Problemas Tm.docx

Dr. E. Emilio Herrera Valencia Problema 1. Transferencia de masa en una película estancada. Un líquido contenido en una probeta, se difunde a través de un gas estancado a una distancia z   . Si las fracciones molares en z  0 y z   son x A0 y x A . Demuestre que la densidad de flujo de cantidad de masa está dada por la siguiente expresión matemática: 1-x Aδ D C N Az = AB Ln δ 1-x A0 Es necesario prestar cuidadosa atención a las restricciones de las ecuaciones que aquí aparecen; las suposiciones impuestas pueden conducir a errores de cálculos catalogados de graves. Problema 2. Difusión con polimerización catalítica. Difusión con polimerización catalítica. Obtener una expresión para el flux molar, cuando la reacción nA  An se produce en la superficie catalítica. a) Demostrar en primer lugar que la expresión para el flux está dada por: N Az =-

cDAB dx A -1 1- 1-n  x A dz

b) Integrar esta expresión de N A entre los límites z  0 y z   (teniendo en cuenta el Z

hecho de que para el estado estacionario NAz es constante) para obtener

 ncDAAn  1  ln   n-1 δ  1- 1-n -1  x A0  (Obsérvese que al integrar de esta forma entre límites fijos no se obtiene el perfil de concentración, pero se llega más rápidamente a la densidad de flujo.) NAz =

Problema 3. Factor de eficacia para discos paralelos. Consideremos las partículas de un catalizador poroso que tiene forma de discos paralelos, de modo que el área de la superficie del borde del disco es pequeña en comparación con las dos caras circulares. Demostrar que el perfil de concentraciones es C A cosh  C Az cosh

 

 b

k1´´a / DAB z k1´´a / DAB

Demostrar que la velocidad total de transferencia de materia en la superficie z  b , es WA  2  R2  DAcAs  tanh b En la que   k1´´a / DAB . Demostrar que si el disco se corta paralelamente al plano xy en n rebanadas, la velocidad total de transferencia de materia se hace b n WA   2  R 2  n  DAc As  tanh  n Obtener la expresión para el factor de eficacia tomando el límite

Dr. Edtson Emilio Herrera Valencia Transferencia de Masa con Reacción Química ηA = Lim n 

WA WA n 

=

tanhλb λb

Problema 4. Disolución de un sólido en una película descendente. Un líquido B desciende por una pared vertical con movimiento laminar. Para z < 0 la pared no se disuelve en el fluido, pero para 0 < z < L. La pared contiene una especie A que es ligeramente soluble en B. La película se inicia suficientemente lejos de la parte alta de la pared, de forma que vz depende solamente de y para z  0 . (Véase Figura 2).

g CA y  z C.L.1: C.L.2: C.L.3:

CA  2C A  DAB z y 2 CA = 0 para z = 0 CA = 0 para y =  C A = C A0 para y = 0  ay

CA  f   C A0 1/3

 a    y   9 DAB z 

d2 f df  32 0 2 d d C.L.1: C.L.1:

para  =  para  = 0

f=0 f=1





 exp    d  exp    d 3

CA  C A0

 

 exp    d

3





3

  4 / 3

0

En la que   4 / 3 es la función gamma, definida por 

  n    n-1 exp    d 0

Que tiene la formula de recurrencia Γ  n+1 = nΓ  n  c) Demostrar que la velocidad media de transferencia superficie de disolución es N A,med  

L 2 DAB C A0 DAB  C A    dz   L   y  y 0   7 / 3

3

de materia para toda la

a 9 DAB L

2

Dr. Edtson Emilio Herrera Valencia Transferencia de Masa con Reacción Química Problema 5. Disolución de cristales en una solución líquida. En una disolución de cristales en una solución liquida no saturada, se propone, para el cálculo de la difusividad DAB la ecuación de Fick:

xA z Para ello se supone que el sistema es estacionario, que en él no existe reacción química y que, además, el flujo volumétrico de la solución ascendente es igual al de la solución de los cristales, de manera que se cumple:





N AZ  xA N AZ  N BZ  CDAB

M A N AZ  M B N BZ M N   A AZ  s

donde s es la densidad de los cristales y,  de la solución. Obtener la expresión que permite evaluar, experimentalmente, la difusividad DAB , considerando que esta no varía sustancialmente con la concentración dentro del sistema binario. DAB 

N AZ N 





C ln 1  N xA0



  ; N* = 1- 1   s

 MA   MB

Problema 6. Transferencia de masa con reacción química En este caso el gas A se disuelve en el líquido B y difunde en la fase líquida. Al mismo tiempo que difunde, la substancia A sufre una reacción química irreversible de primer orden B+C  BC .

a) Partiendo de la ecuación general de conservación de masa en coordenadas cartesianas:   2 CB  2 CB  2 CB  CB CB CB CB  Vx  Vy  Vz  DBC    (E-1)   RB 2 t x y z y2 z 2   x Y suponiendo que el sistema se encuentra en estado estacionario, y que la reacción ´´ química es de primer orden R B  k1 CB , demostrar que la ecuación diferencial que describe la transferencia de masa de la especie B (gas) sobre C (líquido) está dada por:

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Dr. Edtson Emilio Herrera Valencia Transferencia de Masa con Reacción Química

d 2CB k1´´CB (E-2) 0 dz 2 DBC La ecuación (E-2) satisface las dos siguientes condiciones de frontera (E-3) C.F.1: para z = 0, CB = CB0 ; C.F.2: para z = L, CB = CBL b) Introduciendo las siguientes variables adimensionales: C z k´´L2 z = B ; = ; = 1 (E-4) CB0 L DBC Demostrar que la ecuación diferencial y las condiciones de frontera (E-2, E-3) toman la forma: d2 2 -   =0 d2 (E-5) C.F.1: para  =0;  = 1 C.F.2: para  = 1;  = CBL /CB0   L c) Demostrar que la solución de la ecuación diferencial E-5 se puede expresar como:  LSenh    + Senh  1        (E-6) Senh    d) A partir de la ecuación (E-6), calcule la concentración promedio y el flux en z =0 Problema 7. Difusión con Reacción Química. Considere un reactor catalítico como se muestra en la Figura en el que se realiza la reacción de dimerización 2A  A2 . Suponga que cada partícula catalítica está rodeada por una película gaseosa estancada a través de la cual difunde A para alcanzar la superficie del catalizador. Supongamos que la reacción 2A  A2 se produce de manera instantánea en la superficie catalítica, y que el producto A 2 difunde después en sentido contrario a través de la película gaseosa hasta alcanzar la corriente de gas turbulenta que consta de A y A2. Calcule la expresión de la velocidad local de conversión de A y A2, cuando se conocen el espesor efectivo de la película gaseosa  , y las composiciones globales x A0 y xA20 de la corriente. Se supone que la película gaseosa es isotérmica, aunque para muchas reacciones catalíticas no se puede despreciar el calor que se genera reacción. A) Demuestre que en estado estacionario la relación molar se puede expresar como:

1 N A 2 z   N Az 2 B) Demostrar que la velocidad de transferencia de masa de la especie A, se puede expresar como:

N Az  

cDAA2 dx A 1  x A / 2 dz 4

Dr. Edtson Emilio Herrera Valencia Transferencia de Masa con Reacción Química C) A partir de la ecuación de continuidad para la especie A, se tiene el siguiente resultado: dN Az 0 dz D) Combinando las dos expresiones (B y C) junto con las condiciones de frontera:  z  0; xA  xA0 C.F :   z  ; xA  0

 1   1  1  x A   1  x A0   2   2 

1 z / 

E) Finalmente, la densidad de flujo molar a través de la película puede ser expresada como:

N Az 

 2cDAA2  1 ln     1  x A0 / 2 

Problema 8. Difusión con reacción heterogénea lenta. Resolver de nuevo el problema anterior considerando que la reacción 2A  A2 no es instantánea en la superficie catalítica para ( z  ) . En vez de esto, suponer que la velocidad con la que desaparece A en a la superficie catalítica es proporcional a la concentración de A en dicha superficie:

N Az  k1´´C A  ck1´´ xA ´´

en la que k1 es una constante de velocidad. La única diferencia que se tiene es con respecto a la concentración en la condición límite 2  z  0; xA  xA0 C.F :  ´´  z  ; xA  N Az / ck1 a) Demostrar que el perfil de concentraciones se puede expresar como:   1   1 N Az   1  1  x A0  1  xA   1  ´´    2   2 ck1   2 

1 z /   

b) Demostrar a partir del perfil de concentraciones, que el flux de masa en z = 0, puede ser expresado como: ´´ 2cDAA2  1  N Az / ck1   N Az  ln   1  xA0 / 2    





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Dr. Edtson Emilio Herrera Valencia Transferencia de Masa con Reacción Química Problema 9. Difusión química homogénea. Considere que un gas que se disuelve en un líquido B y difunde con la fase liquida. AL mismo tiempo que difunde, la substancia A sufre una reacción química irreversible de primer orden: A+B  AB . Suponiendo que la ´´ reacción química es de primer orden, es decir: RA   k1 ´C A . A) Demuestre usando la ecuación de continuidad para la especie A, que la ecuación diferencial con reacción química, puede ser escrita como: d 2C A k1´´  CA  0 dz 2 DAB

C.F.1: z = 0 , CA  CA0 dC A =0 dz B) Interprete físicamente las condiciones de frontera. C) Demostrar que el perfil de velocidades que se obtiene al resolver la ecuación diferencial junto con las condiciones de frontera C.F.2: z = L , N Az = 0,

CA cosh b1 1   z / L    C A0 cosh b1 en la que b1  k1´´´ L2 / DAB concentración promedio:

. A partir del

 C  L

CA,med C A0

0

A



perfil de concentraciones, obtenga la

/ CA0  dz L

0



dz

1 tanh b1 b1

Demostrar que la densidad de flujo molar esta dad por:

N A Z 0   DAB

dCA dz

z 0

D C     AB A0  b1 tanh b1  L 

En etas deducciones, se ha supuesto que A esta presente a bajas concentraciones y que el producto AB de la reacción química no interfiere la difusión de A a través de B. Problema 10. Difusión con polimerización catalítica. Difusión con polimerización catalítica. Obtener una expresión para el flux molar, cuando la reacción nA  An se produce en la superficie catalítica. a) Demostrar en primer lugar que la expresión para el flux está dada por: N Az  

cDAB dx A 1 1  1  n  x A dz

b) Integrar esta expresión de N A entre los límites z  0 y z   (teniendo en cuenta el Z

hecho de que para el estado estacionario N Az es constante) para obtener

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 ncDAAn  1  ln   n  1   1  1  n1  xA0  (Obsérvese que al integrar de esta forma entre límites fijos no se obtiene el perfil de concentración, pero se llega más rápidamente a la densidad de flujo.) N Az 

Problema 11. Difusión con Reacción Química. Considere un reactor catalítico como se muestra en la Figura en el que se realiza la reacción de dimerización 2A  A2 . Suponga que cada partícula catalítica está rodeada por una película gaseosa estancada a través de la cual difunde A para alcanzar la superficie del catalizador. Supongamos que la reacción 2A  A2 se produce de manera instantánea en la superficie catalítica, y que el producto

A 2 difunde después en sentido contrario a través de la película gaseosa hasta alcanzar la corriente de gas turbulenta que consta de A y A2. Calcule la expresión de la velocidad local de conversión de A y A2, cuando se conocen el espesor efectivo de la película gaseosa  , y las composiciones globales x A0 y xA20 de la corriente. Se supone que la película gaseosa es isotérmica, aunque para muchas reacciones catalíticas no se puede despreciar el calor que se genera reacción. a) Demuestre que en estado estacionario la relación molar se puede expresar como: 1 N A2z =- N Az 2 b) Demostrar que la velocidad de transferencia de masa de la especie A, se puede expresar como:

cD AA2 dx A 1-x A /2 dz c) A partir de la ecuación de continuidad para la especie A, se tiene el siguiente resultado: dN Az =0 dz N Az = -

d) Combinando las dos expresiones (B y C) junto con las condiciones de frontera:  z  0; xA  xA0 C.F :   z  ; xA  0 Demostrar que el perfil de concentraciones, se puede expresar como:

 1   1  1  x A   1  x A0   2   2 

1 z / 

e) Finalmente, la densidad de flujo molar a través de la película puede ser expresada como:

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N Az 

 2cDAA2  1 ln     1  x A0 / 2 

Problema 12. Difusión con reacción heterogénea lenta. Resolver de nuevo el problema anterior considerando que la reacción 2A  A2 no es instantánea en la superficie catalítica para ( z  ) . En vez de esto, suponer que la velocidad con la que desaparece A en la superficie catalítica es proporcional a la concentración de A en dicha superficie:

N Az  k1´´C A  ck1´´ xA ´´

en la que k1 es una constante de velocidad. La única diferencia que se tiene es con respecto a la concentración en la condición límite 2  z  0; xA  xA0 C.F :  ´´  z  ; xA  N Az / ck1 a) Demostrar que el perfil de concentraciones se puede expresar como:     1   1 N Az   1  1  x A0  1  xA   1  ´´    2   2 ck1   2  b) Demostrar a partir del perfil de concentraciones, que el flux de masa en z = 0, puede ser expresado como: ´´ 2cDAA2  1   N Az / ck1     N Az  ln  1  xA0 / 2     1 z / 

Problema 13. Difusión y reacción química en el interior de un catalizador poroso: El “ factor de eficacia” Considere concretamente una partícula esférica de un catalizador poroso de radio R. Esta partícula está en un reactor catalítico que es atravesado por una corriente gaseosa que contiene la substancia reaccionante y el producto de reacción B. En las inmediaciones de la partícula catalítica que estamos considerando se supone que la concentración de A es CA, moles por unidad de volumen. La especie A difunde a través del camino tortuoso existente en el catalizador y se convierte en B en la superficie del mismo. En este caso el gas A se disuelve en el líquido B y difunde en la fase líquida. Al mismo tiempo que difunde, la substancia A sufre una reacción química irreversible de primer orden A+B  AB . e) Partiendo de la ecuación general de conservación de masa en coordenadas esféricas:

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CA C 1 CA 1 CA  Vr A  V  V  t r r  rsenθ  (A-1)  1   2 CA  C A  1   1  2 CA  DA  2 2  r  RA   senθ  r  r 2senθ     r 2sen 2θ 2   r r  Y suponiendo que el sistema se encuentra en estado estacionario, y que la reacción ´´ química es de primer orden R A  k1 aCA , demostrar que la ecuación diferencial que describe la transferencia de masa de la especie A (gas) sobre B (líquido) está dada por: 1   C  D A 2 2  r 2 A  = k1´´aC A (A-2) r r  r  La ecuación (A-2) satisface las dos siguientes condiciones de frontera (A-3) C.F.1: r = R, CA = CAR ; C.F.2: r = 0, CA = finito f) Proponer el siguiente cambio de variable, para simplificar la ecuación diferencial definida en (A-2); CA /CAR = f(r)/r y demostrar que la ecuación diferencial puede expresarse como: d 2f  r  k1´´a = f r (A-4) dr 2 DA Demostrar que la ecuación diferencial y las condiciones de frontera (A-2, A-3) toman la forma:  k´´a  C  k´´a  C (A-5) CA  r  = 1 cosh  1 r  + 2 senh  1 r   DA  r  DA  r     Aplicando las condiciones límite se obtiene, finalmente:

 k a/D r   k a/D R 

CA  R  senh   CAR  r  senh

´´ 1

´´ 1

A

(A-6)

A

g) Demostrar que la solución de la ecuación diferencial E-5 se puede expresar como:  dcA k1´´a k1´´a  2 2 WAR = 4πR N As = -4πR DA = 4πRD A CAR 1R  coth R  (A-7)  dr r=R DA DA   Si la superficie catalíticamente estuviese toda ella expuesta a la corriente de concentración CAR , la especie A no tendría que difundir a través de los poros hasta un lugar de reacción, y la velocidad molar de conversión vendría dada por el producto de la superficie disponible por la velocidad de reacción superficial: 4  (A-8) WA0 =  Volume  R A =  πR 3   a   -k1´´CAR  3  h) Dividiendo las ecuaciones (A-7, E-8) se tiene la eficiencia:

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 k´´a k´´a  4πRDA CAR 1- 1 Rcoth 1 R   DA DA  3 W  ηA = A = = 2  KcothK-1 WAR K 4 3 ´´  πR   a   -k1 CAR  3 

(A-9)

La ecuación (A-9) puede ser descrito en términos de un número adimensional K= k1´´a/DA R , el cual es conocido como módulo de Thiele, y A es el denominado factor de eficacia, que es el valor por el que hay que multiplicar WA0 para tener en cuenta la resistencia a la difusión por el proceso de conversión W 3 (A-10) ηA = A = 2  KcothK-1 WAR K Problema 14. Factor de eficacia para discos paralelas Consideremos las partículas de un catalizador poroso que tiene forma de discos paralelos de modo que el área de la superficie del borde del disco es pequeña en comparación con las dos caras circulares. Aplicar el método anterior para demostrar que el perfil de concentración es: CA cosh = CAs cosh

 

 b

k1´´a/D A z k1´´a/D A

(B-1)

En donde, las condiciones de frontera utilizadas en la deducción del perfil de concentración (B-1) son: z = ± b; CA  CAS WA =2   πR 2  D A CASλtanh  λb 

(B-2)

Demostrar que si el disco se corta paralelamente al plano xy en “n” rebanadas, la velocidad total de transferencia de materia se hace: WA =2  πR 2  nDA CAS λtanh  λb/n 

(B-3)

Obtener la expresión para el factor de eficacia tomando el límite:





ηA =Limn  WA /WA n  = tanh  λb/λb 

(B-4)

Problema 15. Factor de eficacia para cilindros largos. Consideremos las partículas de un catalizador poroso que tiene forma de discos paralelos de modo que el área de la superficie del borde del disco es pequeña en comparación con las dos caras circulares. Aplicar el método anterior para demostrar que el perfil de concentración es: CA cosh  CAs cosh

 

 b

k1´´a/D A z k1´´a/D A

(C-1)

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Dr. Edtson Emilio Herrera Valencia Transferencia de Masa con Reacción Química En donde, las condiciones de frontera utilizadas en la deducción del perfil de concentración (B-1) son: z = ± b; CA  CAS WA  2   πR 2  D A CASλtanh  λb 

(C-2)

Demostrar que si el disco se corta paralelamente al plano xy en “n” rebanadas, la velocidad total de transferencia de materia se hace: WA  2   πR 2   n  DA CASλtanh  λb/n 

(C-3)

Obtener la expresión para el factor de eficacia tomando el límite:





A  Limn  WA /WA n   tanh  λb/λb 

(C-4)

Problema 16. Factor de eficacia para cilindros largos. Consideremos las partículas de un catalizador poroso que tiene forma de discos paralelos de modo que el área de la superficie del borde del disco es pequeña en comparación con las dos caras circulares. Aplicar el método anterior para demostrar que el perfil de concentración es: CA cosh  CAs cosh

 

 b

k1´´a/D A z k1´´a/D A

(C-1)

En donde, las condiciones de frontera utilizadas en la deducción del perfil de concentración (B-1) son: z = ± b; CA  CAS WA  2   πR 2  D A CASλtanh  λb 

(C-2)

Demostrar que si el disco se corta paralelamente al plano xy en “n” rebanadas, la velocidad total de transferencia de materia se hace: WA  2   πR 2   n  DA CASλtanh  λb/n 

(C-3)

Obtener la expresión para el factor de eficacia tomando el límite:





A  Limn  WA /WA n   tanh  λb/λb 

(C-4)

Problema 17. Disolución de un sólido en una película descendente. Un líquido B desciende por una pared vertical con movimiento laminar. Para z < 0 la pared no se disuelve en el fluido, pero para 0 < z < L la pared contiene una especie A que es ligeramente soluble en B. La película se inicia suficientemente lejos de la pared, de forma que v z depende solamente de y para z  0 .

