Uebertragungstechnik Akustik Pruefungsvorbereitung

1 Vorbereitung zum Fachgespräch

ÜT-II

© rw start 22.12.91

(Übertragungstechnik II, seinerzeitige Prüfungsvorbereitung zur mündlichen Prüfung im Fach Akustik für das erste Diplom an der FH-Frankfurt bei Prof. Dr. Timme., Anm. der Red.) 1. Einschwingverhalten eines Filters -----------------------------------Def.: Phasenlaufzeit

tp = b/w

wobei

b = Phasendrehung, mit b = 2∙arcsin (w/wg) w = Kreisfreq

┌──────────────────────────────────┐ │ tg = 2 / [ wg ∙ √(1 - w^2/wg^2)] │ └──────────────────────────────────┘ Gruppenlaufzeit tg ist die Zeit die vergeht, bis das Max. der In-Sig's sich am Out zu einem Max formiert. Gruppenlaufzeit

Einschwingzeit

┌────────────────┐ │ tau ≈ 1 / 2∙fg │ └────────────────┘

; valid @ TP-Grundglied.

Die Einschwingzeit tau (Zeitkonstante) eines Fltr ist diejenige Zeit, die vergeht, bis erstmals am Out des Fltr [„]ein halbwegs vernünftiges Signal[“] erscheinen kann. (Fraglich ist allerdings, was das für ein „Signal“ sein soll, Anm. der Red.) Bed.: Damit am out eines Fltrs ein Sig. erscheint müssen - In-Sig's im Durchlaß-Ber. liegen - tau muß abgelaufen sein Verhalten von Filtern mit tau Cases:

δt > tau

δt < tau δt = tau

==> Nachschwingzeit (Fltr) um tau, da da Fltr eingeschwungen ==> Fltr ist außerstande einzuschwingen ==> Fltr schwingt ein, schwingt nach Wellenpaket voller Länge verläßt Filterm allerdings verzögert um δt = tau

Ondulation: Welligkeit im Durchlaßber. Effekt at Abschluß eines TP-Grundgliedes mit dem (Kompromis)-wid. R = 0.8∙Z0, ideal abgeschlossen nur für eta = 0.6. Bei allen anderen Freq.'s des Durchlaß-Ber. dagegen zusätzl. Dämpfg. durch Interferenzen und Reflexionen. Diese sog. Ondulations-Effekte im Durchlaß-Ber. inc'en, je steiler Filter-Flanke ist.

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2. Unschärfe-Rel. der Nachrichtentec. (Anm.: ein bißchen Blödsinn, aber egal) ------------------------------------┌────────────────────────┐ │ delta_t ∙ delta_f ≈ 1 │ delta_t = zeitl. Unschärfe; auch @ Sig‘ls └────────────────────────┘ delta_f = freq. Unschärfe, d. h. Unsicherheitsber. mit der die Messung von f prinzipiel behaftet Anwendung auf BP-Fltr If B als delta_f der durchgelassenen Sig's aufgefasst wird, ist die Einschwingzeit tau als zeitl. Unschärfe delta_t interpret‘bar. Einschwingzeit tau eines BP-Fltr. tau ≈ 1/B ; denn B entspricht delta_f und tau entspricht delta_t Betrachtung der Unschärfe Bsp.: Wellenpacket mit content of 2 overlay'd Wav-packs. 1. Fall

Freq.Unschärfe-Ber.'s sind klar von einander abgegrenzt, Spectren sind unüberlappt.

2. Fall

dec (delta_t) ==> Kästen überlappen sich

Wenn die Unschärfe-Ber.'s sich überlappen (davor noch unkritisch), beginnt grundsätzlich die Trennsecurity zwischen f1 & f2 superdrastisch zu sinken. bsp.: Spectral interference : 2 (sine) tones (f1, f2) die so liegen, daß sie die theor. highest Baudrate = bit/sec coden, und x'mitten, die noch völlig sicher ist. Merke: Sichere Fkt. nur dann, wenn alle beteiligten delta_f (freq.Unschärfe-Ber.'s) vollständig im Ü-Band liegen und sich only partially instead of mutally overlayen, you see. Frage:

Wie sieht das Spect. eines Wav-packets aus ? Betrachten der Prob.'s (AM aus mod (sine-wav, square) for range delta_t)

Unsolved: Spect. of square impuls. Solv.: Fourier-Transform FT liefert Spect. y(w) of bel. Zeitfkt.'en y(t) Def.: ┌───────────────────────────────┐ │ +∞ │ │ ⌠ -jwt │ -jwt │ │ y (t) ∙ e dt │ ; e ist der cmplxe │ ⌡ │ ptr mit len=1, der mit │ -∞ │ w rotiert. └───────────────────────────────┘ (sweeplike Abklappern der y(t) nach Res.-Stellen, you see.) (Im Prinzip führt die FFT eine Korrelation des unbekannten Sig.'s mit einem Satz bekannter Freq.'en durch (ei was de‘ Bauer kennt, ...) Nach Abl. ==> Spectr(square-Impuls) = sinc (x) = sin x /x (... ei geh' doch dursch die Tüä.)

