Rezmires D., (2003), Theoretical And Experimental Research Regarding The Dynamics Of Spherical Roller Bearings, Phd. Thesis, (http://daniel-rezmires.tripod.com)

UNIVERSITATEA TEHNICA “GH. ASACHI” - IASI FACULTATEA DE MECANICA

ing. Rezmire Gh. Daniel

TEZA DE DOCTORAT Cercetari teoretice si experimentale privind dinamica rulmentilor radial oscilanti cu role butoi

Conducator stiintific Prof. dr. ing. Spiridon CRETU

IASI 2003

[email protected]

„In orice faci trebuie s! întrevezi finalitatea ac"iunii”

Doresc s! adresez cele mai alese mul"umiri conduc!torului tiin"ific, domnului prof. dr. ing. Spiridon Cre"u, pentru rigurozitatea tiin"ific! cu care m-a îndrumat pe parcursul elabor!rii modelelor de calcul cuprinse în aceast! tez!. Mul"umesc în mod deosebit pentru c! mi-a acordat posibilitatea de a gândi liber. In egal! m!sur! transmit mul"umiri colectivului catedrei Organe de Ma ini din cadrul Facult!"ii de Mecanic! în deosebi domnilor profesori Dumitru Olaru, Bercea Ioan, Bercea Mihai, Prisacaru Gheorghe, Carmen Bujoreanu, Racocea Cezar i Barbu Dr!gan pentru sprijinul acordat în elaborarea tezei. Mul"umesc deasemenea domnului profesor Daniel Nelias de la INSA de Lyon pentru sprijinul acordat în elaborarea algoritmilor de calcul cuprin i în programul BB20 i pentru faptul c! m-a înv!"at cum se elaboreaz! o lucrare destin! unei companii str!ine. Doresc s! mul"umesc departamentului de metod! de la SNECMA pentru încrederea acordat! în elaborarea metodelor de calcul ce au f!cut subiectul conven"iei de stagiu desf! urate în 2002 i pentru flexibilitatea în gândire de care au dat dovad!. Totodat! doresc s! adresez mul"umiri domnilor Luc Houpert i T. Hauswald de la compania Timken Colmar unde am reu it s! m! familiarizez cu metodele de calcul destinate analizei sistemelor de rulmen"i i a program!rii orientate pe obiecte. Transmit de asemenea recuno tin"! p!rin"ilor i familiei mele pentru în"elegerea i r!bdarea de care au dat dovad! pe parcursul anilor în care am urmat cursurile universitare i am efectuat stagiile de preg!tire la INSA de Lyon i la Timken Colmar.

CUPRINS

Nota ii ________________________________________________________________________________________ 5 Capitolul 1. Introducere Scop !i metod" de analiz". ____________________________________________________ 9 1. Stadiul actual al cercet"rilor în domeniul analizei rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi _________________ 10 1.1. Etape în evolu ia constructiv" a rulmen ilor radial oscilan i cu role.__________________________________ 10 1.2. Metode pentru descrierea parametrilor cinematici ai unui rulment. __________________________________ 13 1.3. Modele de analiz" a parametrilor cvasi-statici, aplicabile rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi__________ 17 1.4. Modele de analiz" ale contactelor non-hertziene_________________________________________________ 19 1.5. Modele de calcul pentru parametrii lubrifian ilor !i parametrii cvasi-dinamici. _________________________ 20 1.6. Comportarea cvasi-dinamic" a rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi ______________________________ 28 1.7. Obiective ale tezei. _______________________________________________________________________ 28 1.8. Direc ii de cercetare_______________________________________________________________________ 28 Capitolul 2. Contribuţii privind modelarea geometriei rulmenţilor radial oscilanţi cu role butoi _________________ 30 2. Modelarea geometriei rulmenţilor. _____________________________________________________________ 31 2.1. Modelarea orientat" pe obiecte (OOP) a geometriei rulmenţilor. ____________________________________ 2.1.1. Rulmentul - structur" OOP. Arhitectura structurii. ____________________________________________ 2.1.2. Structuri derivabile din clasa SRB.________________________________________________________ 2.1.3. Rola butoi – element de baz" al structurii SRB. ______________________________________________ 2.1.4. Metodele structurilor SRB. ______________________________________________________________

31 31 32 33 35

2.2. Interacţiunea geometric" rol"-colivie _________________________________________________________ 37 2.3. Componentele „joc radial” între o colivie !i elementele unei structuri SRB- SRB _______________________ 38 2.4. Definirea jocului în structurile SRB-RAX !i SRB-4PCBB _________________________________________ 39 2.4.1. Calculul distribu iei jocului în rulment cunoscând geometria rulmentului primitiv ___________________ 41 2.4.2. Calculul distribu iei jocului cunoscând parametrii „shim angle” si jocul efectiv dup" decupaj __________ 42 2.5. Repartiţia jocului în structurile SRB cu role !i SRB-OB___________________________________________ 43 2.6. Reparti ia jocului sub efectul expansiunii centrifugale, a fretajului !i a temepraturii _____________________ 2.6.1. Efectul rotirii uneia din c"ile de rulare asupra modific"rii jocului în rulmen i _______________________ 2.6.2. Efectul temperaturii de func ionare a rulmentului !i a condi iilor de rigiditate ale c"ilor de rulare asupra modific"rii jocului în rulmen i ________________________________________________________________ 2.6.3. Efectul fretajului asupra modific"rii jocului în rulmen i________________________________________

44 44 46 47

2.7. Concluzii _______________________________________________________________________________ 47 Capitolul 3. Contribuţii privind analiza cinematicii structurilor SRB. ______________________________________ 48 3. Modelarea parametrizat" a cinematicii rulmenţilor.________________________________________________ 49 3.1. Vitezele unghiulare ale rolelor !i coliviilor structurilor SRB, prima aproximare ________________________ 49 3.2. Determinarea vitezelor de alunecare. Model de calcul. ____________________________________________ 3.2.1. Componentele vectorului vitez" unghiular" al unei role SRB ___________________________________ 3.2.2. Determinarea vitezelor absolute ale corpurilor în contact ______________________________________ 3.2.3. Criteriul puterii minime consumate prin frecare______________________________________________ 3.2.4. Distribu ia vitezei de alunecare pentru diferite tipuri de structuri cu contacte punctuale. Exemple. ______

50 50 51 54 55

3.3. Validarea algoritmului de calcul _____________________________________________________________ 57 3.4. Concluzii _______________________________________________________________________________ 58 Capitolul 4. Analiza parametrilor cvasi-statici ai structurilor SSRB. _______________________________________ 59

pag.1

4. Modelarea parametrilor cvasi-statici. ___________________________________________________________ 60 4.1. Gradele de libertate ale unei structuri SSRB (sistem de rulmenţi). ___________________________________ 60 4.2. Echilibrul structurii arbore - SSRB ___________________________________________________________ 4.2.1. Tipuri de analize ______________________________________________________________________ 4.2.2. Rigiditatea ansamblului arbore-SSRB _____________________________________________________ 4.2.3. Rigiditatea structurilor SSRB, compuse din dou" substructuri SRB-SRB.__________________________

61 61 62 63

4.3. Deplasarea centrului de mas" al unei role SRB __________________________________________________ 64 4.3.1. Puncte caracteristice ale unei structuri SRB _________________________________________________ 65 4.3.2. Exprimarea DCMR în func ie de tipul de rigidizare. __________________________________________ 67 4.4. Determinarea parametrilor cvasi-statici ai structurilor SSRB în funcţie de tipul de contact________________ 4.4.1. Echilibrul structurilor SRB (cazul contactelor de tip hertzian)___________________________________ 4.4.2. Aproximarea parametrilor unui contact nehertzian____________________________________________ 4.4.3. Aplicarea metodei sec ion"rii domeniului de contact în cazul contactelor punctuale__________________ 4.4.4. Efectul geometriei c"ilor de rulare !i a profilului rolelor asupra PCS. _____________________________

71 73 74 75 76

4.5. Echilibrul rolelor (bilelor) unei structuri SRB exprimat în 3 DOF ___________________________________ 78 4.6. Validarea modelului de calcul al distribuţiei de sarcin". ___________________________________________ 4.6.1. Compara ii cu datele prezentate de Stirbu [1998] pentru structuri SRB-SRB. _______________________ 4.6.2. Compara ii cu programul BB10.__________________________________________________________ 4.6.3. Compara ii cu programul RBL4 __________________________________________________________ 4.6.4. Compara ii cu modelul de calcul propus de Hamrock [1975] !i programul RMS4, considerând efectul expansiunii dentrifugale a inelului interior _______________________________________________________

81 81 82 83

4.7. Influenţa unor parametri asupra determin"rii PCS _______________________________________________ 4.7.1. Influen a tipului de analiz" ______________________________________________________________ 4.7.2. Influen a geometriei c"ilor de rulare_______________________________________________________ 4.7.3. Influen a defazajului unghiular ___________________________________________________________ 4.7.4. Influen a caracterului oscilant al structurilor SRB-SRB ________________________________________

87 87 88 89 90

84

4.8. Concluzii _______________________________________________________________________________ 91 Capitolul 5. Elemente de lubrificaţie ale structurilor SRB _______________________________________________ 92 5. Parametrii reologici ai structurilor SSRB, componente ale clasei SRB _________________________________ 93 5.1. Vâscozitatea !i coeficientul de piezovâscozitate. ________________________________________________ 93 5.2. Regimuri de frecare-ungere în structurile SRB.__________________________________________________ 95 5.2.1. Modelul Houpert______________________________________________________________________ 96 5.2.2. Modelul Marckho _____________________________________________________________________ 96 5.3. Calcul grosimii filmului de lubrifiant _________________________________________________________ 97 5.4. Calculul tensiunilor de forfecare din lubrifiant __________________________________________________ 98 5.5. Variaţia grosimii filmului în funcţie de condiţiile de înc"rcare !i de tipul structurii ____________________ 100 5.6. Concluzii ______________________________________________________________________________ 102 Capitolul 6. Contribuţii privind analiza parametrilor cvasi-dinamici ai structurilor SRB.Validare experimental" a metodei de calcul propuse ______________________________________________________________________ 103 6. Parametrii cvasi-dinamici ai structurilor SRB ___________________________________________________ 104 6.1. Ecuaţiile care descriu echilibrul rolelor pe direcţia de înaintare ___________________________________ 104 6.2. Ecuaţiile de echilibru ale coliviilor unei structuri SRB ___________________________________________ 109 6.2.1. Momentul rezistent la înaintarea coliviei prin amestecul aer – lubrifiant __________________________ 111 6.2.2. Ghidarea coliviei pe c"ile de rulare. ______________________________________________________ 111 6.3. Calculul momentelor de frecare ale inelelor structurilor SRB. Model simplificat ______________________ 112 6.4. Calculul puterii consumate ________________________________________________________________ 112 6.5. Evoluţia PCD ai structurilor SRB în vecin"tatea turaţiilor de echilibru ale rolelor !i coliviilor ___________ 113

pag.2

6.6. Validare experimental" a modelului de calcul propus. Tipuri de teste. _______________________________ 115 6.6.1. Elemente specifice testelor T1, T2 !i T3___________________________________________________ 115 6.6.2. Elemente specifice testului T4. __________________________________________________________ 115 6.7. Teste de tip T1. Incerc"ri cu sarcin" pur radial" !i turaţie variabil" _________________________________ 6.7.1. Test T1.A __________________________________________________________________________ 6.7.2. Test T1.B __________________________________________________________________________ 6.7.3. Test T1.C __________________________________________________________________________ 6.7.4. Test T1.D __________________________________________________________________________ 6.7.5. Test T1.E___________________________________________________________________________ 6.7.6. Concluzii privind validarea modelului de calcul în cazul testelor de tip T1. _______________________

116 116 123 125 127 129 131

6.8. Teste de tip T2. Rezultate numerice !i experimentale obţinute folosind o sarcin" pur axial" !i turaţie variabil"132 6.8.1. Test T2.A. __________________________________________________________________________ 132 6.8.2. Test T2.B. __________________________________________________________________________ 134 6.8.3. Test T2.C __________________________________________________________________________ 136 6.9. Teste de tip T3. Rezultate numerice !i experimentale obţinute în cazul înc"rc"rii combinate _____________ 138 6.9.1. Test T3.A. __________________________________________________________________________ 138 6.9.2. Test T3.B. __________________________________________________________________________ 140 6.10. Variaţia momentului de frecare în funcţie de temperatur". Test T4.________________________________ 143 6.11. Calculul momentelor de frecare ale inelelor incluzând efectul momentului de rostogolire vâscos. ________ 145 6.12. Concluzii _____________________________________________________________________________ 147 Capitolul 7. Stand utilizat !i metod" de m"surare a momentului de frecare pe inelul exterior al rulmentului. ______ 148 7. Parametri constructivi ai standului de testare ____________________________________________________ 149 7.1. Elementele de acţionare !i control ale standului ________________________________________________ 149 7.1.1. Sistemul de ac ionare electric" __________________________________________________________ 149 7.1.2. Sistemul de înc"rcare cu sarcina de lucru __________________________________________________ 149 7.2. Elemente componente ale lanţului de m"sur" __________________________________________________ 150 7.3. Calibrarea traductorilor utilizaţi ____________________________________________________________ 7.3.1. Etalonarea sistemului de m"surare a momentului de frecare ___________________________________ 7.3.2. Etalonarea traductorului de temperatur" ___________________________________________________ 7.3.3. Rela ia presiune – sarcin" axial"_________________________________________________________ 7.3.4. Rela ia presiune – sarcin" radial" ________________________________________________________

151 151 152 153 153

Capitolul 8. Concluzii generale. Sinteza principalelor rezultate obţinute___________________________________ 154 8.1. Sinteza rezultatelor. ______________________________________________________________________ 8.1.1. Rezultate privind modelarea geometriei rulmen ilor oscilan i cu role butoi ________________________ 8.1.2. Rezultate privind modelarea cinematicii rulmen ilor _________________________________________ 8.1.3. Rezultate privind modelarea parametrilor cvasi-statici________________________________________ 8.1.4. Rezultate privind modelarea parametrilor lubrifian ilor utiliza i în structurile SRB__________________ 8.1.5. Rezultate privind modelarea parametrilor cvasi-dinamici ai structurilor SRB ______________________

155 155 156 156 157 157

8.2. Elemente de noutate aduse în cadrul tezei _____________________________________________________ 158 8.3. Concluzii privind validarea teorietic" !i experimental"___________________________________________ 160 8.3.1. Validare model de calcul prin compara ii cu datele teoretice prezentate în literatur". ________________ 160 8.3.2. Verificarea modelului de calcul cu rezultate experimentale proprii !i întâlnite în literatur". ___________ 160 8.4. Rezultate publicate !i în curs de publicare. Rapoarte tehnice.______________________________________ 160 8.5. Concluzie final" _________________________________________________________________________ 161 Anexe ______________________________________________________________________________________ 162 Anexa 1. Parametrii cvasi-statici ai unui contat punctual hertzian ______________________________________ 163 Anexa 2. Matricea de rigiditate a unei structuri SRB cu contacte punctuale cu inelul exterior rigid ____________ 166 Anexa 2.1. Componentele matricei de rigiditate neconsierâ nd efectului momentului giroscopic ____________ 166

pag.3

Anexa 2.2. Componentele matricei de rigiditate ale unei role consierând momentul giroscopic _____________ 169 Anexa 3. Parametri suplimentari utilizaţi în modelul cvasi-dinamic (cu considerarea prezen ei lubrifiantului) __ Anexa 3.1. Parametri adimensionali ___________________________________________________________ Anexa 3.2. Parametri utiliza i în calcul tensiunilor de forfecare din lubrifiant___________________________ Anexa 3.3. Vâ scozitatea lubrifiantului utilizat pentru valid"rile experimentale ale analizei cvasi-dinamice. ___

171 171 171 172

Anexa 4. Elemente geometrice ale rulmenţilor utilizaţi în analize numerice !i experimentale ________________ 173 Anexa 4. Elemente geometrice ale rulmenţilor utilizaţi în analize numerice !i experimentale ________________ 173 Anexa 5. Detalii privind punctele caracteristice considerate în analiza structurilor SRB-DBB________________ 174 Anexa 6. Influen a for elor de frecare asupra distribu iei de tensiuni din interiorul c"ii de rulare. _____________ 178 Bibliografie__________________________________________________________________________________ 180

pag.4

NOTATII Structuri SRB SSRB SRB-4PCBB SRB-CARB SRB-CRB SRB-DBB SRB-OB SRB-RAX SRB-SRB SRB-SRB-ax SRB-TRB

= rulment = clas de func!ii geometrice structur de tip sistem de rulmen!i rulment cu bile cu 2..4 contacte de tip principal, include SRB-RAX rulment de tip CARB rulment radial cu role cilindrice rulment cu bile cu dou rânduri rulment radial oscilant cu bile rulment radial-axial cu bile contact rulment radial oscilant cu role butoi rulment oscilant cu role asimetrice rulment cu role asimetrice (conice sau oscilan!i axiali)

Conven ii i nota!ii particulare 2 DOF 3 DOF 5 DOF 9 DOF bil"

CMR contact principal contact secundar

cvasidinamic cvasi-static DCMR derivare IRR

metod" OOP

OOP ORR

analiz în dou grade de libertate analiz în 3 grade de libertate analiza în 5 grade de libertate analiz în 9 grade de libertate (pentru structuri SSRB) caz particular al unei rolei butoi simetrice, ob!inut prin derivarea parametrilor geometrici ai unei role SRB centrul de mas al unei role contacte care au probabilitate ridicat de a apare (Ex. contactul corp de rostogolire – c i de rulare) contacte cu probabilitate mic de apari!ie (se dezvolt doar în cazuri particulare de înc rcare). Ex contactul rol - umeri laterali, rol – inel flotant cu considerarea for!elor tangen!iale pe direc!ia de înaintare ale rolei cu considerarea efectului for!ei centrifuge "i a momentului giroscopic deplasarea centrului de mas al rolei particularizare OOP define"te starea unui rulment pentru care inelul interior este rigid, inelul exterior fiind deplasabil procedur (func!ie) utilizat pentru descrierea unui parametru al structurii SSRB programare orientat pe obiecte define"te starea unui rulment pentru

palier PCD PCS rol" SRB static structur"

care inelul exterior este rigid, inelul interior fiind deplasabil substructur de tip SSRB parametri cvasi-dinamici parametri cvasi-statici element de baz al structurii SSRB f r considerarea for!ei centrifuge ansamblu de func!ii ata"ate unui obiect

Vectori i matrice. Componente vectorul sarcina exterioar sarcina axial sarcina radial , în lungul axei Y sarcina radial , in lungul axei Z momentul în jurul axei OY momentul în jurul axei OZ {#}SSRB vectorul deplasare al structurii SSRB #x=da deplasarea axial #ypa deplasarea radial în direc!ia axei Y corespunz toare palierului pa #zpa deplasarea radial în direc!ia axei Z corespunz toare palierului pa $zpa deplasarea unghiular în jurul axei Z corespunz toare palierului pa $zpa deplasarea unghiular în jurul axei Y corespunz toare palierului pa (…) (r,j,idx,da,dr,uxj, uzj) {%}j vectorul vitez unghiular a bilei j {u}idx { -#1, #2, -#3, #4} Tidx are valoarea 0 când nu exist sarcin de contact "i 1 când sarcina de contact exist {F}pa

Fx=Fa Fy Fz My Mz

Indici c e ext i idx j nrp Ns pa r s v

cale de rulare exterior extern interior num rul de contacte dintre o rol "i c ile de rulare num rul rolei in cadrul rândului r num rul de rulmen!i inclu"i în palierul „pa” num rul de sec!iuni num rul palierului rândul num rul ... al structurii num rul sec!iunii, s=1...NS 0 sau 1 în func!ie de tipul de analiz

pag.5

w Z

rol num rul de role de pe rândul r

P(xp,yp) Vp q",idx

Func!ii (metode SRB) #",idx RD(RIG) SDLidx sduxidx sduzidx sdxidx sdzidx smgxidx smgzidx

func!ie utilizat pentru descrierea condi!iilor de rigidizare a inelelor joc local intre rola "i calea de rulare idx descrie deplasarea axial a rolei descrie deplasarea radial a rolei descrie deplasarea axiala a inelului descrie deplasarea radial a inelului descrie efectul momentului giroscopic în direc!ie axial descrie efectul momentului giroscopic în direc!ie radial Elemente geometrice

dm Dw

R, Rw Lw Oe

Oi

Ow Ri Ridx

Ro

Rxidx Ryidx

diametrul mediu al rulmentului diametrul rolei exprimat la jum tatea lungimii acesteia. Corespunde regiunii descris de parametrii Ls1+Ls2 (fig.2.4) raza rolei (pentru role simetrice) lungimea rolei punct care descrie pozi!ia centului de curbur al c ii de rulare exterioare, Oe=Oe($) punct care descrie pozi!ia centului de curbur al c ii de rulare interioare, Oi=Oi($) punct care descrie pozi!ia centrului de mas al rolei, Ow=Ow($) raza de curbur a c ii de rulare interioare, în direc!ie axial descrie raza profilului rolei în direc!ie axial ; = Ri sau Ro pentru structuri cu 2 contacte principale raza de curbur a c ii de rulare exterioare, exprimat în direc!ie axial Raza echivalent exprimat în diec!ie axial raza de curbur echivalent exprimat în direc!ia de rostogolire

&idx !p Valp,idx '( ( %c %i,e %w, %b %sidx %ridx Fc ? )idx, ) (..) Qidx, Q(..) G W U Pf

Nota!ii specifice , cap 2 A,B

expBIE

jai,e JCB JCC JCI Jf, Jd JIB

Variabile globale

’ Qh ULRC E0

= Dw.cos(!)/dm = Dw/dm. debit de lubrifiant unghiul maxim de rotire a rolei în loca"ul coliviei modulul de elasticitate echivalent al corpurilor în contact, Pa

punct din domeniul de contact viteza absolut a punctului P sarcina distribuit în sec!iunea " a contactul idx coeficientul de frecare în zona sec!iunii " a contactului idx $[-aidx,+aidx] coeficient de piezovâscozitate [Pa-1] viteza de alunecare specific puntului P decalaj unghiular unghiul de pozi!ie al rolei viteza unghiular a coliviei viteza unghiular a inelelor interior respectiv exterior viteza unghiular a rolei, (bilei) componenta mi"c rii de spin a rolei la nivelul contactului componenta mi"c rii de rostogolire a rolei la nivelul contactului for!a centrifug unghiul vectorului vitez unghiular unghiul de contact pentru contactul idx sarcina de contact parametrul adimensional de material parametrul adimensional de sarcin Parametrul adimensional de vitez suma puterilor consumate prin frecare la nivelul celor „idx” contacte

jri,e LC LIF Pd Rc Rf

puncte care descriu pozi!ia centrelor de curbur ale profilului rolelor, A=A($); B=B($) modificarea de lungime a unei raze care descrie una din c ile de rulare, interioar sau exterioar deplasarea axial liber a rolei la nivelul contactului idx Joc radial între colivie (C) "i calea de rulare (B) Joc axial între colivii Joc între colivie "i inelul flotant joc frontal, respectiv diametral Joc radial între inelul intermediar "i calea de rulare interioar a rulmentului deplasarea radial liber a rolei la nivelul contactului idx grosimea materialului coliviei l !imea inelului flotant joc diametral raza generatoare a profilului coliviei raza de cap t a rolei, respectiv raza rolei

pag.6

raza lateral a profilului coliviei considerat infinit Rsn, Rsd, raze "i lungimi necesare discretiz rii Lsn, Ldn geometriei unei role SRB SDLI, SDLE Joc local între rol "i calea de rulare interioar respectiv exterioar x func!ie de reparti!ie a jocului * unghiul ini!ial descris de segmentul OiOw cu axa Oz ) unghiul ini!ial descris de segmentul OeOw cu axa Oz (pentru cazul rolelor asimetrice); #=% pentru role simetrice Rinf

RC rot(() RR RC

Nota!ii specifice , cap 5 &0

&ech

Nota!ii specifice , cap 3 {VcP,idx} {VwP,idx} %idx Rech

vectorul vitez absolut al unui punct de pe calea de rulare idx Vectorul vitez absolut al unui punct de pe rol (bil ) {&i,&i,&e,&e} raza de curbur echivalent exprimat în direc!ie axial

&lim !p 'T (T 'T,p A

Nota!ii specifice , cap 4 C1 %n %t

B_RD dn

dr(() dt

fp,fb,fq

Ki,e, Kidx kidx loe

loi

MSSRB P_RD Q_RD

proiec!ia deplas rii lineare a inelului în direc!ia normalei la contact proiec!ia deplas rii lineare a inelului în direc!ie perpendicular pe normala la contact l !imea calculat a domeniului de contact în sec!iunea aleas proiec!ia deplas rilor radial "i axial a DCMR în direc!ia normalei la contact deplasarea echivalent exprimat în func!ie de unghiul de pozi!ie al rolei proiec!ia deplas rilor radial "i axial a DCMR în direc!ie perpendicular pe normala la contact func!ii rezultate prin interpolare utilizate pentru descrierea contactelor punctual modificate rigiditatea de contact a contactului factorul de elipticitate local distan!a dintre centrul de curbur al c ii de rulare exterioare "i centrul de curbur al rolei distan!a dintre centrul de curbur al c ii de rulare interioare "i centrul de curbur al rolei matricea de rigiditate a unei structuri SSRB tensiunea normal de contact corespunz toare unei sec!iuni sarcina corespunz toare sec!iunii

vectorul ‚raza c ii de rulare’ deplasarea unghiular exprimat în func!ie de unghiul de pozi!ie al rolei raza rolei în sec!iunea s raza c ii de rulare în sec!iunea s

F(&) G h0 hmin iso IVE IVR kf LT PVE PVR T WLF ) +15

tensiunea de forfecare a lubrifiantului, corespunz toare zonei de tranzi!ie din zona hertzian în cea non-hertzian tensiunea de forfecare echivalent a lubrifiantului corespunz toare unui element de arie dA tensiunea de forfecare limit , Pa coeficient de piezovâscozitate, Pa-1 vâscozitatea dinamic a lubrifiantului la intrarea în contact, Pa.s factor de corec!ie termic vâscozitatea dinamic în contact, Pa.s coeficient în func!ie de care se stabile"te tranzi!ia între regimurile de lubrifica!ie coeficient introdus de Marckho pentru stabilirea regimului de ungere func!ie disipativ modulul elastic de forfecare grosimea central a filmului de lubrifiant, m grosimea minim a filmului de lubrifiant, m condi!ii de func!ionare izoterme regim izovâscos elastic regim izovâscos rigid conductivitatea termic a lubrifiantului, W/(m.oC) parametru termic regim piezovâscos elastic (EHD) regim piezovâsco rigid temperatura lubrifiantului la intrarea în contact model de calcul al vâscozit !ii dinamice coeficient termovâscos, C-1 densitatea uleiului la 15oC Nota!ii specifice , cap 6

) #rc Dr FA FAL

parametrul filmului de lubrifiant coeficientul de frecare între colivie si inelul pe care se face ghidarea diametrul inelului pe care se face ghidarea coliviei for!a de trac!iune pe asperit !i for!a de rezisten! la înaintarea rolei

pag.7

Fcr FcRC=FcBC FH FL FR MD MDC MDF MDL MF MFe MFi MR mo

mi

NRE Nsg P Paer-lub Pdrag Pps Prc Prco Qh Ra SF

So

prin amestecul aer-lubrifiant for!a de contact colivie-cale de rulare for!a de contact corp de rostogolirecolivie for!a de presiune (hidrodinamic ) for!a de trac!iune din lubrifiant for!a rezistent de rostogolire moment de ‚drag’ pentru o rol moment de ‚drag’ pentru o colivie moment de ‚drag’ frontal moment de drag lateral moment de frecare moment de frecare calculat pe inelul exterior al rulmentului moment de frecare calculat pe inelul interior al rulmentului momentul rezistent de rostogolire moment de rostogolire de natur vâscoas la nivelul contactului rol – cale de rulare exterioar moment de rostogolire de natur vâscoal la nivelul contactului rol – cale de rulare interioar num rul lui Reynolds num rul de suprafe!e pe care se face ghidarea coliviei putere consumat prin frecare puterea consumat la înaintarea rolei prin amestecul aer-lubrifiant puterea consumat prin efect de „drag” puterea consumat prin efectul de palier scurt puterea consumat la nivelul contactului rol – cale de rulare puterea consumat la nivelul contactului rol -colivie debitul de lubrifiant rugozitatea suprafe!ei analizate suma for!elor de trac!iune "i de rostoglire exprimate la nivelul contactului num rul lui Sommerfeld

pag.8

CAPITOLUL 1. Introducere Scop i metod de analiz .

Introducere. Scop i metod! de analiz!.

pag.9

1. Stadiul actual al cercet!rilor î n domeniul analizei rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi 1.1. Etape î n evolu ia constructiv! a rulmen ilor radial oscilan i cu role.

In 1912, î n Germania, a fost brevetat primul tip de rulment oscilant cu un singur rând de role butoi simetrice, elementele sale componente fiind prezentate î n figura 1.1a, (Brandlein [1980]) . Propriet! ile constructive ale acestui tip de rulment asigur! preluarea unor î nclin!ri de pâna la 4 grade, valoare superioar! tuturor celorlalte tipuri de rulmen i utiliza i. Colivia este executat! din alam!, din dou! buc! i, fiind ghidat! pe inelul interior. Fig.1.1a

Fig. 1.1b

In 1932, firma FAG a patentat un rulment de tip radial oscilant cu role butoi pe dou! rânduri, având role butoi simetrice, ghidate pe umerii rigizi ai inelului interior. O astfel de construc ie de rulment este prezentat! î n figura 1.1b. Studiile efectuate de î n cadrul companiilor FAG i SKF, î n perioada anilor 1950-1980 au fost destinate î mbun!t! irii caracteristicilor func ionale, a cre terii capacit! ii de î nc!rcare radial! i a tura iei inelului interior. Intre anii 1970-1980, FAG, SKF, au conceput si lansat in execu ie rulmen i radial oscilan i cu role butoi in cadrul c!rora contactul dintre role si umerii de ghidare ale inelelor interioare a fost eliminat, rezultând o variant! constructiv! cunoscut! sub denumirea de rulment radial oscilant cu role butoi pe dou! rânduri de tip C. Acest tip de rulment con ine dou! colivii din tabl! de o el i un inel de ghidare flotant, ghidat pe inelul interior. In 1979 firma FAG a realizat o nou! variant! constructiv! î n cadrul c!reia coliviile sunt realizate din poliamid! (rulmen ii de tip E). In 1980, firma SKF a brevetat rulmentul radial oscilant cu role butoi de tip CC, care asigura o cre tere a domeniului de tura ie a inelului interior cu aproximativ 7% i o reducere a pierderilor prin frecare cu pân! la 20%, in raport cu varianta constructiv! de tip C. Principalele elemente geometrice ale unui rulment radial oscilant cu role butoi pe dou! rânduri sunt prezentate în figura 1.2.

Fig.1.2. Elemente geometrice ale rulmen ilor oscilan i cu role butoi de tip C, (Gafi anu M, s.a [1985]) pag.10

O sintez! a principalelor forme constructive de rulmen i radial oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri este prezentat! î n figurile 1.3 i 1.4, (Gafi anu M. s.a [1985]).

Fig. 1.4. Particularitati constructive ale inelelor corespunzatoare diverselor forme de rulmenti radial oscilanti. Fig. 1.3. Variante constructive de rulmenti radial oscilanti cu role butoi

Exist! trei tipuri principale de geometrii constructive de role butoi: role butoi simetrice, role butoi asimetrice i role butoi simetrice cu raze multiple (sau role profilate). Optimizarea formei constructive a rolelor a f!cut subiectul multor analize prezentate î n literatura de specialitate. Intre acestea se num!r! datele prezentate de Racocea C si Cretu Sp [1980], Racocea C [1981], Krweminski-Freda i Warda, B [1996], Lefter D [1999a i 199b], Cre u [1999 i 2002], etc. O analiz! a posibilit! ilor oferite de utilizarea de role butoi str!punse (g!urite) a fost realizat! de Lefter [1994a i 1994b] (figurile. 1.5 i 1.6), rezultând o serie de avantaje func ionale (între care, reducerea efectului for ei centrifuge având implica ii directe în cre terea limitei de tura ie a inelului interior).

Fig.1.5

Fig. 1.6.

Utilizarea rolelor str!punse asigur! avantaje economice, rolele putând fi realizate din eav! material de rulment. Parametrii de fabrica ie ai elementelor componente ale unui rulment radial oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri de tip C, sunt prezenta i de Lefter [1994a], i definesc principalele rela ii de leg!tur! func ional! dintre role – c!i de rulare – inel flotant i colivii. Unele dintre elementele geometrice ale inelelor i coliviilor sunt prezentate î n figurile 1.7-1.9. In figura 1.7 este prezentat un exemplu de inel de ghidare, flotant pe inelul interior. In figurile 1.8 si 1.9 sunt eviden iate câteva caracteristici constructive ale coliviei unui rulment radial oscilant cu role butoi.

pag.11

Fig.1.7

Fig. 1.8

Fig.1.9 In anul 2000, î n cadrul firmei NSK, a fost dezvoltat! o nou! variant! constructiv! de rulment oscilant, denumit! EA prezentat! î n figura.1.10, (Akiyoshi [2000]). Elementele particulare ale acestui rulment sunt: lipsa inelului flotant i utilizarea de colivii din poliamid! ghidate pe inelul interior

Fig.1.10. Rulment oscilant cu role de tip EA (Akiyoshi, [2000]) In figura 1.11 sunt prezentate diferen ele constructive î ntre construc ia standard a unui rulment de tip C i varianta constructiv! EA.

Fig.1.11. Diferen e constructive î ntre variantele EA i CD (Akiyoashi, [2000])

pag.12

1.2. Metode pentru descrierea parametrilor cinematici ai unui rulment. Modelele matematice utilizate pentru aproximarea vitezelor unghiulare ale rolelor i coliviilor rulmen ilor sunt sintetizate de Harris [1966, 1971, 1983, 1991, 1998], Gafi anu, .a, [1985], Olaru [1992], Bercea [1996], Nelias D [1989 i 1999], Kawamura s.a[1990], Touma K s.a [1985] etc. Principalele aspecte legate de modelarea parametrilor cinematici se refer! la stabilirea vitezelor de alunecare la nivelul contactelor dintre role i c!ile de rulare i determinarea componentelor vectorului vitez! unghiular! al rolelor. Harris [1966, 1983, 1991] descrie componentele vectorului vitez! unghiular! ale unui corp de rostogolire, eviden iind trei tipuri de mi c!ri ale unei role (bile): mi carea principal! de rostogolire, mi carea de spin i mi carea giroscopic!. Componentele giroscopice i de spin (î n cazul unei bile), numite skew transversal i longitudinal î n cazul rolelor, corespund proiec iei vectorului vitez! unghiular! al unui corp de rostogolire î n raport cu direc ia vectorului vitez! unghiular! al inelului mobil al rulmentului. Împreun! cu componenta care descrie mi carea de rostogolire formeaz! un reper ortogonal. Metodele matematice utilizate pot fi grupate î n dou! mari categorii, fiind modele cinematice simplificate i modele vectoriale. Din punct de vedere al metodei de aproximare a modulului vectorului vitez! unghiular! a corpurilor de rostogolire au fost dezvoltate dou! tipuri de modele de analiz!, Harris [1966, 1983, 1991]: !model de analiz! simplificat care consider! doar mi carea de rostogolire pur! neglijând componentele giroscopice i de spin ale vectorului vitez! unghiular! al copurilor de rostogolire. !model de analiz! complet care consider! efectul mi c!rilor giroscopice i de spin (skew). Prin utilizarea acestui tip de model se determin! vitezele de alunecare de la nivelul contactelor rolec!i de rulare. Elementele utilizate î n analiza cinematic! simplificat! pentru rulmen ii cu bile i respectiv cu role conice sunt prezentate î n figurile 1.12- 1.14.

Fig. 1.12. Parametri geometrici i cinematici considera i î n analiza cinematic! simplificat! (Gafi anu, s.a [1985])

pag.13

Fig. 1.13. Metoda Willis (î nghe area coliviei) î n analiza cinematic! simplificat! (Gafi anu, s.a [1985])

Fig. 1.14. Parametri geometrici i cinematici considera i î n analiza cinematic! simplificat! a rulmen ilor cu role conice, (Gafi anu M, .a , [1985]) Pentru fiecare tip de rulment au fost stabilite rela ii de calcul independente care descriu tura iile aproximative ale rolelor i coliviilor. Pentru cazul rulmen ilor cu cale de rulare sec ionat! având trei sau patru puncte de contact se utilizeaz! pentru aproximarea solu iilor ini iale ale rolelor i coliviei modele simplificate descrise pentru rulmentul primitiv (cu dou! puncte de contact) (Nelias [1994 i 1999], B.J. Hamrock [1973 i 1975], Coe [1977]). Pentru determinarea mi c!rilor de spin i respectiv giroscopice ale unui corp de rostogolire este necesar a se utiliza metode de analiz! vectoriale (matriceale). Acest tip de analiz! const! î n exprimarea vectorial! a profilelor c!ilor de rulare i a corpurilor de rostogolire i î nmul irea vectorial! a profilului discretizat cu matricele antisimetrice care descriu vitezele unghiulare, respectiv accelera iile unghiulare. Astfel de analize au fost realizate de c!tre Nelias [1994, 1989, 1999], Harris [1966, 1983, 1991], Olaru [1995]. In cazul analizelor efectuate de Nelias D î n [1989,1994] vectorii utiliza i sunt prezenta i î n figura 1.15. Fig. 1.15. Componentele vectorului vitez! unghiular! a unei bile (role)

pag.14

Forma matricelor antisimetrice ale vitezei i respectiv ale componentelor accelera ie unghiular! este, (Mangeron [1978]): !0 - z y $ # & ! M = # z 0 - x & matricea antisimetric! a vectorului vitez! unghiular!. # & #" - y x 0&% !0 - ' z ' y $ # & !' M = # ' z 0 - ' x & matricea antisimetric! a vectorului accelera ie unghiular!. # & #"- ' y ' x 0&% Componentele vectorului vitez! unghiular! ale unei bile sunt descrise de expresiile, Harris [1966, 1983,1991], Nelias [1994, 1989, 1999], Touma s.a [1985] : = y’ = z’ = x’

w.cos(().cos((’) w.cos(().sin((’) w.sin(().

î n care ( i (’ reprezint! unghiurile care descriu direc ia vectorului vitez! unghiular! al bilei (rolei). Dup! Harris [1966, 1983, 1991], determinarea vitezelor de alunecare de la nivelul contactelor dintre role i c!ile de rulare se realizeaz! prin raportarea efectului componentelor vectorilor vitez! unghiular! ale rolelor i c!ilor de rulare la zona elipsei de contact. In cadrul catedrei de Organe de Ma ini din Ia i, modelul prezentat de Harris [1991], pentru determinarea vectorilor vitez! de alunecare a fost utilizat de Olaru [1992] pentru analiza rulmen ilor radial axiali cu bile, Paleu [2002] pentru analiza rulmen ilor cu bile ceramice, Stirbu [1998] pentru studiul rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri. Elementele necesare exprim!rii vitezelor de alunecare sunt prezentate î n figurile 1.16 i 1.17.

Fig. 1.16. Modelul Harris, aplicat la studiul vitezelor de alunecare dintre bile i calea de rulare exterioar!. (Gafi anu M, .a, [1985])

pag.15

Fig. 1.17. Modelul Harris, aplicat la studiul vitezelor de alunecare dintre bile i calea de rulare interioar!. (Gafi anu M, .a, [1985]). Pentru a determina componentele de spin i giroscopice ale vectorului vitez! unghiular! a unei bile (skew pentru role), î n literatura de specialitate sunt prezentate modele de calcul care utilizeaz! diverse ipoteze simplificatoare cum sunt: !ipoteza anul!rii momentului giroscopic utilizat! de Gupta [1979 c], Olaru [1995] !ipoteza ghid!rii bilei pe una din c!ile de rulare introdus! de Kawamura, H i Touma, K [1990]; !ipoteza controlului partajat al ghid!rii dezvoltat! i utilizat! de Nelias [1994 i 1999], Denssurre & Nelias [1994]; Prin utilizarea ipotezei anul!rii momentului giroscopic se atribuie unghiului (‘ valoarea 0. In acest caz proiec iile vectorului vitez! unghiular! al rolei devin: x’= wcos((); y’=0; z’= wsin(() Introducerea ipotezei ghid!rii rolei pe una din c!ile de rulare permite determinarea direc iei vectorului vitez! unghiular! a bilei (figura 1.18). Touma K s.a [1985] arat! c! se impune verificarea inegalit! ii: QeaeEacos()i-)e)>QiaiEi î n care: Q: sarcina normal! de contact a : semilungimea elipsei de contact E : integrala eliptic! de prima spe ! Fig. 1.18. Elemente necesare determin!rii direc iei vectorului vitez! unghiular! a bilei, (Gafi anu M, sa, [1985]) In aceast! ipotez!, Kawamura [1990] determin! valorile unghiului ( i modulul vectorului vitez! pag.16

unghiular! al bilelor i coliviei unui rulment radial axial cu bile: pentru ghidarea interioar!: tg(()=sin()e)/[cos()e)+*’] " pentru ghidarea exterior : tg(()=sin()e)/[cos()e)-*’] " i

c=+i[cos()i-)e)-*’cos()e)]/[1+cos()i-)e)] c=+i[1-cos()i)]/[1+cos()i-)e)]

!/ cos ) e . tg( sin ) e cos ) i . tg( sin ) i 2 $ . 4 * 'cos (& w , - + i #1 1 - * ' cos ) i 3 "0 1 . * 'cos ) e % unde *’=Dw/dm

-1

Nelias D [1994 i 1999] prezint! ipoteza controlului partajat al bilei pe c!ile de rulare i urm!re te determinarea valorii unghiului pentru vectorul vitez! unghiular! al bilei, corespunz!tor unui minim de putere consumat! prin componenta de frecare de spin. In figura 1.19 sunt prezentate comparativ valorile corespunz!toare unghiului considerând ipotezele de ghidare i respectiv ipoteza controlului partajat. Valorile calculate folosind datele prezentate de Nelias î n 1994 se î ncadreaz! î ntre valorile calculate de Kawamura î n 1980 i asigur! continuitate î n ceea ce prive te determinarea direc iei vectorului vitez! unghiular! al unei bilei. Fig.1.19. Rezultate ob inute utilizând ipoteza controlului partajat al mi c!rii giroscopice (Nelias D, [1999]).

