324350805-primer-momento-de-area.pdf

Primer momento de área El primer momento de área (también momento estático o de primer orden) es una magnitud geométrica que se define para un área plana. Normalmente aparece en el contexto del cálculo de vigas en ingeniería estructural, en particular la tensión cortante media dada por la fórmula de Collignon, que es proporcional al primer momento de área de una subsección de la sección transversal de la viga. El primer momento de área coincide con el producto del área total multiplicado por la distancia entre el punto considerado al centroide del área.

1

Primer momento de área

Los momentos de primer orden de un área, se designan por la letra S o Q. Dado un eje o recta se define el primer momento de área del área A respecto a un eje de ecuación Área parcial para el cálculo de la tensión cortante. (cos(α)x + sin(α)y) + c = 0 viene dado por la integral sobre el área de la distancia al eje fijado: ∫

Seje = A d(x, y) dxdy = sin(α)y + c) dxdy

∫

1.1 Primer momento de área parcial

(cos(α)x +

Como se ha visto en la sección anterior el primer momento de área calculado respecto al centro de gravedad de la sección es siempre nulo. Sin embargo, si se consiSi consideramos coordenadas x e y centradas en el centro dera un área parcial de una sección y se calcula el primer de masas y se calculan los primeros momentos de área momento de área respecto al centro de gravedad de la respecto a los ejes coordenados, por la propia definición sección completa el resultado no es cero. Designaremos de centro de masas: a este primer momento de área parcial por la letra Qy y su valor vendrá dado por: ∫ CM Sx = ∫ A y dxdy = yG · A = ∫ 0 SyCM = A x dxdy = xG · A = 0 Qy (y) = Ap y¯d¯ xd¯ y = hG · Ap A

Eso implica que para cualquier otro eje que pase por el Para una sección rectangular de dimensiones 2h x b se centro de gravedad de la sección se tiene: tiene: ∫ CM Seje = (cos(α)x + A sin(α)y) dxdy = A(cos(α)xG +sin(α)yG ) = A(0 + 0) = 0

Qy (y) =

∫b 0

d¯ x

∫h y

y¯d¯ y =

h+y 2 Ap

=

b(h −y ) 2 2

2

El cálculo de este momento se requiere para el cálculo El cálculo respecto a un eje cualquiera que no pase por en de la tensión cortante sobre la línea punteada (ver figucentro de masas es trivial ya que: ra) de acuerdo con la fórmula de Collignon-Jourawski (o Collignon-Zhuravski). ∫ Seje = (cos(α)x + sin(α)y + A c) dxdy = A · c

2 Segundo momento de área

Donde resulta que c coincide con la distancia de ese eje al centro de gravedad y el resultado anterior es el equivalente Análogamente al primer momento de área se define el sedel teorema de Steiner para el primer momento de área. gundo momento de área, o momento de inercia, como: 1

2

4

∫ A

∫ 2 Ieje = d (x, y) dxdy A (cos(α)x + sin(α)y + c)2 dxdy

=

Donde c es la distancia entre el eje considerado y el centro de gravedad del área. Que puede expresarse en función de los segundos momentos de área respecto al centro de masas como: CM Ieje = Ieje + Ac2 CM Donde Ieje sería el sengundo momento de área según eje paralelo al considerado, pero que psara por en centro de gravedad del área. Este último resultado de demostración inmediata se conoce como teorema de Steiner.

3

Momentos de área de orden superior

En general se definen los n-ésimos momento de área de una área plana como las integrales del tipo: (n)

meje (A) =

∫ A

dn (x, y) dxdy

Donde la integral se extiende sobre todo el dominio plano A de ℝ² y donde la distancia r es la distancia a un eje contenido en el mismo plano que contiene al área. En particular se definen los dos momentos n-ésimos de área como:

∫ m(n) x (A) =

y n dxdy A

∫ m(n) y (A) =

xn dxdy A

4

Véase también • Fibra neutra

VÉASE TAMBIÉN

3

5

Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias

5.1

Texto

• Primer momento de área Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Primer_momento_de_%C3%A1rea?oldid=87873937 Colaboradores: Tano4595, Chlewbot, CEM-bot, Davius, Humberto, VolkovBot, Muro Bot, DorganBot, Alexbot, MastiBot, Luckas-bot, MystBot, ZéroBot, ChuispastonBot, WikitanvirBot, KLBot2 y Anónimos: 10

5.2

Imágenes

• Archivo:FirsMomAr.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/FirsMomAr.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Davius

5.3

Licencia del contenido

• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0