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3. Abtastung

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Ziel: äquidist. Abtastg. , so daß sin-w1∙t durch seine Abtast-val‘s eindeutig beschrieben wird und (ein-)eindeutig aus den val‘s rekonstr.t werden kann. (Ein-eindeutig heißt bidirektional eindeutig, Anm. Der Redaktion.)

Erkenntn.: Es muß eine sog. mindest Abtast-freq. fs (sample-freq.) geben, die sin w1∙t so eindeutig abtastet, daß sie rekonst'bar ist wird – (Oh' Zunder die Wunderkärz.) Sonderfall: wenn fs=2∙f1 dann kann Dauerabtastung in den Nulldurchgangs passieren, aber auch Dauerabtastung der Max. Hypothese:

Solange f2 >2∙f1, scheint Sampling eindeutig zu sein ┌───────────────┐ ==> Abtast-Theo.: │ fs ≥ 2∙f1 │ └───────────────┘ Wenn Abtasttheo. verletzt wird ==> Aliasing, ... damit Rückfaltung

(bei Aliasing kommt die Signalpolizei mit der Rück(en)faltung, Frage was ist eine Handfaltung ? Anwort: Berechnung der Faltung per Hand auf dem Papier. Siehe auch unter 4.) also, Out-freq. < In-freq. Aliasing-Entstehung:

fa = Alias.-freq. fa = fs/2 - (fmax-fs/2) = fs/2 - fmax +fs/s ┌────────────────┐ │ fa = fs - fmax │ └────────────────┘

Aliasing gibt ein sich wiederholendes Spektrum. Ausführl. Erklärung zum Abtasten: Durch Abtasten entsteht Fehler (Aliasing), denn die Freq.'s oberhalb der halben Abtastrate verweigern, sich als Satz diskreter Abtastwerte darstellen zu lassen. Bsp.: 5 kHz-Signal soll abgetastet werden. Wird es mit 10kHz oder schneller (öfter) abgetastet, dann ist die niedrigste Sinusquelle, mit der die Abtastpunkte verbunden werden können, das abgetastete Signal selber (Ei, wer hät's gedacht). Wird jetzt die Abtastrate auf 8 kHz verringert, dann entsteht auf der Verbindung der Abtastpunkte ein anderes Signal, nämlich mit der Differenzfrequenz zwischen Signal- und Abtastfreq. Die zum Abtasten mindestens notwendige Freq. muß nach dem Dogma also beim doppelten Wert der Signalfreq. liegen, was als Abtast-oder Nyquist-Theorem bekannt ist. Rekonst.

0.th order 1.st order 2.nd order

TP mit fg = fs/2 filtert das Fehlersig. und läßt nur noch Originalsig. durch. beständiges Bilden des Mittelwert --> Gerade PAM-Pulse werden mit TP, fg = fs/2

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so geglättet daß sich exact Originalfkt. wider einstellt. ==> Durchdringen der sinc-Fkt.'en. Die Nulldurchgänge aller beteiligten sinc-Fkt.'en müssen so liegen, daß sie die erhaltenswerten Ampl.'s der zentr. Maxima unbeeinflußt lassen, also dort ihre Nulldurchgänge haben müssen. Das ist der Fall wenn fg = fs/2 Aber der jitter (also der Knecht Rupprecht unter den Signalen auch außerhalb Weihnachten), disables Rek. 2.nd order Standard is Rek. 0th. & 2nd order Dirac --> TP --> sinc-Fkt. Spect. der δ-Fkt. ist kontinuierlich f --> ∞ = Zentr. Max. der Sinc-Fkt. weit ausgebreitet, die Nst. liegt im ∞ wenn der duty cycle(Square_wav) so stark dec's (Schrumpfung) ==> δ-Fkt. Die Nst.'en werden dabei auseinander gezogen. Spreading nennt man das (Ei, Frau Holle schüttelt's Leintuch. Und was passiert dabei ? Es gibt Wellen.) Bem.: Betr. der Filterflanke. Je schlapper die Flanke, desto scheller beruhigt sich die Sinc-Fkt. Dirac = sinc, wo alle Nst. bei ∞ liegen.

