2.4.pdf

Pengantar Analisis Real Denny Ivanal Hakim

Senin 4 Februari, 2019

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R.

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R. Untuk setiap a ∈ R, definisikan a + S := {a + s : s ∈ S}.

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R. Untuk setiap a ∈ R, definisikan a + S := {a + s : s ∈ S}. 1

Jika S terbatas di atas, maka sup(a + S) = a + sup S.

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R. Untuk setiap a ∈ R, definisikan a + S := {a + s : s ∈ S}. 1

Jika S terbatas di atas, maka sup(a + S) = a + sup S.

2

Jika S terbatas di bawah, maka inf(a + S) = a + inf S.

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R. Untuk setiap a ∈ R, definisikan a + S := {a + s : s ∈ S}. 1

Jika S terbatas di atas, maka sup(a + S) = a + sup S.

2

Jika S terbatas di bawah, maka inf(a + S) = a + inf S.

Bukti Misalkan u := sup S,

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R. Untuk setiap a ∈ R, definisikan a + S := {a + s : s ∈ S}. 1

Jika S terbatas di atas, maka sup(a + S) = a + sup S.

2

Jika S terbatas di bawah, maka inf(a + S) = a + inf S.

Bukti Misalkan u := sup S, maka s ≤ u untuk semua s ∈ S,

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R. Untuk setiap a ∈ R, definisikan a + S := {a + s : s ∈ S}. 1

Jika S terbatas di atas, maka sup(a + S) = a + sup S.

2

Jika S terbatas di bawah, maka inf(a + S) = a + inf S.

Bukti Misalkan u := sup S, maka s ≤ u untuk semua s ∈ S, sehingga a + s ≤ a + u.

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R. Untuk setiap a ∈ R, definisikan a + S := {a + s : s ∈ S}. 1

Jika S terbatas di atas, maka sup(a + S) = a + sup S.

2

Jika S terbatas di bawah, maka inf(a + S) = a + inf S.

Bukti Misalkan u := sup S, maka s ≤ u untuk semua s ∈ S, sehingga a + s ≤ a + u. Oleh karena itu, a + u adalah batas atas dari a + S.

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R. Untuk setiap a ∈ R, definisikan a + S := {a + s : s ∈ S}. 1

Jika S terbatas di atas, maka sup(a + S) = a + sup S.

2

Jika S terbatas di bawah, maka inf(a + S) = a + inf S.

Bukti Misalkan u := sup S, maka s ≤ u untuk semua s ∈ S, sehingga a + s ≤ a + u. Oleh karena itu, a + u adalah batas atas dari a + S. Akibatnya, sup(a + S) ≤ a + u.

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R. Untuk setiap a ∈ R, definisikan a + S := {a + s : s ∈ S}. 1

Jika S terbatas di atas, maka sup(a + S) = a + sup S.

2

Jika S terbatas di bawah, maka inf(a + S) = a + inf S.

Bukti Misalkan u := sup S, maka s ≤ u untuk semua s ∈ S, sehingga a + s ≤ a + u. Oleh karena itu, a + u adalah batas atas dari a + S. Akibatnya, sup(a + S) ≤ a + u. Misalkan v := sup(a + S),

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R. Untuk setiap a ∈ R, definisikan a + S := {a + s : s ∈ S}. 1

Jika S terbatas di atas, maka sup(a + S) = a + sup S.

2

Jika S terbatas di bawah, maka inf(a + S) = a + inf S.

Bukti Misalkan u := sup S, maka s ≤ u untuk semua s ∈ S, sehingga a + s ≤ a + u. Oleh karena itu, a + u adalah batas atas dari a + S. Akibatnya, sup(a + S) ≤ a + u. Misalkan v := sup(a + S), maka a + s ≤ v untuk semua s ∈ S,

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R. Untuk setiap a ∈ R, definisikan a + S := {a + s : s ∈ S}. 1

Jika S terbatas di atas, maka sup(a + S) = a + sup S.

2

Jika S terbatas di bawah, maka inf(a + S) = a + inf S.

Bukti Misalkan u := sup S, maka s ≤ u untuk semua s ∈ S, sehingga a + s ≤ a + u. Oleh karena itu, a + u adalah batas atas dari a + S. Akibatnya, sup(a + S) ≤ a + u. Misalkan v := sup(a + S), maka a + s ≤ v untuk semua s ∈ S, sehingga s ≤ v − a.

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R. Untuk setiap a ∈ R, definisikan a + S := {a + s : s ∈ S}. 1

Jika S terbatas di atas, maka sup(a + S) = a + sup S.

2

Jika S terbatas di bawah, maka inf(a + S) = a + inf S.

Bukti Misalkan u := sup S, maka s ≤ u untuk semua s ∈ S, sehingga a + s ≤ a + u. Oleh karena itu, a + u adalah batas atas dari a + S. Akibatnya, sup(a + S) ≤ a + u. Misalkan v := sup(a + S), maka a + s ≤ v untuk semua s ∈ S, sehingga s ≤ v − a. Oleh karena itu v − a adalah batas atas dari S.

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R. Untuk setiap a ∈ R, definisikan a + S := {a + s : s ∈ S}. 1

Jika S terbatas di atas, maka sup(a + S) = a + sup S.

2

Jika S terbatas di bawah, maka inf(a + S) = a + inf S.

Bukti Misalkan u := sup S, maka s ≤ u untuk semua s ∈ S, sehingga a + s ≤ a + u. Oleh karena itu, a + u adalah batas atas dari a + S. Akibatnya, sup(a + S) ≤ a + u. Misalkan v := sup(a + S), maka a + s ≤ v untuk semua s ∈ S, sehingga s ≤ v − a. Oleh karena itu v − a adalah batas atas dari S. Karena u = sup S,

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R. Untuk setiap a ∈ R, definisikan a + S := {a + s : s ∈ S}. 1

Jika S terbatas di atas, maka sup(a + S) = a + sup S.

2

Jika S terbatas di bawah, maka inf(a + S) = a + inf S.

Bukti Misalkan u := sup S, maka s ≤ u untuk semua s ∈ S, sehingga a + s ≤ a + u. Oleh karena itu, a + u adalah batas atas dari a + S. Akibatnya, sup(a + S) ≤ a + u. Misalkan v := sup(a + S), maka a + s ≤ v untuk semua s ∈ S, sehingga s ≤ v − a. Oleh karena itu v − a adalah batas atas dari S. Karena u = sup S, maka u ≤ v − a,

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R. Untuk setiap a ∈ R, definisikan a + S := {a + s : s ∈ S}. 1

Jika S terbatas di atas, maka sup(a + S) = a + sup S.

2

Jika S terbatas di bawah, maka inf(a + S) = a + inf S.

Bukti Misalkan u := sup S, maka s ≤ u untuk semua s ∈ S, sehingga a + s ≤ a + u. Oleh karena itu, a + u adalah batas atas dari a + S. Akibatnya, sup(a + S) ≤ a + u. Misalkan v := sup(a + S), maka a + s ≤ v untuk semua s ∈ S, sehingga s ≤ v − a. Oleh karena itu v − a adalah batas atas dari S. Karena u = sup S, maka u ≤ v − a, sehingga a + u ≤ v .

Sifat supremum dan infimum yang terkait dengan operasi aljabar pada R Misalkan S adalah suatu subhimpunan tak kosong dari R. Untuk setiap a ∈ R, definisikan a + S := {a + s : s ∈ S}. 1

Jika S terbatas di atas, maka sup(a + S) = a + sup S.

2

Jika S terbatas di bawah, maka inf(a + S) = a + inf S.

Bukti Misalkan u := sup S, maka s ≤ u untuk semua s ∈ S, sehingga a + s ≤ a + u. Oleh karena itu, a + u adalah batas atas dari a + S. Akibatnya, sup(a + S) ≤ a + u. Misalkan v := sup(a + S), maka a + s ≤ v untuk semua s ∈ S, sehingga s ≤ v − a. Oleh karena itu v − a adalah batas atas dari S. Karena u = sup S, maka u ≤ v − a, sehingga a + u ≤ v . Dengan menggabungkan sup(a+S) ≤ a+u dan a+u ≤ v diperoleh a + sup S = a + u = v = sup(a + S).

Supremum dan infimum dari dua himpunan

Misalkan A dan B adalah dua subhimpunan tak kosong dari R yang memenuhi a ≤ b untuk semua a ∈ A dan b ∈ B.

Supremum dan infimum dari dua himpunan

Misalkan A dan B adalah dua subhimpunan tak kosong dari R yang memenuhi a ≤ b untuk semua a ∈ A dan b ∈ B. Akan dibuktikan bahwa sup A ≤ inf B.

Supremum dan infimum dari dua himpunan

Misalkan A dan B adalah dua subhimpunan tak kosong dari R yang memenuhi a ≤ b untuk semua a ∈ A dan b ∈ B. Akan dibuktikan bahwa sup A ≤ inf B. Diberikan b ∈ B.

