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UNA ESTRATEGIA DE ARBITRAJE ESTADÍSTICO BASADA EN EL ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES APLICADA A MERCADOS ACCIONARIOS LATINOAMERICANOS

Tesis de Grado presentado por

Fernando Andrés Caneo Mercado como requisito parcial para optar al título de Ingeniero Civil Industrial y al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería Industrial

Profesor Referente: Dr. Werner Kristjanpöller Rodríguez Profesor Correferente Interno: Dr. Javier Scavia Dal Pozzo Profesor Correferente Externo: Dr. Marcelo Villena Chamorro

OCTUBRE 2018

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA DEPARTAMENTO DE INDUSTRIAS

UNA ESTRATEGIA DE ARBITRAJE ESTADÍSTICO BASADA EN EL ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES APLICADA A MERCADOS ACCIONARIOS LATINOAMERICANOS

Tesis de Grado presentado por

Fernando Andrés Caneo Mercado como requisito parcial para optar al título de Ingeniero Civil Industrial y al grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería Industrial

Profesor Referente: Dr. Werner Kristjanpöller Rodríguez Profesor Coreferente Interno: Dr. Javier Scavia Dal Pozzo Profesor Coreferente Externo: Dr. Marcelo Villena Chamorro

VALPARAÍSO, OCTUBRE 2018

TITULO DE LA TESIS:

UNA ESTRATEGIA DE ARBITRAJE ESTADÍSTICO BASADA EN EL ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES APLICADA A MERCADOS ACCIONARIOS LATINOAMERICANOS

AUTOR:

Fernando Andrés Caneo Mercado

TRABAJO DE TESIS, presentado en cumplimiento parcial de los requisitos para el Grado de Magíster en Ciencias de la Ingeniería Industrial y de Ingeniero Civil Industrial de la Universidad Técnica Federico Santa María.

Dr. Werner Kristjanpöller Rodríguez ....................................................................

Dr. Javier Scavia Dal Pozzo

....................................................................

Dr. Marcelo Villena Chamorro

....................................................................

VALPARAÍSO, Chile. OCTUBRE 2018

. . . A mi familia y amigos.

AGRADECIMIENTOS Agradecer a todos quienes de alguna u otra manera me han acompañado en esta larga travesía universitaria que ha estado llena de alegrías y metas cumplidas, que a pesar de las dificultades y obstáculos han hecho que esta etapa de mi vida sea imborrable y llena de recuerdos que siempre llevaré conmigo. A todos los que fueron mis profesores, donde agradezco los conocimientos, aptitudes y valores que de alguna u otra manera me fueron formando. En especial a Iván Szántó que me brindó toda la gran motivación inicial de entrar a la Universidad y me enseñó a tener el hambre de conocimiento, a Jaime Figueroa que por más de 5 años fue mi ´´jefe” en la ayudantía de Análisis Numérico y compañero de charlas; y finalmente a Werner Kristjanpoller que me dio la oportunidad de primero entrar a la carrera de Ingeniería Civil Industrial y más adelante conocer el movido mundo de las Finanzas, además de jugar innumerables partidos y compartir experiencias extra-académicas junto a mis compañeros del MII. A mi familia, en especial a mis tíos y tías en los que cada uno de ellos me ha querido como un hijo dándome su apoyo todos estos años, a mis primos que los considero como mis hermanos y a mis padres, que pese a todo han estado siempre conmigo, guiando, enseñando y entregando todo su incondicional amor, este logro es más de ellos que mío. Finalmente al lector, por darse el tiempo de leer este trabajo y espero que le pueda ser de utilidad en su propósito.

RESUMEN EJECUTIVO En este trabajo se analiza el rendimiento de una estrategia de Pairs Trading en Mercados Accionarios Latinoamericanos mediante un enfoque PCA con un modelo multifactorial. Se propusieron dos criterios de selección de umbrales óptimos mediante ventanas móviles de entramiento-trading. Para el periodo 2013-2017, aplicando la metodología en 6 países con 338 acciones en total, se encontró que la estrategia supera en rendimiento al índice de Sharpe de mercado en 1.55 puntos en promedio. En adición, usando la matriz de correlaciones, se encontró que es hay una clara dominancia de el mayor valor propio; que su eigenportfolio asociado presenta un comovimiento con el mercado y que el número de componentes dominantes es contrario a la volatilidad del mercado.

Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

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ABSTRACT This work analyzes the profitability of a Pairs Trading strategy in Latin American Stock Markets through a PCA approach, with a multifactorial model. They were proposed two criteria to select optimal thresholds through moving training-trading windows. For the period 2013-2017, applying the methodology in 6 countries with 338 stocks in total, it was found that the strategy outperforms the market Sharpe ratio in 1.55 points on average. In addition, using the correlation matrix, it was found that there is a clearly dominance of the largest eigenvalue; that its associated eigenportfolio presents a co-movement with the market and that the number of dominant components is contrary to the volatility of the market.

Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

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ÍNDICE DE CONTENIDOS

ÍNDICE DE CONTENIDOS

Índice de Contenidos 1. Introducci´on 1.1. Objetivos . . . . . . . . . . 1.1.1. Objetivo Principal . 1.1.2. Objetivos Espec´ificos 1.2. Hip´otesis . . . . . . . . . . 1.3. Alcance . . . . . . . . . . .

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1 4 4 4 5 5

2. Marco Te´orico 2.1. Modelo de Pairs Trading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Modelo de factores y market neutralidad . . . . . . . . 2.2. Retorno de acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Retorno simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Retorno simple multiperiodo . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Retorno logarítmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4. Retorno de portafolios . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Ratio de Sharpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Análisis de componentes principales . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Definición y obtención de los componentes principales 2.4. Procesos estocásticos y cálculo estocástico . . . . . . . . . . . 2.4.1. Movimiento Browniano . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Integrales estocásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Lema de Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Proceso Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . .

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6 6 7 8 8 9 10 10 11 11 12 17 17 18 20 21

3. Metodolog´ia 3.0.1. Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.0.2. Análisis de componentes principales y eigenportfolios . . 3.0.3. Pairs Trading y Modelo Multifactorial . . . . . . . . . . . 3.0.4. Determinación del número de factores . . . . . . . . . . . 3.0.5. Generación de la señal de trading . . . . . . . . . . . . . 3.0.6. Estimación de parámetros del proceso Ornstein-Uhlenbeck 3.0.7. Decisión de inversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.0.8. Portafolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.0.9. Elección de umbrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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24 24 25 28 29 30 31 33 34 35

4. Resultados 4.1. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Elección de umbrales bajo el criterio σE − µE . . . . . . . . . . . 4.1.2. Elección de umbrales bajo el criterio de índice de Sharpe . . . . .

38 38 38 40

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ÍNDICE DE CONTENIDOS

ÍNDICE DE CONTENIDOS

4.1.3. Comparación de la evolución de portafolios, umbrales y betas entre criterios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Conclusiones

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Bibliografía

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ÍNDICE DE TABLAS

ÍNDICE DE TABLAS

Índice de Tablas 3.1. Resumen de los ETFs utilizados en cada país. . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Resumen de las acciones e indicadores utilizados en cada país. . . . . . . 4.1. Resumen de los índices de Mercado desde junio del 2013 a diciembre del 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Resumen de los retornos, desviación estándar e índice de Sharpe anualizados para los mercados accionarios latinoamericanos analizados con la selección de umbrales mediante el criterio σE − µE . . . . . . . . . . . . . 4.3. Resumen de los retornos, desviación estándar e índice de Sharpe anualizados para los mercados accionarios latinoamericanos analizados con la selección de umbrales mediante el criterio de índice de Sharpe. . . . . . .

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25 25 39 40 42

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ÍNDICE DE FIGURAS

Nomenclatura

Índice de Figuras 2.1. Gráfico de dispersión de 200 observaciones en dos variables x1 y x2 . . . 2.2. Gráfico de dispersión de las 200 observaciones de las figura 2.1 con respecto a sus PCs z1 y z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Varianza acumulada de la matriz de correlación Ci j explicada por los cinco primeros valores propios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Comparación del eigenportfolio dominante, el diversificado por capitalizaciones de mercado y el índice accionario más representativo. . . . . . . . 3.3. Cantidad de componentes principales necesarios para explicar el 30 %, 40 %, 50 % y 60 % de variabilidad total de los datos. . . . . . . . . . . . . 3.4. Evolución de la señal si desde junio del 2011 a Mayo del 2012 para las 3 acciones de mayor capitalización de mercado en cada país en 2010. . . . 3.5. Evolución de los umbrales obtenidos desde junio del 2013 a diciembre del 2017. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 14 27 28 30 33 37

4.1. Evolución de los portafolios para la mejor instancia para cada uno de los criterios entre junio del 2013 a diciembre del 2017 en cada mercado accionario, junto con la evolución del índice de mercado respectivo. . . . 43 4.2. Evolución de los umbrales para la mejor instancia para cada uno de los criterios entre junio del 2013 a diciembre del 2017 en cada mercado accionario. 44 4.3. Evolución de los betas para la mejor instancia para cada uno de los criterios entre junio del 2013 a diciembre del 2017 en cada mercado accionario. . . 45

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Cap´itulo 1 Introduccio´ n Las estrategias de inversión siempre han sido un desafío para personas o instituciones que buscan rentabilizar su capital y por otro lado para investigadores que día a día tratan de idear nuevos métodos o enriquecer los existentes con el objetivo de cada vez ir mejorando sus resultados. Siguiendo esta línea, el poder encontrar la fórmula para vencer al mercado despierta curiosidad y representa un gran reto para cualquiera que se plantee este objetivo, muchos han sido los intentos teniendo algunos mejores resultados que otros y en este trabajo de estudió uno en particular llamado Arbitraje Estadístico, este envuelve una serie de estrategias de inversión que tienen similares y particulares características, tal como se describe en [1] estas siguen un modelo estadístico y sistemático que generan retornos positivos y superiores al mercado donde su libro de transacciones debe ser neutral, es decir el retorno del portafolio no debe estar correlacionado con el mercado. Siguiendo esta línea en [2], [3] y [4] se define el Arbitraje Estadístico como una estrategia autofinanciada que tiene retornos esperados positivos, la probabilidad de obtener pérdidas converge a cero y produce retornos incrementales sin riesgo a lo largo del tiempo. Una de las estrategias por excelencia que encaja con lo anterior es el Pairs Trading, esta estrategia está estrechamente involucrada en la creación del primer Hedge Fund en el año 1949 por Alfred Jones en donde a través de altos apalancamientos balanceó un portafolio de posiciones largas y cortas en montos similares, consiguiendo grandes ganancias y reducir el riesgo de mercado, pero no fue hasta la década de los 80’s, tal como se menciona en [5], [1] y [6] donde la estrategia se popularizó de la mano de Nunzio Tataglia y su equipo de expertos en análisis Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

computacional, físicos y matemáticos en Morgan Stanley, ellos lograron automatizar un sistema de trading que se encargaba de hallar oportunidades de arbitraje en el mercado de acciones en base a la búsqueda activa de pares cuyos precios estuvieran moviéndose en conjunto e intercambiando posiciones largas y cortas entre ellos. Si bien el equipo de Tartaglia reportó la suma de $50 millones en beneficios para el año 1987, es importante señalar que esta estrategia no fue hecha para que se obtengan grandes retornos, sino para que estos sean estables en el tiempo.

Recientemente [7] analizó la literatura considerando y clasificando más de 90 referencias, en donde afirma que el trabajo más citado corresponde al publicado por [5], artículo en el cual mediante una regla simple de transacción se logran conseguir rentabilidades anuales de hasta 11 % mediante portafolios autofinanciados con acciones norteamericanas. Según [7], en los últimos años se han ido publicando cada vez más estudios, los cuales en general han podido ser clasificados en cinco enfoques: (i) El enfoque de la distancia (The distance approach), en donde se buscan pares que tengan un comovimiento según medidas de distancia para luego mediante umbrales generar señales de transacción. El trabajo más citado de este enfoque fue el publicado por [5] donde se utiliza la suma de los cuadrados de la distancia Euclideana (SSD) de las series de precios para formar los distintos pares y luego abrir posiciones cuando el spread alcanza más de dos desviaciones estándar y luego cerrarlas cerca de la media de reversión, otros trabajos relevantes son [9] donde se muestra una caída en el nivel de ganancias de este enfoque en el último tiempo, [10] que agrega más criterios para la elección de pares, [11] que captura la media de reversión del spread mediante el modelo de Vasicek el cual es estimado con un modelo de Markov de regímenes variables para detectar las pérdidas de balance en donde el spread tiene dos diferentes medias y varianzas, [12] muestra que el nivel de reversión a corto plazo y el momentum de los pares contribuyen a las ganancias del Pairs Trading y más recientemente [13] considera filtros alternativos de frecuencia-distancia, umbrales para apertura de pares, mecanismos de reinversión, diferentes largos del periodo de trading y restricciones de la venta corta en el mercado accionario taiwanés. (ii) El enfoque de la cointegración (The cointegration approach), donde los pares son Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

identificados mediante tests de cointegración para luego generar señales de compra y venta generalmente basadas en umbrales similares al del primer enfoque. El trabajo más citado basado en cointegración es el mostrado en [6] donde los pares son definidos con tests de Engle-Granger para luego obtener umbrales mediante métodos no paramétricos, por otro lado [14] compara este enfoque, el enfoque de la distancia y el método de cópulas, [15] que analiza la identificación de portafolios cointegrados neutrales al mercado (COINMAN) en acciones de Hong Kong y más recientemente [16] utiliza cointegración parcial para la generación de pares. (iii) El enfoque de Series de Tiempo (The Time Series approach), en donde se trabaja con un conjunto de activos que son establecidos en base a análisis previos (no se caracteriza por la identificación de pares), para luego generar señales de compra y venta mediante métodos de series de tiempo. El trabajo con más citas de este enfoque fue el publicado por [17] donde se utiliza una cadena de Markov Gaussiana con reversión a la media para modelar el spread el cual es observado como un ruido Gaussiano para luego analizar las diferentes decisiones de inversión, posteriormente [18] lo mejora agregando dependencia de tiempo a los parámetros del modelo y los estima utilizando una metodología Bayesiana. Por otro lado, [19] usa un enfoque no paramétrico basado en construcciones de Renko & Kagi para filtrar el ruido de trading y [20] modela los spreads del Pairs Return mediante un TAR-GARCH. (iv) El enfoque de Control Estocástico (The Stochastic control approach) al igual que el enfoque de Series de Tiempo trabaja con un conjunto de activos definido, pero en cambio se busca encontrar una óptima localización de activos en el portafolio considerando un control estocástico de el Pairs Trading. El trabajo más relevante en este caso es el publicado por [21] que deriva una portafolio dinámico óptimo para arbitrageurs con horizonte finito y preferencias no difusas frente a oportunidades de reversión a la media, posteriormente [22] basados en los resultados anteriores estudia óptimas transacciones convergentes bajo oportunidades de arbitraje recurrentes y no reccurrentes en acciones de China y Hong Kong, luego [23] considera este último trabajo incluyendo costos de transacción. (v) Otros enfoques, donde en [24] y [25] se utilizan redes neuronales y una combinación de técnicas de predicción, [26], [27] y [28] usan métodos de cúpulas basado en retornos Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

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1.1. OBJETIVOS

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

y contrariamente [29] y [14] métodos de cúpulas basados en el nivel de las series y finalmente [30] utiliza análisis de componentes principales (PCA) para crear eigenportfolios y hacerlos parte de un modelo multifactorial del cual su residual es modelado como un proceso Ornstein–Uhlenbeck para generar una señal de compra-venta. Por otro lado la literatura no sólo se centra en analizar distintos tipos de la estrategia en mercados accionarios estadounidenses, ya que ha demostrado ser rentable en otros mercados: [31] y [19] en Australia, [32], [33] y [34] en Brasil, [22], [23], [35] y [15] en China, [36] y [37] en Eurostoxx, [38] en Japón, [39] en Corea del Sur, [40] y [13] en Taiwan, [41] y [42] en Reino Unido. Además en mercados no accionarios: [43] en futuros de commodities, [44] y [45] en industria energética y [46] en mercados de oro y plata.

1.1. Objetivos 1.1.1. Objetivo Principal Diseñar una estrategia de Pairs Trading a partir de análisis de componentes principales (PCA) para generar un portafolio óptimo que sea atractivo a través del tiempo en distintos mercados accionarios latinoamericanos.

1.1.2. Objetivos Espec´ificos Superar los rendimientos de los distintos mercados accionarios latinoamericanos. Realizar una sensibilización de los diferentes parámetros base de la estrategia. Optimizar los umbrales de compra y venta a través de criterios predefinidos. Analizar el comportamiento de las componentes principales de cada mercado en el tiempo.

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1.2. HIPÓTESIS

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

1.2. Hip´otesis El Pairs Trading como se ha demostrado en los diversos estudios, es una estrategia de inversión caracterizada por presentar retornos sostenibles en el tiempo. Siguiendo esta línea, la utilización de componentes principales como factores en el modelo general multifactorial de Pairs Trading permite obtener portafolios atractivos, además la optimización de umbrales de compra y venta de acciones provee un mecanismo de mejora captando oportunidades de superar el rendimiento de los portafolios en comparación al uso umbrales fijos.

1.3. Alcance En este estudio se sigue la metodología propuesta por [30] mediante un enfoque basado en el Análisis de Componentes Principales (PCA) para conformar un portafolio de posiciones largas y cortas que son actualizadas diariamente, de tal manera que generen un rendimiento superior al mercado. La innovación propuesta radica en considerar umbrales variables para entrar y salir de las posiciones, donde estos son previamente evaluados en un periodo de entrenamiento bajo dos criterios de optimización, por un lado minimizando la función objetivo propuesta en [47] y por otro maximizando el índice de Sharpe, para finalmente con los umbrales óptimos obtenidos para cada criterio, simular la estrategia en un periodo posterior de trading y evaluar su rendimiento mediante distintos indicadores de inversión.

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CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

Cap´itulo 2 Marco Teo´ rico 2.1.

Modelo de Pairs Trading

El Pairs Trading es una antigua estrategia que ha sido largamente considerada como la antecesora y precursora del arbitraje estadístico tal como se enunció en la sección anterior. Formalmente su definición según [30] radica en considerar dos acciones P y Q que estén en una misma industria (Por ejemplo Coca-Cola y Pepsi), se espera que los retornos de uno sigan al otro luego de tener un beta controlado. En consecuencia, si Pt y Qt denotan los correspondientes precios en sus series de tiempo respectivas, entonces el sistema se puede modelar de la forma log(Pt /Pt0 ) = α(t − t0 ) + βlog(Qt /Qt0 ) + Xt

(2.1)

O en su forma diferenciada dPt dQt = αdt + β + dXt Pt Qt

(2.2)

Donde Xt es un proceso estacionario o de reversión a su media, este proceso será referenciado como un residual cointegrado o simplemente residual. En muchos casos de interés el drift α es pequeño comparado con respecto a las fluctuaciones de Xt y puede ser por lo tanto despreciado, esto quiere decir que después de controlar los betas, el portafolio de posiciones largas y cortas oscila cerca de un equilibrio estadístico. El modelo sugiere la Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

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2.1. MODELO DE PAIRS TRADING

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

realización de una ’estrategia de inversión contraria’ en la cual por cada dólar que se invierta en largo en la acción P se irá en corto β dólares en la acción Q, esto si Xt es pequeño, en caso contrario se irá en corto en la acción P y largo en la acción Q. Este portafolio se espera que produzca retornos positivos que sean consistentes en el tiempo, además la reversión a la media en la cual se basa es típicamente asociada a sobrerreacciones de mercado, es decir, se centra en acciones que están temporalmente sobrevaloradas (o infravaloradas) con respecto a uno o más activos.

2.1.1.

Modelo de factores y market neutralidad

N Consideremos {ri }i=1 como los retornos de diferentes acciones en un universo de

inversión dentro de un día (de cierre a cierre). Sea F el retorno del portafolio de mercado dentro del mismo periodo (por ejemplo el portafolio compuesto por capitalizaciones, el índice de mercado, etc). Para cada acción considerada se puede escribir ri = βi F + r˜i

(2.3)

El cual es un modelo de regresión lineal simple que descompone el retorno de la acción en un componente sistemático βi F y un (no correlacionado) componente no sistemático r˜i . Alternativamente, se puede considerar un modelo de múltiples factores de la forma ri =

m X

βi j F j + r˜i

(2.4)

j=1

En donde se tienen m factores, los cuales pueden ser considerados como los retornos de los portafolios de referencia que representan a los factores sistemáticos. Un portafolio N de inversión se dice que es market-neutral si los montos invertidos {Qi }i=1 en cada una de

las acciones siguen la propiedad βj =

N X

βi j Qi = 0

j = 1, 2, . . . , m

(2.5)

i=1

Los coeficientes β j corresponden a los betas del portafolio o bien las proyecciones de los retornos del portafolio en los diferentes factores. Un portafolio market-neutral tiene Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

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2.2. RETORNO DE ACCIONES

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

betas nulos, es decir, es no correlacionado con el portafolio de mercado o con los factores subyacentes a este. El retorno del portafolio entonces satisface:

N X i=1

 m  N X  X   Qi ri = Qi  βi j F j  + Qi r˜i i=1 j=1 i=1  N  m X N N X X X   = Qi r˜i = Qi r˜i  βi j Qi  F j + N X

j=1

i=1

i=1

(2.6)

(2.7)

i=1

Es decir, un portafolio market neutral se ve afectado sólo por los retornos no sistemáticos por lo que las estrategias de este tipo apuntan a predecir su comportamiento así para protegerse de las variaciones del mercado en general.

2.2.

Retorno de acciones

La gran mayoría de los estudios financieros involucran a los retornos en vez de utilizar el precio de las acciones, esto ocurre en general por dos grandes razones: por un lado para los inversores el retorno es una medida completa y sin escalas para una oportunidad de inversión y por otro es que estos poseen propiedades estadísticas mucho más atractivas que el precio. Existen diversas formas de definir el retorno de un activo, aquí se enunciarán dos: retorno simple y retorno logarítmico. Sea Pt el precio de una acción en el tiempo t y además supongamos que esta no paga dividendos o que tiene su precio ajustado por estos.

2.2.1.

Retorno simple

Manteniendo la acción por un periodo desde el tiempo t − 1 al tiempo t, el retorno simple bruto satisface: 1 + Rt =

Pt Pt−1

o

Pt = Pt−1 (1 + Rt )

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(2.8)

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2.2. RETORNO DE ACCIONES

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

Así, el correspondiente retorno simple a un periodo quedará definido por: Rt =

2.2.2.

Pt Pt − Pt−1 −1= Pt−1 Pt−1

(2.9)

Retorno simple multiperiodo

Manteniendo la acción por k periodos entre los tiempos t − k y t, el retorno simple bruto de los k-periodos satisface:

Pt Pt−1 Pt−k+1 Pt = × × ··· × Pt−k Pt−1 Pt−2 Pt−k = (1 + Rt )(1 + Rt−1 ) · · · (1 + Rt−k+1 ) k−1 Y = (1 + Rt− j )

1 + Rt [k] =

(2.10) (2.11) (2.12)

j=0

Es decir, el retorno simple bruto de los k-periodos es el producto de los k retornos simples brutos involucrados, esto es el llamado retorno compuesto. El retorno simple del periodo k es Rt [k] =

Pt −Pt−k . Pt−k

En la práctica, el intervalo de tiempo a estudiar es importante en la discusión y la comparación de retornos (por ejemplo retornos mensuales o anuales). Si el tiempo del intervalo no es dado, en general implícitamente se asume que es diario (en el contexto de portafolios). Si se mantiene la acción por k días, su retorno diario promedio será definido como:  k−1 1/k Y  diario Rt [k] =  (1 + Rt− j ) − 1

(2.13)

j=0

Esto es la media geométrica de los k retornos simples brutos de un periodo involucrados y pueden ser escritos también como:  k−1   1 X  diario Rt [k] = exp  ln(1 + Rt− j ) − 1 k j=0

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(2.14)

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2.2. RETORNO DE ACCIONES

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

Donde exp(x) denota la función exponencial y ln(x) es el logaritmo natural de un número positivo x. Dado que es más fácil computar promedios aritméticos que geométricos y el retorno de un periodo tiende a ser pequeño, se puede utilizar la expansión de primer orden de la serie de Taylor para aproximar el retorno diario promedio y se obtendría: k−1

diario Rt [k] ≈

2.2.3.

1X Rt− j k j=0

(2.15)

Retorno logarítmico

El logaritmo natural del retorno simple bruto de una acción es conocido como el retorno continuo o retorno logarítmico, este es definido como: rt = ln(1 + Rt ) = ln

Pt Pt−1

(2.16)

Este tipo de retorno posee ciertas ventajas sobre los retornos simples Rt . Primero, considerando retornos multiperiodos se tiene:

rt [k] = ln(1 + Rt [k]) = ln[(1 + Rt )(1 + Rt−1 ) · · · (1 + Rt−k+1 )]

(2.17)

= ln(1 + Rt ) + ln(1 + Rt−1 ) + · · · ln(1 + Rt−k+1 )

(2.18)

= rt + rt−1 + · · · rt−k+1

(2.19)

Así, el retorno logarítmico multiperiodo es simplemente la suma de los k retornos logarítmicos involucrados. Como segunda ventaja, es que las propiedades estadísticas de los retornos logarítmicos son más manejables.

2.2.4.

Retorno de portafolios

El retorno simple de un portafolio consistente de N acciones es una suma ponderada de los retornos simples de las acciones involucradas, donde el peso de cada acción corresponde a el porcentaje del valor del portafolio invertido en esa acción. Sea p un portafolio donde

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2.3. ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

cada acción i es ponderada con un peso wi , el retorno simple de p en el tiempo t es: R p,t =

N X

donde Rit es el retorno simple de la acción i

wi Rit

(2.20)

i=1

El retorno logarítmico de un portafolios, sin embargo, no sigue la anterior propiedad. Si los retornos simples Rit son todos pequeños en magnitud, entonces se tendría PN r p,t ≈ i=1 wi rit , donde r p,t es el retorno logarítmico del portafolio en el tiempo t. Esta aproximación es a menudo utilizada para estudiar retornos de portafolios.

2.2.5.

Ratio de Sharpe

En finanzas el ratio de Sharpe es una medida para examinar el rendimiento de una inversión ajustada por riesgo. El ratio mide el exceso de retorno (respecto a un retorno base) por unidad de desviación en una estrategia de inversión. Este se define como: E[ra − rb ] E[ra − rb ] = S = √ σa Var[ra − rb ]

(2.21)

Donde ra es el retorno de la inversión, rb es el retorno libre de riesgo. E[ra − rb ] es el valor esperado de el exceso de retorno respecto a la inversión sin riesgo y σa es la desviación estándar de este exceso de retorno, el cual se sobreentiende como el de la inversión dado que rb es sin riesgo.

En general el ratio de Sharpe caracteriza que tan bien se compensan los retornos que obtiene un inversor respecto al riesgo que este toma. Cuando se comparan dos inversiones respecto a una misma inversión sin riesgo, la que tenga un mayor ratio de Sharpe proveerá mejores retornos dado el mismo riesgo (o equivalentemente el mismo retorno para un menor riesgo).

2.3.

Análisis de componentes principales

La idea principal de el análisis de componentes principales (PCA) es reducir la dimensión de un set de datos que tenga un gran número de variables, teniendo en cuenta el Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

11

2.3. ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

mantener la mayor cantidad de variabilidad posible. Esto es logrado generando un nuevo set de variables, los componentes principales (PCs), los cuales son no correlacionados y están ordenados de tal forma que el primero explica la mayor cantidad de varianza presente en todo el set de variables originales.

2.3.1.

Definición y obtención de los componentes principales

Supongamos que x es un vector de p variables aleatorias, y que las varianzas además de la estructura de las covarianzas entre las p variables son de interés. A menos que p sea pequeño o la estructura sea muy simple, a menudo no es muy útil simplemente mirar las p varianzas y todas las 12 p(p − 1) covarianzas. Un enfoque diferente es mirar sólo algunas pocas ( p) variables generadas que preserven la mayor cantidad de información entregada por esas varianzas y covarianzas.

A pesar de que el PCA no ignora las covarianzas, este se concentra en las varianzas. El primer paso es considerar una función lineal α1 0 x de los elementos de x que tengan una máxima varianza, donde α1 es un vector de p constantes α11 , α12 , . . . , α1p y 0 denota su forma transpuesta, asi: α1 x = α11 x1 + α12 x2 + · · · + α1p x p = 0

p X

α1 j x j

(2.22)

j=1

Luego, se debe buscar una función lineal α2 0 x que este no correlacionada con α1 0 x y que tenga una varianza máxima, y así en el k-ésimo paso se encuentra una función lineal α k 0 x que tenga máxima varianza sujeta a ser no correlacionnada con α1 0 x, α2 0 x, . . . , α k−1 0 x. A este k-ésimo elemento α k 0 x se le conocerá como el k-ésimo componente principal. Se pueden obtener hasta p PCs, pero como es de esperar, en general la mayor cantidad de varianza presente en x estará dada por m PCs, donde m  p. A modo de ejemplo consideremos el caso donde p = 2: La figura 2.1 muestra 200 observaciones de 2 variables muy correlacionadas x1 , x2 . Hay una variabilidad considerable en ambas variables, aunque esta está más presente en Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

12

2.3. ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

Figura 2.1: Gráfico de dispersión de 200 observaciones en dos variables x1 y x2

la dirección x2 que en x1 . Si se transforma a los PCs z1 y z2 se obtiene lo mostrado en la figura 2.2.

Es claro que existe una mayor variación en la dirección de z1 que en cualquiera de las variables originales, pero una muy pequeña variación en la dirección z2 . Más en general, si un set de p > 2 variables tiene no despreciables correlaciones entre ellas, un pequeño número de las primeras PCs explicarán la mayor parte de la variabilidad presente en las variables originales. De manera contraria, las últimas PCs identificarán direcciones en las cuales hay muy poca variabilidad, esto es, estas encontrarán relaciones lineales cuasi-constantes entre las variables originales.

Teniendo definidos los PCs, es necesario saber como se encuentran. Consideremos, por el momento, el caso donde el vector de variables aleatorias x tiene una matriz de Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

13

2.3. ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

Figura 2.2: Gráfico de dispersión de las 200 observaciones de las figura 2.1 con respecto a sus PCs z1 y z2

covarianzas conocida Σ. Esta es una matriz en la cual el (i, j)-elemento es la (conocida) covarianza entre el el i-ésimo y j-ésimo elemento de x cuando i , j y representa la varianza del i-ésimo elemento cuando i = j. Se tiene que para k = 1, 2, . . . , p el k-ésimo PC es dado por zk = α k 0 x donde α k es un vector propio de Σ correspondiente al k-ésimo valor propio λk siguiendo un orden decreciente. Además, si α k es elegido tal que tenga un largo unitario (α k 0 α k = 1), entonces var(zk ) = λk , donde var(zk ) denota la varianza de zk . Para derivar la forma de los PCs, considerar primero α1 0 x; el vector α1 maximiza var(α1 0 x) = α1 0 Σα1 . Es claro que, tal como se ve, el máximo no se logrará con un α1 finito por lo cual debe ser impuesta una restricción de normalización. La restricción usada en la obtención es α1 0 α1 = 1, esto es, la suma de los cuadrados de los elementos de α1 sea igual a 1. Pueden haber otro tipo de restricciones, como por ejemplo que Máx j |α1 j | = 1 Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

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2.3. ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

que puede ser más útil en ciertos contextos o bien que α1 0 α1 = C pero esta última hace más difícil el problema de optimización y se podrían obtener set de nuevas variables que difieran de los PCs. Para maximizar α1 0 Σα1 sujeto a α1 0 α1 = 1, el enfoque estándar es utilizar la técnica de los multiplicadores de Lagrange, por lo que se maximiza α1 0 Σα1 − λ(α1 0 α1 − 1)

(2.23)

En donde λ es un multiplicador de Lagrange. La diferenciación con respecto a α1 entrega Σα1 − λα1 = 0

(2.24)

(Σ − λI p )α1 = 0

(2.25)

o bien

En donde I p es la matriz identidad de orden p. Así, Claramente se puede ver que λ es un valor propio de Σ y α1 es su correspondiente vector propio. Para decidir cual de los p vectores propios entregarán un α1 0 x con máxima varianza, notar que la cantidad a ser maximizada es α1 0 Σα1 = α1 0 λα1 = λα1 0 α1 = λ

(2.26)

Por lo que λ deberá ser lo más grande posible. Así, α1 es el vector propio correspondiente al mayor valor propio de Σ y var(α1 0 x) = α1 0 Σα1 = λ1 , el mayor valor propio. El segundo PC α2 0 x maximiza α2 0 Σα2 sujeto a que este no correlacionado con α1 0 x o equivalentemente sujeto a que cov(α1 0 x, α2 0 x) = 0, donde cov(x, y) denota la covarianza

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15

2.3. ANÁLISIS DE COMPONENTES PRINCIPALES

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

entre las variables aleatorias x e y. Pero

cov(α1 0 x, α2 0 x) = α1 0 Σα2 = α2 0 Σα1 = α2 0 λ1 α1 0 = λ1 α2 0 α1 = λ1 α1 0 α2

(2.27)

esto quiere decir que cualquiera de las ecuaciones

α1 0 Σα2 = 0

α2 0 Σα1 = 0

(2.28)

α2 0 α1 = 0

α1 0 α2 = 0;

(2.29)

podrían ser usadas para especificar la nula correlación entre α1 0 x y α2 0 x. Eligiendo la última de estas ecuaciones (como una elección arbitraria pues cualquiera serviría) y notando que una restricción de normalización es nuevamente necesaria, la cantidad de maximizar sería α2 0 Σα2 − λ(α2 0 α2 − 1) − φα2 0 α1

(2.30)

donde λ y φ son multiplicadores de Lagrange. Luego derivando respecto a α2 se obtiene la condición Σα2 − λα2 − φα1 = 0

(2.31)

y multiplicando esta ecuación a la izquierda por α1 0 se logra α1 0 Σα2 − λα1 0 α2 − φα1 0 α1 = 0

(2.32)

de donde los primeros dos términos son cero y α1 0 α1 = 1 lo que implica que el multiplicador φ = 0. Por lo tanto, Σα2 − λα2 = 0 o equivalentemente (Σ − λI p )α2 = 0 por lo que λ es una vez más un valor propio de Σ y α2 su correspondiente vector propio. De nuevo, λ = α2 0 Σα2 por lo que λ debiera ser lo más grande como sea posible. Asumiendo que Σ no tiene valores propios repetidos, λ no puede ser igual a λ1 , ya que si

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2.4. PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y CÁLCULO ESTOCÁSTICO

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

así fuese implicaría que α1 = α2 , violando la restricción de que α1 0 α2 = 0. Por lo tanto λ es el segundo más grande valor propio de Σ y α2 es su correspondiente vector propio. Lo anterior puede ser comprobado para el tercero, cuarto, . . ., p-ésimo PC, los vectores de coeficientes α3 , α4 , . . ., α p son los vectores propios de Σ correspondientes a λ3 , λ4 , . . . , λ p , los tercer y cuarto más grandes, . . . , y el valor propio más pequeño respectivamente. Es decir en general, el k-ésimo PC de x es α k 0 x y var(α k 0 x) = λk , donde λk es el k-ésimo más grande valor propio de Σ y α k es su correspondientes vector propio.

2.4.

Procesos estocásticos y cálculo estocástico

2.4.1.

Movimiento Browniano

El movimiento Browniano juega un papel central en la teoría de probabilidades, teoría de procesos estocásticos y además en finanzas. Se iniciará con una definición de este importante proceso seguido de algunas de sus propiedades elementales.

Definición: Un proceso estocástico B(t) es llamado un movimiento Browniano o un proceso de Wiener si satisface las siguientes condiciones: B(0) = 0 B(t) tiene incrementos independientes, es decir, B(u) − B(t) y B(s) − B(r) son independientes para r < s ≤ t < u. B(t) tiene trayectorias continuas. B(t) − B(s) ∼ N(0, t − s) para s < t. Las distribuciones finito-dimensional de un movimiento Browniano son Gaussianas multivariadas, por lo que B(t) es un proceso Gaussiano. Desde la definición, se sabe que B(t) − B(s) tiene la misma distribución que B(t − s) − B(0) = B(t − s), la cual es normal con media cero y varianza t − s.

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17

2.4. PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y CÁLCULO ESTOCÁSTICO

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

Notar que de la definición es inmediato que el movimiento Browniano tiene una función de esperanza: E(B(t)) = 0

(2.33)

Por otro lado tiene una función de covarianza: Cov[B(t), B(s)] = E[(B(t) − B(s) + B(s))B(s)] = E[(B(t) − B(s))B(s)] + E[B2 (s)] (2.34) = E[(B(t) − B(s))]E[B(s)] + s = 0 + s = s

s
(2.35)

Por lo tanto Cov[B(t), B(s)] = min(s, t). Además si bien las características del movimiento Browniano se ven muy bien, estas tienen consecuencias drásticas. Se puede demostrar que los caminos de un movimiento Browniano estándar no es diferenciable en ningún punto, ya que las rutas cambian de forma en cada vecindad de cada punto de una forma completamente impredecible.

