Une Querelle Des Anciens Et Des Modernes

UNE QUERELLE DES ANCIENS ET DES MODERNES Jean Jacquelin

Ce papier a été publié dans le magazine QUADRATURE n°61, pp.7-13, juillet 2006, édité par EDP Sciences, 17 av. du Hoggar, PA de Courtaboeuf, 91944 Les ULIS, France http://www.edpsciences.org/quadrature/

Illustration baroque et anachronique, ayant pour fond une peinture d’Albert Besnard [artiste français, 1849-1934]. « La Première d’Hernani, avant la bataille ».

UNE QUERELLE DES ANCIENS ET DES MODERNES Jean Jacquelin 1. AVANT-PROPOS Si vous évoquez « La querelle des anciens et des modernes » chacun pensera à cette controverse littéraire déclenchée par l’affirmation de la supériorité des Modernes sur les auteurs antiques. Souvenons-nous : Vers la fin du XVII ième siècle, les discussions érudites dégénérèrent rapidement en une polémique acerbe, particulièrement lorsque Charles Perrault, s'appuyant sur l'autorité de Descartes, élabora la théorie d'un double progrès: dans les arts et dans les sciences. Cette notion de progrès étant étendue au domaine moral, le débat masquait une opposition profonde sur le plan philosophique. Malgré Fénelon, qui donna une opinion nuancée dans sa Lettre sur les occupations de l'Académie française (1714), la querelle se poursuivit durant des décennies, à travers l'affrontement des Encyclopédistes (les Modernes) et des Classiques (les Anciens). Un événement marquant fut la violente bataille d'Hernani, au Théâtre-Français (1830), dont le souvenir a inspiré le peintre Albert Besnard (toile de 1903, Musée Victor Hugo, Paris). Avec le temps, les querelles deviennent moins dogmatiques. Le résultat fut de montrer qu'il y avait plus d'une forme possible pour atteindre à la beauté littéraire. Ce qui n’empêche pas que se poursuivent encore des polémiques périodiquement renouvelées, les écoles se multipliant et s'affrontant : les jeunes générations ne manquent pas de révéler des méconnus de la génération précédente et parfois de flétrir certaines des anciennes gloires. L’écrit polémique est l'instrument propre à la lutte des intelligences, indispensable au progrès de l'esprit humain. [1] Quel rapport ces évènements peuvent-ils bien avoir avec les mathématiques ? A-priori, aucun me direz-vous, si ce ne sont des analogies de comportement des acteurs dans leurs domaines respectifs. Est-il dans la nature de l’homme de se plaire à contredire les théories établies ? De se délecter à révéler des failles subtiles dans les raisonnements de ses prédécesseurs ? De trouver plaisir à railler les vieilles idoles et adorer de nouvelles ? Ou, au contraire, de jouir d’une argumentation classique soutenue mordicus et de se complaire dans la certitude et la sécurité du connu et de l’établi ? Cette dualité et les polémiques qu’elle suscite sont le moteur d’une évolution qui tend à renforcer et élargir les connaissances tout en préservant les valeurs sûres du passé. On ne saurait s’en plaindre, au fond, surtout pour des scientifiques. Par contre, sur la forme, il y aurait beaucoup à redire : Pourquoi ces attitudes suffisantes et ces propos parfois virulents ? Les sciences n’en sont malheureusement pas épargnées. Parlons un peu du calcul différentiel et intégral. Aïe, aïe, aïe, je vois se poindre le fameux dx et venir la controverse ! Je vois les uns jeter de l’huile sur le feu en parlant de bricolage, de méthode de physicien (sur un ton plutôt péjoratif). Et les autres leur répliquer qu’ils feraient mieux de s’occuper de problèmes concrets plutôt que de « couper les cheveux en quatre », comme savent si bien le faire les mathématiciens (sur un ton tout aussi péjoratif). Certes, débattons, mais pas de cette sorte ! Le calcul différentiel et intégral, tel sera notre propos. Un bien trop vaste sujet, dont nous nous contenterons des prémices, souvent avec naïveté et sans esprit polémique, si faire se peut… J.Jacquelin, « Une querelle des Anciens et des Modernes », 15/09/2005

