Resumen De Fisica Ii

RESUMEN DE FISICA GENERAL II MATRICULA_________________NOMBRE__________________________________________ EQUILIBRIO ESTATICO Un cuerpo rígido es aquel que sus partículas que lo componen se mantienen a una misma distancia una de las otras cuando se someten a fuerzas o presiones Un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio cuando no se mueve o se mueve en línea recta con velocidad constante. La parte de la mecánica que estudia el equilibrio de los cuerpos rígidos se llama Estática. Un cuerpo rígido está en equilibrio: a) Traslacional cuando la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre el es igual a cero. r  F ext  0 b) Rotacional cuando la suma vectorial de todas las torcas o momentos de rotación externos que actúan sobre el es igual a cero. r  ext  0 La torca o momento de rotación, momento de torsión o torque es una magnitud vectorial y es la causa que produce rotación alrededor de un punto o eje de rotación y que se obtiene de la siguiente manera: τ = r x F, donde r=Xi+Yj+Zk F = Fx i + Fy j + Fz k i j k i j k i j r    xi   y j   z k  x y x  x y z x y Fx Fy Fz Fx Fy Fz Fx Fy La magnitud del torque se obtiene de la siguiente manera:    x2   y2   z2 La magnitud del torque también se obtiene de la siguiente manera:   rFsen , donde  es el ángulo formado por los vectores r y F cuando tienen un origen común y está comprendido entre 0º y 180º. Donde r es el modulo del desplazamiento y F es el modulo de la fuerza. El ángulo formado por dos vectores se obtiene mediante el producto escalar de los dos vectores: XFx  YFy  ZFz cos   X 2 Y 2  Z2 Fx2  Fy2  Fz2

F r

1

La torca o momento de torsión es nula cuando: a) r = 0 b) F = 0 c)  = 0º ó 180º La torca o momento de rotación o torsión es máxima cuando  = 90º y se obtiene:  = r F, esto se debe a que r y F son perpendiculares y el sen 90º = 1 CONDICIONES PARA UN CUERPO RIGIDO EN EQUILIBRIO Para el equilibrio traslacional de manera general. r

F

  Fx i   Fy i   Fz k 0 , esto implica que las sumas componentes de la fuerza resultante a lo largo de cada eje es igual a cero.  F x  0,  F y  0,  F z  0 ext

En el plano xy, las fuerzas son positivas o las componentes cuando se dirijan hacia la derecha o hacia arriba. En el plano xy, las fuerzas son negativas o las componentes cuando se dirijan hacia la izquierda o hacia abajo. Signos de las fuerzas o las componentes Y

X

Para el equilibrio

rotacional de manera general.

r



  xi   y j   z k 0 , esto implica que las componentes de los torques resultante a lo largo de cada eje de rotación es igual a cero.  x  0,  y  0,  z  0 ext

Cuando las fuerzas y los brazos de palancas están en el plano xy, las torcas o momentos de rotación están contenidos sobre el eje Z, es decir, son perpendiculares al plano formado por los vectores r y F. La torca o el torque se consideran positivos cuando produce rotación en sentido contrario a las agujas del reloj o cuando se barre un ángulo positivo. La torca o torque se consideran negativos cuando produce rotación en el mismo sentido a las agujas del reloj o cuando se barre un ángulo negativo. Sentidos o signos de las torcas, torques o momentos de torsión cuando r y F están el plano xy 2

-τ

+τ

CENTRO DE MASA (cm) Es el punto donde se considera que está concentrada toda la masa cuerpo, o sistema o sistema de partículas. En el centro de masa necesariamente hay masa si el cuerpo es sólido, pero si el cuerpo es hueco, necesariamente puede que no haya masa. Es el punto de aplicación de la fuerza externa resultante. CENTRO DE GRAVEDAD (cg) Es el punto donde se considera que está concentrado todo el peso de un cuerpo o sistema de partículas. Es el punto de aplicación del peso resultante o neto de un cuerpo. El centro de gravedad sólo coincide con el centro de masas cuando el cuerpo se encuentra dentro de una campo gravitacional uniforme, de tal manera que el peso de cada partícula es el mismo. CÁLCULO Y LOCALIZACION DE LAS COORDENADAS DEL CENTRO DE GRAVEDAD a) Para un sistema formados por partículas mi = Las masas de las partículas xi = Coordenadas sobre el eje x de las partículas yi = Coordenadas sobre el eje y de las partículas zi = Coordenadas sobre el eje z de las partículas M = La masa total del sistema de partículas i =n

X cg =

∑ mi xi i =1 i =n

∑m i =1

i

i=n

,

Ycg =

∑ mi yi i =1 i =n

∑m i =1

i

i =n

y

Z cg =

∑m z i =1 i =n

i i

∑m i =1

i

La posición del centro de gravedad en forma vectorial es: rcg = Xcg i + Ycg j + Zcg k. La posición del centro de gravedad en forma de un punto en el espacio es: rcg = (Xcg , Ycg , Zcg ). b) Para cuerpos rígidos de la misma densidad, la posición del centro de masas se obtiene de la siguiente manera. rcg =

∫ rdm , donde M es la masa total del cuerpo, dm es un diferencial de masa del cuerpo y r es la ∫ dm

distancia que existe del dm al punto que se toma como origen para localizar el centro de gravedad. CENTRO DE GRAVEDAD DE CUERPOS PLANOS Y DENSIDAD CONSTANTE 3

1.- Procedimiento para calcular el centro de gravedad de figuras planas y homogéneas de forma rectangular o combinaciones de rectángulos. Método de la suma de los rectángulos. Divida la figura en el número mínimo de rectángulos. Póngale nombre a cada uno de los rectángulos. Determine la base y la altura de cada rectángulo. La base es la diferencia de los extremos de cada rectángulo sobre el eje x. La altura es la diferencia de los extremos de cada rectángulo sobre el eje y. b = x f − xo h = y f − yo Determine las coordenadas del centro de cada rectángulo (Xi, Yi). El punto medio de cada rectángulo se obtiene sumando los extremos y dividiendo entre dos a lo largo de cada eje. X i = ( x f + xo ) / 2 Yi = ( y f + yo ) / 2 Calcule el área de cada rectángulo. El área de un rectángulo es igual a la base por la altura. A = b h. Efectúe la suma y tendrá el área total de la figura. Calcule el producto de cada área por su centro sobre el eje x, Ai Xi. Efectúe su suma. Calcule el producto de cada área por su centro sobre el eje y, Ai Yi. Efectúe su suma. Para determinar las coordenadas del centro de gravedad de la figura, se divide la suma de cada producto ΣAi Xi y ΣAi Yi entre la suma de las áreas, ΣAi. Ai X i AY ∑ ∑ i i i =1 i =1 X cg = Ycg = ∑ Ai ∑ Ai i =1

i =1

Calcule el producto de cada área por su centro sobre el eje y, Ai Yi . Efectúe su suma. Para determinar las coordenadas del centro de gravedad de la figura, se divide la suma de cada producto AX y AY entre la suma de las áreas, A. Ai X i AY ∑ ∑ i i i =1 i =1 X cg = Ycg = ∑ Ai ∑ Ai i =1

i =1

Cada uno de los rectángulos tiene 5 cm de base y 4 cm de altura. Considere que el sistema es homogéneo y del mismo espesor. Determine las coordenadas del centro de gravedad.

4

Nombre

Base(cm) Altura(cm)

X(cm)

Y(cm)

A(cm2)

AX(cm3)

AY(cm3)

2.- Para figura triangulares, se calcula el incentro de cada triangulo. De cada vértice se traza una línea al punto medio de la línea opuesta. El punto de intercepción de las tres líneas es el centro de gravedad del triangulo. 3.- Para figuras planas rectangulares, cuadradas o circulares, método del hueco. Procedimiento para calcular el centro de gravedad de figuras planas y homogéneas de forma rectangular o combinaciones de rectángulos. Método del rectángulo total al que se le extrae uno o más rectángulos. Trace un rectángulo que abarque la figura completa y que pase por sus extremos, este es el numero 1. Póngale nombre a cada uno de los rectángulos que se van a extraer del anterior, a partir del numero 2. Determine la base y la altura de cada rectángulo. La base es la diferencia de los extremos de cada rectángulo sobre el eje x. La altura es la diferencia de los extremos de cada rectángulo sobre el eje y. b = x f − xo h = y f − yo Determine las coordenadas del centro de cada rectángulo (X, Y). El punto medio de cada rectángulo se obtiene sumando los extremos y dividiendo entre dos a lo largo de cada eje. X i = ( x f + xo ) / 2 Yi = ( y f + yo ) / 2 Calcule el área de cada rectángulo. El área de un rectángulo es igual a la base por la altura. A = b h. Las áreas que se van a extraer tiene signo negativo porque se restan de la total del material total. Efectúe la suma algebraica y tendrá el área total de la figura. Calcule el producto de cada área por su centro sobre el eje x, Ai Xi . Efectúe su suma. Ai xi ∑ Aj x j A y ∑ Aj y j − y Ycg = i i − , donde Ai son cada una de las áreas y (xi, yi) son las Ai Ai ∑ Aj ∑ Aj coordenadas del centro de gravedad de cada una de las áreas completas rectangulares o circulares o enteras, donde Aj son cada una de las área de los huecos y (x j, yj) son las coordenadas del centro de gravedad de cada una de las áreas de los huecos. Los huecos son áreas negativas porque se quitan del entero. Cada uno de los rectángulos tiene 5 cm de base y 4 cm de altura. Considere que el sistema es homogéneo y del mismo espesor. Determine las coordenadas del centro de gravedad, aplicando el método del hueco. 5 X cg =

Nombre 1 2

Base(cm) Altura(cm) 15 4 5 8

X(cm) 7.5 7.5

n

X cg 

 Ai X i 1

n

A

A(cm2) 60 40 100

AX(cm3) 450 300 750

AY(cm3) 600 160 760

n

750   7.5cm 100

Ycg 

i

r Rcg  iX cg  jYcg  (7.5i  7.6 j )cm

Base(cm) Altura(cm) 15 12 5 8 5 8

 AY

i i

1

n

A



760  7.6cm 100

i

1

Nombre 1 2 3

Y(cm) 10 4

1

X(cm) 7.5 2.5 12.5

Y(cm) 6 4 4

6

A(cm2) 180 -40 -40 100

AX(cm3) 1350 -100 -500 750

AY(cm3) 1080 -160 -160 760

Calcule el centro de gravedad de la figura plana de radios R = 15.00 cm con centro en el origen del plano xy, al que se le ha hecho un hueco de radio r = 5.00 cm con centro en el punto C = (-7.50, 0)cm.

Nombre

R(cm)

X(cm)

Y(cm)

A(cm2)

AX(cm3)

AY(cm3)

-Calcule el centro de gravedad de la figura plana de radios R = 12.00 cm con centro en el origen del plano xy, al que se le ha hecho un hueco de radio r = 6.00 cm con centro en el punto C = (-6.0, 0)cm.

Nombre

R(cm)

X(cm)

Y(cm)

A(cm2)

AX(cm3)

AY(cm3)

FUERZAS PARALELAS Y COPLANARES Fuerzas coplanares son aquellas que se encuentran en un mismo plano, por ejemplo el plano xy. Fuerzas paralelas son aquellas que son paralelas a un mismo eje o a una misma línea. FUERZAS CONCURRENTES Fuerzas concurrentes son aquellas que se interceptan en un punto o que tienen un punto en común, llamado punto de concurrencia. COMPONENTES DE LOS VECTORES DESPLAZAMIENTO Y FUERZA En el plano xy r = X i + Y j, r = X 2 + Y 2 y tan θ = Y/X X = r cos θ Y = r sen θ F = Fx i + Fy j, F = Fx 2 + Fy 2

y tan θ = Fy/Fx

Fx = F cos θ Fy = F sen θ donde θ es un ángulo comprendido entre 0º y 360º a partir de +X. 7

0º < θ < 360º LAS LEYES DE NEWTON Las tres leyes del movimiento de Newton Con la formulación de las tres leyes del movimiento, Isaac Newton estableció las bases de la dinámica. La primera ley o principio de inercia La primera ley de Newton afirma que si la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre un objeto es cero, el objeto permanecerá en reposo o seguirá moviéndose a velocidad constante. El que la fuerza ejercida sobre un objeto sea cero no significa necesariamente que su velocidad sea cero. Si no está sometido a ninguna fuerza (incluido el rozamiento), un objeto en movimiento seguirá desplazándose a velocidad constante. La segunda ley o principio de masa La segunda ley de Newton relaciona la fuerza total y la aceleración. Una fuerza neta ejercida sobre un objeto lo acelerará, es decir, cambiará su velocidad. La aceleración será proporcional a la magnitud de la fuerza total y tendrá la misma dirección y sentido que ésta. La constante de proporcionalidad es la masa m del objeto La tercera ley o principio de acción y reacción La tercera ley de Newton afirma que cuando un objeto ejerce una fuerza sobre otro, este otro objeto ejerce también una fuerza sobre el primero. La fuerza que ejerce el primer objeto sobre el segundo debe tener la misma magnitud que la fuerza que el segundo objeto ejerce sobre el primero, pero con sentido opuesto. Por ejemplo, en una pista de patinaje sobre hielo, si un adulto empuja suavemente a un niño, no sólo existe la fuerza que el adulto ejerce sobre el niño, sino que el niño ejerce una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el adulto. Sin embargo, como la masa del adulto es mayor, su aceleración será menor. La tercera ley de Newton también implica la conservación del momento lineal, el producto de la masa por la velocidad. En un sistema aislado, sobre el que no actúan fuerzas externas, el momento debe ser constante. En el ejemplo del adulto y el niño en la pista de patinaje, sus velocidades iniciales son cero, por lo que el momento inicial del sistema es cero. Durante la interacción operan fuerzas internas entre el adulto y el niño, pero la suma de las fuerzas externas es cero. Por tanto, el momento del sistema tiene que seguir siendo nulo. Después de que el adulto empuje al niño, el producto de la masa grande y la velocidad pequeña del adulto debe ser igual al de la masa pequeña y la velocidad grande del niño. Los momentos respectivos son iguales en magnitud pero de sentido opuesto, por lo que su suma es cero. Otra magnitud que se conserva es el momento angular o cinético. El momento angular de un objeto en rotación depende de su velocidad angular, su masa y su distancia al eje. Cuando un patinador da vueltas cada vez más rápido sobre el hielo, prácticamente sin rozamiento, el momento angular se conserva a pesar de que la velocidad aumenta. Al principio del giro, el patinador tiene los brazos extendidos. Parte de la masa del patinador tiene por tanto 8

un radio de giro grande. Cuando el patinador baja los brazos, reduciendo su distancia del eje de rotación, la velocidad angular debe aumentar para mantener constante el momento angular. ESTRATEGIA PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON El siguiente procedimiento se recomienda para abordar problemas que requieren la aplicación de las leyes de Newton y momento de torsión o rotación. •

Dibuje un diagrama sencillo y claro del sistema.

•

Aísle el objeto cuyo movimiento o reposo se analiza. Dibuje un diagrama de cuerpo libre o aislado para este objeto, es decir, un diagrama que muestre todas las fuerzas externas que actúan sobre él. Para sistemas que contienen más de un objeto, dibuje diagramas de cuerpo libre independientes para cada uno. No incluya en el diagrama de cuerpo libre las fuerzas que el objeto ejerce sobre sus alrededores.

•

Establezca ejes de coordenadas convenientes para cada objeto, esto es que los ejes sean paralelos y perpendiculares a la mayoría de las fuerzas. Si una o más fuerzas son inclinadas a estos ejes, determine las componentes de las fuerzas a lo largo de estos ejes. Aplique la segunda ley de Newton, ΣF = m a, en forma de componentes si el sistema acelera. Aplique la primera ley de Newton en forma de componentes si el objeto no se mueve o se mueve en línea recta con velocidad constante. Verifique sus dimensiones para asegurar que todos los términos tengan unidades de fuerzas.

•

Observe o calcule cada una de las distancias perpendiculares a cada una de las fuerzas o las componentes de las fuerzas, a partir de un origen que se tomara como eje de rotación. Tome como origen del eje de rotación, el punto donde estén la gran mayoría de las cantidades desconocidas o incógnitas. Si nada más hay dos incógnitas, tome como origen de rotación el punto por donde pasa una de las incógnitas.

•

•

Resuelva simultáneamente las ecuaciones para calcular las incógnitas. Recuerde que se deben tener tantas ecuaciones independientes como incógnitas para poder obtener una solución completa del problema.

•

Verifique las predicciones de sus soluciones para valores extremos de las variables. Es posible que al hacerlo detecte errores en sus resultados. EJEMPLOS DE CUERPOS RIGIDOS EN EQUILIBRIO ESTATICO

FUERZAS PARALELAS Y COPLANARES 1) Regla uniforme de longitud L = 100 cm y masa M = 200 g.

9

Una regla uniforme se mantiene horizontal sostenida por su centro, por un dinamómetro. En la marca de 10 cm, en el lado izquierdo, se coloca un objeto de masa 300 g y en el lado derecho se coloca otro objeto de masa 500 g. Considere g = 980 cm/s² = 9.8 m/s². Calcule: a) La distancia a que debe colocarse la masa de 500 g para equilibrar el sistema, a partir del centro de la regla. b) La distancia a que debe colocarse la masa de 500 g para equilibrar el sistema, a partir del origen de la regla, O. c) La lectura del dinamómetro, en dinas y en Newton. r(m)

F(N) -1.96 -2.94 -4.90 9.80

θ

τ(N m)

10

2) Regla uniforme de longitud L = 100 cm y masa M = 200 g. Una regla uniforme se mantiene horizontal sostenida por su centro, por un dinamómetro. En la marca de 10 cm, en el lado izquierdo, se coloca un objeto de masa 100 g, en la marca de 30 cm se coloca otro objeto de masa 300 g y en el lado derecho se coloca otro objeto de masa 400 g.

Considere g = 980 cm/s² = 9.8 m/s². Calcule: a) La distancia a que debe colocarse la masa de 400 g para equilibrar el sistema, a partir del centro de la regla. b) La distancia a que debe colocarse la masa de 400 g para equilibrar el sistema, a partir del origen de la regla, O. c) La lectura del dinamómetro, en dinas y en Newton. r(m)

F(N) -0.98 -2.94 -3.92 -1.96 9.80

θ

τ(N m)

3) Regla uniforme de longitud L = 100 cm y masa M = 200 g.

11

Una regla uniforme se mantiene horizontal sostenida por dos dinamómetros en las marcas de 10 cm y 90 cm. En la marca de 20 cm, se coloca un objeto de masa 100 g, en la marca de 30 cm se coloca otro objeto de masa 300 g y en el lado derecho se coloca otro objeto de masa 400 g y se mueve de tal manera que los dos dinamómetros marcan la misma lectura. Considere g = 9.8 m/s². = 980 cm/s². Calcule: a) La distancia a que debe colocarse la masa de 400 g para equilibrar el sistema, a partir del centro de la regla. b) La distancia a que debe colocarse la masa de 400 g para equilibrar el sistema, a partir del origen de la regla, O. c) La lectura de los dinamómetros, en dinas y en Newton.

r(m)

θ

F(N) -0.98 -2.94 -3.92 -1.96 4.90 4.90

τ(N m)

4) Regla uniforme de longitud L = 100 cm y que pesa 4.0 N. Una regla uniforme se mantiene horizontal sostenida por dos dinamómetros en las marcas de 0 cm y 100 cm. En la marca de X = 20 cm, se coloca un objeto de que pesa 6.0 N. Calcule las lecturas de los dinamómetros. Para los otros valores de X, complete la tabla. X se mide desde el extremo izquierdo a cada uno de los puntos sobre la regla en la que se coloca la fuerza de 6.0 N.

X(cm) T1(N) T2(N)

10

20

30

12

40

50

60

FUERZAS CONCURRENTES Y COPLANARES EN EQUILIBRIO La condición necesaria y suficiente para que tres fuerzas concurrentes y coplanares estén en equilibrio es que la suma vectorial de ellas sea igual a cero. La suma vectorial se indica de la siguiente manera: r r r r F = F1 + F2 + F3 Consideremos tres fuerzas y sus respectivos ángulos: F1,  1 = 0º siempre; F2,  2; F3 y  3. Si conocemos los módulos de las tres fuerzas podemos calcular los ángulos  2 y  3 para que las tres fuerzas se encuentren en equilibrio, aplicando las formulas: 2 2 2 F senφ2 F3 − F1 − F2 φ3 = arcsen 2 + 180 cos 2 = y F3 2 F1 F2 Calcule los ángulos φ 2 y φ 3 para que el sistema de tres fuerzas concurrentes y coplanares que estén en equilibrio. Calcule las componentes de las fuerzas y compruebe que la suma de las componentes a lo largo de cada eje deber se cero.

NOMBRE

FUERZAS MODULO

ANGULO

F1

2.00N

0º

F2

2.00N

F3

2.00N

COMPONENTES HORIZONTAL VERTICAL

CUADRANTES

COMPONENTES HORIZONTAL VERTICAL

CUADRANTES

F

NOMBRE

FUERZAS MODULO

ANGULO

F1

4.00N

0º

F2

3.00N

F3

5.00N

F

13

NOMBRE

FUERZAS MODULO

ANGULO

F1

4.00N

0º

F2

4.00N

F3

6.00N

COMPONENTES HORIZONTAL VERTICAL

CUADRANTES

COMPONENTES HORIZONTAL VERTICAL

CUADRANTES

COMPONENTES HORIZONTAL VERTICAL

CUADRANTES

F

NOMBRE

FUERZAS MODULO

ANGULO

F1

12.00N

0º

F2

5.00N

F3

13.00N

F

NOMBRE

FUERZAS MODULO

ANGULO

F1

4.00N

0º

F2

5.00N

F3

7.00N

F

14

FUERZAS COPLANARES QUE NO SON NI PARALELAS NI CONCURRENTES A) LA VIGA 1.- Una viga uniforme que pesa 2000 N y que tiene una longitud de 3.00 m está pivoteada o articulada en una pared. Al otro extremo de la viga está unido un alambre que, a su vez, está conectado a una pared a una distancia d = 3.00 m por encima del pivote. La viga forma un ángulo de 30º por arriba de la horizontal, cuando mediante una cuerda ligera, se cuelga un objeto que pesa 1000 N del extremo de la viga. Calcule: a) La tensión en el alambre. b) La componente horizontal de la fuerza en el pivote. c) La componente vertical de la fuerza en el pivote. FUERZAS NOMBR E

MODUL O

ANGUL O

COMPONENTES DE COMPONENTES DE TORQUE F R Fx (N) Fy(N) X(m) Y(m) τ(N m)

2.- Una viga uniforme que pesa 2000 N y que tiene una longitud de 3.00 m está pivoteada o articulada en una pared. Al otro extremo de la viga está unido un alambre que, a su vez, está conectado a una pared a una distancia d = 1.50 m por encima del pivote. La viga forma un ángulo de 30º por arriba de la horizontal, cuando mediante una cuerda ligera, se cuelga un objeto que pesa 1000 N del extremo de la viga. Calcular: a) La tensión en el alambre. b) La componente horizontal de la fuerza en el pivote. c) La componente vertical de la fuerza en el pivote.

15

FUERZAS NOMBR E

MODUL O

ANGUL O

COMPONENTES DE COMPONENTES DE TORQUE F R Fx (N) Fy(N) X(m) Y(m) τ(N m)

16

3.- Una viga uniforme que pesa 2000 N y que tiene una longitud de 3.00 m está pivoteada o articulada en una pared. Al otro extremo de la viga está unido un alambre que, a su vez, está conectado a una pared a una distancia d = 1.20 m por encima del pivote. La viga forma un ángulo de 30º por arriba de la horizontal, cuando mediante una cuerda ligera, se cuelga un objeto que pesa 1000 N del extremo de la viga. Calcule: a) La tensión en el alambre. b) La componente horizontal de la fuerza en el pivote. c) La componente vertical de la fuerza en el pivote.

FUERZAS NOMBR E

MODUL O

ANGUL O

COMPONENTES DE COMPONENTES DE TORQUE F R Fx (N) Fy(N) X(m) Y(m) τ(N m)

4.- Una barra de 1.00 m de longitud y de peso despreciable está articulada en un extremo y sostenida horizontalmente mediante un alambre por el otro extremo del cual cuelga un objeto que pesa W = 1200 N. Si el alambre forma un ángulo de 30º con la horizontal. Calcule: 1) La tensión en el alambre 2) La componente horizontal de la reacción en la articulación. 3) La componente vertical de la reacción en la articulación. T = W/sen φ, Fh = T cos φ y Fv = 0

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L(m) φ(º) W(N) T(N) Fh(N) Fv(N)

1.00 30 800

1.00 30 1000

1.00 30 1200

FUERZAS NOMBR E

MODUL O

ANGUL O

1.00 30 1400

1.00 30 1600

1.00 30 1800

1.00 30 2000

COMPONENTES DE COMPONENTES DE TORQUE F R Fx (N) Fy(N) X(m) Y(m) τ(N m)

5.- Una barra de 1.00 m de longitud y de peso despreciable está articulada en un extremo (pivote)y sostenida horizontalmente mediante un alambre por el otro extremo. Un objeto que pesa W = 800 N se cuelga a una distancia x = 0.40 m del pivote. Si el alambre forma un ángulo de 30º con la horizontal. Calcule: 1) La tensión en el alambre 2) La componente horizontal de la reacción en la articulación. 3) La componente vertical de la reacción en la articulación 4) Para los otros valores de la posición x del peso W, complete la tabla. FUERZAS NOMBR E

MODUL O

ANGUL O

COMPONENTES DE COMPONENTES DE TORQUE F R Fx (N) Fy(N) X(m) Y(m) τ(N m)

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T = x W/L sen φ L(m) 1.00 30 φ(º) T(N) W(N) x(m) 0.1 T(N) Fh(N) Fv(N)

1.00 30

1.00 30

1.00 30

1.00 30

1.00 30

1.00 30

1.00 30

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

B) LA ESCALERA 1.- Una escalera de 60 pies, que pesa 100 lb, está apoyada sobre una pared lisa en un punto que está a 48 pies por encima del piso. El centro de gravedad de la escalera está a un tercio de su longitud respecto del piso. Un hombre que pesa 200 lb, sube por la escalera hasta la mitad de su longitud. Suponiendo que no hay fricción con la pared, pero con el piso sí. Calcule: a) La fuerza ejercida por la pared sobre la escalera. b) Las componentes de la fuerza ejercida por el piso sobre la escalera c) Si el coeficiente de rozamiento estático entre el suelo y la escalera es µs = 0.40. ¿Cuánto puede subir el hombre por la escalera antes de que empiece ésta a resbalar?

2.- Una escalera de mano (en forma de A) de peso despreciable se arma como se muestra en la figura 12.45. Un pintor de 70 kg de masa está parado a 3.0 m de la base. Suponiendo que el piso no tiene fricción, determine: a) La tensión en la barra que conecta las mitades de la escalera. b) Las fuerzas normales en A y B. c) Las componentes de la fuerza de reacción en la unión C que el lado izquierdo de la escalera ejerce sobre el lado derecho. (Sugerencia: Trabaje cada mitad de la escalera por separado)

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3.- En la escalera de mano mostrada en la figura, AC y CE tienen 8.0 pies de largo y están unidas mediante un perno en C. BD es una barra transversal de 2.5 pies de largo a la mita de la distancia vertical. Un hombre que pesa 192 Lb trepa 6.0 pies por la escalera. Suponiendo que el suelo no tiene fricción y despreciando el peso de la escalera. (Sugerencia: Podría ser útil aislar las partes de la escalera aplicando los condiciones de equilibrio). Calcular: a) La tensión en la barra transversal b) Las fuerzas ejercidas por el piso sobre la escalera

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FUERZAS NOMBR E

MODUL O

ANGUL O

COMPONENTES DE COMPONENTES DE TORQUE F R Fx (N) Fy(N) X(m) Y(m) τ(N m)

c) LA PERCHA El sistema que se muestra en la figura está en equilibrio. El peso que cuelga del extremo de la percha S es de 300 Lb y la percha misma pesa 500 Lb y es uniforme. Calcule: a) La tensión en el cable b) Las componentes de la fuerza ejercida en la percha S por el pivote P.

FUERZAS NOMBR E

MODUL O

ANGUL O

COMPONENTES DE COMPONENTES DE TORQUE F R Fx (N) Fy(N) X(m) Y(m) τ(N m)

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d) CILINDRO QUE SE LEVANTA SOBRE UN ESCALON 1.- Un cilindro de peso W = 500 N y radio R = 0.80 m se va a levantar sobre un escalón cuya altura es h = 0.30 m, como se muestra en la figura. Se enrolla una cuerda alrededor del cilindro y este no resbala sobre el escalón, encuéntrese la fuerza mínima F necesaria para subir el cilindro y la fuerza de reacción N en punto p, que es el de contacto entre el cilindro y el escalón.

2.- Un cilindro de peso W = 500 N y radio R = 0.80 m se va a levantar sobre un escalón cuya altura es h = 0.30 m, como se muestra en la figura. Se ejerce una fuerza horizontal en el centro del cilindro y este no resbala sobre el escalón, encuéntrese la fuerza mínima F necesaria para subir el cilindro y la fuerza de reacción N en punto p, que es el de contacto entre el cilindro y el escalón.

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EQUILIBRIO EN UN CAMPO GRAVITACIONAL a) EQULIBRIO ESTABLE. Un cuerpo rígido esta en equilibrio estable en un campo gravitacional cuando la energía potencial gravitatoria es mínima, en ese punto. Si el cuerpo se mueve ligeramente de esa posición su energía potencial gravitatoria aumenta.

b) EQULIBRIO INESTABLE. Un cuerpo rígido esta en equilibrio inestable en un campo gravitacional cuando la energía potencial gravitatoria es máxima, en ese punto. Si el cuerpo se mueve ligeramente de esa posición su energía potencial gravitatoria disminuye.

c)

EQUILIBRIO NEUTRO O INDIFERENTE. Un cuerpo rígido esta en equilibrio neutro o indiferente en un campo gravitacional cuando la energía potencial gravitatoria es constante, en ese punto. Si el cuerpo se mueve ligeramente de esa posición su energía potencial gravitatoria no cambia.