2.4.2.

Integrales estocásticas

Ahora nos centraremos en la construcción de una integral estocástica, para este propósito se considerará un movimiento Browniano B(t) y un proceso estocástico cualquiera X(t), se asumirá que ambos procesos viven en un espacio de probabilidad Ω. Para garantizar la existencia de la integral estocástica se definirá la idea de filtración y de clase L2 . Asumamos que {Ft } es una colección de σ-álgebras dentro del mismo espacio de probabilidad Ω y que todos los {Ft } son subconjuntos de una más grande σ-álgebra F en Ω Definición: La colección {Ft } de σ-álgebras en Ω es llamada una filtración si

F s ⊂ Ft

para todo s < t

(2.36)

En otras palabras, una filtración se puede considerar como una corriente creciente de información. Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

18

2.4. PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y CÁLCULO ESTOCÁSTICO

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

Definición: El proceso estocástico X(t) se dice que es adaptado a la filtración {Ft } si σ(X(t)) ⊂ Ft

(2.37)

En particular σ(X(t), s ≤ t) ⊂ Ft

Definición: Un proceso estocástico X(t) pertenece a la clase L2 [a, b] si las siguientes condiciones son satisfechas: X(t) es adaptado a la filtración {Ft } Rb a

E[X 2 (s)]ds < ∞

Supongamos que X(t) es un proceso estocástico que pertenece a la clase L2 [0, T ]. Si se considera una partición τn : 0 = t0 < t1 < · · · < tn−1 < tn = T

(2.38)

y t ∈ [tk−1 , tk ]. Sea sn (t) una suma de Riemann definida por sn (t) =

k−1 X

X(ti−1 )[B(ti ) − B(ti−1 )] + X(tk−1 )[B(t) − B(tk−1 )]

(2.39)

i=1

Sea It (X) el límite medio cuadrático de sn (t), si el límite existe, este cumple que l´ım E[(sn (t) − It (X))2 ] = 0

n→∞

(2.40)

Definición: El límite medio cuadrático It (X) es llamado como una Itô integral estocástica de X(t). Esta es denotada por It (X) =

t

Z

X(s)dB(s)

t ∈ [0, T ]

(2.41)

0

La Itô integral estocástica también constituye un proceso estocástico.

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19

2.4. PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y CÁLCULO ESTOCÁSTICO

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

Definición: Un proceso estocástico (X(t), t ≥ 0) es llamado una martingala con respecto a la filtración {Ft , t ≥ 0} si E[|X(t)|] < ∞ para cada t X(t) es adaptado a {Ft } E[X(t)|F s ] = X(s) para todo s, t con s ≤ t Con estos conceptos definidos, la Itô integral estocástica It (X) =

Rt 0

X(s)dB(s) cumple

las siguientes propiedades. Se asumirá que X(t) ∈ L2 [0, T ]. It (X) para t ∈ [0, T ] es una martingala con respecto a la filtración Browniana natural {Ft , t ∈ [0, T ]}, esto es "Z

t

# X(s)dB(s)|F s =

E

Z

s

X(s)dB(s)

0

s≤t

(2.42)

0

It (X) tiene una esperanza nula Rt Rt E[ 0 X(s)dB(s)]2 = 0 E[X 2 (s)]ds

t ∈ [0, T ]

Para X(t) y Y(t) en L2 [0, T ] se tiene Z t Z t Z t E[ X(s)dB(s) Y(s)dB(s)] = E[X(s)Y(s)]ds 0

2.4.3.

0

t ∈ [0, T ]

(2.43)

0

Lema de Itô

Sea X(t) un proceso estocástico y supongamos que existe un número real x(0) y dos procesos adaptados µ(t) y σ(t) tales que la siguiente relación se mantiene para todo t ≥ 0 X(t) = x(0) +

t

Z

µ(s)ds + 0

t

Z

σ(s)dB(s)

(2.44)

0

La ecuación anterior puede ser escrita de la forma

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20

2.4. PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y CÁLCULO ESTOCÁSTICO

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

dX(t) = µ(t)dt + σ(t)dB(t) X(0) = x(0)

(2.45) (2.46)

En este caso se dice que X(t) tiene un diferencial estocástico dada por la expresión anterior junto a su condición inicial. En finanzas regularmente se tienen algunas ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE) para series como el precio de una acción por ejemplo. Para determinar la dinámica de esto procesos es que se aplica el lema de Itô, que es básicamente una regla de la cadena para procesos estocásticos.

Teorema: (Lema de Itô) Asumamos que X(t) es un proceso estocástico con un diferencial estocástico dado por dX(t) = µ(t)dt + σ(t)dB(t)

(2.47)

En donde µ(t) y σ(t) son procesos adaptados a la filtración {Ft }. Sea Y(t) un nuevo proceso definido por Y(t) = f (X(t), t) donde f (x, t) es una función dos veces diferenciable en su primer argumento y una vez en el segundo. Se tiene que Y(t) tiene un diferencial estocástico: ! ∂ f 1 2 ∂2 f ∂f ∂f + µ(t) + σ (t) 2 dt + σ(t) dB(t) dY(t) = ∂t ∂X 2 ∂X ∂X

2.4.4.

(2.48)

Proceso Ornstein-Uhlenbeck

Un proceso estocástico X(t) se dice que es un proceso Ornstein-Uhlenbeck si su dinámica sigue la forma dX(t) = κ(θ − X(t))dt + σdB(t)

(2.49)

Donde κ, θ y σ son constantes con κ > 0 y κ > 0 y σ > 0. Un proceso OrnsteinUhlenbeck exhibe una reversión a la media en el sentido que su tendencia es positiva Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

21

2.4. PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y CÁLCULO ESTOCÁSTICO

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

cuando X(t) < θ y negativa cuando X(t) > θ, por lo que el proceso es siempre en el largo plazo llevado hacia el nivel θ. Sin embargo, los movimientos aleatorios de el proceso mediante el término σdB(t) pueden causar que este se aleje de θ. El parámetro κ controla el tamaño del ajuste esperado hacia el nivel de largo plazo y es a menudo referida como el parámetro de reversión a la media o la velocidad de ajuste.

Para encontrar una solución a la ecuación estocástica 2.49, se utiliza el lema de Itô considerando la función f (x, t) = eκt x y se define el proceso Y(t) = f (X(t), t) = eκt X(t). Tomando ∂f = eκt , ∂x

∂f = κeκt x, ∂t

∂2 f =0 ∂x2

(2.50)

Se tiene desde el lema de Itô considerando µ(t) = κ(θ − X(t)) y σ(t) = σ

dY(t) = (κeκt X(t) + eκt κ(θ − X(t) + 0)dt + σeκt dB(t)

(2.51)

= kθeκt dt + σeκt dB(t)

(2.52)

Así se tiene Y(t) = y(0) +

t

Z

κu

κθe du +

t

Z

0

σeκu dB(u)

(2.53)

0

Luego sustituyendo de la definición de Y(t) y multiplicando por e−κt se logra la expresión X(t) = e

−κt

x(0) + θ(1 − e ) +

Z

t

−κt

σe−κ(t−u) dB(u)

(2.54)

0

De las propiedades de la integral estocástica, se sabe que la integral

Rt 0

σe−κ(t−u) dB(u)

es normalmente distribuida con media cero y varianza "Z

t

σe

−κ(t−u)

Var 0

# Z t σ2 dB(u) = σ2 e−2κ(t−u) du = (1 − e−2κt ) 2κ 0

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(2.55)

22

2.4. PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y CÁLCULO ESTOCÁSTICO

CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO

Por lo que se concluye que X(t) dado X(0) = x(0) es normalmente distribuido con media y varianza dada por

E[X(t)|X(0) = x(0)] = e−κt x(0) + θ(1 − e−κt ) Var[X(t)|X(0) = x(0)] =

σ2 (1 − e−2κt ) 2κ

(2.56) (2.57)

Por otro lado si se quisiera hallar su esperanza y varianza no condicionada se debe considerar el estado estacionario, es decir cuando t → ∞, se tiene

E[X(t)] = θ Var[X(t)] =

σ2 2κ

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(2.58) (2.59)

23

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

Cap´itulo 3 Metodolog´ia 3.0.1.

Datos

En esta investigación se trabajó con las acciones de mayor presencia bursátil de los principales mercados accionarios latinoamericanos, específicamente con los países de Argentina, Brasil, Chile, Colombia, México y Perú; sus principales indicadores bursátiles y los ETF más líquidos de mayor capitalización que representan a los mercados analizados, considerando el periodo comprendido entre el 4 de Enero del 2010 hasta el 29 de Diciembre del 2017. Los precios de cierre diarios de las acciones, indicadores y ETFs fueron extraídos desde el software Economática monetizados como dólares americanos (USD) ya que todos los ETFs considerados son transados en esta moneda, junto con que la estrategia pueda tener una misma base de cálculo bajo la visión de un inversor global y pueda ser comparable entre países dada la variación del tipo de cambio que estos presentan a lo largo del tiempo. El detalle de los datos se puede ver en la tabla 3.1 y tabla 3.2.

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CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

País

ETF

Sigla

Indicador que sigue

Argentina

Global X MSCI Argentina ETF

ARGT

MSCI All Argentina 25/50 Index

Brasil

iShares MSCI Brazil ETF

EWZ

MSCI Brazil 25/50 Index

Chile

iShares MSCI Chile ETF

ECH

MSCI Chile IMI 25/50 Index

Colombia

Global X MSCI Colombia ETF

GXG

MSCI All Colombia Select 25/50 Index

México

iShares MSCI Mexico ETF

EWW

MSCI Mexico IMI 25/50 Index

Perú

iShares MSCI Peru ETF

EPU

MSCI All Peru Capped Index

Tabla 3.1: Resumen de los ETFs utilizados en cada país.

País

#Acciones

Indicador de Mercado

#Observaciones

Argentina

31

Merval

1947

Brasil

181

Bovespa

1978

Chile

48

IPSA

1994

Colombia

16

COLCAP

1951

México

43

IPC

2011

Perú

19

SPBLPGPT

2006

Tabla 3.2: Resumen de las acciones e indicadores utilizados en cada país.

3.0.2.

Análisis de componentes principales y eigenportfolios

Consideremos rit = log[Pit ] − log[Pi(t−1) ] como los retornos logarítmicos de una acción i en un universo de N acciones a analizar durante una ventana móvil de M días de largo, dado que cada serie de retornos tiene distinta media y variabilidad, se trabajó con su forma PM 1 PM 2 estandarizada Ait = ritσ−ri i , en donde ri = M1 t=1 rit y σ2i = M−1 t=1 (rit − r i ) . Luego para obtener la mayor cantidad de información de los datos, se consideró la matriz de correlación

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25

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

de Pearson 1 de Ait definida por: M

1 X Ci j = Ait A jt M − 1 t=1

(3.1)

Que es simétrica, semi-definida positiva y además coincide con la matriz de covarianza de Ait dado que los retornos tienen una desviación estándar unitaria debido a la normalización.

En [30] se aconseja no considerar valores de M muy grandes para datos diarios pues no es económicamente relevante considerar un pasado muy lejano para este tipo de análisis, siguiendo esta linea se trabajó con una ventana móvil de 1 año de mercado (252 días) donde diariamente se actualizó la matriz de correlaciones Ci j para posteriormente calcular sus valores y vectores propios. Sin pérdida de generalidad se define {λ j }Nj=1 como los valores propios de Ci j en donde N ≥ λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λN ≥ 0 y sus respectivos vectores propios v( j) = (v(1j) , v(2j) , ..., v(Nj) )T , la cantidad de varianza correspondiente a la matriz de correlación explicada por el k-ésimo valor propios viene dada por

λ PN k j=1

λj

, con esto en mente el orden

de los valores propios definido anteriormente se entiende en términos de la variabilidad explicada por cada uno. En todos los mercados estudiados el primer eigenvalue destacó muy por sobre los demás incluso en algunos periodos explicando más del 50 % de la varianza, mientras que los demás mostraron una repartición de varianza explicada más equitativa manteniendo su carácter decreciente como se puede ver en la Figura (3.1) para los primeros cinco valores propios.

