1a Fase 2008-2009

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

Universidad de Puerto Rico

c. 14

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2008-2009: PRIMERA FASE to to to HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL ELEMENTAL (4 , 5 y 6 grado) Información del Estudiante:

CLAVE Marque el Grado:

_______4to, _______ 5to, _______6to

Edad: _________________

Tel. Residencial (_______) ___________- __________________ Sexo: __ F __ M Dirección Postal del Estudiante: __________________________________________________ _____________________________Pueblo: ________________ Código Postal____________ Nombre de la Escuela: __________________________________________________________ Pueblo de la Escuela: ________________________

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

Instrucciones: Marque con una X sus respuestas.

a 1

b

c x

d

x

4

x

5

x

7

c

x

14

x ANULADO

16

x

17

x

x

18

9

x

19

x

20

x

x

e

x

8

10

d

13

15

x

b x

12

x

3

a 11

x

2

6

e

x

Envíe esta hoja de respuestas por correo, en o antes del 5 de diciembre de 2008, a la siguiente dirección: Dr. Luis F Cáceres Departamento de Matemáticas Apartado 9018

Mayagüez, PR 00681-9018

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Matemáticas

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS

Universidad de Puerto Rico

PRIMERA FASE 2008-2009

ELEMENTAL 4to, 5to y 6to grado Selecciona la mejor alternativa a las siguientes 20 preguntas. Este examen está diseñado para medir conocimientos y destrezas de estudiantes de 4to a 6to grado. Contesta el mayor número de preguntas que puedas, no te desanimes si no las puedes contestar todas. Contesta el examen individualmente. Envía por correo solamente la hoja de respuestas antes del 5 de diciembre de 2008 a la dirección que aparece en la parte inferior de la hoja de respuestas. Los estudiantes seleccionados en esta primera fase serán anunciados en la página del IFEM a partir del 19 de diciembre de 2008, y serán invitados a participar en la segunda fase, que consiste de un examen controlado que se ofrecerá en el Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico. ESCRIBE LAS CONTESTACIONES EN LA HOJA DE RESPUESTAS.

1. Carmela dibuja canguros: uno azul, uno verde, uno rojo, uno negro, uno amarillo, uno azul, uno verde, uno rojo, uno negro, uno amarillo, etc. ¿De qué color es el 28avo canguro? a. azul d. negro b. verde e. amarillo c. rojo 2. Juan empezó a comer un dulce este lunes y cada día siguiente se come uno más que el día anterior. ¿Cuántos dulces habrá comido Juan hasta el miércoles de la siguiente semana? (incluyendo los dulces que se comió ese miércoles) a. 10 d. 55 b. 25 e. 110 c. 45 3. La combinación de una caja fuerte es un número de tres dígitos distintos. ¿Si se sabe que los dígitos son 2, 4 y 6, cuántas combinaciones son posibles? a. 2 d. 8 b. 5 e. 9 c. 6 4. En una calle hay 5 casas numeradas del 1 al 5. Una de ellas es azul, otra es roja, otra es verde, otra es blanca y otra es gris. Se sabe que las casas azul y blanca tienen número par; que la casa roja sólo tiene una casa al lado y que la casa azul está junto a las casas gris y roja. ¿De qué color es la casa 3? a. azul d. blanca b. roja e. gris c. verde

1

5. En 6 segundos el conejo hace 4 saltos. ¿En cuántos segundos hace 10 saltos? a. 10 d. 18 b. 12 e. 20 c. 15 6. En la cuadrícula de la figura se deben escribir los números 1, 2 y 3 de manera que un número no aparezca dos veces en la misma fila o en la misma columna. ¿Qué números pueden escribirse en la celda que está marcada con *? 1 * 2 1 a. sólo 3 b. sólo 2 c. sólo 1

