01.4 Determinante 01.pdf

DETERMINANTES Determinante de orden 1x1 A a a Determinante de orden 2x2

Determinante de orden 3x3

Regla de Sarruz (-) a11 a12 a13 a11 a12 A  a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 (+)

Cálculo de un determinante de orden nxn por los adjuntos de una fila ó de una columna Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento aij. Dada la matriz

la matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:

1

Llamamos menor complementario del elemento aij al determinante de la matriz complementaria del elemento aij , y se representa por Mij Se llama cofactor de aij , y se representa por  ij , al número (–1)i+j Mij Esto es el cofactor de aij es:  ij = (–1)i+j Mij . Se llama adjunto de aij , y se representa por

 ij al número  ji

Esto es el adjunto de aij es:  ij =  ji

Propiedad El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus cofactores. Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de la n

1ª fila se tiene: A  a1111  a1212  ...a1n1n   a1k1k k 1

n

2ª fila se tiene: A  a21 21  a22 22  ...a2n 2n   a2k 2k k 1

1ª columna se tiene:

𝑛

|𝐴| = 𝑎11 𝛼11 + 𝑎21 𝛼21 + ⋯ + 𝑎𝑛1 𝛼𝑛1 = ∑ 𝑎𝑘1 𝛼𝑘1 𝑘=1

4ª columna se tiene:

𝑛

|𝐴| = 𝑎14 𝛼14 + 𝑎24 𝛼24 + ⋯ + 𝑎𝑛4 𝛼𝑛4 = ∑ 𝑎𝑘4 𝛼𝑘4 𝑘=1

La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a ambos lados de la igualdad. Nota Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir líneas con muchos ceros

2

 2 -2 2 Ejemplo A   2 1 0    3 -2 2  1 0 2 0 2 1 11 = =2 , 12 = = -4 , 13 = =-7 -2 2 3 2 3 -2

 21 = -

-2 2

=0 ,  22 =

2 2

= -2 ,  23 = -

2 -2

= -2 -2 2 3 2 3 -2 -2 2 2 2 2 -2 31 = = -2 ,  32 = = 4 ,  33 = =6 1 0 2 0 2 1 1ª fila se tiene: |𝐴| = 2(2) + (−2)(−4) + 2(−7) = −2 2ª fila se tiene: |𝐴| = 2(0) + (1)(−2) + (0)(−2) = −2 2ª col. se tiene: |𝐴| = −2(−4) + 1(−2) + (−2)(4) = −2 Regla de los signos + [− +

− + −

+ −] , +

+ − [ + −

− + − +

+ − + −

+ − − + ] , + − − + [+

− + − + −

+ − + − +

− + − + −

+ − + − +]

Para una matriz de orden 3x3 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎 𝐴 = [ 21 𝑎22 𝑎23 ] 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎22 1ª fila se tiene: |𝐴| = 𝑎11 |𝑎

𝑎23 𝑎21 𝑎33 | − 𝑎12 |𝑎31

32

𝑎21 2ª col. se tiene: |𝐴| = −𝑎12 |𝑎 31

𝑎23 𝑎11 | + 𝑎 | 22 𝑎33 𝑎31

𝑎23 𝑎21 𝑎33 | + 𝑎13 |𝑎31 𝑎13 𝑎11 | − 𝑎 | 32 𝑎33 𝑎21

𝑎22 𝑎32 | 𝑎13 𝑎23 |

Ejemplo Calcular el siguiente determinante

Solución Desarrollando por la primera columna:

3

x 0  0 1

1 x 0 0

0 1 x 0

0 x 1 0 1 0 0 0  x 0 x 1  x 1 0  x4 1 1 0 0 x 0 x 1 x

Matriz de los cofactores de A Se define por:

11 12 ...1n    ...  2n   21 22 Cof ( A)   . . ... .    ij    . . ... .    n1  n 2 ... nn   

Matriz Adjunta de A Se define por:

 11 12 ... 1n     ...   2n   21 22 adj ( A)   . . ... .    ij    . . ... .     n1  n 2 ...  nn   

Propiedad La adj(A) es la traspuesta del cofactor de A 11  21 ... n1    ...  n2   12 22 t adj ( A)   Cof ( A)    . . ... .     . . ... .  1n  2 n ... nn   

Propiedad: A adj ( A)  adj ( A) A  A I

4

 2 -2 2 Ejemplo A   2 1 0    3 -2 2  1 0 2 0 2 1 11 = =2 , 12 = = -4 , 13 = =-7 -2 2 3 2 3 -2