1

En base a [30] que referencia los trabajos hechos por [48] y [49] que estudian los valores y vectores propios de la matriz de correlación en mercados norteamericanos. Posteriores a ellos, están los hechos por [50] en el mercado accionario de Tokio, [51] y [52] en mercados accionarios de India, [53] en el mercado accionario chino y más recientemente [54] que analiza las correlaciones de los índices acciones de las 52 mayores economías del mundo.

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26

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

(a) Argentina

(b) Brasil

(c) Chile

(d) Colombia

(e) México

(f) Perú

Figura 3.1: Varianza acumulada de la matriz de correlación Ci j explicada por los cinco primeros valores propios en mercados accionarios latinoamericanos desde el año 2011 al 2017 en una ventana móvil de 252 días de largo.

Además de acuerdo a [30], a cada valor propios λ j se le asocia un eigenportfolio compuesto por cada una de las N acciones en estudio, donde el peso correspondiente a cada acción i es dado en función de su respectiva componente en el vector propios asociado y su desviación estándar en los M días, siguiendo esta línea los pesos de este eigenportfolio PN se definen como ωi j = v(i j) /σi , junto a su normalización ωi j = ωi j / i=1 ωi j para que estos sumen la unidad. De esta manera los retornos de cada eigenportfolio j fueron escritos como: E jt =

N X

ωi j rit

(3.2)

i=1

Es importante señalar que los retornos de dos eigenportfolios distintos no están correlacionados por construcción, además el primer eigenportfolio (que corresponde al mayor valor propio) cumple con que todos sus pesos resultan ser no negativos por el Teorema de Perron-Frobenius y más aún este logra un comovimiento respecto al Portafolio definido

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27

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

por capitalizaciones de mercado (Marketcap) y al índice representativo de mercado (ver [48] y [49]) como se muestra en la figura (3.2).

(a) Argentina

(b) Brasil

(c) Chile

(d) Colombia

(e) México

(f) Perú

Figura 3.2: Comparación del eigenportfolio dominante, el diversificado por capitalizaciones de mercado y el índice accionario más representativo en los mercados accionarios latinoamericanos desde el año 2011 al 2017 en una ventana móvil de 252 días de largo.

3.0.3. Pairs Trading y Modelo Multifactorial El concepto de Pairs trading como se dijo en la anterior sección es relativamente sencillo, primero se debe identificar un par de activos que posean un comovimiento histórico y cuando el spread entre ellos crezca se deberá tomar una posición larga en el activo infravalorado y contrariamente ir en una posición corta en el activo sobrevalorado, de esta manera si el comovimiento se repite, los precios convergerán y la estrategia generará ganancias [5]. Además, dados los distintos tipos de posiciones que se ejecutan a lo largo del tiempo, esta estrategia tenderá a tener una baja exposición al mercado y si estas posiciones son realizadas en las cantidades correctas puede considerarse como una estrategia market-neutral, es decir, los retornos de la estrategia no estarán correlacionados con los retornos del mercado.

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28

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

En [30] se propone un modelo multifactorial de Pairs Trading considerando más de dos activos a analizar, para posteriormente a partir de su residual generar una señal de decisión para el inversor. Formalmente el modelo multifactorial es del tipo: p

X dFk (t) dS i (t) = αi dt + βik + dXi (t) S i (t) Fk (t) k=1

(3.3)

p Donde S i (t) es la respectiva serie de precios de una acción i y {Fk (t)}k=1 los p factores

a utilizar. Notar que el modelo (3.3) puede ser considerado como una regresión lineal entre los retornos de S i (t) y los retornos de los factores Fk (t), en donde el residual dXi (t) corresponde a los incrementos del spread entre los activos y el drift αi dt es el exceso de retorno respecto a los factores.

La elección de los factores debe ser hecha con cuidado para que no exista correlación entre ellos, en [30] se propone utilizar el enfoque PCA mediante el uso de los eigenportfolios como factores no correlacionados para modelar dXi (t), de esta manera la estrategia toma una condición de Pairs Trading respecto al propio set de datos: por un lado considerando al mercado (para el primer eigenportafolio) y por otro considerando los demás p − 1 factores Pp k (t) βik dF tales que expliquen un determinado nivel de varianza. Dado que el término k=1 Fk (t) corresponde a la parte sistemática de los retornos, si se quisiera invertir en los retornos no sistemáticos αi dt + dXi (t), las transacciones que debería realizar el inversor sería que por cada dólar invertido en largo (corto) en la acción S i , ir βik dólares en corto (largo) en cada factor Fk . La estimación de los parámetros y el residual en el modelo (3.3) fue realizada mediante mínimos cuadrados ordinarios (OLS).

3.0.4.

Determinación del número de factores

Dada la variabilidad histórica de los datos, la cantidad de componentes principales que explican ciertos niveles de varianza no son constantes a través del tiempo como se puede ver en la figura (3.3), de hecho cuando la volatilidad del mercado aumenta, la cantidad de componentes predominantes tiende a disminuir, condición que ocurre en todos los mercados estudiados. Por lo anterior, en este estudio se utilizó una cantidad de factores variables en Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

29

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

el tiempo que expliquen un nivel de varianza fija en los escenarios de 30 %, 40 %, 50 % y 60 %.

(a) Argentina

(b) Brasil

(c) Chile

(d) Colombia

(e) México

(f) Perú

Figura 3.3: Cantidad de componentes principales necesarios para explicar el 30 %, 40 %, 50 % y 60 % de variabilidad total de los datos desde el año 2011 al 2017, considerando una ventana móvil de 252 días de largo. La región sombreada representa la desviación estándar del índice representativo de mercado considerando una ventana móvil de 21 días de largo.

3.0.5.

Generación de la señal de trading

Para generar la señal se consideró sólo la presencia de la componente variable dXi (t) del retorno no sistemático, siguiendo el supuesto de [30] que asume que el drift αi dt no es estadísticamente relevante respecto a la variabilidad de Xi (t). De esta manera, se modela el spread Xi (t) como un proceso estocástico de reversión a la media Ornstein-Uhlenbeck de la forma: dXi (t) = κi (mi − Xi (t)) dt + σi dWi (t),

κi > 0

(3.4)

En donde el parámetro mi representa su media de reversión, κi su velocidad de reversión, σi su grado de variabilidad y Wi (t) denota un proceso de Wiener, además como los increDepartamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

30

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

mentos dXi (t) tiene una esperanza condicional de E [dXi (t)|Xi (s), s ≤ t] = κi (mi − Xi (s)) dt, se esperará que Xi (t) aumente su valor en medida que sea menor a la media de reversión mi es decir se va a predecir un retorno no sistemático positivo y viceversa, con esto en mente la decisión de abrir una posición larga en la acción i deberá hacerse cuando Xi (t) − mi < −θ para un θ > 0 previamente escogido y análogamente de abrir una posición corta cuando Xi (t) − mi > θ.

Dado que los valores de Xi (t) − mi pueden ser muy grandes o pequeños entre cada una de las acciones, la elección de un θ es difícil para posteriormente hallar un criterio de decisión común, este problema en [30] fue abordado definiendo una variable adimensional si llamada s-score, esta fue generada a partir de los parámetros mi , κi , σi de la solución de la ecuación diferencial estocástica presentada en el modelo (3.4): −κi ∆t

Xi (t0 + ∆t) = e

−κi ∆t

Xi (t0 ) + (1 − e

)mi + σi

Z

t0 +∆t

e−κi (t0 +∆t−s) dWi (s)

(3.5)

t0

En donde ∆t = 1/252 y en el largo plazo (estado estacionario), Xi (t) sigue una distriσ2

bución de probabilidad de equilibrio N(mi , 2κii ). Así, tomando su desviación de equilibrio σeq,i =

σ √i 2κi

se define: si =

Xi (t) − mi σeq,i

(3.6)

Señal que puede ser interpretada como una banda de Bollinger en que Xi (t) se distancia si desviaciones de equilibrio desde su media de reversión mi , por lo cual el trabajo debe centrarse en estimar los parámetros mi , κi , σi y definir umbrales de decisión sobre si .

3.0.6.

Estimación de parámetros del proceso Ornstein-Uhlenbeck

Dada la naturaleza discreta del set de datos, los parámetros mi , κi , σi fueron calculados y actualizados diariamente mediante regresiones lineales. Si para cada día, se considera una ventana móvil (en la cual se asume que los parámetros serán constantes) correspondiente a los últimos T días de la serie de retorno de las acciones y los eigenportfolios, los betas del

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31

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

modelo (3.3) pueden ser estimados como: rin = β0 +

p X

βik F˜ kn + n

n = 1, ..., T

(3.7)

k=1

Donde riT representa el último retorno observado y F˜ kn es la serie de retornos de cada eigenportfolio k. Además utilizando el residual de la anterior regresión, se define la forma discreta de Xi (t) como: Xin =

n X

j

n = 1, ..., T

(3.8)

j=1

Notar que XiT = 0 pues al usar el método de mínimos cuadrados ordinarios en el modelo (3.7), una de las condiciones de minimización implica que la suma de residuales sea cero. Por otro lado, el modelo (3.5) puede ser visto como un modelo AR(1) de forma: Xi( j+1) = ai + bi Xi j + δi( j+1)

j = 1, ..., T − 1

(3.9)

En donde los parámetros mi , κi , σeq,i son despejados a partir del sistema de ecuaciones:

ai = mi (1 − e−κi ∆t ) bi = e−κi ∆t Var(δi ) = σ2i

=⇒ −2κi ∆t

1−e 2κi

κi = −log(bi ) ∗ 252 ai mi = 1 − bi s Var(δi ) σeq,i = 1 − b2i

(3.10)

Además se consideró la modificación propuesta en [30] consistente en cambiar el centro del parámetro mi para disminuir el sesgo del modelo y generalizar el cálculo de si respecto a todas las acciones, esto permite definir umbrales comunes que sean independientes de cada acción. En la figura (3.4) se puede ver cómo para distintas acciones, la señal si se mueve en torno a una media común mi definida por: N 1X mi = mi − mj N j=1

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(3.11)

32

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

Finalmente tomando en cuenta que Xi (t) = XiT = 0, el s-score para cada una de las acciones quedaría definido como: s −mi si = = σeq,i

! 1 − b2i  a  ai − Var(δi ) 1 − b 1 − bi

(3.12)

En donde h·i representa el promedio entre las N acciones.

(a) Argentina

(b) Brasil

(c) Chile

(d) Colombia

(e) México

(f) Perú

Figura 3.4: Evolución de la señal si desde junio del 2011 a Mayo del 2012 para las 3 acciones de mayor capitalización de mercado en cada país en 2010, considerando una variabilidad explicada de un 50 % y 60 días para la estimación de parámetros.

3.0.7.

Decisión de inversión

Cómo se explicó anteriormente el s-score muestra que tan distante esta una acción respecto a su equilibrio basado en el modelo (3.4), cuando esta señal se hace lo suficientemente negativa implica que su retorno no sistemático dXi (t) tenderá a subir y lo contrario para una señal positiva. Con esto se define una decisión de inversión en base a umbrales de

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33

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

si : Abrir posición larga si

si < −sbo

Cerrar posición larga si

si > −s sc

Abrir posición corta si

si > s so

Cerrar posición corta si

si < sbc

(3.13)

Una decisión de inversión, por ejemplo abrir una posición larga, implica comprar un dólar de la respectiva acción i junto con vender βik dólares de cada uno de los k eigenportfolios y de manera contraria, vender la acción y comprar eigenportfolios para cerrar la posición. Dado que los eigenportfolios son instrumentos de inversión artificiales que no son transados en un mercado real, cada compra (venta) en una acción es acompañada con una venta (compra) de su respectivo ETF de mercado.

Por otro lado también se consideró sólo abrir posiciones nuevas para acciones que tengan una rápida reversión a la media, esto es cuando κi  1. Específicamente siguiendo [30], una acción tendrá una rápida reversión a la media cuando κi >

252 T/2

lo que en términos

de parámetros del modelo (3.4) y modelo (3.7) para un T = 30 corresponde a la condición de 0 < bi < 0,9355 y para un T = 60 a la condición 0 < bi < 0,9672.

3.0.8.

Portafolio

Consideremos Et como el monto total en el portafolio al inicio de cada día t, siguiendo a [30] la evolución de este viene definido por:

Et+∆t = Et + Et r∆t +

N X

Qit rit + QET F,t rET F,t −

i=1

Ct+∆t = |QET F,(t+∆t) − QET F,t | +

N X

Qit r∆t − QET F,t r∆t − Ct+∆t

i=1 N X

|Qi,(t+∆t) − Qit |

(3.14)

i=1

λ Qit = Et Ψit N

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34

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

Donde Qit es el monto invertido en la acción i el día t, QET F,t 2 es el monto invertido en el ETF el dia t, rit y rET F,t los retornos de cada acción y ETF respectivamente en el día t. Cada cantidad Qit y QET F,t invertida en largo (corto) es pedida (depositada) tal como muestra el quinto y sexto término de la primera línea donde r es la tasa de interés para el efectivo de 2 % (considerada igual tanto para depósitos como préstamos). En la segunda línea se muestra que el costo de transacción va inputado a los diferenciales de los montos invertidos de un día a otro con un costo de transacción fijo  correspondiente a un 0,1 %. Finalmente la última línea señala cómo se distribuyen los montos invertidos, la función Ψit muestra qué tipo de posición tiene la acción i en el día t, donde toma el valor de 1 en posiciones largas, −1 en posiciones cortas y 0 en otros casos. El parámetro constante λ indica que proporción del portafolio es reinvertido al día siguiente en búsqueda de cierto nivel máximo de apalancamiento, naturalmente tal como es señalado en [30] el valor de este parámetro no hace cambiar el índice de Sharpe del portafolio. En este estudio se utilizó un valor λ = 2 buscando que la cantidad máxima que se pueda reinvertir sea el doble del monto total en el periodo anterior.

3.0.9.

Elección de umbrales

En [30] se consideran unos umbrales fijos que fueron usados a lo largo de la toda la estrategia, los umbrales propuestos fueron sbo = 1,25, s sc = 0,50, s so = 1,25, sbc = 0,75. En pruebas posteriores hemos comprobado que para otros periodos existen otras combinaciones de umbrales que mejoran el rendimiento de la estrategia dando cabida a proponer que estos no tienen porqué ser necesariamente fijos, siguiendo esta idea, en este trabajo se estudia una elección variable de umbrales consistente en 2 periodos móviles: un entrenamiento de 2 años mercantiles (504 días) donde se eligen los mejores umbrales bajo cierto criterio y posteriormente un periodo de trading donde estos umbrales son utilizados.

En el periodo de entrenamiento se eligen los umbrales de acuerdo al problema de 2

Como el primer eigenportfolio representa al portafolio de mercado hemos asumido que sus betas estiman PN el beta de cada acción, siguiendo esto se definió QET F,t = − i=1 βi1 Qit .

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35

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

optimización: min s.t.

σE − µE −sbo ≤ −s sc sbc ≤ s so 0 ≤ sbo , s so ≤ 3

(3.15)

0 ≤ sbc , s sc ≤ 1 sbo , sbc , s so , s sc ∈ R Se decidió escoger esta función objetivo en base al caso irrestricto de frontera eficiente estudiado en [47] que combina el hecho de maximizar el retorno y minimizar la varianza en conjunto, asignándole pesos específicos a cada uno. En este estudio se consideraron ambos objetivos con pesos iguales, en donde µE y σE corresponden a la media y desviación estándar de los retornos del portafolio Et . Se consideraron como restricciones principales que el s-score debe tener recorridos más largos para aperturas que en cierres de posiciones, además de acotar a tres y una desviación del punto de equilibrio las aperturas y cierres respectivamente. Para cada ventana móvil de entrenamiento la optimización fue resuelta mediante enumeración completa considerando un mallado en 4 dimensiones (una para cada umbral) con una distancia de 0.1 unidades en cada eje que generaron un total de 79.794 casos posibles, los cuales fueron evaluados rescatando el mejor resultado. En la figura (3.5) se pueden ver algunos resultados para el caso de 30 % de varianza explicada, 30 días para la estimación de parámetros y 1 día de periodo de trading.

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36

CAPÍTULO 3. METODOLOGÍA

(a) Argentina

(b) Brasil

(c) Chile

(d) Colombia

(e) México

(f) Perú

Figura 3.5: Evolución de los umbrales obtenidos desde junio del 2013 a diciembre del 2017, considerando una variabilidad explicada de un 30 %, 30 días para la estimación de parámetros y un periodo de trading de 1 día.

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37

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

Cap´itulo 4 Resultados 4.1.

Resultados

En esta sección se muestran los resultados empíricos obtenidos tomando en cuenta variaciones de los distintos parámetros de la estrategia: la cantidad de varianza explicada por los valores propios, el periodo de trading y la cantidad de días considerados para el cálculo de los parámetros del proceso Ornstein-Uhlenbeck. En la primera parte se muestran los resultados en función del índice de Sharpe anualizado, retornos y desviaciones anualizadas. En la segunda parte se presenta una modificación de la elección de los umbrales considerando cambiar la función objetivo por una que maximice el índice de Sharpe en cada periodo de entrenamiento. Finalmente en la tercera parte es presentada la evolución de los mejores portafolios considerando ambos casos junto a sus betas y umbrales óptimos.

4.1.1.

Elección de umbrales bajo el criterio σE − µE

Los primeros resultados mostrados son bajo la optimización propuesta en el modelo 3.15 para el periodo comprendido desde Junio del 2013 a Diciembre del 2017. En la tabla 4.1 se muestran los retornos, desviaciones estándar e índices de Sharpe de los mercados accionarios latinoamericanos estudiados, tres de estos mercados tienen un retorno promedio anual positivo y sólo el mercado de Argentina posee un índice de Sharpe positivo.

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38

4.1. RESULTADOS

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

Market Index

Bovespa

IPSA

IPC

COLCAP SPBLPGPT

Merval

Sharpe Index

-0.12

-0.04

-0.36

-0.71

-0.06

0.47

Annualized STD

32.30 %

16.13 % 21.15 % 20.29 %

17.07 %

38.39 %

1.36 %

1.06 %

19.86 %

Annualized return -1.85 %

-5.61 %

-12.45 %

Tabla 4.1: Resumen de los índices de Mercado desde junio del 2013 a diciembre del 2017. El índice de Sharpe fue calculado como (µ − r)/σ donde µ y σ son el retorno y desviación estándar anualizada de la estrategia respectivamente, la tasa de interés r fue considerada como 2 % anual al igual que en el Portafolio definido en el modelo 3.14.

En la tabla 4.2 son mostrados los resultados de la estrategia para 30 y 60 días en la estimación de los parámetros del proceso Ornstein-Uhlenbeck. Para cinco de los seis mercados accionarios, los mejores resultados fueron obtenidos con un menos porcentaje de varianza explicada. En los mercados de Brasil, Chile y Colombia los mejores resultados se obtuvieron considerando el menor de los porcentajes de varianza explicada, 21 días en el periodo de trading y 30 días en la estimación de los parámetros del proceso OrnsteinUhlenbeck. Para los mercados accionarios de México y Perú, la mejor configuración fue con un 30 % de varianza explicada y un día de trading, pero para México con 30 de estimación del proceso Ornstein-Uhlenbeck mientras que en el caso peruano con 60 días. El mejor resultado para el mercado accionario de Argentina es el único con un 50 % de varianza explicada, pero similar a Perú, un día de periodo de trading y 60 días en la estimación del proceso Ornstein-Uhlenbeck. En todos los mercados accionarios los mejores índices de Sharpe obtenidos con la estrategia superan a los índices de Sharpe de mercado, la única excepción es el mercado accionario argentino; por otro lado, la estrategia para Brasil, Chile, México, Colombia y Perú incrementa en retornos anualizados y reduce el riesgo, mientras que en Argentina si bien se reduce el riesgo, también se reducen los retornos. Los resultados para el periodo de trading de 126 días (6 meses) no son presentados por temas de espacio, pero estos no tuvieron mejores índices de Sharpe respecto a los menores periodos de trading, además se analizaron mayores días en la estimación de los parámetros del proceso Ornstein-Uhlenbeck y los resultados fueron peores.

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39

4.1. RESULTADOS

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

Varianza

30 %

Estimación O-U Periodo de trading

30 días

40 % 60 días

30 días 1 día

21 días

50 % 60 días

1 día

21 días

30 días 1 día

21 días

60 % 60 días

1 día

21 días

30 días

1 día

21 días

1 día

21 días

1 día

21 días

Sharpe an.

3.11

3.15

2.07

2.05

2.21

2.17

2.02

1.98

1.35

1.29

1.42

1.49

0.41

Desv. an.

11.43 % 11.26 % 14.30 %

14.38 %

14.45 %

14.31 %

14.71 %

14.81 %

16.16 %

16.28 %

15.86 %

15.98 %

13.61 %

Retorno an.

37.49 % 37.37 % 31.79 %

31.56 %

33.88 %

33.06 %

31.87 %

31.47 %

23.92 %

23.23 %

24.54 %

25.90 %

7.54 %

6.01 %

60 días 1 día

21 días

0.30

1.18

1.12

13.37 %

16.42 %

16.52 %

21.44 %

20.50 %

Panel A: Brasil

Panel B :Chile 0.44

Sharpe an.

0.20

0.25

0.18

0.17

-0.42

-0.23

0.20

0.42

0.11

0.19

-0.43

-0.23

0.08

-0.01

Desv. an.

10.41 % 10.29 % 9.33 %

9.08 %

9.74 %

9.83 %

9.93 %

9.76 %

9.28 %

9.40 %

9.31 %

9.40 %

8.87 %

8.81 %

6.96 %

6.85 %

Retorno an.

4.06 %

6.56 %

2.30 %

4.26 %

3.71 %

3.66 %

-2.12 %

-0.24 %

3.81 %

5.91 %

3.05 %

3.79 %

-1.83 %

0.01 %

2.56 %

1.95 %

Sharpe an.

0.19

0.07

-0.10

0.00

0.01

0.00

-0.03

0.03

-0.40

-0.58

-0.10

-0.17

-0.86

-1.06

-0.09

-0.15

Desv. an.

8.28 %

8.31 %

6.61 %

6.27 %

8.38 %

8.40 %

6.93 %

6.78 %

9.15 %

8.70 %

7.26 %

7.14 %

6.46 %

6.18 %

7.53 %

7.62 %

Retorno an.

3.55 %

2.59 %

1.37 %

1.99 %

2.12 %

1.97 %

1.76 %

2.20 %

-1.69 %

-3.00 %

1.30 %

0.81 %

-3.58 %

-4.57 %

1.34 %

0.89 %

Sharpe an.

1.70

1.74

1.06

1.23

1.38

1.41

1.11

1.13

1.64

1.66

1.22

1.12

0.70

0.86

0.83

0.78

Desv. an.

11.52 % 11.85 % 13.39 %

13.20 %

12.38 %

12.36 %

13.90 %

14.36 %

11.64 %

11.64 %

12.43 %

12.68 %

11.82 %

11.57 %

12.22 %

12.94 %

Retorno an.

21.58 % 22.62 % 16.19 %

18.26 %

19.07 %

19.47 %

17.47 %

18.29 %

21.04 %

21.28 %

17.14 %

16.20 %

10.27 %

11.98 %

12.14 %

12.11 %

0.03

Panel C: México

Panel D: Colombia

Panel E: Perú -0.31

1.11

Sharpe an.

-0.12

0.03

-0.10

0.83

0.70

0.12

0.10

0.69

0.79

0.04

-0.15

0.84

0.75

Desv. an.

13.34 % 13.32 %

13.74 % 13.74 %

0.97

13.13 %

12.64 %

14.25 %

14.17 %

13.08 %

12.30 %

13.15 %

13.27 %

11.61 %

11.61 %

13.46 %

13.38 %

Retorno an.

0.40 %

-2.09 %

17.26 % 15.30 %

2.37 %

0.68 %

13.76 %

11.86 %

3.54 %

3.20 %

11.06 %

12.50 %

2.52 %

0.31 %

13.27 %

12.00 %

Sharpe an.

-0.20

-0.25

-0.07

-0.24

0.02

0.09

-0.17

-0.40

0.16

0.14

0.41

0.32

0.02

-0.21

-0.02

-0.15

Desv. an.

24.20 %

24.14 %

24.81 %

26.01 %

23.81 %

23.71 %

23.75 %

23.53 %

18.47 %

17.68 % 21.07 % 22.05 %

26.89 %

27.02 %

27.03 %

27.20 %

Retorno an.

