Prubeh Funkce

Průběh funkce Robert Mařík 27. června 2006

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Obsah y= y= y= y= y=

⊳⊳

⊳

⊲

x . . . 1 + x2 3x + 1 . . . x3 2 2(x − x + 1) (x − 1)2 x3 . . . 3 − x2 x2 + 1 . . . x2 − 1

⊲⊲

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

y=0⇒

D(f ) = R; lichá;

x =0⇒x =0 1 + x2 −

+ 0

lim

x→±∞

⊳⊳

1 1 x = lim = =0 x→±∞ x 1+x 2 ±∞

1(1 + x 2 ) − x(0 + 2x) y′ = (1 + x 2 )2 • Omezení na definiční obor vyplývá ze jmenovatele zlomku. 1 + x 2 − 2x 2 = nulový. 2 2 • Výraz x 2 + 1 nesmí být (1 + x ) 1 − x 2 reálná čísla. • To je však zajištěno pro = všechna (1 + x 2 )2

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

y=0⇒

D(f ) = R; lichá;

x =0⇒x =0 1 + x2 −

+ 0

lim

x→±∞

1 1 x = lim = =0 x→±∞ x 1+x 2 ±∞

1(1 + x 2 ) − x(0 + 2x) (1 + x 2 )2 1 + x 2 − 2x 2 = • Čitatel, x, je lichá funkce, (1 + x 2 ), je funkce sudá. (1jmenovatel, + x 2 )2 1 lichá − x 2 funkce. • Jako celek je tedy zlomek = (1 + x 2 )2 y′ =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

y=0⇒

D(f ) = R; lichá;

x =0⇒x =0 1 + x2 −

+ 0

lim

x→±∞

1 1 x = lim = =0 x→±∞ x 1+x 2 ±∞

1(1 + x 2 ) − x(0 + 2x) (1 + x 2 )2 1 + x 2 − 2x 2 = (1 + x 2 )2 1 − x2 = Určíme průsečík s osou x a znaménko (1 + x 2 )2funkce na jednotlivých intervalech. y′ =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

y=0⇒

D(f ) = R; lichá;

x =0⇒x =0 1 + x2 −

+ 0

lim

x→±∞

1 1 x = lim = =0 x→±∞ x 1+x 2 ±∞

1(1 + x 2 ) − x(0 + 2x) (1 + x 2 )2 1 + x 2 − 2x 2 = (1 + x 2 )2 1 − x2 = Určíme průsečík s osou x a znaménko (1 + x 2 )2funkce na jednotlivých intervalech. y′ =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

y=0⇒

D(f ) = R; lichá;

x =0⇒x =0 1 + x2 −

+ 0

lim

x→±∞

1 1 x = lim = =0 x→±∞ x 1+x 2 ±∞

1(1 + x 2 ) − x(0 + 2x) (1 + x 2 )2 1 + x 2 − 2x 2 = (1 + x 2 )2 1 − x2 = 2 )2 čitatel je nulový. Zlomek je roven nule právě tehdy, (1 + xkdyž y′ =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

y=0⇒

D(f ) = R; lichá;

x =0⇒x =0 1 + x2 −

+ 0

lim

x→±∞

x 1 1 = lim = =0 x→±∞ x 1+x 2 ±∞

1(1 + x 2 ) − x(0 + 2x) (1 + x 2 )2 1 + x 2 − 2x 2 = (1 + x 2 )2 1 − x2 = Zakreslíme průsečík x = 0 na (1 osu+x. nemá žádný bod nespojitosti. x 2Funkce )2 y′ =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

y=0⇒

D(f ) = R; lichá;

x =0⇒x =0 1 + x2 −

+ 0

lim

x→±∞

x 1 1 = lim = =0 x→±∞ x 1+x 2 ±∞

1(1 + x 2 ) − x(0 + 2x) = • Jmenovatel (1 + x ) je stále kladný. (1 + x 2 )2 2y

⊳⊳

′

x 1 + x 2 − 2x 2 • Čitatel zlomku má proto jako celý zlomek . = stejné 2znaménko 1 + x2 (1 + x )2 1 − x 2 a naopak. • Funkce je kladná, je-li=x kladné (1 + x 2 )2

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

y=0⇒

D(f ) = R; lichá;

x =0⇒x =0 1 + x2 −

+ 0

lim

x→±∞

x 1 1 = lim = =0 x→±∞ x 1+x 2 ±∞

1(1 + x 2 ) − x(0 + 2x) (1 + x 2 )2 1 + x 2 − 2x 2 = (1 + x 2 )2 1 − x2 = Určíme limity v nekonečnu. (1 + x 2 )2 y′ =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

y=0⇒

D(f ) = R; lichá;

x =0⇒x =0 1 + x2 −

+ 0

lim

x→±∞

1 1 x = lim = =0 x→±∞ x 1+x 2 ±∞

• Víme, že o výsledku rozhodují vedoucí 1(1 + x 2 )jenom − x(0 + 2x) členy v čitateli a ve y′ = jmenovateli. 2 2 (1 + x )

⊳⊳

1 + x 2 − 2x 2 • Zelenou část lze vynechat. = (1 + x 2 )2 1 x • Zbytek zkrátíme: 2 = 1. − x 2 x = x (1 + x 2 )2

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

y=0⇒

D(f ) = R; lichá;

x =0⇒x =0 1 + x2 −

+ 0

lim

x→±∞

1 1 x = =0 = lim x→±∞ x 1+x 2 ±∞ 1(1 + x 2 ) − x(0 + 2x) (1 + x 2 )2 1 + x 2 − 2x 2 = (1 + x 2 )2 1 − x2 = (1 + x 2 )2

y′ =

Dosadíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

y=0⇒

D(f ) = R; lichá;

x =0⇒x =0 1 + x2 −

+ 0

lim

x→±∞

1 1 x =0 = lim = x→±∞ x 1+x 2 ±∞

1(1 + x 2 ) − x(0 + 2x) (1 + x 2 )2 1 1 1 + x 2 − 2x 2 • Obě hodnoty i = jsou nulové. ∞ −∞ (1 + x 2 )2 1 − x2 y = 0 pro x jdoucí k ±∞. • Funkce má vodorovnou asymptotu = (1 + x 2 )2 y′ =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 ; (1 + x 2 )2

+ 0

1(1 + x 2 ) − x(0 + 2x) (1 + x 2 )2 2 1 + x − 2x 2 = (1 + x 2 )2 1 − x2 = (1 + x 2 )2

y′ =

y′ =

−

x1,2 = ±1

• Vypočteme derivaci.

⊳⊳

y′ = 0 2 derivaci podílu. • Derivujeme podíl podle vzorce 1 − xpro =0 2 (1 + x )2

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 ; (1 + x 2 )2

Upravíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

+ 0

1(1 + x 2 ) − x(0 + 2x) (1 + x 2 )2 2 1 + x − 2x 2 = (1 + x 2 )2 1 − x2 = (1 + x 2 )2

y′ =

y′ =

−

x1,2 = ±1 y′ = 0

1 − x2 =0 (1 + x 2 )2

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 ; (1 + x 2 )2

Upravíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

+ 0

1(1 + x 2 ) − x(0 + 2x) (1 + x 2 )2 2 1 + x − 2x 2 = (1 + x 2 )2 1 − x2 = (1 + x 2 )2

y′ =

y′ =

−

x1,2 = ±1 y′ = 0

1 − x2 =0 (1 + x 2 )2

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

x1,2 = ±1

−

+ 0 y′ = 0

1 − x2 =0 (1 + x 2 )2

1 − x2 = 0 x2 = 1 x1 = 1

x2 = −1 Hledáme řešení rovnice y′ = 0. ց min

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ր

MAX

ց c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

x1,2 = ±1

−

+ 0 y′ = 0

1 − x2 =0 (1 + x 2 )2

1 − x2 = 0 x2 = 1 x1 = 1

x2 = −1 Dosadíme za derivaci. ց ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

min

ր

MAX

ց c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

x1,2 = ±1

−

+ 0 y′ = 0

1 − x2 =0 (1 + x 2 )2

1 − x2 = 0 x2 = 1 x1 = 1

x2 = −1 Zlomek je nulový,ցmá-li nulový ր min čitatel. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

MAX

ց c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

x1,2 = ±1

−

+ 0 y′ = 0

1 − x2 =0 (1 + x 2 )2

1 − x2 = 0

x2 = 1 x1 = 1

x2 = −1 Vyjádříme x 2 .

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ց

min

ր

MAX

ց c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

x1,2 = ±1

−

+ 0 y′ = 0

1 − x2 =0 (1 + x 2 )2

1 − x2 = 0

x2 = 1 x1 = 1

x2 = −1 Vypočítáme x. Dostáváme dvě řešení.ր ց min ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

MAX

ց c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

0

x1,2 = ±1

ց

ր

min

−1 y′′ =

1 − x2 (1 + x 2 )2

′

MAX

ց

1

−2x(1 + x 2 )2 −(1 − x 2 )2(1 + x 2 )(0 + 2x) (1 + x 2 )4 2 −2x(1 + x )[(1 + x 2 ) + (1 − x 2 )2] = x a stacionární body. • Nakreslíme osu (1 + x 2 )4 2 −2x[3nespojitosti. −x ] • Nejsou žádné body = (1 + x 2 )3 =

⊳⊳



+

⊳

⊲

⊲⊲

2

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

0

x1,2 = ±1

ց

ր

min

−1 y′′ =



1 − x2 (1 + x 2 )2

+

′

MAX

ց

1

−2x(1 + x 2 )2 −(1 − x 2 )2(1 + x 2 )(0 + 2x) (1 + x 2 )4 2 Testujeme x = −2. Dostáváme −2x(1 + x )[(1 + x 2 ) + (1 − x 2 )2] = 2 )4 (1 +1x − 4 ′ y (−2) = 2 −2x[3 − x ]kladná hodnota < 0. = (1 + x 2 )3 =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

0

x1,2 = ±1

ց

ր

min

−1 y′′ =



1 − x2 (1 + x 2 )2

+

′

MAX

ց

1

−2x(1 + x 2 )2 −(1 − x 2 )2(1 + x 2 )(0 + 2x) (1 + x 2 )4 2 −2x(1 + x )[(1 + x 2 ) + (1 − x 2 )2] = Testujeme x = 0. (1 + x 2 )4 1 ′ 2 −2x[3 − xy ](0) = > 0 1 = (1 + x 2 )3 =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

0

x1,2 = ±1

ց

ր

min

−1 y′′ =



1 − x2 (1 + x 2 )2

+

′

MAX

ց

1

−2x(1 + x 2 )2 −(1 − x 2 )2(1 + x 2 )(0 + 2x) (1 + x 2 )4 Funkce má lokální minimum v bodě 2 −2x(1 + x )[(1 +x x=2 )−1. + (1Funkční − x 2 )2] hodnota je = (1 +−1 x 2 )4 1 =− . y(−1) = 2 −2x[3 − x ] 1 + (−1)2 2 = (1 + x 2 )3 =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

0

x1,2 = ±1

ց

ր

min

−1 y′′ =



1 − x2 (1 + x 2 )2

+

′

MAX

ց

1

−2x(1 + x 2 )2 −(1 − x 2 )2(1 + x 2 )(0 + 2x) (1 + x 2 )4 2 Testujeme x = 2. Platí −2x(1 + x )[(1 + x 2 ) + (1 − x 2 )2] = (1 +1 x−2 )44 ′ y (2) = < 0. 2 −2x[3 − x kladná ] hodnota = (1 + x 2 )3 =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

0

x1,2 = ±1

ց

ր

min

−1 y′′ =



1 − x2 (1 + x 2 )2

+

′

MAX

ց

1

2 −2x(1 + vx 2bodě )2 −(1x−=x1. )2(1 + x 2 )(0 + 2x) je Funkce má lokální=maximum Funkční hodnota (1 + x 2 )4 2 −2x(1 y(1) + x 2= )[(1−y(−1) + x 2 ) +=(11− , x )2] = 2 (1 + x 2 )4 2 kde jsme využili toho,−2x[3 že funkce − x ] je lichá a hodnota y(−1) již byla = vypočítána. (1 + x 2 )3

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

x1,2 = ±1

y′′ =



1 − x2 (1 + x 2 )2

+ 0

′

−2x(1 + x 2 )2 −(1 − x 2 )2(1 + x 2 )(0 + 2x) (1 + x 2 )4 2 −2x(1 + x )[(1 + x 2 ) + (1 − x 2 )2] = (1 + x 2 )4 2 −2x[3 − x ] = (1 + x 2 )3 x(x 2 − 3) =2 (1 + x 2 )3

=

Vypočteme druhou derivaci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

x1,2 = ±1

y′′ =



1 − x2 (1 + x 2 )2

+ 0

′

−2x(1 + x 2 )2 −(1 − x 2 )2(1 + x 2 )(0 + 2x) (1 + x 2 )4 2 −2x(1 + x )[(1 + x 2 ) + (1 − x 2 )2] = (1 + x 2 )4 2 −2x[3 − x ] = (1 + vzorce x 2 )3 pro derivaci podílu. • Derivuje podíl podle 2 x(x − 3) 2 • Jmenovatel = derivujeme jako složenou funkci. Tím se nezbavíme mož(1 + x 2 )3 nosti vytknout v čitateli a zkrátit zlomek. =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

x1,2 = ±1

y′′ =

Vytkneme ⊳

⊲

⊲⊲



1 − x2 (1 + x 2 )2

+ 0

′

−2x(1 + x 2 )2 −(1 − x 2 )2(1 + x 2 )(0 + 2x) (1 + x 2 )4 2 −2x(1 + x )[(1 + x 2 ) + (1 − x 2 )2] = (1 + x 2 )4 2 −2x[3 − x ] = (1 + x 2 )3 x(x 2 − 3) =2 (1 + x 2 )3

=

⊳⊳

−

D(f ) = R; lichá;

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

x1,2 = ±1

y′′ =



1 − x2 (1 + x 2 )2

+ 0

′

−2x(1 + x 2 )2 −(1 − x 2 )2(1 + x 2 )(0 + 2x) (1 + x 2 )4 2 −2x(1 + x )[(1 + x 2 ) + (1 − x 2 )2] = (1 + x 2 )4 2 −2x[3 − x ] = (1 + x 2 )3 x(x 2 − 3) =2 (1 + x 2 )3

=

Zelené části se zkrátí. Zjednodušíme výraz v hranaté závorce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

x1,2 = ±1

y′′ =



1 − x2 (1 + x 2 )2

+ 0

′

−2x(1 + x 2 )2 −(1 − x 2 )2(1 + x 2 )(0 + 2x) (1 + x 2 )4 2 −2x(1 + x )[(1 + x 2 ) + (1 − x 2 )2] = (1 + x 2 )4 2 −2x[3 − x ] = (1 + x 2 )3 x(x 2 − 3) =2 (1 + x 2 )3

=

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

+ 0

x1,2 = ±1

x(x 2 − 3) x(x 2 − 3) ⇒ 2 =0 2 3 2 3 (1 + x √ ) √(1 + x ) x3 = 0, x4 = 3, x5 = − 3

y′′ = 2

∩

Vyřešíme y′′ = 0.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

in.

√ − 3

∪

0

⇒ ∩

x(x 2 − 3) = 0 in.

√ 3

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

+ 0

x1,2 = ±1

x(x 2 − 3) x(x 2 − 3) ⇒ 2 =0 2 3 2 3 (1 + x √ ) √(1 + x ) x3 = 0, x4 = 3, x5 = − 3

y′′ = 2

∩

in.

√ − 3

∪

0

⇒ ∩

x(x 2 − 3) = 0 in.

