Segeln Gegen Den Wind

Warum ein Segelschiff „gegen den Wind“ segeln kann Inhaltsverzeichnis Einleitung: S. 3 Hauptteil: 1.

Erklärung der verschiedenen Kurse zum Wind

1.1

S. 4-5:

Die verschiedenen Kurse zum Wind

1.2

S. 5-6:

Wahrer und scheinbarer Wind

1.3

S. 6-7:

Die Kurse zum Wind

2.

Die Antriebskräfte

2.1

S. 8:

Antrieb durch Widerstand

2.2

S. 8-10:

Antrieb durch Auftrieb

2.3

S. 10-11:

Die Querkraft

2.4

S. 11-14:

Rechenbeispiele zur Verdeutlichung der Wirkung der Kräfte

2.5

S. 14-15:

Der Anstellwinkel des Groß- und Vorsegels

3.

Polardiagramme

3.1

S. 16:

4.

Die verschiedenen Kurse von Stavoren nach Medemblik

4.1

S. 17-18:

Polardiagramme und deren Bedeutung Berechnungen der Kurse von Stavoren nach Medemblik, in

Bezugnahme auf das Polardiagramm für einen Regattasegler und eines Fahrtenseglers

Literaturverzeichnis: S.19 Bild- und Materialnachweis: S.19 Selbstständigkeitserklärung: S. 20

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Einleitung In meiner Facharbeit werde ich mich, wie schon erwähnt, mit dem Thema beschäftigen, warum und vor allem wie ein Segelboot gegen den Wind segeln kann. Ich werde Berechnungen durchführen und erklären warum es überhaupt eine Art der Fortbewegung namens „SEGELN“ gibt. Da ich selbst schon von Kindheit auf segele, ist mir die Hauptthematik bekannt, welche Kurse zum Wind es gibt, wie man die Segelstellung auf diesen Kursen am Besten wählt etc. Doch die Frage, warum das Boot nicht einfach nur platt auf die Seite gedrückt wird, oder abtreibt ohne einen Vortrieb zu erlangen, war mit meinem Kenntnisstand keineswegs zu beantworten. Um all diese Frage beantworten zu können, musste ich mich erst mit dem „WIE?“ beschäftigen, denn weiß man erst einmal auf welche Art und Weise sich das Segelboot fortbewegt und wie es sich im Wind verhält, kann man sich auch langsam mit dem „WARUM?“ beschäftigen. Durch lange Gespräche mit meinem Vater, der durch sein Ingenieur Studium mit vielen Rechenwegen, die auch auf das Thema Segeln bezogen werden können, vertraut ist, fing ich an das Geheimnis um das „Warum?“ zu lüften. Stöbern in Fachliteratur brachte nach und nach allerhand verwertbares und auch unbrauchbares zusammen, was erst einmal auseinander sortiert werden musste. Da die physikalische Thematik, warum ein Segelboot überhaupt segelt, sehr kompliziert und umfangreich ist, habe ich die meiner Ansicht nach wichtigsten und verständlichsten Dinge heraus gesucht und versucht es so gut wie möglich zu erläutern. Nach und nach fügte sich dann ein (hoffentlich) komplettes „Darum!“ Puzzle zusammen, welches in vollendeter Form im nächsten Teil folgt.

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1. Erklärung der verschiedenen Kurse zum Wind 1.1 Die verschiedenen Kurse zum Wind Die Kurse zum Wind setzten sich aus den verschiedenen Winkeln, die ein Segelboot zum Wind segeln kann zusammen. So gibt es für jedes Segelboot einen unterschiedlich großen Sektor in dem es nicht mehr voran kommt und mit killenden (schlagenden) Segeln im Wind steht. Liegt es mit dem Bug (Spitze des Bootes) genau im Wind kann es sogar rückwärts treiben. Man unterscheidet die verschiedenen Klassen der Segelbooten grob in: Fahrten- und Regattayachten. Fahrtenyachten sind meistens schwerer, da größerer Wert auf den Segelkomfort gelegt wird, als auf das Spartanische, das die Leichtigkeit der Regattayachten ausmacht. Auf dem nebenstehenden Schema ist erklärt, wie sich das Boot auf den verschiedenen Kursen zum Wind verhält und welche Kurse es segeln kann. So können Yachten, um ihren besten Weg nach Luv zu fahren bis zu

45°

an

den

wahren

Wind

herangehen, während sie, um die größtmögliche Höhe zu laufen, bis etwa 38° Höhe laufen können. Also gibt es einen toten Bereich von ca. 90° - jeweils 45° rechts und links der Windrichtung - der von einem Boot unter Segeln nicht direkt befahren werden kann. Außerdem werden hier Kurse dargestellt, bei dem das Boot am Wind, mit Wind von der Seite, mit Wind von schräg achtern (hinten) oder auch ganz von hinten segelt. Für jeden Kurs ist ein ungefährer Winkel zum Wind vorgegeben der jedoch auch stark variieren kann. Denn diese Angaben sind von Boot zu Boot unterschiedlich und auch in jeder Quelle findet man andere Angaben zu diesem Thema. Doch speziell auf die Zeichnung bezogen, kann man die oben genannten Werte als korrekt bezeichnen.

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Höhe laufen ist ein Segelfachbegriff, der den Zustand beschreibt, in dem ein Schiff sich gegen die Windrichtung bewegt. Zwischen diesem nicht „besegelbaren“ Bereich und dem Segeln „platt vorm Laken“, das heißt der Wind kommt genau von hinten, liegen mehrere Kurse, die jeweils eine andere Segelstellung erfordern. Gesegelt wird mit dem scheinbaren Wind, der sich aus dem wahren Wind und dem Fahrtwind zusammensetzt.

1.2 Wahrer und scheinbarer Wind Als wahren Wind bezeichnet man den tatsächlich wehenden Wind, dessen Richtung und Stärke (Geschwindigkeit) man nur an einem festen Punkt feststellen oder messen kann. Man kann Richtung und Stärke also auf einem Boot nur solange feststellen, wie es am Steg oder vor Anker liegt. Nimmt es aber Fahrt auf, werden Richtung und Stärke des wahren Windes durch den Fahrtwind beeinflusst. Der wahre Wind wird zum scheinbaren Wind. Nur dieser ist an Bord für den Segler spürbar und maßgeblich für die Kurse. Um den scheinbaren Wind rechnerisch zu ermitteln wird ein Kräfteparallelogramm aufgestellt. Je schneller ein Boot segelt, umso stärker wird der Fahrtwind und umso mehr weicht die Richtung des scheinbaren Windes von der des wahren Windes ab.

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Auswirkungen des Fahrtwindes

Beim „Am- WindKurs“ fällt der scheinbare Wind, im Gegensatz zu den anderen Kursen, am meisten von vorne ein und weht wesentlich stärker als der wahre Wind.

Beim „Halb- WindKurs“ wird der scheinbare Wind deutlich schwächer, er fällt zwar immer noch weiter von vorne ein als der wahre Wind, erreicht aber nicht dessen Stärke.

Beim „Vor- WindKurs“ fallen wahrer und scheinbarer Wind zusammen, man erhält auf diesem Kurs das Gefühl, fast gänzlich ohne Wind zu segeln.

1.3 Die Kurse zum Wind und die entsprechende Segelstellung Segelt ein Boot auf dem „Hoch-Am-Wind-Kurs“, so bedeutet es, dass das Boot seine maximale Höhe zum Wind läuft. Der Winkel zwischen Kurs und einfallendem Wind ist am kleinsten, die Fahrt die das Boot macht, ist aber auch nur gering. Um diesen Kurs segeln zu können, müssen alle Segel so dicht wie möglich geholt werden. „Voll und bei“ ist ein „Am-Wind-Kurs“, auf dem das Boot nicht mehr größtmögliche Höhe läuft, aber schneller segelt. Das heißt, das Boot segelt seine optimale Höhe oder segelt den besten Kurs nach Luv (der dem Wind zugewandten Seite des Bootes). Auch bei diesem Kurs, der immer noch hoch am Wind liegt, müssen die Segel dicht im Boot gesegelt werden, jedoch nicht ganz so stark wie beim 5

„Hoch-Am-Wind-Kurs“, da man eine kleine Andeutung von Bauchigkeit im Segel erkennen sollte. Auf dem „Halb-Wind-Kurs“ segelt man mit dem, von querab einfallenden, scheinbaren Wind und nicht etwa in einem Winkel von 90° zum wahren Wind. Dies ist bei den meisten Booten der schnellste Kurs der gesegelt werden kann. Segelt man mit halbem Wind, so ist zu beachten, dass die Segel „halb drinnen, halb draußen“ gesegelt werden, das heißt etwa 45° zur Schiffslängsachse. Der Raume Wind weht in dem Sektor zwischen

halbem

und

genau

achterlichem Wind. Das Segeln in diesem Bereich wird als „RaumschotsKurs“ bezeichnet. Raum nennt man allgemein auch alle Kurse die zwischen „am Wind“ und „vorm Wind“ liegen. Um die größtmögliche Geschwindigkeit auf diesem Kurs aus dem Boot heraus zu holen, werden die Segel nahezu ganz offen gesegelt, um den von achtern kommenden Wind am Besten mit dem nun bauchigen, offenen Segel auszunutzen. Vor dem Wind segeln bedeutet, dass der Wind von genau achteraus kommt. Dieser Kurs ist spiegelgleich für Steuerbord- und Backbord-Bug, es spielt also keine Rolle auf welcher Seite die Segel stehen. Besonders beliebt, aber auch nicht ganz ungefährlich, ist es auf diesem Kurs, ein Segel an Backbord und eins an Steuerbord stehen zu haben. So kann man die Kraft des Windes besser nutzen, da das Vorsegel nicht vom Großsegel verdeckt wird. Diese Art der Segelstellung nennt man „Schmetterling“.

6

2. Die Antriebskräfte 2.1 Antrieb durch Widerstand Es ist allgemein bekannt, dass Rückenwind schiebt. Genau nach diesem Prinzip segelt auch ein Segelboot bei „Vor-Wind-Kurs“ und teilweise auch bei „Raumschots-Kurs“. Die Segel setzen dem Wind einen Widerstand entgegen, dadurch wird die Luftströmung abgebremst und unterbrochen.

Je

größer

die

Angriffsfläche (das Segel) ist, umso mehr Luftmasse wird abgebremst und umso größer ist der Schub der das Boot vorantreibt. Mit einer hohlen Halbkugel würde man den meisten Schub, welcher gleichbedeutend mit Vortrieb ist, erzeugen. Deshalb gibt es spezielle „VorWind-Segel“, die Spinnaker, die annähernd halbkugelförmig geschnitten sind. Bei Kursen, auf denen Vortrieb durch Widerstand erzeugt wird, sind die Segel umso wirksamer je bauchiger sie geschnitten sind.

2.2 Antrieb durch Auftrieb Beim Segeln im „Am-Wind-Bereich“ entsteht der Vortrieb auf eine andere Art und Weise. Hier erzeugt nicht das bauchige Segel den Widerstand, sondern ein flaches,

als

aerodynamisches

Profil

geschnittenes

Segel

bewirkt

eine

störungsfreie Ablenkung des Windes. Die Luftströmung wird hierbei gleichzeitig in Luv (Windzugewandte Seite) verzögert und in Lee (Windabgewandte Seite) beschleunigt. In Luv entsteht ein Überdruck und durch die Beschleunigung der Luftströmung ein deutlich größerer Unterdruck in Lee. Diese beiden Kräfte wirken zusammen als Gesamtkraft in die gleiche Richtung, nahezu senkrecht zur Richtung des einfallenden Windes.

7

Die Segel arbeiten nach demselben Prinzip wie die Tragflächen eines Flugzeuges. Auch bei den Tragflächen entsteht durch die Wölbung an der oberen Seite ein unterschiedliches Druckverhältnis zwischen oben und unten. Da die Luft an der unteren, geraden Seite einen kürzeren Weg zurücklegt und langsamer wird, steigt der Druck. Die Luft auf der oberen, gewölbten Seite muss eine längere Strecke zurücklegen, muss sich also „beeilen“ um gleichzeitig mit der Luftströmung der Unterseite am Ende anzukommen. Das hat zur Folge, dass der Druck auf dieser Seite der Tragfläche geringer ist. Dieser Druckunterschied bewirkt, dass der Tragflügel nach oben gedrückt wird. Der Begriff „Auftrieb“, der nicht mit Vortrieb gleichzusetzen ist, stammt auch aus der Aerodynamik. Der Wind liefert dem Boot keinen nach vorn gerichteten Vortrieb, sondern nur einen quer zur Windrichtung orientierten Auftrieb. Nur das Boot selbst kann durch seinen, aus Schwert oder Kiel und Unterwasserschiff gebildeten, Lateralwiderstand einen Teil der quergerichteten Gesamtkraft des Auftriebs in Vortrieb umwandeln. „Bernoullische Gleichung, wurde 1738 von Daniel Bernoulli aufgestellt, zur Berechnung stationärer Strömung inkompressibler, reibungsfreier Flüssigkeiten und Gase. Nach Bernoulli ist (ohne Berücksichtigung der Schwerkraft) die Summe aus dem statischen Druck p und dem dynamischen Staudruck ρV 2 eine Konstante: 2 p+

1 ρV 2 = const. 2

( ρ = Dichte, V= Geschwindigkeit des strömenden Stoffes). Daher ist der statische Druck umso kleiner, je größer die Geschwindigkeit ist, was zum dynamischen Auftrieb führt.“ [Text aus Quelle 5]

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punten +

1 1 2 2 ρVunten = p oben + ρVoben 2 2

punten − poben =

1 1 2 2 ρVoben − ρVunten 2 2

punten − p oben =

1 2 2 ρ Voben − Vunten 2

(

)

p unten bezeichnet den Druck, V unten die Geschwindigkeit der Strömung unterhalb der dargestellten Tragfläche. p oben bezeichnet den Druck, V oben die Geschwindigkeit der Strömung oberhalb der Tragfläche. An den Strömungslinien kann man erkennen, dass die oberen einen längeren Weg zurücklegen und somit schneller sein müssen, als die an der unteren Seite. Setzt man die unterschiedlichen Geschwindigkeiten in die Gleichung ein, so erkennt man, dass der Druck an der Oberseite des Tragflügels kleiner ist und dieser so nach oben gesaugt wird. Anhand dieser Gleichung kann man beweisen, dass es ein Druckgefälle zwischen Ober- und Unterseite, bzw. Vorder- und Hinterseite des Segels, gibt.

2.3 Die Querkraft Man kann die vom Wind auf das Boot gerichtete Gesamtkraft mit einem Kräfteparallelogramm in Querkraft und Vortrieb zerlegen, dadurch wird deutlich, wie gering der gewonnene Vortrieb ist.

Die

Querkraft

bewirkt

die

Krängung des Bootes und die seitliche

Abdrift

(seitliche

Versetzung des Bootes). Auf dem „Am-Wind-Kurs“ ist das Verhältnis am ungünstigsten, da die meiste Windenergie in Krängung (Schräglage des Bootes, verursacht durch 9

falsche Segelstellung, -wahl und von Kurs und Art des Bootes abhängig) und Abdrift umgesetzt wird. Die Krängung und Abdrift nimmt auf raumeren Kursen ab, da auch der Anteil an Querkraft geringer wird, während der Vortrieb entsprechend wächst. Das ist der Grund warum der „Raumschots-Kurs“, je nach Bootstyp einer der schnellsten zu segelnden Kurse ist.

2.4 Rechenbeispiele zur Verdeutlichung der Wirkung der Kräfte „Halb-Wind-Kurs“ Diese schematische Zeichnung verdeutlicht die Segeleigenschaften eines Bootes auf „Halb-Wind-Kurs“. Die Auftriebskraft(rot) steht idealisiert senkrecht zur Segelsehne, hier soll diese Kraft 100 sein. Will man nun die Vortriebskraft berechnen, nimmt man den Winkel der Segelöffnung, überträgt ihn auf das Kräfteparallelogramm und kann jetzt mit Hilfe von sinus und cosinus die fehlenden Werte errechnen. Wie man gut erkennen kann, sind Vortriebs- und Verlustkraft relativ ähnlich, das erklärt auch, warum der „Halb-Wind-Kurs“ der schnellste zu segelnde Kurs ist. Alle diese Berechnungen sind ohne Berücksichtigung von Schiffs- und Segeltyp, Wellen- und Strömungsverhältnissen und anderer äußerer Einflüsse gemacht worden. Außerdem bildet der Kiel oder das Schwert unter Wasser die hydrodynamische Gegenkraft zur aerodynamischen Kraft der Segel, um die Abdrift so gering wie möglich zu halten.

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Berechnung zur Vortriebskraft: α = Winkel zwischen Segelsehne und Längsachse Ankathete Hypotenuse Hypotenuse = Auftriebskraft = 100 cos α = 50° Ankathete = cos α ⋅ Hypotenuse Ankathete = cos 50 ⋅ 100 Ankathete = Vortriebskraft = 64,28 cos α =

Berechnung zur Verlustkraft: Gegenkathete Hypotenuse Hypotenuse = Auftriebskraft = 100 sin α = 50° Gegenkathete = sin α ⋅ Hypotenuse Gegenkathete = sin 50 ⋅ 100 Gegenkathete = Verlustkraft = 76,6 sin α =

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„Hoch-Am-Wind-Kurs“ In dieser Darstellung befindet sich ein Segelboot auf einem „Hoch-Am-Wind-Kurs“. Auch hier beträgt die Größe der angenommenen Auftriebskraft 100. Geändert hat sich der Winkel der Segelöffnung und so auch die des Kräfteparallelogramms. Die Vortriebskraft nimmt im Gegensatz zur Verlustkraft deutlich ab.

Berechnung zur Vortriebskraft: Ankathete Hypotenuse Hypotenuse = Auftriebskraft = 100 cos α = 80° Ankathete = cos α ⋅ Hypotenuse Ankathete = cos 80 ⋅ 100 Ankathete = Vortriebskraft = 17,36 cos α =

12

Berechnung zur Verlustkraft: Gegenkathete Hypotenuse Hypotenuse = Auftriebskraft = 100 sin α = 70 Gegenkathete = sin α ⋅ Hypotenuse Gegenkathete = sin 70 ⋅ 100 Gegenkathete = Verlustkraft = 93,97 sin α =

„Im-Wind“ Auch hier steht, wie angenommen, die Auftriebskraft senkrecht auf der Segelsehne, und obwohl der Baum mittschiffs, und so parallel zur Schiffslängsachse, steht und das Segel immer noch angeströmt wird, entsteht keine Vortriebskraft, sondern nur Verlustkraft die gleich der Auftriebskraft ist. So ist zu erklären, warum es einen Bereich gibt, indem man nicht segeln kann.

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2.5 Der Anstellwinkel des Groß- und Vorsegels Betrachtet man die Flugzeugtragfläche, wird deutlich wie wichtig die richtige Anströmung und der richtige Anstellwinkel des Segels beim Am-Wind-Kurs ist. Man hat den optimalen Anstellwinkel dann erreicht, wenn das Segel im unteren Drittel am Vorliek (vordere Kante des Segels) gerade noch nicht killt, das heißt, nicht flattert. Hat man das Großsegel zu dicht geholt, reißt die Luftströmung in Lee ab. Es kommt zu Verwirbelungen, das Druckgefälle zwischen der Luv- und Leeseite baut sich ab, das Boot läuft nicht mehr. Ist das Großsegel zu weit geöffnet, steht es weitgehend parallel zur Luftströmung. Es entsteht kaum oder gar kein Druckgefälle zwischen Luv und Lee und somit kein Auftrieb, der in Vortrieb umgewandelt werden kann. Der Wind streicht also wirkungslos an der Segelfläche vorbei. Ähnlich ist es beim Zusammenspiel zwischen Groß- und Vorsegel. Wenn die Luft ungestört zwischen beiden Segeln hindurch streichen kann, wird sie durch den so genannten Düseneffekt beschleunigt. Dadurch wird der Unterdruck in Lee des Großsegels erhöht und der Auftrieb, und so der Vortrieb, verstärkt. Segelt man das Vorsegel zu dicht, reißt die Luftströmung ab. Der Abwind des Vorsegels wird gegen das Großsegel gelenkt und wirkt hier bremsend.

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3. Polardiagramme 3.1 Polardiagramme und deren Bedeutung Polardiagramme entstehen aus Berechnungen, wie der Wind auf verschiedenen Kursen auf unterschiedliche Schiffe wirkt. Als

Beispiel

für

eine

Regattataugliche

Rennyacht dient z.B. das Polardiagramm einer „Luffe 43“, einem erfolgreichen IMS Kreuzer, der bei einer Windstärke von 12 Knoten, einer Wellenhöhe von 0,1 bis 0,2 Meter und mit einer Gesamtsegelfläche von ca. 85 qm getestet wird. Man kann auf diesem Diagramm deutlich den Speed des Bootes auf den Kursen, „Hart-am-Wind“, „Am-Wind“, „Halber-Wind“, „Raumschots“ und „Vorm-Wind“ erkennen. So segelt die „Luffe“ auf dem „Halb-Wind-Kurs“ mit ca. 7,3kn am schnellsten. Als Beispiel für einen Fahrtensegler dient bei diesem Polardiagramm eine „Artic 39“, ein konsequentes Langfahrtenschiff. Die

