx   − Ω z dy + Ωy dz  Ω x   dx         r r − Ω x  dy  =  Ω z dx − Ω x dz =  Ωy  ∧  dy  = Ω ∧ dr     0  dz  − Ωy dx + Ω x dy  Ω z   dz 

r r dv = G dr = e dr + ω dr = e dr + Ω ∧ dr déformations pures

rotations pures

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4 - Fonction de courant a) Définition Si l’écoulement d’un fluide incompressible est conservatif, alors l’équation de continuité s’écrit : Or, d’un point de vue mathématique, la relation est toujours vraie. On est alors en droit de définir un vecteur où

r A

r A

rr ∇v = 0 r r r r ∇(∇ ∧ A) = 0 ∀A

r r r tel que : v = ∇ ∧ A

correspond donc à un potentiel vecteur.

Il s’en suit :

v x = ∂Az ∂y − ∂Ay ∂z r r r  v = ∇ ∧ A = vy = ∂Ax ∂z − ∂Az ∂x v = ∂A ∂x − ∂A ∂y y x  z

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v x = ∂Az ∂y − ∂Ay ∂z r r r  v = ∇ ∧ A = vy = ∂Ax ∂z − ∂Az ∂x v = ∂A ∂x − ∂A ∂y y x  z Si l’on considère un écoulement dans le plan ⊥ à Oz, et donc invariant par translation suivant z, alors : ∂ v z = 0 et =0 D’où :

vx =

∂Az ∂y

vy = −

et

r

∂Az ∂x

∂z

r

Donc, dans le plan (ex , ey ), la vitesse est en tout point définie au moyen de la seule grandeur scalaire Az ( x, y ). On peut alors poser : Az ( x, y ) = Ψ( x, y )

∂Ψ  v x = ∂y Et :  vy = − ∂Ψ  ∂x

fonction de courant

constitue ce qu’on appellera le champ de vitesses.

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Remarque :

∂

En coordonnées cylindriques, si v z = 0 et =0, ∂z alors on a :

1 ∂Ψ  = v  r r ∂θ  ∂Ψ vθ = −  ∂r

où Ψ = Ψ(r ,θ )

b) Propriétés de la fonction de courant Comme on a déjà posé que

rr ∇v = 0

(fluide incompressible +écoulement conservatif)

∂v x ∂v y alors + =0 ∂x ∂y ∂Ψ ∂Ψ et comme v x = et v y = − , alors : ∂y ∂x

∂2Ψ ∂2Ψ − =0 ∂x∂y ∂y∂x

dΨ est une différentielle totale exacte

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dΨ est une différentielle totale exacte, cela signifie que : ∂Ψ ∂Ψ dΨ = dx + dy possède une seule et unique primitive. ∂x ∂y

Puisque

⇒

∫

B

dΨ = ΨB − ΨA quel que soit le chemin suivi pour aller de A à B.

A

Dans le plan (x,y), à quoi correspond l’ensemble des points pour lesquels la valeur de Ψ est constante ?

Ψ(x, y ) = Cte

⇔

y( x )

courbe le long de laquelle dΨ = 0

Sur cette courbe, on doit alors vérifier que :

Soit :

− vy dx + v x dy = 0 ⇒

dy v y = dx v x

dΨ =

∂Ψ ∂Ψ dx + dy = 0 ∂x ∂y

− vy

vx

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Ψ(x, y ) = Cte

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dy v y y(x) tq =

⇔

dx

Ψ( x, y ) = Cte dy dx

y vy

r v

vx

r pente du vecteur v en M(x,y) pente de la courbe y(x) en M(x,y)

Il s’agit de la définition de la ligne de courant.

M(x,y) v x

Ψ(x, y ) = Cte est donc une ligne de courant. x Remarque : A chaque ligne de courant est associée une constante différente.

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Analogie avec les lignes de niveau en cartographie :

Ψ( x, y )

⇔

H( x , y ) altitude

Ψ(x, y ) = Cte

⇔

ligne de courant

∫

 IGN

B A

dΨ = ΨB − ΨA ⇔

H(x, y ) = Cte ligne de niveau

∫

B A

dH = HB − HA

La différence d’altitude (dénivellation) entre 2 points ne dépend pas du chemin suivi entre ces 2 points.

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c) Débits et lignes de courant

y

Calculons le débit volumique entre 2 lignes de courant infiniment voisines : Soit le débit volumique élémentaire entre les Ψ + dΨ points M et M’ : M’

dqv = v x dy − vy dx

r v

vy

Ψ

∂Ψ ∂y

dy v x M dx

⇒ dqv = x

−

∂Ψ ∂x

∂Ψ ∂Ψ dy + dx = d Ψ ∂y ∂x

Donc dqv = dΨ. Par conséquent, entre 2 lignes de courant quelconques, de constantes ΨA et ΨB , le débit volumique est donné par :

qv =

∫

B A

dqv =

∫

B A

dΨ = ΨB − ΨA

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qv =

∫

B A

dqv =

∫

B A

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dΨ = ΨB − ΨA

Ψ(x, y ) = ΨB

y

B

qv < 0

A

qv > 0

x

Ψ( x, y ) = ΨA

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5 - Ecoulements irrotationnels Potentiel des vitesses a) Définition On dit que l’écoulement est irrotationnel lorsque les particules fluides ne subissent pas de rotations pures :

 0  ω =  Ωz − Ω y 

− Ωz 0 Ωx

Ωy   − Ωx  = 0 0 

⇒

Autrement dit, le vecteur tourbillon irrotationnel.

Ωx   r Ωy  = 0 Ω z 

⇒

ω =0

r 1r r r Ω = 2∇ ∧v = 0

r Ω est nul dans un écoulement

r r r Or, d’un point de vue mathématique, la relation ∇ ∧ (∇ϕ ) = 0 ∀ϕ est toujours vraie.

r r On est alors en droit de définir un scalaire ϕ tel que : v = ∇ϕ où ϕ correspond donc à un potentiel scalaire ⇒ le potentiel des vitesses.

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Il est alors possible d’exprimer les composantes du vecteur vitesse à partir du potentiel des vitesses :

r r v = ∇ϕ

⇒

∂ϕ vx = ∂x

,

∂ϕ vy = ∂y

∂ϕ vz = . ∂z

et

Si on suppose qu’en outre le fluide est incompressible, on doit vérifier :

rr ∇v = 0

⇒

∂v x ∂vy ∂v z + =0 + ∂x ∂y ∂z

Ce qui conduit à la relation :

∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z

⇒

∆ϕ = 0

Équation de Laplace

Il faut en conclure que le potentiel des vitesses doit vérifier l'équation de Laplace.

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Remarque : Si l’écoulement est irrotationnel, la fonction de courant doit également vérifier l’équation de Laplace :

 ∂ Ψ ∂y r  v = − ∂ Ψ ∂x et  0 

r r r ∇ ∧v = 0

∆Ψ = 0

 ∂ ∂x   ∂Ψ ∂y      r ⇒  ∂ ∂y  ∧  − ∂Ψ ∂x  = 0  0    0    

⇐

∂2 Ψ ∂2 Ψ − 2 − 2 =0 ∂x ∂y

b) Propriétés du potentiel des vitesses Lorsqu’un écoulement est plan, l’équation ϕ ( x, y ) = Cte définit, dans le plan de l’écoulement, une courbe appelée « équipotentielle ». Le long de cette courbe, puisque

ϕ (x, y ) = Cte, on doit vérifier : dϕ = 0

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Or, la différentielle peut s’écrire :

dϕ =

∂ϕ ∂ϕ dx + dy ∂x ∂y

Et comme le long d’une équipotentielle dϕ = 0 , alors :

∂ϕ ∂ϕ dx + dy = 0 ∂x ∂y

v x dx + vy dy = 0

⇒

Ψ( x, y ) = Cte

y

r v

vy M(x,y)

vy

− vx

vx

relation à vérifier en tout point de l’équipotentielle

En tout point M(x,y) du plan de l’écoulement, la ligne de courant et l’équipotentielle sont orthogonales.

ϕ(x, y ) = Cte

x

dy dx

⇒

dy vx =− vy dx

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Calcul de la longueur d’un élément d’arc le long d’une ligne de courant :

Ψ=C

y

ds

dsΨ = Cte = dx 2 + dy 2 dϕ =

dy

dx

ϕ

te

ϕ + dϕ x

∂ϕ ∂ϕ dx + dy ∂x ∂y

= v x d x + v y dy Or, le long de la ligne de courant : v

dy =

vy vx

dy = y dx v x

dx 

2 2  v y2  v x2 + v y2 v + v x y  dx = Donc : dϕ = v x dx + dx =  v x + dx = dy   vx v v vy x  x 

v y2

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dϕ =

v x2 + v y2 vx

dx =

Alors : dsΨ = Cte = Soit :

dsΨ =Cte =

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v x2 + v y2 vy

dx + dy = 2

dϕ v

2

vy

dy =

dy

dϕ

v +v vx dx = 2 dϕ 2 v x + vy

v x2 + v y2

(v

2 x

+v

)

2 2 y

2 x

dϕ = 2

2 y

dϕ v x2 + v y2

La distance entre deux équipotentielles est inversement proportionnelle à la vitesse de l’écoulement. Si on choisit de représenter les équipotentielles avec un écart dϕ = ∆ϕ = Cte , alors la distance entre les équipotentielles sera d’autant plus faible que la vitesse de l’écoulement est grande (et inversement).

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6 - Exemples d’écoulements plans Pour qu’une fonction complexe f(z) soit analytique, il faut que sa dérivée soit partout définie. Autrement dit, il faut que :

 ∆f  lim   tende vers une même valeur quelle que soit la façon ∆z →0 ∆z  dont ∆z tend vers 0. Si on pose : f ( z ) = ϕ ( x, y ) + i Ψ( x, y ) et z = x + i y, on peut faire tendre ∆z tend vers 0 des deux façons suivantes :

 ∆x → 0  ∆x = 0 ou    ∆y = 0 ∆y → 0 ∆f  ∆ϕ + i ∆Ψ   ∆ϕ + i ∆Ψ  df Par conséquent : lim   = lim   = lim  = ∆z →0 ∆z  ∆x →0 ∆x + i ∆y  ∆x =0  ∆x + i ∆y  dz ∆z → 0

⇔

∆y =0

∆y →0

 ∆ϕ ∆Ψ  ∆Ψ   ∆ϕ +  lim  +i  lim  − i ∆ y → 0 ∆x →0 ∆x ∆ y ∆ y ∆x   

⇓

∂ϕ ∂Ψ ∂f +i = ∂x ∂x ∂x

⇓

−i

∂ϕ ∂Ψ ∂f + = −i ∂y ∂y ∂y

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On a donc :

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∂ϕ ∂Ψ ∂ϕ ∂Ψ , d’où : +i = −i + ∂x ∂x ∂y ∂y

∂ϕ ∂Ψ = ∂x ∂y

et

∂ϕ ∂Ψ =− ∂y ∂x

relations de Cauchy Finalement, pour que f ( z ) = ϕ ( x, y ) + i Ψ( x, y ) soit une fonction analytique, il faut que ϕ ( x, y ) et Ψ( x , y ) vérifient ces relations de Cauchy. Pour un écoulement plan, qui peut être décrit au moyen d’une fonction de courant Ψ( x , y ) et d’un potentiel des vitesses ϕ ( x, y ), on vérifie bien ces relations de Cauchy :

vx =

∂ϕ ∂Ψ = ∂x ∂y

et

vy =

∂ϕ ∂Ψ =− ∂y ∂x

Par conséquent, l’écoulement peut aussi être décrit au moyen de la fonction analytique complexe :

f ( z ) = ϕ ( x, y ) + i Ψ( x, y ) où z = x + i y Cette fonction est appelée « potentiel complexe des vitesses ».

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a) Ecoulement uniforme Considérons l’écoulement plan modélisé par le potentiel complexe des vitesses :

f ( z ) = Uz

On a alors :

ϕ ( x, y ) + i Ψ( x, y ) = U( x + i y ) = Ux + i Uy  ϕ ( x, y ) = Ux

Par identification, on obtient : 

Ψ( x, y ) = Uy

Les lignes de courant sont telles que : Ψ( x, y ) = Uy = Cte

⇒

y = Cte ∀x ce sont des droites horizontales.

Les équipotentielles sont telles que : ϕ (x, y ) = Ux = Cte

⇒

x = Cte ∀y ce sont des droites verticales.

