Villar_d_finalproes.docx

EXAMEN FINAL PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Instrucción: Lee detenidamente cada uno de los enunciados y desarrolla lo que se te pide. 1. A continuación, se presenta la inversión anual (en miles de dólares) de un grupo de pequeñas empresas situadas en el departamento de Lima (diciembre de 2017). A partir de los datos calcule e interprete:

(Total 4 puntos)

28

15

6

4

12

16

28

27

19

15

12

18

5

2

8

24

17

5

9

27

27

35

18

14

3

9

15

20

24

17

30

22

21

17

20

36

23

12

11

15

22

32

37

40

28

36

35

39

12

9

a) La inversión anual promedio: 

Cabe señalar que los cálculos fueron realizados en una hoja Excel: Promedio

Máximo

Mínimo

17

28

4

12.7

27

2

18.2

35

3

20.7

36

11

29

40

9

Sumatoria de Datos

97.6

N° De Datos

50

Valor Medio

19.52

 Promedio o la media (x̅):

𝟗𝟕𝟔 𝟓𝟎

= 𝟏𝟗. 𝟓𝟐

Interpretación: El promedio de inversión anual (en miles de dólares) de las empresas situadas del Departamento de Lima en el año 2017 asciende a 19.52 Examen sustitutorio

1

b) La inversión anual mediana: MEDIANA 15.5 10.5 17.5 20.5 33.5 18

DESIGNACION

FILA 1 FILA 2 FILA 3 FILA 4 FILA 5 TOTAL

 Interpretación: El 50% de las pequeñas empresas invierten anualmente menos que 18 mil dólares y el otro 50% de las empresas invierte de 18 mil dólares a más.

c) La desviación estándar:  Cuadro estadístico Excel demuestra las columnas desviación de

cada una de ellas.

Varianza: 𝑆

2

=

Ʃ(𝑥−x̅)2 𝑛−1

= 𝑆 2 =105.724082 VARIANZA

105.724082

DESVIACION ESTANDAR: DESV.ESTAN

Examen sustitutorio

10.2822216

2

 𝑆 = √105.724982 = 10. 2822216  Interpretación: Entonces, el promedio de inversión anual de las pequeñas empresas es de 19.52% con una desviación estándar de 10.28%. d) Coeficiente de variación:

 𝐶𝑣 =

𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐸𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜

=

10.2822216 19.52

𝑥100% = 𝟓𝟐. 𝟔𝟖%

 Interpretación: Entonces, el coeficiente de variación de inversión anual

de las pequeñas empresas es de 52.68 % anuales por lo que tienden a ter un comportamiento HETEROGENEO.

Examen sustitutorio

3

2. El gerente de ventas de la Empresa CANNON está haciendo un estudio entre el número de llamadas recibidas para dar información sobre computadoras, y el número de computadoras vendidas en una muestra aleatoria de 10 representantes de ventas. Es decir quiere conocer si existe relación entre las variables; por lo que recurre

al

Dpto.

de

Contabilidad

y

obtiene

el

siguiente

reporte:

(Total 6 puntos)

Representante Llamadas Computadoras de Ventas de Venta Vendidas 0001 20 30 0002

40

60

0003

20

40

0004

30

60

0005

10

30

0006

10

40

0007

20

40

0008

20

50

0009

30

30

0010

20

70

Total Realice todos los siguientes cálculos: a) Parámetro a: Representante Llamadas Computadoras de Ventas de Venta Vendidas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total Examen sustitutorio

20 40 20 30 10 10 20 20 30 20 220

30 60 40 60 30 40 40 50 30 70 450

(x)(y) 600 2400 800 1800 300 400 800 1000 900 1400 10400

x" 400 1600 400 900 100 100 400 400 900 400 5600 4

 Realice todos los siguientes cálculos.

̂ = 𝒂 + 𝒃𝒙 𝒚

X=llamadas de venta Y=computadoras vendidas

𝑎=

𝑎=

𝑛 ∑ 𝑋𝑌 − ∑ 𝑋 ∑ 𝑌 𝑛 ∑ 𝑋 2 − (∑ 𝑋)2

10(10400) − (220)(450) 10(5600) − (220)²

𝒂 = 𝟎. 𝟔𝟓𝟕𝟖𝟗𝟒𝟕  Interpretación: Por incrementar una llamada de venta, las computadoras vendidas aumentaran en 0.6579.

b) Parámetro b:

𝑏= 𝑏=

∑𝑦 −𝑎∑𝑥 𝑛

450 − (0.6578947)(220) 10

𝒃 = 𝟑𝟎, 𝟓𝟐𝟖𝟒

 Interpretación:

30.52 es el incremento de las computadoras

vendidas

c) Escriba la ecuación de regresión:

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑦 = 0.6579𝑥 + 30.5263

Examen sustitutorio

5

d) Coeficiente de Correlación:

Llamadas de Venta N°

X

Computadoras Vendidas Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 SUMA

20 40 20 30 10 10 20 20 30 20 220

30 60 40 60 30 40 40 50 30 70 450

XY

XX

YY

600 2400 800 1800 300 400 800 1000 900 1400 10400

400 1600 400 900 100 100 400 400 900 400 5600

900 3600 1600 3600 900 1600 1600 2500 900 4900 22100

Promedio o media:

𝑟=

𝑟=

media x

22

media y

45

𝑛 ∑ 𝑋𝑌 − ∑ 𝑋 ∑ 𝑌 √[𝑛 ∑ 𝑋 2 + (∑ 𝑋)2 ][𝑛 ∑ 𝑌 2 + (∑ 𝑌)2 ]

10𝑥10400 − 220𝑥450 √[10𝑥5600 − 2202 ][10𝑥22100 − 4502 ]

= 0.4217

 Interpretación: Existe una media correlación positiva directa entre las variables llamadas de venta y computadoras vendidas. e) Coeficiente de Determinación:

𝑅 2 = (0.4216745)2 = 0.17780938 ≃ 17.78% → 18%  Interpretación: El 18% de la variabilidad de llamadas de venta (x) es por la variabilidad de computadoras vendidas (y).

Examen sustitutorio

6

f) Estime el número de computadoras vendidas, si se hubiesen realizado 50 llamadas. Pronóstico: Si X=50

𝑌𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎 = 30.5262 + 0.6579 ∗ 50 = 63.4212

 Si se realizan 50 llamadas de venta el pronóstico de computadoras vendidas será de 63 3. Ante la interrogante: ¿Cuántos hogares tienen computadoras en el distrito de Trujillo? Se conoce que el total de la población del distrito de Trujillo es de 150000 hogares para los estratos alto, medio y bajo; debido a que no se contaba con información anterior se procedió a seleccionar muestras aleatorias pilotos de hogares de los estratos alto, medio y bajo obteniéndose la siguiente información: (Total 4 puntos)

Alto

Cantidad de hogares que tienen computadoras 8

Medio

5

25

Bajo

3

15

Nivel

Muestra piloto 20

Use nivel de confianza del 99% en sus cálculos. ¿Cuál es el verdadero tamaño de muestra para estimar el porcentaje de hogares del estrato medio que tienen computadoras, si se desea un error del 2?5%? DESARROLLO: Usaremos la formula cuando tenemos población: a) DATOS: N.C 99% E= 2.5% α= 0.01 1-α/2 = 0.995

0.025

Z 1-α/2 =

2.58

2.58

b) FÓRMULA: 0.000625

6.66

c) SÓLUCIÓN

𝒛𝟐 𝒙 𝒑 𝒙 𝒒 𝒏= 𝑬𝟐

𝟐. 𝟓𝟖𝟐 𝒙 𝟎. 𝟐 𝒙 𝟎. 𝟖 𝒏= 𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝟐 𝒏 = 𝟏𝟕𝟎𝟒.04

Examen sustitutorio

7

INTERPRETACIÓN: (Detalle quiénes y cuántos son los elementos a estudiar)  Por lo tanto, la muestra para realizar el estudio con un nivel de confianza del 99% y un error de 2.5% de una población de 150000 hogares el nivel medio debe tener 1704 hogares cuentan con computadoras.

4. Para comparar los promedios de los tiempos en minutos que emplean dos máquinas 1 y 2 en producir un tipo de objeto, se registra el tiempo de 9 y 8 objetos al azar producidos por las maquinas 1 y 2 respectivamente dando los siguientes resultados: Maquina 1

:

12 28

10

25

24

19

22

33

Maquina 2

:

16

16

20

16

17

15

21

20

17

Con una significancia del 5%. ¿Confirman estos datos que los tiempos promedios de las maquinas son diferentes? ¿Asuma que las varianzas poblacionales son desconocidas e iguales?

