2009pnip1

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione Ordinaria 2009 PIANO NAZIONALE INFORMATICA

Problema 1 Sia f la funzione definita da  x2 xn  x e f ( x )  1  x   ...   2 ! n !  

Dove n è un intero positivo e x  R . 1. Si verifichi che la derivata di f ( x ) è: f I ( x )  

xn x e n!

2. Si dica se la funzione f ammette massimi e minimi (assoluti e relativi) e si provi che, quando n è dispari, f ( x )  1 per ogni x reale. 3. Si studi la funzione g ottenuta da f quando n  2 e se ne disegni il grafico. 2

4. Si calcoli  g ( x )dx e se ne dia l’interpretazione geometrica. 0

Punto 1  x2 x3 x4 x n 1 xn f ( x )  1  x     ...   2! 3 ! 4 ! ( n  1 )! n! 

 x e  

Occorre applicare la regola della derivata del prodotto di due funzioni.

 2x 3x2 4x 3 ( n  1 ) x n 1 nx n 1   x  x2 x 3 x4 x n 1 xn    e  1  x     e x  f I ( x )   0  1     ...      ...      2 ! 3 ! 4 ! ( n  1 )! n ! 2 ! 3 ! 4 ! ( n  1 )! n !    





 x2 x 3 x n 2 x n 1   x  x2 x3 x4 x n 1 xn  x   e   1  x   e   1  x    ...      ...    2 ! 3! ( n  2 )! ( n  1 )!  2! 3! 4! ( n  1 )! n!     x2 x3 x n 2 x n 1   x  x 2 x3 x n 2 x n 1 xn  x   e   1  x  e   1  x    ...     ...     2! 3 ! ( n  2 )! ( n  1 )!  2! 3! ( n  2 )! ( n  1 )! n!   

 

x n x e . n!

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1

Punto 2 x2 xn  ...  2! n! x e

1 x 

 x2 xn  x e  f ( x )  1  x   ...   2 ! n !   1. Dominio Il dominio di f ( x ) è:

 ,

 

2. Simmetrie La curva non presenta simmetrie evidenti. 3. Intersezioni con gli assi

 x2 xn 1  x   ...   2! n! y  x e   x  0

1  y  0  1 e  x  0



A 0 ; 1

4. Limiti ed asintoti

1 x  lim

x  

x2 xn  ...  2! n !      ?  x e  

n! 1  lim nx!  0  lim x  0 x   e x   e

dopo n applicazioni del teorema di De L’Hospital si ottiene:

H

1 x  lim

x  

n

 lim

x  

x ex

 La retta y  0 è un asintoto orizzontale a destra per la funzione.

x2 xn  ...  2! n !        ?  x e  0 

raccogliendo a fattore comune

 1 1 1 1 1    n  n 1   ...    n 2 ( n  1 )!  x n ! x 2 ! x x

xn si ha: ex

  se n è pari     se n è dispari 

1 n!

 3

Poiché se n è dispari, ad esempio n  3 , si ha:

lim

x  

x   ex 0+

 2

Mentre se n è pari, ad esempio n  2 , si ha:

lim

x  

x   ex 0+

Pertanto, in entrambi i casi, non esiste l’asintoto orizzontale a sinistra.

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2

Verifichiamo se esiste l’asintoto obliquo a sinistra.

f(x)  lim x   x x  

1 x 

m  lim

xn x   x  e x

 lim

x2 xn  ...  2! n! x  ex

x  

xn si ha: x  ex

 1 1 1 1 1    n  n 1   ...     n 2 ( n  1 )! x n !  x 2 ! x x   se n è pari  1 1  ...       ( n  1 )!x n!    se n è dispari 

n 1

 lim

raccogliendo a fattore comune

 1 x 1 1   n  n 1  x e x 2 ! x n  2 x 1 n!

 3

Infatti se n è pari  n  1 è dispari, ad esempio se n  4  n  1  3 e si ha:

lim

x  

x   ex 0

+

 2

Mentre se n è dispari  n  1 è pari, ad esempio se n  3  n  1  2 e si ha:

x   x   e x lim

0+ Pertanto, in entrambi i casi, non esiste l’asintoto obliquo a sinistra.

5. Derivata prima La derivata è: f I ( x )  

xn x e n!

6. Zeri della derivata prima I

f (x)  0;

xn x  e  0 ; n!

n

x e

x

xn  0

0;

e

x

0

x0 mai verificata

7. Segno della derivata prima

f I( x )  0 ;

Occorre distinguere due casi:

Se n è un numero dispari x n x  e  0; n!

n

x e

x

0;

xn  0

x0

ex  0

x  R

-

+ + +

0

+

-

f ( x ) ha in x  0 un punto di max relativo 0  02 0n Essendo f ( 0 )  1  0   ...  2! n! 

 0 e  1  e 0  1  

I

f (x)  0

f I( x )  0

il punto A 0 ; 1 è un punto di max relativo.

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3

Se n è un numero pari 

x n x e  0; n!

 x n  ex  0 ;

 xn  0 x

mai

x  R La derivata prima è sempre negativa, ad esclusione di x  0 dove la derivata prima si annulla. La funzione è decrescente in tutto il suo dominio, e in x  0 c’è un flesso a tangente orizzontale.  02 0 n  0   e  1  e 0  1 Essendo f ( 0 )  1  0   ...   2 ! n !   il punto A 0 ; 1 è un punto di flesso a tangente orizzontale.

e

0

7. Grafico della funzione Dalle precedenti informazioni si ricavano i seguenti grafici: - Se n è pari -

La funzione è limitata inferiormente, ma non è limitata superiormente. L’estremo inferiore è zero. Non ha estremi relativi.

