100411_583_fase 6_trabajo.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

CURSO: Cálculo Integral

GRUPO: 100411_583

ACTIVIDAD: Fase 6 - Discusión Resolver problemas y ejercicios de las aplicaciones de las integrales

TUTOR DE CURSO: Mauro Patiño Fontecha

PRESENTADO POR: Gregorio Mendoza Torres - 1’053.611.269 Sandra patricia Alvarado Morcote-1055312244 Carlos Alberto Camargo Ochoa - 1053609328

UNAD 11 de noviembre de 2018.

Tabla de Contenidos Introducción ...................................................................................................................... 1 Desarrollo de la actividad: ................................................................................................... 2 Sandra Patricia Alvarado Morcote – Ejercicios 1, 5 y 9. ........................................................ 2 Gregorio Mendoza Torres – Ejercicios 2, 6 y 10. .................................................................. 4 Estudiante 3 – Ejercicios 3, 7 y 11..................................................................................... 6 Estudiante 4 – Ejercicios 4, 8 y 12..................................................................................... 8 Estudiante 5 – Ejercicios 1, 6 y 12..................................................................................... 9 Conclusiones .................................................................................................................... 10 Referencias bibliográficas .................................................................................................. 11

Introducción .

Desarrollo de la actividad: Sandra Patricia Alvarado Morcote – Ejercicios 1, 5 y 9. 1. Halle el área de la región comprendida entre la curva 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 𝑥 + 3 y el eje 𝑥. Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en Geogebra. SOLUCION 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 𝑥 + 3 = 0 (𝑥 3 − 3𝑥 2 ) + (−𝑥 + 3) = 0 𝑥 2 (𝑥 3 − 3) − (𝑥 − 3) = 0 (𝑥 − 3) − (𝑥 2 − 1) = 0 (𝑥 − 3)(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0 𝑥−3=0 𝑥=3

𝑥+1=0 𝑥 = −1

𝑥−1=0 𝑥=1

1

3 3

∫ ( 𝑥 − 3𝑥 − 𝑥 + 3 − 0)𝑑𝑥 + ∫ (0 − ( 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 𝑥 + 3))𝑑𝑥 −1

2

1 3

1

∫ ( 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 𝑥 + 3)𝑑𝑥 + ∫ ( −𝑥 3 + 3𝑥 2 + 𝑥 − 3)𝑑𝑥 −1

1

Integramos 1

3

𝑥 4 3𝑥 3 𝑥 2 𝑥 4 3𝑥 3 𝑥 2 ( − − + 3𝑥)] + (− + + − 3𝑥)] 4 3 2 4 3 2 −1 1 1

3

𝑥4 𝑥2 𝑥4 𝑥2 ( − 𝑥 3 − + 3𝑥)] + (− + 𝑥 3 + − 3𝑥)] 4 2 4 2 −1 1

14 12 (−1)4 −(1)2 − 13 − + 3(1) − ( − (−1)3 − + 3(−1)) 4 2 4 2 34 32 1 12 − + 33 + − 3(3) − (− + 13 + − 3(1) 4 2 4 2 1 1 1 1 81 9 1 1 −1− +3− −1+ +3− + 27 + − 9 + − 1 − + 3 4 2 4 2 4 2 4 2 81 9 1 1 3− + 27 + − 9 + − + 3 4 2 4 2 80 8 24 − + 4 2 24 − 20 + 4 𝐴=8

Gregorio Mendoza Torres – Ejercicios 2, 6 y 10. EJERCICIO 2: Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de 𝑓(𝑥) = 2 cos(𝑥) y 𝑔(𝑥) = 𝑥/2 , interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en GeoGebra.

Para encontrar el área hacemos uso de integrales definidas: ∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 Calculamos la primera integral y la denominamos I1: 𝑥 𝐼1 = ∫ − 2cos(𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑥2 𝐼1 = − 2 sin(𝑥) + 𝑐 4 Para definir los puntos de evaluar, en la primera integral se usan los puntos x de las coordenadas A y B, que serían de: -3.595 a: -2.133: (−3.595)2 (−2.133)2 𝐼1 = ( − 2𝑆𝑖 𝑛(−3.595)) − ( − 2𝑆𝑖 𝑛(−2.133)) 4 4 𝐼1 = (2.354) − (2.829) 𝐼1 = −0.475

Calculamos la segunda integral y la denominamos I2: 𝑥 𝐼2 = ∫ 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑑𝑥 2 𝑥4 𝐼2 = 2 sin(𝑥) − + 𝑐 4 Para definir los puntos de evaluar, en la segunda integral se usan los puntos x de las coordenadas B y C, que serían de: -2.133 a: 1.252 (−2.133)2 (1.252)2 ) − (2 sin(1.252) − ) 4 4 𝐼2 = (−2.829) − (1.608) 𝐼2 = −4.437 𝐼2 = (2 sin(−2.133) −

Área total: = −0.475 + (−4.437) = 4.912 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 2 EJERCICIO 6:

Estudiante 3 – Ejercicios 3, 7 y 11. 3. Determine la longitud de arco de la gráfica

𝑓(𝑥) =

𝑓(𝑥) =

Para

3√2𝑥 3 − 1

√𝑥 3

1

− 1 en el intervalo [1/2, 3/2]

4√2

36𝑥 2

𝑓 ′ (𝑥) =

4√2 2 3 √𝑥 3

(3√2𝑥 3 − 1)

2

2

𝐿 = 3.85 Para

3 2

𝐿 = ∫ √(1 + (

−36𝑥 2 √𝑥 3

2

2

∗ (3√2𝑥 3 − 1) ) ) 𝑑𝑥

7. Una varilla de 18 cm de longitud tiene una densidad lineal, medida en g/cm, dada por 3

𝑥 2 0<x ≤ 18. Halle su centro de masa (Ce). b

Considere el centro de masa:

Ce 

My m



 x ( x) dx a b

  ( x) dx a

3

18

Centro de masa = 3

∫0 (𝑥)∗𝑥2 𝑑𝑥 18

3

∫0 𝑥2 𝑑𝑥

∫ 𝑥𝑥2 𝑑𝑥 5

∫ 𝑥2 𝑑𝑥 5

𝑥 2+1 = 5 +1 2 2 7 = 𝑥2 7 2 7 = 𝑥2 + 𝑐 7 𝑙𝑖𝑚𝑋 → 0 = 0 2 7 34992√2 𝑙𝑖𝑚𝑋 → 18 − ( 𝑥 2 ) = 7 7 34992√2

Centro de masa =

7

−0

3 18 ∫0 𝑥2 𝑑𝑥

𝑝(𝑥 ) =

Centro de masa = 3

𝑥 2+1 = 3 +1 2 2 5 = 𝑥2 + 𝑐 5 1944√2 = 5 Centro de masa =

7069.45 18

3

∫0 𝑥2 𝑑𝑥

7069.45 1944√2 5

Centro de masa = Centro de masa =

−0

7069.45 549.8 7069.45 549.8

Centro de masa = 12,85 cm 11. Si la función de demanda de un producto es 𝐷(𝑥) = 35 − 𝑥 2, encuentre el excedente del consumidor cuando: a. 𝑄 = 5/2 b. Cuando el artículo es gratis, es decir que 𝑃 = 0 Calculo del área por encima de la curva

𝑎

𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏

5 𝑑𝑥 2 3 𝑥 5 𝐴 = 35𝑥 − − 𝑥 3 2 (5.70)3 5 𝐴 = 35(5.70) − − (5.70) 3 2 𝐴 = 123.52 𝐴 = ∫(35 − 𝑥 2 ) −

Estudiante 4 – Ejercicios 4, 8 y 12.

Estudiante 5 – Ejercicios 1, 6 y 12.

Conclusiones

Referencias bibliográficas