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Università Politecnica delle Marche Facoltà di Medicina e Chirurgia A.A. 2012/13

Corso Monografico “Onde Acustiche in Medicina” Dr. Fabrizio Fiori Dipartimento SAIFET- Sezione di Scienze Fisiche Via Brecce Bianche (Monte Dago), 60131 Ancona Tel. 071-2204606, email [email protected]

• http://fisicaondemusica.unimore.it/ (a cura del Progetto Lauree Scientifiche del Dipartimento di Fisica dell'Università di Modena e Reggio Emilia)

• http://it.wikipedia.org/wiki/Onde_(fisica)

ONDE ELASTICHE • Un’onda elastica è una perturbazione che si propaga in un mezzo elastico senza traslazione di materia • Ogni punto del mezzo elastico oscilla intorno alla sua posizione di equilibrio con moto periodico

In altre parole, descriviamo attraverso il concetto di ONDA ELASTICA il trasferimento di energia dovuto alle oscillazioni delle particelle di un mezzo che viene perturbato. Se le oscillazioni avvengono nella stessa direzione della propagazione avremo un’ onda Longitudinale altrimenti sarà Trasversale

• Il FRONTE d’ONDA è il luogo dei punti interessati dalla perturbazione nel medesimo istante

• Se i fronti d’onda sono dei piani paralleli si parla di ONDA PIANA

• Se la sorgente è di forma sferica, oppure se può essere considerata puntiforme (approssimazione valida a distanze grandi rispetto alle dimensioni della sorgente stessa), i fronti d’onda sono delle sfere concentriche, e si parla di ONDA SFERICA

Solido in un piano • rappresentiamo il solido con un insieme di palline (che possiamo considerare come gli atomi o le molecole del materiale di cui il solido è costituito) nel piano dello schermo; • il pallino blu evidenzia il moto dell'onda, seguendone una cresta, mentre un pallino rosso evidenzia quattro atomi (o molecole) scelti come riferimento; • anche in questo caso abbiamo due tipi di onde: nel primo caso gli atomi oscillano longitudinalmente a destra e a sinistra, mentre nel secondo trasversalmente in alto e in basso.

Onde sulla superficie • riguardano particolarmente la superficie di un mezzo; • in tal caso si osserva che andando in profondità le oscillazioni delle particelle divengono sempre più piccole e le onde si smorzano. • queste onde non sono né puramente longitudinali né puramente trasversali: le particelle si muovono in piccole ellissi o cerchi.

Onde di Rayleigh: scuotono la superficie terrestre durante i terremoti (insieme anche ad onde puramente longitudinali e trasversali). Le particelle ruotano "all'indietro" rispetto alla direzione di propagazione dell'onda.

Onde di gravità sulla superficie di un liquido: sono tipicamente le onde sulla superficie del mare. Le particelle ruotano "in avanti" rispetto alla direzione di propagazione dell'onda.

Grandezze fondamentali per la descrizione dell’onda:

• velocità di propagazione c (o velocità di fase), che dipende dal mezzo in cui l’onda si propaga • periodo T : tempo che intercorre tra il passaggio di due fronti d’onda in uno stesso punto • frequenza f (=1/T): numero di fronti d’onda che attraversano un dato punto nell’unità di tempo; si misura in Hertz (1 Hz = 1 s-1) • lunghezza d’onda λ: distanza spaziale tra due fronti d’onda successivi Tra queste grandezze esistono le relazioni fondamentali: λ = c T

ovvero

λ = c/f

Es.: Facendo oscillare con legge armonica l’estremo di una corda tesa si produce un’onda che si propaga lungo la corda stessa. Nei 4 istanti di tempo intervallati da un periodo T, l’onda si sposta di una distanza pari a λ

Velocità dell’onda c = λ/T = λ·f

Cosa accade nei gas? • in un gas le forze di attrazione tra le molecole sono molto più deboli di quelle che legano le molecole di un solido, e lo stesso vale per le forze di superficie, che sono rilevanti in un liquido. • la conseguenza di ciò è che in un gas esistono solo le onde longitudinali (in questo caso dette di compressione). • le onde sonore sono appunto onde meccaniche di compressione, consistenti in oscillazioni della pressione dell’aria.

