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Tema 7:SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS EN TENSIONES. 7.0 OBJETIVOS 7.1 SISTEMAS TRIFASICOS, EQUILIBRADOS Y DESEQUILIBRADOS. SECUENCIA DIRECTA E INVERSA. 7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONES SIMPLES Y COMPUESTAS. 7.3 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. CONEXIÓN DE CARGAS EN ESTRELLA. 7.3.1 CARGAS EN ESTRELLA Y EQUILIBRADAS. 7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO. 7.4.1 CARGAS EN TRIÁNGULO Y EQUILIBRADAS. 7.5 POTENCIA EN LOS SISTEMAS TRIFASICOS EQUILIBRADOS CON CARGAS EQUILIBRADAS. 7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS. 7.6.1 CARGA EN ESTRELLA. 7.6.2 CARGA EN TRIANGULO. 7.6.3 CARGA EN ESTRELLA Y EN LA LÍNEA 7.6.4 CARGA EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEA 7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULO 7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES. 7.8 MEDIDA DE POTENCIAS A 4 HILOS. 7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS. 7.9.1 MÉTODO DE ARON 7.10 MEDIDA DE POTENCIA REACTIVA CARGAS DESEQUILIBRADAS. 7.11 BIBLIOGRAFIA

7.0 OBJETIVOS

• • • • • • •

Saber las posibles conexiones de fuentes y cargas en sistemas trifásicos. Comprender la importancia de la secuencia en un sistema trifásico. Conocer métodos particulares de análisis en la resolución de circuitos trifásicos. Estudiar la resolución de circuitos trifásicos equilibrados mediante su equivalente monofásico. Estimar la importancia del Teorema de Kenelly en la resolución de estrellas a tres hilos por métodos de sustitución. Valorar la importancia de la medida de potencia activa y reactiva en circuitos trifásicos. Analizar el método de Aron y todas las consecuencias que de el se derivan.

2

7.1 SISTEMAS TRIFASICOS, EQUILIBRADOS Y DESEQUILIBRADOS. SECUENCIA DIRECTA E INVERSA (1)

DEFINICIÓN: Se denomina sistema trifásico al que se compone de tres tensiones. Si las tres tensiones tienen el mismo modulo y están desfasadas entre si 120º, se dice que el sistema es trifásico equilibrado en tensiones, cuando no se cumple un de las dos condiciones entonces decimos que el sistema es desequilibrado en tensiones U30

ω

φ2

φ2

φ2 U10

U20

ω φ3

φ3

φ3 φ1

U30

ω

U30

φ1

U10

U20

φ1

U10

U20

Sistema trifásico equilibrado

Sistema trifásico desequilibrado

Sistema trifásico desequilibrado

|U10|= |U20|= |U30| y φ1=φ2=φ3

|U10|= |U20|= |U30| pero φ1≠φ2≠φ3

φ1=φ2=φ3 pero |U10|≠ |U20|≠ |U30|

Nosotros en este tema solo estudiaremos los circuitos trifásicos equilibrados en tensiones 3

7.1 SISTEMAS TRIFASICOS, EQUILIBRADOS Y DESEQUILIBRADOS. SECUENCIA DIRECTA E INVERSA (2)

Si al recorrer el diagrama vectorial de las tensiones encontramos que pasan según el orden 1-2-3, entonces decimos que la secuencia es directa, si por el contrario pasan según el orden 1-3-2, entonces a la secuencia le llamamos inversa. U30

U20

ω

ω

U10 U20

R

S.D.

U10 U30

S.I.

1

S

2

T

3

Para pasar de un sistema directo a un sistema inverso o viceversa bastaría con permutar el orden de llegada de dos fases

4

7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONES SIMPLES Y COMPUESTAS (1)

U10 U20 U30

0 0 0

1 I1 2 I2 3 I3

Z1

I1 =

Z2

U 10 U = 10 Z1 Z 1 ∠ϕ1

U 20 U 20 I2 = = Z2 Z 2 ∠ϕ 2

Z3

00 0

U 30 U 30 = I3 = Z3 Z 3 ∠ϕ 3

I0 = -(I1 + I2 + I3) Este sistema de seis hilos puede reducirse a uno de cuatro hilos si tenemos en cuenta que la diferencia de potencial entre los seis puntos 0 es de 0 V. 5

7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONES SIMPLES Y COMPUESTAS (2)

U10

1

I1

Z1

I2

Z2

I3

Z3

U12 U20 0

U30

2 3

U23

U31

I1 =

0’=0

U 10 U = 10 Z1 Z 1 ∠ϕ1

U 20 U 20 = I2 = Z2 Z 2 ∠ϕ 2 I3 =

U 30 U 30 = Z3 Z 3 ∠ϕ 3

I0 = -(I1 + I2 + I3) En este sistema de cuatro hilos se siguen cumpliendo las mismas condiciones que en el de seis, además podemos decir que: •0 es el neutro del generador •0’ es el neutro de la carga •U10, U20, U30 son las tensiones simples •U12, U23, U31 son las tensiones compuestas

6

7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONES SIMPLES Y COMPUESTAS (3)

De la aplicación de la 2ª ley de Kirchhoff a las tensiones simples y compuestas U10

1

I1

Z1

I2

Z2

I3

Z3

U12 U20 0

2

U30

U23

3

U31

U 12 = U 10 − U 20 U 23 = U 20 − U 30 U 31 = U 30 − U 10

0’=0

I0 = -(I1 + I2 + I3) U23

ω

U12 ω

U30 U31

U20

S.I.

3 U10

U30

U31

S.D. U23

U20

U10 1

U10 U12

2

U23

U20 U30

U23

U20

2

U12 U31

U30

U12

U10

1

U31 3

7

7.2 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. RELACIÓN EXISTENTE ENTRE LAS TENSIONES SIMPLES Y COMPUESTAS (4)

De la observación de las ecuaciones y teniendo en cuenta que las tensiones simples formaban un sistema trifásico equilibrado en tensiones, se puede afirmar que las compuesta también lo forman, y teniendo en cuenta que la representación gráfica de la suma vectorial coincide en todos los casos formando triángulos de las mismas dimensiones, si llamamos al modulo de las tensiones simples Us, se puede decir que: U12 Sec. Directa U 10 = U S ∠0°

U 20 = U S ∠−120° U 30 = U S ∠120°

Sec. Inversa U 10 = U S ∠0°

U 12 = U 10 − U 20

U 30 = U S ∠−120°

U 31 = U 30 − U 10

U 20 = U S ∠120°

U 23 = U 20 − U 30

U 12 = U 10 ⋅ cos30° + U 20 ⋅ cos30° = U S ⋅ U 12

SD = 3 ⋅ U 10 ∠30°

U 23 = U 12 ∠−120° U 31 = U 12 ∠120°

U 12

30º

30º

U10

-U20

3 3 3 +US ⋅ = 2 ⋅U S ⋅ = 3 ⋅U S 2 2 2

SI = 3 ⋅ U 10 ∠−30°

U 23 = U 12 ∠120° U 31 = U 12 ∠ −120°

8

7.3 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. CONEXIÓN DE CARGAS EN ESTRELLA (1)

Cuando a cada una de las fases se conecta una carga y estas se unen entre si y al hilo neutro, se dice que las cargas están cerradas formando una estrella para S.D.

1

I1

Z1

2 U12

I2

Z2

U23

I3

Z3

U31 3

0’=0

U 10 U Us = 10 = ∠−ϕ Z 1 Z λ ∠ϕ Z λ

λ

λ

I 1 = I 2 = I 3 = Iλ

U 10 U = 10 Z1 Z 1 ∠ϕ1

I3 =

U 30 U 30 = Z3 Z 3 ∠ϕ 3

I2 =

U 20 U 20 = Z2 Z 2 ∠ϕ 2

Además, cuando las tres cargas son idénticas entre si se dice que la estrella es equilibrada y en este caso se cumple que:

Z 1 ∠ϕ1 = Z 2 ∠ϕ 2 = Z 3 ∠ϕ 3 = Z λ ∠ϕ λ

I0 = -(I1 + I2 + I3)

I1 =

I1 =

⇒

I2 =

U 20 U 20 Us = = ∠−120−ϕ Z 2 Z λ ∠ϕ Z λ

λ

λ

I3 =

U 30 U 30 Us = = ∠120−ϕ Z 3 Z λ ∠ϕ Z λ

λ

λ

I 1 + I 2 + I 3 = −I 0 = 0 9

7.3 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. CONEXIÓN DE CARGAS EN ESTRELLA (2)

Con las consideraciones expuestas anteriormente se puede decir que el diagrama vectorial del sistema se corresponde con:

Z 1 ∠ϕ1 = Z 2 ∠ϕ 2 = Z 3 ∠ϕ 3 = Z λ ∠ϕ λ S.D. S.I.

I1 = I1 =

U 10 U 10 Us = = Z1 Z λ ∠ϕ λ Z λ

U 10 U 10 Us = = Z1 Z λ ∠ϕ λ Z λ

I 1 = I 2 = I 3 = Iλ

∠ −ϕ λ

∠ −ϕ λ

I2 = I2 =

U 20 U 20 Us = = Z2 Z λ ∠ϕ λ Z λ

U 20 U 20 Us = = Z2 Z λ ∠ϕ λ Z λ

I3 =

∠ −120−ϕ λ

I3 =

∠120 −ϕ λ

U 30 U 30 Us = = Z3 Z λ ∠ϕ λ Z λ

U 30 U 30 Us = = Z3 Z λ ∠ϕ λ Z λ

∠120−ϕ λ

∠ −120−ϕ λ

I 1 + I 2 + I 3 = −I 0 = 0

⇒

U23 U12 ω

U30 ϕλ I3

U31

ω U20 ϕλ

ϕλ

I2 ϕλ

U10 I3

S.D.

ϕλ

ϕλ U31

U23

S.I.

U10

I1

U20

I2

U30

I1

U12

10

7.3 SISTEMAS TRIFASICOS A CUATRO HILOS. CONEXIÓN DE CARGAS EN ESTRELLA (3) 7.3.1 CARGAS EN ESTRELLA Y EQUILIBRADAS.

Como se cumple que para el caso de cargas equilibradas: I 1 = I 2 = I 3 = Iλ

I 1 + I 2 + I 3 = −I 0 = 0

⇒

Se puede pasar de un sistema a cuatro hilos a uno de tres hilos ya que por el neutro no circula corriente y puede eliminarse. Este tipo de circuitos pueden estudiarse mediante la reducción al equivalente monofásico, generalmente de la fase Z 1 I1 1, desfasando 120º las corrientes obtenidas, en retraso o 1 adelanto para las otras fases U12 Z2 Z1 I 2 I U31 2 1 1 0’=0 U23

I3

Z3

U10

0

3 S.D. S.I.

I1 = I1 =

U 10 U 10 Us = = Z1 Z λ ∠ϕ λ Z λ

U 10 U 10 Us = = Z1 Z λ ∠ϕ λ Z λ

∠ −ϕ λ

∠ −ϕ λ

I 2 = I 1 ⋅ 1 ∠−120 I 2 = I 1 ⋅ 1 ∠120

I 3 = I 1 ⋅ 1 ∠120 I 3 = I 1 ⋅ 1 ∠−120

Se dice que el equivalente monofásico de una estrella esta formado por la tensión simple, la corriente de línea o compuesta y la impedancia de la estrella 11

7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (1)

Volviendo al sistema a seis hilos, se podría haber conectado de la siguiente forma: 1

1

1

1

I12

I1 = (I12 - I31) U12

Z12

2

2

2 U31

U23

Z23 3

3

I31

I3 = (I31 - I23)

I 12 =

2

I23

I2 = (I23 - I12)

3

DONDE:

Z31

U 12 Z 12

I 1 = I 12 − I 31

I 23 =

U 23 Z 23

I 2 = I 23 − I 12

3

I 31 =

U 31 Z 31

I 3 = I 31 − I 23

12

7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (2)

El diagrama vectorial seria:

-I23

U23 I3

U31

ϕ3

I31

1

I2

I23

U12 ω

ϕ31

ϕ12 ϕ23

-I12

I1

I23

I31

S.D.

I12

-I12

I2

-I23

I3 ϕ23 I12

-I31 U31

ϕ12

I1

ω

S.I. U12

-I31

U23

13

7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (3)

En esta conexión, si en lugar de tres generadores monofásicos se pone un generador trifásico: 1

1 I31

I12

I1 = (I12 - I31)

U12

Z12 U31

2 I23

2 I2 = (I23 - I12)

U23 I3 = (I31 - I23)

I 31

U 12 Z 12

I 23 =

U 23 Z 23

U 31 = Z 31

I 1 = I 12 − I 31

I 2 = I 23 − I 12

I 3 = I 31 − I 23

Z23 3

Z31

I 12 =

3

Donde: • U12, U23 y U31 son las tensiones compuestas del sistema • I12, I23 e I31 son las intensidades simples o de carga • I1, I2 e I3 son las intensidades compuestas o de línea 14

7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (4) 7.4.1 CARGAS EN TRIÁNGULO Y EQUILIBRADAS.

Cuando la carga en triángulo es equilibrada se cumple que:

Z 12 = Z 23 = Z 31 = Z ∆ = Z ∆ ∠ϕ∆ S.D. U Uc ∠ 0° Uc I 12 = 12 = = ∠ - ϕ ∆ = Is∠-ϕ∆ Z 12 Z ∆ ∠ϕ∆ Z ∆ U Uc∠ −120° Uc I 23 = 23 = = ∠ − 120 - ϕ ∆ = Is∠−120°-ϕ ∆ Z 23 Z∆ Z ∆ ∠ϕ∆ U Uc∠120° Uc I 31 = 31 = = ∠120 - ϕ ∆ = Is∠120-ϕ ∆ Z 31 Z∆ Z ∆ ∠ϕ∆ S.D. I 12 = Is∠-ϕ ∆

I 23 = Is ∠−120°-ϕ ∆ I 31 = Is∠120-ϕ ∆

S.I. U Uc ∠ 0° Uc I 12 = 12 = = ∠ - ϕ ∆ = Is∠-ϕ ∆ Z 12 Z ∆ ∠ϕ∆ Z ∆ U Uc∠120° Uc I 23 = 23 = = ∠120 - ϕ ∆ = Is∠120°-ϕ ∆ Z 23 Z∆ Z ∆ ∠ϕ∆ U Uc ∠−120° Uc I 31 = 31 = = ∠ − 120 - ϕ ∆ = Is∠−120-ϕ ∆ Z 31 Z∆ Z ∆ ∠ϕ∆ S.I.

