2fase_obmep2009n2

Cole aqui a etiqueta com os dados do aluno.

Nível

7ª e 8ª séries (8º e 9º anos) do Ensino Fundamental 2ª FASE – 24 de outubro de 2009

2

Parabéns pelo seu desempenho na 1ª Fase da OBMEP. É com grande satisfação que contamos agora com sua participação na 2ª Fase. Desejamos que você faça uma boa prova e que ela seja um estímulo para aumentar seu gosto e sua alegria em estudar Matemática. Um abraço da Equipe da OBMEP!

INSTRUÇÕES 1. Verifique se os dados da etiqueta desta prova estão corretos. Caso as infor­ ma­ções não estejam corretas, comunique o erro ao fiscal imediatamente.

6. A solução de cada questão deve ser escrita na página reservada para ela, de maneira organizada e legível. Evite escrever as soluções na folha de rascunho.

2. Preencha cuidadosamente todos os seus dados no quadro abaixo. Utilize letra de forma, colocando uma letra/dígito em cada quadradinho e deixando um espaço em branco entre cada palavra.

7. Na correção serão considerados todos os raciocínios que você apresentar. Tente resolver o maior número possível de itens de todas as questões.

3. Lembre-se de assinar o quadro abaixo e a lista de presença.

8. Respostas sem justificativas não serão consideradas na correção.

4. A prova pode ser feita a lápis ou a caneta.

9. Não é permitido o uso de instrumentos de desenho, calculadoras ou qualquer fonte de consulta.

5. A duração da prova é de 3 horas. Você só poderá deixar a sala de prova 45 minutos após o início da prova. Ao terminar a prova, entregue-a ao aplicador.

10. Não é permitido comunicar-se com outras pessoas, além do aplicador. 11. Não escreva nos espaços sombreados.

“Espera, espera, tive uma idéia e uma idéia não se deixa fugir.”

Homenagem da OBMEP ao grande escritor brasileiro Euclides da Cunha, por ocasião do centenário de sua morte. Nome completo do aluno Endereço completo do aluno (Rua, Av., nº) Complemento

Bairro

Cidade

UF

CEP

Endereço eletrônico (email)

DDD

Telefone

DDD

Telefone (outro)

Assinatura ha Preenc e confira s os dad o om acima c ão! tenç muita a

Correção Regional

Correção Nacional

1

2

3

4

5

6

Total

Correção Regional

Correção Regional

Correção Regional

Correção Regional

Correção Regional

Correção Regional

Correção Regional

1

2

3

4

5

6

Total

Correção Nacional

Correção Nacional

Correção Nacional

Correção Nacional

Correção Nacional

Correção Nacional

Correção Nacional

2

NÍVEL 2

Respostas sem justificativa não serão consideradas

(1)   Um número inteiro positivo esconde outro número quando, apagando alguns de seus algarismos, aparece o outro. Por exemplo, o número 123 esconde os números 1, 2, 3, 12, 13 e 23, mas não esconde 32, 123 e 213.

(a) Qual é o maior número de três algarismos escondido por 47239?

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

(b) Qual é o menor número que esconde simultaneamente 2009 e 9002?

(c) Ache um múltiplo de 2009 que esconde 2009 e cujo algarismo das unidades é 3.

total

NÍVEL 2

Respostas sem justificativa não serão consideradas

3

(2)   Ana quer colorir as bolinhas das figuras 1, 2 e 3 de azul (A), preto (P) ou vermelho (V) de modo que bolinhas ligadas por um segmento tenham cores diferentes.

Figura 1

Figura 2 Figura 3

Veja a seguir duas maneiras diferentes de colorir a figura 1 e duas maneiras diferentes de colorir a figura 2: A

V P

A

V

P

A

V

A

V

P

A

V

A

(a) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a figura 1?

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

(b) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a figura 2?

(c) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a figura 3?

total

4

NÍVEL 2

Respostas sem justificativa não serão consideradas

(3)   Um polígono convexo é elegante quando ele pode ser decomposto em triângulos equiláteros, quadrados ou ambos, todos com lados de mesmo comprimento. Ao lado, mostramos alguns polígonos elegantes, indicando para cada um deles uma decomposição e o número de lados.

4 lados

5 lados

6 lados

7 lados

Em um polígono convexo todos os ângulos internos são menores que 180 º.

(a) Desenhe um polígono elegante de 8 lados, indicando uma decomposição.

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

(b) Quais são as possíveis medidas dos ângulos internos de um polígono elegante?

A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é  (n − 2) × 180º .

c) Mostre que um polígono elegante não pode ter mais que 12 lados.

(d) Desenhe um polígono elegante de 12 lados, indicando uma decomposição.

total

NÍVEL 2

Respostas sem justificativa não serão consideradas

(4)   O polígono ABCDEFGHIJKL é regular e tem doze

D E

C

F

lados.

(a) Qual é a medida dos ângulos internos do polígono?

B M

5

Em um polígono regular todos os lados têm o mesmo comprimento e todos os ângulos internos têm a mesma medida.