1.3. Modele de analiz! a parametrilor cvasi-statici, aplicabile rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi In literatura de specialitate, modelele matematice destinate studierii fenomenelor de la nivelul interfe ei corp de rostogolire – c!i de rulare se clasific! î n trei categorii distincte: modele cvasi-statice, cvasidinamice i modele dinamice. !Analizele de tip cvasi-static conduc la determinarea parametrilor de contact dintre corpurile de rostogolire i c!ile de rulare considerând efectele sarcinii exterioare i influen a for ei centrifuge i a momentului giroscopic. In cazul î n care nu este considerat! influen a for ei centrifuge, tipul de analiz! revine unei analize statice. !In cazul analizei cvasi-dinamice se utilizeaz! „metoda î nghe !rii corpului de rostogolire” i se consider! efectul for elor i momentelor care contribuie la realizarea mi c!rii pe direc ia de principal! de î naintare, f!r! a introduce parametrul timp. !In cazul analizelor dinamice se consider! evolu ia î n timp a principalilor parametri care concur! la realizarea deplas!rii corpului de rostogolire. In cadrul model!rii dinamice i cvasi-dinamice trebuie cunoscu i parametrii cvasi-statici.

pag.17

Rulmentul este un sistem static nedeterminat. Pentru ridicarea nedetermin!rii i aprecierea parametrilor cvasi-statici care descriu contactele unui rulment se utilizeaz! rela ia sarcin!-deforma ie specific! solicit!rii de contact concentrat Hertzian. Deformaia rezultat n urma î nc!rc!rii este dependent! neliniar de sarcina aplicat!: Q=K.5n î n care: K# Kp, pentru contactul punctual i K# Kl, pentru contactul liniar; n=1,5 pentru contact punctual pentru contact liniar n=10/9 Pentru un anumit corp de rostogolire , î n cazul î nc!rc!rii statice, sarcinile pe cele dou! c!i de rulare sunt egale: Qi=Ki.5in=Qe =Q=Ke.5en= Kn.5tn î n care 5t=5i+5e. Termenii Ki, Ke, reprezint! rigidit! ile contactelor interior, exterior. Termenii 5i, i 5e definesc apropierea total! corespunz!toare contactului dintre corpul de rostogolire i c!ile de rulare. Pentru cele dou! contacte realizate ale corpului de rostogolire se dezvolt! o rigiditate echivalent! Kn. Rela iile de calcul pentru rigidit! i, î n func ie de tipul de contact sunt: pentru contactul punctual: pentru contactul liniar:

Kp(i,e) = 2,15.105(67(i,e))-1/25*(i,e)-3/2 Kl = 8.05.104Lw8/9

Distribu ia de sarcin! î ntr-un rulment se ob ine prin: !utilizarea integralelor Sjoval, prezentate î n Harris [1966, 1983,1991] !utilizarea matricelor de rigiditate: J. de Mul [1989a i 1989b], Hamrock [1973, 1975], etc Utilizarea integralelor Sjoval axiale reprezint! o metod! aproximativ! deoarece î n cazul rulmen ilor radial-axiali cu bile nu surprinde modificarea unghiului de contact odat! cu cre terea tura iei. In scopul determin!rii precise a parametrilor cvasi-statici ai sistemelor de rulmen i au fost dezvoltate modele de calcul bazate pe matricea de rigiditate a ansamblului rulmen i-arbore. In acest sens se aminte te modelul cuprins î n programul SYSx dezvoltat de Hauswald T [1998a i 1998b]. In acest model matricea de rigiditate a sistemului arbore-set de rulmen i are dimensiunea 10x10, considerând elasticitatea arborelui. In acest caz a fost utilizat un algoritm bazat pe folosirea tehnicii elementului finit. Implicarea flexibilit! ii arborelui, dar f!r! considerarea modific!rii unghiului de contact dintre rol!- i calea de rulare este realizat! î n modelele dezvoltate de Bercea [2002] i respectiv de Fabien B. s.a [2002]. Sub ac iunea unei sarcini combinate (radiale i axiale), distribu ia de sarcin! cap!t! un caracter asimetric, determinând în rulment un moment „remanent”. Acest aspect este eviden iat de analizele în trei grade de libertate efectuate de c!tre Nelias î n cadrul programului BB10. In cazul unei analize î n 5 grade de libertate care include i rezolvarea ecua iilor de echilibru de momente ale inelelor, rezult! al!turi de componente care descriu transla ia inelului mobil i componente corespunz!toare î nclin!rii inelului mobil. Modelul de calcul dezvoltat de J. de Mul î n 1989 surprinde fenomenele prezentate anterior. Modelul de calcul propus de Legrand E î n 1997 include un nou tip de analiz! care presupune rezolvarea ecua iilor

pag.18

de echilibru de for e i momente, considerând î ns! valori impuse ale rotirii î n reazem. Efectul „geometriei arborelui” î n calculul echilibrului de for e i momente ale sistemelor de rulmen i este introdus î n unele model!ri precum: modelul de calcul utilizat î n programul SYSx al firmei Timken, modelul Bercea [2002]. Gupta [1979], dezvolt! un model sofisticat destinat determin!rii influen ei efectului imperfec iunilor c!ilor de rulare. Cavalaro G. i Nelias D., dezvolt! la INSA de Lyon un model de calcul pentru analiza carcaselor deformabile ale rulmen ilor cu dou! rânduri de bile, destina i construc iei rotorului unui helicopter.

1.4. Modele de analiz! ale contactelor non-hertziene In func ie de m!rimea sarcinii externe aplicate i î n func ie de caracteristicile geometrice al rulmentului analizat, conform J de Mul [1989a], sarcina de contact la nivelul interfe ei rol! - c!i de rulare se transmite prin contacte de tip punctual sau contacte de tip liniar. In monografia, devenit! de referin !, Harris [1966,1983,1991], se consider! existen a unuia dintre cele dou! tipuri de contact. Acest aspect se datoreaz! utiliz!rii modelului de calcul care cuprinde integralele de tip Sjoval. In func ie de sarcina extern!, la nivelul contractului dintre o rol! i c!ile de rulare pot exista simultan contacte punctuale cât i contacte de tip liniar. O încercare de tratare simultan! a ambelor tipuri de contacte (stabilirea unui criteriu de tranzi ie î ntre cele dou! tipuri de contacte) a fost realizat! de c!tre Houpert [2001]. Principiul metodei adoptate de c!tre Houpert î l constituie realizarea unor func ii de interpolare î n func ie de apropierea relativ! a dou! suprafe e aflate î n contact. Interpolarea a fost realizat! de Houpert utilizând rezultatele unui algoritm de calcul dezvoltat de c!tre Cre u Sp [1996] având la baz! o analiz! a contactului folosind metoda semispa iului elastic. Rela iile de calcul dezvoltate de Houpert permit î n acest caz, aproximarea parametrilor celor dou! tipuri de contact prin introducerea unei noi rela ii de calcul a rigidit! ii contactului i utilizarea exponentului 1,09 î n rela ia de dependen ! dintre sarcin! i deforma ie. J. de Mul [1989] a prezentat un algoritm de calcul destinat analizei rulmen ilor cu contacte liniare care includ i efectul î nclin!rii inelului interior. O metod! similar! a fost aplicat! de c!tre Cre u Sp i Bercea I [1995], Bercea [1996] i Prisacaru [1997]. Efectului rotirii rolei asupra distribu iei de presiune la nivelul unui contact dintre o rol! i o cale de rulare este eviden iat i de utilizarea metodei elementului finit i a metodei coeficien ilor de influen ! din teoria semispa iului elastic. Intr-un studiu efectuat de Cre u Sp, .a [1999] s-a pus î n eviden ! distribu ia neuniform! de presiune la nivelul unui contact rol!-cale de rulare, sub efectul rotirii impuse a axei rolei. A fost utilizat! metoda coeficientilor de influenta. Valorile impuse rotirii axei rolei au fost introduse ca date de intrare î n urma rul!rii programului de calcul dezvoltat anterior de Bercea [1996]. In modelul de calcul dezvoltat de Legrand E î n 1997, este surprins efectul trunchierii elipsei de contact î n cadrul rulmen ilor cu cale de rulare sec ionat!. Totu i, algoritmul de calcul prezentat î n cadrul raportului c!tre compania SNECMA nu prezint! i solu ii de analiz! a acestui fenomen. Metodele de analiz! ale parametrilor unui contact non-hertzian, care surprind i efectul concentr!rii tensiunilor î n zona de cap!t al unei role î n forma prezentat! de c!tre Johnson K.L [1985], Popinceanu N., .a, [1985], Cre u Sp. [2002], permit scrierea matricei de rigiditate ale unei role î n func ie de derivatele coeficien ilor de influen !. Crearea Jacobianului unei role, prin derivarea coeficien ilor de influen ! î n raport cu deplasarea centrului de mas! al rolei, necesit! î ns! o cantitate mare de memorie. pag.19

1.5. Modele de calcul pentru parametrii lubrifian ilor i parametrii cvasi-dinamici. Rolul principal al lubrifiantului este cel de separare a corpurilor î n contact (respectiv existen a unui regim de ungere pentru care parametrul filmului de lubrifiant s! aib! valori mai mari ca 1,5) Rela iile de calcul necesare determin!rii grosimii filmului de lubrifiant au fost stabilite de c!tre Dowson [1961, 1976, 1983, 1995], Hamrock [1973, 1976, 1977], etc. Rela iile matematice dezvoltate pun î n eviden ! necesitatea cunoa terii regimului de ungere de la nivelul tribocontactelor rulmentului. Studiile efectuate î n acest sens au condus la stabilirea unor zone de valabilitate ale a rela iilor de calcul determinate pentru grosimea minim! i maxim! a filmului de lubrifiant. Delimitarea acestor zone se poate realiza folosind diagrame precum cele indicate î n figura 1.20.

Fig. 1.20. Exemple de h!r i de regim trasate pentru dou! valori diferite ale parametrului elipticitate, (Dowson [1995]) Trasarea h!r ilor de regim se realizeaz! î n func ie de valorile parametrilor adimensionali de viscozitate (gv) i de parametrul adimensional de elasticitate (ge), care depind la rândul lor de parametrii adimensionali de sarcin!, de material i de parametrul adimensional de vitez!. Cre u S. [1989], a realizat hartile de regim destinate “delimit!rii regimurilor de ungere”, pentru analiza lubrifica iei dintre cap!tul rolei i um!rul de ghidare al unui rulment cu role cilindrice, fiind primul studiu de acest tip din tara. Studiile numerice au fost bine validate de m!sur!torile de grosime de film efectuate prin metoda interferometriei optice. In scopul determin!rii regimului de ungere existent î ntr-o cupl! de frecare Houpert [1985] a introdus o un criteriu de tranzi ie între diversele tipuri de regimuri, utilizând un parametru de decizie notat A. Un model similar este cel realizat de Marckho i prezentat de Harris î n 1991. Pentru studiul for elor de frecare dintre rol! i colivie, Houpert î n 1984, a pus î n eviden ! posibilitatea dezvolt!rii î n contactele unei bile (role) cu colivia, a trei regimuri de ungere : piezovâscos rigid (PVR sau EHD), izovâscos elastic (IVE sau HD) i regim uscat.

pag.20

Fig.1.21. Criteriu pentru stabilirea tranzi iei î ntre regimurile de ungere dintr-un tribocontact, (Houpert [1985]) Conform teoriei EHD în condi iile izoterme, la cre terea tura iei i a vâscozit! ii lubrifian ilor cre te grosimea filmului interpus î ntre bile (role) i c!ile de rulare. Condi iile izoterme la tura ii ridicate, î n cazul func ion!rii la rulmentului la tura ie ridicat! sunt greu de realizat datorit! frec!rilor interne din filmul de lubrifiant. Prin urmare aspectele termice devin importante la tura ii ridicate i conduc la sc!derea sever! a grosimii filmului. Cercet!rile efectuate de Hamrock [1983b], Johnson [1980] au pus î n eviden ! cauzele i efectele fenomenelor termice din filmul de lubrifiant (fig. 1.22).

Fig.1.22.a. Distribu ia de presiune filmului de lubrifiant î n lipsa starv!rii.

i forma Fig.1.22.b. Distribu ia de presiune i forma filmului de lubrifiant î n cazul existen ei starv!rii

Un alt fenomen sesizat se refer! la insuficien a aliment!rii cu lubrifiant a contactelor EHD î n cazul unor cantit! i reduse de lubrifiant i a vitezelor ridicate i este cunoscut sub denumirea de starvare.

pag.21

Starvarea a fost studiat! de Popinceanu i colaboratorii [1972, 1977, 1985], fenomenul eviden iindu-se chiar i la tura ii reduse ale rulmen ilor, prin utilizarea unor uleiuri cu vâscozitate ridicat!. Determinarea unui factor de corec ie a grosimii filmului EHD afectat de starvare a constituit una din preocup!rile de baz! ale diver ilor cercet!tori î ntre care Goksem i Hgargreaves [1976], Olaru D [1992], etc. Hamrock i Dowson [1977] stabilesc pentru un contact punctual un coeficient de starvare care depinde de grosimea filmului calculat! î n condi ii de ungere abundent!. Pentru conditii functionale de mentinere la o valoare constanta a grosimii filmului Cretu Sp. [1989] a evidentiat, in premiera mondiala, aceeasi relatie dintre parametrul de ungere si durabilitate prin modificarea parametrilor de rugozitate la loturile de rulmenti supusi incercarilor de fiabilitate. Existen a lubrifiantului la nivelul interfe ei corp de rostogolire - c!i de rulare i colivie – inel de rulment cauzeaz! apari ia urm!toarelor for e i momente: !for a (momentul) de rostogolire de natur! vâscoas!; !for ele de presiune (for a hidrodinamic!); !for ele de “drag” (for e de frecare î ntre suprafa a corpului de rostogolire i amestecul aerlubrifiant); !for ele de rezisten ! la î naintarea elementului de rostogolire prin amestecul aer-lubrifiant; !for ele generate de efectul de palier scurt (î n cazul analizei ghid!rii coliviei pe c!ile de rulare); !for ele de trac iune din lubrifiant. Un model complex de calcul al tensiunilor tangen iale î n filmul existent la contactele bilelor (rolelor) cu c!ile de rulare utilizând modelul Maxewell-Ree-Eyring a fost dezvoltat de Houpert L [1985a]. Tensiunile tangen iale din zona de contact sunt predominante î n compara ie cu tensiunile din straturile de lubrifiant din zona de intrare în contact, în primul rând din cauza cantit! ii reduse de lubrifiant existent î n condi iile unor tura ii ridicate. Modelarea matematic! a evolu iei tensiunilor de forfecare din lubrifiant în direc ia de rostogolire cât i în direc ie axial! a fost eviden iat! de Houpert [1985a] , Nelias D [1999], etc. Toate aceste tipuri de modele utilizeaz! un parametru important al lubrifiantului, i anume tensiunea de forfecare caracteristic! sau limit!. Determinarea for elor de trac iune î n acest caz se realizeaz! prin integrarea tensiunilor par iale specifice fiec!rei celule elementare corespunz!toare domeniului de contact analizat (figurile 1.23a i 1.23b).

Fig.1.23a. Tensiuni de forfecare î n Fig.1.23b. Tensiuni de forfecare din lubrifiant lubrifiant î n direc ia de mi care, (Bercea corespunz!toare direc iilor de î naintare a rolei i respectiv I, [1996] ) î n direc ie perpendicular! pe aceasta, (Bercea I, [1996] ) Analiza bidirec ional! a tensiunilor de forfecare din lubrifiant este specific! contactelor cap!t rol! – um!r de ghidare ale c!ii de rulare i î n cazul rulmen ilor cu bile î n cazul existen ei mi c!rilor pag.22

giroscopice i de spin. Determinarea parametrilor care caracterizeaz! vâscozitatea dinamic! , coeficientul de pizovâscozitate i respectiv evolu ia tensiunii de forfecare dintr-un lubrifiant sunt prezentate de Nelias D [1999], î n cazul lubrifian ilor utiliza i î n industria aeronautic!. In cazul utiliz!rii acestui tip de lubrifian i Nelias [1999] recomand! utilizarea modelului de calcul WLF, Yatsutomi, .a. [1984], Nijenbanning G. s.a [1994]. Compara iile experimentale prezentate pentru patru tipuri de lubrifiant, prezentate î n figura 1.24, arat! c! folosirea unui model de calcul general pentru studierea parametrilor unui lubrifiant implic! i unele neconcordan e î n raport cu rezultatele experimentale.

Fig.1.24. Compara ii î ntre datele experimentale i cele ob inute pentru calculul vâscozit! ii dinamice folosind diverse modele de calcul prezentate î n literatur!, (Nelias D. (1999]). Un alt parametru important, utilizat î n calculul parametrilor adimensionali ai lubrifian ilor, î l reprezint! coeficientul de piezovâscozitate. In mod similar în figura 1.25 se prezint! diferen ele ob inute urmare a utiliz!rii diverselor modele de calcul asupra valorilor coeficientului de piezovâscozitate i a grosimii centrale a filmului de lubrifiant. (figura.1.25)

Fig.1.25. Evolu ia cu temperatura a coeficientului de piezovâscozitate i a grosimii centrale a filmului de lubrifiant, calculate folosind diverse modele de calcul, (Nelias D, [1999]) Determinarea tensiunii de forfecare, corespunz!toare trecerii de la comportarea de tip Newtonian la pag.23

zona de comportare non-Newtoinian!, impune cunoa terea curbelor de trac iune ale lubrifiantului analizat. In figura 1.26 se prezint! rela iile de calcul necesare analizei evolu iei tensiunilor de forfecare i a modului de forfecare transversal pentru lubrifian ii destina i utiliz!rii î n industria aeronautic! ( Nelias [1999]).

Fig. 1.26. Exemple de curbe de trac iune trasate pentru lubrifian i destina i utiliz!rii î n industria aeronautic!, (Nelias D, [1999]). Cercet!rile experimentale efectuate de Olaru [1992], Cre u [1999], Bercea I. [1996 i 2002] au permis trasarea curbelor de trac iune pentru unui din lubrifian ii române ti i respectiv determinarea tensiunii de forfecare caracteristice. Intre lubrifian ii pentru care au fost determinat! tensiunea de forfecare caracteristic! este i lubrifiantul H46 utilizat î n cadrul testelor experimentale din prezenta lucrare. Un loc aparte îl ocup! studierea interac iunii dintre role i colivie cât i optimizarea formei constructive a coliviei. Bones [1970], Poplawski (1972), Gentle s.a, [1985], Cre u i Bercea [1997, 1999], Reviron O, s.a [1999], prezent! studii legate de determinarea coeficientului de frecare dintre o rol! i o colivie, stabilind rela ii de calcul necesare î n studiul efectului for ei de contact dintre rol! i colivie asupra parametrilor cvasi-dinamici. Utilizând modelul de calcul specific lag!relor cu palier scurt, Frene, .a. [1990] au fost eviden iate evolu iile for elor de natur! vâscoas! i ale for elor de trac iune pe asperit! i specifice contactului rol!-colivie (figura. 1.27).

Fig. 1.27. For e ce ac ioneaz! î n contactul rol! colivie (Cre u Sp., .a [1999]) Încerc!rile de optimizare constructiv! ale coliviilor rulmen ilor cu role conice au condus la realizarea de diferite tipuri de colivii, precum cele prezentate î n figura 1.28. Pentru cazul rulmen ilor radiali axiali cu role conice, un exemplu de analiz! este cel prezentat de Orvos [1987]. Analiza st!rii de tensiuni a pag.24

fost efectuat! utilizând metode de discretizare specifice elementului finit, (figura1.29).

Fig.1.28. Solu ii constructive de colivii utilizate î n construc ia rulmen ilor cu role conice, Orvos [1987].

Fig. 1.29. Exemple de structuri utilizate pentru analiza st!rii de tensiuni î ntr-o colivie (elemente de tip brick i beam), (Orvos [1987].) Analiza fenomenelor tribologice specifice contactului dintre cap!tul unei role i umerii de ghidare ai c!ilor de rulare î n rulmen ii cu role cilindrice sau conice a f!cut subiectul studiilor efectuate de Brown, .a [1983], Cre u Sp, s.a [1986, 1988,1996], Zhou s.a [1991], Warda [1991], Bercea I [1996], Prisacaru Gh s.a [1994, 1997, 1999], etc. Sub efectul condi iilor de func ionare, mi carea coliviei nu este una uniform!. Acest fenomen este pus î n eviden ! de c!tre Gupta [1979], Nelias D [1999]. Un exemplu î n acest sens este cel prezentat de Nelias D, î n cazul analizei fenomenelor dinamice î n cadrul rulmen ilor cu role cilindrice (figura. 1.30).

pag.25

Fig. 1.30. Varia ia pozi iei centrului de mas! al coliviei i evolu ia vitezelor unghiulare a c!ii de rulare i a coliviei î n timp (Nelias D, [1999]) Meeks C i Karen O, [1984a i 1984 b], a pus deasemenea î n eviden ! varia ia pozi iei centrului de mas! al coliviei (figura. 1.31).

Fig. 1.31. Elemente utilizate pentru analiza deplas!rii centrului de mas! al coliviei unui rulment, (Meeks C, Karen O, [1984a,b]) Studiile efectuate de Nelias D, asupra rulmen ilor cu role cilindrice au pus de asemenea în eviden ! faptul c! între role i colivie exist! for e de contact (a fost f!cut! aceast! precizare deoarece exist! modele matematice de calcul ale parametrilor cvasi-dinamici care neglijeaz! contactul rol!-colivie). Astfel în figura 1.32, conform Nelias D [1999], se prezint! pentru „rola nr. 8” evolu ia sarcinii de contact î ntre rol! i calea de rulare interioar! (WBI) i respectiv rol! – colivie (WCR).

pag.26

Fig.1.32. Evolu ia sarcinii de contact î ntre o rol! i calea de rulare interioar!, respectiv rol! – colivie, (Nelias D, [1999]). Studiul interac iunii dintre role – colivie i amestecul aer lubrifiant a f!cut subiectul unora dintre analizele efectuate de Rumbarger î n 1973. In cazul unei aliment!ri reduse cu lubrifiant, Nelias D î n 1999 a prezentat o rela ie de calcul destinat! aprecierii for ei de rezisten ! la î naintarea rolei prin amestecul aer-lubrifiant. Determinarea parametrilor “ghid!rii coliviei pe c!ile de rulare sau pe inelele flotante ale unui rulment” se realizeaz! prin utilizarea elementelor care descriu efectul de palier scurt. Analiza efectului de “palier scurt” asupra coliviei unui rulment se realizeaz! prin utilizarea elementelor de calcul prezentate de Frene J. i Nicolas D [1990] i Olaru [1992, 1995 i 2002]. In 1990, Naronha î n cadrul firmei FAG, a pus î n eviden ! sarcinile de contact rola-colivie i rol!-c!i de rulare în cazul rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri. Elementele prezentate în figurile 1.33 i 1.34 arat! existen a componentei de „skew-ing” cât i sarcinile de contact rol! – colivie i colivie-inel interior.

Fig. 1.33. Sarcini normale i tangen iale care ac ioneaz! asupra unei role butoi, (Naronha, [1990])

pag.27

Fig.1.34. Sarcini normale i tangen iale care ac ioneaz! asupra inelului interior i asupra coliviilor unui rulment radial oscilant cu role butoi (Naronha, [1990])

1.6. Comportarea cvasi-dinamic! a rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi In analiza cvasi-dinamicii rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi sunt utilizate: !modele simplificate, f!r! integrarea ecua iilor de mi care, precum modelul dezvoltat de Houpert î n 1985; !modele care includ integrarea ecua iilor de mi care, î ntre acestea fiind modelele realizate de Molina [1976], Kellstrom [1979] (SKF) , Kleckner [1982], Naronha [1990] (FAG), Gupta, [1979 a..d, 1983, 1991], Olaru D [1992], Bercea I [1996], Prisacaru [1997], etc. Unele asem!n!ri care exist! î ntre rulmen ii radial oscilan i cu role butoi i rulmen ii cu role conice i cilindrice precum considerarea contactului liniar conduc la concluzia c! exist! posibilitatea de a se adopta modelele de calcul descrise pentru aceste tipuri de rulmen i. Pe de alt! parte î n cazul î nc!rc!rilor mici existen a contactelor de tip punctual apropie comportarea rulmen ilor cu role butoi de comportarea rulmen ilor radiali cu bile.

1.7. Obiective ale tezei. Din analiza stadiului actual î n domeniul cercet!rii rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri au rezultat urm!toarele obiective ale tezei: !Definirea pe structura rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri a unei clase de func ii din care prin derivare s! poat! fi descris din punct de vedere geometric i func ional orice tip de lag!r cu rostogolire. !Realizarea unui model de calcul general, parametrizat, utilizat î n scopul optimiz!rii func ionale a rulmen ilor i respectiv a sistemelor de rulmen i

1.8. Direc ii de cercetare Pentru î ndeplinirea obiectivelor tezei cercet!rile au fost orientate pe urm!toarele direc ii: 1. Definirea unei clase de func ii destinat! descriererii unitare a geometriei rulmen ilor. pag.28

2. Definirea parametrilor cinematici ai rulmen ilor cu role sau cu bile care con in dou! sau mai multe contacte principale 3. Stabilirea unei metode de analiz! cvasi-static! a contactelor punctuale i punctuale modificate. 4. Stabilirea unei metode de calcul pentru determinarea parametrilor cvasi-statici ai rulmen ilor i a sistemelor de rulmen i. 5. Definirea parametrilor care stabilesc comportarea lubrifiantului la nivelul tribocontactelor din rulmen i. 6. Stabilirea unui algoritm de calcul pentru analiza cvasi-dinamic! a rulmen ilor. 7. Validarea algoritmului dezvoltat

Rezolvarea problemelor legate de dezvoltarea unui model de calcul care s! poat! fi utilizat în scopul determin!rii parametrilor cvasi-dinamici ai lag!relor cu rostogolire cât i validarea acestuia constituie subiectul prezentei lucr!ri.

pag.29

CAPITOLUL 2.

Contribu ii privind modelarea geometriei rulmen ilor radial oscilan i

cu role butoi

Contribu ii privind modelarea geometriei rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi.

pag.30

2. Modelarea geometriei rulmen ilor. Marea varietate de forme constructive de rulmen i oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri prezentate în cataloagele de rulmen i, a impus realizarea unei model!ri unitare a geometriei acestora. Metoda utilizat! const! î n realizarea unei clase de obiecte derivabile care s! permit! construirea geometriei oric!rei structuri care include corpuri de rostogolire (role sau bile) aflate î n mi care de rota ie sau transla ie (implicit a rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri). Obiectivul acestui capitol este de a defini geometria rulmentului radial oscilant cu role butoi simetrice ca pe o clas! de obiecte de referin ! folosita ulterior pentru descrierea oric!rui tip de rulment sau structur! asem!n!toare (sistem liniar, cuplaje unidirec ionale cu bile sau cu role, uruburi cu bile, etc). Metoda pentru analiz! este modelarea orientat! pe obiecte (OOP).

2.1. Modelarea orientat! pe obiecte (OOP) a geometriei rulmen ilor. Din punct de vedere OOP rulmen ii reprezint! structuri arborescente având propriet! i de descenden ! i de mo tenire. In cazul rulmen ilor, structura primitiv! este reprezentat! de rola butoi simetric!. 2.1.1. Rulmentul - structur! OOP. Arhitectura structurii. Se define te clasa de func ii „rulment” prin intermediul unei structuri informatice numit! structur! SRB sau pe scurt SRB (Spherrical Roller Bearing), având corespondent fizic un rulment radial oscilant cu role butoi pe dou! rânduri. Clasa de func ii SRB, înglobeaz! propriet! ile unui ansamblu de elemente fizice, grupate prin propriet! i de interdependen ! func ional! si include caracteristicile a dou! tipuri de elemente: !elemente obligatorii (c!i de rulare, role); !elemente auxiliare (colivii, inele de ghidare intermediare, elemente de etan are). Ansamblul de structuri SRB formeaz! o suprastructur! notat! SSRB (Spherical Roller Bearing System) incluzând elementele prezentate î n figura 2.1.

Fig.2.1. Elemente componente ale unei suprastructuri SSRB Din analiza figurii 2.1, rezult! c! SSRB are o structur! ierarhic! de tipul celei prezentate î n figura 2.2.

pag.31

Fig.2.2. Arhitectura suprastructurii SSRB 2.1.2. Structuri derivabile din clasa SRB. Din punct de vedere tehnic exist! o condi ie de leg!tur! care impune ca geometria rolei s! fie î n corela ie cu geometria c!ilor de rulare. Posibilitatea ob inerii de structuri derivate din structura SRB este asigurat! de respectarea, sau nu, a rela iilor de dependen a func ional! dintre p!r ile componente ale structurii, conform figurii 2.3.

Fig.2.3. Structuri derivate din clasa SRB-SRB (rulment oscilant cu role butoi pe dou! rânduri) Principalele structuri derivate din clasa SRB sunt reprezentate de rulmen ii de tip SRB, CARB, TRB, CRB, RAX, SBB, DRBB, 4PCBB etc (nota iile introduse sunt conform paragrafului „Nota ii” i figurii 2.7). In tabelul 2.1 sunt prezentate o parte din câmpurile clasei SRB. pag.32

Tabel 2.1 Structura clasei SRB Câmp clas! Num!r rânduri Role Num!r de raze generatoare ale rolei Inel interior Inel exterior Num!r de colivii Inel intermediar Elemente de etan are

Caracteristici / descenden ! unul, dou! sau mai multe simetrice: butoi => cilindrice => bile asimetrice: butoi => conice una, dou! sau mai multe unic sau sec ionat unic sau sec ionat una, dou! sau mai multe existent (fix sau flotant )sau inexistent existente sau inexistente

Unele din câmpurile clasei SRB includ elemente descendente cum ar fi: material, rugozitate, profil longitudinal i transversal etc. Elementele geometrice care definesc o structur! SRB sunt: !Elemente geometrice exterioare: standardizate i prezentate în cataloagele de rulmen i ale firmelor produc!toare. Caracterizeaz! rulmentul din punct de vedere al montajului. !Elemente geometrice interne: influen eaz! comportarea rulmentului în condi ii de func ionare impuse de proces. Sunt reprezentate de: o Elemente geometrice interne constructive. Rezult! în urma procedeului tehnologic de realizare a rulmentului, fiind reprezentate de: diametrul rolelor, diametrul c!ilor de rulare, razele generatoare ale c!ilor de rulare i rolelor, unghiurile de î nclinare ale rolelor i c!ilor de rulare, parametrii geometrici ai coliviei i inelelor de ghidare. o Elementele geometrice interne func ionale. Sunt reprezentate de: jocul interior (radial sau axial), unghiul de contact i diametrul mediu. Ace ti parametri depind de condi iile de func ionare, temperatur!, materiale, condi ii de montaj, etc. 2.1.3. Rola butoi – element de baz! al structurii SRB. Principalele elemente geometrice ale unei role butoi (rola SRB) sunt prezentate î n figura 2.4.

Fig. 2.4. Principalele elemente geometrice ale unei role butoi Metodele de ob inerea a diferitor tipuri de geometrii de corpuri de rostogolire dintr-o rol! SRB sunt: !modificarea razelor i / sau lungimilor :Rsn, Rsd, Lsn, Ldn pag.33

!rotirea profilului rolei cu un unghi impus Figurile 2.5 i 2.6 prezint! dou! tipuri de role derivate dintr-o rol! SRB

Fig.2.5. Role simetrice derivate

Fig.2.6. Role asimetrice derivate

Prin particularizarea parametrilor prezenta i î n figura 2.4 rezult! c! bila este un caz particular de rol! (figura 2.7) Aplicarea rela iilor de interdependen ! func ional! obiectului „rol! SRB” faciliteaz! descrierea geometric! a structurilor prezentate î n figura 2.7.

Structur! SRB-CARB

Structur! SRB-CRB

pag.34

Structur! SRB-SRB

Structur! SRB-RAX

Structur! SRB-SRB-ax Structur! SRB-TRB Fig.2.7. Principalele tipuri de structuri SRB derivate 2.1.4. Metodele structurilor SRB. Pentru a realiza o analiz! unitar! a rulmen ilor i a sistemelor de rulmen i s-au introdus o serie de func ii (metode OOP), utilizate în continuare pentru descrierea deplas!rii centrelor de curbur! ale c!ilor de rulare i ale rolelor. Func iile prezentate în figura 2.8 împreun! cu clasa „rola SRB”, sunt utilizate pentru descrierea comport!rii cvasi-statice i cvasi-dinamice ale unei structuri SRB. In figura 2.8 s-au notat : idx sdux,sduz sdx, sdz

num!rul contactului func ii utilizate pentru descrierea centrului de mas! al corpului de rostogolire func ii utilizate pentru descrierea deplas!rii inelului mobil al structurii

pag.35

SRB-4PCBB1234

SRB-4PCBB24

SRB-4PCBB13

SRB-4PCBB123

SRB-4PCBB134

idx

sdux

sduz

sdx

sdz

1 2 3 4

1 -1 -1 1

1 1 -1 -1

1.RD(RIG) -1. RD(RIG) -1. RD(RIG) 1. RD(RIG)

1. RD(RIG) 1. RD(RIG) 1. RD(RIG) 1. RD(RIG)

idx

sdux

sduz

sdx

sdz

1 2 3 4

0 -1 0 1

0 1 0 -1

0 -1. RD(RIG) 0 1. RD(RIG)

0 1. RD(RIG) 0 1. RD(RIG)

idx

sdux

sduz

sdx

sdz

1 2 3 4

1 0 -1 0

1 0 -1 0

1. RD(RIG) 0 - 1.RD(RIG) 0

1. RD(RIG) 0 1 RD(RIG) 0

idx

sdux

sduz

sdx

sdz

1 2 3 4

1 -1 -1 0

1 1 -1 0

1. RD(RIG) -1. RD(RIG) -1 RD(RIG) 0

1. RD(RIG) 1. RD(RIG) 1. RD(RIG) 0

idx

sdux

sduz

sdx

sdz

1 2 3 4

1 1 1. RD(RIG) 0 0 0 -1 -1 -1. RD(RIG) 1 -1 1. RD(RIG) Fig 2.8. Structuri derivate din clasa SRB-SRB. Metode ata ate.

1. RD(RIG) 0 1 RD(RIG) 1. RD(RIG)

In figura 2.8, func ia RD(RIG) este utilizat! pentru descrierea tipului de rigidizare a structurii, având valorile indicate î n tabelul 2.2. Tabel 2.2. Structura clasei SRB Valoare func ie Tip de Semnifica ie rigidizare RIG=ORR inel exterior fixat rigid î n carcas! (inel interior RD(1)=RD(2)=1; rotitor); RD(3)=RD(4)=0 RIG=IRR inel interior considerat rigid (inel exterior RD(1)=RD(2)=0; rotitor); RD(3)=RD(4)=1 Sumarea logic! a propriet! ilor structurilor de tip SRB-4PCBB-13 i SRB-4PCBB-24 ofer! posibilitatea extinderii model!rii la structurile prezentate î n figura 2.9. pag.36

Fig 2.9. Structuri complexe derivate din clasa SRB-SRB rezultate prin concatenare de propriet! i

2.2. Interac iunea geometric! rol!-colivie Se define te parametrul ULRC, ca fiind unghiul maxim de rotire a rolei î n loca ul coliviei neconsiderând momentul geometric de contact. In cazul rulmen ilor cu bile, unghiul ULRC nu poate fi definit, deoarece „bila” are o mi care complet! de rotire î n loca ul coliviei. Nelias D [1989] arat! c! î n cazul rulmen ilor cu bile, mi carea relativ! dintre o bil! i colivie se manifest! prin intermediul fenomenelor de ”palier scurt” si de „palier lung” având efect în modificarea tura iei bilei. In tabelul 2.3 i figura 2.10 sunt prezentate elementele geometrice necesare determin!rii parametrului ULRC, notat î n continuare ) Tabel 2.3. Elemente geometrice necesare pentru calculul unghiului ULRC Rc– raza generatoare a profilului coliviei Rf - raza de cap!t a rolei, respectiv raza rolei Jf, Jd – joc frontal, respectiv diametral Rinf – raza laterala a coliviei considerat! infinit!

pag.37

Colivie Rola

A' Jd

A

Dw

Ow Rf Rc Rw

Jf Lw

Fig.2.10. Elemente geometrice necesare determin!rii parametrului ULMRC Introducând listele: " Rc, Rinf Rw " Rw, Rf Rc J " Jd,Jf L " Dw, Lc Rw.Rc R, Rw . Rc rezult!: ! / A2 2 / A 4 2$ ) , ULRC , min #a cos1 4 - a cos1 4& 0 A1 3 0 A3 3 % " unde: L2 / A1 , R. cos( x ) - 1 R - 4 23 0 A2 , R.sin(x), ! 2 2 !A3 , A1 . A 2 ,

A 4 , Jf , Jd .

Lw , Dw 2

/ R 2 x , arccos1 4 0R.J3

2.3. Componentele „joc radial” î ntre o colivie i elementele unei structuri SRB- SRB Structurile SRB-SRB, prezint! câteva particularit! i în ceea ce prive te definirea jocului dintre o colivie i celelalte elemente componente ale structurii. In cazul î n care exist! dou! colivii i inel intermediar componentele parametrului „joc” sunt prezentate î n figura 2.11. pag.38

jCB

jIB jCI

jCC

LC

LIF

Fig. 2.11. Jocul dintre o colivie si celelalte elemente componente ale unei structuri SRB-SRB Tip de joc Joc radial î ntre colivie (C) i calea de rulare (B) Joc axial î ntre colivii Joc î ntre colivie i inelul flotant (intermediar) Joc radial î ntre inelul intermediar i calea de rulare interioar! a rulmentului

Nota ie JCB JCC JCI JIB

Elementele prezentate î n figura 2.11 sunt necesare deoarece contribuie la realizarea efectelor de „palier scurt”, având influen ! asupra parametrilor cvasi-dinamici ai rulmentului (cap. 6).

2.4. Definirea jocului î n structurile SRB-RAX i SRB-4PCBB Având un rol major î n calculul distribu iei de sarcin! i implicit î n analiza parametrilor cvasi-dinamici ai rulmentului jocul radial î ntr-un rulment apare reprezint! unul dintre cei mai importan i parametri. Este justificat! rela ia de reparti ie a jocului î n rulmen ii cu bile î n forma prezentat! de Harris î n 1991 ? Conform [Harris, 1966, 1983, 1991], se define te jocul radial pentru un rulment cu contact oblic, avand dou! puncte de contact, ca fiind amplitudinea deplas!rii radiale, rezultat! prin deplasarea liber! a c!ii de rulare mobile, în raport cu calea de rulare fix!, astfel încât pozi iile centrelor de curbur! ale c!ilor de rulare i ale bilei s! fie coliniare. Jocului radial, î i corespunde un joc axial, pentru care pozi iile centrelor de curbur! ale c!ilor de rulare si ale bilei sunt coliniare. Conform Harris [1966, 1983, 1991] reparti ia jocului local dintre o bil! si c!ile de rulare se face î n mod simetric adic! „Pd/4”.... ceea ce nu este totu i corect, deoarece nu to i rulmen ii au conformit! i egale pentru c!ile de rulare interioar! i respectiv exterioar!. In func ie de tipul de rulment cu bile reparti ia jocului se face conform figurii 2.12.

pag.39

Jd/2

Sd/2

Jd.(1-x)/2 Jd.x/2

SRB-4PCBB-1234

Jd/2

Jd/2

SRB-4PCBB-13

SRB-4PCBB-123 SRB-4PCBB-134 Fig.2.12. Reparti ia jocului intre o bil! i c!ile de rulare, in func ie de tipul structurii Trebuie men ionat c! este necesar a se cunoa te dac! valoarea jocului constituit! ca dat! de intrare reprezint! jocul rulmentului primitiv sau valoarea efectiv! a jocului. Spre exemplu, dac! se consider! un rulment radial axial cu bile având c!ile de rulare interioare i exterioare complete (rulment primitiv), analiza distribu iei jocului pentru structurile prezentate î n figura 2.12 se realizeaz! î n dou! cazuri distincte, conform paragrafelor (2.4.1 i 2.4.2):

pag.40

2.4.1. Calculul distribu iei jocului î n rulment cunoscând geometria rulmentului primitiv Se presupune cunoscut! geometria intern! a rulmentului î nainte de decuparea c!ii(lor) de rulare i jocul efectiv î nainte de decupaj. In aceste condi ii trebuie verificat dac! datele de intrare reprezentate de „shim angle, Harris [1991]” (reprezentând unghiul liber de contact dintre o bil! i o cale de rulare a unui rulment cu cale de rulare sec ionat!) i „jocul efectiv” sunt compatibile. In figura 2.13 se prezint! elementele geometrice necesare determin!rii distribu iei jocului local î ntre o bil! si cele „idx” c!i de rulare ale structurii.

dax

-R Rc

dax

RD

y.Jd/2

jrz

Rc

w ?°

L

SD Fig.2.13. Parametri care definesc jocul local, notat SDL In figura 2.13, parametrii x i y sunt determina i cu rela iile: x ,. , 3,4 y, 1 - x ,.....idx , 1,2 fi - 0.5 x, fi . fo - 1 î n care fi i fo reprezint! conformit! ile c!ilor de rulare ale rulmentului primitiv (î nainte de decupaj) Prin intermediul parametrului „x” se definesc: Unghiul „liber local”: pag.41

Jd 2 / 1 (fi - 0.5).dw - x 4 2 4; ) ir , a cos1 1 (fi - 0.5).dw 4 1 4 3 0 Jocul axial local:

Jd 2 / 1 (fo - 0.5).dw - (1 - x ) 4 2 4 ) or , a cos1 1 (fo - 0.5).dw 4 1 4 3 0

jai , (fi - 0.5). sin() ir .)dw

jao , (fo - 0.5). sin() or .)dw

Jocul local î n direc ia normalei la contact, SDL(idx), are expresia: SDL(idx ) , 8fio(idx ) - 0.59.dw - [(fio(idx ) - 0.5).dw - y

Jd 2 ] . dax 2 . 2

î n care: Jd 2 / dax i , o , 1 (fio i , o - 0.5).dw - y 4. tan() ir , or ) 23 0 2.4.2. Calculul distribu iei jocului cunoscând parametrii „shim angle” si jocul efectiv dup! decupaj Figura 2.14. prezint! elementele necesare realiz!rii calculului componentelor SDL î n func ie de parametrul „shim angle” .

SD

L3

S3

Jd/4

Jd/4

U3

SD

L2

U2

S2

Fig. 2.14. Parametrii care definesc jocul local, SDL, intre bil! si c!ile de rulare Valorile parametrilor SDL(idx) sunt date de rela ia: pag.42

2

2

SDL(idx),8fio(idx)-0.59.dw - [(fio(idx)-0.5).dw.sin()shim,idx)] .[(fio(idx)-0.5).dw.cos()shim,idx)- Jd ] . 4 i 2 / (fio(idx)-0.5).dw.sin() 4 1 shim,idx ) U(idx),a tan . Jd 1 (fio(idx)-0.5).dw.cos()shim,idx )- 4 4 3 0 In figura 2.14 a fost notat Sidx=)shim,idx

2.5. Reparti ia jocului î n structurile SRB cu role i SRB-OB Pentru calcul reparti iei jocului la nivelul contactelor dintre role (bile) i c!ile de rulare î n structurile SRB-SRB i SRB-OB se disting dou! cazuri de calcul: Cazul A. Nu se cunoa te diametrul mediu al rulmentului î ns! este indicat unghiul de î nclinare al c!ii de rulare interioare ()). In acest caz se rote te inelul interior cu (-)) i se m!soar! valoarea efectiv! a jocului diametral (Jd). Se face o rota ie a inelului interior cu ()) si se calculeaz! valoarea deplas!rii radiale libere (jri,e) dintre role i c!ile de rulare astfel: jri , cos()1i).[Ri - Rw ] - [Ri - Rw - SDLI]. cos()) jre , cos()1e).[Ri - Rw ] - [Re- Rw - SDLE]. cos()) unde: x jocul radial local la nivelul contactului rol! – cale de rulare interioar! 2 (1 - x ) SDLE , Jd. jocul radial local la nivelul contactului rol! – cale de rulare exterioar! 2 Ri - Rw !x , Ri . Re - 2.Rw / sin()).:Ri - Rw - SDLI; 2 !)1i , a sin 1 4 Ri - Rw 0 3 / sin()).:Re- Rw - SDLE; 2 !)1e , a sin 1 4 Ri - Rw 0 3 !Ri raza profilului transversal al c!ii de rulare interioare !Re raza profilului transversal al c!ii de rulare exterioare !Rw raza profilului transversal al rolei (Rw=Dw/2 pentru structura SRB-OB)

SDLI , Jd.

