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Teselaciones Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana y que cumple con dos requisitos: que no queden espacios y que no se sobrepongan o traslapen las figuras. Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una o varias figuras iniciales. Para construir una teselación, se debe considerar que la suma de los ángulos de las figuras que concurren a un vértice es 360º. Observa el siguiente diseño:

El polígono que se repite en el diseño anterior es un triángulo equilátero, el cual puede cubrir o pavimentar una superficie plana de modo que no queden espacios y no se sobrepongan las figuras. Esta regularidad de las figuras se llama teselación, técnica utilizada por diversas culturas para pavimentar o formar un mosaico. Las teselaciones se construyen realizando traslaciones, reflexiones o rotaciones sobre una figura inicial. En el diseño anterior, para cubrir la superficie, se pueden aplicar sucesivas traslaciones, según el mismo vector, como se observa a continuación:

Luego, cada triángulo obtenido se puede reflejar con respecto al lado de la base, es decir:

Los triángulos obtenidos se pueden trasladar con vectores de igual magnitud, y sentido contrario. De este modo, la imagen de cada triángulo, será la pintada del mismo color, como se observa:

Aplicando estas transformaciones se obtiene el diseño inicial.

Así, se deben seguir aplicando transformaciones isométricas para cubrir completamente una superficie plana. Si observas la teselación anterior, los ángulos que concurren a un vértice suman 360º, pues concurren 6 ángulos que miden 60º cada uno.

Teselaciones regulares y semirregulares Una teselación es regular cuando se construye usando solo un polígono regular. • Una teselación es semirregular cuando se construye usando combinaciones de polígonos regulares. Llamaremos base a la combinación de polígonos que generan dicha teselación. Recuerda que un polígono regular tiene todos sus lados de igual medida y todos sus ángulos son congruentes. Cada ángulo interior de un polígono regular de n lados está dado por: ((n – 2) • 180) / n Observa las siguientes teselaciones:

En las teselaciones anteriores puedes observar que ambas están construidas con polígonos regulares. La primera está construida usando solo un polígono regular (hexágono), por lo que se llama teselación regular. La segunda, en cambio, se construyó usando combinaciones de polígonos regulares (hexágono y triángulo equilátero), por lo que se llama teselación semirregular. En una teselación, la suma de los ángulos que concurren a un vértice es 360º. En las teselaciones anteriores, podemos verificarlo: