Torre

INTRODUCCIÓN En todos los casos que involucran a la transferencia de masa, necesariamente debe transferirse también calor. Cuando se transfiere un componente de una fase gaseosa a una solución en fase líquida, se desprende el calor latente asociado con la condensación. Cuando se transfiere un componente de una solución en un disolvente a otra solución en otro, como en la extracción líquido-líquido, se desprende la diferencia entre los calores de disolución del soluto en los dos disolventes. Se presentan efectos caloríficos similares en destilación, adsorción, lixiviación, secado, entre otros. En cada caso la temperatura interfacial se ajustara por sí misma, de manera que a estado estable, la velocidad de transferencia de calor establecerá un equilibrio con la velocidad equivalente de transferencia de calor asociada con la transferencia de masa.

Entre las operaciones en donde tanto la transferencia de calor como la de masa afectan a la velocidad, la humidificación y deshumidificación son las más simples y también las que tienen una aplicación más directa de la teoría. Aquí, participan solo dos componentes y dos fases. La fase líquida, que con mucha frecuencia es el agua, es un solo componente, y la fase gaseosa consiste en un gas incondensable, por lo general aire, en donde está presente algo de vapor de la fase líquida.

En este caso, existe una mayor intimidad de contacto directo entre las dos fases, generalmente, esto permite lograr coeficientes de transferencia de calor mayores que en equipos tubulares usuales, como los intercambiadores de calor.

Posiblemente la aplicación más notable de un aparato que opera con contacto directo entre un gas y un líquido, es la torre de enfriamiento. Usualmente es una estructura parecida a un cajón de madera que tiene estructura interna del mismo material. Las torres de enfriamiento se emplean para poner en contacto agua caliente que proviene de los sistemas de enfriamiento de procesos con aire para el propósito de enfriar el agua y poder usarla de nuevo en el proceso. La función de su relleno interior es aumentar la superficie de contacto entre el agua y el aire. Una torre de enfriamiento reduce ordinariamente los requerimientos de enfriamiento de agua por cerca de 98%, aun cuando hay alguna contaminación natural causada por la saturación del aire con el vapor de agua.

Posteriormente se hablara mas sobre las torres de enfriamiento, además se presentan conceptos importantes y relacionados con las operaciones de humidificación.

ÍNDICE 1

Página

2

INTRODUCCIÓN

i

INDICE

ii

HUMIDIFICADORES 1

Clasificación de torres de enfriamiento 1

Partes internas de las torres de enfriamiento y función del empaque 3

Condiciones de proceso para las torres de enfriamiento

3

DEFINICIONES RELACIONADAS 4

Humedad molar o saturación molar 4

Humedad absoluta o saturación absoluta 4

Humedad relativa o saturación relativa

3

HUMIDIFICADORES El uso más extenso, de la transferencia de calor difusional, se encuentra en la torre de enfriamiento, cámara de rocío de aire acondicionado, secadores de rocío, torre de rocío y aereador de fuente. Las torres de enfriamiento se utilizan con mayor frecuencia, en especial para grandes cargas de enfriamiento. Por lo general estas torres se construyen de madera con cubiertas múltiples de tablillas. También se han llegado a utilizar materiales tales como el aluminio, acero, ladrillo, concreto y tablero de asbesto. Para evitar la corrosión se utilizan materiales de construcción inertes tales como pino, acero inoxidable y porcelana. Clasificación de torres de enfriamiento Las torres de enfriamiento se clasifican de acuerdo con los medios por los que se suministra el aire. Todas emplean hileras horizontales de empaque para suministrar gran superficie de contacto entre al aire y el agua. •

Tiro inducido: El aire se succiona a través de la torre mediante un abanico situado en la parte superior de la torre.

•

Tiro forzado: El aire se fuerza por un abanico en el fondo de la torre y se descarga por la parte superior.

Torres de tiro mecánico

4

•

Atmosféricas: Aprovecha las corrientes atmosféricas de aire, este penetra a través de rompevientos en una sola dirección, cambiando con las estaciones del año y las condiciones atmosféricas.

•

Tiro natural: Operan de la misma manera que una chimenea de un horno. La diferencia entre la densidad del aire en la torre y en el exterior originan un flujo natural de aire frío en la parte inferior y una expulsión del aire caliente menos denso en la parte superior.

Torres de circulación natural

En el tipo de tiro forzado el aire entra a través de una abertura circular mediante un abanico, y debido a esto se debe suministrar una altura de torre y su volumen correspondiente de relativa inefectividad, que se usa como entrada de aire. En las torres de tiro inducido, el aire puede entrara a lo largo de una o más paredes de la torre y, como resultado, la altura requerida de la torre para entrada del aire es muy pequeña. En la torre atmosférica, las corrientes penetran a todo el ancho de la torre, las torres se hacen muy angostas en comparación con otros tipos, y deben ser muy largas para una capacidad igual. Las torres de tiro natural deben ser altas para promover el efecto de las densidades, deben tener una sección transversal grande debido a la baja velocidad con que el aire circula comparada con las torres de tiro mecánico.

5

Partes internas de las torres de enfriamiento y función del empaque Si el agua pasa a través de una boquilla capaz de producir pequeñas gotas, se dispondrá de una gran superficie para el contacto de agua-aire. Puesto que la interfase agua-aire es también la superficie de transferencia de calor, el uso de la boquilla permite alcanzar buenos niveles de eficiencia por pie cúbico de aparato de contacto. La función del empaque es aumentar la superficie disponible en la torre ya sea distribuyendo el líquido sobre una gran superficie o retardando la caída de las gotas a través del aparato. En la torre de enfriamiento, debido a los requerimientos de grandes volúmenes de aire y pequeñas caídas de presión permitidas, es costumbre usar largueros de madera de sección rectangular o triangular, que dejan la torre sustancialmente sin obstruir. El 6

empaque, es casi exclusivamente fabricado en cualquiera de las dos formas y su propósito es interrumpir el descenso del líquido.