Onda sonora

Un’onda sonora è udibile dall’orecchio umano se la sua frequenza è compresa nell’intervallo 20 Hz – 20000 Hz

In fluido la velocità del suono dipende dalla densità ρ e dal modulo di comprimibilità K del mezzo in cui avviene la propagazione:

Il modulo di comprimibilità è l'aumento della densità provocato da una compressione. È definito come l'incremento di pressione Δp necessario a causare un incremento relativo di densità Δρ/ρ, secondo la relazione:

12

Velocità di un’onda sonora

Mezzo Aria secca (20oC) Vapore (134oC) Acqua distillata Acqua di mare Piombo Rame Alluminio Acciaio

Velocità (m/s) 343 494 1486 1519 1190 3810 5000 5200

Si definisce l’intensità I dell’onda come: I = ΔE/(ΔS·Δt) = energia ΔE che attraversa la superficie ΔS nel tempo Δt = potenza P per unità di superficie (unità di misura: Joule/(m2·s) = Watt/m2) Data una sorgente sonora puntiforme posta in O, la forma del fronte delle onde emesse è sferica, e l’intensità si riduce con il quadrato della distanza da O:

r O

R

Esempio 1: Un altoparlante fornisce una potenza acustica di 1 W. A che distanza l’intensità sonora vale 0.05 W/m 2, se assumiamo che tutta la potenza venga emessa isotropicamente su mezza sfera?

Poiché si ottiene

Esempio 2: Si calcoli l’energia che in un’ora investe il timpano (S = 0.2 cm2) di un soggetto posto a 5 m da una sorgente sonora puntiforme di potenza P = 0.5 W. Se il soggetto si pone a distanza doppia, di quanto si ridurrà l’energia assorbita?

Se r’ = 2r = 10 m:

Nel caso dell’ onda piana è possibile una descrizione matematica semplice. Se la perturbazione y prodotta al tempo t=0 nel punto x=0 si sposta con velocità c x=0

x

si troverà in x con un ritardo pari a x/c. La dipendenza di y dallo spazio x e dal tempo t si potrà quindi descrivere genericamente come Y = f (t - x/c)

Un’onda piana che si propaga nello spazio (x), e in funzione del tempo (t), si può descrivere tramite una semplice funzione seno (o coseno): y(x,t) = A sin [ω (t - x/c) + φ0] oppure y(x,t) = A sin [ωt – kx + φ0] dove: ω = 2πf = 2π/T è detta pulsazione [s-1] k = 2π/λ = 2πf/c = ω/c è detta numero d’onda [m-1] φ0 = fase iniziale A è l’ampiezza dell’oscillazione N.B.: l’intensità dell’onda è proporzionale al quadrato dell’ampiezza: I ~ A 2

Nel caso di un’onda sferica abbiamo visto che: I ~ 1/r 2 ma, essendo anche I ~ A 2, si avrà:

r

A = b/r (b = costante) (l’ampiezza dell’onda sferica è inversamente proporzionale alla distanza r dalla sorgente) e quindi l’equazione che descrive l’onda sferica sarà: y(r,t) = (b/r) sin [ω (t - r/c) + φ0] oppure y(r,t) = (b/r) sin [ωt – kr + φ0]

Esempio: Scrivere l’equazione di un’onda piana di frequenza f = 50 Hz che si propaga lungo l’asse delle x in un mezzo alla velocità c= 1000 cm/s e la cui ampiezza Ymax sia pari a 20 mm. y(x,t) = Ymax sin [ω (t - x/c)] (abbiamo supposto φ0 = 0)

In unità del S.I.: y(x,t) [m] = (0.02 m) sin { (100π s-1) (t[s] - x[m]/(10 ms-1) } oppure y(x,t) [m] = (0.02 m) sin { (100π s-1) t[s] – (10π m-1) x[m] } k = ω/c

Attenuazione di un’onda elastica • In generale esistono delle forze fra le molecole del mezzo, che si oppongono al moto di oscillazione di queste ultime (attrito viscoso). • A causa dell’attrito viscoso, durante la sua propagazione nel mezzo l’onda dissipa la sua energia e pertanto diminuisce progressivamente la sua intensità. • L’intensità I diminuisce esponenzialmente con lo spessore x di materiale attraversato:

I(x) = I0 e-αx , α = coefficiente di attenuazione del mezzo I(x)

Per le onde acustiche, α dipende dal materiale e dalla frequenza dell’onda:

α~f2 a parità di materiale attraversato, le onde di bassa frequenza penetrano più in profondità! x

In un mezzo non omogeneo, oltre all’attenuazione, si verificano altri fenomeni: • le superfici di discontinuità (interfacce) generano la RIFLESSIONE dell’onda nello stesso semipiano • piccole zone di discontinuità (di dimensioni inferiori alla lunghezza d’onda) riflettono in tutte le direzioni, generando il fenomeno della DIFFUSIONE o SCATTERING • nel passaggio da una regione ad un’altra (con diverse caratteristiche fisiche) cambia la velocità di propagazione, e all’interfaccia si ha il fenomeno della RIFRAZIONE, in cui si modifica la λ e la direzione di propagazione dell’onda

RIFLESSIONE

θinc = θrifl

(l’angolo di incidenza è uguale all’angolo di riflessione)

RIFRAZIONE Tra l’angolo di incidenza e quello di rifrazione vale la relazione nota come legge di Snell:

Si può avere la riflessione totale quando θ2 = 90°, cioè al di sopra di un angolo limite di incidenza tale che:

(N.B. può avvenire solo se c1 < c2 !!!)

INTERFERENZA

costruttiva

distruttiva

A+B A B

DIFFRAZIONE Fenomeno associato alla deviazione della traiettoria delle onde quando queste incontrano un ostacolo sul loro cammino.

diffrazione di un'onda piana attraverso una fenditura di ampiezza pari a quattro volte la lunghezza d'onda.

Principio di Huygens Tutti i punti di un fronte d’onda possono essere considerati sorgenti puntiformi di onde sferiche secondarie aventi la stessa frequenza dell'onda principale.

BATTIMENTI

L’interferenza di due onde frequenze leggermente diverse (sx) dà luogo ad un’ onda di duplice periodicità (dx). 45 Hz 5 Hz

Infatti, considerando per semplicità l’evolversi nel tempo della situazione nel punto x=0, l’interferenza di due onde y1 e y2, con uguale ampiezza A e pulsazioni ω1 e ω2 (con ω1≈ω2), è data da:

Esempi di battimenti Due diapason (440 Hz):

Sovrapposizione di due onde (440 Hz e 439 Hz), generata tramite software (GoldWave):

Le onde sonore udibili (cioè nell’intervallo di frequenze fra 20 e 20000 Hz) possono essere generate dalle corde vocali e percepite dall’orecchio umano.

Orecchio umano

• Le onde sonore esterne vengono percepite e raccolte dal padiglione auricolare (orecchio esterno), entrano nel condotto uditivo esterno dove vengono amplificate e colpiscono la membrana timpanica, che vibra. • Le vibrazioni vengono convogliate agli ossicini dell'orecchio medio, i quali trasmettono gli impulsi alla chiocciola (o coclea), che è costituta da una delicata struttura a spirale ripiena di un fluido. • Gli impulsi giunti all'orecchio interno, viaggiando lungo terminazioni nervose, raggiungono il nervo acustico che li trasporta al cervello, dove vengono riconosciuti come suoni. • Nell'orecchio interno, oltre alle cellule sensoriali (organo del Corti) situate nella chiocciola, si trovano le strutture che costituiscono l'organo dell'equilibrio (canali semicircolari, otricolo e sacculo). 

Caratteristiche di un suono

Altezza: dipende dalla frequenza fondamentale dell’onda (acuto ⇒ alta frequenza, grave ⇒ bassa frequenza)

Intensità: dipende dal quadrato dell’ampiezza della vibrazione (debole ⇒ bassa intensità, forte ⇒ alta intensità)

Timbro di un suono • E’ la qualità percepita di un suono, che permette di distinguere due suoni che hanno la stessa altezza e la stessa intensità. • In parole più semplici è la qualità del suono che ci permette di distinguere ad esempio la voce di un violino da quella di un flauto, quando i due strumenti stanno emettendo la stessa nota. • Il timbro di uno strumento è dovuto, in larghissima parte, alla composizione spettrale del suono che esso emette. • Semplificando potremmo dire che quando uno strumento emette una nota di una determinata frequenza esso, a causa dei vincoli imposti dalla "geometria" delle parti oscillanti dello strumento stesso, genera, insieme alla nota fondamentale, più note di frequenza multipla intera della fondamentale (armoniche).

La minima intensità sonora apprezzabile dall’orecchio umano è di 10-12 W/m2, mentre intensità di circa 1 W/m2 sono percepite come dolorose. C’è dunque un range di ben 12 ordini di grandezza!!! Perciò, per descrivere quantitativamente l’intensità sonora percepita, è conveniente usare la funzione logaritmo. Si definisce così la sensazione sonora all’intensità I attraverso la relazione:

σ,

legata

(legge di Weber-Fechner) In cui I0 è l’intensità di soglia (10-12 W/m2). L’unità di misura di σ è il decibel (dB).

• Il nostro orecchio è dunque in grado di percepire (senza danni) suoni per cui σ varia tra 0 e 120 dB. • Tuttavia, in questo range, la percezione del suono non è lineare: l’intervallo di sensazioni sonore percepibili non è lo stesso per i suoni di tutte le frequenze. • In altri termini, il nostro orecchio ha una curva di sensibilità:

Esempio: Un altoparlante produce una sensazione sonora di 40 dB alla distanza di 10 m. Quanto vale l’intensità in quel punto? Se si affianca un secondo altoparlante uguale al primo, quanto vale la sensazione sonora risultante?

Con 2 altoparlanti Dunque

Propagazione in mezzi confinati Immaginiamo ora che l’onda incontri un ostacolo e venga riflessa

X= 0 Avremo la sovrapposizione dell’onda incidente e di quella riflessa

y = f (t - x/c) + g (t + x/c) poiché in x=0 si ha y=0, g(t) = -f(t) dunque: y= f (t - x/c ) – f (t + x/c) e quindi y = A (sin ω(t-x/c) - sin ω(t+x/c)) Infine, applicando ottiene:

le

formule

Y = 2 A cos(ωt) sin (ωx/c)

di

X =0

trigonometria

(ONDA STAZIONARIA)

si

In qualunque istante, in un’onda stazionaria ci sono • dei punti fissi che non oscillano, detti NODI (nell’ esempio precedente i valori di x tali che sin(ωx/c)=0) • dei punti fissi che oscillano con ampiezza massima, detti VENTRI.

Consideriamo il caso di una corda di lunghezza L fissata ai due estremi (es: corda di chitarra) Si ha y=0 per x=0, ma anche per x=L, e quindi: sin (ωL/c) = 0, cioè ωL/c = n π, da cui:

La corda può oscillare soltanto con ben determinate frequenze: quelle per cui la sua lunghezza L è multipla di mezza lunghezza d’onda. La frequenza corrispondente a n=1 si chiama fondamentale, quelle corrispondenti ai valori successivi di n sono le armoniche.

n=1

n=2

n=3

n=4

E’ anche possibile che nell’estremo l’oscillazione sia massima (ad es. le canne d’organo, ma anche il condotto uditivo con all’estremo il timpano). In questo caso sin (ωL/c) = 1 e la relazione che deve essere soddisfatta è del tipo: L = (2n - 1) λ /4 Anche in questo caso l’onda deve esattamente alla lunghezza della corda: SONO PERMESSE SOLTANTO DETERMINATE FREQUENZE

“adattarsi”

ALCUNE

BEN

Analisi di Fourier Il teorema di Fourier afferma che qualunque funzione periodica avente la frequenza fondamentale f0 può essere sviluppata in serie di Fourier, cioè rappresentata mediante una somma di funzioni sinusoidali pure, ciascuna di opportuna ampiezza e di frequenza multipla dif0 (armoniche).

In altri termini qualunque oscillazione (onda), di forma qualsiasi, anche non sinusoidale, è il risultato di una somma di oscillazioni (onde) sinusoidali.