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2. CALCUL DIFFERENTIEL (AU SENS DE LEIBNITZ) Les débuts du calcul infinitésimal remontent à la fin du XVIième siècle. La théorie fut développée dans la seconde moitié du XVIIième simultanément, mais indépendamment, par Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716) et Isaac Newton (1643-1727) comme un calcul, c’est à dire une méthode facile à manier [2, p.441]. A cette époque, une fonction f(x) était expliquée comme une quantité variable qui dépend d’une autre quantité (x) variable. Cette notion de fonction était intimement associée à sa représentation graphique telle qu’un exemple est représenté figure 1, en coordonnées cartésiennes.

Figure 1 : Tangente vue en tant que limite. Etant donnés un point fixe P (x, y=f(x)) et le point courant Pc (xc, yc=f(xc)), le « quotient différentiel » (∆y/∆x) était défini par : ∆y yc − y f ( xc ) − f ( x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) = = = = tg(α c ) ∆x xc − x xc − x ∆x Si la fonction f(x) possède certaines propriétés telles que ce quotient différentiel tende vers une limite quand xc tend vers x, cette limite est appelée la dérivée de la fonction au point P (x, y=f(x)) et est notée :

f ' ( x) ≡

dy  ∆y  ≡ limite  = tg (α ) dx  ∆x  ∆x →0

Corrélativement, l’angle αc tend vers α et la droite (Tc) portant le segment PPc tend vers la tangente (T) à la courbe, au point P.

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La fonction est dite dérivable au point P si et seulement si les limites du quotient différentiel, à droite et à gauche, existent et sont égales. La continuité est une condition nécessaire de dérivabilité, mais non suffisante. Il existe des fonctions continues en un point mais qui n’y sont pas dérivables. Qui plus est, Bernard Bolzano (1781-1848) a décrit un exemple de fonction partout continue mais dérivable nulle part dans un intervalle. Ceci constitue de sérieuses pierres d’achoppement à la généralité de la théorie. De plus, les infinitésimaux dx et dy , qui ont été interprétés intuitivement comme des ∆x et ∆y infiniment dy petits, allaient susciter beaucoup d’interrogations, voire de suspicion. L’écriture formelle dx ( le rapport entre deux infiniment petits ) parait des plus équivoque. Mais n’anticipons pas. 3. CALCUL INTEGRAL (AU SENS DE RIEMANN) Bien avant Riemann, le calcul de l’aire d’une surface limitée par une courbe fermée ou du volume d’une région limitée par une surface fermée avait conduit à considérer un processus limite en approchant la surface ou la région considérée de plus en plus finement par des méthodes élémentaires. Déjà au XVIIième siècle, avec Kepler (1571-1630) et avec le principe de Cavalieri (1598-1647), on parlait de méthode exhaustive lors de décompositions en domaines élémentaires. Parmi les précurseurs, il faut citer Guldin, Descartes, Fermat, Wallis, Pascal : pour plus d’informations, voir [3]. C’était avant que Leibnitz et Newton ne construisent indépendamment et presque simultanément une méthode satisfaisante d’intégration pour le calcul des aires et des volumes. Néanmoins, on doit encore qualifier d’intuitive la méthode consistant à approcher l’aire (A) par des valeurs inférieures ou supérieures à l’aide de polygones en escalier (figure 2), en prenant des précautions évidentes pour le découpage au voisinage des extremums : ∆x j = x j +1 − x j j = n −1

∑ j =0

j = n −1

m j ∆x j ≤ A ≤

∑M

j

∆x j

avec les notations suivantes :

j =0

M j = sup( f ( x j +1 ), f ( x j ) ) m j = inf ( f ( x j +1 ), f ( x j ) )

Figure 2 : Encadrement par sommes inférieures et supérieures.