⇒ I 23 = I 12 ⋅ 1∠−120°

I 31 = I 12 ⋅ 1∠120°

I 12 = Is∠-ϕ ∆

I 23 = Is∠120°-ϕ ∆

⇒ I 23 = I 12 ⋅ 1∠120°

I 31 = I 12 ⋅ 1∠ −120°

I 31 = Is∠−120-ϕ ∆ 15

7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (5) 7.4.1 CARGAS EN TRIÁNGULO Y EQUILIBRADAS.

Cuando la carga en triángulo es equilibrada el diagrama vectorial será: -I23

-I12

30º

I3

U12 ω

I31 ϕ3 30º

U31 I2 30º

-I12

1

U23

30 Iº 2

30º

ϕ3 1

ϕ12 I 12

30 º ϕ23

30º

I23

I1

I31 30º -I31

S.D.

U12 ω

I23 I1 ϕ12 30º

ϕ23

30º

I12

30º

-I31

S.I.

-I23 30º I3 U23

U31

En este caso se observa que las intensidades de línea en secuencia directa retrasan 30º respecto de las de carga, mientras que en secuencia inversa sucede lo contrario, pero en ambos casos se forman sistemas trifásicos equilibrados en corrientes, cumpliendo que si llamamos al modulo de las corrientes de carga Is y al de las corrientes de línea Ic:

I 1 = I 12 ⋅ cos 30° + I 31 ⋅ cos 30° = 2 ⋅ Is ⋅ cos 30° = 3 ⋅ Is = Ic I 12 = I 23 = I 31 = Is ⇒

I 2 = I 23 ⋅ cos 30° + I 12 ⋅ cos 30° = 2 ⋅ Is ⋅ cos 30° = 3 ⋅ Is = Ic I 3 = I 31 ⋅ cos 30° + I 23 ⋅ cos 30° = 2 ⋅ Is ⋅ cos 30° = 3 ⋅ Is = Ic 16

7.4 SISTEMAS TRIFASICOS CON CONEXIÓN DE CARGAS EN TRIÁNGULO (6) 7.4.1 CARGAS EN TRIÁNGULO Y EQUILIBRADAS.

Cuando la carga en triángulo es equilibrada a la hora de estudiar el circuito, el estudio se hace mediante la reducción al equivalente monofásico, generalmente de la fase 1, desfasando 120º las corrientes obtenidas, en retraso o adelanto para las otras fases.

I12

Z12

U12

S.D. I 12 = Is∠-ϕ I 23 = Is∠−120°-ϕ

⇒

∆

I 31 = Is∠120-ϕ

∆

Se dice que el equivalente monofásico de un triangulo esta formado por la tensión compuesta y la corriente simple o de carga y la impedancia del triángulo

I 23 = I 12 ⋅1∠−120° I 31 = I 12 ⋅1∠120° I 1 = I 12 ⋅ 3 ∠−30° I 2 = I 1 ⋅1∠−120° I 3 = I 1 ⋅1∠120°

∆

S.I. I 12 = Is∠-ϕ I 23 = Is∠120°-ϕ I 31 = Is∠−120-ϕ

⇒

∆

∆

I 23 = I 12 ⋅1∠120° I 31 = I 12 ⋅1∠−120° I 1 = I 12 ⋅ 3 ∠30° I 2 = I 1 ⋅1∠120° I 3 = I 1 ⋅1∠−120°

∆

17

7.5 POTENCIA EN LOS SISTEMAS TRIFASICOS EQUILIBRADOS CON CARGAS

EQUILIBRADAS.

Cuando la carga del sistema trifásico es equilibrada el estudio se hace mediante la reducción al equivalente monofásico, se calcularía la potencia de una fase y se multiplicaría por tres para obtener la potencia total.

1

IL

US

Zλ IS 0

UC

Z∆

Pm = U S ⋅ I L ⋅ cosϕ

Pm = U C ⋅ I S ⋅ cosϕ

Qm = U S ⋅ I L ⋅ senϕ

Qm = U C ⋅ I S ⋅ senϕ

Sm = U S ⋅ I L

Sm = U C ⋅ I S

P = 3Pm = 3 ⋅ U S ⋅ I L ⋅ cosϕ = 3 ⋅ U C ⋅ I L ⋅ cosϕ

P = 3Pm = 3 ⋅ U C ⋅ I S ⋅ cosϕ = 3 ⋅ U C ⋅ I L ⋅ cosϕ

Q = 3Qm = 3 ⋅ U S ⋅ I L ⋅ senϕ = 3 ⋅ U C ⋅ I L ⋅ senϕ

Q = 3Qm = 3 ⋅ U C ⋅ I S ⋅ senϕ = 3 ⋅ U C ⋅ I L ⋅ senϕ

S = 3Sm = 3 ⋅ U S ⋅ I L = 3 ⋅ U C ⋅ I L

S = 3 Sm = 3 ⋅ U C ⋅ I S = 3 ⋅ U C ⋅ I L

18

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (1) 7.6.1 CARGA EN ESTRELLA

Cuando la carga del sistema trifásico es una estrella equilibrada el estudio se hace mediante la reducción al equivalente monofásico. I1

1 U31 2

U12

I2

U23

I3

Zλ 1

Zλ 0’=0

I1

U10

Zλ

Zλ 0

3

S.D. S.I.

U 10 U 10 Us I1 = = = Z1 Z λ ∠ϕ λ Z λ I1 =

U 10 U 10 Us = = Z1 Z λ ∠ϕ λ Z λ

∠ −ϕ λ

∠ −ϕ λ

I 2 = I 1 ⋅ 1 ∠−120 I 2 = I 1 ⋅ 1 ∠120

I 3 = I 1 ⋅ 1 ∠120 I 3 = I 1 ⋅ 1 ∠−120 19

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (2) 7.6.1 CARGA EN ESTRELLA

Cuando la carga del sistema trifásico es una estrella desequilibrada el estudio se hace mediante tres métodos que son: lazos básicos, mallas o desplazamiento del neutro. Si bien en algunos casos se hace la transformación de estrella a triangulo y se resuelve según el siguiente apartado. I1

1 U31 2

U12

I2

U23 3

I3

Z1 IA Z2 IB

Z1 + Z 2   −Z2

0’≠ 0

I1 = I A − Z 2   I A   U 12  ⇒ I2 = IB −IA ⋅  =  Z 2 + Z 3   I B  U 23  I 3 = −I B

Z3

20

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (3) 7.6.1 CARGA EN ESTRELLA

U10

El método del desplazamiento del neutro se basa en el teorema de Millman

Z1

1 I1

n

U20

U 0 '0 =

Z2

2 I2

3

Z3

I3

I2 =

U 20' U 20 − U 0' 0 = Z2 Z2

I3 =

U 30' U 30 − U 0' 0 = Z3 Z3

i =1

⋅U i 0

n

∑Y

=

i

Y 1 ⋅ U 10 + Y 2 ⋅U 20 + Y 3 ⋅U 30 Y1 +Y 2 +Y 3 U30’

U0’0 U U − U 0' 0 I 1 = 10' = 10 Z1 Z1

i

i =1

0’ U 0 '0 =

U30

∑Y

3 U30

U31

U20

U0’0 U10’ U20’

0

U23

0’

1

U10 U12

2

21

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (4) 7.6.1 CARGA EN ESTRELLA

Cuando la carga en estrella es desquilibrada mediante la transformación estrellatriangulo y el estudio del triángulo desequilibrado.

