Sistemas De Unidades_ocr- Jose Luis.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO

FACULTAO DE INGENIERIA

FASCICULO 2

SISTEMAS DE UNIDADES

JOSE YURRIETA VALDES MIGUEL M. ZURITA ESOUIVEL

DMSION DE CIENCIAS BASICAS DEPARTAMENTO DE MECANICA

FI/OCB/86

1

CONTENIDO

FACULTAD DE INGEi.!!ERIA 2.

FACULTAD DE INGENIERIA UNAM.

44

SISTEMA DE UNIDADES

\�l l\�l�\l\l �lll ll\l \ *908325*

G1.- 908325

SISTEMAS

DE

UNIDADES . . .

1

l

•

1

•

•

•

•

1

1

.,

2.1

BREVE RESEÑA HISTORICA DE LA MEDICION.

1

2.2

CONTAR Y MEDIR .

6

2.3

El PROCESO DE MEDIR.

9

2.4

PROBLEMAS DERIVADOS.

12

2.5

MAGNITUDES FISICAS .

14

2. 6

UNIDADES Y SISTEMAS DE UNIDADES.

26

2.7

lfiSTRUMEMTOS DE MEDIDA. . .

64

2.8

METODOS DE HEDIDA .

2.9

CONCLUSIONES. . .

2.10

PROOLEMII.S

.

72

2.11

SOLUCION DE PROBLEMAS PROPUESTOS

78

.

. .

.

.

PROPUESTOS

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

. · .

. .

. .

.

.

.

68

70

.

81

8IBLIOGRAFIA.

FASC.2

a IEREOiCS RESERIJA[OS @ 19 86, roapccto por la FACULTAD DE INGENIERIA , t.NIVERSIDAD NACICNAL AUKNOMA lE MEXlOJ 20, Ciudad Universitaria, México

SISTEMAS

DE

UNIDADES

D.F.

1• l't 1 mera o
d6n

on e-o pañol

G.l

SIST.UNJD 44

G1.-90832S

FACULTAD DE INGENIE�j� ÚNAM

l lmll�lllm�IIW�illl �im *908325*

·

·

1

PROLO GO

Uno de los aspectos mas notables de la ciencia en general, es el car�cter acentuadamente cuantitativo de su contenido te6rice. La ingeniería, medio por excelencia para aplicar el conocirnien to científico a los problemas tecnológicos inherentes al desa­ rrollo de las sociedades históricamente determinadas, constitu ye el �rea en la cual es imperativo ineludible que los plante� mientes pertinentes se manejen en términos, expresamente cuan­ titativos. Así, la realización de cada actividad dentro de la ingeniería implica llevar a cabo procesos, tanto de estimación numéricaoo mo de medición de las variables involucradas.

Evidentemente,

dichos procesos est� en correspondencia con el enfoque típico para elaborar soluciones viables en los distintos campos de la ingeniería:

empleo de métodos eficientes, de índole converge�

te, que a través de aproximaciones sucesivas conformen respue� tas satisfactorias u óptimas, para las cuestiones técnicas

de

gue se trate. Dentro de los procesos señalados destaca, intensamente, la elec cién del sistema de unidades de medición idóneo. En general, esta elección así como los procesos citados, se en cuentran directamente condicionados por los puntos de vista teó rico-científicos adoptados sobre campos específicos de conoci­ miento.

En efecto, de cada paradigma científico, en el sentido

asignado por T.S. Kuhn, se derivan problemas de cuantificación

que son función de su estructura, e inversamente: anomalías de­ tectadas por la observación cuantitativa permiten criticar al paradigma y, eventualmente, obligar a su sustitución.

El Departamento de Mec�nica de la División de Ciencias B�sicas de la Facultad de Ingeniería, considera importante que el estu diante de ingeniería pueda alcanzar desde los primeros cursos de su formación profesional, conocimientos sólidos y amplios relación con los aspectos indicados.

m

2.

SISTEMAS

DE

UNIDADES

Con esta intenci6n se publica el presente trabajo, orientado al &rea de la m�c�nica,

pero situado en un lmbito suficientemente

amplio para que los problemas referentes a la cuantificaci6n de variables,

d� otras disciplinas, puedan ser enfrentados poste­

riormente,

por C'l <-atudiante,

con criterio t�cnico y claridad

intelectual. Cabe señalar qu� �n ('Ota publicaci6n, especialmente dedicada a los sist••m,lB de unidades, cluso

de son

las

antropol6gicos,

para

BC'

se-ñalan aspectos hist6ricos e in­

t•jercicios de cuantificaci6n,

�stas

con sentido hist6rico, que

en

c,1d<.1 estadio est§n asociadas ·a paradigmas de conocimiento. Asimismo,

BREVE RESERA HISTORICA DE LA HEDICION

(•n fa t i z ar la naturaleza estructural

actividades de medici6n y del empleo de unidades;

se incluyen conceptos formales, con el nivel apropi�

do de rigor,

2.1

sobre estirnaci6n y medi9i6n de variables,

El hombre, a través del tiempo,

siempre ha tratado de medir los

diversos objetos que se encuentran en su entorno lo que conduce a plantearse, mental y pr§cticamente diversas preguntas de

las

cuales algunas est�n relacionadas con la medici6n.

así co­ Las antiguas civilizaciones se enfrentaron ya,

mo respecto a los rubros relevantes asociados.

a este problema.

El terna central, unidades y sistemas de unidades, se presenta

Las mediciones lineales, como las que se realizaban para obte­

con amplitud,

ner la distancia entre dos poblaciones,

en el contexto de los puntos anteriores,

anexán­

Se concluye oon una exposici6n global referente al empleo de instrumentos de medida,

señal§ndose su funci6n,

manejo,

se encuentran entre las

primeras que necesitó y emple6 el ser humano.

dose ilustraciones numéricas para facilitar su estudio.

aJuste

y control; tambi�n se alude al importante problema de presencia de errores en toda acci6n de medición.

Las primitivas

unidades de longitud correspondían a las diferentes partes del cuerpo humano. consecuencia,

El hombre fue su propia vara de medición; y, en algunas de las unidades de longitud usadas enlas

antiguas civilizaciones fueron: palma,

el palmo,

el codo, la ulna

o cUbito, �

el dígito, el pie y la mano.

Para complementar adecuadamente este fascículo desde el punto

Todas estas unidades eran muy variables,

de vista pedag6gico,

entre s! del mismo modo como se· relacionan las actuales.

se ha agregado una serie de ejercicios de

aplicación.

La lista de referencias bibliogr§ficas que apare­

ce

permite al lector profundizar en cualesquiera de

al final,

los temas expuestos. '

Las distancias mayores eran medidas por el paso o la braza. Los romanos designaron con el nombre de milla a una distancia equi­

se aprovecha este espacio para agradecer

a

los lectores los e�

mentarías y sugerencias que puedan aport.!lr para enriquecer el contenido de futuras imprPsion('S de

pero se relacionaban

C'stc•

tr.!lbajo,

gir las posibles clcficiPncta� d<- la prC'nrnte.

o para corre

valente a mil pases.

Los egipcios antiguos usaban la longitud

de los brazos extendidos, equivalente a un poco menos de seis pies, a la que dieron el nombre de braza, todavía usada en

la

actualidad en mediciones nafiticas.

En Inglaterra, durante la alta Edad Media, existi6 muy escasa uniformidad en lo referente a las diversas medidas.

Las unida­

des pequeñas de longitud fueron el pulgar, el palmo, el codo, el ell,

el pie,

la yarda y el paso;

estas unidades,

entre otra�

sufrieron modificaciones a ra!z de la conquista normanda en

1066.

2

3

En forma semejante,

se origin6 la yarda,

antiguo vocablo ingl�s yerde,

palabra derivada del

que sig ni fic a vara.

Cuenta la

1�

yenda que la longitud de la yarda fue fijada por el rey Enri­

que I, llamado Beaudere, corno la distancia comprendida

de la

punta de su nariz al extremo del pulgar de su brazo derecho ex tend ido.

Para distancias mayores

como la jornada,

po- trabajo,

equivalente a un d!a de marcha o derivado del anglosaj6n fuE

o el furlong,

a una mañana arando, lang,

los ingleses usaban unidades de tiem­

que significa l.ong.itud di!. un �uJLc.o,

sin embargo,

Hacia el año 1500,

das resultaban anárquicas.

las med.f_

las diferentes

me d.i.das inglesas de longitud eran:

Una de las unidades m�s antiguas, y aún Bn uso, �ras es el acre; drados.

que equivale,

�

para medir ti

act.ualmente a 43 560

pies cua­

En un principio el acre se tom6 como la superficie

que se ara en una mañana.

En Inglaterra,

el acre resultaba

igual a cuatro varas por furlong.

Otra medici6n importante, hist6ricamente considerada,

es la de

los �gules; y es casi seguro que el hombre primitivo midi6 án gules mucho antes que longitudes.

d!as contenidos en

un

Mucho despu�s,

el número de

año fue conocido por los babilonios,

yo año tenia 360 d!as;

cu­

por los egipcios que empleaban el año

de 365 d!as -12 meses de 30 d!as más cinco d!as festivos-

y

por los mesoamericanos que tenían un año de 18 meses de 20 d!as cada uno más cinco d!as complementarios.

3

12 3

4

9

5

125

5

1

2

40

gran os de

Se dice que el grado -derivado del lat!n gradus,

1 pie

paso o marcha- como unidad angular de medida,

en estas 360 divisiones de la jornada solar anual durante su

yarda

pu l g a das

man o

pulgadas

palmo

más,

palmos

ell

los babilonios ya pose!an algunos instrumentos,

pasos

furlon 9

yardas

vara inglesa

riamente,

fur long

dirigida a alguno de ellos con el horizonte-.

1

varas

fu rl ong s dios)

6

pies furlongs

movimiento de translaci6n aparente alrededor de la Tierra. Ade

(común)

diversos vestigios mesopot&micos nos muestran tambi�n que

astrolabio o al teodolito,

(estadio)

al

rudimenta­

la altura de los astros -ángulo que forma la visual Desde luego,

�

como

en

milla

el caso de longitudes o de áreas y la unidad de medida acostum­

braza

bra�a fue precisamente el grado. tomaron la costumbre de Persia,

legua

dios)

semejantes

que les permit!an medir,

bién medir un �nqulo es asignarle un n6mero concreto,

(e sta-

( est a-

que significa

tuvo su origen

pies

8

12

pulgada

cebada

pulga das

S6lo los griegos,

que tal vez

sol!an usar la 1/360 parte de

una circunferencia como unidad de medida de arcos;

y el ángulo

central que subtiende a dicho arco unitario lo.emplearon como unidad de·medida angular,

a la que llamaron,

precisamente gra­

do. Otro caso de medici6n, áreas o superficies.

e l tamaño de

una

es el referente Matemáticamente,

regi 6n ; y,

con

a

la deterroinaci6n

el Srea se define

de como

el transcurso de los años,

se

En lo concerniente a otras mediciones, tales como la capacidad, el volumen y la masa,

existe tambi�n abundante material hist6-

ha encontrado que las regiones mAs convenientes para ser usa­

rico;

das

rio profundizar mayormente para concluir que:

como u n idade s de ár ea o de superficie son las regiones cu�

dradas cuyos lados miden lo qu�

como el centímetro, o la milla;

la pulgada,

que dan lu ga r

en esta breve reseña, no es necesa

una unidad de longitud usual,

el metro, el pie, el kilom�tro

1.

respectivamente al centímetro cuadra

do, a la pulgada cuadrdd
pero consideramos que,

me-tro

C"unclrado,

al pie cuadra­

a l kil6metro cuadrado y � ld millo cuad rada.

El proble•a de

la medición

es tan antiguo

como la humanidad misma.

2.

El m ismo problema

reconoce

partida la medida de

como punto de

longitudes.

4

5 3.

Ha existido, siada

en

el c urso del tiempo,

anar qu!a en

el

uso de

dema­

las diferentes

un idades de medida. 4.

Dichas

unidades

fueron

mente definidas, das

El nuevo sistema se denomin6 S-l
siempre arbitraria­

damentales del mismo,

convencionalmente acepta­

en Versalles,

para esa �poca,

los Estados Generales de Fran­ encon­

los diferentes sistemas de medi­

das usados adolec!an de tres defectos principales�

1.

Sin embargo,

multitud de experiencias demostraron que este sis­

tema era insuficiente, des,

a pesar de poseer tan relevantes cualid�

debido a que carecía de flexibilidad para enfrentar

nuevos progresos científicos.

ya que el valor de una uni­ sin justificaci6n,

de una �p�

ca a otra.

constituye fundamentalmente, to en el siglo XVIII,

La va�abilidad,

puesto que una misma unidad adquiría valo­ países y,

en ocasiones

La complejidad,

París en octubre de 1960,

por lo regular,

(SI)

el cual,

se formularon las bases para integrar,

el nuevo Sistema Internacion�l de Unida­

a partir de 1970,

toda la comunidad internacional,

ma Usual (SU),

teamericana nos obliga, la Asamblea Constituyente francesa decr�

tal corno lo

creación de un nuevo sistema que fuera estable,

corno tecnol6gica.

uniforme Y ra­

Esta famosa institución inte­

que las medidas de diferentes especies fue­

ran referidas todas,

en lo posible,

a la unidad de longitud,

Y

que dicha unidad fuera una fracción determinada del meridiano terrestre,

natu�a.t,

ya que en esta forma resultaba una u�dad demedida

inva�able, cuya dete�minaci6n na tiene nada de a�bi­

t.lta.lt.ia ni de pa.ltticu.ta� con .lte6v)[encia a n.ingún paü de.t gtobo. E l meridiano fue calculado,

cuidadosamente,

en 5,130,740

(antigua unidad francesa de longitud) y la nueva unidad, que se dio el nombre de metro -del griego metron, medida-, longituo.

toesas a

la

que significa

fue definida como la diazmillon6sima parte de dicha Con estos dat o s

dio el nombre de m e .Oro

n�

ta.f6n.

al uso de muchas equivalencias

en unidades SU,

y recíprocamente,

exige la pr§ctica consuetudinaria tanto científica

el estu­

gró una comisión la cual decidió la creación de un sistema de medición decimal;

con la excepci6n de los Esta­

Esta deplorable intransigencia nor­

todavía,

para transformar unidades SI

t6 la supresión de las antiguas unidades de medida y ordenó la

dio y la solución del problema.

ha sido adoptado por casi

no coincidente ni con el Sistema Mátrico ni con

el antiguo Sistema Ingl�s.

confiando a la Academia de Ciencias de París,

En la

celebrada en

dos Unidos de Norteamirica que siguen utilizando su viejo Sist�

relaciones

sencillas.

El 9 de mayo de 1790,

El�

(Sil.

sistema propue�

Undécima Conferencia General sobre Pesas y Medidas,

des

debido a que los valores de unidades homo­

géneas no guardaban entre s!,

cional;

una ampliación del

con el objeto de incorporar los nuevos d�

en forma totalizadora,

segdn las diversas regiones de cada pa!s.

los

Con el tiempo el Sistema M�trico

sarrollos científicos y tecnológicos del siglo veinte.

res distintos seg�n los diferentes

3.

Lo
fue reemplazado por el nuevo Sy;�teme. Tnte�nationat La �rteAtab�Lidad en el tiempo, dad cualquiera podia cambiar,

2.

asent�ndose que:

y el 11

las unidades fu�

na.l.

cia se abocaron a tratar el problema de las mediciones, tr�ndose que,

legalmente,

ma Mft�co �on el Metlto Inte.ltnaciona! y et Kiiog.ltamo Inteltnacio

y autoritariamente impuestas.

En el año de 1789,

se establecieron,

�onDtruy6 un prototipo al que se

Nuestro país,

en lo particular,

ha adoptado como oficial el Si�

tema Internacional de Unidades (SI) , FICIAL MEXICANA.

ma lnteltnacionat de Unidade� (Sil. carácter obligatorio, ral:

aunque,

de acuerdo con la NORMA o­

Si;�tema Gene..lta.l de Un_¿dade� de Me�da. (Nom-z-l-1981)

Si�te

d�dole

un

de orden pUblico y de jurisdicción fede­

por razones obvias,

mente en las !reas industrial,

todavía se err.plean,

principal­

comercial y educativa entre otras,

diversas unidades que han dejado de tener vigencia en M�xico, pero que se usan por necesidad o por costumbre, Finalmente,

principalmente.

para ilustrar esta breve reseña hi.st6rica,

a conti­

nuación se presentan algunas equivalencias selectas entre diversas unidades usadas en diferentes paises del Sistema Internacional.

las

y las unidades

7

6 Poco m�s tarde, TABLA DE UNIDADES ANTIGUAS

gracias a la aceleración del desarrollo social

y al advenimiento de la propiedad privada, los hombres dedica­

DE MEDICION

dos a la caza y a la pastores, Nombre

4e la unidad

Valor e n Unidades

N

144.0

Arroba

(SI)

Pa! s en que se usaron

m

España

0.4572

m

Hebreos

o.524 3

m

Egipto

Codo ol!mpico

0.4633

m

Grecia

Estadal

3. 35

Codo

b!blico

Codo real

egipcio

201.168

Furlong

0.003 785

Galón

los

inventaron el p�oee�o de eon�a�.

proceso destacan,

desde luego,

las siguientes caracte­

rísticas:

España

1. 67

Braza

En este

domesticación de animales, as! como

por necesidad,

1.

E l conjunto por contar e s u n conjunto perfectamente con­ creto.

2.

La unidad empleada como unidad natural

m

España

m

Gran Bretaña

3 m

Estados

3.

El elemento representativo mente,

Uni-

unidad de cuenta es también una

y concreta.

concreto

de

cada ina1vi duo es,

igual­

y Único.

dos

5572.0

Legua Onza

o.ooo 2841

lfquida

0. 2286

Palmo

0.000 4732

Pinta

m

España

m3

Gran Bretaña

m

Gran Bretaña

m3

Estados

Uni-

dos

Con el transcurso del tiempo,

la abstracci6n simplificadora

se

apoder6 del proceso de contar, se inventaron los n�meros como 1

características distintivas de los conjuntos coordinables y, se les dieron nombres adecuados a partir del uso de los dedos o di gitos.

kg

Es paña

Toesa

1 . 949

m

Fran cia

En esta forma hab!a nacido el proceso aritm�tico de contar,

Vara

0.836

m

España

cual exigía la existencia de una pluralidad de la misma especie

Versta

1.

m

U.R.s.s.

que deb!a ser contada;

Gran Bretaña

elegido como unidad de cuenta; y la de un conjunto de elementos abstractos,

46.0

Quintal

06 7

Galón

o. 004 546

3 1!1

Pinta

o.000 5683

m3

Gran Bretaña

11\

Eg ipto

m

Grecia

el

la de un individuo perteneciente ·a ella

los n�meros,

que permit!an determinar la cantidad de

individuos contenidos.en la pluralidad dada.

Estadio alejandrino

157.50

Estadio ol!mpico

192.

o

De man era s em ejant e se origin6 el proceso de medir. sentido la natu rale z a of recía al hombre

un

para poder responder a las interrogantes:

En este

ma rco de referencia ¿d6nde?

¿cuando?

Pero las respuestas adecuadas a estas cuesti�nes llevaban,

en

una forma implícita y desde luego no asequible para el hombre primitivo,

la noci6n de cantidad.

Es decir, como ocurri6 en el

proceso de contar, el descubrimiento del �mbito espacio-tempo­ ral exig!a por sus características cuantitativas, so paralelo a aqu€1, el proceso de medir que, 2.2

ría grandemente del de la simple cuenta,

CONTAR Y MEDIR

El entorno natural, al homb re,

tanto en su esencia co

mo en su forma de realizaci6n; puesto que el proceso de medir en su limitado proceso de creaci6n,

en su oportunidad,

tuitivamente: es decir,

de otro proc�

sin embargo, dif�

propuso

dos c onc eptos que €ste a s im il6 i�

el d e individuo -yo- y el de esp ec i e -n osotros-;

los conceptos de unidad y de pluralida d.

buscaba -y busca- cuantificar rigurosamente determinadas cuali­ dades de los individuos o de los fen6menos,

que se encuentran,

8

9

o que ocurren,

en un determinado entorno geogr�fico el cual,

La u.nidad empleada como unidad de. medida es también una

i�

unidad objetiva,

variablemente encierra al observador y le obliga tambi�n a pl� tearse la pregunta

cuya respuesta le permitir& ad­

¿cu!nto?;

quirir el conocimiento científ i co y riguroso de la realidad del universo y del universo mismo, �es que actúan en �1,

y del sistema de referencia e spa cio- terop�

ral que exige ese conocimiento, te local,

Por ejemplo:

segundo,

etc·.

el metro,

la libr �,

los grados, el

La medida constituye siempre un número concreto, cir,

evolutivo y desde luego meraroe�

�!egida siempre en forma conven-

plo:

un nGmero cualquiera pero con unidades. 12 m,

35

kg,

40°C,

120 Cd,

Por

es

de­

ejem-

etc.

que caracteriza la certidumbre del mundo f!sico.

Puntualizando,

el proceso de medir naci6 de la simple compara­

ci6n de cierta caracter!stica o cualidad, presente individuos de una pluralidad,

en

todos los

que presentaba variaciones cuanti

tativas importantes que los diferenciaban entre s!. rioridad,

J:

as! corno de los agentes natura­

pero

cional.

Con poste­

se aropli6 para cuantificar en forma semejante,

propiedades del espacio,

sus dimensiones,

las

sus distancias, que

constituyeron el objeto de las geometrías primitivas;

En otras condiciones,

el proceso de medir se volvería abstracto

y, de hecho, se convertiría en un simple proceso aritm�tic o de contar,

el cual seria incapaz de caracterizar la realidad obje­

tiva de la ocurrencia de un fen6meno cualquiera,

cuya naturale­

za es perfectamente concreta, como lo han comprobado siem p re las ciencias físicas a todo lo largo de su evoluci6n cognosciti va.

as1 como

el transcurrir del tiempo, el cual represent6 siempre una dime� si6n incontrolable y diferente de aquellas fundamentalmente ob­ jetivas.

Mucho tiempo despu�s,

el mismo proceso se aplic6 para

conocer, también cuantitativamente,

las caracteristicas de

los

diferentes agentes f1sicos que act�an en los diversos fen6menos

que or.urren continuamente en la naturaleza;

al l;¡'rado de que el

�

jetivo fundamental de la Física, en los tiempos de su consolida ci6n definitiva, fue precisamente el de medir, proximaci6n posible,

2.3

la acci6n de dichos agentes,

a trav�s de

sus efectos para poder caracteri zarlo s y definirlos adecuadamen te.

En general,

cantidad,

el proceso de medir se convirti6 en el objetivo princi­

pal de las ciencias f1sicas hasta casi la segunda mitad del si­

glo XIX.

otra característica, As!,

de una propiedad o de cualquiera

la cual debe

ser obj eto de una precisa de

se establece entonces la idea de magnitudeh,

idea que puede definirse en forma conceptual o en forma opera­ cional.

los científicos pudieron dirigir sus eafuerzos

en

Si la definici6n es concep t u a l,

entonces debe ser transformada

otras direcciones para de finir, analizar y oxplicar la esencia

en definiciOn operacional como una preparaci6n para

de determinados agentes causale s ,

Esto es,

ae1 como nuo roleciones,

to cualitativas como cuant it a tiva s las cuales caracterizan

En el proceso de medir,

,

tan­

�on olrna aq�ntea diferen­

finnlm�nt� ln función universal.

a�Dtn�nn

fundom�nlnlmonte,

los siguien­

La prOJlit�d.td obje:tivr.t, cia,

C'l

flt't

prno,

o o

,,,,",.., ""

1•

t11n

, n111 1

l"l'

1 •

·1"'"'"'"'lr�''•

1naa1lr J•.,,

nales.

1n

a•

mo, dO:finitivamente

ttjomplo:

la distan-

temperatura,

etc.

la medida.

debe ser expresada en t�rminos de una secuencia de pa­ sos u operaciones que sean capaces de describir un procedimien­ to para realizar la medida. P re cisamente, los instrumentos de medida constituyen la materiali�aci6n de dichos pasos operaci� Por otra parte,

�almente definida,

tes rasgos: 1!

INGEHIER!A

A partir de entonces, y con bases en la medici6n per­

feccionada,

tes,

OE

cualquier medida comienza con la definici6n de una

de una condici6n,

terminaci6n.

En fin,

¡:ACULTAD

EL PROCESO DE M E DIR

con la mayor a­

el

si una magnitud cualquiera

no est! to­

proceso de medir se convierte,

en una parte esencial de la definici6n;

por s1 mi�

como ocurre en el

caso de la dureza, en el cual varias clases de escalas están,ca da una de ellas, definidas por el m�todo o dispositivo particu lar usado para medirla.

�

Sin embargo y en general,

la conver-

10

11

si6n de una defini ción conceptual de cualquier magnitud en una definición operacional no es perfecta;

y consecuentemente,

cha magnitud definida por e l proceso de medir difiere, grandemen te,

di­

a veces ,

En estas condiciones,

por comparación geométrica de s egmentos ,

s e establece la proporción :

de la magnitud ideal propuesta.

� n

La informaci6n contemplada por el p�oee�o de rned¿� e� 4¿ernp�e �na campa�ae¿6n de la magn¿tud pa� medi� con una �e6e�enc¿a cuantitat¿va de la mi�ma e�pecie, es calonada de unidades , cuentra disponible, de referencia se

de todos

Si

llamada unidad.

[: : "1

se en­

la comparación de la magnitud con su unidad

reduce a demostrar que dicha magnitud

es

igual,

a un e lemento particular del conjunto de valores de

en valor,

referencia.

Rec1procamente,

esa magnitud puede s e r ,

subdividida en partes iguale s ,

de tamaño uniforme,

rrespondiente a la unidad de medida; mejantes partes puede s e r contado.

y entonces

u 1

que se expresa por la matriz:

una serie

los tamaños posibles ,

=

o

a su vez,

como e l co­

el nftmer0 de s e

Ejemplos d e las unidades de

llamada mat4�z o ten�o� de medida v§lida para una magnitud cual­ quiera.

Resolvi�ndola se tiene que:

referencia es calonadas son la s ubdivis ión del metro o de la yaE da en cent1metros o pulgadas respectivamente ,

y su multiplica­

(1l

m - nu

ción en kilómetros o millas .

( 21

m

Es decir,

( 3)

n

medir es

establecer una proporción geométrica entre

o

nu m u

=

d e f i n e e l p r o c e s o de medir d e f i n e l a medida define la m e d i c i ó n

los siguientes términos:

1.

L a magnitud p o r m e d i r .

2.

La unidad de medi d a .

3.

E l número d e v e c e s que la magnitud c o n t i e n e a

Obs�rvese que l a medida y l a medici6n s e expresan por e l mdsmo n�mero, pero en tanto que la medida es concreta la medición es

l a uni da d . 4.

El número d e v e c e s que l a unidad s e conti e n e a s ! misma,

que,

s i empre e s uno.

abstracta. La teor1a de la medida,

1.

no bien conformada hasta ahora,

afron

P�oblema de �ep�e�entaci6n.-

cons i s t e e n l a e x i g e nc i a d e

justi fi ca r l a as i gn a c i ón d e números a obj e t o s o fenómenos:

As 1 , para una magnitud fami liar como la longitud o l a temperat� ra,

·

ta tres problemas fundamentales:

e s d e ci r ,

se tiene:

r e s i de e n e l paso d e las o p e r a c i o n e s y p r o c edi­

m i entos emp!ri c o s a la r e p r e s e n t a c i ó n numér i c a de los mis mo s . AB

m 2.

m

u -

:1

vez

u

;

A�·--�--�--�--�--4---4---�-��.B o

2

n

4

5

b

8

veces

f"iqura 2. 1

n•

' ' __,....

•

P4oblema de exctu4¿��dad.-

cons i st e

en l a exigencia

uni da d

que l a medida t en g a una repres entación Úni c a ,

m

e

magnitud

que s e a ,

n

•

número de veces que

de su tipo,

u cabe e n m .

dades r e sp e c t i v a s ,

c o n t o d a c e rt e z a , p u e s t o qu e ,

de

e s d e c i r,

la ú n i c a p o s i b l e r e p r e s e n t ación

e l egidas

conveni entemente las uni­

l a exclusividad d e la medida tiene

p o r t a n t e s c on s e cu e n c i a s en el man e j o de datos.

im­

E s t e pro­

blema e s t á Íntimamente r e l a cionado con el aná l i s i s dimen­ s ional.

13

12

3.

P�ob!ema de e�o�.quier medida

Con s i s te en la exigenci a de que

junto con alguna i n d i c a c i ó n sobre el error probable presenta;

cual­

fí s i ca s i gnificativa debe reportarse s i empre

ya que muchas leyes

que

y t eor!as se comprueban al

ser confirmadas en los errores de medida ,

como ocurrió con

Una de las m�s importantes actitudes con respecto a la medida

en la F!sica Cl�sica, fue la creencia, firmemente enraizada, de que, con suficiente esfuerzo, los errores de medida podían ser . eliminados en principio; que no exist!a limitaci6n alguna en la precisión de las medidas;

y, consecuentemente,

en la exactitud

con la cual las teor!as pod!an ser establecidas a partir de

la Teor!a General de la Relatividad.

comprobaci6n de su validez. Actualmente la teor!a de la medida se ha desarrollado sobre ba­ ses axiom:íticas, estableciendo:

la

Aunque la F1sica Cl§sica continaa

siendo de la mayor importancia en la ciencia aplicada, actual­ mente una actitud mucho m�s cautelosa con respecto a la medida se

ha vuelto pr!ctica acostumbrad a .

As!, en las aplicaciones

de la teor!a electromagn�tica clSsica,

por ejemplo, es usual i�

al

Axiomas de orden

b)

Axiomas de exten s i ó n

poner un limite inferior para definir la m!nima longitud admis!

e)

Axiomas de difer e n c i a

ble que puede ser considerada;

d)

Axiomas de a s o c i a c i ó n

ci6n t1pica es la de conservar todas las longitudes mayores que

e·¡

Axiomas de geometría

y, en este sentido, una restric­

un diezmilímetro para evitar cualquier efecto atómico o subató­ mico que pudiera corresponder, propiamente, a los campos de es­ tudio espec!ficos de la F!sica Cu&ntica.

pero el estudio de esta

axiom�tica se encuentra fuera de los

limites de este fasc!culo, cuya exigencia de medidas no es muy

ciertas aplicaciones termodin&micas que,

Otro tanto ocurre con generalmente,

pertene­

cen al dominio de la Teor!a de los Cuantos.

grande, y por lo mismo, no requiere de gran profundidad. En estas condiciones,

en la F!sica Cl!sica el proceso gene�al de

medir da origen a cuatro problemas derivados, o subproblemas, que se encuentran siempre presentes en el contexto de cualquier med! da.

Estos problemas, que se pueden plantear interrogativamente,

son los siguientes:

1.

¿Qu� se va a medir? El problema de las magnitudes f1sicas o dimensiones, y el

2.4

del an�lisis dimensional. PROBLEMAS DERIVADOS

2.

tales como los conceptos mec&nicos de masa, tensidad de corriente, tencia e impedancia;

diferencia de potencial eléctrico, resi�

ha estado estrechamente relacionado con el

desarrollo de procedimientos para medir, cuantitativamente, las propiedades de los fenómenos asociados con cada uno de esos de terminados conceptos. tensiva:

La teoría y la pr&ctica de la medida ex

así como el anSlisis de dimensión y de unidades han

sido desarrollados, principalmente, ca Cl:ísica.

de medida.

fuerza, momento y

energía cinética; o de los conceptos electromagnéticos de in­

en el contexto de la F!si­

¿En qu� se va a medir? El problema de unidades y el de los sistemas de unidades

El desarrollo de los conceptos centrales de la F!sica Cl§sica,

3.

¿Con qu� se va a medir? El problema de los instrumentos de medida.

4.

¿C6rno se va a medir? El problema del uso de aparatos, y de los métodos de me­ dida.

Cada uno de estos problemas es específico, y debe tratarse en forma separada de los demás.

14 2.5

descrito con posterioridad.

MAGNITUDES FISICAS

de los sistemas y procesos f!sicos que siempre pueden ser medi­ Estas características,

plos de dimensiones derivadas.

que generalmente representan agen­

D I M E NSIO N ES

tes físicos, son colectivamente llamadas magn��ude� o dimtn��o­ ne�.

Las medidas especiales de un objeto,

El intervalo de tiempo entre dos eventos

tambi�n otra dimensi6n.

F U NDAMENTALES

Y

DE� IVA DAS

tales como su longi­

tud, su anchura y su altura, son dimensiones que caracterizan el tamaño del objeto.

A continuaci6n se presenta una ta­

bla que contiene un conjunto de dimensiones fundamentales y eje�

Las leyes de la ciencia están basadas en ciertas características

d�s-

15

1

es

La intensidad de la corriente el�ctrica

DIMENSIONES FUNDAMENTAL ES DEL S ISTEMA I NTER NACIONAL (SI)

SIMBOLO

DIMEN SION ES DERIVADAS

SIMBOLC' l

Longitud

L

Velocidad

L IT .

por lo tanto, la corriente el�ctrica puede ser identificada como

Masa

M

Aceleración

L/T2 , LT-

una magnitud física o dimensi6n.

Tiempo

T

Area

L 2

Ciertos tipos de dimensiones suponen una naturaleza más fundame�

Intensidad de corri ente trica

I

Densidad

M /1.3 , ML-3

Fuerza

ML/T2 ,MLT- 2

que fluye a trav�s de un conductor tambi�n puede ser medida

tal en el sentido de que pueden ser usadas para las otras relaciones f!sicas.

y,

describir todas

Así por ejemplo, un cierto conj�

to de semejantes dimensiones fundamentales est:i compuesto por las siguientes: Longitud

( L)

Masa

( M)

Tiempo I n t e n s i da d

C�tidad de

N

Energía y

substancia

Trabaj o

rv

Potencia

M L2/T2 'ML2T-2 ML2/T3

•

ML2T-3

la selecci6n de cual debe ser

Pero desde luego,

una dimensi6n fundamental y cual debe ser considerada como deri­

(I )

vada no es única o exclusiva.

Temp eratura

Un S��tema de d�men��oneA o ��A��

m� dimen4�onal puede ser definido como el menor nGmero de dimen­

t ermodi námi ca

siones fundamentales que es capaz de formar un conjunto consis­

Can t i d a d d e

tente y comple"to para ser usado en determinado campo de interés.

( N)

Por ejemplo,

Intensidad

en Mec:inica solamente tres dimensiones fundamenta­

les son necesarias;

!Ivl

lu mi n o s a

e

que sea posible.

c o r r i e n te eléc

s ub s t a n c i a

Temperatura t ermodi n'ánú. e a

Resulta ventajoso el menor nGmero de dimensiones fundamentales

de

tri ca

2

eléc

Intensidad luminosa

(T)

L T-

exclusiva. tud ( L ) ,

pero la selecci6n de estas dimensiones no es

As! en un Si�tema AbAoluto de dimensiones la longi­

el tiempo (T) y la masa

(M)

son elegidas como dimensio­

(F), entonces, debe ser una dimen­

Obsérvese que, para designar a cada una de estas dimensiones f�

nes fundamentales.

damentales, se ha escogido como símbolo una letra latina genera!

si6n derivada (ML/T2) .

mente may6scula de molde, a excepci6n de l a temperatura que

tada por un S��tema G�av�tac¡on�l, las dimensiones fundamentales

designa por la letra griega

se

e.

Todas las demás dimensiones qu� caracterizan a las cantidades ff sicas pueden ser obtenidas, por combinaci6n, de semejantes magn� tudes fundamentales.

Nos referimos a ellas como magnitudes o d�

mensiones derivadas; y para obtenerlas debe realizarse un cierto proceso de c&lculo, a partir de una definici6n o de una ley f!s� ca, que recibe el nombr� do An4��A dimenA�on�l, el cual ser�

La fuerza

Sin embargo, en la alternativa represen­

son la longitud (L) , el tiempo (M),

como

(T)

y la fuerza

(Fl: y la masa

magnitud derivada, queaa expresada por (FT2 /L).

En am

bos casos la relaci6n entre masa y fuerza queda establecida

por

la Segunda Ley d� Newton relativa al movimiento, que en su forma escalar se expresa por: F

ma

( 1)

17

16 puede ser expresado como la raz6n entre dos cantidades caracteri pero,

en los sistemas abso lutos :

Desde luego,

zadas por tener las mismas dimensiones.

ros abstractos siempre carecen de dimensiones.

[M]

[111]

los nGme­

An�i��i6 d�me��onal.- Como ya se dijo cualquier atributo

a) .

susceptible de ser medido constituye una dimensi6n: muchas de esas dimensiones no son independientes,

sin embargo,

sino que pue­

den ser expresadas corno potencias -funciones potencialese ració n en la sustituyendo dimensionalmente la masa y la ace l ecuaci!Sn

tras;

circunstancia

de o­

muy importante que refuerza tanto al rn�todo

del an& li sis dimensional como a la existencia de conj untos cohe­

( 1) :

rentes de unidades. Huchas magnitudes son medibles en forma extensiva; bio muchas otras,

pero,

como la densidad no son extensivas,

que son las dimensiones absolutas de la fuerza.

son independientes de la masa y,

Y en los sistemas gravitacionales:

derivada,

eu semejantes casos,

en cam­

o sea

que

una ley p�

de ser establecida para permitir que la medida no extensiva,

despejando la masa de la ecuación lit

a

didas extensivas.

(1):

F

a

o

sea expresada como un producto de potencias de dos me­ Esta posibilidad surge de dos hechos empíri­

cos:

(2)

1.

La masa va�[a tanto con la substancia como con el

volumen;

y el mane j o que induce sobre los"pares substancia-volumen

donde :

es

tal,

te.

que una representación asociada multi�licativa exi�

Así la medida asociada de substancia puede ser expre­

sada como el producto de la proco de la medida de su

medida de su masa por el recí­

volumen.

Estas dos magnitudes,

desde luego, tienen medidas extensivas independientes. ón en la sustituyendo dimensionalmente la fuerza y la aceleraci ecuación

2.

(2):

Una

ley cualitativa,

conocida como

laciona las series de volumen con la asociación manejada. probar

por lo tanto:

s o,

la

A partir de esta ley,

q ue las medidas asociadas

nes potenciales

de alguna otra;

d e dirección Y n o una di� ya que solamente representan u n cambio raz6n s se miden tomando la lancia o longitud: aunque los !ngulo cual l e , taje Otro ejemplo es el porcen �nlro aoo l ong itude s .

es posible

y extensivas son funci�

por supuesto,

en este ca­

simplemente la razón de la

medida extensiva de la masa a la medida extensiva del vo­ lumen;

can tid ades no ti� los c&lculos de ingen ieri a algunas Adem&s, en como numéri cas ntes consta s nen dimensiones, por ejemplo, cierta s, ione dimens de n carece n LOs &ngulos geom� tri cos tambi� n 6 e.

re­

med i da asociada de substancia es, para una selec­

ción apropiada de exponente,

que- son las dimensiones gravi ta c i on a les de la masa.

Ley de S�m�l��ud,

las de masa a través de

es decir,

la densidad.

In otros casos, corno en el de la dependencia de la energía c in�­ blca y del moménturn con respecto de la masa y de la velocidad,

t•• co mp onente s asociadas son ambas extensivas; y la ley que las relaciona a través de la asociación manejada constituye una ley

�ft

inte rc amb i o .

Casos interesantes de semejantes leyes parecen

Hl

19

involucrar cantidades que introducen principios de conservació n, como en el caso del mom €n tum y de la e ne rg 1a. quier

Además,

en cual­

todas las medidas no extensivas de la Física Cl:!i

fenómeno,

3os,

lo anterior proporciona considerable informaci6n sobre

ley que describe al sistema.

la

Algunas veces diversas observacio­

nes empíricas., como las que proporciona un tG.nel de viento, por

sica pueden ser expresadas co�o productos de potencias de otras

ejemplo, son usadas para obtener una aproximac16n, también emp1-

medidas si extensivas.

rica, de la función desconocida de los argumentos 1!.

Semejante modelo constituye el usual

d�l análisis dimensional.

punto de partida

bl.

Conatantea unive�aatea,

nas

ocasiOnes dos magnitudes,

independientes

mate�ialea

y aiatémieaa.-

aparentemente diferentes,

sino covariantes.

no son

En el ejemplo clásico de la ma

sa inercial y de la masa gravitacional,

la covariación está des­

crita por una constante conocida como Conata.nte. de. la

nat Un.ive.Jtaal.

En algu­

G!La.vita.c..i�

Este caso puede ser comparado con la covariación

de dos medidas para sistemas específicos.

Por ejemplo, masa y

volumen cavarían perfectamente para cualquier substancia homog�­ nea;

o

longitud y fuerza,

dentro de ci e rt os limites,

para un re­

e).

Teo�emd IT·.-

La independencia de una ley física con respec­

to al sistema particular de unidades empleado, propiedad llamada a veces de

e.xc.t�ividad,

est! expresada por el Teo�emd 11, que

puede ser enunciado en la siguiente forma:

Si

ql,

q2 ,

q3,

•

.

•

qn designan a

n

parámetros físicos y con�

tantea dimensionales contenidos en una ley física, entonces �ata puede siempre ser expresada como una relación funcional de la forma:

Las con:>tantes que describen semejante cova­

sorte especifico. riación particular,

llamadas constantes materiales o sistémicas,

-dependiendo del contexto- constituyen una forma de medida deri­

o bien, esta relaci6n, 1

vada.

a su vez, puede expresarse como:

Bastantes leyes fisicas mucho más complejas pueden ser represe� tacas como combinacior.es establecidas de valores -configuracio_ nes-

de ciertas dimensiones que pueden ser obtenidas en un tipo

particular de sistema físico. llooke,

Semejantes leyes,

como la Ley de

incluyen no solamente dimensiones medibles del sistema,

sino también constantes materiales y sistémicas -el módulo de elasticidad-

caracteristicas del

Un hecho curioso,

sistema p ar ti cular en cuestión.

y no totalmente explicado,

ca es el principio enunciado en cano Edgar Buckingham,

de la teoría físi­

1914 por el analista norteamer!_

llamado TeoJtema

donde cada argumento 11 nal de algunas

P�nc.ip.io de homogeneidad d.imen�ionat,

mensiones se cancelan,

a menudo mencionado como

el principio fundamental del an&lisis dimensional, que establece:

La.s d.ime.M.ione.t> de lot> dot> mie.mbltoa de. u.na ley 6úü.a

al g una ley

de.be.n t>elt igu.a.ie.t>

física son agrupadas en uno o m�s términos en los cuales las d.!:_

adimensionales,

algunas funciones de dichas cantidades

llamadas argumentos

rr, deben ser igua les a cero

lo que i mpli c a que la ecuaci6n que la expresa

es

para cualquier configuración realizable del sistema.

te h omo génea.

El análisis dimensional pretende, en parte, establecer una ley

El an!lisis dimensional tiene dos aplicaciones:

física particular suponiendo que tiene y que las constantes do esto ocurre,

el carácter de un teorema rr,

y variables relevantes son conocidas. Cuan

condici6n importante,

descubrir todos los

adimensio­

Un resultado irnportante.obtenido del T eorema rr es el llamad o

n, de acuerdo con el cual

cuando las const antes y la� medidas dimensionales de

e s un producto independiente

q.

términos

un cálculo simple permite

adimensionales.

En muc hos casos,

a)

P a r a establecer una ecuación

físi c a .

dimensionalmen

20

21 B.JI!KPLO 2 . 1

posible sólo

si :

Estab le c er la ecuación del pindulo matemát ico • E l egimos : longitud ( L) , mas a (M) y ti empo ( T ) , como magnit� des fundamentale s •

Y La + T

LO �

- 2 Y+ ó

TO

�

•

de donde s e dedu c e :

Para111e tros fÍsicos

.¡

m

B

• e

a � O

Fórmul-a dimensional

S + y

mas a

-

m

M

longitud

..

.1.

L

amp litud

-

e

e

gravedad

-

g

L/T 2 - LT-

período

-

T

T

-2 Y + ó S e t i e n e n tres ecuaciones

2

=

cuatro i n có g n it a s ,

con

•

la e c ua ci ó n

( 2)

s us t i tuyendo en

l a i n c ó g n i t a supue s t a

d e s p e j a mo s Y ,

� - S

y

y

es

(3)

la e c u a c i ón

-2 (-S>

6

+

=

o

-6

2S

la

•

o. m 111 g y T 6 ,

s egún el Teorema n

ahora

s us t i t uye n d o

S en

(2) :

- .!_ 2

entonces

Si

+ •Y y

O

=

'!'

eS

2

l a s s o l uci o n e s son : a

o

=

eS

y

2

S c ada parámetro p o r

su f6rmula dimen­

y

o producto que debe s e r adimensional.

Por lo tanto :

ó

- 2

cual carece también de dimension e s ; p_or lo que :

o b i e n , sustituyendo s i ona l :

obtenemos : o

2 S + eS

f (m, t , g , T)

que, como producto de potencias , toma l a forma : e

lo que sig­

S up o n g amos enton c e s que :

DESARROLLO

e

(3)

o l v i d a r qu e es un e xp o n e n t e .

De

La alllp li tud e e s un ángulo y , por tant o , carece de dimen­ s i on e s ; entonces puede establecerse la función :

(2)

O

n i f i c a que un a d e e l l as d e b e supo n e rs e arb i t r a riamen t e ,

ó

SOLUC1011

(1)

o

en c on s e c ue n c i a :

b i en,

CO !IIO

mO .

[.

o

i

! [ t- 2 1:

-

6 2

6

g

+ ó

2

g l T eS

J

eS 2

T eS

J

s in

23

22

rr

El Teorema

funcional ent re la

les

la s olución

e s table c e que los

es

alguna re la ción en los

dos productos indepen d i e n t e s

forma funcional

totalment e indetermi nada,

es

es

b)

cu� de­

cir :

P a r a d e t e rm i n a r las

dimensiones

de una magnitud c u a l

q u i e r a conoc i e n do c i e r t a ec u� c i ó n .

EJBIIPLO 2 . 2 Determinar

las

dimensiones

la p o te n c i a .

de

función adimensional E n e s t e caso hay dos variantes practicas que

1 que puede

�as dimens i o n e s

r e s o l v e r s e como : 1

t- 1"

1

g"'E T

m

formula adimensional

f(B)

V�4lan�e � . (T)

y d e s p e j ando al p e r ! o do T , por s er racional :

T

=

a

p -

f (6)

Longitud

Elegimo s :

como magnitudes fundament ales

T t

(por definición)

�

T

D

es indet erminada

+ F

El p e r í o d o d e un p é n d u l o matemát i co es d a de

la mas a , propo r c i o n a l a

f ( 6)

aproximadame nte ,

T

•

trab a j o mecánico

•

+ rl

+

Fr

r

l a graveda�

t

que

es

la ecuación de

la potenc i a ,

donde c o s e

es

adimen s i o

nal .

p a r a pequenas amp l i tudes ,

el valor constante

cos e

F r cos e p -

i n de p e n­

la l o n g i t u d e i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l a

tiene,

•.

la r a ! z c u adr�

la r a ! z c ua d r a d a de l a a c e le r a c i ó n de

Experimental mente s e obti e ne que ,

y t i empo

p e ro :

di c e :

d i e n t e de

(M) ,

+ r

+ F

+ (F

y que nos

masa

pero •

donde :

f{6)

(L) , •.

La ecuación de l a potencia es :

o bi e n :

T

d i fi eren en

e l e gidas como fundament ales .

Bn c on s e c ue n c i a :

2n , p o r lo

tanto :

T

que es

•

2n �

la e c ua c i ón d e l péndu l o matem,ti co .

Parámetros

f ! s i cos

Puerza

m

F

D i s t an c ia

&

r

L

T i empo

- t

T

Fórmula dimenaional

M L T-

2

24

25 Sustituyendo

en la ecuación de l a potencia ios parámetros

por su s fórmulas dimen s i o n a l e s

se ti ene :

[ MLT ][ L ] [ e O ] [T ]

donde

9

es

adimensional

que s o n que son l a s dimensiones absolutas

[F ] [L ] [ eO J [T ]

[P ]

-z

[P]

[F L ] [T ]

[P ]

[ F L T- 1 ]

l a s dimens i o n es g r a vi t a c i o n a l e s

V�an�� b . (T)

Elegimos :

como magnitudes

Longitud

vuelve

p

(L) ,

fuerza

(F)

arbitrarias,

y t i em­

k

a

longitud,

Fr

·

cos a t

adecuadas.

como ya se dijo;

que mide al espacio,

prescind ible ;

fundamentales son

En el caso de las magnitudes mee� y adem�s como la

y el tiempo son las dimensiones

que definen el marco de referencia natu ral,

independiente d e l s i stema d e di­

s e r l a anterio r :

pero

nicas son suficientes tres,

fundamen tal e s .

La ecuación de l a potenc i a , mensiones usado ,

la p o t e n c i a . .

de l a potenc i a . Obsérvese que las dimensiones elegidas como

po

de

su elecci6n es im­

por l o que la única variaci6n posible radica en

U!l o de la fuerza

la elecci6n de la masa

(F) ,

como la tercera

magnitud fund �ent a l ;

quedando su relaci6n establecida por

gunda ley de Newton.

En esta

ca,

forma quedan

definidos,

la s�

en Uecáni­

dos sistemas de dimens iones diferentes :

donde : cos e :

es

adimens ional

l.

S i stema que elige como dimensiones fundamentales

( L) ,

En .consecuen ci a :

de

2. Fórmula dimensional

Parámetros

f í s i co s

Potencia

�

p

p

Fuerza

�

F

F

Distancia

.

r

L

T i empo

..

t

T

S u s tituyendo nuevamente en

la ecuación de

la potencia los

parámetros por sus fórmulas dimensionales s e tiene :

la masa S.ü.temc¡

y el tiempo

de

la fuerza s¡.�>.tema

Desde luego,

(Tl ;

el cual

la

longitud

recibe el nombre

V.i.meYT.-6 -i.ona.t A b .�> otu.to .

S i stema que elige como

( LJ ,

sus

(M)

(F)

dimensiones

y el tiempo

(T) ;

fundamentales la

longitud

el cua l recibe el nombre

V-<.m en4-i.ona.l G�a.v.i..t a c-i o n a t .

no deben confundirse estos sistemas dimensionales can

correlativos s i stemas de unidades.

27 26 Desde luego, hay absoluta libertad para elegir la unidad de me­ 2.6

U N I DADES Y S I STEMAS DE UNIDADES

dida que se crea adecuada para cada dimensi6n; todos

al

s�6 t�ma�

Ab�o !�to y G�av�ta c�onal .

siones en los cálculos te cuando se

El valor de

sobre e l l a ,

Si algunas dimensiones están relacionadas a otras como produc­

las dimen­

fisicos puede ser cuantifi cado únicame�

les compara con

y,

los otros valores quedan determinados por exclusividad.

ciertos patrones de referencia e�

tos de potencias,

una considerable s implicidad se alcanza esco­

giendo arbitrari amente sólo las unidades de �stas en un conjun­

nocidos como unidade s ; el resultado de cualquier medida de una df.

to m�ximo de dimensiones independientes l lamadas dimen&�one&

mensi6n es ,

4 �,

precisamen te ,

la deterroinaci6n de cuantos de esos

patrones o unidades conti ene. mensi6n,

cuando se mide una di­

se debe especificar no solamente la magnitud de dicha

dimensi6n, da.

Esto es ,

sino tambi€n las unidades en las cuales está expres�

Por ejemp lo, puede medirse la longitud de un obj eto en di­

ferentes

unidades como el metro ,

gada 0 e l k i l6metro ¡

pero

1�

el p i e ,

el centimetro ,

la pul­

elecci6n -por otra parte libre- de

la unidad respectiva debe recaer,

con buen criterio ,

dejando despu�s que las dependencias conocidas determinen

todas las otras unidades .

Un sistema de unidades semej ante

Seria absurdo medir las dimensiones de la

c€lula en ki l6metros ,

o

la distancia Tierra-Sol en milimetros .

las unidades escogidas como unidades

base se l l aman p�m��a&

o ó �ndamen�ale& ,

designan como & � cunda�a&

y todas las demás

terizar las dimen siones

las

dos los sistemas cientificos de unidades utiliz adas a partir del siglo XIX.

Para alcanzar una efectiva comunicaciOn científica y tecnolOgi­ ca, es esencial que cada unidad est€ especificada y sea reprod�

de­

unidades usadas para carac­

fisicas involucradas son c o n � �� t e nte & .

men te invariante y f!cilmente repetible u observab l e , como la longitud de onda de una radiaci6n luminosa monocromática que se reproduce con facilidad.

bles;

el empleo de objetos Gnicos ,

das ,

n�6

asi ,

operaciones matem�ticas

v�lidas deben ser realiza­

únicamente sobre estas cantidades.

o unidad�6

d� cada miemb�o

d� �na

ent o n ce6 � e d� c e q u e dicha e c ua c�6n e& nea .

L a consistencia dimensional e s

S� t o da� la� d�m �n6 io­

�c�ac�6n 6 0 n con6i6t � nt e6 , d�men6ionatmente h o mo g � ­

fisicas;

as1 como también reviste gran impo rtancia en las medidas diver­ la ingeni eri a .

Menos ideal,

nidos como el met�o pa��6n ,

aunque todavia en uso es

cuidadosamente elaborados y mante­ que corre el riesgo de llegar a es­

tar en peligro de destrucci6n o de deterioro.

En otras condi­

ciones debe recurrirse a medidas indirectas.

una herramienta extremada­

mente útil para comprobar la validez de las ecuaciones

sas que se realizan en

La definición ideal

de una unidad se da en t�rminos de algún fen6meno natural alta­

Las unidades apropiadas deben s e r asignadas a cqnstantes Y vari�

y

se

As1 se han or iginado to

o de�vada4.

cibie con cierto grado conocido de precisi6n. los ingenieros ana l i z an o proyectan si stemas fisicos ,

ben estar s iempre seguros de que

se

llama &�&�ema co h ��en�e ;

en la uni­

dad m�s conveniente.

cuando

b�

Mas

aun,

si

las medidas �

gen una cornparaci6n con varios valores de referen cia ,

se debe di�

poner de un conj unto adecuado de & t anda�d6

de unidades

o pat�one&

para realizar esa comparaci6n .

Consecuente con lo anterior , históricamente debe distinguirse entre los s i stemas de unidades· antiguas,

no coherentes , que co­

rrespondian a dimensiones inconsistentes , ciales ;

muchas veces

y los sistemas de unidades modernos ,

rrespondenci a con dimensiones consistentes; co empleado ,

aunque no en forma univers a l ,

nacional de Unidades

( SI ) ,

artifi­

coherentes y en e�

de los cuales el Gni es

el Sistema Inter­

cuyo uso es transitivo y poco claro,

una vez que un sistema dimensional consistente ha s i do se lecci�

debido a l a persistencia de las costumbres populares y a la gran

nado,

resistencia de l a sociedad para cambiar un status secular

un sistema de unidades correspondiente

cido para cuantificar sentido,

debe ser introdu­

la medida de estas dimensiones .

las unidades son cantidades relativas;

En

este

como

el que nos ocupa.

Y se definen

únicamente por comparaciOn con otras medidas de cantidades de la misma especie.

Por ej emplo ,

el metro est! definido con respec­

to a la longitud de onda de la luz emitida por el �tomo de Krip­ t6n ; mientras que e l kilogramo está definido como la masa de un cilindro de p latino iridiado.

Aa!,

erl t�rminos generales ,

los sistemas de unidades pueden el�

lificarse de la s i guiente manera , 1 atendiendo a su vigencia y es t:ructu r a :

29

28

cí a , para usos cient1ficos y tecnol6gi cos , dades se clasifican as! , P r i m i t ivos (en d e s u s o )

segün la

Romano

terna de unidades elegidas :

Español Francés

'

Et c . An t i guos En u s o

S ISTEMAS

tuales)

( h ab i

UNIDADES DE

Métrico D e cimal

Norteamericano

Ingleses

Usuales

S i s t ema I n t e r nacional

En este caso, debe modificarse adecuada­

mente para restringir su aplicaci6n: hacieRdo notar que los

si�

temas empleados en esas �reas se han originado en el desarrollo

Internacional (SI) . -

Second)

(téc) :

C. G . S . (téc) : ( Centímetro, Gramo- fuerz a , Segundo)

Ingleses Ul "' :E .., f< VJ ... Vl

mass Pound,

(Metro, Kilogramo-fuerza , Segundo)

Decimales

para

F . P . S . (abs) :

M.K.S.

(SI)

Pero esta clasificaci6n es de uso general y no exclus1va

( Centímetro, Gramo-mas a , Segundo)

(Foot.

(SU)

Gravita­ cionales

ciencia y tecnolog!a.

C. G . S . (abs) :

¡

Absolutos

M . l< . S . (abs) : (Metro , Kilogramo-masa, Segundo)

Decimales

I mp e r i a l Bri­ tánico Ingleses

Mod e r n o s

los sistemas de uni­

atendiendo al espectro de s u empleo, y

¡F.P.S. (téc) :

( Foo t , force Pound, Second)

En proceso d e implantación.

de la Mec&nica concretamente, como una aplicaci6n importante de la Segunda Ley de Newton relativa al movimiento la cual., s ionalment e ,

dimen­ Los sistemas usuales ,

se expresa como :

te de que,

largamente empleados ,

en el �rea e l e ctromagnética,

das demasiado grandes -como el mo el franklin-:

pero :

faradio- o demasiado pequeñas -co

lo que ha dado lugar al empleo de tres sistemas,

derivado� del sistema C . G. S . , que son :

. por lo tanto :

a)

S i s t ema e l e c t r o s t �t i co

b)

S i s t ema e l e c t r omagné ti c o

e)

S i s t ema p r a c t i c o

lo que implica la existencia de cuatro dimensiones ligadas en­ tre s 1 :

f ue rza

cuales las dos ferencia,

Dllt

d e. G�OJtgL

(e.s.

C . G. S . )

( e . m.

C.G.S. )

( p r ác ) .

además , para fines cient!ficos ,

también se usa el llamado S�� t e

( F ) , m a s a ( M ) , l o n g i t u d ( L ) y t i empo ( T ) , de las �ltimas por corresponder al marco natural de r�

resultan aj enas

nociones de corporeidad.

a las dos primeras , m!s ligadas a las En consecuenc i a ,

tica expresada en el Teorema n masa ,

tienen el incovenie�

generan unidades deriva­

la

funcional matero!

permite elegi r , entre fuerza y

la dimensi6n que consideremos m�s conveniente , para expr�

s ñ r la otra en funci6n de ésta, como ya s e dij o .

En consecuen-

In cualquier sistema de unidades , a partir de las dimensiones tundamentales se obtienen las dimensiones derivadas mediante e l producto o el cociente de potencias -por s e r éstas las ünicas operaciones aritméticas que cumplen la Ley Asociativa de la Mul tiplicaci6n- ,

de dichas magnitudes fundamentale s :

condici6n que

tambi�n cumplen las unidades derivadas con respecto a las funda

--

31

30 ment ales ael sistema. ent�e lat> deA

un.ida deA

de. laA

dadeh ;

de lM

det¡.ivada.A

d.t m e nA � o n eA

materiales y

de �e!ae�o � u

6 u n dam e nt a e u

d.im enA .<.o n u

el cu al est� vinculado,

tes univers ales ,

el eo � j u�to

Precisament e ,

y !u u.n..<. d a

eonA-t.i.:tuye un A .i A t v.rra d e

como ya s e di jo,

por lo tant o ,

u n .i ­

sustituyendo en la expresión

k qm • m

unidad d e f u e r z a

a l as constan­

---sr-

s i s témi c a s . Esta unidad se l l ama Newton y ,

Desde luego, -en

cualquier s i s t ema- exige, ü

en consecuen c i a :

e l proceso d e obtención d e las unidades derivad �s de acuerdo con el Teorema

n,

el

new ( N ) =

estab lecimiento de u n modelo rnatem�tico o fórmula que puede ser

auaJ.icico

definitori a .

empírico;

do por una definici6n

para o

que,

a partir del mismo,

por una ley

dades derivadas en función de

�1sica,

determina­

s e deduzcan las un!_

las unidades base,

Un newton eA

mediante oper�

ia 6 u e� z a q u e ,

ap!� c a d a a un R.t l o g �a � o ­

cienes aritméticas -producto y cociente- de potencias de nGme­

m a� a .

!e p � o d u e e la a e e t e�ae.t6n

ros concreto s ;

gundo

eadct

EJEMPLO

y puedan aque llas definirlas ade cuadament e . '

.6

d e un

m e t�o

pon A e ­

eg un d o .

2.3

A p a r t i r d e l a s e gunda f u e r z a en

Ley

d e Newton

definir

l a s un idad e s

�

b) .

En el s i stema

l o s s i s t emas u s ua l es abs o l u t o s .

SOLUCION

La s e gunda Ley de Newton e s t ab l e c e ,

F

u n i da d de

en su forma e s c a l a r :

unidad

de

masa

u n i da d

de

lon gi tu d

unidad

de

ma s a ) ( un i d a d

de

a c e l er a ci ó n )

cm

e

S

de

qm

f u er z a

•

cm

g2

esta unidad se llama d..<.na y , por lo tanto :

9m

s2

d in a

pero :

u n i da d de a c e l e r a c i ó n

9m

u ni da d de t i empo

= ma

f u e r z a = ( un i d ad

C . G.S . ( a bs . ) :

unidad de longitud

( un i d a d d e t i empo ) 2

Una d.ina

eA

la

6 ue�z a q u e ,

•

cm

a p i.i e a dct a un g � am o - ma6 a ,

! e p M du.ee !a aee!e�a e..i. 6n d e u n e e 1tt.i:met�o p o � 6 eguE_ do

• ( un i d ad d e longi tud ) ( unidad de t i empo) 2

( un i d a d d e masa ) un i d a d de f u e r z a =

expr e s i ón de f i n i tori a v á l i da en t o do s absolutos

a) .

de

l o s s i s t em a s usua l es

uni dad es .

En el s i stema MKS

(Abs l :

e) .

cada A eg u � d o .

En el sistema

· F. P . s .

( Ab s . ) :

unidad

de

unidad de k g 111

u n i d a d de m a s a u n i d a d de unidad

longitud

de t i e mpo

�

masa l o n g i t ud

uni dad de t i empo

m s

u n i da d de

fuerza

E

a

lb m ft S

lb m •

s2

ft

32

33 esta unidad se

llama po undal ly

vale:

l bm

Un poun da.C. 6a,

u

ea

esta unidad se

•

ft s2

poundal

geokilo

ap.U.ca.da. a. .una. U b Jt a-ma

nueJt:z:.a q u e ,

te p!to duce la aceleJtaci6n

llama g eo k¡to

o

en consecuencia:

un¡da.d ��cn¡ca de m� a

( UTMl y ,

�

de un p�e polt 6 eg undo

ca.da. 6 eg undo .

2.4

EJEMPLO

A

Un g eo kilo

e6 l« ma6a. q u e ,

al Jtec¡b¡lt la acc¡6n de la

& u e Jt :z:. a de un k�to�am o - 6 ueJtza.,

p a r t i r de l a S egunda Ley de Newton d � f i n i r l a s u n i d a d es

adq � elte la. aceleJta ci6n

de Un metlto polt 6 eg u.ndo ca.da. 6 eg undo .

de ma s a en l o s s i s t emas u s ua l e s gravi t a c i o n a l c s . SOLUC'IOll

La s egunda Ley de Newton e s t ab l e c e ,

F

e

b)

ma F

m

u n i dad de m a s a

en su forma e s c a l a r :

a

e

En el sistema C . G . S .

(Grav ) :

unidad d e fuerza

..

'ilf

unidad de longitud

-

cm

unidad

u n i d a d de f u e r z a u n i d a d d e aceleración

de

9

t i empo ge

unidad de masa

pero : unidad de a c e l e r a c i ó n

unidad de masa=

=

unidad de longitud ( un i d ad de t i empo) 2

esta unidad se llama g eo g Jt a mo y,

geogramo

(unidad de fuerza) (unidad de tiempo) 2 unidad de longitud

e x p r e s i ó n de f i n i t o r i a v a l i d a en t o d o s l o s s i s t emas u s u a l e s

Un s e o gJtamo e6 la. ma6 a q ue ,

óueJt:z:.a de un gJtamo de 6ueJtza. ,

al Jtec�bi Jt la. acci6n de la

de u.n c e nt�metJto polt 6 eg undo

En

el

sistema M. K. S .

por lo tanto,

adquie Jte la. acel eJta.ci6 n cada 6 eg u n do .

( Grav) :

u n i d ad de

1i 1,11

por lo tanto:

•

t é c n i c o s o g r a v i t a c i onales de unidade s .

a)

s2

Clll

fuerza

k gf

unidad de l o n g i t u d

m

unidad de t i empo

s

sustituyendo en la expresi6n definitori a :

e)

E n el s i stema F . P. S .

unidad de fuerza

-

unidad de longitud

•

unidad u n i d a d d e mas a

e

m

( Grav)

de

t i empo

unidad de m a s a

-

lb f ft "

lb f · s 2 ft

34

35 u n i dad

es t a

se

l l am a

n e o l i bka o 6 fu 9

y

vale : 1.

s lu g

En

loa

a i a t eaaa

absolut os

p

U 11 � f iH) e.6 .Ca. m a o a q u e , a. t lt. e. c..i. b .i lt. t a. a c ci.órt de. ia. � u c � z a Je. u n a l i. b lt. a - ¿ u e �t. z a ,

de

u n pie. p o � a �g u 11 do

adq ui e. lt.e. la

de

unidade s ,

se

tiene1

.,.

-

•

COIDO I

a c e. le.kaci.6n

c a.Ja. a e. g u n d o .

Resumiendo los resultados obtenidos se puede confeccionar la s i quiente tabla: S I STEMAS

SISTEMA DE UNIDADES

USUALES

DE

MASA

WNGITUD

(m)

[ L M T- 2 J [ L 2 M O TO J

UNIDADES

TIEMPO

FUERZA

Kilogramo ( k gml

M . K . S . (abs)

met ro

C . G . S . {abs)

centí metro (cm) gramo

( gm l

F. P . S . (abs)

pie

{ft)

libra

{ lbml

M . K . S. {grav)

metro

{m)

geokilo

segundo

(sl

Dina

segundo

(s)

poundal

segundo

(s)

Newton

(N)

Ki l9gr�

{ k g f ) segundo {s)

roo

C.G. S .

{grav)

centí metro (cm} geograrno

gramo

{ g f)

F. P . S .

{ grav)

pie

libra

e lb t l segundo (s)

(ftl

s lug

que aon

2.

Bn

las

loa

diaenaionea

a i a teaaa

absolutas

de

la

prea16n.

g r a v i t a c i on a l e a ,

ae

t i ene s

segundo (s) F

p -

•

pero s

de

A p a rt i r s i ón

en

los

[LO

[F ]

EJEMPLO 2 . 5

s u d e fi n i ción , d i f e r e n t es

e s t ab l e c e r

s i s temas

las

us u a l e s

un i d a d e s

[ · J - [ L2· J

d e pr�

de u n i d a d e s .

[P ]

6-i.c.ü:

'

1: 1

¡]

1 !

es

deci r ,

(p1

e..6

ta

6 u e k z a.

n o -tma.f. a. .f a di.ke.cc,i6rt

el

en

d e.

wt,i d a. d de

ta. 6 uekza..

[P ]

a u p e� que

aon

Por

otra p a r t e ,

laa

•

J [ L2 !'o To ]

[ L- 2 F'l' o J

•

diaena ionea

gravit aciona lea

de

la

preai6 n .

e s c a l a rmen te :

p y

e.J e.kci.da p o lt.

'1'0

[ LO !' '1'0 J [ L2 .,.o '1' 0 J

•

SOLUCION

P lt. e..6.i 6 n

!'

consecuen c i a ,

hay

F S

dos p o s i b i l i d a d e s

s i s t e m a e m p l e a d o p a r a e s t ab l ec e r

en

aaboa

caeos ,

ai6n o

las

d i f e r en t e s , unidades

s eg ú n

de p r e s i ó n .

P

• L •

de

la

defin1ci6n

de

pre­

37

36 e)

puede e s t ab l e c e rs e :

f' n

e l s i s tema F-. 1' . :- .

( ,\l, s ) :

u n i dad de

u n i d a d d e p r e s i ón

•

u n i d a d de f u e r z a u n i d a d d e supe r f i ci e

unidad d e superficie

a)

En e l s i ste!l'a M. K. S .

de uni da d e s .

esta unidad carece de nombre especi a l .

( Ab s ) : d)

uni d a d de f u e r z a

•

N

uni d a d de superfi c i e

�

m2

En el s i s tema �• . K . S .

unidad de p r e s i ón

a

( Grav) :

unidad de

fuerza

unidad de

super f i c i e

m2

unidad de presión

esta unidad se llama Pa�cal (Pa) y se define as1 :

Pascal

p o u n cl a l / t' t :

unidad de p r e s i ón

que e s l a e xp r e s i ó n d e f i n i t o r i a d e l as uni dades d e p r e s i ón , v á l i d a en t o d o s l o s s i s t emas SU y SI

po u n d al

fuerza

N/m 2

esta unidad tarnbi�n carece de nombre especia l .

e)

Un pa�cat e� ta p�e��6n o�iginada p o � la

En e l s i s t ema C . G . S .

( Grav) :

unidad de

6 � e � a de �n

fuerz a

N ewto n . at ej e�ce� � � a c ci6n h o b�e la h �p e� 6�c�e de un

unidad de s uperficie

met�o cuad�a do .

u n i d a d de p r e s i ó n unidad sin nombre .

b)

E n e l s i s t ema C . G. S .

(Ahs) : di na

uni da d de fuerza uni d a d d e s up e r fi c i e

•

cm 2

uni d a d de p r e s i ó n

•

dina/cm 2

f)

En

el s i s t ema

F.P.S.

( Grav) :

unidad de f u e r z a unidad de s up e r f i c i e

lb f �

tt 2

uni dad de p r e s i ó n esta unidad se llama ba�a y vale: unidad que carece d e nombre¡ b ar i a

•

dina/cm 2

Una ba�a e� ta p�e�¿6n o�g�nada p o � ta � u e�za de una dina at ej e�ce� �u acc¿6n � o b� e ta 6 up e� 6�c�e de un ce nt�met�o

cuad�ado .

Además de las unidades deducidas ,

l a presi6n también se mide

en unidades convencionales que son múltiplos de las anterio­ res ,

como la

ps i

( P o un d s - s q u a r e - i n ch i , o las met e o r o l6g i cas

( e l b a r y el mi l i b a r ) .

38

39

S I ST E MA DE UNIDADES

H . K. S .

UNI DAD DE PRESION

N /m

(abs)

2

E l prototipo e s t ándar aceptado mundialmente , que rigurosamente

NO MB RE

viene a constituir un refinamiento del familiar sistema métrico Pascal

(Pa)

decima l ,

es el conocido como Sy���me In�e�na�on� d ' Un�� i6 (S�

�ema I n�e4nacl o nal de Unldade�)

o S���ema SI .

Esencialmente to

( ab s )

dina/cm 2

Baria

dos los pa1ses del mundo,

F.P.S.

( ab s )

p o un d a l / ft 2

s i n nombre

dos Unidos , han aceptado el Sistema SI para todas las activida­

M. K . S .

( g r av)

k <; f/m

C.G. S .

( qrav)

g

C.G.S.

F.P.S.

( qrav)

con la excepci6n parcial de los Esta­

des cient1ficas y tecno l6gicas .

Por razones sociales , políti­

l

s i n nombre

f / c rn ;.

s i n nombre

la adopci6n del Sistema S I ; motivo por el cual ese pa!s , y los

s i n nombre

de su zona de influencia,

lb t / ft 2

cas y econ6micas los Estados Unidos han retardado grandemente

usuales , principalmente

continüan utiliz ando los sistemas los ingleses ,

analizados con anterio­

ridad.

De los e j emplos anteriores s e concluye en térm!nos generales

b)

que :

Sistema S I ,

S¡¿�em� ! n�e�n�c¡ o n at . -

Este s istema,

llamado s implemente

fue adoptado en 1 9 6 0 y actualmente es preocupaci6n

de la Conferencia General de Pesas y Medidas 1 .

El

a n á l i s i s dimen s i o n a l no

es

de unidade s . 2.

las siete dimensiones que ha . elegido corno fundamentales.

El p r o c e s o para obt e n e r l a s unidades d e r i vadas

es di­

tablas :

Di cho p r o c e s o d e o b t e n c i ó n d e u n i d a d e s derivadas

es S I ST.EMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

t o t a lm e n t e r i g ur o s o y c o n f i ab l e .

4.

(SI)

UNIDADES BASE

L a s unidades d e r ivadas t i enen dimens iones ; p e r o e s t a s e x i g � n s e r e s t ab le c i d as e n f u n c i ó n d e l a s dimens i o n e s

UNIDAD BASE

SIMBOLO UNIVERSAL

Longitud

metro

m

p r e s i o n e s a lgebr a i c a s que re l a c i o n e n los parámetros

Masa

k i logr�mo

kq

que i n t e r v i en e n e n l a d e f i n i c i ón de d i ch a s unidad e s .

T i empo

s egundo

S

amper e

A

aica

k e lvin

K

I n t e n s i d a d luminosa

candela

DIMENSION

base. S.

Asigna

a cada una de

La d e t e r m i n a c i ó n de u n i dades derivadas n o r e q ui e r e d e l anál i s i s

dimen s i o n a l previo ;

s ino s ó lo de c i er t a s ex­

I n t e ns i da d d e c o r r i e n te eléctrica Aunque una gran variedad de diferentes sistemas d e unidades sido utilizada y , desde luego,

ha

diferentes sistemas de• dimensio­

nes fundamentales también se han empleado en el mundo a lo lar­ go del tiempo;

la creciente interdependencia de las naciones

producida por la tecnolog1a moderna,

especialmente en las lreas

de viajes y comunicaciones , ha planteado la necesidad de dispo­ ner de un sistema comGn de unidades con el cual medir todas las cantidades f1sicas .

Estas

unidades base y, sus definiciones se consignan en las s i guientes

f e r e n te del p r o c e s o dime n s i o na l . 3.

( CGPM) .

una, 1y s olamente un a , unidad llamada u.n�dad ba.4 e,

e q u i v a l e n t e a l aná l i s i s

Temperatura termodiná

Cantidad de s u b s t a n c i a

mol

cd .

mcl

41

40

S I S T EMA INTER�ACIONAL DEFINI CIONES D E LAS

DE

D E F I N I

NOMBRE

UNIDADES

UNIDADES

(SI)

Kilogramo

E s l a masa igual a l a d e l prototipo internacio · n a l d e l ki logramo.

Se

Es l a duración de 9 _1 9 2 6 3 1 7 7 0 per!odos de la radiación correspondiente a l a transici6n entre l o s d o s niveles hiperfinos del átomo de cesio

gu ndo

velocidad

unidad de

longitu d

m e t ro

unidad de

t i empo

s e g undo

unidad

v e l o c i dad

unidad

de de

longi t ud t i empo

pero:

C I O N

Es la longitud igual a 1 6 5 0 7 6 3 . 7 3 longitudes de onda en el vac!o de l a radiaci6n correspondien te a la transición entre los nive l es 2 p 1 0 y S d� del átomo de kriptón 8 6 .

Metro

unidad

unidad de

BASE

q u e se acost umbra

de

leer ,

metro s e gu n d o

indebidamen t e : metro

por

s e gundo

13 3.

Es la intensidad de una corriente e l éctrica cons tante, que mantenida •n dos conductores paral; los , rectilíneos , de longitud infini t a , de s e c= ci6n circular despreciable y colocados en el va c!o a una distancia de un metro uno del otro, producirá entre ' stos conductores una fuer z a igual a 2 x 1 0- newton p o r metro d e longitud.

Amper e

Kelvin

Es l a fracción 1 /2 7 3 . 1 6 de la temperatura termo dinámica del punto triple del agua.

Candela

Es da ,

la

i nt e n s i d ad

de

una

fuente que

c romáti c a de ya

Mo l

l u m i no s a , emi t e

f r e c ue n c i a

i n t e ns i da d

en

540

esterradián.

Es

d e · s ub s t an c i a

cantidad

i on e s , pos

y

pueden

e l ectrones ,

específicos

de

de

ser

o t r as

tales

unidad

f u e r za

de

la segunda ley de Newtor·

m a

( un i d a d

=

de

mas a ) ( u n i da d

de

a c e l e raci6n )

adem:ís : V

a =

da­

x

r a d i a c i ó n mono­ 1 0 1 2 h e rt z , y cu­

que

d i r e c ción

es

c o n t i e n e tantas

e n t i d a d e s e l e m e n t a l e s c o mo e x i s t e n átomos en O . O 1 2 k i l o g rarnos de c a rb o n o 1 2 , ( c u a n d o s e em­ p l e a la mo l , las e n t i d a d e s e l eme n t a l e s d e b e n ser e s p e c i f i c adas :

F

por

t

una

en esa

energética

1 / 6 8 3 -watt p o r la

u n a d i r e c c i ón

la unidad deriva da de fuerza es ;

átomo s ,

. un i da d

de

ace leración

unidad

de

v e l o c i dad

�

y:

o

de

p ar t í c u l a s ) .

gru -

de

un i d a d

velocidad

de

t i empo

unidad de longitud unidad de tiempo

mo l é c u l a s ,

p a r t í c ulas

unidad

unidad de acel eración

•

unidad d e longi t u d (�nidad d e tiempo)Z

y en consecuenci a , sustituyendo :

unidad de fuerza

Todas

las otras

cantidades

f!sicas

combinaciones

algebraicas de estas

como unidad�6

d � � v ada6 .

pueden

Por e j emplo,

velocidad e s :

en movimiento

ser expresadas

como

unidades base y se conocen la

unidad derivada de

u n i fo r m e :

V

=

d t

( unidad de masa)

pero:

kilogramo

unidad de mas a unidad de

r e c t i l í n eo

•

longitud

unidad de ti eapo unidad de fuerza

•

••tro s egundo

kilogramo. metro aegundoz

unidad de l o ngitud ( unidad de tiempo)Z

43

42

�ue se llama: Newton

La8 unidades de Sngulo plano y de !ngulo s6lido, que son el ra­ diln y e l esterradiSn respectivamente, tomadas de la geometría,

(N)

en F!sica puenen ser consideradas unas veces corno unidades base

La siguiente tabla enumera los nombres y los símbolos de las unidades derivadas aprobadas por la

b ab

y M e d.U.u

(

CGPM ) .

C o n 6 e�encia Gen e�a! de Pe­

S I STEMA I N TERNACIONAL DE UNI DADES

y otras como unidades derivadas, raz6n por la cual se prefiere llamarles unidad� A upLemenX� aA . Sus definicion es se consig­ nan en la siguiente tab la.

(SI)

UNI DADES DERIVADAS

MAGNITUDES

U N I DAD DERI VADA

EN E X P RE S ION OT RAS U N I DADES

Hz

Hz

=

s-

newton

N

N

=

Kg

pascal

Pa

Fr ecuen c i a

h e rtz

Fuerza P r e s i ó n , e s f uerzo Energí a ,

S I MBOLO

UNIDADES SUPLEMENTARIAS

m/s 2

·

P a = N/m 2

MAGNITUD

t r ab a j o ,

cantidad de c a l o r

joule

J

Potencia

watt

w

Carga e l é c t r i c a

c o u lornb

P o t e n c i a l e lé c t r i c o

(SI)

S I STEMA ·INTERNACIONAL DE UNIDADES

1

· m

UNIDAD

Angulo p l a no

S I MBO LO

D E

p

I

N I e I o N

radian

r ad

Es el iingulo p lano compr endido entre d o s radios de un c ! r culo que i n te r c eptan s o b r e la c. l rcon f e r e n c i a de e s t e c ! r c u l o , un a r c o d e longitud i gu a l a la del r a di o .

ea terradiií.n

ar

Es e l lingulo s 6 l i do que t e n i e n d o s u v é r t i c e e n e l centro de una e s f e r a , corta s o b r e l a s u p e r f i c i e d e e st a e s f era una área i gual a la d e u n cuadrado q u e t i e n e p o r lado e l radio d e l a e s f er a .

J

=

N

w

=

J/s

e

e

=

A

volt

V

V

=

W/A

capacidad e lé c t r i c a

fa r a d

F

F = C/V

Res i s t e n c i a e l é c trica

oh m

¡¡

¡¡

Conductan c i a e l éctric a

s i emens

S

¡¡ S =

F l u j o 11\&gn é t i c o

weber

Wb

Wb

=

Densidad de f l u j o magn é t i c o

tes la

T

T

�

Inductan c i a

henry

H

H = Wb/A

Fluj o l uminoso

l umen

lm

l m - cd

Lumi n o s i d a d

lux

lx

l x = lm/m 2

al s!mbolo de una unidad para formar nuevas unidades que son

Acti vi dad n u c lear

b e cq u e r e l

Bq

Bq = s- 1

aOltiplos o subrn6ltiplos decimales de la unidad original .

Do s i s ab s o rb i da

gray

Gy

2 Gy = m2 /s = J/kg

1

=

• S

Angulo s 6 l i d o

V/A

-

1

V ' S Wb/m 2

•

sr

Una ventaja (SI)

importante d e l SistemB Internacional d e Unidades

es la forma mediante la cual asigna prefijos

al nombre y

Es­

tos prefijos , para los m6ltiplos y subm6ltiplos mencionado s ,

aon

los s i guiente s :

4::0

44

El uso del s i s tema de unidades S I está regido por un cierto nG­ mero de reglas , S I S T EMA INTERNACIONAL DE PREFIJOS

PARA MULTIPLOS DE LAS

UNIDADES Y

mente en

(SI)

glas ,

SUBMULTIPLOS

UNIDADES

j untamente con e j emplos

Los

n o mb r e s

culas ,

1O18 1 o 10 10 10 10 10 10 10

15 12

9 6 ! 2 1 °

10101 010101o1 010-

NOMBRE DEL PREFIJO

fo .

S IMBOLO E

peta

p

tera

T

giga

G

mega

M

kilo

k

h ecto

h

de c a

da

2 3 6 9 l2 1 5 18

deci

1

e

mili

m

micro

\l

nano

n

p i co

p

femto

f

atto

a

3.

4.

apa r e z c a n

al

metro ,

Metro;

de

son

las

s í mbolos

las

unidades ,

u s a do s

deben

no

en

u n i dades .

S.

deben con

la

e s cr i b i r s e

p r i n cipio

con

de

joule,

forma

Por

us a r s e

un

no

minús parra-

J o u l e ; etc.

g r a m at i c a l

e j emplo ,

no

s eq . ;

Los

s ! mb o l o s

de

las

con

m i n ú s c ulas , de

con

metros ,

no

gm;

uni dades

excepto

los

pascales ,

el

con

Por

Los

s í mb o l o s

N,

no w;

no

n;

representar otro s .

a Por

etc.

s i empre

cuando

mayús c u l a s .

para

c u a l e s q u i era

en

M. ;

lores

g,

de

un n o m b r e p r op i o ;

no

W,

s i em p r e

exclusión

s ,

escribirá

deben

n o mb r e

escribirs e

de

la

c as o

el

s ! mb o l o

e j emp l o :

s ,

no

este

unidad

Sr

se

m,

etc.

de

las

unidades

n u m é r i c os

po ;

u n espaci o .

deben

s ep a r a r s e

Es

d e ci r :

de

2. 3

los m,

v�

no

2. 3m. 6.

El

punto

s ! rnb o l o

7.

ortográfi co unitar i o ,

tra

al

final

de

un

9•

Los

s ! mb o l o s

de

las

num�rico de una dimensi6n se encuentre entre 0 . 1 y 1 00 0 . Por e j emp l o , 2 . 18 x 10 4 m puede escribirse como 2 1 . 8 km; mientras

formas

s in g ular

12

no

N,

10.

y

debe

usarse

cuando

este

símbolos

los

nombres

unidades

símbolo plura l .

unitarios de

las

c. eb e n

o

por

espacio

newton

s í mb o l o s

o

metro ;

•

unitarios

representan

tencia

s ,

deben

para

m,

de se

g,

un e n c ue�

no

s. ,

escribirse

representar

e j emp lo :

por

n egat i v a .

usars e Es

unida " e s .

por

Los

usa

Por

E l p r o d u c t o d e s ! mb o l o s

se

d e ci r ,

nunca

se

presarse o

Es

p á r r a fo .

después s í mbo l o

60W ,

no

en las

6 ow s ;

1 2N s .

Lo s

tro ,

o

E l mismo

nunca

excepto

m. ,

plural .

submfiltiplo es usualmente escogido de tal manera que el valor

se escribe como 9 . 8 ms.

u n i dades

Los

deriva

La selecci6n del mfiltiplo o subm�ltiplo apropiado de una unidad Dicho m�ltiplo

las que

ej emplo :

e j emp l o :

9.

SI cualquiera es un asunto de conveniencia.

de

etc.

8.

que O . 009 8 s

i l ustrativos .

menos

p l urales

n o mb r e s

d

centi

a

Por

Los

e xa

UNIDAD l

A continuaci6n s e han res umido estas re-

SI 1 .

MULTIPLI CADOR

y seguidas cuidadosa-

que deben s e r aprendidas

la práctica.

la Es

nombres

N m,

de

p u n to s . . o

preferencia 8 m,

no

uni dades Es

8

puede

decir;

comp u e s t o s

m/s ,

medi ante

la o

..!!!.. , S

o

o

m s-

ex­

newton

cociente

d i v i s i ón

a

metro s .

N · m.

d i a g on a l , decir :

con

deci r :

la 1

po­

me

46

1 1 .

N un c a 0

debe

t: s

dec i r :

Es 1 3.

de

r e e mp l a z a d o s p o r decir:

MJ

1

debe

U n punto s o b r e e l dor

d e c i ma l .

a m e n o s que se agreguen pa rént� 2 o m s - , p e r o no m/s/s . cál culo ,

los

las potencias escribirse

r e n g l ón

p re f i j os de

1 0 r e s p e c t i va s .

debe u s a r s e como e l marca­

P a r a número s

14.

La

0 . 125,

meno r e s que

uno ,

debe us ars e como marcador d e c i ma l ,

0

5 , ooo , oo o , S.

ind1 car x

1 0 , 0 00

5 0 0 0 000 ;

m,

man anteponiendo

con

1 7.

Los

los pre f i j os Por

ej emplo :

s í mb o l o s

racteres

18.

S�

no

excepción d e

unidades s e for­

los

Hg.

( r ecto s ) ,

sin

espacio

en e�

entre e l

el s í mb o l o de l a uni d a d .

Es

sím­ de c i r :

nm ,

la trans formaci6n o conversi6n de unidades

se rea­

sistemas diferente s ;

ya que,

para transformar unidades de

eistema en sus múltip ios o submúltiplos , j os apropiados en el sistema S I ; vas en el sistema ingl€s.

un

basta usar los prefi­

o las equivalencias respecti­

Adem!s ,

la igualdad de especie entre

forzosa.

e x po n e n t e , indica exponent e .

que e l

un p r e f i j o e s t á a f ectado múl t i p l o o

el

s ub m ú l t i ­

pero

P o r e j e mp l o :

1

cm3

=

( 1 0 - 2 ml3

=

En consecuencia , trat�dose de la misma �agnitud, posible establecer una igualdad que contenga rn�rico ,

Lo s p r e f i j o s 1

Desde luego,

liza, siempre entre unidades de la misma especie pertenecientes

las unidades que se van a converti r , constituye una condici6n

m N .

1 0- 6 m3 •

19.

en kilogramos ; y reviste gran import ancia conservar la distin ­ ci6n entre estas magnitudes en todos los c�lcul os de ingenie­ r!a .

a

p l o d e l a u n i d a d e s t á e l evado a l a p o t e n c i a expresada por e l

P o r otra parte, muchas veces se confun den aspect os que deben ser n!tidamente distinguidos . As! , en el sistema ingl�s los tArminos p � o y md6 a se confunden frecue ntemen te . Cuando habla moa del peso en el sistema S I , nos estamo s refiri endo a la ac­ �i6n de la fuerza de gravedad sobre determ inado objeto . En con secuen ci a , en unidades SI , el peso debe medirs e en newton s , no

los

se antepondr�n a l a p a l a b r a • gra­

dag,

gles (pie, libra , segundo) ; lo que obliga a transf ormar las unidades de uno de los dos sistemas en sus equivalentes del otro. Adem,s , debe destac arse que mientras el sistem a S I es absoluto , el Sistem a ing lé s es gravit aeiona l; es decir, susti tuye a la masa por la fuerz a como magnit ud fundament a l ; lo que comp lica la tran sformaci 6n o conversi6n de unidade s.

los p r e fi j o s co­

los nombres � e

d e la un-ida_d d e ma s a e n

un s í mbolo que contiene a

de un

las

Por

6

d e l o s p r e f i j o s d e b e n ser impresos

r oma n o s

bolo d e l prefijo y mN ,

de

al nomb r e d e é s t a s ,

mú l t i p l o s y s ubmÚltiplos mo " .

1 0 000 k m ,

1 0"m ;

o

L o s m ú l t i p l o s y s ubmú l t i p l o s

cuales

Por e j elllp l o :

0 . 1 23456, 6 0 . 1 2 3 456.

número d e ci f r a s s i g ni f i c a t i va s .

1 0 3m .

r r e s pondi e n t e s

si­ Estos

l a notación c i e n t í f i c a pueden u s a r s e

el

1 0 , 0 00

e j emp lo :

16.

bien

Los p r e f i j o s 0 para

cero

s ep a r a d o r d e grupos numéricos t r i p l e s .

t ambién p u e d e n separarse p o � e s p a c i o s .

1

un

P o r ej em-

. 1 25 .

no

coma nunca

n o como

deben

10 6J .

d e b e e s c r i b i r s e ant e s d e l punto decima l .

plo :

�1 T�an� 6o 4ma��6 n d e un� dade� . Como s e h a dicho , mientras que las unidades mec�i cas del sis tema SI (metro , kilogramo , segundo) han sido aceptadas por casi todos los paises ; los Es tados Unidos aan conservan, en la pr�cti ca profes ional de la ingeni er�a, las unidad es usuales del S i stema gravit aciona l in

m/s2 ,

Para evitar errores ser

47

m á s d e u n a d i a gon a l e n u n a u n i d a d

c o mp u e s t o ,

s í mb o l o

sis.

usarse

no

comp u e s t o s

1 m \l m .

deben evitars e .

E a d e ci r :

nal;

llamado equi valenc�a,

y que permite re al i z a r la

s i empre se r &

coeficiente n �

que invariab lemente es ad irnens i � conversi6n deseada.

para e l caso s imp le y familiar de l a tiene :

un

Es deci r ,

longitud, por e j emp l o ; se

49 48 Finalmente,

SI.

S i s t e ma

-.f- u ¡ +m- 1

��� � 1--11 s 1--���� 1 �-+ 1 � t�L1� 1 1 4

2

l

1

3

2

o

t-

U 2.

las diversas

la t ra n s f o r ­

equivalencias ,

s i g � i e n t e proc�ro j ­

rniento rnatem§t i c o •

.t.

o A

conociendo

maci6n de unidades puede h a c e r s e mediante e l

4

t

n- 1

1.

Comprob a c i ón mar

s on

de

de

la

que

mi sma

l as unidades e s p ec i e y

a

qur

se

van

t i enen

el

mis�o

t r a n s fo� expon e n ­

te.

n

P l anteami ento d e una

2.

e cu a c i ó n q u e

contenga

una

cierta

co n s t a n t e .

t-

S i s t ema

3.

Ingles .

Ais lami ento

d i c h a cons t a n t e en u n miembro

de

d �

la ecua

c i én ..

4.

En el sistema S I :

D e t e r�i n a c i ó n te,

t

=

a partir

por de

s us t i t u c i ó n

las

del

valor de

equ i v a l e n c i a s

de

las

esa

constan

uni dades

i nvo

lucradas .

mU ¡

S u s t i t u c i ón

5.

En el sis tema Ingl�s :

del

va l o r

de

la

constante

en

la

e cu a c i ó n

p l an t e a d a .

como se trata de igualarse;

por

la misma magnitud,

los dos valores

pueden ·

t

lo tanto :

EQUIVALENCIAS

mU ¡

igualdad de dades .

D E ALGUNAS

EN E L S I S TEMA INTERNACIONAL

la que es posible despe j ar a

U¡

(SI)

cualquiera de las uni­

•

S I MBOLO

'pie

ft

pulgada

in

yar da

yd

(�n\)

Y

() m �

son las equivalenci as .

son adimensionales como

que

bus cadas .

equivalencias son n�meros recíprocos ,

Obs�rvese que estas

es deci r :

(:) ( :) E 1

0 . 3048

unidad astronómica

UA

parsec

pe

m

x

1

m

o- 1

1 49 600 30 8 :; 7

mi l l a marina

1 65 2 m O. S

cuadrado

sq . ft

3 . 2 8 0 (; f t l

cm = O . 39 3 7 i n l

0 . 9144 m ( 1 m ; 1 . O SJ J (, y C! l

nudo pie

( 1 rr. =

0 . 0254 m ( 1

1

a n g s tron

coefi cientes

VALOR EN UNIDADES 5 1

1 609

milla terrestre

U¡

se ve,

MECAN I CAS

En consecuencia: NOMBRE D E LA UNIDAD

Los

UNIDADES

0

m

x

.•

m

1 4 4 m/s

9 . 290306 dm

= 0

yarda cuadrada

sq.yd

0 . 8 3 6 1 m2

a c re

ac

pulgada cuadrada

sq . in

4 0 46 . 873 rn:

6 . 45 1 6

cm2

m

1 :l ¡;

x 1O!

*

.

0 9 2 90 3 0 6 "'

0 . 000645 1 6 m2

-

50

51 c ub . f t

� A . 3 1 7 dm3

0 . 0283 17 m3

cub . i n

1 6 . 387 cm3

0 . 0000 16387 m 3

y a r d a cúbi c a

cub . y d

0 . 764 m 3

g a lón

inglés

gal

4 . 546

libra

( Av )

lb

0 . 4 5 3 59 k g

oz

0 . 0 2 8 3 5 kg

pie

c úb i co

p u lgada

onza

cúb i c a

( Av )

unidad

atómica

B r i t s h Th ermal minuto

de

masa

Unit

· u a ¡n

l

x

1 . 6605655

B . T . U.

( t i o;,mpo)

0 . 2 5 2 k ca l 60

S

h

3 600

día

d

86 4 0 0

r e v o l u c i ó n po r minuto

RPM

( 1 /60)

bar

b ar

10 5 Pa 1 0 1 325

calor!a

cal

4

pi e s o b r e s e g undo

f t /s

0 . 3 0 4 8 m/s

mph

1 60 9 m/h

l< t

0. 514

dina

dyn

erg

erg

10- S N 7 J 10lb

•

2. 1

X •

21.

X

1 0 6 k g t/cm2

X •

2. 1

X

106

kg ., !

•

cm 2

�7

k g t/cm

2

in 2 /lb f

in2 lbf

m/s s u s t i t uyendo : •

76 . 0 2 k g

•

m

a

1 .

356

J

X

mjs a 745 W

cv

•

X •

libra sobre p ul g a da

cuadrada

x 1 06

0 . 4 5 359

O . 1 38 k g

1 .013

de

Pa

m i l l a s ob r e h o r a

ft

lbt/in 2

J

. 1 86 8

knot

HP

son

como :

9 . 80665 N

· l>bra

lbt/in

1

s-

kgf

h o r s e power

y

Por l o tanto :

rad

atm

fuerza

uni dades k g f /cm2

107 kgm

1 . 05 kJ

S

a t mó s f e r a n o rm a l

pie

=

L as

�nisma e s p e c i e y t i enen e l mismo expon en t e .

( 1T / 6 4 8 0 0 0 ) r a d

(ángulo)

k i l o g r amo

=

lbt/in 2 . -

( n/ 1 0 8 0 0 ) rad

( án g u l o )

s e gundo

1 0- 2 7 kg

En

X

( n / 1 Bo l

m i n uto

a)

S

hora

grado

SOLUCION

0 . 004546 m3

=

lb/sq · in

2. 1

X

106

( 2 . 54 ) 2 0 . 4 5 359

2 9 . 869 x 1 0 6

finalmente s

EJEMPLO Si

el

2.6

módulo

de

e l as t i c i d a d

del

a c e ro

es :

A partir, encont r a r s u v a l o r e n :

nuevaaent e ,

de

la expresiÓn•

la

52

53 la&

kg f /cm 2 y N/m 2 s o n de

unidades

tienen

el

mi smo

expon ente ,

por

lo

la misma

e specie y

tanto :

chas f6 rmul as o ecuaciones exigen,

..!__ .,

X X

2. 1

X

e

2. 1

X

en. 6 U

1 06

de

de

d�me�

106

P !t c p � eda d q u e X

el ser

nal la :

111

•

como condici6n ,

en te n di éndo se por homogeneidad dimensio

6 � o nalme.nte h o mo g €n e � ;

ti e�r

o t -� u c tu \
un.(d,1 d t.5 ;

una

.: ,· a

ct

c c uaciJ� U .ó <'

,¡,.

� ( 5 � c a de

(v)

nd

d� ó t.t • l .tc·J.J

c a m b � a �t. 6 �- � t � ma6

la tab l a :

sus dos wiembros ,

lo que imp lica que,

en

deben tener siempre

las �rismas dil"'ension e s , como

do a partir de 1 Teorema

los rlistintos té rminos

11.

se

ha

dcmost r¡;¡

s us t i t uyendo : Lo anterior debe cumplirse en todas las X

X

•

21 .

a

20.601

1 06

9.81

X

(1002) N • cmZ

N • cm2 .

l!ticamente a partir de

la F!sica .

Sin e mbar go ,

X

lo

a lgunos términos contie­

nen coeficientes num�ricos que , para satisfacer las exigen­

10 10

cias por

fun damentales

en d i ferentes ecuacione s emp! ri c as

u t il i zad a s amp l i �men te en ingenier ! a , X

f6rmulas derivadas ana

de los principios o leyes

de

la homogeneidad d i mension al no p ueden ser simples núm�

ros abstractos;

te.nt o :

sino que requieren el estar a fectados de deter

minados exponentes dimen s ion a l es :

lo que implica que las

f6 rmu

las empf ri cas cambian su expres16n -aunque no su est ructura­

con e l uso de los di ve rsos s i stemas

de unidades .

resumiendo : En consecuenc i a , E • 2 . 1 X 106 k <;l f /Cm • 29. 869 X 106 lbf/in

2

2. • 20 . 60 1

X 1 0 1 0 N/m2.

la utiliz aci6n de f6rmulas

das matem�ticamente e s direct a ,

fisicas

cos que contienen sus té rminos son números abstractos o adimen sionales ,

lo que las h ace tener la misma expresi6n en cual�uier

s i s tema de unidades;

el

uso de las ecuaciones establecidas em­

píricamente exige realiz ar su tJtaducc¡6n cuando los que se dispone , en las mismas ,

cor respond i e n tes a

las

T!tadu.c.u6n de. 66Jtmu.la� . f6r.mulas fundamen tales,

tem!ticos

de los

naturaleza, de unidades ,

diversos

Como

ya s e ha

establecido ,

todas

que simplemente son s6lo modelos m�

fen6menos

f!si cos que ocurren en

deben s e r v!lidas e n todos sean €stos vigentes o no;

la

los diferentes sis temas y,

en consecuencia,

di-

e·stab lecerlas ;

utili2ado oriqinal�ente para

lo que se manifiesta en que los coeficientes nú

mericos de sus términos se modifique n , presi6n .

datos de

las cantidades involucradas

est�n expresados en unidades diferentes a aque­

llas correspondientes al sistema ' d)

est�blcci­

porque l o s coeficientes numéri

es decir ,

caMbian de e x

Precisamente, la t ransformaci6n numérica de dichos

coefici entes constituye la traducci6n de la f6rmula, realiza específicamente para cada caso particul a r .

la que s e

55

54

Traducir

las unidades S I :

Suati tuyendo

EJEMPLO 2 . 7

m S

l a fórmu l a emp! r i c a de Manning d e l s i s t ema S I a

2

(1}

- k

m3

l o s s i s temas i n g l es es .

La l l a ma d a f ó rm u l a de dad

de l a

p e r m i t e c a l c u l a r la v e l o c i ­

M a n nin g

le -

c o r r i ente d e a g u a q u e fluye p o r un c a n a l según

.!

(1)

�

o

( grav) ¡

•

la expr e s i ó n : En V

valida en

el

v

n

s i s t ema

SI

:

s

l.

V

r a p i d e z d e l a g u a en m/s

•

c o e f i c i en t e abstracto

•

c o e f i c i e n t e de

•

la

fórmu la de Man n i n g

n

3

•

Cabs)

don d e :

d e l canal , r

el s i s tema i n g lés

queda :

1

a1"

don d e :

rugosidad de las paredes

tamb i e n abstracto

radio h i d r á u l i c o en

r3

m

v =

rap i d e z d e l agua e n ft/s

e

c o e f i c i en t e abstr acto

n

p e n d i e n t e d e l fondo d e l c an a l ,

•

c o e f i c i en t e de

ru g o s i d a d

r • r a d i o h i d r á u l i co

también

"

ab s tr a c t a

-

( ab s t r a c t o )

( en ft )

( aba t r a c t o )

pendiente

que puede e s cr i b i rs e : 1

SOLUCION V

z

_¿ n

2. e r3

D i c h a expr e s ió n p u e d e e s c r ib i r s e : Y

1

V

=

__.!!.._

( 11

n

s i haCBIIIO S :

2.

r1"

l

....!2__ n

y si

• k

( co e f i c i e n t e

hacemos : entonces : ( co e f i c i e n t e abstracto)

entonces :

V

z

k ( e)

2.

rl"

S u s t i tuyendo las unidades i n g l esas : v = k

(1)

2.

r3

ab s t r ac to )

56

57

y,

p o r t r a t ar s e

de u n i d a d e s :

EJEMPLO 2 . 8 1

i g u a l ando

las

dos

Traducir

ftl

( C)

k =

e xp r e s i o n e s o b t e n i das p a r a k :

1

•

M:

S

b

1

( e ) ft�

•

donde :

m3

-(1)

1

e

e xp r e s ión p a r a e l c á l c u l o d e un momento M :

1

ftl

( e)

la

S

( T ) m�

se e

d

e1¡

a otra

en que

kgf

mi de e n

an ch o

,

· cm

m e d i d o en

peralt e ,

cm

medido

en

e l momento s e mi d a en

lb

s e midan en p u l g a d a s

cm

f

•

ft,

cuando b y d

(in) .

SOLUCION de

la tab l a de

equ iv a l e n c i a :

1 m e e

e

•

•

..

3.

En e s t e c a s � ,

28 ft

(

< 1) 3.

3

M •

•

;;tt ) t

el

coeficiente

nal

l. 28 3

debe

nal. •

como :

1 . 486

h o mo g � n c a , de

tener

Por

17.2,

núme r i c o no

ser

ruede

un i d a d e s

en

los

s i s t emas

i n g le s e s ,

si

un

bd2

e c u a c i ón

la

nGmero

la

f ó r mu l a

l o tanto :

17.2

bd2

M

17.2 -

bd2

tendremo s :

si : V =

donde

Que

V

en

ft/s ,

n

y

r

en

a

los

s i s t emas

ingles e s .

M

está

b

en

1 7.

2

ft.

la e x p r e s i ó n d e dicha f ó r m u l a t r a d u c i d a d e l

es

ma S I

s e mide

1 . 486

s i s te­

entonces •

cm

en

di�en s i o

es

abs t r a c t o ;

( q u e e s u n número ab s t r a c t o )

e en l a fórmula de Manning dada

e s t e valor de

2

para que

M • S us t i t uyendo

1 7.

k g f · cm

sea

s i n o que

a d i me n � i o

59

58

está en

Por l o tanto :

cm2 lbf

e

e

17.2

de

e s el

l a t ab l a

e n l a s nuevas unidades q u e s e

1

in 3

•

ft

•

M

e s tá en

b

en in

e

f t·

·

e

lbf

es tá en

e

el nuevo

e

•

cm2

lb f

•

•

in

ft in2

y,

ft

2 . 5 4 3 cm 3

3 0 . 4 8 cm

dimens ionales

2

o . 4 5 4 kSt

�

obtenidos n,

enton­

tienen

porque

la

( 30 . 4 & �¡ �2

20. 368

l a nueva expresión b u s c a d a s e r & :

donde:

de acuerdo con e l Teorema

expresión d e b e permanecer adimensi ona l .