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Si la fonction f(x) possède certaines propriétés, l’approximation s’améliore lorsque la taille des pas diminue, de telle sorte que la somme des aires inscrites d’une part et circonscrites d’autre part, tendent vers une limite commune [2, p.482]. Si tel est le cas, la limite est appelée l’intégrale définie de la fonction entre x0=a et xn=b. Elle est notée : xn  j = n −1   j = n −1  f ( x ) dx = lim m ∆ x = lim M j ∆x j     ∑ ∑ j j ∫ x0  j =0  ∆x j → 0  j =0  ∆x j →0 Là encore, le dx qui apparaît a été interprété intuitivement comme un ∆x infiniment petit et le signe somme est compris comme un sigma étendu à un infiniment grand nombre (n) de termes élémentaires, ce qui a été vu avec beaucoup de méfiance, pour ne pas dire de défiance et à juste titre. En ces temps, on montre plus qu’on ne démontre et il ne viendrait pas à l’idée de considérer une fonction qui ne soit pas uniformément continue [4, p.11]. Cette condition est implicite, même dans les leçons sur le calcul infinitésimal de Cauchy en 1823. Nous en venons alors à l’intégrale par Riemann (1826-1866) qui est une généralisation subtile des travaux de ses prédécesseurs [4, p.11]. Au lieu de prendre comme « hauteur » du rectangle élémentaire la valeur de la fonction f(xj) ou f(xj+1), Riemann considère une valeur quelconque f(χj) sur l’intervalle xj ≤ χj ≤ xj+1 (figure 3).

Figure 3 : Représentation intuitive de l’intégration au sens de Riemann n −1

La somme considérée est : S = ∑ f ( χ j ) (x j +1 − x j ) j =0

Quand on fait tendre la valeur maximum des intervalles vers zéro et que la limite de la somme (S ) ne dépend ni du découpage en intervalles, ni de la valeur des hauteurs, l’intégrale de Riemann existe et la notation est la même que précédemment

∫

b a

f ( x) dx . Cette notation

conserve la correspondance intuitive entre les notations f(χj)∆xj et f(x)dx. Il est patent que la valeur de l’intégrale est égale à celle qui avait été définie antérieurement lorsque la fonction est continue. Mais, grâce à cette nouvelle façon de faire, on sait intégrer des fonctions plus générales, par exemple certaines fonctions ayant un nombre infini de discontinuités [2, pp.11-12]. J.Jacquelin, « Une querelle des Anciens et des Modernes », 15/09/2005

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4. L’INTEGRALE DE LEBESGUE De nouvelles fonctions plus « extraordinaires » que les habituelles fonctions « ordinaires » (par ordinaires, entendez les fonctions continues), inventées pour les besoins de la cause, donnaient du fil à retordre aux mathématiciens de l’époque. Par exemple la fonction de Dirichlet (1805-1859) est définie sur le segment [0,1] , où elle vaut 0 en tous points d’abscisse irrationnelle et 1 en tous points d’abscisse rationnelle. Avec l’intégrale de Riemann, on ne sait pas l’intégrer. En effet, f(χj) prend deux valeurs 0 et 1, sur tout intervalle, conduisant ainsi à des valeurs distinctes de la somme, dont il est donc impossible de trouver une limite commune. Lebesgue allait tirer parti d’une généralisation très importante de la notion de longueur à celle de mesure. La théorie de la mesure par Emile Borel (1874-1956) avait été émise avant que Lebesgue n’expose son intégrale dans une courte note des Comptes Rendus des Séances de l’Académie du 29 avril 1901 [4, p.10]. En fait, la mesure de Borel est une extension à des ensembles plus généraux que des segments. Elle conserve la propriété d’additivité : la mesure d’une réunion dénombrable d’ensembles disjoints est la somme des mesures de ces ensembles. Henry Lebesgue (1875-1941) voulait étendre les possibilités d’intégration, en particulier aux fonctions du genre de celle de Dirichlet. Son idée, qui a été émise presque en même temps mais de façon moins prééminente par W.H.Young, consiste à découper la fonction en tranches horizontales sur l’axe des ordonnées, à multiplier la différence par la mesure λj de l’intervalle correspondant sur l’axe des abscisses et à sommer toutes les valeurs quand l’intervalle (yj+1 - yj ) tend vers zéro. La figure 4 suggère plus qu’elle ne décrit, car la notion de mesure ne s’appréhende pas dans toute sa généralité par une représentation graphique.