Deplas!rii radiale libere (jri,e) î i corespunde o deplasare axial! liber! (jai,e) la nivelul contactelor rolec!i de rulare calculabil! cu rela iile: jai , cos()1i).[Ri - Rw ] - [Ri - Rw - SDLI]. cos()) jae , cos()1e).[Re- Rw ] - [Re- Rw - SDLE]. cos()) unde:

/ cos()).:Ri - Rw - SDLI; 2 !)1i , a cos1 4, Ri - Rw 3 0

pag.43

/ cos()).:Re- Rw - SDLE; 2 !)1e , a cos1 4 Ri - Rw 0 3 Cazul B. Se cunoa te diametrul mediu al rulmentului i unghiul de î nclinare al c!ii de rulare interioare ()). In acest caz se calculeaz! parametrul SDLE cu rela ia: Dm Dw 2. cos()) 2 Se calculeaz! parametrul „x” rezultând SDLI jri,e i jai,e SDLE , Re -

Cazul )=0 corespunde structurilor SRB-CRB i SRB-CARB. Pentru acestea se define te parametrul deplasare axial! liber! interioar! i respectiv exterioar! la nivelul unei role astfel: Jai , Jae ,

8Ri - Rw 92 - 8Ri - Rw - SDLI92 8Re- Rw 92 - 8Re- Rw - SDLE 92

jocul axial local interior jocul axial local exterior

unde: x 2 (1 - x ) SDLE , Jd. 2 Ri - Rw x, Ri . Re - 2.Rw

SDLI , Jd.

jocul radial local la nivelul contactului rol! – cale de rulare interioar! jocul radial local la nivelul contactului rol! – cale de rulare exterioar!

In cazul structurilor SRB-SRB-ax i SRB-TRB parametrii care definesc jocul local î ntre o rol! i c!ile de rulare au valoare nul!, fiind î n general rulmen i axial-radiali lucrând cu pretensionare axial!.

2.6. Reparti ia jocului sub efectul expansiunii centrifugale, a fretajului i a temepraturii In timpul func ion!rii, jocul î ntr-o structur! SRB se modific! sub efectul rotirii unuia dintre inelele structurii, a for elor de fretaj cât i cât i datorit! temperaturii de func ionare. Parametrii men iona i anterior î mpreun! cu tipul de rigiditate al structurii (tabelul 2.2 i capitolul. 4) modific! valoarea jocului func ional crescându-i sau mic orându-i valoarea în raport cu jocul de montaj. 2.6.1. Efectul rotirii uneia din c!ile de rulare asupra modific!rii jocului î n rulmen i Prin utilizarea metodelor de calcul ale tuburilor cu pere i gro i î n mi care de rota ie, Buzdugan Gh, s.a [1991], pune î n eviden ! modificarea diametrelor interior i exterior al unui cilindru sub efectul rotirii acestuia î n jurul axei de simetrie. In cazul rulmen ilor, aplicarea modelului de calcul specific tuburilor cu pere i gro i î n rota ie, conduce la determinarea unei modific!ri a jocului de montaj al rulmentului. In func ie de „inelul rotit” rezult!: !sc!dere a jocului dac! inelul interior este î n mi care de rota ie i inel exterior rigidizat; !cre tere a jocului dac! inelul interior este fix iar inelul exterior este rotit. Pentru cele dou! cazuri rela ia de calcul a modific!rii jocului este:

pag.44

exp BIE , unde:

r 8< t - =.< r 9 E

8

98

9

R 22 - r 2 . r 2 - R 12 $ R 12 / R 22 2 R 22 / R 12 2 7. 2 ! * * .#83 . = 9. 1- 2 4 . p2. 2 1- 2 4
/ R 12 2 11 . r 2 4 0 3

Se noteaz : expBI = expBIE pentru cazul î n care inelul interior se afl î n mi!care de rota ie expBE = expBIE pentru inel exterior rotitor !i inel interior fix In cazul cel mai general (ambele inele aflate î n mi!care de rota ie) parametrul Jd devine: Jd=Jd-2.expBI+2.expBE Importan a calcului parametrului expBI este exemplificat pentru un rulment radial axial cu bile pentru care Jd=250/m, având urm toarea geometrie: GEOMETRIE DU ROULEMENT A BILLES !-------------------------------------------------------------------------------------> 22< Z Nombre de billes > 22.230D-03< DW Diamètre des billes [m] > 187.550D-03< DM Diamètre moyen [m] > 249.99 D-06< JD Jeu diamétral [m] > 0.00 D+00< alphaf Angle de contact géométrique (seulement si jeu pd=0.) [deg] > 54.00 D-02< Fi=ri/dw Courbure relative bague intérieure > 52.00 D-02< Fo=ro/dw Courbure relative bague extérieure > 0.000D+00< alphaSI Angle de cale (shim) intérieur [deg] > 0.000D+00< alphaSE Angle de cale (shim) extérieur [deg] > 25.0 D-03< BI Largeur de bague intérieure [m] > 150.0 D-03< DI Diamètre d'alésage du roulement [m] > 164.98 D-03< deiam Diamètre épaulement int. amont [m] > 164.98 D-03< deiav Diamètre épaulement int. aval [m] > 25.00 D-03< BE Largeur de bague extérieure [m] > 178.00 D-03< DE Diamètre extérieur du roulement [m] > 175.00 D-03< deeam Diamètre épaulement ext. amont [m] > 175.00 D-03< deeav Diamètre épaulement ext. aval [m]

Pentru diferite valori ale turatiei inelului interior, valoarea parmaterului 2.expBI este: ni (rpm) 4000 8000 12000 16000 20000 24000

Hamrock[1975] 0.006439 0.0257 0.058 0.10303 0.16098 0.23182

Buzdugan, [1991] 0.006282 0.02513 0.05644 0.10052 0.15706 0.22317

Din datele prezentate anterior rezult c modificarea diametrului inelului interior al rulmentului analizat are valori comparative cu jocul de montaj al rulmentului . Utilizând algoritmul de calcul prezentat anterior se determin modificarea jocului func ional dintre pag.45

colivie !i cale de rulare pe care se realizeaz ghidarea coliviei conducând la determinarea jocului minim necesar evit rii bloc rii coliviei pe calea de rulare pe care se realizeaz ghidarea. Cu noua valoare calculat pentru parametrul Jd, se recalculeaz reparti ia jocului î n structura SRB considerat . 2.6.2. Efectul temperaturii de func ionare a rulmentului !i a condi iilor de rigiditate ale c ilor de rulare asupra modific rii jocului î n rulmen i In general temperatura de func ionare este diferit de temperatura la care s-a m surat jocul radial î n rulment. Odat cu cre!terea sau sc derea temperaturii diametrele care descriu c ile de rulare se modific , având implica ie în determinarea jocului func ional al rulmentului. Modificarea liber a diametrului „idx” al unui cilindru este dat de rela ia: 0Didx=1idx.Didx.0Tidx unde: !1idx. reprezint coeficientul de dilatare termic a inelului „idx” !Didx. reprezint diametrul considerat al inelului de rulment „idx” !0Tidx este cre!terea de temperatur î n raport cu temperatura de referin Condi iile de rigiditate impuse inelelor structurii influen eaz de asemenea jocul func ional. Presupunând inelul exterior al unui rulment a fi rigid rezult c la contactul carcas - inel de rulment se dezvolt o tensiune normal de contact dat de rela ia: . - E.1.0T Determinarea modific rii jocului î n rulmentprin suprapunerea simultane efectul expansiune termica, a condi iilor de rigiditate !i a expansiunii centrifugale se realizeaz aplicand rela iile de calcul prezentate î n paragraful 2.6.1. In cazul consider rii unei carcase rigide !i a inelului interior rotitor rezult : r exp BE - 2. t $ ".. r 3 E unde: R2 * R2 ' R2 * R2 ' . t - .. 2 2 2 (1 # 21 % . r - .. 2 2 2 (1 $ 21 % , R 2 $ R1 ) r & R 2 $ R1 ) r & !r apar ine intervalului R1…R2, cu R1
pag.46

2.6.3. Efectul fretajului asupra modific rii jocului î n rulmen i In cazul consider rii unei grosimi de fretaj impuse, , se dezvolt o presiune de contact calculata cu rela ia clasica din teoria tuburilor cu pereti grosi (Buzugan [1991]): 4.E.2R 22 $ R 12 32 . R 32 $ R 22 3 2.R 32 .2R 32 $ R 12 3 unde: !R1 este raza interioar a cilindrului interior; !R2 este raza nominal la care se produce fretajul; !R3 este raza exterioar a cilindrului exterior . p-

Pentru determinarea modific rii î n condi ii de fretaj a jocului radial î n rulment, se inlocuiesc î n rela iile tensiunilor tangen iale !i radial,: p1*= +p, pentru fretaj interior p2* = -p, pentru fretaj exterior !i se calculeaz parametrii expBIE (paragraf 2.6.1).

2.7. Concluzii Folosirea metodelor OOP î n analiza geometriei rulmen ilor oscilan i cu role butoi pe dou rânduri a condus la: 1. Definirea rulmentului radial oscilant cu role butoi pe dou rânduri ca o clas principal de func ii din care, prin derivare OOP, se poate descrie geometria oric rui alt tip de rulment 2. Prin derivarea propriet ilor rolelor butoi simetrice se pot genera geometrii de role simetrice !i asimetrice corespunz toare diferitelor tipuri de rulmen i 3. Prin concatenare !i derivarea propriet ilor structurilor SRB-SRB se pot descrie elementele geometrice ale sistemelor de rulmen i. 4. O î nalt flexibilitate prin dezvoltarea unei singure unit i de calcul pentru analiza unor diferite tipuri de rulmen i evitând î n acest fel generarea de programe individuale de calcul. 5. Permite verificarea datelor de intrare primite de la un furnizor (cazul compatibilit ii î ntre unghiul de cale !i jocul î n rulmentul primitiv î n cazul structurilor SRB-4PCBB). 6. Identific parametrii care conduc la modificarea jocului func ional î n rulmen i sub efectul expansiunii centrifugale, a fretajului !i a temperaturii de func ionare, î n func ie de condi iile de rigiditate impuse inelelor structurii analizate 7. Anuleaz eventualele gre!eli de calcul ale reparti iei jocului î n rulmen i (cazul jocului î n rulmen ii oscilan i !i î n rulmen ii radial axiali cu bile prezentat de Harris î n [1966, 1983, 1991]). 8. Se stabilesc solu iile ini iale de deplasare ale inelelor !i rolelor, utilizate î n cazul calculului parametrilor cvasi-statici ai unui rulment sau / !i sistem de rulmen i, (capitolul 4) 9. Stabile!te elementele geometrice necesare calculului efectului de palier scurt (capitolul 6) 10. Calculul jocului minim î ntre colivie !i calea de rulare pe care se realizeaz ghidarea acesteia pentru a evita blocarea sau distrugerea coliviei pe calea de rulare. 11. Eextinderea metodei de analiz la structuri cum sunt !uruburile cu bile !i sistemele de ghidare !i transla ie lineare cu role sau bile.

pag.47

CAPITOLUL 3.

CONTRIBU

II PRIVIND ANALIZA CINEMATICII STRUCTURILOR SRB.

Contribu ii privind analiza cinematicii structurilor SRB.

pag.48

3. Modelarea parametrizat a cinematicii rulmen ilor. Cunoscând geometria unei structuri de tip SRB !i parametrii cvasi-statici se pot determina solu iile ini iale ale vitezelor unghiulare corespunz toare rolelor !i coliviilor structurii. Scopul acestui capitol este de a stabili algoritmii pentru determinarea parametrilor cvasi-dinamici ai unei structuri SRB. Totodat se urm re!te dezvoltarea unei metode de calcul pentru determinarea unghiului care descrie vectorul vitez unghiular al corpului de rostogolire (rol sau bil ), utilizând principiul puterii minime consumate prin frecare.

3.1. Vitezele unghiulare ale rolelor !i coliviilor structurilor SRB, prima aproximare Vectorul vitez unghiular ata!at axei de simetrie a unei role {!}j este: {+}j - {+b, +s, +g} (3.1) unde: descrie mi!carea principal de rostogolire a corpului de rostogolire; !b !s reprezint componenta mi!c rii de spin. Vectorul !s are direc ia perpendicular pe direc ia vectorului !b ( componentele !b !i !s sunt cuprinse î n planul î n care ac ioneaz sarcina axial ); !g reprezint componenta giroscopic . Impreun cu !g, !b !i !s definesc un reper ortogonal. Modulul vectorului vitez unghiular a coliviei !c !i componenta !b pot fi determinate î n prim aproxima ie prin rezolvarea sistemului de ecua ii 3.2 scris î n baza egal rii vitezelor absolute ale rolelor !i c ilor de rulare. ; * dm dw ; * dm dw dw 8 ' '8 + c .( # cos(<) % $ + b + e .( # cos(<) % 5 ) 2 5 ) 2 2 2 2 5 & &5 (3.2) 7 : 7 = : 5+ c .*( dm $ dw cos(1) '% # + b dw 5 5+i .*( dm $ dw cos(1) '%5 59 ) 2 59 ) 2 2 2 2 56 &56 & " * dm dw ' * dm dw ' cos(1) % # +e .( cos(<) % +i .( $ # 2 2 ) 2 & ) 2 & +c dw dm # .2cos(<) $ cos(1) 3 2

(3.3a)

+b -

(3.3b)

2+i $ +c 32. dm $ dw cos(1) 3

dw 1 : reprezint unghiul de contact dintre o rol !i cailea de rulare interioar < : reprezint unghiul de contact dintre o rol !i calea de rulare exterioar

In func ie de tipul structurii SRB unghiurile 1 !i " au valorile: Tipul structurii SRB-4PCBB; SRB-RAX SRB-SRB SRB-TRB SRB-CARB; SRB-CRB SRB-OB SRB-SRB cu role asimetrice 1="=0 1=" 1=" Pentru structurile SRB-OB, SRB-4PCBB !i SRB-RAX mi!c rile giroscopice !i de spin pot fi considerate mi!c ri complete. In cazul rulmen ilor cu role mi!c rile giroscopice !i de spin sunt incomplete fiind denumite skew-ing longitudinal !i transversal (ex. unghiul ULRC, cap 2). Deplasarea relativ a rolelor î n raport cu c ile de rulare este descris de vectorii vitez de alunecare !i de viteza medie de rostogolire.

pag.49

3.2. Determinarea vitezelor de alunecare. Model de calcul. Din punct de vedere OOP „viteza de alunecare” este reprezentat printr-un vector, LISTA. Mecanic, are semnifica ia deplas rii relative a suprafe elor comune a dou corpuri (aflate in contact). Se noteaz P(xp,yp) un punct din domeniul de contact. Pentru un punct P de pe domeniul de contact dat, vectorul „vitez absolut ”, Vp, este prezentat î n figura 3.1 !i are expresia (3.4).

Y vP vsP vyP

b

yP

.

vx P

O

P xP

X

a .

Fig. 3.1. Componentele vectorului vitez absolut a unui punct din zona de contact

VP - VsP # VyP # VxP

(3.4)

î n care : VsP = +s.r +s # componenta de spin (skew) a vitezei unghiulare r # r = OP VyP # vectorul vitez î n direc ia de î naintare VxP # vectorul vitez î n direc ie perpendicular pe direc ia de î naintare a copului considerat Pentru determinarea vectorului vitez unghiular al unei role SRB trebuie s se cunoasc : !parametrii cvasi-statici (PCS) ai contactului (r,j) # (cap. 4) !tipul structurii # (cap 2) !unghiul vectorului vitez unghiular (notat S) (figura 3.2) 3.2.1. Componentele vectorului vitez unghiular al unei role SRB Pentru determinarea direc iei vectorului vitez unghiular al unei role, [Kawamura, 1990] introduce ipoteza ghid rii rolei pe una din c ile de rulare, direc ia vectorului fiind dat de rela iile (3.5), în func ie de tipul de ghidare considerat. Astfel, !ghidare pe exterior: !ghidare pe interior:

" tg(S)=sin(1e)/[cos(1e)+>’] " tg(S)=sin(1i)/[cos(1i)->’]

(3.5a) (3.5b)

Pentru cazul rulmentilor cu bile (SRB-RAX), Dusserre T. !i Né lias D. [1994]- Nelias D [1999] au pag.50

dovedit c rela iile 3.5 nu sunt corecte. Autorii citati au propus metoda partaj rii controlului bilei pe cele dou c i de rulare. Dac î n cazul structurilor SRB-RAX, ipoteza ghid rii ar putea reprezenta o solu ie aproximativ , atunci se pune î ntrebarea, cum se procedeaz î n cazul structurilor de tip SRB4PCBB, prezentate î n figura 3.2.

1e= <3

1e= <4

?

?

1i = <2 1i = <1 Fig. 3.2. Elemente necesare determin rii unghiului vitezei unghiulare al unei role (bile) Metoda utilizat î n continuare pentru determinarea unghiului (S) const î n minimizarea energiei consumate prin frecare la nivelul celor „idx” contacte !i presupune proiectarea vectorului vitez unghiular pe direc iile unghiurilor de contact "idx, exprimarea componentelor vectorilor viteze de alunecare ale suprafe elor î n contact !i rezolvarea ecua iei: ?Pf - 0. ?S

(3.6)

unde : Pf # reprezint suma puterilor consumate prin frecare la nivelul celor „idx” contacte Componentele mi!c rii de rostogolire !i respectiv de spin rezult prin proiectarea vectorului vitez unghiular al rolei, !w, pe direc ia unghiurilor "idx folosind matricea de rota ie a vectorului {!}j astfel: ! cos(u idx ) 0 sin( u idx ) B ! +. sin(S) B @. 0 1 0 0 @@ @ C$ sin(u idx ) 0 cos(u idx )@A C+. cos(S)@A

(3.7a)

{u}idx={ -"1, "2, -"3, "4}

(3.7b)

!i 3.2.2. Determinarea vitezelor absolute ale corpurilor î n contact In cazul structurilor de tip SRB cu role, determinarea componentelor giroscopice !i de spin ale vitezei unghiulare a rolei se realizeaz din condi ii de echilibru cvasi-dinamic, mi!c rile giroscopice !i de spin fiind limitate de geometria structurii, de momentul geometric de blocare, de parametrul ULRC etc. In acest caz !sidx=0. Parametrii geometrici necesari pentru exprimarea vitezelor de alunecare ai unui punct P(#,$)i,e apar inând domeniului de contact rol cale de rulare exterioar (figura. 3.3) sau interioar (figura. 3.4) sunt exemplifica i î n cazul unei structuri SRB-SRB. pag.51

Fig.3.3. Elemente geometrice necesare determin rii vitezei de alunecare la nivelul contactului rol cale de rulare exterioar pentru structura SRB-SRB.

Fig.3.4. Elemente geometrice necesare determin rii vitezei de alunecare la nivelul contactului rol cale de rulare interioar . Pentru un contact „idx” se noteaz {VcP,idx} !i {VwP,idx} vectorii care descriu vitezele absolute a unui pag.52

punct apar inând c ii de rulare „c” !i rolei „w” Expresiile componentelor pe direc ia de î naintare a celor doi vectori sunt date de rela iile (3.8) Vw P ,idx !Y % A idx ."ridx $ #."s idx .sduz idx

(3.8a)

&

'

Vc Pidx !Y % dm * sduz idx .A idx .cos( â j,idx )- # ,sin( + idx ). sduz i.sdux i ..(ù idx * ù c.sduz idx ) 2

(3.8b)

î n care: A idx

2 2 2 / Dw Dw 5 Dw 5 8 8 2 2 2 2 % 0 Re ch idx * a idx * R $ $ 6 3 *# * 6 3 * a idx 2 0 7 2 4 7 2 4 1 .

Re ch i ,e ... % Re ch idx

(3.9a)

)

(

2

2 2 2 1 R * R * a idx * 9 idx / 2 $ a idx % . 2 2 R * R 2 * a idx * 9 idx / 2

(3.9b)

R - reprezint raza de curbur a rolei; ridx – reprezint raza de curbur a profilului c ii de rulare; aidx, 9idx, reprezint lungimea semiaxei mari de contact !i respectiv deforma ia de contact; = idx:[-aidx,+aidx] !idx {!i,!i,!e,!e} "ridx % ". cos(u idx * S) (3.9c) "s idx % ". cos(S * u idx ) (3.9c) In figurile 3.5 !i 3.6 se prezint graficul func iei care descrie raza corpului deformat, considerând efectul parametrilor de contact. Func ia satisface datele prezentate î n Harris [1991] tinzând la valoarea 2. 8 r 5 Re ch idx f 6 idx 3 % ridx R 7 R 4 ridx $ R

2

(3.10) Rulmen i pentru care conformitatea caii de rulare are valori in intervalul 0,5-0,6

Domeniul rulmen ilor oscilan i cu bile

2.5

2.17

1.83

1.5 0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Fig.3.5. Graficul func iei 3.10

pag.53

2.005

2.001

1.998

1.994 0.93

0.936

0.942

0.948

0.954

0.96

0.966

0.972

0.978

0.984

0.99

Fig.3.6. Evolu ia func iei 3.10 pentru cazul rulmen ilor radial axiali cu bile !i pentru rulmen ii cu role, cu o singur raz generatoare 3.2.3. Criteriul puterii minime consumate prin frecare Viteza de alunecare este un vector !i se define!te ca fiind diferen a vectorilor {VcP,idx} !i {VwP,idx}. In func ie de PCS (cap.4) expresia vectorul vitez de alunecare este dat de rela ia: Valp,idx = [{VcP,idx}-{VwP,idx}].Tidx.sduzidx unde: !"Tidx=0 dac Qidx=0 !"Tidx=1 dac Qidx>0

(3.11)

Pentru rola (r,j) având idx contacte, ecua ia 3.6 devine:

;Pf ;Px ;Py %0 $ % ;S ;S ;S

(3.12a)

# ;P % ;S

wb. < Tidx . < &B(idx ).(A idx ,# .sin( * u idx $ S) * #. cos(* u idx $ S).sduz idx ).q idx ,x .= idx ' $ 4

a

idx %1

#%* a

4

wb. < Q idx .b idx .= idx .Tidx . cos(* u idx idx %1

unde : B(idx) %

P%

Vc p,idx * &A idx ,x . cos(*u idx $ S) $ #. sin(*u idx $ S).sduz idx '.wb

Vc p,idx * &A idx ,x . cos(*u idx $ S) $ #. sin(*u idx $ S).sduz idx '.wb

< T . < &= 4

a

idx

idx %1

Q idx %

idx ,#.

'
Val P ,idx .q idx ,# $

#% * a

a

< ?# .

#% * a

(3.12b)

8 sin( *u idx $ S) 5 $ S).6 3 7 sin( *u idx $ S) 4

4

idx

(= +1 sau -1)

.b idx .= idx .Tidx . "s idx

idx %1

a >.a idx .b idx % < q idx ,# NSa.1,17794 #% * a

2

q#,idx

8 # 5 Q idx .1,5 . 1* 6 ?# % 3 .b idx >.a idxdistribuit 4 7î anidxcontactul este sarcina idx (cap 4)

=#,idx este coeficientul de frecare î n zona contactului idx, (cap 6)

pag.54

3.2.4. Distribu ia vitezei de alunecare pentru diferite tipuri de structuri cu contacte punctuale. Exemple.

Val, m/s

In cazul structurilor SRB-CARB !i SRB-RAX î nc rcate cu sarcin pur radial , pentru diverse valori ale tura iei rolei, viteza de alunecare poate avea distribu ia prezentat in figura 3.7.

+

X (semiaxa elipsei de contact)

Fig.3.7. Forma varia iei vitezei de alunecare (Val) pentru structurile SRB-CARB !i SRB-RAX î nc rcate pur radial Forma vitezei de alunecare prezentat î n figura 3.7, este dat de lipsa componentei de spin a vitezei unghiulare a bilei. Se observ c pot exista î n acest caz dou puncte de rostogolire pur , situate simetric fa de axa elipsei de contact. In cazul structurilor SRB-4PCBB-123, SRB-4PCBB-134 !i SRB-4PCBB-1234 î nc rcate pur radial forma distribu iei vitezei de alunecare este prezentat î n figurile 3.8 !i 3.9 14

25

12

20 10

15

6

Vitesse du glissemenet

Vitesse du glissemenet

8

4

2

10

5

0

0 2

5

4

6

2

1.5

1

0.5

0 x =[-a, a]

0.5

1

1.5

Fig.3.8. Structur cu 4 puncte de contact

2

10 2.5

2

1.5

1

0.5

0 x =[-a, a]

0.5

1

1.5

2

2.5

Fig.3.9. Structur cu 3 puncte de contact

Diagramele trasate î n figurile 3.8 !i 3.9 reprezint evolu ia vitezei de alunecare la nivelul contactelor pag.55

structurii !i sunt trasate pentru trei valori diferite ale vitezei unghiulare a bilei. In figura 3.10 se prezint varia ia puterii consumate prin frecare !i solu ia ecua iei 3.12, în func ie de valoarea unghiului (S). Analiza este efectuat î n cazul unei structuri SRB-4PCBB-1234 î ncarcat ini ial cu sarcin radial !i c reia i se impun diferite deplas ri axiale, descrise de parametru dx.

30

20

10

0

10

20

30

30

20

10

0

10 l ? d

20

30

Fig.3.10a. Evolu ia puterii consumate prin frecare si forma legeii de varia ie a ecua iei 3.12 pentru dx=0

30

20

10

0

10

20

30

30

20

10

0

10 ?

20

30

Fig.3.10b. Evolu ia puterii consumate prin frecare si forma legeii de varia ie a ecua iei 3.12 pentru dx<0

30

20

10

0

10

20

30

30

20

10

0

10

20

30

Fig.3.10c. Evolu ia puterii consumate prin frecare si forma legeii de varia ie a ecua iei 3.12 pentru dx>0 Din analiza figurilor 3.10 rezult c dP/dS trece prin valoarea zero pentru valoarea unghiului (S) care corespunde unui minim de putere consumat prin frecare. Valorile pozitive !i respectiv negative prezentate ca solu ie a ecua iei 3.12 sunt determinate de semnul deplas rii axiale si sugereaz schimbarea sensului vitezei unghiulare de spin al bilei. Pentru o structur SRB-SRB, forma vitezei de alunecare la nivelul elipsei de contact este prezentat î n figura 3.11.

pag.56

Fig.3.11. Evolu ia vitezei de alunecare pentru o rol SRB

3.3. Validarea algoritmului de calcul Pentru validarea algoritmului de calcul s-au considerat dou geometrii de structuri SRB-4PCBB, pentru care geometria func ional este prezentat î n anexa 4, tabelul A4.1. Condi iile de lucru sunt: !"Lubrifiant : Oil Mobil Jet II (având propriet iele prezentate î n paragraful 5.1 ); !"Debit de lubrifiant: Qh= 3 l/h; !"Temperatur de intrare a lubrifiantului: T=120 @C; !"Tura ie inel interior: !i=60000 rpm; !"Ghidare colivie : pe inelul exterior.

120

0.5

100

0.4 T=120°C

80

wc / wi

vit. de glissement en extremite d'ellipse, contact interieur, m/s

Pentru sarcina radial nul , varia ia sarcinii axiale modific viteza de alunecare !i tura ia coliviei dup cum este prezentat î n figurile 3.12 (cazul structurii SRB-4PCBB-13)

60 40

0.3 0.2 T=120°C

0.1

20 0

0 0

500

1000 Fax, N

1500

2000

0

500

1000

1500

2000

Fax, N

Fig.3.12. Efectul sarcinii axiale asupra vitezei de alunecare !i a tura iei coliviei pentru structura SRB-4PCBB-13 Diagramele de varia ie din figura 3.12 au fost ob inute prin rularea programului BB20. Pentru sarcina axial este nul !i temperatura de func ionare T=150@C, tura ia coliviei variaz î n pag.57

func ie de sarcina radial aplicat dup diagrama prezentat î n figura 3.13.

Fig.3.13. Efectul modific rii sarcinii radiale asupra valorii calculate a tura iei coliviei pentru structura SRB-4PCBB-13 Rezultatele ob inute prezint o bun concordant cu datele experimentale obtinute de Nelias D. [1989].

3.4. Concluzii Pentru analiza parametrilor cinematici ai unei structuri SRB trebuie s se cunoasc : !"parametrii geometrici ai structurii (cap 2) !"parametrii cvasi-statici ai contactelor rol – c i de rulare (cap 4). !"parametrii lubrifiantului (cap.5) !"tipul de ghidare al coliviei (cap.6) Din analiza datelor teoretice prezentate pe parcursul acestui capitol, rezult : 1. Ipoteza ghid rii bilei î n forma propus de Kawamura, [1990] nu este corect î n special pentru condi ii de tura ie ridicat !i nu poate fi aplicat rulmen ilor cu cale de rulare sectionat . 2. Aproximarea razei echivalente a contactului deformat î n forma prezentat de Harris, [1966, 1983, 1991] nu este general valabil . In cazul rulmen ilor oscilan i cu bile (pentru contactul bila - cale de rulare exterioar ) raza echivalent a corpului deformat reprezint raza cercului care trece prin extremitatile axei mari a elipsei de contact !i prin mijlocul distantei generate de interferen a geometric bil – cale de rulare, ecua ia (3.9b). 3. Direc ia vectorului vitez unghiular al bilei se ob ine folosind ipoteza minimiz rii puterii consumate prin frecare (rela ia 3.12)

pag.58

CAPITOLUL 4.

ANALIZA PARAMETRILOR CVASI-STATICI AI STRUCTURILOR SSRB.

Analiza parametrilor cvasi-statici ai structurilor SSRB.

pag.59

4. Modelarea parametrilor cvasi-statici. Studiul prezentat î n acest capitol a urmarit elaborarea unui model de calcul al parametrilor cvasi-statici ( PCS) ai unei suprastructuri SSRB. Metoda utilizatade in determinarea PCS, se bazeaza pe î n determinarea deplas rii centrului de mas al rolei (bilei), notat DCMR. Modelul de calcul dezvoltat, permite analiza unitar a contactelor de tip punctual !i punctual modificat (contacte nehertziene) folosind o modalitate de descriere de tip OOP.

4.1. Gradele de libertate ale unei structuri SSRB (sistem de rulmen i). Prin intermediul clasei de func ii tip de contact (contact hertzian sau nehertzian) parametrii cvasi-statici care definesc func ionarea unui rulment !i din punct de vedere (OOP) sunt inclu!i î n structura arborescent SSRB (cap. 2 ). In figura 4.1 este prezentat un exemplu de structur SSRB, construit folosind programul de calcul SSRB-SYM. In figura 4.2 sunt prezentate gradele de libertate ale structurii.

Fig.4.1. Tipuri de structuri analizate de programul SSRB-SYM

Fig.4.2. Grade de libertate ale structurii SSRB Ac iunea unei sarcini externe {E}={ Fxext, Fzext, Fyext, Mzext, Myext } asupra sistemului de rulmen i produce la nivelul celor dou paliere vectori de î nc rcare specifici care trebuie s satisfac rela iile sarcin -deforma ie. Sarcinile repartizate celor dou paliere sunt notate {F}pa având componentele: {F}pa={Fx, Fz, Fy, Mz, My}pa. Ansamblul de for e din sistem !i condi ia de leg tur func ional asigurat de arbore se transcrie matematic prin intermediul unui vector deplasare având în total 9 componente, concatenate î n vectorul { }SSRB astfel: pag.60

{ }SSRB ={ x, z1, y1,!z1,!y1, z2, y2,!z2,!y2} (4.1) î n care: !x = deplasarea axial" comun" (condi ia de leg"tur"), în lungul axei OX ! z1, z2 = deplas"rile în lungul axelor O1 Z1 #i respectiv O2Z2 ! y1, y2 = deplas"rile în lungul axelor Y1 Z1 #i respectiv O2Y2 !!z1, !z 2 = deplasarea unghiular" în jurul axelor O1 Z1 #i respectiv O2Z2 !!y1, !y2 = deplasarea unghiular" în jurul axelor Y1 Z1 #i respectiv O2Y2 NOTA: componentele ! sunt exprimate î n raport cu centrul geometric al palierului „pa”. Aceast metod a fost adoptat !i de Hauswald T, [1998, A,B], Houpert L, [1997 !i 1998] î n cadrul programului SYSx, - TIMKEN France.

4.2. Echilibrul structurii arbore - SSRB Componentele vectorului { }SSRB se determin prin rezolvarea ecua iilor de echilibru ale structurilor SRB individuale incluse î n cele dou paliere (vezi „arhitectura structurilor SSRB”, cap. 2). Pentru aceasta trebuie determinate componentele vectorilor {F}pa=1 !i respectiv {F}pa=2 care î ns depind de geometria intern , de jocul structurilor SRB incluse !i de rigiditatea arborelui, Fabien B, [2002], Hauswald T, [1998], Bercea I, [2002]. Ecua iile de echilibru ale structurii arbore - SSRB sunt :

#'' Fx (pa , nrp) $ Fx ext pa nrp

'' Fz(pa, nrp) $ Fz Fy(pa , nrp) $ Fy "'' ' Mz & v.(Mcz % Mcz ' My & v.(Mcy % Mcy ext

pa nrp

ext

(4.2)

pa nrp

pa

P1

P2

) $ Mz ext

pa

P1

P2

) $ My ext

pa

! pa unde :

v = 0 sau 1 î n func ie de tipul de analiz considerat (paragraful 4.2.1) MczP1, P2 !i McyP1,P2 reprezint momentul intern al rulmentului datorat asimetriei distribu iei de sarcin 4.2.1. Tipuri de analize In ecua iile (4.2) s-a introdus un coeficient „v” î n func ie de care se decide tipul de analiz corespunz tor palierului !i respectiv structurii. Astfel, se disting dou metode de analiz : A. Metoda de analiz de tip FEM, care presupune calculul PCS cu considerarea efectului asimetriei distribu iei de sarcin , adic a momentelor interne ale celor dou paliere. Aceast metod corespunde . In acest caz v=1. (Prin DOF se î n elege „degree of freedom”, adic grad de libertate). B. Metodele de analiz clasice presupun pentru determinarea componentelor {F}i !i {F}j rezolvarea ecua iilor de echilibru de for e !i momente ale arborelui !i calcularea rotirii în reazem doar din considerente de rezisten a materialelor, f r considerarea tipului de structur SRB. In acest caz „v=0” !i corespunde la nivelul palierului la o analiz de tip 3 DOF iar la nivelul sistemului arbore - SSRB la o analiz 5 DOF.

pag.61

Determinarea componentelor { }SSRB î n cele dou cazuri presupune rezolvarea unor sisteme de ecua ii neliniare !i are la baz scrierea matricei de rigiditate a sistemului arbore-SSRB. - /Fx* /Fx /Fx /Fx /Fx /Fx /Fx /Fx /Fx * + ( x dz 1 dy 1 z 1 y 1 dz 2 dy 2 z 2 / / / / . / . / / / . / .y2 ( + + /Fz1 /Fz1 /Fz1 /Fz1 /Fz1 0 0 0 0 ( + /dx ( /dz1 /dy1 /.z1 /.y1 + /Fy1 /Fy1 /Fy1 /Fy1 /Fy1 ( + 0 0 0 0 ( /dz1 /dy1 /.z1 /.y1 + /dx ( + /Mz1 /Mz1 /Mz1 /Mz1 /Mz1 ( 0 0 0 0 ( + /dx /dz1 /dy1 /.z1 /.y1 + ( /My1 /My1 /My1 /My1 /My1 MSSRB $ + 0 0 0 0 ( + /dx ( /dz1 /dy1 /.z1 /.y1 + /Fz2 /Fz2 /Fz2 /Fz2 /Fz2 ( + ( 0 0 0 0 /dz2 /dy2 /.z2 /.y2 ( + /dx + /Fy2 /Fy2 /Fy2 /Fy2 /Fy2 ( 0 0 0 0 + /dx /dz2 /dy2 /.z2 /.y2 (( + /Mz2 /Mz2 /Mz2 /Mz2 ( + /Mz2 0 0 0 0 + /dx /dz2 /dy2 /.z2 /.y2 ( + /My2 /My2 /My2 /My2 /My2 ( + ( 0 0 0 0 /dz2 /dy2 /.z2 /.y2 )( ,+ /dx

M SSRB

Cazul v=1. (Analiz 5DOF/ palier, 9DOF/ arbore-SSRB)

Cazul v=0.

- /Fx * + + /x + /Fz1 + /dx + /Fy1 $+ + /dx + /Fz 2 + dx +/ + /Fy2 +, /dx

/Fx /dz1 /Fz1 /dz1 /Fy1 /dz1

/Fx /dy1 /Fz1 /dy1 /Fy1 /dy1

0

0

0

0

/Fx /dz 2 0 0 /Fz2 /dz 2 /Fy2 /dz 2

/Fx * ( /dy2 ( 0 ( ( ( 0 ( ( /Fz2 ( ( /dy2 ( /Fy2 ( /dy2 ()

Componenta MSSRB[1,1]= /Fx* / /dx este dat ca sum de efecte ale deplas rii axiale, dx, în direc ie axial , la nivelul celor dou paliere. Componentele individuale a matricei de rigiditate sunt prezentate î n anexa 2, pentru scrierea matricei finale folosindu-se elementele prezentate î n capitolul 2. 4.2.2. Rigiditatea ansamblului arbore-SSRB In figurile 4.3 si 4.4 se prezint dou variante de î nc rcare ale unei structurii SSRB compus din doi rulmen i de tip SRB-SRB. Distan a dintre centrele sistemelor de coordonate iner iale ata!ate structurilor SRBidx este descris de parametrul „L”. Punctul de aplica ie al sarcinii externe, considerat a fi concentrat î ntr-un punct, este descris de parametrul „a”

Fig.4.3. Exemplu de î nc rcare a unei structuri SSRB cu sarcin aplicat î ntre cei doi rulmen i

pag.62

Fig.4.4. Exemplu de î nc rcare a unei structuri SSRB cu sarcin aplicat î n exteriorul rulmen ilor Determinarea PCS ai structurilor SSRB implic cunoa!terea componentelor vectorului { }SSRB care rezult prin utilizarea metodei Newton-Raphson î n cadrul sistemului de ecua ii 4.2. Ecua iile de echilibru ale palierelor ”pa” sunt: Z &1

4

Fa pa $ ''' ' Q. sin(0).sdx nrp

r

j$ 0 idx $1 Z&1

4

Fz, y pa $ ''' ' Q. cos(0). cos, sin(1 ).sdz nrp

r

j$0 idx $1

4 4 * Mz pa $ '' +' ' cFx b y .sdx % ' ' cFz .b x .sdx ( nrp r , j idx $1 j idx $1 ) 4 4 * My pa $ '' +' ' cFx .b z .sdx % ' ' cFy .b x .sdx ( nrp r , j idx $1 j idx $1 ) unde :

(4.3)

Q – sarcina de contact rol -cale de rulare Q=Q(nrp,r,j,idx,tip,ux,uz) $ – unghiul de contact î ntre rol !i calea de rulare $=$(nrp,r,j,idx,tip,ux,uz) ux,uz = deplasarea centrului de mas al rolei descris de parametrii (nrp,r,j,idx,tip) sdx,sdz = func ii de (tip, RIG) (cap 2) % – pozi ia unghiular a rolei descris de parametrii (nrp,r,j,&%nrp,r) cFz,y=Q.cos($).cos,sin(%) cFx =Q.sin($).sdx bx=dw/2.sin($) bz,y=(dm/2-sduz.dw/2).cos,sin(%)

4.2.3. Rigiditatea structurilor SSRB, compuse din dou substructuri SRB-SRB. In cazul structurilor de tip SRB-SBB, construc ia intern a rulmentului permite introducerea rotirii în reazem ca valoare cunoscut , rezultat din condi ii de rezisten a materialelor, în acest caz „v=0”. In figurile 4.5 - 4.6 este exemplificat rigiditatea unei structuri SRB-SRB pentru diferite combina ii de geometrii !i î nc rcare. pag.63

0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 100

Fa=100 [N] Fa=1000 [N] Fa=2000 [N] Fa=3000 [N] Fa=4000 [N] Fa=5000 [N] 200

L=600 [mm], Frz=10 [kN], Fry=1 [kN] 0.045 Deplasarea axiala, [mm]

Deplasarea radiala, [mm]

Fz=10000 [N], Fy=1000 [N], L=600 [mm] 0.01

0.04 0.035 0.03 0.025 a=300 [mm]

0.015

a=500 [mm]

0.01 0.005 0 100

Fa=6000 [N] 400 500

300

a=100 [mm]

0.02

1000

Pozitia punctului de aplicatie a fortei externe, a, [mm]

Fig 4.5. Deplasarea radial î n direc ia axei Z pentru rulmentul “pa=1” î n structura SSRB 22212C-22212C SRB, î nc rcat conform fig. 4.3

5000

7000

Forta axiala Fa, [N]

Fig. 4.6. Deplasarea axial a structurii SRB 22212C22308C SRB î n func ie de sarcina extern , aplicat conform figurii 4.3

Figurile 4.7 !i 4.8, prezint distribu ia de sarcini, rezultat prin rezolvarea sistemului de ecua ii 4.2 !i a rigidit ii structurii SSRB 2x22308 pentru care Fz=2 kN, Fy=3 kN, Fx=Fa=500 [N]. In figura 4.7, distribu ia de sarcin corespunde unei structuri î nc rcate conform figurii 4.3, pentru care a=200 [mm], L=500 [mm]. Pentru o î nc rcare aplicat conform figurii 4.4, î n care a=200 [mm], L=700 [mm] distribu ia de sarcin este prezentat î n figura 4.8.

r=1, pa=2

600 500 400 300 200 100 0

r=2, pa=2 r=1, pa=1 r=2, pa=1

1

2

3

4

5

6

7

8

Distributia de sarcina in structura SSRB Sarcina de contact, [N]

Sarcina normala de contact [N]

Distributia de sarcina in sistemul de rulmenti

9 10 11 12 13

r=1, pa=1

1200 1000 800 600 400 200 0

r=2, pa=1 r=1, pa=2 r=2, pa=2

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13

Rola, j

Rola, j

Fig. 4.7. Distribu ia de sarcin î n cazul unei structuri SSRB 2x22308, î nc rcat conform figurii 4.3

Fig. 4.8. Distribu ia de sarcin î n cazul unei structuri SSRB 2x22308, î nc rcat conform figurii 4.4.

Rezultatele numerice prezentate în figurile 4.5-4.8 au fost determinate coniderând parametrul v=0, adic o valoari impuse a rotirii rulmen ilor î n reazeme. Forma distribu iei de sarcin prezentat î n figurile 4.7 !i 4.8 reg se!te efectul aplic rii unei sarcini externe conform figurilor 4.3 !i 4.4

4.3. Deplasarea centrului de mas al unei role SRB Componentele vectorului { }SSRB sunt func ii de deplas rile individuale ale celor

'' r. j

role. In

pa nrp

func ie de tipul structurii SRB (rulment cu bile sau rulment cu role), num rul de componente care descriu deplasarea centrului de mas al rolei poate fi 2 sau 3 (vezi paragraful 4.8). Se noteaz î n continuare DCMR vectorul care descrie deplasarea centrului de mas al unei role SRB descris de perechea (r,j). Aceast deplasare depinde de tipul contactelor, de geometria intern !i de componentele vectorului { }SSRB. pag.64

4.3.1. Puncte caracteristice ale unei structuri SRB Oi

x

Z B

z * Oi

x z B*

.

A

. o

x z

Se definesc urm toarele puncte caracteristice, figura 4.9. Oi - centrul de curbur al inelului interior Oi =Oi( 1); Oe - centrul de curbur al inelului exterior Oe = Oe(1); A,B - punctele care descriu pozi ia centrelor razelor de curbur ale rolei. Ow - centrul de mas al rolei “*” - pozi ia final , a punctelor caracteristice ale rulmentului. Pentru a asigura echilibrul unei role, î n cazul î nc rc rii statice, trebuie ca segmentele OeA* !i B*Oi* s aib aceea!i orientare î n spa iu. Vectorii DCMRr,j reprezint diferen a vectorial dintre pozi iile ini iale !i finale ale punctelor care descriu centrele de curbur ale c ilor de rulare !i rolelor (r,j). In cazul unei structuri de tip SRBSRB, pozi iile ini iale !i finale ale centrelor de curbur , sunt prezentate î n figurile 4.9 !i 4.10, prin intermediul vectorului 2r,j=(2x, 2y, 2z). In figura 4.9

A*

O e X

Fig. 4.9. Vectorilor {3} !i {2} pentru o rol descris de parametrii (r,j) î n cazul unei structuri SRB-SRB Aceast observa ie permite descrierea deplas rii centrelor de mas ale rolelor conform figurilor 4.10a…c.

+ Z

Z Oi

3x

Oi

loi=BOi

3z cos(1)+3 ysin(1)

x B 2 z 2

loe=AOe

l'oi

Oi'

B'

B'

l'oe=OeA' M 2x

l'oi=B'Oi'

A 2x

2z M'

.

4i

4.0

2z

.4e A'

A' Oe

O'i

l'oe X

Oe

X

Fig.4.10a. Condi ia de echilibru a unei role, scris prin considerente geometrice Prin translarea punctelor A’ î n B’ !i notarea acestora cu P, (figura. 4.10b), rezult echivalen a figurilor pag.65

4.9 !i 4.10a. 3x

Oi

P'

loi P

O' i

P

m

Z

loe

4i

4i

P*

loe

40 .

40 . .

3z

loi

P*

Z

3x

Oi

O' i

P' .

X

Oe

X

Oe

Fig.4.10b. Efectul vetoului { }SSRB asupra unei role SRB-SRB Efectul vectorului { }SSRB la nivelul rolei (r,j) a c rei pozi ie este descris de parametrul % (unghiul de pozi ie) este prezentat î n figura 4.10.c 3x

Oi

3 z cos(1) + 3 y sin(1)

2x

P

O' i

Z 2z

40 4i

P' .

Oe

X

Fig.4.10c. Efectul vectorului { }SSRB asupra vectorului DCMR al unei role SRB-SRB Folosind rela ia sarcin -deforma ie de contact !i corespunz tor rigiditatea echivalent a unui contact punctual, (Harris [1966, 1983, 1991]), se determin componentele 2x !i 2z pentru cazul î nc rc rii statice: ( j)) . ( j). sin( l l 1/ n -: K 7 l oe * 3 x .l oe ( 3 ts & 4s 2 xs ( j) $ % + 8 ech 5 l oi % l oe + 9 K o 6 % ( oi oe , ) (4.4a) 1/ n [3 z . cos(1 ( j)) % 3 y . sin(1 ( j))].l oe -: K ech 7 l oe * (.3 ts ( j). cos(4 s ( j)) 2 zs ( j) $ % +8 & 5 l oi % l oe l oi % l oe ( +,9 K o 6 ) (4.4b) î n care:

3 ts ( j) $ [ L. sin(4( j)) % 3 x ]2 % [(L. cos(4( j)) % 3 z . cos(1 ( j)) % 3 y . sin(1 ( j))]2 & L

pag.66

: 7 L. sin( 4 ( j)) % 3 x 5 4 s ( j) $ arctan 8 8 L. cos( 4 ( j)) % 3 . cos( 1 ( j)) % 3 . sin( 1 ( j)) 5 z y 9 6 loe=ro-Dw/2-SDLe/2;

K ech

+ + 1 $+ 1 1 +: 1 7 n : 1 7 n 5 +8 5 % 8 9 Ke 6 , 9 Ki 6

loi=ri-Dw/2-SDLi/2; * ( ( ( ( ( )

Q( j) $ K ech .3 ts ( j) n

L=loi+loe

n

Ki,e reprezint rigidit ile de contact, (anexa 1) !i n=1.5 4.3.2. Exprimarea DCMR î n func ie de tipul de rigidizare. Cazurile particulare de analiz a rigidit ii unei structuri SRB sunt: !ORR – inel exterior montat rigid in carcasa; inel interior mobil; !ORE – inel exterior montat in carcasa elastic ; inel interior mobil; !IRR – inel interior rigid; inel exterior mobil; Un caz particular de structur de tip SRB este cea reprezentat de structurile de tip SRB-4PCBB. Acest tip de structur rezult prin particularizarea razei generatoare a rolei !i a lungimii acesteia. Conform celor prezentate î n capitolul 2 particularizarea const î n a egala parametrul Rrol cu Dw/2. In aceste condi ii rezult structura general de tip SRB-4PCBB, prezentat î n figura 4.11. Ca !i î n cazul structurilor SRB-SRB exprimarea vectorilor DCMR se face î n func ie de pozi iile centrelor de curbur ale c ilor de rulare !i bilelor. Structurile de tip SRB-4PCBB (figura. 4.11) descriu rulmen ii radial-axiali cu cale de rulare sec ionat , prezentând 2, 3 sau 4 contacte de tip punctual sau punctual modificate !i provin din clasa SRB-SRB, unde exist dou contacte principale !i unul sau dou contacte secundare (contactul um r cale de rulare – rol ). Z

HOUSING

4

3

K4, x4

K3,x3 P1

P2

Ow K1, x1

K2,x2 P4

P3 1

2

SHAFT

O Y

X

Fig. 4.11. Elemente geometrice specifice unei structuri SRB-4PCBB. In figura 4.11 s-au notat: Pidx – reprezint pozi ia centrelor de curbur ale c ilor de rulare descrise de parametrii idx. pag.67

idx =1...nr_ctc; nr_ctc =4 Ow – pozi ia centrului de mas al rolei Diferen ele î ntre vectorii DCMR î n cele 3 cazuri de rigidizare sunt reprezentate î n figurile 4.12-4.14, pentru o structur de tip SRB-4PCBB. In anexa 5 sunt o serie de elemente specifice structurilor SRBDBB (rulmen i cu dou rânduri de bile), în func ie de tipul de rigidizare.

P2f

P1f

2 Owf

1 P1r

P2

P2r

!2

P1

P1f

!1 P2f

Ow

Owf P2r

Z P3

3

4

P4

P1r

P2

P1

Ow

!3

!4 P3

gZi

P4

da dz

O gYi Y

X

Fig. 4.12. Elemente caracteristice structurii SRB-4PCBB î n cazul ORR

pag.68

Z !2

!1 P1

P2 Owf P3f

P4f

Ow P3

!3

!4 P4 P4r

P3r

gZe

da dz

O gYe Y

X

Fig. 4.13. Elemente caracteristice structurii SRB-4PCBB î n cazul IRR

pag.69

P2f

P1f

2 Owf

1 P1r

P2

P2r

!2

P1

P1f

!1 P2f

Ow

Owf P4ioe

P3ioe

P2r

Z P3

3

4

P4

P1r

P2

P1

Ow

!3

!4 P3

gZi

P4

da dz

O

dioe

gYi Y

X

Fig. 4.14. Elemente caracteristice structurii SRB-4PCBB î n cazul IOE

pag.70

4.4. Determinarea parametrilor cvasi-statici ai structurilor SSRB î n func ie de tipul de contact In func ie de tipul structurilor SRB incluse în SSRB, sarcina extern se transmite la nivelul interfe ei rol – cale de rulare prin func ii de tip contact punctual, !i / sau punctual modificate (elipsa trunchiat , contacte de tip nehertzian). Aprecierea tipului de contact se realizeaz prin parcurgerea urm toarelor etape: 1. Se consider existen a unui contact de tip punctual !i se calculeaz parametrii elipsei de contact (anexa A1). Se analizeaz func ia : $ P, daca a i (r , j ) & l w / 2 tip contact = # (4.5) " PM , daca ai (r , j ) % l w / 2 a – lungimea semiaxei elipsei de contact lw – lungimea fizic a rolei 2. Se verifica daca pozitia elipsei de contact pe calea de rulare nu depaseste limitele fizice ale caii de rulare (figura 6.16). In cazul deplasirii, contactul este nehertzian obtinandu-se o elipsa trunchiata. Pentru o structur SRB-SRB 22212C pot rezulta î n func ie de sarcina extern , tipurile de contacte prezentate î n tabelul 4.1. Tabel 4.1. Evolu ia tipului de contact î ntr-o structur SRB-SRB 22212C. Tipul de contact determinat, pentru diferite sarcini externe aplicate. l = contact liniar (punctul modificat PM), p =contact punctual, d =rol desc rcat Fx=1 kN, Fz=40 Index Fx=1 kN, Fz=4 kN Fx=5 kN, Fz=40 Fx=5 kN, Fz=40 kN kN kN rol Fy=3 kN, '(=0 Fy=30 kN, '(=0 Fy=30 kN, '(=10 Fy=0.1 kN, '(=0 j r=1 r=2 r=1 r=2 r=1 r=2 r=1 r=2 1 p p PM PM PM PM PM PM 2 p p PM PM PM PM PM PM 3 p p PM PM PM PM PM PM 4 p p PM PM PM PM PM p 5 p p PM PM PM p p p 6 p d PM p PM p d d 7 p d p d p d d d 8 p d p d p d d d 9 p d d d d d d d .. d d d d d d d d 17 p d PM d PM p PM PM 18 p p PM p PM p PM PM Rezult c analiza PCS trebuie s se fac î n func ie de tipul de contact rol cale de rulare î n dou cazuri: !analiza PCS î n cazul contactelor hertziene (paragraful 4.5.1) !analiza PCS î n cazul contactelor nehertziene (paragraful 4.5.2) Vectorul DCMRj !i tipul de rigidizare al structurii, conduc la ob inerea de contacte hertziene sau nehertziene. Folosirea metodelor de analiz nehertziene se impune î n urm toarele cazuri: pag.71

!structuri SRB cu role simetrice puternic solicitate, caz î n care elipsa de contact dep !e!te lungimea fizic a c ii de rulare sau a rolei Pentru o geometrie oarecare !i deplas ri impuse inelului mobil !i rolei, programul SRBSYM a generat reprezent rile grafice din figurile 4.15.a..c. In figurile 4.15 !i 4.16 sunt prezentate dou cazuri î n care se impune analiza PCS folosind metode de analiz nehertziene.

Fig.4.15.a. Interac iunea dintre o rol !i c ile de rulare ale unei structuri SRB. Urmare a interac iunilor geometrice, prezentate î n figura 4.15a, forma domeniului de contact !i a distribu iei de presiune î n planul median al contactului sunt prezentate î n figurile 4.15b !i 4.15c.

Fig.4.15b. Forma domeniului de contact

Fig.4.16c. Forma distribu iei de presiune

In cazul rulmen ilor cu bile, modificarea unghiului de contact, sarcina de contact !i profilul c ii de pag.72

rulare conduc de asemenea la ob inerea de contacte nehertziene (denumite elipse trunchiate).

r

-w +w

Dp

Dm

!idx

Fig.4.16. Parametrii geometrici care definesc geometria unei c i de rulare In figura 4.16, intervin urm torii parametri: !r = raza de racordare a profilului c ii de rulare; !Dp = diametrul maxim al c ii de rulare interioare sau diametrul minim, corespunz tor c ii de rulare exterioare. Cazul î n care w)0 corespunde situa iei rulmen ilor cu 3 !i/sau 4 contacte. 4.4.1. Echilibrul structurilor SRB (cazul contactelor de tip hertzian) In cazul î n care î ntr-o structur de tip SRB exist contacte de tip punctual !i pa=1, nrp=1, r=1, ecua iile 4.3 reprezint sistemul de ecua ii de echilibru al unui rulment cu contacte punctuale, (incluzând structurile SRB-SRB cu role simetrice), cu un singur rând de role. Sub ac iunea unei sarcini exterioare {E}={F}pa={ni, Fx, Fz, Fy, Mz, My} inelul mobil al structurii comport deplasarea { }SSRB={dx, dz, dy, gz, gy} . Pentru o structur SRB cu contacte punctuale rela iile de calcul necesare determin rii componentelor vectorului { }SSRB sunt prezentate î n anexa 2. Abordarea echilibrului cvasi-static al structurilor SRB comport dou cazuri de analiz î n func ie de parametrul „oscilant al structurii”. Pentru structuri oscilante se recurge la o analiz de tip 3 DOF(structura neputând prelua moment extern). In restul cazurilor se recurge la o analiz de tip 5 DOF. In anexa 2 sunt prezentate elementele necesare scrierii matricei de rigiditate matricele pentru cele dou cazuri amintite anterior. Forma matricei de rigiditate a structurilor oscilante este un caz particular al matricei de tip 5 DOF. Elementele constitutive ale sistemului de ecua ii 4.3 cât !i elementele matricei de rigiditate ale sistemului 4.4 sunt func ii de vectorii DCMRj. Componentele (ux,uz)j se determin prin rezolvarea urm torului setului de ecua ii de echilibru (analiz 2 DOF).

pag.73

ECFA =

Q(j,idx,da,dr,ux,uz).sin(! (j,idx,da,dr,ux,uz)).sdux idx =0 * idx

ECFR =

*Q(j,idx,da,dr,ux,uz).cos(!(j,idx,da,dr,ux,uz)).sduzidx +FC =0

(4.6)

In setul de ecua ii (4.6) efectul momentului giroscopic nu este introdus deoarece: !ipoteza ghid rii rolei (bilei) în forma prezentat în literatur nu este valabil , rezultând c parametrul ,, [Harris, 1991], nu poate fi definit corect (cap 2); O metod posibil de aplicat este prezentat î n anexa 2. !nu se cunoa!te valoarea coeficientului de frecare î n direc ie axial ; !Momentul giroscopic poate fi introdus doar prin utilizarea unei ecua ii de momente care (introduce ca necunoscuta rota ia centrului de mas al rolei). Este necesar in acest caz o analiza de tip nehertzian la nivelul rolei (analiz 3 DOF). 4.4.2. Aproximarea parametrilor unui contact nehertzian Metoda structural de descriere a geometriei rulmen ilor folosit î n cap. 2 este utilizat pentru a eviden ia parametrii geometrici ai unui contact de tip nehertzian (elips trunchiat , figurile 4.15 !i 4.16). Metodele utilizate !i prezentate î n literatur pentru analiza contactelor de nehertziene sunt de trei tipuri: !metode exacte : K.L. Johnson, [1985], Cre u Sp, [1996, 2002a] !metode simplificate (aproximative): J.de Mul [1988], Krweminski s.a, [1996], Bercea [1996], [Houpert L, 2001] !metode exacte rapide: Polonsky s.a [1999, 2000], Liu S, sa.a [2002]; Cre u [2002b] prezinta un algoritm dedicat bazat pe metoda coeficien ilor de influen cu rezolvarea sistemmului de ecua ii prin metoda gradientului conjugat cu utilizarea transformatelor rapide Fourier. Metoda utilizat î n acest capitol este o metod simplificat (metoda sec ion rii domeniului de contact). Rela iile de calcul dezvoltate de Houpert î n 2001, prezentate î n tabelul 4.2, pentru analiza trecerii de la contact punctual la contact liniar nu satisfac î n totalitate condi iile unui contact de tip punctual. Tabel 4.2. Parametrii domeniului de contact conform [Hopuert, 2001] corespunz tori sec iunii j Rela ia de calcul Parametrul Presiunea maxim 4.9a /j 0 0.05 Pmax, j 1 0.212.E.k idx .

L imea domeniului de contact, corespunz tor sec iunii Sarcina preluat de sec iunea k

b j . R y.

Ry

dQ j 8 . - dy j .E.Ry

00.1 dQ j . 0.282.E.k idx ./ j .dy j

4.9b 4.9c

î n care : !kidx = elipticitatea contactului idx; !dyk = l imea sec iunii considerate descris de parametrul k Deoarece pentru orice corp de rostogolire, evolu ia PCS se face prin func ii continue, au fost dezvoltate o serie de rela ii de calcul proprii (ecua iile 4.10, 4.11, tabel 4.3). Modelul dezvoltat, !verific parametrii cvasi-statici ai unui contat punctual, calcula i cu teoria lui Hertz; !descriu PCS prin func ii liniare de vectorul DCMR, permi ând scrierea matricei de rigiditate a unei role; !elimin î n unele cazuri calculul iterativ !i când este cazul surprind ‚efectul de cap t’ Tabel 4.3.Rela ii de calcul dezvoltate pentru analiza parametrilor corespunz tori sec iunii s pag.74

Rela ia de calcul Parametrul 00.11 Presiunea maxim î n sec iunea 0.282.E0.k idx ./ s .2 P _ RD .fp(k idx ) 1 max,s s -2b

4.10a

s

L imea domeniului de contact, corespunz tor sec iunii s sarcina preluat de sec iunea s

b _ RD s . R y .

00.11 / s .k idx .1,15617.fb(k idx ) Ry

00.11 Q _ RD s . E0.k idx ./ s .'x s .fQ(k idx )

4.10b 4.10c

fP(k idx ) .

3,282053111 0 0,33221569. ln(k idx ) 1 + 0,428768471. ln(k idx )

(4.11a)

fB(k idx ) .

1,213859318 0 0,07678268. ln(k idx ) 1 + 0,115077642. ln(k idx )

(4.11b)

0,948958634 0 0,09445442. ln(k idx ) 1 + 0,454117350. ln(k idx ) !kidx reprezint elipticitatea contactului „idx” corespunz toare sec iunii „s” ! j reprezint deforma ia geometric de contact corespunz toare sec iunii “s” !!xj reprezint l imea sec iunii “s”

fQ(k idx ) .

(4.11c)

4.4.3. Aplicarea metodei sec ion rii domeniului de contact î n cazul contactelor punctuale Pentru verificarea rela iilor de calcul dezvoltate se prezint comparativ PCS ob inu i prin metoda Hertz de analiz a contactelor punctuale !i valorile numerice ale parametrilor calcula i folosind metoda sec ion rii domeniului de contact. Introducând func ia: lw , ai % 0.5.lw lw1 . 2.ai, ai & 0.5.lw punctele comune apar inând rolei !i respectiv c ii de rulare sunt descrise de rela iile 4.13: pozi ia abscisei punctului comun rol -cale de rulare corespunz tor sec iunii „s” 2.s 0 N lw1 XR s . . N 2 componenta radial a vectorului DCMR lw12 8 1 1 5 9. 0 3 6 8 7 Rw Rc 4 profilul rolei î n sec iunea „s” Dw XR s2 RR s . 0 2 2.Rw profilul c ii de rulare î n sec iunea „s” Dw XR s2 RC s . 0 2 2.Rc interferen a geometric de contact î n sec iunea considerat 1 5 XR s2 8 1 +9 /s . 6 0 3. 7 Rw Rc 4 2 l imea sec iunii „s”

(4.12)

(4.13a)

(4.13b)

(4.13c)

(4.13d)

(4.13e)

pag.75

lw1 (4.13f) N In cazul unei role cu o singur raz generatoare a profilului, pentru o sarcin dat „Qidx”, parametrul " care intervine î n rela iile 4.13b este dat de rela ia: Q 1 5 lw12 8 N 3 2.N 5 8 1 3 . 9. 06 0 + (4.14a) 3. 0 0.11 3 4 E0.k idx .fQ(k idx ) 7 Rc Rw 4 8.N 3 67 3 'x s .

Rela ia 4.14 a rezultat ca urmare a sarcinilor par iale corespunz toare sec iunilor „s”, N fiind num rul sec iunilor considerate. Prin egalarea rela iei 4.14 cu rela ia 4.13b !i f când lw1=2.a, rezult valoarea parametrului „semiaxa mare a elipsei de contact” f r a mai utiliza calculul numeric al integralelor eliptice. 1

? <3 2.Q idx = : 0 0.11 E0.k idx .fQ(k idx ) = : . (4.14b) a idx . =8 1 2 5: 1 58 1 3.61 + + =6 0 3: >= 7 Rw Rc idx 4 7 3 3.N 4 ;: In cazul unei role SRB-SRB 22308C rezultatele numerice ob inute prin folosirea rela iilor 4.10 … 4.13, au fost comparate cu cele ob inute prin folosirea rela iilor Hertz, tabelul 4.4. Tabel 4.4. Exemple de date generate de teoria Hertz !i rel 4.10 Elemente geometrice SSRB 22308C (necesare analizei contactului rol cale de rulare -interioar ): =14.33o; dm=66; dw=13; lw=12; Rw=39.5; Rc=40.35 Hertz Rel 4.10 sarcina elipticitatea Q[N] k(Rw) p0 [MPa] b[mm] max(P), [MPa] max(b), [mm] 300 730.9 0.06653 731.59 0.06652 k=44,27565 Rw=39.5 2500 1481.8 0.13488 1483.2 0.13487 300 k=16.0082 1029.3 0.0932 1029.1 0.0932 Rw=36.5 2500 2086.9 0.1980 2086.5 0.1980 Datele prezentate in tabelul 4.4. scot in evidenta o foarte buna concordanta intre metoda de calcul a parmaterilor de contact determinati prin teoria hertzina a contactului punctual elastic si rezultatele obtinute cu relatiile 4.10. 4.4.4. Efectul geometriei c ilor de rulare !i a profilului rolelor asupra PCS. Rela iile 4.10 au fost aplicate diferitor tipuri de structuri SRB luând în calcul efectul geometriei rolelor cât !i al c ilor de rulare profilate. Pentru cazul prezentat de J. de Mul [1986], Krzeminski s.a,[ 1996] !i Cre u Sp., [1996, 2002, 2002b], se consider o structur SRB-CRB, pentru care geometria !i sarcina de contact sunt prezentate î n tabelul 4.5. Tabel 4.5. Parametrii cazului de analiz Structur SRB-CRB; Sarcin aplicat : Q=33800 N diametrul rolei Raza de racordare a profilului rolei Semi distan a î ntre centrele de curbur ale razelor r,

. Structur SRB-CRB Dw=15 mm r=1.006 mm L=6.994

Raza profilului rolei: R=1114, mm Lungimea rolei Lw=16 mm diametrul c ii de rulare d=58.5 interioare

Rezultatele ob inute utilizând ecua iile 4.10 sunt prezentate î n tabelul 4.5 !i figura 4.17, fiind pag.76

comparabile cu cele prezentate de Krzeminski, [1996] !i Cre u, [1996, 2002, 200b]. Pentru Q=33800 N, aplicarea modelului de calcul propus, a generat „efect de cap t” prezentat î n figura 4.17. Tabel 4.5. Apropierea relativ a suprafe elor. Date comparative. Krzeminski Half space (Cre u) FEM Sarcina 10000 002785 0.028 0.02444 33800 0.06714 0.0675 0.0570

Full model 0.02482 0.05737

rel 4.10 0.02517 0.06467

Fig.4.17. Distribu ia de presiune !i forma domeniului de contact, Q=33800 N. Considerând cazul prezentat în figura 4.16, în figurile 4.18a !i 4.18b sunt prezentate dou analize corespunz toare a dou sarcini de contact diferite, rezultând contacte punctual modificate !i contacte punctuale hertziene.

Fig 4.18a. Exemplu de distribu ie de presiune î ntr-un contact nehertzian, Q=4379 N

pag.77

Fig.4.18b. Exemplu de distribu ie de presiune î ntr-un contact hertzian, Q=1107 N

4.5. Echilibrul rolelor (bilelor) unei structuri SRB exprimat î n 3 DOF Pentru utilizarea rela iilor 4.10 î n cazul unei role cu „idx” contacte este necesar a se determina la nivelul sec iunii „s” deforma ia geometric local s, normal la contact. Efectul vectorului deplasare al inelului mobil al structurii ,{ }SSRB, este reprezentat de vectorii DCMRr,j având componentele {ux, uz, #}r,j. Pentru o rol descris de perechea (r,j) componentele {ux, uz, # }sunt prezentate î n figura 4.19. Pentru determinarea componentelor s,idx trebuie determinate componentele dnidx !i dtidx care reprezint : dnidx = proiec iile deplas rilor ux !i uz î n direc ia normalei la contact; dtidx = proiec iile deplas rilor ux !i uz î n direc ie perpendicular pe direc ia normalei la contact. In figura 4.19 indicii „i” !i „e” se refer la contactul interior !i respectiv exterior î n cazul unei role SRB cu dou contacte iar $i,e reprezint unghiurile de contact. dn e

uz

!e dt e ux @

@ dni

!

i

dt i

Fig.4.19. Componentele vectorului DCMR(r,j) pag.78

Componentele dnidx !i dtidx sunt date de rela iile: dt idx . ux. cos(u idx ) 0 uz.sin(u idx ) dn idx . ux. sin(u idx ) + uz. cos(u idx ) Unghiurile uidx sunt indicate î n rela ia 3.7b.

(4.15a) (4.15b)

In cazul î n care structura are !i contacte secundare (umeri, inele de ghidare) indicele „idx” se majoreaz cu num rul de contacte secundare. Introducerea noilor parametri trebuie s respecte regula de definire a func iilor prezentat î n figurile 4.11 !i 2.8. Pentru palierul „pa”, componentele deplasare linear ale vectorului { }SSRB raportate la direc iile normallei !i tangentei sunt: !'t idx . C/x. cos(u idx ) 0 A/z1. cos(( ) + /z 2. sin(( )B. sin(u idx )D.RD(RIG) !'n idx . C/x. sin( u idx ) + A/z1. cos(() + /z 2. sin(( )B. cos(u idx )D.RD(RIG)

(4.16a) (4.16b)

Parametrul „RIG” descrie tipul de rigiditate al structurii putând avea semifica iile RIG=IOE, IRR sau ORR !i a fost descris î n capitolul 2. Pentru o rol inclus î ntr-o structur SSRB este de introdus in mod global efectul rotirii c ii de rulare deoarece depinde de tipul !i caracteristicile geometrice ale structurii considerate cât !i de pozi ia rolei în raport cu punctul de rotire. In absen a rotirii inelului interior, deforma ia local de contact la nivelul sec iunii „s” a contactului „idx” este descris de rela ia: / s ,idx . sduz(idx ).Ts 0 SDL idx Ts . x s . sin(@ y ) + RRs . cos(@ y ) + dnidx 0 'nidx

(4.17)

Ex s . cos(@ y ) 0 RRs . sin(@ y ) + dtidx 0 't idx F2 < 1? + 0 .= Dw 0 : 2 >= Rcidx ;:

î n care : RRs – raza rolei î n direc ia de î naintare: RRs=Dw/2-(xs)2/(2.Rw); xs – abscisa sec iunii „s” raportat la punctul teoretic ini ial de contact; Rcidx – raza generatoare a profilului c ii de rulare „idx”. In figura 4.20 se prezint elementele necesare scrierii ecua iilor de echilibru ale unei role SRB utilizând metoda sec ion rii celor „idx” domenii locale de contact. S-au folosit nota iile: XG = centrul de mas al rolei; XR = punctul î n raport cu care se face rota ia rolei !i define!te condi iile geometrice de descriere a profilului rolei. Astfel: x (s) & 0, s G [0, XR ) x Es F . xs(s) . 0, x (s) . XR (4.18) x (s) % 0, s G (XR , Lw ] s = num rul sec iunii; s=0 pentru punctul 0 !i s=N, pentru punctul Lw; S = unghiul care define!te pozi ia vectorului %w (figura. 3.8).

pag.79

Fc

Q(idx,s)

Qe(s) Qas Zs

XG

! e

Xs

?

S

XR

Mg !

i

Qrs

0 XR Hw

Z

XG

Lw

s

X Qi(s) Fig.4.20. Elemente necesare determin rii vectorului DCMR Qas !i Qrs reprezint componentele normale !i respectiv tangen iale al sarcinii Q_RD (idx,s) raportate la axa descris de unghiul „S”. Sunt exprimate de rela iile: Qas(idx , s) . Q(idx , s).Esin E!idx F. cos(S).sdx (idx ) 0 cosE!idx F. sin(S).sdz(idx F Qrs(idx , s) . Q(idx , s).Esin E!idx F. sin(S).sdx (idx ) + cosE!idx F. cos(S).sdz(idx F

(4.19)

Folosind nota iile anterioare, determinarea parametrilor cvasi-statici (PCS) pentru contactul „idx” al unei role SRB, se face prin rezolvarea ecua iilor de echilibru ale rolei. Parametrii cvasi-statici astfel determina i vor fi func ii de componentele {ux, uz, #}r,j. ?? < < ECFA . * = =* dQ _ RD(s, idx ).sin(! idx ):.sdux idx : . 0 idx > > s ; ; ?? < < ECFR . * = =* dQ _ RD(s, idx ). cos(! idx ):.sduz idx : + FC . 0 idx > > s ; ; ? < ECFM . * =* EQas(idx , s).Zs(s) 0 Qrs(idx , s).X(s) F: + Mg + Fc. cos(?).(XG 0 XR ) . 0 idx > s ;

(4.20a) (4.20b) (4.20c)

Ecua iile 4.20a !i 4.20b reprezint ecua iile de echilibru ale rolei în direc ie axial !i respectiv direc ie radial . Rela ia 4.20c reprezint ecua ia de echilibru de momente scris în sensul axei sec iunilor. Fiind un sistem de ecua ii nelineare, rezolvarea ecua iilor 4.20 se face prin metoda Newton-Raphson necesitand cunoasterea Jacobianului rolei, ale c rui componente depind de ecua iile 4.10, de sumele din ecua iile 4.20 !i de derivatele par iale ale deforma iei locale de contact în raport cu componentele vectorului DCMR.

pag.80

4.6. Validarea modelului de calcul al distribu iei de sarcin . Validarea modelului de calcul propus si utilizat s-a realizat prin compararea unor rezultate furnizate de literatur , insistându-se de fiecare dat asupra cauzelor care produc anumite diferen e în ceea ce prive!te valorile parametrilor cvasi-statici. 4.6.1. Compara ii cu datele prezentate de Stirbu [1998] pentru structuri SRB-SRB.

Sarcina normal

de contact, N

Pentru structura SRB-SRB 22308 C Stirbu [1998] !i î nc rcarea: Fa = 1340 N; Fz=3300 N; ni=1000 rpm; a fost calculat distribu ia de sarcin , rezultatele analizei fiind prezentate î n figura 4.21.

Num r rol

Fig.4.21. Distribu ia de sarcin î n structura SRB-SRB 22308 C Distribu ia de sarcin !i unghiurile de contact pentru contactul rol cale de rulare interioar ob inute de Stirbu [1998] sunt prezentate î n tabelul urm tor. alphai, alphai Qi, r=2 r=2 nr. rol psi, grade Qi, r=1 r=1 1 0 1052.5 14.347 76.1 14.381 2 27.69231 948.1 14.348 36.7 14.446 3 55.38462 678.8 14.353 2.3 16.244 4 83.07692 354.1 14.357 1.2 18.208 5 110.7692 124 15.31 0 18.948 6 138.4615 60 16.494 0 20.981 7 166.1538 1.8 16.62 0 20.981 ….. simetrie de sarcini !i unghiuri de contact 13 332.3077 948.1 14.348 36.7 14.446 Scrierea ecua iilor de echilibru ale inelului interior conduce la ob inerea unor diferen e de 141 N (5%) î n direc ie radial !i –35 N î n direc ie axial , care este î ns acceptabil . Compararea datelor rezultate î n urma rul rii programului SRBSYM, cu cele prezentate Stirbu, [1998], a eviden iat mici diferen e î n ceea ce prive!te valoarea PCS, acestea datorându-se erorii de calcul impus în programul dezvoltat de [Stirbu, 1998]. pag.81

4.6.2. Compara ii cu programul BB10. Programul de calcul BB01 a fost conceput !i implementat de c tre prof. Daniel Nelias de la LMC Lyon. Pentru geometria de rulment impus î n programul BB01, au rezultat urm toarele date: **** PROGRAM BB **** VERSION 1.0b **** BALL BEARING EXTERNAL GEOMETRY : 80 * 134 * 30 MANUFACTURER REF. : USER REF. :

(ID,OD,width in mm)

SNFA SP280/16 (16 billes) SNECMA M88 Palier I FO301 307-154-302

BALL BEARING SPECIFICATIONS _Number of balls _Ball diameter _Bearing pitch diameter _Bearing diametral clearance

: 16 : 16.671 mm :107.000 mm : 0.139 mm

_I.R. conformity _O.R. conformity _Free contact angle _Misalignment angle

: 0.5100 : 0.5130 : 35.000 deg. : 0.000 deg.

MATERIAL PROPERTIES

! BALL Young modulus (N/m2) ! 2.05E+11 Poisson coefficient ! 0.300 Weight density (Kg/m3) ! 7830.00

I.R. 2.05E+11 0.300

O.R.

2.05E+11 0.300

OPERATING CONDITIONS _I.R. temperature _O.R. temperature

: :

Ni= 6000 rpm, Fa= 3000.00 N, Moment load : 38.33 N.m

120. C 80. C Fr=

1000.00 N,

teta=

0.000 deg.

****************************************************************************** * Ball * Psi * Beta * Contact Angle * Load * Deformation * * * (deg.)* (deg.)* (deg.) * (N) * (microns) * * N# * * * I.R. O.R. * I.R. O.R. * I.R. O.R. * ****************************************************************************** * 1 * 0.0 * 28.95 * 38.66 * 33.28 * 465.08 * 529.49 * 4.58 * 5.21 * * 2 * 22.5 * 28.90 * 38.81 * 33.22 * 446.46 * 510.85 * 4.46 * 5.08 * * 3 * 45.0 * 28.71 * 39.28 * 33.01 * 396.21 * 460.51 * 4.12 * 4.74 * * 4 * 67.5 * 28.37 * 40.09 * 32.61 * 329.20 * 393.38 * 3.64 * 4.27 * * 5 * 90.0 * 27.85 * 41.21 * 32.02 * 263.80 * 327.83 * 3.14 * 3.78 * …………………….. ******************************************************************************

Rezultatele ob inute prin rularea programului SRBSYM sunt prezentate î n tabelul urm tor !i figurile 4.23a,b.. RÂNDUL 1. ........SARCINI, UNGHIURI psi Qe Qi UN_e UN_i UN_m d_xw d_zw ____________________________________________________________________________ 34.99230 -0.006987 0.005317 0.00 526.8 465.1 33.516 38.715 22.50 508.3 446.6 33.455 38.861 34.99200 -0.007260 0.005526 45.00 458.2 396.6 33.253 39.311 34.99106 -0.008119 0.006182 67.50 391.2 329.7 32.871 40.090 34.98937 -0.009644 0.007354 90.00 325.5 264.1 32.294 41.177 34.98696 -0.011819 0.009037

……….. Rezultatele ob ibute prin utilzarea modelului de calcul dezvoltat sunt comparabile cu cele ob inute utilizând programul BB10.

pag.82

4.6.3. Compara ii cu programul RBL4 Pentru analiza structurilor SRB-4PCBB, a fost dezvoltat un program dezvoltat programul de calcul numit BB20. Prigramul BB20 reprezint o particularizare a programului SRBSYM !i a fost creat pentru analiza rulmen ilor cu 2, 3 sau 4 peunte de contact pentru firma SNECMA Moteur din Fran a. A fost verificat cu un program similar numit RBL4 dezvoltat de firma GLCS Paris. Pentru un caz de convergen asigurat de RBL4, în condi iile indicate în continuare, rezult : Noms

Valeurs

Unité s

Diametre moyen

107

mm

Diamètrebilles

16,669

mm

Nombre de billes

16

Courbure relative fi

0,5147

Courbure relative fe

0,5123

Jeu diamé tral

49

µm

Angle de Cale inté rieur

11,18

deg

Angle de Cale exté rieur

0

deg

Module d'é lasticité BI

20780

daN/ mm

Module d'é lasticité BE

20780

daN/ mm

Module d'é lasticité billes

20780

daN/ mm

Coef. de Poisson BI

0,3

Coef. de Poisson BE

0,3

Coef. de Poisson billes

0,3

Masse volumique BI

7,85

kg/dm3

Conductivité thermique billes

15

W/m/K

Vitesse BI

13194

tr/min

Efforts apliqué s sur

BI

daN

Effort axial suivant X

1790

daN

Effort radial suivant Y

783

daN

Effort radial suivant Z

0

daN

Gé omé trie

Maté riaux

Fonctionnement

Rezultate RBL4 Bille no 0 1 2 3 ……

Pos. ang. (deg) 0 22.5 45 67.5

Rezultate BB20 rol

psi

Q e (N) 3655 3555 3276 2876

Q[j,1]

0 0 3358.5 1 22.5 3258.25 2 45 2978.9 3 67.5 2578.52 ……………………

alpha e (deg) 26.07 26.07 26.04 25.97

Q i 1 (N) 3336 3236 2957 2558

alpha i 1 (deg) 28.86 28.94 29.2 29.62

Q i 2 (N) 0 0 0 0

Q[j,2] Q[j,3] Q[j,4] U[j,1] U[j,2] U[j,3]

U[j,4]

0 0 0 0

11.18 11.18 11.18 11.18

3667.6 3567.2 3287.5 2886.6

0 0 0 0

29.523 29.608 29.86 30.277

8.686 8.743 8.915 9.215

26.82387 26.82521 26.81747 26.76713

pag.83

4.6.4. Compara ii cu modelul de calcul propus de Hamrock [1975] i programul RMS4, considerând efectul expansiunii dentrifugale a inelului interior Se considera un rulment având geometria: GEOMETRIE DU ROULEMENT A BILLES !-------------------------------------------------------------------------------------> 22< Z Nombre de billes > 22.230D-03< DW Diamètre des billes [m] > 187.550D-03< DM Diamètre moyen [m] > 249.99 D-06< JD Jeu diamétral [m] > 0.00 D+00< alphaf Angle de contact géométrique (seulement si jeu pd=0.) [deg] > 54.00 D-02< Fi=ri/dw Courbure relative bague intérieure > 52.00 D-02< Fo=ro/dw Courbure relative bague extérieure > 0.000D+00< alphaSI Angle de cale (shim) intérieur [deg] > 0.000D+00< alphaSE Angle de cale (shim) extérieur [deg] > 25.0 D-03< BI Largeur de bague intérieure [m] > 150.0 D-03< DI Diamètre d'alésage du roulement [m] > 164.98 D-03< deiam Diamètre épaulement int. amont [m] > 164.98 D-03< deiav Diamètre épaulement int. aval [m] > 25.00 D-03< BE Largeur de bague extérieure [m] > 178.00 D-03< DE Diamètre extérieur du roulement [m] > 175.00 D-03< deeam Diamètre épaulement ext. amont [m] > 175.00 D-03< deeav Diamètre épaulement ext. aval [m] > 0.10 D-03< racray Rayon raccord chemin/épaulement [m] > 2.00 D-03< LC CAGE PARAMETER [m] > 0.80 D-01< jbc CAGE PARAMETER [mm] > 165.00 D-03< d_min_cage CAGE PARAMETER [m] > 174.00 D-03< d_max_cage CAGE PARAMETER [m]

Sarcina extern! Fx = 24241 N. Prin modificarea tura iei inelului interior au rezultat graficele prezentate î n figurile 4.22a - 4.22 d . Datele oferite spre compara ie au fost furnizate de Nelias D î n 2003, î n vederea valid!rii modelului de calcul inclus î n programul BB20.

Charge normal B.I. (Fx = 22 241N)

3500 3000

Qi (N)

2500 2000 RMS4

1500

Hamrock

1000

BB20(controle BI/Be)

500 0 12000

16000

20000

24000

Vitesse arbre int. (Tr/min)

Fig. 4.22 a. Evolu ia sarcinii de contact pentru rola j=0, pe inelul interior al rulmentului.

pag.84

Charge normal B.E. (Fx = 22 241N)

9000 8000 7000

Qo (N)

6000 5000 4000 3000

RMS4 2000

Hamrock

1000

BB20 (controle Bi/Be)

0 12000

16000

20000

24000

Vitesse arbre int. (Tr/min)

Fig. 4.22 b. Evolu ia sarcinii de contact pentru rola j=0, pe inelul exterior al rulmentului. Angle de contact B.I. (Fx = 22 241 N)

35

Angle de contact (deg)

30 25 20 15

RMS4 Hamrock

10

BB20(controle Bi/Be)

5 0 12000

16000

20000

24000

Vitesse arbre int. (tr/min)

Fig. 4.22 c. Evolu ia unghiului de contact contact pentru rola j=0, pe inelul interior al rulmentului.

pag.85

Angle de contact B.E. (Fx = 22 241 N) 18 16

Angle de contact (deg)

14 12 10 8

RMS4

6

Hamrock

4

BB20 (controle Bi/Be)

2 0 12000

16000

20000

24000

Vitesse arbre int. (tr/m in)

Fig. 4.22 d. Evolu ia unghiului de contact pentru rola j=0, corespunz!tor contactului rol! – cale de rulare exterioar!.

Rezultatele ob inute, pentru acelea i condi ii, de patru autori diferi i, valideaz! modelul de calcul propus rezultând aploicabilitate în cazul analizei rulmen ilor radial axiali cu bile, a rulmen ilor cu bile cu cale de rulare sec ionat! i a rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri

pag.86

4.7. Influen a unor parametri asupra determin!rii PCS Geometria intern! a structurii SRB i tipul de analiza 3 DOF sau 5 DOF, sunt principalii factori care afecteaza valorile parametrii cvasi-statici. Determinarea cu precizie impusa a PCS, implica apelarea la un calcul iterativ. In continuare se va prezenta: !influen a tipului de analiz! (evolu ia PCS considerând algoritmi 3 DOF sau 5 DOF) !influen a geometriei c!ii de rulare (î n cazul rulmen ilor cu bile) !influen a defazajului unghiular (î n cazul rulmen ilor cu dou! rânduri de corpuri de rostogolire i colivii independente) !influen a caracterului oscilant al structurii 4.7.1. Influen a tipului de analiz! Considerând o structur! SRB-4PCBB-1234 a c!rei geometrie este descris! în anexa 4 i o sarcin! extern!: Fax=10 kN, Fz=10 kN, Fy=8 kN, i=15000 rpm, s-au executat dou! tipuri de analize (î n 3 DOF i respectiv î n 5 DOF). Pentru cele dou! cazuri, sunt prezentate comparativ evolu ia distribu iei de sarcin! i a unghiului de contact, figurile 4.23a i 4.23b. 4500 4000

Q1, Q2, Q3, Q4, Q1, Q2, Q3, Q4,

Sarcina de contact, N

3500 3000

3DOF 3DOF 3DOF 3DOF 5DOF 5DOF 5DOF 5DOF

2500 2000 1500 1000 500 0 0

5

10

15

20

NUmarul bilei

Fig. 4.23a. Evolu ia distribu iei de sarcin! î n func ie de tipul de analiz!.

pag.87

70 idx=1, idx=2, idx=3, idx=4, idx=1, idx=2, idx=3, idx=4,

60

Unghi de contact, grd

50

3DOF 3DOF 3DOF 3DOF 5DOF 5DOF 5DOF 5DOF

40

30

20

10

0 0

5

10

15

20

Numarul bilei

Fig.4.23b. Evolu ia unghiurilor de contact î n func ie de tipul de analiz! considerat. Din analiza figurilor 4.23a i 4.23b, rezult! c! stabilirea tipului de analiz! care trebuie aplicat prezint! o importan ! deosebit!. Alegerea analizei de tip 5 DOF presupune echilibrarea moementului intern rezultat ca urmare a distribu iei asimetrice de sarcin! la nivelul inelelor structurii considerate. Evolu ia unghiului de contact, prezentat! î n figura 4.23b, implic! cunoa terea exact! a geometriei c!ilor de rulare. Valorile ridicate ale unghiurilor de contact, corelate cu cele corespunz!toare distribu iei de sarcin! pot conduce la ob inerea de elipse trunchiate (contacte nehertziene). Datele prezentate anterior arat! c! o analiz! realist! este aceea î n care se consider! ansalblul din care rulmentul face parte i nu analiza independent! a rulmentului. Marea majoritate a analizelor teoretice nu consider! dependen a arbore-tip de rulmen i, fiind necesar a se dezvolta un model de calcul complet. 4.7.2. Influen a geometriei c!ilor de rulare Pentru testul efectuat î n paragraful 4.7.1, efectul combinat al reparti iei de sarcin!, al unghiului de contact i al geometriei c!ilor de rulare, relev! pentru a 10-a bil! existen a unui contact de tip nehertzian. Influen a razei de racordare a c!ii de rulare interioar! este eviden iat! î n figurile 4.24a i 4.24b, pentru dou! valori diferite parametrului r, (r=0.5 mm i respectiv r=1 mm) . Datele prezentate î n figurile 4.24a i 4.24b prezint! „efectul de cap!t” î n cazul rulmen ilor cu bile. Evolu ii asem!n!toare a distribu iei de presiune de contact apar î n special î n cazul rulmen ilor cu cale de rulare sec ionat! dar i în cazul rulmen ilor radial-axiali cu bile când sarcina axial! sau momentul exterior nu sunt aplicate corect

pag.88

Presiunea de contact, MPa

sectiunea s, mm

Presiunea de contact, MPa

Fig.4.24a. Distribu ia de presiune pe bila 10 la nivelul contactului contactul idx=2, considerând r=0.5 mm.

sectiunea s, mm

Fig.4.24b. Distribu ia de presiune pe bila 10 la nivelul contactului contactul idx=2, considerând r=1 mm.

4.7.3. Influen a defazajului unghiular Efectul defazajul unghiular apare într-o structur! SRB cu dou! rânduri de corpuri de rostogolire datorit! montajului i / sau a valorilor diferite ale tura iilor coliviilor independente ale structurii. Pentru o structur! SSRB acest fenomen apare i datorit! diferitelor geometrii de rulmen i care sunt parte constitutiv! a structurii. Considerând o structur! SRB-SRB-22308 C pentru care (Fz=8 kN, i=3000 rpm) efectul defazajului unghiular asupra parametrilor PCS este eviden iat în figura 4.25. S-a considerat pentru rândul r=1 c! valoarea defazajului este nul!. pag.89

1400

1390

Sarcina de contact, [N]

1380

1370 1360

1350 Qe_max, r=1 Qe_max, r=2

1340

1330 0

5

10

15

20

25

30

Valoarea defazajului unghiular, [grd.]

Fig.4.25. Varia ia sarcinii maxime de contact î n func ie de valoarea parametrului unghi de defazaj 4.7.4. Influen a caracterului oscilant al structurilor SRB-SRB Pentru o structur! SRB-SRB 22308C, î nc!rcat! cu Fz=8 kN, Fax=1 kN, func ionând la tura ia i=3000 rpm, î nclinarea inelului interior î n raport cu axa de simetrie a inelului exterior, î nainte de î nc!rcare cu 0 i respectiv un grad conduce la ob inerea distribu iilor de sarcin! prezentate î n figurile 4.26a i 4.26b

Fig.4.26a. Distribu ia de sarcin! pentru î nclinare 0 grade

Fig.4.26b. Distribu ia de sarcin! pentru î nclinare 1 grad

Rezultatele numerice prezentate î n figurile 4.26 au fost ob inute prin utilizarea unei analize de tip 3 DOF, considerând o valoare impus! a rotirii inelului interior. In cazul rulmen ilor radial oscilan i (cu role sau cu bile), modificarea distribu iei de sarcin! ca urmare a rotirii inelului mobil este pu in influen at!. Cauza principal! a acestui fenomen il constituie „caracterul oscilant al structurii”, adic! pag.90

pozi ionarea centrului geometric al c!ii de rulare exterioare î n originea sistemului propriu de coodronate al rulmentului. In anexa 5 sunt prezentate pozi iile punctelor caracteristice ale diferitor structuri derivate din structura SRB-SRB, eviden iind caracterul oscilant sau nonoscilant al rulmentului analizat.

4.8. Concluzii A fost dezvoltat! o metodologie de calcul a parametrilor cvasi-statici (PCS) care are urm!toarele elemente originale: 1. Permite analiza rulmen ilor cu unul sau dou! rânduri de corpuri de rostogolire. 2. Include o metod! rapid! de analiza a distribu iei de presiune i forma domeniului de contact in cazul contactelor nehertziene. 3. Consider! trecerea de la un contact punctual la unul punctual modificat prin func ii continue. 4. Construirea matericei de rigiditate pentru o structura SSRB (se consider! caracteristicile specifice fiec!rui tip de structur! SRB î n parte). 5. Determinarea pe cale analitica a Jacobianului din structura matricei de rigiditate. 6. Stabile te o rela ie linear! î ntre sarcin! i apropierea relativ! (rel 4.10c), ceea ce permite determinarea matricei de rigiditate a oric!rui tip de structur! SRB care con ine contacte punctuale sau punctual modificate 7. Includerea parametrilor geometriei c!ilor de rulare, facilitand astfel studiile de caz.

Analiza rigidit! ii i a distribu iei de sarcin! î n sistemele de rulmen i oscilan i cu role butoi pe dou! rânduri a f!cut subiectul a dou! lucr!ri prezentate la simpozionul VAREHAD10, Suceava 2001. 1. 2.

Rezmires D, Bercea I, Cretu Sp, Olaru D,- (2001,a) -„Load Distribution in Double Row Spherical Roller Bearings and Spherical Roller Bearings Systems in Static Case”, VAREHD 10, Suceava Rezmires D, Bercea I, Cretu Sp, Olaru D,- (2001,b) - „The Radial and Axial Stiffnesses of Spherical Roller Bearing Systems”, VAREHD 10, Suceava

pag.91

CAPITOLUL 5.

ELEMENTE DE LUBRIFICA

IE ALE STRUCTURILOR SRB

Elemente de lubrifica ie ale structurilor SRB.

pag.92

5. Parametrii reologici ai structurilor SSRB, componente ale clasei SRB Comportarea cvasi-dinamic! a unei structuri SSRB este influen at! de propriet! ile lubrifiantului utilizat, in special de legea de varia ie a vâscozit! ii dinamice cu presiunea i temperatura. Studiile experimentale arat! c! in conditiile specifice contactelor concentrate cu rostogolire lubrifiantul trece din starea lichid! î n stare „solid!”. In unele modele de calcul ale parametrilor cvasi-statici se consider! pentru lubrifiantul solid o rigiditate infinit!. Efectul lubrifiantului „solid” este acela de a modifica pozi ia punctelor caracteristice ale structurii analizate. Caracteristicile fizice ale lubrifiantul i starea suprafe elor corpurilor î n contact influen eaz! semnificativ „calitatea func ion!rii rulmentului” descris! prin intermediul parametrilor putere consumat! prin frecare, moment de frecare i respectiv prin intermediul vectorului „coeficient de frecare local” corespunz!tor punctelor care descriu interfa a rol! - cale de rulare. Studiile teoretice i experimentale demonstreaz! existen a dependen ei clasei PARAMETRI REOLOGICI de clasa de func ii TIP CONTACT, precum i de temperatur! i viteza suprafe elor aflate î n mi care relativ!. In continuare este prezentat! metodologia de calcul a principalilor parametri ai unui lubrifiant, ce intervin î n stabilirea echilibrului cvasi-dinamic al unei structuri SRB. Ace ti parametri sunt: vâscozitatea, coeficientul de piezovâscozitate i tensiunea de forfecare în filmul de lubrifiant.

5.1. Vâscozitatea i coeficientul de piezovâscozitate. Vâscozitatea este caracteristica principal! a unui lubrifiant intervenind hot!râtor în evolu ia parametrilor func ionali ai unui sistem mecanic lubrifiat. Este dependent! de temperatur!, presiune i de natura lubrifiantului (ulei mineral sau sintetic). Pentru uleiuri minerale, Barus [1893] determin! empiric o rela ie de calcul care exprim! dependen a vâscozit! ii dinamice de presiune i temperatur!:. ! T ,p " ! T . exp(

p

(5.1)

.p)

unde: p - presiunea medie local de contact (Pa). -1 p - coeficient de piezovâscozitate, (Pa ) Dependen a vâscozit ii dinamice î n func ie de temperatur este bine modelat de rela ia dezvoltat de Reolands î n 1966 având ca baz de calcul analiza dezvoltat de Barrus [1893]: log( A )

!T

10

î n care:

10

B . log 1

T 135

4.2

, [Pa.s]

(5.2)

T este temperatura lubrifiantului la intrarea î n contact, [oC]; !1,2 sunt valorile vâscozit ii dinamice pentru dou temperaturi date T1 !i T2, [Pa.s]; A, B sunt coeficien i.

Pentru calculul coeficien ilor A !i B care intervin î n ecua ia 5.2 î n cadrul tezei s-au dezvoltat rela iile: log( log( !1 )

A

10

4.2 )

B . log 1

T1 135

(5.2a) pag.93

log( log( !1 )

B

log 1

4.2) T1

log( log( !2 ) log 1

135

4.2)

T2

(5.2b)

135

Calcul coeficientului de piezovâscozitate se realizeaz utilizând rela ia lui Wooster: p

& "0.6 % 0,659. lg(! T ,p .10 3 ) #.10 $8

Pentru uleiurile sintetice, dependen a vâscozit ii dinamice de temperatur !i presiune, este bine modelat de modelul WLF dezvoltat de Yasutomi, [1984], Nelias D, [1999] log10 ("T, p # & log10 ( g %

î n care:

C1 ' "T $ Tg (p) # ' F(p)

(5.3)

C 2 % "T $ Tg (p) # ' F(p)

F"p # & 1 $ B1 ln "1 % B 2 p # ; Tg "p # & Tg 0 % A1 ln "1 % A 2 p #

Coeficien ii A1, A2, B1, B2, C1 !i C2 !i coeficientul de piezovâscozitate , depind de tipul lubrifiantului sintetic !i sunt determina i prin interpolarea rezultatelor experimentale. Pentru patru tipuri de lubrifian i sintetici parametrii A1, A2, B1, B2, C1 !i C2 sunt prezenta i î n tabelul 5.1, Nelias D, [1999 !i 2001].. Tabel.5.1. Coeficien i determina i experimental pentru patru tipuri de lubrifian i utiliza i î n industria aeronautic Parametrul (g (Pa.s) Tg0 (C) A1 (°C) A2 (Gpa-1) B1 B2 (Gpa-1) C1 C2 (°C)

Pennzane X2000 107 -88 69,8093 1,67903 0,212452 11,8028 11,8362 60,5908

SHF Nye 186 A 107 -85 53,9262 2,26829 0,223438 12,4888 11,5171 53,979

Fomblin Z25 107 -121 48,3241 2,96467 0,224572 23,8537 10,0745 54,4713

Mobil Jet II (MIL-L-23699) 1012 -107 171,96 0,4294 0,1961 17,434 16,342 29,406

Aplicarea rela iei 5.2, cu solu iile 5.2a !i 5.2b la un ulei sintetic a c rei viscozitate dinamic se determin cu rela ia 5.3 conduce la valori aproximativ egale (a se vedea figura 5.1). Nelias D [1999] arat c rela ia 5.2 nu poate defini corect evolu ia vâscozit ii unui lubrifiant sintetic fiind necesara utilizarea modelului WLF (ce presupune determinarea unui mare num r de constante). Utilizarea rela iilor 5.2 cu solu iile (5.2a si 5.2b) poate fi î ns aplicat !i necesit un num r redus de coeficien i.

pag.94

1.5 Dynamic viscosity, (Pa.s)

Dynamic viscosity, (Pa.s)

0.2 0.16 0.12 0.08 0.04 0

0

30

60 90 Temperature, (C)

120

1.2 0.9 0.6 0.3 0

150

0

Mobil Jet II

120

150

1 Dynamic viscosity, (Pa.s)

Dynamic viscosity, (Pa.s)

60 90 Temperature, (C)

Pennzane SHF X2000

1.5 1.2 0.9 0.6 0.3 0

30

0

30

60 90 Temperature, (C)

120

0.8 0.6 0.4 0.2

150

0

0

30

60 90 Temperature, (C)

120

150

Fomblin Z25 Nye 186 A Fig.5.1. Vâscozitatea dinamic determinat cu rela iile 5.3 !i 5.2 cu solu iile 5.2a !i 5.2b Pentru lubrifian ii prezenta i anterior, coeficientul de piezovâscozitate se determin cu rela ia 5.4 * A A A A11 & ) % 00 % 01 % 10 % (5.4) 2 "T$T # "T$Tc0 #2 T T unde: Tc 0 & Tg 0 $ C 2

(5.5)

Valorile corespunz toare coeficien ilor din rela ia 5.4 sunt prezentate î n tabelul 5.2. Tabel 5.2. Constante utilizate pentru calculul coeficientului de piezovâscoziatate corespunz tor a patru tipuri de lubrifian i aeronautici Coeficient Pennzane SHF X2000 Nye 186 A Fomblin Z25 Mobil Jet II -1 0 0 0 0 00 (GPa ) A00 (K/GPa) -54,677 -1,7295 103 -1,3222 103 -2,5118.103 A01 (K2/Gpa) 8,4243 105 4,9567 105 7,3974 105 3,71.105 3 3 3 A10 (K/GPa) 1,4264 10 3,2079 10 4,0438 10 3,5.103 A11 (K2/Gpa) 1,3876 104 -1,97 104 -1,3132 105 -20,08.103

5.2. Regimuri de frecare-ungere în structurile SRB. Intr-o cupl superioar , pot exista patru regimuri de ungere cu film fluid: ! Regimul izovâscos - rigid (IVR) : presiunea de contact este insuficient de mare pentru a modifica substan ial vâscozitatea lubrifiantului sau pentru a produce deforma ii elastice importante. Este denumit !i regim hidrodinamic. !Regimul piezovâscos - elastic (PVE): presiunea de contact produce deforma ii elastice pag.95

semnificative !i modific ri importante ale vâscozit ii. Uzual, acest regim este cunoscut !i sub denumirea de regim elasto-hidrodinamic (EHD); ! Regim piezovâscos-rigid (PVR) : presiunea de contact este insuficient de mare pentru a produce deforma ii elastice semnificative dar suficient pentru a modifica substan ial vâscozitatea lubrifiantului; ! Regimul izovâscos-elastic (IVE): presiunea este insuficient de mare pentru a produce modificarea substan ial a vâscozit ii, dar suficient de mare pentru a produce deforma ii elastice importante. Studiile efectuate de c tre Houpert, [1987], Marckho (Harris, [1991]), Zhu [1999] permit stabilirea unor criterii de tranzi ie î ntre cele patru regimuri de lubrifica ie. Se prezint î n continuare criteriul A, dezvoltat de Houpert [1987] !i criteriul C1, dezvoltat de Marckho !i prezentat de Harris [1991]. 5.2.1. Modelul Houpert Houpert, [1987], consider c î n rulment exist dou regimuri de frecare-ungere specifice, PVR !i EHD. Separarea celor dou regimuri se face cu ajutorul unei func ii notat A: !dac A<2,53, regim PVR, IVR*PVR; !dac A > 2,35, regim EHD, IVE*EHD; unde: A = 12.G.U

0,177.k -1,5 H IVR k + 0,778

(5.6)

pentru contact liniar:

HIVR=4,9U/W

(5.7a)

pentru contact punctual :

1 . 2 4W 7 51 + 2 + + 6 3k 3 U H IVR = 0 +[0,131.arctg(k/2) + 1,638]. 123k + +/ +,

-2

(5.7b)

î n care: !k = factorul de elipticitate al contactului !W,U – reprezint parametrii adimensionali de sarcin !i de vitez , prezenta i î n anexa 3. 5.2.2. Modelul Marckho Marckho (Harris [1991]) folose!te o func ie de analiz notat C1. = 7 G 2 4 W: 2. 8 C1 & log10 ;1,5.10 6 5 (5.8) 5000 U 6 3 98 <; Folosind elementele prezentate î n anexa 3, stabilirea regimului de ungere se face prin compararea valorii func iei C1 cu valorile 1 !i –1, rezultând: !regim IVR, pentru C1<= -1; !regim PVR, pentru -1= 1; Criteriul de analiz utilizat î n cadrul tezei este criteriul Marckho, prezentat de [Harris, 1991]. S-a optat pag.96

pentru acest model deoarece C1 nu depinde de tipul de contact (adic de parametrul HIVR).

5.3. Calcul grosimii filmului de lubrifiant Rela iile de calcul ale grosimii filmului de lubrifiant, î n condi ii de func ionare izoterme sunt dezvoltate de Dowson !i Hamrock. Rela iile de calcul care descriu grosimea filmului de lubrifiant sunt prezentate î n func ie de valoarea coeficientului C1, din criteriul Marckho !i de tipul de contact !i au fost deduse considerând condi ii de func ionare izoterme !i alimentare abundent cu lubrifiant a zonei de intrare în contact pentru un contact liniar: !(T,0).u.R y .Lw

regim IVR:

h 0,iso & h min,iso & 2,45.

regim PVR:

h 0,iso = h min,iso & 1,66"G.U #

regim EHD:

h 0,iso = 2.92.U

0,692

h min,iso = 1.71.U

(5.9)

Q 2/3

.R y ,

(5.10)

G 0,47 W -0,166 .R y

0,694

(5.11a)

G 0,568 W -0,128 .R y

(5.11b)

pentru un contact de tip punctual: regim IVR $2

regim PVR:

= : 2.k ; 8 2 1% 7U4 3 ; 8 h 0,iso & h min,iso & .5 2 .R y ;7 8 6W3 4 7k4 ; 5 0.131. arctan5 2 % 1.6832. 128.k 8 623 3 <6 9 2/3 0.64 h 0,iso & h min,iso = 1,66 "G.U # .(1 $ exp($0.7.k )).R y ,

(5.12)

(5.13)

regim EHD h 0,iso = 3.61.U

0,68

h min,iso = 3.63.U

G 0,53 W -0,063 .(1 - 0,61.exp(-0.751.k 0.64 )).R y

0,68

G

0,49

W

-0,073

.(1 - exp(-0.7.k

0.64

)).R y

(5.14a) (5.14b)

In realitate, grosimea filmului de lubrifiant este influen at de temperatur !i de posibilitatea existen ei fizice a lubrifiantului. In aceste condi ii este necesar s se introduc o serie de factori de corec ie (coeficien i de corec ie termic !i de starvare). h min & h min,iso .? T .>

(5.15a)

h 0 & h o ,iso .? T .>

(5.15b)

î n care: ? T este un coeficient de corec ie termic , iar fenomenului de starvare. Pentru ungere î n baie de ulei =1

este coeficientul de corec ie datorat

Jackson [1981], prezint pentru determinarea coeficientul de corec ie termic ?T, relatia: 1 @T = 1 % 0,254.L0T.62 .

(5.15c)

In ecua ia (5.15c) este definit parametrul termic LT = !p ,T >v. u 2r / kf , î n care : pag.97

>v - coeficient termovâscos (C-1) A.B , >& T 4 7 1 % 58.63.51 % 2.B 6 135 3 A !i B constante date de ecua iile 5.2a !i 5.2b kf - conductivitatea termic a lubrifiantului (W.m-1.C-1) 7 0,101 $ 0,000045.T 4 kf & 1,16.5 2 A15 3 6 o !15 = densitatea lubrifiantului la 15 C ur - viteza de rostogolire (m/s) u r & "u1 % u 2 # / 2 , u1,u2 - vitezele absolute ale suprafe elor care compun cupla cinematic

5.4. Calculul tensiunilor de forfecare din lubrifiant In analiza comport rii dinamice a unei structuri SRB intervin tensiunile de forfecare î n lubrifiantul supus simultan solicitarilor normale si de tractiune. Tensiunea de forfecare a lubrifian ilor este dependent de presiunile locale de contact !i de cinematica structurii. In general, comportarea newtoniana a lubrifian ilor lichizi este caracteristica regimului de lubrifiere izovascos-rigid (IVR), iar comportarea non-newtonian este caracteristica regimului elastohidrodinamic (EHD). Pentru analiza contactelor cu rostogolire din rulmen i (EHD), cel mai des se folosesc modele Maxwell neliniare, î n care viteza de forfecare este compus dintr-o componenta elastic !i una neliniar vâscoas : dB 1 !D & D e % D v & (5.16a) C % F( B) dt G In rela ia anterioar G define!te modulul elastic de forfecare al lubrifiantului, iar F(B) este o func ie disipativ care define!te componenta vâscoas . Johnson !i Tevaarwerk [1979] au demonstrat c un model reologic simplu, de tip Maxwell neliniar, descrie bine comportarea reologica a lubrifiantului intr-un astfel de contact. Pentru studierea trac iunii din contactele cu rostogolire ale rulmen ilor, se pot utiliza diferite expresii ale func iei disipative F(B) î ntre care: F(B) =

7 B 4 B0 C sinh5 2 ! 6 B0 3

(Ree & Eyring, 1955)

7 BL B 4 C ln51 $ 2 ! 6 BL 3 7 B 4 B F(B) = L C tgh $1 5 2 ! 6 BL 3

F(B) = $

(Bair & Winer, 1979) (Gecim & Winer, 1980) $1 2

2 BL = 7 B 4 : F(B) = (Elsharkawy & Hamrock, 1991) C ;1 $ 5 2 8 ! ; 6 BL 3 8 < 9 Tensiunea de forfecare este o tensiune caracteristic B0 (delimiteaz pe curba de trac iune î nceputul

pag.98

neliniarit ii î n comportarea lubrifiantului) pentru modelul Eyring sau o tensiune limita BL pentru celelalte modele. In cazul alunec rilor mari, caracteristice contactelor cu rostogolire cu risc de gripare, efectul elastic se poate neglija. Astfel, modelul reologic Maxwell cu func ia disipativa Ree-Eyring, î n situa ia pentru care B E B0 , se poate exprim astfel: D&

7 B 4 B 7 B 4 B0 C sinh5 2 F 0 C exp5 2 ! 6 B0 3 2 C ! 6 B0 3

(5.16b)

7 2C!C D 4 B & B 0 C ln5 2 6 B0 3

(5.17)

Utilizând valorile medii ale parametrilor reologici !i î mp r ind ecua ia (5.17) la presiunea medie de contact se ob ine rela ia: (&

7 2C!4 B B B0 & C ln D % 0 C ln5 2 p p p 6 B0 3

(5.18)

In coordonate ( si ln ( D ), rela ia (5.18) reprezint ecua ia unei drepte, tangenta la curba de trac iune î n punctul de inflexiune al acesteia (figura 5.2). O analiz complet a rela iei 5.18 este prezentat de Bercea [2002]. La limit , când ( = 0, tensiunea caracteristica devine: B0 & 2 C ! C D

(5.19)

m

B Newtonian

Bo (o

I(

o,

Non-newtonian

ln ( ! ) )

ln ( D )

D

Figura 5.2 Varia ia coeficientului de trac iune ( !i a tensiunii de forfecare B func ie de viteza de forfecare Pentru cazul alunec rilor bidirec ionale, Johnson si Tewaarwerk [1979] propun o generalizare a rela iei (5.16), introducând o tensiune de forfecare echivalenta Beq, definit pe baza criteriului von-Mises. Ecua ia (5.16) se î nlocuie!te cu sistemul de ecua ii (5.20):

pag.99

7B 4 u r dB x B B C % x C 0 C f 5 ech 2 G dx B ech ! 6 B 0 3 B y B 0 7 B ech 4 u dB y 2 Dy & r C % C Cf5 G dy B ech ! 6 B 0 3 Dx &

(5.20a) (5.20b)

î n care: 2

B ech & B x % B y

2

unde: ur este viteza de rostogolire î n contact !i f "B ech / B 0 # reprezint func ia disipativ specific modelului considerat. Utilizarea modelelor prezentate anterior presupun cunoa!terea valorilor unor propriet i fizice ale lubrifiantului: vâscozitatea dinamic !, modulul elastic de forfecare G, tensiunea de forfecare caracteristica B0 sau limita BL . Algoritmul de calcul implementat î n programul SRBSYM folose!te modelul Maxwell-Ree–Eyring, descris de Houpert [1980 !i 1985]. Pentru un punct de coordonate (x,y) aflat î n contact tensiunea local de forfecare Bx,y are expresia: B x , y & B iso .C T ( x , y) unde:

G

(5.21)

H

B iso & B o ln X % X 2 % 1 c T X&

!o e B0

.p

D

G

C T & exp - "0,138 % 1,044.I #.J "$1, 413$0.408.I #."9.739%0,149.I # I&

H

0.5

1 =b: , KK s A s c s h 0 ;< v 89 KL

0.5

1 = 2K L ! o e p : J& ; 8 Bo h 0 < > 9 v1 $ v 2 D& h0 Parametrii care intervin î n rela ia (5.21) sunt prezenta i î n anexa 3. Raportul dintre tensiunea tangen ial Bx,y !i presiunea normal de contact px,y, reprezint coeficientul local de frecare din lubrifiant, având expresia: (l(x,y)=Bx,y/px,y

(5.22)

5.5. Varia ia grosimii filmului î n func ie de condi iile de î nc rcare !i de tipul structurii Pentru o structur SRB-4PCBB-13, impunând o tura ie constant a inelului interior ni=60000 rpm !i o sarcin axial variabil , rezult pentru grosimea filmului de lubrifiant, reparti ia din figura 5.2. pag.100

h_min, microns

0.3 0.28 0.26 0.24 0.22 0.2 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1

hi, T=120°C he, T=120°C

0

500

1000

1500

2000

Fax, N

Fig.5.2. Evolu ia grosimii filmului de lubrifiant î n func ie de modificarea î nc rc rii axiale

minimum film thickness, mico meters

Considerând o structur SRB-4PCBB-1234, înc rcat axial cu Fax=10000 N !i sarcin radial nul , prin modificarea vitezei unghiulare a inelului interior rezult c la nivelul celor „idx” contacte, grosimea filmului de lubrifiant variaz conform figurii 5.3 0.6

hmin, idx=1 hmin, idx=3 hmin, idx=3 hmin, idx=4

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

10000

20000

30000

40000

Inner ring speed, rpm

Fig.5.3. Evolu ia grosimii filmului de lubrifiant î n func ie de varia ia tura iei inelului interior Forma varia iei grosimii filmului din figura 5.3 este dictat de „forma varia iei vitezei medii de rostogolire” corespunz toare contactului ‚idx’. Analiza ecua iilor 5.14 !i a rezultatelor oferite prin rularea programului BB20, surprind acest aspect. Diagrama de varia ie a vitezei de rostogolire este prezentat î n figura 5.4

pag.101

160 idx=1

rolling speed, m/s

140

idx=2

120

idx=3

100

idx=4

80 60 40 20 0 0

5000

10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 Inner ring speed, rpm

Fig.5.4. Evolu ia vitezei de rostogolire î n structura SRB-4PCBB-1234

5.6. Concluzii Pentru calculul parametrilor reologici care intervin in analiza cvasi-dinamica a structurii SRB trebuie cunoscu i: !tipul structurii (cap 2); !tipul lubrifiantului (mineral sau sintetic); !vitezele unghiulare ale rolelor !i ale coliviilor. Pentru aprecierea dependentei vascozitatii de presiune si temperatura au fost propuse relatii de calcul imbunatatite stabilindu-se clar domeniile de aplicabilitate, functie de conditiile specifice contactului concentrat analizat. Rela iile de calcul propuse sunt valabile pentru orice lubrifiant !i necesit un num r mai redus de coeficien i pentru exprimarea varia iei vâscozit ii dinamice în func ie de temperatur in raport cu relatiile mentionate curent in literatura de specialitate.

pag.102

CAPITOLUL 6.

CONTRIBU

II PRIVIND ANALIZA PARAMETRILOR CVASI-DINAMICI AI

STRUCTURILOR SRB.VALIDARE EXPERIMENTAL A METODEI DE CALCUL PROPUSE

Contribu ii privind analiza parametrilor cvasidinamici ai structurilor SRB. Validare experimental a metodei de calcul propuse.

pag.103

6. Parametrii cvasi-dinamici ai structurilor SRB Spre deosebire de determinarea PCS in determinarea parametrilor cvasi-dinamici se considera si efectele lubrificatiei si ale frecarilor. Pentru determinarea !i validarea valorilor calculate ale parametrilor cvasi-dinamici s-a parcurs urm torul algoritm: 1. crearea unei clase de func ii OOP necesar descrierii matematice a parametrilor cvasi-dinamici; 2. stabilirea ecua iilor de echilibru ale elementelor structurii (corpuri de rostogolire !i colivii); 3. stabilirea metodelor numerice utilizate î n analiza; 4. stabilirea rela iilor de calul ale fortelor si momentelelor care intervin in calculul parametrilor cvasi-dinamici; 5. validarea experimental a rezultatelor calculate !i analiza cauzelor care determina diferen e î ntre modelarea analitico-numerica si experiment. In clasa de func ii „parametri cvasi-dinamici”, notat PCD, sunt incluse for ele !i momentele care antreneaz î n mi!care rolele !i coliviile unei structuri SRB. Determinarea PCD se realizeaz folosind o metod de calcul iterativ (cea mai sigur metod fiind dihotomia) !i implic rezolvarea ecua iilor de echilibru ale rolelor !i coliviilor structurii.

6.1. Ecua iile care descriu echilibrul rolelor pe direc ia de î naintare Un rulment cu dou rânduri de corpuri de rostogolire se ob ine prin concatenarea unor structuri simple de tip SRB-4PCBB-13 !i / sau RB-4PCBB-24 (figura 2.9). Leg tura fizic cere ca inelele interioare, respectiv exterioare, s suporte aceea!i deplasare axial . Pentru o rol SRB cu ‚idx’ contacte principale, for ele !i momentele care ac ioneaz î n direc ia principal de mi!care sunt prezentate î n figura 6.1a. Pentru o structur SRB-SRB cu dou contacte principale indicii „i” !i „e” au valorile prezentate î n matricea: r=1 r=2 i idx=1 idx=2 e idx=3 idx=4

FAe

FLe

FRe

Jrc / 2

MD FCs FHi

FcRCs

FHe

MRe

b

MRi

FRi

FLi

FAL

FcRCd

FCd

FAi

i Fig.6.1.a. For e !i momente care ac ioneaz asupra unei role.

pag.104

Pentru calculul parametrilor cvasi-dinamici (PCD), î n literatur sunt prezentate dou metode: !metode simplificate: Houpert, [1985]; !integrarea ecua iilor de mi!care (Runge-Kutta) procedeu utilizat de Molina, [1976], Kellstrom [1979] (SKF), Kleckner [1982], Naronha [1990] (FAG), Gupta, [1979 a..d, 1983, 1991], iar in cadrul categrei „Organe de Masini ” din Iasi, de tezele elaborate de Olaru D, [1992], Bercea I, [1996], Prisacaru [1997], etc. Modelul de calcul care presupune integrarea ecua iei de mi!care a unei role si rezolv ecua ii difernetiale de forma: d ! w "j $ 1 !# M"j (6.1) dt Jb î n care: w reprezint tura ia rolei, # M reprezint suma momentelor care antreneaz î n mi!care rola, iar Jb este momentul de iner ie al rolei. Rezolvarea ecua iei 6.1, impune ca solu ia ini ial s se afle î n imediata vecin tate a solu iei finale, [Valeriu I, 1996], aproximare greu de realizat pentru toate cazurile de analiz ale structurilor SRB (vezi figurile 3.12..3.13). Modelul simplificat propus de Houpert [1985], nu ine cont de contactul rol -colivie, fiind î ns bine aplicabil rulmen ilor cu bile î nc rca i pur axial, caz î n care for ele de contact rol -colivie tind la zero. Pentru o rol j aflat pe rândul r având mi!care stabilizat , ecua iile de echilibru sunt:

# M( # F(

b ,r , j b ,r , j

,

,

c,r c,r

)$0

(6.1a)

) $ FcRC s ,d

(6.1b)

Indicii s !i d, descriu pozi ia punctului de contact rol – colivie aflat în partea stâng sau respectiv dreapt a centrului de mas al rolei. Se noteaz FCBC(j) = FcRCs,d sarcina de contact î ntre bil !i colivie fiind indicat î n figura 6.1.b

Fig.6.1.b. Sensul sarcinii de contact rol - colivie

Utilizând nota iile anterioare, ecua iile de echilibru de momente !i de for e pentru rola j devin: pag.105

# M(

b, j

# F(

b, j

î n care:

dw + ( . # SFidx .sduz idx % FcBC( j)., RC & % MD $ 0 2 )* idx '

,

c

)$

,

c

) $ # -SFidx / sduzidx .FHidx . % FAL $ FCBC( j).

(6.2a) (6.2b)

idx

SFidx $ sduz idx .-FA idx / FL idx % FR idx .

For ele !i momentele care intervin în sistemul de ecua ii 6.2 se calculeaz utilizând elementele prezentate în anexele 1 !i 3 !i capitolele 3 !i respectiv 5, considerând valori cunoscute pentru tura ia rolei !i a coliviei. For ele FRidx, !i FHidx din sistemului de ecua ii 6.2, au cauz principal diferen a de presiune din zona de intrare !i respectiv ie!ire a lubrifiantului din contact (figura 6.2). Acest fenomen este prezentat de Dowson D [1961, 1966, 1976, 1983, 1995]. FH - for ele hidrodinamice (de presiune) !i for e rezistente de rostogolire. FHidx, este rezultanta diferen ei proiec iilor pe direc ia de î naintare a presiunilor din zona de intrare !i zona de ie!ire dintrun tribocontact. Conform elementelor teoretice prezentate de Houpert [1985], rela ia de leg tur î ntre for ele de presiune FHidx !i for ele rezistente de rostogolire este: FHidx = 2.FR idx

(6.3)

Fig. 6.2. Distributia de presiuni intr-un contact EHD In literatura de specialitate sunt prezentate o serie de rela ii de calcul care modeleaz for a rezistent de rostogolire sau momentul rezistent de rostogolire. In continuare se va face referire la trei dintre aceste rela ii, prezentate de Houpert L [1985] !i Hamrock [1986], Nelias D [1999], tabelul 6.1 Tabel 6.1. Rela ii de calcul pentru calculul for elor FRidx (for ele rezistente de rostogolire) Referin Rela ia de calcul pentru for a rezistent de rostogolire respectiv momentul rezistent, bibliografic valabile î n cazul model rii contactelor de tip punctual. b Nelias D, %0.8673 0.656 0.022 0.91 6.4.a FR idx = 8,5. idx .Q idx .U idx .Widx .G idx .k idx Dw 2 0.66 0.47 0.022 Houpert, 6.4.b FR idx = 2.86.E.Ry idx .U idx .Widx .G idx .(Rx idx / Ry idx ) 0.348 0.589 %1.547 %0.421 Hamrock, MR i ,e $ Q i ,e .0,8.b i ,e .Wi ,e .U i ,e .G i ,e , FRi,e=MRi,e..2/dw 6.4.c FL- for e de trac iune de trac iune î n lubrifiant For ele de trac iune î n lubrifiant rezult prin sumarea efectelor locale ale tensiunilor de forfecare din lubrifiant !i depind de sensul local al vitezei de alunecare. Sunt notate FLidx !i se calculeaz prin

pag.106

+ Val P ( x , y ) FL idx = 22 03x , y 1iidx .) )* Val P ( x , y ) A

( & .dA &' idx

(6.5)

unde: !Val = viteza de alunecare (cap 2); !(3x,y)i,e - tensiunea tangen ial pe direc ia de rostogolire, corespunz toare domeniului analizat (cap 5); !dA – reprezint aria elementului considerat; !x,y – coordonatele unui punct din cuprins î n domeniul de contact. FA - For a de trac iune pe asperit i Rezult prin sumarea for elor de frecare de natur „rugoas ” care apar î n timpul deplas rii relative a rolei î n raport cu c ile de rulare. Sunt notate FAidx !i se calculeaz de asemenea prin sumare pe aria de contact: + Val P ( x ,y ) FA idx = 22 05x ,y 1idx .) )* Val P ( x ,y ) A

( & ., x ,y (4 idx ) idx .dA &' idx

(6.6)

Raportul dintre grosimea minim a filmului de lubrifiant hmin !i rugozitatea compus a suprafe elor este definit de parametrul 4 definit de Johnson K.L in 1970. h min 4 x,y $ 4 $ (6.7) 1,15. Ra12 / Ra 2 2 In ecua ia 6.7, Ra1,2, reprezint abaterea media aritmetic a î n l imii rugozit ile suprafe elor î n contact. In condi iile î n care grosimea filmului de lubrifiant devine insuficient pentru separarea complet a suprafe elor î n contactul cu rostogolire, (4<3) for a de frecare de pe asperit i reprezint o parte important din for a de frecare total corespunz toare tribocontactului „idx”. Dependen a raportului dintre sarcina normal preluat de asperit i !i sarcina normal de contact de parametrul 4 este prezentat î n figura 6.3a. Zhou [1988] !i Aramaki [1993], arat c dependen a coeficientului de frecare de natur rugoas de parametrul filmului de lubrifiant poate fi modelat de rela ia C

, x , y (4 x , y ) i ,e $ 0,2. exp(% B.4 idx ) . Pentru 4<3 tensiunile tangen iale exprimate î n direc ia de rostogolire influen eaz durabilitatea contactului rol – cale de rulare prin deplasarea regiunii unde tensiunea echivalent Von - Misses are valoare maxim , c tre interfa a rol – cale de rulare (Johnson K.L, [1970], Popinceanu, s.a. [1985], Cre u Sp. [2002 si 2002b]), (anexa 6). Fig 6.3.a Dependenta intre raportul Qa / Q si parametrul de ungere 4 In structura SRB-22212C W33, s-au considerat pentru rugozit ile suprafe elor c ilor de rulare valorile pag.107

Raidx =0.36,m !i pentru rugozitatea rolei valoarea Raw=0.16 ,m, rezultând o rugozitate compus Ra=0,25,. In aceste condi ii s–a trasat curba de varia ie a parametrului Qa/Qf (4), prezentat î n figura.6.3.b. Rank 25 Eqn 1526 y r 2=0.999175616 DF Adj r

2 =0.996702465

-1 =a+bx 3 +ce x

FitStdErr=0.0159772765 Fstat=1212.02746

a=-0.6778775 b=-0.41874405 c=1.6768813

1.25

1

0.75

0.5

0.25

0 0

1

2

3

4

5

Fig.6.3.b. Dependen a raportului Qa / Q de parametrul de ungere 4, pentru Ra=0.25,m FAL - For a rezistent la î naintare prin amestecul aer-lubrifiant Pentru ungere î n baie de ulei, for a de rezisten a î ntâmpinat de rol î n tipul î naint rii prin amestecul aer – lubrifiant, notat FAL a fost calculat cu rela ia stabilit de Rumbarger [1973]: 1 FAL = 6am V2tm . Ar .CD (6.8) 2 unde: !6am - densitatea amestecului aer-lubrifiant î n func ie de tipul de ungere: !ungere î n baie de ulei : 6am 7 6ulei . V ulei / V total , Rumbarger,[1973] !ungere cu ceat de ulei : 6am 7 [Xol.6 ulei / (100 - Xol).6 aer ]/100 , Nelias,[1999] !Vulei, Vtotal - volumul de ulei !i respectiv volumul de gol al rulmentului !Vtm - viteza medie de transport a rolei î n amestec: Vtm= cdm/2 !Ar - aria frontal a rolei (bilei): Dm.Dw. c NRE $ , num rul lui Reynolds 4.8 9 8$ T 6 ulei 4.7 4.05 0.108 CD $ 1,13 % NRE.9,7.10 %7 / / / 0.5 NRE NRE 1.5 NRE

Xol $ 107

Qh 0,37 1,7 c. dm

!Qh = debitul de ulei : g/cm3 ! c = tura ia coliviei exprimat î n rot/min pag.108

MD - Momentul de frecare î ntre amestecul aer-lubrifiant !i suprafe ele laterale ale rolelor Rumbarger [1973] arata ca momentul de frecare dintre suprafa a rolei !i amestecul aer-lubrifiant, conven ional numit „moment de drag”, notat MD, se compune din dou componente notate î n continuare MDL !i MDF: !MDL – MD rezultat prin frecarea dintre suprafe ele laterale a rolei cu amestecul aer-lubrifiant !MDF – MD rezultat prin frecarea suprafe ei frontale a rolei cu amestecul aer-lubrifiant ! MD = MDF + 2 . MDL Cele doua componente ,MDF !i MDL, depind de regimul de curgere al amestecului de aer-lubrifiant î n jurul rolei !i sunt func ii de num rul lui Reynolds, notat NRE. Pentru calculul celor dou componente, Rumbarger [1973], utilizeaz urm toarele rela ii de calcul: 5 5 1 8 ? Dw < 2 ? Dw < MDF . . . MDL $ .6 am . 2w .= . CD $ 6 (6.9) ; : .Lw : am w = NRE 2 > 2 ; > 2 ; î n care:

0,146 1.5 CD $ NRE 3,87 NRE

NRE A 300000 NRE @ 300000

6.2. Ecua iile de echilibru ale coliviilor unei structuri SRB Rezolvarea sistemului de ecua ii 6.2 pentru cele j role ale rândului r, conduce la determinarea for elor care ac ioneaz asupra coliviei, notate FcBC(j) sau Fc,j, In figura 6.4. este prezentat un exemplu schematic de distribu ie a for elor de contact role-colivie, unde cu ,j este notat coeficientul de frecare dintre rola j !i colivia r [Cre u Sp !i Bercea I., 1997]. Geometria Outer ring Fc,j coliviei sau/!i inelelor Fc,j intermediare, tura ia de lucru !i lubrifiantul conduc la apari ia Fc,j fenomenelor de palier scurt Fc,j , j F c,j descrise de Frene, s.a [1990]. , j F c,j Efectul for elor FcBC(j) !i al , j F c,j , j F c,j „palierului scurt”, este acela de a Roller element Fc,j genera ghidarea coliviei producând o serie de momente Cage , j F c,j Fc,j (active sau rezistente). Mi!carea Inner ring F coliviei prin amestecul aer , j c,j F , F c,j j c,j lubrifiant genereaz componente i ale momentului de „drag” pe Fc,j colivie, notat (MDC). Fc,j Fc,j

Fig.6.4. Exemplu de reparti ie a for elor FcRCr,j î ntr-o structur , j F c,j SRB. , j F c,j Sumarea vectorial a for elor prezentate î n figura 6.4, genereaz o for rezultant notat Fcr, prezentat schematic î n figura 6.5. , j F c,j

pag.109

Fig.6.5. Sarcina de contact colivie-inel Determinarea tura iei de echilibru al coliviei se face prin rezolvarea ecua iei de echilibru de momente scris pentru colivia ‚r’ (ecua ia 6.10). Dr dm Mc( b ,r , j , c ,r ) $ Frc., RC .Nsg.sduz Nsg / (6.10) # 0FcBC( j)1 % MDC $ 0 2 2 j unde: Dr = reprezint diametrul inelului pe care se face ghidarea ,rc = coeficient de frecare î ntre colivie !i inelul pe care se face ghidarea Nsg = num rul de suprafe e pe care se face ghidarea coliviei

Lc

Utilizând sarcinile calculate î n cadrul paragrafelor 6.2.1 !i 6.2.2 se determin componentele ecua iei de echilibru (6.3).

Lc

ØDeiav

Ø DC

ØD_max_cage

ØD_min_cage

Ødm

ØDeeav

w ØD

Fig.6.6 – Elemente geometrice necesare calculului for elor !i momentelor specifice coliviei

pag.110

6.2.1. Momentul rezistent la î naintarea coliviei prin amestecul aer – lubrifiant

In baza rela iilor stabilite de Rumbarger [1973] „momentul de drag” este:

1 MDC $ .6 am . 2

2 c

5 .CD# rSL

(6.11)

SL

î n care: SL = num rul de suprafe e laterale ale coliviei !am densitatea amestecului aer-lubrifiant din rulment 2 5 SL

r

23

23

5 5 5 $ r _ max_ cage .(r _ max_ cage % r _ min_ cage ), r _ max_ cage.(r _ max_ cage 4 % r _ min_ cage 4 )

r_max_cage r_min_cage

NRE A 300000 NRE @ 300000

= D_max_cage/2; = D_min_cage/2

6.2.2. Ghidarea coliviei pe c ile de rulare. Compunerea vectorial a for elor prezentate î n figura 6.4 genereaz o for echivalent Frc descris de rela ia: Frc $ sFax 2 / sFrz 2

(6.12)

unde: Z %1

# 0FCBC

sFax $

( j). cos( B ( j) / C B / u ) / , rc .FCBC ( j). sin( B ( j) / C B / u ) 1

j$ 0

sFrz $

Z %1

# 0% FCBC

( j). sin( B ( j) / C B / u ) / , rc .FCBC ( j). cos( B ( j) / C B / u ) 1

j$ 0

? Dw < , u 7 arctan = : > dm ;

B ( j) $

2.D. j , Z

2.D ( + CB E )0.... Z &' *

Contactul dintre colivie !i una dintre c ile de rulare este modelat de Frene s.a [1990], prin efectul de palier scurt, parametrul principal adimensional fiind binecunoscutul num r al lui Sommerfeld: So $

9(T,0).n = num rul lui Sommerfeld p m .F 2

î n care: F$

! !n $

D % Dr Dr

pm $

!

i ,e

%

c

, [rot/s]

FcCR Lc.Dr , [Pa]

D = reprezint diametrul suprafe ei coliviei pe care se realizeaz ghidarea D = D_min_cage, pentru ghidare interioar pag.111

D = D_max_cage, pentru ghidare exterioar Dr = diametrul suprafe ei inelului care corespunde contactului cu colivia Dr= Deiav sau Dr= Deeav. Pentru cazul palierului scurt, Frene s.a, [1990] prezinta leg tura dintre num rul lui Sommerfeld !i excentricitatea relativ G:

-1 % G .

