Solution 02

‫ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﺪاي ﺑﺨﺸﻨﺪه ﻣﻬﺮﺑﺎن‬ ‫ﭘﺎﺳﺦ ﺗﻤﺮﻳﻦﻫﺎي درس ﻣﻌﺎدﻻت دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت ﺑﺮﻧﻮﻟﻲ‬ x

1) y '−2e y = 2e

y

− 12

x

y

1

y '−2e x y 2 = 2e x 1

z = y 2 ⇒ z' =

1 2

y

− 12

y'

z '−e x z = e x z = e∫ 1

e x dx 

x x x x x x  x −∫ e e e dx + c  = e e  e x e − e dx + c  = e e − e − e + c  = cee − 1           

∫

∫

x

y 2 = cee − 1

____________________ 2) 2 xyy' = x 2 + 3 y 2 3 x y + y −1 2x 2 3 x 3 2 x y '− y = y −1 ⇒ yy '− y = 2x 2 2x 2 y' =

z = y 2 ⇒ z ' = 2 yy ' 3 z '− z = x x 3 3  ∫ x dx  − ∫ x dx z=e xe dx + c  = x 3 x − 2 dx + c = x 3 − x −1 + c = cx3 − x 2    

∫

y 2 = cx3 − x 2 ____________________ 2x 1 y= y2 3) y '− 2 2 1+ x 1+ x

[∫

] (

)

2x

y − 2 y '−

1+ x

2

y −1 =

1 1 + x2

z = y −1 ⇒ z ' = − y − 2 y ' 2x

z '+

−1

z=

1 + x2 2x 2x  −∫ dx  dx 2 ∫ − − 1 ln(1+ x 2 ) 2 1 1  1+ x 2 dx + c  = e − ln(1+ x )  z = e 1+ x  e dx + c  =  1 + x2 e  1 + x2    1 + x2   1+ x

2

∫

y −1 =

c−x 1 + x2

∫

⇒y=

[∫ − dx + c]= 1c+−xx

1 + x2 c−x

____________________ 4) y '− y = − y 2 ( x 2 + x + 1), y (0) = 1 y −2 y '− y −1 = −( x 2 + x + 1) z = y −1 ⇒ z ' = − y − 2 y ' z '+ z = x 2 + x + 1

[∫

]

[

]

z = e − x ( x 2 + x + 1)e x dx + c = e − x ( x 2 − 2 x + 2 + x − 1 + 1)e x + c = x 2 − x + 2 + ce − x y −1 = x 2 − x + 2 + ce − x 1 = 0 − 0 + 2 + c ⇒ c = −1 y = ( x 2 − x + 2 − 1e − x ) −1

____________________ 1

5) y '−4 y = 2e x y 2 , y (0) = 2 y

− 12

1

y '−4 y 2 = 2e x 1

z = y 2 ⇒ z' =

1 2

y

− 12

y'

z '−2 z = e x

[∫

]

[

]

z = e 2 x e x e − 2 x dx + c = e 2 x − e − x + c = ce 2 x − e x 1

y 2 = ce 2 x − e x 2 = c −1 ⇒ c = 2 +1

[

y = ( 2 + 1)e 2 x − e x

]

2

2