∂ϕ ∂Ψ  v =U = = r  x ∂x ∂y Détermination du champ de vitesses : v =  ∂ϕ ∂Ψ  v = = − =0 r y r  ∂y ∂x La vitesse est uniforme : v = U ex

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lignes de courant : Ψ( x, y ) = Uy = Cte ⇒ y = Cte ∀x (droites horizontales) équipotentielles : ϕ (x, y ) = Ux = Cte ⇒ x = Cte ∀y (droites verticales)

r

r

champ de vitesses : v = U ex

y

ϕ = Cte

r v r v r v r v

r v r v r v r v

Ψ = Cte

x écoulement uniforme

f ( z ) = Uz

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b) Ecoulement plan autour d’une source ou d’un puits Considérons l’écoulement plan modélisé par le potentiel complexe des vitesses : f ( z ) = C ln z où z = x + i y = r eiθ et

(

C une constante réelle.

)

⇒ f (z ) = C ln r eiθ = C (ln r + iθ ) On peut alors en déduire la fonction de courant et le potentiel des vitesses :

 ϕ (r ,θ ) = C ln r  Ψ(r ,θ ) = C θ

Les lignes de courant sont telles que : Ψ(r , θ ) = C θ = C te

⇒

θ = Cte ∀r

ce sont des droites passant par l’origine.

Les équipotentielles sont telles que : ϕ (r , θ ) = C ln r = C te

⇒

r = Cte ∀θ

ce sont des cercles concentriques centrés sur l’origine.

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CH II - Cinématique

Détermination du champ de vitesses :

y Ψ=C

te

x

ϕ = Cte

∂ϕ 1 ∂Ψ  v = r  r ∂r = r ∂θ v= 1 ∂ϕ ∂Ψ vθ = =−  r ∂θ ∂r

r v r = C r Soit : v =  vθ = 0

r Cr ⇒ v = er r

La vitesse est donc radiale et inversement proportionnelle à la distance à l’origine.

Si C>0, alors l’écoulement est dirigé vers l’extérieur ⇒ écoulement divergent ⇒ source à l’origine. Si C<0, alors l’écoulement est dirigé vers l’origine ⇒ écoulement convergent ⇒ puits à l’origine.

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Signification physique de la constante C : Calculons le débit volumique de cet écoulement radial (source ou puits) :

qv =

∫∫

S

rr v.n dS

où S est une surface fermée entourant l’origine.

L’écoulement ayant lieu dans un plan ⊥ à l’axe z, on peut considérer comme surface d’intégration un cylindre de hauteur ∆z=1, et donc :

∫∫ K dS = ∫ K ∆zdl S

rr qv = ∆z v.n r dθ = ∆z r

∫

l

⇒ qv = ∆z r ⇒C=

qv 2π

Il reste alors à intégrer sur un cercle de rayon r quelconque, centré sur l’origine.

l

∫

2π

0

∫

2π

0

C C dθ = ∆z r r r

rr v.n dθ

∫

2π

0

r r v = C r e  r où  r r n = er

dθ = 2π C ∆z

et par conséquent : f (z ) =

1

qv ln z 2π

débit volumique par unité de hauteur qv>0 : débit de la source qv<0 : débit du puits

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c) Vortex ou tourbillon libre Considérons l’écoulement plan modélisé par le potentiel complexe des vitesses : f (z) = −i C ln z où z = x + i y = r eiθ et

(

C une constante réelle.

)

⇒ f (z ) = −i C ln r e iθ = −i C (ln r + iθ ) = Cθ − i C ln r On peut alors en déduire la fonction de courant et le potentiel des vitesses :

 ϕ (r , θ ) = C θ   Ψ(r , θ ) = −C ln r

Les lignes de courant sont telles que : Ψ(r , θ ) = −C ln r = C te

⇒

r = Cte ∀θ

ce sont des cercles concentriques centrés sur l’origine.

Les équipotentielles sont telles que : ϕ (r , θ ) = C θ = C te

⇒

θ = Cte ∀r ce sont des droites passant par l’origine.

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Détermination du champ de vitesses :

y

ϕ =C

te

x

Ψ = Cte

∂ϕ 1 ∂Ψ  v = r  r ∂r = r ∂θ v= 1 ∂ϕ ∂Ψ vθ = =−  r ∂θ ∂r r v r = 0 Soit : v =  C = v  θ r

r Cr ⇒ v = eθ r

La vitesse est donc orthoradiale et inversement proportionnelle à la distance à l’origine.

Si C>0, alors l’écoulement s’effectue autour de l’origine dans le sens trigonométrique. Si C<0, alors l’écoulement s’effectue autour de l’origine dans le sens horaire.

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Signification physique de la constante C : Calculons la « circulation » de la vitesse autour de l’origine :

Γ=

∫

r r v.d l

l

r où d l parcourt une ligne de courant quelconque, i.e. une cercle de rayon r.

r r Cr r Avec : v = eθ et d l = r dθ eθ r Donc : C =

⇒

Γ=

∫

0

2π

C r dθ = 2π C r

Γ 2π

et par conséquent : f ( z ) = −i

Γ ln z 2π

où Γ est la circulation du vortex (tourbillon libre)

Si Γ>0, le vortex tourne dans le sens trigonométrique. Si Γ<0, le vortex tourne dans le sens horaire.

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d) Coins et points d’arrêt On appelle « point d’arrêt » un point où la vitesse est nulle. Considérons l’écoulement plan modélisé par le potentiel complexe des vitesses : f (z ) = C z m +1 où m ≥ − 12 En coordonnées cylindriques : z = r e iθ

et donc : f (z ) = C r m +1e i (m +1)θ

 ϕ(r , θ ) = C r m +1 cos [(m + 1)θ ] On a alors :  m +1 sin [(m + 1)θ ]  Ψ(r , θ ) = C r

∂ϕ 1 ∂Ψ  v = r  r ∂r = r ∂θ Le champ de vitesses s’obtenant par : v= 1 ∂ϕ ∂Ψ vθ = =−  r ∂θ ∂r r v r = C (m + 1) r m cos [(m + 1)θ ] On trouve : v =  m v = − C ( m + 1 ) r sin [(m + 1)θ ]  θ On remarque que vr = vθ = 0 pour r = 0 ⇒ l’origine est point d’arrêt.

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La ligne de courant passant par le point d’arrêt doit donc vérifier :

Ψ(r ,θ ) = Cte = ΨA

où ΨA = Ψ(rA ,θ A ) = C rA m+1 sin [(m + 1)θ A ] = 0

L’équation de cette ligne de courant s’écrit alors :

Cr

m+1

r = 0 ∀θ sin [(m + 1)θ ] = 0 ⇒  sin [(m + 1)θ ] = 0 ∀r

θ =

point d’arrêt

n π ∀r ⇐ (m + 1)θ = nπ ∀r (m + 1) avec n∈Ù

si n=0 : θ = 0 ∀r ⇒ demi-droite Ax si n=1 : θ = si n=2 : θ = …etc.

π

m +1

= α ∀r ⇒ demi-droite d’angle α avec Ax

2π = 2α ∀r ⇒ demi-droite d’angle 2α avec Ax m +1

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Les lignes de courant pouvant être assimilées à des barrières infranchissables, celles passant par le point d’arrêt forment des « coins » : ce sont les coins d’arrêt.

y 2α

A

α x

Analysons maintenant l’écoulement du fluide entre ces coins d’arrêt pour quelques valeurs particulières de m.

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f (z ) = C z m +1 où m ≥ − 12  cas où m=1

Ψ(r,θ ) = C r 2 sin [2θ ] = Cte

⇒

α =

et

π m +1

=

π 2

coin à angle droit

Ψ(r,θ ) = 2C r 2 sinθ cosθ = 2C r sinθ r cosθ = Cte y

y

x

Ψ(r,θ ) = Cte

Cte y = x

x

⇔

2C x y = Cte

à l’intérieur de ce coin les lignes de courant sont des hyperboles

Les équipotentielles étant en tout point ⊥ aux lignes de courant, ce sont également des hyperboles.

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 cas où m>1 α =

y

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π m +1

<

π

 cas où 0<m<1

2

y

π 2

<α =

x  cas où − 12 <m<0

π <α =

π m +1

x

π m +1

y

< 2π

 cas où m= −

1 2

α = 2π

y

x

x

<π

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e) Doublet et dipôle On a vu que pour qu’un écoulement puisse être décrit au moyen d’une fonction de courant Ψ et d’un potentiel des vitesses ϕ, il faut que ces deux fonctions vérifient l’équation de Laplace :

∆Ψ = 0

et

∆ϕ = 0

⇒

f (z) = ϕ + i Ψ

Considérons alors 2 écoulements tels que : (1) ∆Ψ1 = 0 et ∆ϕ1 = 0 ⇒ (2) ∆Ψ2 = 0 et ∆ϕ2 = 0 ⇒

f1( z ) = ϕ1 + i Ψ1 f2( z ) = ϕ2 + i Ψ2

Comme l’équation de Laplace est linéaire :

∆(λ1ϕ1 + λ2ϕ2 ) = λ1∆ϕ1 + λ2∆ϕ2 = 0 ∆(λ1Ψ1 + λ2Ψ2 ) = λ1∆Ψ1 + λ2∆Ψ2 = 0 Donc, si on pose : ϕ = λ1ϕ1 + λ2ϕ2 et Ψ = λ1Ψ1 + λ2 Ψ2 , alors ∆Ψ = 0 et ∆ϕ = 0 ⇒ f ( z ) = ϕ + i Ψ = λ1 f1( z ) + λ2 f2( z ) Par conséquent, f(z) décrit l’écoulement résultant de la superposition des deux écoulements f1 et f2.

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On peut donc superposer plusieurs écoulements élémentaires pour créer des écoulements plus évolués, et ceci par simple addition des potentiels complexes correspondants. Association d’une source et d’un puits : Considérons une source de débit +q, située en x=a, à laquelle on superpose un puits de débit -q, situé en x=-a. Le potentiel complexe résultant s’écrit :

q q f (z ) = + ln( z − a) − ln( z + a) 2π 2π source

puits

q (ln z1 − ln z2 ) = q (ln r1 + iθ1 − ln r2 − iθ2 ) 2π 2π q r1  ϕ = ln  q  r1  2π r2 f (z) = i θ θ ln + ( − ) ⇒  1 2   2π  r2  Ψ = q (θ1 − θ2 )  2π

D’où : f ( z ) =

⇒

 z1 = z − a = r1eiθ1 Posons :  iθ 2  z2 = z + a = r2 e

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q r1  = ln ϕ  2π r2  Ψ = q (θ1 − θ2 )  2π

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Et donc, les lignes de courant sont telles que : q Ψ= (θ1 − θ2 ) = Cte ⇒ θ1 − θ2 = Cte = α 2π

y M(r ,θ ) r2

θ2

P

α

Ecoulement généré par un doublet

θ1

r1

S

x

Les lignes de courant sont des cercles passant tous par P et S. Les équipotentielles sont également des cercles.

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Faisons tendre la distance entre le puits et la source vers 0.

y +a

-a P

f (z ) = + f (z) =

x

S

q q q  z − a q  z(1 − a z )  ln( z − a) − ln( z + a) = ln ln =  2π 2π 2π  z + a  2π  z(1 + a z ) 

q 1 − a z  ln  2π  1 + a z 

Donc f ( z ) ≈

[

où

1   → 1 − a z a →0 1+ a z

]

q q  a q 2 1 2aq ln (1 − a z ) = 2 −  = − 2 ln(1 − a z ) ≈ 2π  z  2π 2π 2π z

Posons 2aq = p le moment dipolaire : f ( z ) = −

1 p 2π z

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f (z ) = −

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1 p 1 p − iθ 1 p 1 p =− = − e (cosθ - i sinθ ) = ϕ + i Ψ = − 2π r eiθ 2π r 2π z 2π r

1 p  ϕ = − cosθ  2π r D’où  1 p Ψ = sinθ  2π r

⇒

1 sinθ = Cte r

⇒

x 2 + y 2 − Cte y = 0

⇒

Ψ = Cte

⇔

1 p sinθ = Cte 2π r équation d’une ligne de courant

r sinθ = Cte r 2

⇒

y = Cte (x 2 + y 2 )

⇒ x 2 + y 2 − Ky = 0 ⇒ x 2 + (y − K 2)2 = (K 2)2

Ψ = C te Les lignes de courant sont des cercles tous centrés sur l’axe y, et passant tous par l’origine.

⇔

équation d’un cercle de centre (0,K/2) et de rayon K/2

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CH II - Cinématique

y

Ecoulement généré par un dipôle

f (z ) = −

P

S

1 p 2π z

x

Remarque :

r Le vecteur moment dipolaire p = PS donne l’orientation globale de l’écoulement.

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CH III

Dynamique des Fluides

Il s’agira ici de tenir compte des différentes forces agissant sur les particules fluides en mouvement. Une description quantitative de l’écoulement pourra ainsi être déduite d’équations fondamentales locales.