Z 12

Z1 ⋅ Z 2 + Z 2 ⋅ Z 3 + Z 3 ⋅ Z1 = Z3

Z 23 = Z 31

Z1 ⋅ Z 2 + Z 2 ⋅ Z 3 + Z 3Z1 Z1

Z1 ⋅ Z 2 + Z 2 ⋅ Z 3 + Z 3 ⋅ Z1 = Z2

22

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (5) 7.6.2 CARGA EN TRIANGULO

Cuando la carga en triángulo es equilibrada se resuelve mediante la reducción al equivalente monofásico del propio triángulo.

I12 U12

Z∆

I 12

U 12 = Z∆

S.D. I 12 = Is∠-ϕ ∆

I 23 = Is∠−120°-ϕ ∆

⇒ I 23 = I 12 ⋅ 1∠−120°

I 31 = I 12 ⋅ 1∠120°

I 31 = Is∠120-ϕ ∆ S.I. I 12 = Is∠-ϕ ∆

I 23 = Is∠120°-ϕ ∆

I 31 = Is∠−120-ϕ ∆

⇒ I 23 = I 12 ⋅ 1∠120°

I 31 = I 12 ⋅ 1∠−120° 23

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (6) 7.6.2 CARGA EN TRIANGULO

Cuando la carga en triángulo es desequilibrada se resuelve mediante las ecuaciones del triángulo 1 U12

1 I31

I12

I1 = (I12 - I31)

Z12 U31

2 I23

2 I2 = (I23 - I12)

U23 I3 = (I31 - I23)

I 31 =

I 23

U 23 = Z 23

U 31 Z 31

I 1 = I 12 − I 31

I 2 = I 23 − I 12

I 3 = I 31 − I 23

Z23 3

Z31

I 12

U 12 = Z 12

3

24

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (7) 7.6.2 CARGA EN TRIANGULO

Otro método que no suele ser muy utilizado es la transformación del triángulo-estrella

Z 12 ⋅ Z 31 Z1 = Z 12 + Z 23 + Z 31 Z 23 ⋅ Z 12 Z2 = Z 12 + Z 23 + Z 31 Z 31 ⋅ Z 23 Z3 = Z 12 + Z 23 + Z 31

25

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (8) 7.6.3 CARGA EN ESTRELLA Y EN LA LÍNEA

Se agrupan las cargas de cada rama de la estrella con la de línea que le precede y se estudia la estrella resultante según lo visto en el apartado 7.6.1., . Hay que tener en cuenta que la tensión en la carga en estrella no es la tensión del generador ya que en la línea se produce una caída de tensión U11’ ZL1

1

1’ I 1

U1’0’ Z1 1

U12 U31

U22’ ZL2

2

2’ I2

U23 3

I1

U33’ ZL3

3’ I3

U2’0’ 0’≠ 0

Z2

U31 2

U12 U23

I2 I3

Z’1 Z’2 0’=0 Z’3

3

Z'1 = Z L1 + Z 1

Z3 U3’0’

Z' 2 = Z L2 + Z 2 Z' 3 = Z L3 + Z 3

26

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (9) 7.6.4 CARGA EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEA

Se transforma el triangulo en su estrella equivalente según las ecuaciones de la transformación triangulo-estrella vistas en el apartado anterior, y después se estudiara como una estrella con carga en la línea

1

U12 U22’ ZL2

2

I2

3

2’ Z23

U23 U33’ ZL3

1’

I3 3’

U11’ ZL1

1’ I 1

U22’ ZL2

2’ I2

U33’ ZL3

3’ I3

U1’0’ Z1

U12

Z12

U31

I1

Z31

U11’ ZL1

1

U31

2 U23 3

U2’0’ 0’≠ 0

Z2

Z3 U3’0’

27

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (10) 7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULO

Para resolver este sistema se tienen que conocer las corrientes que llegan al triángulo y las que llegan a la estrella, para obtener a partir de ellas la corriente de la línea. Existen tres métodos superposición, transformación del triángulo a la estrella equivalente o bien transformación de la estrella al triangulo equivalente I’1

I2

I’2

I3

I’3

U12

1

I1

Z1 U2’0’ 0’≠ 0

Z2

U23

U31

2

U1’0’

3

I 1 = I'1 + I"1

I”1

I”2 Z23

I”3

Z3 U3’0’

Z12

I 2 = I ' 2 + I" 2 I 3 = I ' 3 + I" 3

Z31 28

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (11) 7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULO

Para resolver este sistema por superposición: se estudia por una parte la estrella y por otra el triángulo; 1 I”1 = (I12 - I31) 1 Z1 I31 I12 I’ 1 1 Z12 U12 U12 Z2 I”2 = (I23 - I12) I’ 2 U Z31 U31 2 2 31 2 0≠0 I23 U23 I’3 Z3 U23 I”3 = (I31 - I23) Z23 3 3 3

I 1 = I'1 + I"1 I 2 = I ' 2 + I" 2 I 3 = I ' 3 + I" 3 29

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (12) 7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULO

Para resolver este sistema por transformación de la estrella en el triángulo equivalente, entonces en cada rama del triangulo tendremos dos impedancias en paralelo y las asociaremos entre sí de tal forma que el resultado será un triangulo equivalente.

1 U12 U31

2 U23 3

I1

I2

1 I’12

I12

Z’12

Z12

I’23 I3

2 I23

I31 Z31

I’31 Z’31

Z23

Z’23 3

30

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (13) 7.6.5 CARGA EN ESTRELLA Y EN TRIÁNGULO

Para resolver este sistema por transformación del triángulo a la estrella equivalente, se necesita que las dos cargas sean equilibradas, entonces tendremos dos impedancias en paralelo para cada rama de la estrella y las asociaremos entre sí de tal forma que el resultado será una estrella también equilibrada.

3

U12 U23

U31

2

I’1

I1

1

I’2

I2 I3

I’3 I”1

I”2

I”3

I1

1 Z1

U31 2 Z2

U12 U23

I2 I3

Z1P Z2P 0’=0 Z3P

3

Z3 0’= 0 Z’3

Z 1P = Z 1 + Z'1

Z’2

Z 2P = Z 2 + Z' 2

Z’1

Z 3P = Z 3 + Z' 3 31

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (14) 7.6.5 CARGA EN ESTRELLA, EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEA

1

ZL1

3’

I2

I’2

I3

I’3

U12

I’1

ZL3

U1’0’ Z1 U2’0’ 0’≠ 0

Z2

U23

2’

2 U31

ZL2 U2’3’

U3’1’

U1’2’

1’

I1

3

I”1

I”2 Z23

I”3

Z3 U3’0’

Z12

Z31

32

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (15) 7.6.5 CARGA EN ESTRELLA, EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEA

En el caso de cargas desequilibradas hay que hacer la transformación de la estrella al triángulo equivalente, se calculan las ramas del triangulo equivalente como hemos calculado para carga en triangulo y en estrella, y entonces se estudia igual que una carga en triangulo y en la línea.

3’

U12

I1

I2 U23

2

U2’3’

U3’1’

U31 ZL2

2’

1

ZL1

U1’2’

1’

ZL3

I3 3

1 I’12

I12

Z’12

Z12

I’23

2 I23

I31 Z31

I’31 Z’31

Z23

Z’23 3

33

7.6 CALCULO DE LOS SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS (16) 7.6.5 CARGA EN ESTRELLA, EN TRIÁNGULO Y EN LA LÍNEA

En el caso de cargas equilibradas hay que hacer la transformación del triángulo a la estrella equivalente, y se calcula el equivalente monofásico del circuito

ZL

1’

I1

1

I’1 U1’0

U10 0

I”1 Z∆/3

Zλ 0

0

0

34

7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES (1)

En los sistemas trifásicos equilibrados en tensiones se puede determinar el orden de sucesión de fases mediante sencillos montajes como los de las siguientes figuras:

R

S

T

R

S

T

R

S

T

R

S

T

IR

IS

IT

IR

IS

IT

IR

IS

IT

IR

IS

IT

H1

C

0’

H2

H1

L

0’

H2

R

C

0’

V

R

L

V

0’

Se puede observar que los montajes como los de las figuras se corresponden con cargas trifásicas desequilibradas de forma que el 0’≠0, y por tanto las tensiones que caen en cada rama de la estrella desequilibrada serán diferentes, el valor de esta tensión será el que nos dará la secuencia del sistema. En una carga para cambiar el orden de sucesión de fases basta con permutar dos de las fases entre si y ya se consigue. 35

7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES (2)

Estudiaremos cada uno de los cuatro montajes: Para el primer montaje, si consideramos la resistencia de las lámparas, entonces se podría calcular el equivalente de Thevenin en bornes del condensador, es decir entre la fase R y 0’, para ello

0’

UTH

S

R T IR

S

U TH = U RS + R ⋅ I R U TH = U RS +

T

IR

IS

IT

H1

H2

C

0’

ZTH

0’

Z TH

R2 R = = 2R 2

P = U ⋅I U2  U  R= P I= R 

R

T

U TR

S

R

R

U RS = U TH − R ⋅ I R

R—IR

URS UTR

U TR = 2 ⋅ R ⋅ I R

R

R

R

2

R—IR T I

UTR I

S

0’

~

URS+UTR/2

UC

C

I

I=

R − jXc 2

U = Th Z ∠−ϕ °

UTR/2 UR/2

URS

S

UTR/2

UC

UTH

S

U Th

UT0’

UST

UR/2

R UR0’

UTH

UR/2 0’

R

UT0’

UR0’

UC 0’

H2>H1 ⇒ SD

T

H1>H2 ⇒ SI

36

7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES (3)

Para el segundo montaje, si consideramos la resistencia de las lámparas, igualmente se podría calcular el equivalente de Thévenin en bornes de la bobina, es decir entre la fase R y 0’, para ello: R

R

UTR

U TR = 2 ⋅ R ⋅ I R 0’

UTH

S

U RS = U TH − R ⋅ I R

R—IR

URS

U TH = U RS +

R—IR

IR

IS

IT

H1

L

H2

R

R S

U TR 2

ZTH

0’

Z TH

R

T

0’

UT0’

UR/2 URS+UTR/2

UTR

R2 R = = 2R 2

UL

L

UTH

U Th R + jX L 2

=

U Th Z ∠ϕ °

UTH

UR/2

I UR0’

URS

S

0’

UR0’ R

UST UR/2

S

UL S

0’ UL

I=

T

T

I

~

S

0’

U TH = U RS + R ⋅ I R

R T IR

P = U ⋅I U2  U  R= P I= R 

R

UTR/2

UTR/2 UT0’

R

I

H1>H2 ⇒ SD

T H2>H1

⇒ SI

37

7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES (4)

Para el montaje de la tercera figura, si consideramos la resistencia de las lámparas, y si además se considera que la corriente que recorre el voltímetro es nula, el circuito se podría considerar como un circuito monofásico formado por un condensador y una resistencia que están sometidos a la tensión que hay entre las fases R y S y con esta consideración la corriente y las tensiones en el circuito serán:

IR

R

IS

S

IT

T

R C 0’ V U0’T

P = U ⋅I U2  U  R= P I= R 

T UTR

U R 0'

U RS

U C∠ 0 º = IRS ∠ϕ º R − jXc Z∠ − ϕ º = IRS ∠ϕ ⋅ R = IRS— R∠ϕ º

I RS =

S.D.

=

U 0'S = IRS ∠ϕ ⋅ X C ∠ − 90º = IRS— X C ∠ϕ − 90º

UST I

S

UT0’ φ

U R 0 ' + U 0 'S = U RS

L.V.>Uc ⇒ SD L.V.
URS

R

U0’S

UR0’ 0’

UST

UT0’

S.I.

UTR T

38

7.7 DETERMINACIÓN DEL ORDEN DE SUCESIÓN DE FASES (5)

Para el montaje de la cuarta figura, volviendo a considerar la resistencia de las lámparas, y que la corriente que recorre el voltímetro es nula, el circuito se podría considerar como un circuito monofásico formado por una bobina y una resistencia que están sometidos a la tensión que hay entre las fases R y S y con esta consideración la corriente y las tensiones en el circuito serán

P = U ⋅I U2  U  R= P I= R 

IR

R

IS

S T

IT=0

R L 0’ Z=∞ V U0’T

T UTR

UT0’

S.D. UST U0’S

0 ’

UR0’ URS

S

I RS

U RS U = = C∠0º = I RS ∠ − ϕº R + jX L Z∠ϕº

U R 0' = I RS ∠ − ϕ ⋅ R = I RS ·R∠ − ϕº U 0' S = I RS ∠ − ϕ ⋅ X L ∠90º = I RS · X C ∠ − ϕ + 90º U R 0' + U 0' S = U RS

R

φ I UT0’

S.I.

UST UTR T

L.V.Uc ⇒ SI 39

7.8 MEDIDA DE POTENCIAS A 4 HILOS (1)

CARGA EN ESTRELLA Y DESEQUILIBRADA

U10

1

W1

I1

Z1 U20

I2

2

Z2

W2 U20

0

3

W3 U30

I3

I0

Z3

U30

U10

 ∧  LW1 = U 10 ⋅ I 1 ⋅ cosU 10 ⋅ I 1  = U 10 ⋅ I 1 ⋅ cos ϕ1 0’=0    ∧  LW 2 = U 20 ⋅ I 2 ⋅ cosU 20 ⋅ I 2  = U 20 ⋅ I 2 ⋅ cos ϕ 2    ∧  LW3 = U 30 ⋅ I 3 ⋅ cosU 30 ⋅ I 3  = U 30 ⋅ I 3 ⋅ cos ϕ 3  

P = PZ 1 + PZ 2 + PZ 3 = U 10 ⋅ I 1 ⋅ cos ϕ 1 + U 20 ⋅ I 2 ⋅ cos ϕ 2 + U 30 ⋅ I 3 ⋅ cos ϕ 3 = W1 + W2 + W3

40

7.8 MEDIDA DE POTENCIAS A 4 HILOS (2)

CARGA EN ESTRELLA Y EQUILIBRADA

1

W1

I1

Z1

U10

U20 2

3

U10

I2

Z2 0’=0

I3

I0

Z3

Z 1 = Z 2 = Z 3 = Z = Z∠ϕ ° ⇒ I 1 = I 2 = I 3 = I L  ∧  LW1 = U 10 ⋅ I 1 ⋅ cosU 10 ⋅ I 1  = U S ⋅ I L ⋅ cos ϕ  

U30

P = 3U C ⋅ I L ⋅ cos ϕ = 3W

41

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (3)

CARGA RESISTIVA PURA Y EQUILIBRADA

U31

W1 U13

U12 ω

U30

I1

Z

I3 U10

I1 I2

U13

U20

S.D. U23

I1 = I 2 = I 3 = IL 3  ∧  UC ⋅ IL LW = U 13 ⋅ I 1 ⋅ cosU 13 ⋅ I 1  = U C ⋅ I L ⋅ cos 30° = 2  

U23

P = 3U C ⋅ I L ⋅ cos ϕ = 3U C ⋅ I L ⋅ cos 0° = 3U C ⋅ I L = 2 W

U20 I 2

S.I.

ω U13

U10 I3 U31

U30

I1

U12

42

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (4)

CARGA DESEQUILIBRADA

1

W1

2 u20’ 3

W2 W3

u30’

u10’ i 1

Z1

i2

u20” Z2

0’ u0’0” i3

Z3 u30”

u10”

0”

1 (i1 ⋅ u10" )dt ∫ T 1 PZ2 = ∫ (i2 ⋅ u 20" )dt T 1 PZ3 = ∫ (i3 ⋅ u 30" )dt T P = PZ1 + PZ2 + PZ3 = PZ1 =

1 (i1 ⋅ u10" + i2 ⋅ u 20" + i3 ⋅ u 30" )dt ∫ T

1 1 1 d W d W ( i ⋅ u ) t = ( i ⋅ u ) t = (i3 ⋅ u 30' )dt 1 10' 2 2 20' 3 T∫ T∫ T∫ = u10" − u 0' 0" u 20' = u 20" − u 0' 0" u 30' = u 30" − u 0' 0"

W1 = u10'

1 1 1 ( i ⋅ ( u − u ) ) d t W = ( i ⋅ ( u − u ) ) d t W = (i3 ⋅ (u 30" − u 0' 0" ))dt 1 10 " 0 ' 0 " 2 2 20 " 0 ' 0 " 3 T∫ T∫ T∫ 1 W1 + W2 + W3 = ∫ ((i1 ⋅ (u10" − u 0' 0" )) + (i 2 ⋅ (u 20" − u 0' 0" )) + (i3 ⋅ (u 30" − u 0' 0" )))dt = T 1 ((i1 ⋅ u10" + i 2 ⋅ u 20" + i3 ⋅ u 30" ) − u 0' 0" ⋅ (i1 + i2 + i3 ))dt T∫ (i1 + i2 + i3 ) = 0 ⇒ W1 + W2 + W3 = 1 ∫ (i1 ⋅ u10" + i2 ⋅ u 20" + i3 ⋅ u 30" )dt = P T W1 =

43

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (5)

CARGA DESEQUILIBRADA 1

W1

2 u20’ 3

W2 W3

u30’

u10’ i 1

Z1

i2

u20” Z2

0’ u0’0” i3

Z3 u30”

u10”

0”

1 (i1 ⋅ u10" )dt ∫ T 1 PZ2 = ∫ (i2 ⋅ u 20" )dt T 1 PZ3 = ∫ (i3 ⋅ u 30" )dt T P = PZ1 + PZ2 + PZ3 = PZ1 =

1 (i1 ⋅ u10" + i2 ⋅ u 20" + i3 ⋅ u 30" )dt ∫ T

1 1 1 d W d W ( i ⋅ u ) t = ( i ⋅ u ) t = (i3 ⋅ u 30' )dt 1 10' 2 2 20' 3 T∫ T∫ T∫ = u10" − u 0' 0" u 20' = u 20" − u 0' 0" u 30' = u 30" − u 0' 0"

W1 = u10'

1 1 1 ( i ⋅ ( u − u ) ) d t W = ( i ⋅ ( u − u ) ) d t W = (i3 ⋅ (u 30" − u 0' 0" ))dt 1 10 " 0 ' 0 " 2 2 20 " 0 ' 0 " 3 T∫ T∫ T∫ 1 W1 + W2 + W3 = ∫ ((i1 ⋅ (u10" − u 0' 0" )) + (i 2 ⋅ (u 20" − u 0' 0" )) + (i3 ⋅ (u 30" − u 0' 0" )))dt = T 1 ((i1 ⋅ u10" + i 2 ⋅ u 20" + i3 ⋅ u 30" ) − u 0' 0" ⋅ (i1 + i2 + i3 ))dt T∫ (i1 + i2 + i3 ) = 0 ⇒ W1 + W2 + W3 = 1 ∫ (i1 ⋅ u10" + i2 ⋅ u 20" + i3 ⋅ u 30" )dt = P T W1 =

44

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (6)

CARGA DESEQUILIBRADA Vemos por tanto que al no haber considerado ninguna secuencia de fases este método de medida de potencias es valido para secuencia directa e inversa

1

W1

2 u20’ 3

W2 W3

u30’

u10’ i 1

Z1

i2

u20” Z2

0’ u0’0” i3

u10”

0”

Z3 u30”

Además como finalmente el neutro de los vatímetros no interfiere en el resultado final podría estar a cualquier potencial luego podría puentearse con cualquiera de las fases, de esta forma el vatímetro que toma la corriente de esa fase marcaría cero y los otros dos vatímetros variaran su lectura de forma que su suma coincida con la de los tres vatímetros cuando el neutro de las bobinas voltimétricas estaba al aire. De esta forma se pasa de un sistema de medida con tres vatímetros a uno con dos vatímetros que nos permite medir potencia activa en cargas equilibradas y desequilibradas, y que llamaremos el método de Aron o de los dos vatímetros. 45

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (7) 7.9.1 MÉTODO DE ARON

Este método sirve para medir potencia activa para cargas equilibradas y desequilibradas tanto para secuencia directa como para inversa, y para la medida de la potencia reactiva en los sistemas equilibrados y en ambas secuencias, la disposición de los vatímetros puede ser cualquiera de las figuras siguientes

W1

I1

W3 W2

I1

I2

W5

W4

I3

W6

I2

I3

En todas ellas hay un vatímetro que toma la intensidad de la fase “i” y la tensión desde esta misma fase “i” hasta la fase “i-1”, a este vatímetro en el método de Aron le llamaremos vatímetro “1”, mientras que el otro vatímetro toma la intensidad de otra fase “j”= “i+1” y la tensión de la fase “j” hasta la fase “j+1” a este segundo vatímetro le llamaremos vatímetro “2” 46

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (8) 7.9.1 MÉTODO DE ARON

Los resultados de las medidas de cada uno de los vatímetros en el caso de una carga equilibrada i

S. D.

Ii

WI

U30

U12

U31 j

WJ

Ij ϕ

ϕ U20 ϕ +30º i-1

ω

U10

ϕ-30º

U13

j+1

U23 ∧ WI = I i ⋅ U i,i-1 ⋅ cos I iU i,i-1  = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ - 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cosϕ ⋅ cos30° + sen30° ⋅ senϕ ) = W1   ∧ WJ = I j ⋅ U j, j+1 ⋅ cos I jU j, j+1  = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30° ) = I L ⋅ U C ⋅ (cosϕ ⋅ cos30° − sen30° ⋅ senϕ ) = W2  

W1 + W2 = 2 ⋅ I L ⋅ U C ⋅ (cosϕ ⋅ cos30°) = 2 ⋅ I L ⋅ U C ⋅ cosϕ ⋅

3 = 3 ⋅ I L ⋅ U C ⋅ cosϕ = P 2 1 Q W1 - W2 = 2 ⋅ I L ⋅ U C ⋅ (sen30° ⋅ senϕ ) = 2 ⋅ I L ⋅ U C ⋅ senϕ ⋅ = I L ⋅ U C ⋅ senϕ = 2 3

47

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (9) 7.9.1 MÉTODO DE ARON

Los resultados de las medidas de cada uno de los vatímetros en el caso de una carga equilibrada

i

WI

Ii

U23

ϕ -30º

j

WJ

Ij

S. I.

U20

ω

IJ

ϕ

U13 U10

ϕ i-1

j+1

U31

U30

II

ϕ +30º U12

 ∧  WI = I i ⋅ U i,i -1 ⋅ cos I iU i,i-1  = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cosϕ ⋅ cos30° − sen30° ⋅ senϕ ) = W2    ∧  WJ = I j ⋅U j, j+1 ⋅ cos I jU j, j+1  = I L ⋅U C ⋅ cos(ϕ − 30°) = I L ⋅U C ⋅ (cosϕ ⋅ cos30° + sen30° ⋅ senϕ ) = W1   3 W1 + W2 = 2 ⋅ I L ⋅ U C ⋅ (cosϕ ⋅ cos30°) = 2 ⋅ I L ⋅ U C ⋅ cosϕ ⋅ = 3 ⋅ I L ⋅ U C ⋅ cosϕ = P 2 1 Q W1 - W2 = 2 ⋅ I L ⋅ U C ⋅ (sen30° ⋅ senϕ ) = 2 ⋅ I L ⋅ U C ⋅ senϕ ⋅ = I L ⋅ U C ⋅ senϕ = 48 2 3

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (10) 7.9.1 MÉTODO DE ARON

Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias Secuencia directa ϕ =0º carga resistiva pura WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ - 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos - 30°) =

3 I L ⋅UC 2 ⇒ WI = WJ > 0

WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos30°) =

3 I L ⋅UC 2

Secuencia directa ϕ =30º inductivos WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ - 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos0°) = I L ⋅ U C ⇒ WI = 2WJ > 0 WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos 60°) =

1 I L ⋅UC 2

Secuencia directa ϕ =60º inductivos WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ - 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos30°) =

3 I L ⋅UC 2

WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos90°) = 0

⇒ WI > 0 = WJ

49

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (11) 7.9.1 MÉTODO DE ARON

Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias Secuencia directa 60º<ϕ<90º inductivos (por ejemplo 75º) WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ - 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos45°) > 0 WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos105°) < 0

⇒ WI > 0 > WJ

Secuencia directa ϕ =90º inductivos WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ - 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos60°) =

1 I L ⋅UC 2 ⇒

1 WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos120°) = − I L ⋅ U C 2

WI = − WJ WI > 0 > WJ

50

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (12) 7.9.1 MÉTODO DE ARON

Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias Secuencia directa ϕ =-30º capacitivos WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ - 30° ) = I L ⋅ U C ⋅ (cos - 60° ) =

1 I L ⋅UC 2

WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30° ) = I L ⋅ U C ⋅ (cos0° ) = I L ⋅ U C

⇒ WJ = 2WI > 0

Secuencia directa ϕ =-60º capacitivos WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ - 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos - 90°) = 0 ⇒ WJ > 0 = WI WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos − 30°) =

3 I L ⋅UC 2

51

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (13) 7.9.1 MÉTODO DE ARON

Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias Secuencia directa -60º>ϕ>-90º capacitivos (por ejemplo 75º) WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ - 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos - 105°) < 0 WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos 45° ) > 0

⇒ WJ > 0 > WI

Secuencia directa ϕ =-90º capacitivos 1 WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ - 30° ) = I L ⋅ U C ⋅ (cos - 120°) = − I L ⋅ U C 2 ⇒ WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30° ) = I L ⋅ U C ⋅ (cos − 60°) =

1 I L ⋅UC 2

WJ = − WI WJ > 0 > WI 52

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (14) 7.9.1 MÉTODO DE ARON

Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias Secuencia inversa ϕ =0º carga resistiva pura WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos + 30°) =

3 I L ⋅UC 2 3 WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ − 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos - 30°) = I L ⋅UC 2

⇒ WI = WJ > 0

Secuencia inversa ϕ =30º inductivos WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos60°) =

1 I L ⋅UC 2 WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ − 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos0°) = I L ⋅ U C

⇒ WJ = 2WI > 0

Secuencia inversa ϕ =60º inductivos WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos90° ) = 0

3 WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ − 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos30°) = I L ⋅UC 2

⇒ WJ > 0 = WI 53

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (15) 7.9.1 MÉTODO DE ARON

Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias Secuencia inversa 60º<ϕ<90º inductivos (por ejemplo 75º)

WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos105°) < 0 WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ − 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos45°) > 0

⇒ WJ > 0 > WI

Secuencia inversa ϕ =90º inductivos

WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos120°) = −

1 I L ⋅UC 2

1 WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ − 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos60°) = I L ⋅ U C 2

⇒

WJ = − WI WJ > 0 > WI

54

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (16) 7.9.1 MÉTODO DE ARON

Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias Secuencia inversa ϕ =-30º capacitivos WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos0°) = I L ⋅ U C ⇒ WI = 2WJ > 0 WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ − 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos - 60°) =

1 I L ⋅UC 2

Secuencia inversa ϕ =-60º capacitivos WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos - 30°) =

3 I L ⋅UC 2

WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ − 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos - 90°) = 0

⇒ WI > 0 = WJ

55

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (17) 7.9.1 MÉTODO DE ARON

Comportamiento de los vatímetros para distintos ϕ y distintas secuencias Secuencia inversa -60º>ϕ>-90º capacitivos

WI = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos - 45°) > 0 WJ = I L ⋅ U C ⋅ cos(ϕ − 30°) = I L ⋅ U C ⋅ (cos - 105°) < 0

⇒ WI > 0 > WJ

Secuencia inversa ϕ =-90º capacitivos

WI = I L ⋅ U K ⋅ cos(ϕ + 30°) = I L ⋅ U K ⋅ (cos - 60°) =

1 I L ⋅U K 2 ⇒

WJ = I L ⋅ U K ⋅ cos(ϕ − 30°) = I L ⋅ U K ⋅ (cos - 120°) = −

1 I L ⋅U K 2

WI = − WJ WI > 0 > WJ 56

7.9 MEDIDA DE POTENCIAS A 3 HILOS (18) 7.9.1 MÉTODO DE ARON

Conociendo dos de los tres datos siguientes podríamos conocer el tercero, los datos son: Carácter de la carga, lecturas de los vatímetros y secuencia del sistema trifásico

S.D.