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PROBLEMAS 1.- Una grúa telescópica se utiliza para cargar una cubeta que pesa 500 Lb que está a una distancia de 5.00 m del centro de la grúa. Si el contrapeso de la grúa tiene un peso de 1000 Lb. ¿A qué distancia del centro debe estar el contrapeso?

2.- Un cascarón semiesférico de 1.00 m de diámetro y densidad de masa uniforme y que pesa W = 600 N se encuentra colgado de dos cuerdas, como se muestra en la figura. Qué tensión esta soportada por la cuerda de la derecha? a) 300 N b) 400 N c) 200 N d) 600 N e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es ________N FUERZAS NOMBR E

MODUL O

ANGUL O

COMPONENTES DE COMPONENTES DE TORQUE F R Fx (N) Fy(N) X(m) Y(m) τ(N m)

24

3.- Dos ladrillos uniformes idénticos de longitud L = 16 cm se colocan uno sobre el otro en el borde de una superficie horizontal sobresaliendo lo máximo posible sin caer, como se muestra en la figura. Encuentre la distancia x. a) 10 cm b) 8 cm c) 12 cm d) 9 cm x e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es ________cm

4.- Una barra no uniforme de masa 100 kg y longitud 6.00 m esta mantenida horizontal por dos cuerdas como indica la figura. La cuerda de la izquierda forma un ángulo de 30º con la vertical y la de la derecha forma un ángulo de 60º con la vertical. Determine el centro de gravedad de la barra y las tensiones en las cuerdas.

FUERZAS NOMBR E

MODUL O

ANGUL O

COMPONENTES DE COMPONENTES DE TORQUE F R Fx (N) Fy(N) X(m) Y(m) τ(N m)

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5.- Un hombre esta tratando de sacar un auto del lodo del acotamiento de una carretera. Amarra fuertemente un extremo de una cuerda alrededor del parachoques delantero y el otro extremo firmemente a un poste de teléfonos colocado a 12 m. Después hala lateralmente en el centro de la cuerda con una fuerza de 500 N, desplazando el centro de la cuerda 0.5 m de su posición inicial y el auto casi se mueve. a)¿Qué fuerza ejerce la cuerda sobre el auto? (La cuerda se estira algo por efecto de la tensión) b) ¿Cuál es la relación por cociente entre la tensión y la fuerza aplicada por el hombre (T/F)?

NOMBRE F

FUERZAS MODULO

ANGULO

COMPONENTES HORIZONTAL VERTICAL

CUADRANTES

270o

T =F2 T= F3 Fr

6.- Una viga uniforme de 5.00 m de longitud y masa 2000 kg está articulada en un extremo y sostenida en el otro extremo por una cuerda que forma un ángulo de 30º con la vertical. Si la viga forma un ángulo de 40º por debajo de la horizontal. a) Determine la tensión en la cuerda. b) Calcule las componentes de la reacción en la articulación o pivote.

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ESTATICA Y DINAMICA DE LOS FLUIDOS Los tres estados de la materia son sólidos, líquidos y gaseosos. El estado sólido se caracteriza por tener forma propia, mientras que los estados líquido y gas no tienen forma propia, adquieren la forma del recipiente que lo contiene. En el estado líquido las moléculas gozan de gran movilidad y al derramarse se extiende sobre la superficie que se vacía, pero en el gaseoso las moléculas están sueltas y al dejarse en libertad se expanden al aire. VOLUMEN Espacio ocupado por un cuerpo. Volumen de algunos cuerpos geométricos regulares Cubo. Volumen = al lado al cubo o la arista al cubo. Área de una cara = al lado al cuadrado Prisma o paralelepípedo Volumen = al producto de los tres lados

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Cilindro Volumen = pi por radio al cuadrado por la altura V= π r2 h La densidad (ρ) absoluta es el cociente de la masa de un cuerpo entre el volumen que ocupa.

m  V Densidad relativa (ρr) es el cociente entre la densidad absoluta de una sustancia entre la densidad del agua.

r 

  H 2O

      r  H 2O w

La densidad absoluta de una sustancia es igual a la densidad relativa por la densidad del agua. Densidad del agua: En el sistema Internacional = 1000 kg/m3 En el CGS = 1.0 g/cm3

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PRESION Es el cociente de la fuerza normal o perpendicular aplicada sobre una superficie entre la superficie. La presión es una magnitud escalar. P = F/A = F/S P = dF/dA dF = P dA Unidades de la presión: En el sistema Internacional N/m2 = Pascal = Pa En es sistema C.G.S. Dina/cm2 En el sistema Ingles. Lb/pie2 Leyes de la presión a) Si el área es constante y la fuerza normal aumenta, la presión aumenta. A = 5 m2 F(N) 20 P(N/m2) 4

40 8

60 12

80 16

100 20

b)Si la fuerza normal es constante y la superficie aumenta, la presiona disminuye F = 4000 N A(m2) 20 40 P(N/m2) 200 100

60

80 50 29

100 40

PESO ESPECÍFICO Es el cociente del peso de un cuerpo entre el volumen que ocupa. También se calcula como el producto de la densidad del cuerpo por la aceleración de la gravedad. Pe = m g/V = ρ g La presión atmosférica actúa sobre todos los cuerpos que se encuentran dentro del campo gravitatorio y disminuye a medida que subimos una altura y aumenta a medida que nos sumergimos en el agua a una profundidad determinada. El valor normal de la presión atmosférica es: Po = 1.013 x 105 N/m2 La presión total en el fondo de un fluido de densidad ρ y a una profundidad h, se obtiene de la siguiente manera: P = Po + ρ g h. La hidrostática estudia los fluidos en equilibrio o en reposo. Si un fluido esta en reposo, todas las partes que lo componen también esta en equilibrio y en reposo. La hidrodinámica estudia los fluidos en movimiento.

30

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Todo cuerpo sumergido parcialmente o totalmente dentro de un fluido experimenta una fuerza hacia arriba llamada empuje que es igual al peso del fluido desalojado. El empuje = E = ρf g Vs = Wa - Ws ρf es la densidad del fluido, Vs es el volumen sumergido o desalojado, Wa es el peso del cuerpo en el aire y Ws es el peso del cuerpo sumergido dentro del fluido. Si el cuerpo es sólido y se sumerge totalmente dentro del fluido, el volumen del cuerpo es igual al volumen sumergido y la expresión para aplicar el principio de Arquímedes es la siguiente: El empuje = E = ρf g V = Wa - Ws Wa = m g = ρ g V ⇒ g V = Wa/ρ Wa - Ws

⇒

Wa  Ws W f   f Wa Wa  Ws

PRINCIPIO DE PASCAL La presión que se ejerce en un punto de un fluido se transmite con la misma intensidad y en todas las direcciones. 31

ρf Wa/ρ =

P1 = P2 = P3 = ....... = Pn

VASOS COMUNICANTES Son dos o mas recipientes que se comunican entre si. Si se echa un fluido en uno de los vasos, los demás alcanzan el mismo nivel.

LA PRENSA HIDRÁULICA Esta formada por medio de dos tubos o recipientes que se comunican entre si por medio de un tubo resistente. La prensa hidráulica es una aplicación del principio de Pascal.

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FLUJO DE VELOCIDAD, FLUJO DE VOLUMEN, GASTO O CAUDAL Es el producto escalar del vector velocidad (V) por el vector área (A). Gasto o caudal = G = A .V = A Vcos θ = π d2 V/4 Si el fluido sale por un orificio perpendicular a la pared lateral de un recipiente, el gasto se calcula de la siguiente manera:

G = AV = A 2 gh

Para dos puntos de un fluido que se mueve por una misma tubería.

A1V1 = A2V2 La ecuación de Bernoulli es consecuencia del principio de la conservación de la energía y establece que un fluido incompresible, de régimen estacionario que fluye a través de una tubería que no tiene fuentes, ni sumideros, en cualquier punto del fluido, la siguiente expresión es una constante:

P + ρ gy + ρ v = cons tan te 2

1 2

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Para dos puntos de la tubería cualesquiera, por ejemplo los puntos 1 y 2 la ecuación de Bernoulli.

P1 + ρ gy1 + ρ v1 = P2 + ρ gy2 + ρ v2 1 2

2

1 2

2

Si la tubería es horizontal, la ecuación de Bernoulli.

P1  12  v12  P2  12  v2 2 El elevador de automóviles. En un elevador de automóviles que se emplea en un taller, el aire comprimido ejerce una fuerza sobre un pequeño émbolo de sección transversal circular que tiene un radio de 5.00 cm. Esta presión se transmite por me dio de un líquido a un segundo émbolo de 15.0 cm de radio. ¿Qué fuerza debe ejercer el aire comprimido para elevar un auto que pesa 13,300 N? ¿Qué presión del aire producirá esta fuerza? Solución: Debido a que la presión ejercida por el aire comprimido se transmite sin merma por todo el fluido, tenemos. 34

P = F/A = F/πr2 La presión del aire que producirá esta fuerza es: F1/r12 = F2/r22 Esta presión es aproximadamente dos veces la presión atmosférica. El trabajo de entrada (el trabajo hecho por F1) es igual al trabajo de salida (el trabajo hecho por F2), por lo que se conserva la energía. La cama de agua: Una cama de agua (ρ = 1000 kg/m3) mide 2.00 m x 2.00 m de lados y 0.30 m de profundidad a) encuentre su volumen y peso. Solución: Como la densidad del agua es 1000 kg/m3, la masa de la cama es M= ρV = (1000 kg/m3 ) (1.20 m3 ) = 1.20 x 103 kg. y su peso es = Mg = (1.20 x 103 kg) (9.80 m/s2) = 1.18 x 104 N. Esto es equivalente a aproximadamente 2,640 lb (valor que puede compararse con una cama común que pesa cerca de 300 lb), con el fin de soportar una carga tan pesada como ésta, se le 35

recomendaría a usted mantener su cama de agua sobre una base o un piso bastante firme. b) Encuentre a presión ejercida sobre el piso cuando la cama descansa en su posición normal. Suponga que toda la superficie interior de la cama está en contacto con el piso. Solución: El peso de la cama es 1.18 x 104 N. el área de la sección transversal es 4.00 m2 cuando la cama está en posición normal. Esto produce una presión ejercida sobre el piso de P)1.96 x 104 Pa Ejercicio. Calcule la presión ejercida sobre el piso cuando la cama descansa sobre su costado. Respuesta: Puesto que el área de su costado es 0.600 m2, la presión es 2.95 x 103 Pa.

Presión en el océano

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Calcule la presión de una profundidad de 1000 m en el océano. Suponga que la densidad del agua de mar es 1.024 x 103 kg/m3 y considere P0 = 1.01 x 105 Pa. Solución: P = P0 + ρgh = 1.01 x 105 Pa + (1.024 x 103 kg/m3 ) x (9.80 m/s2 (1.00 x 103 m) P = 1.01 x 107 Pa. Esta cifra es 100 veces más grande que la presión atmosférica! Evidentemente, el diseño y construcción de embarcaciones que soporten presiones tan enormes no es un asunto trivial. Ejercicio: Calcule la fuerza total ejercida sobre el exterior de la ventana circular de 30.0 cm de diámetro de un submarino a esta profundidad.-. El área de un circulo es igual A= π d2/4, donde d es el diámetro. Repuesta: 7.00 x 105 N.

La fuerza sobre un a presa: 37

La altura del agua en una presa de ancho w es H = D. Determine la fuerza resultante sobre la presa. Razonamiento. No podemos calcular la fuerza sobre la presa multiplicando simplemente el área por la presión, ya que ésta varía con la profundidad. El problema puede resolverse encontrando un diferencial de fuerza dF sobre una estrecha tira horizontal a una profundidad h, e integrando después la presión para encontrar la fuerza total sobre la presa. Solución. La presión a la profundidad h debajo de la superficie en la porción sombreada es P = ρgh = ρg (H - y). El diferencial de superficie se obtiene: dA = w dy El diferencial de fuerza se obtiene: dF = Pwdy = ρg (H - y).wdy y la fuerza total sobre la presa se obtiene integrando desde 0 hasta H. El resultado es el siguiente: H

F = ∫ ρ g ( H − y ) wdy = 12 ρ gwH 2 0

38

Una persona en un bote que flota en un pequeño estanque lanza el ancla fuera de borda. ¿El nivel del estanque aumenta, desciende o permanece igual? Razonamiento: El nivel del estanque desciende. Esto se debe a que el ancla desplaza más agua mientras se encuentra en el bote. Un objeto que flota desplaza un volumen de agua cuyo peso es igual al peso del objeto. un objeto sumergido desplaza un volumen de agua igual al volumen del objeto. Puesto que la densidad del ancla es mayor que la del agua, un volumen de agua con el mismo peso que el ancla será mayor que el volumen de ésta. Un objeto sumergido. Un pedazo de aluminio se suspende de una cuerda y después se sumerge por completo en un recipiente con agua. La masa del aluminio es 1.0 kg y su densidad es de 2.7 x 103 kg/m3. Calcule la tensión en la cuerda antes y después de que se sumerge el aluminio. Solución: Cuando el aluminio se suspende en el aire, como en la figura, la tensión en la cuerda, T1 (La lectura 39

en la balanza), es igual al peso, Mg, del aluminio, suponiendo que la fuerza de flotación del aire puede ignorarse: T1 = Mg = (1.0 kg) (9.80 m/s2 ) = 9.8 N. Cuando se sumerge en el agua el aluminio experimenta una fuerza de flotación hacia arriba B, como muestra la figura, la cual reduce la tensión en la cuerda. Como el sistema está en equilibrio, T2 + B - Mg = 0 T2 = Mg - B = 9.8 N - B Con el fin de calcular B, debemos obtener primero el volumen del aluminio. Puesto que la fuerza de flotación es igual al peso del agua desplazada, tenemos, E= B = Mwg = ρwVA1g = (1.0 x 103 kg/m3) (3.7 x 10-4m3) (9.80m/s2) = 3.6 N. Por lo tanto, T2 = 9.8 N - B = 9.8 N - 3.6 N = 6.2 N.

40

¿Qué fracción del volumen de un iceberg se encuentra debajo del nivel del mar?. La densidad del agua del mar es 1024 kg/m3. ρw es la densidad del agua, ρw = 1000 kg/m3. Como ρiVig = ρwVg, la fracción del hielo debajo del agua es V/Vi = ρi/ρw. La densidad del hielo 917 kg/m3Por consiguiente, la fracción de hielo sobre el nivel de agua es:

Respuesta: 0.896 o 89.6%.

F

y

 0   f gVs   gV  0 

Vs   V f

41

Llenado de una cubeta de agua con una manguera: Una manguera de agua de 2.00 cm de diámetro es utilizada para llenar una cubeta de 20.0 litros. Si se tarda 1.0 min para llenar la cubeta ¿Cuál es la velocidad v a la cual el agua sale de la manguera? (1 L = 103 cm3). Solución: el área de la sección transversal de la manguera es De acuerdo con los datos proporcionados, la tasa de flujo es igual a 20.0 litros/min. Si se iguala esto con el producto Av se obtiene A1v1 = A2v2= v2 π d2/4 v2=(20.0x103 cm3/60s)4/(πx4)= 106 cm/s Si el diámetro de la manguera se reduce a 1.00 cm, ¿Cuál será la velocidad de salida del agua por la manguera, suponiendo la misma tasa de flujo?. Repuesta: 424 cm/s. El tubo de Venturi: El tubo horizontal estrecho ilustrado en la figura, 42

conocido como tubo de Venturi, puede utilizarse para medir la velocidad de flujo en un fluido incomprensible. Determinaremos la velocidad de flujo en el punto 2 si se conoce la diferencia de presión P1 - P2 entre los puntos 1 y 2. P1 + 1/2 ρv12 = p2 + 1/2 pv22. Según la ecuación de continuidad, vemos que A1v1 = A2v2 ⇒ v2 = A1v1/A2 ⇒ (v2)2= (A1v1/A2)2 Al sustituir esta expresión en la ecuación anterior se obtiene y despejar la velocidad en el punto 1. v1  A2

2( P1  P2 )  ( A12  A22 )

La presión P1 es mayor que la presión P2 puesto que v1 < v2. Este dispositivo puede utilizarse para medir la velocidad del flujo. Un tubo de Venturi. Solución: Puesto que el tubo es horizontal, y2 = y2 y la ecuación de Bernoulli aplicada a los puntos 1 y 2 produce v1 = A2

2( P1 − P2 ) ρ ( A12 − A22 )

v2 =

43

A1v1 A2

También podemos obtener una expresión para v1 utilizando este resultado y la ecuación de continuidad. Observe que como A2 < A1, se concluye que P1 > P2. En otras palabras, la presión se reduce en la parte estrecha del tubo. Este resultado en cierto modo es análogo a la siguiente situación: Considérese un cuarto atestado de personas. Tan pronto se abre la puerta la gente empieza a salir y el arremolinamiento (presión) es menor cerca de la puerta donde el movimiento (flujo) es mayor.

Ley de Torricelli (Velocidad de emisión): Un tanque que contiene un líquido de densidad ρ tiene un agujero en uno de sus lados a una distancia y1 del fondo (Fig. 15.17). El diámetro del agujero es pequeño comparado con el diámetro del tanque. El aire sobre el líquido se mantiene a una presión P. Determine la velocidad a la cual el fluido sale por el agujero cuando el nivel del líquido está a una distancia h arriba del agujero. Solución: Debido a que A2 >> A1, el fluido está aproximadamente en reposo en la parte superior, punto 2. Al aplicar la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 y al notar que en el agujero P1 = P0 obtenemos. P0 + 1/2 ρv12 + ρgy1 = P + ρgy2. 44

Pero y2-y1 = h, de manera que esto se reduce a: La tasa de flujo de agujero es A1v1. Cuando P es grande comparada con la presión atmosférica P0 ( por lo tanto, puede ignorarse el término 2gh), la velocidad de la emisión es principalmente una función de P. Por último si el tanque está abierto a la atmósfera, entonces P = P0 y v1 = . En otras palabras, la velocidad de la emisión para un tanque abierto es igual a la adquirida por un cuerpo que cae libremente a través de una distancia vertical h. Esto se conoce como la ley de Torrecelli. V = 2 gh Salida de potencia de un molino de viento: Calcule la salida de potencia de un aerogenerador que tiene un diámetro de aspa de 80 m, suponiendo una velocidad del viento de 10m/s y una eficiencia total de 15%. Solución: Puesto que el radio del aspa es igual a 40 m, el área de la sección transversal del rotor es A = πr2 = π (40m) 2 = 5.0x103m2. Si pudiera extraerse 100% de la energía del viento disponible, la máxima potencia disponible sería Potencia máxima = 1/2 ρAv2 = 1/2 (1.2 kg/m3) (5.0x103m2) (10m/s) 3 = 3.0 x106 W = 3.0 MW. 45

Como la eficiencia total es de 15%, la potencia de salida es Potencia = 0.15 (potencia máxima) = 0.45 MW. En comparación, una gran planta de turbina de vapor tiene una salida de potencia de 1 GW. En consecuencia, se requerirían 2200 de dichos aerogeneradores para igualar la salida de potencia en estas condiciones. El gran número de generadores requeridos para una salida de potencia razonable es, sin duda, una desventaja fundamental de la generación eólica (véase el problema 52).

Medida del coeficiente de viscosidad: Una placa metálica cuya área de la superficie es igual a 0.15 m2 se conecta a una masa de 8.0 g por medio de una cuerda que pasa sobre una polea ideal (sin masa y sin fricción), como en la figura 15.24. Un lubricante que tiene un espesor de película de 0.30 mm es colocado entre la placa y la superficie. Cuando se suelta, la placa se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 0.085 m/s. Encuentre el coeficiente de viscosidad del lubricante. Solución: Debido a que la placa se mueve con velocidad constante, su aceleración es cero. Se mueve hacia la derecha bajo la acción de la fuerza T ejercida por la 46

cuerda y por la fuerza de fricción f asociada al flujo viscoso. En este caso, la tensión es igual en magnitud al peso suspendido; por lo tanto, f = T = mg = (8.0 x 10-3kg) (9.80 m/s2) = 7.8 x 10-2 N. El lubricante en contacto con la superficie horizontal está en reposo, en tanto que la capa en contacto con la placa se mueve a la velocidad de ésta. Suponiendo que el gradiente de velocidad es uniforme, tenemos PROBLEMAS 1.- Calcule la densidad de un cubo sólido que mide 5.00 cm de lado y cuya masa es de 337.5 g. Cuál es el material? a) Aluminio (ρ = 2.70 g/cm3) 3 b) Hierro (ρ = 7.86 g/cm ) 3 c) Cobre (ρ = 8.92 g/cm ) 3 d) Plata (ρ = 10.5 g/cm ) 3 e) Plomo (ρ = 11.3 g/cm ) 2.- Calcule la densidad de un cubo sólido que mide 5.00 cm de lado y cuya masa es de 982.5 g. Cuál es el material? 3 a) Aluminio (ρ = 2.70 g/cm ) 47

b) c) d) e)

Hierro (ρ = 7.86 g/cm3) Cobre (ρ = 8.92 g/cm3) Plata (ρ = 10.5 g/cm3) Plomo (ρ = 11.3 g/cm3)

3.- Calcule la densidad de un cubo sólido que mide 5.00 cm de lado y cuya masa es de 1312.5 g. Cuál es el material? 3 a) Aluminio (ρ = 2.70 g/cm ) 3 b) Hierro (ρ = 7.86 g/cm ) 3 c) Cobre (ρ = 8.92 g/cm ) 3 d) Plata (ρ = 10.5 g/cm ) 3 e) Plomo (ρ = 11.3 g/cm ) 4.- Por una tubería que tiene una contracción fluye agua (ρ = 1.0 x 103 kg/m3) con una rapidez uniforme. En un punto, donde la presión es de 2.5 x 105 Pa, el diámetro es de 8.0 cm ; en otro punto, 0.50 m más alto, la presión es de 1.5 x 105 Pa y el diámetro es de 4 cm. Encuentre la velocidad del agua en la sección inferior.

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5.- Por una tubería horizontal que tiene una contracción fluye agua (ρ = 1.0 x 103 kg/m3) . La presión es de 4.5 x 104 Pa en un punto donde la rapidez es de 2 m/s y el área es A. Encuentre la rapidez en un punto donde el área es A/4.

6.- Por una manguera para apagar incendios de 6.35 cm de diámetro fluye agua a una razón de 0.012 m3/s. La manguera tiene una boquilla de 2.2 cm de diámetro. ¿Con qué rapidez sale el agua por la boquilla?

7.- Por una tubería horizontal que tiene una contracción fluye agua (ρ = 1.0 x 103 kg/m3) . La presión es 49

de 4.5 x 104 Pa en un punto donde la rapidez es de 2 m/s y el área es A. Encuentre la presión en un punto donde el área es A/4.

8.- Demuestre que solo 89% del volumen total de un icerbeg esta por debajo del nivel del agua. (Recuerde que el agua del mar tiene una densidad de ρ = 1.03 x 103 kg/m3 y que el hielo tiene una densidad de ρ = 0.92 x 103 kg/m3)

9.- Un tubo simple en forma de U que tiene abierto los dos extremos se llena parcialmente con agua (ρ = 1.0 x 103 kg/m3). En estas condiciones se agrega, por unos de los brazos del tubo, aceite (ρ = 0.80 x 103 kg/m3), formando una columna de 6 cm de altura, como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es la diferencia h entre las alturas de la superficies de los dos líquidos, d? 50

10.- Una pieza fundida de hierro (ρ = 7.8 x 103 kg/m3) pesa en el aire 382.2 N y sumergida totalmente en el agua (ρ = 1.0 x 103 kg/m3) 313.6 N. ¿Cuál es el volumen del hueco de dicha pieza? a) 2.0 x 10-3 m3 b) 3.0 x 10-3 m3 c) 4.0 x 10-3 m3 d) 1.0 x 10-3 m3 e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es m3 11.- Demuestre que solo 11% del volumen total de un icerbeg (témpano de hielo) está por encima del nivel del agua. (Recuerde que el agua del mar tiene una densidad de ρ = 1.03 x 103 kg/m3y que el hielo tiene una densidad de ρ = 0.92 x 103 kg/m3.)

12.- Un objeto sólido tiene un peso de 10.29 N en el aire. Cuando se encuentra colgando de un dinamómetro y se 51

sumerge en agua, (ρ = 1.0 x 103 kg/m3) la escala del medidor indica 9.31 N. ¿Cuál es la densidad del objeto?

13.- Una rana en un tazón semiesférico encuentra que flota con el tazón justo al ras del nivel del agua, sin hundirse en un mar azul-verde (ρ = 1.35 x 103 kg/m3 = 1.35 g/cm3). Si el tazón tiene un radio de 6 cm y se desprecia su masa, ¿cual es la masa de la rana ? Ver figura.

14.- La rapidez de flujo del agua a través de una tubería horizontal es de 2.0 m3/min. Determine la velocidad del flujo en un punto donde el diámetro de la tubería es 5.0 cm.

15.- Un lado de un tubo en forma de U simple, figura, se llena con un liquido de densidad ρ1 mientras que el otro lado contiene un liquido de densidad ρ2. Si los líquidos no se mezclan, demuestre que : ρ2 = (h1/h2) ρ1

16.- Una pieza fundida de hierro (ρ = 7.8 x 103 kg/m3) pesa en el aire 382.2 N y sumergida totalmente en el agua (ρ = 1.0 x 103 kg/m3) 333.2 N. ¿Cuál es el volumen del hueco de dicha pieza? a) 1.0 x 10-3 m3 b) 2.0 x 10-3 m3 c) 2.0 x 10-3 m3 d) 4.0 x 10-3 m3 e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es m3 17.- La rapidez de flujo del agua a través de una tubería horizontal es de 2.0 m3/min. Determine la velocidad del flujo en un punto donde el diámetro de la tubería es 10 cm, en m/s.

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18.- Una pieza fundida de hierro (ρ = 7.8 x 103 kg/m3) pesa en el aire 382.2 N y sumergida totalmente en el agua (ρ = 1.0 x 103 kg/m3) 323.4 N. ¿Cuál es el volumen del hueco de dicha pieza? a) 2.0 x 10-3 m3 b) 3.0 x 10-3 m3 c) 4.0 x 10-3 m3 d) 5.0 x 10-3 m3 e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es m3

19.- Por una tubería que tiene una contracción fluye agua (ρ = 1.0 x 103 kg/m3) con una rapidez uniforme. En un punto, donde la presión es de 2.5 x 105 Pa, el diámetro es de 8.0 cm; en otro punto, 0.5 m más alto, la presión es de 1.5 x 10 5 Pa y el diámetro es de 4 cm. Encuentre la velocidad del agua en la sección superior.

20.- Un bloque de madera cuya densidad es de (ρ = 0.80 x 103 kg/m3 = 0.8 gr/cm3) tiene 100 cm de largo, 50 cm de ancho y 45 cm de alto. Si flota en agua cuya densidad es (ρ = 1.0 x 103 kg/m3 =1.0 gr/cm3). ¿Cuál es la altura que sobresale fuera del agua? a) 9 cm b) 7 cm c) 11 cm d) 13 cm e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es cm 21.- Un bloque de madera cuya densidad es de (ρ = 0.80 x 103 kg/m3 = 0.80 gr/cm3) tiene 100 cm de largo, 50 cm de ancho y 45 cm de alto. Si flota en agua cuya densidad es (ρ = 1.0 x 103 kg/m3 =1.0 gr/cm3). ¿Cuál es la altura que esta sumergida dentro del agua? a) 32 cm b) 34 cm c) 38 cm d) 36 cm e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es cm 22.- Un recipiente de altura H se llena completamente de agua (ρ = 1.0 x 103 kg/m3); a una profundidad (altura) h de 53

la parte superior se practica un pequeño orificio de área A. A una profundidad 3.246 h del orificio anterior se practica otro orificio de la misma sección. La diferencia entre los gastos es : a) 1.25 A gh b) 2.00 A

gh

c) 1.50 A

gh

d) 0.59 A gh e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es 23.- Agua (ρ = 1.0 x 103 kg/m3) asciende a través de una tubería que se ancha gradualmente. En la parte superior tiene una área de 24 x 10-4 m2 y esta a 6.0 m por encima de la superficie de la Tierra. La parte inferior tiene una presión de 1.900 x 105 Pa, una área de 12 x 10-4 m2, la rapidez del flujo es de 12.00 m/s y esta a 1.0 m por encima de la superficie de la Tierra. La rapidez en la parte superior es: a) 9.00 m/s b) 6.00 m/s c) 4.00 m/s d) 8.00 m/s e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es m/s 24.- Una esfera hueca de aluminio (ρ = 2.7 g/cm3) flota en el agua (ρ = 1.0 g/cm3) con la mitad de su volumen exterior sumergido. Determine el radio interior si el radio exterior es de 10.0 cm.

25.- Una esfera hueca de hierro (ρ = 7.8 g/cm3) flota en el agua (ρ = 1.0 g/cm3) con la mitad de su volumen exterior sumergido. Determine el radio interior si el radio exterior es de 50.00 cm.

