210633506-factorizacion-ppt.ppt

Factorización Consuelo Díaz Raquel Valdés

Factor común y por agrupación

Estrategia

Factorización

Factorización de diferencia de cuadrados y cubos

Factorización de trinomios

Factor Expresión algebraica que multiplica a una segunda expresión

a  bx  z  a  bx  z 

a  b

y x  z 

b y x  z 

Factorización Operación necesaria para re-escribir una expresión algebraica como producto de factores simples

2

2

ma  mb  m(a  b)( a  b)

Caso I. Factor Común Aparece en todos los términos de la expresión algebraica, un término común

2

ma  mb

2

• Identificar el máximo término común

2

3x y  x 2

2

2 4

24a xy  36 x y a( x  1)  b( x  1)

• Dividir la expresión algebraica original entre el máximo término común

Caso I. Factor Común Resolviendo los ejemplos:

Ejemplo

2

ma  mb

Máx. factor común

2

2

3x y  x

m x

2 4

12xy2

a( x  1)  b( x  1)

x 1

2

2

24a xy  36 x y

Segundo Factorización factor

2

2

a b 3xy  1 2

2a  3xy

a b

2

2

2

m(a  b )

x(3xy  1) 12 xy2 (2a 2  3xy2 )

( x  1)( a  b)

Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos

Aparece un término común compuesto después de agrupar términos con factores comunes simples

ax  a  bx  b 2

3m  6mn  4m  8n 2am  n 1  2an  2a  m

• Agrupar términos con factores comunes, usando la propiedad asociativa • Factorizar (Caso I) en cada grupo, los factores comunes • Identificar el máximo término común

• Dividir la expresión algebraica entre el máximo término común

Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos Resolviendo los ejemplos:

ax  a  bx  b

(ax  a)  (bx  b)

(a  b)( x  1)

a( x  1)  b( x  1)

procedimiento

Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos Resolviendo los ejemplos: 2

3m  6mn  4m  8n

(3m  4)( m  2n)

(3m2  6mn)  (4m  8n)

3m(m  2n)  4(m  2n)

procedimiento

Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos Resolviendo los ejemplos: 2am  n 1  2an  2a  m

(2a  1)( m  n  1)

(2am  2an  2a)  (m  n  1)

2a(m  n  1)  (m  n  1)

procedimiento

Caso II. Factorización de Trinomios Trinomio Cuadrado Perfecto

2

a  2ab  b

2

2

x  2x 1 2 2

4a x  12ax  9

• Determinar si es tcp • Obtener la raíz cuadrada del primer y tercer términos • Observar el signo del segundo término • Escribir el binomio al cuadrado

Caso II. Factorización de Trinomios Resolviendo ejemplos:

2

a  2ab  b

2

2

¿ es tcp ?

a a 2

Sí

b b

 2ab

( a  b)

2

procedimiento

Caso II. Factorización de Trinomios Resolviendo ejemplos:

2 2

¿ es tcp ?

2 2

4a x  12ax  9

Sí

4a x  2ax

9 3

 12ax

(2ax  3)

2

procedimiento

Caso IIb. Factorización de Trinomios 2 Trinomio de la forma x  cx  d 2

x  12 x  20 2 2

9a x  39ax  30

•Obtener la raíz cuadrada del primer término • Determinar dos números que sumados sean igual a c y que multiplicados sean igual a d • Escribir el producto de binomios

Caso IIb. Factorización de Trinomios Resolviendo ejemplos:

2

x  12 x  20

2

x x

10  2  12

(10)( 2)  20

( x  10)( x  2) procedimiento

Caso II. Factorización de Trinomios Resolviendo ejemplos:

2 2

9a x  39ax  30

2 2

9a x  3ax

10  3  13 (10)( 3)  30

(3ax  3)(3ax  10) 3(ax  1)(3ax  10)

procedimiento

Caso IIb. Factorización de Trinomios 2 Trinomio de la forma x  cx  d 2

x  12 x  20

Método general • Completar el tcp

2 2

9a x  39ax  30

• Factorizar la diferencia de cuadrados resultantes

( x  a) 2  x 2  2ax  a 2 2

x x

2

x  12 x  20

( x  2)( x  10)

2

(6)  36

2ax  12x 12 x a  6 2x

2

x  12 x  36  36  20

( x  6  4)( x  6  4)

2

( x  6)  16

Trinomio Cuadrado Perfecto Resultado del siguiente producto notable:

( a  b)

2

2

 a  2ab  b

2

o,

( a  b)

2

2

 a  2ab  b

2

Trinomio de la forma 2

x  cx  d Resultado del siguiente producto notable:

( x  a)( x  b)  x  (a  b) x  ab 2

Donde:

c  ab

y

d  ab

Caso III. Factorización de la Diferencia de Cuadrados 2

a b 2

2

2

a 1

• Identificar la diferencia de cuadrados

9  16 x

• Obtener la raíz cuadrada del primer y segundo términos

6

x  2x 1 y

2

• Escribir el producto de binomios conjugados

Caso III. Factorización de la Diferencia de Cuadrados Resolviendo ejemplos:

9  16 x

3

9 3

6 6

16 x  4 x

3

3

(3  4 x )(3  4 x ) procedimiento

Caso III. Factorización de la Diferencia de Cuadrados Resolviendo ejemplos:

2

( x  1)  x  1

2

x  2x 1 y

2 y2  y

( x  1  y)( x  1  y) procedimiento

Caso IV. Factorización de la Suma o Diferencia de Cubos 3

a b

• Identificar si es suma o diferencia de cubos

3

a 1 27  64 x

3

• Obtener la raíz cúbica del primer y segundo términos

6

• Escribir el producto del binomios por trinomio correspondiente

Caso IV. Factorización de la Suma o Diferencia de Cubos Resolviendo ejemplos:

3

a 1

diferencia

3 3

a a

3 1 1

2

(a  1)( a  a  1) procedimiento

Caso IV. Factorización de la Suma o Diferencia de Cubos Resolviendo ejemplos:

 27  64 x

2

suma

6

2

3

 27  3

3

64 x 6  4 x 2

4

(3  4 x )(9  12 x  16 x ) procedimiento

Diferencia de Cuadrados Resultado del siguiente producto notable:

(a  b)( a  b)  a  b 2

2

Suma y Diferencia de Cubos Resultado del siguiente producto notable:

3

(a  b)( a  ab  b )  a  b 2

2

3

o bien,

3

(a  b)( a  ab  b )  a  b 2

2

3

Estrategia General 1. 2.

3.

Factorizar todos los factores comunes. Observar el número de términos entre paréntesis (o en la expresión original). Si hay:

I. Cuatro términos: factorizar por agrupación. II. Tres términos: probar si es tcp y factorizar así; si no es tcp, emplear el caso general. III. Dos términos y cuadrados: buscar la diferencia de cuadrados y factorizarla. IV. Dos términos y cubos: buscar la suma o diferenica de cubos y factorizar.

Asegurarse de que la expresión está factorizada completamente.