Trasformaciones Lineales

Universidad de Los Andes ´ Algebra Lineal Gu´ıa 4: Transformaciones Lineales* Profesores: Carolina Prado - Carlos Alarc´on Auxiliares: Sebasti´an Reyes - Rodolfo Carvajal 1. Sea la transformaci´on

R

R

T : M2×2 ( ) −→ P3 ( )  a b a b 7 →T − = d − (b − c)x + (b − c)x2 + ax3 c d c d a) Verifique que T es lineal b) Obtenga la base de ker(T ) y de im(T ) c) Determine la inyectividad y epiyectividad de T

R

d ) Obtenga la matriz representante de T c/r a las bases can´onicas de M2×2 ( ) y P3 ( )

2.

R Sea L : R2 −→ R3 una transformaci´on lineal tal que L(3, 5) = (2, −4, 1) y

L(1, 2) = (−5, 3, 4).

a) Calcule la imagen de (10,4). b) Hallar la matriz representante de L c/r a las bases can´onicas de

R2 y R3

3. Sea S el e.v. de todas las sucesiones de n´ umeros reales (sobre los reales). Sean las trasformaciones T1 : S −→ S tal que T1 (x0 , x1 , x2 , . . . ) = (0, x0 , x1 , x2 , . . . ), y T2 : S −→ S tal que T2 (x0 , x1 , x2 , . . . ) = (x1 , x2 , x3 , . . . ) a) Verifique que T1 y T2 son lineales. b) Pruebe que T1 es inyectivo pero no epiyectivo. ¿Se contradice el T.N.I.? c) Pruebe que T2 es epiyectivo pero no inyectivo. ¿Se contradice el T.N.I.? d ) Calcule T1 ◦ T2 y T2 ◦ T1 4. Sea la transformaci´on T : x1  x2   x3 x4 *

R4

−→

R3

   x1 2x − x 1 2   x 2   −    x3 + x1 − 3x4  7 → T   x 3  = x1 + x2 + x3 x4

Recopilaci´ on de problemas: Andr´e de Laire - Rodolfo Carvajal.

1

a) Verifique que T es lineal b) Obtenga la base de ker(T ) y de im(T ) c) Determine la inyectividad y epiyectividad de T

R

R

d ) Calcule la matriz representante de T c/r a las bases β y β 0 de 4 y 3 , respectivamente, dadas por:               1 2 1 1     1 0 −1           0   −1   ,  0  ,  −1  , β 0 =  1  ,  1  ,  −1  β=  ,  0   −3   1   −3       2 0 −1   2 4 2 1

R

5. Sea la funci´on traza tr : M3×3 ( ) →

R (recuerde: tr(A) = Pni=1 Aii).

a) Verifique que tr es lineal. b) Calcule la base de ker(tr) y de im(tr). c) Determine la inyectividad y epiyectividad de tr. 6. Sean β1 = {ex , e−x , xex , xe−x } y β2 = {cosh(x), sinh(x), x cosh(x), x sinh(x)}. Sea D la transformaci´on lineal derivada:

RR

RR

D : F( , ) −→ F( , ) f 7−→ D (f ) = ∂f ∂x

RR

Sea S = hβ1 i s.e.v. de F( , ). a) Determine la matriz representante de D c/r a β1 b) Verifique que S = hβ2 i, y calcule la matriz de pasaje de β2 a β1 . c) Usando lo anterior, encuentre g ∈ S tal que D(g) = 5 cosh(x)+10x sinh(x).

R) enM2×2(R)cuya matriz   represen

7. Sea T la transformaci´on lineal de M2×2 ( 1 0 tante c/r a la base can´onica β = 0 0 es:  2 0  0 1 A=  0 1 0 0

, 0 1 1 0

0 1 0 0 

,

0 0 1 0

,

0 0   0  2

a) Determine la matriz representante c/r a la base         1 0 0 i 0 0 0 0 0 β = , , , 0 0 0 0 −i 0 0 −1 b) Calcule la base de ker(T ) y de im(T ). 2

0 0 0 1

c) Calcule el rango de T . d ) Determine la inyectividad y epiyectividad de T 8. Sean V, W espacios vectoriales sobre raci´on por escalar como:

R. En V × W se define la suma y ponde-

(v, w) + (v 0 , w0 ) = (v + v 0 , w + w0 ), ∀(v, w), (v 0 , w0 ) ∈ V × W λ(v, w) = (λv, λw), ∀(v, w) ∈ V × W, ∀λ ∈

R

(1) (2)

Dada una funci´on f : V −→ W se define su gr´afico por Gf = {(v, w) ∈ V × W | w = f (v)} a) Pruebe que f es lineal si y s´olo si Gf es s.e.v. de V × W b) Suponga que f es lineal. Pruebe que Gf ⊕ ({OV } × W ) = V × W 9. Sean las funciones lineales l, li :

Rn −→ R tales que

n \

ker(li ) ⊆ ker(l)

i=1

Demuestre que existen reales {α1 , . . . , αn } tales que l =

Pn

i=1

αi li

10. Sea U un e.v. de dimensi´on finita y sean T : U −→ U y S : U −→ U transformaciones lineales tales que S ◦ T = T ◦ S y ker(T ) ∩ ker(S) = {0} . a) Demuestre que S(ker(T )) ⊆ ker(T ) y T (ker(S)) ⊆ ker(S) b) Pruebe que la transformaci´on ψ : ker(T ) ⊕ ker(S) −→ ker(T ) ⊕ ker(S) x 7−→ ψ (x) = S(x) + T (x) est´a bien definida y es un isomorfismo.

R R

R R

11. Sea T : P4 ( )( ) −→ P4 ( )( ), definida por P = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 → T (P ) = 2a2 + 6a3 x + 12x24 a) Verifique que T es lineal. b) Dadas las bases 1 1 1 B1 = {1 − x + x2 − x3 + x4 , x − x2 + x3 − x4 , 2 3 4 1 1 1 x2 − x3 + x4 , x3 − x4 x4 } 2 3 2 2 3 4 B2 = {1, x, x , x , x }

(3) (4)

Encuentre la matriz representante de T con respecto a las bases B1 y B2 . Denote por A a la matriz, es decir, A = MB1 B2 (T ). 3

R

c) Sea p ∈ P4 ( ) tal que [p]B1 = (1, 2, 0, −1, 1)T . Encuentre T (p). d ) Encuentre bases de Ker(A), Im(A). e) Encuentre bases de Ker(T ), Im(T ). 12. Considere la aplicaci´on lineal f :

R4 −→ R4 definida por

f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 + x2 + x3 , x1 , x1 , 2x1 ) a) Utilizar una matriz representante de f para determinar n´ ucleo e imagen de f y decidir si f es sobreyectiva o biyectiva.

13.

b) Obtener una expresi´on para f n (composici´on de f , n veces).       x1 5 3 2 0 1 x 2   a) Sea A = 1 −1 1 1 , b =  1 , x =  x 3  8 8 2 −2 0 x4 i. Encuentre todas las soluciones de Ax = b. ii. D´e bases para Ker(A), Im(A) y sus respectivas dimensiones.         0 1 1   1 b) Sea S el subespacio vectorial de 3 generado por  1  ,  1  ,  2  ,  0  .   1   1  2 0 3 1 Considere L : 3 −→ 3 lineal tal que Ker(L) = S y L  0  =  1 . 2 1     x x 3 3    y Dado ∈ un vector cualquiera de , encontrar L y  y la z z matriz representante de L con respecto a la base can´onica.

R

R

R

R

R

4