"

M D 2 0 . 3 6 8 bd2

S i l a ecuación dada e s dimensionalmente homog�n e a ,

igua l e s ,

e n consecuenc i a ,

in3

c o e f i c i ente d i mens io na l .

dos c o e f i c i entes

•

1 7 . 2 ( 2 . 54 )3 0 . 45 4 ( 3 0 . 48)

e

e

( 2 . 54 cm) 3

17

lb f • ft

enton c e s :

que ser

lb f

s u s t i tuyendo :

si :

los

17.2

a

de equivalenci as :

p id e n :

e a

ces

11.2

E

ft

c o e f i ciente dimen s i o n a l .

C e l mi s mo mo do ,

es

•

in 3

M

e s t a e n lb f

b

en i n

•

ft

60

61 EJEMPLO 2 . 9

Si

T r a d u c i r l a e xp r e s i ón de l a e c ua c i ón de e s t a d o de Van d e r W a l l s para

el

atm)

(·__!.-)

0 . 0 82 0 7

mol

atm L mo l •

b iÓxido de c a r b o n o a los s i s temas I n t e rna­

c i o n a l e i n g l é s ( i mper i a l ) .

Para e l

(

0 . 08207

c s t .:i en

T

K ,

e n t o n c es :

( K)

está en ·

0 . 0 8 20 7

C0 2 :

y

T ;

Comprob a c i ó n : O . 0820 7 T

S u s t i t uy e ndo en la e c u a c i ó n o r i g i n al :

{ e c u a c i ó n dirnen s i on a lrnente c o r r e c t a ) , don d e :

v o l umen m o l a r e n L ;rno l .

{L

=

b)

Encon t r a r las u n i d a d e s d e los co e f i ci e n t e s n um é r i cos : y

0. 08207

S i p é s t i e n atm; entonces

3 . 6

p

e s t a r a t m , p o r l o t an t o : 3.6

v;;r

p ero

atrn

debe tamb i é n

L mol

L2 mo l 2

Vm

1

Si :

J. 6

+ v;;r

V m2

3.6

3.6

esti en

3. 6

está en L

S i Vm e s t a e n mo l 0 . 0428)

0 . 0428

atm

12

mo l 2

1

·

atm

1.013

X

L

0 . 00 1

m3

10

(0.001) 2

5

m6

s u s t i tuyendo :

atm 1 2 mo l 2 •

3.6

entonces :

e s t i t amb i é n en

e s t á en

atm L -' mo l ·

e ntonce s , como :

L2

atm

-¡,-2 ""'iñOi"2

L

mol

L

mol

correc t a .

T ra d u c c i ón a l S i s tema I n t e rna c i ona l ( S l l .

s us t i t uy e ndo :

{V m -

(K)

l ue g o l a e c ua c i ón e s dirnens i o n a l m e n t c

SOLUCION

. 0 428

L

(K)

litros)

temperatura abs o l ut a e n ( K )

T

0

•

p r e s ión en atm

p

a)

atm mol

atm

atm L mol 2 •

= 0 . 36 4 7

que e s e l v a l o r e n u nidades S I .

Si: 0 . 0428

está en

L mol

N

m2

0 . 00 0 0 0 1

m6

10

-�

m6

62

63

enton ces , como : L

'

0 . 0428

�

enton c e s ,

m3

0.001

L mo l

0 . 0428

4.28

=

x

N

�

0 . 0 4 2 8 ( 0 . 00 1 )

rn l

-s

m3 mol

•

e

enton ces ,

atm mo l

e s t a en

0 . 0820 7

.

L

0 . 08207

1.

o

13

o . oo

1

X

m3

=-:=�:'---'LO:K 0 . 0 820 7

10 =

=

3

vJ

m3 X

10

8 . 3 1 37

X

10

-

N

mo l

m2

•

4

f t4 lb f mo l 2

e s t á en

entonces , como : nol

K

m

m

=

m3

K

)

•

3. 281

ft

(3 . 2 8 1 )

3 ft 3

D\ 3 . 3 5 . 3 1 4 f t 3 s us t i t uy e n d o : 4. 28 x

0 . 0000428

co2

=

p r e s i ó n en

Vm

=

vo lumen molar en m3

T

=

-s

m3

mo 1

1 5 1 . 144 x

0 . 0000428

p

1o

en el ,

s i s t ema S I , donde :

Si: 8. 3 1 3 7

t e mperatura abs o l u t a e n

T ra d u c c i ón a l S i s t e ma I n g l é e

N m4 ---;¡;;;¡r •

está en

K

e n t o n ce s ,

está en

9 . 50 1 1

o . o o oo 4 2 8

q u e es l a e c ua c i ón de Van d e r W a l l s p a r a e l

0 . 3647

ft lbf mo lz

1 1 5. 884)

•

p o r lo t an t o , s u s t i t uy en d o en l a e c u a c i ón o r i g i n a l :

0 . 3647

x

Si:

0 . 08207 ( 1 . 0 1 3

L "' ,.atm -= 0-:1"--;::. K "

4

0 . 36 4 7 ( 0 . 2 2 4 8 0 9

0 . 3647

;;T 10-

1 1 5 . 8 8 4 ft

L

( K)

N

S

=

s us t i t uy e ndo :

o rno :

atm

lb f

4 4 ( 3 . 2 8 1 ) ft

0. 3647

Si:

e)

O . 2 2 4 809

=

m"

0 . 000 0428

rno 1

10

como :

( F PS

I mp e r i a l ) :

como : N

•

0 . 2 2 4 80 9

DI

) . 2 8 1 ft

K •

1.8 °R

lb f

N

mol

m

K

=

4 . 2 8 x 1 O-

s

x 35. 3 1 4

ft 3 mo 1

65 64 En este

s u s t i t u y en d o :

por

B•

lo t an t o ,

l a magnitud debe s e r convertida ,

analógica medib le ;

de tipo más conve niente ,

8 . 3 1 3 7 x 0 . 224809 x 3 . 2 8 1 lb f 1.8 m:ll

.· 1

caso ,

una s e ñ a l

�

3 1 3 7 -::. ._ .= .. .: :.... � 0 m

s u s t i t uy e n d o e n

3. 406 8

la

lb f

mo l

•

ft

magnitud por medi r ,

( R)

caso d e los

ft

re lo j e s

con e l .t..ia:tema. cia o

e c uación S I :

unidad,

de

la

la

e cuación

de

s i s t ema F P S I mp e r i a l ,

p

presión

Van

der Walls para e l C02

don d e :

T

debe entonces

la señal que

nitud con

su

las

forman

tiempo es me­

las maneci l l as

La cantidad de re feren­

convertida en

también de

forma similar ,

referencia,

rle

la mis

E n consecuen­

se trata de medi r . la

señal de

una conveniente multiplicaci6n

referencia;

o bien,

representan;

de

refe­

o subdivi­

oponiendo

las

señales

tal manera que ocurre

rencia de energía en una dirección o en

la ot r a ,

esto de

dos .

las

magnitudes

relativas de

las

análo­

una transf� dependiendo

La aproxi mac.i6n

evidenciada por reducción de

la

energía transferida a un mínimo.

en

( " R)

1

Como en existe

el proceso de comparación se interacción entre Por

to de observac ión .

2.7

ser

cuales e l

que

b á a .i c. o .

a l a igualdad gueda entonces

ft 3

e n los

4ngufoa

Jt e n e .�t e n c..ia

después de

gas que

t e mp e r a t u r a ab s o l u t a

loa

l a se­

como en e l

La i g ualdad de l a medida s e e s t ab lece oponiendo la mag­

s i ón .

en e l

en

vo lumen m o l a r e n

analógicos ,

la magn i t u d ;

señal por medir debe compararse con

renci a ,

física

que se encuentre relacionada con la

para proporcionar una señal ,

cia,

traducida en

en una cantidad

tal manera que un valor dado de

dido poJt la. a. b e Jt:tUit.a d e

3. 406B T

es

deci r ,

ñal represente una medida definida de

"

ma especie que

que

de

es

observada no es

INSTRUMENTOS DE MEDIDA

requiere

energf a ,

la magnitud obse rvada y el lo tanto,

e l mismo que

el

e l valor de

si empre

instrumen­

dicha magnitud

de l a magnitud sin perturba­

ci6n o q u i e t a .

S i dicha pert urbación es s u f i cientemente grande p a r a ser si gn� Con

frecuencia l a magnitud por medir no es

conveniente , ferenci a , un

para re a l i z ar

por e j emp l o ,

reactor n u c l e a r .

tinguir dos

11

acce s i b l e ,

o no es

la comparación directa con una re­

la intensidad de

l a radiación dentro de

Esta circunstanci a permite ,

entonce s ,

clases de me,dicione s :

e l valor

exacto de

l a magnitud que

se desea medir de­

inferirse a partir del conocimiento de l proceso de perturb�

ci6n .

Desde

l uego ,

e l t i empo

transferencia de energí a , pidez

fenómenos

requerido para la acumulación y

limita

la capacidad de medir con

dbL. e c :t a :

ces

M e d.i. c.i6� -i. � di Jt e c.:ta.:

un út.t. .tJtumen:to

de

medida,

Un i n a .tlt.ume.n.to

de

medida.

a -<. a :t ema b a.a a. do

en

una. p � o p i e.da.d

el

cua l ,

e n términos

enton­

gene rales ,

se define así :

E.t. a q u � .U. a q u e 6 e Jtea.l-<.za. poJr.

c. c � v eJt.�>-i. ó n

d e ./'. a. ma.!] ni.tud q u e .1. e pJte:t e n d e m e dilt.

g u na. a e � a. l

a. n &i o A a. .6 u.t. ceptibte

d e a eJt m e di d a. .

en a.t­

Jr.ia c.i 6 n

e.t.

ra­

cambiantes o din ámicos .

E l dispositivo o i n s t rumento de comp�ración constituye , Medici6�

c o m p a. Jt a. c i 6 � .i�m ed.ia.:ta· .

2J

di�

ficante, be

c.uatq uie.4a

p}(.o p o 4 c.i o n a.l a. la

q u e. .t. e :tJta:ta. d e m e d.ilt..

ea

una.

6�.6.ica. .tal ,

va.Jt.ia.c..i 6 n

apa.Jta:to que

du

o

un

va.­

de .ea m a g nitud

67

66 Muchos

inst rumentos

plejos,

en

los

expresar los algunos tas

medida

realizar

los

funcionales

interconectadas por el usuario para

de medida comp leto. nera integrado s ,

En otros ,

que sus

mente discernib les .

funciones

As! ,

para

deseada.

En

formar el

son

f�cil­

luminosa puede ser me

un amp l i ficador y un voltímetro;

un espect r6metro para medir l a compos ición

que ,

a su ve z ,

debe s e r interpretado,

por e l obse rvador para

producir la información deseada sobre dicha composición.

inst rumento

individuales no

fotoeléctrico,

par ejemplo,

química puede producir la impresión de un espectro infrarro j o

unidades discre­

e lementos est§n de tal ma­

la intensidad

dida interconectando un tubo tP.nci a ,

los

son

funcion a­

t�rnbi€n,

y,

la forma igualmente

elementos

forma,

rn�s o menos com­

la medida deseada;

resultados en

casos ,

son s i stemas ,

cuales un cierto número de e l ementos

se unen para

les

de

una

fuente de po­

o bien ,

Las

sino que,

son medidas directamente ;

das

separadas

frecuencia no son inferidas

resultados de un cierto número de medi­

los

por combinaci6n de

con

en su lugar,

a s u vez ,

físicas ,

diferentes magnitudes

eso,

Por

indirectas .

nes instrumental es pueden ser encontradas

todos estos

corno por ejemplo ,

e lementos pueden ser integrados e n un solo instruwento que es

g i cos ;

conocido corno fotómetro o exposímetro .

chos organismos

en los

nales

de

las

funciones

r e a l i z adas por

son b§sicas en el proceso· de

quier inst rumento de medida,

los e lementos

la medi d a .

y,

adem!s ,

debe percibir

las otras

su importan c i a .

de di�

condicio

esta magnitud debe ser comparada con l a uni

dad de referencia;

y el

esta comparación debe ser

comunicado a un observador o a un disposit ivo que real i z an ciones

de

manipulan la

contro l . los

En otros

resultados de

forma deseada,

casos ,

chas

y en el lugar

en cambio ,

funciones

chos tos

de

esos

e lementos

inst rumenta l e s .

Cinco fases debe

�

como en e l

hasta l a fecha

fun

mas

distinguirse e n la evoluci6n d e dichos siste­

inst rumenta les :

funcionales

funciones existe en un , s i s ­

inclus o ,

el

c u a l di­

algunas pueden ser

Tamb ién debe hacerse notar que mu­

funcionales son en si

mismas ,

instrume�

1)

D e f in ición

2)

I nv e s t i g a c i ó n y

3)

P ro y e c t o

4)

P ro d uc c i ón

5)

A p l i c a c i ón

des a r r o l l o

desde cual

el

todas

punto de vista de un s i s tema i d e a l y comp leto, las

la práctica,

parcialmente

su vez ,

con

la

funcionales .de un inst rumento pueden ser analiza­

funciones de medida son realiz adas sin

tervención human a ,

medida son

cuantitativamente ,

la entrada.

Los e lementos

En

por lo sis temas

y en e l ti empo también dese�.

cen una señal de s a l i d a relacionada,

el

casos ,

n o haya s i do igualado,

de medi d a , po rqu e aceptan una señal como ent rada y produ­

magnitud de

dos

e lementos

no h a y u n orden est!ndar e n

deban realizarse;

efectuadas m!s de una vez .

en algunos

la medición para presentarlos en

Aunque una secuencia especifica de terna dado;

los

de l sentido de l o l fato,

de

aunque e l comporta­

inst rumentales ;

s is t emas vivientes ,

funciones

pueden también s e r

En cualquier

s i stema de medida ,

resultado de

los

s i s temas bioló

muchas

Recíprocamen te,

vivientes .

efectuadas p o r dispositivo s miento de

en cual­

un e l emento debe ser capaz

criminar la magnitud por medir entre todas nes;

As!,

funcio­

fu.ncio­

e n los sensores de temperatura de mu­

medición que son realizadas por e l hombre, Alqunas

de muchas

analogías

los

excepto para anotar los s i s temas

inst rumentados ;

de medición, ya que

resultados a menudo ,

algunas de l a s

finales .

están s ó l o funciones de

realizadas por operadores u obse rvadores que san,

parti cipantes

de dichos

en

la in­

s i s temas de medi ción.

a

En esta

Estas ma ,

fases no est&n c laramente separadas;

frecuentemente es

para mejorar

deseable

la operaci6n

del

incluso en

retroalimentar las inst rumento.

la �lti­

anteriores ,

68

69 2.8

KETODOS DE M E D I DA

Como una consecuencia de lo anteriormente expuesto ,

se desp re�

En general ,

un error de medida e s

la dis crepancia que aparece

de que e l uso de un instrumento de medida cualquiera exige de

s i empre entre el valor real de una magnitud y e l valor medido

un método particular que,

resulta es­

de

lo tanto,

límites tolerables,

pecifico para el

por s u mis�a natur a l e z a ,

inst rumento de que s e trate.

no es posible establecer métodos de medida , les

se

acomode e l empleo

do que cada uno de

ellos

de

Por

generales a los cua

cualquier s i stema de medición,

tiene sus propios

rangos y

da­

limitacio­

Desde

la misma.

luego ,

los errores pueden reducirse hasta

pero no pueden eliminarse completamente, lo

que obliga a introducir to lerancias de control en los procesos En

de medición. errores

la

teoría de observaciones ,

de observación se

cuatro

clases

de

dist.inguen ordinari amen t e .

nes que excluyen la posibilidad de uniformar su utiliz ación .

Entiéndase que no es loj ,

ur.

lo mismo manipular un

goni6metro que un dinamóme t ro ;

termómetro ,

por

Sin embargo,

longímetro que

un �

o un electr6metro que un

l.

ejemplo.

algunos

Son

imprec isión de

los

los

originados por

inst rumentos

la inade­

empleados para

ob

servación .

requisitos,

que deben ser satis fechos por

los distintos aparatos y s i s temas de medida , comp leto de tipo general;

f��o�e& in6t�umentat e 6 . cuación o

sí resultan por

entre éstos se mencionan ,

2.

f.'L/Lolle&

pe.�4 o nate.& . -

Surgen de

reacciones que tienen

principal­

los

las di ferentes prácticas y

observadores humanos .

mente :

3. l.

C��b��ci6n ad�cu�da . -

Con s i s t e en la graduación de un

nes

ins trumento para efectuar �ediciones en unidades determin� das .

As í ,

peres ,

2.

el

Aju&te&

si s e gradfia la escala

los

S o n aquellos que

reali z adas

reducida o

de un galvan6metro en am

en

n e ce& a�io& . -

Son

las operaciones de manipulación

requisitos geométricos y de

construcci6n que exige

l a medición correcta de una magnitud.

4.

ci6n

Puesto que en

E��o�e&

6 o �tuito6

mas mediciones , sultados;

la práctica

siempre va acompañada con errores , los

tima no

debe s e r

corregida.

o

de a z a � . -

tipos

es necesario cono­

de estos y s u teoría básica,

será o b j e t o de

estudio

la medi­

aunque esta úl­

en este caso.

Son aquellos que

reflejan el

los

siempre ocurrir� alguna variaci6n en los

independientemente de

instrumentos

de medida.

importantes en l a actualidad.