 21 = -

-2 2

=0 ,  22 =

2 2

= -2 ,  23 = -

2 -2

= -2 -2 2 3 2 3 -2 -2 2 2 2 2 -2 31 = = -2 ,  32 = = 4 ,  33 = =6 1 0 2 0 2 1  2 -4 -7   2 0 -2 t   cof ( A)   0 -2 -2  , adj ( A)   cof ( A)   -4 -2 4  -7 -2 6   2 4 6  2da. Fila: A  a21 21  a22 22  a23 23  2(0)  1(2)  0(2)  2

 2 -2 2   2 0 -2  -2 0 0  1 0 0        A adj ( A)   2 1 0  -4 -2 4  =  0 -2 0  = -2  0 1 0  A I 3 -2 2  -7 -2 6   0 0 -2   0 0 1 

Propiedades de los determinantes 1.- Si todos los elementos de una fila de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa fila los primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial, en forma análoga para las columnas. det (L1 + L'1, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (L'1, L2, L3...) Ejemplo Descomponiendo la segunda columna 5 10 15

5 12-2 15

5 12 15

4 5 6  4 2+3 6  4 2 1 1 0 1 3-2 0 1 3

5 -2 15

6 4 3 6 0 1 -2 0

2.- Si se multiplican todos los elementos de una fila de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número, en forma análoga para las columnas. det (k·L1, L2, L3...) = k·det (L1, L2, L3...)

Ejemplo

5

5(1) 5(2) 5(3) 4 1

5 1

1 2

3

6 5 4 5 6 0 1 1 0

3.- Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica: det (A·B) = det (A) · det (B) A B  A  B Esto se amplia a más matrices cuadradas del mismo orden A  B  C  A  B  C Ejemplo

4.- Si intercambiamos dos filas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial, en forma análoga para las columnas. Ejemplo si intercambiamos las filas 1 y 2  f1  f 2 

5.- Si una matriz cuadrada tiene una fila con todos los elementos nulos, su determinante vale cero, en forma análoga para las columnas. det (0, L2, L3...) = 0 Ejemplo 3 0 7 8 0 0 0 4 0 5 6 0 4 5 6 0 , 2 0 1 0 1 1 0 4 0 8 5

6

6.- Si una matriz cuadrada tiene dos filas iguales, su determinante vale cero, en forma análoga para las columnas. det (L1, L1, L3...) = 0 Ejemplo 4 5 9 4 5 9  0 , f1 = f2 3 1 8 7.- Si dos filas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula, en forma análoga para las columnas. det (L1, k·L1, L3...) = 0

Ejemplo 4 5 9 8 10 18  0 , f2 = 2 f1 3 1 8 8.- Si una fila de una matriz cuadrada es combinación lineal de otras filas, su determinante vale cero, en forma análoga para las columnas. det (L1, L2, a·L1 + b·L2...) = 0 Ejemplo 4 13 9 9 24 17  0 , la fila 2 es la suma de la fila 1 y fila 3 5 11 8 9.- Si a una fila de una matriz cuadrada se le suma otra fila, su determinante no varía, en forma análoga para las columnas. Ejemplo 5 3 4 5 5+3 4 3 4 7  3 3+4 7 a la segunda columna se le suma la 8 10 6 8 8+10 6 primera columna y el determinante no cambia de valor, esta operación es representado por c2=c2+c1 Porque 5 5+3 4 5 5 4 5 3 4 5 3 4 5 3 4

3 3+4 7  3 3 7  3 4 7  0  3 4 7  3 4 7 8 8+10 6 8 8 6 8 10 6 8 10 6 8 10 6

10.- Si a una fila de una matriz cuadrada se le suma múltiplos de otras filas, su determinante no varía, en forma análoga para las columnas. 7

det (L1 + k· L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (k·L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + 0 = det (L1, L2, L3...) Ejemplo 5

3

4

5

5+4(-2)+ 3

4

3 4 7  3 3+7(-2)+ 4 7 , a la segunda columna se le suma la 8 10 6 8 8+6(-2)+10 6 1ra. Columna mas la 3ra. Columna multiplicada por -2, esto es representado por c2=c2+c1-2c3

11.- El determinante de una matriz triangular superior, matriz triangular inferior y de una matriz diagonal es el producto de los elementos de la diagonal principal

Ejemplo

4 0 0

5 0

3 4 2 0 0 4 7  5  4  6  120 , 7 4 0  2  4  7  56

0

0

6

8

9

7

0 0 0  4  5  3  60 3

5 0

12.- Si A una matriz se le toma su traspuesta su determinante no cambia de valor A  At

Ejemplo 3 2 4 1

13.𝐴 |0 0

0 𝐵 0

5 3

8

3 4

7 2 6 8

5 7

1 3 6

0 0 | = |𝐴||𝐵||𝐶| 𝐶

14.- |𝑘𝐴| = 𝑘 𝑛 |𝐴| , 𝑆𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐴 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑛𝑥𝑛

8