Supremum dan infimum dari dua himpunan

Misalkan A dan B adalah dua subhimpunan tak kosong dari R yang memenuhi a ≤ b untuk semua a ∈ A dan b ∈ B. Akan dibuktikan bahwa sup A ≤ inf B. Diberikan b ∈ B. Karena b ≥ a untuk semua a ∈ A,

Supremum dan infimum dari dua himpunan

Misalkan A dan B adalah dua subhimpunan tak kosong dari R yang memenuhi a ≤ b untuk semua a ∈ A dan b ∈ B. Akan dibuktikan bahwa sup A ≤ inf B. Diberikan b ∈ B. Karena b ≥ a untuk semua a ∈ A, maka b adalah suatu batas atas dari A,

Supremum dan infimum dari dua himpunan

Misalkan A dan B adalah dua subhimpunan tak kosong dari R yang memenuhi a ≤ b untuk semua a ∈ A dan b ∈ B. Akan dibuktikan bahwa sup A ≤ inf B. Diberikan b ∈ B. Karena b ≥ a untuk semua a ∈ A, maka b adalah suatu batas atas dari A, sehingga sup A ≤ b.

Supremum dan infimum dari dua himpunan

Misalkan A dan B adalah dua subhimpunan tak kosong dari R yang memenuhi a ≤ b untuk semua a ∈ A dan b ∈ B. Akan dibuktikan bahwa sup A ≤ inf B. Diberikan b ∈ B. Karena b ≥ a untuk semua a ∈ A, maka b adalah suatu batas atas dari A, sehingga sup A ≤ b. Akibatnya, sup A adalah batas bawah dari B.

Supremum dan infimum dari dua himpunan

Misalkan A dan B adalah dua subhimpunan tak kosong dari R yang memenuhi a ≤ b untuk semua a ∈ A dan b ∈ B. Akan dibuktikan bahwa sup A ≤ inf B. Diberikan b ∈ B. Karena b ≥ a untuk semua a ∈ A, maka b adalah suatu batas atas dari A, sehingga sup A ≤ b. Akibatnya, sup A adalah batas bawah dari B. Oleh karena itu, sup A ≤ inf B.

Fungsi terbatas

Diberikan fungsi f : D → R.

Fungsi terbatas

Diberikan fungsi f : D → R. 1

Fungsi f dikatakan terbatas di atas jika himpunan f (D) terbatas di atas,

Fungsi terbatas

Diberikan fungsi f : D → R. 1

Fungsi f dikatakan terbatas di atas jika himpunan f (D) terbatas di atas, yakni terdapat B ∈ R sedemikan hingga f (x) ≤ B untuk semua x ∈ D.

Fungsi terbatas

Diberikan fungsi f : D → R. 1

Fungsi f dikatakan terbatas di atas jika himpunan f (D) terbatas di atas, yakni terdapat B ∈ R sedemikan hingga f (x) ≤ B untuk semua x ∈ D.

2

Fungsi f dikatakan terbatas di bawah jika himpunan f (D) terbatas di bawah,

Fungsi terbatas

Diberikan fungsi f : D → R. 1

Fungsi f dikatakan terbatas di atas jika himpunan f (D) terbatas di atas, yakni terdapat B ∈ R sedemikan hingga f (x) ≤ B untuk semua x ∈ D.

2

Fungsi f dikatakan terbatas di bawah jika himpunan f (D) terbatas di bawah, yakni terdapat B ∈ R sedemikan hingga f (x) ≥ B untuk semua x ∈ D.

Fungsi terbatas

Diberikan fungsi f : D → R. 1

Fungsi f dikatakan terbatas di atas jika himpunan f (D) terbatas di atas, yakni terdapat B ∈ R sedemikan hingga f (x) ≤ B untuk semua x ∈ D.

2

Fungsi f dikatakan terbatas di bawah jika himpunan f (D) terbatas di bawah, yakni terdapat B ∈ R sedemikan hingga f (x) ≥ B untuk semua x ∈ D.

3

Fungsi f dikatakan terbatas jika f terbatas di atas dan terbatas di bawah.

Fungsi terbatas

Diberikan fungsi f : D → R. 1

Fungsi f dikatakan terbatas di atas jika himpunan f (D) terbatas di atas, yakni terdapat B ∈ R sedemikan hingga f (x) ≤ B untuk semua x ∈ D.

2

Fungsi f dikatakan terbatas di bawah jika himpunan f (D) terbatas di bawah, yakni terdapat B ∈ R sedemikan hingga f (x) ≥ B untuk semua x ∈ D.

3

Fungsi f dikatakan terbatas jika f terbatas di atas dan terbatas di bawah. Dengan kata lain, f terbatas jika terdapat B ∈ R sedemikian hingga |f (x)| ≤ B untuk semua x ∈ D.

Fungsi terbatas (II) Misalkan f dan g adalah fungsi bernilai real dengan daerah asal D ⊆ R.

Fungsi terbatas (II) Misalkan f dan g adalah fungsi bernilai real dengan daerah asal D ⊆ R. Asumsikan bahwa f dan g terbatas.

Fungsi terbatas (II) Misalkan f dan g adalah fungsi bernilai real dengan daerah asal D ⊆ R. Asumsikan bahwa f dan g terbatas. 1

Jika f (x) ≤ g (x) untuk semua x ∈ D, maka sup f (D) ≤ sup g (D)

dan

inf f (D) ≤ inf g (D).

Fungsi terbatas (II) Misalkan f dan g adalah fungsi bernilai real dengan daerah asal D ⊆ R. Asumsikan bahwa f dan g terbatas. 1

Jika f (x) ≤ g (x) untuk semua x ∈ D, maka sup f (D) ≤ sup g (D)

dan

inf f (D) ≤ inf g (D).

Ketaksamaan di atas terkadang ditulis sebagai sup f (x) ≤ sup g (x) dan x∈D

x∈D

inf f (x) ≤ inf g (x).

x∈D

x∈D

Fungsi terbatas (II) Misalkan f dan g adalah fungsi bernilai real dengan daerah asal D ⊆ R. Asumsikan bahwa f dan g terbatas. 1

Jika f (x) ≤ g (x) untuk semua x ∈ D, maka sup f (D) ≤ sup g (D)

inf f (D) ≤ inf g (D).

dan

Ketaksamaan di atas terkadang ditulis sebagai sup f (x) ≤ sup g (x) dan x∈D

2

x∈D

inf f (x) ≤ inf g (x).

x∈D

Jika f (x) ≤ g (y ) untuk semua x, y ∈ D, maka sup f (x) ≤ inf g (y ). x∈D

y ∈D

x∈D

Sifat Archimedes Sifat Archimedes Jika x ∈ R, maka terdapat nx ∈ N sdemikian hingga x ≤ nx .

Sifat Archimedes Sifat Archimedes Jika x ∈ R, maka terdapat nx ∈ N sdemikian hingga x ≤ nx . Akibat 1 Jika S := {1/n : n ∈ N}, maka inf S = 0.

Sifat Archimedes Sifat Archimedes Jika x ∈ R, maka terdapat nx ∈ N sdemikian hingga x ≤ nx . Akibat 1 Jika S := {1/n : n ∈ N}, maka inf S = 0. Akibat 2 1 Jika t > 0, maka terdapat nt ∈ N sedemikian hingga 0 < < t. nt

Sifat Archimedes Sifat Archimedes Jika x ∈ R, maka terdapat nx ∈ N sdemikian hingga x ≤ nx . Akibat 1 Jika S := {1/n : n ∈ N}, maka inf S = 0. Akibat 2 1 Jika t > 0, maka terdapat nt ∈ N sedemikian hingga 0 < < t. nt Akibat 3 Jika y > 0, maka terdapat ny ∈ N sedemikian hingga ny − 1 ≤ y < ny .

Eksistensi

√

2 dan Kepadatan bilangan rasional di R

Teorema Terdapat bilangan real positif x sedemikian hingga x 2 = 2.

Eksistensi

√

2 dan Kepadatan bilangan rasional di R

Teorema Terdapat bilangan real positif x sedemikian hingga x 2 = 2. Teorema Jika x, y ∈ R dengan x < y , maka terdapat r ∈ Q sedemikian hingga x < r < y .

Eksistensi

√

2 dan Kepadatan bilangan rasional di R

Teorema Terdapat bilangan real positif x sedemikian hingga x 2 = 2. Teorema Jika x, y ∈ R dengan x < y , maka terdapat r ∈ Q sedemikian hingga x < r < y . Akibat Jika x, y ∈ R memenuhi x < y , maka terdapat bilangan irasional z sedemikian hingga x < z < y

Interval Interval terbatas

Interval Interval terbatas Misalkan a, b ∈ R dengan a ≤ b.

Interval Interval terbatas Misalkan a, b ∈ R dengan a ≤ b. Definisikan 1

(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.

Interval Interval terbatas Misalkan a, b ∈ R dengan a ≤ b. Definisikan 1

(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.

2

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

Interval Interval terbatas Misalkan a, b ∈ R dengan a ≤ b. Definisikan 1

(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.

2

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

3

[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}.

Interval Interval terbatas Misalkan a, b ∈ R dengan a ≤ b. Definisikan 1

(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.

2

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

3

[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}.

4

(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}.

Interval Interval terbatas Misalkan a, b ∈ R dengan a ≤ b. Definisikan 1

(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.

2

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

3

[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}.

4

(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}.

Interval tak terbatas Misalkan a, b ∈ R.

Interval Interval terbatas Misalkan a, b ∈ R dengan a ≤ b. Definisikan 1

(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.

2

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

3

[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}.

4

(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}.

Interval tak terbatas Misalkan a, b ∈ R. Definisikan 1

[a, ∞) := {x ∈ R : x ≥ a}

Interval Interval terbatas Misalkan a, b ∈ R dengan a ≤ b. Definisikan 1

(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.

2

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

3

[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}.

4

(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}.

Interval tak terbatas Misalkan a, b ∈ R. Definisikan 1

[a, ∞) := {x ∈ R : x ≥ a}

2

(a, ∞) := {x ∈ R : x > a}

Interval Interval terbatas Misalkan a, b ∈ R dengan a ≤ b. Definisikan 1

(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.

2

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

3

[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}.

4

(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}.

Interval tak terbatas Misalkan a, b ∈ R. Definisikan 1

[a, ∞) := {x ∈ R : x ≥ a}

2

(a, ∞) := {x ∈ R : x > a}

3

(−∞, b) := {x ∈ R : x < b}

Interval Interval terbatas Misalkan a, b ∈ R dengan a ≤ b. Definisikan 1

(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.

2

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

3

[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}.

4

(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}.

Interval tak terbatas Misalkan a, b ∈ R. Definisikan 1

[a, ∞) := {x ∈ R : x ≥ a}

2

(a, ∞) := {x ∈ R : x > a}

3

(−∞, b) := {x ∈ R : x < b}

4

(−∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b}

Interval Interval terbatas Misalkan a, b ∈ R dengan a ≤ b. Definisikan 1

(a, b) := {x ∈ R : a < x < b}.

2

[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.

3

[a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b}.

4

(a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}.

Interval tak terbatas Misalkan a, b ∈ R. Definisikan 1

[a, ∞) := {x ∈ R : x ≥ a}

2

(a, ∞) := {x ∈ R : x > a}

3

(−∞, b) := {x ∈ R : x < b}

4

(−∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b}

5

(−∞, ∞) := R.

Karakterisasi Interval

Misalkan I adalah sebarang interval di R. Perhatikan bahwa, jika x, y ∈ I dan x < y , maka [x, y ] ⊆ I .

Karakterisasi Interval

Misalkan I adalah sebarang interval di R. Perhatikan bahwa, jika x, y ∈ I dan x < y , maka [x, y ] ⊆ I . Kebalikan dari pernyataan ini juga berlaku dan hal ini dituliskan sebagai berikut.

Karakterisasi Interval

Misalkan I adalah sebarang interval di R. Perhatikan bahwa, jika x, y ∈ I dan x < y , maka [x, y ] ⊆ I . Kebalikan dari pernyataan ini juga berlaku dan hal ini dituliskan sebagai berikut. Teorema (Karakterisasi interval)

Karakterisasi Interval

Misalkan I adalah sebarang interval di R. Perhatikan bahwa, jika x, y ∈ I dan x < y , maka [x, y ] ⊆ I . Kebalikan dari pernyataan ini juga berlaku dan hal ini dituliskan sebagai berikut. Teorema (Karakterisasi interval) Jika S adalaah suatu subhimpunan dari R yang mempunyai setidaknya dua anggota dan S memiliki sifat: jika x, y ∈ S dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S,

Karakterisasi Interval

Misalkan I adalah sebarang interval di R. Perhatikan bahwa, jika x, y ∈ I dan x < y , maka [x, y ] ⊆ I . Kebalikan dari pernyataan ini juga berlaku dan hal ini dituliskan sebagai berikut. Teorema (Karakterisasi interval) Jika S adalaah suatu subhimpunan dari R yang mempunyai setidaknya dua anggota dan S memiliki sifat: jika x, y ∈ S dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S, maka S adalah suatu interval.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (I)

Tinjau keempat kasus berikut: 1

S terbatas

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (I)

Tinjau keempat kasus berikut: 1

S terbatas

2

S terbatas di atas namun tidak terbatas di bawah

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (I)

Tinjau keempat kasus berikut: 1

S terbatas

2

S terbatas di atas namun tidak terbatas di bawah

3

S terbatas di bawah namun tidak terbatas di atas

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (I)

Tinjau keempat kasus berikut: 1

S terbatas

2

S terbatas di atas namun tidak terbatas di bawah

3

S terbatas di bawah namun tidak terbatas di atas

4

S tidak terbatas.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S. Karena untuk semua s ∈ S berlaku a ≤ s ≤ b, maka S ⊆ [a, b].

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S. Karena untuk semua s ∈ S berlaku a ≤ s ≤ b, maka S ⊆ [a, b]. Akan ditunjukkan bahwa (a, b) ⊆ S.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S. Karena untuk semua s ∈ S berlaku a ≤ s ≤ b, maka S ⊆ [a, b]. Akan ditunjukkan bahwa (a, b) ⊆ S. Misalkan z ∈ (a, b).

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S. Karena untuk semua s ∈ S berlaku a ≤ s ≤ b, maka S ⊆ [a, b]. Akan ditunjukkan bahwa (a, b) ⊆ S. Misalkan z ∈ (a, b). Karena z > a, maka z bukan batas bawah S, sehingga terdapat x ∈ S yang memenuhi x < z.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S. Karena untuk semua s ∈ S berlaku a ≤ s ≤ b, maka S ⊆ [a, b]. Akan ditunjukkan bahwa (a, b) ⊆ S. Misalkan z ∈ (a, b). Karena z > a, maka z bukan batas bawah S, sehingga terdapat x ∈ S yang memenuhi x < z. Sebaliknya, karena z < b, maka z bukan batas atas S, sehingga terdapat y ∈ S yang memenuhi z < y .

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S. Karena untuk semua s ∈ S berlaku a ≤ s ≤ b, maka S ⊆ [a, b]. Akan ditunjukkan bahwa (a, b) ⊆ S. Misalkan z ∈ (a, b). Karena z > a, maka z bukan batas bawah S, sehingga terdapat x ∈ S yang memenuhi x < z. Sebaliknya, karena z < b, maka z bukan batas atas S, sehingga terdapat y ∈ S yang memenuhi z < y . Akibatnya, z ∈ [x, y ].

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S. Karena untuk semua s ∈ S berlaku a ≤ s ≤ b, maka S ⊆ [a, b]. Akan ditunjukkan bahwa (a, b) ⊆ S. Misalkan z ∈ (a, b). Karena z > a, maka z bukan batas bawah S, sehingga terdapat x ∈ S yang memenuhi x < z. Sebaliknya, karena z < b, maka z bukan batas atas S, sehingga terdapat y ∈ S yang memenuhi z < y . Akibatnya, z ∈ [x, y ]. Karena x ∈ S, y ∈ S, dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S. Karena untuk semua s ∈ S berlaku a ≤ s ≤ b, maka S ⊆ [a, b]. Akan ditunjukkan bahwa (a, b) ⊆ S. Misalkan z ∈ (a, b). Karena z > a, maka z bukan batas bawah S, sehingga terdapat x ∈ S yang memenuhi x < z. Sebaliknya, karena z < b, maka z bukan batas atas S, sehingga terdapat y ∈ S yang memenuhi z < y . Akibatnya, z ∈ [x, y ]. Karena x ∈ S, y ∈ S, dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S. Hal ini dan z ∈ [x, y ] mengakibatkan z ∈ S.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S. Karena untuk semua s ∈ S berlaku a ≤ s ≤ b, maka S ⊆ [a, b]. Akan ditunjukkan bahwa (a, b) ⊆ S. Misalkan z ∈ (a, b). Karena z > a, maka z bukan batas bawah S, sehingga terdapat x ∈ S yang memenuhi x < z. Sebaliknya, karena z < b, maka z bukan batas atas S, sehingga terdapat y ∈ S yang memenuhi z < y . Akibatnya, z ∈ [x, y ]. Karena x ∈ S, y ∈ S, dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S. Hal ini dan z ∈ [x, y ] mengakibatkan z ∈ S. Jadi, terbukti bahwa (a, b) ⊆ S.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S. Karena untuk semua s ∈ S berlaku a ≤ s ≤ b, maka S ⊆ [a, b]. Akan ditunjukkan bahwa (a, b) ⊆ S. Misalkan z ∈ (a, b). Karena z > a, maka z bukan batas bawah S, sehingga terdapat x ∈ S yang memenuhi x < z. Sebaliknya, karena z < b, maka z bukan batas atas S, sehingga terdapat y ∈ S yang memenuhi z < y . Akibatnya, z ∈ [x, y ]. Karena x ∈ S, y ∈ S, dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S. Hal ini dan z ∈ [x, y ] mengakibatkan z ∈ S. Jadi, terbukti bahwa (a, b) ⊆ S. Jadi, untuk kasus ini berlaku (a, b) ⊆ S ⊆ [a, b].

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S. Karena untuk semua s ∈ S berlaku a ≤ s ≤ b, maka S ⊆ [a, b]. Akan ditunjukkan bahwa (a, b) ⊆ S. Misalkan z ∈ (a, b). Karena z > a, maka z bukan batas bawah S, sehingga terdapat x ∈ S yang memenuhi x < z. Sebaliknya, karena z < b, maka z bukan batas atas S, sehingga terdapat y ∈ S yang memenuhi z < y . Akibatnya, z ∈ [x, y ]. Karena x ∈ S, y ∈ S, dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S. Hal ini dan z ∈ [x, y ] mengakibatkan z ∈ S. Jadi, terbukti bahwa (a, b) ⊆ S. Jadi, untuk kasus ini berlaku (a, b) ⊆ S ⊆ [a, b]. Terdapat 4 kemungkinan untuk S sebagai berikut:

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S. Karena untuk semua s ∈ S berlaku a ≤ s ≤ b, maka S ⊆ [a, b]. Akan ditunjukkan bahwa (a, b) ⊆ S. Misalkan z ∈ (a, b). Karena z > a, maka z bukan batas bawah S, sehingga terdapat x ∈ S yang memenuhi x < z. Sebaliknya, karena z < b, maka z bukan batas atas S, sehingga terdapat y ∈ S yang memenuhi z < y . Akibatnya, z ∈ [x, y ]. Karena x ∈ S, y ∈ S, dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S. Hal ini dan z ∈ [x, y ] mengakibatkan z ∈ S. Jadi, terbukti bahwa (a, b) ⊆ S. Jadi, untuk kasus ini berlaku (a, b) ⊆ S ⊆ [a, b]. Terdapat 4 kemungkinan untuk S sebagai berikut: 1

Jika a ∈ S dan b ∈ S, maka S = [a, b].

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S. Karena untuk semua s ∈ S berlaku a ≤ s ≤ b, maka S ⊆ [a, b]. Akan ditunjukkan bahwa (a, b) ⊆ S. Misalkan z ∈ (a, b). Karena z > a, maka z bukan batas bawah S, sehingga terdapat x ∈ S yang memenuhi x < z. Sebaliknya, karena z < b, maka z bukan batas atas S, sehingga terdapat y ∈ S yang memenuhi z < y . Akibatnya, z ∈ [x, y ]. Karena x ∈ S, y ∈ S, dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S. Hal ini dan z ∈ [x, y ] mengakibatkan z ∈ S. Jadi, terbukti bahwa (a, b) ⊆ S. Jadi, untuk kasus ini berlaku (a, b) ⊆ S ⊆ [a, b]. Terdapat 4 kemungkinan untuk S sebagai berikut: 1

Jika a ∈ S dan b ∈ S, maka S = [a, b].

2

Jika a ∈ / S dan b ∈ S, maka S = (a, b].

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S. Karena untuk semua s ∈ S berlaku a ≤ s ≤ b, maka S ⊆ [a, b]. Akan ditunjukkan bahwa (a, b) ⊆ S. Misalkan z ∈ (a, b). Karena z > a, maka z bukan batas bawah S, sehingga terdapat x ∈ S yang memenuhi x < z. Sebaliknya, karena z < b, maka z bukan batas atas S, sehingga terdapat y ∈ S yang memenuhi z < y . Akibatnya, z ∈ [x, y ]. Karena x ∈ S, y ∈ S, dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S. Hal ini dan z ∈ [x, y ] mengakibatkan z ∈ S. Jadi, terbukti bahwa (a, b) ⊆ S. Jadi, untuk kasus ini berlaku (a, b) ⊆ S ⊆ [a, b]. Terdapat 4 kemungkinan untuk S sebagai berikut: 1

Jika a ∈ S dan b ∈ S, maka S = [a, b].

2

Jika a ∈ / S dan b ∈ S, maka S = (a, b].

3

Jika a ∈ S dan b ∈ / S, maka S = [a, b).

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S. Karena untuk semua s ∈ S berlaku a ≤ s ≤ b, maka S ⊆ [a, b]. Akan ditunjukkan bahwa (a, b) ⊆ S. Misalkan z ∈ (a, b). Karena z > a, maka z bukan batas bawah S, sehingga terdapat x ∈ S yang memenuhi x < z. Sebaliknya, karena z < b, maka z bukan batas atas S, sehingga terdapat y ∈ S yang memenuhi z < y . Akibatnya, z ∈ [x, y ]. Karena x ∈ S, y ∈ S, dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S. Hal ini dan z ∈ [x, y ] mengakibatkan z ∈ S. Jadi, terbukti bahwa (a, b) ⊆ S. Jadi, untuk kasus ini berlaku (a, b) ⊆ S ⊆ [a, b]. Terdapat 4 kemungkinan untuk S sebagai berikut: 1

Jika a ∈ S dan b ∈ S, maka S = [a, b].

2

Jika a ∈ / S dan b ∈ S, maka S = (a, b].

3

Jika a ∈ S dan b ∈ / S, maka S = [a, b).

4

Jika a ∈ / S dan b ∈ / S, maka S = (a, b).

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (II) Kasus I: S terbatas. Misalkan a := inf S dan b := sup S. Karena untuk semua s ∈ S berlaku a ≤ s ≤ b, maka S ⊆ [a, b]. Akan ditunjukkan bahwa (a, b) ⊆ S. Misalkan z ∈ (a, b). Karena z > a, maka z bukan batas bawah S, sehingga terdapat x ∈ S yang memenuhi x < z. Sebaliknya, karena z < b, maka z bukan batas atas S, sehingga terdapat y ∈ S yang memenuhi z < y . Akibatnya, z ∈ [x, y ]. Karena x ∈ S, y ∈ S, dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S. Hal ini dan z ∈ [x, y ] mengakibatkan z ∈ S. Jadi, terbukti bahwa (a, b) ⊆ S. Jadi, untuk kasus ini berlaku (a, b) ⊆ S ⊆ [a, b]. Terdapat 4 kemungkinan untuk S sebagai berikut: 1

Jika a ∈ S dan b ∈ S, maka S = [a, b].

2

Jika a ∈ / S dan b ∈ S, maka S = (a, b].

3

Jika a ∈ S dan b ∈ / S, maka S = [a, b).

4

Jika a ∈ / S dan b ∈ / S, maka S = (a, b).

Jadi, untuk kasus S terbatas, terbukti bahwa S adalah interval.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S. Jika s ∈ S,

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S. Jika s ∈ S, maka −∞ < s ≤ b, sehingga

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S. Jika s ∈ S, maka −∞ < s ≤ b, sehingga S ⊆ (−∞, b].

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S. Jika s ∈ S, maka −∞ < s ≤ b, sehingga S ⊆ (−∞, b]. Misalkan z ∈ (−∞, b).

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S. Jika s ∈ S, maka −∞ < s ≤ b, sehingga S ⊆ (−∞, b]. Misalkan z ∈ (−∞, b). Karena z < b dan b = sup S, maka terdapat y ∈ S sedemikian hingga z < y .

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S. Jika s ∈ S, maka −∞ < s ≤ b, sehingga S ⊆ (−∞, b]. Misalkan z ∈ (−∞, b). Karena z < b dan b = sup S, maka terdapat y ∈ S sedemikian hingga z < y . Karena S tidak terbatas di bawah,

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S. Jika s ∈ S, maka −∞ < s ≤ b, sehingga S ⊆ (−∞, b]. Misalkan z ∈ (−∞, b). Karena z < b dan b = sup S, maka terdapat y ∈ S sedemikian hingga z < y . Karena S tidak terbatas di bawah, maka terdapat x ∈ S sedemikian hingga x < z.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S. Jika s ∈ S, maka −∞ < s ≤ b, sehingga S ⊆ (−∞, b]. Misalkan z ∈ (−∞, b). Karena z < b dan b = sup S, maka terdapat y ∈ S sedemikian hingga z < y . Karena S tidak terbatas di bawah, maka terdapat x ∈ S sedemikian hingga x < z. Akibatnya, x < z < y .

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S. Jika s ∈ S, maka −∞ < s ≤ b, sehingga S ⊆ (−∞, b]. Misalkan z ∈ (−∞, b). Karena z < b dan b = sup S, maka terdapat y ∈ S sedemikian hingga z < y . Karena S tidak terbatas di bawah, maka terdapat x ∈ S sedemikian hingga x < z. Akibatnya, x < z < y . Karena x ∈ S, y ∈ S dan x < y ,

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S. Jika s ∈ S, maka −∞ < s ≤ b, sehingga S ⊆ (−∞, b]. Misalkan z ∈ (−∞, b). Karena z < b dan b = sup S, maka terdapat y ∈ S sedemikian hingga z < y . Karena S tidak terbatas di bawah, maka terdapat x ∈ S sedemikian hingga x < z. Akibatnya, x < z < y . Karena x ∈ S, y ∈ S dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S,

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S. Jika s ∈ S, maka −∞ < s ≤ b, sehingga S ⊆ (−∞, b]. Misalkan z ∈ (−∞, b). Karena z < b dan b = sup S, maka terdapat y ∈ S sedemikian hingga z < y . Karena S tidak terbatas di bawah, maka terdapat x ∈ S sedemikian hingga x < z. Akibatnya, x < z < y . Karena x ∈ S, y ∈ S dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S, sehingga z ∈ S.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S. Jika s ∈ S, maka −∞ < s ≤ b, sehingga S ⊆ (−∞, b]. Misalkan z ∈ (−∞, b). Karena z < b dan b = sup S, maka terdapat y ∈ S sedemikian hingga z < y . Karena S tidak terbatas di bawah, maka terdapat x ∈ S sedemikian hingga x < z. Akibatnya, x < z < y . Karena x ∈ S, y ∈ S dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S, sehingga z ∈ S. Oleh karena itu, (−∞, b) ⊆ S.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S. Jika s ∈ S, maka −∞ < s ≤ b, sehingga S ⊆ (−∞, b]. Misalkan z ∈ (−∞, b). Karena z < b dan b = sup S, maka terdapat y ∈ S sedemikian hingga z < y . Karena S tidak terbatas di bawah, maka terdapat x ∈ S sedemikian hingga x < z. Akibatnya, x < z < y . Karena x ∈ S, y ∈ S dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S, sehingga z ∈ S. Oleh karena itu, (−∞, b) ⊆ S. Jadi, untuk kasus ini berlaku (−∞, b) ⊆ S ⊆ (−∞, b].

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S. Jika s ∈ S, maka −∞ < s ≤ b, sehingga S ⊆ (−∞, b]. Misalkan z ∈ (−∞, b). Karena z < b dan b = sup S, maka terdapat y ∈ S sedemikian hingga z < y . Karena S tidak terbatas di bawah, maka terdapat x ∈ S sedemikian hingga x < z. Akibatnya, x < z < y . Karena x ∈ S, y ∈ S dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S, sehingga z ∈ S. Oleh karena itu, (−∞, b) ⊆ S. Jadi, untuk kasus ini berlaku (−∞, b) ⊆ S ⊆ (−∞, b]. Jika b ∈ S, maka S = (−∞, b].

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S. Jika s ∈ S, maka −∞ < s ≤ b, sehingga S ⊆ (−∞, b]. Misalkan z ∈ (−∞, b). Karena z < b dan b = sup S, maka terdapat y ∈ S sedemikian hingga z < y . Karena S tidak terbatas di bawah, maka terdapat x ∈ S sedemikian hingga x < z. Akibatnya, x < z < y . Karena x ∈ S, y ∈ S dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S, sehingga z ∈ S. Oleh karena itu, (−∞, b) ⊆ S. Jadi, untuk kasus ini berlaku (−∞, b) ⊆ S ⊆ (−∞, b]. Jika b ∈ S, maka S = (−∞, b]. Sebaliknya, jika b ∈ / S, maka S = (−∞, b).

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (III)

Kasus II: S terbatas di atas namun S tidak terbatas di bawah. Misalkan b := sup S. Jika s ∈ S, maka −∞ < s ≤ b, sehingga S ⊆ (−∞, b]. Misalkan z ∈ (−∞, b). Karena z < b dan b = sup S, maka terdapat y ∈ S sedemikian hingga z < y . Karena S tidak terbatas di bawah, maka terdapat x ∈ S sedemikian hingga x < z. Akibatnya, x < z < y . Karena x ∈ S, y ∈ S dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S, sehingga z ∈ S. Oleh karena itu, (−∞, b) ⊆ S. Jadi, untuk kasus ini berlaku (−∞, b) ⊆ S ⊆ (−∞, b]. Jika b ∈ S, maka S = (−∞, b]. Sebaliknya, jika b ∈ / S, maka S = (−∞, b). Jadi, untuk kasus ini terbukti bahwa S adalah interval.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas. Misalkan a := inf S dan definisikan −S := {−s : s ∈ S}.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas. Misalkan a := inf S dan definisikan −S := {−s : s ∈ S}. Karena S terbatas di bawah,

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas. Misalkan a := inf S dan definisikan −S := {−s : s ∈ S}. Karena S terbatas di bawah, maka −S terbatas di atas dan

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas. Misalkan a := inf S dan definisikan −S := {−s : s ∈ S}. Karena S terbatas di bawah, maka −S terbatas di atas dan sup(−S) = − inf S = −a.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas. Misalkan a := inf S dan definisikan −S := {−s : s ∈ S}. Karena S terbatas di bawah, maka −S terbatas di atas dan sup(−S) = − inf S = −a. Berdasarkan Kasus II, diperoleh −S = (−∞, −a) atau −S = (−∞, −a].

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas. Misalkan a := inf S dan definisikan −S := {−s : s ∈ S}. Karena S terbatas di bawah, maka −S terbatas di atas dan sup(−S) = − inf S = −a. Berdasarkan Kasus II, diperoleh −S = (−∞, −a) atau −S = (−∞, −a]. Akibatnya, S = (a, ∞) atau S = [a, ∞).

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas. Misalkan a := inf S dan definisikan −S := {−s : s ∈ S}. Karena S terbatas di bawah, maka −S terbatas di atas dan sup(−S) = − inf S = −a. Berdasarkan Kasus II, diperoleh −S = (−∞, −a) atau −S = (−∞, −a]. Akibatnya, S = (a, ∞) atau S = [a, ∞). Kasus IV: S tidak terbatas.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas. Misalkan a := inf S dan definisikan −S := {−s : s ∈ S}. Karena S terbatas di bawah, maka −S terbatas di atas dan sup(−S) = − inf S = −a. Berdasarkan Kasus II, diperoleh −S = (−∞, −a) atau −S = (−∞, −a]. Akibatnya, S = (a, ∞) atau S = [a, ∞). Kasus IV: S tidak terbatas. Jelas bahwa S ⊆ (−∞, ∞).

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas. Misalkan a := inf S dan definisikan −S := {−s : s ∈ S}. Karena S terbatas di bawah, maka −S terbatas di atas dan sup(−S) = − inf S = −a. Berdasarkan Kasus II, diperoleh −S = (−∞, −a) atau −S = (−∞, −a]. Akibatnya, S = (a, ∞) atau S = [a, ∞). Kasus IV: S tidak terbatas. Jelas bahwa S ⊆ (−∞, ∞). Sebaliknya, jika a ∈ (−∞, ∞),

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas. Misalkan a := inf S dan definisikan −S := {−s : s ∈ S}. Karena S terbatas di bawah, maka −S terbatas di atas dan sup(−S) = − inf S = −a. Berdasarkan Kasus II, diperoleh −S = (−∞, −a) atau −S = (−∞, −a]. Akibatnya, S = (a, ∞) atau S = [a, ∞). Kasus IV: S tidak terbatas. Jelas bahwa S ⊆ (−∞, ∞). Sebaliknya, jika a ∈ (−∞, ∞), maka terdapat x ∈ S dan y ∈ S sedemikian hingga x < a < y .

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas. Misalkan a := inf S dan definisikan −S := {−s : s ∈ S}. Karena S terbatas di bawah, maka −S terbatas di atas dan sup(−S) = − inf S = −a. Berdasarkan Kasus II, diperoleh −S = (−∞, −a) atau −S = (−∞, −a]. Akibatnya, S = (a, ∞) atau S = [a, ∞). Kasus IV: S tidak terbatas. Jelas bahwa S ⊆ (−∞, ∞). Sebaliknya, jika a ∈ (−∞, ∞), maka terdapat x ∈ S dan y ∈ S sedemikian hingga x < a < y . Karena x ∈ S, y ∈ S dan x < y ,

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas. Misalkan a := inf S dan definisikan −S := {−s : s ∈ S}. Karena S terbatas di bawah, maka −S terbatas di atas dan sup(−S) = − inf S = −a. Berdasarkan Kasus II, diperoleh −S = (−∞, −a) atau −S = (−∞, −a]. Akibatnya, S = (a, ∞) atau S = [a, ∞). Kasus IV: S tidak terbatas. Jelas bahwa S ⊆ (−∞, ∞). Sebaliknya, jika a ∈ (−∞, ∞), maka terdapat x ∈ S dan y ∈ S sedemikian hingga x < a < y . Karena x ∈ S, y ∈ S dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S,

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas. Misalkan a := inf S dan definisikan −S := {−s : s ∈ S}. Karena S terbatas di bawah, maka −S terbatas di atas dan sup(−S) = − inf S = −a. Berdasarkan Kasus II, diperoleh −S = (−∞, −a) atau −S = (−∞, −a]. Akibatnya, S = (a, ∞) atau S = [a, ∞). Kasus IV: S tidak terbatas. Jelas bahwa S ⊆ (−∞, ∞). Sebaliknya, jika a ∈ (−∞, ∞), maka terdapat x ∈ S dan y ∈ S sedemikian hingga x < a < y . Karena x ∈ S, y ∈ S dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S, sehingga a ∈ S.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas. Misalkan a := inf S dan definisikan −S := {−s : s ∈ S}. Karena S terbatas di bawah, maka −S terbatas di atas dan sup(−S) = − inf S = −a. Berdasarkan Kasus II, diperoleh −S = (−∞, −a) atau −S = (−∞, −a]. Akibatnya, S = (a, ∞) atau S = [a, ∞). Kasus IV: S tidak terbatas. Jelas bahwa S ⊆ (−∞, ∞). Sebaliknya, jika a ∈ (−∞, ∞), maka terdapat x ∈ S dan y ∈ S sedemikian hingga x < a < y . Karena x ∈ S, y ∈ S dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S, sehingga a ∈ S. Oleh karena itu, (−∞, ∞) ⊆ S.

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas. Misalkan a := inf S dan definisikan −S := {−s : s ∈ S}. Karena S terbatas di bawah, maka −S terbatas di atas dan sup(−S) = − inf S = −a. Berdasarkan Kasus II, diperoleh −S = (−∞, −a) atau −S = (−∞, −a]. Akibatnya, S = (a, ∞) atau S = [a, ∞). Kasus IV: S tidak terbatas. Jelas bahwa S ⊆ (−∞, ∞). Sebaliknya, jika a ∈ (−∞, ∞), maka terdapat x ∈ S dan y ∈ S sedemikian hingga x < a < y . Karena x ∈ S, y ∈ S dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S, sehingga a ∈ S. Oleh karena itu, (−∞, ∞) ⊆ S. Jadi, untuk S tidak terbatas berlaku S = (−∞, ∞).

Bukti Teorema Karakterisasi Interval (IV) Kasus III: S terbatas di bawah namun S tidak terbatas di atas. Misalkan a := inf S dan definisikan −S := {−s : s ∈ S}. Karena S terbatas di bawah, maka −S terbatas di atas dan sup(−S) = − inf S = −a. Berdasarkan Kasus II, diperoleh −S = (−∞, −a) atau −S = (−∞, −a]. Akibatnya, S = (a, ∞) atau S = [a, ∞). Kasus IV: S tidak terbatas. Jelas bahwa S ⊆ (−∞, ∞). Sebaliknya, jika a ∈ (−∞, ∞), maka terdapat x ∈ S dan y ∈ S sedemikian hingga x < a < y . Karena x ∈ S, y ∈ S dan x < y , maka [x, y ] ⊆ S, sehingga a ∈ S. Oleh karena itu, (−∞, ∞) ⊆ S. Jadi, untuk S tidak terbatas berlaku S = (−∞, ∞). Dari keempat kasus ini terbukti bahwa S adalah interval.

Interval bersarang

Suatu koleksi interval {In : n ∈ N} disebut bersarang jika In+1 ⊆ In untuk setiap n ∈ N.

Interval bersarang

Suatu koleksi interval {In : n ∈ N} disebut bersarang jika In+1 ⊆ In untuk setiap n ∈ N. Contoh

Interval bersarang

Suatu koleksi interval {In : n ∈ N} disebut bersarang jika In+1 ⊆ In untuk setiap n ∈ N. Contoh 1

Untuk setiap n ∈ N, definisikan In := [0, 1/n] . Perhatikan bahwa {In : n ∈ N} adalah koleksi interval bersarang dan ∩∞ n=1 In = {0}.

Interval bersarang

Suatu koleksi interval {In : n ∈ N} disebut bersarang jika In+1 ⊆ In untuk setiap n ∈ N. Contoh 1

Untuk setiap n ∈ N, definisikan In := [0, 1/n] . Perhatikan bahwa {In : n ∈ N} adalah koleksi interval bersarang dan ∩∞ n=1 In = {0}.

2

Definisikan Jn := (0, 1/n) dan Kn := (n, ∞) untuk setiap n ∈ N. Koleksi {Jn : n ∈ N} dan {Kn : n ∈ N} adalah koleksi ∞ interval bersarang, namun ∩∞ n=1 Jn = ∅ dan ∩n=1 Kn = ∅.

Interval bersarang (II) Teorema ( Sifat interval bersarang)

Interval bersarang (II) Teorema ( Sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang,

Interval bersarang (II) Teorema ( Sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang, maka terdapat α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N.

Interval bersarang (II) Teorema ( Sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang, maka terdapat α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In = [an , bn ].

Interval bersarang (II) Teorema ( Sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang, maka terdapat α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In = [an , bn ]. Berdasarkan definisi interval bersarang, In ⊆ I1 untuk semua n ∈ N,

Interval bersarang (II) Teorema ( Sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang, maka terdapat α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In = [an , bn ]. Berdasarkan definisi interval bersarang, In ⊆ I1 untuk semua n ∈ N, sehingga an ≤ b1 . Akibatnya, {an : n ∈ N} tak kosong dan terbatas di atas.

Interval bersarang (II) Teorema ( Sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang, maka terdapat α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In = [an , bn ]. Berdasarkan definisi interval bersarang, In ⊆ I1 untuk semua n ∈ N, sehingga an ≤ b1 . Akibatnya, {an : n ∈ N} tak kosong dan terbatas di atas. Oleh karena itu, terdapat α ∈ R sedemikian hingga α = sup{an : n ∈ N}.

Interval bersarang (II) Teorema ( Sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang, maka terdapat α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In = [an , bn ]. Berdasarkan definisi interval bersarang, In ⊆ I1 untuk semua n ∈ N, sehingga an ≤ b1 . Akibatnya, {an : n ∈ N} tak kosong dan terbatas di atas. Oleh karena itu, terdapat α ∈ R sedemikian hingga α = sup{an : n ∈ N}. Jelas bahwa an ≤ α untuk semua n ∈ N.

Interval bersarang (II) Teorema ( Sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang, maka terdapat α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In = [an , bn ]. Berdasarkan definisi interval bersarang, In ⊆ I1 untuk semua n ∈ N, sehingga an ≤ b1 . Akibatnya, {an : n ∈ N} tak kosong dan terbatas di atas. Oleh karena itu, terdapat α ∈ R sedemikian hingga α = sup{an : n ∈ N}. Jelas bahwa an ≤ α untuk semua n ∈ N. Akan ditunjukkan bahwa α ≤ bn untuk semua n ∈ N.

Interval bersarang (II) Teorema ( Sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang, maka terdapat α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In = [an , bn ]. Berdasarkan definisi interval bersarang, In ⊆ I1 untuk semua n ∈ N, sehingga an ≤ b1 . Akibatnya, {an : n ∈ N} tak kosong dan terbatas di atas. Oleh karena itu, terdapat α ∈ R sedemikian hingga α = sup{an : n ∈ N}. Jelas bahwa an ≤ α untuk semua n ∈ N. Akan ditunjukkan bahwa α ≤ bn untuk semua n ∈ N. Misalkan n ∈ N tetap dan tinjau {ak : k ∈ N}.

Interval bersarang (II) Teorema ( Sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang, maka terdapat α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In = [an , bn ]. Berdasarkan definisi interval bersarang, In ⊆ I1 untuk semua n ∈ N, sehingga an ≤ b1 . Akibatnya, {an : n ∈ N} tak kosong dan terbatas di atas. Oleh karena itu, terdapat α ∈ R sedemikian hingga α = sup{an : n ∈ N}. Jelas bahwa an ≤ α untuk semua n ∈ N. Akan ditunjukkan bahwa α ≤ bn untuk semua n ∈ N. Misalkan n ∈ N tetap dan tinjau {ak : k ∈ N}. Jika k ≥ n, maka Ik ⊆ In , sehingga ak ≤ bk ≤ bn .

Interval bersarang (II) Teorema ( Sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang, maka terdapat α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In = [an , bn ]. Berdasarkan definisi interval bersarang, In ⊆ I1 untuk semua n ∈ N, sehingga an ≤ b1 . Akibatnya, {an : n ∈ N} tak kosong dan terbatas di atas. Oleh karena itu, terdapat α ∈ R sedemikian hingga α = sup{an : n ∈ N}. Jelas bahwa an ≤ α untuk semua n ∈ N. Akan ditunjukkan bahwa α ≤ bn untuk semua n ∈ N. Misalkan n ∈ N tetap dan tinjau {ak : k ∈ N}. Jika k ≥ n, maka Ik ⊆ In , sehingga ak ≤ bk ≤ bn . Jika k < n, maka In ⊆ Ik , sehingga ak ≤ an ≤ bn .

Interval bersarang (II) Teorema ( Sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang, maka terdapat α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In = [an , bn ]. Berdasarkan definisi interval bersarang, In ⊆ I1 untuk semua n ∈ N, sehingga an ≤ b1 . Akibatnya, {an : n ∈ N} tak kosong dan terbatas di atas. Oleh karena itu, terdapat α ∈ R sedemikian hingga α = sup{an : n ∈ N}. Jelas bahwa an ≤ α untuk semua n ∈ N. Akan ditunjukkan bahwa α ≤ bn untuk semua n ∈ N. Misalkan n ∈ N tetap dan tinjau {ak : k ∈ N}. Jika k ≥ n, maka Ik ⊆ In , sehingga ak ≤ bk ≤ bn . Jika k < n, maka In ⊆ Ik , sehingga ak ≤ an ≤ bn . Akibatnya, bn adalah suatu batas atas dari {ak : k ∈ N}.

Interval bersarang (II) Teorema ( Sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang, maka terdapat α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In = [an , bn ]. Berdasarkan definisi interval bersarang, In ⊆ I1 untuk semua n ∈ N, sehingga an ≤ b1 . Akibatnya, {an : n ∈ N} tak kosong dan terbatas di atas. Oleh karena itu, terdapat α ∈ R sedemikian hingga α = sup{an : n ∈ N}. Jelas bahwa an ≤ α untuk semua n ∈ N. Akan ditunjukkan bahwa α ≤ bn untuk semua n ∈ N. Misalkan n ∈ N tetap dan tinjau {ak : k ∈ N}. Jika k ≥ n, maka Ik ⊆ In , sehingga ak ≤ bk ≤ bn . Jika k < n, maka In ⊆ Ik , sehingga ak ≤ an ≤ bn . Akibatnya, bn adalah suatu batas atas dari {ak : k ∈ N}. Oleh karena itu, α ≤ bn untuk semua n ∈ N.

