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2014

INVESTIGACION OPERATIVA PROGRAMACION LINEAL “La programación lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.” RAMON SALA GARRIDO.

ANDRES ANGULO- MONICA PEREZ- SANDRA ROMERO UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA 27/05/2014

PROGRAMACION LINEAL

ANDRES MAURICIO ANGULO RIAÑO MONICA MARCELA PEREZ RODRIGUEZ SANDRA MILENA ROMERO CASTAÑEDA

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION OPERATIVA I BOGOTA 2014

PROGRAMACION LINEAL

ANDRES MAURICIO ANGULO RIAÑO MONICA MARCELA PEREZ RODRIGUEZ SANDRA MILENA ROMERO CASTAÑEDA

TRABAJO ESCRITO APLICACIONES DE LA PROGRAMACION LINEAL

INGENIERO FRANCISCO ESTEFAN

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION OPERATIVA I BOGOTA 2014

GLOSARIO

ALGORITMOS: un algoritmo es un conjunto finito bien definido de instrucciones para llevar a cabo una determinada tarea que dado un estado inicial, terminará en un estado final definido. En un método para resolver un problema mediante una serie de pasos definidos, precisos, finitos.. ANÁLISIS COSTO-BENEFICIO: Método usado para cuantificar las relaciones funcionales entre los aspectos más importantes de los beneficios, identificando la estructura del beneficio de una organización. ANÁLISIS DE RIESGOS: Enfoque del análisis de problemas que pondera los riesgos de una situación al incluir probabilidades para obtener una evaluación más exacta de los riesgos existentes. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD: Cálculo en porcentaje del efecto de un cambio porcentual dado en una variable exógena puede producir en otro variable. ARBOLES DE DECISIÓN: Técnica que permite analizar decisiones secuenciales basada en el uso de resultados y probabilidades asociadas. ÁREAS DE APLICACIÓN: Algunas personas se verían tentadas a aplicar métodos matemáticos a cuanto problema se presentase, pero es que ¿acaso siempre es necesario llegar al óptimo? Podría ser más caro el modelar y el llegar al óptimo que a la larga no nos dé un margen de ganancias muy superior al que ya tenemos. ASIGNACIÓN DE RECURSOS: Toda actividad necesita recursos para ejecutarse. Hay que asignar a cada actividad los recursos y la cantidad de cada uno de ellos que necesitamos para poder desarrollar la misma. EFICIENCIA: Logro de los fines con la menor cantidad de recursos; el logro de objetivos al menor costo u otras consecuencias no deseadas. FASES: La elaboración del problema está subdividida en fases obligatorias, las principales son: examen de la situación real y recolección de la información FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL: Aunque se ponga en duda, la parte más difícil de PL es reconocer cuándo ésta puede aplicarse y formular el problema matemáticamente. Una vez hecha esa parte, resolver el problema casi siempre es fácil. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO): Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros

intentos para emplear el método científico en la administración de una empresa. INVESTIGACION OPERATIVA EN CONTEXTO: La investigación operativa es una moderna disciplina científica que se caracteriza por la aplicación de teoría, métodos y técnicas especiales, para buscar la solución de problemas de administración, organización y control que se producen en los diversos sistemas que existen en la naturaleza y los creados por el ser humano, tales como las organizaciones a las que identifica como sistemas organizados, sistemas físicos, económicos, ecológicos, educacionales, de servicio social, etc. LAS PRINCIPALES HERRAMIENTAS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES: Cuando hablamos de herramientas en IO, nos estamos refiriendo a los diferentes modelos teóricos (como por ejemplo, modelos de transporte y teoría de colas), y a otras disciplinas (como matemática, administración, economía, etcétera), que se utilizan como instrumentos de trabajo habitual para el profesional de la Investigación de Operaciones. Debe quedar claro, sin embargo, que cada día se agregan más tipos de modelos y otras disciplinas imposibles de enumerar en este momento. MÉTODOS: La investigación operacional consiste en la aplicación del método científico, por parte de grupos interdisciplinarios, a problemas de control de sistemas organizativos con la finalidad de encontrar soluciones que atiendan de la mejor manera posible a los objetivos de la organización en su conjunto. NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES: Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa "hacer investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de operaciones (o actividades) dentro de una organización. OBJETIVOS Y MÉTODOS: El objetivo y finalidad de la investigación operacional (conocida también como teoría de la toma de decisiones o programación matemática) es encontrar la solución óptima para un determinado problema (militar, económico, de infraestructura, logístico, etc.) OPTIMIZACION: La optimización o programación matemática intenta dar respuesta a un tipo general de problemas donde se desea elegir el mejor entre un conjunto de elementos. PROGRAMACIÓN LINEAL: Procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función, también lineal.

SISTEMA: Un sistema es un conjunto de partes o elementos organizados y relacionados que interactúan entre sí para lograr un objetivo. Los sistemas reciben (entrada) datos, energía o materia del ambiente y proveen (salida) información, energía o materia. SUPUESTOS DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL: Existe un número de suposiciones realizadas en cada modelo. La utilidad de un modelo está directamente relacionada con la realidad de los supuestos. El primer supuesto tiene que ver con la forma lineal de las funciones. Ya que el objetivo es lineal, la contribución al objetivo de cualquier decisión es proporcional al valor de la variable de decisión. TOMA DE DESICIONES: Selección de un curso de acción entre varias opciones, selección racional de un curso de acción.

INTRODUCCION

La investigación operativa para su desarrollo utiliza modelos matemáticos, estadística y algoritmos para la toma de decisiones. Generalmente toma para estudio complejos sistemas reales, con el objetivo de mejorar su funcionamiento; además permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos y de esta manera determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como la maximización de los beneficios o la minimización de costos. Se utiliza la programación lineal para solucionar un problema indeterminado mediante un procedimiento o algoritmo matemático, el cual es formulado por medio de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Se trata de optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, conocida como función objetivo, donde las variables de dicha función estén ligadas a una serie de restricciones que son expresadas mediante un sistema de inecuaciones lineales.

OBJETIVOS

Objetivo General  Analizar las diferentes situaciones planteadas en los diferentes problemas de tal forma de optimizar la situación propuesta; en algunos casos, maximizar o minimizar una función objetivo para obtener la solución más favorable a un problema.

Objetivos Específicos  Plantear la mejor decisión de los problemas, de tal manera que se obtenga la función objetivo necesario para satisfacer las necesidades del problema.  Diseñar los diferentes tipos de restricciones que se pueden colocar dentro de los problemas existentes en programación lineal.  Interpretar los resultados obtenidos utilizando algún paquete de optimización lineal (Solver, WinQsb, Lingo).

PROGRAMACION LINEAL

La programación lineal se plantea como un problema matemático desarrollado desde los años cincuenta, para mejorar las situaciones planteadas de los gastos y las ganancias; esto con el fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cual demostró que el problema de la programación lineal es de solucion eficiente. En 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área. La programación es un enfoque de solución de problemas elaborado para ayudar a tomar decisiones. Es un modelo matemático con una función objetivo lineal, un conjunto de restricciones lineales variables no negativas. Para resolver un problema de programación lineal es recomendable seguir ciertos pasos que son:       

Analizar el problema en todas sus dimensiones. Describir el objetivo Describir cada restricción Definir las variables de decisión Escribir el objetivo en función de las variables de decisión Escribir las restricciones en función de las variables de decisión Agregar las restricciones de no negatividad

TIPOS DE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL

Cuando un modelo de programación lineal se expresa en términos de dos variables puede resolverse con procedimientos gráficos; entre las cuales encontramos:  SOLUCION FACTIBLE: Es el conjunto de intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.

Imagen No. 0011

1

Tomado de: http://www.ditutor.com/programacion_lineal/programacion_lineal.html

 SOLUCION OPTIMA: Es el conjunto de los vértices del recinto se demonica conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución optima se llama solución máxima o minima según sea el caso.

Imagen No. 0022

2

Tomado de: http://www.ditutor.com/programacion_lineal/programacion_lineal.html

SITUACIÓN 1

Usted cuenta con los siguientes datos para un problema de programación lineal cuyo objetivo es minimizar los costos de realizar dos actividades no negativas para lograr tres beneficios que no bajan de sus niveles mínimos.

Beneficio

1 2 3 Costo unitario

Contribución del beneficio por unidad de actividad Actividad 1 Actividad 2 5 3 2 2 7 9 60 50

Nivel mínimo aceptable

a) Formule un modelo de programación lineal

Minimizar

Z=60X1 + 50x2

Restricciones: 5x1 + 3x2 ≥ 60 2x1 + 2x2 ≥ 30 7x1 + 9x2 ≥ 126 X1 ≥ 0, x2 ≥0

60 30 126

b) Método grafico

c) Hoja Excel

Beneficio

1 2 3 Costo Uni. Solución

Contribución al beneficio por unidad de actividad Actividad Actividad 1 2 5 3 2 2 7 9 60 50 6.75 8.75

Totales

60 30 126

d) Soluciones factibles x1 7 7 8 8 8 9

x2 7 8 7 8 9 8

Z 770 820 830 880 930 940

infactible infactible infactible factible factible factible

e) Mediante Solver se determina la solución óptima x1

x2 6

Z 10

860

SITUACIÓN 2

Problema Postobon 

Situación uno

La empresa Postobón tiene huertas de producción de frutas en cuatro lugares diferentes del país, semanalmente transporta a sus tres fábricas las frutas para el procesamiento de conversión a jugos HIT. Los costos de transporte por kilo de fruta dependen en forma directa con la distancia que existe entre las huertas y las fábricas, cada huerta tiene una capacidad máxima de producción en kilos semanalmente y envía a las fábricas la materia prima. Fabricas Cali Pitalito Huertas de La Ceja producción Fredonia Rionegro Demanda

Neiva 10 9 3 4 9000

Medellín

3 4 6 7 3000

4 7 9 6 4000

Dest. Ficticio oferta 1000 4500 1000 6000 1000 4500 1000 3000 2000

Cantidades óptimas

PATRON DE CORTE P1 Cali

Neiva

Medellín

Pitalito

0

500

4000

La Ceja

1500

2500

0

Fredonia

4500

0

0

Rionegro

3000

0

0

El costo óptimo de transportar la materia prima de las huertas a las fábricas se determinó a través de la herramienta solver y la distribución debe realizarse así:  Pitalito  

500 Kilogramos a la fábrica de Neiva 4000 Kilogramos a la fábrica de Medellín

  

1500 Kilogramos a la fábrica de Cali 2500 Kilogramos a la fábrica de Neiva 2000 Kilogramos quedan en inventario



4500 Kilogramos a la fábrica de Cali



3000 Kilogramos a la fábrica de Cali

 La ceja

 Fredonia  Rionegro

Costo total Costo Total

$ 66.500

2. La asignación óptima se ve modificada por las siguientes condiciones:  De Pitalito a Nieva por problemas de orden público (asaltos de guerrilla a los camiones) no se puede enviar la materia prima.  De Rionegro a Medellín no se despacha fruta por derrumbes en la carretera.

 De Fredonia a Cali por la calidad de la materia prima siempre se enviará

2000 kilos

Nueva asignación:

Pitalito La Ceja Fredonia Rionegro

Cali

Neiva

Medellín

1500 2500 2000 3000

3000 0 0 0

0 3500 500 0

Dest. Ficticio 0 0 2000 0

 Pitalito  

1500 Kilogramos a la fábrica de Cali 3000 Kilogramos a la fábrica de Neiva

 

2500 Kilogramos a la fábrica de Cali 3500 Kilogramos a la fábrica de Medellín

  

2000 Kilogramos a la fábrica de Cali 500Kilogramos a la fábrica de Medellín 2000 Kilogramos quedan en inventario



3000 Kilogramos a la fábrica de Cali

 La ceja

 Fredonia

 Rionegro

Costo total

Costo

$ 93.500,00

SITUACIÓN 3

Caso de estudio: Elaboración de envases de hojalata a partir de láminas del material, bajo consideraciones de disponibilidad de recursos y demanda La empresa Platek produce en uno de sus departamentos, latas de hojalata a partir de láminas del mencionado material. Las latas constan de un cuerpo principal, que es un rectángulo y dos extremos que son dos círculos idénticos (Ver figura 1).

Figura 1. Partes del envase

Se dispone de dos tipos de láminas de hojalata: L1: la cual tiene dimensiones de l1 x l2 m2 y L2, con dimensiones de l3 x l4 m2. Existen 5 tipos de posibles patrones de cortes de las láminas de hojalata. En la Figura 2, se representan los modelos de los mismos, aunque en ellos no se muestran las cantidades exactas de círculos y rectángulos requeridos para realizar el corte.

