Scomposizione Di Un Polinomio In Fattori

Scomposizione di un polinomio in fattori Una operazione che ha molta importanza in algebra, per le sue applicazioni, è la scomposizione di un polinomio in fattori, cioè la trasformazione di una somma algebrica di monomi in un prodotto. Non sempre questa scomposizione è possibile, né si può possono dare regole generali atte allo scopo. Raccoglimento a fattore comune La più semplice operazione di scomposizione di un polinomio in fattori è quello di METTERE IN EVIDENZA I FATTORI COMUNI ( o meglio il MCD di singoli termini del polinomio) 9 a2 - 6 ab + 3ac = 3a ( 3a - 2 b + c) Raccoglimento a fattore comune parziale Se il polinomio è del tipo ax + bx + ay + by si può mettere in evidenza, nei primi due termini, il fattore comune x e, negli ultimi due termini, il fattore comune y ax + bx + ay + by

= x ( a + b) + y ( a + b)

mettendo ora in evidenza il fattore ( a + b) ax + bx + ay + by

avremo

= x (a + b) + y (a + b) =

esempio: xy - x + 2y -2 =

x (y -1)

( a + b) (x + y)

+ 2 ( y - 1) = ( x + 2 ) ( y -1)

Scomposizione di polinomi in fattori mediante le regole sui prodotti notevoli 1) Un trinomio formato dalla somma dei quadrati di due monomi aumentata del doppio del loro prodotto è uguale al QUADRATO DELLA SOMMA DEI DUE MONOMI Esempio :

16 a2 + b2 + 8ab = ( +4a ) 2

+ ( +b ) 2 + 2 ( + 4a) ( +b) = ( 4a + b )2

2) Un polinomio formato dalla somma dei quadrati di 3 monomi aumentata del doppio prodotto di ciascun monomio per ognuno dei seguenti è uguale al QUADRATO DEL POLINOMIO SOMMA DEI 3 MONOMI Esempio a2 + 9 b2 + 4 c2 - 6ab - 4 ac + 12 bc = ( a - 3 b - 2 c ) 2 3) la differenza dei quadrati di due monomi è uguale al PRODOTTO DELLA SOMMA DELLE BASI PER LA LORO DIFFERENZA. Esempio 25 x2 - 49 = ( 5x) 2 - 7 2 = ( 5x + 7) ( 5x - 7) 4) Un quadrinomio formato dalla somma di due cubi e dei tripli prodotti del quadrato di una base per l’altra base è UGUALE AL CUBO DELLA SOMMA DELLE BASI. Esempio 8x3 + 36x 2 + 54x + 27 = ( 2x ) 3 + 3( 2x ) 2 *3 + 3 ( 2x) *( 3) 2 + 33 = (2x +3) 3

Somma o differenza di due cubi La somma di due cubi è UGUALE AL PRODOTTO DELLA SOMMA DELLE BASI PER IL TRINOMIO FORMATO DAL QUADRATO DELLA PRIMA BASE , MENO IL PRODOTTO DELLE BASI, PIU’ IL QUADRATO DELLA SECONDA BASE a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2) La differenza di due cubi è UGUALE AL PRODOTTO DELLA DIFFERENZA DELLE BASI PER IL TRINOMIO FORMATO DAL QUADRATO DELLA PRIMA BASE , PIU’ IL PRODOTTO DELLE BASI, PIU’ IL QUADRATO DELLA SECONDA BASE a3 - b3 = ( a + b ) ( a2 + ab + b2) Scomposizione del trinomio di 2° grado x2 + ( a + b) x + ab = x2 + ax + bx + ab = x( x + a) + b( x +a) = ( x + a) ( x +b) esempio x2 + 5 x + 6 = x2 + 3x + 2x + 2*3 = x( x + 3) + 2( x +3) = ( x + 2) ( x + 3) Scomposizione mediante la regola di Ruffini Usando il criterio di divisibilità di P (x) per (x –a) e applicando al regola di ruffini si può scomporre un polinomio nella variabile x in fattori tutti o in parte, di 1 ° grado. Esempio: scomporre il polinomio x4 – x3 + 3x2 -5x -10 P(x) si annulla per x = -1 e x = 2 P( -1) = 1 + 1 + 3 +5 -10 = 0

P ( 2) = 16 - 8 + 12 -10 -10 = 0

x4 – x3 + 3x2 -5x -10 = (x3 –2x2 + 5x -10 )( x +1) = (x2+5) ( x -2) ( x+1)

Per trovare il MCD di due o più polinomi, decomposti in fattori irriducibili, si fa il prodotto dei fattori comuni, presi una sola volta col minimo esponente Per trovare il mcm di due o più polinomi, decomposti in fattori irriducibili, si fa il prodotto dei fattori comuni e non comuni, presi una sola volta col massimo esponente Esempio Dati i polinomi 3 x4 – 3x2 ;

9 x2 +18x + 9 ;

6x3 + 6 x2

Scomponendo i polinomi in fattori 3 x4 – 3x2 = 3x2 ( x2– 1) = 3x2 ( x + 1)( x - 1) 2 9 x +18x + 9 = 9 ( x2 +2x + 1) = 9 ( x +1)2 6x3 + 6 x2 = 6 x2 (x + 1) I fattori ottenuti sono tutti irriducibili e si può calcolare il MCD dei polinomi dati che risulta essere 3 ( x +1) e il mcm che è 18 ( x +1)2 ( x - 1) Dati i polinomi 2 x3 – 16 ; 2 x3 – 16 = 2 ( x3 – 8)

x3 - x2 - 4x + 4 ;

x3 + 2x2 - 4x - 8

= 2 ( x - 2) ( x2 + 2x + 4)

Ricordando che la differenza di due cubi è UGUALE AL PRODOTTO DELLA DIFFERENZA DELLE BASI PER IL TRINOMIO FORMATO DAL QUADRATO DELLA PRIMA BASE , PIU’ IL PRODOTTO DELLE BASI, PIU’ IL QUADRATO DELLA SECONDA BASE a3 - b3 = ( a + b ) ( a2 + ab + b2)

x3 - x2 - 4x + 4 = x2 (x - 1) - 4 (x - 1) =

( x2 - 4) ( x-1) = ( x+2) ( x-2) ( x -1)

infatti ( x2 - 4) = ( x+2) ( x-2) ricordando che la differenza dei quadrati di due monomi è uguale al PRODOTTO DELLA SOMMA DELLE BASI PER LA LORO DIFFERENZA. Esempio 25 x2 - 49 = ( 5x) 2 - 7 2 = ( 5x + 7) ( 5x - 7)

x3 + 2x2 - 4x - 8 = x2 (x + 2) - 4( x +2) = (x2 -4 )( x+2) = ( x -2)( x +2)( x+2) = ( x -2) ( x +2)2 MCD è ( x - 2 ) mcm

è 2( x2 + 2x + 4) ( x-1) ( x -2) ( x +2)2