- Se n è dispari -

La funzione non è limitata inferiormente, ma è limitata superiormente. Il punto di massimo relativo A 0 ; 1 è anche punto di massimo assoluto. Pertanto f ( x )  1

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x  R .

4

Punto 3 1 x  Per n  2 si ottiene la funzione:

g( x ) 

ex

x2 2 .

1. Dominio Il dominio di g ( x ) è: Dom g ( x )   ,    2. Simmetrie La curva non presenta simmetrie evidenti. 3. Intersezioni con gli assi

 x2 1  x   2 y  x e   x  0

1  y  0  1 e  x  0

 x2 1  x   2 y  x e  y  0

 x2 1  x   2 0  x e  

A 0 ; 1



 x2 0 1  x   2  

x 2  2 x  2  0 n.s.R.  

4. Segno di g(x)

1 x 

g( x )  0 ;

e

x

x2 2 0;

1 x 

x2 0 2

x  R x  R

ex  0

La funzione è positiva x  R .

5. Limiti ed asintoti

x2 2      ?  x e  

1 x  lim

x  

H

0 1  x       ? x x   e  

 lim

H

 lim

x  

1  0 ex

La retta y  0 è un asintoto orizzontale a destra per la funzione.

1 x  lim

x  

e

x

x2 2       ?   

0

 2





x  1 1 1   2      x x   e x 2 x lim

2

Poiché

lim

x  

x   ex

0+

Pertanto non esiste l’asintoto orizzontale a sinistra. Verifichiamo se esiste l’asintoto obliquo a sinistra.

g( x )  lim x   x   x

1 x 

m  lim

x e

x2 2  lim x

x2  1 1 1  x  1 1 1   2     lim x   2      x x   x  e x   e x 2 x 2 x x

Pertanto non esiste nemmeno l’asintoto obliquo a sinistra. 6. Derivata prima La derivata prima è:

gI( x )  

x2 2e x

7. Zeri della derivata prima

gI( x )  0 ;



x2 0; 2e x

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x2  0 ;

x0

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5

8. Segno della derivata prima

gI( x )  0 ;



x2 0; 2e x

 x 2  0 mai.

La derivata prima è sempre negativa, ad esclusione di x  0 dove la derivata prima si annulla. La funzione è decrescente in tutto il suo dominio, e in x  0 c’è un flesso a tangente orizzontale.

02 2  1 1 0 1 e

10  Essendo g ( 0 ) 

il punto A 0 ; 1 è un punto di flesso a tangente orizzontale.



9. Derivata seconda La derivata seconda è:

g II ( x ) 

  2e 

 2 x  2 e x   x 2  2e x x 2



 4x  ex  2x2  ex

2e 

x 2





ex   4 x  2 x2

2 e 

x 2





2x2  4x 4e x



x2  2x 2e x

10. Zeri della derivata seconda

g II ( x )  0 ;

x2  2x 0; 2e x

x2  2x  0 ;

x  x  2   0 ;

x2  2x  0 ;

x  0; x  2

x 0 x2

11. Segno della derivata seconda

g II ( x )  0 ;

x2  2x 0; 2e x

La curva volge la concavità verso l’alto per

x  0; x  2

La curva volge la concavità verso il basso per 0  x  2 . In x  2 c’è un flesso.

22 2  1  2  2  5  0 ,68 . e2 e2 e2

12  L’ordinata del punto di flesso è: g ( 2 )  12. Massimi e minimi assoluti

La funzione è limitata inferiormente y  0 ma non è limitata superiormente. Non ha ne massimo assoluto ne minimo assoluto. 13. Grafico Il grafico è sotto rappresentato

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Punto 4 2



g ( x ) dx



21

x



ex

0

0

x2 2 dx 

2

1 x x2     x  dx e e x 2e x  0 



Calcoliamo innanzitutto l’integrale indefinito:

1

e

x

x

e

x



1 x x2   x  x   dx e 2e x  e

dx  e  x dx  e  x  k1 .



dx 

x e

x

dx   x  e x   e  x dx   x  e  x  e  x  k2 .



x2 1 x2 1 1 dx   dx    x 2 e  x  2 x   e  x dx    x 2 e  x  2  x  e  x dx  x x 2 e 2 2 2e 1 1 1    x2e x  2   x  e x  e x    x 2 e  x  2 x  e  x  2e  x   x 2 e  x  x  e  x  e  x  k3 . 2 2 2





























Pertanto:

1 x x2  1   dx   e  x  x  e  x  e  x  x 2 e  x  x  e  x  e  x  C  x x x  2 e 2e  e 1 1     3e  x  2 x  e  x  x 2 e  x  C   e  x   3  2 x  x 2   C 2  2  



In definitiva: 2

1 x x2   x  x   dx e e 2e x  0 

 

 e

2

2

 1      e  x   3  2 x  x 2  2  0  

 3  4  2   1  3



 3

 1  1       e  2   3  2  2  2 2   e 0   3  2  0  0 2    2  2    

9 . e2

2

L’integrale definito

1 x  g( x ) 

ex

1 x x2  dx rappresenta l’area della regione finita di piano compresa fra la curva  x  x  x  e e 2 e   0



x2 2 , l’asse delle x e le rette x  0 e x  2 .

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