26.- Tenemos varios troncos de madera de forma cilíndrica de diámetro 0.20 m y largo de 5.00 m. La densidad relativa de la madera es 0.70. ¿Cuántos de estos troncos son necesarios para construir una balsa que pueda soportar la masa de 10 personas de 640 kg cuando flota en el agua de un río(ρ = 1.0 x 103 kg/m3)? 54

26.- Tenemos varios troncos de madera de forma cilíndrica de diámetro 0.20 m y largo de 5.00 m. La densidad relativa de la madera es 0.70. ¿Cuántos de estos troncos son necesarios para construir una balsa que pueda soportar la masa de 10 personas de 640 kg cuando flota en el agua de mar(ρ = 1.024 x 103 kg/m3)?

55

MOVIMIENTO OSCILATORIO FÍSICA II MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M.A.S.) La fuerza elástica que ejerce un resorte esta dada por la ley de Hooke: F = - K X

La ecuación que describe un movimiento armónico simple esta dada por la segunda ley de d 2x Newton y se obtiene: F = m 2 = − kx dt La elongación, desplazamiento, acortamiento, compresión, alargamiento del M.A.S. X = A cos (w t + φ) A = Xmáx = Amplitud o máximo valor de X. Amplitud lineal w = 2 π f = Frecuencia angular. f = Frecuencia lineal w t + φ = fase. t = Tiempo.

f=N/t=w/2π

φ = constante de fase

El periodo de oscilación: T = 2 π / w = t / N En este movimiento son constantes: A, w y φ. Son variables: X y t. La velocidad V = - w A sen (w t + φ). La velocidad máxima o la amplitud de la velocidad Vmáx = w A La aceleración a = = -w² A cos (w t + φ) = - w² X. La aceleración máxima o la amplitud de la aceleración se obtiene: amáx = w² A Cuando una partícula vibrante parte de un extremo, la constante de fase es cero.

56

Si la partícula comienza desde el origen, la constante de fase es de 90 y la función coseno se transforma en seno porque la diferencia entre la función coseno y seno del mismo ángulo es de 90 y la función coseno se transforma en la función seno.

F = - K X = - dEpr/dX = - dUr/dX, donde K es la constante del resorte y X es la elongación o desplazamiento. Donde Epr = U es la energía potencial del resorte. La constante del resorte se obtiene de las siguientes maneras: a) Colocando el resorte verticalmente y colocando un peso W = F = mg = K y aplicando la fórmula K = F/y; K = m g/y b) Poniendo a oscilar una masa m unida al resorte y calculando su frecuencia o periodo de oscilación y aplicando las siguientes formulas: m = 1/f; w = 2 π f, entonces K = m w² T = 2π K

m

El número de oscilaciones se representa por N. Una oscilación ocurre cuando la partícula oscilante parte de un extremo, llega al otro extremo y regresa al primer extremo. El período de oscilación (T = P) es el tiempo en dar una oscilación completa se obtiene de las siguientes maneras: m y T = 1/f K La frecuencia lineal (f) es el número de oscilaciones que da la partícula oscilante en la unidad de tiempo. Su unidad se llama Hertz (Hz). Se calcula por: T = t/N; T = 2 π/w; T = 2π

f = N/t; f = 1/T; f = w/2 π y

f =

1 2π

K m 57

La velocidad de la masa oscilante y la aceleración en función del desplazamiento X: K (A2 - X 2 ) V =± y a = - w2 X m Complete la siguiente tabla de valores, aplicando las ecuaciones, si X = 4.00 m cos (5 π t) . El tiempo se mide en segundo. Calcule el periodo de oscilación y divídalo entre 8. Construya los gráficos de X, v y a en función del tiempo, t. t(s) X(m)

0

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

V(m/s) a(m/s2) LA ENERGIA DEL OSCILADOR ARMONICO SIMPLE (O.A.S.) La energía cinética de la masa oscilante en función del tiempo se obtiene: Ec = ½ m V² = ½ m w² A² sen²(w t + φ) = ½ K A² sen²(w t + φ) La energía potencial elástica del resorte en función del tiempo se obtiene: Epr = Ur = ½ K X² = ½ K A²cos²(w t + φ) La energía mecánica total del movimiento armónico simple se obtiene como la suma de la energía cinética más la energía potencial: E = Ec + Epr = ½ K A²{sen²(w t + φ) + cos²(w t + φ)} = ½ K A² Esta energía mecánica es una constante en el M.A.S. y es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud del desplazamiento. La fracción de la energía cinética con relación a la energía mecánica: Ec/E La fracción de la energía potencial con relación a la energía mecánica: Ur /E= Epr/E

58

GRAFICAS DEL DESPLAZAMIENTO, LA VELOCIDAD Y LA ACELERACION EN FUNCION DEL TIEMPO PARA UN CASO PARTICULAR Cuando el objeto comienza en extremo izquierdo del movimiento oscilatorio. x  5cm cos 2t vx  10cm / s sin 5t ax  50cm / s 2 cos 5t

59

GRAFICAS DEL DESPLAZAMIENTO, LA VELOCIDAD Y LA ACELERACION EN FUNCION DEL TIEMPO PARA UN CASO PARTICULAR. Cuando el objeto comienza en extremo derecho del movimiento oscilatorio. x  10cm cos 5t vx  50cm / s sin 5t

ax  250cm / s 2 cos 5t

M(kg) F(N) X(m) K (N/m)

0.10

0.20

RESUELVA Un resorte esta colocado verticalmente por un extremo y el otro extremo se coloca masa de tal manera que el resorte se extiende como indica la figura. Considere el valor de la aceleración de la gravedad 10 m/s2. 0.40 0.50 m

0.05

0.10

0.20

0.25

Determine la constante elástica promedio del resorte y construya el grafico de la fuerza en función de la deformación.

1.- Un cuerpo oscila con un movimiento armónico simple, según la ecuación X = 6.0 cos(π t + π/3), donde las unidades están en el sistema S.I. Para t = 2.0 s, calcule: a) El desplazamiento. b) La velocidad. 60

c) La aceleración. d) La fase. e) La frecuencia lineal del movimiento. f) La velocidad máxima. g) La aceleración máxima. h) Construya los gráficos desplazamiento, velocidad y aceleración en función del tiempo. 2.- Una partícula que se mueve con movimiento armónico simple a lo largo del eje X, empieza desde el origen en t = 0 y se mueve hacia la derecha. Si la amplitud de su movimiento es de 2.00 cm y la frecuencia es de 1.5 Hz. a) Demuestre que el desplazamiento está dado por X = (2.00 cm) sen(3 π t). b) Calcule la máxima rapidez y el tiempo más corto en alcanzarla para t > 0 c) El valor máximo de la aceleración y el tiempo más corto en alcanzarla t > 0 d) La distancia total recorrida en el intervalo de tiempo t = 0 s y t = 1.0 s 3.- En el movimiento armónico Simple, el desplazamiento esta dado por X=A cos(wt+φ). Para t = 0, X = A/√2. ¿Cuál es la constante de fase en radianes? a) π b) π/2 c) π/3 d) π/4 e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es rad 4.- Un resorte horizontal llega a estirarse 0.05 m de su posición natural cuando sobre el actúa una fuerza de 4.0 N. En esta condiciones se fija a un extremo del resorte un cuerpo de 1.25 kg y se le estira 0.08 m, a partir de la posición de equilibrio, sobre una mesa horizontal sin fricción. Entonces se le suelta y sigue un movimiento armónico simple. a) ¿Cuál es la constante del resorte? b) ¿Cuál es la fuerza ejercida por el resorte sobre la masa de 1.25 kg un momento antes de soltarlo? c) ¿Cuál es la rapidez máxima del cuerpo vibrante?

61

5.- Una masa de 3.0 kg se suspende de un resorte colocado verticalmente. Un cuerpo de 0.4 kg, suspendido abajo de la masa, estira al resorte 0.02 m más lo que estaba. Calcule el período de oscilación cuando se pone a oscilar la masa de 3.0 kg. 6.- Un bloque se encuentra sobre una superficie horizontal y se esta moviendo horizontalmente con un M.A.S. de frecuencia 2.0 Hz. El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y el plano es de 0.60. ¿Hasta qué valor puede tener la amplitud para que el bloque no deslice sobre la superficie?

7.- Un objeto que pesa 0.300 N se suspende en un resorte vertical con una constante de fuerza de K = 5.00 N/m. ¿Cuánto se desplaza el resorte? m 8.- Un oscilador armónico simple le toma 10.0 s para completar 20.0 vibraciones. Calcule: a) El período b) La frecuencia c) La frecuencia angular, en rad/s 9.- Una masa de 0.500 kg sujeta a un resorte de constante de fuerza 8.00 N/m, vibra con una movimiento armónico simple con una amplitud de 10.0 cm. Calcule: a) El valor máximo de la velocidad es: b) El valor máximo de la aceleración es: c) La rapidez para X = 6.00 cm de la posición de equilibrio d) La aceleración para X = 6.00 cm de la posición de equilibrio e) El tiempo que le toma la masa en moverse de X = 0 cm hasta

X = 8.00 cm

10.- Cuando la elongación X = A/2, en el MAS. ¿Qué fracción de la energía total es cinética? a) 1/2 b) 1/4 c) 3/4 d) 2/3 e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es 62

11.- Cuando en un oscilador armónico simple la energía potencial es dos terceras partes de la energía total. La elongación (X) en termino de la amplitud es : a) √3 A/2 b) √2 A/2 c) √3 A/3 d) √2 A/√3 e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es A. 12.- En el movimiento armónico simple cuando la elongación o desplazamiento es la mitad de la amplitud. ¿Qué fracción de la energía total es energía potencial almacenada en el resorte? a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/9 e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es . Calculo de la velocidad a partir de la amplitud del desplazamiento (A) y del desplazamiento (X). K 2 (A - X 2 ) = ± w A2 - X 2 V =± m

RESUELVA 1.- Un resorte de constante K = 10 N/m colocado horizontalmente está unido a una masa de 2.0 kg en un extremo y el otro extremo esta unido a una pared. El resorte se extiende 0.050 m a partir de su posición de equilibrio y se le suelta. a) Calcule la velocidad de la masa cuando el valor de X = 0.030 m. b) Calcule la frecuencia angular del movimiento. c) Calcule la energía potencial elástica cuando X = 0.030 m. Una masa de 0.200 kg oscila con movimiento armónico simple a lo largo del eje x. Complete la siguiente tabla de valores, aplicando las ecuaciones, si X = 4.00 m cos (5 π t) . El tiempo se mide en segundo. Calcule el periodo de oscilación y divídalo entre 8. Construya los gráficos de F, Ec, Epr y E a en función del tiempo, t. t(s) X(m)

0

0.05

0.10

0.15

0.20

63

0.25

0.30

0.35

0.40

V(m/s) a(m/s2) Ec(J) Epr(J) E(J) RESORTE QUE SE PARTE EN VARIOS PEDAZOS Resorte de constante K y longitud L que se parte en varios pedazos a) Si se parte en dos pedazos de longitudes L1 y L2, las constantes de cada pedazos se obtienen: La longitud total es: L = L1 + L2 K1 =

KL L1

K2 =

KL L2

Si los dos pedazos son de igual longitud L1 = L2 = ½ L. Entonces las constantes de cada pedazo son iguales: K1 = K2 = 2 K b) Si se parte en tres pedazos de longitudes L1, L2 y L3, las constantes de cada pedazos se obtienen: K1 = K L/L1, K2 = K L/L2 y K3 = K L/L3. L = L1 + L2 + L3 RESUELVA 1.- Un resorte de longitud 12 cm y constante de 20 N/m se parte en dos pedazos. Si uno de los pedazos es el doble del otro, determine la constante del pedazo grande. a) 40 N/m b) 50 N/m c) 60 N/m d) 30 N/m e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es N/m. L1+ L2 = L 2.- Un resorte de longitud 12 cm y constante de 20 N/m se parte en dos pedazos. Si uno de los pedazos es el doble del otro, determine la constante del pedazo pequeño. a) 40 N/m b) 50 N/m c) 60 N/m d) 30 N/m e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es N/m. 64

3.- Un resorte de longitud 40 cm y constante de 30 N/m se parte en tres pedazos. Si uno de los pedazos es el doble del otro, y el tercer pedazo tiene 25 cm. Determine la constante de cada uno de los pedazos.

RESORTES CONECTADOS EN SERIE Tres resortes de longitudes L1, L2 y L3 y constantes respectivas K1, K2 y K3 se conectan en serie como indica la figura. La constante efectiva o equivalente se obtiene de la siguiente manera: L = L1 + L2 + L3. Como K L = F, entonces F = F1 = F2 = F3, las longitudes de los resortes se obtienen: L1 = F/K1, L2 = F/K2 y L3 = F/K3, la constante efectiva se obtiene de la siguiente ecuación: 1/Ks = 1/K1 + 1/K2 + 1/K3 48(1/x)+120(1/x)+240(1/x)= ANS(1/x) La constante efectiva de dos o mas resortes conectados en serie es menor que la constante menor de los resortes. Para dos resortes K1 y K2 conectados en serie, la constante efectiva se obtiene de la siguiente manera: Ks = K1 K2/(K1 + K2) RESORTES DE IGUAL LONGITUD CONECTADOS EN PARALELO Tres resortes de longitudes L1 = L2 = L3 = L y constantes respectivas K1, K2 y K3 se conectan en paralelo como indica la figura. La constante efectiva o equivalente se obtiene de la siguiente manera: F = F1 + F2 + F3. Como K X = F, entonces X = X1 = X2 = X3, las fuerzas de los resortes se obtienen: K1 X = F1, K2 X = F2 y K3 X = F3, la constante efectiva se obtiene de la siguiente manera: Kp X = K1 X + K1 X + K1 X, entonces Kp = K1 + K2 + K3.

La constante efectiva de dos o más resortes conectados en paralelo es mayor que la constante mayor de los resortes, porque la constante efectiva es la suma de las constantes.

65

RESUELVA 1.- Un resorte de constante 4.00 N/m se corta en dos pedazos iguales y se suspenden verticalmente, en paralelo. De dichos resortes, se cuelga un objeto de masa m y oscila con un M.A.S. de frecuencia 1.50 Hz. ¿Cuál es la masa del objeto?

2.- Dos resortes de constantes 20 N/m y 30 N/m se conectan se serie y se colocan verticalmente. Del otro extremo se coloca una masa de 0.5 kg y se pone a oscilar. Calcule el período de oscilación de la masa.

66

3.- ¿Cuál se la constante efectiva de tres resortes de constantes 60, 120 y 160 N/m, cuando se conectan en serie? a) 20 N/m b) 30 N/m c) 32 N/m d) 40 N/m e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es N/m RELACION ENTRE LOS PERIODOS Y LAS MASAS Dos masas m1 y m2 se ponen a oscilar de forma independiente del mismo resorte, y producen los períodos T1 y T2. Como la constante del resorte es la misma, entonces: (T1/T2)² = m1/m2 m RESUELVA 1.- El extremo de un resorte vibra con un período de 2.0 s cuando se le une una masa m. Se determina que el período es de 3.0 s cuando la masa se aumenta en 2.5 kg. El valor de la masa m es : a) 1.6 kg b) 1.2 kg c) 2.0 kg d) 2.4 kg e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es kg. 2.- El extremo de un resorte vibra con un período de 2.0 s cuando se le une una masa m. Se determina que el período es de 3.0 s cuando la masa se aumenta en 0.5 kg. El valor de la masa m es : a) 2.0 kg b) 1.2 kg c) 1.6 kg d) 2.4 kg e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es kg. EL PENDULO SIMPLE Un péndulo simple esta formado por una masa puntual(en forma de una esfera) sostenida por un hilo inextensible de longitud L que oscila en un plano vertical con una amplitud angular Θ ≤ 15º. Si Θ es pequeño, Θ ≤ 15º, sen Θ ≈ Θ (en radianes). El período de oscilación del péndulo simple se obtiene: L T = 2π . g

67

El péndulo simple se utiliza para determinar la gravedad de un lugar determinado con una regla o cinta métrica y un cronómetro. Solo hay que medir la longitud del péndulo y ponerlo a oscilar con una pequeña amplitud y contar cuanta oscilaciones completas da en un tiempo dado. Se determina T = t/N y se aplica la formula: g = 4 π² L/T². RESUELVA 1.- Un péndulo simple de longitud 1.00 m efectúa 100 oscilaciones en 204 s en cierto lugar. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en dicho lugar?

RELACION ENTRE LOS PERIODOS Y LAS LONGITUDES DE DOS PENDULOS SIMPLES Como el período de oscilación es independiente de la masa, entonces cuando una masa se pone a oscilar de dos hilos L1 y L2, en forma de un péndulo simple. La relación por cociente entre sus períodos y sus longitudes se obtiene: (T1/T2)² = L1/L2 RESUELVA 1.- Si la longitud de un péndulo simple se cuadruplica. a) ¿Qué le sucede a su período? b) ¿Qué le sucede a su frecuencia? EL PENDULO DE TORSION Consideremos un cuerpo rígido que puede oscilar en un plano horizontal alrededor de un alambre de tal manera que este se tuerza con una amplitud angular pequeña Θ ≤ 15º. La causa que produce la oscilación es la torca o momento de rotación, alrededor de la posición de equilibrio. La ecuación diferencial del movimiento es la siguiente: τ = - k Θ = I α = I d²Θ/dt², donde k es la constante de torsión, I es la inercia rotacional del cuerpo rígido y Θ es la posición angular en radianes.

La solución de la ecuación diferencial anterior es: Θ = Θm cos(w t + φ), donde Θm es la amplitud angular en radianes. El período de oscilación (T) del péndulo de torsión se obtiene: I , donde I es la inercia rotacional alrededor del punto de sustentación. T = 2π k 68

RELACION ENTRE LOS PERIODOS Y LAS INERCIAS TABLA DE INERCIA PAGINA 304 Dos objetos de inercias I1 y I2 se ponen a oscilar de forma independiente del mismo péndulo de torsión, y producen los períodos T1 y T2. Como la constante de torsión es la misma, entonces: (T1/T2)² = I1/I2 RESUELVA 1.- Una varilla delgada de 0.20 kg y longitud 0.10 m se suspende por medio de un hilo que pasa por su centro y es perpendicular a su longitud. Se tuerce el hilo y la varilla comienza a oscilar. Se encuentra que su período es de 2.0 s. Cuando un cuerpo plano en forma de triángulo equilátero se suspende de una manera semejante por su centro de masas, se encuentra que su período es de 6.0 s. Calcule la inercia rotacional del triángulo respecto a este eje.

EL PENDULO DE FISICO Consideremos un cuerpo rígido que puede oscilar en un plano vertical alrededor de un punto de suspensión de tal manera que este oscile con una amplitud angular pequeña Θ ≤ 15º. La causa que produce la oscilación es la torca o momento de rotación, alrededor de la posición de equilibrio. La ecuación diferencial del movimiento es la siguiente: τ = - M g d sen Θ ≈ - M g d Θ = I α = I d²Θ/dt², donde I es la inercia rotacional del cuerpo rígido alrededor de un eje que pase por el punto de suspensión, d es distancia que existe del centro de gravedad al punto de suspensión y Θ es la posición angular en radianes.

la

La solución de la ecuación diferencial anterior es: Θ = Θm cos(w t + φ), donde Θm es la amplitud angular en radianes. El período de oscilación del péndulo de físico se obtiene: T = 2π

I . Mgd

La longitud del péndulo simple equivalente del péndulo físico se obtiene de la siguiente manera: L = I/M d. RELACION ENTRE LOS PERIODOS Y LAS INERCIAS Dos objetos de inercias I1 y I2 se ponen a oscilar de forma independiente del mismo péndulo físico, entonces los períodos son respectivamente T1 y T2. La relación por cociente entre sus períodos y sus inercias, si las masas y las distancias el punto de suspensión al centro de gravedad son iguales, se obtiene: 69

(T1/T2)² = I1/I2 ALGUNAS IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 1) sen 2 φ + cos 2 φ = 1

2) tan φ =

sen φ cos φ

1 1 3) sen α ± sen β = 2 sen ( α ± β ) cos ( α mβ ) 4) cos ( α ± β ) = cos α cos β msen α sen β 2 2 5) sen ( α ± β ) = sen α cos β ± sen β cos α 6) sen 2 φ = 2 sen φ cos φ 7) cos 2 φ = cos 2 φ - sen 2 φ = 2 cos 2 φ - 1 = 1 - 2 sen 2 φ DOS MOVIMIENTOS ARMONICOS PERPENDICULARES a) Consideremos dos movimientos armónicos simples mutuamente perpendiculares y que tienen la misma frecuencia angular. Las ecuaciones de estos dos movimientos son: X = Ax cos(w t + φx) e Y = Ay cos(w t + φy). La ecuación que describe el movimiento resultante viene dada por la siguiente expresión: XY X 2 Y 2 XY 2 cos ( φ x - φ y ) = + 1-( ) -( ) +( ) Ax A y Ax Ay Ax A y RESUELVA Y HAGA EL GRAFICO EN UN CALCULADORA QUE GRAFIQUE. 1.- Los electrones de un osciloscopio son desviados por la acción de dos campos eléctricos mutuamente perpendiculares de manera tal, que en un tiempo cualquiera t, el desplazamiento esta dado por: X = 2 A cos wt Y = 3 A cos(wt + π/4) Determine la ecuación y bosqueje la trayectoria de los electrones. Si A = 1 y w = π

2.- Los electrones de un osciloscopio son desviados por la acción de dos campos eléctricos mutuamente perpendiculares de manera tal, que en un tiempo cualquiera t, el desplazamiento esta dado por: X = A cos wt Y = A cos(wt + π/2) Determine la ecuación y bosqueje la trayectoria de los electrones, si A = 2 y w = π/4.

70

3.- Los electrones de un osciloscopio son desviados por la acción de dos campos eléctricos mutuamente perpendiculares de manera tal, que en un tiempo cualquiera t, el desplazamiento esta dado por: X = A cos wt Y = A cos(wt + π/6) Determine la ecuación y bosqueje la trayectoria de los electrones, si A = 1 y w = 2π.

4.- Los electrones de un osciloscopio se desvían por la acción de campos perpendiculares entre si, de tal manera que en un instante cualquiera, el desplazamiento esta dado por X= 2A sen wt y Y = A sen wt. La trayectoria que describen los electrones es a) Una línea recta con pendiente 1 b) Una línea recta con pendiente 2 c) Una línea recta con pendiente 0.5 d) Una línea recta con pendiente A. 71

Consideremos dos movimientos armónicos simples mutuamente perpendiculares y que no tienen la misma frecuencia angular. Las ecuaciones de estos dos movimientos son: X = Ax cos(wx t + φx) e Y = Ay cos(wy t + φy). Si wy/wx = N, donde N es un número que puede ser entero o fraccionario. La ecuación que describe el movimiento resultante se obtiene de la siguiente manera: 1) Se desarrolla una de las expresiones que tiene ángulo doble, triple, enésimo, mitad, tercera, en función de las funciones trigonométricas coseno o seno del ángulo simple, generalmente. 2) Se desarrolla la otra expresión en función de las funciones trigonométricas coseno o seno del ángulo simple, generalmente. 3) Se sustituye una de las expresiones simple en el desarrollo de la otra de tal manera que la ecuación resultante quede expresada en función de las amplitudes y la constante de fase La trayectoria que describe el movimiento ya no es una elipse, sino una figura que se llama una curva de Lissajous, es recuerdo de Jules Antoine Lissajous, quien fue el primero que encontró dichas curvas en 1857. 1) Si wy/wx = N es un número racional, de manera que las frecuencias angulares son medibles, entonces la curva es "cerrada" y el movimiento se repite después de intervalos regulares de tiempo. Considere que Ax = Ay = A y que φx = φy = φ y dibuje las curvas de Lissajous para N = ½, 1/4, 2, 3, etc. 2) Sea wy/wx = N es un número racional, por ejemplo N = ½ y demuéstrese entonces que la forma de la curva de Lissajous depende de la diferencia de las constantes de fases, φx - φy . Dibújense las curvas para φx - φy = φ = 0, π/4 y π/2 en radianes. 3) Si wy/wx = N no es un número racional, entonces la curva es "abierta". El lector puede convencerse por sí mismo de que después de mucho tiempo la curva pasara por cualquier punto del rectángulo limitado por X = ± Ax e Y = ± Ay, y que la partícula nunca pasara dos veces con la misma velocidad por un punto dado. En forma más concreta, supóngase que φx = 0 en todo el análisis. RESUELVA 1.- Encontrar la ecuación de la trayectoria de la partícula de combinar los dos movimientos armónicos simples: X = A cos wx t e Y = A cos (2 wx t ± ½ π). En una calculadora o computadora, trace el gráfico de Y = f(X).

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2.- Los electrones de un osciloscopio son desviados por la acción de dos campos eléctricos mutuamente perpendiculares de manera tal, que en un tiempo cualquiera t, el desplazamiento esta dado por: X = 2 A cos w t Y = A cos(2 w t + π/4) Determinar la ecuación y bosqueje la trayectoria de los electrones.

EL MOVIMIENTO ARMONICO AMORTIGUADO La amplitud de las oscilaciones de cualquier sistema oscilatorio disminuye poco a poco hasta cero, como resultado de la fricción. Se dice que el movimiento está amortiguado por la fricción. La fricción proviene, a menudo, de la resistencia del aire o de las fuerzas internas. Por lo común la magnitud de la fuerza de fricción depende de la rapidez. En la mayoría de los casos de interés, la fuerza de fricción es directamente proporcional a la velocidad, pero su sentido es opuesto al de ella. La ecuación del movimiento del oscilador armónico amortiguado queda determinada por la segunda ley de Newton del movimiento: dX d2X d2X dX Ecuación 4 - K X -b =m o m +b + K X =0 . 2 2 dt dt dt dt Si b es una constante pequeña, la solución de la ecuación diferencial se obtiene de la siguiente manera: K b 2 X = A e -b t/2 m cos(w′ t + φ ) en donde w′ = -( ) Ecuación 2 m 2m K w' se llama frecuencia amortiguada, wo = se llama frecuencia m natural o sin amortiguamiento. La frecuencia amortiguada es generalmente menor que la frecuencia natural. m

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RESUELVA 1.- El cuerpo del sistema mostrado en la figura de la derecha tiene una masa de 1.5 kg y la constante del resorte es de 8.0 N/m. Supóngase que se desplaza hacia abajo al cuerpo 0.12 m y después se le suelta. Si la fuerza de fricción esta determinada por -b dX/dt, en donde b = 0.23 kg/s. Determinar el número de oscilaciones del cuerpo en el intervalo de tiempo necesario para que la amplitud disminuya a un tercio de su valor inicial.

LAS OSCILACIONES FORZADAS La energía de un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo debido a la fuerza de fricción. La perdida de energía se compensa aplicando una fuerza externa oscilatoria, la cual hace un trabajo positivo sobre el sistema. En cualquier instante, se puede agregar energía al sistema aplicando una fuerza que actúe en la dirección del movimiento del oscilador. La amplitud del movimiento permanecerá constante si la energía de entrada en cada ciclo del movimiento es exactamente igual a la energía que se pierde por la fricción. Para el caso de un reloj de cuerda la energía la suministra la cuerda y para un reloj de pila, la energía la suministra la pila. Si la fuerza externa oscilatoria es de la forma F = Fo cos w t, donde w es la frecuencia angular de la fuerza externa y Fo es una constante. Aplicando la segunda ley de Newton, se obtiene: dX d 2X 3 =m F o cos w t - K X - b dt d t2 La solución de esta ecuación viene dada por la siguiente expresión: Fo / m X = A cos (w t + φ ) en donde A = bw 2 (w2 - wo 2 )2 + ( ) m 4 K bwA φ = arc cos wo = m Fo donde wo es la frecuencia del oscilador no amortiguado (b = 0). Se puede argumentar físicamente que en el estado estacionario del oscilador debe tener la misma frecuencia que la que tiene la fuerza impulsora, así que la solución de la ecuación diferencial era esperada. De hecho, cuando la solución se sustituye en la ecuación diferencial, uno encuentra que es realmente una solución siempre que la amplitud esté dada por A, en la solución de la ecuación. 74

En el movimiento del oscilador forzado no es amortiguado, ya que se esta impulsando por una fuerza externa. El agente externo proporciona la energía necesaria para compensar la energía que se pierde por la fuerza de fricción. La masa oscila con la frecuencia de la fuerza impulsora. La resonancia.- Para amortiguamiento pequeño, la amplitud aumenta cuando la frecuencia de la fuerza impulsora se aproxima a la frecuencia natural de oscilación, o cuando w ≈ wo . El aumenta tan significativo de la amplitud cerca de la frecuencia natural se conoce como resonancia, y la frecuencia wo se llama frecuencia de resonancia del sistema. Cuando un sistema capaz de oscilar está accionado por una serie periódica de impulsos que tengan una frecuencia igual a una de las frecuencias naturales de oscilación del sistema, este sistema empezará a oscilar con una amplitud relativamente grande. Este fenómeno se llama resonancia. PROBLEMAS 1.- Un resorte horizontal se estira 0.0760 m a partir de su posición de equilibrio cuando se le aplica una fuerza de 3.34 N. Luego se fija un cuerpo de 6.68 N de peso al extremo del resorte y se jala 0.102 m a lo largo de una mesa horizontal sin rozamiento a partir de la posición de equilibrio. Entonces se suelta el cuerpo y ejecuta un movimiento armónico simple. Calcule: a)

La constante de fuerza del resorte

b)

La fuerza que ejerce el resorte sobre el cuerpo de 6.68 N cuando se suelta el resorte

c)

El periodo de oscilación después de saltar el resorte.

d)

La amplitud del movimiento

e)

La máxima velocidad del cuerpo en vibración

f)

La máxima aceleración del cuerpo

g) La velocidad, aceleración, energía cinética y potencial del cuerpo cuando este se encuentra a la mitad de la distancia entre su posición extremo y la de equilibrio.

