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ESCUELA SUPERIOR DE F´ISICA Y ´ MATEMATICAS TORRES LINARES JORGE 18 de septiembre de 2018

Figura 1: M´etodos num´ericos

1

´Indice 1. Programe las reglas compuestas Newton-Cotes. 1.1. P ROGRAM A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Comparaci´ on de Resultados. 2.1. Conclusi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 7

3. Estudio Experimental 9 3.1. Conclusi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ´ 48 p 1 + cos2 (x)dx 11 4. 0 5. BIBLIOGRAF´ IA

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2

1.

Programe las reglas compuestas Newton-Cotes.

Programe las reglas de Newton-Cotes compuestas conocidas como: Regla de T rapecio compuesta Regla de Simpson 13 compuesta y compare el desempe˜ no de estos dos m´etodos programados cuando se aplican a los siguientes problemas:

1.1.

P ROGRAM A

Figura 2: PROGRAMA ´ 1.5 Valor real de la integral 1 x2 ln (x) dx = 1.922593577327960e − 001 ´ 1.5 .Para la integral 1 x2 ln (x) dx con n = 8 nodos tenemos :

Figura 3:

´ 1.5 1

x2 ln (x) dx

Notemos que en la primera columna se muestran las reglas compuestas y en la otra el error. ´ π/4 Valor real de la integral 0 e3x sin (2x) dx = 2.588628632507175 ´ π/4 P ara la integral 0 e3x sin (2x) dx con n = 8 nodos tenemos : 3

Figura 4:

´ π/4 0

e3x sin (2x) dx

´ e+1 1 Valor real de la integral e xln(x) dx = 2.725138805025834e − 001 ´ e+1 1 P ara la integral e xln(x) dx con n = 8 nodos tenemos :

Figura 5: Valor real de la integral 002 P ara la integral

´ 1.3 0.75

´ 1.3 0.75

´ e+1 e

1 xln(x) dx

(sin2 (x)−2xsin (x)+1)dx = −2.037679597887401e−

(sin2 (x)−2xsin (x)+1)dx con n = 8 nodos tenemos :

4

Figura 6:

´ 1.3 0.75

(sin2 (x) − 2xsin (x) + 1)dx

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2.

Comparaci´ on de Resultados. Las Formulas abiertas y cerradas Newton-Cotes con su respectivo error

Figura 7: Resultados: En la izquierda se muestra el resultado aproximado y en el lado derecho el error.

Figura 8: Resultados: En la izquierda se muestra el resultado aproximado y en el lado derecho el error.

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Figura 9: Resultados: En la izquierda se muestra el resultado aproximado y en el lado derecho el error.

Figura 10: Resultados: En la izquierda se muestra el resultado aproximado y en el lado derecho el error.

2.1.

Conclusi´ on

Notemos que las formulas abiertas de Newton-Cotes da un resultado mas cerca (al valor real) a comparaci´on de la regla compuesta del trapecio sin embrago el error por ambos m´etodos es muy grade, aunque en la regla compuesta 7

de Simpson arroja resultados ´optimos y como es l´ogico su grado de error es muy peque˜ no. Por ende es mejor utilizar la regla compuesta de Simpson para obtener mejores resultados.

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3.

Estudio Experimental Valor real de la integral

´ 1.5 1

x2 ln (x) dx = 1.922593577327960e − 001

Figura 11: Valor real de la integral

´ π/4 0

´ e+1 e

1

x2 ln (x) dx

e3x sin (2x) dx = 2.588628632507175

Figura 12: Valor real de la integral

´ 1.5

´ π/4 0

e3x sin (2x) dx

1 xln(x) dx

9

= 2.725138805025834e − 001

Figura 13: Valor real de la integral

´ 1.3 0.75

´ e+1 e

1 xln(x) dx

(sin2 (x)−2xsin (x)+1)dx = −2.037679597887401e−

002

Figura 14:

3.1.

´ 1.3 0.75

(sin2 (x) − 2xsin (x) + 1)dx

Conclusi´ on

En el programa cabe mencionar que tome 214 intervalos es decir 16384 iteraciones o c´ alculos, sin embargo solamente tome los intervalos 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 210 , 211 , 212 , 213 , 214 , notemos que en la regla compuesta de Simpson en los u ´ltimos c´alculos en 212 , 213 , 214 la aproximaci´ on es mejor pero la exactitud no, conforme se hacen mas c´ alculos existe un grado de error en la precisi´on.

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4.

´ 48 p 1 + cos2 (x)dx 0

−h4 (b − a)f (4) (µ) (1) 180 Necesitamos saber el m´ aximo absoluto de la cuarta derivada de f (x) asi que necesitamos un grado mas para la quinta derivada para disvutir los puntos criticos en [0, 48]asi que necesitamos un grado mas para la quinta derivada para discutir los puntos criticos en [0, 48] E(f ) =

Figura 15: derivadas 00

Necesiyamos encontrar el max|f (x)| asi que necesitamos encontar las raices de la quinta derivada en [0, 48] son Una vez que obtenemos la quinta derivada e igualamos a cero y obtenemos las raices, para lo cual obtenemos las raices sin embargo no es facil de encontralas, para eso nos apoyaremos en un programa en mi casa utilice el metodo de biseccion

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Figura 16: Programa de Bisecci´on(python) Nos apoyamos en el programa para obtener las raices.

Figura 17: Bisecci´on una vez encontradas las raices de la quinta derivada evaluamos en la curta derivada y encontramos sus puntos criticos en el intervalo[0, 48]. Las riaces de la quinta derivada son: 1 0.00272 2 π 3π 3 2 5 f (4) (0.00272) = 0; f (4) (π) = 2√ ; f (4) ( 3π 2 )=7 2 =⇒ maxx∈[0,48] |f (4) (x)| = 7

tomamos el maximo

5 (4) |Es | ≤ (48−0) (x) 180n4 maxx∈[0,48] |f (48)5 (4) = 180n4 maxx∈[0,48] |f (x) −4

≤ 10 Resolvemos para encontrar la evaluaci´on de n

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(48)5 180n4 7

≤ 10−4 n = 561 particiones

Figura 18: Particiones

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5.

BIBLIOGRAF´IA

Referencias [1] An´ alisis Num´erico Richard L. Burden J. Douglas Faires [2] Steven C. Chapra M´etodos Num´ericos para Ing. 6ta ed; Mac Graw Hill. [3] Elkner, J., Downey, A. B. & Meyers, C. (2010). How to think like a computer scientist: Learning with Python. (2da. ed.)

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