1 - Forces de surface - Tenseur des contraintes Pour un fluide réel (visqueux) en mouvement, les forces de surface ne sont plus seulement normales à la surface : il existe des contraintes tangentielles dues à la viscosité (frottements). En un point M d’une surface dS, la force de r r surface s’exprime comme :

dF = Tn dS

r où Tn est la contrainte qui s’exerce sur la r surface de normale n.

r n

r Tn

M dS

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Considérons une surface ⊥ à l’axer x. r La normale à cette surface est : n = ex

y

σ yx

r Tx

La contrainterexercée sur cette surface est alors notée Tx et peut se décomposer comme : r

r n σ xx

σ zx z

CH III - Dynamique

r r r Tx = σ xx ex + σ yx ey + σ zx ez

x

On remarque que les composantes σ yx et σ zx sont des composantes tangentielles : on les notera plutôt τ yx et τ zx pour les distinguer de la composante normale σ xx . y

σ yy

On peut de même considérer la surface ⊥ à l’axe y. On a ainsi la contrainte :

r r r r Ty = τ xy ex + σ yy ey + τ zy ez Et pour la surface ⊥ à l’axe z la contrainte s’exprime :

r r r r Tz = τ xz ex + τ yz ey + σ zz ez

r Ty

r n

τ xy τ zy z

x

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Considérons maintenant une surface dont l’orientation est quelconque. Dans le repère cartésien, sa normale peut se décomposer en : r r r r

n = nx ex + ny ey + nz ez

Dans ce cas, la contrainte s’exerçant sur cette surface s’exprime r r r r comme :

Tn = nx Tx + ny Ty + nz Tz

En développant, on obtient :

r r r nx (σ xx ex + τ yx ey + τ zx ez ) r r r r Tn = + ny (τ xy ex + σ yy ey + τ zy ez ) r r r + nz (τ xz ex + τ yz ey + σ zz ez )

r (nxσ xx + nyτ xy + nzτ xz ) ex r  = (nxτ yx + nyσ yy + nzτ yz ) ey (n τ + n τ + n σ ) er y zy z zz z  x zx

Ce qui revient à effectuer le produit d’une matrice par la normale :

 σ xx r  Tn =  τ yx τ  zx

τ xy τ xz  nx    σ yy τ yz  ny  τ zy σ zz  nz 

⇒

r r Tn = T n

Tenseur des Contraintes

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Ce tenseur des contraintes peut alors se décomposer en la somme d’un tenseur sphérique et d’un tenseur de trace nulle :

T = αI + T'  σ 'xx   τ yx τ  zx

1 0 0   α 0 1 0 0 0 1   Ainsi :

σ xx = α + σ 'xx  σ yy = α + σ 'yy σ = α + σ ' zz  zz

et

τ xy τ xz  Tenseur des  σ 'yy τ yz  contraintes τ zy σ 'zz  de viscosité

σ 'xx +σ 'yy +σ 'zz = 0 = −3α + σ xx + σ yy + σ zz ⇒ α = 13 (σ xx + σ yy + σ zz ) =

1 3

Tr(T )

r r r r r r Tn = T n = α I n + T ' n = αn + T ' n r r r r r r r dF = TndS = αndS + T ' ndS ⇒ dF = − pn dS + T ' n dS force normale force de pression ⇒ à la surface hydrostatique

α = −p

où p = − 13 Tr(T ) et

Tr(T ') = 0

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2 - Application du Principe Fondamental de la Dynamique De la même façon que l’on a établi l’équation fondamentale de la statique des fluides, nous allons établir l’équation fondamentale de la Dynamique en appliquant le principe fondamental de la dynamique à un élément de volume fluide en mouvement. Il nous faut donc faire le bilan des forces s’exerçant en surface et en volume.

r r r r dv dF = dFS + dFV = ρ dV dt forces de surface ⇓

forces de volume
poids :

r r r dFS x ex + dFS y ey + dFS z ez

r ρ dVg

Intéressons-nous à la composante suivant y

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r r n = ez [τ yz ]z + dz dxdy

r

− [σ yy ]y dxdz

r r n = −ey

z

y x

r r dF = T n dS r

− [τ yx ]x dydz n = −e x [σ yy ]y + dy dxdz [τ yx ]x + dx dydz

r r n = ex

− [τ yz ]z dxdy

r r n = −ez

r r n = ey σ r  xx dF =  τ yx τ  zx

τ xy τ xz  r σ yy τ yz  n dS τ zy σ zz 

∂τ yx  [τ yx ]x + dx = [τ yx ]x + dx  dFS y = ([τ yx ]x + dx − [τ yx ]x ) dydz ∂x  ∂σ yy  où [σ yy ]y + dy = [σ yy ]y + dy + ([σ yy ]y + dy − [σ yy ]y ) dxdz ∂y  + ([τ yz ]z + dz − [τ yz ]z ) dxdy ∂τ yz   [τ yz ]z + dz = [τ yz ]z + ∂z dz ∂τ yx ∂σ yy ∂τ yz ⇒ dFS y = dxdydz + dydxdz + dzdxdy ∂x ∂y ∂z

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dFS y =

dFS y

∂τ yx ∂x

dxdydz +

dV ∂σ yy

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∂σ yy ∂y

∂τ yz  ∂τ yx =  + + ∂y ∂z  ∂x

dydxdz +

dV

∂τ yz ∂z

dzdxdy

dV

  dV 

Et par analogie, suivant les autres axes :

∂τ  ∂σ ∂τ  dFS x =  xx + xy + xz  dV ∂y ∂z   ∂x

∂τ  ∂τ ∂σ zz   dV dFS z =  zx + zy + ∂y ∂z   ∂x

Ce qui peut s’écrire comme :

 σ xx r r dFS = ∇  τ yx τ  zx

τ xy τ xz   r σ yy τ yz  dV = ∇T dV τ zy σ zz 

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Par conséquent :

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r r r r dv dF = dFS + dFV = ρ dV dt

r r r dv ⇒ ∇T dV + ρ g dV = ρ dV dt r r r dv ⇒ ∇T + ρ g = ρ dt On peut alors faire apparaître les deux parties du tenseurs des contraintes :

T = − pI + T '

 p 0 0 r r r r  r ∇T = −∇ 0 p 0  + ∇T ' = −∇p + ∇T '    0 0 p Soit finalement :

r r r r dv ρ = −∇p + ∇T ' + ρ g dt

équation fondamentale de la dynamique (équation locale)

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3 - Fluide newtonien et équation de NavierNavier-Stokes Par définition, les fluides « newtoniens » sont ceux pour lesquels les composantes du tenseur des contraintes de viscosité T ' dépendent linéairement des composantes du tenseur des taux de déformation pure e. Remarque : Une rotation pure n’engendre aucune déformation : par conséquent il n’y a pas de contrainte. C’est pourquoi T ' et ω ne sont pas liés. Remarque : Tous les fluides que l’on étudiera pourront être considérés newtoniens.

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Considérons les éléments tensoriels de e :

 ∂v i ∂v j   + eij =    ∂x j ∂xi 

on rappelle que ce tenseur est symétrique, car eij = e ji

1 2

On admettra alors que pour un fluide isotrope, les éléments tensoriels de T ' et e sont liés par la relation suivante :

σ 'ij = 2µ eij + µ' (exx + eyy + ezz )δ ij viscosité

viscosité de dilatation

symbole de Kronecker

rr ∂v x ∂v y ∂v z On remarque que : exx + eyy + ezz = + + = ∇v ∂x ∂y ∂z rr Donc, si le fluide est incompressible, on a ∇v = 0 et dans ce cas :

σ 'ij = 2µ eij ⇒

T ' = 2µ e

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Reprenons l’équation fondamentale de la dynamique :

r r r r dv ρ = −∇p + ∇T ' + ρ g dt

Pour un fluide incompressible newtonien, cette équation devient donc :

r r r r dv ρ = −∇p + 2µ ∇e + ρ g dt r Explicitons le terme ∇e :

⇒

r ∇e =

 ∂eij  r  ∑i  ∑j ∂x  ei j  

où eij =

r ∇e =

 1 ∂ 2v i ∑i ∑j  2 ∂x 2 + j 

∂ 2v j  r  ei ∂x j ∂x i 

1 2

1 2

 ∂v i ∂v j  +  ∂x ∂x i  j

   

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r ∇e =

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 1 ∂ 2v i ∑i ∑j  2 ∂x 2 + j 

2  vi ∂ 1  = 2∑ ∑ 2  ∂ x i  j j

1 2

∂ 2v j  r  ei ∂x j ∂x i 

r  ei +  

1 2

∂ ∑i ∂x i

rr ∇v r rr ∇(∇v )

∆v i r ∆v r Il reste alors : ∇e =

 ∂v j ∑  j ∂x j 

1 2

r  ei =  

1 2

r 1 r rr ∆v + 2 ∇(∇v ) car fluide incompressible

r ∆v

Ce qui conduit à :

r r r r dv ρ = −∇p + 2µ ∇e + ρ g dt

équation fondamentale de la dynamique pour un fluide newtonien incompressible

⇒

r r r r dv ρ = −∇p + µ ∆v + ρ g dt équation de Navier-Stokes (équation locale)

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r dérivée instantanée r r r dv ρ = −∇p + µ ∆v + ρ g dérivée convective r r dt rr r dv ∂v
dérivée particulaire : = + (v ∇) v dt ∂t r r r r r r r  ∂v ⇒ ρ + (v ∇) v  = −∇p + µ ∆v + ρ g  ∂t  r r En posant g = −gez , la projection de l'équation de Navier-Stokes sur les 3 axes du repère cartésien donne :

  ∂v x  ∂ 2v x ∂ 2v x ∂ 2v x  ∂p ∂v x ∂v x ∂v x    = − + µ  + + + vx + vy + vz  ρ  2 2 2  ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z   ∂x   ∂t   ∂v y  ∂ 2v y ∂ 2v y ∂ 2v y  ∂v y ∂v y ∂v y  ∂p   = − + vx + vy + vz + µ + +  ρ  2 2 2   ∂x ∂y ∂z  ∂y ∂z  ∂y   ∂t  ∂x   ∂v  ∂ 2v z ∂ 2v z ∂ 2v z  ∂p ∂v z ∂v z ∂v z  z  − ρg  = − + vx + vy + vz + µ  + +  ρ  2 2 2  ∂x ∂y ∂z  ∂z ∂y ∂z    ∂t  ∂x

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4 - Equation fondamentale en volume et théorème d’Euler d’Euler a) Théorème de transport de Reynolds Considérons une grandeur scalaire fonction des coordonnées de r l’espace et du temps : f (r , t ) Sur ler volume Vs d’un système de particules fluides, l’intégrale de f (r , t ) s’écrit : r

F =

∫∫∫

VS

f (r , t ) dV

Si l’on souhaite évaluer les variations de F dans le temps, il nous faut calculer :

dF d = dt dt

∫∫∫

VS (t )

r f (r , t ) dV

Le problème est qu’ici Vs est une fonction du temps : en effet le système de particules fluides est en mouvement.

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La parade consiste à utiliser un volume fixe Vc (volume de contrôle), délimité par une surface Sc (surface de contrôle) à travers laquelle on pourra comptabiliser le flux de f :

S

dF d = dt dt

c

dF = dt

VS(t) = Vc

VS(t+dt)

∫∫∫

Vc

∫∫∫

r f (r , t ) dV

VS (t )

∂f dV + ∂t

dérivée locale

Variations instantanées de f dans le volume de contrôle Flux de f à travers la surface de contrôle

∫∫

rr f v.n dS

Sc

dérivée convective

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Prenons un exemple concret : Dans ce cas : F =

∫∫∫

VS

r r f (r , t ) ≡ ρ (r , t ) masse volumique

r f (r , t ) dV ≡

∫∫∫

VS

r ρ (r , t ) dV = M masse de VS

La variation de masse s’exprime donc comme :

dM = dt

∫∫∫

Vc

∂ρ dV + ∂t

∫∫

r r

Sc

ρ v.n dS variation de masse due au flux massique à travers la surface de contrôle

variation de masse due aux variations instantanées de ρ

Utilisons la formule d’Ostrogradski pour transformer l’intégrale de surface en une intégrale de volume :

∫∫

S

r r A.n dS =

∫∫∫

V

rr ∇A dV

⇒

∫∫

Sc

r r ( ρv ).n dS =

∫∫∫

Vc

r r ∇( ρv ) dV

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CH III - Dynamique

Il s’en suit :

dM = dt

∫∫∫

Vc

∂ρ dV + ∂t

∫∫

Sc

r r ρ v.n dS =

⇒

dM = dt

∫∫∫

Vc

∂ρ dV + ∂t

∫∫∫

Vc

r r ∇( ρv ) dV

 ∂ρ r r  + ∇( ρv ) dV  Vc  ∂t 

∫∫∫

équation de continuité

Ainsi, si l’écoulement est conservatif, on retrouve bien :

dM =0 dt

autrement dit, il n’y a pas de variation de masse

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CH III - Dynamique

b) Théorème de transport appliqué à la quantité de mouvement La quantité de mouvement d’un système fluide de volume VS s’écrit : r

∫∫∫

ρv dV

VS

Or, le principe fondamental de la dynamique nous dit que la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement doit être égale à la somme des forces agissant sur le système :

d dt

∫∫∫

VS

r r r ρv d V = R + P forces de volume (poids)

forces de surface

∫∫

SS

r T n dS

∫∫∫

VS

r

ρ g dV

calcul trivial calcul d’accès ⇒ difficile

il est généralement plus simple de calculer la variation de quantité de mouvement

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r r d Ainsi : R + P = dt

=

CH III - Dynamique

∫∫∫

VS

 

∑ ∫∫∫ i

r ρv dV =

Vc

∑ i

d  dt

∂( ρvi ) dV + ∂t

∫∫∫

VS

r ρvi dV  ei 

rr r ( ρvi ) vn dS  ei Sc 

∫∫

r  rr  ∂( ρv i ) r   ei  dV + ( ρv i )ei  vn dS ∑ ∑   Vc  i Sc  i ∂t   r r rr ∂( ρv ) dV + ( ρv ) vn dS Vc Sc ∂t

=

∫∫∫

=

∫∫∫

dérivée instantanée de la quantité de mouvement

∫∫

∫∫

débit de quantité de mouvement à travers la surface de contrôle

Pour un écoulement stationnaire, la dérivée instantanée est nulle, et donc :

r r R+P =

∫∫

Sc

r rr ( ρv ) vn dS

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CH III - Dynamique

c) Théorème d’Euler Appliquons le résultat précédent au cas d’un tube de courant :

S2 S1 r n1

r v1

r v2 r n2

r nl

r vl

Sl

On supposera la vitesse constante en tout point d’une même section ; l’écoulement sera supposé stationnaire.

r r R+P = r r R+P =

∫∫

S1

∫∫

S1 + S2 + Sl

r r r ( ρv1 ) v1n1 dS +

− v1 r − ρv1v1S1

∫∫

S2

r rr ( ρ v ) vn d S

r r r ( ρv2 ) v2n2 dS +

r

v2

ρv2v2S2

∫∫

Sl

r r r ( ρv l ) v l nl dS

0

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CH III - Dynamique

r r r r Il reste : R + P = − ρv1v1S1 + ρv2v2S2 Or, on sait que dans un tube de courant le débit massique est conservé :

qm = ρv1S1 = ρv2S2

D’où le résultat simple suivant :

r r r r R + P = qm(v2 − v1 ) Théorème d’Euler

Remarque : ce théorème permet d’obtenir simplement la résultante des forces de surface (notamment les forces de frottement) sans avoir à recourir au tenseur des contraintes.

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CH IV

Application aux Fluides Parfaits Incompressibles

Nous allons appliquer les équations fondamentales de la dynamique au cas de fluides parfaits (non visqueux) et incompressibles.

1 - Equation de Bernoulli Partons de l'équation fondamentale de la dynamique et considérons l’écoulement stationnaire d’un fluide parfait incompressible :

r r r r r r r  ∂v ρ + (v ∇) v  = −∇p + µ ∆v + ρ g  ∂t  écoulement stationnaire

⇒

r r rr r ρ (v ∇) v = −∇p + ρ g

fluide parfait donc non visqueux

r r r r Si g = − gez , alors on peut écrire : ρ g = −∇( ρ gz ) Par ailleurs, on vérifie toujours l’égalité vectorielle suivante :

r r rr r 1 r r r r (v∇)v = 2 ∇(vv ) − v ∧ (∇ ∧ v )

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Par conséquent :

r r rr r ρ (v ∇) v = −∇p + ρ g

⇒

1 2

r rr r r r r r ρ∇(vv ) − ρv ∧ (∇ ∧ v ) = −∇p − ∇( ρ gz )

r 1 2 r r r r r ∇(2 ρv ) + ∇p + ∇( ρ gz ) = ρv ∧ (∇ ∧ v )

⇒ ⇒

⇒

r 1 2 r r r ∇(2 ρv + p + ρ gz ) = ρv ∧ (∇ ∧ v ) r 2Ω 2Ω r 1 2 r r ∇(2 ρv + p + ρ gz ) = 2 ρ v ∧ Ω

r r Si l’écoulement est irrotationnel : Ω = 0 et par conséquent : r r 1 2 ∇(2 ρv + p + ρ gz ) = 0 Donc :

1 2

ρv 2 + p + ρ gz = Cte en tout point de l’écoulement si celui-ci est irrotationnel.

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Si l’écoulement n’est pas irrotationnel :

r r r r * rr r ρ (v ∇) v = −∇p − ∇( ρ gz ) = −∇( p + ρ gz ) = −∇p

p*: pression motrice r es r en

r v Ψ = Cte

Le long d’une ligne de courant, dans le repère de Frenet le vecteur vitesse r r s’exprime :

v = ves

Dans ce même repère, on a :

r rr ∂ r ∂ v ∇ = (ves ).( es ) = v ∂s ∂s

r ∂ ∂p* r ∂p* r D’où : ρ v (ves ) = − es − en ∂s ∂s ∂n r r r r ∂v ∂e ∂v e es + v s = es + v n ∂s ∂s ∂s R ∂v r v2 r ∂p* r ∂p* r Soit : ρv en es + ρ en = − es − ∂s R ∂s ∂n

 ∂v ∂p* =− ρv   ∂s ∂s  2 * v ∂ p  ρ =−   R ∂n

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 ∂v ∂p* =− ρv   ∂s ∂s  2 * v ∂ p  ρ =−   R ∂n

r es (i) (ii)

p + ρ gz +

1 2

Ψ = Cte

r en

2 ∂ 1 2 ∂v ∂ v 1 = (2 ρv ) (i) ρ v = ρ2 ∂s ∂s ∂s ∂ 1 2 ⇒ (2 ρv + p* ) = 0 ⇒ ∂s

⇒

r v

⇒

∂ 1 2 ∂p* (2 ρv ) = − ∂s ∂s

∂ 1 2 (2 ρv + p + ρ gz ) = 0 ∂s

ρv 2 = Cte le long d’une même ligne de courant.

équation de Bernoulli

v2 ∂p* (ii) ρ =− R ∂n

⇒

∂p* <0 ∂n

La pression motrice diminue quand on se rapproche du centre de courbure.

p*


Si les lignes de courants sont rectilignes et parallèles, alors la pression motrice reste constante dans la direction perpendiculaire.

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2 - Interprétation de l'équation de Bernoulli a) Interprétation en énergie Multiplions tous les termes de l’équation de Bernoulli par un volume V : 2 te 1

p.V + ρ gz.V +

p.V

2

ρv .V = C × V

⇒ travail des forces de pression : énergie potentielle due aux forces de pression.

ρ gz.V = mgz

⇒ énergie potentielle due aux forces de pesanteur.

1 2

ρv 2.V = 12 mv 2

⇒ énergie cinétique.

Cte × V = Em

⇒ énergie totale : énergie mécanique. E Par conséquent : p + ρ gz + 1 ρv 2 = m correspond à une 2 V énergie mécanique par unité de volume (si V=1).

L’énergie mécanique reste alors constante le long d’une ligne de courant (il n’y a pas de dissipation d’énergie).

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b) Interprétation en pression

p + ρ gz +

p

1 2

ρv 2 = C te

⇒ pression statique (elle existe même s’il n’y a pas de mouvement)

p + ρ gz = p* 1 2

ρv 2

⇒

pression motrice (elle génère le mouvement)

⇒ pression cinétique

p + ρ gz +

(elle résulte du mouvement) 1 2

ρ v 2 = Pt

⇒ pression totale (ou charge)

L’équation de Bernoulli montre alors que la charge reste constante le long d’une même ligne de courant (  pas de perte de charge dans l’écoulement d’un fluide parfait).

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3 - Applications a) Sondes de pression - Tube de Pitot L’étude de la cinématique des écoulements a permis de montrer que des obstacles pouvaient générer un ou plusieurs point(s) d’arrêt. Par exemple, la superposition d’un écoulement uniforme avec une source peut modéliser l’écoulement autour d’un objet appelé demisolide de Rankine.

U∞ A

demi-solide de Rankine

Ainsi, en amont de cet objet l’écoulement peut être considéré uniforme, de vitesse U∞. Un point d’arrêt A est généré sur le front d’attaque de l’objet.

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U∞ A

demi-solide de Rankine

Le long d’une même ligne de courant on vérifie :

p + ρ gz +

1 2

ρv 2 = C te

Considérons la ligne de courant passant par le point d’arrêt et appliquons Bernoulli entre le point A et un point situé loin en amont :

p∞ + ρ gz ∞ +

1 2

ρv ∞2 = pA + ρ gz A + U∞2

⇒

p∞ + ρ gz ∞ +

1 2

1 2

ρv A2 0

ρU∞2 = pA + ρ gz A

Et si l’écoulement a lieu dans un plan tel que z = Cte, alors :

p∞ +

1 2

ρU∞2 = pA

la pression pA est ainsi appelée pression de stagnation.

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∆h B’ B O’ O

U

A tube de Pitot-double

En O et O’, l’écoulement est supposé uniforme, de vitesse U. Les lignes de courant étant supposées rectilignes et parallèles, la pression est la même en O et O’ ⇒ p0 = pO’ Pour les mêmes raisons, la pression est la même en B et B’ ⇒ pB = pB’ Le fluide étant immobile à l’intérieur de la sonde, la pression y est uniforme et égale à la pression en B. ⇒ le premier manomètre donne la pression en A ⇒ le second manomètre donne la pression en B

pA − pB = ρ g∆h

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∆h B’ B O’ O

A

U

tube de Pitot-double

En appliquant Bernoulli entre O et A, on a : pO + Puis entre O’ et B’ : pO' +

1 2

1 2

ρU 2 = pA

ρU 2 = pB' + 12 ρvB2'

On peut alors faire l’hypothèse que l’écoulement est redevenu uniforme loin après le front de l’objet : v B' = U D’où : pO' = pB'

⇒ pO = pB

Or, on a vu que : pO' = pO et

Par conséquent : pB +

1 2

ρU 2 = pA

pB' = pB

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∆h B’ B O’ O

U

A tube de Pitot-double

pB +

1 2

ρU 2 = pA

⇒

1 2

ρU 2 = pA − pB = ρ g∆h

⇒

U = 2g∆h

différents types de sondes de Prandtl (tubes de Pitot-double)

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b) Phénomène de Venturi - Mesure de débit Considérons une conduite le long de laquelle a été placé un rétrécissement : z C’

A’ B’

A

B

C

On dispose de 3 sondes de pression (manomètres) placées :  en amont du rétrécissement ⇒ pA  au niveau du rétrécissement ⇒ pB  en aval du rétrécissement ⇒ pC (sonde facultative)

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z C’

A’ B’

A

B

C

En dessous chaque prises de pression, les lignes de courant peuvent être considérées rectilignes et parallèles : dans la direction perpendiculaire (suivant z) les lois de l’hydrostatique s’appliquent à la pression :

 pA = pA ' + ρ gz A'   pB = pB' + ρ gzB'  p = p + ρ gz C' C'  C

où pA ' = pB' = pC ' = patm

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z C’

A’ B’

B

A

C

Appliquons Bernoulli sur la ligne de courant passant par A, B et C :

pA + ρ gz A +

1 2

ρ v A2 = pB + ρ gzB +

1 2

ρ vB2 = pC + ρ gzC +

1 2

ρ v C2

z A = zB = z C = 0 ⇒ patm + ρ gz A ' +

1 2

ρ v A2 = patm + ρ gzB' +

2 v ⇒ z A ' + 12 A = zB' + g

1 2

ρ vB2 = patm + ρ gzC ' +

2 v B 1 = zC ' + 2 g

2 v C 1 2 g

1 2

ρ v C2

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z C’

A’ B’

B

A

zA ' +

1 2

v A2 = zB' + g

1 2

C

vB2 = zC ' + g

1 2

vC2 g

On sait par ailleurs que le débit volumique est conservé :

qv = SAv A = SBvB = SCvC Remarquons que :

SA > SB

(rétrécissement)

(en supposant la vitesse uniforme sur une même section)

⇒

v A < vB (accélération)

⇒

z A' > zB' (dépression)

et que si SA = SC alors v A = v C et z A ' = zC ' : la 3ème sonde ne servira que pour une étude des pertes de charge (cf CH V)

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z C’

A’ B’

B

A

2 v z A ' + 12 A = zB' + g

C

2 v B 1 2 g

⇒

∆z = z A ' − zB' =

SAv A = SBvB

⇒

vB = v A

Donc : ∆z =

1 2 2 2 v A (SA SB − 1) 2g

SA SB

soit : v A =

Le débit dans la conduite s’obtient par : qv = SA

1 (vB2 − v A2 ) 2g

2g∆z (SA SB )2 − 1 2g∆z (SA SB )2 − 1

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z C’

A’ B’

A

Exprimé en fonction du diamètre D de la conduite et du diamètre d du rétrécissement, le débit s’exprime :

qv =

π D2 4

2 g ∆z (D d )4 − 1

B

C

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c) Ecoulement par orifice - Formule de Torricelli Considérons la vidange d’un réservoir par un orifice placé sous la surface libre : z zA

Appliquons Bernoulli entre un point A de la surface libre et un point M du jet :

A

pA + ρ gzA +

h zM 0

M

1 2

ρv A2 = pM + ρ gzM + 12 ρvM2

Hypothèse : dans le jet, les lignes de courant sont rectilignes parallèles, donc dans la direction transverse on peut y appliquer les lois de l’hydrostatique. Les variations d’altitude étant négligeables, la pression statique peut alors être considérée uniforme dans tout le jet.

Comme il n’y a pas de discontinuité de pression à l’interface jetatmosphère, la pression statique dans le jet est égale à la pression atmosphérique. Par conséquent :

pA = pM = patm

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pA + ρ gzA +

1 2

ρv A2 = pM + ρ gzM + 12 ρvM2

patm

z zA

patm

⇒

ρ gzA + 12 ρv A2 = ρ gzM + 12 ρvM2

Hypothèse : la vitesse de descente du niveau de la surface libre peut être considérée négligeable devant celle du fluide s’écoulant dans le jet.

A

⇒

h

v A << vM

Par conséquent : M

zM

ρ g(zA − zM ) = h

0 contraction du jet

S

σ

1 2

ρ(vM2 − v A2 ) ≈

⇒

1 2

ρvM2

vM = 2gh

formule de Torricelli

Calcul du débit :

qv = σ vM = σ 2gh

où σ = Cc S coefficient de contraction

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CH IV - Fluides Parfaits Incompressibles

Le coefficient de contraction dépend de la géométrie de l’orifice. De manière générale, Cc est déterminé expérimentalement et tabulé :

parois minces

Cc = 0,61

orifice à bords profilés

Cc = 1,00

orifice à bords rentrants

Cc = 0,50

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d) Phénomène de cavitation Le phénomène de cavitation correspond à la formation de bulles de vapeur au sein d’un liquide en mouvement. En conséquence de l’équation de Bernoulli, quand la vitesse augmente la pression diminue. Si pression tombe en dessous de la pression de vapeur saturante, alors le liquide s’évapore ⇒ formation de bulles. En pratique, et dans la plupart des cas, ce phénomène est gênant. Par exemple :  la cavitation est consommatrice d’énergie énergie consommée pour la formation des bulles (transition de phase) + contraintes

 la cavitation est à l’origine de la détérioration prématurée des hélices de navires Les bulles créées par cavitation migrent spontanément vers les zones où la pression du fluide est plus élevée : elles éclatent et le choc mécanique engendre des détériorations.

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CH V

Dynamique des Fluides Réels

1 - Généralités Etudier l’écoulement d’un fluide réel revient à résoudre l’équation de Navier-Stokes. Mais en pratique, cette équation ne peut se résoudre analytiquement qu’en posant des hypothèses simplificatrices. Notamment, on va devoir distinguer deux grands types d’écoulement : en régime laminaire ou en régime turbulent colorant

laminaire

transitoire

turbulent

CH V - Dynamique des Fluides Réels

Université d’Angers - LPA y

M

M

z x

r r r r vM = uMex + vMey + wMez uM(t ), vM(t ) << wM(t ) uM t = uM t = 0

uM = vM = 0 r r vM = wMez wM

wM laminaire turbulent t

En régime laminaire, on pourra généraliser l’équation de Bernoulli en introduisant la notion de pertes de charge dues à la viscosité.

t

En régime turbulent, on devra utiliser des relations empiriques généralement déterminées expérimentalement

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CH V - Dynamique des Fluides Réels

Comment caractériser le régime d’un écoulement ? ⇒ c’est le résultat des travaux d’O. Reynolds : Il a réalisé une étude systématique du régime d’écoulement en fonction des différents paramètres intervenant dans le problème : débit, viscosité, géométrie de la conduite... Il a ainsi montré que la transition du régime laminaire au régime turbulent ne dépend pas séparément de chacun des paramètres mais d’une seule grandeur les regroupant tous.
le nombre de Reynolds

ρvD vD Re = = µ ν ρ : masse volumique [ρ]=M.L-3 µ : viscosité [µ]=M.L-1.T-1 ν : viscosité cinématique [ν]=L2.T-1 [v]=L.T-1

v : vitesse D : diamètre [D]=L

[Re]=0

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 Le nombre de Reynolds est donc une grandeur sans dimension.  La transition d’un régime laminaire à un régime turbulent s’observe pour Re ≈ 2000 = Rec (nombre de Reynolds critique) laminaire 0

turbulent Rec

Re

On peut étendre le domaine où le régime est laminaire au delà de Rec, à condition de prendre certaines précautions (éviter les perturbations)

 En tout état de cause, on sait que l’écoulement est laminaire si son nombre de Reynolds est inférieur à 2000 (quelles que soient les perturbations subies par le système).

CH V - Dynamique des Fluides Réels

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2 - Ecoulement laminaire & Pertes de charge régulières Partons de l’équation de Navier-Stokes obtenue pour un fluide newtonien incompressible :

r r r r dv ρ = −∇p + µ ∆v + ρ g dt Pour un écoulement stationnaire, on a :

r r rr r rr r 1 r 2 r r r dv ∂v = + (v ∇)v = (v ∇)v = 2 ∇v − v∧(∇∧v ) dt ∂t 0 r r r r r r r 2 1 D’où : ρ ∇v − ρ v∧(∇∧v ) = −∇p + µ ∆v + ρ g 2 r 1 2 r r r r r r ∇(2 ρv ) − ρ v∧(∇∧v ) = −∇p + µ ∆v − ∇( ρ gz ) r r r r r 2 1 ∇( p + ρ gz + 2 ρv ) = µ ∆v + ρ v∧(∇∧v ) r r r = µ ∆ v + 2 ρ v ∧Ω

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r ∇( p + ρ gz +

1 2

r r r ρv ) = µ ∆v + 2 ρ v∧Ω 2

Projetons cette égalité vectorielle le long d’une ligne de courant :

r ∇(p + ρ gz +

[

]

r r r r r ρv ).dses = µ ∆v + 2 ρ v∧Ω .dses r r r (v∧Ω).es = 0 r r ⊥v // v r r r r 2 1 ⇒ ∇(p + ρ gz + 2 ρv ).dses = µ ∆v.dses 1 2

2

Puis projetons sur chacun des 3 trois axes d’un repère cartésien :

r r r r dses = dxex + dyey + dzez r ∂(.) r ∂(.) r ∂(.) r ∇(.) = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z r r r r ∆v = ∆v x ex + ∆vy ey + ∆v z ez

∂ 2 1 ρ ρ + + ( p gz v )dx = µ ∆v x dx  ∂x 2  ∂ ⇒  ( p + ρ gz + 12 ρv 2 )dy = µ ∆v y dy  ∂y  ∂ ( p + ρ gz + 1 ρv 2 )dz = µ ∆v dz z 2  ∂z

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∂ 2 1 ρ ρ p + gz + v ( )= µ ∆v x 2  ∂x  ∂ Soit :  ( p + ρ gz + 12 ρv 2 )= µ ∆v y  ∂y  ∂ ( p + ρ gz + 1 ρv 2 )= µ ∆v z 2  ∂z Supposons alors que l’écoulement laminaire s’effectue suivant l’axe x. Dans ces conditions, on a :

v x = v r v v y = 0 v = 0  z

⇒

r r v = vex

 ∂Pt  ∂x = µ ∆v   ∂P ⇒ t=0  ∂y  ∂Pt = 0   ∂z

et si on pose : p +

ρ gz + 12 ρv 2 = Pt

Pt ( x, y , z ) = Pt ( x )  ⇒  dP  t = µ∆v  dx

charge (pression totale)

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 ∂2v ∂2v ∂2v  dPt = µ∆v = µ  2 + 2 + 2  dx ∂y ∂z   ∂x

0

0

rr ∂v x ∂v y ∂v z Mais d’après l’équation de continuité : ∇v = 0 ⇔ + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂v x ∂v ⇒ =0⇔ =0 ∂x ∂x

 ∂2v ∂2v  dPt D’où : = µ  2 + 2  = Cte ∀(x, y , z ) dx ∂z   ∂y P t

fonction de x

fonction de y et z

On peut en déduire que la charge varie linéairement avec la distance parcourue par le fluide.

dPt = Cte < 0 dx

r v

on peut déjà supposer que que la charge diminue avec la progression de l’écoulement.

x

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Pt

Pt 1 = Pt 2 + ∆Pt

Pt1

∆Pt

Pt2

x2

x1

dPt Pt 2 − Pt1 ∆Pt = =− dx x2 − x1 x2 − x1 x

⇒ ∆Pt = −

dPt dP Pt1 = Pt 2 − ( x2 − x1 ) dx ⇒ p1 + ρ gz1 +

1 2

Cte < 0

ρv12 = p2 + ρ gz2 + 12 ρv22 −

pression totale en (1)

dPt ( x2 − x1 ) > 0 dx

pression totale en (2)

dPt ( x2 − x1 ) dx

perte de charge régulière

∆Pt > 0 Il reste alors à caractériser le gradient de pression totale

dPt . dx

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3 - Ecoulement de Poiseuille Considérons l’écoulement laminaire d’un fluide dans une conduite cylindrique, de rayon R, posée à l’horizontale :

r v

z

r

θ

y x

r r v = v ex ⇒ v r = vθ = 0 Dans ces conditions, on peut écrire :

dPt = µ ∆v dx

Par ailleurs, l’équation de continuité impose :

rr ∇v = 0

0

⇒

∂v x ∂v 1 ∂ 1 ∂vθ ∂v x = =0 + (r v r ) + =0 ⇒ ∂x ∂x r ∂r r ∂θ ∂x 0

Et la géométrie du système est telle qu’il y a symétrie de révolution :

∂ ∂v =0 =0 ⇒ ∂θ ∂θ

Donc, finalement :

v(x, r , θ ) = v(r )

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Par conséquent, le Laplacien s’exprime comme :

1 ∂  ∂v  1 ∂ 2v ∂ 2v 1 ∂  ∂v  ∆v = + = + 2 r r  2 2 r ∂r  ∂r  r ∂θ ∂x r ∂r  ∂r  0

Et il s’en suit :

0

dPt 1 ∂  ∂v  =µ r  = C te = A dx r ∂r  ∂r  fonction de x

fonction de r

Il est alors possible d’en déduire le profil de vitesse v(r) par simple intégration :

1 ∂  ∂v  A r = r ∂r  ∂r  µ ⇒

dv Ar B = + dr µ2 r

 dv  A r = r  dr  µ

⇒

d dr

⇒

A r2 v(r ) = + B ln r + C µ 4

⇒

dv A r2 r = +B dr µ 2

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A r2 v(r ) = + B ln r + C µ 4

Constantes à déterminer à l’aide des conditions aux limites

Au contact des parois de la conduite, en r = R, le fluide est immobile : 2

v(R) = 0

AR + B ln R + C = 0 µ 4

⇒

Sur l’axe de la conduite, en r=0, la vitesse est nécessairement de valeur finie :

v(0) ≠ ∞

D’où :

R

B = 0 et

⇒

A R2 C =− µ 4

B ln 0 + C ≠ ∞ ⇒

v(r ) = −

⇒

B=0

A (R2 − r 2 ) 4µ

profil de vitesse parabolique

r v(r ) x

Remarque : pour avoir v(r)>0 ∀ r
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v(r ) = −

r v(r )

R

x

avec

où dS = 2π rdr

R

A ⇒ qv = v(r )2π rdr = − 2π 0 4µ

∫

A qv = −2π 4µ

A=

dPt <0 dx

La pression totale (la charge) diminue avec la progression du fluide

Calcul du débit volumique à travers une section du tube :

dqv = v(r )dS

A (R2 − r 2 ) 4µ

∫

R

0

r

(R − r )rdr 2

2

R

dr

 2 r2 r4  A R4 A 4 dP −  = −2π = −π R où A = t et R = D R 2 4 0 4µ 4 8µ dx 2 

⇒ qv = −

π

 dP  4  t D 128 µ  dx 

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On peut alors définir une vitesse moyenne de l’écoulement :

vm =

qv S

Par ailleurs, si l’on considère une conduite de longueur L, la perte de charge totale s’exprime : r v(r ) 1  dP  R t

∆Pt = Pt1 − Pt2 =

∫  dx dx 2

x1

x2

x

Cte

⇒

 dPt  1  dPt  ∆Pt =  d x =   ( x1 − x2 )  dx  2  dx  -L

∫

⇒

 dP  ∆Pt = − t L  dx 

Remarque : on constate que la perte de charge est proportionnelle à la distance parcourue → on dit que la perte de charge est régulière.

Or, on a trouvé l’expression du débit :

⇒

qv =

π

∆Pt 4 D 128 µ L

qv = −

π

 dP  4  t D 128 µ  dx 

il s’agit de la formule de Poiseuille

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On peut encore exprimer la perte de charge totale en fonction du débit ou de la vitesse moyenne de l’écoulement :

π

∆Pt 4 qv = v mS = D 128 µ L

S π D2 4 ⇒ ∆Pt = 128 µ Lv m = 128 µ Lv m π D4 π D4

⇒ ∆Pt =

32 µ Lv m D2

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4 - Coefficient de perte de charge Il est d’usage d’exprimer la perte de charge en fonction de la pression cinétique de l’écoulement dans la conduite : Dans ce cas :

∆Pt =

1 2

2 ρvm

32 µ Lv m  32 µ Lv m 2 1 2   ρv m = ⋅ 2 2 2 2  ρv m  D D  64 µ L 64 µ L L 64 L = = = λ ρv mD D Re D D ρD2vm

Donc, pour un écoulement laminaire dans une conduite, on a :

∆Pt = λ où λ =

L 1 2 ⋅ 2 ρvm D

coefficient sans dimension

64 est le coefficient de perte de charge régulière. Re

Remarque : ceci n’est valide que pour Re<2000.

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On peut alors généraliser l’équation de Bernoulli : L3 D1

A

D2 D3

L1

L2

PtA = pA + ρgz A +

1 2

ρv A2

PtB = pB + ρgzB +

1 2

ρvB2

∆Pt = λ1

L1 D1

1 2

singularités

ρv12 + λ2

L2 D2

D4

L4 D5 D6

B

L5 L6 1 2

ρv22 + L + λ6

L6 D6

1 2

ρv62 + pertes de charge singulière s

PtA = PtB + ∆Pt ⇒ pA + ρgz A +

1 2

ρv A2 = pB + ρgzB + 12 ρvB2 + ∑ λi i

Li 1 2 pertes ρ v + i singulières Di 2

équation de Bernoulli généralisée

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pA + ρgz A +

1 2

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ρv A2 = pB + ρgzB + 12 ρvB2 + ∑ λi i

Li 1 2 pertes ρ v + i singulières Di 2

Remarque : cette équation reste valable même si l’écoulement n’est pas laminaire (Re>2000) ; la seule différence réside en l’expression du coefficient de perte de charge régulière qui doit être déterminé expérimentalement ou tiré d’abaques (λ ≠ 64/Re).

Il nous reste alors à étudier les pertes de charge dues aux singularités...

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5 - Pertes singulières - Théorème de Bélanger Considérons l’écoulement d’un fluide incompressible dans une conduite horizontale présentant un élargissement brusque, ce qui constitue une singularité :

x

S1 zone de stagnation

S2

Dû à son inertie, le fluide ne suit pas complètement les changements brusques de direction : il se crée des zones de turbulences où il y a dissipation d’énergie. Ces zones, où le fluide est globalement stagnant, sont responsables de pertes de charge singulières.

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r v2 r v1 P2

P1

x

S1 volume de contrôle

S2

On choisit un volume de contrôle sur lequel on applique le théorème d’Euler. On supposera que sur une même section (en amont et en aval du rétrécissement) les vitesses et pressions sont uniformes → on néglige donc les pertes de charge régulières au cours du rétrécissement. Dans ces condition, par projection sur l’axe x, on obtient :

qm(v2 − v1 ) = projection sur x de la résultante des forces exercées sur le volume de contrôle.

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r v2 r v1 P2

P1

x

S1 volume de contrôle

S2

qm(v2 − v1 ) = projection sur x de la résultante des forces exercées sur le volume de contrôle.

 poussée en amont : + P1S1  contre-poussée en aval : − P2S2  poussée de la paroi verticale sur la partie stagnante du fluide :

+ P(S2 − S1 )

où P = P1 (lois de l’hydrostatique)

⇒ qm(v2 − v1 ) = P1S1 − P2S2 + P1(S2 − S1 ) = (P1 − P2 )S2

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r v2 r v1 P2

P1

x

S1 volume de contrôle

S2

qm(v2 − v1 ) = (P1 − P2 )S2 Or, le fluide étant supposé incompressible, on doit avoir conservation du débit massique :

qm = ρv1S1 = ρv2S2

Par conséquent :

qm(v2 − v1 ) = ρv2S2 (v2 − v1 ) = (P1 − P2 )S2

⇒ P1 = P2 + ρv22 − ρv1v2 = P2 +

1 2

ρv22 + 12 ρv22 − ρv1v2 + 12 ρv12 − 12 ρv12 1 2

ρ(v1 − v2 )2

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r v2 r v1 P2

P1

x

S1 volume de contrôle

⇒ P1 +

1 2

S2

ρv12 = P2 + 12 ρv22 + 12 ρ(v1 − v2 )2 perte de charge due à la singularité

Exprimons cette perte de charge en fonction de la pression cinétique dans la conduite amont : 2

S1  1 ρ (v − v )2 = 1 ρ    = v − v 1 2 1 2 2  1 S2  

1 2

ρv12 (1 − S1 S2 )

2

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r v2 r v1 P2

P1

x

S1 volume de contrôle

S2

Finalement, on obtient :

P1 +

1 2

ρv12 = P2 + 12 ρv22 + 12 ρv12K nombre sans dimension : K = (1 − S1 S2 )2 coefficient de perte de charge singulière due à un élargissement brusque

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On peut ainsi compléter l’équation de Bernoulli généralisée : L3 A

D1

singularités

D2 D3

L1

L2

L4 D5

D4

D6

B

L5 L6

pA + ρgzA +

1 2

ρv A2 = pB + ρgzB + 12 ρvB2 + ∑ λi i

Li 1 2 ρv i + ∑ K j 2 Di j

coefficients de perte de charge singulière associés à chaque singularité rencontrée au cours de l’écoulement

Listons quelques singularités typiques...

1 2

ρv 2j

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S2

S1

Elargissement brusque

Coude brusque

K = (1 − S1 S2 )

2

K = sin2 α + 2 sin4 Sc S2

Rétrécissement brusque

K = (1 µ − 1)2 µ = Sc S2

Divergent

S1

α

α 2

Coude arrondi

α D

K =

[

R

α 72 0,131 + 1,847(D R ) π

]

S2

K = (1 − S1 S2 ) sin α 2

Convergent

S2

K = (1 µ − 1) sin α 2

α

α

Sc

Entrée brusque

Entrée progressive

K = 0,5

K = 0,04

Entrée d’une canalisation

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6 - Pertes de charge en régime turbulent En régime turbulent, le profil de vitesse dans une conduite cylindrique n’est plus parabolique : à cause des turbulences, les vitesses sont uniformisées sur un large domaine. On observe cependant une brusque variation de vitesse au voisinage des parois.

écoulement laminaire

Re < 2000

64 ⇒ λ = Re

écoulement turbulent

Re > 2000

ε  ⇒ λ = f  Re,  D 

On peut donc toujours utiliser l’équation de Bernoulli généralisée, mais les coefficients de perte de charge régulière λ devront être déterminés expérimentalement, ou bien tirés d’abaques ou de lois empiriques.

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Diagramme de Moody :

coefficient de perte de charge régulière

λ

λ=

64 Re

nombre de Reynolds

rugosité relative des parois de la conduite

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Analyse dimensionnelle & Similitudes

1 - Introduction Quand le système étudié est trop complexe pour permettre une résolution complète des équations fondamentales, ou bien lorsque son comportement est chaotique, l’analyse dimensionnelle donne accès de façon simple à des relations entre les différentes grandeurs caractérisant ce système. Le regroupement de ces différentes grandeurs en des nombres sans dimension permettra par ailleurs d’établir des similitudes entre les comportements de systèmes semblables mais différents (prototype/maquette).

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Prenons l’exemple de la détermination des pertes de charge régulières dans une conduite cylindrique : Les différentes grandeurs qui interviennent sont :

∆Pt la perte de charge par unité de longueur, L D le diamètre de la conduite,

ε

la rugosité de la conduite,

v la vitesse moyenne de l’écoulement (ou le débit),

µ ρ

la viscosité du fluide, la masse volumique du fluide.

Par conséquent, il existe une relation entre ces différentes grandeurs :

∆Pt = f (D, ε , v , µ , ρ ) L La fonction f peut s’avérer difficile à trouver ; l’analyse dimensionnelle va alors nous permettre d’établir une relation plus simple entre un nombre moins important de grandeurs sans dimension.

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Une méthode systématique va permettre de trouver 3 nombres sans dimensions :

Π1 =

∆Pt D =λ 2 L ρv

On pourra ainsi établir :

Π2 =

ρvD = Re µ

Π3 =

ε D

= εr

Π1 = Φ(Π 2 , Π3 )

 ρvD ε  ∆Pt D ⇒ = Φ ,   2 L ρv  µ D

∆Pt ρv 2 ⇒ = Φ(Re, ε r ) L D

L’analyse dimensionnelle permet ainsi de voir que la perte de charge régulière est fonction uniquement du nombre de Reynolds et de la rugosité relative de la conduite. Voyons maintenant une description détaillée de la méthode...

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2 - Théorème Π de Buckingham Si une équation comportant k variables est homogène, elle peut être réduite à une relation entre (k-r) produits indépendants sans dimension, où r est le nombre minimal de dimensions requis pour décrire les k variables. Afin d’illustrer cet énoncé, reprenons l’exemple d’introduction : Nous avions k=6 variables (

∆Pt , D, ε, v, µ, ρ) , qui nécessitent un L

minimum de r=3 dimensions (M,L,T).

 ∆Pt  -1 -1 -1 -3 -2 -2  L  = ML T D = L ε  = L v  = LT µ = ML T ρ = ML  

Par conséquent, l’équation reliant les 6 variables peut être ramenée à une équation reliant k-r = 3 produits sans dimension :

Π1 =

∆Pt D =λ 2 L ρv

Π2 =

ρvD = Re µ

Π3 =

ε D

= εr

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Le théorème Π de Buckingham, permet donc le passage :

∆Pt = f (D, ε , v , µ , ρ ) L

Π1 = Φ(Π 2 , Π3 )

Afin d’appliquer ce théorème, il convient d’utiliser une méthode systématique (la recette de cuisine) :


 

Faire la liste des variables du problème ⇒ k Écrire l’équation aux dimensions de chacune des k variables. Déterminer r, et donc k-r ⇒ le nombre de produits sans dimension caractérisant le problème.



Parmi les k variables, en choisir un nombre r, qui soient dimensionnellement indépendantes ⇒ r variables primaires.



Former les k-r produits Π en combinant les k-r variables non primaires avec les r primaires de façon à obtenir des grandeurs sans dimension.



Formuler la relation entre les k-r produits Π trouvés.

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A titre d’illustration, appliquons la méthode à un exemple concret :

r On appelle force de traînée, la force D exercée par un écoulement sur un objet, dans la direction parallèle à l’écoulement. Nous allons étudier le cas d’une plaque plane rectangulaire.




r D

les variables du problème sont :

D, h, L, v, µ, ρ : : : : µ : ρ : D h L v

⇒ k=6

force de traînée hauteur de la plaque largeur de la plaque vitesse moyenne de l’écoulement viscosité du fluide masse volumique du fluide

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D, h, L, v, µ, ρ r D



⇒ k=6

Équations aux dimensions :

[D] = MLT -2 [v ] = LT -1 [µ ] = ML-1T -1 [h] = L [ρ ] = ML-3 [L] = L

M,L,T ⇓ r=3



Nombre de produits Π sans dimension : ( k - r ) = 6 - 3 = 3



Choix de r = 3 variables primaires dimensionnellement indépendantes : par exemple h, ρ et v (remarque : on ne peut pas choisir à la fois h et L)



Formation des 3 produits Π : par combinaison des variables primaires et non primaires.