Interval bersarang (II) Teorema ( Sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang, maka terdapat α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In = [an , bn ]. Berdasarkan definisi interval bersarang, In ⊆ I1 untuk semua n ∈ N, sehingga an ≤ b1 . Akibatnya, {an : n ∈ N} tak kosong dan terbatas di atas. Oleh karena itu, terdapat α ∈ R sedemikian hingga α = sup{an : n ∈ N}. Jelas bahwa an ≤ α untuk semua n ∈ N. Akan ditunjukkan bahwa α ≤ bn untuk semua n ∈ N. Misalkan n ∈ N tetap dan tinjau {ak : k ∈ N}. Jika k ≥ n, maka Ik ⊆ In , sehingga ak ≤ bk ≤ bn . Jika k < n, maka In ⊆ Ik , sehingga ak ≤ an ≤ bn . Akibatnya, bn adalah suatu batas atas dari {ak : k ∈ N}. Oleh karena itu, α ≤ bn untuk semua n ∈ N. Jadi, terbukti bahwa terdapat α ∈ R sedemikian hingga an ≤ α ≤ bn untuk semua n.

Interval bersarang (III) Teorema (Ketunggalan α pada sifat interval bersarang)

Interval bersarang (III) Teorema (Ketunggalan α pada sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang yang memenuhi inf{panjang(In ) : n ∈ N} = 0,

Interval bersarang (III) Teorema (Ketunggalan α pada sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang yang memenuhi inf{panjang(In ) : n ∈ N} = 0, maka terdapat tepat satu α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N.

Interval bersarang (III) Teorema (Ketunggalan α pada sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang yang memenuhi inf{panjang(In ) : n ∈ N} = 0, maka terdapat tepat satu α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In := [an , bn ].

Interval bersarang (III) Teorema (Ketunggalan α pada sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang yang memenuhi inf{panjang(In ) : n ∈ N} = 0, maka terdapat tepat satu α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In := [an , bn ]. Pada bukti Teorema (Sifat Interval Bersarang), α := sup{an : n ∈ N} memenuhi an ≤ α ≤ bn untuk semua n ∈ N.

Interval bersarang (III) Teorema (Ketunggalan α pada sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang yang memenuhi inf{panjang(In ) : n ∈ N} = 0, maka terdapat tepat satu α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In := [an , bn ]. Pada bukti Teorema (Sifat Interval Bersarang), α := sup{an : n ∈ N} memenuhi an ≤ α ≤ bn untuk semua n ∈ N. Misalkan β ∈ R memenuhi an ≤ β ≤ bn untuk semua n ∈ N,

Interval bersarang (III) Teorema (Ketunggalan α pada sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang yang memenuhi inf{panjang(In ) : n ∈ N} = 0, maka terdapat tepat satu α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In := [an , bn ]. Pada bukti Teorema (Sifat Interval Bersarang), α := sup{an : n ∈ N} memenuhi an ≤ α ≤ bn untuk semua n ∈ N. Misalkan β ∈ R memenuhi an ≤ β ≤ bn untuk semua n ∈ N, maka β adalah batas atas {an : n ∈ N},

Interval bersarang (III) Teorema (Ketunggalan α pada sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang yang memenuhi inf{panjang(In ) : n ∈ N} = 0, maka terdapat tepat satu α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In := [an , bn ]. Pada bukti Teorema (Sifat Interval Bersarang), α := sup{an : n ∈ N} memenuhi an ≤ α ≤ bn untuk semua n ∈ N. Misalkan β ∈ R memenuhi an ≤ β ≤ bn untuk semua n ∈ N, maka β adalah batas atas {an : n ∈ N}, sehingga β ≥ α.

Interval bersarang (III) Teorema (Ketunggalan α pada sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang yang memenuhi inf{panjang(In ) : n ∈ N} = 0, maka terdapat tepat satu α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In := [an , bn ]. Pada bukti Teorema (Sifat Interval Bersarang), α := sup{an : n ∈ N} memenuhi an ≤ α ≤ bn untuk semua n ∈ N. Misalkan β ∈ R memenuhi an ≤ β ≤ bn untuk semua n ∈ N, maka β adalah batas atas {an : n ∈ N}, sehingga β ≥ α. Karena panjang(In ) = bn − an dan inf{panjang(In ) : n ∈ N} = 0,

Interval bersarang (III) Teorema (Ketunggalan α pada sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang yang memenuhi inf{panjang(In ) : n ∈ N} = 0, maka terdapat tepat satu α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In := [an , bn ]. Pada bukti Teorema (Sifat Interval Bersarang), α := sup{an : n ∈ N} memenuhi an ≤ α ≤ bn untuk semua n ∈ N. Misalkan β ∈ R memenuhi an ≤ β ≤ bn untuk semua n ∈ N, maka β adalah batas atas {an : n ∈ N}, sehingga β ≥ α. Karena panjang(In ) = bn − an dan inf{panjang(In ) : n ∈ N} = 0, maka untuk setiap ε > 0 terdapat m ∈ N sedemikian hingga bm − am < ε.

Interval bersarang (III) Teorema (Ketunggalan α pada sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang yang memenuhi inf{panjang(In ) : n ∈ N} = 0, maka terdapat tepat satu α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In := [an , bn ]. Pada bukti Teorema (Sifat Interval Bersarang), α := sup{an : n ∈ N} memenuhi an ≤ α ≤ bn untuk semua n ∈ N. Misalkan β ∈ R memenuhi an ≤ β ≤ bn untuk semua n ∈ N, maka β adalah batas atas {an : n ∈ N}, sehingga β ≥ α. Karena panjang(In ) = bn − an dan inf{panjang(In ) : n ∈ N} = 0, maka untuk setiap ε > 0 terdapat m ∈ N sedemikian hingga bm − am < ε. Karena am ≤ α, β ≤ bm dan β ≥ α, maka 0 ≤ β − α ≤ bm − am < ε.

Interval bersarang (III) Teorema (Ketunggalan α pada sifat interval bersarang) Jika {In : n ∈ N} adalah suatu koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang yang memenuhi inf{panjang(In ) : n ∈ N} = 0, maka terdapat tepat satu α ∈ R sedemikian hingga α ∈ In untuk semua n ∈ N. Bukti Misalkan In := [an , bn ]. Pada bukti Teorema (Sifat Interval Bersarang), α := sup{an : n ∈ N} memenuhi an ≤ α ≤ bn untuk semua n ∈ N. Misalkan β ∈ R memenuhi an ≤ β ≤ bn untuk semua n ∈ N, maka β adalah batas atas {an : n ∈ N}, sehingga β ≥ α. Karena panjang(In ) = bn − an dan inf{panjang(In ) : n ∈ N} = 0, maka untuk setiap ε > 0 terdapat m ∈ N sedemikian hingga bm − am < ε. Karena am ≤ α, β ≤ bm dan β ≥ α, maka 0 ≤ β − α ≤ bm − am < ε. Karena ε > 0 sebarang, maka β − α = 0, sehingga β = α.

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang.

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R,

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang.

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang. Andaikan [0, 1] terbilang,

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang. Andaikan [0, 1] terbilang, maka [0, 1] dapat dituliskan sebagai {xn : n ∈ N}.

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang. Andaikan [0, 1] terbilang, maka [0, 1] dapat dituliskan sebagai {xn : n ∈ N}. Konstruksi koleksi {In : n ∈ N} sebagai berikut.

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang. Andaikan [0, 1] terbilang, maka [0, 1] dapat dituliskan sebagai {xn : n ∈ N}. Konstruksi koleksi {In : n ∈ N} sebagai berikut. Pilih interval tutup I1 yang memenuhi I1 ⊆ [0, 1] dan x1 ∈ / I1 .

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang. Andaikan [0, 1] terbilang, maka [0, 1] dapat dituliskan sebagai {xn : n ∈ N}. Konstruksi koleksi {In : n ∈ N} sebagai berikut. Pilih interval tutup I1 yang memenuhi I1 ⊆ [0, 1] dan x1 ∈ / I1 . Kemudian untuk setiap n ∈ N ∩ [2, ∞),

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang. Andaikan [0, 1] terbilang, maka [0, 1] dapat dituliskan sebagai {xn : n ∈ N}. Konstruksi koleksi {In : n ∈ N} sebagai berikut. Pilih interval tutup I1 yang memenuhi I1 ⊆ [0, 1] dan x1 ∈ / I1 . Kemudian untuk setiap n ∈ N ∩ [2, ∞), pilih interval tutup In yang memenuhi In ⊆ In−1 dan xn ∈ / In .

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang. Andaikan [0, 1] terbilang, maka [0, 1] dapat dituliskan sebagai {xn : n ∈ N}. Konstruksi koleksi {In : n ∈ N} sebagai berikut. Pilih interval tutup I1 yang memenuhi I1 ⊆ [0, 1] dan x1 ∈ / I1 . Kemudian untuk setiap n ∈ N ∩ [2, ∞), pilih interval tutup In yang memenuhi In ⊆ In−1 dan xn ∈ / In . Berdasarkan konstruksi ini, {In : n ∈ N} adalah koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang. Andaikan [0, 1] terbilang, maka [0, 1] dapat dituliskan sebagai {xn : n ∈ N}. Konstruksi koleksi {In : n ∈ N} sebagai berikut. Pilih interval tutup I1 yang memenuhi I1 ⊆ [0, 1] dan x1 ∈ / I1 . Kemudian untuk setiap n ∈ N ∩ [2, ∞), pilih interval tutup In yang memenuhi In ⊆ In−1 dan xn ∈ / In . Berdasarkan konstruksi ini, {In : n ∈ N} adalah koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang serta untuk setiap n ∈ N berlaku xn ∈ / In .