Berechnungen

werden

bei

einer

Windstärke von etwa 10 bis 12 Knoten (=3 bis 4 Beaufort), einer Wellenhöhe von 0,3 bis 0,4m und einer Gesamtsegelfläche von etwa 69,3qm durchgeführt. Auch bei diesem Diagramm kann man den Speed des Bootes auf allen vier Kursen anhand der Kurve ablesen. Die „Artic“ segelt auf einem „Halb-Wind-Kurs“ am schnellsten, mit einer Geschwindigkeit von ca. 7,5kn. Verfolgt man den Verlauf der Kurve, kann man für jeden einzelnen Kurs bestimmen wie schnell das Boot segeln würde. 15

4. Die verschiedenen Kurse von Stavoren nach Medemblik 4.1 Berechnung der Kurse von Stavoren nach Medemblik, in Bezugnahme auf das Polardiagramm eines Regattaseglers und eines Fahrtenseglers Um Berechnungen dieser Art durchführen zu können, benötigt man folgende Faustformel: Zeit (h) =

Strecke( sm) Geschwindigkeit ( sm / h)

In die Seekarte wird nun der vorher bestimmte Kurs eingetragen. Jede einzelne Strecke wird mit dem Zirkel abgetragen und gemessen. Die Geschwindigkeit des jeweiligen Bootes auf dem zu bestimmenden Kurs kann mit Hilfe des Polardiagramms leicht bestimmt werden. Man sucht sich den Kurs mit der entsprechenden Winkelangabe und liest an der Kurve die zu erwartende Geschwindigkeit ab. Nach diesem Schema kann man jetzt für beide Segelboote die Zeit bestimmen, die sie aller Wahrscheinlichkeit nach für die vorgegebene Strecke benötigen. Diese errechneten Werte sind in dieser Tabelle zusammengestellt.

Artic

Luffe

Schiffsge-

Schiffsge-

Kurs zum Gesegelte schwindigkeit Wind

Meilen

30°

12,7

40°

15,2

4,5

50°

16,9

60°

21,8

[kn]

schwindigkeit Zeit [h]

[kn]

Zeit [h]

4,3

2,95

3,38

5,6

2,71

6,3

2,68

6,4

2,64

7

3,11

6,6

3,30

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An folgendem Graphen lässt sich feststellen, welcher Kurs für die „Luffe“ und welcher für die „Artic“ der schnellste Kurs ist. Hierbei ist zu beachten, dass der schnellste Kurs nicht unbedingt der Kurs mit der

Zeit

größten Höhe sein muss.

3,5 3,4 3,3 3,2 3,1 3 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5

Artic Luffe

30

40

50

Kurs zum Wind

Kreuzkurse von Luffe und Artic:

17

60

Literaturverzeichnis [1]

Palstek Internet, www.palstek.de

[2]

Overschmidt Gliewe, Sportbootführerschein Binnen Segel Motor,10. Auflage Bielefeld Delius Klasing, 2000

[3]

Mark Chisnell, Segeltrimm für Fahrtenjachten, 1. Auflage 2000, Delius Klasing, Bielefeld

[4]

Joachim Schult, Segeltechnik leicht gemacht, 10. Auflage, Delius Klasing, Bielefeld

[5]

Meyers Grosses Taschenlexikon in 24 Bänden, Band 3, 4. Auflage 1992

[6]

Marchaj, Aerodynamik und Hydrodynamik des Segelns, 2. Auflage 1991, Delius Klasing, Bielefeld

[7]

www.bernd-blumenhardt.de/die_kurse_zum_wind.htm

[8]

www.multihull.de/down/100kmh.pdf

[9]

www.schiffbau.fh-kiel.de/IfS_FH_Kiel_YR_Topas_de.html

[10] www.tat.physik.uni-tuebingen.de/~elster/prak/node17.html [11] iva.uni-ulm.de/physik/VORLESUNG/FLUIDEMEDIEN/node27.html

Bild- und Materialnachweis S. 3 : Bild aus Quelle [2] S. 5 : Bilder aus Quelle [2] S. 6 : Bilder aus Quelle [7] S. 7 : Bild aus Quelle [2] S. 8 : Bild aus Quelle [6], Text und Formel aus Quelle [5] S. 9 : Bild aus Quelle [2], Formel aus Quelle [6] S. 15 : Bild aus Quelle [1]

1. www.palstek.de/pdf-files/luf.pdf 2. www.palstek.de/pdf-files/02_4arc.pdf

S. 16 : Formel aus Quelle [9]

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