Figure 4 : Représentation intuitive de l’intégrale de Lebesgue.

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n −1

La somme considérée est : S = ∑ ( y j +1 − y j ) λ j j =0

Lorsque cette somme a une signification pour des intervalles tendant vers 0, l’intégrale de Lebesgue existe et sa notation est encore la même que précédemment :

∫

b a

f ( x) dx bien qu’il

n’y ait plus de correspondance intuitive entre les notations f(x)dx et ∆yjλj Sur cette base nouvelle, l’intégration prend un sens pour des fonctions telles que celle de Dirichlet (dont on démontre alors que la valeur de l’intégrale définie sur [0, 1] est nulle) et pour beaucoup d’autres, en particulier intéressant les probabilistes. En fait, l’intégrale de Lebesgue est une extension de l’intégrale de Riemann, comme la notion de mesure (avec des abstractions supplémentaires) est une extension de la notion d’étendue de Péano-Jordan On pourrait poursuivre l’inventaire par les intégrales de Denjoy, de KurthweilHenstock (HKintegral), etc. [5]. L’histoire des fonctions et de leur intégration ne s’arrête pas là, même si nous n’allons pas plus loin dans ce modeste aperçu. De même que la course entre « le glaive et la cuirasse » évolua par des perfectionnements (si l’on peut dire ! ) successifs et conjoints vers une course entre « le canon et le blindage », peut-on imaginer que se termine un jour la recherche de fonctions de plus en plus exotiques qui mettent à l’épreuve les méthodes connues et suscitent la recherche de nouvelles extensions de la notion d’intégrale ?

5. ET LA QUERELLE DANS TOUT CELA ? Quoi ? Pas de controverse, pas de débat véhément, pas de noms d’oiseaux jetés à la figure ? Je sens que la curiosité s’émousse, que l’intérêt faiblit, que la lassitude s’installe. Il faut y remédier d’urgence et relancer le suspense. Revenons au fameux dx et aux infiniment petits dont on se permet d’en sommer un infiniment grand nombre ! Le Mathématicien en frémit d’horreur! Mais tout d’abord, question de béotien : Que veut dire petit ? Que veut dire grand ? Le dictionnaire nous renseigne : « Dont les dimensions sont inférieures (petit) ou supérieures (grand) à la dimension normale ou ordinaire ». Faut-il donc disposer d’une valeur de référence pour pouvoir attribuer les qualificatifs petit ou grand ? Voilà qui n’embarrasserait ni l’ingénieur, ni le physicien, pour lesquels ce qui est petit, ou ce qui est grand, est flagrant dans le contexte de leurs travaux respectifs. Ils riraient bien de ce qu’un mathématicien ne sache pas discerner une telle évidence. Mais, justement, en ce qui concerne spécifiquement les nombres entiers, rationnels ou réels, qu’est-ce qu’être normal ou ordinaire ? Et « voisin de… » : Encore un mot qui sent le souffre ! Soient dx et dy des nombres dy 0 voisins de 0, donc infiniment petits. Alors, que vaut ? A la limite ? N’importe quoi ? dx 0 « Cela n’a l’air de rien, mais les mathématiciens ont mis trois siècles (de la fin du XVIIième à la fin du XXième) pour découvrir la bonne manière de parler avec les adjectifs petit et grand, c’est-à-dire celle qui assure la cohérence du discours. La difficulté essentielle consiste à concevoir l’inexistence de frontière, l’absence d’un nombre qui tienne lieu de limite entre les nombres petits et ceux qui ne le sont pas, ou entre les nombres non-grands et les grands » (citation extraite de [6] ). Qu’est-ce à dire ? La controverse serait-elle en voie d’extinction entre les Modernes qui prétendent posséder maintenant le langage idoine et les Anciens qui ont déjà le leur?

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6. UNE REPONSE : L’ANALYSE NON STANDARD (A.N.S.) Nous l’avons bien compris : Les questions relatives aux infiniment petits ou grands sont au cœur des préoccupations des mathématiciens. Nul ne songerait à nier les efforts faits par les Anciens pour traiter ces questions. Et nul ne prétend dire que les Modernes s’attribueraient entièrement les progrès réalisés en partie grâce à leurs prédécesseurs. S’il y a controverses, ce n’est pas sur cet état de fait, mais sur les façons de surmonter l’obstacle et surtout, sur les façons de faire des mathématiques tant que l’obstacle n’est pas vaincu. Rendons hommage à Abraham Robinson qui imagina vers 1960 une théorie NSA (Non Standard Analysis) donnant un fondement rigoureux aux notions d’infiniment petit et grand. 17 ans plus tard, Edward Nelson reprend la construction à sa base et la rend moins perturbante, en ajoutant trois axiomes (idéalisation, standardisation, transfert) à la théorie classique des ensembles : c’est la théorie IST (Internal Set Theory). Depuis lors, des efforts sont faits pour rendre la théorie toujours plus accessible. Bien qu’encore peu répandue en France, on en parle de plus en plus, particulièrement grâce à des publications telles que [6, 7, 8, 9,10] , des articles accessibles sur la toile [11], etc.. Le présent texte de vulgarisation en est très largement inspiré. Certains passages sont purement et simplement recopiés. Leurs auteurs ne m’en voudront pas, je l’espère, car le but est de faire connaître l’existence de ces travaux (bien entendu, sans prétendre les exposer exhaustivement et rigoureusement). Je les prie de m’excuser de la présentation outrageusement simplificatrice, des approximations et des à-peu-près, donnant une image ternie de leurs ouvrages, qui, au contraire, se veulent d’une grande rigueur dans leur logique. Au départ, on se place dans le cadre de la classique théorie des ensembles (de Zermelo-Fraenkel ) grosso modo celle qui est couramment enseignée. Les objets définis par cette théorie sont qualifiés d’interne ou classiques (par exemple : π , e, 2, ℕ, ℝ, ℂ, …) On introduit des objets plus généraux que les précédents. Par exemple, on parlera de nombres standards (ou bien déterminés) auxquels s’adjoignent des nombres non-standards : infiniment grands (ou i-grands), infinitésimaux (ou i-petits), modérés (ou limités), par exemple 0,3333… est un nombre modéré non-standard si le nombre de caractères 3 est un entier infiniment grand et sa partie standard est 1/3. Les nombres ni infiniment petits ni infiniment grands, donc incluant les non-standards modérés, sont regroupés sous le nom de nombres appréciables. Plus généralement, on parlera d’ensemble non-standard incluant le sous-ensemble standard correspondant. L’introduction et l’utilisation de ces notions s’expliquent au moyen des trois axiomes suivants :

Axiome de transfert : Soit P une propriété classique (par exemple une relation ou une formule usuelle) concernant des objets fixées a1, a2, …, an (par exemple des nombres donnés) et des objets variables x1, x2, …, xs (par exemple des nombres variables). Alors si tous les ai sont standards, la propriété est vraie pour toutes les valeurs possibles des xj si et seulement si elle l’est pour toutes les valeurs standards des xj . Axiome de standardisation : Pour tout ensemble standard E et toute propriété P des éléments de E, il existe un ensemble standard F dont les éléments standards sont ceux de E qui vérifient la propriété P. Axiome d’idéalisation : Un ensemble est standard et fini si et seulement si tous ses éléments sont standards.