Cont�ot d e e��o�e& . -

cer

las obse rvacio

la rnedici6n de una �agnitud que

hecho de que cuando di ferentes observadores repiten las mi�

ner

3.

introducen una

todas

aparato se transforma en un amperi�etro.

a que debe someterse un inst rumento de medida para que cu� pla

fiL�o�e�· � i6 t emdtico& . -

dis crepancia continua o s istern�tica en

la precisi6n que puedan Estos errores son

r� te­

los m�s

71

70

2.9

5.

CON C L U S I O N E S

Los ingenieros deben

estar preparados para realizar c6lcu­

los tanto en el Sistema S I , usuales. Resumiendo, en forma prictica ,

lo anteriormente estudiado, pod�

necesidad ineludibl e .

mos llegar a las siguientes conclusiones :

1.

E l res ultado final de un cilculo en ingenier1a, e s general­ mente un n6mero: y , adem�s ,

los ingenieros emplean diferen­

tes sistemas de numerac16n j untamente con tema decimal.

el fami liar sis­

En dichos cálculos , el n6mero de cifras sig­

nificativas de un resultado no debe ser mayor que el menor correspondiente a cualquier cantidad que intervenga en ellos .

Además , para manejar nGmeros muy grandes o muy pe­

queños debe usarse la notaci6n

cient1fica,

en la cual el

resultado se escribe en términos de potencias de die z . 2.

Las caracter1sticas d e los sistemas y procesos f1sicos suj� tos a medida son conocidas , nes :

y todas

colectivamente ,

como dimensio­

las medidas f!sicas pueden ser descritas

en

t�rminos de

un conjunto de dimensiones fundamentales:

lon­

gitud,

tiempo,

masa,

intensidad de corriente eléctrica, tem

peratura termodin�ica, intensidad luminosa y cantidad substancia.

de

Todas las demAs dimensiones pueden ser deriva­

das en términos de las dimensiones fundamentales .

3.

La magnitud de las diroensiones f1sicas s e expresa con rela ci6n a cantidades de las mismas llamadas unidade s :

y,

aun­

que muchos diferentes sistemas de unidades se hwl empleado en la pr&ctica de

la ingenier1a,

actualmente se usa un sis

tema estAndar de tipo univers a l , que es sistema métrico decimal ,

un

refinamiento del

llamado Sistema Internacional de

Unidades o Sistema SI .

4.

El Sistema SI est! compuesto de siete

unidades base que ca

racterizan a las dimensiones fundamentales : mientras que las unidades derivadas pueden ser expresadas como combina­ ciones algebraicas de las unidades base, aunque algunos no� bres y s!mbolos se han introducido para designar a las m�s comunes de estas unidades derivadas .

Adem�s,

se usan prefi

jos para reprentar m�ltiplos o subm�ltiplos decimales de las unidade s : y se han adoptado reglas precisas para centro lar el uso de las unidades S I .

como en los diferentes sistemas

La conversi6n entre sistemas de unidades es una

1

72

73

2 . 10

P ROBlEMAS P RO P U E S T O S

2 . 1 Deter111i n a r e l

Obten e r

2.6

núaero de

una de l a s a i guientes

ci fras s i gn i f i cativas

en cada

cantidade s r

la relación

b)

(decámetros ) 2 y

e)

Qanosegundos y kiloa egundos

2. 7

Obtener el

9 . 0 40

d)

0 . 0200 3

b)

20 5

.8

e)

60 5 . 002

e)

0 . 000581

f)

3. 1200 2.8

Obtener

( c ent!metros ) 2

valor de

Valor

a}

entre :

el

a)

2 . 1 9· + 4 . 2 +

b)

7 . 25 X

e)

7. 1 10 +

cifras

3 . 20 6

en

376

e)

5 7 . 3 4 - 0 . 00 0 3

f)

1

+

d)

( 34 . 1 2

el

años

f)

(micrometros) 3 y (me<¡ametros) 3

m x n

en

y 111 i nutos

e l S i s t ema S I ,

si:

V a l o r de n

valor d e :

q - � n

significativas :

1 . 489

d!ae y picos egundoe

de m

2 . 2 R e a l i z a r e l cálculo indicado , redondeando e l r e s u ltado al número apropiado d e

=

p

d)

el

S i s teaa S I ,

con

los

datos

del problema anterior.

0 . 03 1

+

t

78. 2)

1.9

2.9

Obtener e l valor de

2. 10

U n avión v i a j a

una distancia d e 9 1 2 k a e n u n ti eapo

de

1 . 3 horas .

Calcular

en

e l S i s Íeaa S I .

2 . 3 Expresar cada uno de loe s i guientes números en not ación

/q

de l problema ant e r i o r .

la rapidez proaedio del avión

c i e nt ! fi c a : al

·

d)

134.2

2.11

1 8 4 1 2 . 00 2

b)

o. 0056

el

o . 000 0 0 0 7 1

e)

59 000 000

f)

o. o85 2

números

en

f¡ri co ,

d)

3 . 81 7 E +

X

101

e)

1 . 314 E

2 . 009 x

10�

f)

9. 17E

8. 1 5

b)

7.918

e)

x

2.13

03

x

On s i s teaa Nova

1

+

1 0-

10

puesta en forma decimal y dondeando e l número a)

( 3. 1 4

X

apropiado d e ci fras

10- 7 ) X (3.21

X

106)

( 2 . 9 1 X 1 0 1) - ( 6 . 3 2 X 10-3)

e)

( 0 . 89

105)

+

( 2 . 3 1 X 10 1 7¡

to

cada r e s ­

_ en notación cientí fica ,

b)

X

expresando

e�

C a l c u l a r s u densidad e n g/cm l . laser e s capaz

e.

x

104

J

de producir

un pulso

e n un ti eapo de

Calcular e l n i v e l

de potencia de

este

l a s e r en e l S i s teaa S I .

10

1 2 . 1 4 Verifi car

2 . 5 Realizar l o s cálculos indi cado a ,

1 . 33 x 10- 1 � m.

suponiendo que e s

del probleaa anterior tiene una aasa de

10-2 7 kg.

l uainoso de e n e r g í a 3

- 06 +

radio de

en ca l .

s i e l núcleo

6 . 42

forma decima l a

1 0- 4

a)

un

Calcular e l voluaen d e l núcl e o ,

2.12

2 . 4 E s cribir loa s i gui entes

On n ú c l e o at6aico tiene

y

re

s i gn i ficativas :

d)

(220.6) - ( 1 . 42 X 102)

e)

(798. 1 )

X

( 3 . 19

f)

(0.007)

+

( 1. 3

X

X

1 0-2)

10- 3 )

laa

s i g u i entes

de hoaogeneidad

ecuacionea

usando

el

concep­

diaenaiona l .

a)

F • aa

( fuerza - a a s a x aceleración J

b)

'1' • ...1.. av2

. , . (energ{a c1net1ca

e)

E

ac2

(energ! a en reposo

d)

p

RI 2

(potencia • resistencia x intensidad de corriente

2

-

electrica2l

1 a :2

M

masa x rapidez)

masa x rapidez de la luz2¡

74

75

2 . 15

a)

Constante universal de los gases R : =

pv b)

n R T (pres ión x volumen .. número d e moles x R temperatura absoluta)

co eficiente de arraatre CD A6

F =

s i dad e)

2 x

�

c0:

( fuerza de arras t e

c0

•

x

área

x

den-

h x

área

x

A menudo , en ingeniería s e encuentran parámetros ad! mensionales . Verificar que cada uno de loa s i guien­ tes es de ese tipo : a)

b)

NÚmero de Reynolds ,

Número de Prandtl, • � K

•

x

diámetro

Pr:

X

2.21

Nu :

Escribir cada una de las s i guientes cantidades en un! dades S I : al

Velocidad de la luz

d)

b)

Velocidad límite en e l periférico

Punto de congela ción del agua

e)

Su propio peso

e)

Pres ión atmósferica

f)

S u p.r;opia masa

Convertir las siguientes cantidades e n unidades S I : a)

18

in

i)

97

poundals

b)

11

yd

j)

3 1

psi

e)

31

acres

k)

1

d)

200

HP

1)

39

300

lb m

e)

4 S

gal

m)

39

f)

90

cal

n)

9 8 . 6"

g)

200

A

o)

1

h)

1 2

p)

14

s luga 1

S

BTU

F

onz as psi

Se conduce un auto a 6 5 millas por hora cuando , re­ pentinamente , s e ve una s eñal que indica que l a ra?! dez límite es de 1 0 0 km/h . lSe deberá di smi nui r la rapid e z ? ¿cuánto en mi l l as ? Deterainar e l peeo en unidades S I de los s iguientes ob j etos ( a e aupo� e que la aceleración de la gravedad ea q 9 . 8 1 m¡ s 2 J : •

coefici ente de trans ferencia de calor conductividad tirai c a

.!!.Q

2 . 20

vi s cosidad x calor eapec!fico conductividad tlraica

Número de Nusaelt , Nu

Res

densidad x velocidad viscos i dad

•

Pr e)

2. 19

velocidad2)

hA (T ¡ - T 2 ) ( c alor tran s f e rido diferencia de temperaturas )

•

Re

2 . 1 7

v2

x

Co efi ciente de tran s ferencia de calor h : Q

2.16

2. 1 8

Determinar las dimensiones de los s i guientes coe fi­ cientes a partir de l a ecuación correspondi ente.

:11:

longitud

Ezpresar cada u n a de l a s siguientes cantidades en uai dades S I fundamentales •

2 . 22.

a)

De un automóvil d e

b)

De un camión de

e)

De una cuchara de 0 . 2 5

2.2

1

O O O kg ton lb111

La aceleración de gravedad varía ligeramente de un lugar y en a otro . si en e l ecuador es q 9 . 8 1 m¡s2 m ¡s2 : calcular la dife�encia Groenlandia es g 9 . 83 •

•

a)

2 0 . 000

1f

b) e)

99

d)

213

Joules kPa

e)

2.5

uf

f)

1 20

km/h

q)

90

Rz

h)

72

K •

de peso de un ob j eto de otr•. .

kg l l evado de un lugar

a

'

2 . 23

m

100

Un astronauta pesa 9 0 0 N e n la Tierra. Det erminar su peso en la Luna cuya aceleración de la gravedad es q • 1 . 6 m ¡s z .

76

77

2 . 24

a p a r t i r d e l Teorema n ,

Demostrar, v

-

�

que da la velocidad de

l a ecuación ca!da

libre

en

2 . 28

fun­

de

ción d e l a a l t u r a de c a í d a . velocidad

de

(2

ca!da •

x gravedad

x

altura

Traducir

pecto

1

fó rmula que p e r m i t e

la

frotamiento

vis c o s o

Demostrar,

a partir d e l Teorema

c i ó n de estado de presión

los

de c a ! da ) 2

x volumen •

N•

ll , l a primera ecua­

d e moles x constante

temperatura abs

s:

T r aduc i r

e xp r e s i ó n

la

del

Principio

universal x

es

el

V:

la

ve l o c i d a d d e

e :

con

Gravitación

de

X

10 1

!�l

en el S I

donde : F

=

fuerza d e a t r a cci ó n, medida e n N

m ¡ y m 2 � mas as ,

a otra

en q u e

s as

lh m y

ma

2.27

Ingles

Traducir

medidas

d i s t an c i a ,

d

en

la

entre

mas a s ,

fue�za s e mida

la d i s t a n c i a e n t re

Ab s o l u t o )

en p o u n d a l s ,

las

e l l as

( S i s te­

de B o l t zmann ,

t í c u l a s que

cons t i t uyen

p o rci o n a l

su

t

en m

en

ft.

ma­

•

l a E c u a c i ón

a

medida

un

e mp e ra t u r a

gas

es

que

e s t ab l e c e :

cada u n a d e l a s paE d i r e c t amente pro­

absolut a " , e x p r e s a d a por

fórmul a :

E cin

donde

E cin

a o t r a en la

se que

mide la

en

j o u l es y T K e n K

energía cinética

t e m p e r a t u r a ab s o l u t a

I n g l es

en g r a d o s

se

( S i s t ema S I ) ,

mida

Ranl< i n e .

en

el

CGS

en BTU y ( S i s tema

Ab s o l ut o ) . •·

e s currimiento en cm ¡ s laminas

en

el

ár e a e n

ft/s ;

y

de l a c e i t e

( S i s tema C G S )

e n o t r a en que

al vidri o ;

ft

2

;

' l a fuerza se

l a v e l o c i dad d e

la d i s t a n c i a d e

la

l a mina

( S i st ema I n g l e s Ab s o l u to ) .

en

ft.

El

coefi ci ente n

12

a 2 0 " C)

l u t a l! e l

en k g

" l a e n e r g í a c i n é t i c a promedio d e

la

respecto

es currimiento

m

1

[ dinas ]

l a d i s t a n c i a entre

m i d a e n poun d a l s ;

Univers a l :

F � 6. 673

res

á r e a medida en c m 2 ;

S:

medida en c m .

2 . 26

f �e r z a

don d e :

pV = n R T

gases

la

r i c i n o con

a l vidrio :

12

2.25

cal cular

d e l aceite de

se

(que para

l l ama

fluido.

el

aceite

c o e f i c i en t e

de

ricino vale

de viscosidad abso­

79

78

2 . 11

2. 1

2.2

2.3

2. 4

2.5

2.6

2.7

S O L UCION DE PROBLEMAS PROPUESTOS 2. 9

al

3

ci fras

d)

4 ci fras

bl

4

c i f ras

e)

6

c i fras

el

3

c i fras

f)

3

c i f ras

a)

7. 9

d)

12 1 0 0

b)

23.2

e)

57.34

el

8.0

f)

59. 1

a)

1 . 34 X 1 02 = 1 ; 342

E + 02

d)

1 . 84 1 2

b)

5 . 6 x 10-

� 5. 6

E + 03

e)

7.1

e)

5.9 x 1 0 7 = 5.9

E + 07

f)

8. 52

3

0 . 000 8 1 4 =

b)

79, 1 8 =

e)

200,900 =

al

1 .01

b)

2.9 x 10 1 = 2.9

e)

3 . 9 x 1 0 -3 � 3 . 9

=

1.01

X

1 0 4 = 1 . 84 1 2

1 0- 7 = 7 . 1

X

1 0-2=

X

2. 14

E + 04

a)

E + 07

8 . 52

E

b)

+ 02

b)

da

=

e)

ns

E

106

0 . 0 0 0 00 1 3 1 4 =

X

f)

9 1 , 7 00 , 0 0 0 , 0 0 0

E + OO

d)

7 . 86

E + 01

e)

2 . 5S x 1o l d 2 , 55

f)

5.4 •

1 05

03

=

x

X

3.817

10 3

P

2 . 484

b)

p =

4.

a)

q

3. 41

b)

q

2.8

mm

d)

d!a

cm

e)

año =

x

1 0 1 7 rn6

1 0 - S m-

V =

1 94 . 87

m ¡s

p

3

1

I LMT -

2

X

1

10l4 w �

=

111 5

-

Gl ·

2

1 L2MT - 1

=

3 0 0 TW

I LMT - 2 1

e)

2

1 L 2 MT- 1

Co es adime n s i o n a l

al

R e es

adimensional

b)

Pr e s

adimen s i o n a l

E + 01

a)

20 000 W

E + 00

b)

3 5 gr;cm3

1. 314

x

� 9,17

1 0 1 = 7 . 86

5.4

1 0X

6

8 . 64 x ¡ ol 6 5 . 26

x

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1 7 . 69 kq BEER, FERDINAND P. and RUSSELL JOHNSTON, J r . Vector Mechanics f o r Engineers , S . I . Metric Edition New York : Me Graw-Hi l l , Rye rson, Ltd . , 19 8 1 .

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1 . 1 1 29

N

SMITH , DAVID EUGENE. History of Matheroat i c s , Vol. Boston : Ginn and Co . , 19 2 5 .

AW = WGro e n l a n d i a - WE c u a d o r

1 46. 79

N

D e b e demo s t r ar s e

AMERICAN NATIONAL METRIC COUNCIL. Metric Editorial Guide . Washington : Bureau of Pub lication s ,

2 . 25 Deb e d e mo s t r a r s e

Fe

1 . 06 9 0 7

"

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2.27

E e i n en B T U ,

2 . 28

0 . 0 80 6 7

II.

WILLERDING, MARGARET F . A historical Approac� . Mathemat ical Concepts . Bastan : Prindle , Weber and Schmidt , Inc. 19 6 7 .

2 . 24

2 . 26

19 5 1 .

TAYLOR, JOHij. The i llustrated Encyciopedia of Techno logy. London : Marshal l Cavendish, Ltd . , 19 7 8 .

2 N

2 . 23 �

HOGBEN, LANCELOT . Mathematics for the Millions . New York : w. w . Morton and Company , In c . , JOHNSON , DONOVAN and WI LLIAM H . GLENN . The World of Measurement. S t . Louis : Webster Pub lishing Co. , 1 9 6 1 .

2.22

w luna

HALLIDAY, F . E . An I llustrated Cultural History o f Eng land. London : Thames and Hudson , Ltd . , 197-2.

SV e

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en lbm ' d en ft

en g r a d o s Ran k i n e

en pounda ls , s e n

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ft2 ,

V

en

ft ¡s

19 7 5 .

AMERI·CAN NATIONAL STANDARDS INSTITUTE. Standard for Metric Practice . Washington: Bureau of Publicacionts , 19 7 6 . NATIONAL COUNCIL O F TEACHERS OF MATHEMATICS . The Metric System of Weights and Meas ures . New York : Bureau of Pub lications , Teachers College. Columbia University, 19 4 8 . SECRETARIA DE PATRIMONIO Y FOMENTO INDUSTRIAL. Norma Oficial Mexi cana. Sistema General de Unidades de Medidas. Sistema Interancional de Unidades ( S I ) . �xico: Direcci6n General de Normas , 1 9 8 1 .