√ 3

∪

Zlomek je nulový, je-li nulový jeho čitatel. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

+ 0

x1,2 = ±1

x(x 2 − 3) x(x 2 − 3) ⇒ 2 =0 2 3 2 3 (1 + x √ ) √(1 + x ) x3 = 0, x4 = 3, x5 = − 3

y′′ = 2

∩

in.

√ − 3

∪

0

⇒ ∩

x(x 2 − 3) = 0 in.

√ 3

∪

Jsou dvě možnosti: buď x = 0, nebo x 2 − 3 = 0. Druhá z možností vede na rovnici

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x2 = 3 √ x = ± 3.

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

+ 0

x1,2 = ±1

x(x 2 − 3) x(x 2 − 3) ⇒ 2 =0 2 3 2 3 (1 + x √ ) √(1 + x ) x3 = 0, x4 = 3, x5 = − 3

y′′ = 2

∩

in.

√ − 3

∪

0

⇒ ∩

x(x 2 − 3) = 0 in.

√ 3

∪

Vyznačíme body na osu x. Nejsou zde žádné body nespojitosti. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

+

ց

x1,2 = ±1

0

minր

MAXց

−1 1 x(x 2 − 3) x(x 2 − 3) = 0 ⇒ x(x 2 − 3) = 0 y =2 ⇒ 2 2 )3 (1 + x 2√ )3 (1 + x √ x3 = 0, x4 = 3, x5 = − 3 ′′

∩

Testujeme x = −2.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

in.

√ − 3

∪

y′′ (−2) = 2

∩

0

in.

√ 3

∪

−2(4 − 3) < 0. kladná hodnota c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

+ 0

ց min ր MAXց

x1,2 = ±1

−1 1 x(x 2 − 3) x(x 2 − 3) = 0 ⇒ x(x 2 − 3) = 0 y =2 ⇒ 2 2 )3 (1 + x 2√ )3 (1 + x √ x3 = 0, x4 = 3, x5 = − 3 ′′

∩

in.

√ − 3

∪

∩

0

in.

√ 3

∪

Testujeme x = −1. Funkce je v tomto bodě konvexní, protože je zde lokální minimum.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

+

ց

x1,2 = ±1

0

minր

MAXց

−1 1 x(x 2 − 3) x(x 2 − 3) = 0 ⇒ x(x 2 − 3) = 0 y =2 ⇒ 2 2 )3 (1 + x 2√ )3 (1 + x √ x3 = 0, x4 = 3, x5 = − 3 ′′

∩

in.

√ − 3

∪

∩

0

√ V bodě x = − 3 je inflexe. Funkční hodnota je √ √ − 3 y(− 3) = ≈ −0.43. 1+3

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

in.

√ 3

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

+

ց

x1,2 = ±1

0

MAXց minր

−1 1 x(x 2 − 3) x(x 2 − 3) = 0 ⇒ x(x 2 − 3) = 0 y =2 ⇒ 2 2 )3 (1 + x 2√ )3 (1 + x √ x3 = 0, x4 = 3, x5 = − 3 ′′

∩

in.

√ − 3

∪

∩

0

in.

√ 3

∪

Testujeme x = 1. Funkce je v tomto bodě konkávní, protože je zde lokální maximum.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

+

ց

x1,2 = ±1

0

minր

MAXց

−1 1 x(x 2 − 3) x(x 2 − 3) = 0 ⇒ x(x 2 − 3) = 0 y =2 ⇒ 2 2 )3 (1 + x 2√ )3 (1 + x √ x3 = 0, x4 = 3, x5 = − 3 ′′

∩

in.

√ − 3

Testujeme x = 2. Dostáváme

∪

y′′ (2) = 2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

∩

0

in.

√ 3

∪

2(4 − 3) > 0. něco kladného c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x 1 + x2

−

D(f ) = R; lichá;

1 − x2 y′ = ; (1 + x 2 )2

+

ց

x1,2 = ±1

0

minր

MAXց

−1 1 x(x 2 − 3) x(x 2 − 3) = 0 ⇒ x(x 2 − 3) = 0 y =2 ⇒ 2 2 )3 (1 + x 2√ )3 (1 + x √ x3 = 0, x4 = 3, x5 = − 3 ′′

∩

Inflexe v bodě x =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

in.

√ − 3

∪

∩

0

√ 3. Funkční hodnota je √ √ 3 y( 3) = ≈ 0.43. 1+3

in.

√ 3

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

−

+ 0

ց min րMAXց −1

f (0) = 0 f (±∞) = 0

1

f (±1) = ±

1 2

∩

∪ ∩ in. ∪ √ √ 0 − 3 3 in.

√ f (± 3) ≈ ±0.433

Vypíšeme si nejdůležitější výsledky. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

−

+

ց min րMAXց

0

−1

f (0) = 0 f (±∞) = 0

1

f (±1) = ±

∩

∪ ∩ in. ∪ √ √ 0 − 3 3 in.

√ f (± 3) ≈ ±0.433

1 2

y

√ − 3

−1 1

√ 3

x

Zakreslíme souřadný systém. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

−

+

ց min րMAXց

0

−1

f (0) = 0 f (±∞) = 0

1

f (±1) = ±

∩

∪ ∩ in. ∪ √ √ 0 − 3 3 in.

√ f (± 3) ≈ ±0.433

1 2

y

√ − 3

−1 1

√ 3

x

V bodě x = 0 je průsečík s osou x. Funkční hodnoty se v tomto bodě mění z kladných na záporné.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

−

+

ց min րMAXց

0

−1

f (0) = 0 f (±∞) = 0

1

f (±1) = ±

∩

∪ ∩ in. ∪ √ √ 0 − 3 3 in.

√ f (± 3) ≈ ±0.433

1 2

y

√ − 3

−1 1

√ 3

x

Zachytíme informaci o vodorovné tečně v ±∞. Dáváme si pozor na znaménko funkce, musíme graf správně nakreslit nad nebo pod asymptotu. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

−

+

ց min րMAXց

0

−1

f (0) = 0 f (±∞) = 0

f (±1) = ±

⊳

⊲

⊲⊲

∪ ∩ in. ∪ √ √ 0 − 3 3 in.

√ f (± 3) ≈ ±0.433

1 2

y

√ − 3

⊳⊳

1

∩

−1 1

√ 3

x

c

Robert Mařík, 2006 ×

−

+

ց min րMAXց

0

−1

f (0) = 0 f (±∞) = 0

f (±1) = ±

⊳

⊲

⊲⊲

∪ ∩ in. ∪ √ √ 0 − 3 3 in.

√ f (± 3) ≈ ±0.433

1 2

y

√ − 3

⊳⊳

1

∩

−1 1

√ 3

x

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; y=0 3x + 1 =0 x3 3x + 1 = 0 1 x=− 3 −

+ − 31

3x + 1 1 = =∞ 3 x→0 x +0 3x + 1 1 lim = = −∞ x→0− x3 −0 3 3x + 1 3 = lim 2 = lim =0 x→±∞ x x→±∞ x3 ∞ lim+

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

◦ 0

+

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; y=0 3x + 1 =0 x3 3x + 1 = 0 1 x=− 3 −

+ − 31

3x + 1 1 = =∞ 3 x→0 x +0 1 • Určíme definiční obor. 3x + 1 lim = = −∞ x→0− x3 −0 • Ve jmenovateli nesmí3xbýt nula. 3 +1 3 = lim 2 = lim =0 x→±∞ x x→±∞ x3 ∞ lim+

⊳⊳

◦ 0

⊳

⊲

⊲⊲

+

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; y=0 3x + 1 =0 x3 3x + 1 = 0 1 x=− 3 −

+ − 31

◦ 0

3x + 1 1 = =∞ 3 x→0 x +0 3x + 1 1 lim = = −∞ x→0− x3 −0 3 3x + 1 3 = rovnice lim limx jako3 řešení Určíme průsečík s osou y== 0. = 0 x→±∞ x 2 x→±∞ x ∞ lim+

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

+

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; y=0 3x + 1 =0 x3 3x + 1 = 0 1 x=− 3 −

+ − 31

3x + 1 1 = =∞ 3 x→0 x +0 3x + 1 1 lim = = −∞ x→0− x3 −0 3 3x + 1 3 = lim 2 = lim =0 x→±∞ x x→±∞ x3 ∞ lim+

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

◦ 0

+

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; y=0 3x + 1 =0 x3 3x + 1 = 0 1 x=− 3 −

+ − 31

3x + 1 1 = =∞ 3 x→0 x +0 3x + 1 1 lim = = −∞ x→0− x3 −0 3 3x + 1 3 = lim 2 = lim =0 x→±∞ x x→±∞ x3 ∞ lim+

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

◦ 0

+

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; y=0 3x + 1 =0 x3 3x + 1 = 0 1 x=− 3 −

+ − 31

◦ 0

3x + 1 1 = =∞ 3 x→0 x +0 3x + 1 1 lim = = −∞ x→0− x3 −0 1 3x + 1 x = − 3 3 Funkce má s osou x jediný = lim 32 = lim průsečík =0 x→±∞ x x→±∞ x3 ∞ lim+

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

+

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; −

+ − 31

+ ◦ 0

3x + 1 1 = =∞ x3 +0 1 3x + 1 = = −∞ lim x→0− x3 −0 3 3 3x + 1 = lim 2 = =0 lim 3 x→±∞ x x→±∞ x ∞ lim

x→0+

−

+

+ ◦ 1 0znaménka funkce. •− Určíme 3

⊳⊳

 nespojitosti na podintervaly, • Rozdělíme osu x pomocí průsečíků a bodů 2 3 2 x − (3x + 1) 3x 3x zachovává. − (3x + 1)3x kde se znaménko y′ = = 3 2 (x ) x6

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; −

+ − 31

+ ◦ 0

3x + 1 1 = =∞ x3 +0 1 3x + 1 = = −∞ lim x→0− x3 −0 3 3 3x + 1 = lim 2 = =0 lim 3 x→±∞ x x→±∞ x ∞ lim

x→0+

−

+

+ ◦ Uvažujme zcela vlevo. Zvolme x = −1 a vypočteme 0 − 31 interval

−3 + 1   y(−1) = = 22 > 0. 2 x − (3x + 1) 3x −1 3x − (3x + 1)3x y′ = = (x 3 )2 x6 3

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; −

+ − 31

+ ◦ 0

3x + 1 1 = =∞ x3 +0 1 3x + 1 = = −∞ lim x→0− x3 −0 3 3 3x + 1 = lim 2 = =0 lim 3 x→±∞ x x→±∞ x ∞ lim

x→0+

1 − + + Uvažujme prostřední interval, zvolme x = − a vypočteme ◦ 4 0 − 31 1 −3 + 1 1  −16 < 0.  y(− ) = 4 1 = 4 1 2= 4 3 2 − 3x x − (3x + 1) − 3x − (3x +641)3x 64 y′ = = 3 2 (x ) x6

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; −

+ − 31

+ ◦ 0

3x + 1 1 = =∞ x3 +0 1 3x + 1 = = −∞ lim x→0− x3 −0 3 3 3x + 1 = lim 2 = =0 lim 3 x→±∞ x x→±∞ x ∞ lim

x→0+

−

+

+ ◦ V posledním intervalu zvolme x = 1 a vypočteme 0 − 31

  3+1 4 2> x0.− (3x + 1) y(1) = 2 = 3x 3x − (3x + 1)3x 1 y′ = = (x 3 )2 x6 3

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; −

+ − 31

+ ◦ 0

1 3x + 1 = =∞ x3 +0 1 3x + 1 = = −∞ lim x→0− x3 −0 3 3 3x + 1 = lim 2 = =0 lim 3 x→±∞ x x→±∞ x ∞ lim

x→0+

−

+ − 31

+ ◦ 0

  2 x − (3x + 1) 3x 3x − (3x + 1)3x y′ = limity 3v 2bodech = Najdeme jednostranné nespojitosti. (x ) x6

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

3

2

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; −

+ − 31

+ ◦ 0

1 3x + 1 =∞ = x3 +0 1 3x + 1 = lim = −∞ x→0− x3 −0 3 3 3x + 1 = lim 2 = =0 lim 3 x→±∞ x x→±∞ x ∞ lim

x→0+

−

+ − 31

+ ◦ 0

  2 2 x − (3x + 1) 3x nenulový výraz 3x − (3x + 1)3x ′ Dosazení x = 0yvede . = k výrazu3 2typu = nula (x ) x6

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

3

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; −

+ − 31

+ ◦ 0

3x + 1 1 =∞ = x3 +0 1 3x + 1 = lim = −∞ x→0− x3 −0 3 3 3x + 1 = lim 2 = =0 lim 3 x→±∞ x x→±∞ x ∞ lim

x→0+

−

+

+ ◦ •− Z 1přednášky víme, že jednostranné limity jsou nevlastní. 0 3

⊳⊳

 odhalit, zda se funkce blíží • Schéma se znaménkem funkce umožňuje 2 3 nekonečnu. 2 x − (3x + 1) 3x k plus nebo′ minus 3x − (3x + 1)3x y = = 3 2 (x ) x6

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; −

+ − 31

+ ◦ 0

3x + 1 1 = =∞ x3 +0 1 3x + 1 = = −∞ lim x→0− x3 −0 3 3x + 1 3 =0 lim = lim 2 = 3 x→±∞ x→±∞ x x ∞ lim

x→0+

−

+ − 31

+ ◦ 0

3

2

3x − (3x + 1)3x ′ = = Určíme limity vynevlastních 3 )2 (xbodech.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

  3x 2 x − (3x + 1) x6

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; −

+ − 31

+ ◦ 0

3x + 1 1 = =∞ x3 +0 1 3x + 1 = = −∞ lim x→0− x3 −0 3 3 3x + 1 =0 = lim 2 = lim 3 x→±∞ x x→±∞ x ∞ lim

x→0+

−

+ − 31

+ ◦ 0

  2 3 členy jsou podstatné 2 x − (3x + 1) 3x Víme, že pouze vedoucí v limitě tohoto typu a ostatní 3x − (3x + 1)3x y′ = = členy můžeme vynechat. 3 2 6 (x ) x

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; −

+ − 31

+ ◦ 0

3x + 1 1 = =∞ x3 +0 1 3x + 1 = = −∞ lim x→0− x3 −0 3 3 3x + 1 =0 = lim 2 = lim 3 x→±∞ x x→±∞ x ∞ lim

x→0+

−

+ − 31

Zkrátíme x.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

+ ◦ 0 y′ =

3

2

3x − (3x + 1)3x = (x 3 )2

  3x 2 x − (3x + 1) x6

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; −

+ − 31

+ ◦ 0

3x + 1 1 = =∞ x3 +0 1 3x + 1 = = −∞ lim x→0− x3 −0 3 3 3x + 1 = lim 2 = =0 lim 3 x→±∞ x x→±∞ x ∞ lim

x→0+

−

+ − 31

Dosadíme. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

+ ◦ 0 y′ =

3

2

3x − (3x + 1)3x = (x 3 )2

  3x 2 x − (3x + 1) x6

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ; −

+ − 31

+ ◦ 0

3x + 1 1 = =∞ x3 +0 1 3x + 1 = = −∞ lim x→0− x3 −0 3 3 3x + 1 = lim 2 = =0 lim 3 x→±∞ x x→±∞ x ∞ lim

x→0+

−

+ − 31

+ ◦ 0

  Limita je vypočtena.3x 3 − (3x + 1)3x 2 3x 2 x − (3x + 1) y′ = Funkce má vodorovnou asymptotu y ==0 v ±∞. 6 (x 3 )2 x

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ;

+

3

2

2x + 1 1 ; x1 = − x4 2

րMAXց

⊳⊳

⊳

− 21

⊲

⊲⊲

+ ◦ 0

  3x 2 x − (3x + 1)

3x − (3x + 1)3x = (x 3 )2 x6 −2x − 1 2x + 1 x − 3x − 1 =3 = −3 =3 x4 x4 x4

y′ =

y′ (x) = −3

− − 31

ր

◦ 0

MAX

− 21

ց



2x + 1

′

ց

◦ 0

ց

2x 4 − (2x + 1)4x 3

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ;

+

3

2

2x + 1 1 ; x1 = − x4 2

րMAXցpodíl.ց Derivujeme ◦ 0 −1

⊳⊳

⊳

⊲

2

⊲⊲

+ ◦ 0

  3x 2 x − (3x + 1)

3x − (3x + 1)3x = (x 3 )2 x6 −2x − 1 2x + 1 x − 3x − 1 =3 = −3 =3 x4 x4 x4

y′ =

y′ (x) = −3

− − 31

ր

MAX

ց

− 21



 u ′ v

2x + 1

=

′

◦ 0

ց

u′ v − uv ′ v2

2x 4 − (2x + 1)4x 3

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ;

+

3

2

2x + 1 1 ; x1 = − x4 2

րMAXց

ր

MAX

− 21

ց ◦ 0 Vytknutím rozložíme na součin. ′  ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ 2x + 1 − 21

+ ◦ 0

  3x 2 x − (3x + 1)

3x − (3x + 1)3x = (x 3 )2 x6 −2x − 1 2x + 1 x − 3x − 1 =3 = −3 =3 x4 x4 x4

y′ =

y′ (x) = −3

− − 31

ց

◦ 0

ց

2x 4 − (2x + 1)4x 3

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ;

+

3

2

⊳⊳

2x + 1 1 ; x1 = − x4 2 ր

ց ց ր • MAX Zkrátíme. ◦ 1 0 −2 • Roznásobíme závorku. ⊳

⊲

⊲⊲

+ ◦ 0

  3x 2 x − (3x + 1)

3x − (3x + 1)3x = (x 3 )2 x6 2x + 1 x − 3x − 1 −2x − 1 = −3 =3 =3 x4 x4 x4

y′ =

y′ (x) = −3

− − 31



MAX

− 21

2x + 1

′

ց

◦ 0

ց

2x 4 − (2x + 1)4x 3

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ;

+

3

2

2x + 1 1 ; x1 = − x4 2

րMAXց

◦ 0 Zjednodušíme.

⊳⊳

⊳

− 21

⊲

⊲⊲

+ ◦ 0

  3x 2 x − (3x + 1)

3x − (3x + 1)3x = (x 3 )2 x6 x − 3x − 1 −2x − 1 2x + 1 =3 =3 = −3 x4 x4 x4

y′ =

y′ (x) = −3

− − 31

ր

MAX

− 21

ց



2x + 1

′

ց

◦ 0

ց

2x 4 − (2x + 1)4x 3

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

D(f ) = R \ {0} ;

+

3

2

2x + 1 1 ; x1 = − x4 2

րMAXց

◦ 0 Máme derivaci.

⊳⊳

⊳

− 21

⊲

⊲⊲

+ ◦ 0

  3x 2 x − (3x + 1)

3x − (3x + 1)3x = (x 3 )2 x6 −2x − 1 x − 3x − 1 2x + 1 =3 =3 = −3 x4 x4 x4

y′ =

y′ (x) = −3

− − 31

ր

MAX

− 21

ց



2x + 1

′

ց

◦ 0

ց

2x 4 − (2x + 1)4x 3

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

2x + 1 1 ; x1 = − 4 x 2

րMAXց − 21

ր

◦ 0

y = −3

Máme derivaci. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

− 31

MAX

ց

− 21

ց

′′

−

+

D(f ) = R \ {0} ;



2x + 1 x4

′

= −3

◦ 0

+ ◦ 0 ց

2x 4 − (2x + 1)4x 3 (x 4 )2

2x 4 − 8x 4 − 4x 3 −6x 4 − 4x 3 = −3 x8 x8 4 3 3 3x + 2x (3x + 2)x =6 =6 x8 x8

= −3

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

2x + 1 1 ; x1 = − 4 x 2

րMAXց − 21

ր

◦ 0

y = −3

− 31

MAX

ց

− 21

ց

′′

−

+

D(f ) = R \ {0} ;



2x + 1 x4

′

= −3

◦ 0

+ ◦ 0 ց

2x 4 − (2x + 1)4x 3 (x 4 )2

2x 4 − 8x 4 − 4x 3 −6x 4 − 4x 3 = −3 x8 x8 4 3 3 3x + 2x (3x + 2)x =6 = 6 2x +8 1 = 0. Rovnice y′ = 0 je ekvivalentní rovnici x8 x = −3

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

2x + 1 1 ; x1 = − 4 x 2

րMAXց − 21

ր

◦ 0

y = −3

− 31

MAX

ց

− 21

ց

′′

−

+

D(f ) = R \ {0} ;



2x + 1 x4

′

= −3

◦ 0

+ ◦ 0 ց

2x 4 − (2x + 1)4x 3 (x 4 )2

2x 4 − 8x 4 − 4x 3 −6x 4 − 4x 3 = −3 x8 x8 4 3 3 3x + 2x (3x + 2)x = 6 bod 8a bod=nespojitosti 6 Vyznačíme stacionární na osu x. x x8 = −3

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

2x + 1 1 ; x1 = − 4 x 2

րMAXց − 21

ր

◦ 0

y = −3

− 31

MAX

ց

− 21

ց

′′

−

+

D(f ) = R \ {0} ;



2x + 1 x4

′

= −3

◦ 0

+ ◦ 0 ց

2x 4 − (2x + 1)4x 3 (x 4 )2

2x 4 − 8x 4 − 4x 3 −6x 4 − 4x 3 = −3 x8 x8 −2 + 1 3x 4 + 2x 3 3 ′ (3x + 2)x y (−1) = −3 =3>0 =6 1 =6 x8 x8 = −3

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

2x + 1 1 ; x1 = − 4 x 2

րMAXց − 21

ր

◦ 0

y = −3

− 31

MAX

ց

− 21

ց

′′

−

+

D(f ) = R \ {0} ;



2x + 1 x4

′

= −3

◦ 0

+ ◦ 0 ց

2x 4 − (2x + 1)4x 3 (x 4 )2

2x 4 − 8x 4 − 4x 3 −6x 4 − 4x 3 = −3 x8 x8 1 4 3 3 ′ 3x + 2x (3x + 2)x y (− ) < 0, protože z kladného na záporné. = 6funkce8mění=znaménko 6 3 x x8 = −3

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

2x + 1 1 ; x1 = − 4 x 2

րMAXց − 21

ր

◦ 0

−

+

D(f ) = R \ {0} ;

− 31

MAX

ց

− 21

ց



′

◦ 0

+ ◦ 0 ց

2x 4 − (2x + 1)4x 3 (x 4 )2 1 4 4 3 2x −v 8x − x4x= − . Funkční 4x 3 −6x 4 −hodnota je Funkce má lokální minimum bodě = −3 = −3 2 8 8 x x − 12 −3 + 1 1 4= 4. 3 y(− ) = 2 1 = 3x + 2x (3x + 2)x 3 1 2 − 8 = 6− 8 8 =6 x x8 ′′

y = −3

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

2x + 1 x4

= −3

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

2x + 1 1 ; x1 = − 4 x 2

րMAXց − 21

ր

◦ 0

y = −3

− 31

MAX

ց

− 21

ց

′′

−

+

D(f ) = R \ {0} ;



2x + 1 x4

′

= −3

◦ 0

+ ◦ 0 ց

2x 4 − (2x + 1)4x 3 (x 4 )2

2x 4 − 8x 4 − 4x 3 −6x 4 − 4x 3 = −3 x8 x8 3 4 3 3 ′ y (1) = −3 = −9=<603x + 2x = 6 (3x + 2)x 1 x8 x8 = −3

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

րMAXց

2x + 1 ; x4

y′′ = −3



− 21

2x + 1 x4

⊳⊳

⊳

⊲

◦ 0

′

− 31

ց

= −3

+ ◦ 0

2x 4 − (2x + 1)4x 3 (x 4 )2

−6x 4 − 4x 3 2x 4 − 8x 4 − 4x 3 = −3 8 x x8 3 4 3 (3x + 2)x 3x + 2x =6 =6 8 x x8 3x + 2 =6 x5

= −3

y′′ = 6

−

+

D(f ) = R \ {0} ;

2 3x + 2 ; x2 = − 5 x 3

∪

⊲⊲

in.

∩

◦

∪ c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

րMAXց

2x + 1 ; x4

y′′ = −3



− 21

2x + 1 x4

⊳⊳

⊳

⊲

◦ 0

′

− 31

ց

= −3

+ ◦ 0

2x 4 − (2x + 1)4x 3 (x 4 )2

2x 4 − 8x 4 − 4x 3 −6x 4 − 4x 3 = −3 8 x x8 3 4 3 (3x + 2)x 3x + 2x =6 =6 8 x x8 3x + 2 =6 x5

= −3

y′′ = 6

−

+

D(f ) = R \ {0} ;

2 3x + 2 ; x2 = − 5 x 3

∪

⊲⊲

in.

∩

◦

∪ c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

րMAXց

2x + 1 ; x4

y′′ = −3



− 21

2x + 1 x4

⊳⊳

⊳

⊲

◦ 0

′

− 31

ց

= −3

+ ◦ 0

2x 4 − (2x + 1)4x 3 (x 4 )2

2x 4 − 8x 4 − 4x 3 −6x 4 − 4x 3 = −3 8 x x8 3 4 3 (3x + 2)x 3x + 2x =6 =6 8 x x8 3x + 2 =6 x5

= −3

y′′ = 6

−

+

D(f ) = R \ {0} ;

2 3x + 2 ; x2 = − 5 x 3

∪

⊲⊲

in.

∩

◦

∪ c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

րMAXց

2x + 1 ; x4

y′′ = −3



− 21

2x + 1 x4

⊳⊳

⊳

⊲

◦ 0

′

− 31

ց

= −3

+ ◦ 0

2x 4 − (2x + 1)4x 3 (x 4 )2

−6x 4 − 4x 3 2x 4 − 8x 4 − 4x 3 = −3 8 x x8 3 4 3 (3x + 2)x 3x + 2x =6 =6 8 x x8 3x + 2 =6 x5 = −3

y′′ = 6

−

+

D(f ) = R \ {0} ;

2 3x + 2 ; x2 = − 5 x 3

∪

⊲⊲

in.

∩

◦

∪ c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

րMAXց

2x + 1 ; x4

y′′ = −3



− 21

2x + 1 x4

⊳⊳

⊳

⊲

◦ 0

′

− 31

ց

= −3

+ ◦ 0

2x 4 − (2x + 1)4x 3 (x 4 )2

−6x 4 − 4x 3 2x 4 − 8x 4 − 4x 3 = −3 8 x x8 4 3 3 3x + 2x (3x + 2)x =6 =6 8 x x8 3x + 2 =6 x5 = −3

y′′ = 6

−

+

D(f ) = R \ {0} ;

2 3x + 2 ; x2 = − 5 x 3

∪

⊲⊲

in.

∩

◦

∪ c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

րMAXց

2x + 1 ; x4

y′′ = −3



− 21

2x + 1 x4

⊳⊳

⊳

⊲

◦ 0

′

− 31

ց

= −3

+ ◦ 0

2x 4 − (2x + 1)4x 3 (x 4 )2

−6x 4 − 4x 3 2x 4 − 8x 4 − 4x 3 = −3 8 x x8 3 4 3 (3x + 2)x 3x + 2x =6 =6 8 x x8 3x + 2 =6 x5 = −3

y′′ = 6

−

+

D(f ) = R \ {0} ;

2 3x + 2 ; x2 = − 5 x 3

∪

⊲⊲

in.

∩

◦

∪ c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

րMAXց

2x + 1 ; x4

y′′ = −3



− 21

2x + 1 x4

⊳⊳

⊳

⊲

◦ 0

′

− 31

ց

= −3

+ ◦ 0

2x 4 − (2x + 1)4x 3 (x 4 )2

−6x 4 − 4x 3 2x 4 − 8x 4 − 4x 3 = −3 8 x x8 3 4 3 (3x + 2)x 3x + 2x =6 =6 8 x x8 3x + 2 =6 x5 = −3

y′′ = 6

−

+

D(f ) = R \ {0} ;

2 3x + 2 ; x2 = − 5 x 3

∪

⊲⊲

in.

∩

◦

∪ c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

2x + 1 ; x4

րMAXց

3x + 2 2 ; x2 = − y′′ = 6 5 x 3

∪

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

− 21 in.

− 32

−

+

D(f ) = R \ {0} ;

◦ 0

− 31

ց

∩

◦ 0

+ ◦ 0

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

2x + 1 ; x4

րMAXց

3x + 2 2 y′′ = 6 ; x2 = − 5 x 3

∪

− 21

◦ 0

in.

− 32

2 y′′ = 0 pro 3x + 2 = 0, t.j. x = − . 3

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

−

+

D(f ) = R \ {0} ;

− 31

ց

∩

◦ 0

+ ◦ 0

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

2x + 1 ; x4

րMAXց

3x + 2 2 y′′ = 6 ; x2 = − 5 x 3

∪

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

− 21 in.

− 32

−

+

D(f ) = R \ {0} ;

◦ 0

− 31

ց

∩

◦ 0

+ ◦ 0

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

2x + 1 ; x4

րMAXց

3x + 2 2 y′′ = 6 ; x2 = − 5 x 3

∪

y′′ (−1) = 6

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

−1 =6>0 −1

− 21 in.

− 32

−

+

D(f ) = R \ {0} ;

◦ 0

− 31

ց

∩

◦ 0

+ ◦ 0

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

րMAXց

2x + 1 ; x4

3x + 2 2 y′′ = 6 ; x2 = − 5 x 3

∪

−1 + 2 1 y′′ (− ) = 6 <0 3 − 315

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

− 21 in.

− 32

−

+

D(f ) = R \ {0} ;

◦ 0

− 31

ց

∩

◦ 0

+ ◦ 0

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

2x + 1 ; x4

րMAXց

3x + 2 2 y′′ = 6 ; x2 = − 5 x 3

∪

− 21 in.

− 32

−

+

D(f ) = R \ {0} ;

◦ 0

− 31

ց

∩

+ ◦ 0

◦ 0

−2 + 1 2 2 Inflexní bod x = − . y(− ) = ≈ 3.375 5 3 3 − 325

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

3x + 1 x3

y′ (x) = −3

2x + 1 ; x4

րMAXց

3x + 2 2 y′′ = 6 ; x2 = − 5 x 3

∪

y′′ (1) = 6

⊳⊳

⊳

⊲

5 = 30 > 0 1

⊲⊲

− 21 in.

− 32

−

+

D(f ) = R \ {0} ;

◦ 0

− 31

ց

∩

◦ 0

+ ◦ 0

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

−

+ − 31 1 f (− ) = 0 3 1 f (− ) = 4 2

րMAXց

+ ◦ 0

− 12 2 f (− ) ≈ 3.4 3

f (±∞) = 0,

◦ 0

ց

∪

in.

∩

− 32

◦ 0

∪

f (0+) = ∞, f (0−) = −∞

Shrneme dosažené výsledky. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

−

+ − 31 1 f (− ) = 0 3 1 f (− ) = 4 2

րMAXց

+ ◦ 0

− 12 2 f (− ) ≈ 3.4 3

f (±∞) = 0,

− 32 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

◦ 0

− 21

ց

∪

in.

∩

− 32

◦ 0

∪

f (0+) = ∞, f (0−) = −∞

y

− 31

x

c

Robert Mařík, 2006 ×

−

+ − 31 1 f (− ) = 0 3 1 f (− ) = 4 2

րMAXց

+ ◦ 0

− 12 2 f (− ) ≈ 3.4 3

f (±∞) = 0,

− 32 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

◦ 0

− 21

ց

∪

in.

∩

− 32

◦ 0

∪

f (0+) = ∞, f (0−) = −∞

y

− 31

x

c

Robert Mařík, 2006 ×

−

+ − 31 1 f (− ) = 0 3 1 f (− ) = 4 2

րMAXց

+ ◦ 0

− 12 2 f (− ) ≈ 3.4 3 f (±∞) = 0,

− 32 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

◦ 0

− 21

ց

∪

in.

∩

− 32

◦ 0

∪

f (0+) = ∞, f (0−) = −∞

y

− 31

x

c

Robert Mařík, 2006 ×

−

+ − 31 1 f (− ) = 0 3 1 f (− ) = 4 2

րMAXց

+ ◦ 0

− 12 2 f (− ) ≈ 3.4 3

f (±∞) = 0,

− 32 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

◦ 0

− 21

ց

∪

in.

∩

− 32

◦ 0

∪

f (0+) = ∞, f (0−) = −∞

y

− 31

x

c

Robert Mařík, 2006 ×

−

+ − 31 1 f (− ) = 0 3 1 f (− ) = 4 2

րMAXց

+ ◦ 0

− 12 2 f (− ) ≈ 3.4 3

f (±∞) = 0,

− 32 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

◦ 0

− 21

ց

∪

in.

∩

− 32

◦ 0

∪

f (0+) = ∞, f (0−) = −∞

y

− 31

x

c

Robert Mařík, 2006 ×

−

+ − 31 1 f (− ) = 0 3 1 f (− ) = 4 2

րMAXց

+ ◦ 0

− 12 2 f (− ) ≈ 3.4 3

f (±∞) = 0,

− 32 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

◦ 0

− 21

ց

∪

in.

∩

− 32

◦ 0

∪

f (0+) = ∞, f (0−) = −∞

y

− 31

x

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

y(0) =

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

2(0 − 0 + 1) =2 (0 − 1)2

2(x 2 − x + 1) =0 (x − 1)2 x2 − x + 1 = 0

+

+ ◦ 1

2(x 2 − x + 1) 2 = = +∞ x→1 (x − 1)2 +0 2(x 2 − x + 1) 2 lim− = = +∞ x→1 (x − 1)2 +0 lim+

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

y(0) =

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

2(0 − 0 + 1) =2 (0 − 1)2

2(x 2 − x + 1) =0 (x − 1)2 x2 − x + 1 = 0

+ Určíme definiční obor z podmínky

Platí

⊳⊳

⊳

2(x 2 − x + 1)x x→1 (x − 1)2 2(x 2 − x + 1) lim− x→1 (x − 1)2 lim+

⊲

⊲⊲

+ ◦ 1

− 1 26= 0. = = +∞ +0 x 6=21. = = +∞ +0

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

y(0) =

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

2(0 − 0 + 1) =2 (0 − 1)2

2(x 2 − x + 1) =0 (x − 1)2 x2 − x + 1 = 0

+

+ ◦ 1

⊳⊳

2(x 2 − x + 1) 2 • Určíme průsečík lim+ s osou 2y. = = +∞ x→1 (x − 1) +0 • Dosadíme x =2(x 0 a2 − hledáme x + 1) y(0).2 lim− = = +∞ x→1 (x − 1)2 +0

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x 2(x 2 − x + 1) =0 (x − 1)2 x2 − x + 1 = 0

+

+ ◦ 1

2 2(x 2 − x + 1) = = +∞ 2 x→1 (x − 1) +0 • Určíme průsečík 2(xs2 osou − x +x.1) 2 lim− = = +∞ 2 x→1 (x − 1) +0 • Dosadíme y = 0 a řešíme rovnici 2(x 2 − x + 1) 2x 2 2 lim = lim = lim =2 2 2 x→±∞ x→±∞ x x→±∞ 1 (x − 1) c ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 × lim+

⊳⊳

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x 2(x 2 − x + 1) =0 (x − 1)2 x2 − x + 1 = 0

+

+ ◦ 1

2 2(x 2 − x + 1) = = +∞ 2 x→1 (x − 1) +0 2(x 2 − x + 1) 2 lim− = = +∞ 2 x→1 (x − 1) +0 2(x 2 − x + 1) 2x 2 2 Čitatel musí být nula. lim = lim = lim =2 2 2 x→±∞ x→±∞ x x→±∞ 1 (x − 1) c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 × lim+

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x 2(x 2 − x + 1) =0 (x − 1)2 x2 − x + 1 = 0

+

+ ◦ Tato kvadratická rovnice nemá řešení,1protože ze vzorce p −b ± 2 b2 − 4ac 2(x 2 − x + 1) x1,2 = = = +∞ lim x→1+ (x − 1)2 +02a Obdržíme záporný diskriminant. 2(x 2 − x + 1) 2 lim− = = +∞ 2 x→1 (x − 1) +0 D =2 b2 − 4ac = 1 − 4.1.12= −3 < 0 2(x − x + 1) 2x 2 lim = lim = lim =2 2 2 x→±∞ x→±∞ x x→±∞ 1 (x − 1) c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x +

+ ◦ 1

2(x 2 − x + 1) 2 = = +∞ 2 x→1 (x − 1) +0 2 2(x 2 − x + 1) = = +∞ lim− 2 x→1 (x − 1) +0 2(x 2 − x + 1) 2x 2 2 = lim = lim lim =2 2 2 x→±∞ x→±∞ x x→±∞ 1 (x − 1) lim+



′ x2 − x + 1 y =2 (x − 1)2 Nakreslíme osu x a bod nespojitosti x = 1. (2x − 1)(x − 1)2 − (x 2 − x + 1)2(x − 1)(1 − Robert 0) c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × ′

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x +

+ ◦ 1

2(x 2 − x + 1) 2 = = +∞ 2 x→1 (x − 1) +0 2 2(x 2 − x + 1) = = +∞ lim− 2 x→1 (x − 1) +0 2(x 2 − x + 1) 2x 2 2 = lim = lim lim =2 2 2 x→±∞ x→±∞ x x→±∞ 1 (x − 1) lim+



′ x2 − x + 1 y =2 (x − 1)2 Víme, že y(0) = 2 > 0. Funkce je kladná na (−∞, 1). (2x − 1)(x − 1)2 − (x 2 − x + 1)2(x − 1)(1 − Robert 0) c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × ′

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x +

+ ◦ 1

2(x 2 − x + 1) 2 = = +∞ 2 x→1 (x − 1) +0 2 2(x 2 − x + 1) = = +∞ lim− 2 x→1 (x − 1) +0 2(x 2 − x + 1) 2x 2 2 = lim = lim lim =2 2 2 x→±∞ x→±∞ x x→±∞ 1 (x − 1) lim+

 2 ′ x −x +1 2(4 − 2 + 1) y =2 Vypočteme y(2) = (x − 1)22 > 0. Funkce je kladná na (1, ∞). (2 − 1) (2x − 1)(x − 1)2 − (x 2 − x + 1)2(x − 1)(1 − Robert 0) c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × ′

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x +

+ ◦ 1

2(x 2 − x + 1) 2 = = +∞ 2 x→1 (x − 1) +0 2(x 2 − x + 1) 2 = +∞ lim− = 2 x→1 (x − 1) +0 2(x 2 − x + 1) 2x 2 2 = lim = lim lim =2 2 2 x→±∞ x→±∞ x x→±∞ 1 (x − 1) lim+



′ x2 − x + 1 y =2 (x − 1)2 Určíme jednostranné limity v bodě nespojitosti (2x − 1)(x − 1)2 − (x 2 − x + 1)2(x − 1)(1 − Robert 0) c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × ′

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x +

+ ◦ 1

2(x 2 − x + 1) 2 = = +∞ 2 x→1 (x − 1) +0 2(x 2 − x + 1) 2 lim− = = +∞ 2 x→1 (x − 1) +0 2x 2 2 2(x 2 − x + 1) = lim = lim =2 lim 2 2 x→±∞ x x→±∞ 1 x→±∞ (x − 1) lim+

′

y =2 Dosadíme x = 1.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲



x2 − x + 1 (x − 1)2

′

(2x − 1)(x − 1)2 − (x 2 − x + 1)2(x − 1)(1 − Robert 0) c Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x +

+ ◦ 1

2(x 2 − x + 1) 2 = +∞ = 2 x→1 (x − 1) +0 2 2(x 2 − x + 1) = lim− = +∞ 2 x→1 (x − 1) +0 2x 2 2 2(x 2 − x + 1) = lim = lim =2 lim 2 2 x→±∞ x x→±∞ 1 x→±∞ (x − 1) lim+

′



x2 − x + 1 (x − 1)2

′

y =2 Odvodíme výsledek. (2x − 1)(x − 1)2 − (x 2 − x + 1)2(x − 1)(1 − Robert 0) c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x +

+ ◦ 1

2(x 2 − x + 1) 2 = = +∞ 2 x→1 (x − 1) +0 2 2(x 2 − x + 1) = = +∞ lim− 2 x→1 (x − 1) +0 2 2(x 2 − x + 1) 2x 2 = lim =2 lim = lim 2 2 x→±∞ 1 x→±∞ x→±∞ x (x − 1) lim+



′ x2 − x + 1 y =2 (x − 1)2 Určíme limity v ±∞. (2x − 1)(x − 1)2 − (x 2 − x + 1)2(x − 1)(1 − Robert 0) c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × ′

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x +

+ ◦ 1

2(x 2 − x + 1) 2 = = +∞ 2 x→1 (x − 1) +0 2 2(x 2 − x + 1) = = +∞ lim− 2 x→1 (x − 1) +0 2(x 2 − x + 1) 2x 2 2 = lim lim =2 = lim 2 2 x→±∞ x→±∞ x x→±∞ 1 (x − 1) lim+



′ x2 − x + 1 y =2 (x − 1)2 Uvažujeme jenom vedoucí členy. (2x − 1)(x − 1)2 − (x 2 − x + 1)2(x − 1)(1 − Robert 0) c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × ′

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x +

+ ◦ 1

2(x 2 − x + 1) 2 = = +∞ 2 x→1 (x − 1) +0 2 2(x 2 − x + 1) = = +∞ lim− 2 x→1 (x − 1) +0 2(x 2 − x + 1) 2x 2 2 = lim = lim lim =2 2 2 x→±∞ x→±∞ x x→±∞ 1 (x − 1) lim+

 2 ′ x −x +1 y = 2 limitu v 2±∞. Vodorovná přímka y = 2 je asymptotou Funkce má kladnou (x − 1) ke grafu v bodech ±∞. (2x − 1)(x − 1)2 − (x 2 − x + 1)2(x − 1)(1 − Robert 0) c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ Mařík, 2006 × ′

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2 y′ = 2



D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x x2 − x + 1 (x − 1)2

′

(2x − 1)(x − 1)2 − (x 2 − x + 1)2(x − 1)(1 − 0) ((x − 1)2 )2 (2x − 1)(x − 1) − (x 2 − x + 1)2 = 2(x − 1) (x − 1)4 2 2x − 2x − x + 1 − (2x 2 − 2x + 2) =2 (x − 1)3 −x − 1 x +1 =2 = −2 (x − 1)3 (x − 1)3

=2

3 x +1 ′ derivaci yVypočteme = −2 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2 y′ = 2



D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x x2 − x + 1 (x − 1)2

′

(2x − 1)(x − 1)2 − (x 2 − x + 1)2(x − 1)(1 − 0) ((x − 1)2 )2 (2x − 1)(x − 1) − (x 2 − x + 1)2 = 2(x − 1) (x − 1)4 2 2x pro − 2xderivaci − x + 1podílu. − (2x 2 − 2x + 2) • Užijeme = vzorec 2 (x − 1)3  u ′ ′ ′ −x − 1 x + 1 u v − uv = . =2 = −2 v(x − 1)3 v 2 (x − 1)3 =2

• Užijeme vzorec pro derivaci složené funkce při derivování výrazu 2 (x −x 1) 3 + 1. ′ y = −2 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2 y′ = 2



D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x x2 − x + 1 (x − 1)2

′

(2x − 1)(x − 1)2 − (x 2 − x + 1)2(x − 1)(1 − 0) ((x − 1)2 )2 (2x − 1)(x − 1) − (x 2 − x + 1)2 = 2(x − 1) (x − 1)4 2 2x − 2x − x + 1 − (2x 2 − 2x + 2) =2 (x − 1)3 −x − 1 x +1 =2 = −2 (x − 1)3 (x − 1)3 =2

3 x +1 ′ yVytkneme = −2 (x −31). ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = (x − 1) 2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2 y′ = 2



D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x x2 − x + 1 (x − 1)2

′

(2x − 1)(x − 1)2 − (x 2 − x + 1)2(x − 1)(1 − 0) ((x − 1)2 )2 (2x − 1)(x − 1) − (x 2 − x + 1)2 = 2(x − 1) (x − 1)4 2 2x − 2x − x + 1 − (2x 2 − 2x + 2) =2 (x − 1)3 −x − 1 x +1 =2 = −2 (x − 1)3 (x − 1)3 =2

3 x +1 ′ závorky zkrátíme − 1). yRoznásobíme = −2 ; x1 =a −1. . . lok. (xminimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2 y′ = 2



D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x x2 − x + 1 (x − 1)2

′

(2x − 1)(x − 1)2 − (x 2 − x + 1)2(x − 1)(1 − 0) ((x − 1)2 )2 (2x − 1)(x − 1) − (x 2 − x + 1)2 = 2(x − 1) (x − 1)4 2 2x − 2x − x + 1 − (2x 2 − 2x + 2) =2 (x − 1)3 −x − 1 x +1 =2 = −2 (x − 1)3 (x − 1)3 =2

3 x +1 ′ yUpravíme = −2 čitatel. ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2 y′ = 2



D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x x2 − x + 1 (x − 1)2

′

(2x − 1)(x − 1)2 − (x 2 − x + 1)2(x − 1)(1 − 0) ((x − 1)2 )2 (2x − 1)(x − 1) − (x 2 − x + 1)2 = 2(x − 1) (x − 1)4 2 2x − 2x − x + 1 − (2x 2 − 2x + 2) =2 (x − 1)3 x +1 −x − 1 = −2 =2 (x − 1)3 (x − 1)3 =2

x +1 3 ′ yDerivace = −2 je nalezena. ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

y′ = −2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

x +1 3 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 x +1 =0 (x − 1)3 x +1=0

−2

x = −1

ց

min

ր

−1 y′′ = −2 Řešíme rovnici y′ = 0.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

= −2



x +1 (x − 1)3

′

◦ 1

ց

1(x − 1)3 − (x + 1)3(x − 1)2 (1 − 0)

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

y′ = −2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

x +1 3 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 x +1 =0 (x − 1)3 x +1=0

−2

x = −1

ց

min

−1

ր

◦ 1

ց

′  x +1 y′′ = −2 (x − 1)3 Čitatel musí být nula. Stacionárním bodem je tedy x = −1. 1(x − 1)3 − (x + 1)3(x − 1)2 (1 − 0) ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ = −2

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

y′ = −2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

x +1 3 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 ց

min

ր

−1 ′′

y = −2



x +1 (x − 1)3

′

◦ 1

ց

1(x − 1)3 − (x + 1)3(x − 1)2 (1 − 0) ((x − 1)3 )2 (x − 1) − (x + 1)3 = −2(x − 1)2 (x − 1)6 −2x − 4 x +2 = −2 =4 (x − 1)4 (x − 1)4 Zakreslíme stacionární bod a bod nespojitosti na reálnou osu. c ⊳⊳ ⊳ ⊲ x⊲⊲+ 2