d. cualquiera de 2 ó 3 e. cualquiera de 1, 2 ó 3

7. En la librería se vende: 1 marcador por $2 y 2 libros de cuentos por $5. María compró 18 libros de cuentos y varios marcadores. Pagó con un billete de $50 y dos billetes de $20 y le dieron $11 de cambio. ¿Cuántos marcadores compró María? a. 14 d. 17 b. 15 e. 18 c. 16 8. Arturo tiene triángulos y rectángulos de madera. ¿Si en total sus piezas tienen 17 esquinas, cuántos triángulos tiene Arturo? a. 1 d. 4 b. 2 e. 5 c. 3 9. Sebastián nació el día en que Ana cumplió 3 años. ¿Cuántos años tendrá Sebastián cuando Ana tenga el doble de años que Sebastián? a. 1 d. 4 b. 2 e. 10 c. 3 10. Dividimos un rectángulo en cuatro partes, un cuadrado y tres rectángulos, como se muestra en la figura. Las áreas están escritas dentro de las partes. ¿Cuánto mide el área total en unidades cuadradas?

a. 15 b. 25 c. 35

d. 40 e. No se puede determinar

11. Los asientos de un carrusel están numerados con los números 1, 2, 3, …. ¿Si Abelardo está sentado en el número 11 y Brenda está sentada en el número 4, diametralmente opuesta a él, cuántos asientos tiene el carrusel? a. 13 d. 17 b. 14 e. 22 c. 16 2

12. Jorge cortó un cuadrado de papel que tenía 20 cm de perímetro y obtuvo dos rectángulos. ¿Si el perímetro de uno de los rectángulos recortados es de 16 cm, cuál es el perímetro del otro? a. 8 cm d. 14 cm b. 9 cm e. 16 cm c. 12 cm 13. Un cubo de madera blanca se mete en una cubeta con pintura azul. Cuando la pintura se ha secado, el cubo se corta en 27 cubitos idénticos. ¿Cuántos cubitos tienen exactamente dos caras pintadas? a. 4 d. 10 b. 6 e. 12 c. 8 14. Arturo, Juan y Francisco tienen 30 canicas entre los tres. Si Francisco le da 5 canicas a Juan, Juan le da 4 canicas a Arturo y Arturo le da 2 canicas a Francisco, todos quedan con la misma cantidad. ¿Cuántas canicas tenía Francisco al principio? a. 8 d. 12 b. 9 e. 13 c. 11 15. ¿Cuántos rectángulos puedes ver en la figura siguiente?

a. 28 b. 29 c. 30

d. 31 e. 32

16. María practica tenis y natación. Juega al tenis todos los jueves y practica natación un día cada 3 (un día sí y los dos días siguientes no). Hoy es jueves y María practicó los dos deportes. Después de cuántos días, a partir de hoy, María volverá a practicar los dos deportes en el mismo día? a. 7 d. 28 b. 14 e. 35 c. 21 17. Lo que tienen Omar y Luis suma $320. Además, el 30% de lo que tiene Omar es igual al 50% del 20% de lo que tiene Luis. ¿Cuánto tiene Omar? a. $ 40 d. $ 90 b. $ 60 e. $ 120 c. $ 80 18. Juan asiste a un campamento de verano donde debe escoger una clase de deporte, una clase de matemáticas, una clase de arte y la clase de ciencias. En deporte puede seleccionar entre tenis, pelota o baloncesto; en matemáticas puede seleccionar entre geometría, aritmética o estadística y en arte puede seleccionar entre pintura o escultura. ¿De cuántas formas posibles puede Juan organizar su campamento de verano? a. 8 d. 18 b. 9 e. 19 c. 10 3

19. Calcular la suma de los dígitos del número 102008 − 2008 . a. 2,008 d. 20,080 b. 18,055 e. Ninguna de las anteriores c. 18,063 20. Encontrar el ángulo u del corbatín:

a. 41o b. 45o c. 53o

d. 94o e. No se puede determinar

FIN

Felicitaciones por haber participado en la Primera Fase de la Olimpiada de Matemáticas de Puerto Rico. No olvides visitar la página del IFEM (http://ifem.math.uprm.edu) a partir del 19 de diciembre de 2008 para ver los seleccionados a la Segunda Fase.

