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SEFAZ-SC

SECRETARIA DE ESTADO DA FAZENDA DE SANTA CATARINA

Raciocínio Lógico e crítico Proposições Lógicas

RACIOCÍNIO LÓGICO E CRÍTICO Proposições Lógicas Prof. Thiago Cardoso

SUMÁRIO Proposições Lógicas.....................................................................................5 1. Princípios de Lógica..................................................................................5 1.1 Defeitos do Raciocínio Humano................................................................6 1.2 Princípio do Terceiro Excluído...................................................................9 1.3 Princípio da não Contradição.................................................................. 11 1.4 Princípio da Identidade......................................................................... 12 1.5 Aplicações da Lógica............................................................................. 12 2. Proposições Lógicas............................................................................... 17 2.1 Proposições Categóricas........................................................................ 19 2.2 Proposições Simples e Compostas.......................................................... 27 3. Operadores Lógicos Fundamentais........................................................... 30 3.1 Negação............................................................................................. 30 3.2 Conjunção (“E”)................................................................................... 34 3.3 Disjunção Inclusiva (“OU”).................................................................... 36 3.4 Conclusões Lógicas com E e OU............................................................. 37 3.5 Deduções e Equivalências Lógicas.......................................................... 41 4 Condicional (SE… ENTÃO)........................................................................ 57 4.1 Deduções Lógicas................................................................................. 59 4.2 Equivalências Lógicas........................................................................... 62 4.3 Necessidade e Suficiência...................................................................... 66 4.4 Relação com os Quantificadores Universais.............................................. 68 5 Outros Operadores Lógicos...................................................................... 94 5.1 Tabelas-Verdade.................................................................................. 95

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5.2 Disjunção Exclusiva (OU… OU)............................................................... 96 5.3 Bicondicional (SE… E SOMENTE SE)........................................................ 97 5.4 Propriedades do OU Exclusivo e do Bicondicional...................................... 99 6 Anotações............................................................................................ 105 6.1 Acompanhamento do Aluno................................................................. 105 Questões de Concurso.............................................................................. 106 Gabarito................................................................................................. 123

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Olá, seja bem-vindo(a) ao nosso curso de Raciocínio Lógico. Nessa aula, estudaremos os conceitos básicos sobre proposições e operadores lógicos. A matéria de Raciocínio Lógico é certamente uma das mais conhecidas dos concurseiros, pois costuma ser cobrada em provas de todo tipo de cargo e por várias bancas. Essa matéria também tem bastante importância teórica para a Matemática, pois permitiu o rigor matemático nas demonstrações. Para a vida prática, também se trata de um tema bastante importante, pois nos ajudará a pensar melhor, nos livrar de preconceitos e chegar a conclusões genuinamente lógicas, livres de falácias e de erros de raciocínio. Antes de iniciar nossa aula, eu gostaria de lhe passar meus contatos, caso você tenha dúvidas. E-mail: [email protected] WhatsApp: (81) 994 161 322 Instagram: @thiagofernando.pe – sigam-me no Instagram. Eu sempre posto dicas muito úteis para a sua preparação para concursos públicos na área de Matemática. Feitas essas orientações iniciais, vamos juntos ao topo da montanha?

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PROPOSIÇÕES LÓGICAS 1. Princípios de Lógica A Lógica é uma técnica que mostra o pensamento humano como ele deveria ser, não como ele é. É importante diferenciar a Lógica da Ciência. A Lógica busca deduzir verdades a partir de um conjunto de premissas tomado como verdadeiro. Esse é um processo a priori. O sentido da expressão “a priori” é que a dedução lógica não é feita a partir de observações da realidade, portanto dispensa a experimentação. As verdades lógicas são obtidas antes de observar a realidade. Em muitos casos, elas não são nem mesmo verificáveis.

EXEMPLO Considere a proposição lógica “7 é primo”. Essa proposição é facilmente verificável, pois você pode testar todos os números menores que 7 e constatar que 7 não é divisível por nenhum. Por outro lado, considere a seguinte proposição “Existem infinitos números primos”. Embora seja relativamente fácil de provar que isso seja verdade, é impossível verificar tal afirmação.

O ser humano jamais conseguiria escrever num papel uma lista com infinitos números primos, afinal nossos recursos são escassos. Sendo assim, embora saibamos que existam infinitos números primos, não somos capazes de verificar essa afirmação.

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As áreas do conhecimento mais afeitas à Lógica são a Matemática, a Filosofia e a Praxeologia. Por outro lado, a Ciência utiliza o Método Científico, que consiste em extrair conclusões por meio de observações da realidade. Trata-se, portanto, de conhecimentos obtidos a posteriori. Por exemplo, a Física estuda a gravidade por meio da experimentação. Pode-se lançar vários objetos de alturas diferentes e, a partir do tempo de queda, o tempo necessário para que eles cheguem ao chão, o pesquisador poderá calcular a aceleração da gravidade. Porém, a Matemática não precisa de nenhuma observação da realidade para deduzir seus teoremas. Por conta disso, a nossa amada disciplina não pode ser considerada uma ciência. Apesar de parecer abstrata, é importante destacar que o objetivo da Lógica é descrever a realidade, chegando a conclusões sobre ela. Porém, todas as conclusões lógicas são feitas unicamente a partir do raciocínio, não de experimentações.

1.1 Defeitos do Raciocínio Humano A Lógica estuda o raciocínio humano como ele deveria ser, não como ele é, de fato. Na vida real, frequentemente, tomamos atalhos que nos permitem tirar conclusões mais rápidas; porém, sem fundamentos lógicos. Esse tipo de atalho é conhecido como falácia. Tomemos como exemplo a Falácia da Autoridade. O ser humano naturalmente busca por autoridades, pessoas que possam ser referenciadas como grandes conhecedoras de sua área de atuação. Contudo, o mero fato de que um especialista

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tenha dito algo relacionado a seu campo de atuação não constitui nenhuma prova de que tal afirmação seja verdadeira. O especialista pode mentir deliberadamente com o objetivo de satisfazer fins pessoais ou, ainda, pode simplesmente estar errado. Consideremos o seguinte fragmento extraído da Constituição Federal: Art. 5º, XII – é inviolável o sigilo da correspondência e das comunicações telegráficas, de dados e das comunicações telefônicas, salvo, no último caso, por ordem judicial, nas hipóteses e na forma que a lei estabelecer para fins de investigação criminal ou instrução processual penal;

Embora a Constituição Federal seja tomada como a fonte primordial do Direito no Brasil, o simples fato de algo estar escrito nela não torna aquela afirmação verdadeira. É o caso do Art. 5º, XII, em que pese estar escrito que o sigilo da correspondência e das comunicações telegráficas e de dados ser inviolável, sabemos que, na prática, há jurisprudência do Supremo Tribunal Federal (STF) no sentido de que tal direito não pode ser considerado absoluto. E que, portanto, é possível em ocasiões especiais, haver a quebra desse tipo de sigilo. Inclusive, nem mesmo o próprio STF tem o condão de que todas as suas afirmações podem ser consideradas como verdades absolutas. Algo que me fascina na Matemática é que essa área do conhecimento não se interessa por quem você é. Por exemplo, recentemente, o matemático Yi Zhang, vindo de uma faculdade de pouca expressão, foi capaz de provar um importantíssimo teorema sobre números primos. Não explicarei aqui esse teorema, pois a própria proposição já é bastante complicada de entender, porém é fascinante que um problema tão renomado tenha sido resolvido por alguém de pouca expressão.

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Outro fato que me deixa incrivelmente feliz é quando alunos solicitam a demonstração de teoremas matemáticos, principalmente os de concursos. O fato de você ler uma demonstração matemática prova que você realmente entendeu o propósito desse ramo do conhecimento, que é de buscar verdades lógicas e que não podem ser provadas simplesmente com “o Professor Thiago escreveu”. Afinal de contas, o fato de muitos dos meus alunos me tomarem como uma autoridade na área não torna automaticamente tudo o que eu escrevo verdade. Outro exemplo de falácia é a Negação da Teoria na Prática. Talvez essa seja uma das que mais irritam as pessoas estudiosas, mas precisamos saber que se trata de uma falácia. Embora seja verdade que a prática muitas vezes traz situações diferentes do que é estudado no campo teórico, todo o progresso humano se deveu ao fato de que estudamos a teoria das coisas. Todas as espécies animais são capazes de experimentar e observar o resultado de seus experimentos. Por exemplo, um pássaro pode comer uma borboleta venenosa. Ao perceber que ela tem um gosto muito amargo e que deve ser inapropriada para consumo, ele a cospe e não torna a comer borboletas semelhantes. Trata-se de uma forma de obtenção de conhecimento tácito, ou seja, a partir da experiência. No entanto, somente a espécie humana é capaz de transmitir esse conhecimento adquirido a outros entes da população, principalmente em larga escala. Por exemplo, quando eu era menor, eu e meu pai começamos a criar peixes ornamentais, hobby que mantenho até hoje. Eu sempre fui muito teórico e estudava parâmetros como temperatura, escala de pH e ciclagem da água. O meu pai, por sua vez, inicialmente rejeitou “toda aquela teoria sobre criação de peixes”, pois, segundo ele, na prática, as coisas eram diferentes e que os peixes haviam evoluído com a sua criação pelo ser humano.

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O meu pai sempre foi uma pessoa bastante prática, que conseguia fazer muita coisa sozinho, mesmo sem muito estudo. Ele montou um aquário com um terço do investimento que a maioria das pessoas faziam. Porém, só conseguíamos manter algumas espécies de peixes (Guppies, Espadas, Molinésias e Platis) nesse aquário. Todas as vezes que tentávamos criar outros peixes, eles morriam rapidamente. O que acontecia é que aquela teoria toda sobre escalas de pH, temperatura e ciclagem da água era realmente importante. Os peixes citados acima tinham seus parâmetros muito próximos ao que poderíamos encontrar na água da torneira – água ligeiramente alcalina, temperatura tropical de Recife. Porém, outras espécies de peixes que necessitavam de ambientes bastante diferentes e não conseguiam se adaptar ao nosso aquário. Sendo assim, não cometa o erro de subestimar a importância da teoria para o progresso de uma atividade. Caso você queira saber mais sobre os Defeitos do Raciocínio Humano, eu gostaria de recomendar o livro “Como Vencer um Debate sem ter Razão”, de Arthur Schopenhauer. Nesse livro, Schopenhauer disseca as falácias – argumentos errôneos – que maus filósofos utilizam para convencer as pessoas do seu ponto de vista, mesmo que eles não tenham uma base filosófica sólida ou ainda que as suas afirmações sejam mentirosas e seu objetivo seja o de meramente enganar. Considero uma leitura muito importante para evitar que sejamos enganados por argumentos inválidos e por falácias de maneira geral.

1.2 Princípio do Terceiro Excluído O Princípio do Terceiro Excluído estabelece que: Uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não se admitindo outra possibilidade.

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Esse princípio determina o tipo de Lógica que estudamos em nível de concursos públicos, que é conhecida como Lógica Booleana. Na Lógica Booleana, só existem as proposições absolutamente verdadeiras e as proposições falsas. Não é possível haver um meio termo. Prestemos atenção à expressão absolutamente verdadeira. Em Lógica, somente podemos dizer que uma expressão é verdadeira quando ela está absolutamente provada, isto é, acima de qualquer dúvida. Costumo dizer aos meus alunos que a Matemática não tem espaço para o talvez. Enquanto algo não for provado definitivamente, aquilo não pode ser tomado como verdadeiro. Tomemos como exemplo a afirmação de que: “Não é possível fabricar um vinho de qualidade a menos de 20 graus de latitude”. Essa afirmação foi repetida por muitas décadas no mundo dos vinhos, fazendo uma referência de que o clima frio que pode ser encontrado longe dos trópicos era essencial para a maturação das uvas e para a produção da bebida. Porém, trata-se de uma afirmação que não havia sido provada. Havia apenas especulações de que fosse verdade. Recentemente, a fábrica Rio Sol foi capaz de produzir em Petrolina – interior de Pernambuco – o vinho Paralelo 8.

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FIGURA 1 – Vinho Paralelo 8 e uma Ilustração do Princípio do Terceiro Não Excluído

O nome do vinho é uma homenagem à localização geográfica de Petrolina e uma leve tiração de onda com o antigo preconceito sobre a necessidade de latitudes muito elevadas para a produção de vinhos de qualidade. Sendo assim, o Princípio do Terceiro Excluído encontra grandes aplicações na filosofia e no dia a dia, pois nos ensina a nos livrar de preconceitos bobos.

1.3 Princípio da não Contradição O Princípio da Não Contradição é um dos mais importantes da Lógica tradicional e é bastante compreendido pelas pessoas. Ele estabelece de forma geral que: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

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Em outras palavras, uma proposição qualquer pode ser verdadeira ou pode ser falsa, mas não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Quando discutimos com alguém e queremos provar que aquela pessoa está chegando a uma conclusão errada, o método mais comum que usamos é tentar apontar uma contradição que ela tenha cometido. Quando apontamos uma contradição qualquer na sua base de argumentos, estamos invalidando completamente a sua tese e negando a sua argumentação. É por isso que as pessoas ficam tão chateadas quando apontamos uma contradição nos seus argumentos. O Princípio da Não Contradição tem uma importante relação com o Operador Condicional e com as Provas por Absurdo. Veremos mais adiante uma importante demonstração que vai se relacionar com esse princípio.

1.4 Princípio da Identidade O Princípio da Identidade estabelece que tudo é idêntico a si mesmo. Em outras palavras, A é A. Por exemplo, podemos dizer que a maçã é maçã. Esse princípio se relacionada bastante com o Princípio da Não Contradição. A contradição seria estabelecer que A é não A. Por exemplo, “a maçã não é maçã.”

1.5 Aplicações da Lógica A Lógica foi inicialmente estudada por Aristóteles, que criou todo um ramo da Filosofia. A Filosofia baseada na Lógica cresceu bastante até ser conhecida como “Racionalismo”.

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O Racionalismo busca obter conhecimentos a partir de deduções lógicas a priori, ou seja, sem a necessidade de observar a realidade. O preconceito pode ser entendido como um conhecimento a posteriori obtido a partir de observações da realidade, sem que seja obtida uma prova definitiva dessa relação. É o caso da afirmação: “Não é possível produzir um vinho de qualidade a menos de 20 graus de latitude”. Essa afirmação foi feita a partir da observação de que todos os vinhos de qualidade da época haviam sido feitos nessas condições. Porém, essa simples observação não prova a veracidade da afirmação. O racionalismo é uma corrente filosófica bastante interessante, pois nos permite construir conhecimento sem nos apoiar em falácias e em preconceitos. A Lógica estudada para concursos se aproxima bastante dessa corrente filosófica, pois busca deduzir verdades lógicas. Caso você queira entender mais sobre Racionalismo, eu sugiro o canal do YouTuber Alexandre Porto. Também podemos citar que a Lógica é a fonte primordial do rigor matemático e de suas demonstrações. Na Matemática, uma verdade só aceita quando é efetivamente provada para todas as possibilidades. Não há espaço para o “quase” na Matemática. Ou algo está provado ou não está provado. Por fim, outra aplicação mais prática é a Lógica Computacional. Os computadores processam seus circuitos digitais por meio de 0 e 1, que são números binários e que guardam grande analogia com o conceito de “Falso” e “Verdadeiro”. A Lógica Computacional não se interessa pela obtenção de verdades, mas apenas em fazer contas por meio de 0 e 1. Um computador é capaz de processar milhões de contas lógicas em segundos, porém não é capaz de entender conceitos humanos.

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É justamente por meio dessas operações lógicas feitas de maneira muito rápida em seu computador que conseguimos montar circuitos bastante complexos. Para entender um pouco de criptografia, apresentaremos o conceito da função hash. Um caso particular de funções que não são injetoras é o hash. É utilizado em criptografia como um garantidor do conteúdo da mensagem. A função hash é calculada a partir da mensagem original. Vale lembrar que, em um computador, tudo o que se escrever é registrado na forma de números binários, os famosos 0 e 1, portanto é possível calcular o hash de qualquer mensagem, seja ela uma figura, um texto ou até uma música. O interessante é que, se você tiver o hash da mensagem, é impossível decifrar a mensagem original. EXEMPLO Tomemos, como exemplo, que o hash seja a função resto na divisão por 4. O hash fornecido da mensagem é 3. Qual o número que, quando dividido por 4, deixa resto 3? Você percebeu que, como a função resto não é injetora, existem vários números cujo resto é igual 3. Alguns exemplos: 3, 7, 11, 15. Todas essas mensagens deixam o mesmo resto, em outras palavras, possuem o mesmo hash. É o que acontece com o CPF. O seu CPF é formado por um conjunto de nove dígitos. Isso mesmo. São apenas nove. Tomemos como exemplo um CPF fictício. 395.624.780 Esse é o CPF, e o que fazem aqueles dois dígitos no final? Aqueles dígitos formam um hash. 395.624.780-34

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A intenção do hash é evitar que você digite o seu CPF errado e caia no CPF de outra pessoa. Se você digitar qualquer número errado, por descuido. Por exemplo: 395.624.750 O hash calculado seria diferente. 395.624.750-19 Portanto, se você digitou: 395.624.750-34, o CPF é inválido, porque o número 395.624.750 possui hash 19, não 34. Sendo assim, só pode ter havido um erro de digitação (ou uma tentativa de fraude). É importante repetir que, como a função hash não é injetora, caso você saiba os dígitos finais do CPF de uma pessoa, você não será capaz de deduzir o restante do CPF. No caso do CPF, é relativamente possível você chutar e encontrar um CPF verdadeiro. Existem apenas 100 hashes (0 a 99), por isso você pode testar todas as combinações – isso gastará um tempo, mas é possível. O que aconteceria se o hash fosse formado por mais dígitos? Por exemplo, no caso do algoritmo SHA-256, todas as mensagens são codificadas por um hash de 256 dígitos binários. Isso mesmo, 256. Isso significa que existem 2256 hashes = 6.1076 hashes no SHA-256. Como esse número é uma quantidade inimaginavelmente grande, o hash calculado para uma mensagem será praticamente único e será uma ferramenta extremamente interessante para garantir o conteúdo dela. No Quadro 1, mostramos um contrato social fictício de uma empresa e uma tentativa de fraude bem sutil.

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QUADRO 1 – Tentativa de Fraude em um Contrato Social Contrato Original

Contrato Fraudado

CLÁUSULA OITAVA: É expressamente vedado, sendo absolutamente ineficaz em relação à sociedade, o uso da denominação social em títulos, avais, fianças, ou quaisquer outras garantias que não forem consideradas de exclusivo interesse da sociedade, tomadas por decisão unânime dos sócios, sob pena de responsabilidade perante terceiros e a sociedade. CLÁUSULA NONA: Para a alienação a qualquer título de bens da sociedade, ou para a constituição de ônus ou gravames reais sobre os mesmos, será necessária a assinatura dos 03 (três) sócios em conjunto. A assinatura de apenas alguns deles invalida quaisquer documentos firmados para o fim previsto nesta cláusula. CLÁUSULA DÉCIMA: os administradores declaram, sob as penas da lei, que não estão incursos em quaisquer crimes previstos em lei ou restrições legais, que possam impedi-los de exercer atividade empresarial conforme artigo 1.011, 1º do CC/2002. CLÁUSULA DÉCIMA PRIMEIRA: Firma ato contínuo a solicitação a solicitação do contrato social da sociedade empresária limitada, conforme ato:

CLÁUSULA OITAVA: É expressamente vedado, sendo absolutamente ineficaz em relação à sociedade, o uso da denominação social em títulos, avais, fianças, ou quaisquer outras garantias que não forem consideradas de exclusivo interesse da sociedade, tomadas por decisão unânime dos sócios, sob pena de responsabilidade perante terceiros e a sociedade. CLÁUSULA NONA: Para a alienação a qualquer título de bens da sociedade, ou para a constituição de ônus ou gravames reais sobre os mesmos, será necessária a assinatura dos 03 (três) sócios em conjunto. A assinatura de apenas alguns deles valida quaisquer documentos firmados para o fim previsto nesta cláusula. CLÁUSULA DÉCIMA: os administradores declaram, sob as penas da lei, que não estão incursos em quaisquer crimes previstos em lei ou restrições legais, que possam impedi-los de exercer atividade empresarial conforme artigo 1.011, 1º do CC/2002. CLÁUSULA DÉCIMA PRIMEIRA: Firma ato contínuo a solicitação a solicitação do contrato social da sociedade empresária limitada, conforme ato:

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No apêndice desse material, eu explico como eu calculei hashes dessas mensagens utilizando o algoritmo SHA-256. Perceba que houve uma mínima alteração no contrato. Caso você ainda não tenha percebido, a Cláusula Nona foi modificada – o verbo “invalida” foi trocado por “valida”.

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Embora a mudança tenha sido ínfima e bastante difícil de se perceber a olho nu – ainda mais se você for um advogado que cuida de milhares de contratos de centenas de empresas diferentes –, o hash calculado foi completamente diferente. Perceba o poder que existe por trás dessa ferramenta. Sempre que alguém lhe enviar um contrato para você saber se aquela informação não foi alterada por ninguém, você pode, em vez de ler, simplesmente calcular o hash. Se o hash calculado for exatamente igual, o contrato não sofreu absolutamente nenhuma modificação. Porém, qualquer vírgula a mais ou menos produzirá um hash completamente diferente. Outro fato interessante é que o hash é uma função somente de ida. Não é possível obter a mensagem original a partir dele. Como já dissemos, a razão para isso é que se trata de uma função que não é injetora. Sendo assim, essa interessantíssima função garante a integridade da sua mensagem ao receptor. Além disso, mesmo que o hash seja interceptado por um terceiro invasor, este não será capaz de ler a mensagem original. O algoritmo SHA-256 pertence a um conjunto de funções criptográficas, denominado SHA-2, projetado pela NSA (Agência de Segurança Nacional dos Estados Unidos). A sigla SHA significa Secure Hashing Algorithm (Algoritmo de Hash Seguro). Uma de suas aplicações mais conhecidas é o Bitcoin.

2. Proposições Lógicas Uma proposição é uma sentença que pode ser classificada como “Falsa” ou “Verdadeira”. Eu gosto de classificar que uma proposição é tudo aquilo que poderia cair em um item de Certo/Errado de uma prova elaborada pela saudosa banca Cespe. Ou até mesmo como um item abcde, nesse caso, de qualquer prova.

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São exemplos de proposições: “Thiago não é professor.” = FALSO “1 + 1 = 2” = VERDADEIRO “Os juízes são órgãos do Poder Judiciário” =? É interessante essa última afirmação. Como eu não sou Professor de Direito Constitucional, a princípio eu não saberia classificar se é verdadeira ou falsa. Porém, mesmo que eu não saiba classificar, sabemos que essa sentença pode ser classificada como verdadeira ou como falsa. Com um certo conhecimento de Direito Constitucional, saberíamos que é verdadeira. Porém, algumas proposições podem permanecer misteriosas por muito tempo. Essa é uma situação bem comum em questões de prova. Por outro lado, não são proposições: • Sentenças Interrogativas: quando fazemos uma pergunta, a pergunta em si não pode ser classificada como verdadeira ou falsa. A pergunta é simplesmente uma pergunta. “Vai chover amanhã?” “Você fechou a porta?” Nesse ponto, eu gostaria de lembrar o ditado “Perguntar não ofende”. De fato, quando fazemos uma pergunta, não estamos fazendo absolutamente nenhum julgamento ou nenhuma afirmação sobre o que foi dito ou sobre a pessoa. Portanto, perguntas não são proposições. • Sentenças Imperativas: quando damos uma ordem ou conselho, essa frase não pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Uma ordem é uma ordem. “Feche a porta.” “Volte mais tarde.”

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• Sentenças Exclamativas: a exclamação é utilizada para expressão emoção. E a emoção é algo subjetivo do ser humano. Portanto, a emoção não pode ser julgada como verdadeira ou falsa. “A Matemática é impressionante!” “Que menino malcriado!” • Sentenças Vagas: são utilizados adjetivos ou advérbios que não possuem um sentido bem definido. “João é um bom aluno”.

Essa frase não é proposição, porque o adjetivo “bom” é vago. O que é um bom aluno para mim pode não ser para outra pessoa. “A festa foi maravilhosa.” Mais um adjetivo bastante vago. Dizer que uma festa foi maravilhosa não significa muita coisa, pois o que é uma festa maravilhosa para uma pessoa pode não ser para outra pessoa. Inclusive, as sentenças vagas ficam como uma importante dica de Redação. Tome bastante cuidado com adjetivos vagos, pois eles podem fazer bastante sentido para você, mas absolutamente nenhum sentido para o seu interlocutor. E isso certamente lhe fará perder pontos na correção.

2.1 Proposições Categóricas Uma proposição categórica é aquela que diz respeito a uma categoria, não apenas a um único indivíduo. Elas podem ser classificadas em particulares e universais.

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• Proposições Universais: quando dizem respeito a todos os elementos de uma categoria. É geralmente caracterizada pela presença de quantificadores, como “todos”, “nenhum”; • Proposições Particulares: quando se referem a apenas alguns dos elementos de uma categoria. É geralmente caracterizada pela presença de quantificadores, como “algum”, “alguns”, “a maioria”, “parte”.

Além disso, as proposições também podem ser classificadas em afirmativas e negativas. • Proposição Negativa: quando possui um qualificador de negação, por exemplo: “não”, “nunca”, “nada”, “nenhum”, “jamais”. • Proposição Afirmativa: caso contrário, ela será uma proposição afirmativa.

Vejamos alguns exemplos dessas proposições.

QUADRO 2 – Exemplos de Proposições Categóricas Particular Afirmativa

Negativa

Universal

“Alguns auditores são engenheiros” “Todas as proparoxítonas são acen“Algum cachorro é preto.” tuadas.” “Todos os homens são mortais.” “Algum paulista não é sério.” “Algum auditor não é engenheiro.”

“Nenhum cachorro é mamífero.” “Nenhuma praia carioca é melhor que as nordestinas.”

As proposições categóricas se relacionam de maneira bastante íntima com o Diagrama de Venn, também conhecido como diagrama lógico. Vejamos como escrever.

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Comecemos por uma proposição particular afirmativa. Ao afirmar que “alguns auditores são engenheiros”, estamos deixando claro que existe uma intersecção entre o conjunto A (de auditores) e o conjunto E (de engenheiros). FIGURA 2 – Diagrama Lógico para uma Proposição Particular afirmativa

Porém, não podemos fazer nenhuma afirmação sobre as outras duas regiões do diagrama. A região à esquerda representa os auditores que não são engenheiros. Já a região à direita representar os engenheiros que não são auditores. Não existe nenhuma garantia de que realmente exista algum elemento em uma das regiões. Mas também não existe nenhuma garantia de que não existe. Pode existir algum auditor que não seja engenheiro, mas também pode ser que não exista. Agora, consideremos a proposição categórica universal afirmativa “Todo auditor é engenheiro”. Nesse caso, estamos garantindo que o conjunto de auditores é subconjunto do conjunto de engenheiros.

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FIGURA 3 – Diagrama Lógico para a Proposição Universal Afirmativa

Uma interpretação interessante para a afirmação “Todo auditor é engenheiro” está representada na figura à esquerda. A região vermelha representa os auditores que não são engenheiros. A proposição “Todo auditor é engenheiro” implica que a região vermelha não existe, ou seja, é uma região vazia, formada por nenhum elemento. Por isso, o diagrama pode ser resumido na figura à direita. Porém, ainda assim, é importante destacar que não há nenhuma garantia de que exista algum engenheiro que não seja auditor. Bastante cuidado com essa observação. A região marcada pela interrogação é uma incógnita, ou seja, não sabemos se realmente existe ou se não existe. Portanto, muito cuidado com isso em questões de prova. Em Lógica, é comum dizer que a proposição “alguns auditores são engenheiros” é subalterna da proposição “todos os auditores são engenheiros.” Isso acontece porque a primeira proposição é particular, logo é uma afirmação mais fraca que a segunda. Para que a proposição superalterna seja verdadeira, é necessário que a subalterna seja verdadeira.

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Falaremos mais alguns exemplos. Consideremos agora a proposição particular negativa “Algum auditor não é engenheiro”. Ao afirmar isso, podemos notar no Diagrama de Venn. FIGURA 4 – Proposição Categórica Particular Negativa

Por fim, temos a proposição universal negativa “Nenhum auditor é engenheiro”. Ao afirmar isso, temos que os conjuntos Auditor (A) e Engenheiro (E) são disjuntos. Inclusive, também podemos dizer que “Nenhum engenheiro é auditor.” FIGURA 5 – Proposições Universais Negativas

2.1.1 Proposições Subalternas, Contraditórias, Contrárias e Subcontrárias

Já vimos anteriormente o conceito de proposições subalternas. Agora, vejamos os outros casos.

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Por exemplo, vamos comparar a afirmação “Algum auditor não é engenheiro” com outras duas. Já sabemos que ela é subalterna de “Nenhum auditor é engenheiro”. É interessante nós comparamos essa afirmação com as duas anteriores. Proposições Subcontrárias Quando temos uma proposição particular negativa e outra particular afirmativa, é possível que ambas sejam verdadeiras ao mesmo tempo. Isso acontece quando se tem duas proposições particulares: “Algum auditor é engenheiro.” “Algum auditor não é engenheiro.”

Vejamos uma representação no Diagrama de Venn para essas duas afirmações juntas. A primeira está representada em verde, a segunda em azul.

FIGURA 6 – Proposições Subcontrárias

Diz-se, então, que essas proposições são subcontrárias. Isso acontece porque elas falam coisas diferentes sobre o mesmo sujeito e o mesmo predicado. No entanto, elas são compatíveis, ou seja, podem ser simultaneamente verdadeiras.

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É interessante notar que, no caso de proposições subcontrárias, ambas não podem ser simultaneamente falsas. Se você tomar o auditor João, ele só tem duas possibilidades: ou ele é engenheiro ou ele não é engenheiro. Se ele for engenheiro, a proposição “Alguns auditores são engenheiros” é verdadeira. Se ele não for engenheiro, a proposição “Alguns auditores não são engenheiros” é verdadeira.

Proposições Contraditórias Uma proposição é a negação da outra. É importante registrar que a negação de uma proposição universal é sempre uma particular. Por outro lado, comparemos as proposições: “Todos os auditores são engenheiros.” “Algum auditor não é engenheiro.” Tomemos a primeira proposição. Se João é auditor e todos os auditores são engenheiros, então João é engenheiro. Logo, não é possível encontrar um auditor que não seja engenheiro. Portanto, a primeira proposição nega a segunda.

Da mesma forma, se a segunda proposição for verdadeira e Pedro for auditor, mas não engenheiro, automaticamente Pedro é uma prova de que a primeira proposição está falsa. Sendo assim, uma proposição nega a outra. Assim, diz-se que elas são contraditórias.

Proposições Contrárias Quando duas proposições categóricas não podem ser ambas verdadeiras, mas podem ser ambas falsas. Isso acontece entre proposições universais.

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EXEMPLO Tomemos como exemplo: “Todos os auditores são engenheiros.” “Nenhum auditor é engenheiro.”

Agora, suponha que João é auditor, mas não é engenheiro e que Paulo é auditor e engenheiro. Dessa maneira, a existência de João e Paulo prova que ambas as afirmações são falsas. Como elas podem ser simultaneamente falsas, elas são chamadas de proposições contrárias. Vamos a um esquema. FIGURA 7 – Classificação das Proposições Categóricas

Podemos explorar ainda mais. De modo geral, se a proposição universal e a particular forem ambas negativas ou ambas positivas, então a particular será subalterna da universal. Por outro lado, se uma for negativa e outra for positiva, elas serão contraditórias.

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2.2 Proposições Simples e Compostas Uma proposição é dita simples ou atômica quando ela não possui nenhum conectivo lógico. Caso ela possua algum conectivo lógico (E, OU, SE… ENTÃO etc.), a proposição será composta. Vejamos alguns exemplos para fixar.

QUADRO 3 – Exemplos de Proposições Simples e Compostas Proposições Simples

Proposições Compostas

1+1=3

1 + 1 = 3 ou 2 + 1 = 3

São Paulo é mais populosa que Recife.

Se São Paulo é mais populosa que Recife, então Recife é mais quente que São Paulo.

Thiago não é professor

Thiago é professor e 2 + 2 = 4

Thiago e Vinícius são professores.

Thiago é professor e Diana é coordenadora.

Cristiano ou Lionel será o melhor jogador do Cristiano é destro ou Lionel é canhoto. mundo.

De maneira geral, uma proposição simples propõe uma única tese, enquanto que a proposição composta propõe mais de uma tese. Para entender as duas últimas linhas, você terá que lembrar um pouquinho de análise sintática. É importante você tomar bastante cuidado com os conectivos E e OU. Como eles são conjunções, eles podem ser usados tanto para articular orações diferentes quanto para articular termos dentro de uma mesma oração. Quando o conectivo está articulando termos que compartilham o mesmo predicado, ou seja, estão na mesma oração, a proposição é uma só. Trata-se de uma proposição simples.

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Por outro lado, quando o conectivo está articulando termos que não compartilham o mesmo verbo, os termos possuem predicados diferentes. Proposições Simples Thiago e Vinícius são professores

Proposições Compostas Thiago é professor e Diana é coordenadora.

Cristiano ou Lionel será o melhor jogador Cristiano é destro ou Lionel é canhoto. do mundo. Mesmo Predicado

Predicados Diferentes

E, agora, vamos treinar com algumas questões de prova.

1. (VUNESP/PC-SP/2014) Das alternativas apresentadas, assinale a única que contém uma proposição lógica. a) Ser um perito criminal ou não ser? Que dúvida! b) Uma atribuição do perito criminal é analisar documentos em locais de crime. c) O perito criminal também atende ocorrências com vítimas de terrorismo! d) É verdade que o perito criminal realiza análises no âmbito da criminalística? e) Instruções especiais para perito criminal.

Letra b. Uma boa questão para ficarmos de olho no que é uma proposição. a e d) Erradas. As sentenças “a” e “d” são perguntas, portanto não podem ser proposições. c) Errada. A sentença “c”, por sua vez, é uma sentença exclamativa, expressando emoção, logo também não é uma proposição.

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e) Errada. Já a letra “e” não faz nenhuma declaração. Essa frase é como se fosse um pequeno título de um capítulo. Desta forma, também não é proposição. Não pode ser classificada como verdadeira ou falsa.

2. (VUNESP/PC-SP/2014/DESENHISTA) A proposição pode ser caracterizada como sentença declarativa que admite um, e somente um, valor de verdade (verdadeiro ou falso). Considerando essa definição, assinale a alternativa correta. a) A sentença declarativa “Choveu no dia do jogo de basquete?” é falsa. b) A sentença exclamativa “Parabéns pelo seu aniversário” é verdadeira. c) A sentença declarativa “Brasil é um Estado soberano” é verdadeira. d) A sentença exclamativa “Quero comprar um bom carro!” é falsa. e) A sentença interrogativa “Florianópolis é a capital do Pará?” é verdadeira.

Letra c. As sentenças interrogativas e exclamativas não podem ser consideradas proposições, portanto não podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas.

3. (VUNESP/PC-SP/2014/DELEGADO) Na lógica clássica, as proposições que compõem um raciocínio são classificadas como: (1) universais ou particulares e (2) afirmativas ou negativas. Assim sendo, as proposições “todo ser humano é mortal”, “algumas pessoas não usam óculos” e “alguns motoristas são descuidados” são classificadas, respectivamente, como: a) Particular afirmativa, universal negativa e universal afirmativa. b) Particular afirmativa, universal negativa e particular afirmativa.

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c) Universal afirmativa, particular afirmativa e particular negativa. d) Particular negativa, particular afirmativa e universal afirmativa. e) Universal afirmativa, particular negativa e particular afirmativa.

Letra e. Analisaremos cada uma das proposições. “Todo ser humano é mortal” é uma proposição universal afirmativa. “Algumas pessoas não usam óculos” é particular negativa. “Alguns motoristas são descuidados” é particular afirmativa.

3. Operadores Lógicos Fundamentais Os operadores lógicos servem como forma de articular proposições. Os operadores lógicos fundamentais são o NÃO, E e OU, porque, a partir desses operadores, é possível construir todos os demais.

3.1 Negação A negação é o operador lógico mais importante e é representado por É importante destacar que a negação deve ser feita com a palavra não e que não se deve usar antônimos. Sendo assim, a negação de “O copo está cheio” é “O copo não está cheio”, não pode ser “O copo está vazio”.

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Isso acontece porque “cheio” e “vazio” não são antônimos absolutos. Na linguagem do dia a dia, podemos pensar em um copo meio cheio, meio vazio. Porém, em Lógica, não existem afirmações metade verdadeiras ou metade falsas. Ou o copo está cheio ou o copo não está cheio. Combinado? Então, muito cuidado com antônimos em questões de prova. É possível fazer uma negação com antônimos somente quando realmente forem antônimos absolutos. O caso mais comum acontece com expressões matemáticas que serão vistas logo adiante. 3.1.1 Tabela-Verdade Para construir a tabela-verdade para o operador NEGAÇÃO, você precisa ter em mente que sempre que você nega uma verdade, você está contando uma mentira. Por exemplo, “Thiago é professor” é uma sentença verdadeira. Quando você nega essa sentença, teríamos “Thiago não é professor” que é uma sentença falsa. Sendo assim, a negação de qualquer sentença verdadeira é uma sentença falsa. A recíproca também é verdadeira. Quando você nega uma mentira, você está contando uma verdade. Por exemplo, considere a sentença falsa “Thiago é paulista”, a sua negação é “Thiago não é paulista”, o que é verdade. A conclusão geral é que o operador NEGAÇÃO troca o valor lógico da proposição. O que era verdadeiro se torna falso e o que era falso se torna verdadeiro. Para resumir essas informações, tem-se a tabela-verdade.

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QUADRO 4 – Tabela-Verdade do Operador CONJUNÇÃO

3.1.2 Proposições Aritméticas Eu não sei exatamente se existe essa classificação, mas eu achei por bem criá-la, tendo em vista que elas podem (e já foram) cobradas em provas de concursos. Uma proposição aritmética envolve contas, sendo que o principal é o sinal de igualdade (“=”) ou de desigualdade (maior que “>”, menor que “<”, maior ou igual a “>”, menor ou igual a “<” e diferente Vejamos alguns exemplos: x+1=2 3 + 4 > 10 x² < 16 É importante observar que as expressões aritméticas podem ser negadas por meio de antônimos absolutos. • A negação de “igual” é “diferente”; • A negação de “maior” é “menor ou igual” e a negação de “menor” é “maior ou igual”; • A negação de “maior ou igual” é “menor” e a negação de “menor ou igual” é “maior”.

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QUADRO 5 – Proposições Aritméticas e suas Negações

3.1.3 Negação de Proposições Categóricas

Na verdade, esse tema já foi visto quando estudamos as proposições contraditórias. A negação de uma proposição universal é sempre uma proposição particular. A negação de uma proposição particular é sempre uma proposição universal. A negação de uma proposição afirmativa é sempre uma proposição negativa. E a negação de uma proposição negativa é sempre uma proposição afirmativa.

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FIGURA 8 – Negação de Proposições Categóricas

E, agora, vejamos alguns exemplos.

QUADRO 6 – Negação de Proposições Categóricas Proposição (p)

Negação (­­¬p)

Todo cachorro é bravo. (Universal Afirmativa)

Algum cachorro não é bravo. (Particular Negativa)

Nenhum homem é imortal. (Universal Negativa)

Algum homem é imortal. (Particular Afirmativa)

Algum fiscal é formado em Direito. (Particular Afirmativa)

Nenhum fiscal é formado em Direito. (Particular Negativo)

Algum jogador não é talentoso. (Particular Negativa)

Todo jogador é talentoso. (Universal Afirmativa)

3.2 Conjunção (“E”) O conectivo E é simbolizado por

Ele cria proposições compostas e requer

que todas as proposições simples que a compõem sejam verdadeiras. O operador E é bastante exigente nesse aspecto. Se qualquer uma das proposições simples que o compõem for falsa, a proposição inteira será falsa. Por exemplo, considere as proposições: p: “João estudou Matemática.” q: “Pedro estudou Português.”

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A conjunção entre as duas proposições “João estudou Matemática e Pedro estudou Português” somente será verdadeira se as suas duas partes forem ambas verdadeiras.

QUADRO 7 – Tabela-Verdade do Operador E

Se João não estudou Matemática ou se Pedro não estudou Português, automaticamente a sentença “João estudou Matemática e Pedro não estudou Português” ficará falsa. Com base nisso, já temos a famosa Lei de Morgan para a negação do operador E.

Em Linguagem Verbal, é relativamente comum utilizar o MAS ou outras conjunções adversativas e concessivas (porém, contudo, todavia, embora, apesar de…) no sentido de E. EXEMPLO Vejamos:

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“Paulo estudou, mas não passou.” Ao dizer isso, a Lógica entende que Paulo estudou e não passou. O sentido da conjunção MAS é dizer que “não passar” não era um resultado esperado para uma pessoa que estudou. Porém, para a Lógica, essa informação de o resultado ser inesperado é irrelevante. EXEMPLO Vejamos outro exemplo: “Embora Lucas tenha dormido, ele não perdeu a festa.” Nessa frase, queremos dizer que “Lucas dormiu e não perdeu a festa”. Sendo assim, é importante associar palavras como “mas, porém, embora” com o operador E.

3.3 Disjunção Inclusiva (“OU”) O conectivo OU é simbolizado por

Ele cria proposições compostas e requer

que qualquer uma das proposições simples que a compõe seja verdadeira. O operador OU somente será falso se todas as proposições simples que o compõem sejam falsas. EXEMPLO Por exemplo, considere as proposições. p: “João estudou Matemática.” q: “Pedro estudou Português.” A disjunção inclusiva entre as duas proposições “João estudou Matemática ou Pedro estudou Português” será verdadeira, caso pelo menos uma de suas duas partes sejam verdadeiras.

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QUADRO 8 – Tabela-Verdade do Operador E

Para negar a proposição composta “João estudou Matemática ou Pedro não estudou Português”, precisamos negar todas as proposições simples que a compõem. Sendo assim, teremos ter que João não estudou Matemática e que Pedro não estudou Português ao mesmo tempo. Com base nisso, temos a famosa Lei de Morgan para a negação do operador OU.

Com isso, vamos resumir as Leis de Morgan para a negação dos operadores E e OU. Note que a negação do E é o OU e que a negação do OU é o E.

3.4 Conclusões Lógicas com E e OU Temos duas conclusões básicas muito importantes que podem ser tomadas usando esses operadores.

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Dupla Negação Ao negar duas vezes, você está afirmando.

Em linguagem verbal, muitas falamos sem pensar muito: “Eu não fiz nada”. Ao fazer isso, estamos negando duas vezes. Na verdade, você está negando o “nada”. Portanto, em termos lógicos, a sentença “Eu não fiz nada” é equivalente a “Eu fiz algo”. Sendo assim, em questões de Lógica, tome cuidado com a dupla negação.

Redução do Operador E Se o operador E é verdadeiro, podemos concluir que cada uma de suas proposições simples que o contém é verdadeira.

EXEMPLO Suponha que “João é contador e Laura é advogada” é verdadeira. Podemos concluir necessariamente que João é contador. Também podemos concluir que Laura é advogada. Essas duas conclusões decorrem do fato de que o operador E somente será verdadeiro, se todas as proposições atômicas que o constituem forem verdadeiras. Vamos, agora, organizar a argumentação que acabamos de fazer em premissas e conclusões. Premissa: “João é contador e Laura é advogada.” Conclusões:

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“João é contador.” “Laura é advogada.”

Operador OU Quando o operador OU é verdadeiro, pelo menos uma de suas proposições atômicas deve ser verdadeira. Se sabemos que uma delas é falsa, podemos concluir que a outra é verdadeira.

EXEMPLO Suponha que você é um bom aluno de Matemática e que está sendo bem preparado, portanto será verdadeira a afirmação “Não cai Lógica ou eu acerto tudo”. Vamos, primeiramente, desmembrá-la em p: “Não cai Lógica” OU q: “Eu acerto tudo”. Suponha agora que caiu Lógica na sua prova. Ou seja, a primeira afirmação é falsa. Para que o operador OU seja verdadeiro, uma das duas proposições deve ser verdadeira. Porém, já sabemos que caiu Lógica, portanto a única opção é que “eu acerto tudo” será verdadeiro. Dessa maneira, sabendo que caiu Lógica na sua prova, é uma conclusão lógica de que você acertará tudo. É interessante organizar essa argumentação em premissas e conclusões. Premissas: “Não cai Lógica ou eu acerto tudo.” “Caiu Lógica.” Conclusão: “Eu acertei tudo.” “Laura não é advogada.”

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Redução do Operador OU falso Agora, estudaremos propriedades decorrentes das Leis de Morgan. Quando o operador OU é falso, podemos concluir que todas as suas proposições atômicas são falsas.

EXEMPLO Por exemplo, suponha que seja falsa a afirmação de que “João é contador ou Laura é advogada.” Nesse caso, podemos concluir necessariamente que João não é contador. E também podemos concluir necessariamente que Laura não é advogada. Vamos organizar essa conclusão lógica. Premissa: “João é contador ou Laura é advogada.” é falso. Conclusões: “João não é contador.” “Laura não é advogada.” Operador E Falso Quando o operador E é falso, sabemos que alguma de suas proposições atômicas é falsa. EXEMPLO Suponha que seja falsa a afirmação de que “Thiago gosta de camarão e Lucas gosta de frango” e também que você saiba que eu (Thiago), como bom recifense, gosto muito de camarão.

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Vamos separar as proposições atômicas. p: “Thiago gosta de camarão.” (Verdadeira) q: “Lucas gosta de frango.” (?)

Dessa maneira, para que a operador E seja falsa, devemos ter, necessariamente, que a proposição q seja falsa. Portanto, Lucas não gosta de frango.

Premissas: “Thiago gosta de camarão e Lucas gosta de frango.” é falso. “Thiago gosta de camarão.” Conclusão: “Lucas não gosta de frango.”

3.5 Deduções e Equivalências Lógicas Agora que já estudamos os operadores fundamentais, eu gostaria de diferenciar dois conceitos importantes da Lógica.

Equivalência Lógica É uma afirmação exatamente correspondente. Trata-se apenas de uma forma diferente de dizer a mesma coisa.

EXEMPLO “Não é verdade que João saiu de casa e fechou a porta” é equivalente logicamente a “João não saiu de casa ou não fechou a porta”.

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São duas formas diferentes de dizer a mesma afirmação. Dedução Lógica A dedução lógica é uma afirmação subalterna de uma premissa. Trata-se, portanto, de uma afirmação mais fraca, porém normalmente um caso particular importante que se deseja destacar.

EXEMPLO Premissa: “João é contador e Laura é advogada.” Conclusão: “João é contador.”

Premissas: “Todo homem é mortal.” “Sócrates é homem.” Conclusão: “Sócrates é mortal.”

A afirmação de que “João é contador” ou de que “Sócrates é mortal” são afirmações subalternas, ou seja, são casos particulares das premissas. De fato, a afirmação “Todo homem é mortal” traz muito mais informação do que “Sócrates é mortal”. A frase mais geral diz respeito não somente a um, mas a todos os indivíduos que pertencem ao conjunto Homem. Porém, para o ser humano, um caso particular pode ser de muito interesse e chamar a atenção.

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E, agora, vamos treinar com algumas questões de prova.

4. (TFC/2017) O delegado entrevistou vários suspeitos de um crime de tráfico de drogas, que disseram: I – Não fui eu II – Eu não fiz nada não. III – Eu não fiz isso não. Supondo que todos estejam falando a verdade, pode-se afirmar que cometeram o crime: a) Apenas I b) Apenas II c) Apenas III d) Nenhum dos suspeitos e) Todos os suspeitos

Letra c. Como sabemos, a dupla negação transforma a frase em uma afirmação. Na frase I, o autor está negando o crime. Na frase II, ao negar três vezes, o suspeito também está negando o crime. Porém, na frase III, ao negar duas vezes, o sujeito está, na realidade, afirmando que cometeu o crime.

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5. (CESPE/INSS/2016/TÉCNICO DO SEGURO SOCIAL) A sentença “Bruna, acesse a Internet e verifique a data da aposentadoria do Sr. Carlos!” é uma proposição composta que pode ser escrita na forma p ∧ q. Errado. Sagaz como sempre, o Cespe vem nos lembrar que frases no imperativo não são proposições.

6. (CESPE/ANVISA/2016/TÉCNICO ADMINISTRATIVO) A sentença “A fiscalização federal é imprescindível para manter a qualidade tanto dos alimentos quanto dos medicamentos que a população consome” pode ser representada simbolicamente por P∧Q.

Errado. De fato, o “tanto… quanto” pode ser entendido como um conectivo E. Porém, note que “os alimentos” e “dos medicamentos” possuem a mesma função citada. Mais especificamente, eles são adjuntos adnominais de “qualidade”. Sendo assim, a proposição citada é, na verdade, uma proposição simples.

7. (FGV/DETRAN-MA/2013/ASSISTENTE DE TRÂNSITO) Considere a afirmativa: “nenhum gato é verde”. A negação dessa afirmativa é: a) “algum gato é verde”.

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b) “nenhum animal verde é gato”. c) “todo gato é verde”. d) “algum animal verde não é gato”. e) “algum gato não é verde”.

Letra a. A proposição “nenhum gato é verde” é universal negativa por causa do termo nenhum. A negação de uma proposição universal negativa é uma particular afirmativa. Sendo assim, a sua negação será “algum gato é verde”.

8. (VUNESP/PC-SP/2014/INVESTIGADOR DE POLÍCIA) Um antropólogo estadunidense chega ao Brasil para aperfeiçoar seu conhecimento da língua portuguesa. Durante sua estadia em nosso país, ele fica muito intrigado com a frase “não vou fazer coisa nenhuma”, bastante utilizada em nossa linguagem coloquial. A dúvida dele surge porque: a) A conjunção presente na frase evidencia seu significado. b) O significado da frase não leva em conta a dupla negação. c) A implicação presente na frase altera seu significado. d) O significado da frase não leva em conta a disjunção. e) A negação presente na frase evidencia seu significado.

Letra b. Em português, utilizamos a dupla negação frequentemente como se fosse uma forma de enfatizar a negação.

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No entanto, em Lógica, a dupla negação é, na verdade, uma afirmação. Portanto, o significado da frase não leva em conta a dupla negação.

9. (VUNESP/2017/TJ-SP/ESCREVENTE) “Existe um lugar em que não há poluição” é uma negação lógica da afirmação: a) Em todo lugar, não há poluição. b) Em alguns lugares, há poluição. c) Em todo lugar, há poluição. d) Em alguns lugares, pode não haver poluição. e) Em alguns lugares, não há poluição.

Letra c. A negação de uma proposição particular negativa é uma proposição universal afirmativa. Portanto, a negação será “Em todo lugar, há poluição”.

10. (FGV/ISS/CUIABÁ-MT/2015/CONDUTOR DE VEÍCULOS) O pintor disse ao diretor: “Eu pintei a porta e a janela”. Como o diretor verificou que o pintor não disse a verdade, é correto concluir que o pintor: a) não pintou a porta nem a janela. b) não pintou a porta ou não pintou a janela. c) pintou a porta e não pintou a janela.

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d) pintou a porta ou não pintou a janela. e) pintou a janela mas não pintou a porta.

Letra b. Questão bastante direta sobre as Leis de Morgan. p: “Eu pintei a porta.” q: “Eu pintei a janela.”

“não pintou a porta.” “não pintou a janela.” “não pintou a porta ou não pintou a janela.”

11. (FUNRIO/CGE-RO/2018/ASSISTENTE DE CONTROLE INTERNO) Se não é verdade que todo rei é vilão, então é verdade que: a) nenhum rei é vilão. b) ao menos um rei não é vilão. c) algum vilão não é rei. d) nenhum vilão é rei. e) quem não é rei não é vilão.

Letra b. “Todo rei é vilão” é uma proposição universal afirmativa, portanto a sua negação é uma proposição particular negativa. É importante ainda que tenha o mesmo sujeito e o mesmo predicado.

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Sendo assim, a sua negação é “algum rei não é vilão”. Veja que “algum” tem o mesmo significado lógico de “ao menos um”.

12. (ESAF/FUNAI/2016) Seja NE a abreviatura de Nordeste. A negação de “O Piauí faz parte do NE ou o Paraná não faz parte do NE” é: a) o Piauí não faz parte do NE. b) o Paraná faz parte do NE. c) o Piauí não faz parte do NE ou o Paraná faz parte do NE. d) o Piauí não faz parte do NE e o Paraná faz parte do NE. e) o Piauí e o Paraná fazem parte do NE. Resolução Letra d. Uma questão de aplicação direta das Leis de Morgan para a negação. Tomemos a frase: p: “O Piauí faz parte do NE.” ¬q: “O Paraná não faz parte do NE.” Agora, aplicaremos a Lei de Morgan para a negação do operador disjunção.

¬p: “O Piauí não faz parte do NE.” q ­ : “O Paraná faz parte do NE.” ¬p E q: “O Piauí não faz parte do NE e o Paraná faz parte do NE.”

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13. (ESAF/MPOG/2009/ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL) A negação de “À noite, todos os gatos são pardos” é: a) De dia, todos os gatos são pardos. b) De dia, nenhum gato é pardo. c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo. d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo. e) À noite, nenhum gato é pardo.

Letra d. Questão bastante interessante. Já sabemos que a negação de uma proposição universal afirmativa é uma particular negativa. Portanto, a porção “Algum gato não é pardo” que veio escrita nas alternativas como “Existe pelo menos um gato que não é pardo.” Uma dúvida recorrente nos alunos é saber se também se deve negar o qualificador temporal “à noite”. E a resposta é que não. A afirmação principal do enunciado é uma afirmação que diz respeito à noite. Portanto, a sua negação também deve corresponder ao período noturno do dia. Nada foi falado sobre o que acontece com os gatos fora do período noturno. Portanto, não é possível afirmar nada sobre a coloração deles durante o dia.

14. (FGV/FIOCRUZ/2010/TÉCNICO EM SAÚDE PÚBLICA) A medida de um conjunto ordenado de dados, que divide este conjunto em duas partes de igual número de observações, denomina-se:

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a) Média b) Moda c) Mediana d) Desvio-padrão e) Variância

Letra c. Perfeita definição de mediana.

15. (ESAF/RECEITA FEDERAL/2009/TÉCNICO ADMINISTRATIVO) A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa” é: a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa. b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa. c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa. d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa. e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.

Letra b. É interessante registrar que temos duas proposições atômicas nessa sentença. p: “Ana ou Pedro vão ao cinema.” ­q: “Maria fica em casa.”

Aplicando as Leis de Morgan, temos que a negação do operador E é:

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¬p: “Ana e Pedro não vão ao cinema.” ­¬q: “Maria não fica em casa.” ¬p OU ¬ ­ q: “Ana e Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa.”

16. (FGV/ISS/CUIABÁ-MT/2015/CONTADOR) São verdadeiras as seguintes afirmações de Tiago: — Trabalho ou estudo. — Vou ao escritório ou não trabalho. — Vou ao curso ou não estudo. Certo dia, Tiago não foi ao curso. É correto concluir que, nesse dia, Tiago: a) estudou e trabalhou. b) não estudou e não trabalhou. c) trabalhou e não foi ao escritório. d) foi ao escritório e trabalhou. e) não estudou e não foi ao escritório.

Letra d. Essa questão explora bem a propriedade do operador OU.

Vou ao curso ou não estudo Não vou ao curso

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Portanto, pode-se concluir que: Não estudo De posse dessa conclusão, podemos observar a primeira afirmação. Trabalho ou estudo : Não estudo Portanto, pode-se concluir que: Trabalho Por fim, vamos à segunda afirmação de Tiago. Vou ao escritório ou não trabalho Trabalho

Portanto, pode-se concluir que: Vou ao escritório. Portanto, Tiago foi ao escritório e trabalhou, mas não estudou.

17. (ESAF/AFRFB/2012) Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Pasárgada. Assim, a) não viajo e caso. b) viajo e caso. c) não vou morar em Pasárgada e não viajo. d) compro uma bicicleta e não viajo. e) compro uma bicicleta e viajo.

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Letra b. As premissas do enunciado são: I – Caso ou compro uma bicicleta. II – Viajo ou não caso. III – Vou morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta. IV – não vou morar em Pasárgada Para que o operador OU seja verdadeiro, pelo menos uma de suas proposições atômicas deve ser verdadeira. Portanto, de (III) e (IV), temos que é verdade “Não compro uma bicicleta” (V). Aplicando (V) em (I), podemos concluir que “caso” (VI). Aplicando (VI) em (II), podemos concluir que “viajo”. Sendo assim, “viajo e caso”.

18. (VUNESP/AFTM/SÃO JOSÉ DO RIO PRETO-SP/2014) Considere falsas as proposições a seguir: I – João não foi à festa ou Cláudio foi trabalhar. II – Lucas caiu da escada e João não foi à festa. III – Daniel saiu de casa ou Rafael não foi ao baile. IV – Lucas caiu da escada e Daniel saiu de casa. A partir dessas proposições, existe uma única possibilidade de ser verdadeira a afirmação: a) Lucas caiu da escada. b) João não foi à festa.

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c) Daniel saiu de casa. d) Cláudio foi trabalhar. e) Rafael não foi ao baile.

Letra a. Como todas as expressões fornecidas são falsas, podemos nos lembrar de uma dedução lógica muito importante a respeito do operador OU falso. O operador OU somente é falso quando todas as proposições atômicas que o compõem são falsas. Sendo assim, podemos concluir que: I – João foi à festa (b está errada) e Cláudio não foi trabalhar (d está errada) III – Daniel não saiu de casa (c está errada) e Rafael foi ao baile (e está errada). Como ainda não temos respostas, podemos lembrar das propriedades a respeito do operador E falso.

Considere a proposição II: II – “Lucas caiu da escada e João não foi à festa” é FALSO. João foi à festa A segunda afirmação já torna a proposição II falsa. Portanto, não se pode concluir nada a respeito do fato de Lucas ter caído da escada. Essa proposição pode ser verdadeira ou falsa. IV – “Lucas caiu da escada e Daniel saiu de casa” é FALSO Daniel não saiu de casa

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A segunda afirmação já torna a proposição IV falsa. Portanto, não se pode concluir nada a respeito do fato de Lucas ter caído da escada. Essa proposição pode ser verdadeira ou falsa. Porém, note que o enunciado pediu “existe uma única de possibilidade de ser verdadeira”. Ou seja, o enunciado não pediu que você provasse contundentemente que Lucas caiu da escada. Apenas pediu para mostrar que não existe nenhuma contradição nisso. Portanto, existe a chance de essa afirmação ser verdadeira. Porém, no caso de todas as outras, já vimos que nenhuma delas pode ser verdadeira.

19. (FGV/SUDENE/2013/ECONOMISTA) Supondo que a afirmativa “Todos os estados do Nordeste sofrem com a seca ou com o excesso de chuvas” seja falsa, analise as afirmativas a seguir. I – “Nenhum estado do Nordeste sofre com a seca ou com o excesso de chuvas”. II – “Algum estado do Nordeste não sofre com a seca”. III – “Algum estado do Nordeste sofre com o excesso de chuvas”. Assinale: a) se somente a afirmativa I for obrigatoriamente verdadeira. b) se somente a afirmativa II for obrigatoriamente verdadeira. c) se somente a afirmativa III for obrigatoriamente verdadeira. d) se somente as afirmativas I e III forem obrigatoriamente verdadeiras. e) se somente as afirmativas II e III forem obrigatoriamente verdadeiras.

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Letra b. Uma questão muito interessante sobre proposições categóricas. Chamemos de frase 0 a sentença oferecida pelo enunciado. A frase I é uma proposição contrária à frase 0. Portanto, as duas frases (0 e I) podem ser simultaneamente falsas, mas não podem ser simultaneamente verdadeiras. Dessa maneira, a frase I não é obrigatoriamente verdadeira. Ela pode até ser verdadeira, já que a frase 0 é falsa, mas não necessariamente. Agora, tomemos a negação da frase 0. A negação da frase 0 necessariamente é verdadeira. Devemos usar as Leis de Morgan para transformar o OU em E. Além disso, como a frase é universal afirmativa (todos), a sua negação deve ser particular (algum) negativa. “Algum estado do Nordeste não sofre com a seca e não sofre com o excesso de chuvas” é VERDADE.

Por causa do operador E, podemos chegar a duas conclusões: A: “Algum estado do Nordeste não sofre com a seca”, logo a proposição II é necessariamente verdade). B: “Algum estado do Nordeste não sofre com o excesso de chuvas”, que é uma proposição subcontrária de III. Sendo assim, B e III podem ser simultaneamente verdadeiras, mas não podem ser simultaneamente falsas.

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Desse modo, é possível que algum estado do Nordeste sofra com o excesso de chuvas, porém isso não é necessariamente verdade. Sendo assim, I e III podem ser verdadeiras, mas também podem ser falsas. Apenas II é obrigatoriamente verdadeira.

4 Condicional (SE… ENTÃO)

O operador condicional é um dos operadores mais importantes em lógica de argumentação. De maneira geral, a articulação da frase com esse operador é “Se cair Matemática na prova, então eu vou acertar tudo”. p: Cair Matemática na prova q: Eu vou acertar tudo p ­­→ q: Se cair Matemática na prova, então eu vou acertar tudo A ideia por trás do operador condicional é que a proposição antecedente (a primeira) estabelece uma condição para a ocorrência da segunda. Existem duas possibilidades: cai Matemática ou não cai Matemática. Se cair Matemática, necessariamente eu tenho que acertar tudo. Por outro lado, se não cair Matemática, não importa o que acontece. Em Lógica, “não importa o que acontece”, significa que é verdadeiro em qualquer caso.

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FIGURA 9 – Operador Condicional

Sendo assim, se não cair Matemática na prova, ou seja, se a proposição antecedente for falsa, o condicional será sempre verdadeiro. Por outro lado, se cair Matemática na prova, então necessariamente você tem que acertar tudo. Caso contrário, o condicional será falso. Com base nisso, temos a tabela-verdade.

QUADRO 9 – Tabela-Verdade do Operador Condicional Cai Matemática (p)

Eu vou acertar tudo (q)

V

V

Se cair Matemática na prova, eu vou acertar tudo (p ­­→ q)

V

F

F

F

V

V

F

F

V

V

De posse da tabela-verdade, já temos que o operador CONDICIONAL somente é falso quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. Sendo assim, já sabemos a negação do operador condicional.

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Essa é a famosa Regra da Traição. A negação do CONDICIONAL é fica com a primeira e nega a segunda.

4.1 Deduções Lógicas Temos duas deduções importantíssimas para o Operador Condicional.

Modus ponens (vai afirmando) Em latim, significa “a maneira que afirma afirmando”. No modus ponens, temos que a afirmação da primeira proposição (antecedente) implica a afirmação da segunda (consequente).

Memorize o modus ponens como vai afirmando. Vejamos um exemplo dessa argumentação. EXEMPLO Premissas: “Se Sócrates é homem, então é mortal.” “Sócrates é homem.” Conclusão: “Sócrates é mortal.”

Modus tollens (volta negando)

O argumento tem duas premissas. A primeira premissa é a condição se-então, nomeadamente p implica q. A segunda premissa é que q (proposição consequente) é falsa. Dessa maneira, podemos concluir que p deve ser falsa.

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A explicação do Modus tollens é que, se p fosse verdadeira, poderíamos aplicar o modus ponens para concluir que q seria verdadeira. Mas isso é um absurdo, pois q é falsa por hipótese.

EXEMPLO Vejamos alguns exemplos: Premissas: “Se Zeus é homem, então é mortal.” “Zeus não é mortal.” Conclusão: “Zeus não é homem.”

Premissas: “Se há fogo, então também há oxigênio.” “Não há oxigênio aqui.” Conclusão: “Aqui, não há fogo.”

Memorize o Modus tollens como “volta negando”.

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FIGURA 10 — Ciclo do Argumento Válido para o Operador Condicional

É importante não se confundir com relação às possibilidades conferidas pelo operador condicional. Podemos apenas ir afirmando ou voltar negando. Não podemos fazer nenhuma dedução do tipo “vai negando” nem “volta afirmando”. EXEMPLO Por exemplo, “Se chover, eu usarei guarda-chuva” e se soubermos que “eu usei guarda-chuva”, não podemos dizer nada a respeito se choveu ou não. Premissas: Se chover, eu usarei guarda-chuva. Eu usei guarda-chuva. Conclusão: Não é possível concluir nada porque não se pode voltar afirmando.

Se não choveu, não podemos fazer nenhuma afirmação sobre se usaremos ou não guarda-chuva. Portanto, é possível que não tenha chovido, mas que, mesmo assim, tenhamos usado guarda-chuva.

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Analogamente, “Se há fogo, então também há oxigênio” e se, por acaso, não vemos fogo no local, não podemos concluir nada sobre o oxigênio, porque não podemos ir negando. Premissas: Se há fogo, então também há oxigênio. Não há fogo Conclusão: Não é possível concluir nada porque não se pode ir negando.

Portanto, memorize que o operador condicional só aceita duas deduções lógicas: “vai afirmando” ou “volta negando”.

4.2 Equivalências Lógicas O operador CONDICIONAL tem duas equivalências que são extremamente importantes e que caem bastante em prova.

4.2.1 Relação com o Operador OU Como mostramos, se a proposição antecedente for falsa, o operador CONDICIONAL sempre será verdadeiro. Porém, olhando a tabela-verdade, descobrimos que, sempre que a proposição consequente (q) for verdadeira (1ª e 3ª linhas), você verá que o CONDICIONAL também é verdadeiro. Por isso, temos a primeira correspondência. De fato, podemos entender que “Se cair Matemática, eu vou acertar tudo”, temos, de fato, duas possibilidades: “Não cai Matemática” ou “Eu vou acertar tudo”.

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Por isso, uma equivalência lógica importante para o CONDICIONAL é conhecida como “nega a primeira ou afirma a segunda”.

É bem verdade que o que é mais importante e que cai mais em prova é uma versão ligeiramente diferente. Vejamos o que podemos deduzir sobre a expressão

Primeiramente,

usaremos a relação de negar a primeira ou afirmar a segunda.

Agora, podemos aplicar que a dupla negação implica afirmar.

Podemos fazer o mesmo para a expressão

Sendo assim, podemos reunir as duas conclusões:

Essa última correspondência pode ser entendida de maneira intuitiva.

EXEMPLO Por exemplo, consideremos verdadeira a expressão: “O mar é azul ou o céu tem estrelas”.

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Ora, se soubermos que o mar não é azul (­¬p), a única forma de essa proposição ser verdadeira, é que o céu tenha estrelas. Sendo assim: “Se o mar não é azul, então o céu tem estrelas.” Ou seja, temos (­¬p) → q. Da mesma forma, se soubermos que o céu não tem estrelas (­¬q), a única forma de a proposição “O mar é azul ou o céu tem estrelas” ser verdadeira é se o mar for azul. Sendo assim: “Se o céu não tem estrelas, o mar é azul”. Ou seja, temos o inverso (­¬q) → p. 4.2.2 Inversão Uma relação extremamente importante é que podemos inverter o condicional, mas, para isso, precisamos negar a expressão.

Essa propriedade pode ser demonstrada da seguinte maneira.

Dessa maneira, concluímos que:

É preciso tomar bastante cuidado com essa propriedade, porque é bastante confundida tanto na vida prática quanto nas questões de prova. Tomemos a afirmação:

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“Se cair Matemática na prova, então eu vou acertar tudo.” Podemos concluir que: “Se eu não acertei tudo, não caiu Matemática na prova.” É preciso tomar bastante cuidado, pois as provas adoram brincar com algumas falácias. Por exemplo: “Se chover, eu vou usar guarda-chuva.” É a mesma coisa de: “Se eu não usei guarda-chuva, não choveu.” Porém, é bastante comum que as questões de prova apresentem: “Se não chover, eu não usarei guarda-chuva”. Olha só, uma frase que faz bastante sentido pela sua vivência de mundo, mas que não pode ser inferida a partir da frase original. A frase “Se chover, eu vou usar guarda-chuva” se resume da seguinte forma:

Sendo assim, não podemos afirmar nada sobre o que acontecerá caso não chova. Muito cuidado com isso! 4.2.3 Propriedade Transitiva A propriedade transitiva se relaciona com o encadeamento de dois condicionais:

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Como exemplo dessa propriedade, temos as seguintes proposições: p ­­→ q: “Se cair Matemática na prova, então eu vou acertar tudo.”

q ­­→ r: “Se eu acertar tudo, então eu vou passar.”

Dessa maneira, podemos concluir que:

p ­­→ r: “Se cair Matemática na prova, então eu vou passar.”

4.3 Necessidade e Suficiência

Essas duas palavrinhas são bastante importantes na Matemática e deduções lógicas. Considere dois eventos A e B. A é uma condição suficiente para B quando o fato de A ter acontecido implica necessariamente a ocorrência de B. Pode-se escrever que A → B.

Por exemplo: “Se chover, eu vou usar guarda-chuva”. Podemos dizer que “Cho-

ver” é uma condição suficiente para que eu use guarda-chuva. Por outro lado, A é uma condição necessária para B quando o fato de A não ter acontecido implica necessariamente a não ocorrência de B. Pode-se escrever que ¬A → ¬B.

Por exemplo: “Se eu não tiver dinheiro, eu não vou ao show”, podemos dizer

que ter dinheiro é uma condição necessária para que eu vá ao show. Uma relação interessante que é bastante cobrada em provas reside na inversão do condicional:

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Dessa maneira, “Se eu não tiver dinheiro, eu não vou ao show” é equivalente logicamente a “Eu vou ao show se eu tiver dinheiro”. Portanto, podemos dizer também que “vou ao show” é uma condição suficiente para que eu tenha dinheiro. Pode parecer uma conclusão bastante estranha. “Como assim, o fato de eu ir ao show é uma condição suficiente para que eu tenha dinheiro, Professor? Se fosse assim, seria muito bom.” Mas, caro(a) aluno(a), o que acontece é que “Se eu não tiver dinheiro, eu não vou ao show” não é uma frase que pode ser dita por qualquer pessoa. Sabemos que muita gente ama uma determinada banda mais do que suas próprias condições financeiras permitem. Porém, suponha que João é bastante controlado financeiramente e que realmente ele entenda que ter dinheiro é mesmo uma condição necessária para ir ao show. Nesse caso, se você viu João no show, você já pode concluir que ele tinha dinheiro para pagar pelos ingressos. Portanto, o fato de João estar presente no show é uma prova suficiente de que ele tinha dinheiro. Portanto, analisaremos mais proximamente uma proposição com o operador Condicional. Observaremos que realmente a questão de necessidade e suficiência casa perfeitamente com a inversão do operador CONDICIONAL. p → q: Se chover, eu vou usar guarda-chuva. p

q

Chover

Eu vou usar guarda-chuva

Suficiente para usar guarda-chuva

Necessário para chover

¬q → ¬p: Se eu não vou usar guarda-chuva, não vai chover. ¬q

¬p

Eu vou usar guarda-chuva

Chover

Necessário para chover

Suficiente para usar guarda-chuva

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É interessante também que podemos observar a questão de necessidade e suficiência do ponto de vista das negações de cada uma das proposições atômicas. Nesse caso, a relação de necessidade e suficiência se inverterá. Se “chover” é uma condição suficiente para “usar guarda-chuva”, então podemos dizer que “não usar guarda-chuva” é uma condição suficiente para “não chover”. ¬q → ¬p: Se eu não vou usar guarda-chuva, não vai chover. ¬q

¬p

Eu não vou usar guarda-chuva

Não chover

Suficiente para não chover

Necessário para não usar guarda-chuva

p → q: Se chover, eu vou usar guarda-chuva. p

Não chover

q

Não usar guarda-chuva

Necessário para não usar guarda-chuva Suficiente para não chover

4.4 Relação com os Quantificadores Universais Os quantificadores universais, como “todos, nenhum” guardam intrínseca relação com o operador condicional. O quantificador TODOS se relaciona a uma condição suficiente e o quantificador NENHUM se relaciona a uma condição suficiente para a negação. Podemos fazer a seguinte conversão lógica de maneira prática: • Todo A é B: • Nenhum A é B:

Vamos entender ambas as situações com alguns exemplos.

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EXEMPLO Considere a sentença “Todos os juízes são formados em Direito”, temos que “ser formado em Direito” é uma condição necessária para ser um juiz. Vejamos, se Paulo é formado em Direito, não há nenhuma garantia de que ele seja um juiz. Por isso, “ser formado em Direito” não é uma condição suficiente para ser um juiz. Por outro lado, se Bruno é juiz, então é garantido que ele é formado em Direito. Portanto, o fato de “Bruno é juiz” é uma condição suficiente para ser formado em Direito. Como já vimos que a relação de necessidade e suficiência é invertida, temos que “ser formado em Direito” é uma condição necessária para ser um juiz. Podemos escrever que: “TODO JUIZ É FORMADO EM DIREITO”

p: “É juiz.” q: “É formado em Direito.” ¬q → ¬p: “Se alguém não é formado em Direito, então ele não é juiz.” p → q: “Se alguém é juiz, então ele é formado em Direito.”

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EXEMPLO Agora, analisaremos outra afirmação: “Nenhum homem é uma ilha”. Nesse caso, sabemos que, se João é homem, então, necessariamente, João não pode ser uma ilha. Sendo assim, “ser homem” é uma condição suficiente para “não ser uma ilha”. Dessa forma, podemos escrever: “NENHUM HOMEM É UMA ILHA”

p: “É homem.” q: “É uma ilha.” p → ¬q: “Se alguém é homem, então ele não é uma ilha.” q → ¬p: “Se alguém é uma ilha, então ele não é homem.”

Bom, eu espero que eu te tenha ajudado a relacionar melhor várias partes da matéria nesse PDF. As proposições lógicas guardam muita relação com os diagramas lógicos.

20. (VUNESP/TJ-SP/2017/ESCREVENTE) Considerando falsa a afirmação “Se Ana é gerente, então Carlos é diretor”, a afirmação necessariamente verdadeira é: a) Ana é gerente

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b) Carlos é diretor c) Ana não é gerente, e Carlos não é diretor. d) Ana não é gerente, ou Carlos é diretor. e) Ana é gerente, e Carlos é diretor.

Letra a. Tomemos a proposição composta. p: Ana é gerente q: Carlos é diretor

Como essa afirmação é falsa, tomemos a sua negação.

Temos duas conclusões: p: Ana é gerente. (valida a e invalida c, d) ­­¬q: Carlos não é diretor. (invalida b, d, e)

21. (FGV/DETRAN-MA/2013/ASSISTENTE DE TRÂNSITO) Considere a afirmativa: “nenhum gato é verde”. A negação dessa afirmativa é: a) “algum gato é verde”. b) “nenhum animal verde é gato”. c) “todo gato é verde”. d) “algum animal verde não é gato”. e) “algum gato não é verde”.

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Letra a. A proposição “nenhum gato é verde” é universal negativa por causa do termo nenhum. A negação de uma proposição universal negativa é uma particular afirmativa. Sendo assim, a sua negação será “algum gato é verde”.

22. (FGV/TRT-SC/2017/ANALISTA JUDICIÁRIO/ÁREA ADMINISTRATIVA) Considere como verdadeiras as afirmativas: • Se Jorge é francês, então Denise é espanhola. • Denise não é espanhola ou Beatriz é brasileira. Sabe-se que Beatriz não é brasileira. Logo, é correto afirmar que: Denise é espanhola e Jorge é francês; Denise é espanhola ou Jorge é francês; se Beatriz não é brasileira, então Denise é espanhola; se Denise não é espanhola, então Jorge é francês; se Jorge não é francês, então Denise não é espanhola.

Letra e. Organizaremos as premissas. ¬p

q: “Denise não é espanhola ou Beatriz é brasileira.”

¬q: “Beatriz não é brasileira.”

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Para que o operador OU seja verdadeiro, precisamos que uma das proposições seja verdadeira. Como a segunda já é falsa, temos que a primeira deve ser verdadeira. ¬p: “Denise não é espanhola.” De posse dessa informação, olhamos para a outra sentença. r → p: “Se Jorge é francês, então Denise é espanhola.” ¬p: “Denise não é espanhola.”

No caso do operador condicional, sabemos que podemos ir afirmando ou voltar negando. Como a segunda proposição é falsa, podemos aplicar o Modus tollens e voltar negando. Dessa forma, temos: ¬r: “Jorge não é francês.” De posse dos conhecimento que adquirimos, analisemos as informações de cada uma das alternativas. a) Errada. F e F = F b) Errada. F ou F = F c) Errada. V → F = F

d) Errada. V → F = F e) Certa. F → V = V

23. (FGV/IBGE/2017/ANALISTA CENSITÁRIO/ANÁLISE DE SISTEMAS) Considere verdadeira a afirmação: Todo computador bom é caro e todo computador grande é bom. É correto concluir que: a) se um computador é caro, então é bom;

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b) se um computador é bom, então é grande; c) se um computador não é bom, então não é caro; d) se um computador é caro, então é grande; e) se um computador é grande, então é caro.

Letra e. Devemos entender a correspondência entre o quantificador “Todo” e o condicional. “Todo computador bom é caro” é equivalente a “Se um computador é bom, então ele é caro”

Se um computador é grande, então é caro.

(CESPE/TRF 1ª REGIÃO/2017) A partir da proposição P: “Quem pode mais, chora menos.”, que corresponde a um ditado popular, julgue o próximo item. 24. (CESPE/TRF 1ª REGIÃO/2017) Do ponto de vista da lógica sentencial, a proposição P é equivalente a “Se pode mais, o indivíduo chora menos”.

Certo. Uma questão que nos força a pensar sobre o significado da proposição P. “Quem pode mais chora menos”. Ora, se João pode mais, então ele chora menos. Sendo assim “poder mais” é uma condição suficiente para “chora menos”. Dessa maneira a proposição é do tipo Em outras palavras, “Se pode mais, então chora menos”

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25. (CESPE/TRF 1ª REGIÃO/2017) A negação da proposição P pode ser expressa por “Quem não pode mais, não chora menos”

Errado. A negação dessa proposição é

que pode ser escrita como “Pode mais e

não chora menos”.

26. (CESPE/TRF 1ª REGIÃO/2017) Se a proposição P for verdadeira, então o conjunto formado por indivíduos que podem mais está contido no conjunto dos indivíduos que choram menos.

Certo. Uma condição suficiente implica que está contida. Todas as pessoas que podem mais choram menos. Portanto, “pode mais” está contido no conjunto “chora menos”.

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27. (CESPE/ANVISA/2016/TÉCNICO ADMINISTRATIVO) A sentença “Alberto é advogado, pois Bruno não é arquiteto” é logicamente equivalente à sentença “Bruno é arquiteto, pois Alberto não é advogado”.

Certo. Questão bastante inteligente por parte do Cespe. Vamos entender a sentença inicial. p: “Alberto é advogado.” ¬q: “Bruno não é arquiteto.”

O conectivo POIS indica que a proposição ¬q é uma explicação para a proposição p. Sendo assim, a proposição ¬q é uma condição suficiente para a proposição p. Dessa forma, temos que a proposição original do enunciado era

cuja equi-

valente lógica clássica é:

Bruno é arquiteto, pois Alberto não é advogado.

28. (CESPE/INSS/2016/ANALISTA DO SEGURO SOCIAL) Supondo-se que p seja a proposição simples “João é fumante”, que q seja a proposição simples “João não é saudável” e que p → q, então o valor lógico da proposição “João não é fumante, logo ele é saudável” será verdadeiro.

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Certo. Muito cuidado nessas questões, pois não foi pedida a equivalência lógica para o condicional. Foi pedido apenas o valor lógico da proposição. As premissas iniciais são: p: “João é fumante.” q: “João não é saudável.”

A proposição “João não é fumante, logo ele é saudável” pode ser escrita como

O valor lógico dessa proposição é:

Portanto, realmente, o valor lógico dessa proposição é verdadeiro. Ainda que seja composta por duas proposições falsas.

29. (VUNESP/TCE-SP/2015/AGENTE DA FISCALIZAÇÃO) Uma equivalente para a afirmação “Se Carlos foi aprovado no concurso, então ele estudou” está contida na alternativa: a) Carlos não foi aprovado no concurso e não estudou. b) Se Carlos não estudou, então ele não foi aprovado no concurso. c) Carlos foi aprovado no concurso e não estudou. d) Se Carlos não foi aprovado no concurso, então ele não estudou. e) Carlos estudou e não foi aprovado no concurso.

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Letra b. É relativamente comum que as propriedades do operador condicional sejam cobradas, portanto precisamos estar bem atentos a elas. “Carlos foi aprovado no concurso.” “Carlos estudou.”

“Carlos não estudou.” Carlos não foi aprovado no concurso.” “Se Carlos não estudou, então ele não foi aprovado no concurso.”

30. (VUNESP/TCE-SP/2017/AGENTE DA FISCALIZAÇÃO/ADMINISTRAÇÃO) Assinale a alternativa que apresenta uma afirmação equivalente à afirmação “Se comprei e paguei, então levei”. a) Se não comprei e paguei, então não levei. b) Se levei, então comprei e paguei. c) Se comprei ou paguei, então não levei. d) Se comprei e não paguei, então não levei. e) Se não levei, então não paguei ou não comprei.

Letra e. Devemos conhecer uma das equivalentes lógicas mais clássicas para o operador condicional.

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A frase A é uma proposição composta:

A frase

pode ser traduzida como: “Não Levei.” Se…, então “Não paguei.” ou “Não comprei.”

Se não levei, então não paguei ou não comprei.

(CESPE/TRF 1ª REGIÃO/2017) Em uma reunião de colegiado, após a aprovação de uma matéria polêmica pelo placar de 6 votos a favor e 5 contra, um dos 11 presentes fez a seguinte afirmação: “Basta um de nós mudar de ideia e a decisão será totalmente modificada.” Considerando a situação apresentada e a proposição correspondente à afirmação feita, julgue o próximo item. 31. (CESPE/TRF 1ª REGIÃO/2017) A negação da proposição pode ser corretamente expressa por “Basta um de nós não mudar de ideia ou a decisão não será totalmente modificada”

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Errado. Primeiramente, vamos separar as proposições atômicas que constituem a afirmação do enunciado. p: “Um de nós muda de ideia.” q: “A decisão será totalmente modificada.” O trecho “Basta” indica que p é uma condição suficiente para q. Dessa maneira, temos que a frase original do enunciado é do tipo p → q. A negação dessa sentença será portanto:

p: “Um de nós muda de ideia.” ¬q: “A decisão não será totalmente modificada.”

Sendo assim, a negação da frase proposta no enunciado é: p ˄¬q: “Um de nós mudou de ideia e a decisão não foi totalmente modificada.” 32. (CESPE/TRF 1ª REGIÃO/2017) A proposição é equivalente, sob o ponto de vista da lógica sentencial, à proposição “Desde que um membro mude de ideia, a decisão será totalmente modificada”.

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Errado. O “Desde que” muda bastante o sentido da frase do enunciado. “Desde que” indica uma condição necessária, não mais suficiente. Sendo assim, com o “desde que”, a frase do enunciado fica alterada para (¬p) → (¬q). Perceba que isso é bastante diferente da frase original do enunciado.

33. (CESPE/TRF 1ª REGIÃO/2017) A tabela-verdade da referida proposição, construída a partir dos valores lógicos das proposições simples que a compõem, tem mais de 8 linhas.

Errado. Como a proposição do enunciado é formada por duas proposições atômicas, a sua tabela-verdade terá 2² = 4 linhas, o que é menor que 8.

34. (FCC/SEGEP-MA/2018/AUXILIAR DE FISCALIZAÇÃO AGROPECUÁRIA) Uma afirmação que seja logicamente equivalente à afirmação ‘Se Luciana e Rafael se prepararam muito para o concurso, então eles não precisam ficar nervosos’, é a) Se Luciana se preparou para o concurso e Rafael não se preparou, então eles precisam ficar nervosos. b) Se Luciana e Rafael precisam ficar nervosos, então eles não se prepararam muito para o concurso.

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c) Se Luciana e Rafael não precisam ficar nervosos, então eles se prepararam muito para o concurso. d) Se Luciana não se preparou muito e Rafael se preparou muito para o concurso, então Luciana precisa ficar nervosa e Rafael não precisa ficar nervoso. e) Luciana e Rafael se prepararam muito para o concurso e mesmo assim ficaram nervosos.

Letra b. Essa é uma questão que temos que prestar bastante atenção ao que foi pedido no enunciado. E o enunciado pediu uma equivalência lógica. Testaremos a clássica equivalência do condicional. Sejam as proposições: p: “Luciana e Rafael se prepararam muito para o concurso.” ¬q: “Eles não precisam ficar nervosos.”

Usando a clássica equivalência do condicional, temos:

q: “Eles precisam ficar nervosos.” ¬p:” Luciana e Rafael não se preparara muito para o concurso.” q → ¬p: “Se Luciana e Rafael precisam ficar nervosos, então eles não se prepararam muito para o concurso.”

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35. (ESAF/AFRFB/2012) Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. Se Ana é pianista, Denise é violinista. Se Ana é violinista, então Denise é pianista. Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. Sabendo-se que nenhuma delas toca mais de um instrumento, então Ana, Beatriz e Denise tocam, respectivamente: a) Piano, piano, piano b) Piano, piano, violino. c) Violino, piano, piano d) Violino, piano, violino e) Violino, violino, piano.

Letra c. Essa questão muito interessante foi cobrada na prova de 2012 da Receita Federal. Fugiu um pouco do tradicional das questões de Raciocínio Lógico. Para resolver essa questão, vamos recorrer à técnica da redução ao absurdo. No enunciado, temos cinco afirmações. I – Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. II – Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. III – Se Ana é pianista, Denise é violinista. IV – Se Ana é violinista, então Denise é pianista. V – Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista.

Suponha que Ana é pianista. Nesse caso, de (I), temos que Beatriz é violinista e de (III), temos que Denise é violinista.

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Porém, usando a afirmação (V), temos que Denise é pianista. Logo, Denise seria pianista e violinista ao mesmo tempo, o que é um absurdo, pois é proibido pelas regras do enunciado. Sendo assim, supor que Ana é pianista nos leva a um absurdo. Logo, Ana não é pianista, ou seja, Ana é violinista. Dessa maneira, de (II), temos que Beatriz é pianista e, de (IV), temos que Denise é pianista. Esses conhecimentos não chocam com (V), portanto não há nenhum absurdo.

36. (FCC/TRT 19ª REGIÃO/2014) Considere a seguinte afirmação: “Se José estuda com persistência, então ele faz uma boa prova e fica satisfeito.” Uma afirmação que é a negação da afirmação acima é: a) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova e ele não fica satisfeito. b) José não estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou fica satisfeito. c) José estuda com persistência ou ele faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. d) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. e) Se José fica satisfeito então ele fez uma boa prova e estudou com persistência.

Letra d. O interessante dessa questão é que temos uma proposição composta por três proposições atômicas.

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A negação do condicional é dada pelo operador E:

A: “José estuda com persistência.” E ­­¬q: “Ele não faz uma boa prova.” OU ­­¬r: “Ele não fica satisfeito.”

Portanto, a negação da sentença do enunciado é “José estuda persistência e ele não faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito”.

37. (FCC/TST/2017/TÉCNICO

JUDICIÁRIO/ÁREA

ADMINISTRATIVA)

Considere

como verdadeira a proposição: “Nenhum matemático é não dialético”. Laura enuncia que tal proposição implica, necessariamente, que I – se Carlos é matemático, então ele é dialético. II – se Pedro é dialético, então é matemático. III – se Luiz não é dialético, então não é matemático. IV – se Renato não é matemático, então não é dialético. Das implicações enunciadas por Laura, estão corretas APENAS a) I e III. b) I e II. c) III e IV. d) II e III. e) II e IV.

Letra a. É importante entender a relação entre o operador condicional e o quantificador NENHUM. Tomando as proposições atômicas.

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p: “X é Matemático.” ¬q: “X não é dialético.”

“Nenhum p é ¬q” é uma equivalente lógica a: “Se X é Matemático, então X é dialético.” (A)

Uma equivalente lógica de A pode ser escrita da seguinte forma. “Se X não é dialético, então X não é matemático.” (B) Item I) Certo. “Se Carlos é Matemático, então Carlos é dialético” é um caso particular de (A). Item II) Errado. Não há nenhuma garantia de que alguém dialético seja matemático. Item III) Certo. É um caso particular de B. Item IV) Errado. Não necessariamente. É possível que alguém seja dialético, mas não seja matemático.

38. (VUNESP/TJ-SP/2015/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) Uma afirmação equivalente à afirmação: ‘Se Marcondes é físico ou Isabela não é economista, então Natália não é advogada e Rui é médico’, é: a) Se Rui é médico ou Natália não é advogada, então Isabela é economista e Marcondes não é físico. b) Se Rui não é médico e Natália é advogada, então Isabela é economista ou Marcondes não é físico. c) Se Marcondes não é físico e Isabela é economista, então Natália é advogada ou Rui não é médico.

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d) Se Isabela é economista e Rui é médico, então Marcondes é físico e Natália não é advogada. e) Se Rui não é médico ou Natália é advogada, então Isabela é economista e Marcondes não é físico.

Letra e. Quando olhamos para as alternativas, vemos que a questão nos pede a famosa inversão do operador condicional. A frase original do enunciado é

que é equivalente a

Agora, desmembraremos cada uma das proposições A e B que também são proposições compostas. Considerando as proposições atômicas. p: “Marcondes é físico.” q: “Isabela é economista.” r: “Natália é advogada.” s: “Rui é médico.”

Portanto, as negações de A e B são: ­­¬B: “Natália é advogada ou Rui não é médico.” ¬A: “Marcondes não é físico e Isabela é economista.”

Dessa maneira, temos:

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“Se Rui não é médico ou Natália é advogada, então Isabela é economista e Marcondes não é físico.”

39. (ESAF/AFRFB/2012) A afirmação “A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro” tem como sentença logicamente equivalente: a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis

Letra b. Como citamos, uma equivalência muito interessante do operador OU é:

“A menina não tem olhos azuis.” “O menino não é loiro.” “Se a menina não tem olhos azuis, então o menino não é loiro.”

40. (FCC/TRT-BA/2013) Devido à proximidade das eleições, foi decidido que os tribunais eleitorais deveriam funcionar, em regime de plantão, durante um determinado domingo do ano. Em relação a esse plantão, foi divulgada a seguinte orientação:

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“Se todos os processos forem analisados até às 11 horas, então o plantão será finalizado nesse horário.” Considere que a orientação foi cumprida e que o plantão só foi finalizado às 18 horas. Então, pode-se concluir que, necessariamente, a) nenhum processo foi analisado até às 11 horas. b) todos os processos foram analisados até às 11 horas. c) pelo menos um processo terminou de ser analisado às 18 horas. d) todos os processos foram analisados até às 18 horas. e) pelo menos um processo não foi analisado até às 11 horas.

Letra e. A orientação ao plantão é formada por duas proposições atômicas, sendo do tipo p. p: “Se todos os processos forem analisados até às 11 horas.” q: “O plantão será finalizado nesse horário.” p → q: “Se todos os processos forem analisados até às 11 horas, então o plantão será finalizado nesse horário.”

Como o plantão somente foi finalizado às 18 horas, ou seja, depois das 11 horas, temos que a frase q foi negada. Temos, ainda, duas premissas:

Podemos usar o modus tollens, o famoso volta negando.

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Para negar a proposição p, devemos nos lembrar de que a negação de uma proposição universal afirmativa é uma particular negativa. ¬p: “Pelo menos um processo não foi analisado até as 11h.”

41. (FCC/DETRAN-MA/2018/ANALISTA DE TRÂNSITO) A produtividade de um agente público de determinada categoria em um período de um ano pode ser alta, média ou baixa, conforme os critérios estabelecidos no regimento interno. Todo agente que atinge produtividade alta e não possui faltas sem justificativa no período de um ano recebe um bônus especial no mês de janeiro seguinte. Artur, um agente público dessa categoria, não recebeu o bônus especial em janeiro de 2018. Dessa forma, Artur, no ano de 2017, necessariamente, a) teve produtividade baixa e pelo menos uma falta sem justificativa. b) não teve produtividade alta ou teve pelo menos uma falta sem justificativa. c) teve produtividade média ou baixa e exatamente uma falta sem justificativa. d) não teve produtividade alta e teve pelo menos uma falta sem justificativa. e) teve produtividade baixa ou pelo menos uma falta sem justificativa.

Letra a. Vamos interpretar a primeira premissa: “Todo agente que atinge produtividade alta e não possui faltas sem justificativa no período de um ano recebe um bônus especial no mês de janeiro seguinte.”

Primeiramente, desmembraremos essa premissa em proposições atômicas.

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p: “O agente atinge produtividade alta.” ­­¬q: “O agente não possui faltas sem justificativa.” r: “O agente recebe um bônus especial no mês de janeiro seguinte.”

Agora, podemos entender o “Todo” como uma condição suficiente. Em outras palavras, p e ¬q são condições suficientes para r.

Agora, temos uma segunda premissa. ­­¬r: “O agente não recebeu o bônus especial em janeiro de 2018.”

Dessa maneira, podemos usar o modus tollens, ou seja, o famoso volta negando.

Agora, vamos decifrar a negativa de A.

¬p: “O agente não atingiu produtividade alta.” ­­q: “O agente possui alguma falta sem justificativa.”

Sendo assim, concluímos necessariamente que: “O agente não atingiu produtividade alta ou que possui pelo menos uma falta sem justificativa.”

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É importante destacar que não podemos concluir isoladamente nenhuma dessas duas proposições atômicas. Além disso, no caso da questão, a negação de produtividade alta seria produtividade baixa ou média. Ou a mais: não alta. Como sempre dissemos, é preciso tomar cuidado com antônimos em questões de Lógica.