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On ne saurait, en une page, développer toutes les conséquences. Citons en quelques unes : Par exemple, pour les nombres positifs, avec les notations condensées : ip = infiniment petit, ig = infiniment grand, ap = appréciable, voici quelques règles de calcul : 1 / ig = ip ; ap + ap = ap ; ap + ip = ap ; 1 / ip = ig ; ap + ig = ig ; ip + ip = ip ; ip + ig = ig ; ig + ig = ig ; ap x ap = ap ; ap x ip = ip ; ap x ig = ig ; ip x ip = ip ; ig x ig = ig ; On remarque l’absence de règle concernant ip x ig ce qui est intéressant et correspond bien, ainsi que les autres règles, à l’intuition des ordres de grandeur des physiciens, sans contradiction avec les mathématiques traditionnelles des siècles passés. La propriété « Si ε est infiniment petit et ( ε x n ) infiniment grand, alors c’est que n est infiniment grand » signifie que pour changer d’ordre de grandeur par étapes infiniment petites il faut un nombre d’étapes infiniment grandes. Une conséquence importante apparaît dans l’énoncé du principe de récurrence en ANS : « Si une propriété est vraie pour 0 et si, supposée vraie pour n, elle est démontrée vraie pour n+1, alors cette propriété est vraie pour tous les entiers n appréciables (donc non infinis) ». On remarquera la différence avec l’énoncé usuel qui omet la condition que n ne soit pas infiniment grand. Il n’existe pas de frontière définissable (Figure 5) entre les nombres infiniment petits et les autres, de même qu’il n’en existe pas entre les nombres infiniment grands et les autres et pas non plus entre les appréciables standards et non-standards . On pourrait dire qu’ils ne font pas partie du même monde, les uns appartenant à un monde perceptible (ou, comme il est dit le plus souvent : d’horizon perceptible), les autres à un monde imperceptible (au-delà d’un horizon perceptible), dont la distinction n’est pas bien formalisée dans l’analyse standard. Les relations entre ces deux mondes sont particulièrement intéressantes. Elles ont suscité l’apparition de notions originales et d’un vocabulaire nouveau. Par exemple, on y trouve la notion d’ombre, qui (sommairement) est l’ensemble standard voisin d’un ensemble nonstandard. Mais il faudrait alors entrer dans le détail de la définition du voisinage en ANS. La construction de la théorie comprend l’extension des notions de suite, de convergence, de limite, de fonction, de dérivation, d’intégration, etc. Dans le contexte de l’ANS, pour en arriver au calcul différentiel et intégral et pour réécrire le paragraphe 4 dans sa version non-standard, le chemin serait long, très long. Il n’y a pas assez de place sur la page y compris les marges, écrirait un émule de Fermat dans cette situation !

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Figure 5 : Pour suggérer l’absence de frontière définissable entre i-petit, appréciable et i-grand : une image…

7. TOUT BIEN CONDISÉRÉ … Une querelle des Anciens et des Modernes, de même qu’une querelle des Physiciens et des Mathématiciens, n’existe que dans l’esprit de ceux qui n’ont pas pris la mesure des progrès accomplis dans l’évolution historique de ces questions d’analyse. Depuis des lustres, l’Ingénieur fait de l’ANS comme Monsieur Jourdain faisait de la prose sans le savoir. S’il est parfois (très rarement) confronté à des artéfacts de calcul en ayant outrepassé des règles cachées sans s’en rendre compte, cela ne le gène pas trop. En effet, il dispose d’un garde-fou qui est la vérification redondante, une des clefs de son art. Les approximations et les déviations étant son lot quotidien, que ce soit dans les calculs ou, plus souvent encore, dans les modèles expérimentaux, il est habitué à y faire face et à trouver des approches différentes lorsque l’une d’elle se révèle insatisfaisante. Que son outil mathématique n’ai pas atteint la perfection ne lui apparaît pas rédhibitoire : De même que le commun des mortels est largement armé en connaissant la règle de trois pour les besoins de la vie courante, l’Ingénieur est déjà très bien armé avec les mathématiques des Anciens, même au niveau de celles d’avant Riemann. ( Mais, bien évidemment, il ne dirait pas la même chose si on lui parlait des moyens matériels pour les mettre en œuvre : n’allez pas lui proposer une règle à calcul au lieu de son ordinateur, entre autres ! ).

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L’état d’esprit du Mathématicien est à l’opposé. Il rêve de construire une théorie sans défaut, d’avoir un discours exempt de la plus infime incohérence. A la limite, la vérification d’une démonstration serait superflue si la théorie était parfaite et toutes ses règles systématiquement respectées, dans un développement purement formel. Une seule démonstration suffirait, une fois pour toutes, à établir une preuve. La recherche d’autres démonstrations se justifierait par soucis d’esthétique, par pur plaisir, ou par exercice intellectuel… (Encore que, en général, ce rêve soit une utopie, selon Gödel). Il n’y a aucune antinomie entre les deux attitudes qui ont été évoquées : L’un est bien content que son outil soit perfectionné par l’autre et ce dernier n’est pas mécontent de savoir que son travail abstrait serve concrètement. Pour continuer dans le style précédent (du niveau des images d’Epinal ), disons que le Physicien, qui est souvent aussi mathématicien (avec m au lieu de M, pour ne pas chagriner certains) se retrouve à une position charnière : de plus en plus souvent, il lui arrive d’étudier des phénomènes dont les calculs qui s’en suivent frisent le non-standard. Par exemple, des ordres de grandeur extrêmes se côtoient, des phénomènes stochastiques interviennent, des comportements apparemment simples au niveau macroscopique résultent d’une prodigieuse complexité microscopique, etc. On doit se poser la question de l’enseignement de l’ANS, ou de ses variantes. Et surtout pour qui ? A quel niveau ? Lorsqu’il est proposé « des fondements logiques et didactiques en vue d’un enseignement alternatif de l’Analyse mathématique dans les classes de lycée et au début du premier cycle universitaire » [8], attention aux dérives ! Ce serait aller un peu vite en besogne si l’on pensait déjà à l’ANS. S’il s’agit simplement « d’introduire la notion d’ordre de grandeur concernant les nombres réels » très bien : cela ne peut que favoriser un rapprochement avec la physique, où la notion d’ordre de grandeur est omniprésente, mais peut-être trop souvent de façon quelque peu confuse du point de vue didactique. Sans nul doute, il serait profitable de trouver des formes de présentations concises visant à faire connaître l’existence de la théorie et à faire savoir que des réponses ont été apportées aux questions que certains jeunes esprits logiques se posent et ressentent avec insatisfaction. Sans nul doute, il est profitable que la théorie rigoureuse de l’ANS fasse partie de formations spécifiques d’un niveau supérieur. Entre ces extrêmes, que devrait-on faire ? Ce n’est ni le lieu, ni l’objet, ni à moi-même d’en discuter ici : Ne courrons pas le risque de déplacer le sujet de la soi-disant querelle… La querelle, qui a servi de ressort littéraire à ce papier, ne peut plus être attisée que par ceux qui ignorent l’existence de l’ANS, ou encore par ceux qui jouent aux « Précieuses Ridicules » en étalant leur science et en snobant les Messieurs Jourdain.

J.Jacquelin, « Une querelle des Anciens et des Modernes », 15/09/2005

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REFERENCES : [1]

Hachette Multimédia / Hachette Livre, 2000. Extraits des articles : « Les querelles littéraires », « La querelle des Anciens et des Modernes », « La polémique ».

[2]

Petite encyclopédie des mathématiques, 1ière Edition française, 1980. Publiée originellement sous le titre « Kleine Enzyklopädie der Mathematik », par VEB Bibliographishes Institut, Leipzig, 1975.

[3]

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/BiogIndex.html

[4]

R.Ryan, « L’intégrale de Lebesgue a cent ans », Pour la Science N°283, pp.10-13, 2001.

[5]

Shenitzer, A. and Steprans, J. "The Evolution of Integration.", Amer. Math. Monthly 101, pp.66-72, 1994

[6]

A.Deledicq, « L’analyse non standard, théorie des ordres de grandeur », Tangente, hors série N°13, pp.62-64, 2002.

[7]

A. Deledicq, M.Diener, « Leçon de calcul infinitésimal », ACL Edidions / Armand Colin, Paris, 1989.

[8]

R.Lutz, A.Makhlouf, E.Meyer, « Fondement pour un enseignement en termes d’ordres de grandeur : Les réels dévoilés », publication de l’A.P.M.E.P., N°103, 1996.

[9]

V.Gautheron, E.Isambert, « Lire l’Analyse Non Standard », Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications, Institut Galilée, Université Paris XIII, Villetaneuse.

[10]

F.Diener, G .Reeb, « Analyse Non Standard », Hermann Edit., 1989.

[11]

http//fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard.

De plus, on trouvera de la documentation aisément accessible concernant divers sujets abordés : dérivée, intégrale, mesure, intégrale de Lebesgue, etc., sur le site de Wikipédia (encyclopédie libre et gratuite), http://fr.wikipedia.org/

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