4

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

Universidad de Puerto Rico

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2008-2009: PRIMERA FASE mo Vo no HOJA DE RESPUESTAS: NIVEL INTERMEDIO (7 , 8 y 9 grado) Información del Estudiante:

CLAVE Marque el Grado:

_______7mo, _______ 8vo, _______9no

Edad: _________________

Tel. Residencial (_______) ___________- __________________ Sexo: __ F __ M Dirección Postal del Estudiante: __________________________________________________ _____________________________Pueblo: ________________ Código Postal____________ Nombre de la Escuela: __________________________________________________________ Pueblo de la Escuela: ________________________

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

Instrucciones: Marque con una X sus respuestas. 1

a x

b

c

d

x

2

x

3 4

a 11

b x

12

x

x

c

d

x

14

x x

6

x

7

x

15

x

16

x x

17 18

x x

9

x

19

10

x

20

e

x

13

5

8

e

x

Envíe esta hoja de respuestas por correo, en o antes del 5 de diciembre de 2008, a la siguiente dirección: Dr. Luis F Cáceres Departamento de Matemáticas Apartado 9018

Mayagüez, PR 00681-9018

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Matemáticas

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS

Universidad de Puerto Rico

PRIMERA FASE 2008-2009

INTERMEDIO 7mo, 8vo y 9no grado Selecciona la mejor alternativa a las siguientes 20 preguntas. Este examen está diseñado para medir conocimientos y destrezas de estudiantes de 7mo a 9no grado. Contesta el mayor número de preguntas que puedas, no te desanimes si no las puedes contestar todas. Contesta el examen individualmente. Envía por correo solamente la hoja de respuestas antes del 5 de diciembre de 2008 a la dirección que aparece en la parte inferior de la hoja de respuestas. Los estudiantes seleccionados en esta primera fase serán anunciados en la página del IFEM a partir del 19 de diciembre de 2008, y serán invitados a participar en la segunda fase, que consiste de un examen controlado que se ofrecerá en el Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico. ESCRIBE LAS CONTESTACIONES EN LA HOJA DE RESPUESTAS. 1. Mario, Pedro, Ignacio, Jorge y Angélica están formados en una fila. Mario está después de Ignacio, Angélica está antes de Mario y justo después de Jorge. Jorge está antes de Ignacio pero Jorge no es el primero en la fila. ¿Cuál es el lugar de Pedro en la fila? a. Primero d. Cuarto b. Segundo e. Quinto c. Tercero 2. ¿Si la longitud b es de 6 cm, cuánto vale el área de la cruz de la figura, formada por cinco cuadrados iguales?

a. 6 b. 12 c. 24

d. 30 e. 36

3. ¿Cuántos sumandos tiene la siguiente suma: 3+10+17+24+…+346? a. 40 d. 60 b. 50 e. 65 c. 52

1

4. La maestra piensa repartir 20 dulces entre varios niños. ¿Si piensa darle al menos un dulce a cada niño pero no quiere que ninguno tenga la misma cantidad de dulces que otro, cuál es la máxima cantidad de niños a los que la maestra les puede repartir los dulces? a. 5 d. 10 b. 6 e. 20 c. 8 5. En la tabla de la figura hay 12 celdas, que han sido dibujadas usando 4 líneas horizontales y 5 verticales. ¿Cuál es la mayor cantidad de celdas que se pueden obtener dibujando 15 líneas en total?

a. 30 b. 36 c. 40

d. 42 e. 60

6. Una calculadora descompuesta no muestra el número 1 en la pantalla. Por ejemplo, si escribimos el número 3131 en la pantalla se ve escrito el 33 (sin espacios). Pepe escribió un número de seis dígitos en la calculadora, pero apareció 2008. ¿Cuántos números pudo haber escrito Pepe? a. 11 d. 14 b. 12 e. 15 c. 13 7. Hay 60 pájaros en tres árboles. Después de escuchar un disparo vuelan 6 pájaros del primer árbol, 8 pájaros del segundo y 4 pájaros del tercero. ¿Si ahora hay el doble de pájaros en el segundo árbol que en el primero, y el doble en el tercer árbol respecto al segundo, cuántos pájaros había originalmente en el segundo árbol? a. 7 d. 20 b. 11 e. 24 c. 15 8. La figura que se muestra está formada por cuatro cuadrados. Los perímetros de los cuadrados B y C miden respectivamente 16cm y 24cm. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado A?

a. 56cm b. 60cm c. 64cm

d. 72cm e. 80cm

2

9. Jorge pensó en un número entero, Liz multiplicó por 5 ó 6 al número que pensó Jorge, Óscar le sumo 5 ó 6 al resultado de Liz y finalmente Alejandro le restó 5 ó 6 al resultado de Óscar y obtuvo 78. ¿Cuál fue el número que pensó Jorge? a. 10 d. 13 b. 11 e. 14 c. 12 10. Mónica salió a correr durante dos horas. Su recorrido empezó en un terreno plano donde su velocidad fue de 4 km/h y siguió con un terreno inclinado en donde su velocidad fue de 3 km/h. Regresando por el mismo lugar la velocidad en la parte inclinada fue de 6 km/h mientras que la velocidad en la parte plana fue de 4 km/h. ¿Cuál es la distancia total (ida y vuelta) que recorrió Mónica? a. Imposible de determinar d. 8 km b. 6 km e. 10 km c. 7.5 km 11. El primer dígito (el de más a la izquierda) de un número de 4 dígitos es la cantidad de ceros que aparecen en él, el segundo dígito es la cantidad de 1’s, el tercer dígito es la cantidad de 2’s, y el último dígito es la cantidad de 3’s. ¿Cuántos números de cuatro dígitos cumplen con estas condiciones? a. 0 d. 4 b. 2 e. 5 c. 3 12. El dibujo muestra 24 palitos colocados sobre una mesa formando 9 cuadrados iguales. ¿Cuál es el mínimo número de palitos que deben quitarse para que quedan 5 cuadrados completos si cualquiera de los palitos que se queda es el lado de al menos un cuadrado?

a. 2 b. 4 c. 6

d. 8 e. 9

13. En la figura, ABC y CDE son dos triángulos equiláteros iguales. ¿Si el ángulo ACD mide 80º, cuánto mide el ángulo ABD?

a. 25º b. 30º c. 35º

d. 40º e. 45º

3

14. En una carrera participaron 28 niños. El número de niños que llegaron detrás de Raúl fue el doble del número de niños que llegaron antes que él. ¿En qué lugar llegó Raúl? a. sexto d. noveno b. séptimo e. décimo c. octavo 15. En la figura se muestra un cuadrilátero ABCD con algunos ángulos dados. ¿Si BC = AD , cuánto mide el ángulo ADC ?

a. 30o b. 50o c. 55o

d. 65o e. 70o

16. En la figura, ABCD y EFGH son dos cuadrados iguales, con lados correspondientes paralelos. El área de la región sombreada es 1. ¿Cuál es el área del cuadrado ABCD?

a. 1/2 b. 2/3 c. 3/4

d. 1 e. Depende de la figura

17. ¿Cuántos números n satisfacen al mismo tiempo las 5 condiciones siguientes? 1. n es par. 2. n deja residuo 1 al dividirlo entre 5. 3. n es múltiplo de 7. 4. n es menor que 1000. 5. La suma de los dígitos de n es 23. a. 0 d. 3 b. 1 e. 4 c. 2

4

18. En la figura, ABCD es un cuadrado y los triángulos ABF y DEC son equiláteros. ¿Si AB=1, cuál es la longitud de EF?

a. 1/2 b. c.

3 2 2

d.

3 −1

e. 3/2

19. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar borrando al menos una de las letras de la palabra ANTENA? Por ejemplo, algunas palabras que se obtienen así son A, TNA, ANTNA. d. 6!− 4! a. 26 − 4 5 e. 6!− 2! b. 2 4 c. 3 ⋅ 2 20. Si a. b. c.

a a = 224 y bb = 318 , hallar a b− a . 8 9 81

d. 216 e. 512

FIN

Felicitaciones por haber participado en la Primera Fase de la Olimpiada de Matemáticas de Puerto Rico. No olvides visitar la página del IFEM (http://ifem.math.uprm.edu) a partir del 19 de diciembre de 2008 para ver los seleccionados a la Segunda Fase.

5

c. 14 de Puerto Rico Universidad Recinto Universitario de Mayagüez

Universidad de Puerto Rico

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS 2008-2009: PRIMERA FASE mo mo HOJA DE RESPUESTAS:NIVEL SUPERIOR (10 , 11 y 12mo grado) Información del Estudiante:

CLAVE Marque el Grado:

_______10mo, _______ 11mo, _______12mo

Edad: _________________

Tel. Residencial (_______) ___________- __________________ Sexo: __ F __ M Dirección Postal del Estudiante: __________________________________________________ _____________________________Pueblo: ________________ Código Postal____________ Nombre de la Escuela: __________________________________________________________ Pueblo de la Escuela: ________________________

Escuela es: ___ Privada ___ Pública

Instrucciones: Marque con una X sus respuestas.

a

b

c

1

d x

x x

4

x

5

a 11

x

2 3

e 12

7

x

17

10

x

x x

16

x

e

14

x

9

d

x

15

x

c

13

6

8

b x

ANULADO x x

18

x

19

x

20

x

Envíe esta hoja de respuestas por correo, en o antes del 5 de diciembre de 2008, a la siguiente dirección: Dr. Luis F Cáceres Departamento de Matemáticas Apartado 9018

Mayagüez, PR 00681-9018

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Matemáticas

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS

Universidad de Puerto Rico

PRIMERA FASE 2008-2009

SUPERIOR 10mo, 11mo y 12mo grado Selecciona la mejor alternativa a las siguientes 20 preguntas. Este examen está diseñado para medir conocimientos y destrezas de estudiantes de 10mo a 12mo grado. Contesta el mayor número de preguntas que puedas, no te desanimes si no las puedes contestar todas. Contesta el examen individualmente. Envía por correo solamente la hoja de respuestas antes del 5 de diciembre de 2008 a la dirección que aparece en la parte inferior de la hoja de respuestas. Los estudiantes seleccionados en esta primera fase serán anunciados en la página del IFEM a partir del 19 de diciembre de 2008, y serán invitados a participar en la segunda fase, que consiste de un examen controlado que se ofrecerá en el Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico. ESCRIBE LAS CONTESTACIONES EN LA HOJA DE RESPUESTAS. 1. ¿Cuál es el perímetro de la estrella si se sabe que la estrella está formada por cuatro círculos iguales de radio 5 cm, un cuadrado y cuatro triángulos equiláteros?

a. 40 cm b. 80 cm c. 120 cm

d. 160 cm e. 240 cm

2. Sean x, y, z enteros no negativos tales que x + y + z = 12 . ¿Cuál es el valor más grande de la suma xyz + xy + yz + zx ? a. 62 d. 102 b. 72 e. 112 c. 92 3. Cada tercer día Luis dice la verdad y los demás miente. Hoy Luis ha dicho exactamente 4 de los enunciados de los incisos. ¿Cuál es el enunciado que no dijo hoy? a. Mi nombre es Luis d. Soy amigo de tres personas más altas que yo b. Siempre digo la verdad e. Soy amigo de una cantidad prima de personas c. Tengo la misma cantidad de amigas que de amigos

1

4. Cuando un profesor lleva corregidos los seis primeros exámenes de una clase, la nota promedio es de

84 puntos. Al corregir el séptimo, la nota promedio sube a 85 puntos. ¿Qué calificación tiene el séptimo examen? a. 64 d. 91 b. 75 e. 99 c. 87

5. Un número tiene 5 cifras y el producto de estas cifras es 100. Sólo una de las siguientes puede ser la suma de sus cifras. ¿Cuál es? a. 10 d. 20 b. 14 e. 100 c. 15 6. En la figura se muestra un cuadrilátero ABCD con algunos ángulos dados. ¿Si BC = AD , cuánto mide el ángulo ADC ?