Π1 = D hα1 ρ β1v γ 1

Π 2 = L hα2 ρ β2v γ 2

Π 3 = µ hα3 ρ β3v γ 3

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Π1 = D hα1 ρ β1v γ 1

→

sans dimension

M0L0 T 0 = M1L1T −2 Lα1 (M1L-3 )β1 (L1T −1)γ 1 = M1+ β1L(1+α1 −3 β1 +γ 1 ) T −2 −γ 1 0 = 1 + β1  ⇒ 0 = 1 + α1 − 3β1 + γ 1 0 = −2 − γ 1 

Π 2 = L hα2 ρ β2v γ 2

 β1 = −1  ⇒ α1 = −2  γ 1 = −2 

→

D ⇒ Π1 = ρv 2h2

sans dimension

M0L0 T 0 = L1 Lα2 (M1L-3 )β2 (L1T −1)γ 2 = Mβ2L(1+α2 −3 β2 +γ 2 ) T −γ 2 0 = β2  β2 = 0  ⇒ 0 = 1 + α2 − 3β2 + γ 2 ⇒ α2 = −1 0 = −γ 2 γ 2 = 0  

Π 3 = µ hα3 ρ β3v γ 3

→

⇒ Π2 =

sans dimension

L h

⇒ Π3 =

µ ρvh

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Formuler la relation entre les 3 produits Π trouvés :

D = f (h, L, v , µ , ρ ) avec

soit

Π1 =

D ρv 2h2

⇒ Π1 = Φ(Π2 , Π 3 ) L Π2 = h

Π3 =

µ ρvh

D = ρv 2h2 Φ(L h ,1 Re) nature de l’écoulement facteur de forme

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Illustration de l’intérêt de la méthode : Si D1 est la traînée mesurée sur une plaque de dimensions L1 x h1 quand elle est soumise à un écoulement de vitesse v1, alors :

D1 = Φ(L1 h1 , 1 Re1 ) 2 2 ρv1 h1

où

ρ v1h1 Re1 = µ

L’analyse dimensionnelle par le théorème de Buckingham permet d’en déduire que pour une plaque de dimensions L2 x h2 telles que :

L2 h2 = L1 h1

si

similitude de forme

et donc

h1 v2 = v1 ⇔ v1h1 = v2h2 ⇔ Re1 = Re2 h2 similitude hydrodynamique

facteur d’échelle

Φ(L1 h1 , 1 Re1 ) = Φ(L2 h2 , 1 Re2 )

D1 D2 ⇒ = ρv12h12 ρv22h22

v22h22 ⇒ D2 = 2 2 D1 v1 h1

⇒

D2 = D1

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3 - Coefficients sans dimension usuels Outre le nombre de Reynolds (pour le caractère turbulent ou laminaire d’un écoulement), il existe un certain nombre de grandeurs sans dimension qui peuvent caractériser la nature d’un écoulement : Nombre de Reynolds

Re =

ρ vL µ

forces d’inertie forces de viscosité

 importance générale pour tout type d’écoulement.

Nombre de Froude :

Fr =

v gL

forces d’inertie forces de gravité

 importance pour les écoulements à surface libre. Remarque : c’est la pesanteur qui est responsable de la forme de la surface libre : plus Fr est grand, moins la surface libre a d’effets sur l’écoulement, et inversement.

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Nombre d’Euler d’Euler

Eu =

∆p ρv 2

forces de pression forces d’inertie

 importance s’il existe de grandes différences de pression au sein de l’écoulement. Nombre de Mach

Ma =

v c

forces d’inertie forces de compressibilité

 importance pour les écoulements de fluides compressibles. Remarque : c = 1 ρ χ est la vitesse du son. Nombre de Strouhal

St =

ωL

forces d’inertie locales

v

forces d’inertie convectives

 importance pour les écoulements non stationnaires.

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4 - Similitude dans les équations différentielles Avant de procéder à l’analyse complète d’un écoulement, il convient tout d’abord de poser les hypothèses simplificatrices adéquates. L’évaluation des différents coefficients sans dimension relatifs à l’écoulement (Reynolds, Froude…) va en effet permettre de simplifier les équations à résoudre. Voyons ce qu’il advient de la composante verticale (suivant z) de l’équation de Navier-Stokes :

 ∂2w ∂2w ∂2w  ∂w ∂w ∂w  ∂p  ∂w +u +v +w + µ  2 + + 2  − ρ g ρ =− 2 ∂x ∂y ∂z  ∂z ∂y ∂z   ∂t  ∂x Introduisons des variables sans dimension :

 u* = u V  * v = v V w * = w V 

x * = x L  * y = y L  z* = z L 

p* = p p0

t* = t τ

où L, V, p0, τ sont des grandeurs caractéristiques du système étudié.

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Par extension, on a :

∂ 1 ∂ =  ∂x L * ∂x  1 ∂ ∂ =  * ∂ y L ∂ y   ∂ =1 ∂  ∂z L ∂z *

 ∂2 1 ∂2  2 = 2 *2 L ∂x  ∂x2 1 ∂2 ∂  2 = 2 *2 L ∂y  ∂y  ∂2 1 ∂2  2 = 2 *2 L ∂z  ∂z

∂ 1 ∂ = ∂t τ ∂t *

On obtient alors :

 ∂2w ∂2w ∂2w  ∂w ∂w ∂w  ∂p  ∂w ρ +u +v +w + µ  2 + + 2  − ρ g =− 2 ∂x ∂y ∂z  ∂z ∂y ∂z   ∂t  ∂x * * ρV ∂w * ρV 2  * ∂w * * ∂w * ∂w   + +v +w u * * * *   τ ∂t L  ∂x ∂y ∂z  p0 ∂p* µV  ∂2w * ∂2w * 

=−

L ∂z

*

+

+ *2  L  ∂x ∂y *2 2

∂2w *   − ρg + *2  ∂z 

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* * ρV ∂w * ρV 2  * ∂w * * ∂w * ∂w   + u +v +w * * * *   τ ∂t L  ∂x ∂y ∂z  p0 ∂p* µV  ∂2w * ∂2w * 

=−

L ∂z

*

+

+ *2  L  ∂x ∂y *2 2

∂2w *   − ρg + *2  ∂z 

2 ρ V Divisons toute l’expression par :

L

* * * L ∂w * * ∂w * ∂w * ∂w +u +v +w * * Vτ ∂t * ∂z * ∂x ∂y µ  ∂2w * ∂2w * ∂2w *  gL p0 ∂p* =− + + + − 2 2 * *2 *2 *2   ρVL  ∂x ρV ∂z ∂y ∂z  V

ωL

L St = = V Vτ

Eu =

∆p p0 = ρV 2 ρV 2

Re =

ρVL µ

Fr =

V gL

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On peut alors écrire : * * * ∂w * * ∂w * ∂w * ∂w St * + u +v +w * * ∂t ∂x ∂y ∂z * ∂p* 1  ∂2w * ∂2w * ∂2w *  1  *2 +  − = −Eu * + + Re  ∂x ∂z ∂y *2 ∂z *2  Fr 2

Ce qui peut s’interpréter comme suit :  si St est très faible : on peut négliger la dérivée instantanée et l’écoulement pourra être considéré stationnaire.  si Eu est très faible : on peut négliger le gradient de pression.  si Re est très grand : on peut négliger la viscosité du fluide et l’assimilé à un fluide parfait.  si Fr est très grand : on peut négliger les effets de la pesanteur.

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5 - Application aux maquettes L’analyse dimensionnelle, grâce notamment au théorème de Buckingham, permet de résumer le comportement d’un système à une relation entre un nombre restreint de grandeurs sans dimension.

Π1 = Φ(Π2 , Π3 ,..., Π k − r ) Pour des systèmes complexes la détermination de la fonction Φ n ’est accessible que par mesures expérimentales. Ainsi, lors de la mise au point d’un prototype, il est économiquement et pratiquement plus pertinent de procéder à ces mesures sur un modèle réduit : la maquette. Il faut alors pouvoir transposer les résultats obtenus sur la maquette à ceux que l’on obtiendra sur le prototype : On s’arrange donc pour respecter le maximum de similitudes entre la maquette et le prototype.

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A titre d’illustration, reprenons l’exemple de la force de traînée exercée par un écoulement sur une plaque plane : maquette

prototype

 Lm Dm µm  = Φ ,  2 2 h v h ρm vmhm ρ  m m m m 

 Lp µp  = Φ ,  2 2  ρ p v p hp  hp ρ pv p hp  Dp

On commence alors par se fixer un facteur d’échelle :

Lm = α = 1 25 Lp

L Lm = p hm hp

On respecte ensuite le facteur de forme :

Si on utilise le même fluide, on a : ρ m = ρ p et µ m = µ p Et par conséquent, respecter la similitude de Reynolds revient à :

v mhm = v p hp Dans ces conditions :

⇒ vm = v p

Dp Dm = ρ mv m2 hm2 ρ pv p2 hp2

hp hm

= vp α

 vp   ⇒ Dp =   vm 

2

2

 hp    Dm  hm 

CH VI - Analyse Dimensionnelle & Similitudes

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v  Dp =  p   vm 

α

2

2

 hp    Dm  hm 

⇒

Dp = Dm

1α

Ce résultat, spécifique au problème étudié, montre que par un choix approprié de la vitesse, la mesure expérimentale de la traînée sur une maquette géométriquement semblable donne directement la traînée à laquelle on doit s’attendre sur le prototype. En pratique, tout n’est pas si simple, dans la mesure où l’on ne peut souvent pas respecter simultanément toutes les similitudes.

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CH VII

Théorie de la Couche Limite

1 - Notion de couche limite Considérons l’écoulement d’un fluide autour d’un objet :
Relativement loin de l’objet, on peut négliger les effets de la viscosité si le nombre de Reynolds est suffisamment grand. ⇒ dans ces conditions, le fluide peut être considéré parfait et l’écoulement peut être décrit par la cinématique.
MAIS : cette hypothèse n’a plus de sens lorsqu’on se rapproche de la paroi de l’objet : la vitesse du fluide devient progressivement nulle. ⇒ proche de la paroi, la viscosité joue un rôle important : on doit y décrire l’écoulement au moyen de l’équation de Navier-Stokes.

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Le domaine de transition où la vitesse devient progressivement nulle est appelée « couche limite ».

r v fluide ≈ parfait (µ≈0) écoulement

couche limite objet

Remarques :  l’épaisseur de la couche limite dépend de Re.  au sein de la couche limite, l’écoulement peut être soit laminaire soit turbulent (cela dépend également de Re).

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 Au contact de la paroi, quand le profil de vitesse présente une pente infinie, on dit qu’il y a décollement de la couche limite. Après le point de décollement D, la couche limite devient turbulente : les forces de viscosité ne sont plus assez importantes pour assurer le contournement normal de l’objet ⇒ il se forme un « sillage »

D

sillage

Le sillage est d’autant plus important que l’objet est mal profilé : en pratique, on cherche à optimiser le profil de façon à minimiser le sillage.  Le sillage est en effet responsable d’une dissipation d’énergie importante.

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2 - Grandeurs caractéristiques de la couche limite a) Epaisseur Elle est définie comme la distance à la paroi à partir de laquelle la vitesse devient supérieure à 99% de la vitesse de l’écoulement uniforme (non perturbé par l’objet) : y

U

écoulement uniforme

u(y = δ ) = 0,99 U

u = 0,99 U

δ

couche limite

épaisseur de la couche limite x

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b) Epaisseur de déplacement Pour définir l’épaisseur de déplacement, on évalue le flux manquant par rapport à celui qu’on aurait dans l’hypothèse d’un écoulement uniforme jusqu’à la paroi : y

y

U

On a ainsi :

U

δ*

∞

∫ (U − u)dy = ∫ Udy 0

0

⇓ δ x

δ = *

*

x

∫

∞

0

Uδ *

u  1 − dy U 

Cette définition de l’épaisseur revient à poser le principe de conservation du débit volumique.