-2.96 %

-4.15 %

0.21 %

-4.20 %

2.47 %

4.24 %

-1.95 %

-7.52 %

4.93 %

4.45 %

2.63 %

-3.74 %

1.37 %

-1.99 %

Panel F: Argentina

10.70 % 9.10 %

Tabla 4.2: Resumen de los retornos, desviación estándar e índice de Sharpe anualizados para los mercados accionarios latinoamericanos analizados con la selección de umbrales mediante el criterio σE − µE , considerando 30 y 60 días de estimación de parámetros del proceso Ornstein-Uhlenbeck entre junio del 2013 y diciembre del 2017. El índice de Sharpe fue calculado como (µ − r)/σ donde µ y σ son los respectivos retornos y desviaciones estándar anualizados, la tasa de interés r fue considerada como 2 % anual siendo consistente con el portafolio definido en el modelo 3.14.

4.1.2.

Elección de umbrales bajo el criterio de índice de Sharpe

En búsqueda de minimizar aún más la volatilidad de los portafolios obtenidos por la estrategia, se propuso una modificación de la función objetivo presentada en el modelo (3.15), ya que esta por su forma lineal privilegió la obtención de umbrales que presentaban mayores retornos en desmedro de obtener volatilidades superiores (aún así menores que las del mercado en general), dado lo anterior se propuso trabajar de acuerdo al problema de

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40

4.1. RESULTADOS

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

optimización: min s.t.

−

µE − r σE

−sbo ≤ −s sc sbc ≤ s so

(4.1)

0 ≤ sbo , s so ≤ 3 0 ≤ sbc , s sc ≤ 1 sbo , sbc , s so , s sc ∈ R En la tabla 4.3 son mostrados los resultados de la estrategia para una selección de umbrales bajo este criterio de índice de Sharpe, para 30 y 60 días de estimación de parámetros del proceso Ornstein-Uhlenbeck. En el caso del mercado accionario brasileño se mantiene la tendencia de obtener mejores resultados con menores porcentajes de varianza explicada y 30 días para estimar los parámetros del proceso Ornstein-Uhlenbeck. La volatilidad de el mejor resultado brasileño es menor respecto al del primer criterio, pero el índice de Sharpe es menor en alrededor de un 21 % pero aún así supera al del Bovespa. Para los casos chileno y peruano, los mejores resultados fueron obtenidos con 60 días de estimación de parámetros del proceso Ornstein-Uhlenbeck, 40 % de varianza explicada y 21 días de periodo de trading. Para México y Colombia, los mejores resultados fueron con una configuración de un 60 % de varianza explicada, 60 días en la estimación de parámetros y 1 día de trading. Finalmente, en el caso argentino los mejores resultados se lograron en condiciones similares a Colombia y Perú con la excepción que fueron considerando un 50 % de varianza explicada, esta configuración fue la mejor para ambos criterios. Comparando los resultados para Chile, México y Argentina el criterio de índice de Sharpe tiene un mejor rendimiento respecto al criterio σE − µE ; siendo un 30 % mayor en Chile y tres veces mayor en los casos de México y Argentina. Por otro lado el criterio de índice de Sharpe no mejora los rendimientos en los mercados de Colombia y Perú; disminuyendo el índice de Sharpe en 8 % en Perú y más del 50 % en Colombia. En todos los mercados el mejor índice de Sharpe obtenido por la estrategia superó al del índice de mercado respectivo.

Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

41

4.1. RESULTADOS

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

Varianza

30 %

Estimación O-U Periodo de trading

30 días

40 % 60 días

1 día

21 días

1 día

Sharpe an.

2.48

2.36

Desv. an.

11.15 % 11.16 %

Retorno an.

29.75 % 28.40 %

20.26 %

30 días

50 % 60 días

21 días

1 día

21 días

1 día

21 días

2.07

2.05

2.22

2.25

1.84

8.80 %

8.98 %

11.51 %

11.48 % 9.29 %

20.38 %

27.61 % 27.89 % 19.11 % 19.59 %

30 días

60 % 60 días

1 día

21 días

1 día

1.77

1.57

1.49

2.00

9.93 %

10.30 % 10.27 % 6.03 %

30 días

60 días

21 días

1 día

21 días

1 día

21 días

1.94

0.46

0.32

1.71

1.81

6.19 %

10.62 % 10.88 % 5.44 %

5.30 %

18.25 % 17.36 % 14.06 % 14.03 %

6.82 %

5.41 %

11.37 %

11.68 %

Panel A: Brasil

Panel B: Chile Sharpe an.

0.09

-0.17

0.17

0.37

-0.08

-0.13

0.26

0.57

0.16

-0.02

-0.39

0.00

-0.15

-0.12

0.19

0.03

Desv. an.

7.52 %

7.43 %

4.20 %

4.06 %

5.70 %

5.69 %

2.48 %

2.55 %

6.08 %

6.23 %

3.58 %

3.20 %

3.23 %

2.54 %

4.08 %

4.23 %

Retorno an.

2.65 %

0.72 %

2.71 %

3.50 %

1.57 %

1.27 %

2.65 %

3.45 %

2.96 %

1.85 %

0.59 %

2.00 %

1.50 %

1.69 %

2.79 %

2.12 %

Sharpe an.

-0.49

-0.16

-0.01

0.03

-0.09

0.11

0.22

0.01

-0.35

-0.43

0.51

0.08

-0.68

-0.70

0.66

0.39

Desv. an.

5.87 %

5.58 %

3.45 %

3.62 %

5.32 %

5.24 %

4.81 %

4.12 %

5.91 %

5.95 %

4.88 %

5.05 %

4.55 %

4.30 %

5.84 %

5.97 %

Retorno an.

-0.87 %

1.10 %

1.96 %

2.11 %

1.53 %

2.58 %

3.05 %

2.06 %

-0.04 %

-0.56 %

4.50 %

2.40 %

-1.10 %

-1.00 %

5.83 %

4.34 %

Sharpe an.

0.62

0.52

0.57

0.58

0.28

0.63

0.68

0.64

0.77

0.67

-0.30

-0.15

-0.11

-0.07

0.85

0.73

Desv. an.

8.24 %

7.98 %

7.23 %

6.89 %

7.19 %

7.47 %

8.13 %

7.57 %

7.42 %

7.11 %

6.95 %

6.87 %

5.32 %

5.56 %

5.10 %

5.09 %

Retorno an.

7.13 %

6.18 %

6.10 %

5.98 %

4.00 %

6.68 %

7.52 %

6.85 %

7.74 %

6.77 %

-0.09 %

0.97 %

1.44 %

1.59 %

6.31 %

5.71 %

1.03

Panel C: México

Panel D: Colombia

Panel E: Perú Sharpe an.

0.41

0.19

0.56

0.76

0.25

-0.15

0.81

-0.07

0.18

0.92

0.77

0.36

0.23

0.59

0.42

Desv. an.

7.25 %

7.81 %

11.53 %

11.39 %

4.78 %

4.63 %

11.54 % 11.37 %

6.18 %

6.05 %

9.05 %

8.79 %

5.19 %

5.18 %

7.34 %

7.28 %

Retorno an.

4.97 %

3.45 %

8.47 %

10.70 %

3.19 %

1.29 %

11.30 % 13.66 %

1.55 %

3.10 %

10.33 %

8.73 %

3.85 %

3.18 %

6.34 %

5.07 %

Sharpe an.

-0.44

-0.06

-0.89

-0.63

-0.01

-0.03

-0.51

-0.70

0.35

-0.06

1.22

1.04

-0.19

-0.23

-0.24

-0.37

Desv. an.

12.16 %

12.70 %

8.13 %

7.41 %

12.40 % 12.47 % 6.48 %

7.31 %

15.20 % 15.63 % 4.51 %

4.48 %

15.39 % 15.01 % 8.56 %

8.46 %

Retorno an.

-3.39 %

1.23 %

-5.27 %

-2.69 %

1.87 %

-3.13 %

7.35 %

7.52 %

6.67 %

-0.95 %

-1.16 %

Panel F: Argentina

1.67 %

-1.33 %

1.08 %

-1.42 %

-0.01 %

Tabla 4.3: Resumen de los retornos, desviación estándar e índice de Sharpe anualizados para los mercados accionarios latinoamericanos analizados con la selección de umbrales mediante el criterio de índice de Sharpe, considerando 30 y 60 días de estimación de parámetros del proceso Ornstein-Uhlenbeck entre junio del 2013 y diciembre del 2017. El índice de Sharpe fue calculado como (µ − r)/σ donde µ y σ son los respectivos retornos y desviaciones estándar anualizados, la tasa de interés r fue considerada como 2 % anual siendo consistente con el portafolio definido en el modelo 3.14.

4.1.3.

Comparación de la evolución de portafolios, umbrales y betas entre criterios

En la figura 4.1 se presenta la evolución de los mejores portafolios para cada uno de los mercados considerando el criterio σE − µE y el criterio de índice de Sharpe. Se puede observar que el criterio σE − µE alcanza portafolios con mayor valor para el periodo analizado en los países de Brasil, Chile y Colombia. En el caso de México, el criterio de índice de Sharpe posee casi siempre un mayor valor de portafolio. Perú y Argentina muestran una evolución de portafolio donde no se aprecia una dominancia clara de un criterio sobre otro a través del tiempo. Para cinco de los seis mercados accionarios latinoamericanos analizados en el periodo de estudio, ambos criterios alcanzan un mayor valor en sus portafolios respecto al

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4.1. RESULTADOS

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

índice de mercado respectivo, la única excepción fue Argentina.

(a) Argentina

(b) Brasil

(c) Chile

(d) Colombia

(e) México

(f) Perú

Figura 4.1: Evolución de los portafolios para la mejor instancia para cada uno de los criterios entre junio del 2013 a diciembre del 2017 en cada mercado accionario, junto con la evolución del índice de mercado respectivo.

En la figura 4.2 se puede observar la evolución de umbrales para la mejor instancia de cada criterio. En general, para ambos criterios no hay una tendencia a que estos permanezcan estables a través del tiempo, confirmando la hipótesis de este estudio en que esta varialibilidad de umbrales mejora el rendimiento de los portafolios, además tampoco hay una tendencia de que exista alguna simetría en los umbrales para la apertura y cierre de posiciones. Comparando los comportamientos de los umbrales para cada criterio, se puede concluir que los obtenidos mediante el criterio de índice de Sharpe son más grandes que los obtenidos mediante el criterio σE − µE , esto quiere decir que es más difícil abrir nuevas posiciones y más fácil cerrar las ya abiertas, por lo que se tendrán menos posiciones en total y además durante un menor tiempo en promedio, por esta razón se mantienen los fondos más tiempos en la tasa r lo que reduce el riesgo como se vio en las tablas (4.2 y 4.3) y en la figura 4.1.

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4.1. RESULTADOS

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

(a) Argentina

(b) Brasil

(c) Chile

(d) Colombia

(e) México

(f) Perú

Figura 4.2: Evolución de los umbrales para la mejor instancia para cada uno de los criterios entre junio del 2013 a diciembre del 2017 en cada mercado accionario. Para cada país, la figura de la izquierda es el criterio σE − µE y la figura de la derecha es el criterio de índice de Sharpe.

Dadas las diferencias entre la evolución del portafolio de la estrategia y el índice de mercado, se realizó un análisis de los betas. En la figura 4.3 se muestra le evolución de los betas considerando ambos criterios. Se puede ver que para todos los mercados el beta de las estrategias es cercano al cero, mostrando una baja exposición al mercado siendo coherente con la definición de market neutralidad. Por otro lado, se puede mencionar que para los casos de Argentina, Chile, Colombia y México los betas son aún más cercanos a cero para el criterio de índice de Sharpe, lo que no resulta sorpresa pues para estos mercados fue donde ocurrieron las mayores diferencias de volatilidad entre ambos criterios.

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44

4.1. RESULTADOS

CAPÍTULO 4. RESULTADOS

(a) Argentina

(b) Brasil

(c) Chile

(d) Colombia

(e) México

(f) Perú

Figura 4.3: Evolución de los betas para la mejor instancia para cada uno de los criterios entre junio del 2013 a diciembre del 2017 en cada mercado accionario. Los betas fueron calculados considerando 21 días en una ventana móvil mediante la regresión lineal rE,t = α + β ∗ rmkt,t donde rE,t y rmkt,t representan el retorno del portafolio y el retorno del índice de mercado respectivamente.