Robert Mařík, 2006 × = −2

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

y′ = −2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

x +1 3 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 ց

min

ր

−1 ′′

y = −2



x +1 (x − 1)3

′

◦ 1

ց

1(x − 1)3 − (x + 1)3(x − 1)2 (1 − 0) ((x − 1)3 )2 (x − 1) − (x + 1)3 Určíme y′ (−2). = −2(x − 1)2 (x − 1)6 −2 + 1 ′ −2x − 4 x + záp. 2 hodnota < 0 y (−2) == −2−2 (−2 −4 1) =3 4= −2 záp. (x − 1) (x − 1)4 hodnota = −2

⊳⊳

⊳

⊲

x⊲⊲+ 2

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

y′ = −2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

x +1 3 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 ց

min

ր

−1 ′′

y = −2



x +1 (x − 1)3

′

◦ 1

ց

1(x − 1)3 − (x + 1)3(x − 1)2 (1 − 0) ((x − 1)3 )2 (x − 1) − (x + 1)3 Určíme y′ (0). = −2(x − 1)2 (x − 1)6 0 + 1 ′ xkladná + 2 hodnota > 0 y (0) = = −2 −2 −2x − 34 = = −2 4 záporná (0 − 1) 4 (x − 1) (x − 1)4 hodnota = −2

⊳⊳

⊳

⊲

x⊲⊲+ 2

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

y′ = −2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

x +1 3 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 ց

min

ր

−1 ′′

y = −2



x +1 (x − 1)3

′

◦ 1

ց

1(x − 1)3 − (x + 1)3(x − 1)2 (1 − 0) ((x − 1)3 )2 (x − Funkční 1) − (x +hodnota 1)3 Lokální minimum je=v−2(x bodě−x 1) =2 −1. je (x − 1)6 2.3 3 2((−1)2 − (−1) + 1) = . y(−1) =−2x − 4 = 4 x2 + 2 = = −2 (−1 − 1) 4 2 4 4 (x − 1) (x − 1) = −2

⊳⊳

⊳

⊲

x⊲⊲+ 2

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

y′ = −2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

x +1 3 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 ց

min

ր

−1 ′′

y = −2

⊳

⊲

x⊲⊲+ 2

x +1 (x − 1)3

′

ց

1(x − 1)3 − (x + 1)3(x − 1)2 (1 − 0) ((x − 1)3 )2 (x − 1) − (x + 1)3 = −2(x − 1)2 (x − 1)6 −2x − 4 2 + 1 x + 2 3 = −2 <0 y′ (2) = −24 = 4 3 = −2 (x − 1) (2 − 1) (x − 1)4 1 = −2

⊳⊳



◦ 1

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

y′ = −2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

3 x +1 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2  ′ x +1 y′′ = −2 (x − 1)3

1(x − 1)3 − (x + 1)3(x − 1)2 (1 − 0) ((x − 1)3 )2 (x − 1) − (x + 1)3 = −2(x − 1)2 (x − 1)6 −2x − 4 x +2 = −2 =4 (x − 1)4 (x − 1)4 = −2

y′′ = 4

x +2 ; x2 = −2 (x − 1)4

Vypočteme druhou derivaci.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

4

x +2

4

=0

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

y′ = −2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

3 x +1 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2  ′ x +1 y′′ = −2 (x − 1)3

1(x − 1)3 − (x + 1)3(x − 1)2 (1 − 0) ((x − 1)3 )2 (x − 1) − (x + 1)3 = −2(x − 1)2 (x − 1)6 −2x − 4 x +2 = −2 =4 (x − 1)4 (x − 1)4 = −2

x +2 • Použijeme pravidlo pro derivaci podílu. ; x2 = −2 y′′ = 4 4 (x − 1) • Jmenovatel budeme derivovat jako složenou funkci. x +2 4 =0 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲ 4

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

y′ = −2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

3 x +1 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2  ′ x +1 y′′ = −2 (x − 1)3

1(x − 1)3 − (x + 1)3(x − 1)2 (1 − 0) ((x − 1)3 )2 (x − 1) − (x + 1)3 = −2(x − 1)2 (x − 1)6 −2x − 4 x +2 = −2 =4 (x − 1)4 (x − 1)4 = −2

y′′ = 4

x +2 ; x2 = −2 (x − 1)4

Vytkneme (x − 1)2 v čitateli.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

4

x +2

4

=0

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

y′ = −2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

3 x +1 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2  ′ x +1 y′′ = −2 (x − 1)3

1(x − 1)3 − (x + 1)3(x − 1)2 (1 − 0) ((x − 1)3 )2 (x − 1) − (x + 1)3 = −2(x − 1)2 (x − 1)6 −2x − 4 x +2 = −2 =4 (x − 1)4 (x − 1)4 = −2

y′′ = 4

x +2 ; x2 = −2 (x − 1)4

Upravíme.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

4

x +2

4

=0

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

y′ = −2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

3 x +1 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2  ′ x +1 y′′ = −2 (x − 1)3

1(x − 1)3 − (x + 1)3(x − 1)2 (1 − 0) ((x − 1)3 )2 (x − 1) − (x + 1)3 = −2(x − 1)2 (x − 1)6 x +2 −2x − 4 =4 = −2 (x − 1)4 (x − 1)4 = −2

y′′ = 4

x +2 ; x2 = −2 (x − 1)4

Obdrželi jsme druhou derivaci.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

4

x +2

4

=0

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

3 x +1 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 x +2 ′′ y =4 ; x2 = −2 (x − 1)4 y′ = −2

4

∩

in.

−2 Řešíme y′′ = 0.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x +2 =0 (x − 1)4 x +2=0 x = −2 ∪

◦ 1

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

3 x +1 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 x +2 ′′ y =4 ; x2 = −2 (x − 1)4

y′ = −2

4

∩

in.

−2 Jediné řešení je x = −2.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x +2 =0 (x − 1)4 x +2=0 x = −2 ∪

◦ 1

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

3 x +1 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 x +2 ′′ y =4 ; x2 = −2 (x − 1)4

y′ = −2

∩

in.

−2

∪

◦ 1

∪

Budeme určovat intervaly konvexnosti a konkavity. Zakreslíme bod, kde je druhá derivace nulová a bod nespojitosti na reálnou osu. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

3 x +1 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 x +2 ′′ y =4 ; x2 = −2 (x − 1)4 y′ = −2

∩

in.

−2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

y′′ (−3) = 4

∪

◦ 1

−3 + 2 <0 kladná hodnota

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

3 x +1 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 x +2 ′′ y =4 ; x2 = −2 (x − 1)4 y′ = −2

∩

in.

−2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

y′′ (0) = 4

∪

◦ 1

0+2 >0 kladná hodnota

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

3 x +1 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 x +2 ′′ y =4 ; x2 = −2 (x − 1)4 y′ = −2

∩

in.

∪

◦ 1

−2

∪

Inflexní bod je v bodě x = −2. Funkční hodnota je (Vypočtěte si sami.) ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

y(−2) =

14 . 9

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

2(x 2 − x + 1) (x − 1)2

D(f ) = R \ {1}; y(0) = 2; není průsečík s osou x

3 x +1 ; x1 = −1. . . lok. minimum, y(−1) = 3 (x − 1) 2 x +2 ′′ y =4 ; x2 = −2 (x − 1)4 y′ = −2

∩

in.

−2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

y′′ (2) = 4

∪

◦ 1

2+1 >0 kladná hodnota

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

+

+ ◦ 1

ց min ր −1

f (0) = 2

f (±∞) = 2

◦ 1

f (1±) = +∞ 3 f (−1) = 2

ց

∩

in.

∪

−2 f (−2) =

14 9

◦ 1

∪

Shrneme dosavadní znalosti. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

+

ց min ր

+ ◦ 1

−1

f (0) = 2

◦ 1

ց

in.

∪

−2

f (1±) = +∞ 3 f (−1) = 2

f (±∞) = 2

∩

f (−2) =

y

14 9

∪

◦ 1

2

−2

−1

Nakreslíme souřadnou soustavu. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1

x c

Robert Mařík, 2006 ×

+

ց min ր

+ ◦ 1

−1

f (0) = 2

◦ 1

ց

in.

∪

−2

f (1±) = +∞ 3 f (−1) = 2

f (±∞) = 2

∩

f (−2) =

y

14 9

∪

◦ 1

2

−2

−1

1

x

Vyznačíme průsečík s osou y. Funkce v tomto bodě roste. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

+

ց min ր

+ ◦ 1

−1

f (0) = 2

◦ 1

ց

in.

∪

−2

f (1±) = +∞ 3 f (−1) = 2

f (±∞) = 2

∩

f (−2) =

y

14 9

∪

◦ 1

2

−2

Nakreslíme asymptoty. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

−1

1

x c

Robert Mařík, 2006 ×

+

ց min ր

+ ◦ 1

−1

f (0) = 2

◦ 1

ց

in.

∪

−2

f (1±) = +∞ 3 f (−1) = 2

f (±∞) = 2

∩

f (−2) =

y

14 9

∪

◦ 1

2

−2

−1

1

x

Nakreslíme funkci v okolí svislé asymptoty. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

+

ց min ր

+ ◦ 1

−1

f (0) = 2

◦ 1

ց

in.

∪

−2

f (1±) = +∞ 3 f (−1) = 2

f (±∞) = 2

∩

f (−2) =

y

14 9

∪

◦ 1

2

−2

−1

1

x

Nakreslíme funkci v okolí vodorovné asymptoty. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

+

ց min ր

+ ◦ 1

−1

f (0) = 2

◦ 1

ց

in.

∪

−2

f (1±) = +∞ 3 f (−1) = 2

f (±∞) = 2

∩

f (−2) =

y

14 9

∪

◦ 1

2

−2

−1

Nakreslíme lokální minimum funkce. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

1

x c

Robert Mařík, 2006 ×

+

ց min ր

+ ◦ 1

−1

f (0) = 2

◦ 1

ց

in.

∪

−2

f (1±) = +∞ 3 f (−1) = 2

f (±∞) = 2

∩

f (−2) =

y

14 9

∪

◦ 1

2

−2

Hotovo! ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

−1

1

x c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3}; +

průsečík s x: x = 0 lim √ − x→− 3

lim √ + x→− 3

√ − 27 x3 = =∞ 3 − x2 0 √ x3 − 27 = = −∞ 3 − x2 0

◦ √ − 3

y(0) = 0

−

+

0

√◦ 3

−

√ x3 27 = =∞ lim √ − 2 0 x→ 3 3 − x √ x3 27 lim = = −∞ √ + 2 3 − x 0 x→ 3

x3 x3 = lim = lim −x = ∓∞ x→±∞ −x 2 x→±∞ x→±∞ 3 − x 2 lim

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

y′ =

3x 2 · (3 − x 2 ) − x 3 · (0 − 2x) (3 − x 2 )2   x 2 3(3 − x 2 ) + 2x 2

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3};

průsečík s x: x = 0 lim √ − x→− 3

lim √ + x→− 3

+

√ − 27 x3 = =∞ 3 − x2 0 √ x3 − 27 = = −∞ 3 − x2 0

◦ √ − 3

y(0) = 0

−

+

0

√◦ 3

−

√ x3 27 = =∞ lim √ − 2 0 x→ 3 3 − x √ x3 27 lim = = −∞ √ + 2 3 − x 0 x→ 3

x3 x3 = lim = lim −x = ∓∞ x→±∞ −x 2 x→±∞ x→±∞ 3 − x 2 lim

3x 2 · (3 − x 2 ) − x 3 · (0 − 2x) 0. Dostáváme dva body Definiční obor√ určímeyz′ = podmínky 3 − x 2 6= (3 − x 2 )2 nespojitosti ± 3.   x 2 3(3 − x 2 ) + 2x 2 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3}; +

průsečík s x: x = 0 lim √ − x→− 3

lim √ + x→− 3

√ − 27 x3 = =∞ 3 − x2 0 √ x3 − 27 = = −∞ 3 − x2 0

◦ √ − 3

y(0) = 0

−

+

0

√◦ 3

−

√ x3 27 = =∞ lim √ − 2 0 x→ 3 3 − x √ x3 27 lim = = −∞ √ + 2 3 − x 0 x→ 3

x3 x3 = lim = lim −x = ∓∞ lim x→±∞ −x 2 x→±∞ x→±∞ 3 − x 2 Průsečík s osou y má druhou souřadnici

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

y′ =

2 3xy(0) · (3=− x 20) − = x 3 0. · (0 − 2x) 3(3−−0x 2 )2   x 2 3(3 − x 2 ) + 2x 2

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3};

průsečík s x: x = 0 lim √ − x→− 3

lim √ + x→− 3

+

√ − 27 x3 = =∞ 3 − x2 0 √ x3 − 27 = = −∞ 3 − x2 0

◦ √ − 3

y(0) = 0

−

+

0

√◦ 3

−

√ x3 27 = =∞ lim √ − 2 0 x→ 3 3 − x √ x3 27 lim = = −∞ √ + 2 3 − x 0 x→ 3

x3 x3 = lim = lim −x = ∓∞ x→±∞ −x 2 x→±∞ x→±∞ 3 − x 2 lim

Řešením rovnice x = 0.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

x 3 ′ 3x 2 · (3 − x 2 ) − x 3 · (0 − 2x) = 0 získáváme jediný průsečík s osou x, bod 3 − yx 2 = (3 − x 2 )2   x 2 3(3 − x 2 ) + 2x 2 c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3};

průsečík s x: x = 0 lim √ − x→− 3

lim √ + x→− 3

+

√ − 27 x3 = =∞ 3 − x2 0 √ x3 − 27 = = −∞ 3 − x2 0

◦ √ − 3

y(0) = 0

−

+

0

√◦ 3

−

√ x3 27 = =∞ lim √ − 2 0 x→ 3 3 − x √ x3 27 lim = = −∞ √ + 2 3 − x 0 x→ 3

x3 x3 = lim = lim −x = ∓∞ x→±∞ −x 2 x→±∞ x→±∞ 3 − x 2 lim

3x 2 · (3 − x 2 ) − x 3 · (0 − 2x) y′ = (3 − x 2 )2 Nulový bod a body nespojitosti reálnou osu.  vyneseme na  x 2 3(3 − x 2 ) + 2x 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3};

průsečík s x: x = 0 lim √ − x→− 3

lim √ + x→− 3 Platí

+

√ − 27 x3 = =∞ 3 − x2 0 √ x3 − 27 = = −∞ 3 − x2 0

◦ √ − 3

y(0) = 0

−

+

0

√◦ 3

−

√ x3 27 = =∞ lim √ − 2 0 x→ 3 3 − x √ x3 27 lim = = −∞ √ + 2 3 − x 0 x→ 3

x3 x3 = lim = lim −x = ∓∞ x→±∞ −x 2 x→±∞ x→±∞ 3 − x 2 lim

−8 =8>0 y(−2) 2 = 3 3x · (3 − x−2 )4− x 3 · (0 − 2x) ′ y = √ (3 − x 2 )2 a graf funkce je nad osou x na  intervalu (−∞, − 3). x 2 3(3 − x 2 ) + 2x 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3};

průsečík s x: x = 0 lim √ − x→− 3

lim √ + x→− 3 Platí

+

√ − 27 x3 = =∞ 3 − x2 0 √ x3 − 27 = = −∞ 3 − x2 0

◦ √ − 3

y(0) = 0

−

+

0

√◦ 3

−

√ x3 27 = =∞ lim √ − 2 0 x→ 3 3 − x √ x3 27 lim = = −∞ √ + 2 3 − x 0 x→ 3

x3 x3 = lim = lim −x = ∓∞ x→±∞ −x 2 x→±∞ x→±∞ 3 − x 2 lim

1 −1 y(−1) 2 = 2 =− 3 < 0 3 − 1 2 3x · (3 − x ) − x · (0 − 2x) y′ = 2 )√ 2 (3 − x 3, 0). a graf funkce je pod osou x na  intervalu (−  x 2 3(3 − x 2 ) + 2x 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3};