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang. Andaikan [0, 1] terbilang, maka [0, 1] dapat dituliskan sebagai {xn : n ∈ N}. Konstruksi koleksi {In : n ∈ N} sebagai berikut. Pilih interval tutup I1 yang memenuhi I1 ⊆ [0, 1] dan x1 ∈ / I1 . Kemudian untuk setiap n ∈ N ∩ [2, ∞), pilih interval tutup In yang memenuhi In ⊆ In−1 dan xn ∈ / In . Berdasarkan konstruksi ini, {In : n ∈ N} adalah koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang serta untuk setiap n ∈ N berlaku xn ∈ / In . Menurut Teorema (Sifat Interval Bersarang),

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang. Andaikan [0, 1] terbilang, maka [0, 1] dapat dituliskan sebagai {xn : n ∈ N}. Konstruksi koleksi {In : n ∈ N} sebagai berikut. Pilih interval tutup I1 yang memenuhi I1 ⊆ [0, 1] dan x1 ∈ / I1 . Kemudian untuk setiap n ∈ N ∩ [2, ∞), pilih interval tutup In yang memenuhi In ⊆ In−1 dan xn ∈ / In . Berdasarkan konstruksi ini, {In : n ∈ N} adalah koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang serta untuk setiap n ∈ N berlaku xn ∈ / In . Menurut Teorema (Sifat Interval Bersarang), terdapat tepat satu α ∈ R yang memenuhi α ∈ ∩∞ n=1 In .

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang. Andaikan [0, 1] terbilang, maka [0, 1] dapat dituliskan sebagai {xn : n ∈ N}. Konstruksi koleksi {In : n ∈ N} sebagai berikut. Pilih interval tutup I1 yang memenuhi I1 ⊆ [0, 1] dan x1 ∈ / I1 . Kemudian untuk setiap n ∈ N ∩ [2, ∞), pilih interval tutup In yang memenuhi In ⊆ In−1 dan xn ∈ / In . Berdasarkan konstruksi ini, {In : n ∈ N} adalah koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang serta untuk setiap n ∈ N berlaku xn ∈ / In . Menurut Teorema (Sifat Interval Bersarang), terdapat tepat satu α ∈ R yang memenuhi α ∈ ∩∞ n=1 In . Karena In ⊆ [0, 1] untuk semua n ∈ N,

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang. Andaikan [0, 1] terbilang, maka [0, 1] dapat dituliskan sebagai {xn : n ∈ N}. Konstruksi koleksi {In : n ∈ N} sebagai berikut. Pilih interval tutup I1 yang memenuhi I1 ⊆ [0, 1] dan x1 ∈ / I1 . Kemudian untuk setiap n ∈ N ∩ [2, ∞), pilih interval tutup In yang memenuhi In ⊆ In−1 dan xn ∈ / In . Berdasarkan konstruksi ini, {In : n ∈ N} adalah koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang serta untuk setiap n ∈ N berlaku xn ∈ / In . Menurut Teorema (Sifat Interval Bersarang), terdapat tepat satu α ∈ R yang memenuhi α ∈ ∩∞ n=1 In . Karena In ⊆ [0, 1] untuk semua n ∈ N, maka α ∈ [0, 1],

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang. Andaikan [0, 1] terbilang, maka [0, 1] dapat dituliskan sebagai {xn : n ∈ N}. Konstruksi koleksi {In : n ∈ N} sebagai berikut. Pilih interval tutup I1 yang memenuhi I1 ⊆ [0, 1] dan x1 ∈ / I1 . Kemudian untuk setiap n ∈ N ∩ [2, ∞), pilih interval tutup In yang memenuhi In ⊆ In−1 dan xn ∈ / In . Berdasarkan konstruksi ini, {In : n ∈ N} adalah koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang serta untuk setiap n ∈ N berlaku xn ∈ / In . Menurut Teorema (Sifat Interval Bersarang), terdapat tepat satu α ∈ R yang memenuhi α ∈ ∩∞ n=1 In . Karena In ⊆ [0, 1] untuk semua n ∈ N, maka α ∈ [0, 1], sehingga α = xn0 untuk suatu n0 ∈ N.

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang. Andaikan [0, 1] terbilang, maka [0, 1] dapat dituliskan sebagai {xn : n ∈ N}. Konstruksi koleksi {In : n ∈ N} sebagai berikut. Pilih interval tutup I1 yang memenuhi I1 ⊆ [0, 1] dan x1 ∈ / I1 . Kemudian untuk setiap n ∈ N ∩ [2, ∞), pilih interval tutup In yang memenuhi In ⊆ In−1 dan xn ∈ / In . Berdasarkan konstruksi ini, {In : n ∈ N} adalah koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang serta untuk setiap n ∈ N berlaku xn ∈ / In . Menurut Teorema (Sifat Interval Bersarang), terdapat tepat satu α ∈ R yang memenuhi α ∈ ∩∞ n=1 In . Karena In ⊆ [0, 1] untuk semua n ∈ N, maka α ∈ [0, 1], sehingga α = xn0 untuk suatu n0 ∈ N. Akibatnya, xn0 ∈ In untuk semua n ∈ N,

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang. Andaikan [0, 1] terbilang, maka [0, 1] dapat dituliskan sebagai {xn : n ∈ N}. Konstruksi koleksi {In : n ∈ N} sebagai berikut. Pilih interval tutup I1 yang memenuhi I1 ⊆ [0, 1] dan x1 ∈ / I1 . Kemudian untuk setiap n ∈ N ∩ [2, ∞), pilih interval tutup In yang memenuhi In ⊆ In−1 dan xn ∈ / In . Berdasarkan konstruksi ini, {In : n ∈ N} adalah koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang serta untuk setiap n ∈ N berlaku xn ∈ / In . Menurut Teorema (Sifat Interval Bersarang), terdapat tepat satu α ∈ R yang memenuhi α ∈ ∩∞ n=1 In . Karena In ⊆ [0, 1] untuk semua n ∈ N, maka α ∈ [0, 1], sehingga α = xn0 untuk suatu n0 ∈ N. Akibatnya, xn0 ∈ In untuk semua n ∈ N, bertentangan dengan xn0 ∈ / In0 .

Interval bersarang (IV) Teorema Himpunan bilangan real R tak terbilang. Bukti Karena [0, 1] ⊆ R, maka untuk membuktikan bahwa R tak terbilang cukup ditunjukkan bahwa [0, 1] tak terbilang. Andaikan [0, 1] terbilang, maka [0, 1] dapat dituliskan sebagai {xn : n ∈ N}. Konstruksi koleksi {In : n ∈ N} sebagai berikut. Pilih interval tutup I1 yang memenuhi I1 ⊆ [0, 1] dan x1 ∈ / I1 . Kemudian untuk setiap n ∈ N ∩ [2, ∞), pilih interval tutup In yang memenuhi In ⊆ In−1 dan xn ∈ / In . Berdasarkan konstruksi ini, {In : n ∈ N} adalah koleksi interval tutup dan terbatas yang bersarang serta untuk setiap n ∈ N berlaku xn ∈ / In . Menurut Teorema (Sifat Interval Bersarang), terdapat tepat satu α ∈ R yang memenuhi α ∈ ∩∞ n=1 In . Karena In ⊆ [0, 1] untuk semua n ∈ N, maka α ∈ [0, 1], sehingga α = xn0 untuk suatu n0 ∈ N. Akibatnya, xn0 ∈ In untuk semua n ∈ N, bertentangan dengan xn0 ∈ / In0 . Jadi, haruslah [0, 1] tak terbilang.

Interval bersarang (V)

Akibat Himpunan bilangan irasional tak terbilang.

Interval bersarang (V)

Akibat Himpunan bilangan irasional tak terbilang. Bukti Andaikan R\Q terbilang.

Interval bersarang (V)

Akibat Himpunan bilangan irasional tak terbilang. Bukti Andaikan R\Q terbilang. Asumsi ini, fakta bahwa Q terbilang dan kesamaan R = (R \ Q) ∪ Q mengakibatkan R juga terbilang.

Interval bersarang (V)

Akibat Himpunan bilangan irasional tak terbilang. Bukti Andaikan R\Q terbilang. Asumsi ini, fakta bahwa Q terbilang dan kesamaan R = (R \ Q) ∪ Q mengakibatkan R juga terbilang. Hal ini bertentangan dengan R tak terbilang.

Interval bersarang (V)

Akibat Himpunan bilangan irasional tak terbilang. Bukti Andaikan R\Q terbilang. Asumsi ini, fakta bahwa Q terbilang dan kesamaan R = (R \ Q) ∪ Q mengakibatkan R juga terbilang. Hal ini bertentangan dengan R tak terbilang. Jadi, haruslah himpunan bilangan irasional tak terbilang.