Exercices : Thermodynamique PCSI–2 lyc´ ee Ibn Taimiya
2013-2014
TD no 1 : Gaz parfait
A.BADIR 2013/2014
Exercice 1 : M´ elange de gaz parfaits 1. On consid`ere un m´elange id´eal ( absence d’interactions )de deux gaz parfaits. Montrer que : ” la pression totale du m´elange de gaz parfaits est la somme des pressions partielles ”, loi de Dalton .On rappelle que la pression partielle d’un gaz dans un m´elange est la pression qu’il exercerait s’il ´etait seul. 2. Trois r´ecipients contiennent respectivement de l’hydrog`ene, de l’oxyg`ene et de l’azote dans les conditions suivantes : H2 : 2, 25 l ; 250 mmHg ; 20 ◦ C - O2 : 5, 50 l ; 250 mmHg ; 20 ◦ C - N2 : 1, 40 l ; 760 mmHg ; 0◦ C a. Calculer la masse de chaque gaz en les supposant parfaits. b. On m´elange ces gaz dans un mˆeme r´ecipient de volume 18,5 litres `a la temp´erature de 0◦ C˚; on suppose le m´elange id´eal . Calculer pour chaque gaz sa fraction molaire , sa fraction massique et sa pression partielle. On rappelle que : 1 atm = 760 mm Hg = 1, 013.105 P a et on donne R = 8, 314 J.K −1 .mol−1 . 3. a. d´eterminer le volume occup´e par 1 gramme de dibrome suppos´e gaz parfait `a la temp´erature 1600 ◦ C et sous la pression atmosph´erique. On donne la masse molaire du brome M (Br ) = 80 g.mol−1 . b. L’experience montre que ce volume est en fait 1, 195 litre. Montrer que cela peut s’expliquer en consid´erant qu’une certaine proportion des mol´ecules Br2 s’est dissoci´ee en atome Br. Calculer le coefficient de dissociation (rapport de la quantit´e de Br2 dissoci´ee et la quantit´e de Br2 initiale). 4. On consid`ere le m´elange d’h´elium (He) et d’argon (Ar) suppos´es parfaits `a la mˆeme temp´erature. D´eterminer le rapport des vitesses quadratiques moyennes de leurs mol´ecules. On donne M (He) = 4 g.mol−1 ; M (Ar) = 40 g.mol−1 . ´ Exercice 2 : Equilibre d’une plaque non isotherme dans un gaz 1. Soit un gaz de n∗ particules (de masse m ) par unit´e de volume. Montrer que la pression cin´etique peut s’obtenir en consid´erant qu’un certain nombre de particules arrivent toutes en incidence normale sur la paroi avec la mˆeme vitesse ´egale `a la vitesse quadratique moyenne correspondant `a la temp´erature T du gaz, et repartent avec la vitesse quadratique moyenne correspondant `a la temp´erature T 0 = T 2. Soit une plaque de surface s plac´ee dans un gaz parfait monoatomique `a la mˆeme temp´erature T . ses deux faces ne sont pas `a la mˆeme temp´erature : une des face `a la temp´e*rature T et l’autre `a T 0 > T. Exprimer la r´esultante des forces de pression qui s’exerce sur la plaque. Exercice 3 : Fuite d’un gaz 1. Dans un r´ecipient de volume V = 1l maintenu `a 0◦ C, on enferme de l’h´elium sous la pression de Po = 100 P a. A l’ext´erieur r`egne un vide absolue. Sachant que la paroi du r´ecipient est perc´ee d’un trou d’aire s = 1 µm2 , au bout de combien de temps la pression aura -t-elle diminu´ee de la moiti´e ? Pour obtenir l’ordre de grandeur, on adopte les hypoth`eses simplificatrices suivantes : ∗ le trou ´etant petit, le gaz se d´etend lentement en restant au repos. On n´eglige tout mouvement macroscopique. ∗ une climatisation assure le maintien de la temp´erature et l’uniformisation du gaz dans tout le r´ecipient. PCSI-2 Marrakech - A. BADIR
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∗ on consid`ere que toutes les mol´ecules ont une vitesse ´egale `a la vitesse quadratique moyenne u. De plus ces vitesses ne sont orient´ees que selon ±~ex , ±~ey , ±~ez et la r´epartition dans ces six directions est isotrope. 2. Le r´ecipient perc´e communique avec un un r´ecipient identique initialement vide, le tout est maintenu `a 0 ◦ C. Au bout de combien de temps la pression dans le second r´ecipient aura -t-elle atteint la valeur 10 P a ? Exercice 4 : Coefficients thermo´ elastiques On d´efinit ∗ le coefficient de compressibilit´e isotherme d’un fluide : χT = − V1 ( ∂V ∂P )T . ∗ le coefficient de dilatation isobare :
α =
∗ le coefficient de compression isochore :
β =
1 ∂V V ( ∂T )P . 1 ∂P P ( ∂T )V
1. Calculer α, β, et χT pour un gaz parfait. 2. Montrer que, pour un fluide quelconque, α, β, et χT . sont reli´es par α = P.β.χT . ∂P ∂T ∂x 1 On admet que l’on a ( ∂V ∂P )T .( ∂T )V .( ∂V )P = −1 et ( ∂y )z = ∂y ( ∂x )z
3. L’´etude exp´erimentale d’un gaz a montr´e que α et χT , pour une mole, s’exprime en fonction des R variables ind´ependantes P et T par : α = aP +RT , χT = p(aPRT u a et R sont des constantes. +RT ) o` Trouver l’´equation d’´etat relative `a une mole de ce gaz. Exercice 5 : Equation d’´ etat d’un fil Un fil st caract´eris´e par un coefficient de dilatation lin´eique α et un module de Young ET constants : 1 ∂L L ∂F ( )F et ( ) L ∂T S ∂L T T ´etant sa temp´erature, L sa longueur, S sa section et F la force de traction. 1. Quelles sont les dimensions physique de α et ET ? F ), Lo ´etant la longueur `a la temp´erature To lorsque 2. Montrer que L = lo exp[α(T − To )] exp( SE T F = 0. 3. Que devient l’´equation d’´etat pr´ec´edent pour α suffisamment petit et ET suffisamment grand ? α=
´ Exercice 6 : Energie interne Le tableau ci-dessous donne, avec trois chiffres significatifs exacts, le volume molaire V( en m3 .mol−1 )et l’´energie interne molaire U ( en kJ.mol−1 )de la vapeur d’eau `a la temp´erature t = 500 ◦ C pour diff´erentes valeurs de la pression P(en bars). On donne en outre la constante des gaz parfaits R = 8, 314 J.K −1 .mol−1 . P V U
1 6, 43.10−2 56, 33
10 6, 37.10−3 56, 23
20 3, 17.10−3 56, 08
40 1, 56.10−3 55, 77
70 8, 68.10−4 55, 47
100 5, 90.10−4 54, 78
1. Justifier sans calcul que la vapeur d’eau ne se comporte pas comme un gaz parfait. 2. On se propose d’adopter le mod`ele de Van Der Waals pour lequel on a : (P + Va2 )(V −b) = RT et U = UGP − Va . a. Calculer le coefficient a en utilisant les ´energies interne des ´etats `a P = 1 bar et `a P = 100 bars. Calculer b en utilisant l’´equation de l’´etat `a P = 100 bars. b. Quelle valeur obtient-on alors pour U `a P = 40 bars ? Quelle temp´erature obtient-on alors en utilisant l’´equation d’´etat avec P = 40 bars et V = 1, 56.10−3 m3 .mol−1 ? Conclure sur la validit´e du mod`ele.
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