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MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE COMO LA PROYECCION DE UN M.C.U. 2.- Una partícula gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj en un circulo de radio 3.0 m con una rapidez angular constante de 8.00 rad/s, como se muestra en la figura. En t = 0, la partícula tiene una coordenada x = 2.00 m. a) Calcule la coordenada x como función del tiempo. b) Encuentre las expresiones de las componentes horizontal (sobre el eje x) de la velocidad y la aceleración de la partícula para cualquier tiempo t. c) Calcule la velocidad máxima y la aceleración máxima. 3.- En t = 0 una partícula que se mueve con un movimiento armónico simple se encuentra en xo = 0.162 m, donde su velocidad es vo = -1.477 m/s. Si el periodo de movimiento es 0.500 s y la frecuencia es de 2.00 Hz, encuentre: a) la constante de fase; b) la amplitud; c) el desplazamiento, la velocidad y la aceleración como función del tiempo d) la velocidad y la aceleración máxima.

4.- En t = 0 una partícula que se mueve con un movimiento armónico simple se encuentra en xo = 0.141 m, donde su velocidad es vo = -1.777 m/s. Si el periodo de movimiento es 0.500 s y la frecuencia es de 2.00 Hz, encuentre: a) la constante de fase; b) la amplitud; c) el desplazamiento, la velocidad y la aceleración como función del tiempo d) la velocidad y la aceleración máxima.

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5.- Una masa M se conecta a dos resortes de constantes de fuerza K1 y K2, como se muestra en la figura. La masa se mueve sobre una superficie horizontal sin fricción al desplazarse del equilibrio y soltarse. Demuestre que el periodo de m oscilación esta dado por: T = 2π K1 + K 2

6.- Una masa m se conecta a dos resortes de constantes de fuerza K1 y K2, como se muestra en la figura . La masa se mueve sobre una superficie horizontal sin fricción al desplazarse de equilibrio y soltarse. Demuestre que el periodo de oscilación esta dado por: m( K 1 + K 2 ) T = 2π K1 K 2

7.- Dos resortes de constantes 30 N/m y 60 N/m y cuyas longitudes sin estirar son 20 cm y 10 cm se conectan en serie, verticalmente, y entre ellos se coloca un objeto de masa 0.9 kg que mantiene la suma de sus longitudes constante = 30 cm. Considere el valor de la gravedad 10 m/s2. ¿Cuánto se extiende y se comprime cada uno de los resortes? ¿Cuál es la fuerza que ejerce cada uno de los resortes? mg K1 y  K 2 y  mg  0  y   0.1m  K1 y  3 N  K 2 y  6 N K1  K 2 Si los resortes tienen las mismas constantes elásticas y las mismas longitudes iniciales, la cantidad que se extiende y comprime cada uno de los resortes es: mg mg y  K  K 2K

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m

SEÑALE LAS RESPUESTAS CORRECTAS 1.- En un movimiento armónico simple, la energía cinética máxima: a) Coincide con la mecánica b) Coincide con la potencial elástica mínima c) Se consigue en los extremos de oscilación d) Es menor que la mecánica total 2.- En un movimiento armónico simple, la energía potencial elástica máxima: a) Coincide con la cinética mínima b) Se consigue en los extremos de oscilación c) Es igual que la mecánica total d) Las respuestas b y c son ambas correctas 3.- El periodo de oscilación de un sistema masa + resorte que vibra verticalmente: a) Depende de la amplitud de oscilación b) Depende de la masa oscilante c) Depende de la constante del resorte d) Depende de la constante del resorte y de la masa oscilante 4.- En todo movimiento armónico simple, se mantiene constante: a) La velocidad b) La aceleración c) La fuerza d) La amplitud 5.- El punto de equilibrio estable de una partícula con movimiento armónico simple, corresponde a: a) Su máxima energía potencial elástica b) Su mínima energía potencial elástica c) Una energía mecánica mínima d) Una energía mitad cinética, mitad potencial elástica 6.- En todo movimiento armónico simple, se mantiene constante: a) La frecuencia b) La aceleración c) La fuerza d) La velocidad 7.- En todo movimiento armónico simple, se mantiene constante: a) La velocidad b) La constante de fase c) La fuerza d) El desplazamiento

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8.- En todo movimiento armónico simple, cuando el desplazamiento es máximo: a) La velocidad es máxima b) La aceleración es mínima c) La velocidad es nula d) La fuerza es nula 9.- La ecuación diferencial del movimiento armónico simple a lo largo del eje X es: a) K d2X/dt2 + X = 0 b) dX/dt + KX/m = 0 c) m d2X/dt2 + K X = 0 d) m d2X/dt2 + X/K = 0 10.- En el movimiento armónico simple la expresión del desplazamiento esta dada por: X = A cos (w t + ). La A representa: a) El desplazamiento b) La amplitud del movimiento c) La frecuencia angular d) La constante de fase 11.- Se suspende de un resorte una masa de 1 kg y queda en equilibrio en el punto 3. Se tira de ella un poco hasta el 5, y se la suelta desplazándose 4 cm hacia arriba. Durante cierto tiempo la masa realiza un movimiento armónico simple de periodo 0.80 s. ¿En qué punto o puntos es máxima (en valor absoluto) la aceleración del movimiento? a) Sólo en 1 b) Sólo en 3 c) Sólo en 2 y 4 d) Sólo en 1 y 5 12.- Se suspende de un resorte una masa de 1 kg y queda en equilibrio en el punto 3. Se tira de ella un poco hasta el 5, y se la suelta desplazándose 4 cm hacia arriba. Durante cierto tiempo la masa realiza un movimiento armónico simple de periodo 0.80 s. ¿En qué punto o puntos es máxima (en valor absoluto) la velocidad de la pesa? a) Sólo en 1 b) Sólo en 3 c) Sólo en 2 y 4 d) Sólo en 1 y 5 13.- Se suspende de un resorte una masa de 1 kg y queda en equilibrio en el punto 3. Se tira de ella un poco hasta el 5, y se la suelta desplazándose 4 cm hacia arriba. Durante cierto tiempo la masa realiza un movimiento armónico simple de periodo 0.80 s. ¿En qué punto o puntos de los señalados puede ser la velocidad de sentido contrario a la aceleración en el movimiento? a) Sólo en 1 b) Sólo en 3 c) Sólo en 2 y 4 d) Sólo en 1 y 5 79

14.- Se suspende de un resorte una masa de 1 kg y queda en equilibrio en el punto 3. Se tira de ella un poco hasta el 5, y se la suelta desplazándose 4 cm hacia arriba. Durante cierto tiempo la masa realiza un movimiento armónico simple de periodo 0.80 s. Si la masa inicialmente hubiese sido desplazada sólo 2 cm hasta el punto 4. ¿Cuál será el período de vibración ahora? a) 0.80 s b) 3.20 s c) 1.60 s d) 0.40 s e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es ______ s 15.- Un resorte colgado verticalmente por un extremo tiene una constante K y de el se cuelga una masa m. El resorte se corta por la mitad y luego se suspende de una de las mitades la misma masa. La nueva frecuencia será: a) Mayor que la primera b) Igual que la primera c) Menor que la primera d) Cero. MOVIMIENTO ONDULATORIO Objetivos específicos: Reconocer la importancia del movimiento ondulatorio en el mundo que nos rodea. Definir ondas mecánicas. Estudiar las características de las ondas transversales. Describir cómo se originan las ondas sonoras. Ilustrar cómo se propagan las ondas sonoras en el aire. Conocer para cuáles frecuencias el oído humano tiene mayor sensibilidad. Contenido: Concepto de onda. Ondas transversales en una cuerda. Reflexión de ondas. Resonancia. Ondas longitudinales. Concepto de sonido. Origen del sonido. Ondas sonoras en el aire. Velocidad del sonido. Intensidad acústica. Respuesta del oído a la frecuencia. Tono y timbre. Interferencia de ondas sonoras. Pulsaciones. Efecto Doppler. Actividades del profesor y alumno: Producir ondas estacionarias. Comprobar la relación entre la velocidad de la onda y la tensión de la cuerda. Explicar por qué el sonido no puede propagarse en el vacío. Dibujar una onda sinusoidal y señalar en ellos: cresta, valle, longitud de onda y amplitud. Evaluación: Participación activa de los estudiantes en los experimentos. Observación del trabajo en el aula. Ejercicios escritos al final de la unidad. Recursos: Vibrador eléctrico, diapasón, una cuerda, juego de pesas, platillo y polea. 80

La onda es una modificación de un medio físico que , como consecuencia de una perturbación inicial, se propaga por el mismo en forma de oscilaciones periódicas. La mayor parte de las ondas son periódicas, es decir, se repiten en intervalos de tiempos iguales; por lo tanto se representan por medio de las funciones seno y coseno que son funciones periódicas y armónicas. Las ondas mecánicas que se analizaran requieren: 1) Alguna fuente que produzca la perturbación 2) Un medio que se pueda perturbar 3) Una conexión o mecanismo físico por medio del cual los puntos adyacentes del medio puedan interactuar unos con otros. Todas las ondas transportan energía. La cantidad de energía transportada a través del medio y el mecanismo responsable para el transporte de energía difiere de caso a caso. Para caracterizar a las ondas se requieren tres conceptos físicos importantes: 1) La longitud de onda (λ) que es la distancia mínima entre dos puntos de una onda que se comportan igualmente. 2) La frecuencia de una onda (f o v) es el numero de vibraciones que ocurren en cada unidad de tiempo. f = N/t, donde N es el numero de vibraciones, t es el tiempo y f el la frecuencia que se mide en Hertz (Hz = 1/s = s-1). Es la rapidez con la que se repite la onda en cada unidad de tiempo. 3) La velocidad de la onda (v) es especifica, la cual depende de las propiedades del medio que se F perturba. La velocidad se calcula: v = , donde F es la fuerza y µ es la densidad lineal de la µ cuerda o la masa de la cuerda por unidad de longitud (µ = m/L). Otros conceptos están relacionados con los anteriores y son: 1) El numero de onda (k) y se obtiene: k = 2 π/λ 2) La frecuencia angular (w) y se obtiene: w = 2 π f = 2 π/T La longitud de onda está relacionada con la velocidad, el período y la frecuencia de la siguiente manera: λ = v T = v/f. La frecuencia angular está relacionada con la velocidad y en numero de onda de la siguiente manera: w = k v.

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LOS TIPOS DE ONDAS a) Onda transversal es aquella en la cual las partículas del medio perturbado vibran perpendicularmente a la velocidad de la onda.

b) Onda longitudinal es aquella en la cual las partículas del medio perturbado vibran en la misma dirección a la velocidad de la onda.

Las ondas luminosas no son ondas mecánicas. La perturbación que se propaga no corresponde a movimiento de materia, sino al del campo electromagnético. Como el campo eléctrico y el campo magnético son perpendiculares entre si, las ondas luminosas son transversales. Algunas ondas no son ni totalmente transversales ni totalmente longitudinales. Las ondas en la superficie del agua cuando se deja caer una piedra son ejemplo, pues las partículas del agua se mueven hacia arriba y hacia abajo y hacia adelante y hacia atrás. Las ondas se clasifican también en una dimensión, en dos dimensiones y en tres dimensiones en las que se propague la energía. Las ondas que se transmiten a lo largo de una tensa como en un teléfono de hilo con dos vasos o un resorte que vibran en una misma dirección son ondas unidimensionales. Las ondas que se transmiten en dos dimensiones o en una superficie se llaman ondas en dos dimensiones o superficiales. Las ondas que se transmiten en tres dimensiones se llaman espaciales o tridimensionales. 82

LAS ONDAS VIAJERAS Consideremos una cuerda estirada en la dirección del eje x y fija en ambos extremos y por la cual está viajando una onda transversal de forma senoidal. La ecuación que describe tal onda se puede expresar de la siguiente manera: y  Asen( kx  wt   ) ¿Qué es una onda? La propagación espacio temporal de un estado vibratorio. Es un aspecto muy importante y fundamental de la propagación de las ondas. Es un mecanismo para transmitir energía entre dos puntos en el espacio que no necesita la alteración física del material o medio. ¿Qué son ondas mecánicas" Son ondas que viajan a través de medios deformables o elásticos. ¿Qué son ondas longitudinales? Son aquellas que las partículas de medio vibran o se mueven paralelas a la dirección del movimiento ondulatorio. ¿Qué son ondas transversales? Son aquellas que las partículas del medio perturbado se mueve perpendicularmente al movimiento de la onda ¿A qué llamamos la frecuencia de una onda? Es el número de ciclos por unidad de tiempo que se repite la onda. La frecuencia se calcula dividiendo el número de ciclos entre el tiempo que pasan. Si N representa el número de ciclos y t el tiempo y f la frecuencia, entonces: N La unidad de la frecuencia es el Hertz (Hz). f  t ¿A qué llamamos la amplitud de una onda? Es la máxima desviación con relación a la posición de equilibrio. La amplitud se expresa por las letras A o Ym. La ecuación general de una onda senoidal o sinusoidal transversal

¿A qué llamamos longitud de onda? 83

Es la distancia más corta entre dos puntos que tienen características idénticas o la distancia más corta entre dos puntos que vibran en el mismo sentido. Se expresa por lambda, λ. Período (T) es el tiempo en que ocurre un ciclo. Relación entre el período y la frecuencia: T = 1/f o f = 1/T La frecuencia angular se obtiene: w = 2 π f = 2 π/T La velocidad de propagación de la onda se obtiene: λ v= =λf T 2π k= El número de onda (k) se obtiene: λ La fase de una onda es un estado temporal. La fase se obtiene: K X ± w t + φ La constante de fase, φ, se obtiene con las condiciones iniciales del problema o gráfica de la onda para t = 0 En una onda hay 360º, una longitud de onda (λ) y un periodo (T). Podemos establecer la relación con la posición, el tiempo y el ángulo mediante la ecuación: x θ t = = λ 360 T

PROBLEMAS

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1.- Una onda transversal armónica simple se está propagando a lo largo de una cuerda hacia la izquierda. La figura muestra un trazo del desplazamiento en función de la posición para t = 0 s. La velocidad de propagación de la onda es 1200 cm/s. Calcule: a) La amplitud b) La constante de fase. c) La longitud de onda d) El número de onda e) La frecuencia f) La frecuencia angular g) Escriba la ecuación de onda

2.- ¿Cuál es la longitud de onda de un sonido que se mueve con una velocidad de 330 m/s con una frecuencia de 440 Hz? 3.- ¿Cuál es el número de onda de un sonido que se mueve con una velocidad de 330 m/s con una frecuencia de 440 Hz? Reflexión es el fenómeno que ocurre cuando una onda choca y rebota y en el mismo medio. Refracción es el fenómeno que ocurre cuando una onda choca y penetra a otro medio de diferente densidad, propagándose en los dos medios con diferentes velocidades. Principio de Superposición. El desplazamiento en un punto determinado debido a dos o más ondas es la suma vectorial de los desplazamientos de cada onda actuando en forma individual. Interferencia de ondas. Es la combinación de dos o más ondas en un punto determinado. Consideremos dos ondas senoidales que tienen la misma amplitud, A, tiene el mismo numero de onda, k, tienen la misma frecuencia angular, w, y cuya diferencia de fases es φ. Estas ondas se expresan por:

y1 = Asen(kx − wt )

y2 = Asen(kx − wt − φ )

φ y = y1 + y2 = 2 A cos( ) sen(kx − wt − φ / 2) 2 Interferencia constructiva 85

Ocurre cuando las ondas se mueven con la misma velocidad y tiene la misma frecuencia y constante de fase. Consideremos dos ondas y su resultante. y1 = 3.00 sen(2π x − 120π t )

y2 = 5.00 sen(2π x − 120π t ) y = y1 + y2 = 8.00 sen(2π x − 120π t )

Interferencia destructiva Ocurre cuando las ondas se mueven con la misma velocidad y tiene la misma frecuencia y diferencia de fases es de 180º = π y tiene la misma amplitud, las ondas se destruyen. Consideremos dos ondas y su resultante. y1 = 3.00 sen(2π x − 120π t )

y2 = 3.00 sen(2π x − 120π t − π )

y = y1 + y2 = 0

¿Cuáles son la amplitud, la longitud de onda, la velocidad de propagación y la frecuencia de una onda cuyo desplazamiento está determinado y = (0.20m) sen(0.4π x + 14π t ) por: ? Ondas estacionarias Es la superposición de una onda incidente y la otra reflejada donde los nodos y los antinodos permanecen en localizaciones fijas. Consideremos dos ondas que tienen la misma amplitud, se mueven con la misma velocidad, tienen el mismo número de onda, pero viajan en sentidos opuestos. Estas ondas se expresan:

y1 = Asen(kx + wt ) La onda resultante es:

y2 = Asen(kx − wt ) y = y1 + y2 = 2 A s en( kx)cos ( wt )

Los nodos son los puntos que permanecen en reposo. Están separados entre si media longitud de onda. Los antinodos son los puntos de amplitud máxima. Están separados entre si media longitud de onda. 86

La distancia entre un nodo y antinodo adyacente es un cuarto de una longitud de onda.

Deje caer una piedra, grano de maíz o grano de habichuela en una batea o ponchera con agua. Dibuje lo que observa en el lado derecho.

Resonancia Cuando la frecuencia externa es igual a una de las frecuencias fundamentales de un sistema, la amplitud de las oscilaciones aumentan y el sistema se dice que está en resonancia. Las ondas sonoras Se generan por la vibración de algún objeto. La velocidad del sonido en el aire a una temperatura de 27º C es de 340 m/s y a una temperatura de 0oC es de 330 m/s. La velocidad del sonido como función de la temperatura en grado Celsius (T). V(T) = 331.5 + 0.607 T Las ondas sonoras se propagan en cualquier medio, no se propagan en el vacío. Respuesta del oído a la frecuencia. El oído humano escucha las frecuencias comprendida entre 20 Hz y 20,000 Hz que se le llama frecuencia audible. La intensidad del sonido Es la cantidad de energía que cruza un área unitaria en un tiempo. Es la potencia que cruza el área unitaria. La superficie de una esfera esta a igual distancia de la fuente. P P I= = A 4π r 2 Niveles de intensidades; decibeles.

β = 10 log10 ( I I ) o

Donde Io se llama intensidad umbral y tiene el valor de 10-12 watt/m2. Tono Grado de elevación de lo voz o del sonido de un instrumento. 87

Timbre. Sonido característico de una persona o instrumento. Efecto Doppler Es el cambio en la frecuencia que sufre un sonido cuando hay un movimiento relativo entre el observador y la fuente de sonido. La frecuencia de la fuente es f, la frecuencia percibida por el observador es f’, la velocidad del sonido en el aire es v, la velocidad del observador es v o y la velocidad de la fuente de sonido es vf o la velocidad con la que se mueve la fuente. 1 ± vo / v f '= f( ) 1 mv f / v Un pulso que se mueve hacia la derecha: Un pulso de onda que se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x se representa por medio de la función de onda 2 y ( x, t ) = ( x − 3t ) 2 + 1 donde x e y se miden en centímetro y t está en segundos. Ahora se debe graficar la forma de la onda en t = 0, t = 1.0 y t = 2.0 s. Solución: Primero observe que esta función es de forma y = f(x-vt). Por inspiración, vemos que la velocidad de la onda es v = 3.0cm/s. Además, la amplitud de la onda (el valor máximo de y) está dado por A = 2.0cm. En los tiempos t = 0, t = 1.0 s y t = 2.0s, las expresiones de la función de onda son y (x,0) = y ( x, 0) =

2 x +1

y ( x,1.0) =

2

2 ( x − 3) 2 + 1

2 ( x − 6.0) 2 + 1 Podemos usar ahora estas expresiones para graficar la función de onda contra x en estos tiempos. Por ejemplo, al evaluar y(x,0) en x = 0.50 cm: y(0.50,0) = 1.6 cm y ( x, 2.0) =

88

De igual modo, y(1.0,0) = 1.0cm, y(2.0,0) = 0.40cm, etcétera. Una continuación de este procedimiento para otros valores de x produce la forma de onda mostrada en la figura 16.7 a. De manera similar, es posible obtener la gráfica de y(x,1.0) y y(x,2.0) mostrada en la figura 16.7b y 16.7c, respectivamente. Estas instantáneas indican que el pulso de onda se mueve hacia la derecha sin cambiar su forma y tiene una velocidad constante de 3.0 cm/s. 2 para:. a) t =0, b) t =1s y c) t =2s. Son las graficas ( x − 3t ) 2 + 1 anteriores trazadas para cada valor de tiempo. Gráficas de la función y ( x, t ) =

Problema 1.- Una cuerda uniforme tiene una masa de 0.300 kg y una longitud total de 6.00m (5m se mantienen horizontal y 1 m cuelga verticalmente). Calcule la velocidad de un pulso en esta cuerda. Solución: La tensión F en la cuerda es igual al peso de la masa suspendida de 2.00 kg. F = mg = (2.00 kg) (9.80 m/s2) = 19.6N. (Este cálculo de la tensión no tomó en cuenta la pequeña masa de la cuerda que cuelga verticalmente. En realidad, la cuerda nunca puede ser exactamente horizontal y, en consecuencia, la tensión no es uniforme). En la figura La tensión F = mg en la cuerda se mantiene por medio de la masa suspendida. La velocidad de onda está dada por la expresión v =√F/µ. La masa por unidad de longitud µ o la densidad lineal de la cuerda se obtiene dividiendo la masa de la cuerda entre su longitud (µ = m/L) Por tanto la velocidad de la onda es v =

F 4 L2 µ f 2  2L  =λf = f → F = n  µ n2  n 

2.- Ejercicio: Determine el tiempo que tarda el pulso en viajar de la pared a la polea. Como la velocidad de la onda es constante, el movimiento es rectilíneo uniforme (d = v t), d = 5m. Respuesta: 0.253 s. D = v t 3.- Una onda senoidal viejera: y ( x, t ) = ym sen(kx ± wt − φ ) Una onda senoidal que viaja en la dirección x positiva tiene una amplitud de 15.0 cm, una longitud de onda de 40.0 cm y frecuencia de 8.00 Hz. El desplazamiento vertical del medio en 89

t = 0 y x = 0 también es de y =15.0 cm, como se ilustra en la figura 16.17. a) Encuentre el número de onda angular, el periodo, la frecuencia angular y la velocidad de la onda. T = 1/f = w = 2πf = 2π(8.00 s-1) = 50.3 rad/s. v = fλ = (8.00 s-1) (40.0cm) = 320cm/s. b) Determine la constante de fase φ y escriba una función general para la función de la onda. Solución: Puesto que A = 15.0 cm y en vista que se ha indicado que y = 15.0 cm en x = 0 y t = 0, la sustitución en la ecuación 16.15 produce 15 = 15 sen (-φ) o sen (-φ) =1. Como sen (-φ) = -sen φ, vemos que φ = -π/2 rad (-90º). Por tanto, la función de onda es de la forma y = A sen((0.157x - 50.3t - π/2). El que la función de onda deba tener esta forma puede verse por inspección, observando que el argumento coseno está desplazado 90º de la función seno. Al sustituir los valores para A, k y ω en esta expresión, se obtiene y = (15.0 cm) cos (0.157x - 50.3t). Ejemplo 16.4: Una cuerda accionada senoidalmente: La cuerda que se muestra en la figura 16.18 se acciona a una frecuencia de 5.00 Hz. La amplitud del movimiento es igual a 12.0 cm y la velocidad de la onda es de 20.0 m/s. Determine su frecuencia angular y número de onda y escriba una expresión para la función de onda. Solución: La utilización de las ecuaciones 16.10, 16.12 y 16.13 produce ω = 2πf = 2π (5.00 Hz) = 31.4 rad/s. k = 2π/λ = 2πf/v = 1.57 rad/m Como A = 12.0 cm = 0.120 m, tenemos y = A sen (kx-ωt) = (0.120m) sen ). Calcule los valores máximos para la velocidad y aceleración transversales de cualquier punto en la cuerda. Respuesta: 3.77 m/s, 118m/s2. Potencia aplicada a una cuerda vibrante: Una cuerda tensada que tiene una masa por unidad de longitud de µ = 5.00 x 10-2 kg/m se somete a una tensión de 80.0 N. ¿Cuánta potencia debe aplicarse a la cuerda para generar ondas senoidales a una frecuencia de 60.0 Hz y una amplitud de 6.00 cm?. Solución: La velocidad de onda en la ecuación es 90

F µ Como f = 60.0 Hz, el valor de la frecuencia angular ω de las ondas senoidales en la cuerda es ω = 2πf = 2π (60.0 Hz) = 377 s-1. v=

El empleo de estos valores en la ecuación 16.21 para la potencia, con A = 6.00 x 10 -2 m, produce Potencia = 1/2 µw2A2v. = 1/2(5.00 x 10-2 kg/m) (377s-1) 2 x (6.00 x 10-2 m)2 (40.0m/s) = 512 W. PROBLEMAS 1. La rapidez de la onda de luz en aire es 3 x 108 m/s. La rapidez del sonido en aire es 333 m/ s. ¿Cuánto tiempo transcurre entre el tiempo se ve una llamarada del relámpago y se oye el clack la llamarada del relámpago si está a 1.665 km lejos? a. 3 s b. 5 s c. 7 s d. 10 s e. 1 s 2. La longitud de onda de luz visible al ojo del humano está en el orden de 5 x 10- 7 m. Si la rapidez de luz en aire es 3 x 108 m/ s. Halle la frecuencia de la onda de luz. a. 3 x 10 7 Hz b. 4 x 109 Hz c. 5 x 1011 Hz d. 6 x 1014 Hz e. 4 x 1015 Hz

3. La rapidez de una onda de sonido en agua de mar es aproximadamente 1500 m/s. Si se transmite esta onda a una frecuencia de 10 kHz, ¿cuál es su longitud de onda en cm? 1m = 100 cm y 1kHz = 1000 Hz a. 5 cm b. 10 cm c. 15 cm d. 20 cm e. 29 cm 4. Se pueden descubrir insectos pequeños tal como del orden de micrómetro (µm) ése está del tamaño aproximadamente en el orden de una longitud de onda. ¿Si los insectos emiten un gorjeo a una frecuencia de 60 kHz y la rapidez de onda de sonido en el aire es 330 m/s. ¿Cuál es el tamaño del insecto del más pequeño que se pueden descubrir? a. 1.5 mm 91

b. 3.5 mm c. 5.5 mm d. 7.5 mm e. 9.8 mm 5. El océano produce onda con una longitud de onda de 120 m a razón de 8 onda por minuto. ¿Cual es su rapidez? a. 8 m/ s b. 16 m/ s c. 24 m/ s d. 30 m/ s e. 4 m/ s 6. La rapidez de la onda de luz en aire es 3 x 108 m/s. La rapidez del sonido en aire es 333 m/ s. ¿Cuánto tiempo transcurre entre el tiempo se ve una llamarada del relámpago y se oye el clack la llamarada del relámpago si está a 1 km lejos? a. 3 s b. 5 s c. 7 s d. 10 s e. 1 s

ONDAS SONORAS Una onda sonora viaja generalmente en tres dimensiones, simplificaremos un poco nuestro análisis al considerar un sistema unidimensional. La velocidad de una onda sonora se obtiene:

v=

B ρ

.

Consideremos una onda viajera longitudinal, a lo largo de un tubo. En el caso de una onda sinusoidal, podemos escribir la ecuación del desplazamiento longitudinal de la siguiente manera: s ( x, t ) = sm cos(kx − wt ) . La variación de presión a la que esta sometida la onda esta dada por la expresión: ∆p ( x, t ) = Bksm sen(kx − wt ) =  k ρ v 2 sm  sen(kx − wt ) La variación máxima de la presión se llama amplitud de presión y esta dada por la expresión: ∆pm = k ρ v 2 sm

92

La fuerza a la que se encuentra sometida una onda sonora que viaja a través de un tubo es igual a la presión por el área de la sección transversal del tubo y se obtiene: F = Ap( x, t ) = A∆pm sen(kx − wt ). ∂s = wsm sen(kx − wt ) . ∂t La potencia abastecida al elemento de fluido dentro del tubo esta dada por: P = uF y en nuestro caso se obtiene: A∆pm p = Aw∆pm sm sen 2 (kx − wt ) = sen 2 (kx − wt ). La potencia promedio se obtiene: ρv 2 A(∆pm ) p= 2ρv La velocidad de una delgada rebanada del tubo esta dada por: u =

Problemas 1.- Si se golpea con una martillo el extremo de una barra sólida, se propaga un pulso longitudinal a lo largo de la barra con una rapidez donde Y es el modulo de Young del material, que se define como el esfuerzo longitudinal entre la deformación longitudinal. Encuentre la rapidez del sonido para el aluminio, si Y = 7.0 x 1010 N/m2 y = 2.7 x 103 kg/m3.

2.- Calcule la rapidez del sonido en el agua, la cual tiene un modulo volumétrico aproximadamente de 2.1 x 109 N/m2 y su densidad aproximada es de 1000 kg/m3.

3.- El sonido más débil que puede detectar el oído humano a una frecuencia de 1000 Hz corresponde a una intensidad aproximada de 10-12 W/m2. (llamado el umbral auditivo). Considere la rapidez del sonido 343 m/s y la densidad del aire 1.29 kg/m3. Determínese la amplitud de presión Pmax asociado a este limite. 4.- Un tren que se mueve con una rapidez de 40 m/s suena su silbato, el cual tiene una frecuencia de 500 Hz. Considere la velocidad del sonido 343 m/s. Determine la frecuencia escuchada por un observador en reposo a medida que el tren se aproxima al observador a) 448 Hz b) 338 Hz c) 566 Hz d) 475 Hz e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es Hz 5.- Un tren que se mueve con una rapidez de 40 m/s suena su silbato, el cual tiene una frecuencia de 500 Hz. Considere la velocidad del sonido 343 m/s. Determine la frecuencia escuchada por un observador en reposo a medida que el tren se aleja al observador 93

a) 448 Hz b) 338 Hz c) 566 Hz d) 475 Hz e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es

Hz

6.- Una ambulancia viaja por una supercarretera con una rapidez de 33.5 m/s. Su sirena emite un sonido con una frecuencia de 400 Hz. Considere la velocidad del sonido 343 m/s. ¿Cuál es la frecuencia escuchada por un pasajero dentro de un automóvil que viaja a 24.6m/s en la dirección opuesta cuando el automóvil se acerca a la ambulancia? a) 448 Hz b) 338 Hz c) 566 Hz d) 475 Hz e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es Hz 7.- El sonido mas fuerte que puede soportar el oído corresponde a una intensidad aproximadamente de 1 W/m2(el umbral del dolor). Considere la rapidez del sonido 343 m/s y la densidad del aire 1.29 kg/m3. Determínese el desplazamiento máximo (sm)asociado a este limite. 8.- Una ambulancia viaja por una supercarretera con una rapidez de 33.5 m/s. Su sirena emite un sonido con una frecuencia de 400 Hz. Considere la velocidad del sonido 343 m/s. ¿Cuál es la frecuencia escuchada por un pasajero dentro de un automóvil que esta estacionado a un lado de la supercarretera a medida que esta se aleja ? a) 448 Hz b) 443 Hz c) 566 Hz d) 364 Hz e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es Hz 9.- Una ambulancia viaja por una supercarretera con una rapidez de 33.5 m/s. Su sirena emite un sonido con una frecuencia de 400 Hz. Considere la velocidad del sonido 343 m/s. ¿Cuál es la frecuencia escuchada por un pasajero dentro de un automóvil que viaja a 24.6m/s en la dirección opuesta cuando el automóvil se aleja de ella? a) 448 Hz b) 338 Hz c) 566 Hz d) 475 Hz e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es Hz

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10.- La rapidez del sonido es mayor: a) En los gases b) En los líquidos c) En los sólidos d) Todas las anteriores son correctas 11.- La rapidez del sonido es menor: a) En los gases b) En los líquidos c) En los sólidos d) Todas las anteriores son correctas 12.- El sonido mas débil que puede detectar el oído humano a una frecuencia de 1000 Hz corresponde a una intensidad aproximada de 10-12 W/m2. (llamado el umbral auditivo). Considere la rapidez del sonido 343 m/s y la densidad del aire 1.29 kg/m3. Una fuente emite ondas sonoras con una potencia de salida de 80 W. Suponga que la fuente es una fuente puntual. Encuentre la intensidad a una distancia de 3 m.

13.- El sonido mas débil que puede detectar el oído humano a una frecuencia de 1000 Hz corresponde a una intensidad aproximada de 10-12 W/m2. (llamado el umbral auditivo). Considere la rapidez del sonido 343 m/s y la densidad del aire 1.29 kg/m3. Una fuente emite ondas sonoras con una potencia de salida de 80 W. Suponga que la fuente es una fuente puntual. Encuentre la distancia a la cual el sonido se reduce a un nivel de 40 dB.

14.- El sonido mas fuerte que puede soportar el oído corresponde a una intensidad aproximadamente de 1 W/m2(el umbral del dolor). Considere la rapidez del sonido 343 m/s y la densidad del aire 1.29 kg/m3. Determínese la amplitud de presión Pmax asociado a este limite.

15.- Suponga que se escucha el trueno de un golpe seco 16.2 s después de ver el relámpago. La rapidez de las ondas sonoras en el aire es de 343 m/s y la rapidez de la luz en el aire es de 3 x108 m/s. ¿Cuan lejos se encuentra del lugar del relámpago?

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16.- En un experimento se requiere una intensidad de sonido de 1.2 W/m2 a una distancia de 4 m del emisor. ¿Qué potencia de salida se requiere?

17.-Una fuente de sonido emite una onda sonora con una potencia uniforme de 100 W. ¿A qué distancia será la intensidad justo abajo del umbral del dolor, el cual es 1 W/m2?

18.- Un tren eléctrico pasa por la plataforma de pasajeros con una velocidad de 40 m/s. El silbato del tren suena a su frecuencia característica de 320 Hz. a) ¿Qué cambio en la frecuencia observa una persona en la plataforma en tanto el tren pasa? b) ¿Qué longitud de onda observa una persona en la plataforma cuando se acerca el tren?

19.- Estando en el cruce de una avenida, se escucha una frecuencia de 500 Hz que proviene de la sirena de una patrulla que se acerca. después de que pasa la patrulla, la frecuencia observada de la sirena es de 480 Hz. A partir de estas observaciones, determine la rapidez del auto de la patrulla.

20.- Un trompetista que viaja en un convertible toca en su corneta una nota A (440 Hz). Un observador en reposo directamente enfrente del auto escucha la nota A#(466.16 Hz). ¿Cuál es la rapidez del automóvil?

21.- La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s. Una onda sonora tiene una frecuencia de 425 Hz. ¿Cuál es la longitud de onda de este sonido en el aire? a) 0.60 m b) 0.90 m c) 0.75 m d) 0.80 m e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es m

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22.- En un experimento se requiere una intensidad de sonido de 1 x 10-8 W/m2 a una distancia de 500 m del emisor. El umbral de audición es Io = 1 x 10-12 W/m2. ¿Qué potencia de salida se requiere? a) π x 10-2 W b) π x 10-1 W c) πx 10 W d) π x 102 W e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es __________W 23.- En un experimento se requiere una intensidad de sonido de 1 x 10-7 W/m2 a una distancia de 500 m del emisor. El umbral de audición es Io = 1 x 10-12 W/m2. ¿Qué potencia de salida se requiere? a) π x 10-2 W b) π x 10-1 W c) π x 10 W d) π x 102 W e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es __________W 24.- En un experimento se requiere una intensidad de sonido de 1 x 10-6 W/m2 a una distancia de 500 m del emisor. El umbral de audición es Io = 1 x 10-12 W/m2. ¿Qué potencia de salida se requiere? a) π x 10-2 W b) π x 10-1 W c) π x 10 W d) π x 102 W e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es __________W 25.- El nivel de intensidad B o la intensidad en dB de una onda es de 40 dB a una distancia de 500 m. ¿Cuál es su intensidad en W/m2? El umbral de audición es Io = 1 x 10-12 W/m2. a) 1.0 x 10-4 W/m2 b) 1.0 x 10-5 W/m2 c) 1.0 x 10-6 W/m2 d) 1.0 x 10-8 W/m2 e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es __________ 26.- El nivel de intensidad B o la intensidad en dB de una onda es de 40 dB a una distancia de 500 m. ¿Cuál es su intensidad en w/m2? El umbral de audición es Io = 1 x 10-12 W/m2. a) 1.0 x 10-4 W/m2 b) 1.0 x 10-5 W/m2 c) 1.0 x 10-6 W/m2 d) 1.0 x 10-8 W/m2 e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es __________

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27.- Calcule la amplitud de presión a 500 Hz para una onda de sonido en gas helio si la amplitud de desplazamiento es igual a 5.0 x 10-6 m. La densidad de helio es 0.179 kg/m3 y la velocidad del sonido en el helio es de 972 m/s. a) 3.5 x 10-3 Pa b) 1.6 x 10-2 Pa c) 2.6 x 10-2 Pa d) 4.2 x 10-3 Pa e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es _________Pa 28.- Calcule la frecuencia en Hz de una onda de sonido en gas helio si la amplitud de desplazamiento es igual a 3.8 x 10-10 m y una amplitud de presión de 3.1 x 10-5 Pa. La densidad de helio es 0.179 kg/m3 y la velocidad del sonido en el helio es de 972 m/s. a) 45 Hz b) 60 Hz c) 75 Hz d) 30 Hz e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es _________ Hz 29.- La variación de la presión en el gas helio medida desde su valor de equilibrio, esta dada por ∆P = (2.9 x 10-5 Pa) cos(6.2 x - 3000 t), donde x se mide en metros y t en segundos. La frecuencia de esta onda en Hz es: a) 1500 Hz b) 477 Hz c) 1.01 Hz d) 0.32 Hz e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es _________ Hz 30.- Un camión se esta moviendo a 80 milla/h (128.72 km/h), pasa a un carro de la policía que se esta moviendo a 100 milla/h (160.9 km/h) en la misma dirección y sentido opuesto. Si la frecuencia del carro de policía es de 500 Hz. ¿Cuál es la frecuencia escuchada por un observador en el camión cuando el camión se aproxima al carro de policía?. La rapidez del sonido en el aire es 343 m/s y 1.0 m/s = 3.6 km/h. a) 396 Hz b) 361 Hz c) 393 Hz d) 636 Hz e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es _________ Hz 31.- Se deja caer una piedra en un cañón profundo y se escucha que llega al fondo 10.2 s después de soltarla. La rapidez de las ondas sonoras en el aire es de 343 m/s. ¿Cuán profundo es el cañón?

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32.- Una onda sonora en el aire tiene una amplitud de presión igual a Pm = 4 x 10-3 N/m2. Calcule la amplitud del desplazamiento de la onda a una frecuencia de f = 10kHz. La velocidad del sonido es de v = 340 m/s y la densidad del aire es de (ρ = 1.20 kg/m3).

33.- La amplitud de presión correspondiente al umbral de audición es Pm = 2.9 x 10-5 N/m2. ¿A qué frecuencia tendrá una onda sonora en el aire esta amplitud de presión si la amplitud es del desplazamiento es Sm = 2.8 x 10-10 m? La velocidad del sonido es de 340 m/s y la densidad del aire es de 1.20 kg/m3).

34.- Una piedra se deja caer en un pozo y sonido que hace en el agua al llegar se oye 4.00 s desde que se soltó. ¿Cuál es la profundidad de pozo, considerando que la velocidad del sonido es de 330 m/s? Considere que g = 9.8 m/s2 a) 80.0 m b) 78.0 m c) 76.0 m d) 71.6 m e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es m 35.- La rapidez del sonido en el hierro es V = 5130 m/s, en el aire es v = 340 m/s. Un extremo de una tubería larga de dicho metal, cuya longitud es L, se golpea fuertemente. Una persona que escucha en el otro extremo oye dos sonidos, uno de la onda que ha viajado por la tubería y el otro de la onda que ha viajado por el aire. Si el intervalo de tiempo entre los dos sonidos es t = 2.0 s. ¿Cuál es la longitud L de la tubería? a) 700 m b) 364 m c) 728 m d) 350 m e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es m

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36.- El nivel del agua en un tubo vertical de 1.0 m de longitud puede ajustarse a cualquier posición en el tubo. Si la rapidez del sonido en el aire es de 330 m/s. Un diapasón que vibra a 660 Hz se mantiene justo sobre el extremo abierto del tubo. ¿Cuál es la tercera posición del nivel del agua en la que habrá resonancia? Muestre un dibujo o grafico. a) 1/8 m b) 3/8 m c) 5/8 m d) 7/8 m e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es m

37.- La velocidad del sonido (en m/s) depende de la temperatura de acuerdo con la ecuación v = 331.5 + 0.607Tc, donde Tc es la temperatura en grados Celsius. Un avión que vuela a una altitud de 9000 m. Suponiendo que la temperatura permanece constante a 35oC desde el suelo hasta 9000 m. ¿Cuanto tardara el sonido desde un avión que vuela a 9000 m en llegar al suelo en un día en el que la temperatura en la superficie es de 35oC?

38.- Una onda sonora en un cilindro se describe por medio de las ecuaciones: s = smax cos(kx - wt), P = Pmax sen(kx - wt) y Pmax = ρ v w smax. Demuestre que P = ρ v w(smax2 - s2)1/2

40.- Desde un helicóptero se lanza un soldado paracaidista que porta un transmisor de radio el cual emite una señal de 500 Hz. El radar en el helicóptero rastrea la señal del transmisor conforme cae el paracaidista. Si la frecuencia percibida se vuelve constante a 450 Hz. ¿Cuál es la velocidad terminal (velocidad constante) del paracaidistas? Considere la velocidad del sonido en el aire igual a 343 m/s y suponga que el paracaidista siempre permanece debajo del helicóptero?

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.41.- Si una barra sólida se golpea en un extremo con un martillo, un pulso longitudinal se propaga por la barra con la velocidad Y ρ Donde Y es el modulo de Young del material (Ver tabla del modulo de Young). Encuentre la velocidad del sonido en una barra de aluminio(Tabla para la densidad del aluminio). v=

Solución: De acuerdo con la tabla 12.1 obtenemos Y = 7.0 x 1010 N/m2 para el aluminio, y de la tabla 15.1 encontramos que ρ = 2.7x103 kg/m3 .En consecuencia, vA1 =

Este es un valor ordinario para la velocidad del sonido en sólidos, mucho mayor que la velocidad del sonido en gases, según indica la tabla 17.1 Esta diferencia en las velocidades tiene sentido puesto que las moléculas de un sólido están enlazadas unas con otras en una estructura mucho más rígida en comparación con un gas.

Tabla 17.1 Velocidad del sonido en diversos medios y a una temperatura dada. Medio

v(m/s)

Aíre (0ºC) Aíre (20ºC) Hidrógeno (0ºC) Oxigeno (0ºC) Helio (0ºC)

331 343 1286 317 972 Líquidos a 25 c

Agua Alcohol metílico Agua de mar

1493 1143 1533 Sólidos

Aluminio Cobre Hierro Plomo Hule vulcanizado

5100 3560 5130 1322 54

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Ejemplo 17.2: Velocidad del sonido en un líquido: Encuentre la velocidad del sonido en agua, la cual tiene un módulo volumétrico de aproximadamente 2.1 x 109N/m2 y una densidad de 1.00 x 103 kg/m3. Solución: Con la ecuación 17.1 encontramos que,

β ρ En general, las ondas sonoras viajan más lentamente en líquidos que en sólidos. Esto se debe a que los líquidos son más comprensibles que los sólidos y, en consecuencia, tienen un módulo volumétrico más pequeño. vagua =

Un tren que se mueve con una velocidad de 40 m/s suena su silbato, el cual tiene una frecuencia de 500 Hz. Determine las frecuencias escuchadas por un observador estacionario a mediado que el tren se aproxima a él y cuando pasa y se aleja del observador. Solución: Con la ecuación 17.14 se obtiene a frecuencia aparente cuando el tren se aproxima al observador. Considere v = 343 m/s para la velocidad del sonido en el aire, con lo cual se obtiene. 1 f' = f( ) vs 1− v v ± vo ' ) puede emplearse para obtener la frecuencia escuchada De igual modo, la ecuación f = f ( v mvs cuando el tren se aleja del observador:

Una ambulancia viaja por una autopista a una velocidad de 33.5 m/s. (75 mi/h). Su sirena emite un sonido a una frecuencia de 400 Hz. ¿Cuál es la frecuencia escuchada por un automovilista que viaja a 24.6 m/s (55 mi/h) en la dirección opuesta a medida que su auto se acerca a la ambulancia y conforme se aleja de éste? v ± vo f' = f( ) v mvs Solución: Consideremos la velocidad del sonido en el aire como v = 343 m/s. Podemos usar la ecuación 17.17 en ambos casos. Conforme la ambulancia y el auto se aproximan una al otro, la frecuencia aparente es 102

f' = f(

v + vo ) v − vs

Del mismo modo, cuando se alejan, un pasajero en el auto escucha una frecuencia v − vo f' = f( ) v + vs El cambio en la frecuencia a medida que la detecta un pasajero en el auto es 475 - 338 = 137 Hz, la cual es más de 30% de la frecuencia real emitida. Ejercicio: Suponga que el auto se estaciona a la orilla de una autopista por la cual viaja una ambulancia a una velocidad de 33.5 m/s. ¿Qué frecuencia escuchará el pasajero en el auto, a medida que la ambulancia a) se aproxime al carro estacionado, y b) haya pasado y se aleje de este? Respuesta: a) 443 Hz; b) 364Hz. PROBLEMAS 1.- Un carro de bomberos que se mueve hacia la derecha a 40 m/s suena su sirena (f = 500 Hz) a los dos vehículos que se muestran en la figura P17.38. El auto se mueve hacia la derecha a 30 m/s, en tanto que la camioneta está detenida. ¿Qué frecuencia perciben los pasajeros en el auto?

2.- Un carro de bomberos que se mueve hacia la derecha a 40 m/s suena su sirena (f = 500 Hz) a los dos vehículos que se muestran en la figura. El auto se mueve hacia la derecha a 30 m/s, en tanto que la camioneta está detenida. ¿Qué frecuencia perciben los pasajeros en la camioneta?

PROBLEMAS 1. La velocidad del sonido en agua del mar es 1533 m/s. Halle el módulo del bulto (en N/m2) de mar riega si su densidad es 1.025 x 103 kg/m3. a. 2.6 x 109 b. 2.2 x 109 c. 2.0 x 109 d. 2.4 x 109 e. 2.8 x 109 103

2. Un escultor golpea un pedazo de mármol con un martillo. Halle la rapidez en el mármol (en km/s). (El módulo de expansión volumétrico es 50 x 109 N/ m2 y su densidad es 2.7 x 103 kg/m3) a. 5.1 b. 4.3 c. 3.5 d. 1.3 e. 1.8 3. El módulo de Young del aluminio es 7.02 x 1010 N/m2. Si la rapidez en el aluminio es de 5.1 km/s, halle su densidad (en g/cm3). a. 11.3 b. 7.8 c. 2.7 d. 29.3 e. 1.4 4. Es posible oír un tren que acerca antes de poder verlo al escuchar a la onda verdadera emitida por la sirena. Si el módulo elástico es 2.0 x 1011 N/m2 y la densidad de acero es 7.8 x 103 kg/m3, aproximadamente. ¿Cuánto tiempos más rápido es la rapidez verdadera en el acero que en el que en aire? a. 20 b. 5 c. 10 d. 15 e. 25 5. ¿Aproximadamente cuántos tiempos más rápido es la rapidez del sonido debajo del agua que en el aire? (El módulo volumétrico de agua es 2.1 x 109 N/ m2 y la densidad del agua es 1000 kg/m3) a. 15 b. 10 c. 5 d. 20 e. 25 6. Una onda armónico longitudinal se propaga dentro un tubo llenó con un gas compresible tiene la forma s(x, t)= sm cos (kx- wt). Se puede obtener la frecuencia de la onda de: a. k, w b. k c. sm d. w e. sm, k

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7. Una onda armónico longitudinal se propaga dentro un tubo llenó con un gas compresible tiene la forma s(x, t)= sm cos (kx- wt). Se puede obtener la longitud de onda de: a. sm b. k c. k, w d. w e. sm, w

8. Una onda armónico longitudinal se propaga dentro un tubo llenó con un gas compresible tiene la forma s(x, t)= sm cos (kx- wt).. Se puede obtener velocidad de esta onda como: a. w/k b. k/w c. k d. w e. kw 9. Calcule la amplitud de la presión (en N/m2) de una onda que tiene una frecuencia de 500 Hz en helio si la amplitud del desplazamiento es igual a 5 x 10- 8 m. (ρ = 0.179 kg/m3, v = 972 m/s) a. 3.5 x 10- 3 b. 1.6 x 10- 2 c. 2.7 x 10- 3 d. 4.2 x 10- 3 e. 2.0 x 10- 3 10. Calcule la amplitud del desplazamiento (en m) de una onda de 20 kHz en helio si tiene una amplitud de la presión de 8 x 10- 3 N/m2. (ρ = 0.179 kg/m3, v= 972 m/s) a. 2.9 x 10- 10 b. 3.7 x 10- 10 c. 7.8 x 10- 9 d. 2.4 x 10- 9 e. 1.9 x 10- 10 11. Calcule la frecuencia (en Hz) de una onda en helio si su amplitud del desplazamiento es 3.8 x 10-10 m y la amplitud de la presión es 3.1 x 10-5 N/m2 (ρ= 0.179 kg/m3, v= 972 m/s) a. 45 b. 60 c. 75 d. 30 e. 38

105

12. La variación en la presión de gas del helio, alrededor de su equilibrio esta dado por ∆P = 2.9 x 10- 5 cos (6.2x - 3000t) donde x y t tiene unidades m y s. La frecuencia (en Hz) de la onda es: a. 1500 b. 477 c. 1.01 d. 0.32 e. 239 13. La variación en la presión de gas del helio, alrededor de su equilibrio esta dado por ∆P = 2.9 x 10- 5 cos (6.2x - 3000t) donde x y t tiene unidades m y s. La longitud de onda (en m) es: a. 1500 b. 0.32 c. 477 d. 1.01 e. 0.50 14. La variación en la presión de gas del helio, alrededor de su equilibrio esta dado por ∆P = 2.9 x 10- 5 cos (6.2x - 3000t) donde x y t tiene unidades m y s. La rapidez (en m/s) de la onda es: a. 1515 b. 153 c. 483 d. 828 e. 101 15. La variación en la presión de gas del helio (ρ = 0.179 kg/m3, v = 972 m/ s.), alrededor de su equilibrio esta dado por ∆P = 2.9 x 10- 5 cos (6.2x - 3000t) donde x y t tiene unidades m y s. ¿Cuál es la presión (en N/m2) para una posición que 0.30 m en un tiempo de 5.0 s? a. 2.9 x 10-5 b. - 2.9 x 10-5 c. - 1.5 x 10-5 d. 1.5 x 10-5 e. - 1.5 x 10-7 16. La intensidad (en W/m2) de una onda armónico longitudinal con una amplitud de la presión de 8 x 10-3 N/ m2 propaga en un tubo lleno con helio es (ρ = 0.179 kg/m3, v = 972 m/s) a. 3.7 x 10-7 b. 1.8 x 10-7 c. 9.2 x 10-8 d. 4.6 x 10-8 e. 1.5 x 10-9 106

17. El umbral de oído en aire corresponde a una frecuencia de 103 Hz y una intensidad de aproximadamente 10-12 W/ m2. ¿Cual es la variación de la presión del máximo correspondiente (en N/m2) de equilibrio por alguien debajo de agua? (ρ = 103 kg/m3, v = 1493 m/s) a. 3.0 x 10-6 b. 8.64 x 10-4 c. 3.45 x 10-3 d. 1.7 x 10-3 e. 1.2 x 10-3 Ejemplo 18.1: Dos altavoces excitados por la misma fuente: Dos altavoces separados por una distancia de 3.00 m se excitan por el mismo oscilador (fig. 18.3). Un escucha se encuentra originalmente en el punto 0, el cual se localiza a 8.00 m del centro de la línea que conecta los dos altavoces. El escucha camina después hacia el punto P, que está a una distancia perpendicular de 0.350 m a partir de 0 antes de alcanzar el primer mínimo en la intensidad sonora. ¿Cuál es la frecuencia del oscilador? Solución: El primer mínimo ocurre cuando las dos ondas que llegan al escucha están 180º fuera de fase. En otras palabras, cuando su diferencia de trayectoria es igual a λ/2. Con el fin de calcular la diferencia de trayectoria, debemos determinar primero las longitudes de trayectoria r1 y r2. Al utilizar los dos triángulos sombrados en la figura 18.3, encontramos que las longitudes de trayectoria son r1 = x 2 + y1

2

r2 = x 2 + y2

2

Por tanto, la diferencia de trayectoria es r2 - r1 = 0.13 m. Puesto que requerimos que esta diferencia de trayectoria sea igual a λ/2 para el primer mínimo, encontramos que λ = 0.26m. Para obtener la frecuencia del oscilador, podemos utilizar v = λf, donde v es la velocidad del sonido en el aire, 343 m/s. Ejercicio: Si la frecuencia del oscilador se ajusta de modo que el escucha oye el primer mínimo a una distancia de 0.75 m desde 0, ¿Cuál es la nueva frecuencia?. Respuesta: 0.63kHz. Ejemplo 18.2: Formación de una onda estacionaria: Dos ondas que viajan en direcciones opuestas producen una onda estacionaria. Las funciones de onda individuales son y1 = (4.0 cm) sen (3.0x - 2.0t) y2 = (4.0 cm) sen (3.0x - 2.0t) donde xy y están en centímetros. a) Encuentre el desplazamiento máximo del movimiento en x = 2.3 cm. 107

Solución: Cuando se suman las dos ondas, el resultado es una onda estacionaria cuya función está dada por la ecuación 18.3, con A0 = 4.0 y k = 3.0 rad/cm: Y = (2A0 sen kx) cos ωt = (8.0 cm) sen 3.0x) cos ωt Así, el desplazamiento máximo del movimiento en la posición x = 2.3 cm es ymax = (8.0 cm) sen 3.0xl x = 2.3 = (8.0 cm) sen (6.9 rad) = 4.6 cm. Solución: Puesto que k = 2π/λ = 3 rad/cm. vemos que λ = 2π/3 cm. Por consiguiente, de acuerdo con la ecuación 18.4 encontramos que los antinodos se localizan en π x = (2n − 1)( ) 3 Y de la ecuación 18.5 vemos que los nodos están situados en π x = n( ) 3 Ejemplo 18.3 Deme un Do: La cuerda Do medida de la escala en Do mayor en un piano tiene una frecuencia fundamental de 264 Hz, y la nota la tiene una frecuencia fundamental de 440 Hz. a) Calcule las frecuencias de los siguientes dos armónicos de la cuerda Do. Solución: Puesto que f1= 264 Hz, podemos usar la ecuación 18.8 y 18.9 para encontrar las frecuencias f2 y f3: f2 = 2f1 = 528 Hz. f3 = 3f1 = 792 Hz. b) Si se supone que las cuerdas para las notas La y Do tienen la misma masa por unidad de longitud y la misma longitud, determine la proporción de las tensiones en las dos cuerdas. Solución: Utilizando la ecuación 18.8 de las dos cuerdas vibrando a sus frecuencias fundamentales obtenemos: 1 1 f1La = FLa / µ y f1Do = FDo / µ 2L 2L y la relación por cociente de las frecuencias se obtiene: f1La = FLa / FDo f1Do c) En un piano real las suposiciones que hicimos en el inciso b) sólo es parcialmente cierta. Las densidades de las cuerdas son iguales, pero la cuerda La es 24% más larga que la cuerda Do. ¿Cuál es la proporción de sus tensiones? f1La = ( LDo / LLa ) FLa / FDo f1Do 108

Resonancia en un tubo: Un tubo tiene una longitud de 1.23 m. a) Determine las frecuencias de los primeros tres armónicos si el tubo está abierto en cada extremo. Considere v = 343 m/s como la velocidad del sonido en el aire. Solución: El primer armónico de un tubo abierto en ambos extremos es v 2L Como todos los armónicos están presentes, el segundo y el tercer armónico son f2 = 2f1 = 278 Hz y f 3= 3f1 = 417 Hz. f1 =

b) ¿Cuáles son las tres frecuencias determinadas en el inciso a) si el tubo está cerrado en un extremo? Solución: La frecuencia fundamental de un tubo cerrado en un extremo es v f1 = 4L v , de modo que las 4L siguientes dos resonancias tienen frecuencias f3 = 3f1 = 209 Hz, y f3 = 5f1 = 349 Hz. En esta caso sólo están presente los armónicos impares f (2 n −1) = (2n − 1)

c) Para el tubo abierto en ambos extremos, ¿Cuántos armónicos están presentes en el intervalo normal de audición humana (20 a 20,000 Hz)?. Solución: Puesto que todos los armónicos están presentes, fn = nf1. Para fn = 20,000 Hz, tenemos n = 20,000/139 = 144, por lo que están presentes 144 armónicos en el intervalo audible. En realidad, solo unos cuantos de los primeros armónicos tienen la amplitud suficiente para poder ser escuchados. Ejemplo 18.7: Medida de la frecuencia de un diapasón: En la figura 18.13a se describe un aparato sencillo para demostrar la resonancia en un tubo. Un largo tubo vertical abierto en ambos extremos se sumerge parcialmente en un vaso con agua, y un diapasón de frecuencia desconocida se coloca cerca de la parte superior. La longitud de la columna de aire, L, se ajusta moviendo el tubo verticalmente. Las ondas sonoras generadas por el diapasón se refuerzan cuando la longitud de la columna de aire corresponde a una de las frecuencias resonantes del tubo. Para cierto tubo, el valor más pequeño de L para el cual ocurre un pico en la intensidad sonora es 9.00 cm. De acuerdo con esta medición, determine la frecuencia del diapasón y los valores de L para los siguientes dos modos resonantes. Razonamiento: Aunque el tubo está abierto en ambos extremos para dejar que el agua entre, la superficie del agua actúa como una pared en un extremo de la longitud L. En consecuencia, este 109

arreglo representa un tubo cerrado en un extremo y la fundamental tiene una frecuencia de v/4L (Fig. 18.13b). Solución: Considerando v = 343 m/s como la velocidad del sonido en el aire, y 0.0900m, obtenemos

L=

v = 953 Hz 4L Figura 18.13 (Ejemplo 18.7) a) Aparato para demostrar la resonancia de ondas sonoras en un tubo cerrado en un extremo. La longitud L de la columna de aire se varía moviendo el tubo verticalmente mientras se sumerge parcialmente en agua. b) Los primeros tres modos normales del sistema mostrado en a). f1 =

A partir de esa información acerca del modo fundamental, vemos que la longitud de onda es λ = 4L = 0.360 m. Puesto que la frecuencia de la fuente es constante, los siguientes dos modos de resonancia (fig. 18.13b) corresponden a longitudes de 3λ/4 = 0.270m, y 5λ/4 = 0.450m.

PROBLEMAS 1. Dos ondas armónicas están descritas por: y1= 3.0 sen(4x - 700t) y2= 3.0 sen(4x - 700t - 2) ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante? a. 8.0 b. 4.3 c. 6.0 d. 3.2 e. 3.0 2. Dos ondas armónicas están descritas por: y1= 4.0 sen(4x - 700t) y2= 4.0 sen(4x - 700t ) ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante? a. 8.0 b. 4.3 c. 6.0 d. 3.2 e. 3.0 110

3. Dos ondas armónicas están descritas por: y1 = 5 sen (6x - 900t) y2 = 5 sen (6x - 900t- 2) ¿Cuál es la longitud aproximada de la onda resultante? a. 3 b. 2 c. 1 d. 4 e. 6 4. Dos ondas armónicas están descritas por: y1= 7 sen (5x- 100t) e y2= 7 sen (5x- 100t- 2) ¿Cuál es la fase de la onda resultante cuando x = t = 0? a. 3 b. 0 c. 2 d. 1 e. 4 5. Dos ondas armónicas están descritas por: y1 = 12 sen (3x- 5t) y2 = 12 sen (3x- 5t- 4) ¿Cuál es el desplazamiento de la onda resultante para x = t = 1? a. 18 b. 1.4 c. -3.2 d. -1.6 e. -10 6. Dos ondas armónicas están descritas por: y1= 3.0 sen(4x - 700t) y2= 3.0 sen(4x - 700t ) ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante? a. 8.0 b. 4.3 c. 6.0 d. 3.2 e. 3.0 7. Dos ondas armónicas están descritas por: y1= 3.0 sen(4x + 700t) y2= 3.0 sen(4x + 700t - 2) ¿Cuál es la amplitud de la onda resultante? a. 8.0 b. 4.3 c. 6.0 d. 3.2 e. 3.0 111

8. Dos ondas armónicas están descritas por: y1 = 4.0 sen (8x - 300t) y2 = 4.0 sen (8x - 300t- 2) ¿Cuál es la frecuencia de la onda resultante? a. 300 b. 48 c. 8 d. 0.8 e. 150 9.- En la figura muestra un aparato simple para demostrar la resonancia en tubos y que puede emplearse para medir la rapidez del sonido en el aire usando el método de la resonancia. Un tubo largo, vertical, abierto se conecta por con una tubería flexible a un recipiente cilíndrico con agua y se coloca un diapasón vibratorio de frecuencia conocida cerca de la parte superior. La longitud de la columna de aire, L, se ajusta al mover verticalmente el recipiente. En un experimento con un diapasón de 1080 Hz, y se observan tres resonancias x1 = 6.5 cm, x2 = 22.2 cn y x3 = 37.7 cn por debajo de la parte superior del tubo. Halle el valor de la rapidez del sonido a partir de estos datos.

10. Dos ondas armónicas están descritas por: y1 = (6cm) sen π (2x + 3t) y y2 = (6cm) sen π (2x - 3t) La amplitud de la onda resultante para x = 3cm y t = 5 s es: a) 12 cm b) 3 cm c) 6 cm d) 2.5 cm e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es ___ cm 11. Dos ondas armónicas están descritas por: y1 = (6cm) sen π (2x + 3t) y y2 = (6cm) sen π (2x - 3t) Determine el valor más pequeño que corresponde a nodo en cm. a) 3 cm b) 0.25 cm c) 0 cm d) 6 cm e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es ___ cm 112

12. Dos ondas armónicas idénticas con longitudes de onda de 3.0 m viajan en la misma dirección hacia la derecha a una velocidad de 2.0 m/s. La segunda onda se origina desde el mismo punto que la primera, pero a un tiempo posterior. Determine el mínimo intervalo de tiempo posible entre los dos momentos de inicio de las dos ondas si la amplitud de la onda resultante es la misma que la de las dos ondas iniciales.

13.- Dos ondas armónicas se describen por: y1 = (3.00cm)sen π (x + 0.60t) y2 = (3.00cm)sen π (x - 0.60t) donde x esta en cm y t en segundos. Determine la ecuación de la onda resultante y = y1 + y2.

14.- Dos ondas armónicas idénticas con longitudes de onda de 3.0 m viajan en la misma dirección hacia la derecha a una velocidad de 2.0 m/s. La segunda onda se origina desde el mismo punto que la primera, pero a un tiempo posterior. Determine la constante de fase si la amplitud de la onda resultante es la misma que la de las dos ondas iniciales.

15.- Dos ondas armónicas se describen por: y1 = (3.00cm)sen π (x + 0.60t) y2 = (3.00cm)sen π (x - 0.60t) donde x esta en cm y t en segundos. Determine el desplazamiento máximo en x = 0.25 m.

16.- Dos ondas armónicas se describen por: y1 = (3.00cm)sen π (x + 0.60t) y2 = (3.00cm)sen π (x - 0.60t) donde x esta en cm y t en segundos. Determine el desplazamiento máximo en x = 0.50 m.

17.- Dos ondas armónicas se describen por: y1 = (3.00cm)sen π (x + 0.60t) y2 = (3.00cm)sen π (x - 0.60t) 113

donde x esta en cm y t en segundos. Determine el desplazamiento máximo en x = 1.50 m. 18.- Dos ondas armónicas se describen por: y1 = (3.00cm)sen π (x + 0.60t) y2 = (3.00cm)sen π (x - 0.60t) donde x esta en cm y t en segundos. Determine los tres valores más pequeños de x correspondientes a los antinodos.

19.- Dos ondas armónicas se describen por: y1 = (3.00cm)sen π(x + 0.60t) y2 = (3.00cm)sen π (x - 0.60t) donde x esta en cm y t en segundos. Determine los tres valores mas pequeños de x correspondientes a los nodos.

20.- Se establece una onda estacionaria en una cuerda de 1.20 m de longitud fija en ambos extremos. La cuerda vibra en cuatro segmentos cuando se excita a una frecuencia de 120 Hz. La longitud de onda es:

21.- Una cuerda tensa de 160 cm de longitud tiene una densidad lineal de 0.015 g/cm. ¿Qué tensión tendrá la cuerda en la segunda armónica de 460 Hz?

22.- Una cuerda de 0.50 m de longitud tiene una masa por unidad de longitud 20 x 10-5 kg/m. ¿A qué tensión se debe poner la cuerda para que su frecuencia fundamental sea 20 Hz?

23.- Encuentre la frecuencia fundamental y las siguientes frecuencias que pueden generar patrones de ondas estacionarias en una cuerda de 30 m de longitud, con masa por unidad de longitud de 9 x 10-3 kg/m y a una tensión de 20 N.

24.- Una cuerda tensa de longitud L, vibra en 5 segmentos iguales cuando se excita con un oscilador a 630 Hz. ¿Qué frecuencia del oscilador dar lugar a ondas estacionaria de tal manera que la cuerda vibre en tres segmentos?

114

25.- Se establece una onda estacionaria en una cuerda de 1.20 m de longitud fija en ambos extremos. La cuerda vibra en cuatro segmentos cuando se excita a una frecuencia de 120 Hz. ¿Cuál es la frecuencia fundamental?

26.- Una cuerda de 0.50 m de longitud tiene una masa por unidad de longitud 20 x 10-5 kg/m. ¿A qué tensión se debe poner la cuerda para que su frecuencia fundamental sea 4500 Hz?

27.- Un diapasón de frecuencia 512 Hz se coloca en la parte superior del tubo que se muestra en la figura. Se baja el nivel del agua de tal manera que la longitud L se incrementa lentamente desde su valor inicial de 20 cm. Determine los dos valores siguientes de L que corresponden a modos de resonancia.

28.- Calcule la longitud mínima de un tubo que tiene una frecuencia fundamental de 240 Hz si el tubo esta cerrado en un extremo.

29.- Calcule la longitud mínima de un tubo que tiene una frecuencia fundamental de 240 Hz si el tubo esta abierto en los dos extremos.

30.- En una cuerda de 6.0 m de longitud se producen ondas estacionarias de frecuencia 60 Hz, con cuatro antinodos. La rapidez de la onda es: a) 120 m/s b) 180 m/s c) 90 m/s d) 360 m/s e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es m/s 115

31.- Una cuerda vibra según la ecuación Y = 0.4 sen (π X) cos (200π t), donde las unidades son del sistema CGS. ¿Cual es la distancia entre un nodo y el antinodo siguiente? a) 1.00 cm b) 0.25 cm c) 0.50 cm d) 2.00 cm e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es cm

32.- Una cuerda vibra según la ecuación Y = 0.08 sen(π X/2) cos(10π t), donde las unidades están en el S.I. La velocidad de la onda es: a) 10 m/s b) 20 m/s c) 15 m/s d) 5 m/s e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es m/s 33.- Una cuerda vibra según la ecuación Y = 0.08 sen(π X/2) cos(10π t), donde las unidades están en el S.I. La longitud de onda vale: a) 0.50 m b) 4.00 m c) 2.00 m d) 8.00 m e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es m 34.- Una cuerda vibra según la ecuación Y = 0.08 sen(π X/2) cos(10π t), donde las unidades están en el S.I. La distancia entre dos antinodos adyacentes es: a) 4.00 m b) 1.00 m c) 2.00 m d) 0.25 m e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es m 35.- Una cuerda vibra según la ecuación Y = 0.08 sen(π X/2) cos(10π t), donde las unidades están en el S.I. El valor de la posición transversal "Y" para X =1/3 m y t = 1/30 s es: a) 0.02 m b) 0.04 m c) 0.07 m d) 0.05 m e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es m 116

36.- Una cuerda vibra según la ecuación Y = 0.08 sen(πX/2) cos(π t) , donde todas las unidades están en el S.I. El valor de la onda o la posición transversal Y para X =1/3 m y t = 1/30 s es : a) 0.02 m b) 0.05 m c) 0.04 m d) 0.07 m e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es m 37.- Una cuerda tiene una longitud de 2.00 m y s una masa de 0.05 kg. Si la velocidad de propagación de una onda transversal es de 100 m/s. ¿A que tensión esta sometida la cuerda? a) 5000 N b) 500 N c) 250 N d) 400000 N e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es N 38.- Dos alambres idénticos tienen una frecuencia fundamental de 600 Hz cuando se someten a la misma tensión. En que fracción deberá aumentarse la tensión de un alambre para producir 6 pulsaciones por segundos cuando ambos alambres vibren simultáneamente. a) 18.0 % b) 6.0 % c) 2.0 % d) 0.1 % e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es %

117

Cambio de temperatura C = (5/9)(F - 32) C = K - 273 (F - 32)/180 = (K -273)/100

MEDIDA DE TEMPERATURA T ( X1) X1  T(X2) X2

T(X ) X X   T ( X )  273.13 T ( X tr ) X tr X tr T ( L)  273.13

L V  T (V )  273.13 Ltr Vtr

T ( p)  273.13

p R  T ( R )  273.13 ptr Rtr

ECUACION DE ESTADO DE LOS GASES IDEALES

pV = nRT

NUMERO DE MOLECULAS

N=nN A  m =nM

SI EL NUMERO DE MOLES ES CONSTANTE PV PV i i = f f Ti Tf

118

CALOR Y TEMPERATURA Calor, en física, transferencia de energía de una parte a otra de un cuerpo, o entre diferentes cuerpos, en virtud de una diferencia de temperatura. El calor es energía en tránsito; siempre fluye de una zona de mayor temperatura a una zona de menor temperatura, con lo que eleva la temperatura de la segunda y reduce la de la primera, siempre que el volumen de los cuerpos se mantenga constante. La energía no fluye desde un objeto de temperatura baja a un objeto de temperatura alta si no se realiza trabajo. Hasta principios del siglo XIX, el efecto del calor sobre la temperatura de un cuerpo se explicaba postulando la existencia de una sustancia o forma de materia invisible, denominada calórico. Según la teoría del calórico, un cuerpo de temperatura alta contiene más calórico que otro de temperatura baja; el primero cede parte del calórico al segundo al ponerse en contacto ambos cuerpos, con lo que aumenta la temperatura de dicho cuerpo y disminuye la suya propia. Aunque la teoría del calórico explicaba algunos fenómenos de la transferencia de calor, las pruebas experimentales presentadas por el físico británico Benjamin Thompson en 1798 y por el químico británico Humphry Davy en 1799 sugerían que el calor, igual que el trabajo, corresponde a energía en tránsito (proceso de intercambio de energía). Entre 1840 y 1849, el físico británico James Prescott Joule, en una serie de experimentos muy precisos, demostró de forma concluyente que el calor es una transferencia de energía y que puede causar los mismos cambios en un cuerpo que el trabajo. Temperatura La sensación de calor o frío al tocar una sustancia depende de su temperatura, de la capacidad de la sustancia para conducir el calor y de otros factores. Aunque, si se procede con cuidado, es posible comparar las temperaturas relativas de dos sustancias mediante el tacto, es imposible evaluar la magnitud absoluta de las temperaturas a partir de reacciones subjetivas. Cuando se aporta calor a una sustancia, no sólo se eleva su temperatura, con lo que proporciona una mayor sensación de calor, sino que se producen alteraciones en varias propiedades físicas que pueden medirse con precisión. Al variar la temperatura, las sustancias se dilatan o se contraen, su resistencia eléctrica cambia, y —en el caso de un gas— su presión varía. La variación de alguna de estas propiedades suele servir como base para una escala numérica precisa de temperaturas (ver más adelante). La temperatura depende de la energía cinética media (o promedio) de las moléculas de una sustancia; según la teoría cinética (véase Gas; Termodinámica), la energía puede corresponder a movimientos rotacionales, vibracionales y traslacionales de las partículas de una sustancia. La temperatura, sin embargo, sólo depende del movimiento de traslación de las moléculas. En teoría, las moléculas de una sustancia no presentarían actividad traslacional alguna a la temperatura denominada cero absoluto. Escalas de temperatura En la actualidad se emplean diferentes escalas de temperatura; entre ellas están la escala Celsius —también conocida como escala centígrada—, la escala Fahrenheit, la escala Kelvin, la escala Rankine o la escala termodinámica internacional (véase Termómetro). En la escala Celsius, el punto de congelación del agua equivale a 0 °C, y su punto de ebullición a 100 °C. Esta escala se utiliza en todo el mundo, en particular en el trabajo científico. La escala Fahrenheit se emplea en los países anglosajones para medidas no científicas y en ella el punto de congelación del agua se 119

define como 32 °F y su punto de ebullición como 212 °F. En la escala Kelvin, la escala termodinámica de temperaturas más empleada, el cero se define como el cero absoluto de temperatura, es decir, -273,15 °C. La magnitud de su unidad, llamada kelvin y simbolizada por K, se define como igual a un grado Celsius. Otra escala que emplea el cero absoluto como punto más bajo es la escala Rankine, en la que cada grado de temperatura equivale a un grado en la escala Fahrenheit. En la escala Rankine, el punto de congelación del agua equivale a 492 °R, y su punto de ebullición a 672 °R. En 1933, científicos de treinta y una naciones adoptaron una nueva escala internacional de temperaturas, con puntos fijos de temperatura adicionales basados en la escala Kelvin y en principios termodinámicos. La escala internacional emplea como patrón un termómetro de resistencia de platino (cable de platino) para temperaturas entre -190 °C y 660 °C. Desde los 660 °C hasta el punto de fusión del oro (1.063 °C) se emplea un termopar patrón: los termopares son dispositivos que miden la temperatura a partir de la tensión producida entre dos alambres de metales diferentes (véase Termoelectricidad). Más allá del punto de fusión del oro las temperaturas se miden mediante el llamado pirómetro óptico, que se basa en la intensidad de la luz de una frecuencia determinada que emite un cuerpo caliente. En 1954, un acuerdo internacional adoptó el punto triple del agua —es decir, el punto en que las tres fases del agua (vapor, líquido y sólido) están en equilibrio— como referencia para la temperatura de 273,16 K. El punto triple puede determinarse con mayor precisión que el punto de congelación, por lo que supone un punto fijo más satisfactorio para la escala termodinámica. En criogenia, o investigación de bajas temperaturas, se han obtenido temperaturas de tan sólo 0,00001 K mediante la desmagnetización de sustancias paramagnéticas. En las explosiones nucleares (véase Armas nucleares) se han alcanzado momentáneamente temperaturas evaluadas en más de 100 millones de kelvin.

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C  0 ( F  32) K  273   100 180 100 CONVERSIÓN DE TEMPERATURA DE UNA ESCALA A OTRA Fórmulas de conversiones de una de una escala a otra C = (5/9)(F - 32) C = K - 273 (F - 32)/180 = (K -273)/100 Unidades de calor En las ciencias físicas, la cantidad de calor se expresa en las mismas unidades que la energía y el trabajo, es decir, en julios (véase Trabajo). Otra unidad es la caloría, definida como la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1 gramo de agua a 1 atmósfera de presión desde 15 hasta 16 °C. Esta unidad se denomina a veces caloría pequeña o caloría gramo para distinguirla de la caloría grande, o kilocaloría, que equivale a 1.000 calorías y se emplea en nutrición. La energía mecánica puede convertirse en calor a través del rozamiento, y el trabajo mecánico necesario para producir 1 caloría se conoce como equivalente mecánico del calor. A una caloría le corresponden 4,1855 julios. Según la ley de conservación de la energía, todo el trabajo mecánico realizado para producir calor por rozamiento aparece en forma de energía en los objetos sobre los que se realiza el trabajo. Joule fue el primero en demostrarlo de forma fehaciente en un experimento clásico: calentó agua en un recipiente cerrado haciendo girar unas ruedas de paletas y halló que el aumento de temperatura del agua era proporcional al trabajo realizado para mover las ruedas. Cuando el calor se convierte en energía mecánica, como en un motor de combustión interna, la ley de conservación de la energía también es válida. Sin embargo, siempre se pierde o disipa energía en forma de calor porque ningún motor tiene una eficiencia perfecta. Véase Caballo de vapor. Calor latente El cambio de temperatura de una sustancia conlleva una serie de cambios físicos. Casi todas las sustancias aumentan de volumen al calentarse y se contraen al enfriarse. El comportamiento del agua entre 0 y 4 °C constituye una importante excepción a esta regla (véase Hielo). Se denomina fase de una sustancia a su estado, que puede ser sólido, líquido o gaseoso. Los cambios de fase en sustancias puras tienen lugar a temperaturas y presiones definidas (véase Regla de las fases). El paso de sólido a gas se denomina sublimación, de sólido a líquido fusión, y de líquido a vapor vaporización. Si la presión es constante, estos procesos tienen lugar a una temperatura constante. La cantidad de calor necesaria para producir un cambio de fase se llama calor latente; existen calores latentes de sublimación, fusión y vaporización (véase Destilación; Evaporación). Si se hierve agua en un recipiente abierto a la presión de 1 atmósfera, la temperatura no aumenta por encima de los 100 °C por mucho calor que se suministre. El calor que se absorbe sin cambiar la 121

temperatura del agua es el calor latente; no se pierde, sino que se emplea en transformar el agua en vapor y se almacena como energía en el vapor. Cuando el vapor se condensa para formar agua, esta energía vuelve a liberarse (véase Condensación). Del mismo modo, si se calienta una mezcla de hielo y agua, su temperatura no cambia hasta que se funde todo el hielo. El calor latente absorbido se emplea para vencer las fuerzas que mantienen unidas las partículas de hielo, y se almacena como energía en el agua. Para fundir 1 kg de hielo se necesitan 19.000 julios, y para convertir 1 kg de agua en vapor a 100 °C, hacen falta 129.000 julios. Calor específico La cantidad de calor necesaria para aumentar en un grado la temperatura de una unidad de masa de una sustancia se conoce como calor específico. Si el calentamiento se produce manteniendo constante el volumen de la sustancia o su presión, se habla de calor específico a volumen constante o a presión constante. En todas las sustancias, el primero siempre es menor o igual que el segundo. El calor específico del agua a 15 °C es de 4.185,5 julios por kilogramo y grado Celsius. En el caso del agua y de otras sustancias prácticamente incompresibles, no es necesario distinguir entre los calores específicos a volumen constante y presión constante ya que son aproximadamente iguales. Generalmente, los dos calores específicos de una sustancia dependen de la temperatura.

Transferencia de calor Los procesos físicos por los que se produce la transferencia de calor son la conducción y la radiación. Un tercer proceso, que también implica el movimiento de materia, se denomina convección. La conducción requiere contacto físico entre los cuerpos —o las partes de un cuerpo — que intercambian calor, pero en la radiación no hace falta que los cuerpos estén en contacto ni que haya materia entre ellos. La convección se produce a través del movimiento de un líquido o un gas en contacto con un cuerpo de temperatura diferente. Q = m c ΔT

Variación de temperatura Calor específico Masa Cantidad de calor Calor cedido = Calor ganado Σmi ci ΔTi = Σmj cj ΔTj C = m c 122

Calor especifico Masa Capacidad calorífica

1.- CONVERTIR a) 50 C a F d) 200 C a K g) -40 F a C j) 500 K a F

b) 100 C a F e) 25 C a K h) 122 F a C k) –40 C a F

c) 36 C a F f)-40 C a K i) 95 F a C

Para la dilatación lineal ∆L = α Lo ∆T, L = Lo(1 + α ∆T) Variación de temperatura L = Longitud final Lo = Longitud inicial α = Coeficiente de dilatación lineal ∆L = Variación de longitud Para la superficial ∆S = 2α So ∆T, S = So(1 + 2α ∆T) Variación de temperatura S = Superficie final So = Superficie inicial α = Coeficiente de dilatación lineal ∆S = Variación de superficie

Para la volumétrica o espacial ∆V = 3 α Vo ∆T, V = Vo(1 + 3α ∆T) Variación de temperatura V = Volumen final Vo = Volumen inicial α = Coeficiente de dilatación lineal ∆V = Variación de volumen Si la sustancia aumenta en las tres dimensiones con el mismo coeficiente se llama coeficiente de expansión volumétrico y se obtiene: β = 3α

123

EXPANSION LINEAL NOMBRE Lo α(1/ºC) aluminio 1.005m 24x10-6 bronce 9.2x10-6 plomo 29x10-6 acero 2.000cm 11x10-6 vidrio 9x10-6 común vidrio 5.000cm 3.2x10-6 pyrex Invar 0.9x10-6 concreto 12x10-6

T(ºC) 125

To(ºC) 25

225

25

300

30

124

ΔT(ºC)

ΔL

L

EXPANSION SUPERFICIAL NOMBRE So α(1/ºC) aluminio 10.0cm2 24x10-6 bronce 9.2x10-6 plomo 29x10-6 acero 50.0m2 11x10-6 vidrio 9x10-6 común vidrio 3.2x10-6 pyrex Invar 0.9x10-6 2 concreto 100m 12x10-6

T(ºC) 100 100

To(ºC) 30 30

250

50

60

20

EXPANSION VOLUMETRICA NOMBRE Vo α(1/ºC) T(ºC) 3 -6 aluminio 100cm 24x10 180 bronce 9.2x10-6 plomo 29x10-6 3 acero 25.0cm 11x10-6 230 -6 vidrio 9x10 común vidrio 3.2x10-6 pyrex Invar 0.9x10-6 concreto 12x10-6

To(ºC) 30

ΔT(ºC)

ΔS

S

ΔT(ºC)

ΔV

V

30

INTRODUCCIÓN Gas, sustancia en uno de los tres estados diferentes de la materia ordinaria, que son el sólido, el líquido y el gaseoso. Los sólidos tienen una forma bien definida y son difíciles de comprimir. Los líquidos fluyen libremente y están limitados por superficies que forman por sí solos. Los gases se expanden libremente hasta llenar el recipiente que los contiene, y su densidad es mucho menor que la de los líquidos y sólidos. 2. LEY DE LOS GASES IDEALES La teoría atómica de la materia define los estados, o fases, de acuerdo al orden que implican. Las moléculas tienen una cierta libertad de movimientos en el espacio. Estos grados de libertad microscópicos están asociados con el concepto de orden macroscópico. Las moléculas de un sólido están colocadas en una red, y su libertad está restringida a pequeñas vibraciones en torno a los puntos de esa red. En cambio, un gas no tiene un orden espacial macroscópico. Sus moléculas se mueven aleatoriamente, y sólo están limitadas por las paredes del recipiente que lo contiene. Se han desarrollado leyes empíricas que relacionan las variables macroscópicas. En los gases ideales, estas variables incluyen la presión (p), el volumen (V) y la temperatura (T). La ley de Boyle-Mariotte afirma que el volumen de un gas a temperatura constante es inversamente proporcional a la presión. La ley de Charles y Gay-Lussac afirma que el volumen de un gas a 125

presión constante es directamente proporcional a la temperatura absoluta. La combinación de estas dos leyes proporciona la ley de los gases ideales pV = nRT (n es el número de moles), también llamada ecuación de estado del gas ideal. La constante de la derecha, R, es una constante universal cuyo descubrimiento fue una piedra angular de la ciencia moderna. 3.

TEORÍA CINÉTICA DE LOS GASES Con la llegada de la teoría atómica de la materia, las leyes empíricas antes mencionadas obtuvieron una base microscópica. El volumen de un gas refleja simplemente la distribución de posiciones de las moléculas que lo componen. Más exactamente, la variable macroscópica V representa el espacio disponible para el movimiento de una molécula. La presión de un gas, que puede medirse con manómetros situados en las paredes del recipiente, registra el cambio medio de momento lineal que experimentan las moléculas al chocar contra las paredes y rebotar en ellas. La temperatura del gas es proporcional a la energía cinética media de las moléculas, por lo que depende del cuadrado de su velocidad. La reducción de las variables macroscópicas a variables mecánicas como la posición, velocidad, momento lineal o energía cinética de las moléculas, que pueden relacionarse a través de las leyes de la mecánica de Newton, debería de proporcionar todas las leyes empíricas de los gases. En general, esto resulta ser cierto. La teoría física que relaciona las propiedades de los gases con la mecánica clásica se denomina teoría cinética de los gases. Además de proporcionar una base para la ecuación de estado del gas ideal, la teoría cinética también puede emplearse para predecir muchas otras propiedades de los gases, entre ellas la distribución estadística de las velocidades moleculares y las propiedades de transporte como la conductividad térmica, el coeficiente de difusión o la viscosidad. 3.1. Ecuación de van der Waals La ecuación de estado del gas ideal no es del todo correcta: los gases reales no se comportan exactamente así. En algunos casos, la desviación puede ser muy grande. Por ejemplo, un gas ideal nunca podría convertirse en líquido o sólido por mucho que se enfriara o comprimiera. Por eso se han propuesto modificaciones de la ley de los gases ideales, pV = nRT. Una de ellas, muy conocida y particularmente útil, es la ecuación de estado de van der Waals (p + a/v2)(v - b) = RT, donde v = V/n, y a y b son parámetros ajustables determinados a partir de medidas experimentales en gases reales. Son parámetros de la sustancia y no constantes universales, puesto que sus valores varían de un gas a otro. La ecuación de van der Waals también tiene una interpretación microscópica. Las moléculas interaccionan entre sí. La interacción es muy repulsiva a corta distancia, se hace ligeramente atractiva a distancias intermedias y desaparece a distancias más grandes. La ley de los gases ideales debe corregirse para considerar las fuerzas atractivas y repulsivas. Por ejemplo, la repulsión mutua entre moléculas tiene el efecto de excluir a las moléculas vecinas de una cierta zona alrededor de cada molécula. Así, una parte del espacio total deja de estar disponible para las moléculas en su movimiento aleatorio. En la ecuación de estado, se hace necesario restar este volumen de exclusión (b) del volumen del recipiente; de ahí el término (v - b). PROBLEMAS 126

Ejemplo 19.1: Conversión de temperaturas: En un día cualquiera cuando la temperatura alcanza 50ºF ¿Cuál de acuerdo con la ecuación 19.1, encontramos que es la temperatura en grados Celsius y en Kelvin? Solución: La sustitución Tf = 50ºF en la ecuación 19.2, produce Tc = 5/9 (Tf - 32) = 5/9 (50 - 32) = 10ºC. T = Tc + 273.15 = 283 K. Ejemplo 19.2: Calentamiento de una olla de agua: Una olla de agua se calienta de 25ºC a 80ºC. ¿Cuál es su cambio de temperatura en la escala Kelvin y en escala Fahrenheit? Solución: Según la ecuación 19.1, vemos que el cambio de temperatura en la escala Celsius es igual al cambio en la escala Kelvin. En consecuencia, ∆T = ∆Tc = 80 - 25 = 55ºC = 55 K. A partir de la ecuación 19.3, encontramos, ∆Tf = 9/5 ∆Tc = 9/5 (80 - 25) = 99ºF Ejemplo 19.3 Expansión de una vía de Ferrocarril: Un riel de acero de una vía férrea tiene una longitud de 30.0 m cuando la temperatura es 0.0ºC. En un día caluroso cuando la temperatura es de 40.0ºC, a) ¿Cuál es la longitud? Solución: Utilizando la tabla 19.2 y observando que el cambio en la temperatura es de 40.0ºC, encontramos que el aumento en la longitud es ∆L = αL ∆T = (11 x 10-6 (ºC)-1) (30.0m) (40.0ºC) = 0.013 m. En consecuencia la longitud del riel a 40.0ºC es 30.013 m. b) Suponga que los extremos del riel están sujetos rígidamente a 0.0ºC con lo que se evita la expansión. Calcule el esfuerzo térmico impuesto en el riel si su temperatura se eleva a 40.0ºC. Solución: A partir de la definición del módulo de Young para un sólido (capitulo 12), tenemos Esfuerzo de tensión = F/A =Y∆L/L Puesto que Y para el acero es 20 x 10-10 N/m2 (tabla 12.1), tenemos F ∆L =Y = A L Ejercicio: Si el riel tiene un área de sección transversal de 30.0 cm2, calcule la fuerza de compresión en el riel. Respuesta: 2.6 x 105 N o 58 000 lb. Ejemplo 19.4 ¿Cuántas moléculas de gas hay en un recipiente? 127

Un gas ideal ocupa un volumen de 100 cm3 a 20ºC y a una presión de 100 Pa. Determine el número de moles de gas en el recipiente. PV = nRT Solución: Las cantidades dadas son volumen, presión y temperatura: V = 100 cm3 = 1.00 x 10-4 m3, P = 100 Pa y T = 20ºC = 293 K. Utilizando la ecuación 19.12, obtenemos PV = nRT

Observe que usted debe expresar T como una temperatura absoluta (K) al usar la ley de gas ideal. Ejercicio: Calcule el número de moléculas en el recipiente, aprovechando el hecho de que el número de Avogrado es 6.02 x 1023 molécula/mol. Repuesta: 2.47 x 1018 moléculas. Ejemplo 19.5: Compresión en un tanque de gas: En un tanque que contiene un émbolo móvil se introduce hielo puro. El volumen, la presión y la temperatura iniciales del gas son 15 x 10-3 m3, 200 kPa y 300 K. Si el volumen se reduce a 12 x 10-3 m3 y la presión aumenta a 350 kPa, encuentre la temperatura final del gas. (suponga que el hielo se comporta como un gas ideal). Solución: Si no se escapa gas del recipiente, el número de moles permanece constante, por tanto, utilizando PV = nRT en los puntos inicial y final se obtiene, PV PV i i = f f Ti Tf donde i y f se refieren a los valores inicial y final. Al resolver para Tf encontramos,

Ejemplo 19.6: Calentamiento de una botella de aire: Una botella de vidrio sellada, cuyo volumen es de 30 cm3, contiene aire a presión atmosférica (101 kPa) y está a 23ºC. En cierto momento se arroja un fuego abierto. Cuando la temperatura del aire en la botella alcanza 200ºC, ¿Cuál es la presión interior? Suponga que cualquier cambio en el volumen de la botella es despreciable. Solución: Este ejemplo se aproxima de la misma manera que en el ejemplo 19.5. Empezamos con la expresión,

128

Puesto que los volúmenes inicial y final del gas se suponen iguales, esta expresión se reduce a, Es claro que, cuando más alta sea la temperatura, tanto mayor será la presión ejercida por el aire atrapado. Desde luego, si la presión aumenta lo suficiente, la botella estallará. Ejercicio: En este ejemplo ignoramos el cambio de volumen de la botella. Si el coeficiente de expresión volumétrica del vidrio es 27 x 10-6 (ºC) -1, encuentre la magnitud de este cambio de volumen. Respuesta: 0.14 cm3. Un estudiante come una comida de 2000 calorías (dietéticas). El quiere hacer la misma cantidad del trabajo levantando pesas de 50 kg en el gimnasio. ¿Cuantas veces debe levantar las pesas para gastar esa energía ? Suponga que levanta las pesas a una altura de 2 m y que no se pierde energía al bajarlas al piso. Datos: W = 2000 x 4.186 J = 8.37 x 103 J n mgh = W, donde n es el numero de veces que levanta las pesas n = W/mgh = 8.37 x 103/(50 x 9.8 x 2) = 8.54 veces Un trozo de metal de 0.05 kg se calienta a 200øC, después se coloca en un recipiente que contiene 0.396 kg de agua cw = 4186 J/kg C inicialmente a 20øC. Si la temperatura final de equilibrio del sistema mezclado es de 22.4øC. Calcule el calor especifico del metal. De que metal se trata. a) Aluminio (c = 900 J/kg x C = 0.215 cal/gr x C) b) Cobre(c = 387 J/kg x C = 0.0924 cal/gr x C) c) Hierro(c = 448 J/kg x C = 0.107 cal/gr x C) d) Plomo(c = 128 J/kg x C = 0.0305 cal/gr x C) e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es Calor ganado = Calor perdido mw cw (Tf - Tiw) = mx cx (Tix -Tf), donde: cw = 4186 J/kg C Un vaquero dispara una bala de plata, el llanero solitario (c = 234 J/kg C) de 2 gr.(0.002 kg) con una velocidad inicial de 200 m/s sobre una pared de pino de una taberna. Suponga que toda la energía térmica generada durante el impacto permanece en la bala. ¿Cuál es el cambio de temperatura en la bala? Ec = Q = m c ∆ T, donde ∆T = Ec/m c

Un vaquero dispara una bala de plomo(c = 128 J/kg C) de 2 gr(0.002 kg) con una velocidad inicial de 200 m/s sobre una pared de pino de una taberna. Suponga que toda la energía térmica 129

generada durante el impacto permanece en la bala. ¿Cuál es el cambio de temperatura en la bala?

¿Que cantidad de vapor (c = 2.01 x 103 J/kg x oC) inicialmente a 130oC se requiere para calentar 200 gr de agua (c = 4186 J/kg C, Lf = 3.33x 105 J/kg, Lv = 2.26 x 106 J/kg) en un recipiente de vidrio(c = 837 J/kg C) de 100 gr de 20oC a 50oC?

Considere el aparato de Joule descrito en la figura . Cada masa es de 1.5 kg y el tanque se llena con 200 gr de agua. Considere g = 9.8 N/kg, el calor especifico del agua c = 1.0 cal/g oC. ¿Cuál es el aumento en la temperatura del agua después de que las masas caen una distancia de 3 m? a) 0.210 oC b) 0.105 oC c) 1.050 oC d) 2.100 oC e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es _________________oC

Una persona de 80 kg que quiere conservar la línea, desea escalar una montaña para quemar el equivalente a una barra de chocolate de 700 calorías dietéticas). ¿Que altura debe subir la montaña? Considere g = 9.8 m/s2 y que una caloría dietética es igual a 1000 calorías a) 3.74 m b) 3.74 x 10 m c) 3.74 x 102 m d) 3.74 x 103 m e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es _________________m Un trozo de metal de 0.023 kg se calienta a 200º C, después se coloca en un recipiente que contiene 0.366 kg de agua cw = 4186 J/kg C inicialmente a 20º C. Si la temperatura final de equilibrio del sistema mezclado es de 22.4º C. Calcule el calor específico del metal. De que metal se trata. a) Aluminio (c = 900 J/kg x C = 0.215 cal/gr x oC) b) Cobre(c = 387 J/kg x C = 0.0924 cal/gr x oC) c) Hierro(c = 448 J/kg x C = 0.107 cal/gr x oC) d) Plomo(c = 128 J/kg x C = 0.0305 cal/gr x oC) e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es Un trozo de metal de 0.059 kg se calienta a 200º C, después se coloca en un recipiente que contiene 0.404 kg de agua cw = 4186 J/kg C inicialmente a 20º C. Si la temperatura final de 130

equilibrio del sistema mezclado es de 22.4º C. Calcule el calor específico del metal. ¿De qué metal se trata? a) Aluminio (c = 900 J/kg x C = 0.215 cal/gr x C) b) Cobre(c = 387 J/kg x C = 0.0924 cal/gr x C) c) Hierro(c = 448 J/kg x C = 0.107 cal/gr x C) d) Plomo(c = 128 J/kg x C = 0.0305 cal/gr x C) e) Ninguna de las anteriores, mi respuesta es ¿Qué cantidad de vapor (c = 2.01 x 103 J/kg x C) inicialmente a 130º C se requiere para calentar 500 gr de agua (c = 4186 J/kg C, Lf = 3.33x 105 J/kg, Lv = 2.26 x 106 J/kg) en un recipiente de vidrio(c = 837 J/kg C) de 100 gr de 20º C a 50º C?

Un gas ocupa un volumen de 100 cm3 a 20ºC y a una presión de 100 Pa. Determine en número de moles del gas en el recipiente. R = 8.31 J/mol K = 0.0821 atm.litro/mol.K y el numero de Avogadro es 6.22 x 1023 moléculas/mol.

Un gas ocupa un volumen de 100 cm3 a 20ºC y a una presión de 100 Pa. Calcule el número de moléculas en un recipiente, use el hecho de que el número de Avogadro es 6.22 x 1023 moléculas/mol y R = 8.31 J/mol K = 0.0821 atm.litro/mol.K

Se admite gas de helio puro en un tanque que tiene un embolo movible. El volumen, presión y temperatura iniciales del gas son 15 x 10-3 m3, 200 kPa y 300 K. Si el volumen disminuye a 1.2 x 10-3 m3 y la presión se aumenta a 350 kPa. Encuentre la temperatura final del gas. (Suponga que el helio se comporta como un gas ideal)

Una botella de vidrio, cerrada herméticamente, contiene aire a la presión atmosférica (101 kPa) con un volumen de 30 cm3 y esta a una temperatura de 23ºC. En esas condiciones se arroja al fuego hasta que la botella alcanza una temperatura de 200ºC. ¿Cuál es la presión dentro de la botella? Suponga que cualquier cambio en el volumen de la botella es despreciable.

Una botella de vidrio, cerrada herméticamente, contiene aire a la presión atmosférica (101 kPa) con un volumen de 30 cm3 y esta a una temperatura de 23ºC. En esas condiciones se arroja al 131

fuego hasta que la botella alcanza una temperatura de 200ºC. Si el coeficiente de dilatación volumétrica para el vidrio es β = 27 x 10-6/oC. Calcule la magnitud de cambio en el volumen. 19.2 El termómetro de gas a volumen constante que se ve en la figura 19.2 da una lectura de 50 mm Hg para la temperatura en el punto triple de 350K. ¿Qué presión se leerá en: a) el punto de ebullición del agua (100ºC)? b) el punto de fundición del oro (1064.43º C)?

19.3 Un termómetro de gas a volumen constante registra una presión de 50 mm Hg cuando esta a una temperatura de 450 K. a) ¿Cuál es la presión en el punto triple del agua (273.16 K)? b) ¿Cuál es la temperatura cuando se lee una presión de 2 mm Hg?

19.4 La presión en un termómetro de gas a volumen constante es de 0.700 atm a 100º C y 0.512 atm a 0o C. a) ¿Cuál es la temperatura cuando la presión es de 0.0400 atm? b) ¿Cuál es la presión a 450º C?

19.5 Un termómetro de gas a volumen constante se llena con helio. Cuando se sumerge en nitrógeno líquido hirviendo (a una temperatura de 77.34 K), la presión absoluta es de 25.00 kPa. a) ¿Cual es la temperatura en grados Celsius y Kelvin cuando la presión es 45.00 kPa? b) ¿Cuál será la presión cuando el termómetro se sumerge en hidrógeno líquido hirviendo (-52.87 oC)?

19.7 El nitrógeno liquido tiene un punto de ebullición de -195.81º C a la presión atmosférica. Exprese esta temperatura en : a) Fahrenheit b) Kelvin.

19.8 La temperatura más alta registrada en la tierra fue 136º F, en azizia, Libia, en 1922. La temperatura más baja fue -127º F en la estación Vostok, en el articon en 1960. Exprese estas temperaturas extremas en grados Celsius. 132

19.9 El punto de fundición del plomo es de 327.3º C. Exprese esta en: a) grados Fahrenheit b) grados kelvin.

19.12 La temperatura normal del cuerpo humano es de 98.6º F. Una persona con fiebre puede registrar 102º F. Exprese estas temperatura en grados Celsius.

19.16 Un tubo de aluminio (α = 24 x 10-6 /oC) tiene 3.000 m de largo a 20º C. ¿Cual es su longitud a a) 100º C? b) 0o C?

19.19 Una viga estructural I de acero (à = 11 x 10-6 /oC) tiene 15 m de longitud cuando se instala a 20º C. ¿Cual será el cambio en su longitud sobre las temperatura extremas de -30º C a 50º C? 19.1 Se calibra un termómetro de gas a volumen constante en hielo seco (-80 ºC) y en alcohol etílico hirviendo (78 ºC). Las dos presiones son 0.900 atm y 1.635 atm. a) Qué valor del cero absoluto dará la calibración? b) Qué presiones se encontrarán en los puntos de congelación y de ebullición del agua?

19.6 El punto de fundición de oro es de 1064ºC y el punto de ebullición es de 2660ºC. a) Exprese estas temperaturas en kelvin. b) Calcule las diferencias de estas temperaturas en grados Celsius y en grados kelvin y compare los resultados. 19.10 La temperatura de un estado de noreste varia de 105ºF en el verano a-25ºF en el invierno. Exprese este intervalo de temperatura en grados Celsius.

19.11 El punto de ebullición del azufre es de 444.60ºC. El punto de fundición es de 586.1 Fº por abajo del punto de ebullición. a) Determine el punto de fundición en grados Celsius. b) Encuentre los puntos de fundición y ebullición en grados Fahrenheit. 133

19.14 Un proceso enfría un cuerpo de 350ºC a -80ºC. Exprese el cambio en la temperatura en a) kelvin y b)grados Fahrenheit.

19.15 ¿A qué temperaturas son iguales las lecturas en un termómetro Fahrenheit y en un termómetro Celsius?

¿A qué temperaturas son iguales las lecturas en un termómetro Fahrenheit y en un termómetro Kelvin?

19.17 Un alambre de cobre (α = 17 x 10-6 /ºC) de teléfono se cuelga, un poco pandeado, entre dos polos que están separados a 35 m. ¿En cuánto es más largo el alambre en un día de verano con Tc = 35ºC respecto de un día en invierno con Tc = -20ºC?

19.18 ¿Cuál es el cambio en la longitud de una varilla hecha de 2.000 m de cobre (α = 17 x 10-6 /ºC) y 1.000 m de aluminio (α = 24 x 10-6 /ºC) colocadas extremo con extremo (en serie), al moverse de un baño con agua fría (0 ºC) a uno con vapor (100 ºC)?

19.20 El puente New River George en el oeste de Virginia es un puente con un arco de acero (α = 11 x 10-6 /ºC) de 518 m de longitud. ¿En cuánto cambiará su longitud entre los valores extremos de temperatura de -20º C y 35ºC? 19.21 Una vía de acero (α = 11 x 10-6 /ºC) tiene 2 metros de longitud. Las vías se colocan extremos con extremos con un espacio de hules sintéticos entre ellos. El coeficiente de dilatación de este hule es igual a α= -22 x 10-5 (Cº)-1 (el signo negativo significa que el hule se contrae cuando se calienta). ¿Qué espesor deberá tener el espaciador para que se contraiga lo mismo que se expanden las vías cuando la temperatura aumente a 30ºC? 19.22 Se utiliza como termómetro una varilla de metal de cierta aleación. A 0ºC su longitud es de 40.000 cm y a 100ºC su longitud es de 40.060 cm. a) ¿Cuál es el coeficiente de dilatación lineal, α, de la aleación? b) ¿Cuál es la temperatura cuando la longitud es 39.975 cm? 134

19.24 Un alambre de 0.20 mm de diámetro se tensa hasta una tensión de 50 N. El alambre se sujeta a una barra de aluminio (α = 24 x 10-6 /ºC) gruesa cuando ambos están a una temperatura de 20 ºC. ¿Cuál será la tensión en el alambre cuando éste y la barra se llevan hasta una temperatura de 150 ºC? [El alambre tiene un módulo de Young de 34 x 1010 Pa y un coeficiente de expansión lineal de 15 x 10-6/ºC]

19.27 A 20 ºC un anillo de aluminio (α = 24 x 10-6 /ºC) tiene un diámetro interior de 5.000 cm, y una varilla de bronce (α = 19 x 10-6 /ºC) tiene un diámetro de 5.050 cm. ¿A qué temperatura se debe calentar el anillo de aluminio para que ajuste sobre la varilla de bronce?

19.28 Una arandela de bronce (α = 19 x 10-6 /ºC) tiene un diámetro interior de 2.000 cm y un diámetro exterior de 2.500 cm a 25ºC. ¿A qué temperatura debe calentarse la arandela para que se pueda ajustar sobre una barra que tiene 2.005 cm de diámetro? 19.29 Un cilindro hueco de aluminio (α = 24 x 10-6 /ºC) con 20 cm de profundidad tiene una capacidad de 2.000 litros a 20 ºC. Se llena completamente con trementina, se calienta hasta 80 ºC y se derrama? a) ¿Qué cantidad de trementina se derrama? b) Si se vuelve a enfriar a 20ºC, ¿a qué distancia por debajo de la superficie superior del cilindro se encuentra la superficie de la trementina? 19.30 Calcule el cambio fraccionario ( ∆ V/Vo) de una barra de aluminio (α =24 x 10-6/oC) que experimenta a un cambio en la temperatura de 30ºC. (Observe que ß = 3α para una sustancia isotópica.)

19.31 El tanque de gasolina de un automóvil se llena hasta el borde con 45 litros (11.9 gal) de gasolina ( β = 9.6 x10−4 / o C ) a 10ºC, justo antes de estacionar el vehículo bajo el sol a 35ºC. ¿Cuanta gasolina se derramara del tanque como resultado de la expansión? (Desprecie la expansión del tanque.) 135

19.32 Un frasco de vidrio tipo Pyrex (α= 3.2 x 10-6 /ºC) se calibra a 20ºC para medir volúmenes. Se llena hasta la marca de 100 ml con acetona (β = 1.5 x 10-4 /ºC) a 35ºC. a) ¿Cuáles es el volumen de la acetona cuando se enfría a 20ºC? b) ¿Qué tan significativo es el cambio en el volumen del frasco?

19.33 El elemento activo de cierto láser se hace de una barra de vidrio [Tome α= 9 x 10-6 (Cº)-1] con 30 cm de longitud y 1.5 cm de diámetro. Si la temperatura de la barra se incrementa en 65ºC, encuentre el aumento en: a) su longitud, b) su diámetro c) su volumen.

19.34 Se mantiene un gas ideal en un recipiente a volumen constante. Inicialmente, su temperatura es 10ºC y su presión es 2.5 atm. ¿Cuál será la presión cuando la temperatura sea de 80ºC?

19.35 Un cilindro con un émbolo movible contiene un gas a una temperatura de 127ºC, una presión de 30 KPa y un volumen de 4 m3. ¿Cual será su temperatura final si el gas se comprime a 2.5 m3 y la presión aumenta a 90 KPa.?

19.36 Se encuentra contenido un gas en una vasija de 8 L, a una temperatura de 20ºC y a una presión de 9 atm. a) Determine el número de moles en la vasijas b) ¿Cuántas moléculas hay en la vasijas?

19.37 Se encuentran confinado un gas en un tanque a una presión de 10.00 atm y a una temperatura de 15ºC. Si se saca la mitad del gas y se aumenta la temperatura a 65ºC. ¿Cuál es la nueva presión en el tanque?

136

19.38 Se calienta un gas de 27ºC a 127ºC mientras se mantiene a presión constante en un recipiente cuyo volumen aumenta. ¿En qué factor cambia el volumen?

19.39 Un cilindro con un volumen de 12 litros contiene un gas de helio a una presión de 136 atm. ¿Cuántos globos se puede llenar con este cilindro a presión atmosférica si el volumen de cada globo es de 1 litro?

19.40 Un tanque con un volumen de 0.1 m3 contiene un gas de helio a una presión de 150 atm. ¿Cuántos globos se pueden inflar si cada globo lleno es una esfera de 30 cm de diámetro y a una presión absoluta de 1.2 atm?

19.41 Una mol de gas oxígeno esta a una presión de 6 atm y a una temperatura de 27ºC. a) Si el gas se calienta a volumen constante hasta que la presión se tríplica, ¿cuál es la temperatura final? b) Si el gas se calienta tanto que la presión como el volumen se duplican, ¿cuál es la temperatura final?

19.42 Se infla la llanta de un automóvil con aire inicialmente a 10 ºC y a presión atmosférica normal. Durante el proceso, el aire se comprime a 28% de su volumen inicial y su temperatura aumenta a 40 ºC. ¿Cuál es la presión del aire? Después de manejar el automóvil a altas velocidades, la temperatura del aire de las ruedas aumenta a 85 ºC y el volumen interior de la rueda 2%. ¿Cuál es la nueva presión en la rueda? Exprese su respuesta en Pa.

Consideremos una lámina compuesta, cada una de área A, formada por dos materiales que tienen diferentes espesores L1 y L2 y diferentes conductividades k1 y k2. Si las temperaturas en las superficies exteriores son T2 y T1, Tx es la temperatura entre las superficies de contacto de las dos laminas, donde T2 > T1. Determinar la rapidez de transferencia de calor en un estado estacionario a través de la lámina compuesta.

137

H2 =

k2 A(T2 − Tx ) L2

H1 =

k1 A(Tx − T1 ) L1

En el estado estacionario H1 = H2 = H. Igualando las dos ecuaciones anteriores y despejado a Tx y sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones obtenemos: H=

A(T2 − T1 ) A(T2 − T1 ) = ( L1 / k1 + L2 / k2 ) R1 + R2

1. Para entender el concepto de temperatura que es necesario saber a. La ley cero de la termodinámica b. La primera ley de la termodinámica c. La segunda ley de la termodinámica d. Todas de las anteriores son correctas 2. En orden para dos objetos tiene la misma temperatura, deben: a. Están en equilibrio térmico b. Están en contacto térmico uno con el otro c. Tengan el mismo grado "calor" o "frío" cuando se toca d. Todas de las anteriores son correctas 3. Una presión de 10 mm de Hg se mide en el punto triple del agua usando un termómetro del gas a volumen constante. ¿Cuál es la presión (en mm Hg) a 50o C? a. 68.3 b. 1.8 c. 31.8 d. 11.8 e. 8.5 f. Ninguna de las anteriores, mi respuesta es ___________ 4. Se mide usando un termómetro de gas a volumen constante una temperatura de 50ºC y se mide una presión de 10 mm Hg ¿Cuál es la presión (en mm Hg) a la temperatura de 0ºC? a. 31.8 b. 11.8 c. 8.5 d. 54.6 e. 68.3 f. Ninguna de las anteriores, mi respuesta es ___________ 5. Una diferencia temperatura de 5 K es igual a a. una diferencia de 9 en el Celsius b. una diferencia de 9 en el Fahrenheit c. una diferencia de 2.8 en el Rankine d. una diferencia de 0.5 en el Fahrenheit 138

e. una diferencia de 2.8 en el Celsius

6. Un termómetro registra un cambio en temperatura de 100ºF. ¿Qué cambio en la temperatura hace éste corresponde a grado en Kelvin? a. 453 b. 328 c. 180 d. 56 e. 24 f. Ninguna de las anteriores, mi respuesta es ___________

7. El Helio se condensa en la fase líquida a aproximadamente 4º K. ¿Qué temperatura, en grados Fahrenheit, hace que éste corresponda? a. - 182 b. - 269 c. - 118 d. - 452 e. - 484 f. Ninguna de las anteriores, mi respuesta es ___________ 8. Las termocuplas son útiles como termómetros para medir fuerza electromotriz inducida (FEM), como una función de temperatura, a. es reproducible b. es lineal c. se pueda obtener a temperaturas bajas d. se pueda obtener a temperaturas altas e. todo del sobre 9. El punto de ebullición del agua es 212o F. Exprese esta temperatura en grado Kelvin. a. 100 b. 485 c. 373 d. -173 e. 560 f. Ninguna de las anteriores, mi respuesta es ___________ 10. Se calibran dos termómetros, uno en grados Celsius y el otro en grados Fahrenheit. ¿A qué temperatura (en grados Kelvin) sus lecturas miden la misma temperatura? a. 218 b. 233 c. 273 139

d. -40 e. 0 f. Ninguna de las anteriores, mi respuesta es ___________ 11. Un niño tiene una temperatura de 104o F. ¿Cuál es la temperatura en grados Kelvin? a. 40 b. 406 c. 401 d. 313 e. 349 f. Ninguna de las anteriores, mi respuesta es ___________ 12. ¿A qué temperatura en grados Celsius es la lectura igual a dos veces mayor que la lectura en Fahrenheit? a. 160ºC b. 320ºC c. 120ºC d. 240ºC e. 60ºC f. Ninguna de las anteriores, mi respuesta es ___________ Considere el aparato de Joule descrito en la fig. Cada masa es de 1.5 kg y el tanque se llena con 200 gr de agua. Considere g = 9.8 N/kg, el calor especifico del agua (c = 1.0 cal/g ºC =4186 J/kg oC). ¿Cuál es el aumento en la temperatura del agua después de que las masas caen una distancia de 4.0 m?

20.2 Una persona de 80 kg que quiere conservar la línea, desea escalar una montaña para quemar el equivalente a una barra de chocolate de 700 calorías (dietéticas). ¿Qué altura debe subir la montaña?

20.3 El agua (c = 1.000 cal/g ºC = 4186 J/kg oC) en la parte superior de las Cataratas del Niagara tiene una temperatura de 10º C. Si cae una distancia de 50 m y toda su energía potencial se va en calentarla. Calcule la temperatura del agua en el fondo de la caída.

140

20.4 ¿Cuántas calorías de calor se requiere para elevar la temperatura de 3.0 kg de aluminio (c = 0.215 cal/g ºC= 900 J/kg oC) de 20º C a 50º C?

20.5 Se utiliza 2 kcal para calentar 600 g de una sustancia desconocida de 15ºC a 40ºC. ¿Cuál es el calor específico de la sustancia?

20.6 Una pieza de cadmio de 50 g esta a 20ºC. Si se agrega 400 cal al cadmio, ¿cuál sería su temperatura final? 20.7 ¿Cuál es la temperatura final de equilibrio cuando 200 g de leche a 30ºC se agregan a 100 g de café a 90ºC? (Suponga que las capacidades caloríficas de los dos líquidos son iguales a la del agua, c = 1.0 cal/g ºC, y desprecie la capacidad calorífica del recipiente.)

20.8 Se calientan balines de cobre (c = 0.0924 cal/g ºC), cada uno con una masa de 1 g, a una temperatura de 100ºC. ¿Cuántos balines se deben agregar a 500 g de agua (c = 1.000 cal/g ºC) inicialmente a 20ºC para la temperatura final del equilibrio sea de 25ºC? (Desprecie la capacidad calorífica del contenedor.)

20.9 Una herradura de hierro (c = 0.107 cal/g ºC = 448 J/kg oC) de 1.5 kg inicialmente a 600ºC se deja caer en un cubo que contiene 20 kg de agua (c = 1.000 cal/g ºC = ) a 25ºC. ¿Cuál es la temperatura final? (Desprecie la capacidad calorífica del recipiente.)

141

20.10 Un bloque de hielo con una masa m = 10 kg se mueve hacia adelante y atrás sobre la superficie superior de un gran bloque de hielo. Los 2 bloque están a 0ºC, y la fuerza que produce el movimiento hacia adelante y atrás actúan horizontalmente. El coeficiente de fricción cinética (hielo húmedo sobre hielo) es µk = 0.060. ¿Cuál es la distancia total recorrida por el bloque de arriba, respecto del bloque de abajo, si se producen 15.2 g de liquido?

20.11 Un recipiente de 300 g de aluminio (c = 0.215 cal/g ºC= 900 J/kg oC) contiene 200 g de agua (c = 1.000 cal/g ºC) a 10ºC si se agregan 100 g de agua a 100ºC, ¿cuál es la temperatura final de equilibrio del sistema?

20.12 Un trozo de 300 g de cobre se calienta en un horno y en seguida se deja caer en calorímetro de 500 g de aluminio que contiene 300 g de agua. Si la temperatura del agua se eleva de 15ºC a 30ºC, ¿cuál es la temperatura inicial del cobre? (Suponga que no se pierde calor.) ¿Cuánto calor se debe de agregar a 20 g de aluminio a 20ºC para fundirlo completamente?

20.14 Un calorímetro de aluminio (c = 0.215 cal/g ºC) con una masa de 100 g contiene 250 g de agua (c = 1.000 cal/g ºC). Están en equilibrio térmico a 10ºC. Se colocan dos bloques de metal en el agua. Uno es una pieza de 50 g de cobre (c = 0.0924 cal/g ºC) a 80ºC. La otra muestra tiene una masa de 70 g a una temperatura de 100ºC. Todo el sistema se estabiliza a una temperatura final de 20ºC. a) Determine el calor especifico de la muestra desconocida. b) Determine que material puede ser usando la tabla 20.1. 20.15 Un recipiente de espuma de estireno contiene 200 g de mercurio a 0ºC. A estos se le agregan 50 g de alcohol a 50ºC y 100 g de agua a 100ºC. a) ¿Cuánto calor fue ganado o perdido por el mercurio, el alcohol y el agua? (El calor especifico del mercurio es 0.033 cal/g.Cº. Se desprecia la capacidad térmica de la espuma de estireno.

142

20.16 Un bloque de un kg de cobre (c = 0.0924 cal/g ºC = 387 J/kg oC) a 20ºC, se deja caer en un recipiente con nitrógeno liquido el cual esta hirviendo a 77 K. Suponiendo que el recipiente esta aislado térmicamente de los alrededores, calcule el numero de litros de nitrógeno que se evapora durante el tiempo que el cobre tarda en llegar a los 77 K.

20.17 Un cubo de hielo de 20 g a 0ºC se calienta hasta que 15 g se han convertido en agua a 100ºC y 5 g se han convertido en vapor. ¿Cuánto calor se necesito para lograr esto?

20.18 Se usa un litro de agua a 30ºC para hacer té helado. ¿Cuánto hielo a 0ºC se necesita para hacer que la temperatura del té sea de 10ºC? (El hielo tiene un calor especifico de 0.50 cal/g.Cº.)

20.19 Un calorímetro de 50 g de cobre (c = 0.0924 cal/g ºC) contiene 250 g de agua (c = 1.0 cal/g ºC) a 20ºC. ¿Cuánto vapor se debe condensar en el agua para que la temperatura del agua sea de 50ºC?

20.20 Si se vierten 90 g de plomo fundido a 327.3ºC en una pieza de hierro fundido de 300 g inicialmente a 20ºC, ¿cuál es la temperatura final del sistema? (Suponga que no se pierde calor.)

20.21 En un recipiente aislado, se agrega 250 g de hielo a 0ºC a 600 g de agua a 18ºC. El calor latente de fusión del hielo vale 80 cal/g. a) ¿Cuál es la temperatura final del sistema? b) ¿Cuánto hielo queda? En un recipiente aislado, se agrega 135 g de hielo a 0ºC a 600 g de agua a 18ºC. El calor latente de fusión del hielo vale 80 cal/g.a) ¿Cuál es la temperatura final del sistema? b) ¿Cuánto hielo queda?