5 4. Faltung ---------------------------------------Bsp.:

Fkt. x(t) soll gefaltet werden mit y(t) d.h.

z(t) = x(t) * y(t)

┌───────────────────────────────────┐ │ +∞ │ │ ⌠ │ │z(t) = │ x (tau) ∙ y(t-tau) dtau │ │ ⌡ │ │ -∞ │ └───────────────────────────────────┘ Das Integral besagt, daß kurzzeitig eine Hilfszeitachse existiert auf der die zu faltende Fkt. herumgeshiftet wird. Das Autobahnverfahren, und zwar beständig im Interval von -∞ bis +∞. Im Bereich um den Nullpunkt liegt der KollisionsBereich (Da knallt's dann, wenn was da ist). Die Faltung von zwei Rechteck-Impulsen ergibt damit einen Dreieck-Impuls. Der Sonderfall, wenn ich x(t) mit DirakFkt. δ(t) Falte kommt wieder x(t) heraus, da die DirakFkt. δ(t) bekanntlich keine Fläche hat. Dies ist bei der Ermittlg. Der ImpulsResponsFkt. wichtig. Als Autokorrelation wird eine Faltung mit sich selbst bezeichnet. Dies wird bei der Rauschunterdrückung angewandt. Denn das Rauschsig. R(t) mit sich selbst korreliert ergibt Null. R(t) * R(t) = 0 Perfekt funktioniert das Verfahren nur bei weisem Noise (B = ∞). Dabei sind alle Freq.'s gleichstark vertreten und die Phasen sind stat. Verteilt (ist aber auch nur so eine Annahme). Normalerweise liegt aber nur pink noise vor, damit werden mehrere Cycles gebraucht um den Noise zu reducen.

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5. F-Transform & Faltung ---------------------------------------Es war

z(t) = x(t) * y(t)

Nun ist

F { z(t) } = F {

x(t) * y(t) }

So ist auch Z(w) = F { z(t) } = F { das heißt

x(t)

∙

y(t) },

Z(w) = X(w) ∙ Y(w)

Merke: F-fransforme ich ein FaltungsProd. so ermäßige ich dies in eine Mul. der Spectren. (Das ist die oberbrontale reduction der Complexity, no more forbidden-complex computing 'uf de langsamere Maschinsche.) Bsp.: Ich will die Ü-Fkt. eines Filters ermitteln. (Ei, was willste dann?) p(t) P(w)

h(t)=? ┌────────┐ ---->│ Fltr │----> └────────┘

s(t) S(w)

So ist ganz klar Z(w) = X(w) ∙ Y(w) oder auch s(t) = p(t) * h(t) Nur wie bekomme ich h(t) ? Math. könnte man h(t) über den Weg h(t)

F --->

H(w)

F^-1 ------>

h(t)

erhalten.

Experimentel beschieße ich das Filter mit der DirakFkt. δ(t) und erhalte über δ(t) * h(t) = h(t). Also das gesuchte h(t). Allg. kann über die δ-Fkt. die ImpulsResp.Fkt. jedes Filters bestimmt werden.

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6. PAM-Coding analog, discret, but non-quantised 6. PCM-Coding digital, discret and quantised --------------------------------------------(Vorweg, PAM ist wieder jemand anders als Pamela Anderson.) Dabei hat der Quantisierungs-Fehler einen Max.Abstand, der dem halben Abstand zw. den Quantisierungs-, Qu, -Stufen entspricht (½ LSB) Qu-Fehler wird halbiert, also im Pegel um 6 dB herabgesetzt, wenn ich BitAnz. um 1 inc'e. (Halbierung der Spg.= -6dB, Verdopplung der Spg. = +6dB) Die Anz. der Qu-Stufen ist über 2ⁿ verknüpft (binäres System !) ┌──────────────────┐ │ Qu-Stufen = 2ⁿ │ wobei n = der Bitbreite └──────────────────┘ des Systems ist. Nun stellt sich natürlich die Frage nach dem S/N-ratio. Allg. ist das S/N der Quotient aus dem log der beiden Sig.Leistge ┌────────────────────────────────┐ │ S/N = 10 log P_sig / P_noise │ └────────────────────────────────┘

x(t)

ε(t) = Q-Noise ┌─ ε(t) (Felersig.) ┌─────────────┐ ---->│ PCM-Strecke │-----> y(t) = x(t) + ε(t) └─────────────┘

Bsp.: 8-Bit Coding Umax│ = │ε(t)

----> 256 Qu-Steps

½ ∙ 1/256 = 1/512

Umax│ = 128 │test (Vollausteuerung)

Frage: Um wieviel dB liegt Umax│ unter Umax│ ? │ε(t) │test Abzählen ergibt mit 6db/bit 6∙8 = 48 dB Nun ist aber in der Praxis Vollausteuerung unrealistisch, deswegen betrachten wir als TestSignal einen Sinus der 12db unter Vollausteuerung liegt. Damit verschlechtert sich das S/N auf 36dB. So kann als allg. Formel gelten ┌────────────────────────┐ │ S/N = n ∙ 6dB - 12 dB │ wobei n = Bitbreite └────────────────────────┘ Nun gibt es auch ein paar andere Berechnungsverfahren Ausgehend von einer Äquipartition ┌──────────────────────────┐ │ S/N = 10 ∙ log 3/2 ∙ s^2 │ wobei s = Qu-Stufen └──────────────────────────┘ Eine allgemein anerkannte Formel ist auch ┌────────────────────────┐ │ S/N = 10 ∙ (log s/4)^2 │ wobei s = Qu-Stufen └────────────────────────┘

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(Im Fall einer Rückwandlung A/D → D/A muß man anders vorgehen. Das S/N wird meistens noch etwas ungünstiger. Hentschke, Univ. Kassel hat sich in seinem Script Digitaltechnik mit der Problematik beschäftigt. Anm. der Red.) 7. Bandbreitenbedarf einer PCM Übertragung ---------------------------------------Dabei genügt es die Grundwelle des Digi-Sigs. zu übertragen. Mit Hilfe eines Schmitt-Triggers kann das Sig. am Ausgang wieder rekons't werden. Also darauf achten das Grundwelle sauber übertragen wird. ┌────────────────────────────┐ Faustformel │ f_Grundwelle ≥ ½ ∙Baudrate │ └────────────────────────────┘ nach Nyquist ergibt sich mit 20% Sicherheitsabstand die Vorschrift ┌────────────────────────────────┐ │ Baudrate = 1.6...1.8 ∙ f_Gndwav│ └────────────────────────────────┘ Bsp: In 16bit-PCM soll Stero-Ton mit der Bandbreite von 22 kHz übertragen werden . ges.: BandbreitenBedarf ? ==> f_sample = 2 ∙ f_max = 44 kHz n = 16 Bit Baudrate = 44000 ∙ 16 ∙ 2 = 1,408 MBaud/sec ==> f_g = Baudrate / 1.8 = 782.2 kHz dabei ist das S/N = n ∙ 6dB - 12 dB = 84 dB Würde man das ganze mit Trägerfreuquenz, TF, übertragen hätte man einen Bandbreiten bedarf von 44 kHz aber mit einem schlechten S/N.

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8. Weiterentwicklungen von PCM -----------------------------DPCM : Ziel Einsparung von Bit. Hierbei werden anstatt der Abtastwerte die Differenzen zweier aufeinanderfolgenden Abtastwerte codiert. Signal ist stetig, bestimmte Flankensteilheit muß unterschritten bleiben. Dabei wird ein bipolarer Sinus betrachtet der oben & unten anschlägt, bei dem ich die Steigung im Nullpunkt berechne. (Dort am größten) Die Fehlerträchtigkeit des Systemes ist höher, wenn der CodingOutval schon am Anschlag ist, die Differenzen liegen außerhalb des Bitranges und verweigern sind abbilden zu lassen. Dann muß das Sys neu gestartet werden, Start in der Mitte. 1 Bit ist dann erst einsparbar, oberbärmäßig, wenn die Differenzen aufeinanderfolgender Bit bei 8-Bit Coding kleiner als ±64 liegt (8 bit = bit + Sign) DPCM mit Prädiktion (Prof. Timme hat einige Arbeiten zu dem Thema Diplomarbeiten machen lassen. Anm. der Red.) Ausgehend von der Vorgeschichte wird der nächste Abtastwert möglichst genau vorhergesagt. Differenz zwischen vorhergesagtem und tatsächlichem Abtastwert wird übertragen. Beim Empfänger läuft die gleiche Prädiktion ab, so daß sein Vorhersagewert + Prädiktionsfehler den wirklichen Abtastwert ergibt. Delta-Mod. Ist die 1-Bit Version von DPCM Hi und Lo Pulse entsprechend Delta >1 oder Delta <1 Schwierigkeit bei gleich hohen Nadeln. Sender besteht aus Differezierglied + Schmitt-Trigger Empfänger besitzt Integrierglied. ADM Adaptive Delta Mod. Bedeutung der Bit wird variert in Abhänigkeit vom Betrag der Steigung und einer Erhöhung der Abtastfreq. Außerdem ist man davon von frei, auf Qu-Stufen angewiesen zu sein, die eine Potenz von 2 haben. (Allerdings gibt es heute (2009) ganz andere Verfahren. Problematisch ist nur, dass diese teils auf irgendwelchen fraglichen Gehörmodellen basieren. Beispielsweise kann leicht sublime Information, Werbung etc. eingekoppelt werden, die den Hörer subtil manipuliert. Vorstehendes kann eine glatte Verletzung des Urheberrechts darstellen. Bevorzugt sollten Studenten eines Musikinstruments oder ernste Musikhörer immer nur mit Verfahren arbeiten, die transparent sind, also ohne Datenreduktion, Kodierung und Verschlüsselung bei dem Signalanteile verloren gehen oder in unbekannter Weise verändert werden. Anm. d. Red.)