Risonanza: • Sappiamo per esperienza che una piccola spinta ad un'altalena la fa oscillare ad una frequenza ben precisa, detta frequenza propria che dipende dalla lunghezza dell'altalena, ma non dai dettagli della forza somministrata durante la spinta. • Se anziché applicare la spinta una sola volta la ripetiamo periodicamente nel tempo possiamo studiare come l'altalena risponde al variare della frequenza della nostra spinta. • Potremo perciò verificare che, se la forza applicata dall'esterno ha una frequenza prossima alla frequenza propria dell'altalena, quest'ultima tende ad oscillare in modo sempre più ampio. • Invece, per frequenze della forza esterna molto maggiori o molto minori della frequenza propria, la nostra spinta ostacola l'oscillazione. • Questo concetto si può applicare a qualunque sistema oscillante al quale sia applicata una sollecitazione esterna periodica.

Amplitude

Es.: crollo del Tacoma Bridge (USA, 7 novembre 1940): sebbene progettato per resistere a venti fino a 200 Km/h, il ponte crollò sotto l’effetto di raffiche a soli 65 Km/h, che però agirono con la frequenza propria dell’oscillazione del ponte ( filmato)

Risonanza: Analogamente, le onde stazionarie confinate in una regione di spazio si rinforzano a vicenda mettendo in oscillazione “all’unisono” le molecole del mezzo:

mentre si elidono tutte le onde di frequenza diversa da quelle delle armoniche determinate dalla geometria del sistema.

• Solo le onde STAZIONARIE possono raggiungere valori di ampiezza che le rendono percettibili al nostro udito (questo perché solo onde di definita frequenza possono entrare in risonanza con il mezzo in cui si propagano) • Quanto visto spiega anche perché l’orecchio umano è particolarmente sensibile intorno ai 3 kHz. Infatti il meato acustico è lungo circa 2.5 cm, e si configura come un tubo aperto da un lato e chiuso sul timpano. La lunghezza d’onda che corrisponde alla frequenza fondamentale vale: λ = 4 L = 10 cm, per cui: f = c/λ = 34000 (cm/s)/10 cm = 3400 Hz

• Lo stesso risultato si può estendere a cavità di forma complicata: il nostro spazio naso-buccale determina le caratteristiche dei suoni che emettiamo, e pronunciamo suoni diversi perché fisicamente mettiamo in oscillazione punti diversi dello spazio, dunque generiamo armoniche diverse • Su tali concetti si basa tutta l’acustica musicale. Noi percepiamo come piacevoli i suoni emessi contemporaneamente da due corde che hanno lunghezze che stanno tra loro in particolari rapporti (es: 1/2: accordo di ottava; 2/3: accordo di quinta, ecc.) • Più sono presenti armoniche e più è ricco il timbro del suono; più le armoniche tra due note all’unisono sono uguali e più il risultato è piacevole (non si hanno battimenti).

Sorgente in quiete (f0)

Effetto Doppler (sorgente sonora all’osservatore)

in

moto

rispetto

La frequenza percepita dall’osservatore (f ) è diversa da quella emessa dalla sorgente (f0) Sorgente in avvicinamento (f>f0)

Sorgente in allontanamento (f
Effetto Doppler Un osservatore in moto relativo rispetto a una sorgente di onde sonore percepisce il suono con una frequenza f diversa da quella f0 emessa dalla sorgente. Nel caso di osservatore in quiete e sorgente in moto, lo scostamento in frequenza Δf = f - f0, denominato Doppler shift, è dato da:

dove c è la velocità del suono nel mezzo e v la velocità relativa della sorgente rispetto all’osservatore. Il segno + (frequenza percepita maggiore di quella della sorgente) si ha per sorgente in avvicinamento. Il segno - (frequenza percepita minore di quella della sorgente) si ha per sorgente in allontanamento.

Se la direzione del movimento relativo non è parallela a quella del percorso acustico, il Doppler shift è dato da:

dove θ è l’angolo tra la direzione del moto ed il percorso acustico

θ Direction of sound

N.B.: Se θ=90° non si ha effetto Doppler (Δf=0) !

Cosa succede se v > c ?

Es.: il "boom" prodotto da un jet che oltrepassa la “barriera del suono” (cioè appunto che vola a velocità maggiore di quella del suono)