Thanh Nien Online
www.mathvn.com
1
ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Môn thi : TOÁN PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
x+2 (1). 2x + 3 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. Câu II (2,0 điểm) (1 - 2sin x) cos x 1. Giải phương trình = 3. (1 + 2sin x)(1 - sin x) Cu I (2 điểm). Cho hàm số y =
2. Giải phương trình : 2 3 3x - 2 + 3 6 - 5x - 8 = 0 (x Î R) p 2
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ò (cos3 x - 1) cos2 xdx 0
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Câu V (1,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x+y+z) = 3yz, ta có (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) £ 5(y + z)3. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I (6, 2) là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng D : x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó. Câu VII.a (1,0 điểm). Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z2+2z+10=0. Tính giá trị của biểu thức A = ½z1½2 + ½z2½2 B. Theo Chương trình Nâng Cao Câu VI.b (2,0 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 và đường thẳng D : x + my – 2m + 3 = 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C). Tìm m để D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích DIAB lớn nhất. 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 và 2 đường thẳng x +1 y z + 9 x -1 y - 3 z +1 D1 : = = ; D2 : = = . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 1 6 2 1 -2 D1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau. Câu VII.b (1,0 điểm) ìïlog 2 (x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 (xy) Gỉai hệ phương trình : í 2 (x, y Î R) x - xy + y 2 = 81 ïî3
Thanh Nien Online
www.mathvn.com
2
BÀI GIẢI PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I. 1.
-1 ì -3 ü D = ¡ \ í ý, y/ = < 0, "x Î D (2 x + 3) 2 î2þ Suy ra hàm số giảm trên từng khoảng xác định và không có cực trị. -3 lim- y = -¥ , lim+ y = +¥ Þ TCĐ: x = -3 -3 2 x® x® 2
2
1 1 lim y = Þ TCN : y = 2 2
x ®±¥
-3
x y/ y
-∞
+∞
2
-
+∞
1 2
1
-∞
2 y
1 2
-2
-3 2
2/3
0
x
2. Tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với một trong hai đường thẳng y = x hoặc y = -x. Nghĩa là: é x 0 = -1 Þ y 0 = 1 -1 f’(x0) = ±1 Þ = ± 1 Þ ê x = -2 Þ y = 0 (2x 0 + 3)2 0 ë 0 D1 : y – 1 = -1(x + 1) Û y = -x (loại) D2 : y – 0 = -1(x + 2) Û y = -x – 2 (nhận) Câu II. -1 1. ĐK: sin x ¹ , sinx ≠ 1 2
Thanh Nien Online
www.mathvn.com
3
Pt Û (1 - 2sin x ) cos x = 3 (1 + 2sin x )(1 - sin x ) Û cos x - 2sin x cos x = 3 (1 + sin x - 2sin 2 x ) Û cos x - 3 s inx = s in2x + 3 cos 2 x 1 3 1 3 pö æp ö æ Û cos x sin x = s in2x + cos 2 x Û cos ç + x ÷ = cos ç 2 x - ÷ 2 2 2 2 6ø è3 ø è p p p p Û + x = 2 x - + k 2p hay + x = -2 x + + k 2p 3 6 3 6 p p 2p Û x = - k 2p (loại) x = - + k , k Î Z (nhận) 2 18 3 6 2. 2 3 3x - 2 + 3 6 - 5x - 8 = 0 , điều kiện : 6 - 5 x ³ 0 Û x £ 5 3 t +2 8 - 5t 3 Đặt t = 3 3x - 2 Û t3 = 3x – 2 Û x = và 6 – 5x = 3 3 8 - 5t 3 -8 = 0 3
Phương trình trở thành : 2t + 3
{
8 - 5t 3 t£4 = 8 - 2t Û Û t = -2. Vậy x = -2 3 15t + 4t 2 - 32t + 40 = 0 3
Û3 Câu III.
p 2
p 2
p 2
0
0
I = ò ( cos3 x - 1) cos2 xdx = ò cos5 xdx - ò cos2 xdx 0
p 2
p 2
0
0
p 2
I1 = ò cos4 x cos xdx = ò (1 - sin 2 x ) cos xdx = ò (1 - 2sin 2 x + sin 4 x ) cos xdx t = sin x Þ dt = cos xdx
Đổi cận: x= 0 Þ t = 0; x =
2
0
p Þt=1 2 1
1
2t 3 t 5 8 I1 = ò (1 - 2t + t ) dt = t + = 3 5 0 15 0 2
p 2
4
p 2
p 2
p 2
p
p
2 1 + cos 2 x 1 1 1 2 1 p I 2 = ò cos 2 xdx = ò dx = ò dx + ò cos 2 xdx = x + sin 2 x = 2 2 20 2 0 4 4 0 0 0 0
p 2
8 p 15 4 0 Câu IV. Từ giả thiết bài toán ta suy ra SI thẳng góc với mặt phẳng ABCD, gọi J là trung điểm của BC; E là hình chiếu của I xuống BC. 2a + a 3a IJ ´ CH 1 3a 3a 2 BC a 5 IJ = = SCIJ = = a= , CJ= = 2 2 2 2 2 4 2 2 I = ò ( cos3 x - 1) cos2 xdx =
Þ SCIJ =
3a 2 1 1 3a 2 3a 6a 3a 3 = IE ´ CJ Þ IE = = Þ SE = ,SI = , 4 2 CJ 2 5 5 5
Thanh Nien Online
www.mathvn.com
3 1æ1 ö 3a 3 3a 15 A V = ç [ a + 2a ] 2a ÷ = 3è 2 5 ø 5
N
B
H
I
J
E Câu V. x(x+y+z) = 3yz
Û 1+
y z yz + =3D x x xx
C
y z > 0, v = > 0 , t = u + v > 0 . Ta cĩ x x 2 t2 æu+vö 1 + t = 3uv £ 3 ç = 3 Û 3t 2 - 4t - 4 ³ 0 Û ( t - 2 )( 3t + 2 ) ³ 0 Û t ³ 2 ÷ 4 è 2 ø 3 Chia hai vế cho x bất đẳng thức cần chứng minh đưa về
Đặt u =
(1 + u ) + (1 + v ) + 3 (1 + u )(1 + v )( u + v ) £ 5 ( u + v ) 3 2 2 Û ( 2 + t ) - 3 (1 + u ) (1 + v ) - 3 (1 + u )(1 + v ) + 3 (1 + u )(1 + v ) t £ 5t 3 3 3 Û ( 2 + t ) - 6 (1 + u )(1 + v ) £ 5t 3 Û ( 2 + t ) - 6(1 + u + v + uv ) £ 5t 3 3
3
3
1+ t ö 3 æ 3 3 2 Û ( 2 + t ) - 6 ç1 + t + ÷ £ 5t Û 4t - 6t - 4t ³ 0 Û t ( 2t + 1)( t - 2 ) ³ 0 3 ø è Đúng do t ³ 2. PHẦN RIÊNG A.Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a. 1. I (6; 2); M (1; 5) D : x + y – 5 = 0, E Î D Þ E(m; 5 – m); Gọi N là trung điểm của AB ì x N = 2x I - x E = 12 - m I trung điểm NE Þ í Þ N (12 – m; m – 1) î y N = 2y I - y E = 4 - 5 + m = m - 1 uuuur uur MN = (11 – m; m – 6); IE = (m – 6; 5 – m – 2) = (m – 6; 3 – m) uuuur uur MN.IE = 0 Û (11 – m)(m – 6) + (m – 6)(3 – m) = 0 Û m – 6 = 0 hay 14 – 2m = 0 Û m = 6 hay m = 7 uuuur + m = 6 Þ MN = (5; 0) Þ pt AB là y = 5 uuuur + m = 7 Þ MN = (4; 1) Þ pt AB là x – 1 – 4(y – 5) = 0 Þ x – 4y + 19 = 0 2. I (1; 2; 3); R = 1 + 4 + 9 + 11 = 5 2(1) - 2(2) - 3 - 4 d (I; (P)) = = 3 < R = 5. Vậy (P) cắt (S) theo đường tròn (C) 4 + 4 +1 ìï x = 1 + 2t Phương trình d qua I, vuông góc với (P) : í y = 2 - 2t ïîz = 3 - t Gọi J là tâm, r là bán kính đường tròn (C). J Î d Þ J (1 + 2t; 2 – 2t; 3 – t) J Î (P) Þ 2(1 + 2t) – 2(2 – 2t) – 3 + t – 4 = 0 Þ t = 1 Vậy tâm đường tròn là J (3; 0; 2)
Bán kính đường tròn r =
R 2 - IJ 2 = 25 - 9 = 4
4
Thanh Nien Online
www.mathvn.com
5
Câu VII.a. D’ = -9 = 9i do đó phương trình Û z = z1 = -1 – 3i hay z = z2 = -1 + 3i Þ A = ½z1½2 + ½z2½2 = (1 + 9) + (1 + 9) = 20 B. Theo Chương trình Nâng Cao Câu VI.b. 1. (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + 6 = 0 có tâm là I (-2; -2); R = 2 Giả sử D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Kẻ đường cao IH của DABC, ta có 1 · = sin AIB · SDABC = IA.IB.sin AIB 2 · = 1 Û DAIB vuông tại I Do đó SDABC lớn nhất khi và chỉ khi sin AIB 1 - 4m IA Û IH = = 1 (thỏa IH < R) Û =1 2 m2 + 1 8 Û 1 – 8m + 16m2 = m2 + 1 Û 15m2 – 8m = 0 Û m = 0 hay m = 15 r 2. M (-1 + t; t; -9 + 6t) ÎD1; D2 qua A (1; 3; -1) có véctơ chỉ phương a = (2; 1; -2) uuuur r uuuur AM = (t – 2; t – 3; 6t – 8) Þ AM Ù a = (14 – 8t; 14t – 20; 4 – t) 2
Ta có : d (M, D2) = d (M, (P)) Û
261t 2 - 792t + 612 = 11t - 20
Û 35t2 - 88t + 53 = 0 Û t = 1 hay t =
53 35
æ 18 53 3 ö Vậy M (0; 1; -3) hay M ç ; ; ÷ è 35 35 35 ø Câu VII.b. Điều kiện x, y > 0 2 2 ïìlog 2 (x + y ) = log 2 2 + log 2 (xy) = log 2 (2xy) í 2 2 ïî x - xy + y = 4 2 2 ì(x - y)2 = 0 ìx = y ìx = 2 ì x = -2 ïì x + y = 2xy Û í 2 Û Û í Û í hay í í 2 ïî x - xy + y = 4 î xy = 4 îy = 2 î y = -2 î xy = 4
Trần Minh Quang (Trường THPT Phú Nhuận - TP.HCM)