Condiciones de proceso para las torres de enfriamiento Desde el punto de vista de corrosión de tubos, 120ºF es la máxima temperatura a la que el agua de enfriamiento emerge ordinariamente. Cuando la temperatura del agua está sobre 120ºF se puede utilizar un enfriador atmosférico que prevenga el contacto directo entre el agua caliente y el aire. La temperatura mínima a la que el agua puede enfriarse en una torre de enfriamiento corresponde a la temperatura de bulbo húmedo del aire. La diferencia entre la temperatura de agua a la salida de la torre y la temperatura de bulbo húmedo se llama aproximación. Una de las características objetables en las torres de enfriamiento se conoce como fogging, o producción de niebla, lo cual se da cuando el aire caliente saturado a la salida de la torre se descarga en la atmosfera fría y ocurre condensación.

DEFINICIONES RELACIONADAS Normalmente al hablar de humidificación se hace referencia al estudio de mezclas de aire y vapor de agua, sin embargo las siguientes consideraciones se harán para cualquier tipo de mezclas constituidas por un gas y un vapor. Suponiendo que el comportamiento de la mezcla cumple con las leyes de los gases ideales, la presión ejercida por la mezcla será igual a la suma de la presión parcial del gas y la del vapor,

P = pv + p g

(1

En estas condiciones la fracción molar del vapor es 7

y=

nv p = v ng P

(2

La fracción molar es igual a la composición en volumen. Para expresar la concentración del vapor en el gas se emplean diversos términos que se definen enseguida. Humedad molar o saturación molar. Es la relación entre los números de moles de vapor de y de gas contenidos en una masa gaseosa.

Ym =

nv p pv = v = ng p g P − pv

(3

Humedad absoluta o saturación absoluta. Es la relación entre el peso de vapor y el peso de gas contenido en una masa gaseosa.

Y=

pv Mv Mv Ym = * Mg Mg P − p v

(4

Siendo Mv y Mg las masas moleculares del vapor y del gas. Para el caso del sistema aire-agua, Mv es 18 y Mg es 29. Humedad relativa o saturación relativa. Es el cociente entre la presión parcial del vapor y la tensión de vapor a la misma temperatura.

=

pv pv

*

(5

Humedad porcentual o saturación porcentual. Es la relación entre la humedad existente en la masa gaseosa y la que existiría si estuviera saturada. * pv  P − pv  Y   p = * = *  Y p v  P − p v 

(6

Punto de rocío. Es la temperatura que alcanza la masa de gas húmedo en la saturación por enfriamiento a presión constante. Una vez alcanzada esta temperatura, si se continúa enfriando la mezcla se irá condensando el vapor, persistiendo las condiciones de saturación. Volumen especifico del gas húmedo. Es el volumen ocupado por la mezcla que contiene 1 Kg de gas, y viene dado por:

 1 Y  RT  V =  +  Mg Mv  P

(7

Para la mezcla aire-vapor de agua, tomando P en atmosferas y T en ºK, el volumen especifico, en m3/Kg de aire seco, viene dado por 8

 1 Y  0.082T V = +   29 18  P

(8

Calor específico del gas húmedo. Es el calor que hay que suministrar a 1 Kg de gas y al vapor que contiene para elevar 1ºC su temperatura, manteniendo constante la presión:

c h = Cp g + Cp v Y

(9

Para el caso de aire-vapor de agua:

c h = 0.24 + 0.46Y ⇒

BTU lb º F (10, (11

c h = 6.95 + 8.10Y ⇒

BTU lbmol º F

Entalpía especifica. Es la suma de calor sensible de 1 Kg de gas, y el calor latente de vaporización del vapor que contiene a la misma temperatura a la que se refieren las entalpías.

H = Cg ( T − To ) + Y [ Cv ( T − To ) + λo]

(12, (13

H = c h ( T − To ) + Yλo

Para el caso de la mezcla aire-vapor de agua, la entalpía específica se calcula de la siguiente forma:

H = 6.95( T − To ) + Y [8.10( T − To ) + 19350] ⇒

BTU lbmol

(14

Temperatura húmeda o temperatura de bulbo húmedo. Es la temperatura límite de enfriamiento alcanzada por una pequeña masa de líquido en contacto con una masa mucho mayor de gas húmedo. La determinación de esta temperatura se efectúa pasando con rapidez el gas por un termómetro cuyo bulbo se mantiene húmedo con el líquido que forma el vapor en la corriente gaseosa. Por lo general el bulbo del termómetro se envuelve en una mecha saturada. Durante este proceso si el gas no está saturado, se evapora algo de líquido de la mecha saturada hacia la corriente gaseosa en movimiento, llevándose el calor latente asociado. La eliminación de calor latente da lugar a una disminución en la temperatura del bulbo del termómetro y la mecha, produciéndose una transferencia de calor sensible hacia la superficie de la mecha por convección desde la corriente gaseosa y por radiación desde los alrededores. La temperatura de bulbo húmedo es la que se obtiene a estado estable con un termómetro expuesto a un gas que se mueve con rapidez. Puede determinarse con alguna de las siguientes relaciones: 9