En un recipiente aislado, se agrega 75 g de hielo a 0ºC a 600 g de agua a 18ºC. El calor latente de fusión del hielo vale 80 cal/g.a) ¿Cual es la temperatura final del sistema? b) ¿Cuánto hielo queda? 143

20.23 Determine el estado final cuando se mezclan 20 g de hielo a 0ºC con 10 g de vapor a 100ºC.

20.24 Una cacerola con agua se coloca en el sol hasta que alcanza una temperatura de equilibrio de 30ºC. La cacerola esta hecha de 100 g de aluminio y contiene 180 g de agua. Para enfriar el sistema, se agregan 100 g de hielo a 0ºC, a)Determine la temperatura final. Si T = 0ºC, determine cuanto hielo queda. b) Repita esto para el caso en que utilizan 50 g de hielo. 20.25 Un centavo de 3.0 g de cobre (c = 0.0924 cal/g ºC) a 25ºC,cae al piso desde una altura de 50 m. a) Si 60% de su energía potencial inicial se gasta en aumentar su energía interna, determine su temperatura final. b) ¿Depende el resultado de la masa del centavo? Explique.

20.26 A un bloque de aluminio (c = 0.215 cal/g ºC) de 2.0 kg se le da una rapidez inicial de 4.0 m/s sobre una superficie horizontal rugosa. Debido a la fricción, se llega a detener. a) Si 75 % de su energía cinética inicial la absorbe en forma de energía térmica, calcule el aumento en la temperatura del bloque. b) ¿Qué le ocurre al resto de la energía?

20.27 Una bala de plomo (c = 0.0305 cal/g ºC) de 3.0 g que viaja con una rapidez de 400m/s se detiene en un árbol. Si toda su energía cinética se transforma en energía térmica, encuentre el incremento en la temperatura de la bala. ¿Es la respuesta razonable?

20.28 Usando el hecho de que 1 atm = 1.013 x 105 N/m2, verifique la conversión 1 L.atm = 101.3 J = 24.2 cal.

20.29 Un gas se expande desde I a F por tres posibles trayectorias como se indica en la figura 20.14. Calcule en joules el trabajo realizado por el gas a lo largo de las trayectorias IAF,IF y IBF. 144

20.30 Un gas en un recipiente esta a una presión de 1.5 atm y a un volumen 4.0 cm3. ¿Cuál es el trabajo realizado por el gas cuando a) se expande a una presión constante hasta el doble de su volumen inicial y b) se comprime a presión constante hasta un cuarto de su volumen inicial?

20.31 Un gas ideal esta encerrado en un cilindro. Hay un émbolo movible en la parte superior del cilindro. El émbolo tiene una masa de 8000 g, un área de 5 cm2 y es libre de moverse hacia arriba o hacia abajo, manteniendo la presión del gas constante. ¿Cuánto trabajo se hace si la temperatura de 0.2 moles de gas se eleva de 20ºC a 300ºC?

20.32 Una muestra de un gas ideal de 1 mol se lleva a través de un proceso termodinámico cíclico, como se muestra en la figura 20.15. El ciclo consta de 3 partes -una expansión isotérmica (a->b), una compresión isobárica (b->c) y un aumento de la presión a volumen constante (c->d). Si T

20.33 Una muestra de gas se expande al doble de su volumen original de 1.0 m3 en un proceso cuasiestático para el cual P = aV2, con a = 5.0 atm/m6, como se muestra en la figura 20.16. ¿Cuánto trabajo realizó el gas en expansión?

20.34 Un gas ideal a TPE (1 atm y 0ºC) se lleva a través de un proceso en donde el volumen se expande de 25 L a 80 L. Durante este proceso la presión varía como el inverso cuadrado del volumen, P = 0.5 a V-2. a) determine la constante en unidades SI. b) Encuentre la temperatura y presión final. c) Determine una expresión general para el trabajo realizado por el gas durante este proceso. d) En particular, calcule, en joules el trabajo realizado por el gas en el proceso.

145

20.35 Un mol de un gas ideal realiza un trabajo de 3000 J sobre los alrededores conforme se expande isotérmicamente hasta una presión final de 1 atm y un volumen de 25 L. Determine el volumen inicial y la temperatura del gas. 1. La capacidad de calor (en calorías/ oC) de un lago contiene un millón de galones (aproximadamente 4 millones de kilogramos) de agua (c = 1.00 cal/g oC = 4186 J/kg oC) es: a. 4 x 106 b. 4 x 109 c. 4 x 103 d. información insuficiente e. 4 x 102 2. ¿Cuántas calorías se requiere levantar la temperatura de 4.0 kg de agua (c = 1.00 cal/g o C = 4186 J/kg oC) de 50o F a la del punto de ebullición, 212o F? Equivalencia 5( F − 32) = 9C a. 6.5 x 105 b. 3.6 x 105 c. 15 x 105 d. 3.6 x 102 e. 4 x 105 3. Un recipiente contiene 5.0 galones de agua (c = 1.00 cal/g oC = 4186 J/kg oC) (aproximadamente 20 kg) tiene una temperatura de 212º F se agrega a una tina de 50 galón (aproximadamente 200 kg) de agua tiene una temperatura de 50º F. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio aproximada (en oC) de la mezcla? Equivalencia 5( F − 32) = 9C a. 54 b. 36 c. 18 d. 66 e. 14 4. Un pedazo de un material de 5.0 kg (calor específico 0.03 cal/ g C) tiene una temperatura de 80º C y a esta se agrega 500 g de agua (c = 1.00 cal/g oC = 4186 J/kg oC ) que tiene una temperatura de 20º C. ¿Cuál es la temperatura de equilibrio (en C) del sistema? a. 79 b. 26 c. 54 d. 34 e. 20 NEWTON Y LA LEY LA GRAVITACION UNIVERSAL Newton tuvo su brillante intuición sobre la universalidad de la gravitación a la edad de veintitrés años. En 1665 la Universidad de Cambridge se vio obligada a cerrar sus puertas debido a la peste, y Newton, licenciado de nuevo cuño, regresó a la casa de su familia en 146

Woolsthorpe, Lincolnshire. Allí, entre 1665 y 1669, comenzó a desarrollar el cálculo diferencial e integral, así como la ley de la gravitación y sus tres leyes del movimiento. Además, llevó a cabo el famoso experimento de la descomposición de la luz blanca en los colores del arco iris por medio de un prisma. Cada uno de estos trabajos representó por sí solo un hito, y aunque a los historiadores de la ciencia les gusta recalcar que Newton no los completó en un único annus mirabilis, admiten que dio un buen impulso a todos ellos en ese período de tiempo. Como le gusta decir a mi esposa, la poetisa Marcia Southwick, sin duda podría haber escrito una redacción impresionante sobre el tema «Qué he hecho en mis vacaciones de verano». Finalmente, las discrepancias entre teoría y observación se resolvieron y la teoría de la gravitación universal de Newton fue aceptada hasta su sustitución en 1915 por la teoría de la relatividad general de Einstein, que concuerda con la de Newton en el dominio en que todos los cuerpos se mueven muy lentamente en comparación con la velocidad de la luz. En el sistema solar, los planetas y satélites viajan a velocidades del orden de decenas de kilómetros por segundo, mientras que la velocidad de la luz es de alrededor de 300.000 kilómetros por segundo. Las correcciones einsteinianas de la teoría de Newton son pues prácticamente inapreciables, y sólo pueden detectarse en un número muy reducido de observaciones. La teoría de Einstein ha superado todas las pruebas a las que ha sido sometida. La leyenda relaciona el descubrimiento de Newton de una ley universal de la gravitación con la caída de una manzana. ¿Sucedió realmente dicho episodio? Los historiadores de la ciencia no están seguros, pero no rechazan completamente esta posibilidad, pues hay cuatro fuentes distintas que hacen referencia al mismo. FUERZA DE ATRACCION ENTRE DOS PARTICULAS La fuerza de atracción gravitacional entre dos masas m1 y m2 separadas entre si una distancia r, esta dada por la ley de la gravitacional de Newton establece que todas las partículas del universo se atraen entre si con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y se expresa mediante la siguiente expresión: r F =G

m1m2 r2

m1 m2 147

En forma vectorial, la fuerza se indica de la siguiente manera: r mm r F = −G 1 2 2 rˆ , rˆ donde es un vector unitario en la dirección de la fuerza y a lo largo de r . r Donde G es la constante de la gravitación universal y su valor es G = 6.67 x 10-11 N x m2/kg2 FUERZA DE ATRACCION SOBRE UNA PARTICULA DEBIDO A DOS O MAS PARTICULAS Como la fuerza es una magnitud vectorial, se calculan las fuerzas que ejercen las otras partículas sobre la que se quiere calcular la fuerza neta y se realiza la suma vectorial y esta es la fuerza neta sobre la partícula. r r Fext =  Fij i =1

Medida de la masa de la Tierra. Si se coloca un objeto de masa m sobre la superficie de la Tierra, la separación entre el centro de la Tierra y el cuerpo es igual al radio de la Tierra, R, y si el objeto pesa, mg, porque esta dentro del campo gravitatorio. M es la masa de la Tierra, R es el radio de la Tierra y m es la masa del cuerpo. F G

Mm R2 g  mg  M  R2 G

Variación de la gravedad con la altura. Consideremos un objeto de masa m que se encuentra en la superficie de la Tierra donde el valor inicial de la gravedad es go = 9.80 m/s2. Obtener la expresión del valor de la gravedad para una altura h sobre la superficie de la Tierra, h = r – R. En este caso r = R + h. Consideremos que el objeto esta a una distancia r del centro de la Tierra, r > R. La fuerza de atracción y el peso del objeto a la distancia r se obtienen: 2

Mm GM  R F  G 2  mg  g  2  GM  g o R 2  g  g o   r r  r

Leyes de Kepler, tres leyes acerca de los movimientos de los planetas formuladas por el astrónomo alemán Johannes Kepler a principios del siglo XVII.

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Kepler basó sus leyes en los datos planetarios reunidos por el astrónomo danés Tycho Brahe, de quien fue ayudante. Las propuestas rompieron con una vieja creencia de siglos de que los planetas se movían en órbitas circulares. Ésta era una característica del sistema de Tolomeo, desarrollado por el astrónomo de Alejandría Tolomeo en el siglo II d.C., y del sistema de Copérnico, propuesto por el astrónomo polaco Nicolás Copérnico, en el siglo XVI. De acuerdo con la primera ley de Kepler los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas en las que el Sol ocupa uno de los focos de la elipse. La segunda ley formula que las áreas barridas por el radio vector que une el centro del planeta con el centro del Sol son iguales en lapsos iguales; como consecuencia, cuanto más cerca está el planeta del Sol con más rapidez se mueve. La tercera ley establece que la relación de la distancia media, d, de un planeta al Sol, elevada al cubo, dividida por el cuadrado de su periodo orbital, T, es una constante, es decir, d3/T2 es igual para todos los planetas. Estas leyes desempeñaron un papel importante en el trabajo del astrónomo, matemático y físico inglés del siglo XVII Isaac Newton, y son fundamentales para comprender las trayectorias orbitales de la Luna y de los satélites artificiales. LA TIERRA ESTA GIRANDO La figura muestra a la Tierra girando desde una posición en el espacio vista desde el polo norte. Un guacal de masa m descansa sobre un bascula de plataforma en el ecuador. Este guacal esta en un movimiento circular uniforme debido a la rotación de la Tierra y se acelera hacia el centro de la Tierra. La fuerza neta sobre el guacal debe apuntar hacia el centro de la Tierra. Un diagrama de cuerpo libre sobre el guacal, muestra las fuerzas que actúan sobre el y la aceleración neta. F  mg o  mg  ma  g o  g  a donde a es la aceleración centrípeta del guacal. La aceleración centrípeta la podemos escribir de 2  2  2 la siguiente manera: a  w R    R . Si el periodo de rotación de la Tierra es de 24 horas =  T  86400 s y el radio de la Tierra es R = A partir de la tercera ley de Keppler se puede determinar la masa de la Tierra conociendo: a) El período y el radio de la Luna b) El período de una satélite artificial y el radio de la Tierra c) El período y el radio de la órbita de un satélite artificial d) Todas las anteriores son correctas En el movimiento de planetas y satélites: 149

a) Se conserva la energía mecánica total porque la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta b) Se conserva la energía mecánica total porque la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa c) Se conserva la energía mecánica total porque el momento de rotación de la fuerza gravitacional es nulo d) Se conserva la cantidad de movimiento angular porque el momento de rotación es constante Dos satélites artificiales A y B tienen la misma masa y giran alrededor de la Tierra con radios RA = 2RB. ¿Qué relación, por cociente, existe entre las energías cinéticas de A y B?

La fuerza de atracción gravitacional es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la separación entre ellas. Si despreciamos la resistencia del aire, podemos afirmar: a) Un cuerpo pesado cae más rápidamente porque a mayor masa mayor fuerza de atracción b) La rapidez con que caen depende de la resistencia del aire c) Todos los cuerpos caen con la misma aceleración porque g no depende de la masa que cae d) Ninguna de las anteriores es correcta PROBLEMAS 1.- Un satélite artificial se desplaza en una órbita circular a una altura de 300 km sobre la superficie de la Tierra. La velocidad del satélite es: a) 1.04 x 103 m/s b) 7.73 x 103 m/s c) 5.42 x 103 m/s d) 3.42 x 103 m/s e) Ninguna de las anteriores mi respuesta es _____________ 2.- La estación Internacional se desplaza en una órbita circular a una altura de 400 km sobre la superficie de la Tierra. La velocidad orbital de la estación es: a) 1.04 x 103 m/s b) 7.73 x 103 m/s c) 5.42 x 103 m/s d) 3.42 x 103 m/s e) Ninguna de las anteriores mi respuesta es _____________ 3.- La distancia media de Júpiter al Sol es 5 veces la de la Tierra al Sol. Si el período de traslación de la Tierra alrededor del Sol es de 1 año. ¿Cuál es el período de Júpiter? a) 5 años b) 6 años c) 11 años d) 15 años e) 25 años 150

4.- El satélite Rotón da una vuelta en 2.8 h en una órbita de radio de 1.2 x 107 m. Si el radio de Rotón es 5.0 x 106 m, ¿cuál es la magnitud de la aceleración en caída libre sobre la superficie de Rotón? a. 31 m/s2 b. 27 m/s2 c. 34 m/s2 d. 40 m/s2 e. 19 m/s2 5.- Si la aceleración en caída libre sobre la superficie del planeta Protón tiene una magnitud de 15 m m/s2 y la radio de este planeta es 4.0 x 106 m, ¿cuál es el período de un satélite que rodea Protón a una altura de 12 x 106 m sobre la superficie del planeta? a. 8.6 h b. 7.9 h c. 7.2 h d. 10 h e. 5.4 h 6.- El período de un satélite que rodea al planeta Nutrón es 84 s cuando está en una órbita circular con una radio de 8.0 x 106 m. ¿Cuál es la masa del planeta Nutrón? a. 6.2 x 1028 kg b. 5.0 x 1028 kg c. 5.5 x 1028 kg d. 4.3 x 1028 kg e. 3.7 x 1028 kg 7.- Un satélite de 50kg gira alrededor de planeta Crutón cada 5.6 h en una órbita con un radio de 12 x 106 m. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza gravitacional sobre el satélite ejercida por Crutón? a. 63 N b. 58 N c. 68 N d. 73 N e. 50 N

8.- Un satélite rodea al planeta Zerón y da una vuelta cada 98 min. La masa de este planeta se sabe es de 5.0 x 1024 kg. ¿Cuál es el radio de la órbita? a. 7.8 x 106 m b. 7.4 x 106 m c. 6.6 x 106 m d. 8.1 x 106 m e. 1.3 x 107 m 151

9.- Dos estrellas de masas M y 6M están separadas por una distancia D. Determine la distancia (medida de M) en un punto en el cual fuerza neta gravitacional sobre una tercera masa sería cero. a. 0.41 D b. 0.33 D c. 0.37 D d. 0.29 D e. 0.14 D 10.- ¿Cuál es la magnitud de la aceleración de caída libre en un punto que está a una distancia 2R sobre la superficie de la Tierra, donde R es la radio de la Tierra? Considere g = 9.8 m/s2 sobre la superficie de la Tierra. a. 4.8 m/s2 b. 1.1 m/s2 c. 3.3 m/s2 d. 2.5 m/s2 e. 6.5 m/s2 11.- Un satélite está en una órbita circular cerca de la tierra a una altitud h y si la resistencia del aire es despreciable. ¿Cuál de las declaraciones siguientes es verdadera? a. Hay una sola fuerza de acción sobre el satélite. b. Hay dos fuerzas de acción sobre el satélite, y su resultante es cero. c. Hay dos fuerzas de acción sobre el satélite, y su resultante no es cero. d. Hay tres fuerzas de acción sobre el satélite. e. Ninguna de las declaraciones anteriores es correcta. 12. Se localizan tres masas de 5.0 kg en el plano x-y como muestra la figura. Cada división tiene una longitud de 0.10 m. ¿Cual es la magnitud de la fuerza resultante (causada por las otras dos masas) en la masa en el origen? a. 2.7 x 10- 8 N b. 2.1 x 10- 8 N c. 1.8 x 10- 8 N d. 2.4 x 10- 8 N e. 2.9 x 10- 8 N

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13. Tres masas de 5.0 kg se localizan en las esquinas de un triangulo equilátero de lados 0.30 m. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza neta ejercida por las otras dos masas sobre la otra? a. 2.8 x 10- 8 N b. 3.6 x 10- 8 N c. 3.2 x 10- 8 N d. 4.0 x 10- 8 N e. 1.8 x 10- 8 N 14.- Tres masas de 5.0 kg se localizan en el plano xy, como se muestra en la figura. Cada división tiene una longitud de 0.10 m. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante (causada por las otras dos masas) en la masa que esta en x = 0.40 m, y = 0? a. 2.2 x 10- 8 N b. 1.9 x 10- 8 N c. 1.4 x 10- 8 N d. 1.6 x 10- 8 N e. 2.5 x 10- 8 N 15.- Tres masas de 1.0 kg se localizan 5.0 a puntos en el plano xy, como muestra la figura. Cada división tiene una longitud de 0.10 m. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante (causada por las otras dos masas) en la masa a x = 0, y = 0.30 m? a. 2.6 x 10- 8 N b. 2.0 x 10- 8 N c. 2.9 x 10- 8 N d. 2.3 x 10- 8 N e. 2.1 x 10- 8 N 16.- Tres masas de 5.0 kg se localizan en el plano xy, como muestra. Cada división tiene una longitud de 0.10 m. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante (causada por las otras dos masas) en la masa que esta en x = 0, y = 0.40 m? a. 1.1 x 10- 8 N b. 1.5 x 10- 8 N c. 1.3 x 10- 8 N d. 1.7 x 10- 8 N e. 5.3 x 10- 8 N 17. Qué es la fuerza del gravitacional en un 20-kg satélite rodea el tierra (radio= 6.4 x 10 6 m, masa= 6.0 x 10 24 kg) con un períodos de 5.0 h? a. 88 N b. 196 N c. 36 N d. 98 N e. 18 N 153

15. Un nave espacial de masa que m rodea una planeta (masa = M) en una órbita de radio R. ¿Cuánta energía se requiere para transfiere a la nave espacial a una órbita redonda o circular de radio 3R? a. GmM/2R b. GmM/3R c. GmM/4R d. GmM/6R e. 3 GmM/4R 16. Una nave aero-espacial (masa = m) orbita un planeta (masa = M) en una órbita redonda (radio = R). ¿Cuál es la energía mínima que se requirió enviar esta nave aero-espacial a un punto distante en espacio donde la fuerza gravitacional sobre la nave aero-espacial por el planeta es despreciable? a. GmM/4R b. GmM/R c. GmM/2R d. GmM/3R e. 2 GmM/5R 17. Se lanza un proyectil de la superficie de un planeta (masa= M, radio= R). Qué se requiere rapidez del lanzamiento del mínimo si el proyectil ¿está subir a una altura de 2R sobre la superficie del planeta? Descuido cualquieres efectoses del [dissipative] de la atmósfera. 4GM 1/ 2 un. 3R

8GM 1/ 2 b. 5R

3GM 1/ 2 c. 2R

5GM 1/ 2 d. 154

3R

GM 1/ 2 e. 3R

18. Se suelta un objeto de descanso a una distancia h sobre la superficie de un planeta (masa= M, radio= R< h). ¿Con qué rapidez golpeará el objeto la superficie del planeta? Descuido cualquieres efectoses del [dissipative] de la atmósfera del planeta. 2GMh 1/ 2 un. R (R+ h)

2GM 1/ 2 b. R

2GM (h R) 1/ 2 c. Rh

2GM 1/ 2 d. R+ h

2GMh 1/ 2 e. R+ h

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19. Se lanza un proyectil de la superficie de un planeta (masa= M, radio= R) con un lanzamiento lleva una velocidad excesiva igual a 50% del escape lleva una velocidad excesiva por ese planeta. A qué altura del máximo sobre la superficie del planeta ¿subirá el proyectil? Descuido cualquieres efectoses del [dissipative] de la atmósfera del planeta. un. R/ 2 b. R/ 3 c. 4R/ 3 d. 3R/ 2 e. 2R/ 3 20. Qué es el energía cinética de un 200-kg satélite cuando sigue un ¿órbita redonda (radio= 8.0 x 10 6 m) alrededor de la tierra? (masa de tierra= 6.0 x 10 24 kg) un. 5.0 x 10 9 J b. 1.0 x 10 10 J c. 1.5 x 10 10 J d. 2.0 x 10 10 J e. 2.5 x 10 9 J 21. Se despide un proyectil [vertically] dirigido hacia arriba de la superficie de planeta Xeron (masa= 3.0 x 10 24 kg, radio= 4.0 x 10 6 m). Si este proyectil es subir a una altura del máximo sobre la superficie de Xeron iguala a ¿8.0 x 10 6 m, qué debe ser la rapidez inicial del proyectil? un. 9.3 km/ s b. 7.1 km/ s c. 8.2 km/ s d. 6.5 km/ s e. 4.1 km/ s 22. Se suelta un objeto de descanso cuando es una altura h sobre el ¿superficie de un planeta de masa M y radio R. qué es la rapidez del objeto sólo antes de llamativo la superficie del planeta? Abandono cualquiera resistencia del aire. Permita h= 4.0 x 10 6 m, R= 5.0 x 10 6 m, y M= 4.0 x 10 24 kg. un. 7.8 km/ s b. 3.5 km/ s c. 5.4 km/ s d. 6.9 km/ s e. 4.8 km/ s 23. Qué es el energía cinética de un 180-kg satélite que círculos el ¿tierra (radio= 6.4 x 10 6 m, masa= 6.0 x 10 24 kg) con un períodos de 8.0 h? un. 2.2 x 10 9 J 156

b. 2.0 x 10 9 J c. 1.8 x 10 9 J d. 2.4 x 10 9 J e. 3.6 x 10 9 J 24. Un 50 kg satélite rodea la tierra en una órbita con un período de 120 min. Se requiere cambiar la órbita a uno con un período de 180 min. ¿Cuál es la energía mínima? (Tierra: radio= 6.4 x 106 m, masa= 6.0 x 1024 kg) a. 2.9 x 108 J b. 3.5 x 108 J c. 4.1 x 108 J d. 4.7 x 108 J e. 5.9 x 108 J 25. Planeta A tiene una masa de 2.5 x 1022 kg y una radio de 1.0 x 106 m. Se lanza de la superficie de A un proyectil con una masa de 80 kg. ¿Cuál es la rapidez de lanzamiento mínima del proyectil para poder subir a una altura de 2.0 x 106 m sobre la superficie de Un? (Sol= 6.67 x 10- 11 N m2/ kg2) a. 2.8 km/s b. 1.5 km/s c. 1.9 km/s d. 2.3 km/s e. 3.0 km/s 26. Roton planetario tiene una masa de 4.0 x 10 23 kg y una radio de 2.0 x 10 6 m. ¿Con qué rapidez se debe lanzar una sonda del espacio de la superficie de Roton así acerca de alcanza un máximo distancia de 3.0 x 10 6 m del centro de Roton? (Sol= 6.67 x 10- 11 N m 2/ kg 2) un. 4.2 km/ s b. 3.9 km/ s c. 3.0 km/ s d. 3.4 km/ s e. 6.0 km/ s 27. Roton planetario tiene una masa de 4.0 x 10 23 kg y una radio de 2.0 x 10 6 m. Un espacio sondea se lanza [vertically] de la superficie de Roton con una rapidez inicial de 4.0 km/ s. ¿Qué es el máximo distancia del centro de Roton alcanzó por el espacio sondea? (Sol= 6.67 x 10- 11 N m 2/ kg 2) un. 5.0 x 10 6 m b. 7.3 x 10 6 m c. 3.9 x 10 6 m d. 3.1 x 10 6 m e. 4.9 x 10 5 m 157

28. Planeta Ceros tienen una masa de 5.0 x 10 23 kg y una radio de 2.0 x 10 6 m. Un espacio sondea se lanza [vertically] de la superficie de Ceros con una rapidez inicial de 4.0 km/ s. Qué es la rapidez de la sonda cuando está 3.0 x 10 6 m de Cero centro. (Sol= 6.67 x 10- 11 N m 2/ kg 2) un. 3.0 km/ s b. 2.2 km/ s c. 1.6 km/ s d. 3.7 km/ s e. 5.9 km/ s 29. Planeta Ceros tienen una masa de 4.0 x 10 23 kg y una radio de 2.0 x 10 6 m. Con qué energía cinética debe un se lanza 10-kg sonda del espacio [cally] del [verti] de la superficie de Ceros así acerca de alcanza un máximo ¿distancia de 4.0 x 10 6 m de Cero centro? (Sol= 6.67 x 10- 11 N m 2/ kg 2) un. 6.7 x 10 7 J b. 8.0 x 10 7 J c. 9.3 x 10 7 J d. 5.3 x 10 7 J e. 1.3 x 10 8 J 30. Qué es el escape lleva una velocidad excesiva de un planeta de masa M y R de la radio si ¿M= 3.2 x 10 23 kg y R= 2.4 x 10 6 m? (Sol= 6.67 x 10- 11 N m 2/ kg 2) un. 5.5 km/ s b. 4.2 km/ s c. 5.2 km/ s d. 4.8 km/ s e. 3.7 km/ s 31. Se lanza [vertically] con una rapidez inicial de 3.0 km un proyectil/ s de la superficie de un planeta (radio= 1.5 x 10 6 m). El proyectil sube a una altura del máximo de 3.0 x 10 6 m sobre la superficie del planeta. ¿Qué es la masa del planeta? un. 1.0 x 10 23 kg b. 2.0 x 10 23 kg c. 1.5 x 10 23 kg d. 2.4 x 10 23 kg e. 3.0 x 10 24 kg 32. Un satélite de masa que m rodea un planeta de masa M y R de la radio en una órbita a una altura 2R sobre la superficie del planeta. ¿Se requiere cambiar la órbita a uno qué energía mínima por cuál la altura del satélite es 3R sobre la superficie del planeta? 158

GmM un. 24R GmM b. 15R GmM c. 12R 2GmM d. 21R 3GmM e. 5R 33. Planeta Ceros tienen una masa de 4.0 x 10 23 kg y una radio de 2.0 x 10 6 m. Un 10 espacio del kg sondea se lanza [vertically] de la superficie de Ceros con ¿un inicial energía cinética de 8.0 x 10 7 J. Qué máximo distancia del centro de Cero se alcanza por la sonda? un. 3.2 x 10 6 m b. 4.0 x 10 6 m c. 6.0 x 10 6 m d. 5.0 x 10 6 m e. 2.5 x 10 6 m PROBLEMAS CONCEPTUALES 34. Isaac Newton podía estimar un valor por Sol, el persistente del gravitacional universal, del datos siguiente: la radio de el Tierra es aproximadamente 6400 km, la densidad media de rocas trata de 5.5 g/ [cm] 3, y g= 9.8 m/ s 2 cerca de la superficie de la Tierra. ¿Qué valor obtuvo Newton por Sol? 35. Al momento de un eclipsado del total, la luna queda a lo largo de una línea de la Tierra al sol. Si su peso del normal es 600 N, cuanto es su ¿peso menguante por el combinó tirón del sol y luna? M ASUELA= 2.0 x 10 30 kg, r S-E= 1.5 x 10 8 km M LUNA= 7.4 x 10 22 kg, r M-E= 3.8 x 10 5 km 36. ¿Cuándo un meteoro cayente está a una distancia sobre la superficie de la Tierra de 3 chronometra la radio de la Tierra, qué es su aceleración debido a la 159

gravedad de la Tierra? 37. El Venus planetario requiere 225 días a órbita el sol, que tiene una masa M= 2.0 x 10 30 kg, en una trayectoria casi redonda. Calcule la radio de la órbita y la rapidez del [orbital] de Venus cuando rodea el sol. 38. Imagine un agujero se taladra al centro de la Tierra. Un pequeño masa que se deja caer en el agujero m. Ignorar la rotación de la Tierra, y todo fuentes de fricción, hallazgo la rapidez de la masa lo mismo que alarga el centro del Tierra.

Un calorímetro de aluminio (c = 0.215 cal/g ºC) con una masa de 100 g contiene 250 g de agua (c = 1.000 cal/g ºC). Están en equilibrio térmico a 10ºC. Se coloca un bloque de metal de masa ______ g a una temperatura de 100 ºC en el agua. Todo el sistema se estabiliza a una temperatura final de 20ºC. 1) Determine el calor específico de la muestra desconocida. 2) Determine que material puede ser: a) Cobre (c = 0.0924 cal/g ºC) b) Aluminio (c = 0.215 cal/g ºC) c) Plomo (c = 0.0305 cal/g ºC) d) Hierro (c = 0.107 cal/g ºC)

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