Processus-negociation

Problèmes de Négociations Amine Choukir, Nebil Mansour, Beyrem Merdassi Prof.Th. M. Liebling

Processus Décisionnels

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Agenda Introduction Ensemble de Négociations Solution Négociée Rationalité Optimalité de Pareto Symétrie Indépendance Alternatives Solution Négociée de Nash Exemple Pratique 2

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Introduction

Contrats de travail, de vente, R&D,... Phase de négociation puis d’implémentation But: créer et partager l’utilité

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Introduction Imaginons la situation suivante: Alice à une pizza et Bob une télé. 1) personne ne partage: !Bob a faim. !Alice n’a pas de divertissement. 2) On partage: ! Chacun à accès au divertissement et à la pizza. Ccl: Nous sommes arrivé à une solution qui améliore la condition des deux amis. Le problème qui reste à résoudre est l’allocation d’une part de la valeur à chacun. 5

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Ensemble de négociation

Valoriser les différents paramètres de l’accord : En terme d’utilité. Définir l’utilité de chaque alternative du contrat. e.g. X = {(x1 , x2 )|x1 + x2 = 1, xi ≥ 0} - U = {(v1 , v2 )|u1 (x1 ) = v1 , u2 (x2 ) = v2 , x ∈ X} Définir l’utilité de chacun sans contrat noté d. e.g. d = (0, 0)

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Ensemble de négociation Exemple: Bob et Alice considèrent l’opportunité d’un partenariat. Si le partenariat à lieu Bob en retire une utilité de 4 et Alice de 6. Si il n’est pas conclus chacun à une utilité de 2. on obtient alors:

V = {(4, 6), (2, 2)} : ensemble de négociation

X = {(4, 6)} d = (2, 2)

: ensemble d’alternative : point de désaccord

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Ensemble de négociation

Souvent en plus d’alternative non monétaire on a des transferts de monaie. Soit t le montant du transfert. Il s’effectue de Alice vers Bob si t>0 et de Bob vers Alice si t<0. Si l’on suppose que l’argent à une utilité additive, l’utilité totale est:

v1 = u1 (x1 ) + t v2 = u2 (x2 ) − t En remplaçant t dans la deuxième équation on a:

v2 = u2 (x2 ) + u1 (x1 ) − v1 9

Ensemble de négociation On a alors des droites à utilité jointe constante qui constitue notre ensemble de négociation

u2

Le surplus du contrat correspond alors à la différence entre l’utilité jointe et l’utilité par défaut.

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· d2 = 2

(4, 6)

·

(6, 4)

v1 + v2 = u1 (x1 ) + u2 (x2 ) + t − t

d

d1 = 2

s = u1 (x1 ) + u2 (x2 ) − d1 − d2 10

u1

10

Problème de négociation Dans le cas général un problème de négociation est un couple formé par l’ensemble de négociation et le point de désaccord: (U, d) Un ensemble de négociation est admissible si: ∃v ∈ U t.q. : v > d

U d

U d

d

U 11

Solution Négociée

Soit B l’ensemble de tous les problème de négociation une solution négociée est une fonction: ϕ : B −→ U ⊂ R2

(d, U ) −→ u ˜ 12

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Rationalité

R1 Rationalité individuelle faible: (personne ne veut empirer sa situation) ϕ(d, U ) ≥ d, ∀(d, U ) ∈ B

R2 Rationalité individuelle forte (chacun veut améliorer sa situation) ϕ(d, U ) > d, ∀(d, U ) ∈ B 14

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Optimalité de Pareto

P1 Optimalité faible de Pareto: (Aucune autre solution n’est meilleur pour les deux simultanément) ϕ(d, U ) ∈ PW (U ) = {u ∈ U |!y ∈ U : y > u}, ∀(d, U ) ∈ B

P2 Optimalité forte de Pareto: (il n’existe pas de solution alternative qui améliore l’un sans empirer l’autre) ϕ(d, U ) ∈ PS (U ) = {u ∈ U |!y ∈ U : y ≥ u, y #= u}, ∀(d, U ) ∈ B 16

Optimalité de Pareto

PS (U )

Bord de Pareto PS (U ) = PW (U )

PW (U )

U d

U d

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Symétrie S1 Symétrie faible:

Si ∀(d, U ) ∈ B, d1 = d2 et

!

u1 u2

"

∈U ⇔

!

u2 u1

"

∈U

Alors ϕ(d, U )1 = ϕ(d, U )2 S2 Symétrie forte:

Soit f : R → R donn´ee par f 2

2

!

u1 u2

"

=

!

u2 u1

"

Alors ϕ(f (d), f (U )) = f (ϕ(d, U )) ∀(d, U ) ∈ B 19

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Indépendance T1 Indépendance de transf. affines positives: ϕ(d, U ) = ϕ(0, U − d) + d, ∀(d, U ) ∈ B

ϕ(0, ρ · U ) = ρ · ϕ(0, U ), ∀ρ > 0, ∀(0, U ) ∈ B

La première équation montre l’indépendance de translation, la seconde l’indépendance d’échelle

T2 Indépendance de transformation linéaire T (u1 , u2 ) := (ρ1 · u1 + δ1 , ρ2 · u2 + δ2 ) ∀(d, U ) ∈ B, ρ1 , ρ2 > 0, δ1 , δ2 ∈ R

ϕ(T (d), T (U )) = T (ϕ(d, U ))

21

d

Echelle

Translation 22

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Alternatives

A Indépendance des alternatives non pertinentes:

Soit (d, U ), (d, U ! ) ! Avec ϕ(d, U ) ∈ U ⊂ U Alors ϕ(d, U ! ) = ϕ(d, U )

U d

u

U’

L’ensemble d’alternatives non pertinentes U \ U! 24

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Solution Négociée de Nash Théorème de Nash Sous les conditions R1, P1, S1, T2 et A la fonction de choix de solution négociée est définie de manière unique. Donc à chaque situation de négociation il correspond une et une seule solution négociée.

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Solution Négociée de Nash u2

U est symétrique par rapport à y=x

Que se passe-t-il si la situation de négociation n’est pas symétrique? (voir exemple pratique)

bord de Pareto 10

· d2 = 2

(4, 6)

solution optimale

·

(6, 4)

d

d1 = 2

10

u1

d1=d2, il existe u>d 27

Solution Négociée de Nash Lemme: Soit la situation de négociation:! (d, U ) ∈ B Alors la fonction: u −→ f (u) := (u − d ) · (u − d ) 1

1

2

2

a le maximum unique dans U: ! " u∗1 ∗ u = ∈U u∗2 donc

(u∗1 − d1 ) · (u∗2 − d2 ) ≥ (u1 − d1 ) · (u2 − d2 ) ∀u ∈ U

En plus, u* maximise

g(u) := (u∗2 − d2 ) · u1 + (u∗1 − d1 ) · u2 ∀u ∈ U

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Solution Négociée de Nash

u*

(u∗2 − d2 )

f(u) (u∗1 − d1 )

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Solution Standard de Negociation

Prenons l’exemple suivant: Rosemary est responsable du département d’Anglais d’un Lycée Jerry est un acteur professionel intéressé par un poste de Prof. de Théâtre dans ce Lycée . Paramètre de la négociation: Salaire de Jerry, t Tâches du nouveau Prof. Encadre uniquement le cours de théâtre, x=0 Encadre le cours de théâtre et de SoftBall, x=1

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Solution Standard de Negociation Utilité des deux joueurs:

uJerry (x) uRosemary (x)

= 10000 − 3000 · x + t = 40000 + 5000 · x − t

En cas de désaccord ils ont une utilité de:

dJerry

= 15000

dRosemary

= 10000

32

Solution Standard de Negociation Utilité Jointe:

uJerry (x) + uRosemary (x)

= 50000 + 2000 · x

En cas de désaccord ils ont une utilité jointe:

dJerry + dRosemary = 25000

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Solution Standard de Negociation u2

52000 50000

x=1

25000

d2 = 10000

x=0

d

d1 = 15000

Surplus =27000

u1

34

Solution Standard de Negociation On voit sur le graphique que la droite correspondant à x=1 maximise l’utilité jointe, elle vaut v*=52000 sur cette dernière. Cependant ce problème n’est pas symétrique car:

dJerry != dRosemary

On peut associé une force de négociation à chaque joueur au travers de poids. Aucun joueur ne négociera pour une utilité inférieur à son point de désaccord, les joueurs ne négocie donc pas leur part de v* mais leur part du surplus s. On définit alors:

πJerry , πRosemary ≥ 0

πJerry + πRosemary = 1 35

Solution Standard de Negociation On a donc les utilités suivante: uJerry uRosemary

= dJerry + πJerry · (v ∗ − dJerry − dRosemary )

= dRosemary + πRosemary · (v ∗ − dJerry − dRosemary )

Si l’on connait les poids de négociation on peut en déduire le salaire de Jerry et l’utilité optimale des deux joueurs.

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Exemple pratique : cas(a) 2 joueurs Jerry et Rosemary avec dJ = dR = 0, πJ = πR = 0.5

VJ (x) = 10! 000 − 2x, VR (x) = 40! 000 + x, x ∈ {0, 1} On cherche le x maximisant le profit total V :

V = VJ (x) + VR (x) = 50! 000 − x ⇒ x∗ = 0 Donc

V ∗ = s = 50" 000

Les joueurs accepteront si: u∗J = dJ + πJ (V ∗ − dJ − dR ) = 0.5 · 50" 000 = 25" 0000

u∗R = dR + πR (V ∗ − dJ − dR ) = 0.5 · 50" 000 = 25" 0000 On cherche finalement la valeur t t = u∗J − VJ (0) = 25" 000 − 10" 000 = 15" 000

37

Le graphe associé uR

50! 000

x=0 x=1

10! 000

d = (0, 0)

10! 000

50! 000

uJ

38

Cas(b) dJ = dR , πJ = πR , VJ (x) = 60! 000 − x2 , VR (x) = 800 · x, x ≥ 0 Le x maximisant le profit total:

V = VJ (x) + VR (x) = 60! 000 − x2 + 800 · x

est V ∗ = 220" 000 et s = 220! 000

les joueurs accepteront si: u∗J = dJ + πJ (V ∗ − dJ − dR ) = 0.5 · 220" 000 = 110" 000

u∗R = dR + πR (V ∗ − dJ − dR ) = 0.5 · 220" 000 = 110" 000 Donc t est donné par: t = u∗J − VJ (400) = 110" 000 − 60" 000 + 160" 000 = 210" 000

39

Le graphe associé uR

220! 000

x = 400

d = (0, 0)

220! 000

uJ

40

Cas(c) dJ = 40! 000, dR = 20! 000, πJ = 0.25, πR = 0.75 VJ (x) = 60! 000 − x2 , VR (x) = 800 · x, x ≥ 0 Le x maximisant le profit total: V = VJ (x) + VR (x) = 60! 000 − x2 + 800 · x est V ∗ = 220" 000 et s = 160! 0000 Les joueurs accepteront si : u∗J = dJ + πJ (V ∗ − dJ − dR ) = 80" 000

u∗R = dR + πR (V ∗ − dJ − dR ) = 140" 000 Donc t est donné par : t = u∗J − VJ (400) = 80" 000 − 60" 000 + 160" 000 = 180" 000

41

Le graphe associé uR

220! 000

x = 400

d = (40! 000, 20! 000)

d = (0, 0)

220! 000

uJ 42