2 2

!So $ D .

-

Lc D HG H 16.G 2 / D 2 . 1 % G 2

.

(6.13a)

Valoarea coeficientului de frecare î ntre colivie !i inelul pe care se face ghidarea se determin utilizând rela ia, Frene !.a [1990]: !, $ F.D 2 .So.(2 / G )

(6.13b)

(1 / G ). (1 % G )

Deoarece, î n timpul mi!c rii distribu ia de sarcini variaz î n func ie de pozi ia unghiular a rolelor, rezult c centrul de mas al coliviei nu este un punct ci reprezint un loc geometric, aspect eviden iat !i de Gupta î n 1979.

6.3. Calculul momentelor de frecare ale inelelor structurilor SRB. Model simplificat Utilizând elementele de calcul prezentate la paragraful 6.1, momentele rezistente specifice inelelor unei structuri SRB se calculeaz cu rela iile: Z 2 didx , j,r (6.14a) Mi = # # # SFidx j,r 2 r j=1 idx $1 Z

4

M e = # # # SFidx j,r r

j=1 idx $3

didx , j,r 2

(6.14b)

î n care didx,j,r – reprezint diametrul pe care se realizeaz contactul dintre rol !i calea de rulare

6.4. Calculul puterii consumate Puterea total consumat pentru o structur SRB, se determin prin sumarea puterilor par iale consumate la interac iunile dintre role si colivie !i respectiv inelele structurii la care se adaug , puterea consumata prin efectele de drag !i de palier scurt si puterea consumat pentru î nvingerea rezisten ei amestecului aer-lubrifiant la î naintarea rolei numit !i „brassage de l’huile’. P $ Paer %lub / Pps / Prco / Prc / Pdrag

(6.15)

î n care: Puterea consumat la î naintarea rolei prin amestecul aer-lubrifiant:

Paer -lub $ # r

dm r 2

c r .Z r .FAL r ,

Puterea consumat prin efectul de palier scurt: Pps $ # w i ,e % wc r . Fcrr ., r .Nsg r r

Puterea consumat prin frecare la nivelul contactelor role – colivie: Zr dw r . FCBC(j) . b j,r ., bc ( j, r ) Prco $ ## 2 r j$1 pag.112

Puterea consumat prin frecare la nivelul contactelor role – c i de rulare: Zr + ? a ,b <( Prc $ ## # = # -FL x , y / FA x , y ..Val x / Q r , j,idx .b r , j,idx .Tr , j,idx . s r , j,idx : & r j$1 idx > x , y ;&' Puterea consumat prin efectul de drag: Zr

Pdrag $ # c.MDC / ## b r , j .MD r , j r

r

j$1

unde: s, T = sunt prezenta i î n capitolul 3 !i anexa 2 Val = viteza de alunecare corespunz toare unui punct descris de parametrii (x,y,r,j,idx)

6.5. Evolu ia PCD ai structurilor SRB î n vecin tatea tura iilor de echilibru ale rolelor !i coliviilor In figura 6.7 se prezint varia ia unor parametrii cvasi-dinamici ai structurii de tip SRB-SRB 22212C, considerând: tura ia inelului interior, ni=1000 rpm, sarcin radial Frz=1000, !i lubrifiantul H46 (3o=4.48.107 Pa). Graficele sunt trasate, pentru rola j=0 din rândul r=1. Analiza a fost efectuat pentru dou temperaturii diferite de intrare ale lubrifiantului î n contact.

pag.113

T=20oC, => c=41 rad/s T=70, =>wc:=44 rad/s Fig. 6.7. Varia ia momentului de frecare, a for ei de contact rol colivie !i a puterii consumate pe o rol î n func ie de temperatur pentru diverse valori ale tura iei rolei. Alegerea metodei numerice de analiza este dictata de evolutia parametrului moment pe rola si respectiv moment pe colivie. Evolu iile prezentate în figurile 6.8 !i 6.9 pentru parametrul moment total pe rol !i respectiv moment total pe colivie, indic dificult i în folosirea metodei Runge-Kutta pentru determinarea echilibrului rolei. Astfel, considerând o structur SRB-SRB 22212C, varia ia momentului de frecare pe rol arat c alegerea unei solu ii ini iale pentru algoritmul Runge–Kutta în regiunile indicate poate conduce la ob inerea de date eronate.

Fig. 6.8. Varia ia momentului de frecare pe rol pentru diverse valori ale tura iei rolei (posibile valori ini iale pentru algoritmul Runge-Kutta), lubrifiant H46, T=40oC, ni=3000 rpm; Fz=13000 pag.114

Fig.6.9. Varia ia parametrului SFc considerând H46, Fz=3000, wi=1000 rpm, T=33oC

6.6. Validare experimental a modelului de calcul propus. Tipuri de teste. M sur torile experimentale urm resc validarea modelul de calcul propus, prin compararea valorii experimentale a momentului de frecare pe inelul exterior al rulmentului, cu valorile numerice ob inute cu programul de calcul dezvoltat. Pentru m surarea momentului de frecare s-au utilizat: !Rulment (structur SRB): rulment radial oscilant cu role butoi pe dou rânduri 22212C. Geometria intern a rulmentului este prezentat î n anexa 4 !Lubrifiant : ulei H46. Caracteristicile lubrifiantului sunt prezentate î n anexa 3 Testele efectuate se grupeaz î n patru categorii distincte !i anume: !T1. set de teste cu sarcin pur radial ; !T2. set de teste cu sarcin pur axial ; !T3. set de teste cu sarcin combinat (î nc rcare simultan axial !i radial ); !T4. test cu sarcin constant radial !i urm rire a evolu iei momentului de frecare î n timp. 6.6.1. Elemente specifice testelor T1, T2 !i T3 Curbele experimentale ob inute cu ajutorul sistemului de achizi ie de date specifice testelor T1, T2 !i T3, prezint dou zone distincte care caracterizeaz evolu ia valorii parametrului variabil din cadrul testului. Simularea pe calculator este efectuat pentru una din regiunile diagramei experimentale pentru care temperatura lubrifiantului are o valoare relativ constant . 6.6.2. Elemente specifice testului T4. Testul T4, prezint evolu ia momentului de frecare a frecare î n func ie de temperatur , !i s-a desf !urat pe durata de o or , timp î n care temperatura lubrifiantului a ajuns de la 13 grade la 32 grade. Diagrama de varia ie a momentului de frecare este prezentat î n dou grafice succesive. Pentru a facilita compararea datelor experimentale cu cele teoretice (calculate), ordinea de prezentare din cadrul testelor este: !grafic de evolu ie a valorii experimentale a momentului de frecare; !tabel cu valori numerice ale momentului de frecare exprimat î n func ie de parametrul variabil din cadrul testului; pag.115

!grafic de varia ie a momentului de frecare calculat; !grafic comparativ î ntre valorile calculate i cele m!surate Pentru câteva din cazurile analizate se prezint! diferen ele ob inute în cadrul simul!rii pe calculator, prin folosirea rela iilor 6.4.a i 6.4.b. Acolo unde nu se precizeaz!, se consider! implicit a fi utilizat! rela ia 6.4.b, prezentat! de Houpert [1985].

6.7. Teste de tip T1. Incerc!ri cu sarcin! pur radial! i tura ie variabil! 6.7.1. Test T1.A In figura T1.A.1 este prezentat! varia ia momentului de frecare pe inelul exterior al rulmentului, considerând o sarcin! radial! Fr=656 N. Înregistrarea s-a efectuat pe parcursul a aproximativ 10 minute, perioad! î n care tura ia inelului interior a fost programat! la valori cuprinse î n intervalul 400-1500 rpm. In perioada de timp de la 0 la 300 secunde s-a constat o cre tere a temperaturii uleiului de la 19oC la 24oC. Pentru perioada de timp cuprins! î ntre 300 - 600 secunde temperatura lubrifiantului, m!surat! î n regiunea descendent! a graficului prezentat î n figura T1.A.1, a avut o valoare cvasiconstanta variind î n limitele 240C-230C . Nr test

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Timp, s

Fig.T1.A.1 Diagrama de varia ie a momentului de frecare, ob inut! experimental, corespunz!toare testului T1.A In tabelul T1.A sunt prezentate valorile minime i maxime ale momentului de frecare cât i temperaturile de referin ! corespunz!toare fiec!rei regiuni indicate î n figura T1.A

Tabel T1.A.Parametri m!sura i î n cadrul testului T1.A pag.116

Nr. test 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ni, rpm 400 500 700 1000 1300 1500 1300 1000 700 500 400

MFe min., N.m 0.26 0.26 0.35 0.44 0.44 0.44 0.35 0.26 0.18 0.18 0.09

Mfe max., N.m 0.26 0.35 0.44 0.44 0.53 0.53 0.44 0.35 0.26 0.26 0.18

ToC 19 19 19 19 22 24 24 24 24 23 23

Rezultatele simul!rii pe calculator sunt prezentate î n figura T1.A2 i corespund zonei descendente a diagramei achizi ionate. In cadrul modelului de calcul a fost utilizat! rela ia 6.4.b pentru calculul for ei rezistentei de rostogolire.

Fig.T1.A.2. Valori calculate ale momentului de frecare. In figura T1.A2, parametrii Mfe i Mfi au urm!toarea semnifica ie: !Mfe = moment de frecare pe inelul exterior, !Mfi = moment de frecare la nivelul inelului interior Compara ia î ntre valorile calculate ale parametrului Mfe i cele m!surate este prezentat! î n figura T1.A.3.

pag.117

Fig.T1.A.3. Valori m!surate i valori calculate ale momentului de frecare la nivelul c!ii de rulare exterioare a rulmentului Pentru valorile limit! ale intervalului de tura ie considerat este prezentat! î n continuare evolu ia unor parametri cvasi-dinamici i cvasi-statici. 6.7.1.1. Evolu ia parametrilor PCS i PCD pentru ni=400 rpm

In figurile T1.A.4-T1.A.5 sunt prezentate distribu ia de sarcin! i presiunea maxim! de contact la nivelul celor (r,2.j ) contacte.

Fig. T1.A.4. Distribu ia de sarcin!, N

Fig.T1.A.5. Distribu ia de presiune de contact, MPa

Evolu ia momentului generat de for ele de trac iune i de cele rezistente în vecin!tatea tura iei de echilibru a rolei j=0 este prezentat! î n figura T1.A.6. Parametrul filmului de lubrifiant ( ) este prezentat în figura T1.A.7. Efectul modific!rii tura iei rolei asupra for elor de trac iune este eviden iat î n figura T1.A.8 pentru contactul rol! cale de rulare interioar! i respectiv î n figura T1.A.9, pentru pag.118

contactul rol! cale de rulare exterioar!

Fig.T1.A.6. Evolu ia momentului generat de Fig.T1.A.7. Evolu ia parametrului filmului de for ele de trac iune i cele rezistente pe rola j=0 lubrifiant, în jurul valorii de echilibru a tura iei rolei j=0

Fig. T1.A.8. Diagrama de varia ie a for elor de Fig. T1.A.9. Diagrama de varia ie a for elor de trac iune în lubrifiant (FSi) i la nivelul trac iune în lubrifiant (FSe) i la nivelul asperit! ilor (FAi) . j=0 asperit! ilor (Fae) . j=0 6.7.1.2. Evolu ia parametrilor PCD pentru ni=1500 rpm

Odat! cu cre terea tura iei inelului interior, grosimea filmului de lubrifiant se modific!, matematic fiind vorba despre modificarea parametrului adimensional de vitez!. Cre terea grosimii filmului de lubrifiant implica modificarea parametrul de ungere, , si in consecinta modificarea substan iala a for elor de trac iune pe asperit! i i din lubrifiant. In figurile T1.A.10 - T1.A.15 sunt prezenta i unii parametri cvasi-dinamici ai structurii analizate: !figura. T1.A.10 prezint! evolu ia tura iei de echilibru a rolelor; !figura T1.A.11 prezint! valorile for elor de contact dintre role i coliviile structurii.

pag.119

Fig.T1.A.10. Tura iile de echilibru ale rolelor.

Fig.T1.A.11. Evolu ia for elor de contact î ntre role i colivie, pentru cazul analizat Considerând rola descris! de parametrii (r,j)=(1,0), în figurile T1.A.12-T1.A.15 este prezentat! evolu ia unora dintre parametrii PCD ai structurii SRB care au condus la ob inerea parametrilor prezenta i î n figurile T1.A10 i T1.A.11. Graficele de varia ie trasate arat! evolu ia acestor parametri î n vecin!tatea tura iilor de echilibru ale rolei (1,0).

pag.120

Fig.T1.A.12. Evolu ia momentului de frecare pe Fig.T1.A.13. Evolu ia parametrului filmului de rola j=0 lubrifiant, .

Fig.T1.A.14. Diagrama de varia ie a for elor de Fig.T1.A.15. Diagrama de varia ie a for elor de trac iune pe asperit! i (FAi) i î n lubrifiant (FSi) trac iune pe asperit! i (FAie i î n lubrifiant (FSe) 6.7.1.3. Interpretarea rezultatelor numerice. Observa ii.

Evolu ia parametrilor PCD ai structurii este puternic influen at! de parametrul adimensional de vitez!. Astfel, odat! cu cre terea tura iei inelului interior se poate stabili urm!toarea rela ie de recuren !: !cre terea tura iei " cre terea valorii parametrului " sc!derea influen ei for elor de trac iune pe asperit! i i accentuarea influentei for elor de trac iune din lubrifiant. (a se compara valorile numerice indicate î n figurile T1.A.8 i T1.A.9 î n raport cu valorile numerice indicate î n figurile T1..A14. i T1.A.15) Observa ie: Evolutia for elor de trac iune este dictat! de parametrul vitez! unghiular! al rolei prin intermediul sensului componentelor vectorului vitezelor de alunecare. Conform ecua iei (6.2) for ele de trac iune din lubrifiant i de pe asperit! i trebuie s! înving! for ele rezistente de rostogolire. Folosirea ecua iei (6.4.a), conduce la ob inerea rezultatelor prezentate î n figura T1.A.16. Diferen ele pag.121

ob inute prin folosirea rela iilor dezvoltate de Houpert (6.4.b ) i Nelias (6.4.a) sunt prezentate î n figura T1.A.17.

Fig.T1.A16. Moment de frecare calculat, ob inut prin utilizarea rela iei 6.4a.

Fig. T1.A.17. Compara ie î ntre valorile m!surate i cele calculate folosind ecua iile deduse de L. Houpert [1985] i respectiv de D. Nelias [1999]. Din analiza datelor prezentate î n figura T1.A.17 rezult! c! folosirea rela iei (6.4.a) ofer! î n cadrul testului prezent valori mai apropiate de valorile m!surate.

pag.122

6.7.2. Test T1.B In cazul aplic!rii unei sarcini radiale de 1094 N, prin varia ia tura iei inelului interior î n intervalul 400-1500 rpm s-a ob inut diagrama de varia ie a momentului de frecare la nivelul inelului exterior (Fig.T1.B.1). Înregistrarea s-a efectuat pe durata a 10 minute, timp î n care temperatura lubrifiantului a variat î ntre 19 i 27oC . In tabelul T1.B. sunt prezentate detaliat valorile minime i maxime î ntre care a oscilat valoarea momentului de frecare înregistrat cu ajutorul sistemului de achizi ie de date cât i temperatura la care a fost efectuat! î nregistrarea. Nr. test

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Fig. T1.B.1. Diagrama de varia ie a momentului de frecare.

Tabel T1.B. Varia ia momentului de frecare i a temperaturii m!surate î n cadrul test!rii cu Fr=1094 N Nr. test ni, rpm MFe min., N.m Mfe max., N.m ToC 1 400 0.18 0.26 19 2 500 0.26 0.35 22 3 700 0.26 0.35 22 4 1000 0.35 0.35 23 5 1300 0.35 0.44 25 6 1500 0.35 0.44 27 7 1300 0.35 0.42 27 8 1000 0.26 0.35 25 9 700 0.18 0.26 25 10 500 0.09 0.18 24 11 400 0.09 0.18 24 Rezultatele teoretice calculate sunt prezentate î n figura T1.B.2 pentru conditiile: !temperatura uleiului: T= 25o C; !for a rezistent! de rostogolire de natur! vâscoas! descris! de ecua ia 6.4.b. pag.123

Fig. T1.B.2. Moment de frecare calculat utilizând programul SRBSYM In figura T1.B.3. sunt prezentate, î n scopul efectu!rii unei compara ii, valorilor teoretice i cele m!surate

Fig.T1.B.3. Valori teoretice i experimentale ob inute pentru parametrul Mfe (moment de frecare pe inelul exterior al rulmentului).

pag.124

6.7.3. Test T1.C Condi iile de testare impuse sunt: !Sarcin! radial! constant! : Fr=1532 N; !Tura ie variabil! î n intervalul 400-1500 rpm. In condi iile men ionate anterior, sistemul de achizi ie a înregistrat diagrama de varia ie a momentului de frecare prezentat! î n figura.T1.C.1. Testarea s-a efectuat pe durata a 10 minute, timp î n care temperatura lubrifiantului a variat între 19oC i 27oC pentru zona de incrementare a tura iei i a r!mas la valoarea aproximativ constant! de 27-26oC în zona de decrementare a tura iei inelului interior. In tabelul T1.C. sunt prezentate valorile parametrilor m!sura i în timpul test!rii. Nr. test

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Mfe max., N.m 0.35 0.35 0.44 0.44 0.53 0.53 0.53 0.44 0.35 0.26 0.26

ToC 19 20 22 22 24 27 27 26 26 26 26

11

Fig. T1.C.1. Diagrama de varia ie a momentului de frecare. Nr. test ni, rpm MFe min., N.m 1 400 0.35 2 500 0.26 3 700 0.35 4 1000 0.44 5 1300 0.44 6 1500 0.44 7 1300 0.44 8 1000 0.35 9 700 0.26 10 500 0.19 11 400 0.19 Tabel T1.C. Parametri m!sura i î n cadrul testului.

Pentru calculul teoretic al momentului de frecare s-au impus ca date de intrare: !Temperatura lubrifiantului T=27oC; pag.125

!Model de calcul al for ei rezistente de rostogolire: Model Houpert [1985], ecua ia 6.4.b. Simularea pe calculator a generat diagrama de varia ie a momentului de frecare pe inelul interior cât i pe inel exterior al rulmentului. Valorile calculate sunt prezentate î n figura T1.C.2. In figura T1.C.3. sunt prezentate simultan valorile m!surate cât i cele calculate ale parametrului Mfe (moment de frecare pe inelul exterior).

Fig.T1.C.2. Valori calculate ale momentelor de frecare corespunz!tore celor dou! inele ale rulmentului

Fig.T1.C.3. Valori m!surate i calculate ale momentului de frecare la nivelul contactelor role – cale de rulare exterioar!.

pag.126

6.7.4. Test T1.D Condi iile de testare impuse sunt: !Sarcin! radial! constant! : Fr=2188 N; !Tura ie variabil! î n intervalul 400-1500 rpm. In condi iile men ionate anterior, sistemul de achizi ie a înregistrat diagrama de varia ie a momentului de frecare prezentat! î n figura.T1.D.1. Testarea s-a efectuat pe durata a 10 minute, timp î n care temperatura lubrifiantului a variat între 19oC i 29oC pentru zona de incrementare a tura iei i a r!mas la valoarea aproximativ constant! de 28-29oC în zona de decrementare a tura iei inelului interior. In tabelul T1.D. sunt prezentate valorile parametrilor m!sura i în timpul test!rii. Nr. test

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Fig. T1.D.1. Diagrama de varia ie a momentului de frecare, achizi ionat! î n cadrul testului T1.D Tabel T1.D. Parametri m!sura i î n cadrul testului. Nr. test ni, rpm MFe min., N.m 1 400 0.26 2 500 0.35 3 700 0.44 4 1000 0.44 5 1300 0.53 6 1500 0.53 7 1300 0.53 8 1000 0.44 9 700 0.35 10 500 0.26 11 400 0.18

Mfe max., N.m 0.35 0.44 0.53 0.53 0.64 0.64 0.64 0.53 0.44 0.35 0.26

ToC 19 20 22 22 28 28 29 29 29 28 28

Pentru calculul teoretic al momentului de frecare s-au impus urm!toarele date de intrare: !Temperatura lubrifiantului T=28oC; pag.127

!Model de calcul al for ei rezistente de rostogolire: Model Houpert [1985], ecua ia 6.4.b. Simularea pe calculator a generat diagrama de varia ie a momentului de frecare pe inelul interior cât i pe inelul exterior al rulmentului. Valorile calculate sunt prezentate î n figura T1.C.2. In figura T1.C.3. sunt prezentate simultan valorile m!surate cât i cele calculate ale parametrului Mfe (moment de frecare pe inelul exterior).

Fig. T1.D.3. Valori calculate ale momentelor de frecare corespunz!toare c!ilor de rulare.

Fig.T1.D.3. Rezultate numerice i exterior.

experimentale ale parametrului moment de frecare pe inelul

pag.128

6.7.5. Test T1.E Condi iile de testare impuse sunt: !Sarcin! radial! constant! : Fr=3177 N; !Tura ie variabil! î n intervalul 500-1000 rpm. In condi iile men ionate anterior, sistemul de achizi ie a înregistrat diagrama de varia ie a momentului de frecare prezentat! î n figura.T1.E.1. Testarea s-a efectuat pe durata a 10 minute, timp î n care temperatura lubrifiantului a variat între 22oC i 29oC pentru zona de incrementare a tura iei i a r!mas la valoarea aproximativ constant! de 28-29oC în zona de decrementare a tura iei inelului interior. In tabelul T1.E sunt prezentate valorile parametrilor m!sura i în timpul test!rii.

Nr. test

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Fig. T1.E.1 Diagrama de varia ie a momentului de frecare pe inelul exterior, achizi ionat! cu programul Lab View Nr. test ni, rpm MFe min., N.m 1 500 0.26 2 600 0.35 3 700 0.53 4 800 0.62 5 900 0.70 6 1000 0.70 7 900 0.62 8 800 0.62 9 700 0.53 10 600 0.44 11 500 0.35 Tabel T1.E. Valori numerice ale parametrilor achizi iona i

Mfe max., N.m 0.35 0.44 0.62 0.62 0.70 0.79 0.70 0.62 0.62 0.53 0.44

ToC 22 23 24 25 26 28 28 29 28 28 27

Pentru calculul teoretic al momentului de frecare s-au impus ca date de intrare: pag.129

!Temperatura lubrifiantului T=28oC !Model de calcul al for ei rezistente de rostogolire: Model Houpert [1985], ecua ia 6.4.b., figura. T1.E.2 !Model de calcul al for ei rezistente de rostogolire: Model Nelias [1991], ecua ia 6.4.a., figura. T1.E.3

Fig.T1.E.2. Evolu ia parametrului moment de frecare calculat folosind rela ia (6.4.b) „model Houpert

Fig. T1.E.3. Evolu ia parametrului moment de frecare calculat, folosind ecua ia (6.4.a) „modelul Nelias” Dup! cum rezult! din analiza figurilor T1.E.2 i respectiv T1.E.3, se observ! c! utilizarea „modelului pag.130

Nelias”, conduce la ob inerea de valori mai mari ale momentului de frecare î n raport cu cele ob inute prin utilizarea modelului Houpert. De i valorile ob inute prin utilizarea ecua iei (6.4.a) sunt mai apropiate de cele m!surate, momentul de frecare la nivelul inelului interior este mai mic! decât cea la nivelul inelului exterior. In modelul Houpert, momentul de frecare la nivelul inelului interior este mai mare decât cea calculat! la nivelul inelului exterior. In figura T1.E.4 sunt prezentate î n paralel valorile m!surate i cele calculate corespunz!toare momentului de frecare pe inelul exterior.

Fig. T1.E.4. Valori m!surate i calculate ale momentului de frecare. 6.7.6. Concluzii privind validarea modelului de calcul î n cazul testelor de tip T1. Utilizarea în paralel a dou! modele de calcul ale for elor de rezisten ! de natur! vâscoas! conduce la ob inerea de valori ale momentelor de frecare u or diferite, dar suficient de sunt apropiate de valorile m!surate. Diferen ele constatate sunt determinate de: !Fenomene suplimentare neconsiderate, precum: o contactul î ntre coliviile rulmentului; o contactul inel-flotant – cale de rulare interioar!; o contactul inel–flotant – colivii. !Utilizarea unei valori constante pentru coeficientul de frecare î ntre colivie i role. Valoarea coeficientului de frecare a fost considerat! 0.2, î ns! acesta depinde regimul de frecare-ungere efectiv atins la contactul rol!-colivie. !Domeniul de valabilitate al ecua iilor (6.4), adic! domeniului de varia ie a parametrului , î n care rela iile (6.4.a) i (6.4.b) au fost deduse.

pag.131

6.8. Teste de tip T2. Rezultate numerice i experimentale ob inute folosind o sarcin! pur axial! i tura ie variabil! 6.8.1. Test T2.A. Condi iile de func ionare impuse structurii SRB-22212C, î n cadrul testului T2.A sunt: !Sarcin! axial! constant! Fa=1328 N; !Sarcin! radial! redus! (greutatea proprie a rulmentului i a carcasei î n care acesta se afl! pozi ionat). In cadrul acestui test se consider! Fr=0 N; !Tura ie variabil! î n intervalul 400 – 1250 rpm. Valorile semnalului achizi ionat, (moment de frecare pe inelul exterior) sunt prezentate î n figura T2.A.1. In Tabelul T2.A sunt prezentate valorile minime i maxime î nregistrate de sistemul de m!sur!, cât i temperatura corespunz!toare achizi iei. Durata testului a fost de aproximativ 800x2 secunde. Nr. test

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Fig.T2.A.1. Semnalul î nregistrat de sistemul de m!sur! î n cadrul testului. (Moment de frecare m!surat) Nr. test ni, rpm MFe min., N.m Mfe max., N.m ToC 1 400 0.35 0.44 19 2 500 0.44 0.53 19 3 750 0.62 0.7 18 4 1000 0.79 0.79 21 5 1250 0.88 0.88 23 6 1000 0.70 0.79 24 7 750 0.62 0.70 23 8 500 0.44 0.53 22 9 400 0.26 0.35 22 Tabel. T2.A. Valorile minime i maxime ale momentului de frecare m!surat. Temperatura la care a avut loc î nregistrarea. pag.132

In figura T2.A.2. este prezentat! evolu ia momentului de frecare ob inut! prin simulare pe calculator. In figura T2.A.3. sunt prezentate comparativ, datele m!surate i cele calculate î n cadrul testului T2.A

Fig. T2.A..2. Moment de frecare calculat incluzând ecua ia 6.4.b

Fig.T2.A.3. Compara ie î ntre valorile calculate i cele m!surate ale momentului de frecare pe inelul exterior

pag.133

6.8.2. Test T2.B. Condi iile de func ionare impuse structurii SRB-22212C, î n cadrul testului T2.A sunt: !Sarcin! axial! constant! Fa=868 N; !Sarcin! radial! nul!: Fr=0 N; !Tura ie variabil! î n intervalul 400 – 1250 rpm. Valorile semnalului achizi ionat (moment de frecare pe inelul exterior) sunt prezentate î n figura T2.B.1. In Tabelul T2.B sunt prezentate valorile minime i maxime î nregistrate de sistemul de m!sur!, cât i temperatura corespunz!toare achizi iei. Durata testului a fost de aproximativ 700x2 secunde.

Nr. test

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Fig. T2.B.1. Diagrama de varia ie a momentului de frecare pe inelul exterior. Nr. test 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ni, rpm 400 500 750 1000 1200 1000 750 500 400

MFe min., N.m 0.26 0.44 0.53 0.70 0.79 0.62 0.53 0.44 0.35

Mfe max., N.m 0.35 0.44 0.62 0.70 0.79 0.70 0.62 0.44 0.35

ToC 15 15 18 14 20 22 21 21 20

Tabel. T2.B. Valorile minime i maxime ale momentului de frecare. Temperatura la care a fost realizat! achizi ia Rezultatele simul!rii pe calculator sunt prezentate î n figura T2.B.2 i corespund zonei ascendente a diagramei din figura T2.B.1. In figura T2.B.3. sunt prezentate î n paralel valorile calculate i cele m!surate ale momentului de frecare pag.134

Fig. T2.B.2. Moment de frecare calculat, ob inut prin simulare pe calculator.

T2.B.3. Valori comparative ale momentelor de frecare m!surate i respectiv calculate

pag.135

6.8.3. Test T2.C

Condi iile de func ionare impuse structurii SRB-22212C, î n cadrul testului T2.A sunt: !Sarcin! axial! constant! Fa=443 N !Sarcin! radial! : Fr=0 N !Tura ie variabil!, având valori cuprinse î n intervalul 400 – 1250 rpm Valorile semnalului achizi ionat (moment de frecare pe inelul exterior) sunt prezentate î n figura T2.C.1. In Tabelul T2.C sunt prezentate valorile minime i maxime î nregistrate de sistemul de m!sur!, cât i temperatura corespunz!toare achizi iei. Durata testului a fost de aproximativ 740x2 secunde.

Nr. test

1

2

3

4

5

6

7

8

9

. Fig. T2.C.1. Diagrama de varia ie a momentului de frecare, achizi ionat! folosind programul Lab View Nr. test ni, rpm MFe min., N.m Mfe max., N.m ToC 1 400 0.35 0.35 13 2 500 0.44 0.44 13 3 750 0.53 0.62 14 4 1000 0.62 0.62 15 5 1250 0.62 0.70 18 6 1000 0.62 0.62 19 7 750 0.44 0.53 19 8 500 0.35 0.44 18 9 400 0.26 0.35 17 Tabel T2.C. Valorile minime i maxime indicate î n figura T2.C.1. Temperatura la care a avut loc testul Rezultatele simul!rii pe calculator sunt eviden iate î n figura T2.C.2 i corespund zonei ascendente a diagramei prezentate î n figura T2.C.1. In figura T2.C.3. sunt prezentate î n paralel valorile calculate i pag.136

cele m!surate ale momentului de frecare.

Fig. T2.C.2. Moment de frecare calculat, ob inut prin simulare pe calculator.

T2.C.3. Valori comparative ale momentelor de frecare m!surate i respectiv calculate

pag.137

6.9. Teste de tip T3. Rezultate numerice i experimentale ob inute î n cazul î nc!rc!rii combinate 6.9.1. Test T3.A. In cadrul acestui test s-a urm!rit evolu ia func iei care descrie momentul de frecare la nivelul c!ii de rulare exterioare a structurii SRB-22212C, impunând urm!toarele condi ii de func ionare: !For ! radial! constant!: 1094 N; !Tura ie constant! a inelului interior la valoarea ni=1500 rpm; !Sarcin! axial! variabil! î n intervalul 443 … 2188 N. Diagrama de varia iei a func iei momentului de frecare î nregistrat! cu ajutorul lan ului de m!sur! utilizat este prezentat! î n figura T3.A1. Înregistrarea s-a efectuat pe durata a aproximativ (200x3) secunde. Valorile m!surate ale momentului de frecare cât i temperatura corespunz!toare înregistr!rii sunt prezentate In tabelul T3.A. Nr. test

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Fig.T3.A.1. Diagrama achizi ionat! corespunz!toare func iei moment de frecare Fa, N, MFe min., N.m Mfe max., N.m ToC (bar) 1 443 (0.4) 0.79 0.79 19 2 866 (0.8) 0.88 0.88 20 3 1328 (1.2) 0.88 0.97 20.4 4 1771 (1.6) 1.06 1.06 21.75 5 2188 (2.0) 1.06 1.14 22 6 1771 (1.6) 0.98 1.06 23.2 7 1328 (1.2) 0.97 0.97 24 8 866 (0.8) 0.79 0.88 24.3 9 443 (0.4) 0.7 0.7 24.5 Tabel T3.A. Valorile minime i maxime indicate î n figura T3.A.1. Temperatura la care a avut loc testul. Nr. test

pag.138

Rezultatele simul!rii pe calculator sunt prezentate î n figura T3.A.2 i corespund zonei descendente a procesului de achizi ie. In figura T3.A.3. sunt prezentate î n paralel valorile calculate i cele m!surate ale momentului de frecare

Fig.T3.A.2. Valori calculate ale momentului de frecare, parametrul variabil fiind sarcina axial!

Fig. T3.A.3. Compara ie î ntre rezultatele experimentale i cele calculate corespunz!toare func iei Mfe()=Mfe(Fa)

pag.139

6.9.2. Test T3.B. In cadrul acestui test s-a urm!rit evolu ia momentului de frecare pe inelul exterior, impunând urm!toarele condi ii de func ionare: !For ! radial! constant!: 1751 N; !Tura ie variabil! a inelului interior î n intervalul ni=500-1500 rpm; !Sarcin! axial! constant! Fa=1107 N. Diagrama de varia iei a func iei Mfe() î nregistrat! cu ajutorul lan ului de m!sur! utilizat este prezentat! î n figura T3.B1. Înregistrarea s-a efectuat pe durata a aproximativ (230x3) secunde. Valorile m!surate ale momentului de frecare cât i temperatura corespunz!toare înregistr!rii sunt prezentate In tabelul T3.B. Nr. test 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fig.T3.B.1. Diagrama achizi ionat! Nr. test ni, rpm MFe min., N.m Mfe max., N.m ToC 1 500 0.44 0.53 20 2 700 0.63 0.62 20 3 900 0.62 0.62 20 4 1300 0.70 0.70 21 5 1500 0.70 0.70 23 6 1300 0.62 0.62 23 7 900 0.53 0.53 23 8 700 0.44 0.44 23 9 500 0.35 0.44 23 Tabel T3.B. Valori minime i maxime î nregistrate ale momentului de frecare. Temperatura la care a avut loc î nregistrarea.

pag.140

Rezultatele simul!rii pe calculator sunt eviden iate în figura T3.B.2 i corespund zonei descendente a diagramei de achizi ie. In figura T3.B.3. sunt prezentate în paralel valorile calculate i cele m!surate ale momentului de frecare

Fig. T3.B.2. Valori calculate ale momentului de frecare, parametrul variabil fiind î n acest caz tura ia inelului interior

Fig. T3.B.3. Compara ie î ntre valorile m!surate i cele calculate, corespunz!toare testului T3.B In figurile T3.B4 i T3.B.5 sunt prezentate diagramele de evolu ie ale tura iei rolelor rulmentului i ale for ei de contact î ntre role i colivie. pag.141

Fig. T3. B.3. Tura iile calculate ale rolelor structurii SRB-22212C, corespunz toare rândului r=1

Fig. T3.B.4. Valori calculate ale for elor de contact dintre role

i colivie

pag.142

6.10. Varia ia momentului de frecare î n func ie de temperatur!. Test T4. Pentru analiza evolu iei momentului de frecare pe inelul exterior î n func ie de temperatur!, impunând urm!toarele condi ii de func ionare: !For ! radial!: Fr=2188 N; !For ! axial!: Fa=0 N; !Tura ia inelului interior ni=800 rpm; !Temperatura ini ial! a lubrifiantului utilizat 12oC. Pe parcursul desf! ur!rii testului, sistemul de achizi ie a î nregistrat pe parcursul a aproximativ o or! diagramele prezentate î n figurile T5.1 i T5.2. Trebuie men ionat c! intr-o diagram!, sistemul de m!surare poate stoca doar 1024 î nregistr!ri, pentru valori mai mari de 1024, softul utilizat realizeaz! translatarea informa iei î nregistrate cu o unitate. In intervalul de timp considerat temperatura m!surat! a lubrifiantului a evoluat de la 13oC la 31oC valoare de echilibru.

Inregistrarea nr.

Fig.T5.1. Diagrama î nregistrat! î n intervalul 0-30 minute

Inregistrarea nr.

Fig. T5.2. Diagrama î nregistrat! î n intervalul 30-60 minute Conform figurii T5.2, valoarea achizi ionat! a semnalului (moment de frecare pe inelul exterior) a pag.143

r!mas aproximativ constant!. Simularea pe calculator a evolu iei momentului de frecare î n func ie de temperatur! este indicat! î n figura T5.3.

Fig.T5.3. Simulare a varia iei momentului de frecare pe inelul exterior î n func ie de temperatur!. In tabelul T5 sunt prezentate valorile m!surate i cele calculate ale func iei MFe=MFe(ToC). Figura T5.4. corespunde valorilor indicate î n tabelul T5. Tabel T5. Valori achizi ionate i valori calculate corespunz!toare func iei MFe=MFe(ToC) Nr. test MFe min., N.m MFe max., N.m Moment calculat, N.m 1 0.53 0.62 0.607 2 0.44 0.53 0.478 3 0.35 0.44 0.400 4 0.26 0.35 0.362 5 0.26 0.35 0.286 6 0.26 0.35 0.277

ToC 13 17 20 23 28 31

Fig.T5.4. Compara ie î ntre experiment i modelul de calcul

pag.144

6.11. Calculul momentelor de frecare ale inelelor incluzând efectul momentului de rostogolire vâscos. In cazul consider!rii distribu iei asimetrice de presiune existente la nivelul contactelor role – c!i de rulare, ecua iile care descriu momentele de frecare ale inelelor structurii devin. Z Z 2 2 ( ( % diidx , j,r dw idx , j,r % diidx , j,r = SF . FR SFidx . ) " ) MVidx # Mi ! ! ! & idx ! ! idx ! # & 2 2 $ j,r r j=1 idx "1' 2 r j=1 idx "1' $ j, r

(6.16a)

Z Z 4 4 ( ( % deidx , j,r dw idx , j,r % deidx , j,r ) FR idx " ) MVidx # SFidx . (6.16b) M e = ! ! ! &SFidx . ! ! ! # & 2 2 $ j,r 2 r j=1 idx "3' r j=1 idx "3' $ j,r î n care MVidx =dw/2.FRidx =mo,mi (figura. 6.10) FRidx reprezint! for a rezistent! de rostogolire i este descris! de rela iile 6.4.a sau respectiv 6.4.b. Fo, Fi = rezultanta for elor de trac iune i a for elor rezistente la nivelul contactelor role-c!i de rulare

Fig.6.10. For e i momente de natur! vâscoas! care ac ioneaz! asupra c!ilor de rulare

pag.145

Rezultatele numerice prezentate în cadrul testelor T1…T4 au fost ob inute folosind ecua iile 6.14. Utilizarea ecua iilor 6.16 conduce la ob inerea de valori superioare celor ob inute prin modelul descris de rela iile 6.14. Diferen ele pentru momentul de frecare variaz! în cadrul testelor T1..T4 cu valori cuprinse î n intervalul î ntre 0,01-0,15 N.m. Spre exemplificare, î n figurile 6.11 i 6.12 sunt prezentate diferen ele ob inute prin folosirea modelelor de calcul descrise de ecua iile 6.14 i 6.16, care includ efectul ecua iei 6.4.b, dezvoltat! de Houpert [1985]. 0.6

Moment de frecare, N.m

0.5

0.4

0.3 MFe_min_masurat MFe_max_masurat MFe (ec.6.14) MFe (ec.6.16)

0.2

0.1

0 400

500

600

700

800

900 1000 ni, rpm

1100

1200

1300

1400

1500

Fig. 6.11. Valori m!surate i valori calculate ale momentului de frecare pentru testul T1.A: Fr=656 N, tura ie variabil! 0.7

Moment de frecare, N.m

0.6 0.5 0.4 0.3

MFe_min_masurat MFe_max_masurat MFe (ec.6.16) MFe (ec. 6.14)

0.2 0.1 0 400

500

600

700

800

900 1000 ni, rpm

1100

1200

1300

1400

1500

Fig. 7.7. Valori m!surate i valori calculate ale momentului de frecare pentru testul T1.D: Fr=2188 N, tura ie variabil! pag.146

Diferen ele ob inute prin utilizarea diverselor modele de calcul ale momentului de rostogolire de natur! vâscoas!, prezentate în literatur!, este rezultatul diferitelor valori utilizate pentru exponen ii parametrilor adimensionali. Valorile acestor parametri sunt prezentate î n tabelul urm!tor: Autor model de calcul Houpert, L, 1985 Hamrock, 1986 Nelias D, 1999 Matsuyama, 2001

W 0.47 -1.547 -0.8673 0.08

Exponentul parametrului adimensional U 0.66 0.589 0.656 0.75

G 0.022 -0.421 0.022 -0.04

6.12. Concluzii A fost elaborat si validat experimental un model de calcul al parametrilor cvasi-dinamici specifici unei structuri SRB. Analizele numerice si cercetarile experimentale desfasurate conduc la urmatoarele concluzii: 1. Temperatura de intrare a lubrifiantului î n zona contactelor influenteaza semnificativ rezultatele impunand cunoasterea cu suficient! precizie 2. Includerea in algoritmul de calcul si a momentului de rostogolire de natur! vâscoas! cre te precizia rezultatelor furnizate de modelarea numerica. 3. Evolu ia momentului de frecare total pe role i pe colivie (figurile 6.8 i 6.9) arat! c! stabilirea solu iilor ini iale pentru algoritmul Runge-Kutta este greu de realizat. Implementarea unui cod de calculator pentru analiza parametrilor cvasi-dinamici, impune utilizarea metodei î njum!t! irii intervalului pentru a evita eventualele cazuri de neconvergenta. 4. Metoda de calcul dezvoltat! permite determinarea momentului de frecare, a puterii consumate prin frecare i a tura iilor de echilibru ale rolelor i coliviilor unei structuri SRB. 5. Avand un carcater parametrizat algoritmul este util pentru analize de caz si respectiv optimizari dimensionale sau functionale. O parte din rezultatele ob inute sunt prezentate î n raportul de dezvoltare a programului BB20 „Logiciel BB20. Convention de stage INSA de Lyon – SNECMA Moteur France” realizat î n 2002 de Rezmire D., i Nelias D. Metoda de calcul prezentat! î n cadrul capitolului 6 constituie subiectul unei lucr!ri intitulat! „Analysis of Ball Bearings with 2, 3 or 4 contact points”, transmis! spre publicare î n 2003, fiind realizat! de Rezmires D, Nelias D, i Cre u Sp.

.

pag.147

CAPITOLUL 7.

STAND UTILIZAT

I METOD DE M SURARE A MOMENTULUI DE

FRECARE PE INELUL EXTERIOR AL RULMENTULUI.

Stand i metod! de m!surare a momentului de frecare pe inelul exterior al rulmentului.

pag.148

7. Parametri constructivi ai standului de testare

Validarea experimental! a modelului de calcul al structurilor SRB a fost realizat utilizând un stand conceput î n cadrul catedrei de Organe de Ma ini din Ia i, ( Cre u Sp, Bodi Gh, Farca FL [1986]). Construc ia actual! a standului permite m!surarea urm!torilor parametri: !momentul de frecare pe calea de rulare exterioar! (prin utilizarea unui sistem de achizi ie de date format din tij! + set de m!rci tensometrice + program Lab View); !temperatura medie a lubrifiantului din incinta rulmentului de testat. Traductorul utilizat este un termistor, pentru care a fost determinat! o curb! de etalonare.

7.1. Elementele de ac ionare i control ale standului Principale componente ale standului sunt : !sistemul de ac ionare electric!; !sistemul de î nc!rcare cu sarcina de lucru (axial! i / sau radial!) ; !sistemul de m!surare a momentului de frecare la nivelul inelului exterior al rulmentului. 7.1.1. Sistemul de ac ionare electric! Antrenarea î n mi care de rota ie a inelului interior se face prin intermediul unui motor asincron trifazat cu rotorul î n scurt circuit, comandat de c!tre un variator de tura ie de tip Electra ELVAR 3.0.care permite varia ia frecven ei de alimentare a motorului de antrenare î n gama 1-100 Hz. Sistemul de comand! al frecven ei de excita ie a motorului permite cre terea tura iei arborelui motrorului comandat de la valoarea 0 Hz, la valoarea introdus! de la tastatur! î n intervalul de timp 1…100 s. Tura ia este afi at! pe un display î ncorporat. 7.1.2. Sistemul de î nc!rcare cu sarcina de lucru Realizarea î nc!rc!rii radiale i axiale a structurii SRB se realizeaz! prin combinarea func iilor a dou! sisteme mecanice. Pentru ca sistemul de î nc!rcare s! nu perturbe sistemul de m!surare al momentului de frecare, î ntre sistemul de î nc!rcare cu sarcin! i cel de pozi ionare al rulmentului de testat sunt interpuse lag!re hidrostatice. Caracteristicile func ionale ale acestor lag!re permit: !transferarea sarcinii de lucru; !rotirea inelului exterior al rulmentului. Uleiul necesar func ion!rii lag!relor hidrostatice este adus î n zona de lucru prin intermediul unei pompe cu ro i din ate i a dou! distribuitoare. Atat pe directie radiala cat si axiala sistemul de î nc!rcare este mecanic si foloseste elemente elastice (arcuri). In figura 7.1. sunt prezentate principalele elementele componente ale dispozitivului de î nc!rcare.

pag.149

Lag r hidrostatic radial

Lag r hidrostatic axial

Fr

Fa

22 60

Rulment de testat Fig.7.1. Schema de î nc!rcare i aplicare a sarcinii de lucru Sarcinile axial! i radial! aplicate rulmentului de testat sunt transmise prin intermediul arborelui unui set de rulmen i de reazem.

7.2. Elemente componente ale lan ului de m!sur! Datele furnizate de c!tre traductorii monta i î n cadrul lan ului de m!sur! permit m!surarea momentului de frecare la nivelul inelului exterior. Lan ul de m!sur! este compus din: !traductori: o de deforma ie (m!rci tensometrice montate pe lamel! elastic!); o de temperatur!, (termistor); !plac! de achizi ie de date interfa at! cu o punte de achizi ie; !soft de prelucrare (programul Lab-View 5.0 al firmei National Instruments). Determinarea momentului de frecare pe inelul exterior s-a realizat folosind schema prezentat! î n figura 7.2.

pag.150

Lag r hidrostatic radial

Set de m rci tensometrice C tre placa de

Rulment de testat Lag r hidrostatic axial

Lamel de fixare a Tij solidar cu sistemul de pozi ionare al rulmentului

Fig.7.2. Sistemul de transmitere a momentului de frecare c!tre placa de achizi ie

7.3. Calibrarea traductorilor utiliza i 7.3.1. Etalonarea sistemului de m!surare a momentului de frecare Pentru etalonarea lan ului de m!surare a momentului de frecare a fost stabilita scar! de conversie pentru semnalul oferit de ansamblul de m!rci tensometrice. Semnalul transmis de m!rcile tensometrice este transformat î n unit! i ‚N.m’ folosind modulul de calcul indicat î n figura 7.3. Curba de etalonare rezultat! este indicat! în figura 7.4 rezultând o rezolu ie de 0.08 N.m.

Fig.7.3. Unitate de conversie din semnal ‚microstrain’ î n moment de frecare

pag.151

Moment de frecare Linear (Moment de frecare) Moment de frecare, N.m

M = 0.7067.x + 0.021 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

Kg

0 0

0.5

1

1.5

Fig.7.4. Func ia de etalonare pentru ansamblul tij! –set de m!rci tensometrice 7.3.2. Etalonarea traductorului de temperatur! Pentru m!surarea temperaturii lubrifiantului aflat î n incinta rulmentului s-a folosit un termistor a c!rui rezisten ! exprimat! în func ie de temperatur! variaz! dup! curba indicat! în figura 7.5. Trasarea acestei curbe s-a realizat experimental. Rezisten a electric , *

Temperatura, oC

Fig. 7.5. Varia ia rezisten ei electrice a traductorului î n func ie de temperatur!

pag.152

7.3.3. Rela ia presiune – sarcin! axial! Lag!rul hidrostatic axial prin care se face transmiterea sarcinii axiale este alimentat de la o pomp! cu ro i din ate. Varia ia sarcinii axiale exprimat! în func ie de presiunea indicat! de AMC (manometru) este evident liniar!, figura 7.6 (Stanciu S, Dumbrav! M, Mazilu I, [1985]). 1 10

4

9375 8750

Forta axiala, N

8125 7500 6875 6250 5625 5000 4375 3750 3125 2500 1875 1250 625 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

Presiunea indicata, barr

Fig.7.6. Varia ia sarcinii axiale î n func ie de presiunea indicat! de manometru 7.3.4. Rela ia presiune – sarcin! radial! Rela ia presiune – for ! radial! este deasemenea liniar!, figura 7.7. 1 10

4

9375 8750 8125 7500 6875 Forta radiala, N

6250 5625 5000 4375 3750 3125 2500 1875 1250 625 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

Presiunea indicata, barr

Fig. 7.7. Varia ia sarcinii radiale î n func ie de presiunea indicat! de manometru

pag.153

CAPITOLUL 8.

CONCLUZII GENERALE. SINTEZA PRINCIPALELOR REZULTATE

OB INUTE

Sinteza principalelor rezultate ob inute. Concluzii generale.

pag.154

8.1. Sinteza rezultatelor. Studiul de sintez privind nivelul actual al cercet rilor î n domeniul analizei cinematice !i dinamice a rulmen ilor oscilan i cu role butoi a eviden iat necesitatea reanaliz rii atente a modelelor de calcul existente pentru studiul lagarelor cu rostogolire, rezultând obiectivele tezei: !Definirea pe structura rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou rânduri a unei clase de func ii din care prin derivare s poat fi descris, din punct de vedere geometric !i func ional orice tip de lag r cu rostogolire. !Realizarea unui model de calcul general, parametrizat, capabil a fi utilizat in optimiz rii geometrice si func ionale ale rulmen ilor !i respectiv ale sistemelor de rulmen i Pentru atingerea obiectivelor activitatea depusa î n cadrul tezei a fost axata pe urm toarele direc ii de cercetare: 1. Definirea unei clase de func ii destinat descriererii unitare a geometriei rulmen ilor. 2. Definirea parametrilor cinematici ai rulmen ilor cu role sau cu bile care con in dou sau mai multe contacte principale 3. Stabilirea unei metode de analiz cvasi-static a contactelor punctuale !i punctuale modificate. 4. Stabilirea unei metode de calcul pentru determinarea parametrilor cvasi-statici ai rulmen ilor !i ai sistemelor de rulmen i. 5. Definirea parametrilor care stabilesc comportarea lubrifiantului la nivelul tribocontactelor din rulmenti. 6. Stabilirea unui algoritm de calcul pentru analiza cvasi-dinamic a rulmen ilor. 7. Validarea algoritmului dezvoltat Pe parcursul capitolelor 2, 3, 4, 5 !i 6 s-a urm rit realizarea unui model de calcul general al parametrilor cvasi-statici !i cvasi-dinamici definit pe structura rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou rânduri. Pentru descrierea proceselor tribologice de la nivelul tribocontactelor dintr-un rulment s-a optat pentru o metod de analiz de tip „Programare Orientat pe Obiecte” (OOP). Prin exploatarea facilit ilor oferite de acest tip de analiz s-a ajuns la concluzia c exist posibilitatea de a realiza o clas de func ii de baz care s permit descrierea geometriei !i a parametrilor func ionali a oric rui tip de rulment. 8.1.1. Rezultate privind modelarea geometriei rulmen ilor oscilan i cu role butoi !Clasa de func ii primitiv este descris „mecanic” de obiectul rol butoi simetric . Modelarea parametrizat a geometriei unei role SRB a permis transformarea geometriei unei role butoi simetrice î n urm toarele tipuri de corpuri de rostogolire: rol butoi asimetric , rol conic , rol cilindric !i bil . !Extinderea abstractiz rii clasei de func ii „rol SRB” a permis descrierea elementelor geometrice componente ale diverselor tipuri de rulmen i (numi i !i structuri derivate). !Concatenarea propriet ilor structurilor de tip SRB-4PCBB-13 !i SRB-4PCBB-24, derivate din clasa de func ii SRB-SRB, permite descrierea rulmen ilor având corpurile de rostogolire (role sau bile) dispuse pe dou sau mai multe rânduri. Câteva exemple de structuri derivate sunt prezentate î n figura 2.9.

pag.155

!Pentru asigurarea generalit ii clasei de func ii dezvoltate s-a stabilit o modalitate de descriere simultan a propriet ilor necesare descrierii structurilor cu mai mult de dou contacte principale. In acest sens se amintesc structurile tip SRB-4PCBB !i structurile SRB-DBB (prezentate î n anexa 5) !Un parametru important, utilizat pentru descrierea func ional a rulmen ilor este „jocul î n rulment”. Analiza matematic a modalit ii de reparti ie a „jocului local” î ntre role !i c ile de rulare arat c ipoteza larg acceptat de distribuire uniform a jocului nivelul contactelor, nu reprezint cea mai bun solu ie. A fost stabilit o nou modalitate de abordare a reparti iei jocului. 8.1.2. Rezultate privind modelarea cinematicii rulmen ilor !Deoarece ipoteza ghid rii rolei pe una din c ile de rulare nu asigur un grad ridicat de generalitate !i nici continuitatea transferului ghid rii î ntre c ile de rulare a fost necesar adoptarea unei alte ipoteze de lucru. S-a dezvoltat un model de calcul pentru determinarea unghiului vitezei unghiulare al unei role (bile), exprimat î n raport cu vectorul vitez unghiular al inelului interior. Condi ia utilizat pentru rezolvarea acestei probleme a fost „minimizarea puterii consumate prin frecare” ,(ec. 3.12.), de la nivelul contactelor rol (bil ) - c i de rulare. !Rezultatele numerice ob inute pentru determinarea unghiului vectorului vitez unghiular a bilei (rolei) sunt similare cu cele ob inute experimental de Nelias D î n 1988. Pentru determinarea vitezelor de rostogolire cât !i a vitezelor de alunecare de la nivelul interfe elor role - c i de rulare au fost dezvoltate rela ii care includ atât influen a geometriei c ilor de rulare !i a parametrilor cvasi-staticicât !i influen a unghiului vectorului vitez unghiular al rolei (ec. 3.9c !i 3.9d). 8.1.3. Rezultate privind modelarea parametrilor cvasi-statici !Pentru analiza parametrilor cvasi-statici au fost considerate sisteme cu 5 grade de libertate !i respectiv cu 9 grade de libertate. In acest scop au fost dezvoltate rela iile necesare pentru matricele de rigiditate a unui sistem de rulmen i î n 9 DOF (grade de libertate) cât !i a unui rulment î n 5 DOF. Pentru ob inerea componentelor matricei de rigiditate s-a impus determinarea deplas rii centrului de mas al corpului de rostogolire. In acest scop componentele deplas rii au fost determinate prin rezolvarea ecua iilor de echilibru ale corpului de rostogolire pentru toate tipurile de contacte (punctuale, punctual modificate) care pot apare simultan la nivelul interfe elor rol -c i de rulare. !A fost eviden iat posibilitatea ob inerii simultane de contacte punctuale !i de contacte punctual modificate pentru orice tip de rulment cu role câ !i cu bile. Pornind de la aceast observa ie a fost dezvoltat o metod de calcul pentru analiza contactelor de tip nehertzian (incluzând cazul rulmen ilor cu bile). !Rela iile matematice dezvoltate permit scrierea matricei de rigiditate a unei role prin derivarea ecua iilor de echilibru ale rolelor î n raport cu vectorii deplasare ai rolelor !i c ilor de rulare. !In raport cu alte metode utilizate, func iile de interpolare dezvoltate pentru analiza trecerii de contacte punctuale hertziene la contacte nehertziene, asigur continuitatea trecerii de la contacte punctuale la contactele de tip punctual modificate, verificând integral contactul punctual. pag.156

!Metoda de modelare dezvoltat , asigur tratarea unitar a parametrilor cvasi-dinamici ai oric rui tip de rulment, f r a se dezvolta modele de calcul specifice rulmen ilor cu role !i respectiv cu bile. Combinarea elementelor prezentate î n capitolele 2, 3 !i 4 !i anexele 2 !i 5, permite descrierea unitar a parametrilor cvasi-dinamici ai structurilor SRB, pentru cele trei cazuri de rigiditate descrise de parametrii IRR, ORR !i IOE (figurile. 4.12…4.14). 8.1.4. Rezultate privind modelarea parametrilor lubrifian ilor utiliza i î n structurile SRB !Determinarea parametrilor cvasi-dinamici ai structurilor SRB a implicat definirea comport rii lubrifiantului î n func ie de temperatur !i presiune. Pornind de la valorile cunoscute ale vâscozit ii la dou peraturi su au fost dezvoltate rela ii originale de calcul a coeficien ilor care intervin în rela ia vâscozitate – temperatur . Se evit astfel utilizarea coeficien ilor A1, A2, B1, B2, C1, C2 din modelul WLF modificat de Yatsutomi. !Aplicarea modelului de calcul dezvoltat pe parcursul capitolelor 2-6 a permis o prim validare prin verificare cu datele numerice !i experimentale ob inute î n literatura de specialitate. 8.1.5. Rezultate privind modelarea parametrilor cvasi-dinamici ai structurilor SRB !A fost dezvoltat un model de analiz a parametrilor cvasi-dinamici care consider interac iunile î ntre corpurile de rostogolire !i colivie, f r a apela la metoda de integrare numeric . Modelul de calcul ia î n considerare fenomenele de „drag” !i de ghidare a coliviei pe c ile de rulare. !Rezultatele experimentale ob inute !i prezentate î n finalul capitolului sunt destinate „valid rii experimentale” a modelului de calcul propus. Teoria !i experimentul prezint o bun concordan ; trebuie totu!i remarcat c utilizarea unor rela ii diferite de calcul pentru aprecierea momentului de rostogolire de natur vâscoas , conduce la ob inerea de rezultate diferite. Cea mai bun concordan s-a ob inut considerând efectul distribu iei asimetrice de presiune asupra c ilor de rulare. !Metoda de calcul prezentat pe parcursul capitolelor 2-6 s-a concretizat î n principal prin realizarea a dou programe de calcul destinate analizei structurilor SRB-SRB !i SRB-4PCBB. Programul SRB-SYM este destinat î n principal analizei rulmen ilor de tip oscilan i cu role butoi de tip C !i a fost validat experimental pe parcursul capitolului 6. Totodat au fost dezvoltate o serie de module de calcul independente, cum sunt : !modul de calcul unitar destinat analizei distribu iei de presiune pe domeniul de contact, pentru contactele hertziene contactelor nehertziene ; !modul de calcul pentru analiza parametrilor cvasi-statrici ai sistemelor de rulmen i; !modulul de calcul destinat analizei parametrilor cvasi-dinamici ai rulmen ilor cu cale de rulare sec ionat , program numit BB20. !modulul de calcul destinat analizei st rii de tensiuni î n cazul contactelor liniare reale. Algoritmul dezvoltat a fost validat teoretic prin compara ii cu date prezentate î n literatura de specialitate !i cu programe similare de calcul destinate analizei urm toarelor tipuri de rulmen i: !rulmen i oscilan i cu role butoi, (program dezvoltat de Stirbu î n 1998). !rulmen i cu bile cu dou puncte de contact (program BB10 dezvoltat de Nelias D. la INSA de Lyon France); !rulmen i cu bile cu cale de rulare sec ionat (program RBL4 –dezvoltat de Legrand î n 1997), !i programul dezvoltat de Hamrock î n 1973 !i 1975. Algoritmul a fost validat experimental prin m sur tori proprii ale momentului de frecare pe inelul pag.157

exterior !i prin compara ii cu datele experimentale prezentate î n literatura de specialitate.

8.2. Elemente de noutate aduse î n cadrul tezei Pentru î ndeplinirea obiectivelor propuse î n cadrul tezei au fost dezvoltate unele modele !i rela ii de calcul originale. In capitolul 2., denumit „Contribu ii privind modelarea geometriei rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi” au fost introduse urm toarele modele de analiz originale: 1. 2. 3.

Model de analiz unitar a geometriei rulmen ilor: Metod numeric de stabilire a solu iei ini iale a rotirii libere a rolei î n loca!ul coliviei. Metod de calcul a reparti iei jocului dintr-un rulment la nivelul contactelor rol cale de rulare.

Modelele introduse î n capitolul 2 au urm toarele propriet i: !Definesc rulmentul radial oscilant cu role butoi pe dou rânduri ca fiind clas principal de func ii din care, prin derivare OOP, se poate descrie geometria oric rui alt tip de rulment. !Definesc clasei de obiecte „rola SRB” !i stabilesc metodele de derivare de propriet i rezultând role simetrice !i role asimetrice. !Definesc metodele (func iilor OOP) care realizeaz leg tura î ntre diferite tipuri de structuri SRB. !Definesc modalit ile de ob inere a diverselor tipuri de rulmen i folosind metoda concaten rii propriet ilor unor structuri simple derivate din clasa SRB-SRB (rulment radial oscilant cu role butoi). !Stabilesc rela ia de calcul a valorii maxime a rotirii rolei î n loca!ul coliviei î n func ie de geometria acesteia. !Corecteaz rela ia de calcul a reparti iei jocului î n rulmen ii cu bile prezentat de Harris [1991] !Stabilesc elementele necesare pentru calculul reparti iei jocului î n rulmen ii cu cale de rulare sec ionat considerând „jocul efectiv m surat” !i respectiv „jocul din rulmentul primitiv”. !Stabilesc rela iile de calcul destinate analizei reparti iei jocului î n rulmen ii radial oscilan i cu role butoi pe dou rânduri. !Asigura verificarea datelor de intrare primite de la un furnizor (cazul compatibilit ii î ntre unghiul de cale !i jocul î n rulmentul primitiv î n cazul structurilor SRB-4PCBB). !Identific parametrii care conduc la modificarea jocului func ional î n rulmen i sub efectul expansiunii centrifugale, a fretajului !i a temperaturii de func ionare, î n func ie de condi iile de rigiditate impuse inelelor structurii analizate. !Definesc solu iile ini iale de deplasare ale inelelor !i rolelor, utilizate î n calculul parametrilor cvasi-statici ai unui rulment sau / !i sistem de rulmen i. Sunt utile pentru asigurarea convergen ei algoritmilor de tip Newton-Raphson aplicabili î n cazul analizei rulmen ilor. In capitolul 3 intitulat „Contribu ii privind analiza cinematicii structurilor SRB butoi” au fost introduse urm toarele modele de analiz originale: 1. Model de analiz simplificat a cinematicii rulmen ilor cu 2, 3 sau 4 puncte de contact. 2. Model de calcul a unghiului vitezei unghiulare a bilelor din rulmen ii cu 2, 3 sau 4 puncte de contact folosind „minimizarea puterii consumate prin frecare”, eliminând discontinuitatea introdus de ipoteza ghid rii bilei pe una din c ile de rulare. Modelele de calcul introduse î n capitolul 3 au condus la ob inerea urm toarelor noi rela ii de calcul: !ecua iile de apreciere a modulului vitezei unghiulare ale corpurilor de rostogolire !i ale pag.158

coliviilor structurii ob inute prin egalarea vitezelor absolute ale punctelor de contact corespunz toare rolelor !i c ilor de rulare (3.3a !i 3.3b); !ecua ia utilizat pentru determinarea unghiului vitezei unghiulare al unei bile (ecua ia 3.6 cu solu ia 3.12); !rela ie de apreciere a razei echivalente a dou corpuri î n contact (ecua ia 3.9b). In capitolul 4, intitulat „Analiza parametrilor cvasi-statici ai structurilor SRB” au fost create urm toarele modele de calcul originale: 1. Model de calcul pentru analiza structurilor SSRB (sisteme de rulmen i) considerând 9 grade de libertate. 2. Model de calcul pentru analiza structurilor SRB considerând 5 grade de libertate. 3. Model de calcul al rigidit ii unui rulment î n func ie de condi iile limit impuse inelelor rulmentului. 4. Model de calcul pentru determinarea deplas rii centrului de mas al unui corp de rostogolire considerând dou grade de libertate. 5. Model de calcul pentru analiza contactelor nehertziene î ntâlnite î n cazul rulmen ilor cu role cât !i î n cazul rulmen ilor cu bile (elipse trunchiate). 6. Model de calcul unitar al echilibrului cvasi-static al unui corp de rostogolire considerând 3 grade de libertate. Modelul este aplicabil rulmen ilor cu 2 sau mai multe contacte simultane cu c ile de rulare asigurând continuitatea trecerii de la contacte punctuale la contacte punctual modificate. Modelele de calcul introduse î n capitolul 4 au condus la ob inerea urm toarelor rela ii de calcul originale: !matricele de rigiditate pentru structurile SRB si SSRB, exprimate î n noua !i respectiv cinci grade de libertate; !deplas rile centrului de mas al rolelor unei structuri SRB cu contacte punctuale sub actiunea sarcinii externe. Ecua iile 4.10 sunt destinate analizei contactelor punctuale !i punctual modificate prin func ii liniare de deplasarea centrului de mas al rolei. Asigur trecerea prin func ii continue de la contactele de tip punctual la contactele punctual modificate (contacte nohertziene). Prezint avantajul realiz rii unui Jacobian mult simplificat î n raport cu cel ob inut pentru contactele punctuale; !rela ia de calcul a rigidit ii unui contact punctual; !matricea de rigiditate a unei role cu contacte punctuale exprimat analitic, î n 2 grade de libertate, incluzând !i efectul momentului giroscopic. Includerea momentului giroscopic se face prin func ii continue, î n func ie de valoarea determinat a unghiului vitezei unghiulare a rolei. !matricea de rigiditate î n 5 grade de libertate a inelelor mobile ale unui rulment cu cale de rulare sec ionat sau nesec ionat , exprimat analitic; !deplasarea centrului de mas al unei role î n raport cu centrul de curbur al c ii de rulare considerate !i respectiv valoarea semiaxei mari a elipsei de contact pentru un contact punctual. Prezint avantajul c nu utilizeaz integralele eliptice; !deplasarea centrului de mas al unei role î n 3 grade de libertate, asigurând nealunecarea nodurilor de discretizare ale pofilelor deformate ale rolelor !i c ilor de rulare. !Ecuatiile necesare calculului iterativ al echilibrului unei role incluzând efectul for elor tangen iale incluse î n unghiul vectorului vitezei unghiulare al corpului de rostogolire. In capitolul 5, intitulat „Elemente de lubrifica ie a structurilor SRB” a fost determinate solu iile analitice ale ecua iei care exprim varia ia vâscozit ii unui lubrifiant î n func ie de temperatur putand pag.159

fi aplicata pentru calculul vâscozit ii uleiurilor minerale cât !i pentru cele sintetice. In capitolul 6 intitulat „Contribu ii privind analiza parametrilor cvasi-dinamici ai structurilor SRB. Validare” au fost dezvoltat un nou model de calcul al parametrilor cvasi-dinamici. Elementele de originalitate ale modelului, pe langa cele amintite, se considera a fi: !nu utilizeaz integrarea ecua iilor de mi!care; !consider efectul contactului dintre corpurile de rostogolire !i colivie.

8.3. Concluzii privind validarea teorietic !i experimental Validitatea modelului de calcul propus a fost realizat prin compara ii cu datele teoretice !i experimentale prezentate î n literatur cât !i prin experiment propriu. 8.3.1. Validare model de calcul prin compara ii cu datele teoretice prezentate î n literatur . Rezultatele numerice ob inute cu ajutorul modelului de calcul propus (programele SRBSYM !i BB20) au fost comparate cu rezultatele ob inute cu diverse programe !i modele matematice î ntre care: 1. modelul de calcul dezvoltat pentru rulmen ii radial axiali cu bile (programul BB10) dezvoltat de Nelias D, la INSA de Lyon – Fran a.; 2. programul de calcul dezvoltat de Legrand E [1997], numit RBL4 !i utilizat î n cadrul firmei SNECMA din Fran a – pentru rulmen ii cu cale de rulare sec ionat ; 3. modelul de calcul realizat de Hamrock [1975], Coe H !i Hamrock B. [1977] - pentru rulmen ii cu cale de rulare sec ionat ; 4. modelul de calcul realizat de Stirbu î n 1998 – pentru rulmen ii radial oscilan i cu role butoi; 5. modelul de calcul al analizei contactelor punctual modificate a fost validat î n cazul rulmen ilor cu role cilindrice prin compara ii cu rezultatele ob inute de Krwzeminski s.a, [1996] !i Cre u Sp [1996, 2002a, 2002b]; Comparatiile realizate cu programele amintite anterior a validat teoretic modelul de calcul propus pentru analia parametrilor cvasi-statici si cvasi-dinamici ai structurilor SRB 8.3.2. Verificarea modelului de calcul cu rezultate experimentale proprii !i î ntâlnite î n literatur . 1. Rezultatele experimentale publicate de Nelias D, [1998] au fost verificate cu ajutorul programului BB20, rezultand o bun corela ie î ntre teorie !i experiment; 2. Pentru aceleasi conditii functionale rezultatele numerice ob inute pentru momentul de frecare pe inelul exterior, folosind programul SRBSYM sunt in concordanta cu valorile determinate experimental in cadrul tezei.

8.4. Rezultate publicate !i î n curs de publicare. Rapoarte tehnice. In perioada preg tirii tezei de doctorat au fost efectuate dou stagii la INSA de Lyon- Fran a !i un stagiu la firma Timken din Colmar Fran a. Cu aceste ocazii au fost dezvoltate modele de calcul pentru analiza rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou rânduri !i pentru rulmen ii cu bile cu cale de rulare sec ionat . Urm toarele rapoarte au fost dezvoltate !i prezentate: 1. „Theoretical investigation on the deformation of a thin double row ball bearing and its housing by the mean of the finite element method.” – Burs Socrates 1999 – INSA de Lyon pag.160

2. „Calcul de skewing dans les roulements a rouleaux speheriques en passant par le calcul des forces de frottement dans le contact et l’equilibre des rouleaux” – Burs Leonardo da Vinci 2002 – Timken Colmar – France 3. „Calcul des forces de reaction dans un systeme a l’aide de matrices raideur liniarisees” – Burs Leonardo da Vinci -2000 Timken Colmar – France 4. „Logiciel BB20, Convention de stage Insa de Lyon – SNECMA Moteur”- Rezmires D, Nelias D,- Burs Egide – 2002 – INSA de Lyon - France. Urmare a dezvolt rii programului BB20 î n 2003 va apare lucrarea: - „Analysis of Ball Bearings with 2, 3 or 4 contact points” In perioada 2000-2001 a fost realizat î n calitate de director de proiect, proiectul de tip T, intitulat “Analiza cinematic !i dinamic a sistemelor de rulmen i radial oscilan i cu role butoi”, 6617 GR/2000, temele B34/2000 !i A37/2001. O parte din rezultatele numerice obtinute au fost publicate in 6 lucrari stiintifice: [19, 21, 85, 117, 118, 119] O parte din rezultatele numerice ob inute prin folosirea modelului de calcul propus s-au concretizat prin trimiterea si acceptarea spre publicare a urm toarelor articolelor, [137-143], urmând ca intr-o perioad apropiat acestea s apar î n revista „Buletin U.T. Ia!i”.

8.5. Concluzie final Definirea unei clase de func ii informatice care î nglobeaz modelele de calcul prezentate pe parcursul tezei a constituit scopul tezei, rezultând c prin derivarea logic a propriet ilor rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou rânduri pot fi descri!i geometric !i func ional toate tipurile de lag re cu rostogolire cât !i sistemele din care acestea fac parte. Parametrizarea asigurat de clasa de func ii SRB permite optimizarea constructiva si func ional a lag relor cu rostogolire !i a sistemelor din care fac parte.

pag.161

ANEXE

pag.162

Anexa 1. Parametrii cvasi-statici ai unui contat punctual hertzian Elementele necesare descrierii parametrilor cvasistatici ai unui contact punctual Hertzian, sunt prezentate î n monografii precum: Johnson K.L [1985], Hamrock [1983], Cre u [2002], s.a Elementele geometrice, indicate î n figura A1.1, sunt: !direc ia normalei la contact: N-N; !sarcina normal la contact ‚Q’ având direc ia N-N !planele principale, notate I !i II intersectate dup normala N-N !razele de curbur ale corpurilor î n contact (R1,I, R1,II, R2,I, R2,II.), exprimate î n planele I !i II. In figura A1.1. se definesc: !y indic direc ia principal de mi!care !x inic direc ia axial !z indic direc ia normalei la contact Fig. A1.1. Razele principale de curbur care descriu dou corpuri aflate î n contact Pornind de la elementele generale anterioare, Harris [1991] a introdus o serie de elemente geometrice !i nota iile specifice contactelor din rulmen i larg acceptate î n literatura de specialitate: Tabel A1.1. Elemente specifice contactului raportul dintre raza de curbur a rolei i raza de curbur a cii de Osculaia, rulare. Pentru structurile SRB-SRB ! [0.96-0.98]. " Curbura Reprezint inversul razei de curbur având valori pozitive pentru suprafe e convexe !i negative pentru suprafe e concave. #" Suma #" % "1,I $ "1,II $ " 2,I $ " 2,II curburilor Func ia F(") &"1,I ( "1,II ' $ &" 2,I ( " 2,II ' F(") % curburilor #" Raza curbur echivalent

de Rech(I,II,1,2)

1 % "I ,1( 2) $ "II,1( 2) R ech (I, II,1,2)

Introducând func iile sduzidx (definite î n paragraful 2.1.4), se definesc pentru structurile SRB-SRB: Razele de curbur echivalente ale contatelor: (1 Ry idx % Dw.(1 ( ).sduz idx ) / 2 , Rx idx % &1 / Rw ( 1 / R idx ' Suma curburilor * " idx % 2 / &1 ( ).sduz idx '.Dw (1 $ &1 / Rw ( 1 / R idx ' pag.163

Func ia curburilor 2 / &1 ( ).sduz idx ' ( Dw.&1 / Rw ( 1 / R idx ' F" idx % 2 / &1 ( ).sduz idx ' $ Dw.&1 / Rw ( 1 / R idx ' Calculul parametrilor cvasi-statici (PCS) ai contactului punctual descris de perechea (r,j,idx), se realizeaz folosind elementele specifice contactului lastic Hertzian punctual. Principalii parametri !i rela iile de calcul sunt prezentate în tabelul A.1.2. Tabel. A.1.2. Func ii utilizate pentru calculul parametrilor cvasi-statici ai contactului punctual elastic Rela ie de calcul Observa ii Parametrul 2 2 Modulul de elasticitate 2 0 1 ( 11 1 ( 1 2 E1,2 = modulul de elasticitate al corpului 1 . + % $ echivalent al corpurilor E0 respectiv 2 E2 , / E1 aflate î n contact 11,2 = coeficientul lui Poisson, corespunz tor corpului 1 !i / sau 2 3 Integralele eliptice de 2 prima !i a doua spe F(e) = integrala eliptic de prima spe E(e) % 2 1 ( e2 5 sin2 4 5 d4 , E(e) = integrala eliptic de a doua spe 0 3 2

F(e) %

2 0

d4 1 ( e 2 5 sin 2 4

Ryidx < Ry Rxidx < Rx

Elipticitatea domeniului 1 e % 1( 2 , de contact k ; Ry 8 k % 1.0339 9 6 : Rx 7

Semi-lungimea de contact

elipsei

; 35Q 8 a % a* 5 9 6 9: E0 5 * " 67

1

1 3

; 83 2 9 a% 5E(e)6 9 35(1(e2) 6 : 7 *

1

Semi-l imea elipsei

Deforma ia central

0.636

1

2 ; 83 25(1(e ) 9 b% 5E(e)6 9 3 6 : 7

; 35Q 83 b % b* 5 9 6 9: E0 5 * " 67

*

1

2

elastic

; 35 Q 8 3 *" = % = *5 9 6 5 2 9: E0 5 * " 67

2 83 ; 3 5 ( 1 ( e )6 2 = % 5F(e)59 3 9 25E(e) 6 : 7 Q = sarcina normal î n contact *

Presiunea î n centrul 3 Q >0 % 5 elipsei de contact 2 35a 5b 2 2 Legea distribu iei de punct de coordonate @,? aflat in interiorul @ ? p(@,?)%>05 1(0. -+ (0. -+ presiune domeniului de contact /a, /b, Pentru calculul integralelor eliptice, î n programul RBL4, Legrand [1997], utilizeaz urm toarele func ii de interpolare:

&

' &

'

F( x ) % a 0 $ a 1 .x 1 $ a 2 .x 2 $ a 3 .x 3 $ a 4 .x 4 ( b 0 $ b 1 .x 1 $ b 2 .x 2 $ b 3 .x 3 $ b 4 .x 4 . ln( x )

&

' &

'

E( x ) % c 0 $ c1 .x $ c 2 .x $ c 3 .x $ c 4 .x ( d 0 $ d 1 .x $ d 2 .x $ d 3 .x $ d 4 .x 4 . ln(x ) 1

2

3

4

1

2

3

unde: x % 1 / k , 2

Valorile coeficien ilor din ecua iile F(x) !i E(x) sunt indicate î n tabelul A.1.3.

pag.164

Tabel A.1.3. Coeficien i utiliza i î n calculul integralelor eliptice (Legrand [1997]) Coeficientul 0 1 2 3

4

a b c d

0.014511962 0.00441787012 0.0173650645 0.00526449639

1.38629436 0.5 1.0 0.0

0.0966634436 0.124985936 0.443251415 0.249983683

0.035900238 0.0688024858 0.0626060122 0.0920017004

0.0374256371 0.0332835535 0.0475738255 0.0406969753

Func iile de interpolare prezentate anterior sunt utilizate la INSA Lyon în aplica ii precum BB10, RBL4, Quasar+ !i BB20. Deoarece rela ia de calcul utilizat pentru determinarea rigidit ii unui contact punctual, prezentat de Harris [1991] nu este aplicabil tuturor tipurilor de structuri SRB (spre exemplu: rulmen i cu role ceramice), s-a dezvoltat o nou rela ie de calcul aplicabil oric rui tip de rulment cu contacte punctuale sau lineare. K idx %

3. 2 . E (e) .E0

&

' *"

k.3.F(e). F(e) . 1 ( e 2 .

(A1) idx

pag.165

Anexa 2. Matricea de rigiditate a unei structuri SRB cu contacte punctuale cu inelul exterior rigid Anexa 2.1. Componentele matricei de rigiditate neconsierând efectului momentului giroscopic Rigiditatea unei structuri SRB este func ie de componentele vectorilor „deplasare a centrului de mas al corpului de rostogolire”(DCMRj). Matricea de rigiditate a structurii se ob ine prin derivarea ecua iilor de echilibru ale rolelor !i inelelor mobile ale structurii î n raport cu deplas rile individuale specifice. Aceste deplas ri sunt func ii de perechea (r,j,idx,da,dr,uxj,uzj). In scopul simplific rii scrierii componentelor matricelor de rigiditate perechea (r,j,idx,da,dr,uxj,uzj) a fost notat (…). Not : Nota iile introduse sunt valabile numai î n cadrul anexei 2 (fiind variabile locale pentru un cod de calculator) Pentru o rol j, având contacte punctuale ecua iile de echilibru de for e sunt: ECFA = * Q(...). sin(A(...)).sdux idx = 0 idx

ECFR =

* Q(...). cos(A(...)).sduz

idx

$ FC =0

(A1)

idx

Utilizând elementele prezentate figura 4.12, au fost defini i urm torii parametri: da " dx dr = dz.cos(B)+dy.sin(B) R 1, 2 % P1, 2 O w ,;

R 3, 4 % 0 ;

U01, 2 % (OZ, P1, 2 O w ) ;

U 0 3, 4 % 0 ;

U 1, 2 % U01, 2 ( sdx 1, 2 .&) z . sin(B ) $ ) y . cos(B) ' ; rot % ) z . sin(B ) $ ) y . cos(B ) ;

U 1,2 % 0 ; UTidx % U0 idx - rot ;

L j,idx % Pj,idx Ow . Folosind elementele definite anterior se poate scrie rela ia sarcin deforma ie: Q(...) % K j,idx .=(....)1.5 î n care: =(....) % X(...) 2 $ Z(...) 2 ( L j,idx X(...) % (L j,idx ( SDLj,idx ).sin(C idx ) $ da.sdxidx ( ux j .sduxidx - sdxidx .R idx .[sin(U0idx ) - sin(UTidx )]

Z(...) % (L j,idx ( SDL j,idx ).cos(C idx ) $ dr.sdzidx ( uz j .sduzidx - sdxidx .R idx .[cos(U0idx ) - cos(UTidx )] Se calculeaz unghiul de contact cu rela ia: 0 X(...) A(...) % arctan. + / Z(...) , Prin derivarea ecua iilor A1 î n raport cu (ux,uz)j rezult matricea de rigiditate a rolei j:

pag.166

; DEFCA DEFCA 8 Duz 6 9 Dux 6 M[j] = 9 9 DEFCR DEFCR 6 9: Dux Duz 67 j

(A2)

î n care: 2 ; 1,5.X.T äidx äidx T 2 8 K .= 0.5 .sdux idx DEFCA % * idx idx ( $ sdux.9( 6 Dux j idx Z.XZ 7 j Z XZ : (ä $ L).

0.5 ; 1,5.X K sdux idx .sduz idx .= idx = .T = T 3 8 DEFCA % * idx .9( $ idx ( idx 6 Duz j idx Z. Z.XZ. 7 j XZ : (= $ L). 0.5 K sduz idx .sdux idx = idx = .T 8 ; 1,5.X DEFCR % * idx .9( $ idx 6 Dux j idx XZ : (= $ L). Z.XZ. 7 j 2 0.5 ; 1,5.Z K sduz idx .= idx =. T 2 8 DEFCR % * idx .9( ( idx 6 Duz j idx XZ : (= $ L). Z.XZ. 7 j

T= X / Z , XZ= 1+T2 cu X = X(…), Z = Z(…) !i

idx=

(…)

Rezolvarea sistemului de ecua ii A1 având matricea de rigiditate A2 s-a realizat utilizând metoda Newton-Rapson, Valeriu I. [1996], rezultând lista (ux, uz)j. Pentru cazul ORR, într-un sistem cu cinci grade de libertate (5 DOF), sistemul de ecua ii de echilibru al inelului interior este: Z (1

2

Fa % * * Q(...). sin(A(...)).sdx idx j% 0 idx %1 Z (1

2

Frz, y % * * Q(...). cos(A(...)). cos, sin(B j ).sdz idx j% 0 idx %1 2

2

M z % * * Fx (...).b y (...).sdx idx $ * * Fz (...).b x (...).sdx idx j idx %1

j idx %1

2

2

M y % * * Fx (...).b z (...).sdx idx $ * * Fy (...).b x (...).sdx idx j idx %1

(A3)

j idx %1

unde : Fx (...) % K idx .=(...) n . sin(A(...)).sdx idx Fy (...) % K idx .=(...) n . cos(A(...)). sin(B( j)).sdz idx Fz (...) % K idx .=(...) n . cos(A(...)). cos(B ( j)).sdz idx b x (...) %

Dw . sin(A idx (...)) 2

; dm Dw 8 ( b z (...) % 9 . cos(A idx (...)) 6. cos(B j ) 2 2 : 7

; dm Dw 8 b y (...) % 9 ( . cos(A(...)) 6. sin(B j ) 2 : 2 7 Pentru o structur SRB – apreciat î n 5 DOF, matricea de rigiditate a inelului interior corespunz toare rândului r este:

pag.167

; DFa 9 Dda 9 9 DFrz 9 Dda 9 DFry M%9 9 Dda 9 DMz 9 Dda 9 9 DMy 9: Dda

DFa Ddz DFrz Ddz DFry Ddz DMz Ddz DMy Ddz

DFa Ddy DFrz Ddy DFry Ddy DMz Ddy DMy Ddy

DFa D)z DFrz D)z DFry D)z DMz D)z DMy D)z

DFa 8 D)y 6 6 DFrz 6 D)y 6 DFry 6 6 D)y 6 DMz 6 D)y 6 6 DMy 6 D)y 67

(A4)

Componentele matricei M sunt: DFa

G DJI= F H dx,dz,dy,)z,)y E 2 0.5 2 2 2 ; 1.5.X idx 8 K sdx idx .= idx = idx .Tidx DFa % * * idx $ = ( .9 idx 6 XZ idx 7 Dda j idx %1 Z idx . XZ idx : &= idx $ L idx ' 0.5 .5 .5 3 2 .X idx .sdz idx =1idx .Tidx .sdz idx =1idx .Tidx .sdx idx 8 K idx sdx idx ;1.5.= idx DFa %** ( $ .9 6. cos, sin(B j ) Ddz, dy Z idx Z idx .XZ idx . 7 XZ idx : &= idx $ L idx '. j idx %1 0.5 2 2 0 2 -8 DFa K sdx R ;1,5.=idx .Tidx.Zidx &sin(UT) ( Tidx cos(UT)' $ CTS..=1idx.5 .. Tidx (1+6.sin2 , cos2 (B j ) % * *. idx idx 9 Dd)z, )y j idx%1 XZidx Zidx . 9 / XZidx ,67 : =idx $ Lidx

DFz

G DJI= F dx , dz , dy , ) z , ) y H E 0.5 2 .X idx .sdx idx =1idx.5 .Tidx .sdx idx 8 K sdz idx ;1.5.= idx DFz ( % * * idx .9 6. cos(B j ) Dda Z idx .XZ idx 7 XZ idx : &= idx $ L idx ' j idx %1 2 0.5 2 ;1.5.= idx =1.5 .T 2 8 K sdz idx .Z idx DFz % * * idx $ idx idx 6. cos, sin(B j ) .9 Ddz, dy XZ idx : &= idx $ L idx ' Z idx .XZ idx 7 j idx %1 0.5 2 8 R.cos(B) ; 1,5.=idx DFz &( Xidx.cos(UT) $ Zidx sin(UT)' $ CTS. =idxTidx 6.sin,cos(B j ) % * * Kidxsdxidx. 9 Zidx.XZidx 7 Dd)z, )y XZidx Zidx. : =idx $ Lidx j idx%1

DFy G DJI= F ) ) y dx , dz , dy , z , H E 0.5 .5 2 ; 1.5.= idx .X idx .sdx idx =1idx .Tidx .sdx idx 8 DFy % * * K idx sdz idx .9 ( 6. sin(B j ) Dda j idx %1 :9 &= idx $ L idx '. XZ idx Z idx .XZ idx . XZ idx 76 2 2 K idx sdz idx DFy %** Ddz, dy XZ idx j idx %1

0.5 .5 2 ;1.5.= idx 8 .Z idx =1idx .Tidx .9 $ 6. sin(B j ). cos, sin(B j ) : &= idx $ L idx ' Z idx .XZ idx . 7

0.5 2 8 R. sin(B) ; 1,5.=idx DFz &( Xidx. cos(UT) $ Zidx sin(UT)' $ CTS. =idxTidx 6. sin, cos(B j ) % * * Kidxsdxidx. 9 Zidx .XZidx 7 Dd)z, )y XZidx Zidx. : =idx $ Lidx j idx %1

Componentele DMy,z / D{ } sunt scrise in func ie de urm torii parametri: pag.168

0 T 2 - Dw . . 1( % Z XZ / XZ +, 2 idx idx - Dw Db x sdz.T. cos, sin(B) 0 T 2 .. % ( 1+ Ddz, y idx Z XZ / XZ , 2

Db x Ddx

sdx

Db x Dd)y, )z Db z , y Ddx

%

R.sdx. cos, sin(B ) Z. XZ

idx

% idx

T.Dw.sdx 2.XZ.Z. XZ .

idx

0 T2 - Dw .CTS.. ( 1+. / XZ , 2

idx

. cos, sin(B ) idx

Db z ( T .Dw.sdz. cos(B ) . cos, sin(B ) % Ddz, y idx 2.XZ.Z. XZ . idx 2

Db y Ddz, y idx Db z , y Dd)y

% idx

Db z , y Dd)y

%

% idx

( T 2 .Dw.sdz. sin(B ) . cos, sin(B ) 2.XZ.Z. XZ. idx ( T.R.Dw.sdx. cos(B) 2.XZ.Z. XZ . ( T.R.Dw.sdx. sin(B) 2.XZ.Z. XZ .

CTS. cos, sin(B ) idx

CTS. cos, sin(B ) idx

unde : CTS % cos( UT) $ T. sin( UT) OBS: In descrierea componentelor matricei de rigiditate a unei structuri SRB cu un singur rând de corpuri de rostogolire având idx contacte s-a folosit nota ia (,). Modalitatea de scriere adoptat se datoreaz diferen elor relativ reduse între componentele matricei de rigiditate, asigurând lizibilitatea rela iilor prezentate. In cazul analizelor corespunz toare cazurilor IRR !i IOE, scrierea matricei de rigiditate se face î n mod asem n tor, diferen ele care apar fiind datorându-se vectorilor DCMRj !i vectorilor deplasare ale c ilor de rulare. Utilizând metoda de descriere prezentat !i modalitatea de formare a geometriei rulmen ilor cu dou rânduri de corpuri de rostogolire, (cap.2) se poate descrie matricea de rigiditate în 9DOF a unei structuri SSRB. Anexa 2.2. Componentele matricei de rigiditate ale unei role consierând momentul giroscopic In cazul î n care exist condi ii de apari ie a mi!c rii giroscopice a unei bile, ecua iile de echilibru ale acesteia devin: ECFA =

" Q( j, idx, da, dr, ux, uz). sin(%( j, idx,....)).sdux

idx

idx

ECFR =

" Q( j, idx, da, dr, ux, uz). cos(%( j, idx,...).sduz

idx

$ #. cos( j, idx ).smgx idx ! = 0

$ #. sin( j, idx ,...).sgmz idx ! $ FC =0

(2.1)

idx

unde smgxidx=[-1,-1,1,1] smgzidx=[1,-1,-1,1]

pag.169

#.Q( j, idx ,...) '

2.MG Q(....) 2.MG . ' &. dw " Q( j, idx ,...) dw idx

#'

2.MG " Q( j, idx,...).dw idx

idx=1..4 Matricea de rigiditate a bilei, devine :

- .EFCA + M[j] = + .ux .EFCR + , .ux

.EFCA * .uz ( .EFCR ( ( .uz ) j

unde:

- 1,5.ä 0.5 .X.T.sdux ä 1.5 .sdux ä 1.5 T 2 .sdux * / $ A1 ' K idx .+/ ( $ ( ä L). XZ Z. XZ Z.XZ. XZ ) j,idx ,

- 1,5.0 0.5 .X.sduz 01.5 .T.sduz 01.5 T 3 .sduz * A 2 ' K idx .+/ $ / ( Z. XZ Z.XZ. XZ ) j,idx , (0 $ L). XZ - 1,5.0 0.5 .X.sdux 01.5 .T.sdux * R1 ' K idx .+/ $ ( ( 0 $ L ). XZ Z.XZ. XZ ) j,idx , - 1,5.0 0.5 .Z.sduz 01.5 T 2 .sduz * R 2 ' K idx .+/ / ( , (0 $ L). XZ Z.XZ. XZ ) j,idx .EFCA ' " A1idx sdux $ #." R1idx smgx .ux j idx idx

.EFCA ' " A 2 idx sdux $ #" R 2 idx smgx .uz j idx idx .EFCR ' " R1idx sduz. $ #." A1idx smgz .ux j idx idx

.EFCA ' " R 2 idx sduz $ #." A 2 idx smgz .uz j idx idx

pag.170

Anexa 3. Parametri suplimentari utiliza i î n modelul cvasi-dinamic (cu considerarea prezen ei lubrifiantului) Anexa 3.1. Parametri adimensionali Parametrii adimensionali de sarcin , de vitez si de material, descri!i de Dowson [1961] sunt necesari pentru calculul grosimii centrale !i a grosimii minime a filmului de lubrifiant. Cercet rile ini iate de Dowson [1961 !i 1966], au fost continuate pe parcursul urm toarelor patru decenii de numero!i cercet tori, nume consacrate fiind :Hamrock [1976, 1977], Zhu !i Hu [2000, 2001, 2002] !i au condus la stabilirea rela iilor de leg tur între grosimea filmului de lubrifiant în func ie de sarcin , viteza de rostogolire !i materialul copurilor în contact, cu considerarea !i a unor influen e precum, lipsa de lubrifiant (starvare), regim termic. Sunt astfel consacra i urm torii parametri adimensionali: !"parametrul adimensional de material o G ' 1 p .E0 !"parametrul adimensional de vitez o U ' 4(T,0).u / 2E 0.Ry 3 !"parametrul adimensional de sarcin o W ' Q / 2E0.R 2y 3

Anexa 3.2. Parametri utiliza i î n calcul tensiunilor de forfecare din lubrifiant Parametrii lubrifian ilor utiliza i î n calculul coeficien ilor de corec ie ai filmului de lubrifiant !i a tensiunii de forfecare î n lubrifiant sunt prezenta i î n tabelul urm tor Parametrul conductivitatea termic a uleiului conductivitatea termic a suprafe elor solide, densitatea suprafe elor solide c ldura specific a suprafe elor metalice semil imea benzii de contact viteza medie î n contact a suprafe elor î n mi!care relativ tensiunea tangen ial a lubrifiantului „ini ial ”

Nota ie KL Ks 5s Cs b v=(v1+v2)/2

unitate de m sur W/m(0C) W/m(0C) Kg/m3 J/Kg oC m m/s

60

Pa

pag.171

Anexa 3.3. Vâscozitatea lubrifiantului utilizat pentru valid rile experimentale ale analizei cvasidinamice. A fost utilizat rela ia (5.2), reprezentarea gradic fiins dat î n figura A.3.1. 0.2 0.18

Vascozitatea dimanica, Pa.s

0.16 0.14 0.12

4T 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0

10

19

28

37

46

55

64

73

82

91

100

T Temperatura, grd C

Fig. A.3.1. Varia ia cu temperatura a vâscozit ii dinamice pentru lubrifiantul H46 Varia ia coeficientului de piezovâscozitate cu temperatura !i presiunea este prezentat î n figura A.3.2. 3 10

1 T , 100

2.7 10 2.4 10

1 T , 300

2.1 10

1 T , 500 1.8 10 1 T , 700 1 T , 1000 1 T , 1500

1.5 10 1.2 10 9 10 6 10 3 10

8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 0

10

19

28

37

46

55 T

64

73

82

91

100

Fig. A.3.2.Varia ia cu temperatura !i presiunea a coeficientului de piezovâscozitate

pag.172

Anexa 4. Elemente geometrice ale rulmen ilor utiliza i î n analize numerice !i experimentale Elemente geometrice ale rulmen ilor cu bile, (utiliza i pentru validarea modelului de calcul a cinematicii structurilor SRB) Tabel A4.1. Parametri geometrici ai structurilor 4PCBB-13 !i 4PCBB-1234 Parametru / tip structur 4PCBB-13 4PCBB-1234 Num r de bile, Z 16 20 Diametrul bilei, dw , mm 7.938 19.05 Diametrul mediu, dm, mm 50 149 Joc diametral, #m 79 150 Conformitatea inelului interior, fi 0.525 0.525 Conformitatea inelului exterior, fe 0.51 0.51 Unghiul de cale interior, deg 20 Unghiul de cale exterior, deg 30 Starea suprafe ei bilei, #m 0.15 0.15 Rugozitatea c ilor de rulare, #m 0.05 0.05

Elemente geometrice ale rulmentului radial oscilant cu role butoi pe dou rânduri (utilziat î n analizele numerice !i î n valid rile experimentale). Tabel A4.2. Elementele geometrice ale structurii SRB22212C: Parametru / tip structur SRB-22212C Num r rânduri 2 Num r de role / rând, Z 18 Diametrul mediu al rolei, dw , mm 12.5 Diametrul mediu, dm, mm 85.077 Raz profil inel interior, Ri 50 Raz profil inel exterior, Ro 79.75 Raz profil rol , R 48.8 Unghiul de contact geometric 9.21 Starea suprafe ei rolei, #m 0.16 Rugozitatea c ilor de rulare, #m 0.32

pag.173

Anexa 5. Detalii privind punctele caracteristice considerate î n analiza structurilor SRBDBB

7=0 87 = 0 Z

r=2 11

ORR case r=1

.

Z2

Z1

. Sd/4

O i

X1

Ri

Fz 0z

Rin

10

.

O i

Fz 0z

10 Rou

X O

Fy

0y

X O 9y My

Y

O i

Ow Oe 9z Mz

Ow Oe

.

Sd/4

r=1

Z

O Ow i Oe 9z Mz Rin

Ow Oe

.

d/2

7=0 87 = 0

r=2

r=1

Z Ro

X2

7=0 87 = 0

r=2

IRR case

Fx 0x

Fy

Rou

0y

X O 9y My

Y

Fx 0x

Fig.A5.1. Puncte caracteristice specifice structurii SRB-DBB1

r=2

7=0 87 = 0 Z

ORR case r=1 Z1

Z2 Ro Sd/4 Sd/4 .

X2

X1

0z Fz Oi Ow Oe 10

IRR case 7=0 r = 2 87 = 0

9z Mz Z O i

0z Fz Oi Ow Oe

Ow Oe

Ri .

Z O i 9z Mz

Ow Oe

10

.

d/2

r=1

11

Rin

X

Fy

O Y

Rin

Rou

0y

X O 9y My

Fx 0x

Fy Y

Rou

0y

X O 9y My

Fx 0x

Fig.A5.2. Puncte caracteristice specifice structurii SRB-DBB2 pag.174

r=2

ORR case

7=0 87 = 0 Z

r=1 Z1

Z2 .

Oi Ow Oe

X1 X2

O i Ow Oe

10

.

Rin

X

Fy

O Y

O i Ow Oe

Oi Ow Oe 10

Ri

d/2

9z Mz Z

0z Fz

.

Sd/4

9z Mz Z

0z Fz

Ro

Sd/4

IRR case

Rin

Rou

0y

X O 9y My

Fy

Fx 0x

Rou

0y

Y

X O 9y My

Fx 0x

Fig.A5.3. Puncte caracteristice specifice structurii SR- DBB3

r=2

ORR and IRR cases

7=0 87 = 0 Z

r=1 Z1

Z2 R X2 o

.

Sd/4

r=2

. .

d/2

X1

Fz 0z

Oi Ow

Oi 9z

Ow

10

10

.

.

Rin = Rou

R X O=Oe

r=1

Z

Ri Sd/4

7=0 87 = 0

Fy

0y

X O=Oe 9y

Y

Fx 0x

Fig.A5.4. Puncte caracteristice specifice structurii SRB-DBB4

pag.175

DBB1 IRR case

ORR case 7=0

r=2

Z 0x O' i 0z O i

Oe 9y

0x O' i 0z Oi Oe

9z

9y

Rin

7=0

r=2

r=1

Z O 0x i Oe' 0z Oe

0z

X

0x Oe' O i Oe

9y Rou

Rin

O

r=1

9y Rou

X

O

Fig.A5.5. Elemente geometrice considerate î n calculul rigidit ii structurii SRB-DBB1, specifice cazurilor "ORR" !i "IRR"

DBB2 IRR case

ORR case 7=0

r=2 0x 0z Oe

Z0 x 0z

O'i O i 9y

O

r=1

Z

Oi' 0x Oe'

Oi

9z Rin

7=0

r=2

r=1

Oe

Rin

0z

0z 0x ' Oe O i

O i

Oe 9y

9y Rou

X

O

Oe

Rou

X

Fig. A5.6. Elemente geometrice considerate î n calculul rigidit ii structurii SRB-DBB2, specifice cazurilor "ORR" !i "IRR" pag.176

DBB3 IRR case

ORR case 7=0 r=1 0x 0x Z O'i O' 0 0z Oi i z Oi Oe

9y

9y Rin

7=0

r=2

r=2

Z 0x

Oi 0z

Oe'

9y

Rin

0x 0z 9y

Rou X

O'e Oe

Oe

Oe

O

r=1

Rou X

O

Fig.A5.7. Elemente geometrice considerate î n calculul rigidit ii structurii SRB-DBB3, specifice cazurilor "ORR" !i "IRR"

DBB4 IRR case

ORR case 7=0

r=2 0x

O'i

Z

0x

Rin

7=0

Oi

Oi

Rin Rou

Rou

0x Oe

r=1

Z

O'i

0z Oi

0z Oi

r=2

r=1

X

0z Oe

O'e X

Fig.A5.8. Elemente geometrice considerate î n calculul rigidit ii structurii SRB-DBB4, specifice cazurilor "ORR" !i "IRR" pag.177

Anexa 6. Influen a for elor de frecare asupra distribu iei de tensiuni din interiorul c ii de rulare. In cazul consider rii unei sec iuni a domeniului de contact rol - cale de rulare, presupus liniar, înc rcat cu sarcina normal p(s) !i sarcin tangen ial q(s), conform figurii A6.1, evolu ia tensorului tensiune pentru un punct A(x,z) este descris de rela iile: ( Johnson K.L [1985]): 2 3 a a ? 2 @ z p 2s 3 @ 2 x / s 3 @ ds 2 q2s 3 @ 2 x / s 3 @ ds / < Cx ' / B /Ab 2 x / s 32 $ z 2 2 B /Ab 2 x / s 32 $ z 2 2 < a a < 2 @ z3 2 @ z 2 q 2s 3 @ 2 x / s 3 @ ds p 2s 3 @ ds C ' / / > z B /Ab 2 x / s 32 $ z 2 2 B /Ab 2 x / s 32 $ z 2 2 < 2 a a < 2 @ z 2 p 2s 3 @ 2 x / s 3 @ ds 2 @ z q2s 3 @ 2x / s 3 @ ds / <6 xz ' / B /Ab 2 x / s 32 $ z 2 2 B /Ab 2 x / s 32 $ z 2 2 <=

:

;

:

;

:

;

:

;

:

;

:

;

b

a

ds p(s)

q(s) B s

x C(x,0) r A(x,z)

z Fig. A6.1. Sec iune a domeniului de contact î nc rcat cu sarcin normal !i sarcin tangen ial distribuit In cazul contactului dintre o rol !i o cale de rulare distribu ia sarcinii normale de contact este determinat prin utilizarea rela iilor 4.10. Vitezele de alunecare !i a sarcina normal la contact produc for e de tangen iale distribuite în sensul direc iei de rostogolire. For ele tangen iale sunt func ii de parametrul de ungere &. Pentru contactul hertzian punctual !i pentru cazul general al contactului nehertzian nu exist rezolv ri teoretice, fiind necesare analize numerice (Cre u Sp. [2002a, 2002b], Polonsky I.A, Keer L., M [1999, 2000], Liu S, Wang Q [2002] ). Pentru analiza st rii de tensiuni î n cazul contactului liniar a fost realizat un cod de calcul î n limbajul Borland Delphi care transfer date c tre c tre programul Math Cad. In figurile A6.2 – A6.3 se prezint pag.178

efectul for ei de frecare asupra modific rii tensiunii echivalente Von – Misses , Johnson [1985], pentru dou valori diferite ale coeficientului de frecare. Graficele prezentate corespund î nc rc rii statice !i respectiv func ion rii rulmentului. 4 3.75

0.204

3.5 0.204

3.25

0.255

3

0.255

2.75 0.306 2.5 0.255

2.25 2

0.357

0.357

0.306

1.75

0.306 0.255

0.408

1.5

0.255

0.459

0.408

1.25 0.51

1 0.75

0.204

0.5

0.153

0.561

0.306 0.357 0.459 0.51 0.459

0.25

0.357 0.51 0.459 0.306 0.204 0.408 0.255 0.153

0 2

M

1.75 1.5 1.25

1

0.75 0.5 0.25 0

0.25 0.5 0.75

1

1.25 1.5 1.75

2

T

Fig. A.6.2. Evolu ia tensiunii echivalente Von – Misses pentru cazul î nc rc rii statice, #=0 sau &>3 4 3.75

0.216

3.5 3.25

0.216 0.27

3

0.27

2.75 2.5

0.324

2.25 0.27

2 0.216 1.75

0.324

0.378

0.378 0.432

0.324

1.5 0.486

1.25 1

0.432

0.54

0.75 0.27 0.378 0.486 0.108 0.216 0.054 0.162 0.378

0.5 0.25

0.54

0.594

0.432 0.54 0.378 0.27 0.486 0.324 0.216

0 2

M

1.75 1.5 1.25

1

0.75 0.5 0.25 0

0.25 0.5 0.75

1

1.25 1.5 1.75

2

T

Fig. A.6.3. Evolu ia tensiunii echivalente Von – Misses pentru cazul î nc rc rii statice, #=0.2 sau &<0.5

pag.179

BIBLIOGRAFIE 1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

16. 17. 18. 19.

20.

21. 22. 23. 24.

25. 26.

Aihara S, - (1987) - „A new running Torque formula for tapered roller bearings under axial load”, Journal of Tribology, July 1987, vol 109, pp.471-478 Akiyoshi Honda, Akio Miyasaka and Masahide Matsubara – (2000) – “EA Spherical Roller Bearings”, Motion & Control No. 9, October Aramaki, H., Cheng, S.H., Chung Y. W, - (1993) - „The contact between rough surfaces width longitudinal texture – Part I: Average Contact Pressure and Real Contact Area”, Journal of Tribology, vol 115 p. 419-424 Bair S. & Winer W.O., -(1979)-“Rheological Response of Lubricants in EHD Contacts,” in Elastohydrodynamics and Related Topics, Proceedings of 5th Leeds-Lyon Symposium on Tribology, Leeds, UK, 1978, Dowson et al. ed., Mechanical Engineering Publication Ltd, London, pp.162-169. Bair S. & Winer W.O.,-(1979)- “Shear Strength Measurements of Lubricants at High Pressure,” ASME Journal of Lubrication Technology, Vol. 101, Series F, n°3 , pp.251-257. Barus C,- (1893) - „Isotherms, Isopiestics and Isometrics to Relative Viscosity”, Am. J.Sci, p.87-96, Vol 45 Bercea, I,- (1996) - „Contributii privind optimizarea cinematicii si dinamicii rulmentilor radial-axiali cu role conice”, Teza de doctorat, U.T. Iasi Bercea I, Olaru D, - (1998) - „Tribologia sistemelor mecanice”, Iasi Bercea I,- (2002) - „Basic Elements and Currrent Trends in Tapered Roller Bearings Tribology”, Ed. Tehnopress, Ia!i Boness R.J.,-(1970)- “The Effect of Oil Supply on Cage and Roller Motion in a Lubricated Roller Bearing,” ASME Journal of Lubrication Technology, Paper 69-LUB 8-73, Vol. 92, Series F, n°1, pp.39-53. Brandlein, J., Markfelder, G., Volkening, W, -(1980)- „Moderne Entwienklug bei Pendelrollerlagern”, Antreibstechnick, no.4 Brown S.R. & Poon S.V., -(1983) -“The Lubrication of the Roller-Rib Contacts of a Radial Cylindrical Roller Bearing Carrying Thrust Load,” ASLE Transaction, Vol. 26, n°3 , pp.317-324. Buzdugan Gh., Bel! A, s.a –(1991) – „Rezisten a materialelor. Aplica ii”, Ed. Academiei Române, Bucure!ti Coe H.H, Hamrock B.J., -(1977) – „Performance of 75 millimetr bore arched outer-race ball bearings”, Trans of ASME, july, p.346-353 Cre u Sp., Bodi Gh., Farca! FL –(1986)- „The Improvement of Lubrication Conditions of the Rib-Roller End Contact of Cylindrical Roller-Bearings of the Basis of the Elastohydrodynamic Theory”, Bul. IPI, Fasc.1-4, Tomul XXXII (XXXVI) , 23-28 Cre u Sp., -(1989)- „” Lubrication Regimes at the Rib-Roller End Contact of Cylindrical Roller Bearings”, Bul. IPI, Tomul XXXV (XXXIX), Fasc. 3-4, p.19-30 Cre u Sp, Bercea I, Mitu N, - (1995) -„A dynamic analysis of tapered roller bearing under fully flooded conditions. Part 1: Theoretical Formulation”, Wear, p.1-10 Cre u Sp., -(1996) –„Initial Plastic Defformation of Cylindrical Roller Generattrix Stress Distribution Analysis”, Acta Tribologica, vol 4, p.1-6 Cretu Sp, Bercea I, Bercea M, Rezmires D,- (1997) - „Theoretical an experimental simulating roller cage pocket friction in a tapered roller bearings”, Proceeding of the 11th Int. Colloqium Tribology, Stuttgart (Germany), January 13-15, p.663-643 Cretu S., Prisacaru G., Bercea I. , Mitu N.,-(1998)- “The Effect of Rib-Roller End Contact Geometry on Friction Torque in a Cylindrical Roller Bearings,” 11th International Colloquium on Tribology, Esslingen (Germany), January 13-15, pp.617-631. Cretu Sp, D. Rezmires, I. Bercea –(1999)- „The effect of the different combined loads on the surface and subsurface stresses in a tapered roller bearing”, Balckantrib’99, Sinaia, p.63-69 Cretu Sp.,- (2002a) - „Mecanica Contactului”, Editura Gh Asachi Ia!i Cretu Sp., Antaluca E.- (2002b) - „A comparative study on munerical methods used to obtain pressure distribution in non – hertzian concenrtrated contacts”, PRASIC 2002, Brasov Dag Fritzon, Peter Fritzson, Lars V. Johan H. –(1995) – „Object-Oriented Method Mathematical Modelling – Applied ot Rolling Bearings”, -Computer Algebra in Industry 2 Edited by A.M. Cohen L. Van Gastel and S.M. Verduyn Lunel, (c) 1995 John Willey & Soons Ltd Dusserre-Telmon G. & Né lias D.,-(1994)- “Roulements a billes lubrifié s : Contrô le partagé de la bille entre la bague inté rieure et la bague exté rieure”, Revue Franç aise de Mé canique, n°2, pp.155-165. Dowson, D., Higginson, G. R.,- (1961) - “New Roller-Bearing Lubrication, Formula,” Engineering (London), 192, pp 158-159.

pag.180

27. Dowson, D. Higginson G.,- (1966) - “Elastohydrodynamic Lubrication,” Pergamon Press. 28. Dowson, D, Wittaker, D.A,- (1976) - „A numerical procedure for the solution of the EHD problem of rolling and sliding contacts lubricated by a newtonian fluid”, Proc IME, vol 180 29. Dowson D, Dunn J, sa,- (1983) - „The piezo-viscous fluid, rigid solid regime of lubrication”, Mechanical Engineerind Science, 197, p. 43-52 30. Dowson, D,- (1995) - „Elastohidrodynamic and Micro-elastohydrodynamic lubrication”, Wear, 190, p. 125-138. 31. Elsharkawy A.A. & Hamrock B.J.,-(1991)- “Subsurface Stresses in Micro-EHL Line Contacts,” ASME Journal of Tribology, Vol. 113, n°3 pp.645-656. 32. Evans C., Johnson KL,- (1986a) - „The rheological properties of elastohydrodynamic lubricants”, IMCH, vol 200, p.303-312 33. Evans C., Johnson KL,- (1986b) - „Regimes of traction in elastohydrodynamic lubrication”, IMCH, vol 200, p.313324 34. Fabien B., Karl D., Ying Q., André P.,- (2002) - „Mise en oeuvre d’une mé thodologie numé rique dans le cadre du suivi de dé fauts par analyse vibratoire”, Mé canique & Industries p. 79–87 35. Frene J. Nicolas D, Degueurce B, Berthe D., Godet M,- (1990) - „Lubrification hydrodynamique. Palier et Buté é es”. Ed. Eyrolles, Paris, 488p 36. Gafitanu M, Nastase D, Cretu Sp, Olaru D,- (1985) - „Rulmenti. Proiectare si tehnologie”, vol 1, Ed Tehnica, Bucuresti 37. Gecim B. & Winer W.O., -(1980)- “Lubricant Limiting Shear Stress Effect on EHD Film Thickness,” ASME Journal of Lubrication Technology, Vol. 102, Series F, n°2 pp.213-219. 38. Gentle C.R. & Pasdari M.,-(1985)-“Measurement of Cage and Pocket Friction in a Ball Bearing for Use in a Simulation Program,” ASLE Transactions, Vol. 28, n°4 ,, pp.536-541. 39. Greenwood, J.A,- (1985) - „Formulas for moderately elliptical Hertzian contacts”, ASME J. Tribol, 107, 501-504 40. Gupta K,- (1979a) - „Dynamics of rolling element bearings, Part I: Cylindrical roller bearing analysis”, Transactions of the ASME, vol.101, p.293-304 41. Gupta K,- (1979b) - „Dynamics of rolling element bearings, Part II: Cylindrical roller bearing results”, Transactions of the ASME, vol.101, p.305-311 42. Gupta K.,- (1979c) - „Dynamics of rolling element bearings, Part III: Ball bearing analysis”, Transactions of the ASME, vol.101, p.312-318 43. Gupta K.,- (1979d) -„Dynamics of rolling element bearings, Part IV: Ball bearing results”, Transactions of the ASME, vol.101, p.319-326 44. Gupta K.,- (1991) - „Modeling of instabilities induced by cage clearances in ball bearings”, Tribology Transactions, vol. 34, 1, p.93-99 45. Gupta, K,- (1983) - „Some Dynamic Effects in High-Speed Solid-Lubricated Ball Bearings”, ASLE Transactions, vol 26, 3, p.393-400 46. Hamrock B.J., Anderson W.J., - (1973) –„Analysis of an Arched Outer-Race Ball Bearing Considering Centrifugal Forces”, Journal of Lubrication Technology, july, p. 265-276 47. Hamrock B.J, - (1975)- „Ball Motion and Sliding Friction in an Arched Outer Race Ball Bearing”, Trans of ASME, april, p.202-210 48. Hamrock, B. J. and Dowson, D.,- (1976,a) - “Isothermal Elastohydrodynamic Lubrication of Point Contacts, Part I—Theoretical Formulation,” ASME Jour of Lubr. Tech., 98, pp 223-229. 49. Hamrock, B. J. and Dowson, D.,- (1977,a) - “Isothermal Elastohydrodynamic Lubrication of Point Contacts, Part 4—Starvation Results”, ASME Jour. of Lubr. Tech., 99, pp l5-23 50. Hamrock, B. J. and Dowson, D. ,- (1976,b) - “Isothermal Elastohydrodynamic Lubrication of Point Contacts, Part 2—Ellipticity Parameter Results,” ASME Jour. of Lubr. Tech., 98, pp 375-383. 51. Hamrock, B. J. and Dowson, D.,- (1977,b) - “Isothermal Elastohydrodynamic Lubrication of Point Contacts, Part 3—Fully Flooded Results,” ASME Jour. of Lubr. Tech., 99, pp 264-276. 52. Hamrock B.J, Brewe D.E,- (1983a) - „Simplified solutions for elliptical contact deformations”, ASME J. Lub Technol, 105, 171-174 53. Hamrock, B.J., Tripp, J.H., - (1983b) – „Numerical Methods and Computer Used in Elastohydrodynamic Lubrication”, Proc. of the 10th Leeds-Lyon Symposium, Lyon 54. Hargreaves, R.A., Higginson, G.R, -(1976) – Some Effects on Lubricant Starvation in Cylindrical Roller Bearings”, Trans. of the ASME, JTL, vol. 98, january, p. 66-72 55. Harris T.A.,- (1966) - „Rolling bearing analysis”, 1th edition 56. Harris T.A.,- (1971)- “An Analytical Method to Predict Skidding in Thrust-Loaded, Angular Contact Ball Bearings,” ASME Journal of Lubrication Technology, Vol. 93, Series F, n°1 pp.17-24. 57. Harris T.A.,- (1983) - „Rolling bearing analysis”, 2nd edition 58. Harris T.A.,- (1991) - „Rolling bearing analysis”, 3rd edition, 1013p

pag.181

59.Harris T.A., Kotzalas M.N. & Yu W.K., -(1998)- “On the Causes and Effects of Roller Skewing in Cylindrical Roller Bearings,” STLE Tribology Transactions, Vol. 41, n°4, pp.572-578. 60. Hauswald T, Houpert L,- (1998, a) - „Simulation numerique et experimentale des performances d’un systeme roulements, arbres et logement. Prise en compte des deformations globales et locales”. , Timken Research Europe, Colmar, France 61. Hauswald T,- (1998, b) - „Comparation de roulements 4 rangees a ecombrement egal”, Timken Research Europe, Colmar, France 62. Houpert L,- (1980) - „Contribution a l’etude de frottement dans un contact EHD”, These de Docteur, Lyon 63. Houpert L, Leenders P., -(1984)- „A Study of Mixed Lubrication Conditions in Modern Deep Grove Ball Bearings”, Proc of the 11th Leeds/Lyon Symposium 64. Houpert L,- (1985,a) - „Fast Numerical Calculations of EHD Sliding Traction Forces; Application to the Rolling Bearings”, Transaction of the ASME, vol 107, p.234-240, april 65. Houpert L,- (1985, b) - „New Results of Traction Force Calculations in Elastohydrodynamic Contacts”, Journal of Tribology, vol 107, p.241-248, apr 66. Houpert L,- (1987) - „Piezoviscous-Rigid Rolling and Sliding Traction Forces, Application: The Rolling Element – Cage Pocket Contact”, Transaction of the ASME, vol 109, p.363-371 67. Houpert, L, - (1997 ) - „Le calcul des roulements, engrenages et carter par elements finis”, Congres SIA, „La dynamique du Vehicule Ferroviare et Terrestre”, Lyon, 68. Houpert L,- (1998) - „Numerical and experimental study of the shaft and housing deflections, and of the relative gear displacements in a transmission”, Timken Research Europe, Colmar, France, 69. Houpert, L,- (2001) - „An engineering approach to Non Hertzian contact elasticity: Part 1. Part 2”. ASME Journal of Trigology, vol 123, pp.582-594 70. Hu, D. and Zhu, D.,- (2000) - “A Full Numerical Solution to the Mixed Lubrication in Point Contacts,” ASME Jour. of Trib., 122, pp l-9. 71. J. de Mul, Vree, J.M, Mass D.A,- (1989, A) - „Equilibrium and Associated Load Distribution in Ball and Roller Bearings Loaded in Five Degrees of Freedom While Neglecting Fricition – Part I: General Theory and Application to Ball Bearings”, Transaction of the ASME, vol 111, p. 142-148, jan 72. J. de Mul, Vree, J.M, Mass D.A,- (1989, B) - „Equilibrium and Associated Load Distribution in Ball and Roller Bearings Loaded in Five Degrees of Freedom While Neglecting Fricition – Part II: Application to Roller Bearings and Experimental Verification”, Transaction of the ASME, vol 111, p. 149-155, jan 73. Jackson A.,- (1981) - „A simple method for determining thermal EHL corection factor for rolling element bearings and gears”, ASLE Transactions, vol 24(2), p.19-163 74. Johnson, K.L., -(1970)– „Regimes of elastohydrodynamic lubrication”, Journal of Mechanical Engineering Science, 12, 9, [335] 75. Johnson K.L,- (1985) - „Contact Mechanics”, Cambridge University Press 76. Johnson, K.L, Greenwood J.A., -(1980)- „Thermal Analysis of an Eyring Fluid ElastohydynamicTraction”, Wear, vol 61, p.353-374 77. Kleckner, R.J., Pirvics, J –(1982) – „Spherical Roller Bearing Analysis”, Journal of Lubrication Technology, 104, p. 99-108 78. Kellstrom, E.M – (1979) –„Rolling Contact Guidance of Rollers in Spherical Roller Bearings” presented at Joint ASME/ASLE Lubrication Conference, Dayton, Ohio, ASME Paper 79-Lub-23 79. Kawamura, H., Touma, K,- (1990) - „Motion of Unbalanced Balls in High-Speed Angular Contact Ball Bearings”, Journal of Tribology, vol 112, p.105-110 80. Krweminski-Freda, Warda, B,- (1996) - „Correction of the roller generators in spherical roller bearings”, Technical University of Lodz, Poland, WEAR, 192, 29-39 81. Legrand E,- (1997) - „Logiciel RBL4. Modelisation des roulements a billes a contact oblique”. Specification technique. Snecma Moteurs. 82. Lefter, D., -(1994a)- Studiu de sintez asupra stadiului actual al cercet rilor teoretice !i experimentale privind cre!terea performan elor rulmen ilor oscialn i cu role butoi pe dou rânduri, Referat 1 la teza de doctorat, Contribu ii la creceterea performan elor func ionale ale rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou rânduri, Ia!i, 1994 83. Lefter, D.,-(1994b)- Cercetari teoretice preliminare si solutii constructive noi pentru cresterea performantelor functionale al rulmentilor radial oscilanti cu role butoi pe doua rânduri. Stand si metodica de testare. Rezultate experimentale preliminare. Referat 2 la teza de doctorat, Contributii la cresterea performantelor functionale ale rulmentilor radial oscilanti cu role butoi pe doua rânduri, Iasi, 1994 84. Lefter, D., -(1999a)- Contribu ii la cre!terea performan elor func ionale ale rulmen ilor radial oscilan i cu role butoi pe dou rânduri, Tez de doctorat 85. Lefter, D., Rezmires D., Cretu, Sp.- (1999b) – „The hollow rollers use – a solution to improve the bearing’s themal regime”, Balckantrib, Snaia, p.31-36

pag.182

86. LiuS., Wang Q., - (2002) – „Studying Contacts Stress Fields Caused by Surface Tractionas with a Discrete Convolution and Fast Fourier Transform Algorithm”, Trans of yhe ASME, Journal of Tribology, vol 124, pp.36-45 87. Matsyama H, Kamamoto S,- (2001) - „Analysis of Frictional Torque in Raceway Contacts of Tapered Roller Bearings”, Koyo Engineering Journal English Edition, No. 159E, p.53-60 88. Mangeron,D., Irimiciuc,N., -(1978)- „Mecanica rigidelor cu aplica ii în inginerie, vol.I: Mecanica rigidului”,Ed.Tehnic ,Bucure ti., 1978 89. Meeks, C.R, Karen O.N.G - (1984a) – „The Dynamics of Ball Separators in Ball Bearings - Part I; Analysis”, ASLE Transactions, vol. 28,3, 277-287 90. Meeks, C.R, Karen O.N.G –(1984b)- „The Dynamics of Ball Separators in Ball Bearings - Part II; Results of Optimization Study”, ASLE Transactions, vol. 28,3, 288-294 91. Molina, M., Sanborn D, Winer O,- (1976) - „Dynamics of Roller Bearings Considering Elastohydrodynamic Forces”, ASLE Transactions, vol 19, 4, p.267-272 92. Naronha, A.P., -(1990)- „Calculated simulation of the operating behaviour os spherical roller bearings”, Industrial Engineering (FAG), p.11-18 93. Nelias D-., - (1994) – Roulements a bille lubrifies: Controle partage de la bille entre la bague interieure et la bague exterieure”, - Bulletin S.F.M, Revue Francaise de Mecanique, no-1994-2 94. Né lias D.,- (1989) - „Etude du glissemenet dans les roulements a billes grande vitesses de turbomachine. – Influence de la pollution du lubrifiant.”, PhD These. 95. Né lias D.,- (1999) - „Contribution a l'é tude des roulements. Modé lisation globale des roulements et avaries superficielles dans le contacts EHD pour des surfaces ré elles ou indenté es”. HdR, INSA de Lyon, 96. Né lias D., Legrand E,- (2001) - „Traction Behaviour of Sone Lubricats Used for Rolling Bearings in Spacecraft Applications: Experiments and Thermal Model Based on Primary Laboratory Data”, STLE/ASME, oct 97. Nijenbanning G., Venner C.H. & Moes H., -(1994)- “Film Thickness in Elastohydrodynamically Lubricated Elliptic Contacts,” Wear, Vol. 176, pp.217-229. 98. Olaru D,- (1992) - „Cercet ri pentru cre!terea tura iei la rulmen ii radiali !i radial-axiali cu bile”, Tez de doctorat, Ia!i 99. Olaru D,- (1995) - „Tribologie. Elemente de baz asupra frec rii, uz rii !i ungerii”, curs litografiat, IPI 100.Olaru D,- (2002) - „Fundamente de lubrificatie”, Ed. "Gh. Asachi", Iasi, 101.Orvos, G.J. Dressler -(1987)- „Development of 3.5. Million Tapered Roller Bearing Cage”, ASLE TRANSACTIONS, vol. 23, 109-120 102.Paleu V., - (2002) –„Cercet ri teoretice !i experimentale privind dinamica !i fiabilitatea rulmen ilor hibrizi”, Tez de doctorat. 103.Polonsky I. A., Keer L.M., - (1999) – „A numerical method for solving contact problems based on the multilevel multisumation and conjugate gradient techniques”, WEAR, 231, pp.206-219 104.Polonsky I. A., Keer L.M., - (2000) – „Fast methods for solving rough contact problems: a comparative study”, Trans of the ASME, Journal of Tribology, vol 122, pp. 36-41 105.Popinceanu N.,Gafi anu M., N stase, H., Diaconescu, E., Cre u Sp., -(1972) –„A study of of roling bearing fatigue life with mineral oil lubrication”, Wear, 222 , p.21 106.Popinceanu, N., Gafi anu, M., Cre u Sp., Diaconescu, E., Hostiuc, L., -(1977)- „Rolling bearing fatigue life and EHL Theory”, Wear, 45, p.17-32. 107.Popinceanu, N.,Gafi anu M, Diaconescu, E.,Cre u,S., -(1985)- „Probleme fundamentale ale contactului cu rostogolire”., Ed. Tehnic , Bucure ti,1985 108.Poplawski J.V., -(1972)-“Slip and Cage Forces in a High-Speed Roller Bearing,” ASME Journal of Lubrication Technology, Paper 71-LUB-17, Vol. 94, Series F, n°2, pp.143-152. 109.Prisacaru G., Cretu S., Né lias D. & Slevoaca G., -(1999)- “Roulements a rouleaux cylindriques a capacité de charge axiale,” Actes des Journé es Francophones Internationales 1999 de la STF, Roulements, Toulouse, 5-7 mai 110.Prisacaru Gh,- (1997) - „Studiu si cercet ri privind optimizarea geometriei interne a rulmentilor radiali cu role cilindrice cu încarcare complex ”, Teza de doctorat, Iasi, 111.Prisacaru G., Bercea I., Mitu N. & Cretu S., -(1994)-“The Analysis of the Quasi-Dynamic Equilibrium in Cylindrical Roller Bearing,” Proceedings of the 6th Nordic Symposium on Tribology NORDTRIB’94, Uppsala (Sweden), Vol. 3, pp.721-731. 112.Racocea C, Cretu Sp –(1980) –„Optimizarea formei rulmentilor radial oscilanti cu role butoi din punct de vedere al capacitatii dinamice de baza”, Tribotehnica 80, Hunedoara 113. Racocea C., - (1981)- „Cercetari privind dinamica si forma constructiva a rulmentilor radial oscilanti cu role butoi pe doua randuri in scopul maririi capacitatii dinamic de baza”, Teza de doctorat, Iasi

pag.183

115. Reviron O., Né lias D. & Legrand E., -(1999)- “Modé lisation dynamique des roulements a rouleaux cylindriques : é valuation des efforts rouleaux/cage en vue d’optimiser le dimensionnement des cages,” Actes des Journé es Francophones Internationales 1999 de la STF, Roulements, Toulouse, 5-7 mai 116. Roelands C.J.A,- (1966) - “Correlation Aspects of Viscosity-Temperature-Relationship of Lubricating Oils,” Ph.D. Thesis, Delft University of Technology, The Netherlands 117. Rezmires D, Bercea I, Cretu Sp, Olaru D,- (2001,a) -„Load Distribution in Double Row Spherical Roller Bearings and Spherical Roller Bearings Systems in Static Case”, VAREHD 10, Suceava 118. Rezmires D, Bercea I, Cretu Sp, Olaru D,- (2001,b) - „The Radial and Axial Stiffnesses of Spherical Roller Bearing Systems”, VAREHD 10, Suceava 119. Rezmire! D., Racocea C., – (2002)- „The tolerance field effect on the angular contact ball bearings system’s rating life”, The Annals of University „Dun rea de jos” of Gala i, Fasc. VII, 2002, ISSN 12221-4590, p.80-86 120. Rumbarger J, s.a,- (1973) - „Gas Turbine Engine Mainshaft Roller Bearing – System Analysis”, J. of. Lubrication Technology, p.401-413 121. Staicu S., Dumbrava M., Mazilu I, -(1985)- „Sisteme hidrostatice portante”, Ed. Tehnic Bucure!ti 122. Stirbu C,- (1998) - „Cercet ri cu privire la realizarea rulmen ilor cu role butoi de î nalt tura ie î n construc ii perfec ionate pentru vehicule feroviare”, Tez de doctorat, U.T. Iasi 123. Tevaarwerk J.L. & Johnson K.L.,-(1979)- “The Influence of Fluid Rheology on the Performance of Traction Drives,” ASME Journal of Lubrication Technology, Vol. 101, Series F, n°3 , pp.266-274 124. Touma K., Kawamura H. & Kawakita K., -(1985)- “Ball Motion in High-Speed Angular Contact Ball Bearings,” Proceedings of the JSLE International Tribology Conference, Tokyo, Japan, July 8-10, pp.585-590. 125. Valeriu I,- (1996) - „Programare numeric ”, Ed. Teora 126. xxx- (1990)- „Algor, Modeling for Finite element Analysis”, June, vol. 2 127. xxx,- (1989) - „FAG, Standard Programme”, Catalogue 41510 EA. 128. xxx,- (1989) - „SKF, General Catalogue”, 4000/IE 129. xxx,- (1989) - „URB, Catalog general de rulmenti”, Nr. 7193. 130. Yasutomi S., Bair S. , Winer W.O.,- (1984) - “An Application of a Free Volume Model to Lubricant Rheology I – Dependence of Viscosity on Temperature and Pressure,” ASME Journal of Tribology, Vol. 106, n°2 , pp.291-303 131. Zhou, D., Cheng S,- (1988) - „Effect of Surface Roughness on the Point Contact EHL”, Transactions of the ASME, vol 110, p.32-37 132. Zhou R.S. & Hoeprich M.R., -(1991)-“Torque of Tapered Roller Bearings,” ASME Journal of Tribology, Vol. 113, n°3 , pp.590-597. 133. Zhu, D.,- (2002) - “Elastohydrodynamic Lubrication in Extended Parameter Ranges, Part I, II—Speed Effect,” Trib. Trans 134. Zhu, D. and Hu, Y. Z,- (1999) - “The Study of Transition from Full Film Elastohydrodynamic to Mixed and Boundary Lubrication,” in Proc. of 1999 STLE/ASME, H. S. Cheng Trib. Surveillance, pp l 50-156. 135. Zhu, D. and Hu, Y. Z.,- (2001) - “Effects of Rough Surface Topography and Orientation on the Characteristics of Rezmires D, „Fast numerical solutions to Hertzian and non Hertzian contact elasticity, Part II – The approximation 138. 139. 140. 141. 142.

143.

of Non-Hertzian contact parameters” Rezmires D, „Fast numerical solutions to Hertzian and non Hertzian contact elasticity, Part 1 – Hertzian contact analysis case” Rezmires D, „The Rigidity Matrix Rolling Bearings Systems” Rezmires D, „The Kinematic and Dymanic Effects on Double Row Spherical Ball Bearings and Double Row Spherical Roller Bearings Systems. Part I. Load Distribution on Double Row Spherical Ball Berings” Rezmires D, „The Angular Phase Differenece Effect in Spherical Roller Bearings and Spherical Ball Bearings, Considering only Point Contact Type” Rezmires D, „The Kinematic and Dymanic Effects on Double Row Spherical Ball Bearings and Double Row Spherical Roller Bearings Systems. Part II. Load Distribution on Double Row Spherical Ball Berings Systems” Rezmires D, „The Ball Displacement in Angular Contact Ball Bearings for Static Loading – Analytical Relations”

pag.184