(Total 6 puntos)

RESOLUCION: Maquina 1 media des. Estándar Varianza

maquina 2 21.1111111 7.42368582 55.11

media desv.estandar Varianza

17.625 2.33 5.41

a) Ho: 𝝁𝟏 = 𝟗 H1: 𝝁𝟏 ≠ 𝟖 b) Nivel de significancia:

α=

0.05

5%

c) Estadístico de Prueba y Cálculos:

𝑍𝑃2 =

(𝑛1 − 1)𝑆12 + (𝑛2 − 1)𝑆22 (09 − 1)55.11 + (08 − 1)5.41 478.75 = = = 31.91667 𝑛1 + 𝑛2 − 2 09 + 08 − 2 15 𝑍𝑃 = 5.65

Examen sustitutorio

8

Z=

(𝑿𝟏−𝑿𝟐)−(𝒖𝟏−𝒖𝟐) 𝟏 𝟏 ) 𝒏𝟏 𝒏𝟐

(𝑺𝒑√ +

𝑍=

21.11 − 17.63 1 1 5.65√9 + 8

= 𝟏. 𝟐𝟕

𝑔𝐿 = 15 d) Punto Crítico (Valor de Tabla, si lo hizo cálculos manuales) o P-VALUE: (Si utilizo megastat)

Zc<1.75

Zc≤1.75

e) Decisión: (Aceptar Ho / Rechazar Ho) Zc

1.27

 Como Tc es menor que 1.75, entonces se acepta la H0. f) Conclusión: (Entiéndase dar respuesta a la pregunta del ejercicio)  Como nivel de significancia de 0.05 se puede afirmar que los datos de tiempos promedios de ambas maquinas A y B son iguales.

Examen sustitutorio

9

RÚBRICA DE EVALUACIÓN EXAMEN FINAL Preg.

ESCALA DE CALIFICACIÓN 1 punto 0 puntos

Criterios

Calcula e interpreta correctamente el promedio. Calcula e interpreta correctamente ítem b la mediana. ítem a

MEDIDAS DESCRIPTIVAS

1 (4 Puntos)

ítem c

Calcula e interpreta correctamente la desviación estándar.

ítem d

Calcula e interpreta correctamente el coeficiente de variación.

Calcula e interpreta correctamente ítem a el parámetro a de la ecuación de regresión.

2

ANALISIS DE REGRESION Y CORRELACION (6 Puntos)

Ítem d

ítem f ítem a

3

Calcula incorrectamente y no interpreta el promedio. Calcula incorrectamente y no interpreta la mediana. Calcula incorrectamente y no interpreta la desviación estándar. Calcula incorrectamente y no interpreta el coeficiente de variación. Calcula e interpreta incorrectamente el parámetro a de la ecuación de regresión.

Calcula e interpreta correctamente ítem b el parámetro b de la ecuación de regresión. Escribe la ecuación de regresión ítem c correctamente.

ítem e

MUESTREO (4 Puntos)

Puntaje

ítem b ítem c

Calcula e interpreta incorrectamente el parámetro b de la ecuación de regresión. No escribe la ecuación de regresión correctamente. Calcula e interpreta Calcula e interpreta correctamente incorrectamente el coeficiente el coeficiente de correlación. de correlación. Calcula e interpreta Calcula e interpreta correctamente incorrectamente el coeficiente el coeficiente de determinación. de determinación. Realiza el cálculo adecuado del No realiza el cálculo adecuado pronóstico solicitado. del pronóstico solicitado. Indica correctamente los datos para Indica incorrectamente los el cálculo del tamaño de la datos para el cálculo del muestra. tamaño de la muestra. No identifica la fórmula Identifica la fórmula correcta para el correcta para el cálculo del cálculo del tamaño de muestra. tamaño de muestra. Calcula el tamaño de muestra de Calcula el tamaño de muestra forma adecuada. de forma inadecuada.

Indica quienes y cuantos elementos ítem d a estudiar se elegirán de manera correcta. Formula adecuadamente las ítem a hipótesis. Identifica correctamente el nivel de ítem b significancia.

4

PRUEBA DE HIPOTESIS (6 Puntos)

Indica quiénes y cuántos elementos a estudiar se elegirán de manera incorrecta. No formula adecuadamente las hipótesis. No identifica correctamente el nivel de significancia. No identifica o calcula Identifica y calcula adecuadamente ítem c adecuadamente el estadístico el estadístico de prueba. de prueba. Encuentra el valor crítico con el uso No encuentra el valor crítico de las tablas estadísticas o el valor con el uso de las tablas ítem d "p" usando Megastat estadísticas o el valor "p" correctamente. usando Megastat. No elige la decisión correcta, Elige la decisión correcta, teniendo ítem e teniendo en cuenta Aceptar o en cuenta Aceptar o rechazar Ho. rechazar Ho. No describe la respuesta Describe la respuesta correcta correcta teniendo en cuenta la ítem f teniendo en cuenta la pregunta y el pregunta y el contexto del contexto del enunciado. enunciado.

CALIFICACIÓN DE LA TAREA

Examen sustitutorio

10