A

G

Correção Regional

H

Correção Nacional

L K

I J

(b) O ponto M é a interseção dos segmentos AE e DK. Quais são as medidas dos  e DME  ? ângulos MDE

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

 ? (c) Qual é a medida do ângulo CBM

(d) Prove que os pontos B, M e F estão alinhados.

total

6

NÍVEL 2

Respostas sem justificativa não serão consideradas

(5)   Um número inteiro n é simpático quando existem inteiros positivos a, b e c tais que a  b  c e n = a 2 + b 2 − c 2 . Por exemplo, os números 1 e 2 são simpáticos, pois 1 = 4 2 + 7 2 − 8 2 e 2 = 5 2 + 11 2 − 12 2 .

(a) Verifique que (3 x  1) 2  (4 x  2) 2  (5 x  2) 2 é igual a 2 x  1, qualquer que seja x.

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

Correção Regional

Correção Nacional

(b) Encontre números inteiros m e n tais que (3 x  m ) 2  (4 x  n ) 2  (5 x  5) 2  2 x , qualquer que seja x.

(c) Mostre que o número 4 é simpático.

(d) Mostre que todos os números inteiros positivos são simpáticos.

total

eros acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada): 1e6 casas que têm um lado comum

as

as

Partida completa

Respostas sem justificativa Jogadasnão serão consideradas.

NÍVEL 1

NÍVEL72 7

Respostas sem justificativa não serão consideradas

1, 2, 4 e 3 1e6

as

Cas (6)   No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, has sãο (6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colunas quisermos, cujas casasvizin podem a (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado. cujas casas podem mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1 linha são numeradas

a a que mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da linha e assda 2 têm 1, 12, 4 e 3 são numeradas com os números ímpares casa com os números ímpares e as da 2a linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa lado com ummudam linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, então, essa casa e as casas adjacentes deum. e,cor. então, casa e as casas vizinhas mudam cor.brancas Uma partida completa com cinzas. todas as partida completa começa com todas as de casas e termina quandocomeça todas ficam Veja dois exemplos Umaessa casas brancas e termina ficam cinzas.indicam Veja dois exemplos desem partidas completas (osconsideradas. Respostas justificativa não serão de partidas completas (osquando númerostodas acima das flechas a casa apertada em cada jogada): números acima das flechas indicam a casa apertada em cada jogada): (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado. post-it: casas adjacentes sãο casas que têm um lado comum

Tabuleiro

artida completa no tabuleiro 2 × 100 . 2×3

Partida completa

Jogadas

6

1

1 e quantas 6 (6) No jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com colunas quisermos, c 1e6 a

mudar da cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1 linha são numeradas com os números linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, então, essa casa e as casas ad cor. Uma partida completa começa com todas as casas brancas e termina quando todas ficam cinza 1 2 4 3 casa em cada jogada): 1, 4ee33 2 . de partidas completas (os números acima das flechas indicam a 1, artida completa no tabuleiro 22××100 2,2,4apertada post-it: casas adjacentes sãο casas que têm um lado comum Tabuleiro

Jogadas

Partida Jog (a) EscrevaTabuleiro as jogadas de uma partida completa noscompleta tabuleiros ao lado.não serão considerad Respostas sem justificativa (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabuleiros ao lado.

artida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 × 101. 2×3

1

(6) No101 jogo do Troca-Cor usa-se um tabuleiro com duas linhas e com quantas colun artida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 × a 1, 2,c 2 ×da 2 .cor branca para cinza e vice-versa. As casas da 1Correção mudar linha sãoCorreção numeradas Regional linha com os números pares. Em cada jogada aperta-se uma casa e, Nacional então, essa ca cor. Uma partida completa começa com todas as casas brancas e termina quando t Expliquecomo comojogar jogaruma umapartida partidacompleta completa de no partidas tabuleirocompletas (b)(b) Explique no tabuleiro 22 × 100 100.. (os números acima das flechas indicam a casa apertada em Tabuleiro Jogadas (a) Escreva as jogadas de uma partida completa nos tabu post-it: casas adjacentes sãο casas que têm um lado comum

sível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro Tabuleiro 2 × 101.

Partida completa

2×3 Correção Regional

sível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2 × 101.

Correção Nacional

.. Expliquecomo comojogar jogaruma umapartida partida completa com exatamente 51 jogadas no (b) Explique como jogar uma partida notabuleiro tabuleiro 222××101 100 (c)(c) Explique completa com exatamente 51completa jogadas no tabuleiro 101. 2×2 TOTAL Tabuleiro

Jogadas

(a) Escreva as jogadas de uma partida

TOTAL

(c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabuleiro 2 × 101. Correção

(d) Explique porque não é possível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabuleiro 2Regional × 101.

Correção Nacional

(b) Explique comocom jogar uma partida no tabuleiro tabuleiro 22 × 100 (d) Explique porque não é possível jogar uma partida completa menos que 51completa jogadas no 101..



Correção Regional

Correção Nacional

TOTAL (d) Explique porque não é possível jogar uma partida completa com menos que 51 jogadas no tabule total

Correção Regional

Correção Nacional

(c) Explique como jogar uma partida completa com exatamente 51 jogadas no tabul

rascunho Operacionalização: