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ANÁLISIS TRANSITORIO DE UN CIRCUITO DE SEGUNDO ORDEN

(Abril 2013) Jesús Eduardo cubillos Ramírez. (1). Jaime Mondragón Galeano (2). Andrey Felipe Castiblanco (3) 42111005(1). 42111038(2). 4211101932). RESUMEN En el análisis de circuitos eléctricos de segundo orden, se pueden implementar métodos que pueden facilitar los cálculos de los parámetros deseados en relación a la resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden, en este caso solventa la resolución por medio de conceptos matemáticos avanzados propios del curso de ecuaciones diferenciales, o realizar el análisis en el dominio de la frecuencia que implica transformadas de la place y posterior inversa. PALABRAS CLAVES: circuitos, tiempo, frecuencia, 1laplace.

ABSTRAC

INTRODUCCION El desarrollo de este laboratorio se llevo a cabo con el fin de realizar un análisis transitorio RLC en serie y paralelo, haciendo el respectivo análisis en el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, implicando el análisis por medio del método de LAPLACE y su posterior inversa para determinar respuesta total en función del tiempo .

MARCO TEORICO CIRCUITO RLC SERIE Para un circuito en serie lo indicado es implementar un análisis de sumatoria de tensiones del circuito, siendo la misma corriente para todos los elementos.

In the analysis of electrical circuits second order methods can be implemented that can provide estimates of the desired parameters in relation to the resolution of second order differential equations, in this case solved through solving advanced mathematical concepts own course of differential equations, or perform the analysis in the frequency domain transforms involving the place and later reverse. KEYWORDS: Circuits, time, frequency, laplace. Ahora hay que obtener una ecuación diferencial de segundo orden, debido a que se tienen dos elementos que almacenan energía. De forma

rápida,es posibleconocer la ecuación diferencial pa ra la corriente delcircuito (de antemano se sabe que la corriente es la misma para todos los elementos conectados). Aplicando LVK alrededor de la malla y sustituyendo las condiciones de corriente del capacitor y voltaje del inductor:

Figura 2 circuitos en función de la frecuencia

−

Donde la corriente en el dominio del tiempo: 𝐼(𝑠) =

Si se sabe que existe una entrada constante de E(t),entonces, diferenciando a (2) con respecto del tiempo, se obtiene una ecuación de segundo orden homogénea:

𝑈 1 + 𝐼(𝑠) [𝑅 + 𝐿𝑆 + ] = 0 𝑆 𝑆𝐶

𝑈 1 𝑆(𝑅 + 𝐿𝑆 + 𝑆𝐶 )

=

𝑈 1 𝑆 2 𝐿 + 𝑆𝑅 + 𝐶

RESPUESTA SUB-AMORTIGUADA El caso de subamortiguamiento se da cuando la siguiente expresión se cumple dentro de las raíces de la ecuación:

Donde la formula general de la corriente es:

Siendo las dos raíces m1 y m2:

:

∝=

𝑅 2𝐿

𝑊𝑜 =

1 √𝐿𝐶

Y para el dominio de la frecuencia el circuito se puede simplificar de una manera más fácil.

Figura 3 circuito subamortiguado

CIRCUITO RLC EN PARALELO Para este circuito el voltaje en función del tiempo se analiza por medio de sumatorias de corriente LKC.

ETAPA 1 Para la primera etapa realizamos el montaje RLC en serie tales que cumpliera las condiciones necesarias para que tuviera el comportamiento sub-amortiguado esto por medio de las relación entre las ecuaciones α Y ω

Figura 4 circuito en paralelo en dominio del tiempo

De donde:

Figura 6 simulación multisim

Figura 7 Simulacion grafica multisim

Y para el domino de frecuencia: Análisis gráfico: realizando el análisis matemático cuando la resistencia es cero el circuito está en estado permanente de sub amortiguación.

Figura 5 circuito en dominio de la frecuencia

1 1 𝐼𝑜 = 𝑉𝑜 ( + + 𝑆𝐶) 𝑅 𝐿𝑆

Entonces obtenemos que la función de ganancia o transferencia: ETAPA 2 Montaje propio sugerido laboratorio (circuito mixto)

en

las guías de

Pero en el circuito real implementamos una función escalón unitario que está dada en Laplace como 𝑉𝑖 =

𝑈 𝑆

Quedando nuestra ecuación de la siguiente manera: 𝑉𝑖 𝑊𝑜 2 𝑉𝑜 = 𝑆(𝑆 2 + 𝑆2 ∝ +𝑊𝑜 2 ) Figura 8 simulacion circuito multisim

Al reemplazar por nuestros valores reales

Aplicando LKC se obtiene que: 𝑉𝑜 =

Y al despejar el Vo que es el voltaje sobre la resistencia:

𝑆(𝑆 2

131578 + 𝑆 + 26315)

𝑉𝑜 = 10 − 0,027[e−t⁄2 (sin(162t) + 324cos(162t))] Voltaje en R1 en dominio del tiempo. 1 𝐼𝑙 (𝑡) = ∫ 𝑉𝑜 𝑑𝑡 𝑙

Siendo la función de ganancia.

𝐼𝑜 = 0.000877(0.606531)𝑡 (cos(162𝑡) 𝑡

− 161.998(𝑠𝑒𝑛(162𝑡) − 185.189𝑡𝑒 2 Corriente de inductor en función del tiempo.

Ya que el amortiguamiento viene dado por:

Bibliografía       Figura 9 simulación grafica multisim

Análisis gráfico: entre mayor sea el valor de la resistencia se puede inferir matemáticamente que el sub amortiguamiento en relación al trascurso de tiempo es mayor. También hallamos la relación de frecuencia de amortiguamiento dada por 𝑊𝑑 = √𝑊𝑜 2 −∝2 𝑊𝑑 = 162,2

𝑟𝑎𝑑 𝑠

2𝜋𝑓 = 162,2

𝑟𝑎𝑑 𝑠

𝑟𝑎𝑑 162,2 𝑠 𝑓= = 25.8𝐻𝑧 2𝜋 𝑇=

1 = 38,7𝑚𝑠 25.8𝐻𝑧

Conclusiones En este trabajo se propone un método general y sistemático, que permite analizar en forma práctica, el comportamiento de circuitos en función de la frecuencia. Una contribución a destacar es la extensión y uso del método de Laplace en el análisis de circuitos avanzados.

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