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45

CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES

Cap´itulo 5 Conclusiones En este trabajo se ha investigado el rendimiento de una estrategia de Pairs Trading multifactorial a partir de factores obtenidos mediante el análisis de componentes principales (PCA) en base a lo expuesto en [30] para los principales mercados latinoamericanos, específicamente en los países de Argentina, Brasil, Chile, Colombia, México y Perú. Los resultados muestran que en todos los mercados estudiados el primer valor propio es claramente dominante en términos de la varianza explicada siendo esta varianza dependiente del nivel de volatilidad del mercado, es decir, mientras el mercado se vuelva más riesgoso el primer valor propio explicará un mayor nivel de varianza lo que implica que se necesitarán menos componentes principales para explicar un mismo nivel de varianza y viceversa. Por otro lado también se halló que el eigenportfolio asociado al mayor valor propio representa al portafolio de mercado. Dado lo anterior esta estrategia se ve siempre retroalimentada por el movimiento del mercado, reaccionando ante cambios de este actualizando la cantidad de factores (eigenportfolios) utilizados en búsqueda de trabajar bajo un cierto nivel fijo de varianza.

Se han propuesto dos criterios para la elección de los umbrales que corresponden a distintas decisiones de inversión (abrir posiciones, cerrarlas, mantenerlas o no invertir) a lo largo del tiempo, el criterio µE − σE mostró en general mejores rentabilidades a lo largo del tiempo pero sin poner mucha atención en la volatilidad de los portafolios aunque esta fue menor a la del mercado en la gran mayoría de casos. Bajo este criterio los mejores Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

46

CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES

resultados se obtuvieron en los países de Brasil, Colombia y Perú, llegando a alcanzar índices de Sharpe anualizados sobre 3 unidades. Es importante destacar que exceptuando a Argentina la estrategia en general mostró mejores resultados considerando un 30 % de varianza explicada, lo que da a entender que a lo largo del periodo el Pairs Trading se realizó con el primer eigenportfolio dada la gran varianza que este explica, es decir, la estrategia privilegió una paridad acción-mercado.

Con respecto al criterio de índice de Sharpe, se obtuvieron mejores resultados considerando umbrales que fueron calculados en general con varianzas de entre un 40 % y 60 %, donde efectivamente se logró disminuir la volatilidad de todos los portafolios pero disminuyendo los índices de Sharpe anualizados respecto al criterio anterior, aún así los países que no destacaron con ese criterio, con este pudieron mejorar sus resultados especialmente en los casos de Argentina y México. Si bien no se lograron grandes rentabilidades con respecto al criterio µE − σE estas fueron más sostenidas y estables en la evolución de sus portafolios.

Se ha comprobado que existe una clara evidencia en que este tipo de estrategias puede ser rentable aún en escenarios de índices de Sharpe de mercado negativos (exceptuando a Argentina) junto a costos de transacción a lo largo del tiempo en mercados latinoamericanos, donde la elección de umbrales bajo el criterio µE − σE resulta ser rentable, agresiva y más volátil respecto al criterio de índice de Sharpe que sería la más indicada para un inversor que sea conservador y reacio al riesgo.

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BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA

Bibliografía [1] Andrew Pole. Statistical Arbitrage (Algorithmic Trading Insights and Techniques). 2007. [2] Ahmet Göncü and Erdinç Akyıldırım. Statistical Arbitrage with Pairs Trading. International Review of Finance, 16(2):307–319, jun 2016. [3] Steve Hogan, Robert Jarrow, Melvyn Teo, and Mitch Warachka. Testing market efficiency using statistical arbitrage with applications to momentum and value strategies. Journal of Financial Economics, 73(3):525–565, sep 2004. [4] Robert Jarrow, Melvyn Teo, Yiu Kuen Tse, and Mitch Warachka. An improved test for statistical arbitrage. Journal of Financial Markets, 15(1):47–80, feb 2012. [5] Evan Gatev, William N. Goetzmann, and K. Geert Rouwenhorst. Pairs trading: Performance of a relative-value arbitrage rule. Review of Financial Studies, 19(3):797– 827, 2006. [6] Ganapathy Vidyamurthy. Pairs Trading: Quantitative Methods and Analysis. 2004. [7] Christopher Krauss. Statistical Arbitrage Pairs Trading Strategies: Review and Outlook. Journal of Economic Surveys, 31(2):513–545, 2017. [8] Binh Do, Robert Faff, and K Hamza. A new approach to modeling and estimation for pairs trading. Proceedings of 2006 Financial Management Association European Conference, Monash Uni:31, 2006. [9] Binh Do and Robert Faff. Does Naïve Pairs Trading Still Work ?*. Financial Analyst Journal, 66(January):83–95, 2009. [10] Binh Do and Robert Faff. Are pairs trading profits robust to trading costs? Journal of Financial Research, 35(2):261–287, 2012. [11] Jen Wei Yang, Shu Yu Tsai, So De Shyu, and Chia Chien Chang. Pairs trading: The performance of a stochastic spread model with regime switching-evidence from the S&P 500. International Review of Economics and Finance, 43:139–150, 2016. [12] Huafeng (Jason) Chen, Shaojun (Jenny) Chen, Zhuo Chen, and Feng Li. Empirical Investigation of an Equity Pairs Trading Strategy. Management Science, (September):mnsc.2017.2825, 2017. Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

48

BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA

[13] Jai Jen Wang, Jin Ping Lee, and Yang Zhao. Pair-trading profitability and shortselling restriction: Evidence from the Taiwan stock market. International Review of Economics and Finance, 55(July 2017):173–184, 2018. [14] Hossein Rad, Rand Kwong Yew Low, and Robert Faff. The profitability of pairs trading strategies: distance, cointegration and copula methods. Quantitative Finance, 16(10):1541–1558, 2016. [15] Philip L.H. Yu and Lu Renjie. Cointegrated market-neutral strategy for basket trading. International Review of Economics and Finance, 49:112–124, 2017. [16] Matthew Clegg and Christopher Krauss. Pairs trading with partial cointegration. Quantitative Finance, 18(1):121–138, 2018. [17] Robert J. Elliott, John Van Der Hoek, and William P. Malcolm. Pairs trading. Quantitative Finance, 5(3):271–276, 2005. [18] K. Triantafyllopoulos and G. Montana. Dynamic modeling of mean-reverting spreads for statistical arbitrage. Computational Management Science, 8(1-2):23–49, 2011. [19] Timofei Bogomolov. Pairs trading based on statistical variability of the spread process. Quantitative Finance, 13(9):1411–1430, 2013. [20] Cathy W.S. Chen, Max Chen, and Shu Yu Chen. Pairs trading via three-regime threshold autoregressive GARCH models. In Advances in Intelligent Systems and Computing, volume 251, pages 127–140. Springer, Cham, 2014. [21] Jakub W. Jurek and Halla Yang. Dynamic Portfolio Selection in Arbitrage. SSRN Electronic Journal, 2007. [22] Jun Liu and Allan Timmermann. Optimal convergence trade strategies. Review of Financial Studies, 26(4):1048–1086, 2013. [23] Yaoting Lei and Jing Xu. Control Costly arbitrage through pairs trading. Journal of Economic Dynamics, 56:1–19, 2015. [24] Nicolas Huck. Pairs selection and outranking: An application to the S&P 100 index. European Journal of Operational Research, 196(2):819–825, 2009. [25] Nicolas Huck. Pairs trading and outranking: The multi-step-ahead forecasting case. European Journal of Operational Research, 207(3):1702–1716, 2010. [26] Rong Qi Liew and Yuan Wu. Pairs trading: A copula approach. Journal of Derivatives and Hedge Funds, 19(1):12–30, 2013. [27] Yolanda Stander, Daniël Marais#, and Ilse Botha+. Trading Strategies With Copulas. Journal of Economic and Financial Sciences Journal of Economic and Financial Sciences | JEF, 6(61):83–108, 2013.

Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

49

BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA

[28] Christopher Krauss and Johannes Stübinger. Non-linear dependence modelling with bivariate copulas: statistical arbitrage pairs trading on the S&P 100. Applied Economics, 49(52):5352–5369, 2017. [29] Wenjun Xie and Yuan Wu. Copula-based pairs trading strategy. Asian Finance Association (AsFA) 2013 Conference. doi, 10(1987):1–16, 2013. [30] Marco Avellaneda and Jeong Hyun Lee. Statistical arbitrage in the US equities market. Quantitative Finance, 10(7):761–782, 2010. [31] Timofei Bogomolov. Pairs Trading in the Land Down Under. SSRN Electronic Journal, pages 1–22, 2010. [32] João F Caldeira and Guilherme V. Moura. Selection of a Portfolio of Pairs Based on Cointegration : A Statistical Arbitrage Strategy. Economics Bulletin, 11(March):11, 2013. [33] Marcelo Perlin. M of a Kind: A Multivariate Approach at Pairs Trading. SSRN Electronic Journal, 2007. [34] Marcelo Scherer Perlin. Evaluation of pairs-trading strategy at the brazilian financial market. Journal of Derivatives and Hedge Funds, 15(2):122–136, 2009. [35] Mao Liang Li, Chin Man Chui, and Chang Qing Li. Is pairs trading profitable on China AH-share markets? Applied Economics Letters, 21(16):1116–1121, 2014. [36] Christian L Dunis and Richard Ho. Cointegration portfolios of European equities for index tracking and market neutral strategies. Journal of Asset Management, 6(1):33–52, 2005. [37] Chrstian L Dunis, G Giorgioni, J Laws, and J Rudy. Statistical Arbitrage and HighFrequency Data with an Application to Eurostoxx 50 Equities. Review Literature And Arts Of The Americas, pages 1–31, 2010. [38] Nicolas Huck. Pairs trading: does volatility timing matter? Applied Economics, 47(57):6239–6256, 2015. [39] Kangwhee Kim, Jooyoung Yun, and Kangwhee Kim. Performance Analysis of Pairs Trading Strategy Utilizing High Frequency Data with an Application to KOSPI 100 Equities. SSRN Electronic Journal, pages 1–24, 2011. [40] S Andrade, V Di Pietro, and M Seasholes. Understanding the Profitability of Pairs Trading. Unpublished working paper, 2005. [41] David Bowen, Mark C. Hutchinson, and Niall O’Sullivan. High-Frequency Equity Pairs Trading: Transaction Costs, Speed of Execution, and Patterns in Returns. The Journal of Trading, 5(3):31–38, 2010. [42] David A. Bowen and Mark C. Hutchinson. Pairs trading in the UK equity market: risk and return. European Journal of Finance, 22(14):1363–1387, 2016. Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

50

BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA

[43] Ahmet Göncü and Erdinc Akyildirim. A stochastic model for commodity pairs trading. Quantitative Finance, 16(12):1843–1857, 2016. [44] C. L. Dunis, Jason Laws, and Ben Evans. Trading futures spreads: An application of correlation and threshold filters. Applied Financial Economics, 16(12):903–914, 2006. [45] Takashi Kanamura, Svetlozar T Rachev, and Frank J. Fabozzi. A Profit Model for Spread Trading with an Application to Energy Futures. The Journal of Trading, 5(1):48–62, 2010. [46] Shi Miin Liu and Chih Hsien Chou. Parities and spread trading in gold and silver markets: A fractional cointegration analysis. Applied Financial Economics, 13(12):879–891, dec 2003. [47] T. J. Chang, N. Meade, J. E. Beasley, and Y. M. Sharaiha. Heuristics for cardinality constrained portfolio optimisation. Computers and Operations Research, 27(13):1271– 1302, nov 2000. [48] Laurent Laloux, Pierre Cizeau, Jean Philippe Bouchaud, and Marc Potters. Noise dressing of financial correlation matrices. Physical Review Letters, 83(7):1467–1470, 1999. [49] Vasiliki Plerou, Parameswaran Gopikrishnan, Bernd Rosenow, Luís A.Nunes Amaral, Thomas Guhr, and H. Eugene Stanley. Random matrix approach to cross correlations in financial data. Physical Review E - Statistical Physics, Plasmas, Fluids, and Related Interdisciplinary Topics, 65(6):066126, jun 2002. [50] Akihiko Utsugi, Kazusumi Ino, and Masaki Oshikawa. Random matrix theory analysis of cross correlations in financial markets. Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics, 70(2 2):1–11, 2004. [51] Varsha Kulkarni and Nivedita Deo. Correlation and volatility in an Indian stock market: A random matrix approach. The European Physical Journal B, 60(1):101– 109, 2007. [52] Raj Kumar Pan and Sitabhra Sinha. Collective behavior of stock price movements in an emerging market. Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics, 2007. [53] J. Shen and B. Zheng. Cross-correlation in financial dynamics. EPL, 86(4):48005, may 2009. [54] Yumei Cai, Xiaomei Cui, Qianyun Huang, and Jianqiang Sun. Hierarchy, cluster, and time-stable information structure of correlations between international financial markets. International Review of Economics and Finance, 51:562–573, sep 2017.

Departamento de Industrias, Universidad Técnica Federico Santa María

51