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Dr. Edtson Emilio Herrera Valencia Transferencia de Masa con Reacción Química a. Demostrar que si el tiempo de contacto L/Vmáx es pequeño, una buen aproximación es la siguiente:  ρgδ  CA CA  2 CA y = ay  D A   z y 2  μ  z Justificar el uso de las siguientes condiciones límite: C.L.1: CA  0; para z = 0

C.L.2: CA  0;

para y = 

C.L.3: CA  CA0 ; para y = 0 Siendo C A0 la solubilidad de A en B. b. Resolver la Ecuación diferencial parcial sabiendo que al solución es de la forma CA / CA0 = f   En la que  es una variable adimensional:   y  a / 9D A z 

1/3

Demostrar que con la elección de estas variables dependientes e independientes, la ecuación diferencial parcial se transforma: d 2f df  32 0 2 dη dη Con las siguientes condiciones límite: C.L.1: f  0; para  =  C.L.2: f  1; para  = 0 c. Resolver la Ecuación diferencial parcial sabiendo que al solución es de la forma 

CA = CA0

3  Exp    dη

 

3  Exp    dη



 Exp    dη 3





  4 / 3

0

En la que   4 / 3 es la función gamma, definida por 

  n    β n-1Exp  -β dβ 0

Que tiene la formula de recursión   n  1    n  d. Demostrar que la velocidad media de transferencia de materia para toda la superficie de disolución es: L  C  2 DABCA0 D a 3 N A,med   AB   A  dz  L 0  y  y=0   7 / 3 9DAB L Problema 18. Difusión en una película líquida descendente por convección forzada Considere la absorción de un gas A en una película laminar descendente del líquido B. La sustancia A es solo ligeramente soluble en B, de modo que la viscosidad del líquido no varía apreciablemente.

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Dr. Edtson Emilio Herrera Valencia Transferencia de Masa con Reacción Química a) Demostrar que la ecuación diferencial que describe la convección forzada puede ser escrita como:   x 2  CA  2CA CA  2CA Vmax 1     = DAB  V = D max AB x 2 z x 2      z Justificar el uso de las siguientes condiciones límite: C.F.1: CA  0; para z = 0

C.F.2: CA  CA0 ;

para x = 0

C.F.3: CA / x  0; para x =  Siendo C A0 la solubilidad de A en B. b) Resolver la Ecuación diferencial parcial sabiendo que al solución es de la forma CA / CA0 = f  

En la que  es una variable adimensional:   x/ 4 DABz/ Vmáx

Demostrar que con la elección de estas variables dependientes e independientes, la ecuación diferencial parcial se transforma: d 2f df  2  0 2 dη dη Con las siguientes condiciones límite: C.L.1: f  0; para  = ; C.L.2: f  1; para  = 0 c) Resolver la Ecuación diferencial parcial sabiendo que al solución es de la forma x/ 4DAB z/Vmax

CA =1CA0



Exp  2  d

0 

 Exp    d 2

2  1

x/ 4DAB z/Vmax



Exp  2  d

0

0

    x x  1-erf    erfc    4D z/Vmax   4D z/Vmax  AB AB     d) Demostrar que la velocidad de transferencia de materia y la velocidad molar está dado por x =0 D AB Vmáx C N Ax  z  x=0   D AB A  CA0 x x 0 πz WL

WA 

N 0 0

Ax x=0

dzdy  WLCA0

4D AB Vmáx πL

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