De los patrones reales de corte, se extrae la información, correspondiente a cada lámina de hojalata (ver la tabla 1)

Tabla 1. Información de patrones reales de corte

El precio de venta de cada lata es de 1 UM (UM: unidad monetaria). Por otra parte se estima un costo calculado sobre cada m2 de sobrante s, de 0,25 UM y un costo por cada parte (círculo o rectángulo) sobrante al final de la semana, de 0,5 UM. Este costo está relacionado con el espacio que ocupará la pieza en el almacén. En cuanto a la disponibilidad de las láminas de hojalata, por semana, se tienen las siguientes unidades de láminas de hojalata:

Lámina L1 L2

Unidades disponibles 500 100 Tabla 2. Disponibilidad

Además se sabe que la demanda semanal es de 20.000 latas y cada semana dispone de 40 horas para la elaboración de las latas. Sobre la base de esta información, determine la cantidad óptima de latas a elaborar, que permita a la empresa Platek maximizar los beneficios, considerando los costos de los sobrantes de los cortes de las piezas y los costos de almacenamiento; garantizando al menos la satisfacción de la demanda y la disponibilidad del número de horas de producción. Para ello formule el Modelo de Programación Lineal adecuado, y resuélvalo, empleando un paquete de optimización. Las dimensiones reales de las latas y de las láminas no interesan para la resolución del problema, es por ello que sólo se especifican el número de piezas que se pueden obtener de las láminas. Consideraciones:  Defina cuidadosamente las variables de decisión que utilizará; verifique si está incluyendo todas las variables que requerirá para dar respuesta a los requerimientos de producción. Especifique en qué unidades se mide dicha variable de decisión.  Utilice nombres de variables alusivos a lo que representan en el problema real, esto facilita la interpretación de la data y de la solución.  Seguidamente escriba la función objetivo y cada una de las restricciones, en palabras.  Construya la formulación matemática de la función objetivo, en términos de las variables de decisión, tomando en consideración los costos y los beneficios por producto y si se trata de maximización o de minimización de la función. Verifique bien el cálculo de los costos de cada elemento.  Luego formule las restricciones que surgen de las especificaciones del mismo. Determine cuál será el valor del lado derecho de cada restricción. Al construir las restricciones es posible que deba modificar algunas definiciones de las variables o agregar variables. Tome en cuenta las

medidas empleadas y las conversiones que tengan lugar, a fin de que las restricciones resulten correctamente formuladas.  Evite la redundancia de variables y restricciones. Verifique si existen cotas para las diferentes variables.  Al resolverlo, analice cuidadosamente los resultados para determinar si tienen sentido real. En caso de resultar el problema infactible (infeasible), se recomienda verificar si la data está correcta, si los recursos resultan suficientes y los requerimientos satisfechos. Algunos paquetes poseen una opción llamada debug que ayuda a determinar las restricciones que hacen al problema infactible.

El estudiante deberá resolver la situación y entregar un informe que contenga lo siguiente:

1. Formulación del problema a) Descripción de las variables de decisión. b) Formulación general de la situación planteada. c) Total de variables de decisión y restricciones: presente en forma explícita el número de variables de decisión, y número de restricciones. Considere dentro de las restricciones las cotas de variables (si las hay). 1) Solución de la situación a) Reporte de los datos, solución y análisis de sensibilidad de la situación, utilizando algún paquete de optimización lineal como: Solver, WinQsb, Lingo. b) En el reporte, señale o resalte la solución, en caso de existir; su estado, el número de iteraciones y el valor óptimo de la función objetivo, si existe.

Solución

1)

Formulación del problema

a) Descripción de las variables de decisión 𝐗 𝐢𝐣 = Cantidad de cortes a realizar utilizando del patrón tipo i en la lámina tipo j

I= 1, 2, 3, 4, 5 J=1, 2 𝐘𝐢 = Variable binaria auxiliar I= 1, 2 𝐖 = Variable binaria pra uso condicional b) Formulación general de la situación planteada Max Z =

    