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3 - Etude dimensionnelle de la couche limite Au sein de la couche limite, l’écoulement doit être décrit au moyen de l’équation de Navier-Stokes. La résolution de cette équation s’avère difficile sans poser un certain nombre d’approximations : Ces approximations doivent être validées sur les bases d’une analyse dimensionnelle. Considérons alors, au sein de la couche limite, un écoulement :  stationnaire ;  où les effets de la pesanteur sont négligeables ;  bidimensionnel (x,y). Avec ces hypothèses, l’équation de Navier-Stokes se résume à :

  ∂u  ∂ 2u ∂ 2u  ∂u  ∂p   = − +v + µ  2 +  ρ  u 2  ∂y  ∂x ∂y    ∂x  ∂x  2 2    ∂ v ∂ v p v v ∂ ∂ ∂ ρ  u    + v = − + µ + 2 2      ∂x ∂y  ∂y ∂y   ∂x

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Et comme ν = µ ρ , on peut écrire :

 ∂u 1 ∂u +v =− u y x ∂ ∂ ρ    u ∂v + v ∂v = − 1  ∂x ∂y ρ y

U

 ∂ 2u ∂ 2u  ∂p  + ν  2 + 2  ∂x ∂y   ∂x  ∂ 2v ∂ 2v  ∂p  + ν  2 + 2  ∂y ∂y   ∂x

(ii)

On peut ainsi poser que :

écoulement uniforme

v << u

δ

(i)

r r r V = uex + vey

et

∂ ∂ << ∂x ∂y

∂u ∂u 1 ∂p ∂ 2u (i) ⇒ u +v =− +ν ∂x ∂y ρ ∂x ∂y 2

couche limite

x

(ii) ⇒

∂p ≈0 ∂y

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Analysons les différents ordres de grandeurs caractéristiques :

u≈U v ≈V

ordre de grandeur de la vitesse longitudinale (écoulement uniforme). ordre de grandeur de la vitesse transversale.

∂ 1 où x peut représenter la distance au front de l’objet. ≈ ∂x x ∂ 1 où δ peut représenter l’épaisseur de la couche limite. ≈ ∂y δ ∂y

r r On sait que l’équation de continuité doit être vérifiée : ∇V = 0 ⇒

∂u ∂v + =0 ∂x ∂y

⇒

U V ≈ x δ

donc

⇒V ≈U

∂u ∂v et sont nécessairement du même ∂x ∂y ordre de grandeur.

δ x

On peut alors en déduire que :

∂u U 2 u ≈ ∂x x

et

∂u U U2 v ≈V ≈ ∂y δ x

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2 ∂u ∂u U On sait alors que u et v sont du même ordre de grandeur . ∂y ∂x x

∂u ∂u 1 ∂p ∂ 2u +v =− +ν u ρ ∂x ∂x ∂y ∂y 2

≈

2

U x

∂ 2u U 2 Donc : ν ≈ 2 x ∂y

2

U ≈ x

≈ν

On en déduit l’ordre de grandeur de l’épaisseur de la couche limite :

δ ≈

U

ν

U

δ2

U2 ≈ x

δ2

ν U

x

⇒ l’épaisseur de la couche limite croît en

δ (x)

couche limite

x

x

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Bilan : L’analyse dimensionnelle nous a permis de montrer que :

∂p ≈0 ∂y

δ2 ≈

νx U

1 ∂p ∂ 2u ∂u ∂u u +v =− +ν ρ ∂x ∂x ∂y ∂y 2 équation à résoudre avec comme conditions aux limites :

u(x,0) = 0

v(x,0) = 0

u(x, ∞) = U

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4 - Résolution - Equation de Blasius Equation à résoudre :

∂u ∂u 1 ∂p ∂ 2u +v =− +ν u ρ ∂x ∂x ∂y ∂y 2

En dehors de la couche limite, on sait que sur une même ligne de courant, la vitesse reste à peu près constante, par conséquent :

∂p ≈0 ∂x

sur une ligne de courant en dehors de la couche limite

Or, on a vu que dans la couche limite, on a :

∂p ≈0 ∂y

Donc, comme il y a continuité des pression à la frontière de la couche limite, on peut en déduire que : ∂p ≈ 0 dans la couche limite ∂x Par conséquent, il reste seulement à résoudre :

∂u ∂u ∂2u u +v =ν 2 ∂x ∂y ∂y

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On peut alors raisonner en terme de lignes de courant au sein même de la couche limite :

dΨ =

∂Ψ ∂Ψ dx + dy ∂x ∂y

où

u=

∂Ψ ∂Ψ et v = − ∂y ∂x

donc dΨ = −vdx + udy ≈ udy On peut alors trouver Ψ( x , y ) en intégrant dΨ : Ψ(x, y ) =

y

∫0 u(x, y' )dy'

Exprimons d’abord la vitesse u en fonction de U :

u = U g(η)

⇒Ψ=

où η =

η

∫0 U g(η' )δ dη' η

⇒ Ψ = Uδ ∫0 g(η' )dη'

f (η)

y → δ (x )

nombre sans dimension épaisseur de la couche limite en x

δ (x) =

νx U

donc la fonction f (η ) est telle que :

f ' (η) =

df = g(η) dη

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On peut alors écrire : Ψ(x, y ) = Uδ ( x)f (η)

∂u ∂u ∂2u Donc il faut résoudre : u +v =ν 2 ∂x ∂y ∂y

car η =

y δ (x )

sachant que :

u = U g(η) = U f ' (η) v =−

∂Ψ dδ ∂η = −Uf (η) − Uδ f ' (η) ∂x dx ∂x

∂u ∂η U =U f ' ' (η) = f ' ' (η) δ ∂y ∂y On obtient ainsi :

∂ 2u U ∂η U = f ' ' ' ( η ) = f ' ' ' (η) 2 2 δ ∂y δ ∂y

∂η ∂η  U U  dδ Uf '⋅U f ' '−U  f +δ f ' ⋅ f ' ' = ν 2 f ' ' ' ∂x ∂x  δ δ  dx

Soit, après simplification :

u = U f ' (η)

∂u ∂η =U f ' ' (η) ∂x ∂x

2f ' ' '+f f ' ' = 0

f ' (η)

f (η)

équation de Blasius résolution numérique

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En considérant les conditions aux limites suivantes :

η=0

f (0) = f ' (0) = 0

⇓

⇑ u =v =0

y =0

⇒

et

...la solution numérique peut être approximée, proche de la paroi, par :

η << 1 ⇔ y << δ y

η

δ (x) 1

u(η)

η→∞

f ' (η → ∞) = 1

⇓ y →∞

⇑ u=U

⇒

f (η ) = 12 0,332 η 2 + Ο(η 5 )

u = Uf ' u(η) ≈ 0,332 Uη On en déduit aussi : 12

 ν  v(η) ≈ v( x) = 0,860 U    xU  12  1    x  Rex 

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On peut donc définir un nombre de Reynolds « local » :

Rex =

xU

ν

⇒ caractérise la nature de l’écoulement à la distance x du front de l’objet, au sein de la couche limite.

Ainsi, toutes les grandeurs sans dimensions qui peuvent caractériser la couche limite peuvent être définies à partir de ce nombre de Reynolds local :

v( x ) 0,860 ≈ U Rex

δ (x) x

≈

5

δ *(x )

Rex

x

≈

1,72 Rex

contrainte de frottement (τ = τxy) coefficient de traînée local :

cf ( x ) =

1 2

τ 0,664 ≈ 2 ρu Rex

Remarque : pour obtenir le coefficient de traînée global, il suffit d’intégrer cf sur toute la longueur de l’objet, soit :

1 CD = L

∫

L

0

cf ( x )dx =

1,328 Re

où

Re =

UL

ν

correspond au nombre de Reynolds global

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5 - Couche limite turbulente Ce que l’on vient d’établir concerne une couche limite laminaire. On a vu que la nature de l’écoulement pouvait être localement décrit au moyen du nombre de Reynolds local :

Rex =

xU

ν

On constate alors que Rex croît avec la distance x : quand Rex > 5.105 (=Rexc), la couche limite devient turbulente. Concrètement, la transition du laminaire au turbulent se manifeste par un épaississement brutal de la couche limite. Rexc

x

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6 - Efforts exercés sur les solides On peut distinguer des efforts de deux types :
ceux provenant de la résultante des forces de pression ;
ceux provenant des contraintes tangentielles (frottements visqueux). A titre d’illustration, considérons un profil d’objet non symétrique : Les forces de pression sont normales

U

p<0 p>0

sur la face supérieure, la vitesse est plus grande que U ⇒ dépression (pp0≡0)

Les forces de frottement sont tangentielles

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r Lp U

r Dp r Lf

r Df

La résultante des forces de pression présente :

r
une composante verticale : la portance (Lift) Lp r


une composante horizontale : la traînée (Drag) Dp La résultante des forces de frottement présente :

r
une composante verticale : la portance (Lift) Lf r


une composante horizontale : la traînée (Drag) Df

Globalement, l’objet est soumis à une force de portance :

r r r L = Lp + Lf

et une force de traînée :

r r r D = Dp + Df

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D’un point de vue pratique, si l’on souhaite évaluer ces deux forces, il faudrait connaître, en tout point de la surface de l’objet, la pression et le tenseur des contraintes : c’est analytiquement impossible ! On a donc recours à l’utilisation de deux coefficients sans dimension pour décrire la portance et la traînée sur un objet spécifique : le coefficient de portance :

le coefficient de traînée :

CL =

L 1 ρU 2 A 2

D CD = 1 ρU 2 A 2

où A est une aire caractéristique de l’objet

Ces deux coefficients sans dimension sont en pratique déterminés numériquement ou expérimentalement. On pourra alors en déduire les forces de traînée et de portance pour tout objet semblable et pour tout type d’écoulement.

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a) la traînée De façon générale, on peut l’expliciter comme :

D CD = = Φ(forme, Re, Ma, Fr , rugosité) 1 ρU 2 A 2 où D = Df + Dp  rôle de la forme : La résistance à l’écoulement dépend évidemment de la forme de l’objet. En outre, pour un même objet, le CD peut varier suivant l’orientation de l’objet :

U

Dp

Dp

U

Df

Df

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 rôle du nombre de Reynolds : Selon la valeur de Re, les forces de viscosité peuvent prendre plus ou moins d’importance. Or le coefficient de traînée résulte en partie de ces forces : le CD d’un même objet dépend largement de la nature de l’écoulement. Cte Par exemple, pour de très faibles valeurs de Re (Re<1), on a : C D = Et plus spécifiquement, pour une sphère on peut calculer :

24 CD = Re

Re

 rôle du nombre de Mach : Au voisinage de Ma=1, la compressibilité du fluide ne peut plus être négligée. On a par exemple apparition d’ondes de choc responsables de l’augmentation brutale de CD.

 rôle du nombre de Froude : De façon générale, CD augmente quand Fr diminue. En effet, plus Fr est faible, plus les effets dus à la surface libre sont importants : par exemple, les ondes de surface génèrent une résistance à l’écoulement.

 rôle de la rugosité : Une paroi rugueuse a pour effet de décoller la couche limite plus rapidement : celle-ci devient turbulente plus tôt ( diminution de CD).

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b) la portance Comme pour la traînée, on a :

CL =

L = Φ(forme, Re, Ma, Fr , rugosité) 1 ρU 2 A 2

Mais parmi tous ces paramètres, la forme de l’objet est celui qui influe le plus sur le coefficient de portance. Par exemple, l’effet Magnus en est une illustration : il peut y avoir portance même s’il n’y a pas de frottement autour d’un objet parfaitement symétrique.

r L U

v > U ⇒ p < p0

Une circulation non nulle autour de l’objet assure donc sa portance. v < U ⇒ p > p0

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Il apparaît alors qu’une circulation du fluide est nécessaire pour en assurer sa portance. Mais... Théorème de Kelvin : Si à un instant donné la circulation est nulle, elle le restera. Il se pose alors le problème de la portance d’une aile d’avion : avant décollage, à l’arrêt, la circulation autour de l’aile est nécessairement nulle. D’après le théorème de Kelvin, la circulation reste nulle au décollage et en vol ! Comment est alors assurer la portance ?

α

Γ

Γ−Γ =0

La circulation autour de l’aile s’annule par création d’un tourbillon en bord de fuite

−Γ

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Remarque :

CL =

L 1 ρU 2 A 2

α

α

 la portance L augmente avec U2 et avec α  quand la vitesse est faible (atterrissage & décollage) il faut donc augmenter le plus possible l’angle d’attaque α pour assurer la portance nécessaire.  Mais attention ! Trop augmenter l’angle d’attaque peut provoquer un décollement prématuré de la couche limite : le sillage augmente brutalement ⇒ CD augmente d’autant. Il s’en suit que la vitesse chute ⇒ CL et donc la portance diminuent.  l’avion « décroche »  généralement, on améliore la situation en adaptant des volets sur l’aile...

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Volet de bord d’attaque

U

on repousse le ainsi de point de décollement de la couche limite ⇒ on peut augmenter l’angle d’attaque en prenant moins de risque de décrochement.

Volet de bord de fuite

U La circulation est ainsi augmentée, ce qui permet d’améliorer la portance. Remarque : on peut trouver des configurations où plusieurs volets de bord de fuite s’enchaînent.

Γ

FIN