42. (VUNESP/TCE-SP/2017/AGENTE DA FISCALIZAÇÃO/ADMINISTRAÇÃO) Considere verdadeiras as afirmações I, II, III, e falsa a afirmação IV. I – Se acordo, então abro os olhos. II – Se me levanto, então caminho. III – Se não caminho, então fico em casa. IV – Abro os olhos ou caminho. A partir dessas afirmações, é verdade que a) não abro os olhos e acordo. b) não caminho e abro os olhos. c) não fico em casa ou me levanto. d) acordo ou fico em casa. e) acordo e não me levanto.

Letra c. Como a afirmação IV está falsa, podemos utilizar a propriedade da negação do operador OU:

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Portanto, a negação da afirmação IV é: IV: “Não abro os olhos e não caminho.” Já temos duas conclusões: V – “Não abro os olhos.” VI – “Não caminho.” De posse dessas informações, podemos utilizar a afirmação II, que é verdadeira. II – “Não sinto fome ou choro.” V – “Sinto fome.” Da afirmação I, podemos utilizar o modus tollens, porque temos a negação do consequente. A negação do consequente (não abro os olhos) implica a negação do antecedente (não acordo). I – “Se acordo, então abro os olhos.” V – “Não abro os olhos.” Temos

Podemos, pois, concluir que:

VII – “Não acordo.” Da afirmação II, podemos utilizar o Modus tollens novamente. II – “Se me levanto, então caminho.” VI – “Não caminho.”

Podemos concluir que: VIII – “Não me levanto.”

Da afirmação III, podemos utilizar o modus ponens:

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III – “Se não caminho, então fico em casa.” VI – “Não caminho.”

Podemos concluir que: IX – “Fico em casa.”

Então, as nossas conclusões foram: V – “Não abro os olhos.” VI – “Não caminho.” VII – “Não acordo.” VIII – “Não me levanto.” IX – “Fico em casa.”

Vamos analisar as alternativas. As alternativas que possuem o operador E requerem que todas as afirmações sejam verdadeiras. Portanto, a conclusão VII invalida a letra a, a conclusão V invalida a letra d e a conclusão VII invalida a letra e. As alternativas que possuem o operador OU requerem que, pelo menos uma das afirmações seja verdadeira. A letra b está correta porque “fico em casa” (conclusão IX). A letra b está errada porque “fico em casa (IX) e não me levanto” (VIII).

5 Outros Operadores Lógicos Agora, falaremos sobre alguns operadores lógicos menos comuns em questões de prova, mas que podem aparecer.

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5.1 Tabelas-Verdade Uma questão de prova que, de vez em quando aparece, é aquela que pergunta o número de linhas de uma tabela-verdade. A tabela-verdade serve para classificar o valor lógico de uma proposição composta em função de todas as possibilidades de valores lógicos para as suas proposições atômicas. Você não precisa saber de muita teoria para responder a esse tipo de questão. Se uma proposição composta apresenta n proposições atômicas, então a tabela-verdade terá 2n linhas. Por exemplo, no caso da QUADRO 9, tem-se uma tabela-verdade para o operador condicional composto por 2 proposições atômicas. Essa tabela-verdade tem 2² = 4 linhas. Podemos verificar também essa expressão para a seguinte proposição: “Se José estuda com persistência, então ele tira uma boa nota e passa no concurso.” Essa proposição pode ser genericamente representada por

Dessa

forma, temos uma única condição suficiente p que resultará em uma conjunção de outras duas proposições (tirar uma boa nota e passar no concurso). Nesse caso, como a proposição é composta por 3 proposições atômicas, o número de linhas da tabela-verdade será 2³ = 8 linhas.

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5.2 Disjunção Exclusiva (OU… OU) O operador OU… OU se diferencia do operador OU convencional, porque ele não aceita que todas as proposições atômicas que o componham sejam verdadeiras. Tomemos como exemplo a afirmação “Ou chove ou faz sol” p: “Chove.” q: “Faz Sol.”

Temos que a proposição

:“Ou chove ou faz sol.” não permite que chova e

faça sol ao mesmo tempo. O operador OU… OU pode ser representado de duas maneiras. Pode-se usar tanto o símbolo

como o símbolo ­˅.

A tabela-verdade para esse operador é ligeiramente diferente da tabela-verdade para o operador OU.

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Chove (p)

Faz sol (q)

V

V

Ou chove ou faz sol (p ­˅ q)

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

Uma diferença semântica bastante interessante que pode vir a ser explorada em provas por algum professor de Matemática que entenda bem de Análise Sintática diz respeito à concordância verbal da conjunção OU.

EXEMPLO Tomemos como exemplo a proposição: “Cristiano ou Lionel será o melhor jogador do mundo.”

Nesse caso, o verbo ficará no singular, porque necessariamente somente um deles pode ser o melhor jogador do mundo. Não existe a possibilidade de os dois simultaneamente ocuparem tal posto. Sendo assim, o verbo no singular indica uma disjunção exclusiva (OU… OU) Por outro lado, na proposição: “Bruno ou Carlos vão passar no concurso”, existe a possibilidade de que ambos passem no concurso. Por isso, o verbo deve ficar no plural, indicando uma disjunção inclusiva (OU).

5.3 Bicondicional (SE… E SOMENTE SE) Esse é o operador favorito dos matemáticos. O operador bicondicional indica uma condição necessária e suficiente.

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Dessa maneira, quando temos:

Sendo assim, o operador bicondicional exige que as duas proposições atômicas que o componham tenham o mesmo valor lógico. Um fato interessante do operador bicondicional é que, quando ele é verdadeiro, uma proposição vale como definição para outra.

EXEMPLO “Um número é primo se, e somente se, seus únicos divisores são a unidade e ele próprio.” Temos, portanto, que “ter como únicos divisores a unidade e ele próprio” serve como uma definição para um número primo. Isso significa que, se o número atender a essa condição, ele será primo. Se ele não atender, ele não será primo. Para a prova, guarde a informação de que o operador bicondicional exige que as duas proposições atômicas que o componham tenham o mesmo valor lógico.

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5.4 Propriedades do OU Exclusivo e do Bicondicional Uma propriedade interessante é que um é a negação do outro:

Além disso, a negação de qualquer um dos dois pode ser feita passando uma negação para dentro. Vejamos:

43. (VUNESP/MPE-SP/2016/ANALISTA TÉCNICO CIENTÍFICO) Uma afirmação equivalente à afirmação – Se Glória é dançarina ou cantora, mas não ambos, então Fábio não é ator. é: a) Se Fábio não é ator, então Glória é dançarina ou cantora, mas não ambos. b) Se Fábio é ator, então Glória não é dançarina nem cantora ou Glória é dançarina e cantora. c) Se Fábio é ator, então Glória não é dançarina, mas é cantora. d) Se Glória não é dançarina nem cantora ou é dançarina e cantora, então Fábio é ator. e) Se Fábio não é ator, então Glória é dançarina, mas não é cantora ou Glória não é dançarina, mas é cantora.

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Letra b. Façamos a divisão da proposição composta nas suas proposições atômicas p: “Glória é dançarina.” q: “Glória é cantora.” ¬r: “Fábio não é ator.” A proposição composta original fornecida pelo enunciado é:

Usando a clássica equivalência para o condicional, temos que:

Agora, façamos a negação da proposição A:

r: “Fábio é ator.” “Glória é dançarina e cantora ou não é dançarina nem cantora.” “Se Fábio é ator, então Glória é dançarina e cantora ou não é dançarina nem cantora.”

44. (VUNESP/TCE-SP/2017/AGENTE DA FISCALIZAÇÃO) Se a afirmação “Ou Renato é o gerente da loja ou Rodrigo é o dono da loja” é verdadeira, então uma afirmação necessariamente verdadeira é: a) Renato é o gerente da loja e Rodrigo é o dono da loja. b) Renato é o gerente da loja se, e somente se, Rodrigo não é o dono da loja.

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c) Se Renato não é o gerente da loja, então Rodrigo não é o dono da loja. d) Se Renato é o gerente da loja, então Rodrigo é o dono da loja. e) Renato é o gerente da loja.

Letra b. No nosso curso, trabalhamos bastante o operador OU-EXCLUSIVO e o BICONDICIONAL. Por serem menos cobrados em provas de concursos, era natural que a Vunesp optasse por esses operadores lógicos para fazer uma questão mais difícil. A forma mais simples de obter uma afirmação equivalente é usando a propriedade de dupla negação.

Como vimos, a negação do operador OU EXCLUSIVO é o próprio BICONDICIONAL.

Além disso, na negação do bicondicional, podemos passar o sinal de negação para dentro.

Caso você desconhecesse essa propriedade, a forma mais simples de resolver a questão era montando uma tabela verdade. A tabela verdade para o operador OU EXCLUSIVO pode ser feita lembrando que ele proíbe que todas as afirmações sejam simultaneamente verdadeiras.

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Já a tabela verdade para o operador BICONDICIONAL pode ser feita lembrando que ele requer que as afirmações tenham valor lógico igual. Ou seja, ambas verdadeiras ou ambas falsas simultaneamente.

Dessa forma, as tabelas verdade são iguais, portanto concluímos pela igualdade:

A frase

pode ser traduzida como: “Renato é o gerente da loja.” se, e somente se, “Rodrigo não é o dono da loja.”

Renato é o gerente da loja se, e somente se, Rodrigo não é o dono da loja.

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45. (CESPE/TRT-CE/2017) A empresa alegou ter pago suas obrigações previdenciárias, mas não apresentou os comprovantes de pagamento; o juiz julgou, pois, procedente a ação movida pelo ex-empregado. A quantidade mínima de linhas necessárias na tabela-verdade para representar todas as combinações possíveis para os valores lógicos das proposições simples que compõem a proposição P do texto CB1A5AAA é igual a: a) 32 b) 4 c) 8 d) 16

Letra c. Organizaremos as proposições atômicas que compõem a premissa do enunciado. p: “A empresa pagou suas obrigações previdenciárias.” ¬q: “A empresa não apresentou os comprovantes de pagamento.” r: “O juiz julgou procedente a ação do ex-empregado.” Como são três proposições atômicas, o número de linhas da tabela-verdade será 2³ = 8 linhas.

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Chegamos ao final de mais uma aula. Não se esqueça de me seguir no Instagram: www.instagram.com/thiagofernando.pe Forte abraço! Thiago Cardoso

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6 Anotações 6.1 Acompanhamento do Aluno COMPLEMENTO DO ALUNO

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QUESTÕES DE CONCURSO 1. (VUNESP/PC-SP/2014) Das alternativas apresentadas, assinale a única que contém uma proposição lógica. a) Ser um perito criminal ou não ser? Que dúvida! b) Uma atribuição do perito criminal é analisar documentos em locais de crime. c) O perito criminal também atende ocorrências com vítimas de terrorismo! d) É verdade que o perito criminal realiza análises no âmbito da criminalística? e) Instruções especiais para perito criminal.

2. (VUNESP/PC-SP/2014/DESENHISTA) A proposição pode ser caracterizada como sentença declarativa que admite um, e somente um, valor de verdade (verdadeiro ou falso). Considerando essa definição, assinale a alternativa correta. a) A sentença declarativa “Choveu no dia do jogo de basquete?” é falsa. b) A sentença exclamativa “Parabéns pelo seu aniversário” é verdadeira. c) A sentença declarativa “Brasil é um Estado soberano” é verdadeira. d) A sentença exclamativa “Quero comprar um bom carro!” é falsa. e) A sentença interrogativa “Florianópolis é a capital do Pará?” é verdadeira.

3. (VUNESP/PC-SP/2014/DELEGADO) Na lógica clássica, as proposições que compõem um raciocínio são classificadas como: (1) universais ou particulares e (2) afirmativas ou negativas. Assim sendo, as proposições “todo ser humano é mortal”, “algumas pessoas não usam óculos” e “alguns motoristas são descuidados” são classificadas, respectivamente, como: a) Particular afirmativa, universal negativa e universal afirmativa.

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b) Particular afirmativa, universal negativa e particular afirmativa. c) Universal afirmativa, particular afirmativa e particular negativa. d) Particular negativa, particular afirmativa e universal afirmativa. e) Universal afirmativa, particular negativa e particular afirmativa. 4. (TFC/2017) O delegado entrevistou vários suspeitos de um crime de tráfico de drogas, que disseram: I – Não fui eu II – Eu não fiz nada não. III – Eu não fiz isso não. Supondo que todos estejam falando a verdade, pode-se afirmar que cometeram o crime: a) Apenas I b) Apenas II c) Apenas III d) Nenhum dos suspeitos e) Todos os suspeitos

5. (CESPE/INSS/2016/TÉCNICO DO SEGURO SOCIAL) A sentença “Bruna, acesse a Internet e verifique a data da aposentadoria do Sr. Carlos!” é uma proposição composta que pode ser escrita na forma p ∧ q. 6. (CESPE/ANVISA/2016/TÉCNICO ADMINISTRATIVO) A sentença “A fiscalização federal é imprescindível para manter a qualidade tanto dos alimentos quanto dos medicamentos que a população consome” pode ser representada simbolicamente por P∧Q.

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7. (FGV/DETRAN-MA/2013/ASSISTENTE DE TRÂNSITO) Considere a afirmativa: “nenhum gato é verde”. A negação dessa afirmativa é: a) “algum gato é verde”. b) “nenhum animal verde é gato”. c) “todo gato é verde”. d) “algum animal verde não é gato”. e) “algum gato não é verde”.

8. (VUNESP/PC-SP/2014/INVESTIGADOR DE POLÍCIA) Um antropólogo estadunidense chega ao Brasil para aperfeiçoar seu conhecimento da língua portuguesa. Durante sua estadia em nosso país, ele fica muito intrigado com a frase “não vou fazer coisa nenhuma”, bastante utilizada em nossa linguagem coloquial. A dúvida dele surge porque: a) A conjunção presente na frase evidencia seu significado. b) O significado da frase não leva em conta a dupla negação. c) A implicação presente na frase altera seu significado. d) O significado da frase não leva em conta a disjunção. e) A negação presente na frase evidencia seu significado.

9. (VUNESP/2017/TJ-SP/ESCREVENTE) “Existe um lugar em que não há poluição” é uma negação lógica da afirmação: a) Em todo lugar, não há poluição. b) Em alguns lugares, há poluição. c) Em todo lugar, há poluição.

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d) Em alguns lugares, pode não haver poluição. e) Em alguns lugares, não há poluição.

10. (FGV/ISS/CUIABÁ-MT/2015/CONDUTOR DE VEÍCULOS) O pintor disse ao diretor: “Eu pintei a porta e a janela”. Como o diretor verificou que o pintor não disse a verdade, é correto concluir que o pintor: a) não pintou a porta nem a janela. b) não pintou a porta ou não pintou a janela. c) pintou a porta e não pintou a janela. d) pintou a porta ou não pintou a janela. e) pintou a janela mas não pintou a porta.

11. (FUNRIO/CGE-RO/2018/ASSISTENTE DE CONTROLE INTERNO) Se não é verdade que todo rei é vilão, então é verdade que: a) nenhum rei é vilão. b) ao menos um rei não é vilão. c) algum vilão não é rei. d) nenhum vilão é rei. e) quem não é rei não é vilão.

12. (ESAF/FUNAI/2016) Seja NE a abreviatura de Nordeste. A negação de “O Piauí faz parte do NE ou o Paraná não faz parte do NE” é: a) o Piauí não faz parte do NE.

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b) o Paraná faz parte do NE. c) o Piauí não faz parte do NE ou o Paraná faz parte do NE. d) o Piauí não faz parte do NE e o Paraná faz parte do NE. e) o Piauí e o Paraná fazem parte do NE.