(Y1 )($1)(0X11 + 240X21 + 150X31 + 0X42 + 250X52 ) + (Y2 )($1)(0.5)(400X11 + 0X21 + 50X31 + 700X42 + 50X52 ) − ($0.25)(4.16X11 + 0.96X 21 + 1.12X31 + 6.56X42 + 0.48X52 ) − (Y2 )($0.5)((0X11 + 240X21 + 150X31 + 0X42 + 250X 52 ) − (0.5)(400X11 + 250X21 + 50X31 + 700X42 + 50X 52 )) − (Y1 )($0.5)((400X11 + 250X 21 + 50X31 + 700X42 + 50X52 ) − (2)(0X11 + 240X21 + 150X31 + 0X42 + 250X52 ))

Cantidad de rectángulos Cantidad de círculos Cantidad de m2 sobrantes Cantidad de rectángulos sobrantes Cantidad de círculos sobrantes

c) Restricciones:



Este conjunto de restricciones hace referencia a los patrones de corte que no hacen parte de los parámetros iniciales: 𝐗 𝟏𝟐 𝐗 𝟐𝟐 𝐗 𝟑𝟐 𝐗 𝟒𝟏 𝐗 𝟓𝟏



=𝟎 =𝟎 =𝟎 =𝟎 =𝟎

Restricciones referentes a la disponibilidad de tipo de lámina L1 y lámina L2: 𝐗 𝟒𝟐 + 𝐗 𝟓𝟐 <= 𝟏𝟎𝟎 𝐗 𝟏𝟏 + 𝐗 𝟐𝟏 + 𝐗 𝟑𝟏 <= 𝟓𝟎𝟎



Restricción de disponibilidad de tiempo de operación en minutos: 𝟏𝟎𝟎𝐗 𝟏𝟏 + 𝟔𝐗 𝟐𝟏 + 𝟖𝐗 𝟑𝟏 + 𝟏𝟓𝐗 𝟒𝟐 + 𝟏𝟎𝐗 𝟓𝟐 ≤ 𝟐𝟒𝟎𝟎



Primera restricción condicional:

(𝟎𝐗 𝟏𝟏 + 𝟐𝟒𝟎𝐗 𝟐𝟏 + 𝟏𝟓𝟎𝐗 𝟑𝟏 + 𝟎𝐗 𝟒𝟐 + 𝟐𝟓𝟎𝐗 𝟓𝟐 − (𝟎. 𝟓)(𝟒𝟎𝟎𝐗 𝟏𝟏 + 𝟎𝐗 𝟐𝟏 + 𝟓𝟎𝐗 𝟑𝟏 + 𝟕𝟎𝟎𝐗 𝟒𝟐 + 𝟓𝟎𝐗 𝟓𝟐 ) = 𝐌𝐙 

Segunda restricción condicional:



𝐘𝟐 ≤ (𝟏 − 𝐙) Restricción excluyente entre las variables binarias Y1 y Y2:



𝐘𝟏 + 𝐘𝟐 = 𝟏 Restricciones lógicas 𝐗 𝟏𝟏 , 𝐗 𝟐𝟏 , 𝐗 𝟑𝟏 , 𝐗 𝟒𝟐 , 𝐗 𝟓𝟐 = 𝐞𝐧𝐭𝐞𝐫𝐚𝐬, 𝐧𝐨 𝐧𝐞𝐠𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚𝐬 𝐘𝟏 , 𝐘𝟐 , 𝐙 = 𝟎 𝐘 𝟏

2) Solución de la situación a) Información de los patrones de corte

TIPO LÁMINA RECTÁNGULOS CÍRCULOS TIEMPO DE PROD. SOBRANTES m²

PATRON 1 PATRON 2 PATRON 3 PATRON 4 PATRON 5 L1 L1 L1 L2 L2 0 240 150 0 250 400 0 50 700 50 100 4,16

6 0,96

8 1,12

15 6,56

10 0,48

Parámetros de análisis en el esquema del problema PARÁMETROS PRECIO DE VENTA POR LATA COSTO DE DESPERDICIO m² COSTO DEL MATERIAL SOBRANTE CANTIDAD DE LÁMINAS L1 CANTIDAD DE LÁMINAS L2 TIEMPO DISPONIBLE EN (min) DEMANDA TOTAL

$ 1,00 $ 0,25 $ 0,50 500 100 2400 20000

El problema se resolvió mediante el programa lineal de Solver implementando el análisis lineal realizado en el punto anterior, a continuación una imagen que nos permite visualizar el desarrollo del problema mediante el programa:

b) Si hay una solución optima según el análisis que realizamos al momento de maximizar la función del valor de venta, en la tabla se observa la matriz que el programa nos calcula como más efectiva para obtener la solución óptima:

LAMINA PATRON DE CORTE PATRON 1 PATRON 2 PATRON 3 PATRON 4 PATRON 5 TIEMPO TOTAL

L1

L2 0 20 0 0 0 20 2400

CONDICION1 31050 FUNCION OBJETIVO $ 30.623,12

0 0 0 82 105 187

Según la matriz resultante para la lámina uno se utiliza el patrón dos, y para la lámina dos, se utilizan los patrones cuatro y cinco, de esta forma se obtiene el mayor beneficio para reducir el costo de materia prima, mayor utilidad de fabricación de latas y la solución optima en la función del precio de venta.

INGRESO POR VENTAS

$ 31.050,00 COSTO POR SOBRANTES m² $ 151,88 COSTO POR PIEZAS SOBRANTES $ 275 Valor de la solución optima

Al momento de realizar el análisis del problema mediante el Solver los datos que se pudieron obtener según la fabricación de las latas son los siguientes datos:

RECTÁNGULOS CÍRCULOS m² SOBRANTES RECT. SOBRANTES CIR. SOBRANTES

31050 62650 607,52

31325

0 550

Los datos que podemos ver corresponden a datos de la fabricación de las latas según cada corte usado en las dos laminas, está el total de corte de los rectángulos y círculos en la función objetivo, además la cantidad de material sobrante durante la fabricación de las latas, debido a que la función a optimizar era realizar la mayor cantidad de latas con el menor costo de materia prima, es que se utiliza un condicional para que en las piezas sobrantes solo sea de un tipo en el corte, ya sea circular o rectangular. 3) Análisis de resultados Una vez resuelta la situación, utilice el reporte generado por el paquete de optimización, para responder razonadamente lo siguiente:

a) ¿Cuál es el beneficio que obtendrá Platek al realizar un plan óptimo de producción de las latas? El beneficio que obtiene es el de tener un valor máximo de latas con el costo menor de materia prima y la menor cantidad de material desperdiciado, esto para tener un mayor costo de venta FO

$ 30.623,12

b) ¿Cuántas latas elaborará la empresa de acuerdo al plan óptimo semanal? La cantidad de latas que elaborar la empresa durante 2400 minutos trabajados son de: CONDICION1

31050

c) ¿Cuántos círculos deberá cortar, de acuerdo al plan óptimo? La empresa debe cortar 62.650 piezas circulares según la función óptima del problema, esta cantidad debe ser divida en 2 para obtener el valor real en cuanto a la cantidad de latas, ya que por lata se utilizan dos piezas circulares: CÍRCULOS

62650

31325

d) ¿Cuántos rectángulos según el plan óptimo? La cantidad de rectángulos que se usaran son: RECTÁNGULOS

31050

e) Obtenga la cantidad en m2 de sobrantes, de los cortes de las láminas, que resultarán según el plan óptimo La cantidad en metros cuadrados que sobran son los siguientes, valor calculado de las dos laminas según los patrones de corte utilizados, este material sobrante en el inventario es de forma circular: m² SOBRANTES

607,52

f) ¿Cuántos círculos y cuántos rectángulos sobrarán de la producción semanal, conforme al plan óptimo? Esta cantidad de latas ensambladas deja como sobrante en el inventario una cantidad de piezas circulares de la siguiente manera, cabe explicar que debido al planteamiento condicional del problema el sobrante que nos da en la función objetivo es en piezas circulares únicamente y no de sobrante de piezas rectangulares: CIR. SOBRANTES

550

g) ¿Cuántas latas sobrarán, de acuerdo al plan óptimo? No sobran latas ya que la función objetivo que planteamos nos genera un sobrante solo en partes de corte, ya sea rectangular o ya sea circular, por este motivo no tenemos sobrante en cantidad de latas.

h) ¿Cuántos minutos de producción sobrarán? No hay sobrante de tiempo ya que el planteamiento de la solución da el tiempo exacto de 2400 minutos de acuerdo al tiempo de cada patrón utilizado según la función optima obtenida. i) Si se incrementa al 100% el número de láminas de hojalata tipo L2 ¿Se mantiene óptima la solución actual? Si se tiene un cambio en la solución óptima, ya que el valor de venta aumenta, lo que significa que hay una mayor cantidad de latas producida como no lo muestra la imagen:

j) Obtenga conclusiones derivadas de los resultados obtenidos. Indique las mejoras que realizaría al modelo formulado. En conclusión la solución óptima que tuvimos en cuanto al valor de venta con respecto al valor de gasto y cantidad producida obtenemos un valor que genera mucha ganancia, concepto que podemos obtener realizando el análisis que obtuvimos en cuanto al planteamiento lineal del problema se logra evidenciar una dificultad que no permite que el problema tenga una solución óptima real; esto debido a que no se tiene los costos de las 2 láminas que maneja la fábrica, en dado caso que tuviéramos los dos valores de las láminas, podríamos obtener una mayor disminución en la solución óptima del problema.

SITUACIÓN 4

Caso de estudio: Realice un análisis objetivo del artículo de aplicación de programación lineal de la siguiente dirección: El Análisis Post-Optimal en Programación Lineal Aplicada a la Agricultura.

http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=72918776010 Recuerde que se realizará una verificación sobre el trabajo.

Interpretación y análisis del artículo El artículo plantea una situación particular en la que en términos generales se busca maximizar la utilidad en un proceso de producción agrícola que se lleva a cabo durante un periodo total de 13 meses. En primera instancia el artículo define la historia del método, el funcionamiento y su importancia; explica paso a paso como debe realizarse la construcción del modelo y en qué consiste cada uno de los parámetros que se utilizan para la elaboración del mismo. Se evidencian algunas aclaraciones sobre ambigüedades que pueden llegar a presentarse durante la formulación del modelo; y explica brevemente como interpretar una situación de la realidad para plasmarla de forma correcta mediante el modelo de programación lineal, que permita desarrollarlo de forma consistente, veraz y por supuesto que ante todo permita obtener un resultado o una combinación de resultados optimas al objetivo que propone el problema. El autor presenta el proyecto que servirá de base para construir el modelo lineal y luego de resolverlo someterlo a un análisis de sensibilidad. El proyecto consiste en alquilar durante trece meses una finca de 5 hectáreas en la provincia de Cartago en Costa Rica. Se plantean cinco posibles cultivos y con datos históricos se calcula la ganancia de cada uno en diferentes periodos y en base a esta información se construye la función objetivo buscando maximizar el ingreso monetario. El primer conjunto de restricciones hace referencia a la disponibilidad de tierra, utilizando todas las posibles combinaciones de todos los cultivos, el área utilizada no puede superar las 5 hectáreas durante cada periodo. El segundo conjunto de restricciones define la cantidad máxima de mano de obra que puede utilizarse definida en términos de horas para cada uno de los periodos. Mediante la herramienta computacional LINGO se calcula la solución del modelo y del resultado que se obtiene, se inicia un análisis de sensibilidad que es la parte interesante del artículo. En lo que concierne al modelamiento del problema no es necesario objetar ninguno de los procedimientos utilizados, ya que se tienen en cuenta todos los

recursos disponibles y se utilizan datos reales para calcular los estándares que se van a usar como coeficientes tecnológicos, quizá habría que adicionar alguna restricción en cuanto a los factores climáticos que pudieran interferir en el resultado final, pero en términos generales el modelo es muy completo. Para el análisis de sensibilidad se hace un recuento breve de las variables que van a ser tomadas como foco de dicho análisis, se determinan unos límites dentro de los que estas variables pueden ser modificadas y sobre todo se analizan los costos reducidos de las variables duales que en últimas son las que brindan mayor información acerca de lo que se puede obtener con algunos cambios en las variables de decisión. Se pueden determinar datos tan importantes como el incremento en el recurso de área disponible en el periodo 8 a un total de 7,47 hectáreas aumenta el ingreso final en casi un 15%, lo cual puede resultar decisivo para las decisiones que tome la dirección del proyecto. También se destaca la importancia de conocer la holgura o el disponible que se tiene de cada uno de los recursos, frente a la solución de la función objetivo y de esta manera también permite tomar algún tipo de decisión en aras de reducir costos o aumentar la utilidad mediante la implementación de alguna aplicación para los recursos que dejan de utilizarse en cada uno de los periodos.

WEBGRAFIA



http://ktica2711.blogspot.com/2010/08/3.html



https://sites.google.com/site/programacionlineal398/ejercicio-3-6-3



http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=72918776010