a. 30o b. 50o c. 55o

d. 65o e. 70o

7. Isabel escoge 8 puntos de los marcados. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los puntos escogidos sean los vértices de un rectángulo? • • • • • • • •

• • • • 1 4 1 b. 2 2 c. 3

a.

d. 1 e. no se puede determinar

8. ¿Cuántos enteros positivos tienen la propiedad de que al eliminarles la última cifra (la de las unidades) 1 el nuevo número es del original? 14 a. 0 d. 3 b. 1 e. 4 c. 2 2

9. ¿Cuántos números de 3 dígitos abc (con a ≠ 0 ) son tales que a + 3b + c es múltiplo de 3? a. 100 d. 600 b. 300 e. 990 c. 330 10. Los números reales a ≠ 0 y b ≠ 0 cumplen que ab = a − b . ¿Cuál de los siguientes valores es un valor a b posible para + − ab ? b a a. -2 d. 1/2 b. -1/2 e. 2 c. 1/3 11. Un hombre de treinta años le pregunta a una mujer su edad. La mujer responde: Cuando yo tenga tu edad, tendrás el doble de la edad que tengo ahora. ¿Cuál de las siguientes propiedades tiene la edad de la mujer? a. múltiplo de 3 d. múltiplo de 11 b. múltiplo de 5 e. ninguna de las anteriores c. múltiplo de 7 12. Un pastor al que le gustan mucho las matemáticas tiene entre 80 y 100 ovejas en su rebaño. Un día pensó que el número de ovejas que dormían era igual a 7/8 de las que no dormían. ¿Cuántas ovejas hay en el rebaño? a. 81 d. 95 b. 85 e. 99 c. 90 13. Calcula el área sombreada de una corona circular cuya cuerda tangente mide 10 cm.

a. 5π cm² b. 8π cm² c. 10π cm²

d. 15π cm² e. Ninguna de las anteriores

14. Un coleccionista gasta 100 dólares en comprar sellos de 1, 4 y 12 dólares. ¿Cuántos sellos de 4 dólares compro, si en total ha comprado 40 sellos y si al menos compró uno de cada uno? a. 5 d. 8 b. 6 e. 9 c. 7

3

15. ¿Puedes determinar la suma de los dígitos de la edad de una persona cuyo número de años en 1998 es igual a la suma de los valores de los dígitos del año de su nacimiento? a. 15 b. 17 c. 18

d. 21 e. 26

16. ¿En qué dígito termina el número 22008 + 22009 ? a. 2 d. 1 b. 4 e. 8 c. 6 17. Los vértices A y C del cuadrado ABCD de lado 1, son el centro de dos circunferencias de radio 1.

¿Cuál es el área de la intersección entre ambos círculos? π 4 −π a. d. 2 2 π −1 b. e. Ninguna de las anteriores 2 π −2 c. 2 18. Mi clave secreta es un número de tres dígitos. Si lo divido entre 9 tengo como resultado un número cuya suma de dígitos disminuye en 9 con respecto a la suma de los dígitos en mi clave. ¿Cuántos números pueden ser mi clave secreta? a. 1 d. 5 b. 2 e. 11 c. 4 19. La lista (1, x2 , x3 , …, xn , 1000) es la sucesión más larga de enteros positivos tal que cada término a partir del tercero es la suma de todos los anteriores. ¿Cuánto vale x2 ? a. 2 d. 124 b. 7 e. 125 c. 8

4

20. En el triángulo rectángulo ABC cuyos lados tienen longitudes a, b y c, se inscribe una circunferencia.

Del centro de la circunferencia se traza un segmento hasta el vértice C que interseca la circunferencia en el punto D. ¿Cuál es la longitud del segmento CD? a+b+c a+b−c d. ( 2 − 1) a. 2 2 2 a+b+c b. ( 2 − 1) e. Ninguna de las anteriores 2 a+b−c c. 2 2 FIN

Felicitaciones por haber participado en la Primera Fase de la Olimpiada de Matemáticas de Puerto Rico. No olvides visitar la página del IFEM (http://ifem.math.uprm.edu) a partir del 19 de diciembre de 2008 para ver los seleccionados a la segunda fase.

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