S.I.

57

7.10 MEDIDA DE POTENCIA REACTIVA CARGAS DESEQUILIBRADAS (1)

Por ser las cargas desequilibradas no es posible valorar la potencia reactiva que llega a las mismas, por tanto para poder cuantificarla vamos a cuantificarla en un generador trifásico considerado conectado en estrella a tres hilos U10

∼

I1

∼

90º-ϕ3 U12

ϕ3

ω

I2

I2

ϕ1 U10

ϕ2

I1

U20

U30

∼

U30

90º-ϕ2

U20 0

I3

U31

I3

90º-ϕ1 U23

 ∧   ∧   ∧  Q1 = I1 ⋅ U10 ⋅ sen I 1U 10  Q2 = I 2 ⋅ U 20 ⋅ sen  I 2U 20  Q3 = I 3 ⋅U 30 ⋅ sen I 3U 30         ∧   ∧   ∧  Q = Q + Q2 + Q3 = I1 ⋅ U10 ⋅ sen I 1U 10  + I 2 ⋅U 20 ⋅ sen I 2 U 20  + I 3 ⋅ U 30 ⋅ sen I 3U 30  =       I1 ⋅U S ⋅ sen (ϕ1 ) + I 2 ⋅U S ⋅ sen (ϕ 2 ) + I 3 ⋅U S ⋅ sen (ϕ 3 ) ⇒ Q = U S ⋅ (I1 ⋅ sen (ϕ1 ) + I 2 ⋅ sen (ϕ 2 ) + I 3 ⋅ sen (ϕ3 ))

58

7.10 MEDIDA DE POTENCIA REACTIVA CARGAS DESEQUILIBRADAS (2)

1

W1

2

I1

Z1

I2

Z2

W2

3

W3

I3

Si estudiamos las lecturas de los vatímetros monofásicos

0’

Z3

∧  W1 = I 1 ⋅ U 23 ⋅ cos I 1U 23  = I 1 ⋅ U K ⋅ cos(90° − ϕ1 ) = I 1 ⋅ U K ⋅ sen(ϕ1 )   ∧  W2 = I 2 ⋅ U 31 ⋅ cos I 2 U 31  = I 2 ⋅ U K ⋅ cos(90° − ϕ 2 ) = I 2 ⋅ U K ⋅ sen(ϕ 2 )   ∧

W3 = I 3 ⋅ U 12 ⋅ cos I 3U 12  = I 3 ⋅ U K ⋅ cos(90° − ϕ 3 ) = I 3 ⋅ U K ⋅ sen (ϕ 3 )   W1 + W2 + W3 = I 1 ⋅ U K ⋅ sin (ϕ1 ) + I 2 ⋅ U K ⋅ sin (ϕ 2 ) + I 3 ⋅ U K ⋅ sen (ϕ 3 ) =

I3

U31

U30

ω 90º-ϕ3 U12

ϕ3

90º-ϕ2 I2

ϕ1 U10

ϕ2

I1

U20 90º-ϕ1 U23

U K ⋅ (I 1 ⋅ sen (ϕ1 ) + I 2 ⋅ sen (ϕ 2 ) + I 3 ⋅ sen (ϕ 3 )) =

3U S ⋅ (I 1 ⋅ sen (ϕ1 ) + I 2 ⋅ sen (ϕ 2 ) + I 3 ⋅ sen (ϕ 3 )) W1 + W2 + W3 = 3U S ⋅ (I 1 ⋅ sen (ϕ1 ) + I 2 ⋅ sen (ϕ 2 ) + I 3 ⋅ sen (ϕ 3 ))

59

7.10 MEDIDA DE POTENCIA REACTIVA CARGAS DESEQUILIBRADAS (3)

Por tanto tenemos que:

Q = U S ⋅ (I1 ⋅ sen (ϕ1 ) + I 2 ⋅ sen (ϕ 2 ) + I 3 ⋅ sen (ϕ3 )) Por lo que se puede decir que:

W1 + W2 + W3 = 3U S ⋅ (I1 ⋅ sen (ϕ1 ) + I 2 ⋅ sen (ϕ 2 ) + I 3 ⋅ sen (ϕ3 )) = 3 ⋅ Q ⇒ Q=

1 (W1 + W2 + W3 ) 3

Y además podemos medir potencia reactiva mediante vatímetros monofásicos.

Si, por otra parte, la carga fuese equilibrada, entonces se cumpliría que :

I 1 = I 2 = I 3 = I L ϕ1 = ϕ 2 = ϕ 3 = ϕ

W1 = W2 = W3 = I L ⋅ U C ⋅ cos(90° − ϕ ) = I L ⋅ U C ⋅ sen (ϕ ) Q = 3 I L ⋅ U C ⋅ sen (ϕ ) = 3W1 = 3W2 = 3W3 Por tanto con instalar uno solo de los vatímetros podríamos haber medido la potencia 60 reactiva.

7.11 BIBLIOGRAFIA

• V.M. Parra Prieto y otros, Teoría de Circuitos, Universidad Nacional de Educación a Distancia. Madrid 1990. Tema XXI, XXII y XXIII. • E. Alfaro Segovia, Teoría de Circuitos y Electrometría. El autor, Madrid 1970. Capitulo VIII, lecciones 20, 21, 22 y 23. • Z. Aginako y otros, Zirkuituen Teoriako 100 Ariketa, Elhuyar, Usurbil 2006. 6. atala. • J.A. Edminister, M. Nahvi, Circuitos Eléctricos (Problemas resueltos) McGraw Hill, Madrid 1997. Capítulo 11. • A. Gómez Expósito, J.A. Olivera, Problemas resueltos de Teoría de Circuitos, Paraninfo, Madrid 1990. Capitulo 6. • A. Gómez Expósito y otros, Teoría de Circuitos, Ejercicios de autoevaluación, Thomson, Madrid 2005. Capítulo 5. • J.L: Azurmendi y otros, Practicas de Electricidad y Circuitos, Centro de publicaciones de la EUITI de Bilbao, Bilbao 1985. Capitulo 5. • P. Sánchez Barrios y otros, Teoría de Circuitos, Pearson Educación, Madrid 2007. Capitulo 3.

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