Preuniversitario Sur Austral
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Clase 7
Proporciones y porcentaje
El vocablo porcentaje significa “por cientos”, entonces, de alguna manera debe aparecer el número 100, representando una totalidad. Hablar en términos de porcentaje evita el uso de cantidades particulares, puesto que refiere a una parte del todo representado por el 100%. Por ejemplo, decir que en Chile el 49,26% de la población son hombres nos evita decir que de los 15.116.435 chilenos, 7.447.695 son hombres. (Fuente: INE Censo 2002). Es común encontrarse alguna vez en titulares de periódicos con información del siguiente tipo:
Es decir, el 15% de $60 es $9. En este caso nos encontramos bajo un formato en que siempre hay que dividir el % pedido por 100, lo que nos lleva a enunciar que todo porcentaje tiene como equivalencia un número decimal. A modo de ejemplo, en el caso anterior, se podría haber razonado que el 15% es equivalente al decimal
El pan subió un 3% O sea, por cada $100 que gastábamos en pan, ahora gastaremos $103. Entonces, para calcular el 15% de $60 bastaría multiplicar: La bencina bajó un 4% También es posible operar bajo el concepto de fracción, ya que el 15% es equivalente a la fracción: O sea, por cada $100 que gastábamos en bencina, ahora gastaremos solo $96. A continuación se indican distintas formas de cálculo de porcentaje; ellas obedecen a una aplicación de la proporcionalidad directa, en la que el todo, o punto de referencia, equivale al 100%. -P ri m e r c a s o : C a l c u l a r e l p % d e u n a ca n t i d a d q . Entonces, para calcular el 15% de $60 bastaría multiplicar: Sea x la cantidad que buscamos. Establecemos una proporción directa, donde el 100% es q y el p% es x (valor a calcular).
Aplicando proporciones, se tiene que:
Ejemplo 2: Calcular el 20% de 90. El 20% equivale a 1/5 del total, o sea la quinta parte de 90, resulta 90 • 1/5 = 18. - S e g u n d o c a s o : ¿ Qu é p o rc e n ta j e e s u n a c a n t id a d p , re s p e c t o d e o t ra c a n t id a d q ?
Donde, al despejar el valor de “x” se tiene:
Esta última relación puede manipularse para concluir que:
Planteando la proporción, se tiene:
Despejando x se tiene:
Ejemplo 1: Calcular el 15% de $60. Planteando la proporción, tenemos:
Esta relación nos permite establecer también que para calcular el % que representa p de q, es posible establecer la razón entre p y q y luego multiplicar por 100. Ejemplo: ¿Qué porcentaje es 12 de 60? Planteando la proporción se tiene:
De donde:
En conclusión, aumentar una cantidad en un 19%, significa multiplicar esa cantidad por 1,19, aumentar en un 5% es multiplicar por 1,05, etc. En general, aumentar una cantidad q en un p% es:
Luego: Observa que este caso también se pudo haber resuelto estableciendo que la razón entre 12 y 60 es:
-Disminución de un número en un cierto porcentaje: Ejemplo: Disminuir $63.000 en un 5%:
Decimal que equivale al 20%. Te r c e r c a s o : ¿ C u á l e s e l n ú me ro c u y o p % e s q ? Es decir, disminuir $63.000 en un 5%, significa multiplicar esa cantidad por 0,95. Planteando la proporción correspondiente, se tiene que: En general, disminuir una cantidad q en un p% es:
Al despejar “x” se logra, que: El a % de b es igual al b % de a. Ejemplo: El 20% de 70 es igual al 70% de 20.
Ejemplo: ¿Cuál es el número cuyo 15% es 6?
Comprobación:
Solución: Planteando la proporción se tiene: El 20% de 70 es: x = 14
El 70% de 20 es: Lo que implica que x = 14 - Au me n t o d e u n n ú me ro e n u n c i e r t o p o rc e n ta j e : Trataremos este tema a través del siguiente ejemplo: Ejemplo: Aumentar $7.500 en un 19%.
Por lo tanto, el 20% de 70 es igual al 70% de 20. En general: El a % de b es igual al b % de a. -El b% del c% del d% de a:
Ejemplo: El 15% del 12% del 9% del 4% de 3.000 es: i: tasa de interés compuesto , expresado en tanto por uno Ejemplo: Calcular el capital acumulado al cabo de 3 meses a una tasa de interés compuesto del 10% mensual sobre un capital inicial de $5.000. -Variación porcentual Capital acumulado al primer mes: Es la razón entre la diferencia del valor final (
) de una cantidad y su valor inicial (
)
Esta variación, expresada porcentualmente, es:
Capital acumulado al segundo mes: Capital acumulado al tercer mes: O bien:
Ejemplo: - P r o p o rc i o n a l i d a d C o m p u e s t a El IPC (Índice de Precios al Consumidor) del mes de febrero fue de un 1,2% y el de marzo del mismo año fue del 1,3%. Determine la variación porcentual.
Las situaciones problemáticas con más de dos cantidades o variables, corresponden a problemas de proporcionalidad compuesta. Veamos un par de ejemplos: 1. Un camionero recorrió 1.800 Km en 3 días, viajando 15 horas cada día. Su patrón quiere determinar cuántos días demorará en recorrer 4.500 Km, a razón de 18 horas diarias, viajando a la misma rapidez. Veamos cómo puede resolverlo.
La variación entre los períodos fue del 8,33%. Primero, ordenemos los datos en una tabla: - I n t e ré s s i m p l e
K: capital inicial, c: capital acumulado
t : períodos,
Distancia
días
Horas por día
1.800
3
15
4.500
x
18
+
-
i: tasa de interés simple, expresado en tanto por uno Ejemplo: Calcular el capital acumulado al cabo de tres meses, a una tasa de interés simple mensual del 10% , sobre un capital de $5.000 En este caso: k: $5000 t: 3 meses i : 10%/100= 0,1
Observa que en la parte inferior de la tabla hemos puesto un signo más y un signo menos. La idea consiste en que el análisis del tipo de proporcionalidad, debe hacerse para cada variable con datos conocidos, respecto de la variable en que se encuentra la incógnita. En este caso, los días de viaje son directamente proporcionales a la distancia recorrida por el camionero e inversamente proporcionales al número de horas diarias que viaja. Por lo tanto, la proporción queda así:
Entonces: C = 5.000 (1 + 3 · 0,1) C = $6.500. Al cabo de tres meses el capital será de $6.500. Es decir, al lado izquierdo del signo igual se anota la razón que contiene la incógnita, y al lado derecho, el producto de las razones correspondientes a las variables conocidas. Observa que la segunda razón aparece invertida, dado que es razón inversa.
- I n t e ré s C o m p u e s to :
Veamos el desarrollo de esta expresión K: capital inicial, c: capital acumulado
n: períodos,
2.
3. Luego, manteniendo el mismo ritmo, el camionero emplearía seis días y cuarto en cumplir con los 4.500 Km.
El 25% del 50% de un préstamo es $200.000. Entonces, el préstamo es por:
A la facultad de Ingeniería de cierta universidad ingresaron este año 340 hombres y 255 mujeres. ¿Cuál es la razón entre mujeres y hombres en los recién ingresados a esta facultad? ¿Qué indica dicha razón?
2. Otro caso típico de variación es el siguiente: “Si una persona (una máquina, etc.) hace un trabajo en x tiempo y otra persona hace el mismo trabajo en y tiempo, entonces, las dos personas realizaran el trabajo juntas en z tiempo.” En este caso la igualdad que se cumple es:
4.
El valor recíproco del trabajo conjunto es igual a la suma de los recíprocos de los trabajos individuales.
Esto es:
Exprese algebraicamente la proposición: “La raíz cuadrada de A es directamente proporcional a B e inversamente proporcional al cuadrado de C”. Calcule la constante de proporcionalidad si, cuando C = 3 y B = 4, el valor de A es 25.
5.
Calcular el valor numérico de x + y, si:
6.
Hallar tres números x, y, z, si x + y + z = 50 y x : y : z = 3 : 5 : 2.
Ejemplo: Una llave llena un estanque en 3 horas, y otra lo llena en 2 horas. Si se abren simultáneamente ambas llaves, ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque? Solución: Sea x el tiempo que el estanque demora en llenarse cuando se abren simultáneamente las dos llaves.
Entonces la igualdad a plantear es:
7. Resolviendo se tiene:
8.
Lo que equivale a 1 hora y 12 minutos (Recuerda: 0,2 horas es equivalente a 0,2 minutos x 60 = 12 minutos)
9.
La diferencia entre el peso de dos vehículos es 1.200 kilos y están en la razón 7 : 4. Calcule el peso de cada vehículo.
Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. ¿Cuántas horas demoran 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela?
Un objeto vale $n; si se vende con 80% de rebaja, entonces su precio de venta es:
Ejercicios.
1.
En la construcción de un edificio se necesitan 300 carpinteros. Si se contratan 240, ¿Qué % de vacantes queda por proveer?
10. Un cine tiene 400 butacas y se vende el 70% de ellas. ¿Qué número de butacas desocupadas queda en esa función?
11. Tres obreros, trabajando 8 horas diarias, han completado 80 metros de una faena, en un plazo de 10 días. El jefe de obra requiere calcular el número de días que necesitaría para hacer 60 metros de la misma faena con dos obreros más, trabajando sólo 6 horas por día.