průsečík s x: x = 0 lim √ − x→− 3

lim √ + x→− 3 Platí

+

√ − 27 x3 = =∞ 3 − x2 0 √ x3 − 27 = = −∞ 3 − x2 0

◦ √ − 3

y(0) = 0

−

+

0

√◦ 3

−

√ x3 27 = =∞ lim √ − 2 0 x→ 3 3 − x √ x3 27 lim = = −∞ √ + 2 3 − x 0 x→ 3

x3 x3 = lim = lim −x = ∓∞ x→±∞ −x 2 x→±∞ x→±∞ 3 − x 2 lim

1 1 y(1) 2 = 2 = 3>0 3 − 1 2 · (0 − 2x) 3x · (3 − x ) − x y′ = 2 )2√ (3 − x a graf funkce je nad osou x na  intervalu (0, 3). x 2 3(3 − x 2 ) + 2x 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3};

průsečík s x: x = 0 lim √ − x→− 3

lim √ + x→− 3 Platí

+

√ − 27 x3 = =∞ 3 − x2 0 √ x3 − 27 = = −∞ 3 − x2 0

◦ √ − 3

y(0) = 0

−

+

0

√◦ 3

−

√ x3 27 = =∞ lim √ − 2 0 x→ 3 3 − x √ x3 27 lim = = −∞ √ + 2 3 − x 0 x→ 3

x3 x3 = lim = lim −x = ∓∞ x→±∞ −x 2 x→±∞ x→±∞ 3 − x 2 lim

8 = −8 < 0 y(2)2 = 3 − 3x · (3 − x42 ) − x 3 · (0 − 2x) ′ y = 2 )2 (3 − x√ a graf funkce je pod osou x na  intervalu ( 3,∞). x 2 3(3 − x 2 ) + 2x 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3};

průsečík s x: x = 0 lim √ − x→− 3 lim √ + x→− 3

+

√ x3 − 27 =∞ = 3 − x2 0 √ − 27 x3 = = −∞ 3 − x2 0

◦ √ − 3

y(0) = 0

−

+

0

√◦ 3

−

√ x3 27 =∞ lim = √ − 2 0 x→ 3 3 − x √ x3 27 lim = = −∞ √ + 2 3 − x 0 x→ 3

x3 x3 = lim = lim −x = ∓∞ x→±∞ −x 2 x→±∞ x→±∞ 3 − x 2 lim

3x 2 · (3 − x 2 ) − x 3 · (0 − 2x) y′ = (3 − x 2 )2 Budeme zkoumat jednostranné  nespojitosti.  limity v bodech x 2 3(3 − x 2 ) + 2x 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3};

průsečík s x: x = 0 lim √ − x→− 3

lim √ + x→− 3

+

√ x3 − 27 =∞ = 3 − x2 0 √ − 27 x3 = = −∞ 3 − x2 0

◦ √ − 3

y(0) = 0

−

+

0

√◦ 3

−

√ x3 27 =∞ lim = √ − 2 0 x→ 3 3 − x √ x3 27 lim = = −∞ √ + 2 3 − x 0 x→ 3

x3 x3 = lim = lim −x = ∓∞ x→±∞ −x 2 x→±∞ x→±∞ 3 − x 2 lim

3 nenulový 3x 2 · (3 −výraz x 2 ) −ax jednostranné · (0 − 2x) limity jsou Všechny limity jsou typu y′ = 0 (3 − x 2 )2 nevlastní. Správné znaménkosnadno zjistíme ze schematu uvedeného výše. x 2 3(3 − x 2 ) + 2x 2 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3};

průsečík s x: x = 0 lim √ − x→− 3

lim √ + x→− 3

+

√ − 27 x3 = =∞ 3 − x2 0 √ x3 − 27 = = −∞ 3 − x2 0

◦ √ − 3

y(0) = 0

−

+

0

√◦ 3

−

√ x3 27 = =∞ lim √ − 2 0 x→ 3 3 − x √ x3 27 lim = = −∞ √ + 2 3 − x 0 x→ 3

x3 x3 = lim −x = ∓∞ = lim x→±∞ x→±∞ 3 − x 2 x→±∞ −x 2 lim

3x 2 · (3 − x 2 ) − x 3 · (0 − 2x) y′ = (3 − x 2 )2 Vypočteme limity v nevlastních   bodech. x 2 3(3 − x 2 ) + 2x 2 ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3};

průsečík s x: x = 0 lim √ − x→− 3

lim √ + x→− 3

+

√ − 27 x3 = =∞ 3 − x2 0 √ x3 − 27 = = −∞ 3 − x2 0

◦ √ − 3

y(0) = 0

−

+

0

√◦ 3

−

√ x3 27 = =∞ lim √ − 2 0 x→ 3 3 − x √ x3 27 lim = = −∞ √ + 2 3 − x 0 x→ 3

x3 x3 = lim = lim −x = ∓∞ x→±∞ −x 2 x→±∞ x→±∞ 3 − x 2 lim

3x 2 · (3 − x 2 ) − x 3 · (0 − 2x) y′ = V nevlastních 2bodech Jedná se o podíl polynomů. je podstatná pouze (3 − x )2 a ve jmenovateli. závislost na vedoucích členech   polynomů v čitateli x 2 3(3 − x 2 ) + 2x 2 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3}; +

průsečík s x: x = 0

y′ = = =

◦ √ − 3

y(0) = 0

−

+

0

y′ = ⊳⊳

⊳

(3 − x 2 )2

⊲

⊲⊲

;

−

3x 2 · (3 − x 2 ) − x 3 · (0 − 2x) (3 − x 2 )2   x 2 3(3 − x 2 ) + 2x 2 x2



(3 − x 2 )2  9 − x2

(3 − x 2 )2 Budeme hledat derivaci funkce. Derivujeme podíl   x2 9 − x2

√◦ 3

x3 podle vzorce 3 − x2

 u ′ u′ · v − u · v ′ = .ր ց min ր MAX ց 2 v ր ◦ vր √ √◦ −3 0 3 3 − 3

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3}; +

průsečík s x: x = 0

y′ = = =   x2 9 − x2

y′ = Vytkneme (3 − xx22.)2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

;

ց

y(0) = 0

◦ √ − 3

−

+

0

√◦ 3

−

3x 2 · (3 − x 2 ) − x 3 · (0 − 2x) (3 − x 2 )2   x 2 3(3 − x 2 ) + 2x 2 x2



(3 − x 2 )2  9 − x2

(3 − x 2 )2

min

−3

ր

◦ √ − 3

ր

ր 0

√◦ 3

ր MAX ց 3

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3}; +

průsečík s x: x = 0

y′ = = =   x2 9 − x2

y′ = ; Upravíme (3 −závorku. x 2 )2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ց

y(0) = 0

◦ √ − 3

−

+

0

√◦ 3

−

3x 2 · (3 − x 2 ) − x 3 · (0 − 2x) (3 − x 2 )2   x 2 3(3 − x 2 ) + 2x 2 x2



(3 − x 2 )2  9 − x2

(3 − x 2 )2

min

−3

ր

◦ √ − 3

ր

ր 0

√◦ 3

ր MAX ց 3

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

√ D(f ) = R \ {± 3};

x3 3 − x2

+

průsečík s x: x = 0 y′ =



x2 9 − x2 (3 −



x 2 )2

y′′ = =

ց

;

min

−3

y(0) = 0

◦ √ − 3

ր

−

◦ √ − 3

+

0

ր

√◦ 3

ր 0

−

√◦ 3

ր MAX ց 3

(18x − 4x 3 ) · (3 − x 2 )2 − (9x 2 − x 4 ) · 2(3 − x 2 )(−2x) 2  (3 − x 2 )2 h i 2x(3 − x 2 ) · (9 − 2x 2 )(3 − x 2 ) + (9x − x 3 )(2x) h

(3 − x 2 )4

2x · 27−9x 2 − 6x 2 +2x 4 +18x 2 −2x 4

i

= 3 jsou x = 0 a x = ±3. Tyto Řešením rovnice x 2 (9 − x 2 ) =(30 − x 2 )body i h stacionární body vyneseme 2spolu s body nespojitosti na reálnou osu. 2x · 27+3x

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3}; +

průsečík s x: x = 0 y′ =



x2 9 − x2 (3 −



x 2 )2

y′′ =

;

ց

min

−3

y(0) = 0

◦ √ − 3

ր

−

◦ √ − 3

+

0

ր

√◦ 3

ր 0

−

√◦ 3

ր MAX ց 3

(18x − 4x 3 ) · (3 − x 2 )2 − (9x 2 − x 4 ) · 2(3 − x 2 )(−2x) 2  (3 − x 2 )2 h i 2x(3 − x 2 ) · (9 − 2x 2 )(3 − x 2 ) + (9x − x 3 )(2x)

= − x 2kladné )4 Červeně označené výrazy v derivaci(3jsou a neovlivní výsledné i h 2 2 4 znaménko 2 4 výrazu (9 − x 2 ). Pro znaménko derivace. Stačí tedy zjišťovat 2x · 27−9x − 6x +2x +18x −2x x = −4 platí= 2 3 9 −i (3 x2− =x9 )− (−4)2 < 0. h 2x · 27+3x 2

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

√ D(f ) = R \ {± 3};

x3 3 − x2

+

průsečík s x: x = 0 y′ =



x2 9 − x2 (3 −



x 2 )2

y′′ = =

ց

;

min

−3

y(0) = 0

◦ √ − 3

ր

−

◦ √ − 3

+

0

ր

√◦ 3

ր 0

⊳

⊲

⊲⊲

√◦ 3

ր MAX ց 3

(18x − 4x 3 ) · (3 − x 2 )2 − (9x 2 − x 4 ) · 2(3 − x 2 )(−2x) 2  (3 − x 2 )2 h i 2x(3 − x 2 ) · (9 − 2x 2 )(3 − x 2 ) + (9x − x 3 )(2x) h

(3 − x 2 )4

2x · 27−9x 2 − 6x 2 +2x 4 +18x 2 −2x 4 Pro x = −2 = platí 2 3 9 −i (3 x2− =x9 )− (−2)2 > 0. h 2x · 27+3x 2

⊳⊳

−

i

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3}; +

průsečík s x: x = 0 y′ =



x2 9 − x2 (3 −



x 2 )2

y′′ =

;

ց

min

−3

y(0) = 0

◦ √ − 3

ր

−

◦ √ − 3

+

0

ր

√◦ 3

ր 0

−

√◦ 3

⊳

⊲

⊲⊲

3

(18x − 4x 3 ) · (3 − x 2 )2 − (9x 2 − x 4 ) · 2(3 − x 2 )(−2x) 2  (3 − x 2 )2 h i 2x(3 − x 2 ) · (9 − 2x 2 )(3 − x 2 ) + (9x − x 3 )(2x)

= (3 − x 2 )4 hodnota je V bodě x = −3 je lokální minimum. Funkční i h 2 4 2x · 27−9x 2 − 6x 2−27 +2x 4 +18x −2x −27 9 = y(−3) = 2 3 = = (3 −3 x−)9 −6 2 i h 2x · 27+3x 2

⊳⊳

ր MAX ց

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

√ D(f ) = R \ {± 3};

x3 3 − x2

+

průsečík s x: x = 0 y′ =



x2 9 − x2 (3 −



x 2 )2

y′′ = =

ց

;

min

−3

y(0) = 0

◦ √ − 3

ր

−

◦ √ − 3

+

0

ր

√◦ 3

ր 0

⊳

⊲

⊲⊲

√◦ 3

ր MAX ց 3

(18x − 4x 3 ) · (3 − x 2 )2 − (9x 2 − x 4 ) · 2(3 − x 2 )(−2x) 2  (3 − x 2 )2 h i 2x(3 − x 2 ) · (9 − 2x 2 )(3 − x 2 ) + (9x − x 3 )(2x) h

(3 − x 2 )4

2x · 27−9x 2 − 6x 2 +2x 4 +18x 2 −2x 4 Pro x = −1 = platí 2 3 9 −i (3 x2− =x9 )− (−1)2 > 0. h 2x · 27+3x 2

⊳⊳

−

i

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

√ D(f ) = R \ {± 3};

x3 3 − x2

+

průsečík s x: x = 0 y′ =



x2 9 − x2 (3 −



x 2 )2

y′′ = =

ց

;

min

−3

y(0) = 0

◦ √ − 3

ր

−

◦ √ − 3

+

0

√◦ 3

ր

ր

0

⊳

⊲

⊲⊲

√◦ 3

ր MAX ց 3

(18x − 4x 3 ) · (3 − x 2 )2 − (9x 2 − x 4 ) · 2(3 − x 2 )(−2x) 2  (3 − x 2 )2 h i 2x(3 − x 2 ) · (9 − 2x 2 )(3 − x 2 ) + (9x − x 3 )(2x) h

(3 − x 2 )4

2x · 27−9x 2 − 6x 2 +2x 4 +18x 2 −2x 4 Pro x = 1 platí = (3x− 2 x 2 )3 9i− = 9 − 12 > 0. h 2x · 27+3x 2

⊳⊳

−

i

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

√ D(f ) = R \ {± 3};

x3 3 − x2

+

průsečík s x: x = 0 y′ =



x2 9 − x2 (3 −



x 2 )2

y′′ = =

ց

;

min

−3

y(0) = 0

◦ √ − 3

ր

−

◦ √ − 3

+

0

ր

√◦ 3

ր 0

⊳

⊲

⊲⊲

√◦ 3

ր MAX ց 3

(18x − 4x 3 ) · (3 − x 2 )2 − (9x 2 − x 4 ) · 2(3 − x 2 )(−2x) 2  (3 − x 2 )2 h i 2x(3 − x 2 ) · (9 − 2x 2 )(3 − x 2 ) + (9x − x 3 )(2x) h

(3 − x 2 )4

2x · 27−9x 2 − 6x 2 +2x 4 +18x 2 −2x 4 Pro x = 2 platí = (3x− 2 x 2 )3 9i− = 9 − 22 > 0. h 2x · 27+3x 2

⊳⊳

−

i

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

√ D(f ) = R \ {± 3};

x3 3 − x2

+

průsečík s x: x = 0 y′ =



x2 9 − x2 (3 −



x 2 )2

y′′ = =

ց

;

min

−3

y(0) = 0

◦ √ − 3

ր

−

◦ √ − 3

+

0

ր

√◦ 3

ր 0

⊳

⊲

⊲⊲

√◦ 3

ր MAX ց 3

(18x − 4x 3 ) · (3 − x 2 )2 − (9x 2 − x 4 ) · 2(3 − x 2 )(−2x) 2  (3 − x 2 )2 h i 2x(3 − x 2 ) · (9 − 2x 2 )(3 − x 2 ) + (9x − x 3 )(2x) h

(3 − x 2 )4

2x · 27−9x 2 − 6x 2 +2x 4 +18x 2 −2x 4 Pro x = 4 platí = (3x− 2 x 2 )3 9i− = 9 − 42 < 0. h 2x · 27+3x 2

⊳⊳

−

i

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3}; +

průsečík s x: x = 0 y′ =



x2 9 − x2 (3 −



x 2 )2

y′′ =

;

ց

min

−3

y(0) = 0

◦ √ − 3

ր

−

◦ √ − 3

+

0

ր

√◦ 3

ր 0

√◦ 3

⊳

⊲

⊲⊲

ր MAX ց 3

(18x − 4x 3 ) · (3 − x 2 )2 − (9x 2 − x 4 ) · 2(3 − x 2 )(−2x) 2  (3 − x 2 )2 h i 2x(3 − x 2 ) · (9 − 2x 2 )(3 − x 2 ) + (9x − x 3 )(2x)

= − x 2 )4 hodnota je V bodě x = 3 je lokální maximum.(3Funkční i h 2 2 4 2x · 27−9x 2 − 6x27 +2x 4 +18x −2x 27 9 = y(3) = = =− (3 3−−x 29)3 −6 2 i h 2x · 27+3x 2

⊳⊳

−

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

√ D(f ) = R \ {± 3};

x3 3 − x2 y′′ = =

y(0) = 0

(18x − 4x 3 ) · (3 − x 2 )2 − (9x 2 − x 4 ) · 2(3 − x 2 )(−2x) 2  (3 − x 2 )2 h i 2x(3 − x 2 ) · (9 − 2x 2 )(3 − x 2 ) + (9x − x 3 )(2x) h

(3 − x 2 )4

2x · 27−9x 2 − 6x 2 +2x 4 +18x 2 −2x 4

= (3 − x 2 )3 i Derivujeme funkci h 2x · 27+3xx22 (9 − x 2 ) 9x 2 − x 4 = = 2 2 (3 − x 2 )2 (3 − x 2 )3 (3 − x )

i

i h podle vzorce  u ′ u′ · v − u · v ′ 2x · 27 + 3x 2 ′′ = ∪ 2 ∩. y = ; x = 0v v √ ◦ (3 − x 2 )3 0 − 3 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

∪

√◦ 3

∩ c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

√ D(f ) = R \ {± 3};

x3 3 − x2 y′′ = = =

y(0) = 0

(18x − 4x 3 ) · (3 − x 2 )2 − (9x 2 − x 4 ) · 2(3 − x 2 )(−2x) 2  (3 − x 2 )2 h i 2x(3 − x 2 ) · (9 − 2x 2 )(3 − x 2 ) + (9x − x 3 )(2x) (3 − x 2 )4

h

2x · 27−9x 2 − 6x 2 +2x 4 +18x 2 −2x 4 h

2x · 27+3x 2

i

i

(3 − x 2 )3

= • Protože jsme(3ve − jmenovateli x 2 )3 neroznásobovali, ale derivovali jako složenouhfunkci, nezbavili jsme se možnosti vytknout. i 2x · 27 + 3x 2 které ∪ se v čitateli ∪ ∩ opakují. ∩ y′′ =• Nyní tedy2 3vytkneme ; x =členy, 0 ◦ √◦ √ (3 − x ) 0 − 3 3 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

√ D(f ) = R \ {± 3};

x3 3 − x2 y′′ = = = =

(18x − 4x 3 ) · (3 − x 2 )2 − (9x 2 − x 4 ) · 2(3 − x 2 )(−2x) 2  (3 − x 2 )2 h i 2x(3 − x 2 ) · (9 − 2x 2 )(3 − x 2 ) + (9x − x 3 )(2x) (3 − x 2 )4

h

2x · 27−9x 2 − 6x 2 +2x 4 +18x 2 −2x 4 h

2x · 27+3x 2

i

⊳

⊲

⊲⊲

i

(3 − x 2 )3

(3 − x 2 )3 i h 2x · 27 + 3x 2 y′′ = ;x=0 Zkrátíme(3a − roznásobíme x 2 )3 závorky. ⊳⊳

y(0) = 0

∪

◦ √ − 3

∪

∩ 0

√◦ 3

∩ c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

√ D(f ) = R \ {± 3};

x3 3 − x2 y′′ = = = =

y(0) = 0

(18x − 4x 3 ) · (3 − x 2 )2 − (9x 2 − x 4 ) · 2(3 − x 2 )(−2x) 2  (3 − x 2 )2 h i 2x(3 − x 2 ) · (9 − 2x 2 )(3 − x 2 ) + (9x − x 3 )(2x) (3 − x 2 )4

h

2x · 27−9x 2 − 6x 2 +2x 4 +18x 2 −2x 4 h

2x · 27+3x 2

i

i

(3 − x 2 )3

(3 − x 2 )3 i h 2x · 27 + 3x 2 ∪ ∩ y′′ = ;x=0 ◦ √ Výrazy v(3hranaté − x 2 )3 závorce se sečtou resp. odečtou. 0 − 3 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

∪

√◦ 3

∩ c

Robert Mařík, 2006 ×

√ x3 D(f ) = R \ {± 3}; 2 3−x i h 2x · 27 + 3x 2 ;x=0 y′′ = (3 − x 2 )3 y=

Dělením se zbytkem zjistíme, že platí

y(0) = 0 ∪

◦ √ − 3

∩

∪ 0

√◦ 3

∩

3x x3 = −x + 3 − x2 3 − x2

První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro x blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = −x. Druhá derivace je vypočtena. Nyní hledáme řešení rovnice y′′ = 0. Protože výraz (27 + 3x 2 ) je stále kladný, je jediným řešením této rovnice bod x = 0.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

√ x3 D(f ) = R \ {± 3}; 2 3−x i h 2x · 27 + 3x 2 ;x=0 y′′ = (3 − x 2 )3 y=

Dělením se zbytkem zjistíme, že platí

y(0) = 0 ∪

◦ √ − 3

∩

∪ 0

√◦ 3

∩

x3 3x = −x + 3 − x2 3 − x2

První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro x blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = −x. Na reálnou osu vyneseme bod x = 0 (y′′ (0) = 0) a body, kde je druhá derivace nespojitá.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

√ x3 D(f ) = R \ {± 3}; 2 3−x i h 2x · 27 + 3x 2 ;x=0 y′′ = (3 − x 2 )3 y=

Dělením se zbytkem zjistíme, že platí

y(0) = 0 ∪

◦ √ − 3

∩

∪ 0

√◦ 3

∩

x3 3x = −x + 3 − x2 3 − x2

První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro x blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = −x. Platí 2 · (−2) · [kladný výraz] záporný výraz y′′ (−2) = >0 = 2 3 (3 − (−2) ) záporný výraz a funkce je konvexní na intervalu obsahujícím číslo −2.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

√ x3 D(f ) = R \ {± 3}; 2 3−x i h 2x · 27 + 3x 2 ;x=0 y′′ = (3 − x 2 )3 y=

Dělením se zbytkem zjistíme, že platí

y(0) = 0 ∪

◦ √ − 3

∩

∪ 0

√◦ 3

∩

x3 3x = −x + 3 − x2 3 − x2

První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro x blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = −x. Platí 2 · (−1) · [kladný výraz] záporný výraz y′′ (−1) = <0 = 2 3 (3 − (−1) ) kladný výraz a funkce je konkávní na intervalu obsahujícím číslo −1.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

√ x3 D(f ) = R \ {± 3}; 2 3−x i h 2x · 27 + 3x 2 ;x=0 y′′ = (3 − x 2 )3 y=

Dělením se zbytkem zjistíme, že platí

y(0) = 0 ∪

◦ √ − 3

∪

∩ 0

∩

√◦ 3

x3 3x = −x + 3 − x2 3 − x2

První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro x blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = −x. Platí 2 · 1 · [kladný výraz] kladný výraz y′′ (1) = >0 = 2 3 (3 − 1 ) kladný výraz a funkce je konvexní na intervalu obsahujícím číslo 1.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

√ x3 D(f ) = R \ {± 3}; 2 3−x i h 2x · 27 + 3x 2 ;x=0 y′′ = (3 − x 2 )3 y=

Dělením se zbytkem zjistíme, že platí

y(0) = 0 ∪

◦ √ − 3

∩

∪ 0

∩

√◦ 3

3x x3 = −x + 3 − x2 3 − x2

První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro x blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = −x. Platí 2 · 2 · [kladný výraz] kladný výraz y′′ (2) = <0 = 2 3 (3 − 2 ) záporný výraz a funkce je konkávní na intervalu obsahujícím číslo 1.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x3 3 − x2

√ D(f ) = R \ {± 3};

Dělením se zbytkem zjistíme, že platí

y(0) = 0

3x x3 = −x + 3 − x2 3 − x2

První část je přímka, druhá část se blíží k nule pro x blížící se do plus nebo minus nekonečna. Funkce má proto v nevlastních bodech asymptotu y = −x.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

+ − + − ◦ √◦ √ 3 − 3 0

f (0) = 0;

f (±∞) = ∓∞;

ր ր րMAXց ∪ ∩ ∪ ∩ ◦ ◦ √◦ √◦ √ √ −3 − 3 0 3 3 3 − 3 0 9 f (±3) = ∓ 2 √ √ f (− 3±) = ∓∞; f ( 3±) = ∓∞ ցminր

Shrneme nejdůležitější výsledky. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

+ − + − ◦ √◦ √ 3 − 3 0

f (0) = 0;

f (±∞) = ∓∞;

ր ր րMAXց ∪ ∩ ∪ ∩ ◦ ◦ √◦ √◦ √ √ −3 − 3 0 3 3 3 − 3 0 9 f (±3) = ∓ 2 √ √ f (− 3±) = ∓∞; f ( 3±) = ∓∞ ցminր

y

−3

√ − 3

√ 3

3

x

Zakreslíme svislé asymptoty a funkci v okolí těchto asymptot. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

+ − + − ◦ √◦ √ 3 − 3 0

f (0) = 0;

f (±∞) = ∓∞;

ր ր րMAXց ∪ ∩ ∪ ∩ ◦ ◦ √◦ √◦ √ √ −3 − 3 0 3 3 3 − 3 0 9 f (±3) = ∓ 2 √ √ f (− 3±) = ∓∞; f ( 3±) = ∓∞ ցminր

y

−3

√ − 3

√ 3

3

x

Podobně zakreslíme šikmou asymptotu a funkci v okolí této asymptoty. Dáváme pozor na konkavitu/konvexitu. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

+ − + − ◦ √◦ √ 3 − 3 0

f (0) = 0;

f (±∞) = ∓∞;

ր ր րMAXց ∪ ∩ ∪ ∩ ◦ ◦ √◦ √◦ √ √ −3 − 3 0 3 3 3 − 3 0 9 f (±3) = ∓ 2 √ √ f (− 3±) = ∓∞; f ( 3±) = ∓∞ ցminր

y

−3

√ − 3

√ 3

x

3

Zakreslíme funkci v okolí stacionárního bodu, který není lokálním extrémem. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

+ − + − ◦ √◦ √ 3 − 3 0

f (0) = 0;

f (±∞) = ∓∞;

ր ր րMAXց ∪ ∩ ∪ ∩ ◦ ◦ √◦ √◦ √ √ −3 − 3 0 3 3 3 − 3 0 9 f (±3) = ∓ 2 √ √ f (− 3±) = ∓∞; f ( 3±) = ∓∞ ցminր

y

−3

√ − 3

√ 3

3

x

Zakreslíme lokální extrémy. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

+ − + − ◦ √◦ √ 3 − 3 0

f (0) = 0;

f (±∞) = ∓∞;

ր ր րMAXց ∪ ∩ ∪ ∩ ◦ ◦ √◦ √◦ √ √ −3 − 3 0 3 3 3 − 3 0 9 f (±3) = ∓ 2 √ √ f (− 3±) = ∓∞; f ( 3±) = ∓∞ ցminր

y

−3

√ − 3

√ 3

3

x

Dokreslíme celý graf. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x

x2 + 1 2 = = +∞ 2 x→−1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = −∞ x→−1+ x 2 − 1 0 lim −

◦ −1

−

◦ 1

+

2 x2 + 1 = = −∞ 2 x→1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = +∞ x→1+ x 2 − 1 0 lim−

x2 x2 + 1 = lim 2 = 1 2 x→∞ x x→∞ x − 1 lim

(x 2 + 1)′ · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · (x 2 − 1)′ (x 2 − 1)2 2x · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · 2x = (x 2 − 1)2

y′ = ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1];

není průsečík s osou x

x2 + 1 2 = = +∞ 2 x→−1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = −∞ x→−1+ x 2 − 1 0 lim −

+

◦ −1

−

◦ 1

+

2 x2 + 1 = = −∞ 2 x→1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = +∞ x→1+ x 2 − 1 0 lim−

x2 x2 + 1 = lim 2 = 1 lim 2 x→∞ x x→∞ x − 1 Určíme definiční obor – ve jmenovateli nesmí být nula. Řešením rovnice

2 − 1) 1= (x 2 + 1)′ · (xx2 − − 0(x 2 + 1) · (x 2 − 1)′ y′ = 2 (x − 1)2 je x = ±1. Tyto body je nutno vyloučit z definičního oboru a jedná se 2x · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · 2x o body nespojitosti. = (x 2 − 1)2 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x

x2 + 1 2 = = +∞ 2 x→−1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = −∞ x→−1+ x 2 − 1 0 lim −

◦ −1

−

◦ 1

2 x2 + 1 = = −∞ 2 x→1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = +∞ x→1+ x 2 − 1 0 lim−

x2 x2 + 1 = lim 2 = 1 2 x→∞ x x→∞ x − 1 lim

+

(x 2 + 1)′ · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · (x 2 − 1)′ 2 2 0 +(x1 − 1) 2 = −1, Dosazením x = 0 určíme y(0) což je průsečík s osou y. 2x · (x − 1)0−−(x12 = + 1) · 2x = (x 2 − 1)2 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 × y′ =

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x

x2 + 1 2 = = +∞ 2 x→−1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = −∞ x→−1+ x 2 − 1 0 lim −

Rovnice

◦ −1

−

◦ 1

2 x2 + 1 = = −∞ 2 x→1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = +∞ x→1+ x 2 − 1 0 lim−

x2 x2 + 1 = lim 2 = 1 2 x→∞ x x→∞ x − 1 lim

+

(x 2 + 1)′ · (xx22 − − 0(x 2 + 1) · (x 2 − 1)′ + 1) 1= y′ = 2 (x − 1)2 nemá v oboru reálných čísel řešení a funkce tedy není nikdy rovna nule. · (x 2x.− 1) − (x 2 + 1) · 2x Graf nemá průsečík=s2x osou (x 2 − 1)2 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x

x2 + 1 2 = = +∞ 2 x→−1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = −∞ x→−1+ x 2 − 1 0 lim −

◦ −1

−

◦ 1

2 x2 + 1 = = −∞ 2 x→1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = +∞ x→1+ x 2 − 1 0 lim−

x2 x2 + 1 = lim 2 = 1 2 x→∞ x x→∞ x − 1 lim

+

(x 2 + 1)′ · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · (x 2 − 1)′ y′ = (x 2 − 1)2 Znaménko funkce se může změnit nanejvýš v bodě nespojitosti (protože 2x · (x 2 − 1) −tedy (x 2 +body 1) · 2x nespojitosti na reálnou osu. není průsečík s osou = x). Vyneseme 2 − 1)2 (x c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x

x2 + 1 2 = = +∞ 2 x→−1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = −∞ x→−1+ x 2 − 1 0 lim −

◦ −1

−

◦ 1

2 x2 + 1 = = −∞ 2 x→1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = +∞ x→1+ x 2 − 1 0 lim−

x2 x2 + 1 = lim 2 = 1 2 x→∞ x x→∞ x − 1 lim

+

(x 2 + 1)′ · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · (x 2 − 1)′ 2 y′ = (−2) +1 5 2 2 (x =− 1) Dosazením x = −2 zjistíme, že y(−2) = > 0 a funkce je 2−1 (−2) 3 2 2x · (x 2 − 1)číslo − (x−2. + 1) · 2x kladná na intervalu=obsahujícím 2 − 1)2 (x c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x

x2 + 1 2 = = +∞ 2 x→−1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = −∞ x→−1+ x 2 − 1 0 lim −

◦ −1

−

◦ 1

2 x2 + 1 = = −∞ 2 x→1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = +∞ x→1+ x 2 − 1 0 lim−

x2 x2 + 1 = lim 2 = 1 2 x→∞ x x→∞ x − 1 lim

+

(x 2 + 1)′ · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · (x 2 − 1)′ y′ = (x 2 − 1)2 Dosazením x = 0 jsme již dříve zjistili (když jsme počítali průsečík s osou 2 2x · (xje −záporná 1) − (x 2na+intervalu 1) · 2x obsahujícím číslo 0. y), že y(0) = −1 a=funkce 2 − 1)2 (x c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x

2 x2 + 1 = = +∞ 2 x→−1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = −∞ x→−1+ x 2 − 1 0 lim −

◦ −1

−

◦ 1

2 x2 + 1 = = −∞ 2 x→1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = +∞ x→1+ x 2 − 1 0 lim−

x2 x2 + 1 = lim 2 = 1 2 x→∞ x x→∞ x − 1 lim

+

(x 2 + 1)′ · (x 2 − 1) −2 (x 2 + 1) · (x 2 − 1)′ y′ = (2) + 1 5 Dosazením x = 2 zjistíme, že y(2) =(x 2 −2 1)2 = > 0 a funkce je kladná (2) − 1 3 2 2 2x · (x na intervalu obsahujícím číslo−2.1) − (x + 1) · 2x = (x 2 − 1)2 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x

2 x2 + 1 = = +∞ 2 x→−1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = −∞ x→−1+ x 2 − 1 0 lim −

◦ −1

−

◦ 1

2 x2 + 1 = = −∞ 2 x→1 x − 1 0 2 x2 + 1 = = +∞ lim x→1+ x 2 − 1 0 lim−

x2 x2 + 1 = lim 2 = 1 2 x→∞ x x→∞ x − 1 lim

+

2 (x + 1)v′ bodech · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) ·Všechny (x 2 − 1)′jednostranné Určíme jednostranné limity nespojitosti. y2′ = 2 2 (x nevlastní − 1) limity jsou typu a výsledkem budou limity, tj. “nekonečno, 0 2x · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · 2x opatřené správným=znaménkem”. (x 2 − 1)2 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x

x2 + 1 2 = = +∞ 2 x→−1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = −∞ x→−1+ x 2 − 1 0 lim −

◦ −1

−

◦ 1

2 x2 + 1 = = −∞ 2 x→1 x − 1 0 2 x2 + 1 = = +∞ lim x→1+ x 2 − 1 0 lim−

x2 x2 + 1 = lim 2 = 1 2 x→∞ x x→∞ x − 1 lim

+

(x 2 + 1)′ · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · (x 2 − 1)′ y′ = (x 2 − 1)2 Podle znamének funkce na jednotlivých podintervalech snadno odvodíme 2 2 správné výsledky. = 2x · (x − 1) − (x + 1) · 2x (x 2 − 1)2 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x

x2 + 1 2 = = +∞ 2 x→−1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = −∞ x→−1+ x 2 − 1 0 lim −

◦ −1

−

◦ 1

2 x2 + 1 = = −∞ 2 x→1 x − 1 0 x2 + 1 2 lim = = +∞ x→1+ x 2 − 1 0 lim−

x2 + 1 x2 = lim 2 = 1 2 x→∞ x x→∞ x − 1 lim

+

(x 2 + 1)′ · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · (x 2 − 1)′ ′ = Určíme limity v ynevlastních bodech. Protože se jedná o racionální funkci, (x 2 − 1)2 jsou pro limitu v nevlastním bodě rozhodující pouze vedoucí členy čitatele 2x · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · 2x a jmenovatele. = (x 2 − 1)2 c ⊳⊳ ⊳ ⊲ ⊲⊲

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1];

není průsečík s osou x

+

◦ −1

−

◦ 1

+

(x 2 + 1)′ · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · (x 2 − 1)′ (x 2 − 1)2 2x · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · 2x = (x 2 − 1)2   2x · x 2 − 1 − (x 2 + 1) = Derivujeme podíl (x 2 − 1)2   x2 + 1 y = −4x 2x −2 2 = 2 x − 21 = 2 2 (x − 1) (x − 1) podle vzorce  u ′ u′ · v − u · v ′ −4x ց. ր = ր MAX ց ′ y = 2 v v2 ◦ ◦ (x − 1)2 1 0 −1 y′ =

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x

◦ −1

−

+

◦ 1

(x 2 + 1)′ · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · (x 2 − 1)′ (x 2 − 1)2 2x · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · 2x = (x 2 − 1)2   2x · x 2 − 1 − (x 2 + 1) = (x 2 − 1)2   2x −2 −4x = 2 = 2 2 (x − 1) (x − 1)2

y′ =

−4x y′ = 2 Dopočítáme (x − 1)2derivace. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ր

◦ −1

ր MAX ց 0

◦ 1

ց

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1];

není průsečík s osou x

+

◦ −1

−

◦ 1

+

(x 2 + 1)′ · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · (x 2 − 1)′ (x 2 − 1)2 2x · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · 2x = (x 2 − 1)2   2x · x 2 − 1 − (x 2 + 1) = (x 2 − 1)2   2x −2 −4x = 2 = 2 2 (x − 1) (x − 1)2

y′ =

−4x ր ց ր MAX ց y′ = 2 ◦ ◦ 2 Vytkneme 2x v čitateli. (x − výraz 1) 1 0 −1 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x

◦ −1

−

+

◦ 1

(x 2 + 1)′ · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · (x 2 − 1)′ (x 2 − 1)2 2x · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · 2x = (x 2 − 1)2   2x · x 2 − 1 − (x 2 + 1) = (x 2 − 1)2   2x −2 −4x = 2 = 2 2 (x − 1) (x − 1)2

y′ =

−4x y′ = 2 Upravíme (x −závorku. 1)2 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ր

◦ −1

ր MAX ց 0

◦ 1

ց

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x

◦ −1

−

+

◦ 1

(x 2 + 1)′ · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · (x 2 − 1)′ (x 2 − 1)2 2x · (x 2 − 1) − (x 2 + 1) · 2x = (x 2 − 1)2   2x · x 2 − 1 − (x 2 + 1) = (x 2 − 1)2   2x −2 −4x = 2 = 2 2 (x − 1) (x − 1)2

y′ =

−4x y′ = 2 2 Dokončíme (x − 1)úpravy ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

ր

◦ −1

ր MAX ց 0

◦ 1

ց

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x y′ =

−4x (x 2 − 1)2

ր

y′′ = −4 · = −4 ·

◦ −1

◦ −1

−

ր MAX ց 0

◦ 1

+

◦ 1

ց

1 · (x 2 − 1)2 − x · 2(x 2 − 1) · 2x (x 2 − 1)4   (x 2 − 1) · x 2 − 1 − 4x 2

(x 2 − 1)4 −3x 2 − 1 3x 2 + 1 = −4 · 2 = 4 · (x − 1)3 (x 2 − 1)3

3x 2 + 1 ′′ ∪ bod. Vyneseme tento ∩ stacionární yDerivace = 4 · je2 nula 3pro x = 0, což je∪jediný (x bod − 1)a body nespojitosti na◦reálnou◦osu. stacionární 1 −1 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x y′ =

−4x (x 2 − 1)2

ր

y′′ = −4 · = −4 ·

◦ −1

◦ −1

−

ր MAX ց 0

◦ 1

+

◦ 1

ց

1 · (x 2 − 1)2 − x · 2(x 2 − 1) · 2x (x 2 − 1)4   (x 2 − 1) · x 2 − 1 − 4x 2

(x 2 − 1)4 2 nezáporný (jedná • Jmenovatel zlomku je−3x pořád −1 3x 2 + 1 se o sudou mocninu). = −4rozhoduje · 2 = 4 · O znaménku tedy pouze čitatel (x − 1)3 (x 2 −zlomku. 1)3

• Protože v čitateli je (−4x), má derivace přesně opačné znaménko jako 3x 2 + 1 ∪ ∩ ∪ x. y′′ = 4proměnná · 2 ◦ ◦ (x − 1)3 1 −1 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x y′ =

−4x (x 2 − 1)2

ր

y′′ = −4 · = −4 ·

◦ −1

◦ −1

−

ր MAX ց 0

◦ 1

+

◦ 1

ց

1 · (x 2 − 1)2 − x · 2(x 2 − 1) · 2x (x 2 − 1)4   (x 2 − 1) · x 2 − 1 − 4x 2

(x 2 − 1)4 −3x 2 − 1 3x 2 + 1 = −4 · 2 = 4 · (x − 1)3 (x 2 − 1)3

3x 2 0+má 1 funkce lokální maximum. ∪ hodnota v tomto bodě ∩ Funkční ∪ yV′′ bodě = 4·x = ◦ ◦ 2 − 1)3 (x je y(0) = −1 (bylo počítáno jako průsečík 1 y). −1 s osou ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x y′ =

−4x (x 2 − 1)2

ր

◦ −1

◦ −1

−

ր MAX ց 0

◦ 1

+

◦ 1

ց

1 · (x 2 − 1)2 − x · 2(x 2 − 1) · 2x (x 2 − 1)4   2 2 2 (x − 1) · x − 1 − 4x Budeme hledat druhou derivaci. Derivujeme podíl = −4 · 4 (x 2 − 1) x ′ y =2 −4 −3x − 1· (x 2 − 1) 3x22 + 1 = −4 · 2 = 4 · (x − 1)3 (x 2 − 1)3 podle vzorce  u ′ u′ · v − u · v ′ 3x 2 + 1 =∪ ◦ 2∩ ◦ . ∪ y′′ = 4 · 2 v v (x − 1)3 1 −1 y′′ = −4 ·

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x y′ =

−4x (x 2 − 1)2

ր

y′′ = −4 · = −4 ·

◦ −1

◦ −1

−

ր MAX ց 0

◦ 1

+

◦ 1

ց

1 · (x 2 − 1)2 − x · 2(x 2 − 1) · 2x (x 2 − 1)4   (x 2 − 1) · x 2 − 1 − 4x 2

(x 2 − 1)4 −3x 2 − 1 3x 2 + 1 = −4 · 2 = 4 · (x − 1)3 (x 2 − 1)3

3x 2 +výraz 1 (x 2 − 1)2 derivovali ′′ ∪ funkci, nezbavili jsme ∩ složenou ∪ jako yProtože = 4 · jsme ◦ ◦ 2 − 1)3 (x se možnosti vytknout v čitateli a poté−1 zkrátit. 1 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x y′ =

−4x (x 2 − 1)2

ր

y′′ = −4 · = −4 ·

◦ −1

◦ −1

−

ր MAX ց 0

◦ 1

+

◦ 1

ց

1 · (x 2 − 1)2 − x · 2(x 2 − 1) · 2x (x 2 − 1)4   (x 2 − 1) · x 2 − 1 − 4x 2

(x 2 − 1)4 3x 2 + 1 −3x 2 − 1 = −4 · 2 = 4 · (x − 1)3 (x 2 − 1)3

3x 2 + 1 ∩ ∪ y′′ = 4 · 2 ◦ (x krácení − 1)3 a upravíme výraz v◦ závorce. Provedeme 1 −1 ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x y′ =

−4x (x 2 − 1)2

ր

y′′ = −4 · = −4 ·

3x 2 + 1 y′′ = 4 · 2 (x − 1)3 Dokončíme úpravy. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

◦ −1

◦ −1

−

ր MAX ց 0

◦ 1

+

◦ 1

ց

1 · (x 2 − 1)2 − x · 2(x 2 − 1) · 2x (x 2 − 1)4   (x 2 − 1) · x 2 − 1 − 4x 2

(x 2 − 1)4 3x 2 + 1 −3x 2 − 1 = 4 · = −4 · 2 (x − 1)3 (x 2 − 1)3 ∪

◦ −1

∩

◦ 1

∪

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x y′ =

−4x (x 2 − 1)2

3x 2 + 1 y =4· 2 (x − 1)3 ′′

ր

◦ −1

∪

◦ −1

−

ր MAX ց

◦ −1

0

∩

◦ 1

◦ 1

+

◦ 1

ց

∪

• Druhá derivace není nikdy nulová, protože rovnice (3x 2 + 1) = 0 nemá řešení v oboru reálných čísel. • Znaménko derivace se může změnit nejvýše skokem v bodě nespojitosti. Vyneseme na reálnou osu body nespojitosti.

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x y′ =

−4x (x 2 − 1)2

3x 2 + 1 y =4· 2 (x − 1)3 ′′

ր

◦ −1

∪

◦ −1

−

ր MAX ց

◦ −1

0

∩

◦ 1

◦ 1

+

◦ 1

ց

∪

Funkce je konvexní na intervalu (−∞, −1), protože číslo (−2) leží v tomto intervalu a kladný výraz >0 y′′ (−2) = 4 · [(−2)2 − 1]3

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x y′ =

−4x (x 2 − 1)2

3x 2 + 1 y =4· 2 (x − 1)3 ′′

ր

◦ −1

∪

◦ −1

−

ր MAX ց

◦ −1

0

∩

◦ 1

◦ 1

+

◦ 1

ց

∪

Funkce je konkávní na intervalu (−1, 1), protože číslo 0 leží v tomto intervalu a funkce je v tomto bodě nutně konkávní (je zde stacionární bod a lokální maximum – funkce je pod tečnou). ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

y=

x2 + 1 x2 − 1

D(f ) = R \ {−1, 1}; průsečík s osou y: [0, −1]; +

není průsečík s osou x y′ =

−4x (x 2 − 1)2

3x 2 + 1 y =4· 2 (x − 1)3 ′′

ր

◦ −1

∪

◦ −1

−

ր MAX ց

◦ −1

0

∩

◦ 1

◦ 1

+

◦ 1

ց

∪

Funkce je konvexní na intervalu (1, ∞), protože číslo 2 leží v tomto intervalu a kladný výraz y′′ (2) = 4 · >0 (22 − 1)3

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

ց ր − + րMAXց ◦ ◦ ◦ ◦ 1 0 −1 1 −1 f (0) = −1; f (±∞) = 1; f (−1±) = ∓∞; +

∪ ∩ ◦ ◦ −1 1 f (1±) = ±∞ ∪

Shrneme nejdůležitější výsledky. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

ց ր − + րMAXց ◦ ◦ ◦ ◦ 1 0 −1 1 −1 f (0) = −1; f (±∞) = 1; f (−1±) = ∓∞; +

y

−1

1 −1

1

∪ ∩ ◦ ◦ −1 1 f (1±) = ±∞ ∪

x

Zakreslíme soustavu souřadnic a asymptoty. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

ց ր − + րMAXց ◦ ◦ ◦ ◦ 1 0 −1 1 −1 f (0) = −1; f (±∞) = 1; f (−1±) = ∓∞; +

y

−1

1 −1

∪ ∩ ◦ ◦ −1 1 f (1±) = ±∞ ∪

1

x

Načrtneme funkci v okolí svislých asymptot. Využijeme monotonie. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

ց ր − + րMAXց ◦ ◦ ◦ ◦ 1 0 −1 1 −1 f (0) = −1; f (±∞) = 1; f (−1±) = ∓∞; +

y

−1

1 −1

1

∪ ∩ ◦ ◦ −1 1 f (1±) = ±∞ ∪

x

Načrtneme funkci v okolí vodorovné asymptoty. Opět využijeme schema s monotonií. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

ց ր − + րMAXց ◦ ◦ ◦ ◦ 1 0 −1 1 −1 f (0) = −1; f (±∞) = 1; f (−1±) = ∓∞; +

y

−1

1 −1

1

∪ ∩ ◦ ◦ −1 1 f (1±) = ±∞ ∪

x

Zakreslíme lokální maximum. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

ց ր − + րMAXց ◦ ◦ ◦ ◦ 1 0 −1 1 −1 f (0) = −1; f (±∞) = 1; f (−1±) = ∓∞; +

y

−1

1 −1

1

∪ ∩ ◦ ◦ −1 1 f (1±) = ±∞ ∪

x

Dokreslíme celý graf. ⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×

Konec

⊳⊳

⊳

⊲

⊲⊲

c

Robert Mařík, 2006 ×