*

p w − pv =

hc ( t − tw) k G Mvλw (15, (16

Yw − Y =

kc / ky ( t − tw) λw

Donde: pw* = tensión de vapor del liquido a la temperatura húmeda pv = presión parcial del vapor en el gas hc = coeficiente de convección líquido-gas kG = coeficiente de transporte de materia, tomando como potencial de difusión la presión de vapor ky = coeficiente de transporte de materia, tomando como potencial de difusión la saturación absoluta Mv = masa molecular del vapor λW = calor latente de vaporización del liquido a la temperatura húmeda t = temperatura de la masa gaseosa tw = temperatura húmeda Yw= humedad absoluta de saturación a la temperatura húmeda Y = humedad absoluta de la masa gaseosa Temperatura de saturación adiabática. Es la temperatura alcanzada por una masa de gas cuando se pone en contacto con un líquido en condiciones adiabáticas. En la siguiente figura se nuestra un proceso general de humidificación. Los subíndices 1 y 2 se refieren al fondo y al domo de la columna, respectivamente; los subíndices L y V se refieren a la fase liquida y vapor y son las velocidades molales de flujo de líquido y vapor; V’ es la velocidad de flujo molal del gas incondensable, lbmol/h.

Un balance de materiales en la torre da lo siguiente:

( L2 − L1 ) = V ' ( Y2 − Y1 ) Y un balance de entalpía:

q + L2 H L 2 − L1 H L1 = V ' ( H V 2 − H V 1 )

(17

(18

Primero, se considera un proceso adiabático q = 0, segundo, se recircula la corriente líquida, por lo que a estado estable TL1 = TL2. A medida que el proceso continua, la temperatura del liquido será constante y no será posible llevar a la torre calor sensible neto o extraerlo del liquido. El único efecto que pasara a través de la torre en la 10

corriente líquida es que una parte de esta se vaporizara hacia la corriente gaseosa. Bajo estas condiciones se tiene la siguiente ecuación:

H L ( L2 − L1 ) = V ' ( H V 2 − H V 1 )

(19

Combinando las ecuaciones 18 y 20 se obtiene

H L ( Y2 − Y1 ) = H V 2 − H V 1

(20

Enseguida se expresan las entalpias en términos de calores molales latente y húmedo:

c L ( TL 2 − To )( Y2 − Y1 ) = [ c h 2 ( TV 2 − To ) + λoY2 ] − [ c h1 ( Tv1 − To ) + λoY1 ]

(21

La torre debe ser suficientemente alta para que las fases liquida y gaseosa estará saturada y TL2 = TL1 = TV2 = T2. Por lo tanto la temperatura del domo de la torre (T2) será la temperatura de saturación adiabática, y Y2 será la humedad molal del gas saturado a T2. La temperatura de la fase gaseosa en el fondo de la torre (TV1) puede designarse como T1. Aplicando esto a la ecuación anterior:

c L ( T 2 − To )( Y 2 − Y 1 ) = [ c h 2 ( T 2 − To ) + λoY 2 ] − [ c h1 ( T 1 − To ) + λoY 1 ] Considerando:

c h 2 = c h1 − Y1c a + Y2 c a

(22 (23

c L ( T2 − To )( Y2 − Y1 ) = [ c h1 ( T2 − To ) − Y1c a ( T2 − To ) + Y2 c a ( T2 − To ) + λ oY2 ] − [ c h1 ( T1 − To ) + λ oY1 ] (24 Reordenando y agrupando términos se tiene:

c h1 ( T2 − T1 ) = ( Y2 − Y1 ) [ c L ( T2 − To ) − λo − c a ( T2 − o ) ]

(25

Los términos que se encuentran entre paréntesis rectangulares son iguales a –λ 2, por lo tanto se obtiene:

c h1 ( T2 − T1 ) = λ 2 ( Y1 − Y2 )

(26

Como en este desarrollo T2 y Y2 fueron las condiciones a la temperatura de saturación adiabática la ecuación anterior se puede expresar:

c h1 ( Tsa − T1 ) = λ sa ( Y1 − Ysa )

(26a

La ecuación anterior expresa la relación entre la temperatura y humedad de un gas a cualquier condición de entrada y las condiciones correspondientes para el mismo gas a su temperatura de saturación adiabática. Relación de Lewis. W. K. Lewis fue el primero que determino de manera empírica la identidad entre hc/kY y ch y, en consecuencia, se conoce como relación de Lewis. Para el transporte de calor y masa que se presenta entre la interfase y un punto dentro del cuerpo global de una corriente gaseosa con flujo turbulento, se tiene la siguiente ecuación para la transferencia de calor 11

− 4(α + E q ) q = − hc ∆T = ρc p ∆T A γ q LD

(27

Para la transferencia de masa, se expresa como:

− 4( D + E N ) − 4( D + E N ) ∆p a Na = k g ∆p = ∆c a = A γ N LD γ N LD RT

(28

Se puede dividir la ecuación 27 entre la 28, para obtener, después de simplificar, el valor de la relación de coeficientes de transferencia.

(α + E q ) γ N hc = ρc p RT k g ( D + EN ) γ q

(29

Para el transporte por completo turbulento α y D son insignificantes en comparación con Ēq o ĒN, por lo tanto:

Eq γ N hc = ρc p RT k g EN γ q

(30

Los términos δq y δN representan la relación de la diferencia de propiedad transferida, entre la interfase y el fluido global y la diferencia de esta propiedad entre la interfase y el valor máximo del fluido. Por consiguiente sus valores suelen ser un poco menores que 1.0 y δq ≈ δN. De lo que resulta

Eq hc = cp kg P EN

(31

Para que se cumpla la relación de Lewis Ēq debe ser igual a ĒN. Esto requiere que los números de Prandtl y Schmidt sean iguales. También a baja concentración kgP ≈ kgpbm = ky. De donde resulta

hc h = cp ≈ c kg P kY

(31a

Diagrama psicrométrico. Es una representación grafica de las ecuaciones analíticas indicadas anteriormente. Enseguida se muestra un diagrama psicrométrico el cual nos permitirá explicar las ecuaciones anteriores. Este diagrama es para las mezclas de aire y vapor de agua a una atmosfera de presión.

12

Se representa la humedad absoluta en las ordenadas y la temperatura en las abscisas. Esta limitado por la curva de humedad relativa del 100% o curva de saturación, la cual da la humedad del aire saturado en función de su temperatura. Las demás curvas representan diferentes humedades relativas. Las líneas inclinadas de pendiente negativa corresponden a las isolíneas de temperatura de saturación adiabática, que coinciden con la temperatura de bulbo húmedo para el caso de aire-vapor de agua. Este diagrama cuenta con curvas para determinar el calor específico, el calor latente de vaporización y los volúmenes específicos del aire seco y del aire saturado. Para fijar un punto en este diagrama se deben conocer dos de las siguientes variables: t, tr, tw, Y, ℓ. Una vez fijado el punto, el cual se representa como A, la ordenada a este punto es la humedad absoluta Y, su abscisa es la temperatura del aire t; la abscisa del punto que, sobre la curva de saturación, tiene la misma ordenada Y es la temperatura de rocío tr; la abscisa del punto de intersección de la línea inclinada que pasa por A con la curva de saturación es la temperatura de saturación adiabática o temperatura húmeda. Prolongando la vertical que pasa por A hasta la curva de saturación, la ordenada del punto de intersección es la humedad de saturación del aire a la temperatura t; la humedad relativa del punto A se lee directamente en isolíneas.

13

14

15

CALCULOS PARA OPERACIONES DE HUMIDIFICACIÓN

L2 = velocidad de flujo del liquido que entra a la columna por el domo, lb mol/h o mol/s. V1= velocidad de flujo de la fase gaseosa que entra a la columna, lb mol/h o mol/s. V’ = velocidad de flujo del ga2s “seco”, lb mol/h o mol/s. Y2 = relación molar de soluto a gas disolvente, en el domo de la columna. HV1 = entalpia de la fase gaseosa que entra a la columna, BTU/lb mol de gas “seco” o J/mol. HL2 = entalpia de la fase líquida que entra al domo de la columna BTU/lb mol de líquido o J/mol. q = calor transferido a la columna desde los alrededores, BTU/h o J/s. TL, TV = temperatura de las fases líquida y gaseosa respectivamente. dz = altura diferencial del empaque de la columna, ft o m. A = superficie interfacial, ft2 o m2. a = área de la interfase, ft2/ft3 de volumen de columna. S = sección transversal de la torre, ft2 o m2. El balance total de materia para una torre de sección transversal constante es el siguiente: L1 − L2 = V1 − V2 (32 Para el componente condensable:

V ' ( Y2 − Y1 ) = L2 − L1

(33

L2 H L 2 + V ' H V 1 + q = L1 H L1 + V ' H V 2

(34

El balance de materia resulta:

16

En la mayoría de los casos la torre opera en forma casi adiabática q = 0. La aproximación a la operación adiabática será mayor a medida que el diámetro de la columna sea más grande. El balance para el componente condensable resulta

V ' dY = dL

(35

El balance de entalpia correspondiente es

V ' dH v = d ( LH L )

(36

Si la velocidad de transferencia de soluto entre las fases es baja en comparación con la corriente total de flujo, se puede usar un valor promedio de L y es posible expresar el cambio de entalpia en la fase líquida como si resultara solamente del cambio de temperatura a calor específico constante. Por tanto,

d ( LH L ) = L prom c L dTL L prom =

(37

L1 + L2 2

Para el cambio de entalpia de la fase gaseosa, la expresión en términos de temperatura es rigurosa cuando ch es constante.

V ' dH v = V ' d [ c h ( Tv − To ) + Yλo] = V ' c h dTv + V ' λodY

(38

Para la transferencia de calor de la fase liquida

L prom S

c L dTL = hL a( TL − Ti ) dz

(39

Donde Ti = temperatura interfacial, ºF

Para la transferencia de calor sensible de la fase gaseosa, V' c h dTv = hc a ( Ti − Tv ) dz S

(40

y para la transferencia de calor latente de la fase gaseosa, V' λodY = λok Y a( Y1 − Y ) dz S

(41

Donde Y1 = relación molar de la fase gaseosa de soluto a disolvente en la interfase.

Ecuaciones de diseño 17

Las siguientes ecuaciones relacionan los cambios de temperatura y humedad molal de la fase gaseosa, con las velocidades de transferencia de masa hacia o desde la fase gaseosa. Entonces combinando las ecuaciones 38, 40 y 41,

V' dH v = hc a( T1 − TV ) dz + λok Y a ( Yi − Y ) dz S

(42

para la fase gaseosa. Separando kYa del lado derecho de la ecuación y designando como r a hc/kYch, la relación psicrométrica, se obtiene

V' dH v = k Y a[ ( c h rTi + λoYi ) − ( c h rTV + λoY ) ] dz S

(43

Al introducir r en esta ecuación en lugar de hca/kYach, la suposición que se hace es que a, el área por unidad de volumen de torre, es la misma para la transferencia de masa. Esto solo será cierto a velocidades de liquido elevadas, de manera que el empaque de la torre se moje por completo. Si r es igual a 1, como en el caso del sistema aire-agua en condiciones normales, los términos entre paréntesis de la ecuación anterior son las entalpias definidas en la ecuación 12.

V' dH V = k Y a( H i − H V ) dz S

(44

O

∫

HV 2

HV 1

z V ' dH V = ∫ dz = z 0 Sk Y a( H i − H V )

(45

La ecuación obtenida anteriormente es la ecuación de diseño. Por lo general, la integración indicada en la ecuación 51 se lleva a cabo usando valores promedio de V’ y kYa para la altura de la columna. Esto introduce un pequeño error debido a la baja concentración del vapor de agua en la corriente gaseosa. Después de esto, es necesario conocer la relación entre la entalpia de la fase gaseosa global y de la interfase gas-liquido. Esta relación puede obtenerse considerando el proceso de transferencia en el lado líquido de la interfase. Combinando el balance de entalpia con la velocidad de transferencia del líquido se obtiene

V' dH V = hL a( TL − Ti ) dz S

(46

y combinando esta ecuación con la 44,

−

hL a H V − H i = kY a TL − Ti

(47

La ecuación anterior se puede aplicar a cualquier punto en el equipo de contacto aire-agua. A partir de esta es posible determinar la entalpia y la temperatura del líquido, la entalpia del gas y la relación del coeficiente de transferencia de calor de la fase liquida al coeficiente de transferencia de masa de la fase gaseosa. 18

Se pueden obtener las condiciones de la interfase mediante la ecuación anterior, usando un método gráfico. Se traza una grafica con coordenadas de temperatura de la fase liquida contra la entalpia de la fase gaseosa. En ella se pueden graficar los valores de la curva de las interfases Hi y Ti,. En la misma grafica se puede trazar una línea de operación de HV contra TL, combinando las ecuaciones 36 y 37 e integrando. Por tanto,

∫

HV 2

HV 1

Integrando

V ' dH V = ∫

TL 2

TL 1

L prom c L dTL

V ' ( H V 2 − H V 1 ) = L prom c L ( TL 2 − TL1 )

(48 (49

Reordenando

H V 2 − H V 1 L prom c L = TL 2 − TL1 V'

(50

Esta ecuación da la misma pendiente de la línea de operación HV contra TL que LpromcL/V’. La siguiente figura muestra uno de estos diagramas para una operación de humidificación.

La línea ABC es la línea de operación que contiene todos los valores de H V correspondientes a la temperatura del líquido, a través de la columna. También se puede obtener esta línea conociendo las dos condiciones extremas (TL1, HV1) y (TL2, HV2), o a partir de cualquiera de estos dos puntos y la pendiente (LpromcL/V’). Una línea de unión que empieza en el punto B y tiene una pendiente igual a –hLa/kYa interceptara la curva de equilibrio en las condiciones interfaciales correspondientes en el punto B. El punto 1 representa las condiciones en la interfase. Con esta grafica se puede integrar la ecuación 45. Coeficientes totales Si la resistencia de la fase liquida a la transferencia de calor es muy pequeña en comparación con la resistencia de la fase gaseosa a la transferencia de masa, la 19

temperatura real de la interfase se acercara a la temperatura global del líquido. La pendiente -hLa/kYa tiende a -∞ y el punto I de la figura anterior se aproxima al equivalente del equilibrio de B ubicado en el punto D. •

Número de unidades de difusión

nd = ∫

c L dT V = kY a ( H i − HV ) Lav

(51

donde: V = SZ Lav = Lprom •

Número de unidades de transferencia

nt = ∫

dH V = kY a ( H i − HV ) V'

(52

Determinación de la temperatura global de la fase gaseosa Para determinar la grafica de la fase gaseosa, Mickley desarrollo un método grafico. Dividiendo la ecuación 40 entre la 44 se obtiene,

V ' c h dTV h a ( T − Tv ) dz = c i V ' dH V k Y a( H i − H V ) dz

(53

Por la relación de Lewis hca/kYach = 1, y en consecuencia

dTV T − TV ∆TV = i ≈ dH V H i − H V ∆H V

(54

Si se conocen las condiciones de la fase gaseosa en cada extremo de la columna, es posible usar un método de etapas para trazar la curva de las condiciones de la fase gaseosa a través de la torre. El procedimiento se muestra en la siguiente figura

20

1. De la ecuación 47 obtener el punto D. Trazar DF. Si las condiciones en la interfase son constantes, FGD representará la trayectoria de las condiciones de la fase gaseosa, como se indica en la ecuación 54. Esto basta para una distancia FG arbitrariamente corta. 2. Las condiciones de la línea de operación correspondientes a Gestarán en H. Por consiguiente TH será la temperatura del líquido en el punto de la columna donde TG es la temperatura de la fase gaseosa. Mediante la ecuación 47 determina I a partir de H. Trazar la línea IG y suponga arbitrariamente que está es la curva de la condición gaseosa al punto J3. Repita. La construcción determina los puntos en orden alfabético. Los puntosC, H, K, N, Q, T y A quedan en la línea de operación, mientras que los puntos F, G, J, M, P, S, V y Z son los puntos de la curva de condición de la fase gaseosa. El punto Z concluye la curva de condición de la fase gaseosa en la entalpia del gas de salida. A medida que se acortan los segmentos FG, GJ, JM, etc, se acerca a las condiciones verdaderas por lo que se puede disminuir el error. Determinación de coeficientes en equipos de operación La construcción paso a paso de Mickley puede proceder en sentido inverso para determinar las constantes de velocidad (kYa, hca, y hLa) a partir de un solo conjunto de datos de prueba. Con las temperaturas globales de entrada y salida de las fases liquida y gaseosa y de las humedades de la fase gaseosa, quedan fijos los puntos extremos de la línea de operación y la condición de la fase gaseosa. La curva de la condición de la fase gaseosa puede obtenerse suponiendo un valor de –hLa/kYa, generalmente se propone un valor de ∞, y graficando la curva paso a paso. Si esta curva no cumple con la condición final 21

experimental, debe escogerse un nuevo valor para –h La/kYa. Una vez que se encuentra un valor adecuado, se lee (Hi – HV) de la construcción y se resuelve en forma directa la ecuación de diseño en la forma integrada

∫H

dH V Sk az = Y V' i − HV

(54

para dar kYa. Entonces este valor da el valor de hLa. Por último es posible utilizar la relación de Lewis para obtener hca.

PRACTICAS El laboratorio J de ingeniería química cuenta con una torre de enfriamiento que se ilustra acontinuación:

Se realizaron diferentes corridas variando la temperatura del agua, además se realizaron en diferentes días lo que provoca que las temperaturas del aire también varíen. El propósito de estas prácticas es determinar los coeficientes (k Ya, hca, y hLa) de este equipo. A continuación se presentan los datos, cálculos, y resultados de una corrida de manera detallada, lo cual permitirá observar la aplicación de las ecuaciones que se describieron anteriormente. Se debe tomar los siguientes datos: -

Altura del empaque: 1.58m = 5.184ft

-

Área transversal: 0.45 * 0.44 = 0.198m2

22

TV1 = 14.3ºC = 57.74ºF

TL2 = 35.6ºC = 96.08ºF

Tw = 12ºC = 53.6ºF

TL1 = 28ºC = 82.4ºF

V2 = 52.75m/min

L = 5.845L / 30s

TV2 = 19.5ºC = 67.1ºF

Presión ejercida por el agua a 53.6ºF

0.20333 psia

1atm 760mmHg = 10.5123mmHg 14.7 psia 1atm

Humedad del aire

 18  10.5123  Y1 =    = 0.01177  29  565 − 10.5123 

23

Volumen especifico del aire

m3  1 0.01177  0.082( 285.15) Vh =  + = 1.1052  18  0.7434 kgaire sec o  29

De la ecuación de continuidad

υ1 ρ 1 S1 = υ 2 ρ 2 S 2

ρ1 = ρ2 = densidad del aire ν2 = 52.75m/min

S2 =

πφ 2 π ( 0.56 ) 2 = = 0.2463m 2 4 4

S1 = 0.198m2

Área de la tina

área transversal del empaque

Por lo tanto la velocidad del aire en el empaque es:

υ2 =

υ1 S1 52.75m 0.2463m 2 m = = 65.6178 2 S2 min 0.198m min

Flujo del aire seco

V '=

65.6178m 1kga.s. 60 min 2.205lb 1lbmol lbmol 0.198m 2 = 53.630 3 min 1h 1kg 29lb h 1.1052m

Flujo de agua

L=

5.845 L 3600 s 62.3lb 1 ft 3 1lbmol lbmol = 85.7212 3 30 s 1h h ft 28.32 L 18lb

Entalpía a 53.6ºF

H V 1 = 6.95( 53.6 − 32 ) + 0.01177[8.1( 53.6 − 32 ) + 19350] = 379.9288

BTU lbmola.s.

Entalpia del aire de salida

H V 2 − H V 1 L prom c L = TL 2 − TL1 V' 85.7212 *18 H V 2 − 379.9288 = 53.63 96.08 − 82.4 H V 2 = 773.5143

BTU lbmola.s. 24

Se considera −

hL a =∞ kY a

Obteniendo los extremos de la línea de operación, esta se grafica y se leen las diferentes H V y Hi para diferentes temperaturas y se procede a realizar las integrales de las ecuaciones 51 y 52, esto se lleva a cabo por diferencias finitas. TL

Hi

Hv

Hi - Hv

(Hi – Hv)pm

∆H V ( H i − H V ) pm

c L ∆T ( H i − H V ) pm

82.4 85 90 95 96.08

1125 1216.806 1409.090 1618.644 1647.796

379.928 452.100 600 741.176 773.513

745.07 764.71 809.09 877.47 874.28

754.89 786.9 843.28 875.87

0.09561 0.18795 0.16741 0.03692 nt=∑=0.48789

0.062 0.11437 0.10673 0.02219 nd=∑=0.30529

Utilizando las ecuaciones 51 y 52 se obtiene kYa

V V' V' 53.63lbmol 1 1 lbmol k Y a = nt = 0.48789 = 2.3679 2 SZ h 5.184 ft 2.1315 ft hft 3 k aV nd = Y Lav nt = k Y a

kY a =

n d Lav 85.7212lbmol 1 1 lbmol = 0.30529 = 2.3684 2 SZ h 5.184 ft 2.1315 ft hft 3

De la grafica TV2 = 70.22ºF Se obtiene la presión ejercida a esta temperatura para calcular Y2

0.365727 psia

1atm 760mmHg = 18.9083mmHg 14.7 psia 1atm

 18  18.9083  Y2 =    = 0.02150  29  565 − 18.9083  Teniendo las humedades Y1 y Y2 se calcula el calor húmedo para cada una

c h1 = 6.95 + 8.1 * 0.0117 = 7.045337

c h 2 = 6.95 + 8.1 * 0.02150 = 7.12415 25

Para utilizar la relación de Lewis, se obtiene la media logarítmica para el calor húmedo,

∆c h 7.12415 − 7.045337 = = 7.08467 c h 2  ln 7.12415  ln  7.045337  c h1 

(

)

De la relación de Lewis se obtiene hc

hc = (c h ) p * k Y a hc = 7.08467 * 2.36 hc =16.7198

BTU hft 3 º F

La grafica que se realizo se presenta enseguida, en esta se hizo la línea de operación, se leyeron las diferentes entalpias, y se utilizo el método de Mickley para obtener TV2.

26

Se realizaron 5 corridas mas, las cuales se realizaron de la misma manera antes descrita, considerar algunos detalles en las operaciones. A continuación se presenta una tabla que resume los cálculos hechos y presenta los resultados obtenidos. 1 corrida

2 corrida

3 corrida

4 corrida

5 corrida

6 corrida

Altura de la torre (ft)

5.4134

5.41

5.35

5.35

5.184

5.184

Área transversal (ft2)

2.1797

2.86

2.27

2.86

2.1315

2.1315

TV1 (ºF)

63.32

55.22

61.9

61.7

57.74

57.74

Tw (ºF)

56.3

52.7

51.8

57.2

53.6

53.6

TV2 (ºF)

69.44

64.76

77.18

75.2

67.1

80.78 27

TL2 (ºF)

102.56

104.9

112.1

113

96.08

121.82

TL1 (ºF)

84.2

88.16

93.2

96

82.4

96.8

L (lbmol/h)

84.7461

78.047

30.09

76.31

85.7212

85.721

Y1

0.01301

0.013

0.01

0.0115

0.01177

0.01177

V aire2 (m/min)

59

48.5

51

42

52.75

52.75

Vaire1 (m/min)

71.7615

65.6178

65.6178

V’ (lbmol/h)

58.7562

73.25

63.04

45.66

53.63

53.63

HV1 (BTU/lbmola.s.)

423.189

415

403.87

510

379.929

379.929

HV2 (BTU/lbmola.s.)

905.477

736.05

566.253

1021.41

773.514

1099.77

nt

0.53643

0.28690

0.1082

0.3683

0.48789

0.42927

nd

0.36873

0.2685

0.22506

0.02204

0.30529

0.2691

kYa (lbmol/ft3h)

2.67

1.4462

0.5616

1.099

2.36

2.08

TV2 grafica (ºF)

76.409

60.5

70.22

76.41

Y2

0.02668

0.015

0.0223

0.0215

0.03102

Ch prom

7.1101

7.0634

7.0868

7.08467

7.123

hc (lbmol/ft3hºF)

18.984

10.215

7.788

16.7198

14.8158

Debido a que el aire que sale de la torre se encuentra saturado, la temperatura de interfase, es igual a la temperatura del líquido, hLa tiende a ∞. Tomando en cuenta todos los coeficientes obtenidos, realizamos una regresión para obtener una ecuación que nos permita tener valores de kYa. Se realizaran varias regresiones para escoger la que mejor se ajuste a nuestros datos. Para esta regresión utilizamos V’, L, y kYa. •

Regresión lineal

Para llevar a cabo las regresiones se grafica V’ vs KYa, enseguida se muestra la ecuación resultante de la regresión.

28

3

2.5

Kya

2

1.5

1

0.5

0 40

45

50

55

60

65

70

75

V' y = -0.0134x + 2.4781 2 R = 0.0248

La ecuación resultante es la siguiente:

k Y a = −0.0134V '+2.4781 R 2 = 0.0248 Como se obtiene un coeficiente de correlación muy bajo, se propone otra regresión. •

Regresión potencial 3

2.5

Kya

2

1.5

1

0.5

0 40

45

50

55

60

65

70

75

V' -0.5317

y = 12.975x 2 R = 0.0216

La ecuación para esta regresión es

k Y a = 12.975V ' −0.5317 R 2 = 0.0216

•

Regresión Polinomial 29

4

3

2

Kya

1

0 40

45

50

55

60

65

70

75

-1

-2

-3 V' y = 0.0003x4 - 0.0714x3 + 6.1348x2 - 231.87x + 3252.9 R2 = 0.9879

La ecuación es:

k Y a = 0.0003V ' 4 −0.0714V '3 +6.1348V ' 2 −231.87V '+3252.9 R 2 = 0.9879 Como se puede observar esta es la ecuación que mas se ajusta a los datos obtenidos, tomando en cuenta el flujo de aire. La figura siguiente es del libro Principios de operaciones unitarias, de acuerdo a los datos que tenemos tanto de altura y material de torre, el flujo de aire y agua, la ecuación que le corresponde a kYa, según esta bibliografía, es la siguiente:

k Y a = 0.0431V ' 0.39 Para esta ecuación kYa esta en lbmol/hft3, mientras que el flujo de aire esta en lb/hft2. L = 200-4160

30

31

CONCLUSIONES Las corridas que se hicieron fueron tomadas en diferentes tiempos, mientras que los cálculos fueron hechos de manera separada lo que ocasiona las diferencias, por esta razón los coeficientes resultan un tanto dispersos. Las regresiones nos permiten conjuntar todos los resultados, sin embargo la dispersión entre ellos ocasiona una correlación baja y una ecuación de tipo polinomial, que como se puede observar es la más adecuada. Para la ecuación que se obtiene de la bibliografía, hay que tener cuidado con las unidades en que esta cada variable y los rangos que maneja. En este caso los datos que se tienen para el flujo de agua están dentro del rango que maneja el autor, sin embargo el material de la torre con la que se cuenta en el laboratorio no está en esta tabla, lo cual también provoca cierto error. Las condiciones de la torre no son del todo buenas, lo cual se observa en una disminución de la altura del empaque, esto es un problema en los cálculos ya que causan una variación.

OBSERVACIONES Las corridas que se realizaron fueron hechas en diferentes tiempos, por lo que las temperaturas del aire cambian debido a que el clima influye en esta. Otra observación importante es que las últimas dos corridas se realizaron con una diferencia de tiempo más grande, y se registro una altura de la torre menor. El empaque de la torre está cubierto con pintura, la cual tal vez por su calidad provoco que el empaque se contrajera, por eso la disminución de la altura. Sin embargo los coeficientes y el rango de enfriamiento no se vieron afectados de manera considerable, pero hay que tomarlo en cuenta ya que puede seguir disminuyendo, esto tomando en cuenta la primera corrida y las dos últimas siendo estas las que tienen mayor diferencia en la altura. Para la velocidad del aire, se hizo un promedio de las velocidades registradas en cuatro puntos diferentes de la tina, esto se llevo a cabo por la posición que tenía el ventilador, la cual se corrigió, para que las lecturas fueran más uniformes. Hay que recordar que esta velocidad no es la misma que hay en el empaque, por eso se corrigió con la ayuda de la ecuación de continuidad. Por último, los cálculos para obtener los coeficientes de la torre para cada corrida fueron realizados de manera separada, por lo que los resultados varían de acuerdo al método que se halla seguido. Por esto se realizaron regresiones, las cuales nos permiten tomar en cuenta todos los resultados.

32

ANEXO 1. REGRESIÓN LINEAL (MÉTODO DE CÁLCULO) Para llevar a cabo la regresión lineal, la cual nos permite juntar los datos obtenidos y mediante un método de cálculo se puede obtener una ecuación que relacione estos datos y les dé una tendencia. Este método consta de los siguientes datos: 1. Graficar en este caso kYa vs V’ 2. Por medio de mínimos cuadrados se obtienen los valores de kYa. Con este método se obtiene una ecuación del siguiente tipo:

k Y a = bV '+ a Los valores de a y b se obtienen de la siguiente manera:

a=

b=

( ΣkY a ) ( ΣV ' 2 ) − ( ΣV ')( ΣV ' kY a ) 2 n( ΣV ' 2 ) − ( ΣV ') n( ΣV ' k Y a ) − ( ΣV ')( Σk Y a )

(

)

n ΣV ' 2 − ( ΣV ')

2

n es el número de corridas que se realizaron. Enseguida se muestran los cálculos que se realizaron para obtener la ecuación de la regresión lineal.

∑=

n 1 1 1 1 1 1

V' 58,7562 73,25 63,04 45,66 53,63 53,63

Kya 2,67 1,4462 0,5616 1 2,36 2,08

V'*V' 3452,2910 5365,5625 3974,0416 2084,8356 2876,1769 2876,1769

V'kya 156,8791 105,9342 35,4033 50,1803 126,5668 111,5504

6

347,9662

10,2168

20629,0845

586,5140

a = 2,478138 b = -0,013369

Por lo tanto la ecuación que relaciona los datos obtenidos es la siguiente:

k Y a = −0.0134V '+2.4781 Ya que se tiene la ecuación, se obtienen los valores de kYa y se calcula el coeficiente de correlación R2. Este valor nos indica que tan adecuado es el modelo, en este caso el modelo es lineal, y el porcentaje de los datos que el modelo toma en cuenta. R2 se calcula con la siguiente ecuación: 33

2

_   Σ k Y a '− k Y a   R2 =  2 _   Σ k Y a − k Y a   

kYa’: son los valores que se obtienen con la ecuación _

k Ya : es el valor medio de los datos que se obtuvieron Los cálculos para obtener el coeficiente de correlación son los siguientes: kya' 1,6926 1,4988 1,6353 1,8677 1,7611 1,7611

(kya'-kyamed) -0,0102 -0,2040 -0,0675 0,1649 0,0583 0,0583 ∑=

(kya'-kyamed)^2 0,0001 0,0416 0,0046 0,0272 0,0034 0,0034 0,0803

(kya-kyamed) 0,9672 -0,2566 -1,1412 -0,6038 0,6572 0,3772

(kya-kyamed)^2 0,9355 0,0658 1,3023 0,3646 0,4319 0,1423 3,2424

kyamed = 1,7028 R^2 = 0,0248

Como se puede observar el factor de correlación es muy bajo, por lo que se debe proponer otro modelo que relacione mejor los datos que se obtuvieron en las corridas. Los otros modelos que se presentaron, se obtuvieron graficando de igual forma kya vs V’ en el programa Excel, en la grafica se pide que se muestre la línea de tendencia y se escoge el modelo que se quiere, además se pide la ecuación y el factor de correlación. De esta forma se pueden obtener las ecuaciones de manera rápida, al igual que el factor de correlación, lo que ocasiona que se pueda escoger el mejor modelo para los datos que se tienen.

ANEXO 2. GRAFICAS kYa vs L: REGRESIONES 34

Para obtener la ecuación que mejor se adecue a los datos que se obtuvieron en las prácticas realizadas también se tomaron en cuenta los flujos de agua. Estos datos se graficaron y también se obtuvieron las ecuaciones resultantes, en seguida se muestran los resultados. •

Regresión lineal

k Y a = 0.03L − 0.501 R 2 = 0.649 •

Regresion exponencial

k Y a = 0.249e 0.024 L •

R 2 = 0.831 Regresion polinomica 35

k Y a = 0.002 L2 − 0.205 L + 4.878 R 2 = 0.911 •

Regresion potencial

k Y a = 0.007 L1.255 R 2 = 0.784 Debido a que en la bibliografía la ecuación que corresponde a los datos que se obtuvieron utiliza el flujo de aire, se utilizaron las ecuaciones obtenidas al graficar kYa vs V’.

FUENTES CONSULTADAS •

FOUST. “Principios de Operaciones Unitarias”. Ed. CECSA 36

•

OCON, TOJO. “Problemas de Ingeniería Química”. Ed. Aguilar

•

TREYBAL, “Operaciones de transferencia de masa”. Ed. McGrawHill

•

KERN, “Procesos de transferencia de calor”.

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