13. (ESAF/MPOG/2009/ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL) A negação de “À noite, todos os gatos são pardos” é: a) De dia, todos os gatos são pardos. b) De dia, nenhum gato é pardo. c) De dia, existe pelo menos um gato que não é pardo. d) À noite, existe pelo menos um gato que não é pardo. e) À noite, nenhum gato é pardo.

14. (FGV/FIOCRUZ/2010/TÉCNICO EM SAÚDE PÚBLICA) A medida de um conjunto ordenado de dados, que divide este conjunto em duas partes de igual número de observações, denomina-se: a) Média b) Moda c) Mediana d) Desvio-padrão e) Variância

15. (ESAF/RECEITA FEDERAL/2009/TÉCNICO ADMINISTRATIVO) A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa” é: a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa.

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b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa. c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa. d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa. e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.

16. (FGV/ISS/CUIABÁ-MT/2015/CONTADOR) São verdadeiras as seguintes afirmações de Tiago: — Trabalho ou estudo. — Vou ao escritório ou não trabalho. — Vou ao curso ou não estudo. Certo. dia, Tiago não foi ao curso. É correto concluir que, nesse dia, Tiago: a) estudou e trabalhou. b) não estudou e não trabalhou. c) trabalhou e não foi ao escritório. d) foi ao escritório e trabalhou. e) não estudou e não foi ao escritório. Vou ao curso ou não estudo. Trabalho ou estudo.

17. (ESAF/AFRFB/2012) Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Pasárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Pasárgada. Assim, a) não viajo e caso. b) viajo e caso.

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c) não vou morar em Pasárgada e não viajo. d) compro uma bicicleta e não viajo. e) compro uma bicicleta e viajo.

18. (VUNESP/AFTM/SÃO JOSÉ DO RIO PRETO-SP/2014) Considere falsas as proposições a seguir: I – João não foi à festa ou Cláudio foi trabalhar. II – Lucas caiu da escada e João não foi à festa. III – Daniel saiu de casa ou Rafael não foi ao baile. IV – Lucas caiu da escada e Daniel saiu de casa. A partir dessas proposições, existe uma única possibilidade de ser verdadeira a afirmação: a) Lucas caiu da escada. b) João não foi à festa. c) Daniel saiu de casa. d) Cláudio foi trabalhar. e) Rafael não foi ao baile.

19. (FGV/SUDENE/2013/ECONOMISTA) Supondo que a afirmativa “Todos os estados do Nordeste sofrem com a seca ou com o excesso de chuvas” seja falsa, analise as afirmativas a seguir. I. “Nenhum estado do Nordeste sofre com a seca ou com o excesso de chuvas”. II – “Algum estado do Nordeste não sofre com a seca”. III – “Algum estado do Nordeste sofre com o excesso de chuvas”. Assinale:

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a) se somente a afirmativa I for obrigatoriamente verdadeira. b) se somente a afirmativa II for obrigatoriamente verdadeira. c) se somente a afirmativa III for obrigatoriamente verdadeira. d) se somente as afirmativas I e III forem obrigatoriamente verdadeiras. e) se somente as afirmativas II e III forem obrigatoriamente verdadeiras.

20. (VUNESP/TJ-SP/2017/ESCREVENTE) Considerando falsa a afirmação “Se Ana é gerente, então Carlos é diretor”, a afirmação necessariamente verdadeira é: a) Ana é gerente b) Carlos é diretor c) Ana não é gerente, e Carlos não é diretor. d) Ana não é gerente, ou Carlos é diretor. e) Ana é gerente, e Carlos é diretor.

21. (FGV/DETRAN-MA/2013/ASSISTENTE DE TRÂNSITO) Considere a afirmativa: “nenhum gato é verde”. A negação dessa afirmativa é: a) “algum gato é verde”. b) “nenhum animal verde é gato”. c) “todo gato é verde”. d) “algum animal verde não é gato”. e) “algum gato não é verde”.

22. (FGV/TRT-SC/2017/ANALISTA JUDICIÁRIO/ÁREA ADMINISTRATIVA) Considere como verdadeiras as afirmativas:

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• Se Jorge é francês, então Denise é espanhola. • Denise não é espanhola ou Beatriz é brasileira. Sabe-se que Beatriz não é brasileira. Logo, é correto afirmar que: a) Denise é espanhola e Jorge é francês; b) Denise é espanhola ou Jorge é francês; c) se Beatriz não é brasileira, então Denise é espanhola; d) se Denise não é espanhola, então Jorge é francês; e) se Jorge não é francês, então Denise não é espanhola.

23. (FGV/IBGE/2017/ANALISTA CENSITÁRIO/ANÁLISE DE SISTEMAS) Considere verdadeira a afirmação: Todo computador bom é caro e todo computador grande é bom. É correto concluir que: a) se um computador é caro, então é bom; b) se um computador é bom, então é grande; c) se um computador não é bom, então não é caro; d) se um computador é caro, então é grande; e) se um computador é grande, então é caro.

(CESPE/TRF 1ª REGIÃO/2017) A partir da proposição P: “Quem pode mais, chora menos.”, que corresponde a um ditado popular, julgue o próximo item. 24. (CESPE/TRF 1ª REGIÃO/2017) Do ponto de vista da lógica sentencial, a proposição P é equivalente a “Se pode mais, o indivíduo chora menos”.

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25. (CESPE/TRF 1ª REGIÃO/2017) A negação da proposição P pode ser expressa por “Quem não pode mais, não chora menos”

26. (CESPE/TRF 1ª REGIÃO/2017) Se a proposição P for verdadeira, então o conjunto formado por indivíduos que podem mais está contido no conjunto dos indivíduos que choram menos.

27. (CESPE/ANVISA/2016/TÉCNICO ADMINISTRATIVO) A sentença “Alberto é advogado, pois Bruno não é arquiteto” é logicamente equivalente à sentença “Bruno é arquiteto, pois Alberto não é advogado”.

28. (CESPE/INSS/2016/ANALISTA DO SEGURO SOCIAL) Supondo-se que p seja a proposição simples “João é fumante”, que q seja a proposição simples “João não é saudável” e que p → q, então o valor lógico da proposição “João não é fumante, logo ele é saudável” será verdadeiro.

29. (VUNESP/TCE-SP/2015/AGENTE DA FISCALIZAÇÃO) Uma equivalente para a afirmação “Se Carlos foi aprovado no concurso, então ele estudou” está contida na alternativa: a) Carlos não foi aprovado no concurso e não estudou. b) Se Carlos não estudou, então ele não foi aprovado no concurso. c) Carlos foi aprovado no concurso e não estudou. d) Se Carlos não foi aprovado no concurso, então ele não estudou. e) Carlos estudou e não foi aprovado no concurso.

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30. (VUNESP/TCE-SP/2017/AGENTE DA FISCALIZAÇÃO/ADMINISTRAÇÃO) Assinale a alternativa que apresenta uma afirmação equivalente à afirmação “Se comprei e paguei, então levei”. a) Se não comprei e paguei, então não levei. b) Se levei, então comprei e paguei. c) Se comprei ou paguei, então não levei. d) Se comprei e não paguei, então não levei. e) Se não levei, então não paguei ou não comprei.

(CESPE/TRF 1ª REGIÃO/2017) Em uma reunião de colegiado, após a aprovação de uma matéria polêmica pelo placar de 6 votos a favor e 5 contra, um dos 11 presentes fez a seguinte afirmação: “Basta um de nós mudar de ideia e a decisão será totalmente modificada.” Considerando a situação apresentada e a proposição correspondente à afirmação feita, julgue o próximo item.

31. (CESPE/TRF 1ª REGIÃO/2017) A negação da proposição pode ser corretamente expressa por “Basta um de nós não mudar de ideia ou a decisão não será totalmente modificada”

32. (CESPE/TRF 1ª REGIÃO/2017) A proposição é equivalente, sob o ponto de vista da lógica sentencial, à proposição “Desde que um membro mude de ideia, a decisão será totalmente modificada”.

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33. (CESPE/TRF 1ª REGIÃO/2017) A tabela-verdade da referida proposição, construída a partir dos valores lógicos das proposições simples que a compõem, tem mais de 8 linhas.

34. (FCC/SEGEP-MA/2018/AUXILIAR DE FISCALIZAÇÃO AGROPECUÁRIA) Uma afirmação que seja logicamente equivalente à afirmação ‘Se Luciana e Rafael se prepararam muito para o concurso, então eles não precisam ficar nervosos’, é a) Se Luciana se preparou para o concurso e Rafael não se preparou, então eles precisam ficar nervosos. b) Se Luciana e Rafael precisam ficar nervosos, então eles não se prepararam muito para o concurso. c) Se Luciana e Rafael não precisam ficar nervosos, então eles se prepararam muito para o concurso. d) Se Luciana não se preparou muito e Rafael se preparou muito para o concurso, então Luciana precisa ficar nervosa e Rafael não precisa ficar nervoso. e) Luciana e Rafael se prepararam muito para o concurso e mesmo assim ficaram nervosos.

35. (ESAF/AFRFB/2012) Se Ana é pianista, então Beatriz é violinista. Se Ana é violinista, então Beatriz é pianista. Se Ana é pianista, Denise é violinista. Se Ana é violinista, então Denise é pianista. Se Beatriz é violinista, então Denise é pianista. Sabendo-se que nenhuma delas toca mais de um instrumento, então Ana, Beatriz e Denise tocam, respectivamente: a) Piano, piano, piano b) Piano, piano, violino.

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c) Violino, piano, piano d) Violino, piano, violino e) Violino, violino, piano.

36. (FCC/TRT 19ª REGIÃO/2014) Considere a seguinte afirmação: “Se José estuda com persistência, então ele faz uma boa prova e fica satisfeito.” Uma afirmação que é a negação da afirmação acima é: a) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova e ele não fica satisfeito. b) José não estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou fica satisfeito. c) José estuda com persistência ou ele faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. d) José estuda com persistência e ele não faz uma boa prova ou ele não fica satisfeito. e) Se José fica satisfeito então ele fez uma boa prova e estudou com persistência.

37. (FCC/TST/2017/TÉCNICO

JUDICIÁRIO/ÁREA

ADMINISTRATIVA)

Considere

como verdadeira a proposição: “Nenhum matemático é não dialético”. Laura enuncia que tal proposição implica, necessariamente, que I – se Carlos é matemático, então ele é dialético. II – se Pedro é dialético, então é matemático. III – se Luiz não é dialético, então não é matemático. IV – se Renato não é matemático, então não é dialético. Das implicações enunciadas por Laura, estão corretas APENAS a) I e III. b) I e II.

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c) III e IV. d) II e III. e) II e IV.

38. (VUNESP/TJ-SP/2015/ANALISTA JUDICIÁRIO/ESTATÍSTICA) Uma afirmação equivalente à afirmação: ‘Se Marcondes é físico ou Isabela não é economista, então Natália não é advogada e Rui é médico’, é: a) Se Rui é médico ou Natália não é advogada, então Isabela é economista e Marcondes não é físico. b) Se Rui não é médico e Natália é advogada, então Isabela é economista ou Marcondes não é físico. c) Se Marcondes não é físico e Isabela é economista, então Natália é advogada ou Rui não é médico. d) Se Isabela é economista e Rui é médico, então Marcondes é físico e Natália não é advogada. e) Se Rui não é médico ou Natália é advogada, então Isabela é economista e Marcondes não é físico.

39. (ESAF/AFRFB/2012) A afirmação “A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro” tem como sentença logicamente equivalente: a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis. b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro. d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro. e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis

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40. (FCC/TRT-BA/2013) Devido à proximidade das eleições, foi decidido que os tribunais eleitorais deveriam funcionar, em regime de plantão, durante um determinado domingo do ano. Em relação a esse plantão, foi divulgada a seguinte orientação: “Se todos os processos forem analisados até às 11 horas, então o plantão será finalizado nesse horário.” Considere que a orientação foi cumprida e que o plantão só foi finalizado às 18 horas. Então, pode-se concluir que, necessariamente, a) nenhum processo foi analisado até às 11 horas. b) todos os processos foram analisados até às 11 horas. c) pelo menos um processo terminou de ser analisado às 18 horas. d) todos os processos foram analisados até às 18 horas. e) pelo menos um processo não foi analisado até às 11 horas. p → q: “Se todos os processos forem analisados até às 11 horas, então o plantão será finalizado nesse horário.”

41. (FCC/DETRAN-MA/2018/ANALISTA DE TRÂNSITO) A produtividade de um agente público de determinada categoria em um período de um ano pode ser alta, média ou baixa, conforme os critérios estabelecidos no regimento interno. Todo agente que atinge produtividade alta e não possui faltas sem justificativa no período de um ano recebe um bônus especial no mês de janeiro seguinte. Artur, um agente público dessa categoria, não recebeu o bônus especial em janeiro de 2018. Dessa forma, Artur, no ano de 2017, necessariamente, a) teve produtividade baixa e pelo menos uma falta sem justificativa. b) não teve produtividade alta ou teve pelo menos uma falta sem justificativa.

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c) teve produtividade média ou baixa e exatamente uma falta sem justificativa. d) não teve produtividade alta e teve pelo menos uma falta sem justificativa. e) teve produtividade baixa ou pelo menos uma falta sem justificativa.

42. (VUNESP/TCE-SP/2017/AGENTE DA FISCALIZAÇÃO/ADMINISTRAÇÃO) Considere verdadeiras as afirmações I, II, III, e falsa a afirmação IV. I – Se acordo, então abro os olhos. II – Se me levanto, então caminho. III – Se não caminho, então fico em casa. IV – Abro os olhos ou caminho. A partir dessas afirmações, é verdade que a) não abro os olhos e acordo. b) não caminho e abro os olhos. c) não fico em casa ou me levanto. d) acordo ou fico em casa. e) acordo e não me levanto.

43. (VUNESP/MPE-SP/2016/ANALISTA TÉCNICO CIENTÍFICO) Uma afirmação equivalente à afirmação – Se Glória é dançarina ou cantora, mas não ambos, então Fábio não é ator. é: a) Se Fábio não é ator, então Glória é dançarina ou cantora, mas não ambos. b) Se Fábio é ator, então Glória não é dançarina nem cantora ou Glória é dançarina e cantora. c) Se Fábio é ator, então Glória não é dançarina, mas é cantora.

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d) Se Glória não é dançarina nem cantora ou é dançarina e cantora, então Fábio é ator. e) Se Fábio não é ator, então Glória é dançarina, mas não é cantora ou Glória não é dançarina, mas é cantora.

44. (VUNESP/TCE-SP/2017/AGENTE DA FISCALIZAÇÃO) Se a afirmação “Ou Renato é o gerente da loja ou Rodrigo é o dono da loja” é verdadeira, então uma afirmação necessariamente verdadeira é: a) Renato é o gerente da loja e Rodrigo é o dono da loja. b) Renato é o gerente da loja se, e somente se, Rodrigo não é o dono da loja. c) Se Renato não é o gerente da loja, então Rodrigo não é o dono da loja. d) Se Renato é o gerente da loja, então Rodrigo é o dono da loja. e) Renato é o gerente da loja.

45. (CESPE/TRT-CE/2017) A empresa alegou ter pago suas obrigações previdenciárias, mas não apresentou os comprovantes de pagamento; o juiz julgou, pois, procedente a ação movida pelo ex-empregado. A quantidade mínima de linhas necessárias na tabela-verdade para representar todas as combinações possíveis para os valores lógicos das proposições simples que compõem a proposição P do texto CB1A5AAA é igual a: a) 32 b) 4 c) 8 d) 16

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GABARITO 1. b

24. C

2. c

25. E

3. e

26. C

4. c

27. C

5. E

28. C

6. E

29. b

7. a

30. e

8. b

31. E

9. c

32. E

10. b

33. E

11. b

34. b

12. d

35. c

13. d

36. d

14. c

37. a

15. b

38. e

16. d

39. b

17. b

40. e

18. a

41. a

19. b

42. c

20. a

43. b

21. a

44. b

22. e

45. c

23. e

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