Tema 62

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec.

ACADÈMIA CONTEC OPOSICIONS DE TECNOLOGIA 2009.

TEMA 62. PORTES LÓGIQUES. TECNIQUES DE DISSENY I SIMPLIFICACIÓ DE FUNCIONS LÒGIQUES.

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

1

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec. INDEX 1.L´ELECTRÒNICA DIGITAL..........................................................................................pag3 2.ELS SISTEMES DE NUMERACIÓ................................................................................pag4 3.ALTRES SISTEMES DE NUMERACIÓ........................................................................pag5 4.OPERACIONS AMB NOMBRES BINARIS..................................................................pag5 5.ÀLGEBRA DE BOOLE...................................................................................................pag7 6.FUNCIONS LÒGIQUES O BOOLEANES.....................................................................pag7 7.TAULA DE LA VERITAT D´UNA FUNCIÓ LÒGICA................................................pag8 8.FORMA CANÓNICA D´UNA FUNCIÓ LÒGICA........................................................pag8 9.MÈTODES DE SIMPLIFICACIÓ...................................................................................pag9 10.PORTES LÒGIQUES.......................................................................................................pag11 11.IMPLEMENTACIÓ DE FUNCIONS BOOLEANES.....................................................pag15 12.CIRCUITS COMBINACIONALS...................................................................................pag17 13.INTEGRATS COMERCIALS ÚTILS PER ALS MUNTATGES REALS.....................pag21

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

2

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec.

1. L´ELECTRÒNICA DIGITAL Si ens remuntem uns anys enrera, ens adonarem que la complexitat dels processos industrials i la utilització dels controls automàtics governats per l´electricitat feien un binomi ideal. La majoria dels controls requerien un procés de tot o res: en marxa o aturat, obert o tancat. Gairebé tots els senyals es podien controlar mitjançant la presència de tensió o la seva absència. Aquest va ser el camí que es va seguir perquè sorgís un nou camp dins de l´electrotècnia : l´electrònica digital. L´electrònica digital té com a finalitat l´estudi i l´aplicació dels circuits on entren senyals digitals. Els circuits digitals també s´anomenen circuits lògics, ja que la simplificació i resolució dels problemes s´efectua mitjançant operacions lògiques del tipus sí o no, com ara : passa-no passa corrent elèctric, es mou-no es mou el capçal d´una màquina, s´encen-no s´encen una bombeta, etc. Aquestes variables anomenades binàries, es representen simbòlicament amb els signes 1 i 0 respectivament i, per tant, no expressen quantitats, sinó estats de les variables

Si pensem que tots els circuits de control industrial ( els autòmats, els ordinadors, etc.) utilitzen circuits complexos de commutació, faltarà alguna cosa més que un bon enginyer per pensar les solucions que s´han d´adoptar. Serà necessari, a més, un suport matemàtic que s´adequï i permeti la modificació i simplificació de processos matemàtics, que aplicarem al disseny i anàlisi dels circuits electrònics digitals. Aquest suport el trobarem en dos procediments bàsics : el sistema de numeració binari i l ´àlgebra de Boole.

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

3

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec.

2. ELS SISTEMES DE NUMERACIÓ. Un sistema de numeració és part d´un llenguatge instrumental que fa servir un conjunt de símbols i regles matemàtiques per representar dades numèriques o xifres. El més utilitzat és el sistema decimal o de base 10. L´anomenem d´aquesta manera perquè són 10 els símbols utilitzats per representar quantitats. El sistema de numeració binari és un sistema que només utilitza dos símbols, el 0 i el 1, per la qual cosa també rep el nom de base dos. Aquest sistema és idoni per sintetitzar la informació i per això serà utilitzat per a l´anàlisi i el disseny dels circuits digitals. Com que aquests dos sistemes són àmpliament utilitzats alhora, caldrà conèixer com hem de fer la conversió entre tots dos sistemes numèrics. •Per convertir un nombre binari en un nombre decimal operem de la següent manera : Exemple : 10011 = 1 × 24 + 0 × 23 + 0 × 2 2 + 1 × 21 + 1 × 20 = 19 •Per convertir un nombre decimal en un nombre binari operem de la següent manera : Exemple : 32 ⇒ 100000

Exemple : 67 ⇒ 1000011

El nombre resultant l´obtenim agafant l´últim quocient i totes les restes de manera successiva i inversament a com els hem anat obtenint. Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

4

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec.

3. ALTRES SISTEMES DE NUMERACIÓ. A part dels sistema binari, existeixen altres sistemes de numeració útils per al tractament de la informació digital : el sistema octal i el sistema hexadecimal. El sistema octal, o base de 8, s´anomena així perquè el formen 8 dígits. El sistema hexadecimal, o base setze, està format pels deu dígits del sistema decimal i les cinc primeres lletres de l´abecedari

4. OPERACIONS AMB NOMBRES BINARIS. •Suma de nombres binaris : la suma de nombres binaris es realitza com una suma normal, però cal tenir en compte que en base 2 es compleix el següent :

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

5

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec.

•Multiplicació de nombres binaris : la multiplicació binària és similar a la decimal. S’hi utilitzen unes taules de multiplicar molt simples, en què es té en compte que :

•Resta de nombres binaris : per fer la resta s´aprofita la mateixa tècnica que a la suma, i s´evita així d´haver de fer canvis en els circuits electrònics. Per això s ´utilitza el complement d´un nombre. Per trobar el complement d´un nombre binari caldrà substituir els 1 per 0 i els 0 per 1. La resta es fa sumant al minuend el complement del subtrahend. Es poden donar diversos casos segons si els nombres són positius o negatius. El ròssec ( nombre que ens emportem ) que apareix a la suma s´afegeix al bit menys significatiu del nombre obtingut. Per exemple, l ´operació 25-18 pot realitzar-se de dues maneres :

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

6

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec.

5. ALGEBRA DE BOOLE. A més del sistema numèric binari, caldrà un component que ens permeti relacionar i operar en el complex món del disseny i l´anàlisi dels sistemes electrònics digitals. Aquest instrument és l´àlgebra de Boole. L´algebra de Boole té com a objectiu definir una sèrie de símbols per representar objectes o fenòmens que donin lloc a expressions matemàtiques més complexes anomenades funcions. L´algebra de Boole compren tot una sèrie de postulats que venen detallats a continuació:

6. FUNCIONS LÒGIQUES O BOOLEANES . Una funció lògica és aquella que té n variables ( representades per lletres ) , les quals només poden tenir dos valors ( 0, 1), i estan relacionades mitjançant les operacions bàsiques suma, producte i complementació o negació. Els valors bàsics de les variables són : •“ 0 “ = 0 lògic o nivell baix de tensió o absència de tensió.

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

7

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec. •“ 1 “ = 1 lògic o nivell alt de tensió o presència de tensió.

7. TAULA DE LA VERITAT D´UNA FUNCIÓ LÒGICA . Tots els valors possibles de les funcions poden ser representats gràficament per les taules de la veritat que estan formades per tantes columnes com variables té la funció i per tantes files com combinacions siguin possibles de fer amb aquestes variables. El nombre de combinacions possibles serà 2n, essent n el nombre de variables independents.

8. FORMA CANÒNICA D´UNA FUNCIÓ LÒGICA. Com que tota llei, funció o expressió booleana tindrà una taula de la veritat que la representi, també podem dir que a partir de qualsevol taula de veritat podrem obtenir l ´equació d´una funció booleana. Aquestes equacions tindran una forma característica anomenada canònica, la qual cosa vol dir que qualsevol terme d´una equació haurà de tenir totes les variables de la funció. Podem trobar-nos amb dos tipus d´equacions canòniques : una amb una estructura anomenada de minterms i una altra anomenada de maxterms. •Equació d´una funció lògica en forma de minterms: es una equació en la qual tots el termes són canònics i estan sumats entre ells. Les variables que componen cada terme estan multiplicades entre elles. Donada una taula de veritat, seleccionarem tots els termes la sortida dels quals valgui 1. Perquè les diferents sortides valguin 1 és necessari que totes les variables que intervinguin en el producte siguin 1, per tant haurem de negar aquelles que valguin 0.

Es sòl expressar de la següent manera :

∑ ( x) ; on n és el nombre de variables del n

terme canònic i x són els termes de la funció que són 1 expressats en base decimal. Per exemple

∑ (1,3,5,9,11,12,14,15) vol dir que els termes 1,3,5,9,11,12,14,15 valen 1 4

en la taula de la veritat.

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

8

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec.

•Equació d´una funció lògica en forma de maxterms : és una equació en la qual tots els termes són canònics i estan multiplicats entre ells. Les variables que componen cada terme estan sumades entre elles. Donada la taula de veritat, seleccionarem tots els termes la sortida dels quals valgui 0. Perquè les diferents sortides valguin 0 és necessari que totes les variables que intervinguin en la suma siguin 0, per tant haurem de negar aquelles que valguin 1.

Es sòl expressar de la següent manera :

∏ ( x) ; on n és el nombre de variables del n

terme canònic i x són els termes de la funció que són 0 expressat en base decimal. Per exemple

∏ (0,4,6,15) vol dir que els termes 0,4,6,15 valen 0 en la taula de la 4

veritat.

9. MÈTODES DE SIMPLIFICACIÓ. Simplificar una funció lògica és trobar-ne una altra d´equivalent en la qual hi hagi el menor nombre de termes amb el menor nombre de variables possibles. Bàsicament hi ha dues maneres de simplificar funcions booleanes: una és mitjançant l ´aplicació de les lleis de l´àlgebra de Boole i l´altra són els mètodes dels mapes de Karnaugh per funcions fins a 5 variables i per un nombre de variables superior s ´utilitzen les taules de Quine McCluskey. Com que les funcions que utilitzarem, en cap cas, superaran les cinc variables només ens ocuparem dels mapes de Karnaugh. Simplificació pel mètode de l´àlgebra de Boole : Es basa en l´aplicació de tot el conjunt de propietats, postulats i teoremes de l´àlgebra de Boole. Simplificació pel mètode dels diagrames de Karnaugh: Segons el nombre de variables hi haurà diferents mapes, tal i com es mostra a continuació. Així doncs, tindrem mapes de Karnaugh per 2,3,4 i 5 variables.

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

9

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec. Si el nombre de variables és n el nombre de caselles és 2n. Si ens fixem la distribució de les variables en cadascun dels mapes ens fixa el nombre de caselles. Una propietat important es que entre una fila o una columna consecutiva només hi ha una diferència d´1 bit ( per exemple la fila 00 i la 10 només es diferencien en 1 bit, l´1 ). Això fa que les files i columnes consecutives s´anomenin adjacents, és a dir que només es diferenciïn en 1 bit. També cal fixar-se que entre la primera fila i la última de cada diagrama hi ha adjacència i entre la primera columna i la última també. El mètode de simplificació per Karnaugh es basa en aquestes adjacències. Primer es tracta de col·locar tots els valors de la funció que siguin 1 o 0, segons si la forma canònica és en forma de minterms o maxterms. Després, si és possible, caldrà agrupar aquests 1´s o 0´s entre files i columnes adjacents. Aquests agrupaments poden ser de 2, 4, 8,16 o 32 elements que es trobin en posicions horitzontals o verticals, mai diagonals. Sempre cal considerar els majors nombres d´agrupaments, és a dir, on en hi hagi un de quatre no en posem dos de dos. En cada agrupació mirarem els valors de les variables d´entrada : •Si el valor de la variable és el mateix en tota l´agrupació, aquesta formarà part de l´expressió simplificada ( negada si el valor és 0 i sense negar si és 1 en el cas del s minterms ; negada si el valor és 1 i sense negar si és 0 en el cas dels maxterms ). •Si el valor d´una variable varia dins de l´agrupació no el considerarem. Exemples :

10. PORTES LÒGIQUES.

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

10

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec. Les portes lògiques són els circuits electrònics integrats, capaços d´operar segons les operacions i funcions algebraiques definides per l´àlgebra de Boole. Aquestes portes són les següents :

a)FUNCIÓ NOT. Es tracta d´una porta que nega l´entrada. Si a l´entrada tenim un 1 a la sortida tindrem un 0 i al revés. El seu símbol és el següent : La taula de la veritat és la següent : A 0 1

Y 1 0

La funció que realitza l´expressem com : Y = a

b)FUNCIÓ OR. Es tracta d´una porta que suma l´entrada. El seu símbol és el següent : La taula de la veritat és la següent : A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

Y 0 1 1 1

La funció que realitza l´expressem com : Y = a + b

c)FUNCIÓ AND. Es tracta d´una porta que multiplica els valors de l´entrada. El seu símbol és el següent : La taula de la veritat és la següent : Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

11

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec. A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

Y 0 0 0 1

La funció que realitza l´expressem com : Y = a × b

d)FUNCIÓ NOR. Es tracta d´una porta que suma e inverteix el resultat. El seu símbol és el següent : La taula de la veritat és la següent : A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

Y 1 0 0 0

La funció que realitza l´expressem com : Y = a + b .

e)FUNCIÓ NAND. Es tracta d´una porta que multiplica e inverteix el resultat. El seu símbol és :

La taula de la veritat és la següent : A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

Y 1 1 1 0

La funció que realitza l´expressem com : Y = a × b

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

12

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec.

f)FUNCIÓ XOR Es tracta de la porta exclusiva. El seu símbol és el següent : La taula de la veritat és la següent : A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

Y 0 1 1 0

La funció que realitza l´expressem com : Y = a ⊕ b = a ⋅ b + a ⋅ b .

g)FUNCIÓ XNOR. Es tracta de la porta exclusiva negada. El seu símbol és el següent : La taula de la veritat és la següent : A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 La funció que realitza l´expressem com : Y = a ⊕ b = a ⋅ b + a ⋅ b . Existeixen dos tipus de símbols molt estesos per a les portes lògiques, un tipus de símbol és el que hem vist i que s´anomena ASA, l´altra s´anomena DIN. A continuació hi ha un resum de totes les portes lògiques que hem representat utilitzant les dues nomenclatures, la taula de la veritat i el circuit elèctric equivalent.

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

13

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec.

11. IMPLEMENTACIÓ DE FUNCIONS BOOLEANES

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

14

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec.

Amb l´objectiu d´utilitzar el menor nombre de portes diferents, cercarem la manera de transformar la funció un cop reduïda, per utilitzar només portes lògiques d´un sol tipus. Direm que implementem la funció quan amb una sola porta realitzem el disseny i la síntesi del circuit que defineix la funció. Les portes més utilitzades per implementar funcions són les portes NAND i NOR que també s´anomenen universals. Per tant qualsevol porta es pot fer equivalent a una d ´aquestes portes universals. Per implementar funcions seguirem els passos següents : Implementació amb portes NOR : •aplicarem una doble inversió a tota la funció. Això no afecta la funció. •Si existeix algun producte parcial aplicarem una doble inversió, i n´utilitzarem una per convertir-la en suma segons Morgan. Implementació amb portes NAND : •Aplicarem una doble inversió a tota la funció. •Si existeix alguna suma parcial aplicarem una doble inversió, i n´utilitzarem una per convertir-la en producte segons Morgan. D´altra banda la implementació amb portes NOR està relacionada amb una forma canònica mitjançant minterms i la implementació amb portes NAND està relacionada amb una forma canònica mitjançant maxterms. A continuació hi ha alguns exemples.

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

15

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec.

12. CIRCUITS COMBINACIONALS. Els circuits digitals combinacionals són aquells circuits en els quals la seva sortida depèn únicament del valor en què es troben les seves entrades i de la funció lògica o circuit que representa. Les seves principals característiques són : •Podem tenir un nombre variable d´entrades i sortides. •Hi ha sempre una funció lògica que relaciona qualsevol sortida amb les entrades. •Qualsevol sistema combinacional admet una expressió numèrica i, per tant, una taula de veritat o logigrama. •Els senyals a les entrades apareixen : oDe manera aleatòria ( per exemple a les alarmes ). Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

16

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec. oDe manera cíclica, determinada per uns interessos ( rentadores, cadenes de muntatge, etc. ). El procés de disseny d´un circuit combinacional és : oCaldrà l´enunciat de les condicions de funcionament que s´exigeixen. oCaldrà realitzar la taula de veritat de les condicions amb els seus valors lògics. oObtenció de l´expressió algebraica des de la taula de la veritat. oSimplificació de la funció i, si es desitja, transformació en maxterms i minterms. oDibuix del circuit teòric. oDibuix del circuit real de muntatge. oMuntatge en un entrenador-simulador i comprovació del funcionament. oRealització industrial del circuit. Com que la majoria d´aquest tipus de circuits es realitzen implementant la seva funció lògica, i són àmpliament utilitzats, podrem trobar circuits integrats comercials com ara : codificadors i descodificadors, multiplexors i desmultiplexors, comparadors, sumadors i restadors, etc.

a)Semisumador ( Half Adder ): Es tracta d´un circuit que permet realitzar sumes entre nombres binaris. Té dues entrades i dues sortides. Una sortida és el resultat de la suma i l´altra el ròssec. El seu símbol és el següent :

La taula de la veritat per aquest circuit és la següent : A

B

0 0 1 1

0 1 0 1

∑

0 1 1 0

CO 0 0 0 1

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

17

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec.

∑

= A ⋅B + A ⋅ B = A ⊕ B

CO = A ⋅ B b)Sumador Complet ( Full Adder ). Es tracta d´un circuit que té dues entrades i que accepta una entrada més que provingui d´un Semisumador. També té dues sortides. El seu símbol és :

La seva taula de la veritat és la següent :

∑

A

B

CI

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

∑

= A ⊕ B ⊕ CI

0 1 1 0 1 0 0 1

CO 0 0 0 1 0 1 1 1

CO = A ⋅ B + A ⋅ C + B ⋅ C ©) Multiplexors :

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

18

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec. Un multiplexor és com un selector de canal a través d´un element de control. El multiplexor té N entrades d´informació i n bits de control. La relació entre el nombre d´entrades i el nombre de bits de control és el següent : N = 2n. De multiplexors hi ha de tants ordres com senyals de control introduïm. Així doncs, tenim multiplexors d´ordre 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..... Per exemple un multiplexor d´ordre 1 pot ser el següent : Veiem que hi ha un sol senyal de control i dues entrades. La figura de la dreta és la implementació del multiplexor.

La funció lògica d´un multiplexor d´ordre 1 és la següent : S = C⋅ A+C⋅B Un altre exemple, un multiplexor d´ordre 2 pot ser el següent :

En aquest cas hi ha dos senyals de control ( x, y ) i 4 entrades. La implementació d ´aquest multiplexor d´ordre 2 és la següent :

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

19

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec.

La funció lògica del multiplexor d´ordre 2 és la següent : S = x ⋅ y ⋅ A + x ⋅ y ⋅ B + x ⋅ y ⋅ C + x ⋅ y ⋅ D.

13.INTEGRATS

COMERCIALS

ÚTILS

PER

ALS

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

20

MUNTATGES REALS.

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec.

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

21

Preparació Oposicions de Tecnología Academia Contec.

Tema 62. Portes lògiques. Tècniques de Disseny i Simplificació de funcions lògiques.

22